E L E K T R I Č N I K R U G O V I 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "E L E K T R I Č N I K R U G O V I 1"

Transcript

1 E L E K T R I Č N I K R U G O V I 1 1. Elementarni dinamički električni krugovi Pojam električnog kruga nije moguće uniformno definisati. Stoga se u tehničkoj literaturi, i susreće više različito uobličenih definicija električnog kruga, koje suštinski gledano, ipak na analogan način, objedinjavaju dominantne karakteristike razmatranih električnih sistema ( korisno je naglasiti da terminu električni krug, u alternativnoj jezičkoj formi, korespondira termin električno kolo). U kontekstu prethodno rečenog, pod pojmom električni krug, može se podrazumjevati i svaka na pogodan način ostvarena veza elemenata, koja omogućava prenošenje električne energije od izvora električne energije, pa do potrošača električne energije, pri čemu se neizostavno prisutni elektromagnetni procesi, opisuju uz pomoć pojmova «napon» i «struja». Element električnog kruga je obično idealizirani model, koji treba da zamjeni realan dio električnog kruga i to tako, da se prevashodno uvaže samo njegove glavne osobine. Pri makroskopskom gledanju predmetnih problema, analizirani procesi se i u idealizovanom modelu i u odgovarajućem realnom dijelu električnog kruga, odvijaju na dovoljno sličan način. Razvrstavanje elemenata, koji su prisutni u električnim krugovima, može se provoditi po više kriterijuma, zbog čega i postoje podjele na: * izvore električne energije i potrošače električne energije, *aktivne elemente i pasivne elemente, *dvopolne elemente i višepolne elemente, *skoncentrisane elemente i raspodjeljene elemente, *linearne elemente i nelinearne elemente, Ф 1 *stacionarne elemente i nestacionarne elemente, *statičke elemente i dinamičke elemente. U kontekstu posljednje navedene podjele, kod statičkih električnih elemenata, odnosi između električnog napona i električne struje, analitički su opisani algebarskim jednačinama, dok su kod dinamičkih električnih elemenata ti isti odnosi opisani diferencijalnim jednačinama. 1.1 Idealizirana električna zavojnica induktivnosti L: energija i početno stanje Tokom proučavanja odnosa između magnetnog fluksa i stalne jednosmjerne električne struje, koja je stvorila taj magnetni fluks, kao koeficijent proporcionalnosti između prethodno pomenutih veličina, uveden je pojam električne induktivnosti i to u formi električne samoinduktivnosti L (odnos magnetnog fluksa i struje koja je stvorila taj magnetni fluks) i električne međuinduktivnosti M 12 ( odnos dijela fluksa Ф 1, dakle fluksa Ф 12 (Ф 12 < Ф 1 ) koji dopire do neke konture C 2, i struje I 1 koja je prolazeći kroz konturu C 1 stvorila upravo magnetni fluks Ф 1 ). 1

