AM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB

Transcript

1

2 Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh B, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Shmei seic gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera arkeð na mhn all xei h morf touc. Gia ton periorismì twn, anapìfeuktwn, laj n upìkeintai se suneqeðc diorj seic. Dianèmontai wc èqoun kai o sunt kthc touc de fèrei kamða eujônh gia tuqìn probl mata pou anakôyoun apì th qr sh touc. OktwbrÐou 007 Stoiqeiojet jhkan me to LATEX.

3 Dianusmata Majhmatika B Lukeiou Dianusmata. To shmeðo M eðnai mèso tou eujugr mmou tm matoc AB. Na d sete mða dianusmatik isìthta pou na ekfr zei autì to gegonìc. AM = MB. Gia ta shmeða A, B, Γ kai M eðnai gnwstì ìti AM = ( ) AB + AΓ Na apodeðxete ìti to M eðnai mèso tou BΓ. 3. Gia ta shmeða A, B, Γ, Δ eðnai gnwstì ìti BΓ+ AE = AΔ+ BE Na apodeðxete ìti ta Γ, Δ sumpðptoun. 4. Gia ta shmeða A, B, Γ, Δ,M,Σ eðnai gnwstì ìti BA+ MΣ = MΓ+ ΔΣ. Na apodeðxete ìti to tetr pleuro BAΓΔ eðnai parallhlìgrammo.. Na apodeðxete ìti an α β ( ) ( ) + γ = β + γ β + γ tìte α// β. 6. An isqôei 3 u +4 v = α, 4 u 3 v = β na ekfr sete ta u, v sunart sei twn α, β u = 3 α + 4 β, v = 4 α 3 β. 7. 'Estwparallhlìgrammo ABΓΔ kai O to kèntro tou. (a ) Na apodeðxete ìti OA + OB + OΓ+ OΔ = 0. (b ) Na apodeðxete ìti gia opoiod pote shmeðo tou epipèdou M isqôei MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. 8. 'Estw ìti AM = λ AB. Na apodeðxete ìti gia opoiod pote shmeðo O isqôei OM =( λ) OA + λ OB Pwc gðnetai h teleutaða sqèsh ìtan AM = AB? To M ja eðnai mèso tou AB kai prokôptei h gnwst sqèsh OM = OA + OB 9. 'EstwtrÐgwno ABΓ kai shmeða X, Y, Z ste : BX = BΓ, ΓY = ΓA, AZ =AB. Na apodeðxete ìti AX + BY + ΓZ = 'Estw to parallhlìgrammo ABΓΔ. Na apodeðxete ìti gia opoiod pote shmeðo M isqôei MA+ MΓ MB MΔ = 0 Sth jèsh tou mporeðte na b lete opoid pote arijmì λ

4 Majhmatika B Lukeiou. 'Estw ta shmeða A, B, Γ,O tètoia ste OΓ =p OA + q OB ìpou p, q eðnai pragmatikoð arijmoð me p + q =. Na apodeðxete ìti ta shmeða A, B, Γ eðnai suneujeiak.. 'Estw ta di fora shmeða A, B kai to shmeðo O. Se k je arijmì x antistoiqoôme èna shmeðo M tètoio ste OM =( λ) OA + λ OB. Na apodeðxete ìti to shmeðo M an kei sthn eujeða AB. 3. 'Estw ta di fora shmeða A, B kai to shmeðo O. Se k je arijmì x antistoiqoôme èna shmeðo M tètoio ste OM =3( λ) OA+3λ OB. Na apodeðxete ìti to shmeðo M an kei se stajer eujeða. 4. 'Estw ìti α 0. Na breðte gia poièc timèc tou λ isqôei ( λ λ +0 ) α = α + 3 α λ =, λ =3. Sto sq ma ta K, Λ eðnai mèsa twn AB, AΓ kai ta P, Ψ mèsa twn KB kai ΛΓ. Na apodeðxete ìti P Ψ= 3 BΓ 4 Α Κ Λ Ψ Ρ Γ Β 6. 'Estw ta dianôsmata u, v, w kai ta shmeða O, A, B, Γ tètoia ste: OA = u v + w, OB = u v + w, OΓ = u v w Na apodeðxete ìti ta shmeða A, B, Γ eðnai suneujeiak. 7. 'Estw ta dianôsmata OA = α, OB = β kai OΓ = γ. (a ) Na apodeðxete ìti an 8 α 3 β +3 γ = 0 tìte ta A, B, Γ eðnai suneujeiak. (b ) Genikìtera: Na apodeðxete ìti an up rqoun arijmoð κ, λ, μ tètoioi ste: i. K poioc apì touc κ, λ, μ eðnai di foroc tou mhdenìc. ii. κ + λ + μ =0 iii. κ α + λ β + μ γ = 0 tìte ta A, B, Γ eðnai suneujeiak.

5 Dianusmata Majhmatika B Lukeiou 3 8. LÔnontac aut thn skhsh ja èqete apant sei se èna meg lo mèroc tou trðtou jèmatoc twn exet sewn sta Majhmatik Jetik c kai Teqnologik c KateÔjunshc thc G' LukeÐou tou 006. TrÐa dianôsmata èqoun jroisma 0, mètro kai koin arq. Na apodeðxete ìti ta pèrata touc eðnai korufèc isopleôrou trig nou tou opoðou na upologðsete thn pleur 'Estw trðgwno ABΓ kai shmeða Δ,E tètoia ste AΔ =xab + yaγ, AE = y AB + xaγ. Na apodeðxete ìti ΔE// BΓ. 0. 'Estw ta shmeða A, B, Γ kai oi arijmoð p, q, r. Na apodeðxete ìti gia k je jèsh tou shmeðou M to di nusma (p q) AM +(q r) BM+(r p) ΓM eðnai stajerì.. Na apodeðxete ìti an α, β tìte 4 α +3β 3.. Na apodeðxete ìti an 4 α +3β kai 3 α +4β tìte α + β Sto sq ma to tetr pleuro ABΓΔ eðnai parallhlìgrammo kai ta K, Λ eðnai mèsa twn BΓ, ΓΔ. Na ekfr sete ta dianôsmata OΛ KΔ, OK, KΛ wc grammikoôc sunduasmoôc twn u, v. OΛ =0 u + v, KΔ =( ) u + v, OK = u +0 v, KΛ = u + v A! u B! v O K Λ 4. Na apodeðxete ìti an ta dianôsmata α, β den eðnai par llhla tìte kai ta dianôsmata u = α +3 β, v =4 α 3 β den eðnai par llhla.. Gia ta dianôsmata α, β eðnai gnwstì ìti den eðnai par llhla. Na lôsete thn exðswsh ( gnwstoc o x) ( x ) α + ( x 3x + ) β = 0 x =. 6. 'EstwtrÐgwno ABΓ kai ta shmeða K, Λ ètsi ste AK = 3AB kai AΛ = 3AΓ 'Estw M to shmeðo tom c twn ΓK, BΛ. Up rqoun arijmoð κ, λ ste ΓM = κ ΓK, BM = λbλ. Onom zoume u = AB, v = AΓ. Na apodeðxete ìti: (a ) AM = κ 3 u +( κ) v (b ) AM =( λ) u + λ 3 v (g ) AM = 7 u v

6 4 Majhmatika B Lukeiou A K! u! v Λ M B 7. 'Estw parallhlìgrammo ABΓΔ kai Λ to mèsothcγδ. 'Estw Σ to shmeðo tom c thc AΛ kai BΔ. A- foô ekfr sete to di nusma ΔΣ wc grammikì sunduasmì twn u, v (deðte kai thn skhsh 7) na apodeðxete ìti ΔΣ = 3ΔB. A! u B! v ± Λ 8. 'Estwèna kanonikì pent gwno ABΓΔE (ìlec oi pleurèc kai ìlec oi gwnðec tou eðnai Ðsec) kai O to kèntrotou. B A O E Na apodeðxete ìti OA + OB + OΓ+ OΔ+ OE = 0 9. 'EstwshmeÐa A, B, Γ. Gia èna shmeðo P isqôei α AP +β BP +γγp = 0 ìpou α + β + γ 0. Na apodeðxete ìti gia opoiod pote shmeðo Q isqôei PQ = α β γ AQ + BQ + ΓQ α + β + γ α + β + γ α + β + γ Oarijmìc twn koruf n den èqei idiaðterh shmasða. Toapotèlesma isqôei gia opoiod pote kanonikì polôgwno

7 Dianusmata Majhmatika B Lukeiou 30. 'Estw ta dianôsmata α, ( β, γ ta opoða an dôo den eðnai par llhla. Na apodeðxete ìti an α// pβ ) + q γ kai β//(r γ + s α) tìte: (a ) Kanènac apì touc pragmatikoôc arijmoôc p, q, r, s den eðnai mhdèn. (b ) IsqÔei γ = s r α p q β. 3. 'Estw mða stajer eujeða ε, èna stajerì di nusma α 0 kai èna stajerì shmeðo O pou den an kei sthn ε. Se k je shmeðo M thc ε antistoiqoôme èna shmeðo N tètoio ste na isqôei ON =3 OM + α. Na apodeðxete ìti ìla ta shmeða N pou orðzontai me autì ton trìpo eðnai suneujeiak. N 3! OM 3! OM +! ff M "! ff O! ff 3. Na breðte gia poi tim tou λ ta dianôsmata α = ( 3,λ 4λ + ) eðnai Ðsa. ( λ λ, 3 ), β = λ = 33. Gia poièc timèc twn x, y to eujôgrammo tm ma me kra ta shmeða A (x, 4) kai B (,y) èqei wc mèso to shmeðo M (, 3)? x =, y = 34. To mètro tou dianôsmatoc u =(x,x+)eðnai 3. Poio eðnai to mètro tou dianôsmatoc v =(x 3,x+3)? 3 3. Na apodeðxete ìti to tetr pleuro ABΓΔ me korufèc ta shmeða A ( 3, 4), B (, 3), Γ(4, ), Δ(, ) eðnai parallhlìgrammo. Poio eðnai to kèntro tou? K, 36. DÐnontai ta dianôsmata α =(, ), β =(, ), γ =(3, 4). Na ekfr - sete to γ wc grammikì sunduasmì twn α, β dhlad na breðte arijmoôc κ, λ ètsi ste na isqôei γ = κ α + λ β. γ = α + β

