I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa
|
|
- Βαρ-ιησούς Αλιβιζάτος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua antzinatean sortu zen eta denboran zehar hedatu eta orokortu da. Zenbaki osoei eta frakzionarioei, positiboei zein negatiboei, zero zenbakia barne delarik, zenbaki arrazional deritze. Edozein zenbaki arrazional bidez adieraz daiteke, p eta q bi zenbaki oso izanik. Adibidez: arrazoiaren Bereziki, p zenbaki osoa p eta 1 bi zenbaki osoen arteko idatz daiteke. Adibidez: arrazoi gisa Zenbaki arrazionalak frakzio dezimal finituen edo frakzio periodiko infinituen bidez idatz daitezke. Frakzio dezimal infinitu eta ez-periodikoen bidez idazten diren zenbakiei zenbaki irrazional deritze; adibidez: etab. Zenbaki arrazionalen eta irrazionalen bildurari zenbaki errealen multzo deritzo. Beren magnitudearen arabera ordenatzen dira, multzo ordenatua osatuz, hau da, edozein x eta y bi zenbaki errealetarako ondoko erlazioetariko bat eta soilik bat betetzen da: x < y, x = y, x > y. Zenbaki errealak zenbakizko ardatzeko puntuen bidez adieraz daitezke. Ondoko ezaugarriak dituen zuzen infinituari zenbakizko ardatz deritzo:
2 26 Kalkulu diferentziala eta integrala jatorria deritzon O puntu bat; gezi batez adierazten den noranzko positibo bat; eskala edo neurri-unitate bat. Oro har, zenbakizko ardatza horizontalean ipiniko dugu, ezkerretik x 1 zenbakia positiboa bada, O jatorriaren eskuin aldean dagoen eta OM 1 = x 1 distantziara kokatzen den M 1 puntuaren bidez adierazten da; x 2 zenbakia negatiboa bada, O puntuaren ezker aldean dagoen eta OM 2 = x 2 distantziara kokatzen den M 2 puntuaren bidez adieraziko dugu (1. irudia). O puntuak zero zenbakia adierazten du. Bistakoa denez, zenbaki erreal bakoitza zenbakizko ardatzeko puntu bakar baten bidez adierazten da. Bi zenbaki erreal desberdin 1. irudia. ardatzeko puntu desberdinen bidez adierazten dira. Hots, zenbakizko ardatzeko puntu bakoitzak zenbaki erreal bakar bat adierazten du, arrazionala zein irrazionala. Beraz, zenbaki erreal guztien eta zenbakizko ardatzeko puntu guztien artean korrespondentzia biunibokoa existitzen da: zenbaki bakoitzari zenbakizko ardatzean berori adierazten duen puntu bakar bat dagokio, eta, alderantziz, puntu bakoitzari zenbaki erreal bakar bat dagokio, puntua zenbakiaren irudia delarik. Beraz, «x zenbakia» eta «x puntua» sinonimoak dira eta horrela erabiliko ditugu liburu honetan. Onar dezagun, frogarik gabe, zenbaki errealen multzoaren hurrengo propietate garrantzitsua: edozein bi zenbaki errealen artean beti existitzen dira zenbaki arrazionalak eta irrazionalak. Geometrikoki, propietate horren esanahia hau da: zenbakizko ardatzeko edozein bi punturen artean beti daude puntu arrazionalak eta puntu irrazionalak. Ondorioz, teoriaren eta praktikaren arteko nolabaiteko «zubi» gisa erabiliko dugun hurrengo teorema enuntziatuko dugu. Teorema. Edozein α zenbaki irrazional zenbaki arrazionalen bidez adieraz daiteke nahi bezain zehazki. Izan ere, α > 0 zenbaki irrazionala izanik, kalkula dezagun α zenbakia baino errore txikiago batez (adibidez, etab.). α zenbakia edozein izanik, ondoz ondoko N eta N+1 bi zenbaki osoren artean kokatuta egongo da. Zatika dezagun N eta N+1 zenbakien arteko tartea n parte
3 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 27 berdinetan; orduan, α zenbakia eta bi zenbaki arrazionalen artean kokatuta egongo da. Zenbaki bi horien arteko kendura denez gero, bakoitzak α zenbakia adierazten du, aldez aurretik finkaturiko zehaztasunaz: lehenengoak behetik eta bigarrenak goitik. Adibidea. adierazten da: zenbaki irrazionala zenbaki arrazionalen bidez honela 1,4 eta 1,5, baino txikiagoa den erroreaz, 1,41 eta 1,42, baino txikiagoa den erroreaz, 1,414 eta 1,415, baino txikiagoa den erroreaz, etab. 2. ZENBAKI ERREAL BATEN BALIO ABSOLUTUA Aurrera jarraitzeko nahitaezkoa den zenbaki errealen balio absolutuaren kontzeptua landuko dugu. Definizioa. Hurrengo baldintzak betetzen dituen zenbaki erreal ez-negatiboa (bere idazkera x delarik) x zenbaki errealaren balio absolutua (edo modulua) dela esango dugu: x = x, x 0 denean; x = x, x < 0 denean. Adibideak. 2 = 2; 5 = 5; 0 = 0. Definiziotik ondorioztatzen da edozein x zenbakitarako x Azter ditzagun balio absolutuen zenbait propietate: x betetzen dela. 1. Zenbaki errealen arteko batura aljebraikoaren balio absolutua ez da batugaien balio absolutuen arteko batura baino handiagoa: x + y x + y. Froga. Izan bedi x + y 0. Orduan, x + y = x + y x + y (x x eta y y baitira). Orain, demagun x + y < 0 dela. Orduan: x + y = (x +y)= ( x) + ( y) frogatu nahi genuen bezala. Froga hori edozein batugai-kopurutara orokor daiteke erraz. x + y,
