I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa"

Transcript

1 I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua antzinatean sortu zen eta denboran zehar hedatu eta orokortu da. Zenbaki osoei eta frakzionarioei, positiboei zein negatiboei, zero zenbakia barne delarik, zenbaki arrazional deritze. Edozein zenbaki arrazional bidez adieraz daiteke, p eta q bi zenbaki oso izanik. Adibidez: arrazoiaren Bereziki, p zenbaki osoa p eta 1 bi zenbaki osoen arteko idatz daiteke. Adibidez: arrazoi gisa Zenbaki arrazionalak frakzio dezimal finituen edo frakzio periodiko infinituen bidez idatz daitezke. Frakzio dezimal infinitu eta ez-periodikoen bidez idazten diren zenbakiei zenbaki irrazional deritze; adibidez: etab. Zenbaki arrazionalen eta irrazionalen bildurari zenbaki errealen multzo deritzo. Beren magnitudearen arabera ordenatzen dira, multzo ordenatua osatuz, hau da, edozein x eta y bi zenbaki errealetarako ondoko erlazioetariko bat eta soilik bat betetzen da: x < y, x = y, x > y. Zenbaki errealak zenbakizko ardatzeko puntuen bidez adieraz daitezke. Ondoko ezaugarriak dituen zuzen infinituari zenbakizko ardatz deritzo:

2 26 Kalkulu diferentziala eta integrala jatorria deritzon O puntu bat; gezi batez adierazten den noranzko positibo bat; eskala edo neurri-unitate bat. Oro har, zenbakizko ardatza horizontalean ipiniko dugu, ezkerretik x 1 zenbakia positiboa bada, O jatorriaren eskuin aldean dagoen eta OM 1 = x 1 distantziara kokatzen den M 1 puntuaren bidez adierazten da; x 2 zenbakia negatiboa bada, O puntuaren ezker aldean dagoen eta OM 2 = x 2 distantziara kokatzen den M 2 puntuaren bidez adieraziko dugu (1. irudia). O puntuak zero zenbakia adierazten du. Bistakoa denez, zenbaki erreal bakoitza zenbakizko ardatzeko puntu bakar baten bidez adierazten da. Bi zenbaki erreal desberdin 1. irudia. ardatzeko puntu desberdinen bidez adierazten dira. Hots, zenbakizko ardatzeko puntu bakoitzak zenbaki erreal bakar bat adierazten du, arrazionala zein irrazionala. Beraz, zenbaki erreal guztien eta zenbakizko ardatzeko puntu guztien artean korrespondentzia biunibokoa existitzen da: zenbaki bakoitzari zenbakizko ardatzean berori adierazten duen puntu bakar bat dagokio, eta, alderantziz, puntu bakoitzari zenbaki erreal bakar bat dagokio, puntua zenbakiaren irudia delarik. Beraz, «x zenbakia» eta «x puntua» sinonimoak dira eta horrela erabiliko ditugu liburu honetan. Onar dezagun, frogarik gabe, zenbaki errealen multzoaren hurrengo propietate garrantzitsua: edozein bi zenbaki errealen artean beti existitzen dira zenbaki arrazionalak eta irrazionalak. Geometrikoki, propietate horren esanahia hau da: zenbakizko ardatzeko edozein bi punturen artean beti daude puntu arrazionalak eta puntu irrazionalak. Ondorioz, teoriaren eta praktikaren arteko nolabaiteko «zubi» gisa erabiliko dugun hurrengo teorema enuntziatuko dugu. Teorema. Edozein α zenbaki irrazional zenbaki arrazionalen bidez adieraz daiteke nahi bezain zehazki. Izan ere, α > 0 zenbaki irrazionala izanik, kalkula dezagun α zenbakia baino errore txikiago batez (adibidez, etab.). α zenbakia edozein izanik, ondoz ondoko N eta N+1 bi zenbaki osoren artean kokatuta egongo da. Zatika dezagun N eta N+1 zenbakien arteko tartea n parte

3 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 27 berdinetan; orduan, α zenbakia eta bi zenbaki arrazionalen artean kokatuta egongo da. Zenbaki bi horien arteko kendura denez gero, bakoitzak α zenbakia adierazten du, aldez aurretik finkaturiko zehaztasunaz: lehenengoak behetik eta bigarrenak goitik. Adibidea. adierazten da: zenbaki irrazionala zenbaki arrazionalen bidez honela 1,4 eta 1,5, baino txikiagoa den erroreaz, 1,41 eta 1,42, baino txikiagoa den erroreaz, 1,414 eta 1,415, baino txikiagoa den erroreaz, etab. 2. ZENBAKI ERREAL BATEN BALIO ABSOLUTUA Aurrera jarraitzeko nahitaezkoa den zenbaki errealen balio absolutuaren kontzeptua landuko dugu. Definizioa. Hurrengo baldintzak betetzen dituen zenbaki erreal ez-negatiboa (bere idazkera x delarik) x zenbaki errealaren balio absolutua (edo modulua) dela esango dugu: x = x, x 0 denean; x = x, x < 0 denean. Adibideak. 2 = 2; 5 = 5; 0 = 0. Definiziotik ondorioztatzen da edozein x zenbakitarako x Azter ditzagun balio absolutuen zenbait propietate: x betetzen dela. 1. Zenbaki errealen arteko batura aljebraikoaren balio absolutua ez da batugaien balio absolutuen arteko batura baino handiagoa: x + y x + y. Froga. Izan bedi x + y 0. Orduan, x + y = x + y x + y (x x eta y y baitira). Orain, demagun x + y < 0 dela. Orduan: x + y = (x +y)= ( x) + ( y) frogatu nahi genuen bezala. Froga hori edozein batugai-kopurutara orokor daiteke erraz. x + y,

4 28 Kalkulu diferentziala eta integrala Adibideak < = = 5 edo 1 < 5; 3 5 = = = 8 edo 8 =8. 2. Bi zenbaki errealen arteko kenduraren balio absolutua ez da kenkizunaren eta kentzailearen balio absolutuen arteko kendura baino txikiagoa: Froga. Demagun x y = z dela. Orduan, x = y + z, eta aurretik frogaturikoaren arabera, hurrengoa dugu: eta hortik hori da frogatu behar zena. 3. Biderkaduraren balio absolutua faktoreen balio absolutuen arteko biderkadura da: 4. Zatiduraren balio absolutua zatikizunaren balio absolutua eta zatitzailearena zatituz lortuko da: Azken bi propietateak balio absolutuaren definiziotik zuzenean ateratzen dira. 3. MAGNITUDE ALDAKORRAK ETA KONSTANTEAK Magnitude fisiko batzuk neurtzean, hala nola denbora, luzera, azalera, bolumena, masa, abiadura, presioa, tenperatura, etab., beren zenbakizko balioak lortzen dira. Matematikak magnitudeak aztertzean dautza, horien eduki zehatzaren abstrakzioa eginez. Horregatik, magnitudeei buruz hitz egitean, beren zenbakizko balioak kontuan izango ditugu. Hainbat fenomenotan magnitude batzuk aldatzen dira, hots, beren zenbakizko balioa aldatzen da, eta beste magnitude batzuen balioa, ordea, konstante mantentzen da. Adibidez, puntu baten higidura uniformean denbora eta distantzia aldatzen dira, abiadura konstantea mantentzen delarik. Zenbakizko balio desberdinak har ditzakeen magnitudeari magnitude aldakor edo, hitz bakar batez esanda, aldagai deritzo. Zenbakizko balioa aldatzen ez duen