8 6 Majhmatika B Lukeiou 37. Na breðte tic suntetagmènec tou shmeðou M an eðnai gnwstì ìti h a- pìstash tou apì to shmeðo A (, 3) eðnai 4 kai h apìstash tou apì to shmeðo B (, ) eðnai 6. M , M 7 3 0, Na apodeðxete an z x y t = y+t z+x tìte ta dianôsmata α =(x, y), β =(z,t) èqoun to Ðsa mètra. 39. Na breðte to summetrikì tou shmeðou M (α, β) wc proc to shmeðo K (x 0,y 0 ). M (x 0 α, y 0 β) 40. 'Estw,ta di fora, shmeða A (x,y ), B (x,y ) kai èna shmeðo M (x, y) gia to opoðo isqôei: AM = λ MB Na apodeðxete ìti: (a ) λ (b ) x = λ+ x + λ λ+ x kai y = λ+ y + λ λ+ y 4. Na apodeðxete ìti k je di nusma u me mètro mporeð na p rei thn morf u =(συνθ, ημθ) ìpou θ kat llhloc arijmìc me θ [0, π). 4. Sto parak twsq ma na upologðsete ta eswterik ginìmena: (a ) AB AΓ (b ) AB ΔΓ (g ) ΓA AΔ Α 0 0 Β Δ Γ Apanthsh (a') 0 (b') - (g) Sto parak twsq ma na upologðsete to eswteriko ginìmeno AB AΓ. Α 4 Β 6 Γ

9 Dianusmata Majhmatika B Lukeiou Na sumplhr sete ton pðnaka: α β συν( α, β) α β , 84, 4. Ta dianôsmata α, β èqoun mètra t kai 4t (t >0). Na breðte thn gwnða touc stic akìloujec peript seic: (a ) α β =t (b ) α β =t 3 (g ) α β = 4t (d ) α β =0 (e ) α β = t (± ) α β =4t (a ) (b ) π 3 π 6 (g ) π (d ) π 3π (e ) 4 (± ) Na upologðsete ta eswterikì ginìmeno α β sticakìloujec peript seic: (a ) α =(, 4), β =(, 3) (b ) α = (, ), β =( 3, 4) (g ) α = ( 3, 3 ), β = (, 3 ) (a ) α β =0 (b ) α β = (g ) α β = Na upologðsete ta eswterik ginìmena sto parak twsq ma (a ) AB ΓΔ (b ) AΔ EA (g ) ΔE ΓE (d ) BA EΓ

10 8 Majhmatika B Lukeiou Ε Γ Α Β Δ (a ) 48 (b ) (g ) 0 (d ) Na upologðsete thn gwnða twn dianusm twn α, β stic akìloujec peript seic: (a ) α =(, 3), β =(, ) (b ) α =(, 4), β = ( 3 6, 3 3 ) (a ) π 4 (b ) π Na breðte gia poia tim tou λ ta dianôsmata α, β eðnai k jeta ìtan: (a ) α =(λ, ), β =(λ 3, ) (b ) α = ( λ λ+,λ ), β =(3λ +, 3λ) (a ) λ = λ = (b ) λ =0 λ = 3 λ = 0. 'Estw ta dianôsmata α =(, 4), β =( 3, ). Gia to di nusma γ isqôei α γ =8kai β γ =8. Na breðte to γ. γ =(, ). 'Estw ta dianôsmata α =(, 3), β =(, ), γ =(, ). Na upologðsete tic parast seic: (a ) α β + β γ + γ α ( (b ) α β ) ( ) γ + β γ α +( γ α) β

11 Dianusmata Majhmatika B Lukeiou 9 (g ) α α + β β + γ γ (a ) 6 (b ) (, 34) (g ) 3 3 +, DÐnetai to di nusma α =(, ). Na analôsete to α se dôo sunist sec u, v stic akìloujec peript seic: (a ) H u eðnai par llhlh sto β =(, 3) kai h v eðnai par llhlh sto γ =(, ). (b ) Oi u, v eðnai k jetec kai h u eðnai par llhlh sto β =(, 3). (g ) u =kai v =. (a ) u = 7, 3, 7 v = 7, 0 7 (b ) Up rqoun dôo lôseic: u =(0, 0), v =(, ) kai u = 3, 3 3 (g ) Up rqoun dôo lôseic: u = 4 4 7, 4 4 7, , kai u = , , v = 4 4 7, , v = 3, 'Estw ìti gia ta dianôsmata α, β isqôei α =, β =3kai α β =. 3. (a ) Na upologðsete to sunhmðtono thc gwnðac twn α, β. (b ) Na upologðsete to eswterikì ginìmeno twn dianusm twn u = α + 3 β kai v = α β. (g ) Na upologðsete ta mètra twn dianusm twn u, v tou erwt matoc (b'). (d ) Na upologðsete to sunhmðtono thc gwnðac twn dianusm twn u, v tou erwt matoc (b'). (a ) 6 (b ) (g ) 7, (d ) 7 4. 'Estw ìti α + β =, α 3β =3kai ( α + β, α 3β)= π 3. BreÐte ta mètra twn dianusm twn α, β. α = 3 3, fi fifi β fi fifi = 7. Sto trðgwno tou sq matoc oi BΔ, ΓE eðnai di mesoi. Na upologðsete to eswterikì ginìmeno BΔ ΓE.

12 0 Majhmatika B Lukeiou Α Ε 60 Δ 7 Β Γ An α = β = γ =kai α β =, β γ =3na breðte poièc timèc mporeð na p rei to γ α. 4 3 ± 'EstwtrÐgwno ABΓ kai X èna opoiod pote shmeðo tou epipèdou tou. (a ) Na apodeðxete ìti AX BΓ = BX AΓ ΓX AB Α X Γ Β (b ) Na apodeðxete ìti an to X sumpðptei me to koinì shmeðo twn uy n pou gontai apì tic korufèc B, Γ tìte BX AΓ ΓX AB =0. (g ) Me thn bo jeia twn erwthm twn (a'), (b') na sun gete ìti ta Ôyh k je trig nou dièrqontai apì to Ðdio shmeðo. 8. 'Estw A, B dôo stajer shmeða kai c ènac stajerìc arijmìc. Na apodeðxete ìti an c> AB 4 tìte ta shmeða M gia ta opoða isqôei MA MB = c an koun se kôklo me kèntro to mèso tou AB kai aktðna R = c + AB 'EstwtrÐgwno ABΓ kai to Ôyoctou AΔ. 'Estw metablht shmeða M, N thc eujeðac AΔ. Na apodeðxete ìti h par stash BM BΔ+ ΓN ΓΔ

13 Eujeia Majhmatika B Lukeiou eðnai Ðsh me k poio stajerì arijmì, anex rthto apì thn epilog twn M, N. Α Μ Ν Β Δ Γ Eujeia 60. Na breðte to koinì shmeðo twn eujei n x +3y =0 x + y =0 A(, 0) 6. Gia poia tim tou λ to shmeðo K (λ,λ) an kei sthn eujeða x 3y +=0? Ap nthsh: λ = 6. Gia poia tim tou λ h eujeða 3x +(λ ) y =8dièrqetai apì to shmeðo H (, 3)? λ = Na breðte ta α, β an eðnai gnwstì ìti h eujeða αx + βy =dièrqetai apì ta shmeða A(, ), B (3, 3). α = 9, β = H eujeða y 3=λ (x ) dièrqetai apì to shmeðo A(, 3). Gia poia tim tou λ dièrqetai kai apì to shmeðo B(, ). λ = Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo A(, 3) kai èqei suntelest dieujônsewc 3. y +3=3(x ) alli c 3x y 9=0 66. Na breðte ton suntelest dieujônsewc thc eujeðac y x =3(x + y) Poiìc eðnai o suntelest c dieujônsewc thc eujeðac pou dièrqetai apì ta shmeða A (, ),B( 3, 4)? 7