2 Pri tome je korišten najjednostavniji slučaj spomenute u veze, u kojem se induktivnost tretira kao konstantna veličina, određena samo vlastitim geometrijskim karakteristikama i karakteristikama sredine, kojoj se pripisuje. Saglasno takvom pristupu samoinduktivnost solenoida L S, formiranog od N ravnomjerno i gusto raspoređenih zavojaka, postavljenih na paramagnetno torusno jezgro pravougaonog poprečnog presjeka, stranica a i b, te unutrašnjeg poluprečnika R ( jezgro je grafički prikazano na slici 1.1), iznosi: µ o N 2 a ln ( ( R +a ) / R ) L S = ( 1.1) 2 π Ukoliko električna struja nije funkcija vremena, što uz pretpostavku da je induktivnost L S konstantna, omogućava da se odredi elektromotorna sila samoindukcije E S ( koja se pojavljuje između krajeva solenoida), posredstvom izraza: d Ф d i E S = = L S ( 1.2) d t d t Slika 1.1 Geometrijske karakteristike torusnog jezgra pravougaonog poprečnog presjeka Pri opštijem tretiranju odnosa između električne struje i ( t ) i magnetnog fluksa Φ ( t ), stvorenog tom istom strujom, induktivnost L se predočava pomoću idealizirane zavojnice. Idealizirana zavojnica je element električnog kruga sa dva kraja, kod kojeg je odnos između magnetnog fluksa Φ ( t ) i električne struje i ( t ), u svakom trenutku vremena jednoznačno definisan relacijom oblika Φ ( t ) = f ( i (t), t), koju u literaturi često nazivaju ( Φ, i ) karakteristikom. Termin idealna zavojnica, jasno naglašava da se u odabranom pristupu, u obzir uzima samo induktivni karakter zavojnice, kao njen dominirajući parametar, iako sve realne zavojnice, pored tog parametra, imaju i vlastiti električni kapacitet C L i vlastiti aktivni električni otpor R L. Na slici 1.2 prikazani su: ( a) grafički simbol i ( b ) ( Φ, i ) karakteristika nelinearne idealizirane zavojnice. Zavisno o vlastitom obliku ( Φ, i ) karakteristike, idealizirana zavojnica može biti i preciznije određena klasifikacijom kao: linearna (LL), nelinearna (NL), vremenski nepromjenljiva (VNL), ili pak vremenski promjenljiva (VPL) zavojnica. 2

3 U ovakvim - poopštenim uslovima, induktivnost L se često definiše kao kvantitativna mjera induktiviteta, u trenutku t, pri poznatoj struji i ( t ) i poznatom fluksu Φ ( t ), odnosno izračunava iz relacije (1.3) δ Φ L ( i, Φ, t ) = (1.3) δ i Slika 1.2 a)grafički simbol, b) (Ф, i ) karakteristika nelinearne zavojnice Napon v ( t ), koji je usaglašen sa smjerom struje i ( t ), može se dovesti u vezu sa ukupnim magnetnim fluksom Φ( t ) ( pod pojmom ukupni magnetni fluks, podrazumjeva se ulančeni magnetni fluks, odnosno magnetni fluks koji se obuhvata sa svim zavojcima razmatranog svitka ) na osnovu relacije (1.4), koja je direktna posljedica Faradayovog zakona elektromagnetne indukcije: d Ф v ( t ) = (1.4) d t U teoriji električnih krugova, najčešće se susreću idealizirane zavojnice, kojima je pridružen linearni, stacionarni induktivitet, određen relacijom ( 1.5 ) pri čemu je L = konst. Φ ( t ) = L i(t), (1.5) Na slici 1.3 prikazana je ( Φ, i ) karakteristike, idealizirane linearne zavojnica 3

4 Slika 1.3 a)( Ф, i ) karakteristika idealizirane linearne zavojnice Za linearnu vremenski nepromjenljivu idealiziranu zavojnicu (LVNL), odnos između magnetnog fluksa i struje, koja je stvorila taj fluks, iskazan je relacijom (1.5). Odnos između električnog naponaa v ( t ), koji se pojavljuje između krajeva takve zavojnice i električne struje koja prolazi kroz istu tu zavojnicu definisan je relacijom (1.6): d Ф d i v( t ) = = L (1.6) d t d t Integracijom jednačine ( 1.6 ), moguće je doći do izraza koja definiše električnu struju i ( t ), Prema posljednjoj relaciji, energetsko stanje razmatrane zavojnice, za vremenski interval definisan relacijom: t t o, jednoznačno je određen početnom vrijednošću struje i ( t o ), što potvrđuje da zavojnice ( kao i električni kondenzatori) imaju sposobnost «memorisanja», odnosno akumulacije električne energije, zbog čega se i električni kondenzatori i električne zavojnice svrstavaju u dinamičke električne elemente. Za dinamičke električne elemente, karakteristično je da se odnosi između električne struje i električnog napona opisuju diferencijalnim jednačinama prvog reda. U opisanim uslovima, početna vrijednost magnetnog fluksa u trenutku t = t o, iskazana je relacijom 4