5 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 29 magnitudeari konstante esaten zaio. Hemendik aurrera, aldagaiak x, y, z, u... letren bidez izendatuko ditugu, eta magnitude konstanteak a, b, c,..., etab. letren bidez. Oharra. Matematikan, maiz, konstanteak magnitude aldakorren edo aldagaien kasu berezitzat hartzen dira: konstante bat zenbakizko balio guztiak berdinak dituen aldagaia da. Hala ere, hainbat fenomeno fisiko aztertzean, magnitude bera kasu batzuetan konstantea eta beste batzuetan aldakorra izan daitekeela kontuan hartzea komeni da. Adibidez, higidura uniformedun gorputzaren abiadura magnitude konstantea da, uniformeki azeleraturiko higiduran, ordea, magnitude hori aldakorra delarik. Edozein fenomenotan zenbakizko balioa aldaezin mantentzen duten magnitudeei konstante absolutu deritze. Adibidez, zirkunferentziaren luzeraren eta diametroaren arteko arrazoia magnitude konstantea da, bere balioa π 3,14159 delarik. Aurrerago ikusiko dugu aldagaiaren kontzeptua oinarrizkoa dela kalkulu diferentzialean eta integralean. Friedrich Engels-ek Naturaren Dialektikan hau idatzi zuen: «Matematiken bira-puntua Descartes-en magnitude aldakorra izan zen. Hark matematiketan higidura sartu zuen eta, berarekin, dialektika, baita, beraz, eta ezinbestez, kalkulu diferentziala eta integrala ere». 4. ALDAGAI BATEN DEFINIZIO-EREMUA Magnitude aldakor batek zenbakizko balio desberdinak har ditzake. Aztertzen den problemaren arabera, balio horien multzoa alda daiteke. Adibidez, baldintza normaletan ura berotzean, bere tenperaturak 15 C 18 C bitarteko ingurumentenperaturatik 100 C-ko irakite-punturaino jo dezake. Beste adibide bat: x = cos α aldagaiak 1 eta +1 bitarteko edozein balio har dezake. Magnitude aldakor baten balioak zenbakizko ardatzeko puntuen bidez adierazten dira geometrikoki. Adibidez, x = cos α aldagaiaren balioak, edozein α-tarako, zenbakizko ardatzean 1 eta +1 balioen artean kokatzen diren puntuen multzoa-ren bidez adierazten dira, 1 eta +1 barne direlarik (2. irudia). 2. irudia.

6 30 Kalkulu diferentziala eta integrala Definizioa. Aldagai batek har ditzakeen zenbakizko balioen multzoari aldagaiaren definizio-eremu deritzo. Aipa ditzagun testuan zehar maiz azalduko diren zenbait aldagairen definizioeremuak. a eta b muturretako tarte irekia edo tartea emaniko a eta b (a < b) bi zenbakiren artean kokaturiko x-ren zenbakizko balio guztien multzoa da, a eta b muturrak izan ezik; hau da, a eta b ez daude multzoan. Hori (a,b) edo a < x < b desberdintzen bidez adieraziko dugu. a eta b muturretako tarte itxi edo segmentu deritzo a eta b artean dauden x-ren zenbakizko balioen multzoari, a eta b muturrak barne direnean. Hori [a,b] idazkeraren edo a x b desberdintzen bidez adieraziko dugu. a edo b zenbakietariko bat (a adibidez) tartearen barnean dagoenean, eta bestea ez, tarte erdi itxia dugu; hori a x < b desberdintzen bidez adieraz daiteke, idazkera [a,b) izanik. b zenbakia tartean badago, a ez dagoelarik, (a,b] tarte erdi itxia dugu eta ondoko desberdintzen bidez adieraz dezakegu: a < x b. x aldagaiak a baino handiagoak diren balio guztiak hartzen dituenean, tartea (a,+ ) izango da eta ohiko desberdintza hauen bidez adieraziko dugu: a < x < +. Modu berean, ondoko tarte infinituak aipa ditzakegu: a x < + ; < x < c; < x c; < x < +. Adibidea. x = cos α aldagaiaren definizio-eremua, α balioa edozein izanik, [ 1,1] tarte itxia da, 1 x 1 desberdintzen bidez adieraz dezakegularik. Aurreko definizioetan «zenbaki» hitzaren ordez «puntu» hitza erabil dezakegu. Adibidez: a eta b (tarte itxiaren muturrak) bitartean kokaturiko puntuen multzoa tarte itxia dela esango dugu, a eta b muturrak multzo horren barnean direnean. x 0 puntua barnean duen (a,b) tarte irekiari, hau da, a < x 0 < b betetzen duten a eta b muturretako (a,b) tarte irekiari, puntu horren ingurune deritzo. Maiz (a,b) tartea halako moldez aukeratzen da, non x 0 erdiko puntua den. Horrela denean, x 0 puntuari ingurunearen zentro deritzo eta magnitudeari ingurunearen erradio deritzo. 3. irudiak x 0 zentroko eta ε erradioko (x 0 ε, x 0 + ε) ingurunea adierazten du.

7 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa irudia. 5. ALDAGAI ORDENATUA. ALDAGAI GORAKORRAK ETA BEHERAKORRAK. ALDAGAI BORNATUA Hitzarmenez, x aldagai bat ordenatua da bere definizio-eremua ezagutzen bada eta bere balioen edozein bikotetarako zehaztu badaiteke zein den aurrekoa eta zein den atzekoa. Definizio horretan «aurreko» eta «atzeko» kontzeptuak ez daude denborari lotuak, aldagaiaren bi balio horiek ordenaturik dauden modua adierazten dute besterik gabe. x 1, x 2, x 3,..., x k,... zenbaki-segida aldagai ordenatu baten kasu berezitzat har dezakegu, non, k' <k izanik, x k' balioa aurrekoa eta x k atzekoa diren, bietatik handiagoa zein den jakiteak garrantzirik izan gabe. 1. Definizioa. Aldagaiaren atzeko balio bakoitza aurreko balio bakoitza baino handiagoa denean, aldagaia gorakorra dela esango dugu. Alderantziz, atzeko balio bakoitza aurreko balio bakoitza baino txikiagoa denean, aldagaia beherakorra izango da. Aldagai gorakorrei eta beherakorrei monotono deritze. Adibidea. Zirkunferentzia batean inskribaturiko poligono erregular baten aldeen kopurua bikoiztean, poligonoaren S azalera aldagai gorakorra da. Zirkunferentzia baten inguruan zirkunskribaturiko poligono erregular baten aldeen kopurua bikoiztean, poligono horren azalera aldagai beherakorra da. Ohar gaitezen aldagai bat ez dela derrigorrean gorakor edo beherakor izan behar. Adibidez, x = sinα aldagaia ez da monotonoa, α magnitudea [0, 2π] tarte itxian gorakorra denean. Hasieran 0tik 1era goratzen da, ondoren 1etik 1era beheratzen da eta, azkenik, 1etik 0ra goratzen da berriro. 2. Definizioa. x aldagaia bornatua dela esango dugu M > 0 konstante bat badago, non, balio batetik aurrera, atzeko balio guztiek M x M, hau da, x M baldintza betetzen duten. Hau da, aldagai bat bornatua dela esango dugu [ M,M] tarte itxi bat badago, non, balio batetik aurrera, bere atzeko balio guztiak aipatutako tarte itxian kokatzen badira. Hala ere, aldagaiak ez du [ M,M] tarte itxiko balio guztiak zertan hartu. Esate baterako, [ 2,2] tarte itxiko balio arrazionalak har ditzakeen aldagaia bornatua da. Hala ere, ez ditu tarte itxi horretako balio guztiak hartzen (balio irrazionalak hain zuzen ere).