4 28 Kalkulu diferentziala eta integrala Adibideak < = = 5 edo 1 < 5; 3 5 = = = 8 edo 8 =8. 2. Bi zenbaki errealen arteko kenduraren balio absolutua ez da kenkizunaren eta kentzailearen balio absolutuen arteko kendura baino txikiagoa: Froga. Demagun x y = z dela. Orduan, x = y + z, eta aurretik frogaturikoaren arabera, hurrengoa dugu: eta hortik hori da frogatu behar zena. 3. Biderkaduraren balio absolutua faktoreen balio absolutuen arteko biderkadura da: 4. Zatiduraren balio absolutua zatikizunaren balio absolutua eta zatitzailearena zatituz lortuko da: Azken bi propietateak balio absolutuaren definiziotik zuzenean ateratzen dira. 3. MAGNITUDE ALDAKORRAK ETA KONSTANTEAK Magnitude fisiko batzuk neurtzean, hala nola denbora, luzera, azalera, bolumena, masa, abiadura, presioa, tenperatura, etab., beren zenbakizko balioak lortzen dira. Matematikak magnitudeak aztertzean dautza, horien eduki zehatzaren abstrakzioa eginez. Horregatik, magnitudeei buruz hitz egitean, beren zenbakizko balioak kontuan izango ditugu. Hainbat fenomenotan magnitude batzuk aldatzen dira, hots, beren zenbakizko balioa aldatzen da, eta beste magnitude batzuen balioa, ordea, konstante mantentzen da. Adibidez, puntu baten higidura uniformean denbora eta distantzia aldatzen dira, abiadura konstantea mantentzen delarik. Zenbakizko balio desberdinak har ditzakeen magnitudeari magnitude aldakor edo, hitz bakar batez esanda, aldagai deritzo. Zenbakizko balioa aldatzen ez duen
5 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 29 magnitudeari konstante esaten zaio. Hemendik aurrera, aldagaiak x, y, z, u... letren bidez izendatuko ditugu, eta magnitude konstanteak a, b, c,..., etab. letren bidez. Oharra. Matematikan, maiz, konstanteak magnitude aldakorren edo aldagaien kasu berezitzat hartzen dira: konstante bat zenbakizko balio guztiak berdinak dituen aldagaia da. Hala ere, hainbat fenomeno fisiko aztertzean, magnitude bera kasu batzuetan konstantea eta beste batzuetan aldakorra izan daitekeela kontuan hartzea komeni da. Adibidez, higidura uniformedun gorputzaren abiadura magnitude konstantea da, uniformeki azeleraturiko higiduran, ordea, magnitude hori aldakorra delarik. Edozein fenomenotan zenbakizko balioa aldaezin mantentzen duten magnitudeei konstante absolutu deritze. Adibidez, zirkunferentziaren luzeraren eta diametroaren arteko arrazoia magnitude konstantea da, bere balioa π 3,14159 delarik. Aurrerago ikusiko dugu aldagaiaren kontzeptua oinarrizkoa dela kalkulu diferentzialean eta integralean. Friedrich Engels-ek Naturaren Dialektikan hau idatzi zuen: «Matematiken bira-puntua Descartes-en magnitude aldakorra izan zen. Hark matematiketan higidura sartu zuen eta, berarekin, dialektika, baita, beraz, eta ezinbestez, kalkulu diferentziala eta integrala ere». 4. ALDAGAI BATEN DEFINIZIO-EREMUA Magnitude aldakor batek zenbakizko balio desberdinak har ditzake. Aztertzen den problemaren arabera, balio horien multzoa alda daiteke. Adibidez, baldintza normaletan ura berotzean, bere tenperaturak 15 C 18 C bitarteko ingurumentenperaturatik 100 C-ko irakite-punturaino jo dezake. Beste adibide bat: x = cos α aldagaiak 1 eta +1 bitarteko edozein balio har dezake. Magnitude aldakor baten balioak zenbakizko ardatzeko puntuen bidez adierazten dira geometrikoki. Adibidez, x = cos α aldagaiaren balioak, edozein α-tarako, zenbakizko ardatzean 1 eta +1 balioen artean kokatzen diren puntuen multzoa-ren bidez adierazten dira, 1 eta +1 barne direlarik (2. irudia). 2. irudia.
6 30 Kalkulu diferentziala eta integrala Definizioa. Aldagai batek har ditzakeen zenbakizko balioen multzoari aldagaiaren definizio-eremu deritzo. Aipa ditzagun testuan zehar maiz azalduko diren zenbait aldagairen definizioeremuak. a eta b muturretako tarte irekia edo tartea emaniko a eta b (a < b) bi zenbakiren artean kokaturiko x-ren zenbakizko balio guztien multzoa da, a eta b muturrak izan ezik; hau da, a eta b ez daude multzoan. Hori (a,b) edo a < x < b desberdintzen bidez adieraziko dugu. a eta b muturretako tarte itxi edo segmentu deritzo a eta b artean dauden x-ren zenbakizko balioen multzoari, a eta b muturrak barne direnean. Hori [a,b] idazkeraren edo a x b desberdintzen bidez adieraziko dugu. a edo b zenbakietariko bat (a adibidez) tartearen barnean dagoenean, eta bestea ez, tarte erdi itxia dugu; hori a x < b desberdintzen bidez adieraz daiteke, idazkera [a,b) izanik. b zenbakia tartean badago, a ez dagoelarik, (a,b] tarte erdi itxia dugu eta ondoko desberdintzen bidez adieraz dezakegu: a < x b. x aldagaiak a baino handiagoak diren balio guztiak hartzen dituenean, tartea (a,+ ) izango da eta ohiko desberdintza hauen bidez adieraziko dugu: a < x < +. Modu berean, ondoko tarte infinituak aipa ditzakegu: a x < + ; < x < c; < x c; < x < +. Adibidea. x = cos α aldagaiaren definizio-eremua, α balioa edozein izanik, [ 1,1] tarte itxia da, 1 x 1 desberdintzen bidez adieraz dezakegularik. Aurreko definizioetan «zenbaki» hitzaren ordez «puntu» hitza erabil dezakegu. Adibidez: a eta b (tarte itxiaren muturrak) bitartean kokaturiko puntuen multzoa tarte itxia dela esango dugu, a eta b muturrak multzo horren barnean direnean. x 0 puntua barnean duen (a,b) tarte irekiari, hau da, a < x 0 < b betetzen duten a eta b muturretako (a,b) tarte irekiari, puntu horren ingurune deritzo. Maiz (a,b) tartea halako moldez aukeratzen da, non x 0 erdiko puntua den. Horrela denean, x 0 puntuari ingurunearen zentro deritzo eta magnitudeari ingurunearen erradio deritzo. 3. irudiak x 0 zentroko eta ε erradioko (x 0 ε, x 0 + ε) ingurunea adierazten du.