5 može se koristiti za definisanje početnog energetskog stanja zavojnice induktivnosti L. Saglasno tome energija koja je akumulirana u idealiziranoj linearnoj vremenski nepromjenljivoj zavojnici vlastite induktivnosti L do trenutka t = t o iznosi: S druge strane može se pokazati da električnu energiju, koja se predaje razmatranoj zavojnici do trenutka t o iz vanjskih energetskih izvora, određuje izraz: što omogućava izvođenje važnog zaključka da je idealizirana linearna vremenski nepromjenljiva zavojnica element električnog kruga kod kojeg se sva električna energija preuzeta iz vanjskih energetskih izvora do trenutka t o, dakle energija w ( t o ), pretvara u akumuliranu energiju unutar elementa w m ( t o ). Fizikalna priroda električnog napona v ( t ) određuje ovu veličinu kao ograničenu veličinu, što nadalje znači da i struja koja se usmjerava kroz analiziranu zavojnicu, mora biti neprekidna funkcija vremena, te se početno stanje električne struje u trenutku t o definiše vrijednošću i ( t o ) = I o. Uočena neprekidnost električne struje kroz idealiziranu linearnu vremenski nepromjenljivu zavojnica i uspostavljena veza između te struje i akumulirane električne energije u magnetnom polju iste zavojnice, omogućava da se konstatuje kako se ta energija ne može skokovito mjenjati, što je jedna od osnovnih karakteristika dinamičkih elemenata električnih krugova. Kod linearnih, vremenski zavisnih, idealiziranih zavojnica ( Φ, i ) karakteristika, je ponovo pravac ( kao i na slici 1.3) koji prolazi kroz koordinatni početak, pri čemu nagib tog pravca sada zavisi od fiksiranog trenutka t. Drugim riječima pripadajuća vlastita induktivnost L je funkcija vremena, dakle važi L = L ( t ). U tom kontekstu jednačine stanja takve zavojnice transformišu se u oblik: 5

6 dok energiju, akumuliranu u trenutku t, unutar takve zavojnice, određuje relacija: Nije teško pokazati da brzina promjene akumulirane energije u ovakvoj zavojnici iznosi: S druge strane trenutna električna snaga p( t ), koja se u svakom trenutku t, na račun vanjskih energetskih resursa, predaje analiziranoj zavojnici, iznosi: Razlika između brzine angažovanja električne energije iz vanjskih resursa i brzine akumuliranja električne energije unutar vlastite materijalne strukture, u slučaju linearnih, vremenski zavisnih, idealiziranih zavojnica očigledno je različita od nule, jer je Električna snaga p m ( t ) izražava rad mehaničkih sila koje uzrokuju promjenu vlastite induktivnosti L ( t ). 1.2 Vezivanje idealiziranih električnih zavojnica U ovom odjeljku će se opisati osnovne karakteristike serijske ( ili redne ) i paralelne ( ili otočne ) veze idealiziranih zavojnica. U tom smislu se, za rednu vezu n idealiziranih linearnih vremenski nepromjenljivih zavojnica (LVNL), osnovne osobine ovakvog načina njihovog povezivanja iskazuju slijedećim relacijama: 6

7 koje su grafički ilustrovane na slici 1.4. Slika 1.4 Redna veza n LVNL zavojnica Ovakva veza, može se definisati samo u slučajevima kada su početne vrijednosti električnih struja i k ( 0 ), (k = 1, 2,...n ), koje se usmjeravaju kroz analizirane zavojnice sa slike 1.4 u svim tim zavojnicama jednake Tada se prema Kirchhoffovim zakonima za spoj kao na slici 1.4 može pisati da je: Objedinjavanjem prethodnih relacija dolazi se do slijedeće jednačine 7

8 uz koju je uvijek korisno naglasiti i da je i ( 0 ) = i k ( 0 ) za k = 1, 2,...n. Na sličan način se može razmatrati i paralelna veza n idealiziranih linearnih vremenski nepromjenljivih zavojnica (LVNL). Električna šema za ovakvu vrstu veze, prikazana je na slici 1.5. Slika 1.5 Paralelna veza n LVNL zavojnica Osnovne osobine ovakvog načina njihovog povezivanja opisane su slijedećim relacijama: koje su formirane uz uvažavanje Kirchhoffovih zakona i navedenih početnih uslova. 8