8 32 Kalkulu diferentziala eta integrala 6. FUNTZIOA Naturako zenbait fenomeno aztertzean eta problema teknikoak, beraz, matematikoak, ebaztean magnitude batek beste baten aldakuntzarekiko duen aldakuntza aztertzeko beharra sortzen da. Adibidez, higidura aztertzean, ibilbidea denboraren mende dagoen aldagaitzat hartzen da. Hortaz, ibilbidea denboraren funtzioa da. Ikus dezagun beste adibide bat. Jakina denez, Q = πr 2 formula ezagunak zirkuluaren azalera bere erradioaren funtzio gisa ematen du. R erradioak zenbakizko balio desberdinak hartzen dituenean, Q azalerak ere balio desberdinak hartzen ditu. Ikusten dugunez, magnitude baten aldakuntza beste baten aldakuntzaren kausa da. Aipaturiko adibidean, Q azalera R erradioaren funtzioa da. Eman dezagun «funtzio» kontzeptuaren definizioa. 1. Definizioa. x aldagaiak eremu batean hartzen duen balio bakoitzari y aldagaiaren balio bat dagokionean, y aldagaia x-ren funtzio dela esaten da. Aurrekoa honela adieraz daiteke sinbolikoki: y = f(x), y = ϕ(x), etab. x aldagaiari aldagai independente edo argumentu deritzo. x eta y aldagaien arteko erlazioari mendekotasun funtzional deritzo. Mendekotasun funtzionalaren y = f(x) idazkera sinbolikoan agertzen den f letrak y-ri dagokion balioa lortzeko x- rekin zenbait eragiketa egin behar direla esan nahi du. y = f(x), u = ϕ(x) etab. idazkeren ordez, batzuetan y = y(x), u = u(x) etab. erabiltzen dira. Horrela denean, y, u, etab. letrek hala mendeko aldagaiak nola x-rekin egin beharko diren eragiketen multzoaren ikurrak adierazten dituzte. C konstantea denean, y = C idazkeraren bidez, x-ren balioa edozein izanik, C balio konstantea duen funtzioa adierazten da. 2. Definizioa. y funtzioaren balioak f(x) legearen bidez emanik daudenean, x balioen multzoari funtzioaren definizio-eremu deritzo. 1. Adibidea. y = sinx funtzioa x-ren balio guztietarako definituta dago. Beraz, bere definizio-eremua hurrengo tarte infinitua da: < x < Oharra. x eta y = f(x) aldagaien artean mendekotasun funtzionala badago eta horiek aldagai ordenatutzat hartzen baditugu, argumentuaren x* eta x** balioei dagozkien funtzioaren y* = f(x*) eta y** = f(x**) balioetatik atzekoa izango da argumentuaren atzeko balioari dagokiona. Horrek hurrengo definizioa ematera garamatza.

9 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa Definizioa. Argumentu edo aldagai independentearen balio handiagoei y = f(x) funtzioaren balio handiagoak dagozkienean, y = f(x) funtzioa gorakorra dela esaten da. Modu berean, funtzio beherakorra definitzen da. 2. Adibidea. Q=πR 2 funtzioa gorakorra da 0 < R <+ denean, R-ren balio handiagoei Q-ren balio handiagoak dagozkielako. 2. Oharra. Batzuetan, «funtzio» kontzeptuaren definizioan, eremu bateko x- ren balio bakoitzari y-ren balio bat baino gehiago, baita kopuru infinitua ere, dagozkiola onartzen da. Kasu horretan, funtzioa multiformea dela esaten da, aurrerago definitu dugun funtzioari uniforme deritzolarik. Hemendik aurrera, funtzio uniformeei funtzio deituko diegu, eta nahaste-arazorik sor ez dadin, funtzio multiformeak erabiltzean horrelakoak direla adieraziko dugu. 7. FUNTZIOEN ZENBAIT ADIERAZPIDE I. TAULEN BIDEZ EMANIKO FUNTZIOAK Prozedura honetan, argumentuaren balioak era ordenatuan jartzen dira, x 1, x 2,..., x n, eta, modu berean, dagozkien funtzioaren y 1, y 2,..., y n balioak idazten dira. x x 1 x 2... x n y y 1 y 2... y n Horrelakoak dira funtzio trigonometrikoen, logaritmikoen, eta abarren taulak. Neurturiko magnitudeen artean existitzen den mendekotasun funtzionala azaltzen duten taulak zenbait fenomenoren azterketa esperimentalaren ondorio gisa ere ager daitezke. Horrela, adibidez, egun batean zehar meteorologia-estazio batean neurturiko airearen tenperaturaren datuak, hurrengo taulan ematen dira: t denborarekiko (ordutan) T tenperaturaren balioa (gradu zentigradutan) t T , ,5 4 Taula horrek Tt-ren funtzioan ematen du. II. FUNTZIOEN ADIERAZPEN GRAFIKOA Koordenatu angeluzuzen edo kartesiarren sistemaren planoan M(x,y) puntuen multzoa emanik, puntu pare bat ere Oy ardatzaren paraleloa den zuzen batean egon gabe, multzo horrek y = f(x) funtzio bat definitzen duela esan dezakegu. Puntu

10 34 Kalkulu diferentziala eta integrala horien abzisak argumentuaren balioak dira, eta dagozkien ordenatuak funtzioarenak (4. irudia). 4. irudia. Funtzioaren grafiko deritzo (Oxy) planoko puntuen multzoari, non abzisak aldagai independentearen balioak diren, eta ordenatuak dagozkien funtzioarenak. III. FUNTZIOEN ADIERAZPEN ANALITIKOA Hasteko, «adierazpen analitiko» kontzeptuaren esanahia finkatuko dugu. Magnitude konstanteak eta aldakorrak adierazten dituzten zifrekin eta letrekin emaniko ordena batean egin behar diren eragiketa matematikoen idazkera sinbolikoari adierazpen analitiko deritzo. Eragiketa matematikoak eragiketa elementalak (batuketa, kenketa, erroketa, etab.) ez ezik, ikastaro hau garatu ahala determinatuko direnak ere izango dira. Ondokoak adierazpen analitikoen adibideak dira: etab. y = f(x) mendekotasun funtzionalean f adierazpen analitikoa bada, x-ren y funtzioa analitikoki emanik dagoela esango dugu. Hurrengoak analitikoki emaniko funtzioen adibideak dira: Hor, funtzioak formula bakar baten bidez adierazita daude analitikoki (bi adierazpen analitikoen arteko berdintzari formula deritzo). Kasu horietan definizio-eremu naturalaz hitz egin dezakegu. Adierazpen analitikoak, edo berdintzaren bigarren atalak, ondo definituriko balio bat duen x-ren balioen multzoari, analitikoki definiturik dagoen funtzioaren definizio-eremu natural deritzo. Horrela, adibidez, y = x 4 2 funtzioaren definizio-eremu naturala < x <+ tarte infinitua da, funtzioa x-ren balio guztietarako definituta baitago. 5. irudia.

11 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 35 funtzioa, x-ren balio guztietarako definituta dago, izendatzailea anulatzen duen x = 1 baliorako izan ezik. naturala 1 x 1 tarte itxia da, etab. funtzioaren definizio-eremu Oharra. Batzuetan, funtzioaren definizio-eremu naturalaren parte bat besterik ez dugu kontuan hartuko. Horrela, zirkuluaren Q azalera, Q = πr 2 formularen bidez R erradioaren funtzio gisa adierazten da. Problema geometriko berezi hori aztertzean funtzio horren definizio-eremua 0 < R < + tarte infinitua dela bistakoa da; ordea, funtzioaren definizio-eremu naturala < R <+ tarte infinitua da. y = f(x) funtzioa analitikoki emanik dagoenean, grafikoki adieraz daiteke Oxy koordenatu-planoan. Horrela, adibidez, y=x 2 funtzioaren grafikoa 5. irudian agertzen den parabola da. 8. FUNTZIO ELEMENTAL NAGUSIAK. FUNTZIO ELEMENTALAK Analitikoki adierazten diren funtzio elemental nagusiak hurrengoak dira: I. Berreketa funtzioa: y = x α, α zenbaki erreala delarik 1. II. Funtzio esponentziala: y = a x, a zenbaki positiboa eta 1en desberdina delarik (a >0,a 1). III. Funtzio logaritmikoa: y = log a xa oinarria zenbaki positiboa eta 1en desberdina delarik. IV. Funtzio trigonometrikoak: y =sinx, y =cosx, y = tan x, y =cotx, y =secx, y = csc x. V. Alderantzizko funtzio trigonometrikoak: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x, y = arcsec x, y = arccsc x. Definizio-eremuak emango ditugu eta funtzio elemental nagusien grafikoak eraikiko ditugu. BERREKETA FUNTZIOA 1. α zenbaki oso positiboa da. Funtzioa < x <+ tarte infinituan definituta dago. Kasu honetan, α balio desberdinei dagozkien funtzioen grafikoak 6. eta 7. irudietan adierazten dira. 1. α zenbaki irrazionala bada, funtzio hori logaritmoaren eta antilogaritmoaren bidez kalkulatzen da: log y = α log x, x > 0 suposatuz.