7 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa irudia. 5. ALDAGAI ORDENATUA. ALDAGAI GORAKORRAK ETA BEHERAKORRAK. ALDAGAI BORNATUA Hitzarmenez, x aldagai bat ordenatua da bere definizio-eremua ezagutzen bada eta bere balioen edozein bikotetarako zehaztu badaiteke zein den aurrekoa eta zein den atzekoa. Definizio horretan «aurreko» eta «atzeko» kontzeptuak ez daude denborari lotuak, aldagaiaren bi balio horiek ordenaturik dauden modua adierazten dute besterik gabe. x 1, x 2, x 3,..., x k,... zenbaki-segida aldagai ordenatu baten kasu berezitzat har dezakegu, non, k' <k izanik, x k' balioa aurrekoa eta x k atzekoa diren, bietatik handiagoa zein den jakiteak garrantzirik izan gabe. 1. Definizioa. Aldagaiaren atzeko balio bakoitza aurreko balio bakoitza baino handiagoa denean, aldagaia gorakorra dela esango dugu. Alderantziz, atzeko balio bakoitza aurreko balio bakoitza baino txikiagoa denean, aldagaia beherakorra izango da. Aldagai gorakorrei eta beherakorrei monotono deritze. Adibidea. Zirkunferentzia batean inskribaturiko poligono erregular baten aldeen kopurua bikoiztean, poligonoaren S azalera aldagai gorakorra da. Zirkunferentzia baten inguruan zirkunskribaturiko poligono erregular baten aldeen kopurua bikoiztean, poligono horren azalera aldagai beherakorra da. Ohar gaitezen aldagai bat ez dela derrigorrean gorakor edo beherakor izan behar. Adibidez, x = sinα aldagaia ez da monotonoa, α magnitudea [0, 2π] tarte itxian gorakorra denean. Hasieran 0tik 1era goratzen da, ondoren 1etik 1era beheratzen da eta, azkenik, 1etik 0ra goratzen da berriro. 2. Definizioa. x aldagaia bornatua dela esango dugu M > 0 konstante bat badago, non, balio batetik aurrera, atzeko balio guztiek M x M, hau da, x M baldintza betetzen duten. Hau da, aldagai bat bornatua dela esango dugu [ M,M] tarte itxi bat badago, non, balio batetik aurrera, bere atzeko balio guztiak aipatutako tarte itxian kokatzen badira. Hala ere, aldagaiak ez du [ M,M] tarte itxiko balio guztiak zertan hartu. Esate baterako, [ 2,2] tarte itxiko balio arrazionalak har ditzakeen aldagaia bornatua da. Hala ere, ez ditu tarte itxi horretako balio guztiak hartzen (balio irrazionalak hain zuzen ere).
8 32 Kalkulu diferentziala eta integrala 6. FUNTZIOA Naturako zenbait fenomeno aztertzean eta problema teknikoak, beraz, matematikoak, ebaztean magnitude batek beste baten aldakuntzarekiko duen aldakuntza aztertzeko beharra sortzen da. Adibidez, higidura aztertzean, ibilbidea denboraren mende dagoen aldagaitzat hartzen da. Hortaz, ibilbidea denboraren funtzioa da. Ikus dezagun beste adibide bat. Jakina denez, Q = πr 2 formula ezagunak zirkuluaren azalera bere erradioaren funtzio gisa ematen du. R erradioak zenbakizko balio desberdinak hartzen dituenean, Q azalerak ere balio desberdinak hartzen ditu. Ikusten dugunez, magnitude baten aldakuntza beste baten aldakuntzaren kausa da. Aipaturiko adibidean, Q azalera R erradioaren funtzioa da. Eman dezagun «funtzio» kontzeptuaren definizioa. 1. Definizioa. x aldagaiak eremu batean hartzen duen balio bakoitzari y aldagaiaren balio bat dagokionean, y aldagaia x-ren funtzio dela esaten da. Aurrekoa honela adieraz daiteke sinbolikoki: y = f(x), y = ϕ(x), etab. x aldagaiari aldagai independente edo argumentu deritzo. x eta y aldagaien arteko erlazioari mendekotasun funtzional deritzo. Mendekotasun funtzionalaren y = f(x) idazkera sinbolikoan agertzen den f letrak y-ri dagokion balioa lortzeko x- rekin zenbait eragiketa egin behar direla esan nahi du. y = f(x), u = ϕ(x) etab. idazkeren ordez, batzuetan y = y(x), u = u(x) etab. erabiltzen dira. Horrela denean, y, u, etab. letrek hala mendeko aldagaiak nola x-rekin egin beharko diren eragiketen multzoaren ikurrak adierazten dituzte. C konstantea denean, y = C idazkeraren bidez, x-ren balioa edozein izanik, C balio konstantea duen funtzioa adierazten da. 2. Definizioa. y funtzioaren balioak f(x) legearen bidez emanik daudenean, x balioen multzoari funtzioaren definizio-eremu deritzo. 1. Adibidea. y = sinx funtzioa x-ren balio guztietarako definituta dago. Beraz, bere definizio-eremua hurrengo tarte infinitua da: < x < Oharra. x eta y = f(x) aldagaien artean mendekotasun funtzionala badago eta horiek aldagai ordenatutzat hartzen baditugu, argumentuaren x* eta x** balioei dagozkien funtzioaren y* = f(x*) eta y** = f(x**) balioetatik atzekoa izango da argumentuaren atzeko balioari dagokiona. Horrek hurrengo definizioa ematera garamatza.