14 Majhmatika B Lukeiou 68. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì ta shmeða Δ(, 3), K ( 3, 4). x +y 7 = Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì ta shmeða A(, 34), B(, 34). x =. 70. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo K (, 3) kai eðnai par llhlh sthn y =x +3. x y 7=0 7. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo K (, 3) kai eðnai par llhlh sthn 3x 4y +=0. 3x 4y +6=0 7. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo A (, 0) kai eðnai k jeth sthn x + y +=0. y = x Gia poia tim tou λ h eujeða (λ +)x 3y +=0 eðnai k jeth sthn eujeða 4x y +3=0. λ = Na breðte shmeðo thc eujeðac x +4y =0pou na èqei tetagmènh Ðsh me 3. M (, 3) 7. Na breðte shmeðo thc eujeðac x + y 3 tetagmènhc tou. M( 3, 3 4 ) =pou èqei tetmhmènh dipl sia thc 76. Ena tm ma èqei kra tou ta A (, 3) kai B (3,t). Pwc prèpei na epilèxoume to t ste to mèsotou AB na an kei sthn eujeða x 3y + = 0? t = 77. Gia poia tim tou λ h eujeða λx +(4+λ) y =0eÐnai par llhlh sto di nusma α =(, 3)? λ = HexÐswsh ( λ + λ ) x +(λ ) y +3=0 gia k je tim tou λ R ektìc apì mða orðzei eujeða. Poia eðnai h tim tou λ pou exaireðtai? λ =

15 Eujeia Majhmatika B Lukeiou Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì thn arq twn axìnwn kai apì to shmeðo A(p, q). qx py =0 80. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì ta shmeða A(κ, λ), B(, 3). (λ 3) x +( κ) y +3κ λ =0 8. Na breðte shmeðo thc eujeðac x 4y +3=0 pou apèqei apì to shmeðo A (, 3) apìstash 4. M , , M 0 99, Ta shmeða M (t, 6t), t R an koun ìla se mða eujeða. Na breðte thn exðswsh thc. 3x + y =0 83. To shmeðo Q (4, 4) an kei, profan c, sthn eujeða 4x 3y 4=0. Na breðte poia shmeða thc eujeðac aut c apèqoun apì to Q apìstash Ðsh me 3. M 9, 3,M, Na epalhjeôsete ìti ta shmeða A (, ),B(4, 3), Γ(, ) an koun sthn Ðdia eujeða. 8. Ta shmeia A (, 3),B(, ), Γ(6,s) eðnai suneujeiak. Poiìc eðnai o s? s = Na breðte shmeðo thc eujeðac pou dièrqetai apì ta A( 3, ),B(3, 6) pou èqei tetmhmènh Ðsh me 4. Γ 4, Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo K (3, 4) kai eðnai par llhlh proc thn eujeða pou dièrqetai apì ta shmeða T (4, 4), S( 4, ). x +8y +9=0 88. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo A (, 3) kai eðnai k jeth sthn eujeða pou dièrqetai apì ta shmeða T (, 4), S (3, ). 4x + y = Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo K (, 4) kai eðnai k jeth sthn eujeða me exðswsh tx + ry + s =0. rx ty +4t r =0 90. Me dedomèno ìti oi eujeðec ax + y +=0, x +3y =0tèmnontai na breðte to shmeðo tom c touc. K 7 3a, a+ 3a

16 4 Majhmatika B Lukeiou 9. Na breðte tic exis seic twn eujei n XY, YZ, ZX sto epìmeno sq ma: XY : y = 4 x + 7 4, YZ: y = x, ZX : y = 3x + 9. Na upologðsete thn apìstash tou shmeðou P (, 4) apì thn eujeða x + y = Na upologðsete thn apìstash tou shmeðou P (, 4) apì thn eujeða x = Na upologðsete thn apìstash tou shmeðou K (3, 4) apì thn eujeða y = 3x MÐa eujeða pou dièrqetai apì to shmeðo P (, 3) ja eðnai: h x = eðte thc morf c y 3=λ (x ) Na breðte poia eujeða dièrqetai apì to P kai apèqei apì thn arq twn axìnwn apìstash. Up rqoun dôo eujeðec h x =kai h y = x Na epalhjeôsete ìti gia k je λ R exðswsh λ (x + y ) + (x y) =0 parist nei eujeða. Katìpin na breðte èna shmeðo apì to opoðo dièrqetai h eujeða aut gi k je tim tou λ. Prìkeitai gia to shmeðo P (, ). 97. Oi exis sh (x +3y 3) + (t +)(x y ) = 0 parist nei eujeða pou dièrqetai apì stajerì shmeðo. Poio? To K 9,

17 Eujeia Majhmatika B Lukeiou 98. Gia to trðgwno ABΓ tou sq matoc na upologðsete thn exðswsh tou Ôyouc tou BΔ. A B O 4x y +=0 99. Poia apì tic eujeðec x +3y +4=0, x y =0sqhmatÐzei megalôterh gwnða me ton x x (JumhjeÐte ìti h gwnða mðac eujeðac me ton x x metr tai kat thn jetik for ). H pr th. 00. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo A (, ) kai sqhmatðqei me ton xona x x gwnða 3π 4. y = x + 0. Na breðte thn apìstash tou shmeðou K (, ) apì to shmeðo tom c twn eujei n x +3y =0, x +y =0. 0. Na breðte to embadìn tou trig nou pou èqei korufèc ta shmeða A (, 9), B (, 4), Γ(, ) 'Estwh eujeða (ε) Ax + By +Γ=0 ( (a ) Na apodeðxete ìti to shmeðo M AΓ BΓ A +B, sthn eujeða (ε). (b ) Na apodeðxete ìti OM (ε) A +B ) an kei p ntote 04. Gia poia tim tou λ ta shmeða A (, 3),B(3, 4), Γ(,λ) eðnai korufèc trig nou to opoðo èqei embadìn Ðso me 4? λ = λ =8

18 6 Majhmatika B Lukeiou 0. DÐnontai ta shmeða A (4, ),B(7, ) kai h eujeða x+3y =. Na breðte shmeðo M thc eujeðac tètoio ste to trðgwno ABM na èqei embadìn Ðso me. M (0, 6), M ( 4, ). 06. Na breðte to embadìn tou trig nou pou sqhmatðzoun oi eujeðec: x + y =0, y =x, y +7=3(x +) Na breðte thn probol tou shmeðou M (, ) sthn eujeða x+3y =. M 9 3, Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to A (, ) kai qwrðzei to eujôgrammo tm ma me kra T (, 3),S(, ) se dôo tm mata TK,SK ètsi ste (TK) (SK) =3. 3x +9y 7 = Gia poia tim tou κ oi eujeðec dièrqontai apì to Ðdio shmeðo? κ = 3 7 x + y = 3x y = x + y = κ 0. (a ) Na apodeðxete ìti k je euejeða par llhlh sthn Ax + By + Γ = 0èqei exðswsh thc morf c Ax + By +Γ =0 (b ) Na apodeðxete ìti h mesopar llhlh twn eujei n Ax + By + Γ = 0, Ax + By +Γ =0èqei exðswsh Ax + By + Γ+Γ =0.. Na breðte thn summetrik thc eujeðac 4x y =wc proc kèntro summetrðac to shmeðo A (, 4) 4x y =6. Poia eðnai h exðsws thc mesoparall lou twn eujei n 3x +y =, 3x +y =0? 3x +y =6 3. DÐnontai ta shmeða A (, ),B (8, ). Na brejeð shmeðo M thc eujeðac x +3y =0ètsi ste ÂMB =90. M (, ),M 4 3, 'Estw oi arijmoð α, β, γ me α<β<γ. Na apodeðxete ìti to embadìn tou trig nou me korufèc A ( α, α ), B ( β,β ), Γ ( γ,γ ) eðnai Ðso me (α β)(β γ)(γ α).. Na apodeðxete ìti h eujeða me exðswsh ( + 3 ) x + ( 3 ) y +=0 sqhmatðzei me ton xona x x gwnða 7.

19 Eujeia Majhmatika B Lukeiou 7 6. Apì tic exet seic tou 980. DÐnontai ta shmeða A (, ), B(, 3) kai Γ(, 4). (a ) Na brejeð h exðswsh thc eujeðac tou Ôyouc tou trig nou ABG, pou dièrqetai apì to shmeðo A. (b ) Na brejeð h exðswsh thc eujeðac thc diamèsou tou trig nou ABG pou dièrqetai apì to shmeðo B. (g ) Na brejeð to shmeðo tom c twn parap nw eujei n. (a') 3x 7y +4=0(b') 9x +y 6=0(g') M 39, Apì tic exet seic tou 987, Dèsmh I. Se èna orjokanonikì sôsthma anafor c Oxy dðnontai ta shmeða A (4, ) kai B (3, ). JewroÔme thn eujeða ε me exðswsh 7x + y 3 = 0. Na brejeð shmeðo thc eujeðac ε ste to trðgwno AMB na eðnai orjìg nio stom. Up rqoun dôo shmeða ta M (4, ) kai M (, 4). 8. Me dedomèno ìti h exðswsh Ax + By = A + B parist nei eujeða na apodeðxee ìti kai h exðswsh A (x y) + B (x + y) = B parist nei epðshc eujeða. Poiì eðnai to koinì shmeðo twn dôo eujei n? To M (, ). 9. Na apodeðxete ìti oi eujeðec 3x + y =0, 3y + x =0, 3x + y =, 3y + x = orðzoun parallhlìgrammo tou opoðou oi diag nioi eðnai k jetec. 0. 'EstwmÐa eujeða Ax + By + Γ =0h opoða tèmnei to eujôgrammo tm ma me kra P (x,y ), Q (x,y ) se èna shmeðo T tètoio ste PT = λ TQ. Na apodeðxete ìti λ = Ax + By +Γ Ax + By +Γ. Na breðte thn gwnða pou sqhmatðzoun oi eujeðec: x + 3y + = 0, 3x + y += Na breðte shmeðo thc eujeðac x 3y +=0 pou apèqei apì thn eujeða 4x 3y +=0apìstash 3. A (7, ), B ( 8, ) 3. 'Estwoi eujeðec x y + 3k =0, 3x y + 4k =0 (a ) Na breðte to koinì shmeðo touc M