9 Nije teško uočiti da je odnos između, s jedne strane n paralelno spojenih idealiziranih linearnih vremenski nepromjenljivih zavojnica (LVNL) i s druge strane njima ekvivalentne idealizirane linearne vremenski nepromjenljive zavojnice vlastite induktivnosti L, određen slijedećom relacijom: U svim induktivnim električnim krugovima, dakle bez obzira na prirodu spoja pojedinih induktivnih elemenata, važi zakon o očuvanju ukupnog magnetnog fluksa Ф, zbog čega je recimo u slučaju n paralelno spojenih idealiziranih linearnih vremenski nepromjenljivih zavojnica (LVNL) u važnosti relacija: 1.3 Priključenje i isključenje idealizirane linearne vremenski nepromjenljive zavojnice na naponski izvor stalnog jednosmjernog napona U okviru Osnova elektrotehnike, pokazano je da idealizirana zavojnica vlastite induktivnosti L, u stacionarnim uslovima rada, predstavlja kratak spoj za stalnu jednosmjernu struju. Isto tako su i ogledi Oersteda i Faradaya pokazali da u uslovima uspostavljanja stalne električne struje, kao i u uslovima njenog iščezavanja, nastaje promjenljivi magnetni fluks, što odmah implicira zaključak da je u tim kratkotrajnim trenutcima i električna struja, koja stvara taj magnetni fluks, promjenljiva. Da bi se preciznije istražile zakonomjernosti navedenih promjena električne struje, korisno je analizirati jednostavni električni krug sa saslike 1.6 Slika 1.6 Uključenje zavojnice induktivnosti L na jednosmjerni naponski izvor 9

10 Pod pretpostavkom da je jednosmjerni naponski izvor, upotrebljen u električnoj šemi sa slike 1.6, idealni naponski izvor stalnog jednosmjernog napona, tada njegov unutrašnji aktivni otpor R E mora biti jednak nuli. Slično tome, ukoliko pretpostavimo da je i upotrebljena zavojnica takva da ima karakteristike idealne linearne vremenski nepromjenljive zavojnice ( LVNL ), tada je i ona kao element razmatranog električnog kruga potpuno opisana samo induktivnošću L ( za realnu, linearnu vremenski nepromjenljivu zavojnicu, pri njenom ekvivalentnom električnom predstavljanju, neophodno je pored induktivnosti L toj induktivnosti pridružiti i aktivni otpor R L, serijski vezan sa tom induktivnošću ). Pri ovakvim ograničenjima, aktivni otpor R u električnoj šemi sa slike 1.6, mora biti jednak nuli, jer je on određen sa relacijom R = R L + R E. Ukoliko, pri otvorenom prekidaču T, u zavojnici vlastite induktivnosti L nije bilo akumulirane magnetne energije, tada će se promjena struje od trenutka t o, kada se zatvori prekidač T, mjenjati u skladu sa dinamikom opisanom slijedećom jednačinom: d i E = L (1.7) d t U relaciji (1.7), pored elektromotorne sile svojstvene idealnom naponskom izvoru, prisutna je samo još elektromotorna sila samoindukcije koja u ovom slučaju nastoji spriječiti uspostavljanje struje i (t) u analiziranom kolu. Lako se pokazuje da struja definisana relacijom ( 1.7 ), ima tok promjene opisan relacijom: E i ( t ) = t + C (1.8) L Integraciona konstanta C, pri početnim uslovima i (0) = 0, ima vrijednost nula, tako da važi C = 0. Na osnovu relacije (1.8) proizilazi da bi idealni naponski izvor stalnog jednosmjernog napona, u dovoljno dugom intervalu vremena, mogao uspostaviti izuzetno veliku vrijednost struje, koja bi uz to i nakon toga imala tendenciju rasta, jer je opisana monotono rastućom funkcijom. Međutim u realnim fizičkim sistemima nije moguće realizovati takvo stanje, zbog čega je onda neophodno modificirati odnose iskazane jednačinom (1.7). Za prvi korak u pravcu neophodne modifikacije, pokazuje se sasvim dovoljnim da se uzme u obzir samo realnost konfiguracije naponskog izvora stalnog jednosmjernog napona, dakle da je R E > 0. Nije teško uočiti da je tada i R = R L + R E > 0, pa su u novouspostavljenim uslovima, odnosi unutar električne šeme sa slike 1.6 opisani slijedećom jednačinom dinamičke ravnoteže: d i E = L + R E i (1.9) d t Jednačina (1.9) se u matematičkoj teoriji klasificira kao linearna diferencijalna jednačina I reda i ima rješenje u obliku: 10