9 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa Definizioa. Argumentu edo aldagai independentearen balio handiagoei y = f(x) funtzioaren balio handiagoak dagozkienean, y = f(x) funtzioa gorakorra dela esaten da. Modu berean, funtzio beherakorra definitzen da. 2. Adibidea. Q=πR 2 funtzioa gorakorra da 0 < R <+ denean, R-ren balio handiagoei Q-ren balio handiagoak dagozkielako. 2. Oharra. Batzuetan, «funtzio» kontzeptuaren definizioan, eremu bateko x- ren balio bakoitzari y-ren balio bat baino gehiago, baita kopuru infinitua ere, dagozkiola onartzen da. Kasu horretan, funtzioa multiformea dela esaten da, aurrerago definitu dugun funtzioari uniforme deritzolarik. Hemendik aurrera, funtzio uniformeei funtzio deituko diegu, eta nahaste-arazorik sor ez dadin, funtzio multiformeak erabiltzean horrelakoak direla adieraziko dugu. 7. FUNTZIOEN ZENBAIT ADIERAZPIDE I. TAULEN BIDEZ EMANIKO FUNTZIOAK Prozedura honetan, argumentuaren balioak era ordenatuan jartzen dira, x 1, x 2,..., x n, eta, modu berean, dagozkien funtzioaren y 1, y 2,..., y n balioak idazten dira. x x 1 x 2... x n y y 1 y 2... y n Horrelakoak dira funtzio trigonometrikoen, logaritmikoen, eta abarren taulak. Neurturiko magnitudeen artean existitzen den mendekotasun funtzionala azaltzen duten taulak zenbait fenomenoren azterketa esperimentalaren ondorio gisa ere ager daitezke. Horrela, adibidez, egun batean zehar meteorologia-estazio batean neurturiko airearen tenperaturaren datuak, hurrengo taulan ematen dira: t denborarekiko (ordutan) T tenperaturaren balioa (gradu zentigradutan) t T , ,5 4 Taula horrek Tt-ren funtzioan ematen du. II. FUNTZIOEN ADIERAZPEN GRAFIKOA Koordenatu angeluzuzen edo kartesiarren sistemaren planoan M(x,y) puntuen multzoa emanik, puntu pare bat ere Oy ardatzaren paraleloa den zuzen batean egon gabe, multzo horrek y = f(x) funtzio bat definitzen duela esan dezakegu. Puntu
10 34 Kalkulu diferentziala eta integrala horien abzisak argumentuaren balioak dira, eta dagozkien ordenatuak funtzioarenak (4. irudia). 4. irudia. Funtzioaren grafiko deritzo (Oxy) planoko puntuen multzoari, non abzisak aldagai independentearen balioak diren, eta ordenatuak dagozkien funtzioarenak. III. FUNTZIOEN ADIERAZPEN ANALITIKOA Hasteko, «adierazpen analitiko» kontzeptuaren esanahia finkatuko dugu. Magnitude konstanteak eta aldakorrak adierazten dituzten zifrekin eta letrekin emaniko ordena batean egin behar diren eragiketa matematikoen idazkera sinbolikoari adierazpen analitiko deritzo. Eragiketa matematikoak eragiketa elementalak (batuketa, kenketa, erroketa, etab.) ez ezik, ikastaro hau garatu ahala determinatuko direnak ere izango dira. Ondokoak adierazpen analitikoen adibideak dira: etab. y = f(x) mendekotasun funtzionalean f adierazpen analitikoa bada, x-ren y funtzioa analitikoki emanik dagoela esango dugu. Hurrengoak analitikoki emaniko funtzioen adibideak dira: Hor, funtzioak formula bakar baten bidez adierazita daude analitikoki (bi adierazpen analitikoen arteko berdintzari formula deritzo). Kasu horietan definizio-eremu naturalaz hitz egin dezakegu. Adierazpen analitikoak, edo berdintzaren bigarren atalak, ondo definituriko balio bat duen x-ren balioen multzoari, analitikoki definiturik dagoen funtzioaren definizio-eremu natural deritzo. Horrela, adibidez, y = x 4 2 funtzioaren definizio-eremu naturala < x <+ tarte infinitua da, funtzioa x-ren balio guztietarako definituta baitago. 5. irudia.
11 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 35 funtzioa, x-ren balio guztietarako definituta dago, izendatzailea anulatzen duen x = 1 baliorako izan ezik. naturala 1 x 1 tarte itxia da, etab. funtzioaren definizio-eremu Oharra. Batzuetan, funtzioaren definizio-eremu naturalaren parte bat besterik ez dugu kontuan hartuko. Horrela, zirkuluaren Q azalera, Q = πr 2 formularen bidez R erradioaren funtzio gisa adierazten da. Problema geometriko berezi hori aztertzean funtzio horren definizio-eremua 0 < R < + tarte infinitua dela bistakoa da; ordea, funtzioaren definizio-eremu naturala < R <+ tarte infinitua da. y = f(x) funtzioa analitikoki emanik dagoenean, grafikoki adieraz daiteke Oxy koordenatu-planoan. Horrela, adibidez, y=x 2 funtzioaren grafikoa 5. irudian agertzen den parabola da. 8. FUNTZIO ELEMENTAL NAGUSIAK. FUNTZIO ELEMENTALAK Analitikoki adierazten diren funtzio elemental nagusiak hurrengoak dira: I. Berreketa funtzioa: y = x α, α zenbaki erreala delarik 1. II. Funtzio esponentziala: y = a x, a zenbaki positiboa eta 1en desberdina delarik (a >0,a 1). III. Funtzio logaritmikoa: y = log a xa oinarria zenbaki positiboa eta 1en desberdina delarik. IV. Funtzio trigonometrikoak: y =sinx, y =cosx, y = tan x, y =cotx, y =secx, y = csc x. V. Alderantzizko funtzio trigonometrikoak: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x, y = arcsec x, y = arccsc x. Definizio-eremuak emango ditugu eta funtzio elemental nagusien grafikoak eraikiko ditugu. BERREKETA FUNTZIOA 1. α zenbaki oso positiboa da. Funtzioa < x <+ tarte infinituan definituta dago. Kasu honetan, α balio desberdinei dagozkien funtzioen grafikoak 6. eta 7. irudietan adierazten dira. 1. α zenbaki irrazionala bada, funtzio hori logaritmoaren eta antilogaritmoaren bidez kalkulatzen da: log y = α log x, x > 0 suposatuz.
12 36 Kalkulu diferentziala eta integrala 6. irudia. 7. irudia. 2. α zenbaki oso negatiboa da. Kasu honetan, x = 0 denean izan ezik, funtzioa x-ren balio guztietarako definituta dago. 8. eta 9. irudietan funtzio honen grafikoak adie-razten dira, α-ren balio desberdinetarako. 8. irudia. 9. irudia. 10., 11. eta 12. irudietan berreketa funtzioaren grafikoak adierazten dira α-ren balioak zenbaki arrazional frakzionarioak direnean. 10. irudia. 11. irudia. 12. irudia. FUNTZIO ESPONENTZIALA, y = a x ; a >0; a 1 Funtzio hau x aldagaiaren balio guztietarako definituta dago. Bere grafikoa 13. eta 14. irudietan adierazten da.
13 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa irudia. 14. irudia. FUNTZIO LOGARITMIKOA, y = log a x; a >0; a 1 Funtzio hau x > 0 balioetarako definituta dago. Bere grafikoa 15. irudian azaltzen da. FUNTZIO TRIGONOMETRIKOAK y = sin x, etab. formuletan x aldagai independentea radianetan adierazten da. Aipaturiko funtzio trigonometriko guztiak periodikoak dira. Beren definizio orokorra hau da: 1. Definizioa. c zenbaki konstante bat existitzen bada, zein x aldagai independenteari batzean (edo kentzean) funtzioaren balioa aldatzen ez den, hots, f(x + c) = f(x), y = f(x) funtzioa periodikoa dela esango dugu. Zenbaki konstante horren balio minimoari funtzioaren periodo deituko diogu eta 2l izendatuko dugu hemendik aurrera. Definizioaren arabera, y = sin x funtzioa periodikoa da, periodoa 2π delarik: sin x =sin(x +2π). y =cosx funtzioaren periodoa ere 2π da. y = tan x eta y =cotx funtzioen periodoa π da. y =sinx eta y =cosx funtzioak x-ren balio guztietarako definiturik daude. y = tan x eta y =secx funtzioak, 15. irudia. x =(2k+1) (k = 0, 1, 2...) balioetan izan ezik, puntu guztietan daude definiturik; y =cotx eta y =cosecx, x = kπ (k = 0, 1, 2...) balioetan izan ezik, x-ren balio guztietarako daude definituta. Funtzio trigonometrikoen grafikoak irudietan azaltzen dira. Aurrerago, alderantzizko funtzio trigonometrikoak zehaztasunez aztertuko ditugu.
14 38 Kalkulu diferentziala eta integrala Sar dezagun orain «funtzioaren funtzio» kontzeptua. y aldagaia u-ren funtzioa bada eta u bera x aldagaiaren funtzioa bada, y aldagaia ere x-ren mendekoa da, y = F(u) eta u = ϕ(x) badira, y x-ren ondoko funtzioa izango da: Azken horri funtzioaren funtzio edo funtzio konposatu deritzo. 1. Adibidea. Izan bitez y = sin u, u = x 2, y =sin(x 2 ) x-ren funtzio konposatua da. 16. irudia. 17. irudia. 1. Oharra. funtzioaren definizio-eremua u = ϕ(x) funtzioaren eremu osoa da, edo horren zati bat, non u-ren balioak ez diren ateratzen F(u) funtzioaren definizio-eremutik. 2. Adibidea. funtzioaren definizio-eremua [ 1,1] tarte itxia da, x > 1 denean, u < 0 baita eta, beraz, funtzioa ez dagoelako definiturik (nahiz eta u =1 x 2 funtzioa x-ren balio guztietarako definituta egon). Funtzio honen grafikoa zentroa koordenatu-jatorrian duen bat erradioko zirkunferentziaren goi-erdia da. 18. irudia. 19. irudia.