20 8 Majhmatika B Lukeiou (b ) Na breðte ton gewmetrikì tìpo tou M M (k, k),h eujeða x + y =. 4. HexÐswsh x +xy x 3y y +=0 parist nei dôo temnìmenec eujeðec. Poiì eðnai to shmeðo tom c touc? Prìkeitai gia tic eujeðec x +3y =0, x y =0oi opoðec tèmnontai sto M (, 0).. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou dièrqetai apì to shmeðo M (0, ) kai tèmnei tic eujeðecε : y = x kai ε : y = x +sta shmeða A kai B antðstoiqwc, ètsi ste na isqôei AB =. Up rqoun dôo eujeðec. Oi 3x +4y =4kai h x =. 6. Na apodeðxete ìti h exðswsh x +xy + y =0 parist nei dôo par llhlec eujeðec. 7. Na apodeðxete ìti gia k je zeôgoc arijm n α, β me α +β 0h exðswsh (α +β) x +(α +3β) y = α + β parist nei eujeða pou dièrqetai apì stajerì shmeðo to opoðo kai na prosdiorðsete. Prìkeitai gia to shmeðo M (, ). 8. H eujeða (l) eðnai k jeth sthn eujeða x y =kai sqhmatðzei me touc xonec trðgwno embadoô. Na breðte thn exðswsh thc eujeðac (l). x +y = ± 9. Na apodeðxete ìti an oi eujeðec p x + q y =, p x + q y =, p 3 x + q 3 y = dièrqontai apì to Ðdio shmeðo tìte ta shmeða eðnai suneujeiak. A (p,q ), B(p,q ), C(p 3,q 3 ) 30. Apì to shmeðo A (3, ) fèrnoume mða eujeða par llhlh sthn x+y+ = 0 h opoða tèmnei thn x y +=0sto B. 3. Na breðte to orjìkentro tou trig nou pou orðzoun oi eujeðec: y + x 6=0, 3y x +=0, 3y =x + H,

21 Eujeia Majhmatika B Lukeiou 9 3. DÐnontai oi eujeðec 3x 4y +4a =0, x 3y +4a =0, x y + a =0. Na apodeðxete ìti oi probolèc thc arq c twn axìnwn stic treic autèc eujeðec eðnai shmeða suneujeiak. 33. Na apodeðxete ìti: (a ) εϕ3α = 3εϕα εϕ3 α 3εϕ α (b ) HexÐswsh x 3 3xy + 3 ( y 3 3x y ) =0 parist nei treic eujeðec pou dièrqontai apì thn ary twn axìnwn oi opoðec an dôo sqhmatðzoun gwnða Na apodeðxete ìti oi eujeðec px+qy = r, qx+py = r me pq 0tènontai se shmeðo thc eujeðac y = x kai eðnai summetrikèc wc proc aut n. 3. Na apodeðxete ìti oi eujeðec px+qy = r, qx+py = r me pq 0tènontai se shmeðo thc eujeðac y = x kai eðnai summetrikèc wc proc aut n. 36. To embadìn enìc parallhlogr mmou eðnai 7 kai dôo apì tic korufèc tou eðnai ta shmeða A (, ), B (, 3). Na breðte tic llec dôo korufèc tou. Ja eðnai Γ(, ), Δ(, 6) Γ, 3, Δ, Na apodeðxete ìti an oi eujeðec A x+b y +Γ =0, A x+b y +Γ =0 sqhmatðzoun gwnia ϕ tìte isqôei συνϕ = A A + B B A + B A + B 38. 'Estwh eujeða (ε) x +3y +4=0 Prosjètoume se k je suntelest thc eujeiac ton Ðdio arijmì kai sqhmatðzoume ètsi mða nèa exðswsh. Gia par deigma an prosjèsoume to 3 ja p roume thn x +8y +9=0. Na apodeðxete ìti oi exis seic pou prokôptoun me autì ton trìpo eðnai exis seic eujei n pou ìlec dièrqontai apì to Ðdio shmeðo to opoðo kai na breðte. P (, ) 39. Sto epìmeno sq ma na apodeðxete ìti εϕω = α α +α α

22 0 Majhmatika B Lukeiou 3 Kwnikec Tomec 3. Kukloc 40. Na breðte to kèntro kai thn aktðna tou kôklou (x +) +(y ) =. K (, ), ρ = 4. Na breðte to kèntro kai thn aktðna tou kôklou x +y 8x+4y+ = 0. K (4, ), ρ =3 4. Poia prèpei na eðnai h aktðna tou kôklou (x ) +(y +) = R ètsi ste na dièrqetai apì to shmeðo M (3, 4). R = Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei kèntro to shmeðo K ( 3, 4) kai dièrqetai apì to shmeðo M (3, 4). (x +3) +(y +4) = Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei di metro to eujôgrammo tm ma me kra A (, 3), B (4, 7). x +(y ) = To shmeðo A an kei ston kôklo(x ) + y =3kai èqei tetmhmènh 3. Poia mporeð na eðnai h tetagmènh tou? ± Gia poia tim tou t hexðswsh x + y 4x +ty +3 = 0 parist kôklo me aktðna 4? ± 47. Na breðte to kèntrotou kôklou pou dièrqetai apì ta shmeða A ( 3, ), B (4, ) kai èqei aktðna 4. K , K 3 83,

23 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 48. Poia prèpei na eðnai h aktðna R tou kôklou (x ) +(y +) = R ètsi ste na ef ptetai sthn eujeða y =3x +. R = Gia poia tim tou λ to shmeðo M (λ +,λ) an kei ston kôklo me exðswsh (x 3) +(y +4) = 00. λ = ±4 0. Na apodeðxete ìti h eujeða x+y =ef ptetai stouc kôklouc x +y = kai x + y +3x +3y 8=0sto ÐdioshmeÐo.. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou to kèntro tou an kei sthn eujeða x+y =0kai ef ptetai stic eujeðec 4x 3y +0 = 0, 4x 3y 30 = 0. (x ) +(y +) =6. Gia poia tim tou λ h eujeða y = λx+ tèmnei ton kôklo (x 3) +y =4 se dôo shmeða? <λ< Na breðte thn exðswsh tou perigegrammènou kôklou tou trig nou me korufèc A (, 4), B (0, 3), Γ(4, ). x y + = Na apodeðxete ìti o kôkloc x + y αx αy + α =0, α 0 ef ptetai stouc xonec.. Na breðte thn efaptomènh tou kôklou x + y = sto shmeðo tou M ( 3, 4). 4x +4y = 6. Na breðte thn efaptomènh tou kôklou x + y =pou dièrqetai apì to shmeðo M ( 4, 4). ± 3 x + ± 3 y =8 7. Na breðte thn efaptomènh tou kôklou x + y =pou eðnai par llhlh sthn eujeða y =x +. x + y =, x y = 8. Na breðte thn efaptomènh tou kôklou (x ) +(y ) =8stoshmeÐo tou M (4, 3). x + y =7 9. Na breðte thn efaptomènh tou kôklou (x ) +(y ) =8pou dièrqetai apì to shmeðo M (3, 4). x + y =7, x +7y =

24 Majhmatika B Lukeiou 3. Kukloc 60. Gia poi tim tou t to shmeðo A (t, ) an kei ston kôklo me kèntro thn arq twn axìnwn kai aktðna 3. t = ± 6. Na breðte ton summetrikì tou kôklou (x ) +(y +) =wc proc to shmeðo K (, 3). (x 3) +(y 8) = 6. Na breðte ton summetrikì tou kôklou x + y =3wc proc thn eujeða x + y =. (x ) +(y ) =3 63. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei aktðna 0 kai ef ptetai sthn eujeða 3x 4y 3 = 0 sto shmeðo A (7, ). x + y 6x +y + 0 = 0 x + y x 0y +=0 64. Na breðte ta koin shmeða tou kôklou x + y = 9 kai thc eujeðac x + y =. A 4, + 4, B + 4, 4 6. Gia poièc timèc tou λ hexðswsh x + y = λ parist nei kôklo? λ< 66. Na breðte ta shmeða tom c tou kôklou x +y =me thn eujeða y =3x. A 0 0, 3 0 0, B 0 0, Na breðte thn exðswsh thc koin c qord c twn kôklwn (x ) +(y ) =4, (x ) +(y ) =4 x y =0 68. Gia poi tim tou p o kôkloc me exðswsh x + y + px + y =0 dièrqetai apì to shmeðo A (, )? p = DÐnetai to shmeðo P (0, 7) kai o kôkloc x + y 4x y 0 = 0. Poia eðnai h megalôterh kai poia h mikrìterh apìstash pou mporeð na èqei èna shmeðo tou kôklou apì to P? kai 70. Na breðte to m koc tou efaptìmenou tm matoc pou getai apì to shmeðo A (7, 8) ston kôklo x + y = Gia poièc timèc twn p, q o kôkloc me exðswsh x + y + px + qy =0 dièrqetai apì ta shmeða A (, ), B (3, )? p = 4, q = 3 4

