SCURTĂ INCURSIUNE ÎN LUMEA ORTHOSULUI Prof. Dumitru Oprea,Dragodăneşti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SCURTĂ INCURSIUNE ÎN LUMEA ORTHOSULUI Prof. Dumitru Oprea,Dragodăneşti"

Transcript

1 Aioma suplimet matematic-r.3 SCURTĂ INCURSIUNE ÎN LUMEA ORTHOSULUI Prof. Dumitru Oprea,Dragodăeşti ORTHOS este u cuvât î limba greacă care îseamă drept (corect) şi care a geerat, î geeral ca prefi, o serie de cuvite oi î diverse domeii ale cuoaşterii şi chiar î vorbirea curetă. Î cele mai multe cazuri se foloseşte ca prefi cuvâtul ORTO astfel îcât, combiat cu alte cuvite, fie de origie greacă, fie de origie romaă, a ăscut oţiui oi (bogate î coţiut şi î semificaţie) sau, u de puţie ori, a dat aştere chiar la ştiiţe oi. Î cele ce urmează vom prezeta cititorului mai îtâi elemete di lumea matematică a ortosului. O primă clasă o formează combiarea ditre ORTO şi GONIA = ughi, dâd aştere la ORTOGONAL, astfel că avem: a) drepte ortogoale (drepte perpediculare) b) direcţii ortogoale c) curbe ortogoale [ două curbe (C) şi (C') sut ortogoale î M=(C) (C') dacă tagetele lor î M sut perpediculare ] d) doi vectori, y V spaţiu vectorial (dotat cu produs scalar) dacă produsul lor scalar, y. Două subspaţii vectoriale A şi B ale aceluiaşi spaţiu vectorial V (dotat cu produs scalar) se zic subspaţii ortogoale dacă toţi vectorii di A sut ortogoali pe vectorii di B. Cel mai mare subspaţiu ortogoal pe u subspaţiu dat se umeşte complemet ortogoal al respectivului subspaţiu. Trasformarea liiară T : V V se zice ortogoală dacă păstrează produsul scalar a T, T y, y ; î acest caz, avem îtotdeaua doi vectori, adică, y T ( ), T ( y ) şi T ( ), ude pri se îţelege orma = lugimea vectorului. Dacă vectorii uei baze a spaţiului vectorial V sut ortogoali, baza se zice ortogoală. Se ştie că u reper îtr-u spaţiu vectorial este costituit ditr-u puct O umit origie şi ditr-o bază v, v..., v, atuci O; v, v,... v reper î V; î caz că vi v oricare j ar fi i, j,, reperul se zice ortogoal. Î aceiaşi familie a ortogoalităţii, avem matricele ortogoale (matricele pătrate î care AA I ), apoi î geometrie avem proiecţia ortogoală, simetria ortogoală. Cele de mai sus arată geeralitatea ortogoalităţii faţă de perpedicularitate. Ea se etide şi la fucţii. Petru două fucţii f şi g cotiue pe a, b se poate itroduce produsul lor scalar (ca fiid b f, g f g d sau mai geeral, dacă cosiderăm şi o fucţie a atuci se defieşte produsul f, g f g d. b a eegativă,