12 36 Kalkulu diferentziala eta integrala 6. irudia. 7. irudia. 2. α zenbaki oso negatiboa da. Kasu honetan, x = 0 denean izan ezik, funtzioa x-ren balio guztietarako definituta dago. 8. eta 9. irudietan funtzio honen grafikoak adie-razten dira, α-ren balio desberdinetarako. 8. irudia. 9. irudia. 10., 11. eta 12. irudietan berreketa funtzioaren grafikoak adierazten dira α-ren balioak zenbaki arrazional frakzionarioak direnean. 10. irudia. 11. irudia. 12. irudia. FUNTZIO ESPONENTZIALA, y = a x ; a >0; a 1 Funtzio hau x aldagaiaren balio guztietarako definituta dago. Bere grafikoa 13. eta 14. irudietan adierazten da.

13 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa irudia. 14. irudia. FUNTZIO LOGARITMIKOA, y = log a x; a >0; a 1 Funtzio hau x > 0 balioetarako definituta dago. Bere grafikoa 15. irudian azaltzen da. FUNTZIO TRIGONOMETRIKOAK y = sin x, etab. formuletan x aldagai independentea radianetan adierazten da. Aipaturiko funtzio trigonometriko guztiak periodikoak dira. Beren definizio orokorra hau da: 1. Definizioa. c zenbaki konstante bat existitzen bada, zein x aldagai independenteari batzean (edo kentzean) funtzioaren balioa aldatzen ez den, hots, f(x + c) = f(x), y = f(x) funtzioa periodikoa dela esango dugu. Zenbaki konstante horren balio minimoari funtzioaren periodo deituko diogu eta 2l izendatuko dugu hemendik aurrera. Definizioaren arabera, y = sin x funtzioa periodikoa da, periodoa 2π delarik: sin x =sin(x +2π). y =cosx funtzioaren periodoa ere 2π da. y = tan x eta y =cotx funtzioen periodoa π da. y =sinx eta y =cosx funtzioak x-ren balio guztietarako definiturik daude. y = tan x eta y =secx funtzioak, 15. irudia. x =(2k+1) (k = 0, 1, 2...) balioetan izan ezik, puntu guztietan daude definiturik; y =cotx eta y =cosecx, x = kπ (k = 0, 1, 2...) balioetan izan ezik, x-ren balio guztietarako daude definituta. Funtzio trigonometrikoen grafikoak irudietan azaltzen dira. Aurrerago, alderantzizko funtzio trigonometrikoak zehaztasunez aztertuko ditugu.

14 38 Kalkulu diferentziala eta integrala Sar dezagun orain «funtzioaren funtzio» kontzeptua. y aldagaia u-ren funtzioa bada eta u bera x aldagaiaren funtzioa bada, y aldagaia ere x-ren mendekoa da, y = F(u) eta u = ϕ(x) badira, y x-ren ondoko funtzioa izango da: Azken horri funtzioaren funtzio edo funtzio konposatu deritzo. 1. Adibidea. Izan bitez y = sin u, u = x 2, y =sin(x 2 ) x-ren funtzio konposatua da. 16. irudia. 17. irudia. 1. Oharra. funtzioaren definizio-eremua u = ϕ(x) funtzioaren eremu osoa da, edo horren zati bat, non u-ren balioak ez diren ateratzen F(u) funtzioaren definizio-eremutik. 2. Adibidea. funtzioaren definizio-eremua [ 1,1] tarte itxia da, x > 1 denean, u < 0 baita eta, beraz, funtzioa ez dagoelako definiturik (nahiz eta u =1 x 2 funtzioa x-ren balio guztietarako definituta egon). Funtzio honen grafikoa zentroa koordenatu-jatorrian duen bat erradioko zirkunferentziaren goi-erdia da. 18. irudia. 19. irudia.

15 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 39 «Funtzioaren funtzio» eragiketa ez behin, baizik eta edozein aldi-kopurutan egin daiteke. Adibidez, funtzioa honako funtzioek definitzen dituzten ondoz ondoko eragiketak eginez lortzen da: v = x 2 + 1, u =sin v, y =lnu. Sar dezagun orain funtzio elemental delako kontzeptua. 2. Definizioa. y = f(x) formula bakar baten bidez eman daitekeen funtzioari, non berdintzaren bigarren atala funtzio elemental nagusiz eta konstantez osaturik dagoen, batuketen, kenketen, biderketen, zatiketen eta funtzioaren funtzioen kopuru finituen bidez, funtzio elemental deritzo. Definizio horretatik funtzio elementalak analitikoki definituriko funtzioen kasu berezia direla ondorioztatzen da. 20. irudia. Honakoak funtzio elementalen adibideak dira: Funtzio ez-elementalen adibidea: 1. ez da funtzio elementala, y kalkulatzeko egin behar diren eragiketen kopurua n balioarekin batera handitzen baita, hots, eragiketen kopurua infinitua da. 2. Oharra. 20. irudian azaltzen den funtzioa elementala da, nahiz eta bi formularen bidez adierazita egon: f(x)=x, 0 x 1 denean; f(x)=2x 1, 1 x 2 denean. Funtzio hori 2. definizioan aipatutako y = f(x) formula bakarraren bidez adieraz daitekeela froga daiteke (ikus V. kapituluko ariketak).

16 40 Kalkulu diferentziala eta integrala 9. FUNTZIO ALJEBRAIKOAK Hurrengo funtzio elementalei funtzio aljebraiko deritze: I. FUNTZIO ARRAZIONAL OSOA EDO POLINOMIOA y = a 0 x n + a 1 x n a n, non a 0, a 1,..., a n koefiziente deituriko zenbaki konstanteak diren, n zenbaki oso eta positiboa polinomioaren maila delarik. Bistakoa denez, aipaturiko funtzio hori x-ren balio guztietarako definituta dago, hots, tarte infinitu batean. Adibideak. 1. y = ax + b funtzio lineala da. b = 0 denean, y = ax funtzio linealak y eta x aldagaien arteko mendekotasun proportzionala adierazten du, a = 0 eta y = b badira, funtzioa konstante da. 21. irudia. 2. y = ax 2 + bx + c funtzio koadratikoa da. Funtzio koadratikoaren grafikoa parabola bat da (21. irudia). Funtzio hauek geometria analitikoaren ikasgaian aztertu dira zehaztasunez. 22. irudia. II. FUNTZIO ARRAZIONAL FRAKZIONARIOA. Funtzio hau polinomio biren arteko zatiketaren bidez adierazten da:

17 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 41 Funtzio arrazional frakzionarioen adibide gisa, mendekotasun alderantziz proportzionala adierazten duen funtzioa eman dezakegu. Bere grafikoa 22. irudian azaltzen da. Bistakoa denez, izendatzailea anulatzen duten balioetarako izan ezik, funtzio arrazional frakzionarioa x-ren balio guztietarako definituta dago. III. FUNTZIO IRRAZIONALA. y = f(x) berdintzaren bigarren atalean batuketak, kenketak, biderketak, zatiketak eta berreketak egiten badira, berretzaileak zenbaki arrazional ez-osoak izanik, y = f(x) funtzioari funtzio irrazional deritzo. Hurrengo funtzioak irrazionalak dira: 1. Oharra. Funtzio aljebraiko guztiak ez dira kokatzen aipaturiko funtzioen hiru mota horietan. y = f(x) funtzioak P 0 (x)y n + P 1 (x)y n P n (x)=0 (1) motako ekuazio bat betetzen duenean, P 0 (x),p 1 (x),..., P n (x) x-ren polinomioak direlarik, funtzio horri funtzio aljebraiko deritzo. Froga daitekeenez, aipaturiko hiru motetako funtzioek (1) moduko ekuazio bat betetzen dute; ostera, ekuazioa betetzen duten funtzio guztiak ez dira izango hiru mota horietakoak. 2. Oharra. Aljebraikoa ez den funtzioari transzendente deritzo. Hurrengoak funtzio transzendenteak dira: y =cosx; y =10 x ; etab. 10. KOORDENATU POLARREN SISTEMA Planoko puntuen posizioa koordenatu polarren sistemaren bidez adieraz daiteke. Aukera ditzagun planoan poloa delako O puntu bat eta O puntuan jatorria duen ardatz polar izeneko zuzenerdi bat. M puntu batek planoan duen posizioa ρ eta ϕ bi zenbakien bidez adierazten da. Lehenengoak M puntutik polorainoko distantzia ematen du eta bigarrenak OM segmentuak ardatz polarrarekin osatzen duen angelua adierazten du. ϕ angeluaren noranzko positibotzat erloju-orratzen kontrakoa hartuko dugu. ρ eta ϕ zenbakiei M puntuaren koordenatu polar deritze (23. irudia). ρ erradio bektorea ez-negatibotzat hartzen da beti. ϕ angelu polarraren balioa 0 ϕ <2π mugen artean aldatzen bada, poloa ez den planoko edozein punturi

18 42 Kalkulu diferentziala eta integrala ondo definituriko ρ eta ϕ balioen bikote bat dagokio. Poloan, ρ = 0 da eta ϕ-k edozein balio har dezake. 23. irudia. Kalkula dezagun koordenatu polarren eta koordenatu kartesiar edo angeluzuzenen artean dagoen erlazioa. Jo dezagun koordenatu angeluzuzenen jatorria eta poloa puntu berbera direla eta Ox ardatzaren noranzko positiboa ardatz polarrarena dela. Ikus dezagun zer erlazio dagoen puntu baten koordenatu kartesiarren eta polarren artean. 24. iruditik ondokoa ondorioztatzen da: eta alderantziz x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ Oharra. ϕ finkatzeko, puntua dagoen koadrantea kontuan izan beharko dugu, eta ϕ-ren balio zuzena aukeratu. Koordenatu polarren sisteman ρ = F(ϕ) ekuazioak lerro bat adierazten du. 24. irudia. 25. irudia. 1. Adibidea. Koordenatu polarretan, ρ = a ekuazioak, a konstantea denean, poloan zentroa duen a erradioko zirkunferentzia ematen du. Zirkunferentzia horren ekuazioa koordenatu angeluzuzenetan honako hau izango da (25. irudia):

19 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa Adibidea. ρ = a ϕ, non a=kte. baita. Koka ditzagun taula batean ϕ-ren araberako ρ-ren balio batzuk: Funtzio horri dagokion kurba 26. irudian adierazten da eta Arkimedes-en kiribil deritzo. 3. Adibidea. ρ = 2a cos ϕ. 3 4 Aurreko hori, ρ 0 = a eta ϕ = 0 puntuan zentroa duen a erradioko zirkunferentziaren ekuazioa da (27. irudia). Idatz dezagun zirkunferentzia horren ekuazioa koordenatu angeluzuzenetan ,78a 1,57a 2,36a 3,14a 4,71a 6,28a 9,42a 12,56a 26. irudia. 27. irudia. Ekuazio horretan balioak ordezkatuz, lortzen dugu, hots, x 2 + y 2 2ax = 0. ARIKETAK 1. f(x)=x 2 +6x 4 funtzioa emanik, egiaztatu f(1) = 3 eta f(2) = 23 betetzen direla. 2. f(x)=x Kalkulatu ondoko balioak: a) f(4). Emaitza: 17. b) Em.: 3. c) f(a + 1). Em.: a 2 +2a +2. d) f(a) + 1. Em.: a 2 +2.

20 44 Kalkulu diferentziala eta integrala e) f(a 2 ). Em.: a f) Em.: a 4 +2a g) f(2a). Em.: 4a Aurkitu ondoko adierazpenak: Em.: 4. Em.: 5. f(θ) = tan θ. Egiaztatu hurrengo berdintza: f(x)=logx; ϕ(x)=x 3. Aurkitu hurrengo adierazpenak: a) f[ϕ(2)]. Em.: 3 log 2. b) f[ϕ(a)]. Em.: 3 log a. c) ϕ[f(a)]. Em.: [log a] Adierazi y =2x funtzioaren definizio-eremu naturala. Em.: < x < Adierazi hurrengo funtzioen definizio-eremu naturalak: a) Em.: 1 x +1. b) Em.: 3 x 7. c) Em.: < x < +. d) Em.: x a. e) arcsin 2 x. Em.: 1 x 1. f) y =logx. Em.: x >0. g) y = a x (a > 0). Em.: < x < +. Egin ondoko funtzioen grafikoak: 10. y = 3x y =3 2x 2.

21 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa y = x 2 + 2x y =sin2x. 16. y = cos 3x. 17. y = x 2 4x y =3 x. 24. y =2 x y = x y =4 x y = x y = x y = x. 35. y =lb x. 36. y =lb(1 x) f(x) funtzioa honela dago definiturik [-1,1] tartean: f(x)=1+x, 1 x < 0 denean; f(x)=1 2x, 0 x 1 denean. 40. f(x) funtzioa honela dago definiturik [0,2] tartean: f(x)=x 3, 0 x < 1 denean; f(x)=x, 1 x 2 denean. Eraiki koordenatu polarren bidez emaniko ondoko kurbak: 41. (kiribil hiperbolikoa). 42. ρ = a ϕ (kiribil logaritmikoa). 43. (lemniskata). 44. ρ = a(1 cosϕ) (kardioidea). 45. ρ = a sin 3ϕ.

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9 Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia 1. MAKROEKONOMIA: KONTZEPTUAK ETA TRESNAK. 1.1. Sarrera Lehenengo atal honetan, geroago erabili behar ditugun oinarrizko kontzeptu batzuk gainbegiratuko ditugu, gauzak nola eta zergatik egiten ditugun

Διαβάστε περισσότερα

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma)

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Termodinamika Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Erreakzio kimikoetako transformazio energetikoak. Espontaneotasuna 1. Energia eta erreakzio kimikoa. Prozesu exotermikoak

Διαβάστε περισσότερα

Elementu honek elektrizitatea sortzen du, hau da, bi punturen artean potentzial-diferentzia mantentzen du.

Elementu honek elektrizitatea sortzen du, hau da, bi punturen artean potentzial-diferentzia mantentzen du. Korronte zuzena 1 1.1. ZIRKUITU ELEKTRIKOA Instalazio elektrikoetan, elektroiak sorgailuaren borne batetik irten eta beste bornera joaten dira. Beraz, elektroiek desplazatzeko egiten duten bidea da zirkuitu

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a ATAL TEORIKOA: Azterketaren atal honek bost puntu balio du totalean. Hiru ariketak berdin balio dute. IRAUPENA: 75 MINUTU. EZ IDATZI ARIKETA BIREN ERANTZUNAK ORRI

Διαβάστε περισσότερα

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA Datu orokorrak: Elektroiaren masa: 9,10 10-31 Kg, Protoiaren masa: 1,67 x 10-27 Kg Elektroiaren karga e = - 1,60 x 10-19 C µ ο = 4π 10-7 T m/ampere edo 4π

Διαβάστε περισσότερα

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu) UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko

Διαβάστε περισσότερα

6. Errodamenduak 1.1. DESKRIBAPENA ETA SAILKAPENAK

6. Errodamenduak 1.1. DESKRIBAPENA ETA SAILKAPENAK 2005 V. IOL 6. Errodamenduak 1.1. ESKRIPEN ET SILKPENK Errodamenduak biziki ikertu eta garatu ziren autoak, abiadura handiko motorrak eta produkzio automatikorako makineria agertu zirenean. Horren ondorioz,

Διαβάστε περισσότερα

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK http://thales.cica.es/rd/recursos/rd98/fisica/01/fisica-01.html 1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK 1.1. BOLUMENA Nazioarteko Sisteman bolumen unitatea metro kubikoa da (m 3 ). Hala ere, likido eta gasen

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa PROGRAMAZIO-TEKNIKAK Programazio-teknikak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak LANBIDE HEZIKETAKO ZUZENDARITZA DIRECCION DE FORMACION PROFESIONAL Hizkuntz

Διαβάστε περισσότερα

EIB sistemaren oinarriak 1

EIB sistemaren oinarriak 1 EIB sistemaren oinarriak 1 1.1. Sarrera 1.2. Ezaugarri orokorrak 1.3. Transmisio teknologia 1.4. Elikatze-sistema 1.5. Datuen eta elikatzearen arteko isolamendua 5 Instalazio automatizatuak: EIB bus-sistema

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Analisia eta Kontrola Materialak eta entsegu fisikoak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): HOSTEINS UNZUETA, Ana Zuzenketak:

Διαβάστε περισσότερα

NEURRI-IZENAK ETA NEURRI-ESAMOLDEAK EUSKARAZ

NEURRI-IZENAK ETA NEURRI-ESAMOLDEAK EUSKARAZ NEURRI-IZENAK ETA NEURRI-ESAMOLDEAK EUSKARAZ 2006-VI-19 J.R. Etxebarria Gure inguruko hizkuntzetan, neurri-izenen eta neurri-esamoldeen normalizazioa XIX. mendearen bigarren erdialdean abiatu zela esan

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4. DBH BIRPASO TXOSTENA

FISIKA ETA KIMIKA 4. DBH BIRPASO TXOSTENA FISIKA ETA KIMIKA 4. DBH BIRPASO TXOSTENA FISIKA ZINEMATIKA KONTZEPTUAK: 1. Marraz itzazu txakurraren x/t eta v/t grafikoak, txakurrraren higidura ondoko taulan ageri diren araberako higidura zuzena dela

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa ELEKTROTEKNIA Makina elektriko estatikoak eta birakariak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak LANBIDE HEZIKETAKO ZUZENDARITZA DIRECCION DE FORMACION

Διαβάστε περισσότερα

BIZIDUNEN OSAERA ETA EGITURA

BIZIDUNEN OSAERA ETA EGITURA BIZIDUNEN OSAERA ETA EGITURA 1 1.1. EREDU ATOMIKO KLASIKOAK 1.2. SISTEMA PERIODIKOA 1.3. LOTURA KIMIKOA 1.3.1. LOTURA IONIKOA 1.3.2. LOTURA KOBALENTEA 1.4. LOTUREN POLARITATEA 1.5. MOLEKULEN ARTEKO INDARRAK

Διαβάστε περισσότερα

ARIKETAK (1) : KONPOSATU ORGANIKOEN EGITURA KIMIKOA [1 3. IKASGAIAK]

ARIKETAK (1) : KONPOSATU ORGANIKOEN EGITURA KIMIKOA [1 3. IKASGAIAK] 1. Partzialeko ariketak 1 ARIKETAK (1) : KNPSATU RGANIKEN EGITURA KIMIKA [1 3. IKASGAIAK] 1.- ndorengo konposatuak kontutan hartuta, adierazi: Markatutako atomoen hibridazioa. Zein lotura diren kobalenteak,

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa HELBURUAK: HELBURUAK: sistema sistema mekaniko mekaniko baten baten oreka-ekuazioen oreka-ekuazioen ekuazioen planteamenduei planteamenduei buruzko buruzko ezagutzak ezagutzak errepasatu errepasatu eta

Διαβάστε περισσότερα

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I Gia eta Giarte Zietiak Matematika I. eta. ebaluaioak Zue erreala Segida errealak Ekuaio espoetialak Logaritmoak Ekuaio lieale sistemak ESTATISTIKA Aldagai diskretuak eta jarraiak Parametro estatistikoak

Διαβάστε περισσότερα

MOTOR ASINKRONOAK TRIFASIKOAK Osaera Funtzionamendua Bornen kaxa: Konexio motak (Izar moduan edo triangelu moduan):...

MOTOR ASINKRONOAK TRIFASIKOAK Osaera Funtzionamendua Bornen kaxa: Konexio motak (Izar moduan edo triangelu moduan):... Makina Elektrikoak MAKINA ELEKTRIKOAK... 3 Motak:... 3 Henry-Faradayren legea... 3 ALTERNADOREA:... 6 DINAMOA:... 7 Ariketak generadoreak (2010eko selektibitatekoa):... 8 TRANSFORMADOREAK:... 9 Ikurrak...

Διαβάστε περισσότερα

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA eman ta zabal zazu Euskal Herriko Unibertsitatea Informatika Fakultatea Konputagailuen Arkitektura eta Teknologia saila KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA KTL'2000-2001 Oinarrizko dokumentazioa lehenengo

Διαβάστε περισσότερα

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 1. AKTIBITATEA Lan Proposamena ARAZOA Zurezko oinarri baten gainean joko elektriko bat eraiki. Modu honetan jokoan asmatzen dugunean eta ukitzen dugunean

Διαβάστε περισσότερα

MARRAZKETA TEKNIKOA. Batxilergoa 1. Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala. erein

MARRAZKETA TEKNIKOA. Batxilergoa 1. Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala. erein MRRZKET TEKNIKO atxilegoa 1 Rafael Ciiza Robeto Galaaga Mª ngeles Gacía José ntonio Oiozabala eein Eusko Jaulaitzako Hezkuntza, Unibetsitate eta Ikeketa sailak onetsia (2003-09-25) zalaen diseinua: Itui

Διαβάστε περισσότερα

Polimetroa. Osziloskopioa. Elikatze-iturria. Behe-maiztasuneko sorgailua.

Polimetroa. Osziloskopioa. Elikatze-iturria. Behe-maiztasuneko sorgailua. Elektronika Analogikoa 1 ELEKTRONIKA- -LABORATEGIKO TRESNERIA SARRERA Elektronikako laborategian neurketa, baieztapen eta proba ugari eta desberdinak egin behar izaten dira, diseinatu eta muntatu diren

Διαβάστε περισσότερα

Oinarrizko mekanika:

Oinarrizko mekanika: OINARRIZKO MEKANIKA 5.fh11 /5/08 09:36 P gina C M Y CM MY CY CMY K 5 Lanbide Heziketarako Materialak Oinarrizko mekanika: mugimenduen transmisioa, makina arruntak eta mekanismoak Gloria Agirrebeitia Orue

Διαβάστε περισσότερα

LAN PROPOSAMENA. Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz.