25 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 3 7. Na epalhjeôsete ìti h eujeða x + y 7 = 0 ef ptetai ston kôklo me exðswsh x + y 4x 6y += 'Estwoi kôkloi C : x + y y =0 C : x + y 4x y +=0 Na breðte to m koc thc diakèntrou touc kai to m koc thc koin c qord c touc. H di kentroc èqei m koc kai h koin qord touc èqei m koc. 74. DÐnontai ta shmeða A (, ) kai B (3, 4). Na breðte ton gewmetrikì tìpo twn shmeðwn M gia ta opoða isqôei MA + MB =70. EÐnai o kôkloc me exðswsh x + y x y 8=0 7. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei kèntro thn arq twn axìnwn kai ef ptetai sthn eujeða 3x 4y +0=0. x + y =6 76. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei kèntro sthn eujeða x+y = kai dièrqetai apì ta shmeða A (, 3), B (4, ). (x 3) +(y ) = 77. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou dièrqetai apì ta shmeða A (, ), B (, ), Γ(, 0). (x ) + y = 78. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou ef ptetai stouc xonec kai dièrqetai apì to shmeðo A (, 3). x + y αx αy + α =0ìpou α = ± Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei kèntro to shmeðo K (3, ) kai apokìptei apì thn eujeða x y +8=0qord m kouc 6. x + y 6x +y 8 = Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei kèntro to shmeðo K (3, ) kai apokìptei apì thn eujeða x y +8=0qord m kouc 6. x + y 6x +y 8 = 0 8. Poia eðnai h exðswsh tou kôklou pou dièrqetai apì to shmeðo A (, ) kai ef ptetai sthn eujeða y = x sthn arq tw naxìnwn. x + y x +y =0 8. Apì to shmeðo Σ(4, ) fèrnoume efaptomènec ε,ε proc ton kôklo x + y =0. (a ) Na breðte tic exis seic twn ε,ε. (b ) Na apodeðxete ìti ε ε.

26 4 Majhmatika B Lukeiou 3. Kukloc a) x 3y 0 = 0, 3x + y 0 = 0 b) λ λ = 3 ( 3) = 83. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou dièrqetai apì ta shmeða A (, ), B (3, 4) kai ef ptetai sthn eujeða 3x + y 3=0. x + y 8x y +7=0, x + y 3x 7y +=0 84. Na apodeðxete ìti ta shmeða A (9, ), B (7, 9), Γ(, ) kai Δ(6, 0) eðnai omokuklik. 8. 'Estwoi kôkloi: C : x + y +4x y +4=0 C : x + y 4x +6y = 0 (a ) Na breðte ta shmeða tom c A, B twn C, C. (b ) Na breðte to m koc thc koin c qord c AB twn C, C. a) A (3, ), B (, ) b) AB =4 86. Na apodeðxete ìti oi kôkloi: C : x + y 8x y +8=0 C : x + y x +6y +6=0 ef ptontai kai na breðte to shmeðo epaf c. E, Na apodeðxete ìti an o lìgoc twn apost sewn MA MB tou shmeðou M (x, y) apì ta shmeða A (, 3), B (, 4) eðnai stajerìc kai Ðsoc me tìte to M an kei se kôklo tou opoðou na breðte thn exðswsh. x + y 6x 6 3 y =0 88. Na breðte gia poia tim tou λ ta shmeða A (, 0), B (0, ), Γ(4, ) kai Δ(0,λ) eðnai omokuklik. λ =, λ = Na breðte efaptomènh tou kôklou (x ) +(y +) =3h opoða eðnai par llhlh proc thn eujeða 4x +6y +=0. x +3y +=0, x +3y 4 = Na breðte thn exðswsh efaptomènhc tou kôklou x +y +x 0y+7 = 0 h opoða eðnai k jeth sthn eujeða x + y =0. x y + 3 =0, x y ++3 =0 9. Na breðte tic efaptomènec tou kôklou x + y =pou sqhmatðzoun me ton xona x x gwnða 30. x 3y +0=0, x 3y 0 = 0

27 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 9. Na breðte to m koc thc qord c pou apokìptei h eujeða 4x y 7=0 apì ton kôklo 4x +4y 4x +y += Na breðte tic exis seic twn kôklwn pou dièrqontai apì to shmeðo A ( 4, 3) kai kai ef ptontai stic eujeðec x + y =kai x y = Up rqoun dôo kôkloi. Oi (x t) + y = (t ) 94. Na apodeðxete ìti oi kôkloi ef ptontai exwterik. x + y x =0 x + y +6x 6y +=0 me t = 0 ± Na apodeðxete ìti o gewmetrikìc tìpoc twn shmeðwn twn opoðwn to jroisma twn tetrag nwn twn apost sewn apì tic k jetec eujeðec ax+ by + c =0, bx ay + d =0eÐnai stajerì, eðnai kôkloc. 96. Poia sunj kh prèpei na ikanopoioôn ta α, β ste h eujeða x α + y β = na ef ptetai ston kôklo x + y = ρ? α + β = ρ 97. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou brðsketai sto o tetarthmìrio tw naxìnwn ef ptetai s utoôc kai sthn eujeða x +y =60. Up rqoun dôo kôkloi: (x ) +(y ) =, (x ) +(y ) = 98. Na apodeðxete ìti oi efaptìmenec tou kôklou x +y =pou dièrqontai apì to shmeðo T (3, 0) sqhmatðzoun gwnða me ton xona x x thc opoðac to hmðtono eðnai Apì to shmeðo L (4, 3) fèrnoume efaptìmenec LA, LB ston kôklo x + y =9. Na breðte to embadìn tou LAB Na breðte ton kôklo pou dièrqetai apì to shmeðo A (, ) kai ef ptetai stic eujeðec 3x +4y 3 = 0, 4x +3y +4=0. (x ) +(y ) =, x Na apodeðxete ìti h exðswsh + y = 8 49 ( t) x +( t) y (+t) x ( t) y +3=0 parist nei kôklo gia k je t. 0. 'Estw o kôkloc x + y 6x 4y = 0 kai to shmeðo A (, ). AfoÔ epalhjeôsete ìti to shmeðo an kei ston kôklo na breðte to antidiametrikì tou. A (7, )

28 6 Majhmatika B Lukeiou 3. Kukloc 03. Na breðte gia poia tim tou p h eujeða (συνθ) x +(ημθ) y p = 0 ef ptetai ston kôklox + y α (συνθ) x β (ημθ) y α ημ θ =0 p = ασυν θ + βημ θ ± p α + β ημ θ 04. 'Estw hexðswsh ( p q ) x ( q + ) y + px +4qy =0 Gia poièc timèc twn p, q h exðswsh aut parist nei kôklo? p =0, q = 0. Upojètoume ìti h eujeða y = mx eðnai h exðswsh mðac qord c tou kôklou x + y αx =0. Na apodeðxete ìti o kôkloc me di metro thn qord èqei exðswsh: ( +m )( x + y ) α (x + my) =0 06. Na apodeðxete ìti gia k je tim tou λ oi eujeðec x + λy = λ + 3, λx y = λ tèmnontai kai ìti to koinì shmeðo touc eðnai shmeðo tou kôklou (x ) + ( y 3 ) = DÐnetai h eujeða x +3y +=0kai o kôkloc x + y x =0. (a ) Na epalhjeôsete ìti ta shmeðaa ( 4 shmeða thc eujeðac kai tou kôklou. 7, ( 7), B, 3 ) eðnai koin (b ) Na apodeðqjeð ìti h exðswsh ( x + y x ) +λ (x +3y +)= 0 eðnai gia k je tim tou λ exðswsh kôklou pou dièrqetai apì ta A, B. (g ) Na apodeðxete ìti ta kèntra twn kôklwn tou prohgoumènou erwt matoc an koun sthn eujeða 6x 0y 3= DÔo kôkloi dièrqontai apì to A (4, ), èqoun ta kèntra touc sthn eujeða y = x kai ef ptontai ston xona x x. Na breðte tic exis seic touc kaj c kai thn exðswsh thc llhc efaptomènhc touc.

29 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 7 (x 0) +(y 0) = 00, (x 0) +(y ) =kai h llh efaptomènh eðnai h y = 4 3 x 09. Na breðte tic koinèc efaptomènec twn kôklwn x + y x 6y +9=0 kai x + y +6x y +=0. Up rqoun tèsseric koinèc efaptomènec: x =0, y =4, y = 3 4 x+ kai y = 4 3 x 0. 'Estw ta shmeða P (, ), Q ( 3, 4). Na breðte ton gewmetrikì tìpo twn shmeðwn M gia ta opoða isqôei PM PQ = PM (x +) +(y ) =3. Na breðte thn exðswsh tou kôklou pou èqei kèntro K (, ) pou ef - ptetai eswterik tou kôklou x + y x = 0. (x ) +(y +) =4. Na apodeðxete ìti oi exis seic x +3y = 9, x = 3y, x = y kai x +4y += 0 me thn seir pou dðnontai eðnai exis seic pleur n eggrayimou tetraplèurou tou opoðou kai na posdiorðsete th exðswsh tou perigegrammènou kôklou. Oi dôo pr te eujeðec tèmnontai sto shmeðo A 3, h deôterh me thn trðth sto B (0, 0) kai suneqðzontac ètsi brðskoume ta shmeða Γ 9, 4, 9 Δ 4 7, 9 7 HexÐswsh tou kôklou pou dièrqetai apìta A, B, Γ eðnai x + y 0 9 x + y =0kai eôkola diapist netai 3 ìti dièrqetai apìto Δ. 3. 'Estwo kôkloc x + y = ρ kai to shmeðo P (α, β) ektìc tou kôklou. Apì to shmeðo P fèrnoume tèmnousec proc ton kôklo. Na apodeiqjeð ìti ta mèsa twn qord n pou orðzoun oi tèmnousec an koun ston kôklo me exðswsh x + y = αx + βy. 4. 'Estw to shmeðo M (x, y) tou kôklou x + y =. (a ) 'Estw ìti 3x +4y = c. Na apodeðxete ìti to sôsthma x + y } = 3x +4y = c

30 8 Majhmatika B Lukeiou 3. Kukloc èqei lôsh an kai mìno n c 0 (b ) Poia eðnai h mègisth kai poia h el qisth tim pou mporeð na p rei h par stash 3x +4y. kai-. 'Estwoi kôkloi x + y mx ny m + n =0 x + y nx +my + m n =0 (a ) Na ( apodeðxete ìti oi kôkloi tèmnontai sta shmeða A (0,n m), B mn(n+m), ). (n m)(n+m) n +m n +m (b ) Na apodeðxete ìti oi efaptìmenec sta shmeða tom c eðnai k jetec. 6. AfoÔ epalhjeôsete h oikogèneia exis sewn α (3x +4y 0) + β (3x y ) = 0, α + β 0 parist mða oikogèneia eujei n na breðte poièc apì autèc ef ptontai ston kôklo x + y +x 4y =0. x + y =0kai x y =0 7. 'Estw ta shmeða A ( t, 0), B (t, 0). JewroÔme ìlec tic eujeðec (ε) pou èqoun thn akìloujh idiìthta: To jroisma twn apost sewn twn shmeðwn A, B apì thn (ε) eðnai c >t >0 ìpou c stajerì. Na apodeðxete ìti oi eujeðec (ε) ef ptontai ston kôklox + y = c. 8. Na apodeðxete ìti ta mèsatwn qord n tou kôklou x +y +gx+c =0 pou dièrqontai apì thn arq twn axìnwn an koun ston kôklo x + y + gx =0. 9. Gia thn eujeða y = mx+c eðnai gnwstì ìti apokìptei apì ton kôklox + y = α qord m kouc d. Na apodeðxete ìti c = ( α d )( +m ) 0. 'Estw trðgwno ABΓ. Na apodeðxete ìti o gewmetrikìc tìpoc twn shmeðwn tou epipèdou twn opoðwn to jroisma twn tetrag nwn twn apost sewn apì tic korufèc tou trig nou eðnai stajerì, eðnai kôkloc me kèntro to barôkentro tou ABΓ.

31 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 9. 'Estw dôo jetikoð arijmoð γ,λ kai ta shmeða A ( γ,0), B (γ,0). Na apodeðxete ìti ta shmeða M me thn idiìthta an koun MA MB = λ Sth mesok jeto x =0tou AB an λ = Se kôklo (KÔkloc tou ApollwnÐou) tou opoðou kai na breðte thn exðswsh. x + y + (+λ )γ λ x + γ λ γ λ =0. Na apodeðxete ìti oi eujeðec } x + λy =0 λx y +λ =0 tèmnontai k jeta kaiìti to shmeðo tom c touc an kei se stajerì kôklo. To koinìshmeðo twn dôo eujei n eðnai to M λ 4λ +λ, +λ kai h sqèsh pou ikanopoioôn oi suntetagmènec tou prokôptei an lôsoume tic sqèseic x + λy =0, λx y +λ =0wc proc λ. BrÐskoume λ = x y, λ = y kai exis nontac brðskoume x+ x y y x+ =0apìthn opoða prokôptei x + y =4. 3. Parabolh 3. Poiìc eðnai o gewmetrikìc tìpoc twn shmeðwn M pou isapèqoun apì thn eujeða x = kai to shmeðo W (, 0)? H parabol me exðswsh y =4x. 4. Na breðte thn par metro thn estða kai thn dieujetoôsa thc parabol c y =6x. p =3, E 3, 0. Na breðte thn par metro thn estða kai thn dieujetoôsa thc parabol c x =y. p =, E 0,, y = 4 6. Na breðte thn exðswsh thc parabol c pou èqei koruf to O, xona summmetrðac ton x x kai dièrqetai apì to A (, 7). y = 49 x 7. Na breðte ta koin shmeða thc parabol c y =4x me thn eujeða x + y =. M +3, +, M +3, 8. Na apodeðxete ìti parabol y =4αx apokìptei apì thn eujeða y = x 4α qord m kouc 6α 3.

32 30 Majhmatika B Lukeiou 3. Parabolh 9. Na apodeðxete ìti h parabol y =px kai h eujeða y = x èqoun dôo koin shmeða. Gia poi tim tou p h apìstash twn dôo aut n shmeðwn eðnai Ðsh me 8. p = ±4 30. Gia poia tim tou λ h eujeða λx +4y +7 = 0 eðnai efaptìmenh y =4x. λ = Na apodeðxete ìti h exðswsh (4y) 4 x =0orÐzei dôo parabolèc. Tic y = 6 x, y = 6 x 3. Na apodeðxete ìti h eujeða pou dièrqetai apì to P (0, α) kai èqei suntelest dieujônsewc ef ptetai sthn parabol y =4αx. 33. Na breðte thn exðswsh thc parabol c me estða E ( 0, 4 3) kai dieujetoôsa y = 4 3. x = 6 3 y 34. Na breðte tic exis seic twn koin n efaptomènwn twn parabol n y = 4αx kai x =4βy. 3 αx + 3 βy + 3 α 3 p β =0 3. 'Estw h parabol y =x. Na breðte eujeða pou dièrqetai apì thn estða thc kai apokìptei apì thn parabol qord m kouc. y = ± (x 6) 36. Na apodeðxete ìti h parabol x = y kai o kôkloc x +(y +3) = ef ptontai (dhlad se k poio koinì shmeðo touc oi efaptomènec touc sumpðptoun). B (, ). Up rqoun dôo koin shmeða ta opoða eðnai kai shmeða epaf c ta A (, ), 37. 'Estwh parabol y = x kai ta shmeða thc A (, ), B (4, ) kai Γ(9, 3). (a ) Na breðte tic efaptomènec (ε ), (ε ), (ε 3 ) thc parabol c sta shmeða A, B, Γ antistoðqwc. (b ) Na breðte ta shmeða tom c A,B, Γ thc (ε ) me thn (ε 3 ) thc (ε 3 ) me thn (ε ) kai thc (ε ) me thn (ε ). (g ) Na epalhjeôsete ìti ti orjìkentro tou trig nou A B Γ an kei sthn dieujetoôsa thc parabol c.

33 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 3 (a ) y = x +, y = 4 x +, y = 6 x + 3 (b ) A 6,, B (3, ), Γ, 3 (g ) EÐnai υ B : y =4 4x kai υ Γ : y = 6x+ 7 kai to orjìkentro eðnai to H 4,. 38. Na apodeðxete ìti ta mèsatwn qord n thc parabol c y =4x pou èqoun suntelest dieujônsewc λ =an koun se eujeða gramm thc opoðac na brejeð kai h exðswsh. y =me x. 39. Na apodeðxete ìti oi efaptìmenec thc parabol c y =4x sta shmeða thc A (4, 4), B ( 4, ) tèmnontai k jeta kai ìti to shmeðo tom c touc an kei sthn dieujetoôsa thc parabol c. 40. DÐnontai oi eujeðec (ε ): y =x, (ε ): x = kai to shmeðo H (, 0). Na breðte shmeðo thc (ε ) pou na apèqei ex' Ðsou apì thn eujeða (ε ) kai to shmeðo H. Prìkeitai gia ta koin shmeða thc (ε ) me thn parabol y =8x pou eðnai ta O (0, 0),M(, 4). 4. Na breðte efaptomènh thc parabol c y =4x pou eðnai par llhlh sthn x 4y +3=0. x 4y +6=0 4. 'Estwh parabol y =4x. Se k je shmeðo M thc parabol c antistoiqoôme to shmeðo N ètsi ste ON = OM. Na breðte ton gewmetrikì tìpo tou shmeðou N. y =8x

34 3 Majhmatika B Lukeiou 3. Parabolh 43. Na breðte efaptomènh thc parabol c y =8x pou eðnai par llhlh sthn eujeða x 6y +=0 x 3y +8=0 44. Na exet sete an h eujeða x + y = eðnai efaptomènh thc parabol c y =4x. Nai kai to shmeðo epaf c eðnai to P (, ). 4. DÐnetai h parabol y =px. Jètoume x = αx kai y = αy, α 0. Na apodeiqjeð ìti to shmeðo (x,y ) kineðtai p li se parabol. 46. (a ) Na apodeðxete ìti h eujeða y = αx + β, α 0eÐnai efaptìmenh thc parabol c y =px an kai mìno an isqôei p =αβ. (b ) QrhsimopoieÐste to apotèlesma tou prohgoumènou erwt matoc gia na epalhjeôsete ìti h eujeða x 3y +8=0 eðnai efaptìmenh thc parabol c y =8x. 47. 'Estw ìti h koin efaptomènh tou kôklou x +y = c kai thc parabol c y =αx sqhmatðzei me ton xona x x gwnða θ. DeÐxte ìti εϕ θ = c +4α c 48. Na breðte ton gewmetrikì tìpo twn kèntrwn twn kôklwn oi opoðoi ef - ptontai ston xona y y kai ston kôklo x + y =αx. c O xonac x x kai h parabol y =4αx. 49. DÐnetai stajerì shmeðo A kai eujeða (ε) pou den dièrqetai apì to A. Na apodeðxete ìti o gewmetrikìc tìpoc twn kèntrwn twn kôklwn pou dièrqontai apì to A kai ef ptontai sthn (ε), eðnai parabol. 0. 'Estw h parabol y =4px, p > 0. MÐa qord thc AB eðnai k jeth ston xona kai èqei m koc 8p. Na apodeiqjeð ìti OA OB =0.