2 Aioma suplimet matematic-r.3 Î caz că f, g atuci fucţiile f şi g se zic ortogoale. De eemplu, fucţiile f 3şi g 5 sut ortogoale pe,, deoarece f 7 9 g d ; aalog fucţiile f si şi g cos m sut ortogoale pe,. Studiul fucţiilor ortogoale are puterice implicaţii î teoria seriilor Fourier. Polioamele Hermite, Legedre, Laguerre, Cebâşev sut ortogoale. Î 9, celebrul matematicia poloez Stephe Baach itroduce oţiuea de ormă î spaţiile vectoriale, îţelegâd pri vector ormat vectorul = vector uitar. Î acest mod, termeul greco-lati orthoormat eprimă deodată caracterul de ughi drept şi de vectori uitari. Dacă ei şi ei, ej petru i, j,, atuci, e, e,..., e u reper ortoormat -dimesioal. O altă familie de obiecte matematice care fac parte tot di lumea ORTHOSULUI sut cele di geometria tetraedrului. Astfel, avem triughiul ortic (ale cărui vârfuri sut picioarele îălţimilor uui triughi dat), iar puctul de cocureţă al îălţimilor uui triughi dat se umeşte ortocetrul triughiului. Î mod aalog, î 87, geometrul elveţia Iacob Steier a itrodus oţiuea de tetraedru ortocetric (acel tetraedru î care cele 4 îălţimi ale sale sut cocurete). Î prima jumătate a sec. al XIX-lea, o serie de străluciţi geometri ca: Feuerbach, Vecte, Jacobi, l Huilier etc. au stabilit multiple proprietăţi ale tetraedrelor ortocetrice. De la triughi, orthosul s-a etis şi la patrulater dâd aştere la patrulatere ortodiagoale (care au diagoalele perpediculare). Tot di lumea ORTHOSULUI, fac parte o serie de cuvite cu profude semificaţii î cultură şi civilizaţia omeirii: ortodo (orto+doa = gâdire dreaptă) şi ortodoie; ortodramă (orto+dromos=drum drept)=drumul cel mai scurt ître două pucte de pe pămât; ortoedric, u poliedru cu feţe care se itersectează î ughiuri drepte. De asemeea, tot descedeţi di orthos sut ortografia (scrierea corectă îtr-o limbă); ortopedia, ortoepia (studiul prouţării corecte îtr-o limbă); ortocromatic; or toptere (u ordi de isecte) etc. Di cele de mai sus rezultă putericele ecouri pe care le-a avut orthosul î procesele de cuoaştere al omului de-a lugul veacurilor.

3 Aioma suplimet matematic-r.3 APLICAŢII ALE FUNCŢIEI si Prof. Sereela Gabriela Radu,Piteşti Î maualele de Aaliză matematică se tratează si lim care e utilizată la stabilirea a derivatelor fucţiilor si şi cos, fără a se face u studiu temeiic al fucţiei si f care are multiple şi iteresate aplicaţii î matematică şi î alte domeii. Î cele ce urmează, vom face u studiu al variaţiei (şi graficului) fucţiei si f : (ude f ) şi câteva aplicaţii ale acestei fucţii. si I. Observăm că : se prelugeşte pri cotiuitate la fucţia f si :, dacă s i f l i m. Apoi se costată imediat că f f, ceea ce îseamă că fucţia este pară (are graficul simetric faţă de Oy) şi ecuaţia f '( ) tg (fucţia are o ifiitate de pucte de etrem aproimate pri 4, 49; 4, 73;, 9; 4, 7... ) deci tabelul de variaţie este 3 4 şi graficul este reprezetat î Fig.. grafic este î Fig.: Astfel avem u prim eemplu de reprezetare pritr-o itegrală (î cazul ostru argumetul fucţiei este limita superioară a itegralei) a uei fucţii.celebrul matematicia germa Peter Gustav Lejeue Dirichlet (85-859) a arătat că sit Si dt şi de aceea t se umeşte azi itegrala Dirichlet [vezi []]. II. O primă aplicaţie a fucţiei si f este faptul că si d u poate fi eprimată pritr-u umăr fiit de fucţii elemetare şi permite deci defiirea fucţiei sius itegral. sit Si dt :, al cărei t 3

4 Aioma suplimet matematic-r.3 Vom calcula itegrala si d, folosid trasformata Laplace. Se ştie di tabelul trasformatelor Laplace, că dacă origialul este f t, atuci imagiea sa este F s, adică avem t s si ds L d lim arctgs. Dacă se îlocuieşte s L si cu si k î itegrala Dirichlet, se obţie o altă epresie petru fucţia sig: petru k si k d petru k al cărei petru k grafic este reprezetat î Fig.3. O aplicaţie fasciată a fucţiei si f se datoreşte faptului că pri itermediul ei se demostrează matematic că pămâtul este rotud (aproimativ sferic), ceea ce echivalează cu faptul că lumea oastră este o lume rotudă, u plată. Fie u cerc (γ) costruit pe suprafaţa pămâtului, cu cetrul î Q şi cu raza r sau cu cetrul î N şi cu raza lug. NM (măsurată pe suprafaţa pămâtului) ude SON este aa polilor aşa cum se vede î Fig.4. Dacă observatorul se află î M pe suprafaţa pămâtului avâd colatitudiea θ MON (măsurată î radiai) iar pămâtul cosiderat sferic are raza R, atuci vom avea petru lugimea cercului (γ) două valori disticte după atitudiea observatorului M:. M cosideră pămâtul plat M p l. M cosideră pămâtul sferic ( M ) s si l r Rsi (deoarece R ). Petru se îtocmeşte următorul tabel: l( ) / 6,83 6,83 6,8 6,8 6,78 6,75 6,5 6,56 6 5,785 5,56 5,96 4,833 4,43 4 Di tabel rezultă o descreştere î raport cu, a valorii raportului l / petru observatorul M, adică si p l /. Se observă că fucţia s i este cea care justifică atitudiea lui M s petru valori mici ale lui raportul l / şi de aici rezultă că pămâtul este rotud (sferic). Bibliografie: [] Eli Maor: Spledorile trigoometriei (Ed. Theta, Bucureşti 7) [] Radu Bădescu şi Costati Maica: Itegrale utilizate î mecaică, fizică şi tehică (Ed. Tehică, Bucureşti 968). 4