11 E i (t) = ( 1 e - t / τ ) (1.10) R E Simbol τ = L / R, označava vremensku konstantu analiziranog kola ( U teoriji automatskog upravljanja relacija oblika (1.10), naziva se aperiodskim blokom I reda. Vremenska konstanta aperiodskog bloka prvog reda τ, određuje se kao vrijeme koje je potrebno da odskočni odziv analizirane koordinate dakle u ovom slučaju struja, dostigne 63% vrijednosti novog stacionarnog stanja za predmetnu električnu šemu to je 63 % vrijednosti struje ( E / R E )). Na slici 1.7 dat je grafički prikaz toka uspstavljanja električne struje u električnoj šemi sa slike 1.6. Uz pomoć slike 1.7 i relacije (1.10) može se zaključiti da pri konstantnoj vrijednosti induktivnosti L, povećanjem aktivnog otpora R, dolazi do smanjenja vremenske konstante, odnosno prelazni režim uspostavljanja električne struje i ( t ), do svoje stacinarne vrijednosti I = ( E / R ) traje kraće. Nasuprot tome, smanjenjem vrijednosti aktivnog otpora R ( približavanje karakteristika realnog naponskog izvora karakteristikama idealnog naponskog izvora i približavanje karakteristika realne linearne vremenski nepromjenljive zavojnice karakteristikama idealne linearne vremenski nepromjenljive zavojnice ), vrijeme potrebno da se dostigne stacionarna vrijednost električne struje I se produžava, a električna struja i(t) svoje promjene, tokom vlastitog uspostavljanja, ostvaruje na način koji je vrlo sličan zakonitosti iskazanoj sa relacijom (1.8 ). Slika 1.7 Grafički prikaz toka uspostavljanja električne struje u serijskom R-L kolu kada se ono priključuje na izvor stalnog jednosmjernog napona puna linija i toka iščezavanja električne struje u serijskom R-L kolu kada se ono isključuje sa izvora stalnog jednosmjernog napona crtkana linija. Sa energetskog stanovišta važno je naglasiti da u fazi uspostavljanja stalne jednosmjerne struje, upotrebljeni naponski izvor odaje električnu energiju koja se troši ne samo na savladavanje Jouleovih gubitaka na otporu R, već i na savladavanje elektromotorne sile samoindukcije. Mođe se dokazati da je električni rad generatora utrošen na savladavanje elektromotorne sile samoindukcije brojno jednak prirastu magnetne energije u analiziranoj zavojnici. 11