LAN PROPOSAMENA. Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz. - 1-1. JARDUERA. LAN PROPOSAMENA. 1 LAN PROPOSAMENA Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz. BALDINTZAK 1.- Bai memoria (txostena),

Διαβάστε περισσότερα

9. GAIA: ZELULAREN KITZIKAKORTASUNA

9. GAIA: ZELULAREN KITZIKAKORTASUNA 9. GAIA: ZELULAREN KITZIKAKORTASUNA OHARRA: Zelula kitzikatzea zelula horretan, kinada egokiaren bidez, ekintza-potentziala sortaraztea da. Beraz, zelula kitzikatua egongo da ekintza-potentziala gertatzen

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA: DISOLUZIOAK ETA EZAUGARRI KOLIGATIBOAK

2. GAIA: DISOLUZIOAK ETA EZAUGARRI KOLIGATIBOAK 2. GAIA: DISOLUZIOAK ETA EZAUGARRI KOLIGATIBOAK 1. DISOLUZIOAK Disoluzioa (def): Substantzia baten partikulek beste substantzia baten barnean egiten duten tartekatze mekanikoa. Disolbatzaileaz eta solutuaz

Διαβάστε περισσότερα

Laborategiko materiala

Laborategiko materiala Laborategiko materiala Zirkuitu elektronikoak muntatzeko, bikote bakoitzaren laborategiko postuan edo mahaian, besteak beste honako osagai hauek aurkituko ditugu: Mahaiak berak dituen osagaiak: - Etengailu

Διαβάστε περισσότερα

KOSMOLOGIAREN HISTORIA

KOSMOLOGIAREN HISTORIA KOSMOLOGIAREN HISTORIA Historian zehar teoria asko garatu dira unibertsoa azaltzeko. Kultura bakoitzak bere eredua garatu du, unibertsoaren hasiera eta egitura azaltzeko. Teoria hauek zientziaren aurrerapenekin

Διαβάστε περισσότερα

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia)

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) 1.- Proiektuaren zergatia eta ezaugarri orokorrak Indarrean dagoen curriculumean zehazturiko Batxilergoko zientzietako jakintzagaiei dagozkien lanmaterialak

Διαβάστε περισσότερα

ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO GOMENDIOAK

ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO GOMENDIOAK ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO GOMENDIOAK Ikasmaterialen Aholku Batzordea Estilo-liburuaren seigarren atala 22 Euskara Zerbitzua Hizkuntza Prestakuntza ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO

Διαβάστε περισσότερα

Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak.

Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak. Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak. Egilea(k) Andoni Maiza Larrarte* * Eduki gehienak Zurbanok (1989), eta Ansa, Castrillón eta Francok (2011) prestatutako ikasmaterialetatik hartu dira. Egileak

Διαβάστε περισσότερα

KONPUTAGAILUEN PROGRAMAZIOA TURBO PASCAL BITARTEZ

KONPUTAGAILUEN PROGRAMAZIOA TURBO PASCAL BITARTEZ eman ta zabal zazu Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea BILBOKO INGENIARIEN GOI ESKOLA TEKNIKOA KONPUTAGAILUEN PROGRAMAZIOA TURBO PASCAL BITARTEZ I EGILEA: Jesus-Mari Romo Uriarte (hirugarren

Διαβάστε περισσότερα

1. GAIA PNEUMATIKA. Aire konprimitua, pertsonak bere baliabide fisikoak indartzeko erabili duen energia erarik antzinatakoa da.

1. GAIA PNEUMATIKA. Aire konprimitua, pertsonak bere baliabide fisikoak indartzeko erabili duen energia erarik antzinatakoa da. 1. GAIA PNEUMATIKA Aire konprimitua, pertsonak bere baliabide fisikoak indartzeko erabili duen energia erarik antzinatakoa da. Pneumatika hitza grekoek arnasa eta haizea izendatzeko erabiltzen zuten. Pneumatikaz

Διαβάστε περισσότερα

Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN:

Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN: Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN: 978-84-9860-669-0 Agurtzane Etxegarai Madina Zigor Larrabe Uribe EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko

Διαβάστε περισσότερα

Makroekonomiarako sarrera

Makroekonomiarako sarrera Makroekonomiarako sarrera Galder Guenaga Garai Segundo Vicente Ramos EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Aurkibidea Hitzaurrea. 1. GAIA: Makroekonomiaren ikuspegi orokorra. 1.1. Makroekonomia:

Διαβάστε περισσότερα

KIMIKA UZTAILA. Ebazpena

KIMIKA UZTAILA. Ebazpena KIMIKA 009- UZTAILA A1.- Hauspeatze-ontzi batean kobre (II) sulfatoaren ur-disoluzio urdin bat dugu, eta haren barruan zink-xafla bat sartzen dugu. Kontuan hartuta 5 C-an erredukzio-- potentzialak E O

Διαβάστε περισσότερα

Lan honen bibliografia-erregistroa Eusko Jaurlaritzako Liburutegi Nagusiaren katalogoan aurki daiteke: http://www.euskadi.net/ejgvbiblioteka ARGITARATUTAKO IZENBURUAK 1. Prototipo elektronikoen garapena

Διαβάστε περισσότερα

4 EURO 2014KO ABENDUA EUSKAL HEZIKETARAKO ALDIZKARIA. 20 urte euskal hezkuntza ospatuz

4 EURO 2014KO ABENDUA EUSKAL HEZIKETARAKO ALDIZKARIA. 20 urte euskal hezkuntza ospatuz 4 EURO 2014KO ABENDUA EUSKAL HEZIKETARAKO ALDIZKARIA hh hik hasi 193 20 urte euskal hezkuntza ospatuz REGGIO EMILIAKO ESPERIENTZIA JESUS MARI MUJIKA LOMCE-RI EZ ANTZERKHIZKUNTZA PROIEKTUA HIK HASI OSPAKIZUNETAN

Διαβάστε περισσότερα

ALKENOAK (I) EGITURA ETA SINTESIA

ALKENOAK (I) EGITURA ETA SINTESIA ALKENOAK (I) EGITURA ETA SINTESIA SARRERA Karbono-karbono lotura bikoitza agertzen duten konposatuak dira alkenoak. Olefina ere deitzen zaiete, izen hori olefiant-ik dator eta olioa ekoizten duen gasa

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROKARDIOGRAFO BATEN DISEINU ETA ERAIKUNTZA

ELEKTROKARDIOGRAFO BATEN DISEINU ETA ERAIKUNTZA Informatika Fakultatea / Facultad de Informática ELEKTROKARDIOGRAFO BATEN DISEINU ETA ERAIKUNTZA Ikaslea: Hurko Mendiguren Quevedo Zuzendaria: Txelo Ruiz Vázquez Karrera Amaierako Proiektua, 2013-ekaina

Διαβάστε περισσότερα

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA 1. HELBURUAK Kurtso honetarako prestatu den materialarekin, irakurlearentzat ohikoak diren matematikako sinboloak, notazioak, lengoaia matematikoa eta aritmetikako

Διαβάστε περισσότερα

1.- Hiru puntutatik konmutaturiko lanpara: 2.- Motore baten bira noranzkoaren aldaketa konmutadore baten bitartez: 3.- Praktika diodoekin:

1.- Hiru puntutatik konmutaturiko lanpara: 2.- Motore baten bira noranzkoaren aldaketa konmutadore baten bitartez: 3.- Praktika diodoekin: 1.- Hiru puntutatik konmutaturiko lanpara: 2.- Motore baten bira noranzkoaren aldaketa konmutadore baten bitartez: 3.- Praktika diodoekin: 1 Tentsio gorakada edo pikoa errele batean: Ikertu behar dugu

Διαβάστε περισσότερα

BIOLOGIA ETA GEOLOGIA3DBH I. BLOKEA: GIZAKIA (1)

BIOLOGIA ETA GEOLOGIA3DBH I. BLOKEA: GIZAKIA (1) BIOLOGIA ETA GEOLOGIA3DBH I. BLOKEA: GIZAKIA (1) Altitudea 600 km 80 km 50 km 12 km -100 C -50 C 0 C 50 C 100 C NOLAKOA DA LIBURU HAU? Unitateen egitura Unitatearen hasiera 3 Elikadura Elikadura osasuntsua