5 Aioma suplimet matematic-r.3 O GENERALIZARE A TEOREMEI LUI PYTHAGORA Miro Oprea Motto: Secţiuea de aur şi teorema lui Pythagora formează împreuă două tezaure ale geometriei J. Kepler (57-63) Se ştie că geeralizarea este ua di operaţiile fudametale ale gâdirii şi că multe teoreme (chiar cele de mai mică importaţă) di matematică au fost supuse procesului de geeralizare. Geeralizarea a fost şi rămâe î cotiuare uul di motoarele (cu mulţi cai putere ) pricipale ale dezvoltării matematicii. Celebra teoremă a lui Pythagora (cu multiplele sale iterpretări) a fost supusă operaţiei de geeralizare mai mult ca oricare altă teoremă di matematică. Astfel, prima geeralizare a teoremei lui Pythagora a fost dată de matematiciaul arab Tâbit (86-9) şi se referă la etiderea teoremei la u triughi oarecare. Î secolele XVIII-XX s-au dat alte geeralizări î spaţii multidimesioale care au permis apariţia uor oţiui matematice profude, ce au dus la crearea uor oi domeii î matematică. De eemplu, diagoala d a uui paralelipiped dreptughidc are lugimea 3 d î fucţie de cele 3 dimesiui 3,, ale muchiilor sale. Mai geeral, u paralelipiped dreptughic -dimesioal are diagoala d ude,,..., sut lugimea muchiilor sale. i i Este bie de precizat petru cititorul ostru, că teorema lui Pythagora îmbracă forme diferite î cele trei geometrii fudametale, după cum urmează. Geometria lui Euclid: a b c a a b b c c Geometria lui Lobacevski: k k k k k k e e e e e e ude k este o costată oarecare, iar e,78... Geometria lui Riema: Forma difereţială ds d ddy dy ude forma pătratică y y este pozitiv-defiită. Î cele ce urmează vom iterpreta teorema sub forma: aria pătratului costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor pătratelor costruite pe catete. Geeralizarea pe care o precoizăm acum se referă la costruirea (î eteriorul triughiului dreptughic) pe laturile sale a uor figuri plae asemeea. Vom îţelege pri figuri plae asemeea, două figuri î care ua este o creştere (dilatare) a celeilalte. Astfel, două triughiuri echilaterale sut îtotdeaua asemeea, două cercuri sut asemeea, două pătrate, două poligoae regulate de acelaşi ume sut asemeea. Două dreptughiuri care au acelaşi raport ître cele două dimesiui, sut asemea şi eemplele pot cotiua. ABC Â 9, astfel Fie triughiul dreptughic că BC a (uităţi); CA=b; AB=C, î care avem b c a. Pri îmulţire cu k a relaţiei 5

6 , obţiem Aioma suplimet matematic-r.3 kb kc ka, ceea ce se traduce pri costruirea pe laturile triughiului a uor dreptughiuri aemeea, astfel că: aria dreptughiului costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor dreptughiurilor costruite pe catete. Dacă k, atuci b c a, ceea ce 4 îseamă că aria semidiscului costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor semidiscurilor costruite pe catetă (Fig.). Dacă 3 k, atuci avem că aria triughiului echilateral 4 costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor triughiurilor echilaterale costruită pe catete. (Fig.3). Î cazul uui poligo regulat cu laturi se ia k ctg (de ude?) şi avem că aria poligoului regulat cu 4 laturi costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor poligoaelor regulat de acelaşi ume costruite pe catete (Fig.4). Deci, î geeral, dacă pe laturile uui triughi dreptughic se costruiesc figuri asemeea cu raportul de asemăare k, atuci aria figurii costruite pe ipoteuză este egală cu suma ariilor figurilor costruite pe catete. Este bie ştiut că teorema lui Pythagora este cea mai importată şi cea mai populară teoremă di îtreaga matematică, fiid pusă îcă de la îceputul matematicii la temelia şi la dezvoltarea sa. Simplitatea şi frumuseţea sa au trezit iteresul multor iubitori ai matematicii, î a-i da demostraţie, astfel că astăzi se cuosc î jur de 4 demostraţii. Î 94, matematiciaul america Elisha Scott Loomis a scris lucrarea The pythagorea propositio care au cupris 37 demostraţii ale celebrei teoreme. Î 968 lucrarea a fost reeditată şi îmbogăţită cu oi demostraţii. Ceea ce este foarte iteresat şi atrage ateţia, este faptul că icio demostraţie u este trigoometrică. Ivităm cititorul să eplice: DE CE NU EXISTĂ NICIO DEMONSTRAŢIE TRIGONOMETRICĂ A TEOREMEI LUI PYTHAGORA? Î ecepţioala lucrare Matematica distractivă (Ed.SIGMA di 4) a lui I.Dăcilă îi este cosacrat îtreg cap.3 sub titlul O comoară a geometriei: teorema lui Pitagora. Autorul precizează că de-a lugul istoriei a fost umită î cele mai diverse feluri: teorema căsătoriei (eliii), scauul soţilor (hiduşii), figura evestii (persaii), putea măgarului (poreclă dată de liceei), stăpâa matematicii (matematicieii Evului Mediu). 6

7 Aioma suplimet matematic-r.3 O APLICAŢIE GEOMETRICĂ A POLINOAMELOR CEBÎŞEV Miro Oprea I. Itroducere După cum se ştie, polioamele Cebîşev apar î multe ramuri ale matematicii ca: teoria iterpolării, polioamele ortogoale, teoria aproimaţiei, aaliză umerică, teoria ergodică etc., ceea ce face di ele o veritabilă bijuterie matematică. Î lucrările sale, taletatul matematicia rus P.L. Cebîşev (8-894), pe baza dezvoltării î sume de si şi cos ale lui cos şi si stabilite de A. Moivre ( ), costruieşte două tipuri de polioame şi aume t cos cu cos (cuoscut azi ca poliom Cebîşev de speţa îtâi) şi si u cu si cos (cuoscut azi ca poliom Cebîşev de speţa a doua). Î cele ce urmează vom pue î evideţă legătura ce eistă ître polioamele Cebîşev de speţa a doua şi poligoaele regulate (covee şi cocave). Clericul eglez Bradwardie (9-349) cu preocupări matematice, a dezvoltat î lucrările sale proprietăţile poligoaelor-stea regulate, ceea ce a stârit u iteres deosebit astroomului-geometru, J. Kepler (57-63) î a stabili ecuaţia 3 z 7z 4z 7 ale cărei rădăcii sut pătratele laturilor celor trei heptagoae regulate îscrise îtr-u cerc cu raza uu. II. Polioamele Cebîşev de speţa a doua Def.: Se umeşte poliom Cebîşev de speţa a doua, poliomul de gradul, dat de epresia si u ude cos şi,. si Di defiiţie se deduce imediat relaţia de recureţă ître trei polioame de grade cosecutive: u u u care permite rapid costruirea şirului de polioame Cebîşev de speţa a doua: 3 4 u ; u ; u 4 ; u 8 4 ; u 6 ; ; ; u5 u6 Tot direct, pe baza defiiţiei, rezultă proprietăţile: u u u u ) ) ; 3) rădăciile polioamelor u ; k cos cu, k Fie matricea simetrică tridiagoală de ordiul : U Observăm că: şi sut cuprise î itervalul,. sut reale 7

8 det det ceea ce îseamă că Aioma suplimet matematic-r detu U U detu doua, adică u detu cu u şi verifică relaţia de recureţă a polioamelor Cebîşev de speţa a u. Calculâd primele două derivate î raport cu, ale poliomului Cebîşev de speţa a doua, avem: si u si ` cos si cos u 3 3cos si si u 3si cos si 3 si cos si si u si 6 si " ` u u u 3 care reprezită ecuaţia difereţială a polioamelor Cebîşev de speţa a doua. f Ştim că seria geometrică z z cu z. Dacă z cos i si cu z este covergetă, avâd ca limită fucţia r şi,, atuci putem scrie z r cos i si r cos i si r cos i r si, iar r cos ir si r cos r si f r cos i si i. r cos ir si r cos r si r cos r r cos r Deci: r cos cos r şi r cos r r si si si si r r r r cos r si r cos r şi si r cos r cum cos, avem că u r, ceea ce îseamă că f r r r r r este fucţia geeratoare a polioamelor u, iar r r r r este fucţia geeratoare a polioamelor t. 8

9 Aioma suplimet matematic-r.3 Teorema : Valorile proprii ale matricii U sut k 4si cu k,. Dem.: Valorile proprii ale lui U sut zerourile lui u, adică k cos. Deci k k k cos cos 4si. (q.e.d.) Fie poliomul v u u. Teorema : Zerourile poliomului v sut cos k. Dem: si si si ; deci v si k k, si si adică k cos cu k,. Se observă uşor că polioamele v verifică relaţia de recureţă v v v, deci sut tot polioame Cebîşev de speţa a doua cu v ; v. Acestor polioame le ataşăm matricea tridiagoală simetrică de ordiul astfel că detv v petru şi V v ; v. Teorema 3: Valorile proprii ale matricii V sut k 4si cu k,. Dem: Valorile proprii ale lui V sut rădăciile ecuaţiei algebrice î, det V, adică sut zerourile poliomului v. Deci avem cos k cos k 4si k cu k, (q.e.d.). 9

10 III. Aplicaţii la poligoae regulate şi figuri stea-regulate Aioma suplimet matematic-r.3 Fie u cerc de rază R, pe care îl divizăm î arce egale pri pucte de diviziue pe care le otăm,, 3,...,. Dacă uim puctele î mod succesiv se obţie poligoul regulat cove cu laturi, iar dacă le uim di q î q, ude q, se obţie o figură stea-regulată pe care o otăm. Î q caz că q, atuci poliomul regulat cove, iar dacă, q atuci se obţie poligoul regulat stelat. Eistă -goae regulate, ude fucţia lui Euler. Eemple: 5 5 petagoul regulat cove şi 5 petagoul stelat (petagrama) 6 6 heagoul regulat cove şi 6 două triughiuri echilaterale cu acelaşi cetru rotit uul faţa de celălalt cu 6 = steaua lui David. 7 7 heptagoul regulat cove şi 7 7 ;. 3 două heptagoae stelate 8 8 optogoul regulat cove şi 8 o figură stea (două pătrate egale cu acelaşi cetru rotit uul faţă de celălalt cu 45); 8 octogoul stelat. 3 Se vede imediat că l Rsi şi q l Rsi. Di teoremele şi 3 rezultă: Teorema 4: Valorile proprii ale matricilor q V şi U sut l şi k şi respectiv k cu q, k şi respectiv q, k. l q ale figurilor stea-regulate petru q Bibliografie: [.] V. Ruder şi C. Nicolescu: Probleme de matematici speciale (Ed. didactică, Bucureşti 98) [.] V. Brâzăescu şi O. Stăăşilă: Matematici speciale (Ed. All, ) [3.] M.Ţea: Rădăciile uităţii (S.Ş. M. 5, Bucureşti).

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu)

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu) ERUL Prof. V orcalciuc Scoala r. 46 I.G. Duca ucuresti ( Lectie facuta dupa maualul de clasa a 7-a Prof.Radu) Defiitie:ercul cu cetrul i si de raza r este multimea tuturor puctelor di pla situate la distata

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME

CULEGERE DE PROBLEME Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

Analiza bivariata a datelor

Analiza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Varianta 1 - rezolvari mate MT1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri

Διαβάστε περισσότερα

CALCULUL BARELOR CURBE PLANE

CALCULUL BARELOR CURBE PLANE CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României GRAŢIIELA GHIIC JJANIINA MIIHAELA MIIHĂIILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ CU APLICAŢII ÎN ECONOMIE Bucureşti, 008 Editura Ars Academica Str. Hiramului r., sector 3, Bucureşti Telefo: 034 5 945, fa: 034 5 65 e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective: TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei

Διαβάστε περισσότερα

An şcolar 2007 / Clasa a V a - Etapa locală

An şcolar 2007 / Clasa a V a - Etapa locală MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI Programa olimpiadei de matematică clasele V VIII A şcolar 007 / 008 Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse coţiuturile programelor de olimpiadă

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

EXAMENE ŞI CONCURSURI

EXAMENE ŞI CONCURSURI 8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două

Διαβάστε περισσότερα