12 Ako se u uslovima uspostavljene stacionarne vrijednosti električne struje I = ( E / R ), naglo otvori prekidač T, struja neće moći trenutno pasti na vrijednost nula, nego će se toj vrijednosti približavati kroz dinamički proces opisan jednačinom: d i 0 = L + R * i (1.11) d t Treba naglasiti da je u posljednjoj jednačini aktivni električni otpor R * >> R ( pri otvaranju prekidača formira se električni luk, pa se energija nagomilana u zavojnici prazni putem tog električnog luka, kojeg karakteriše i vlastiti aktivni električni otpor R luka >> R, te je R * = R luka + R ). Tokom trajanja procesa iščezavanja električne struje, u razmatranom električnom krugu sa slike 1.6, zavojnica se praktično odvaja od upotrebljenog naponskog izvora, na što ona reaguje stvaranjem elektromotorne sile samoindukcije, koja nastoji da održi stalnu jednosmjernu struju. Energetski resursi za stvaranje elektromotorne sile samoindukcije nalaze se upravo u magnetnoj energiji, koja je akumulisana u zavojnici. Spomenuta pojava električnog luka može dovesti do oštećenja prekidača, zbog čega se često, električni krugovi sa zavojnicama velikih induktivnosti, koje su samim time kadre da akumuliraju i značajne iznose magnetne energije, isključuju ne na prethodno opisani način (u kojem se akumulirana magnetna energija transformiše u Jouleove gubitke posredstvom električnog luka ), nego tako da se praktično prekidač T dovede iz položaja uključeno u novi položaj, u kojem je zavojnica vlastite induktivnosti L odspojena od upotrebljenog naponskog izvora, ali istovremeno i kratkospojena. Iščezavanje električne struje zbog, isključenje električne zavojnice uz pojavu električnog luka, s obzirom na relaciju R * = R luka + R, traje mnogo kraće, nego proces uspostavljanja te iste struje. Nije teško uočiti da, ako sa τ * označimo vremensku konstantu, koja karakteriše iščezavanje električne struje u analiziranom električnom krugu pri pojavi električnog luka, tada važi međusobni odnos prethodno upotrebljenih vremenskih konstati : τ * = ( L / R* ) << τ = ( L / R ). Sama struja iščezavanja, može se odrediti na osnovu jednačine (1.11), u obliku E i * (t) = e - t / τ* (1.12) R Uz pomoć relacije (1.12), moguće je izračunati i elektromotornu silu samoindukcije, koja se pojavljuje pri pokušaju da se električna struja svede na nulti iznos. Ova indukovana elektromotorna sila ima vrijednost: d i (t) R * e L = - L = E e - t / τ* (1.13) d t R i u prvom trenutku ona po amplitudi znatno premašuje elektromotornu silu naponskog izvora E ( u trenutku t =0, ona je ( R * / R ) puta veća od E ). 12

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Joule-ov zakon. A = R I 2 t (6.23)

6.3 Joule-ov zakon. A = R I 2 t (6.23) 6.3 Joule-ov zakon Na osnovu iskustvenih saznanja, poznato je da se električni provodnici zagrijavaju, tokom prolaska električne struje kroz njih. Tu pojavu, prvi je analitički uspješno opisao Joule (James

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Odredivanje odziva u električnim kolima

Odredivanje odziva u električnim kolima Odredivanje odziva u električnim kolima 28. oktobar 2015 Kada se u električno kolo uključe naponski ili strujni generatori dolazi do promjene stanja kola. Na elementima kola se javljaju naponi, a kroz

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul. Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE MJEŠOVITA SREDNJA TEHNIČKA ŠKOLA TRAVNIK AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE Električna kola Profesor: mr. Selmir Gajip, dipl. ing. el. Travnik, februar 2014. Osnovni pojmovi- naizmjenična

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva 1. U kolu stalne struje sa slike 1 poznato je R1 = 2R = 200 Ω, Rp> R1, E1 =-E2 = 10 V i E3 = E4 = 10 V. izračunati Ig (Ig 0) tako da snage koje razvijaju idealni naponski generator E3 i idealni strujni

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam (AP301-302) Magnetno polje dva pravolinijska provodnika (AP312-314) Magnetna indukcija (AP329-331) i samoindukcija (AP331-337) Prvi zapisi o magentizmu se nalaze još u starom veku: pronalazak rude gvožđa

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za državnu maturu

Priprema za državnu maturu Priprema za državnu maturu E L E K T R I Č N A S T R U J A 1. Poprečnim presjekom vodiča za 0,1 s proteče 3,125 10¹⁴ elektrona. Kolika je jakost struje koja teče vodičem? A. 0,5 ma B. 5 ma C. 0,5 A D.