35 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 33. Isìpleuro trðgwno OAB eðnai eggegrammèno sthn parabol y =4px me koruf to O. Na brejoôn oi exis seic twn pleur n tou. y = ± 3 x kai x =p 3. 'Estw h parabol C : y =px kai mða qord thc AB par llhlh me ton xona y y h opoða pern ei apì thn estða. Na apodeiqjeð ìti: (a ) (AB) =(EK) ìpou K to shmeðo pou tèmnei o xonac x x thn dieujetoôsa. (b ) Oi efaptomènec sta A kai B dièrqontai apì to K. 3. DÐnetai h parabol C : y =px kai dôo qordèc thc OB, OΓ, ste h gwnða BOΓ =90. Na apodeiqjeð ìti h BΓ dièrqetai apì stajerì shmeðo. 4. DÐnontai ta shmeða tou epipèdou (x, y) = ( pκ, pκ ) me κ R. (a ) Na apodeiqjeð ìti ta shmeða aut an koun se parabol. (b ) An A ( pκ, pκ ), B ( pκ, pκ ) eðnai dôo shmeða thc parabol c aut c, na apodeiqjeð ìti an h AB dièrqetai apì thn estða, eðnai 4κ κ =.. 'Estw h parabol y =px kai metablht efaptomènh thc (ε). Na brejeð o gewmetrikìc tìpoc thc probol c thc estðac thc parabol c sthn (ε). O xonac y y. 6. Na apodeiqjeð ìti oi efaptìmenec mðac parabol c pou gontai apì tuqìn shmeðo thc dieujetoôsac thc eðnai k jetec. 7. Na apodeiqjeð ìti h efaptomènh (ε) thc parabol c y =px sto shmeðo thc M diqotomeð thn gwnða pou sqhmatðzei h ME (E h estða thc parabol c) me thn par llhlh pou getai apì to M proc ton x x. 8. 'Estwh parabol C : y =px kai h efaptomènh thc (ε) se èna shmeðo thc M (x,y ). Na apodeðxete ìti an h eujeða OM tèmnei thn dieujetoôsa thc parabol c sto shmeðo N tìte NE//(ε). 3.3 Elleiyh 9. Na breðte thn exðswsh thc èlleiyhc pou èqei estðec E (, 0), E (, 0) kai meg lo xona 4. x 44 + y 9 = 60. Na breðte thn exðswsh thc èlleiyhc pou èqei meg lo xona 0 kai ekkentrìthta 3. x 00 + y 64 =

36 34 Majhmatika B Lukeiou 3.3 Elleiyh 6. Na breðte thn exðswsh thc èlleiyhc pou èqei estiak apìstash γ =6 kai ekkentrìthta 3. x + y 6 = 6. Na brejoôn ta m kh twn axìnwn, oi estðec kai h ekkentrìthta thc èlleiyhc me exðswsh 4x +y = 00. α =0, β =4, E,, 0, E 0 kai ε = 63. Na breðte thn exðswsh èlleiyhc pou èqei xonec summetrðac touc xonec kai dièrqetai apì ta shmeðam (, 3 ) kai N (0, ). x 6 + y 4 = 64. Na breðte to shmeðo M thc èlleiyhc sto parak twsq ma: M 4, Na breðte shmeðo thc eujeðac y =x tou opoðou to jroisma twn apost sewn apì ta shmeða A ( 3, 0) kai B (3, 0) eðnai Ðso me 0. M 0 9, , M 0 9, Na breðte thn efaptomènh thc èlleiyhc x 9 + y 3 =stoshmeðo pou èqei tetmhmènh kai jetik tetagmènh. x 9 + 6y 9 = 67. Na breðte thn exðswsh thc efaptomènhc thc èlleiyhc 4x +y = 00 h opoða eðnai par llhlh sthn eujeða x 3y =. x 3y = ± Na breðte thn exðswsh thc efaptomènhc thc èlleiyhc x +3y =4h opoða eðnai k jeth sthn eujeða x y +=0. x y = ± Na breðte thn exðswsh thc efaptomènhc thc èlleiyhc x 9 + y dièrqetai apì to shmeðo A (3, ) x =3, x 3y +9=0 =h opoða

37 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou Na breðte thn exðswsh thc efaptomènhc thc èlleiyhc 4x + y =0h opoða: (a ) EÐnai par llhlh sthn eujeða 4x + y + 4 = 0. (b ) EÐnai k jeth sthn eujeða x +4y +=0. (g ) Dièrqetai apì to shmeðo A (0, 0). (a ) 4x + y = ±0 (b ) ±4x y =0 (g ) 4x ± y = ±0 7. Na breðte thn exðswsh thc èlleiyhc me estðec E ( 3, 0) kai E (3, 0) h opoða ef ptetai sthn eujeða x + y =0. x 7 + y 8 = 7. Na breðte shmeðo thc èlleiyhc x 0 + y =pou apèqei apì ton mikrì xona thc apìstash Ðsh me 3. X 3, 33, X 3, 33, X 3 3, 33 kai X 4 3, Na breðte thn exðswsh thc èlleiyhc x α + y β =h opoða dièrqetai apì to shmeðo A (4, ) kai ef ptetai sthn eujeða x +4y 0 = 0. Up rqoun dôo elleðyeic x 0 + y x =kai y = 74. Na breðte shmeðo M thc èlleiyhc x + y 9 =tètoio ste E ME = 90. M 7 4, 9, M 7 4, 4, 9 M , 9 kai M , 'Estw hèlleiyhc : x α + y β =. (a ) Na apodeðxete ìti to shmeðo M (αημt, βσυνt) an kei sthn C kai antistrìfwc k je shmeðo thcc eðnai thc parap nwmorf c. ( ) (b ) Na k nete to Ðdiogiato shmeðo N t t +t α, +t β. 76. 'Ena tetr gwno èqei tic korufèc tou sthn èlleiyh x 6 + y 9 breðte to embadìn tou. H pleur eðnai Ðsh me 4 kai to embadìn 4 = 76. =. Na 77. DÐnontai oi kôkloi (x +) + y =49kai (x ) + y =4. (a ) Na breðte thn sqetik jèsh touc. (b ) Na breðte ton gewmetrikì tìpo twn kèntrwn twn kôklwn pou ef - ptontai stouc dôo kôklouc. (a') O deôteroc kôkloc eðnai eswterikìc tou pr tou. (b') H èlleiyh me exðswsh x y (9/) + ( 6/) =.

38 36 Majhmatika B Lukeiou 3.3 Elleiyh 78. Na apodeðxete ìti h eujeða y = px + q, p 0 eðnai efaptìmenh thc èlleiyhc x α + y β =an kai mìno an β + α p = q. 79. JewroÔme tou kôklouc x + y = α kai x + y = β me α>β. Apì to O fèrnoume metablht hmieujeða pou tèmnei touc kôklouc sta Λ,K antistoðqwc. Apì to K fèrnoume par llhlh ston x x kai apì to Λ par llhlh ston y y oi opoðec tèmnontai sto M. Na apodeðxete ìti to shmeðo M an kei sthn èlleiyh x α + y β =. x 80. An (ε) eðnai h efaptomènh thc èlleiyhc C : + y α β =sto M (x,y ) na apodeðxete ìti h k jeth sthn (ε) èqei suntelest dieôjunshc λ = α y β x. 8. Na exet sete an up rqei èlleiyh sthn opoða èna shmeðo thc M na sqhmatðzeimetic estðec thc E kai E isìpleuro trðgwno. Nai p.q. me α =γ, β = γ 3 8. O kôkloc me kèntro to O(0, 0) kai aktðna β dièrqetai apì tic estðec thc èlleiyhc x + y α β ε = 83. DÐnetai h èlleiyh C : x κ x + κ y α β =me α>β. Na brejeð h ekkentrìthta thc èlleiyhc. α + y β =èqei thn Ðdia ekkentrìthta methc. =. Na apodeðxete ìti kai h èlleiyh x 84. Na sugkrijoôn oi ekkentrìthtec twn elleðyewn C : + y α β x C : =,meα>β. + y α 4 β 4 MegalÔterh ekkentrìthta èqei h deôterh. 8. DÐnetai h èlleiyh x α + y β =me α>β. =kai