Διαβάστε περισσότερα

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II Giza eta Gizarte Zietziak Matematika II 3. ebaluazioa Probabilitatea Baaketa Normala eta Biomiala Lagi estatistikoak Iferetzia estatistikoa Hipotesiak Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) 1 PROBABILITATEA Igazio

Διαβάστε περισσότερα

KIMIKA 2008 Ekaina. Behar den butano masa, kj (1 mol butano / 2876,3 kj) (58 g butano/1mol butano) = 193,86 g butano

KIMIKA 2008 Ekaina. Behar den butano masa, kj (1 mol butano / 2876,3 kj) (58 g butano/1mol butano) = 193,86 g butano KIMIKA 008 Ekaina A-1.- Formazio-enta pia estandar hauek emanda (kj/mol-etan): C (g) =-393,5 ; H 0 (l) = -85,4 ; C 4 H 10 (g) = -14,7 a) Datu hauek aipatzen dituzten erreakzioak idatzi eta azaldu. b) Kalkulatu

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Txapa konformazioa

6. GAIA: Txapa konformazioa II MODULUA: METALEN KONFORMAZIO PLASTIKOA 6. GAIA: Txapa konformazioa TEKNOLOGIA MEKANIKOA INGENIARITZA MEKANIKO SAILA Universidad del País s Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea 6. Gaia: Txapa konformazioa

Διαβάστε περισσότερα

ENERGIA ARIKETAK Kg. eta 100 Km/h-tara mugitzen den kotxe baten energia zinetikoa kalkulatu. (Emaitza: E z= ,47 J.

ENERGIA ARIKETAK Kg. eta 100 Km/h-tara mugitzen den kotxe baten energia zinetikoa kalkulatu. (Emaitza: E z= ,47 J. ENERGIA ARIKETAK OINARRIZKO KONTZEPTUAK 1.- 1000 Kg. eta 100 Km/h-tara mugitzen den kotxe baten energia zinetikoa kalkulatu. (Emaitza: E z=385.802,47 J.) 2.- 500Kg.tako eta 10m-tara zintzilik dagoen masa

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Lana eta energia

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Lana eta energia 5 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Energia Energia motak Energiaren propietateak Energia iturriak Energia iturrien sailkapena Erregai fosilen ustiapena Energia nuklearraren ustiapena Lana Zer da

Διαβάστε περισσότερα

Ezaugarriak: Gaitasunak: Ikasgaia: KIMIKA ORGANIKOAREN OINARRIAK,

Ezaugarriak: Gaitasunak: Ikasgaia: KIMIKA ORGANIKOAREN OINARRIAK, Ikasgaia: KIMIKA GANIKAEN INAIAK, Urte Akademikoa: 2008-09 Titulazioa: Licenciatura en Química, Ingeniero Químico. Irakaslea: Jose Luis Vicario, (Kimika rganikoa II Saila) Ezaugarriak: Ikasgai honetan

Διαβάστε περισσότερα

Oscar Wilde. De profundis

Oscar Wilde. De profundis Oscar Wilde De profundis Izenburua: De profundis Egilea: Oscar Wilde Itzulpena: Aitor Arana Argitaratzea: Txalaparta argitaletxea e.m. Nabaz-Bides karrika, 1-2 78. posta-kutxa 31300 Tafalla NAFARROA Tel.

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKOAK, S.A. lukro-asmorik gabeko elkarteak argitaratu du obra hau, elkartearen sustatzaile eta partaideak honako erakunde hauek izanik:

KLASIKOAK, S.A. lukro-asmorik gabeko elkarteak argitaratu du obra hau, elkartearen sustatzaile eta partaideak honako erakunde hauek izanik: KLASIKOAK, S.A. lukro-asmorik gabeko elkarteak argitaratu du obra hau, elkartearen sustatzaile eta partaideak honako erakunde hauek izanik: BBVA Fundazioa Bilbao Bizkaia Kutxa BBK Gipuzkoa Donostia Kutxa

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIZITATEA. Elektrizitatearen atalak: 2.- Korronte elektrikoa. 1.- Karga elektrikoa Korronte elektrikoaren arriskuak

ELEKTRIZITATEA. Elektrizitatearen atalak: 2.- Korronte elektrikoa. 1.- Karga elektrikoa Korronte elektrikoaren arriskuak ELEKTRIZITATEA D.B.H. 1 Joseba Arruabarrena 2007ko Otsaila ren atalak: 1. Karga elektrikoa 2. Korronte elektrikoa 3. Zirkuitu elektrikoa 4. Magnitudeak: : Ohmen legea 5. Irudikapena eta ikurrak 6. Korronte

Διαβάστε περισσότερα

PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA. II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko. 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua

PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA. II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko. 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua 2009 PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua w w www.pisa.oecd.org ISEI-IVEIk argitaratuta: Irakas-Sistema

Διαβάστε περισσότερα

Enbriologia Orokorra eta Bereziko buruxka

Enbriologia Orokorra eta Bereziko buruxka Enbriologia Orokorra eta Bereziko buruxka Medikuntzako Ikasleen Elkartea Irakasgaieko irakaslea: Amale Caballero Lasquibar Ikasle-egilea: Adrian H. Llorente Aginagalde Oharra Apunte buruxka hau AEM/MIB

Διαβάστε περισσότερα

XX. mendeko olerkari greziarrak

XX. mendeko olerkari greziarrak XX. mendeko olerkari greziarrak R Ko l d o Ru i z d e Az u a Matónoo aditzak odolustu esan nahi du grekoz. Odolustu egin zen Grezia ia bi mendez. Lehenik, mende bat baino gehiago iraun zuen independentzia

Διαβάστε περισσότερα

Ekonomiarako Sarrera II: Makroekonomiaren Oinarriak Ariketa ebatziak

Ekonomiarako Sarrera II: Makroekonomiaren Oinarriak Ariketa ebatziak Ekonomiarako Sarrera II: Makroekonomiaren Oinarriak Ariketa ebatziak Andoni Maiza Larrarte 1 Cip. Unibertsitateko Biblioteka Maiza Larrarte, José Antonio Ekonomiarako sarrera II [Recurso electrónico]:

Διαβάστε περισσότερα

2 Lanaren etekinak. Gipuzkoako Foru Aldundia

2 Lanaren etekinak. Gipuzkoako Foru Aldundia 2 Lanaren etekinak 2.1 Zer dira lanaren etekinak? 2.1.1 Zein prestazio sartzen dira lan etekinen barruan? 2.2 Joan-etorriko dietak eta bidai gastuak lan etekinak al dira? 2.2.1 Arau orokorrak 2.2.2 Arau

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Batxilergo Zientifiko-Teknikoa MATEMATIKA II GEOMETRIA. Ignazio Zuloaga B.H.I. (Eibar)

Batxilergo Zientifiko-Teknikoa MATEMATIKA II GEOMETRIA. Ignazio Zuloaga B.H.I. (Eibar) atilego Zientifiko-Teknikoa MTEMTIK II GEOMETRI Ignaio Zloaga.H.I. (Eiba) URKIIDE Geometia EKTOREK ESPZION... EKTOREK ESPZION... V EKTORE-ESPZIO. DEFINIZIOK... E V eta R MULTZOEN RTEKO ERLZIO... ERREFERENTZI

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5

Διαβάστε περισσότερα

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS 1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα

DIABETEAREN DIETOTERAPIA

DIABETEAREN DIETOTERAPIA DIABETEAREN DIETOTERAPIA DIABETEAREN DIETOTERAPIA DEFINIZIOA ETA DIAGNOSTIKOA SAILKAPENA ETA ETIOLOGIA SEINALE KLINIKOAK ETA FISIOPATOLOGIA TRATAMENDUA DEFINIZIOA ETA DIAGNOSTIKOA Diabetes mellitus izena

Διαβάστε περισσότερα