15 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 39 «Funtzioaren funtzio» eragiketa ez behin, baizik eta edozein aldi-kopurutan egin daiteke. Adibidez, funtzioa honako funtzioek definitzen dituzten ondoz ondoko eragiketak eginez lortzen da: v = x 2 + 1, u =sin v, y =lnu. Sar dezagun orain funtzio elemental delako kontzeptua. 2. Definizioa. y = f(x) formula bakar baten bidez eman daitekeen funtzioari, non berdintzaren bigarren atala funtzio elemental nagusiz eta konstantez osaturik dagoen, batuketen, kenketen, biderketen, zatiketen eta funtzioaren funtzioen kopuru finituen bidez, funtzio elemental deritzo. Definizio horretatik funtzio elementalak analitikoki definituriko funtzioen kasu berezia direla ondorioztatzen da. 20. irudia. Honakoak funtzio elementalen adibideak dira: Funtzio ez-elementalen adibidea: 1. ez da funtzio elementala, y kalkulatzeko egin behar diren eragiketen kopurua n balioarekin batera handitzen baita, hots, eragiketen kopurua infinitua da. 2. Oharra. 20. irudian azaltzen den funtzioa elementala da, nahiz eta bi formularen bidez adierazita egon: f(x)=x, 0 x 1 denean; f(x)=2x 1, 1 x 2 denean. Funtzio hori 2. definizioan aipatutako y = f(x) formula bakarraren bidez adieraz daitekeela froga daiteke (ikus V. kapituluko ariketak).
16 40 Kalkulu diferentziala eta integrala 9. FUNTZIO ALJEBRAIKOAK Hurrengo funtzio elementalei funtzio aljebraiko deritze: I. FUNTZIO ARRAZIONAL OSOA EDO POLINOMIOA y = a 0 x n + a 1 x n a n, non a 0, a 1,..., a n koefiziente deituriko zenbaki konstanteak diren, n zenbaki oso eta positiboa polinomioaren maila delarik. Bistakoa denez, aipaturiko funtzio hori x-ren balio guztietarako definituta dago, hots, tarte infinitu batean. Adibideak. 1. y = ax + b funtzio lineala da. b = 0 denean, y = ax funtzio linealak y eta x aldagaien arteko mendekotasun proportzionala adierazten du, a = 0 eta y = b badira, funtzioa konstante da. 21. irudia. 2. y = ax 2 + bx + c funtzio koadratikoa da. Funtzio koadratikoaren grafikoa parabola bat da (21. irudia). Funtzio hauek geometria analitikoaren ikasgaian aztertu dira zehaztasunez. 22. irudia. II. FUNTZIO ARRAZIONAL FRAKZIONARIOA. Funtzio hau polinomio biren arteko zatiketaren bidez adierazten da:
17 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 41 Funtzio arrazional frakzionarioen adibide gisa, mendekotasun alderantziz proportzionala adierazten duen funtzioa eman dezakegu. Bere grafikoa 22. irudian azaltzen da. Bistakoa denez, izendatzailea anulatzen duten balioetarako izan ezik, funtzio arrazional frakzionarioa x-ren balio guztietarako definituta dago. III. FUNTZIO IRRAZIONALA. y = f(x) berdintzaren bigarren atalean batuketak, kenketak, biderketak, zatiketak eta berreketak egiten badira, berretzaileak zenbaki arrazional ez-osoak izanik, y = f(x) funtzioari funtzio irrazional deritzo. Hurrengo funtzioak irrazionalak dira: 1. Oharra. Funtzio aljebraiko guztiak ez dira kokatzen aipaturiko funtzioen hiru mota horietan. y = f(x) funtzioak P 0 (x)y n + P 1 (x)y n P n (x)=0 (1) motako ekuazio bat betetzen duenean, P 0 (x),p 1 (x),..., P n (x) x-ren polinomioak direlarik, funtzio horri funtzio aljebraiko deritzo. Froga daitekeenez, aipaturiko hiru motetako funtzioek (1) moduko ekuazio bat betetzen dute; ostera, ekuazioa betetzen duten funtzio guztiak ez dira izango hiru mota horietakoak. 2. Oharra. Aljebraikoa ez den funtzioari transzendente deritzo. Hurrengoak funtzio transzendenteak dira: y =cosx; y =10 x ; etab. 10. KOORDENATU POLARREN SISTEMA Planoko puntuen posizioa koordenatu polarren sistemaren bidez adieraz daiteke. Aukera ditzagun planoan poloa delako O puntu bat eta O puntuan jatorria duen ardatz polar izeneko zuzenerdi bat. M puntu batek planoan duen posizioa ρ eta ϕ bi zenbakien bidez adierazten da. Lehenengoak M puntutik polorainoko distantzia ematen du eta bigarrenak OM segmentuak ardatz polarrarekin osatzen duen angelua adierazten du. ϕ angeluaren noranzko positibotzat erloju-orratzen kontrakoa hartuko dugu. ρ eta ϕ zenbakiei M puntuaren koordenatu polar deritze (23. irudia). ρ erradio bektorea ez-negatibotzat hartzen da beti. ϕ angelu polarraren balioa 0 ϕ <2π mugen artean aldatzen bada, poloa ez den planoko edozein punturi
18 42 Kalkulu diferentziala eta integrala ondo definituriko ρ eta ϕ balioen bikote bat dagokio. Poloan, ρ = 0 da eta ϕ-k edozein balio har dezake. 23. irudia. Kalkula dezagun koordenatu polarren eta koordenatu kartesiar edo angeluzuzenen artean dagoen erlazioa. Jo dezagun koordenatu angeluzuzenen jatorria eta poloa puntu berbera direla eta Ox ardatzaren noranzko positiboa ardatz polarrarena dela. Ikus dezagun zer erlazio dagoen puntu baten koordenatu kartesiarren eta polarren artean. 24. iruditik ondokoa ondorioztatzen da: eta alderantziz x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ Oharra. ϕ finkatzeko, puntua dagoen koadrantea kontuan izan beharko dugu, eta ϕ-ren balio zuzena aukeratu. Koordenatu polarren sisteman ρ = F(ϕ) ekuazioak lerro bat adierazten du. 24. irudia. 25. irudia. 1. Adibidea. Koordenatu polarretan, ρ = a ekuazioak, a konstantea denean, poloan zentroa duen a erradioko zirkunferentzia ematen du. Zirkunferentzia horren ekuazioa koordenatu angeluzuzenetan honako hau izango da (25. irudia):
19 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa Adibidea. ρ = a ϕ, non a=kte. baita. Koka ditzagun taula batean ϕ-ren araberako ρ-ren balio batzuk: Funtzio horri dagokion kurba 26. irudian adierazten da eta Arkimedes-en kiribil deritzo. 3. Adibidea. ρ = 2a cos ϕ. 3 4 Aurreko hori, ρ 0 = a eta ϕ = 0 puntuan zentroa duen a erradioko zirkunferentziaren ekuazioa da (27. irudia). Idatz dezagun zirkunferentzia horren ekuazioa koordenatu angeluzuzenetan ,78a 1,57a 2,36a 3,14a 4,71a 6,28a 9,42a 12,56a 26. irudia. 27. irudia. Ekuazio horretan balioak ordezkatuz, lortzen dugu, hots, x 2 + y 2 2ax = 0. ARIKETAK 1. f(x)=x 2 +6x 4 funtzioa emanik, egiaztatu f(1) = 3 eta f(2) = 23 betetzen direla. 2. f(x)=x Kalkulatu ondoko balioak: a) f(4). Emaitza: 17. b) Em.: 3. c) f(a + 1). Em.: a 2 +2a +2. d) f(a) + 1. Em.: a 2 +2.
20 44 Kalkulu diferentziala eta integrala e) f(a 2 ). Em.: a f) Em.: a 4 +2a g) f(2a). Em.: 4a Aurkitu ondoko adierazpenak: Em.: 4. Em.: 5. f(θ) = tan θ. Egiaztatu hurrengo berdintza: f(x)=logx; ϕ(x)=x 3. Aurkitu hurrengo adierazpenak: a) f[ϕ(2)]. Em.: 3 log 2. b) f[ϕ(a)]. Em.: 3 log a. c) ϕ[f(a)]. Em.: [log a] Adierazi y =2x funtzioaren definizio-eremu naturala. Em.: < x < Adierazi hurrengo funtzioen definizio-eremu naturalak: a) Em.: 1 x +1. b) Em.: 3 x 7. c) Em.: < x < +. d) Em.: x a. e) arcsin 2 x. Em.: 1 x 1. f) y =logx. Em.: x >0. g) y = a x (a > 0). Em.: < x < +. Egin ondoko funtzioen grafikoak: 10. y = 3x y =3 2x 2.
21 Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa y = x 2 + 2x y =sin2x. 16. y = cos 3x. 17. y = x 2 4x y =3 x. 24. y =2 x y = x y =4 x y = x y = x y = x. 35. y =lb x. 36. y =lb(1 x) f(x) funtzioa honela dago definiturik [-1,1] tartean: f(x)=1+x, 1 x < 0 denean; f(x)=1 2x, 0 x 1 denean. 40. f(x) funtzioa honela dago definiturik [0,2] tartean: f(x)=x 3, 0 x < 1 denean; f(x)=x, 1 x 2 denean. Eraiki koordenatu polarren bidez emaniko ondoko kurbak: 41. (kiribil hiperbolikoa). 42. ρ = a ϕ (kiribil logaritmikoa). 43. (lemniskata). 44. ρ = a(1 cosϕ) (kardioidea). 45. ρ = a sin 3ϕ.
DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )
DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak
Διαβάστε περισσότεραAldagai Anitzeko Funtzioak
Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x
Διαβάστε περισσότεραARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten
Διαβάστε περισσότερα7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i
7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela
Διαβάστε περισσότεραANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna
Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x
Διαβάστε περισσότερα= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.
1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi
Διαβάστε περισσότεραBanaketa normala eta limitearen teorema zentrala
eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza
Διαβάστε περισσότεραEUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA
EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako
Διαβάστε περισσότερα9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak
9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin
Διαβάστε περισσότερα1 Aljebra trukakorraren oinarriak
1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN
Διαβάστε περισσότεραHasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa
1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015
MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika
Διαβάστε περισσότεραZinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa
Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................
Διαβάστε περισσότερα3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos
3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia
Διαβάστε περισσότεραInekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak
5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen
Διαβάστε περισσότεραFuntzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK
Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK
Διαβάστε περισσότεραZirkunferentzia eta zirkulua
10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak
Διαβάστε περισσότεραDBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x
Διαβάστε περισσότερα1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.
1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra
Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................
Διαβάστε περισσότεραZenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK
Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien
Διαβάστε περισσότερα2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA
2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA: Ekuazio diferenzialak
4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................
Διαβάστε περισσότεραPoisson prozesuak eta loturiko banaketak
Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune
Διαβάστε περισσότεραHirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea
Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste
Διαβάστε περισσότερα(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n
5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 2: dinamika eta estatika
Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu
Διαβάστε περισσότερα6. GAIA: Oinarrizko estatistika
6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,
Διαβάστε περισσότερα7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k
7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a
Διαβάστε περισσότεραTrigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK
Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia
MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren
Διαβάστε περισσότερα9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko
9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua
Διαβάστε περισσότερα1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...
Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren
Διαβάστε περισσότερα5. GAIA Solido zurruna
5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)
PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:
Διαβάστε περισσότερα1. Oinarrizko kontzeptuak
1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili
Διαβάστε περισσότερα10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a
1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa
Διαβάστε περισσότεραHidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean
Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten
Διαβάστε περισσότερα4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK
4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale
Διαβάστε περισσότεραFISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak
1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura
Διαβάστε περισσότερα1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak
1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)
Διαβάστε περισσότεραMakina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.
Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Indar zentralak
4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:
Διαβάστε περισσότερα1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?
1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral
Διαβάστε περισσότεραDefinizioa. 1.Gaia: Estatistika Deskribatzailea. Definizioa. Definizioa. Definizioa. Definizioa
Defiizioa 1Gaia: Estatistika Deskribatzailea Cristia Alcalde - Aratxa Zatarai Doostiako Uibertsitate Eskola Politekikoa - UPV/EHU Populazioa Elemetu multzo bate ezaugarrire bat ezagutu ahi duguea elemetu
Διαβάστε περισσότεραAURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7
AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa
Διαβάστε περισσότερα7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa
7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10
Διαβάστε περισσότερα5 Hizkuntza aljebraikoa
Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun
Διαβάστε περισσότερα4. Hipotesiak eta kontraste probak.
1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c
ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak
6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten
Διαβάστε περισσότεραTEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak
TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad
Διαβάστε περισσότεραFisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2
Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,
Διαβάστε περισσότεραOrdenadore bidezko irudigintza
Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu
Διαβάστε περισσότεραMate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.
Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...
Διαβάστε περισσότερα1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak
1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta
Διαβάστε περισσότεραINDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK
INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm
Διαβάστε περισσότερα2. GAIA Higidura erlatiboa
2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko
Διαβάστε περισσότεραEkuazioak eta sistemak
4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md
LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science
Διαβάστε περισσότερα6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana
6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak
Διαβάστε περισσότεραEstatistika deskribatzailea Excel-en bidez
Estatistika deskribatzailea Excel-en bidez Marta Barandiaran Galdos Mª Isabel Orueta Coria EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso
Διαβάστε περισσότεραLANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa
Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa
Διαβάστε περισσότεραdu = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA
. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA.. TERMODINAMIKAREN LAN-ARLOA Energi eraldaketak aztertzen dituen jakintza-adarra termodinamika da. Materia tarteko den prozesuetan, natural
Διαβάστε περισσότεραBilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak.
2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak. Joseba Imanol Madariaga Longarai 2000-2006 Apunte hauek kopiatu, banatu eta aldatu ditzakezu ohar
Διαβάστε περισσότεραEREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA
AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.
Διαβάστε περισσότεραOxidazio-erredukzio erreakzioak
Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/
Διαβάστε περισσότεραI. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua
I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua 1 Eranskina: Konbinatoria 2 Probabilitate kontzeptua 2.1 Laplaceren erregela 2.2 Maiztasun-ikuspuntua 2.3 Ikuspuntu subjektiboa 3 Gertakizunen aljebra 3.1 Aurkako
Διαβάστε περισσότεραEmaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043
KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;
Διαβάστε περισσότεραFisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula
Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako
Διαβάστε περισσότερα9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.
9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak
Διαβάστε περισσότεραJose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak
HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak
Διαβάστε περισσότεραDiamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:
1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa
HELBURUAK: HELBURUAK: mekanismoaren mekanismoaren sintesiaren sintesiaren kontzeptua kontzeptuaeta eta motak motaklantzea. Hiru Hiru Dimentsio-Sintesi motak motakezagutzea eta eta mekanismo mekanismo erabilgarrienetan,
Διαβάστε περισσότερα6.1. Estatistika deskribatzailea.
6. gaia Ariketak. 6.1. Estatistika deskribatzailea. 1. Zerrenda honek edari-makina baten aurrean dauden 15 bezerok txanpona sartzen duenetik edaria atera arteko denbora (segundotan neurtuta) adierazten
Διαβάστε περισσότερα10. GAIA Ingurune jarraituak
10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,
Διαβάστε περισσότεραUhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.
1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen
Διαβάστε περισσότεραOREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA
GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en
Διαβάστε περισσότεραERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA
ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE PROBA MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA Modulua MATEMATIKA Oinarrizko Prestakuntza -. maila Erdi Mailako heziketa-zikloetarako
Διαβάστε περισσότεραMagnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9
Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak
Διαβάστε περισσότεραI. ebazkizuna (1.75 puntu)
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko uztailaren 7a, 15:00 Iraupena: Ordu t erdi. 1.75: 1.5: 1.25: 1.5: 2: I. ebazkizuna (1.75 puntu) Bi finantza-inbertsio hauek dituzu
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK
4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa
Διαβάστε περισσότεραDokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:
Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren
Διαβάστε περισσότερα3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:
3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak
Διαβάστε περισσότεραUNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA
1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa
Διαβάστε περισσότεραKANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.
EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,
Διαβάστε περισσότεραGIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1
BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak
Διαβάστε περισσότεραIngeniaritza Kimikoaren Oinarriak
Ingeniaritza Kimikoaren Oinarriak Miriam rabiourrutia Gallastegi EUSKR ET ELENIZTSUNEKO ERREKTOREORDETZREN SRE RGITLPEN ISBN: 978-84-9860-830-4 Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren
Διαβάστε περισσότεραProba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20
Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen
Διαβάστε περισσότερα0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK
1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas
Διαβάστε περισσότεραPLANETENTZAKO AURKITZAILEAK
ASTRONOMIA PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK Jesus Arregi Ortzean planetak ezagutzeko, eskuarki, bi ohar eman ohi dira. Lehenengoa, izarrekiko duten posizioa aldatu egiten dutela, nahiz eta posizio-aldaketa
Διαβάστε περισσότερα