39 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou 37 (a ) Na deðxete ìti to tetr pleuro E BEB eðnai rìmboc (E,E oi estðec, B, B ta kra tou mikroô xona) (b ) Na brejeð to embadìn tou rìmbou. (b') β p α β x 86. 'Estw h èlleiyh C : + y α β =kaihefaptomènh thc se èna shmeðo P (x,y ) h opoða tèmnei touc xonec x x kai y y sta shmeða M kai N antistoðqwc. 'Estw K, Λ oi probolèc tou P stouc xonec x x kai y y antistoðqwc. Na apodeðxete ìti: (a ) (OK)(OM) =α (b ) (OΛ) (ON) =β 87. Na apodeðxete ìti ta shmeða tom c twn elleðyewn C : x α + y β =kai C : x β + y α = eðnai korufèc tetrag nou. 88. 'Estwh èlleiyh x α + y β =kai h estða thc E (γ,0). Metablht eujeða (ε) dièrqetai apì thn E kai tèmnei thn èlleiyh sta shmeða P,P. Na apodeiqjeð ìti to jroisma EP + EP eðnai stajerì. 89. 'Estw hèlleiyhc : x α + y β =. (a ) Na apodeðxete ìti an apì to shmeðo P (x 0,y 0 ) fèroume efaptìmenec sthn èlleiyh C tìte h qord twn epaf n èqei exðswsh x 0x + y 0y = α β. (b ) Na apodeðxete ìti an metablht eujeða dièrqetai apì stajerì shmeðo S (x,y ) kai tèmnei thn C sta A, B tìte to koinì shmeðo twn efaptìmènwn thc C sta A, B an kei se stajer eujeða. 90. Na apodeðxete ìti to ginìmeno twn apost sewn twn esti n mðac èlleiyhc apì mða tuqoôsa efaptomènh thc eðnai stajerì. 9. Na breðte tic koinèc efaptomènec thc èlleiyhc x 4 + y 3 =kai thc parabol c y =x. Upodeixh: QrhsimopoieÐste tic ask seic 46, (a') kai 78. p y = ± (Ax + B) ìpou A = 3 p p kai B =

40 38 Majhmatika B Lukeiou 3.4 Uperbolh 3.4 Uperbolh 9. DÐnetai h uperbol me exðswsh 9x 6y = 44. Na brejoôn ta m kh twn axìnwn, oi estðec kai h ekkentrìthta. 'Axonec: α =8, β =6. EstÐec: E (, 0), E (, 0). Ekkentrìthta: 93. Na brejeð h exðswsh thc uperbol c h opoða èqei asumpt touc tic y = x kai estiak apìstash γ =0. ± 4 3 x 36 y y =kai x 36 =. 94. Na brejeð h exðswsh thc uperbol c h opoða èqei asumpt touc tic diqotìmouc twn gwni n tw naxìnwn kai dièrqetai apì to shmeðo A (, ). x y =3 9. Na breðte uperbol pou èqei Ðdiec estðec me tic estðec thc èlleiyhc x + y 3 =kai antðstrof ekkentrìthta. 4x 7 4y = Na breðte efaptomènh thc uperbol c x 4 y 9 =se shmeðo thc pou an kei sto pr totetarthmìrio kai èqei tetmhmènh dipl sia thc tetagmènhc tou. 3 x y 8 = 97. Na breðte poièc efaptomènec thc uperbol c x y =6sqhmatÐzoun me ton x x gwnða 0. y = 3x ± 4 4 =oi opoðec eðnai par l- 98. Na breðte efaptomènec thc uperbol c x 6 y 9 lhlec sthn eujeða x 4y 3=0. ± (x 4y) =6 99. Na breðte thn exðswsh efaptomènhc thc uperbol c 9x y =3 h opoða: (a ) EÐnai par llhlh sthn eujeða 9x + y +9=0. (b ) EÐnai k jeth sthn eujeða x 9y +8=0. (g ) Dièrqetai apì to shmeðo A (0, 6). (a ) 9x + y = ±6 (b ) ±9x y =6 (g ) 9x ± y = ± Na breðte gia poièc timèc tou λ h exðswsh x λ + + y λ+7 =parist nei uperbol? Poièc ja eðnai oi estðec thc? Gia λ ( 7, ). EstÐec eðnai oi E 0,, E 0,

41 3 Kwnikec Tomec Majhmatika B Lukeiou Na apodeðxete ìti h eujeða y = px + q, p 0 eðnai efaptìmenh thc uperbol c x α y β =an kai mìno an β + q = α p. α y β =. Na deiqjeð ìti k je par llhlh proc mða asômptwth tèmnei thn parabol sflena mìno shmeðo. 30. 'Estwh uperbol C : x x 303. DÐnetai h uperbol C : y = α β kai èna shmeðo thc M (x,y ) diaforetikì apì tic korufèc thc. JewroÔme thn efaptomènh (ε) thc uperbol c sto M kai thn k jeth (ε ) thc (ε) sto M h opoða tèmnei touc xonec x x, y y sta Γ kai Δ antðstoiqa (a ) Na brejeð sunart sei twn x,y hexðswsh thc (ε ). (b ) Na brejoôn oi suntetagmènec twn Γ kai Δ. (g ) Na brejoôn oi suntetagmènec tou mèsou N tou ΓΔ. (d ) Na apodeiqjeð ìti o gewmetrikìc tìpoc tou N eðnai mða uperbol C. (e ) Na apodeiqjeð ìti oi uperbolèc C kai C èqoun tic Ðdiec ekkentrìthtec all tic estðec se diaforetikoôc xonec. (a') y x β (g') N x β +α α,y β +α β + x y α = y x α + β β (b') Γ x +α β α, 0, Δ 0,y +α β 304. Na apodeðxete ìti k je efaptomènh mðac uperbol c tèmnei tic asumpt touc kai to shmeðo epaf c eðnai mèso tou tm matoc me kra ta shmeða tom c. 30. Na breðte tic koinèc efaptomènec thc uperbol c 4x 9y =36kai tou kôklou x + y =4. Upodeixh: QrhsimopoieÐste thn skhsh 30. 0x y = ± 0x + 6 kai y = ± 'Estwh uperbol x y = α kai A (x,y ),B (x,y ), Γ(x 3,y 3 ) trða shmeða thc. Na apodeiqjeð ìti to orjìkentro tou trig nou ABΓ an kei sthn uperbol Na apodeiqjeð ìti gia tic ekkentrìthtec ε,ε twn uperbol n x y = α β kai y β x α =isqôei ε + ε = ε ε Na apodeðxete ìti hapìstash k je estðac thc uperbol c x y = α β apì tic asômptwtec thc eðnai Ðsh me β 'Estw h isoskelhc uperbol x y = α me korufèc A kai A kai h eujeða (ε) : y = k pou tèmnei thn uperbol sta shmeða B kai B. Na apodeðxete ìti BAB = BA B =90.

42 40 Majhmatika B Lukeiou 30. 'Estw hisoskel c uperbol C : x y = α kai A,A oi korufèc thc. 'Estw M shmeðo thcc kai M to summetrikì tou M wc proc ton xona x x. Na apodeðxete ìti ta shmeða A, M kai M eðnai orjìkentra twn trig nwn MA M, AMA kai AM A. 4 Jewria Arijmwn 3. Na apodeðxete ìti 3. Na apodeðxete ìti ν(ν+) = ν ν ν(ν+)(ν+) = ν(ν+3) 4(ν+)(ν+). 33. Na apodeðxete ìti an 0 α tìte gia k je jetikì akèraio ν isqôei: ( α) ν να 34. Na apodeðxete ìti an 0 <α tìte gia k je jetikì akèraio ν isqôei: ( α) ν < +να 3. Na apodeðxete ìti an oi arijmoð α,α,..., α ν tìte isqôei ( + α )(+α )... ( + α ν ) +α + α α ν 36. Na apodeðxete ìti gia k je ν 0 isqôei ν ν Na breðte ta phlðka kai ta upìloipa twn diairèsewn: (a ) 3 : 4 (b ) 3 : 4 (g ) 3 : 4 (d ) 3 : 4 (a ) υ =3,π = (b ) υ =,π = 6 (g ) υ =3,π = (d ) υ =,π =6 38. An oi arijmoð α, β, γ eðnai akèraioi na breðte ta upìloipa twn diairèsewn: (a ) (4α +8β +7):4 (b ) (α 0γ +):6 (g ) (6αβγ +7):6 (d ) (3α +9β +7γ + 8) : 3

43 4 Jewria Arijmwn Majhmatika B Lukeiou 4 (a ) 3 (b ) (g ) 9 (d ) An o ν eðnai akèraioc na epalhjeôsete ìti: (a ) O 7ν ν 6 eðnai pollapl sio tou ν. (b ) O (ν ) (ν 4) + 4 eðnai pollapl sio tou. (g ) ( ν + )( ν + ) (ν +)(ν +)eðnai pollapl sio tou 4. (d ) O ν 4 eðnai pollapl sio tou. 30. Na apodeðxete ìti an o α diairoômenoc apì to 7 af nei upìloipo to Ðdio upìloipo af nei kai o α diairoômenoc dia tou Na apodeðxete ìti oi arijmoð α, β, γ eðnai perittoð tìte o arijmìc eðnai pollapl sio tou 8. (α + β)(β + γ)(γ + α) 3. Na breðte gia poièc timèc tou jetikoô akeraðou x isqôei x +. x = 33. Na apodeðxete ìti an oi arijmoð κ, λ eðnai akèraioi tìte o arijmìc κ3 +λ 3 κ+λ eðnai akèraioc. 34. Na apodeðxete ìti an x =3k + kai y =6m + tìte akèraioc x + y + x + y eðnai thc morf c 3ν Na apodeðxete ìti o arijmìc eðnai pollapl sio tou Na apodeðxete ìti o arijmìc eðnai akèraioc. n (n +)(n +8) Na apodeðxete ìti an o x eðnai perittìc akèraioc tìte o arijmìc x 8 eðnai akèraioc. 38. Na qrhsimopoi sete epagwg gia na apodeðxete ìti an ν eðnai jetikìc akèraioc tìte: (a ) ν > ν +me ν 3 (b ) (ν )(ν+) = ν ν+