Διαβάστε περισσότερα

7.1.3 Moment magnetnog dipola. Mehanički moment na strujnu konturu smještenu u stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B

7.1.3 Moment magnetnog dipola. Mehanički moment na strujnu konturu smještenu u stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B 7.1.3 Moment magnetnog dipola. Mehanički moment na strujnu konturu smještenu u stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B Da bi se lakše uspostavila određena ekvivalencija između

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja električnih strujnih krugova

Metode rješavanja električnih strujnih krugova Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu 13. januar 016 Posmatrajmo kolo koje se sastoji od dvije podmreže M i N, kao na Slici 1. U kolu je uspostavljen ustaljeni prostoperiodični režim i ulazni napon

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM OGON SA ASNHRON OTORO oučavaćemo amo ogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni ogon. Ainhoni moto: - ota kontukcija; - jeftin; - efikaan. ETALN RSTEN LANRANO JEZGRO BAKARNE ŠKE KAVEZN ROTOR NAOTAJ LANRANO

Διαβάστε περισσότερα

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem.

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem. 4. Magnetski fluks i Faradejev zakon magnetske indukcije a) Magnetski fluks Ako je magnetsko polje kroz neku konturu površine θ homogeno (kao na lici 5), tada je fluks kroz tu konturu jednak Φ = = cosθ

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

E2. Električni titrajni krug

E2. Električni titrajni krug Električni titrajni krug 1 E. Električni titrajni krug 1. Ključni pojmovi Impedancija, rezonancija, faktor dobrote, LC titrajni krug. Teorijski uvod a) Slobodne oscilacije Serijski titrajni krug zamišljamo

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila

Διαβάστε περισσότερα

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Rjesenja dodatnog popravnog ispitnog roka iz EK1 odrzanog god. VarijantaA Zadatak broj 2

Rjesenja dodatnog popravnog ispitnog roka iz EK1 odrzanog god. VarijantaA Zadatak broj 2 jesenja dodatnog popravnog ispitnog roka iz EK odrzanog 009008god VarijantaA Zadatak broj električnom krugu prikazanom na slici postignuta je strujna rezonancija Poznati su slijedeći podaci: (A), (A),

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Snaga naizmenicne i struje

Snaga naizmenicne i struje Snaga naizmenicne i struje Zadatak električne mreže u okviru elektroenergetskog sistema (EES) je prenos i distribucija električne energije od izvora do potrošača, uz zadovoljenje kriterijuma koji se tiču

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj ELEKTROTEHNIKA TZ Prezime i ime GRUPA Matični br. Napomena: U tablicu upisivati slovo pod kojim smatrate da je točan odgovor. Upisivati isključivo velika štampana slova. Točan odgovor donosi jedan bod.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMOTORNI POGONI SA ASINHRONIM MOTOROM

ELEKTROMOTORNI POGONI SA ASINHRONIM MOTOROM ELEKTROOTORNI POGONI SA ASINHRONI OTORO Poučavamo amo pogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni moto u elektomotonim pogonima. Ainhoni moto: - jednotavna kontukcija; - mala cena; - vioka enegetka efikanot.

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Popis oznaka. Elektrotehnički fakultet Osijek Stručni studij. Osnove elektrotehnike I. A el A meh. a a 1 a 2 a v a v. a v. B 1n. B 1t. B 2t.

Popis oznaka. Elektrotehnički fakultet Osijek Stručni studij. Osnove elektrotehnike I. A el A meh. a a 1 a 2 a v a v. a v. B 1n. B 1t. B 2t. Popis oznaka A el A meh A a a 1 a 2 a a a x a y - rad u električnom dijelu sustaa [Ws] - mehanički rad; rad u mehaničkom dijelu sustaa [Nm], [J], [Ws] - mehanički rad [Nm], [J], [Ws] - polumjer kugle;

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) II deo Miloš Marjanović Bipolarni tranzistor kao prekidač BIPOLARNI TRANZISTORI ZADATAK 16. U kolu sa slike bipolarni

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα