TERMODINAMIKA.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TERMODINAMIKA."

Transcript

1 TERMODINAMIKA 1

2 Termodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje u njima. Termodinamika je naučna disiplina koja se bavi: proučavanjem pretvaranja energije iz jednog oblika u drugi proučavanjem energetskih efekata u fizičkim i hemijskim procesima i njihovom zavisnošću od uslova pod kojima se odvijaju mogućnošću, smerom i ograničenjima spontanih procesa pod datim uslovima 2

3 Istorijski razvoj termodinamike Termin termodinamika Tomson (W. Thomson, ) Ispitivanje rada toplotnih mašina Karno (S. Carnot, ) Energetska priroda toplote Mejer i Džul (R. Mayer, , i J. Joul, ) Primena termodinamike na hemijske procese Gibs (J. W. Gibbs, 1876) Primena termodinamike na fizičke procese krajem XIX veka

4 OSNOVNI TERMODINAMIČKI POJMOVI Osnovni termodinamički pojmovi: termodinamički sistem termodinamičke osobine termodinamičko stanje sistema termodinamički parametri stanja termodinamičke funkcije stanje sistema termodinamička ravnoteža i nulti zakon termodinamike termodinamički proces 4

5 TERMODINAMIČKI SISTEM Termodinamički sistem je deo univerzuma uzet za posmatranje i od ostalog dela univerzuma razdvojen graničnom površinom. Sistem sa okolinom može kroz graničnu površinu da razmenjuje energiju (u vidu toplote i rada) i materiju. Izolovan sistem ne razmenjuje ni energiju ni materiju sa okolinom. Zatvoren sistem razmenjuje samo energiju sa okolinom. Otvoren sistem razmenjuje i energiju i materiju sa okolinom. 5

6 Homogen je sistem koji je uniforman po svim svojim osobinama po bilo kom izabranom pravcu. Heterogen sistem je sistem unutar koga postoje tačke u kojima se neka osobina naglo menja. Jednofazni sistem (gas ili smeša gasova, potpuno mešljive tečnosti, npr. voda i alkohol, čvrste supstance) Višefazni sistem (delimično mešljive ili potpuno nemešljive tečnosti, npr. voda i ulje ili voda i živa) Jednokomponentan sistem čini jedna hemijska vrsta. Višekomponentan sistem čini više hemijskih vrsta. Neravnotežan termodinamički sistem je sistem čije su termodinamičke osobine promenljive u vremenu. Ravnotežni termodinamički sistem je sistem čije su termodinamičke osobine nepromenljive u vremenu. 6

7 TERMODINAMIČKE OSOBINE Termodinamički sistem se opisuje termodinamičkim osobinama ili promenljivim: Ekstenzivne osobine sistema zavise od količine materije i aditivne su (masa, zapremina, unutrašnja energija, entalpija...) m = m1 + m2 Intenzivne osobine sistema ne zavise od količine materije i nisu aditivne (temperatura, pritisak, gustina...) ρ ρ1 + ρ2

8 PARAMETRI STANJA SISTEMA Stanje termodinamičkog sistema se opisuje paramatrima stanja: Količina supstancije, n Pritisak, P Zapremina, V Temperatura, T Jednačine stanja f(p, V, T) = 0

9 TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA Promena termodinamičke funkcije stanja određena je samo početnim i krajnim stanja sistema i nezavisna je od puta uspostavljanja tog stanja. X=X2 - X1 X1 i X2 termodinamička funkcija stanja u početnom i krajnjem stanju Promena termodinamičke funkcije stanja se može prikazati kao potpuni diferencijal. X2 dx = X 2 X1 X1 Ukupna promena termodinamičke funkcije stanja pri reverzibilnom kružnom procesu jednaka je nuli. 2 1 X = dx + dx = 1 2 X 2 X1 + X1 X 2 = 0

10 TERMODINAMIČKA RAVNOTEŽA Termodinamička ravnoteža podrazumeva postojanje: termičke ravnoteže - temperatura je ista u svim delovima termodinamičkog sistema. hemijske ravnoteže - hemijski sastav je isti u svim tačkama sistema i ne menja se. mehaničke ravnoteže nema makroskopskih kretanja u sistemu ili sistema u odnosu na okolinu. Nulti zakon termodinamike Ako se posmatraju tri sistema A, B i C, i ako su sistemi A i C kao i B i C u termičkoj ravnoteži, tada moraju biti i A i B u termičkoj ravnoteži.

11 TERMODINAMIČKI PROCES Termodinamički proces - promena stanja termodinamičkog sistema. Izobarni proces proces koji se odvija u uslovima konstantnog pritiska (P = const.) Izohorni proces proces koji se odvija u uslovima konstantne zapremine (V = const.) Izotermski proces proces koji se odvija u uslovima konstantne temperature (T = const.) Adijabatski proces proces koji se dešava bez razmene energije u vidu toplote između sistema i okoline. Reverzibilan (povratni) proces - beskonačno spor proces tako da sistem neprekidno prolazi kroz niz uzastopnih ravnotežnih stanja. To je proces koji se u svakom trenutku može dešavati u suprotnom smeru dejstvom infinitezimalne promene spoljašnjih uslova. Ireverzibilan (nepovratni) proces proces koji se izvodi brzo, u jednom koraku, i sistem nema priliku da postigne ravnotežu.

12 OSNOVNI TERMODINAMIČKI POJMOVI - pregled Osnovni termodinamički pojmovi: termodinamički sistem termodinamičke osobine termodinamičko stanje sistema termodinamički parametri stanja termodinamičke funkcije stanje sistema termodinamička ravnoteža i nulti zakon termodinamike termodinamički proces 12

13 I ZAKON TERMODINAMIKE

14 PRVI ZAKON TERMODINAMIKE Rad, energija i toplota I zakon termodinamike - formulacija i matematički izraz Unutrašnja energija Rad izotermskog sabijanja i širenja gasa Entalpija Toplotni kapacitet 14

15 RAD, ENERGIJA I TOPLOTA Energija postoji u različitim oblicima: kinetička, potencijalna, termička, hemijska, površinska. Energija se definiše i kao sposobnost sistema da vrši rad. Rad w predstavlja oblik prenosa energije zbog dejstva sile duž puta. Toplota q predstavlja oblik prenosa energije zbog postojanja temperaturske razlike između sistema i okoline. 15

16 Predznak unutrašnje energije, toplote i rada pozitivan kao rezultat promene povećava se unutrašnja energija sistema (sistem prima energiju, rad, toplotu) negativan kao rezultat promene smanjuje se unutrašnja energija sistema (sistem odaje energiju, rad, toplotu) Jedinice za rad, energiju i toplotu SI sistem džul (Joul); 1 J = 1 kg m2/s2 Stara jedinica kalorija, cal; 1 cal = 4,184 J

17 PRVI ZAKON TERMODINAMIKE Ukupna energija sistema i njegove okoline je konstantna; energija se ne može uništiti ili stvoriti; ona se može samo transformisati iz jednog oblika u drugi oblik. du i = du sistem + du okolina = 0 U - unutrašnja energija Promena unutrašnje energije zatvorenog sistema jednaka je energiji koju sistem razmeni sa okolinom u vidu toplote i rada: za konačnu promenu stanja U = q + w za beskonačno malu promenu stanja: du = dq + dw Unutrašnja energija izolovanog sistema je konstantna: q = 0 i w = 0 U = q + w = 0, U = const. 17

18 UNUTRAŠNJA ENERGIJA U Spoljašnja energija sistema obuhvata potencijalnu energiju termodinamičkog sistema koja potiče od položaja sistema kao celine u odnosu na druge sisteme kinetičku energiju termodinamičkog sistema koja potiče od kretanja sistema kao celine Unutrašnja energija sistema U ukupna energija koju poseduje termodinamički sistem. Određena je strukturom molekula od kojih se sistem sastoji. U = Utr + Urot + Uvib + Uel + Uint + Umir Utr - translaciona energija molekula Urot rotaciona energija molekula Uvib vibraciona energija molekula Uel - elektrostatička energija između naelektrisanih čestica u atomima Uint - energija hemijskih veza među atomima koji čine molekul Umir - energija među nukleonima u atomskim jezgrima Apsolutnu vrednost unutrašnje energije nemoguće je odrediti. Moguće je odrediti samo njenu promenu ( U). Unutrašnja energija sistema je ekstenzivna veličina. Unutrašnja energija sistema je termodinamička funkcija stanja. 18

19 RAD SABIJANJA I ŠIRENJA GASA PRI KONSTANTNOJ TEMPERATURI Rad se definiše kao delovanje sile duž datog puta i predstavlja skalarnu veličinu određenu skalarnim proizvodom dva vektora, sile F i puta dz. dw = F d z = F dz cos θ = F dz Negativni predznak ukazuje da se rad vrši nasuprot sile i da se energija sistema smanjuje. Pritisak gasa P je po definiciji sila koja deluje na jedinicu površine: P = F / A F = P A dw = F dz = P A dz dw = P dv A dz = dv promena zapremine sistema Širenje gasa: dv > 0, dw < 0 i unutrašnja energija gasa se smanjuje za iznos jednak izvršenom radu dw. Sabijanje gasa: dv < 0, dw > 0 i unutrašnje energije gasa se povećava za iznos jednak izvršenom radu dw. 19

20 Količina rada, koja je potrebna da se neki gas sabije, zavisi od toga da li se sabijanje izvodi naglo u jednom koraku (ili konačnom broju koraka) ili postepeno kroz beskonačni broj koraka. Izotermsko sabijanje gasa w= V2 V1 P2 dv = P2 ( V2 V1 ) PV-dijagram izotermskog sabijanja gasa (kriva) i rad sabijanja gasa (osenčena polja) u cilindru sa klipom bez trenja koji je ostvaren kroz naglo (neravnotežno) sabijanje, jedan korak (a) i kroz tri koraka (b), i kroz ravnotežno sabijanje kroz beskonačan broj koraka (c). 20

21 Izotermsko širenje gasa w= V2 V1 P2 dv = P2 ( V2 V1 ) PV-dijagram izotermskog širenja gasa (kriva) i rada izazvanog širenjem gasa (osenčena polja) ostvarenog ireverzibilno (naglo), kroz jedan (a) i kroz tri koraka (b) i reverzibilno kroz beskonačan broj koraka n (c). Reverzibilno ostvaren rad sistema (c) je maksimalan rad koji se može dobiti izotermskim 21 širenjem gasa.

22 ENTALPIJA H Izobarni procesi, tj. procesi koji se odigravaju pri konstantnom pritisku (P = const.), npr. procesi koji se ostvaruju u otvorenim sudovima na atmosferskom pritisku. Rad zapreminskog širenja gasa: w = P V Toplota razmenjena pri konstantnom pritisku: qp Promena unutrašnje energije sistema: U = q + w = qp P V U 2 U1 = qp P ( V2 V1 ) qp = ( U 2 + PV2 ) ( U1 + PV1 ) = H 2 H1 H = U + PV, H = U + P V Entalpija H Entalpija ima dimenzije energije. Entalpija je termodinamička funkcija stanja. Entalpija je ekstenzivna veličina. qp = H Razmenjena toplota pri konstantnom pritisku jednaka promeni entalpije ako je jedini prisutni 22 rad mehaničkog širenja ili sabijanja gasa. Pri tome i razmenjena toplota q i rad postaju termodinamičke funkcije stanja.

23 Izohorni procesi, tj. procesi koji se odigravaju pri konstantnoj zapremini (V = const.) Rad zapreminskog širenja gasa: w = P V Toplota razmenjena pri konstantnoj zapremini: qv Promena unutrašnje energije sistema: U = q + w = qv P V V = const. V = 0 qv = U Razmenjena toplota pri konstantnoj zapremini jednaka je promeni unutrašnje energije. Pri tome i razmenjena toplota qv i rad postaju termodinamičke funkcije stanja. 23

24 TOPLOTNI KAPACITET C Toplotni kapacitet sistema c - količina toplote koja je potrebna da se temperatura sistema podigne za jedan stepen. C= dq dt Toplotni kapacitet nije termodinamička funkcija stanja. Toplotni kapacitet je ekstenzivna veličina. Jedinica za toplotni kapacitet: J/K Specifični toplotni kapacitet, c - količina toplote koja je potrebna da se temperatura sistema koji sadrži 1 g supstance podigne za jedan stepen. Jedinica za specifični toplotni kapacitet: J/(g K) Molarni toplotni kapacitet, Cm - količina toplote koja je potrebna da se temperatura sistema koji sadrži 1 mol supstance podigne za jedan stepen. Jedinica za molarni toplotni kapacitet: J/(mol K) c = Cm/M, M molarna masa u kg/mol 24

25 Toplotni kapacitet pri konstantnoj zapremini: qv toplota razmenjena pri konstantnoj zapremini dq U cv = V = dt T V U unutrašnja energija T temperatura Zavisnost unutrašnje energije od temperature Toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku: cp = dqp H = dt T P qp toplota razmenjena pri konstantnom pritisku H - entalpija

26 PRVI ZAKON TERMODINAMIKE - pregled Rad, energija i toplota I zakon termodinamike - formulacija i matematički izraz Unutrašnja energija Rad izotermskog sabijanja i širenja gasa Entalpija Toplotni kapacitet 26

27 TERMOHEMIJA

28 TERMOHEMIJA Egzotermne i endotermne reakcije Termohemijske jednačine Entalpija reacije Termohemijski zakoni: o Lavoisier Laplace-ov zakon o Hess-ov zakon I i II Kirchoff-ov zakon Kalorimetrija 28

29 TERMOHEMIJA Termohemija izučava toplotne efekte nastale tokom nekog procesa. Promena energije koja prati hemijsku reakciju potiče od razlike u energijama veza reaktanata i produkata. Egzotermne reakcije - toplota se u toku reakcije oslobađa i predaje okolini (energetska promena ima predznak minus) Primer: sagorevanje Endotermne reakcije - toplota se prima od okoline da bi se odigrala reakcija (energetska promena ima predznak plus) Za reakcije koje se odvijaju pri konstantoj zapremini razmenjena toplota jednaka je promeni unutrašnje energije U. qv = U Za reakcije koje se odvijaju pri konstantom pritisku razmenjena toplota jednaka je promeni entalpije Η. qp =29 H

30 Termohemijske jednačine - stehiometrijska jednačina reakcije koja sadrži i informacije o: agregatnom stanju reaktanata i proizvoda temperaturi na kojoj se odvija reakcija energetskoj promeni koja prati reakciju 1 O2( g ) = H 2 O(l ) + H 0, 2 1 H 2( g ) + O 2( g ) = H 2 O( g ) + H 0, 2 H 2( g ) + H 2 O(l ) = H 2 OΔ (g) +, H vap 0 Δ r H 0 = 285,9 kj/mol, T = 298 K r H 0 = 241,8 kj/mol 0 = + vap H 44,1kJ/mol

31 ENTALPIJA REAKCIJE Entalpija reakcije rh jednaka je razlici ukupnog toplotnog sadržaja produkata, tj. krajnjeg stanja i reaktanata, tj. početnog stanja, u uslovima konstantnog pritiska i temperature. rh = m H proizvoda n H reaktanata m, n stehiometrijski koeficijenti učesnika u reakciji Promena standardne entalpije rh0 jednaka je promeni energije za proces u kome su supstancije u krajnjem i početnom stanju u svojim standardnim stanjima, a to su stabilna stanja supstancije na pritisku od Pa i određenoj temperaturi. rh 0 = m H 0 proizvoda n H 0 reaktanata Entalpije formiranja elemenata u njihovim referentnim stanjima su nula! Primer C( s, grafit ) + 2CO2 ( g ) 2CO( g ) r H 0 = 2 f H 0 (CO) f H 0 (CO 2 ) f H 0 (C grafit ) = = 2( 110,529 kj mol 1 ) ( 393,522 kj mol 1 ) (0 kj mol 1 ) = = 172, 464 kj mol 1 31

32 Promena toplote u uslovima konstantne zapremine Za reakcije koje se odvijaju pri konstantoj zapremini razmenjena toplota jednaka je promeni unutrašnje energije U. Za idealan gas H = U + (P V ) ( P V ) = P V = RT n H = U + RT n H promena entalpije U promena unutrašnje energije P pritisak gasa V zapremina gasa V promena zapremine gasa R univerzalna gasna konstanta T temperatura n promena broja molova gasa

33 TERMOHEMIJSKI ZAKONI Lavoazje Laplasov zakon Hesov zakon

34 TERMOHEMIJSKI ZAKONI Lavoazje-Laplasov (Lavoisier Laplace) zakon: Količina toplote koja je potrebna da se jedinjenje razloži na svoje sastavne elemente jednaka je toploti koja se oslobodi kad se to jedinjenje gradi od elemenata. ili Promena entalpije koja prati reakciju u jednom smeru potpuno je ista, ali suprotnog znaka u odnosu na promenu entalpije koja prati reakciju u suprotnom smeru. C(grafit) + O2(g) = CO2(g) CO2(g) = C(grafit) + O2(g) H1 = 393,509 kj/mol H2 = 393,509 kj/mol Pierre-Simon Laplace ( ) Posledica Lavoazje-Laplasovog zakona je da su 34 termohemijske jednačine povratne.

35 Hesov (Hess) zakon ili zakon toplotnih suma: standardna toplota neke reakcije pri konstantnom pritisku je suma standardnih toplota svih reakcija preko kojih se posmatrana reakcija odvija. ili Toplota neke reakcije pri konstantnom pritisku je nezavisna od međustupnjeva preko kojih se reakcija ostvaruje. Germain Henri Hess( ) Posledica Hesovog zakona je da se termohemijske jednačine mogu sabirati i oduzimati kao algebarske jednačine.

36 Primer: Na osnovu sledećih podataka izračunati toplotu stvaranja cink sulfata: ZnS ( s ) Zn( s ) + S ( s ) 3 O2 ( g ) ZnO( s ) + SO2 ( g ) 2 1 SO2 ( g ) + O2 ( g ) SO3 ( g ) 2 ZnSO4 ( s ) ZnO( s ) + SO3 ( g ) ZnS ( s ) + H1 = + 184,2 kjmol 1 H 2 = 464,4 kjmol 1 H 3 = 98,2 kjmol 1 H 4 = + 230,6 kjmol 1 H 1 = H ( ZnS ) H 2 = H ( ZnO ) + H ( SO2 ) H ( ZnS ) = H ( ZnO ) + H ( SO2 ) + H 1 H 3 = H ( SO3 ) H ( SO2 ) H 4 = H ( ZnO ) + H ( SO3 ) H ( ZnSO4 ) H ( ZnSO4 ) = H ( ZnO ) + H ( SO3 ) H 4 = H 2 + H 3 H 1 H 4 H ( ZnSO4 ) = ( )kJmol 1 = 977.4kJmol 1 36

37 TEMPERATURSKA ZAVISNOST TOPLOTE REAKCIJE Promena entalpije reakcije rh zavisi od temperature T i pritiska P pri kojima se reakcija izvodi. G. R. Kirchoff, 1858 Prvi Kirkhofov zakon: Promena entalpije reakcije sa temperaturom na stalnom pritisku jednaka je promeni toplotnih kapaciteta na stalnom pritisku proizvoda i reaktanata. ( Gustav Robert Kirchhoff ( ) d r H0 dt ) P = r CP rh = rh + 0 T2 0 T1 T2 r C P dt T1 r H T02 promena entalpija reakcije na temperaturi T2 r H T01 promena entalpija reakcije na temperaturi T1 r C p 37razlika toplotnih kapaciteta produkata i rektanata

38 Drugi Kirkhofov zakon: Promena unutrašnje energije reakcije sa temperaturom na stalnoj zapremini jednaka je promeni toplotnih kapaciteta pri stalnoj zapremini proizvoda i reaktanata. ( d U dt 0 ) = r CV V ru = ru + 0 T2 0 T1 ΔrU T02 promena unutrasnje energije reakcije na temperaturi T2 T2 T1 r CV dt ΔrU T01 promena unutrasnje energije reakcije na temperaturi T1 Δr CV razlika toplotnih kapaciteta produkata i rek tan ata Grafičko ili analitičko rešavanje integrala korišćenjem termohemiijskih tablica. Značak Kirhofovih zakona - omogućavaju da se iz poznavanja promene entalpije reakcije na jednoj temperaturi odredi promena entalpije reakcije na nekoj drugoj temperaturi iz zavisnosti promene toplotnih kapaciteta od temperature.

39 Kalorimetrija - merenje toplotnih promena, apsorbovane ili oslobođene količine toplote, pri odvijanju nekog procesa. Kalorimetar uređaj pomoću kojeg se može odrediti energija koju sistem oslobađa ili apsorbuje pri nekoj hemijskoj reakciji ili fizičkoj promeni. U osnovi metode je merenje temperaturske promene određenog sistema poznatog toplotnog kapaciteta (q = C T). Za određivanje toplotne promene pri odvijanju nekog procesa kalorimetrom potrebno je da: reakcija se odigrava brzo tako da je razmena energije između kalorimetra i okoline zanemarljivo mala reakcija se odigrava do kraja odigrava se samo ona hemijska reakcija čiju toplotu određujemo Određivanje toplotnog kapaciteta kalorimetra Šematski prikaz kalorimetra Direktna kalorimetrija Indirektna kalorimetrija (Toplotna promena se određuje primenom Hesovog zakona) Određivanje toplote sagorevanja (kalorimetarska bomba), toplote neutralizacije, toplote 39 rastvaranja.

40 TERMOHEMIJA - pregled Egzotermne i endotermne reakcije Termohemijske jednačine Entalpija reacije Termohemijski zakoni: o Lavoisier Laplace-ov zakon o Hess-ov zakon I i II Kirchoff-ov zakon Kalorimetrija 40

41 II ZAKON TERMODINAMIKE

42 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE Spontani procesi Drugi zakon termodinamike Termodinamička definicija entropije Promena entropije u reverzibilnim i ireverzibilnim procesima Promena entropije faznih prelaza Određivanje entropije 42 42

43 SPONTANI PROCESI Spontani procesi su oni koji se dešavaju sami od sebe, bez intervencije spolja bilo koje vrste. Primer: širenje gasa u evakuisani prostor ili iz oblasti višeg u oblast nižeg pritiska difuzija rastvorene supstance iz koncentrovanijeg u razblaženiji rastvor Spontanost procesa predstavlja tendenciju sistema da se približava stanju termodinamičke ravnoteže. Uzrok spontanih procesa nepostojanje stanja termodinamičke ravnoteže. Spontani procesi su ireverzibilni, tj. nepovratni procesi

44 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE Lord Kelvin (W. Thomson): Nemoguće je napraviti mašinu koja bi radeći u ciklusu uzimala toplotu iz rezervoara konstantne temperature i pretvarala je u ekvivalentu količinu rada bez ikakvih promena u sistemu i oklini. Klauzijus (R. Clausius): Nemoguće je preneti toplotu sa hladnijeg na topliji rezervoar a da se pri tome određena količina rada ne pretvori u toplotu. Nemoguće je u cikličnom procesu potpuno prevođenje toplote u rad. 44

45 ENTROPIJA S Termodinamička definicija entropije: Promena entropije predstavlja reverzibilno izotermski apsorbovanu toplotu podeljenu sa temperaturom na kojoj je toplota apsorbovana. dqrev ds = T Entropija je: ekstenzivna veličina termodinamička funkcija stanja jedinica za entropiju: 1 J/K 45 dqrev - toplota koju je sistem apsorbovao u reverzibilnom procesu na temperaturi T

46 PROMENA ENTROPIJE U REVERZIBILNIM I IREVERZIBILNIM PROCESIMA Ukupna promena entropije zatvorenom sitema Sukupna uključuje promene entropije koje se dešavaju u sistemu u užem smislu Ssistem i promene entropije u njegovoj termodinamičkoj okolini Sokolina : Sukupna = Ssistem + Sokolina Za beskonačno malu promenu dsukupna = dssistem + dsokolina dsukupna = sistem u termičkoj ravnoteži, Tsistem = Tokoline dqrev dqrev + Tsistem Tokoline dsukupna = 0 Tsistem > Tokoline, sistem spontano predaje toplotu okolini ds ukupna = dqirev dqirev + > 0 Tsistem Tokoline Tsistem < Tokoline, sistem neće spontano predavati toplotu okolini ds ukupna = dqrev dqrev + < 0 Tsistem Tokoline Ukupna entropija raste u spontanim procesima! 46

47 Kriterijum za utvrđivanje spontanosti nekog procesa u zatvorenom sistemu: S 0 Znak jednakosti važi za reverzibilne promene S rev = 0 Znak nejednakosti važi za ireverzibilne promene (prirodni, spontani procesi) Sirev > 0 47

48 ODREĐIVANJE PROMENE ENTROPIJE Promena entropije usled: Promene parametara stanja, temperature, pritiska ili zapremine Promene agregatnog stanja pri ravnotežnoj temperaturi, tj. promene faze Promene stanja sistema usled mešanja različitih supstanci S 2 S1 = S = 48 qrev T

49 PROMENA ENTROPIJE FAZNIH PRELAZA Fazni prelazi promene stanja agregacije pri ravnotežnoj temperaturi faznog prelaza, npr. topljenje (mržnjenje), isparavanje (kondenzacija), sublimacija ili prelazak iz jednog kristalnog oblika u drugi. Reverzibilne izotermalne promene Promena entropije S: Za P = const., qp = H: S 2 S1 = S = qrev T S 2 S1 = S = H T Primer: topljenje, tj. prelaz iz čvrste u tečnu fazu - entropija tečne faze (2) mora biti veća od entropije čvrste faze (1) sa kojom je u ravnoteži jer je entalpija topljenja ΔH > 0. Gas tečnost čvrsto: dsgas > dstečnost > dsčvrsto Veća entropija odražava slobodnije kretanje čestica faze, a samim tim i viši stepen neuređenosti date faze u odnosu na kondenzovaniju fazu. 49 raste neuređenost sistema: ΔS > 0 Primer: topljenje, tj. prelaz iz čvrste u tečnu fazu 49 kondenzacija, tj. prelaz iz gasovite u tečnu fazu - raste uređenost sistema: ΔS < 0

50 Entropija isparavanja Trutonov (Trouton) zakon: mnoge tečnosti čije su relativne molekulske mase oko 100, na normalnoj tački ključanja pokazuju pribliđno istu vrednost entropije od oko 88 J/molK. Odstupanja od Trutonovog zakona se javljalju kod: tečnosti asosovanih pri atmosferskom pritisku kao što su voda, alkoholi i amini tečnosti koje imaju ili suviše visoke tačke ključanja ili suviše niske relativne molekulske mase i tačke ključanja Entropija topljenja Kod supstanci koje se sastoje iz atoma kao npr metali, entropija topljenja je obično u opsegu između 8 i 38 J/molK Kod supstancu čiji su molekuli npr. dugi lanci ugljovodonika, entropija topljenja iznosi i do 120 J/molK1

51 Promena entropije u hemijskim reakcijama r S 0 reakcije = ms 0 produkata ns 0 reak tan ata m, n - steheometrijski koeficijenti u reakciji Primer: Odrediti standardnu entropiju reakcije stvaranja vode (na 298 K) H 2( g ) + 0,5O2( g ) H 2 O( l ) r S 0 = S 0 (H 2O(l ) ) [ S 0 (H 2( g ) ) + 0,5 S 0 (O 2( g ) )] = = 69,91 (130, ,5 205,14) = 163,3 kj/mol Negativna vrednost entropije reakcije ukazuje da je produkt uređeniji sistem u odnosu na reaktanate. 51

52 ODREĐIVANJE ENTROPIJE Standardna entropija nekog sistema na bilo kojoj temperaturi T i konstantnom pritisku se određuje u odnosu na entropiju na apsolutnoj nuli. S2 S1 ds = T2 T1 S2 Za p = const.: S1 Cp T ds = p2 dp p p1 dt R T2 T1 CP dt T Na T bliskim T0: Cp ~ T3 (Debaj) Entropija faznog prelaza: S 2 S1 = S = H T Kod složenijih sistema, u kojima se javlja više čvrstih faza, mora da sadrži i odgovarajuće članove koji vode računa o faznim prelazima jedne čvrste faze u drugu 52

53 Primer: Određivanje standardne entropije kada od apsolutne nule do temperature T postoje samo dva fazna prelaza čvrsto tečno i tečno gas. ST0 S00 = T fus + CP ( s ) 0 Tbul T fus T dt + C P (l ) T dt + fus H CP(s) - toplotni molarni kapacitet čvrste supstance 0 T fus vap H Tbul + fush0 - toplota topljenja na temperaturi topljenja Tfus 0 T + Tbul CP ( g ) T dt CP(l) - molarni toplotni kapacitet supstancije u tečnom stanju vaph0 - toplota isparavanja na temperaturi ključanja Tbul CP(g) - molarni toplotni kapacitet supstancije u gasovitom stanju Grafički prikaz temperaturske zavisnosti standardne entropije (a) i (b) 53 temperaturske zavisnosti CP/T. Tfus temperatura topljenja; Tbul temperatura ključanja. s je oznaka za oblast čvrste, l tečne i g gasne faze.

54 Primer: Određivanje standardne entropije azota, kod koga se javlja više čvrstih faza, na 298 K Podaci neophodni za izračunavanje standardne entropije gasnog 0 azota na 298 K, S Interval T/K Metoda S 298 / J mol 1 K ,61 ekstrapolacija Debaja integracije 1,92 25,25 35,61 toplota faznog prela za čvrsto čvrsto integracije 6,43 23,38 toplota faznog prela za čvrsto tečno integracije 11,42 11,41 toplota faznog prela za tečno gasno na osnovu C P 72,13 39,20 korekc ija za realn i gas 0,92 35,61-63,14 63,14 63,14-77,32 77,32 77,32-298, S 328 S 0 = 54 0 S i,t = 192, 06 Temperaturska zavisnost CP/T azota. s1 i s2 su oznake čvrstih faza 1 i 2, l je oznaka tečne, a g gasne faza.

55 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE - pregled Spontani procesi Drugi zakon termodinamike Termodinamička definicija entropije Promena entropije u reverzibilnim i ireverzibilnim procesima Promena entropije faznih prelaza Određivanje entropije 55 55

56 III ZAKON TERMODINAMIKE

57 TREĆI ZAKON TERMODINAMIKE Treći zakon termodinamike Gibsova funkcija Helmholcova funkcija Kriterijumi spontanosti procesa za zatvoren sistem Hemijski potencijal Aktivnost i koeficijent aktivnosti 57

58 TREĆI ZAKON TERMODINAMIKE Ričards i Nernst (T.W. Richards i W. Nernst), Nernstova toplotna teorema: Promena entropije bilo kog procesa teži nuli ako temperatura teži nuli. S 0 kad T 0 Plank (Max Planck), 1913: Na apsolutnoj nuli prestaje svako termalno kretanje gradivnih čestica kristala i entropija svakog čistog elementa ili supstancije u obliku idealnog kristala jednaka je nuli. (S = k lnw = k ln1 = 0) Ne postoji postupak koji omogućuje da bilo koja supstancija dosegne temperaturu apsolutne nule. ili Entropija supstancije je na svim temperaturama pozitivna osim na apsolutnoj nuli kada je jednaka nuli. ST0 0 Entropije elemenata u referentnim stanjima nisu nule. 58

59 Primer: Prelaz sumpora iz ortorombičnog u monolklinični oblik. Odrediti entropiju oba oblika sumpora na niskoj temperaturi. ortorombični sumpor Sα monoklinični sumpor Sß (a) Na T = Tprelaza = 369 K, H = Jmol-1 S = Sα - Sß = H/T = Jmol-1 / 369 K = - 1,09 JK-1mol-1 (b) Merenjem cp od 0 do 369 K: Sα = Sα, JK-1mol-1 Sß= Sß, JK-1mol-1 S = Sα,0 - Sß,0 + (37-38) JK-1mol-1 = Sα,0 - Sß,0-1 JK-1mol-1 Upoređivanjem (a) i (b) S= Sα,0 - Sß,0 0 S 0 kada T 0 59

60 STATISTIČKO OBJAŠNJENJE ENTROPIJE Statistička definicija entropije: Entropija S predstavlja meru ili stepen uređenosti, odnosno neuređenosti, sistema. Bolcman (L. Boltzman), 1896 S = k ln W S - entropija sistema k - Bolcmanova konstanta, k = 1, J/K ln prirodni logaritam, logaritom sa osnovom e, loge, e = W - broj stanja na koje se sistem može urediti, ali tako da mu ukupna energija ostane nepromenjena (a) (b) (a) Idealna uređenost sistema, S = k ln1 = 0 i (b) neidealna uređenost, S = k ln2n 60

61 KRITERIJUM SPONTANOSTI PROCESA ZA ZATVOREN SISTEM Promene entropije ds kao kriterijum spontanosti procesa ds 0 T temperatura ds promena entropije sistema TdS dq dq toplota koju je sistem razmenio sa okolinom Jednakost se odnosi na povratne promene, a nejednakost na nepovratne (spontane) promene. Prema I zakonu termodinamike du = dq + dw = dq - PdV, ukoliko je u sistemu jedino moguć du promena unutrašnje energije sistema rad širenja gasa: du + PdV TdS 0 P pritisak dv promena zapremine Pri konstantnim vrednostima zapremine i entropije (V,S = const.): ( du ) V,S 0 Pri konstantnim vrednostima pritiska i entropije (P,S = const.): ( dh ) P,S 0 Težnja sistema prema stanju ravnoteže može se izraziti tendencijom prema minimumu 61 energije ili entalpije, ili tendencijom prema maksimumu entropije.

62 HELMHOLTZ-ova FUNKCIJA Helmholtz-ova funkcija ili funkcija rada A A Hemholtz-ova funkcija A = U TS Termodinamička funkcija stanja U unutrašnja energija sistema S entropija T temperatura Ekstenzivna veličina Konačna promena Helmholc-ove funkcije pri konstantnoj temperaturi i zapremini (T, V = const.): A = U T S U = q+ w (I zakon termodinamike) qrev = T S (II zakon termodinamike) U = T S + wrev A = wrev Promena Helmoholc-ove funkcije u zatvorenom sistemu ekvivalentna je reverzibilno izvršenom 62 sistem može da izvrši. Zbog toga se veličina A radu, odnosno maksimalno mogućem radu koji još naziva i funkcija rada.

63 GIBBS-ova FUNKCIJA Gibbs-ova funkcija ili slobodna energija G G = H TS G = U + PV TS Termodinamička funkcija stanja G Gibbs-ova funkcija H entalpija sistema, H = U + PV U unutrašnja energija sistema S entropija sistema T temperatura P pritisak Ekstenzivna veličina V - zapremina Konačna promena Gibbs-ove funkcije pri konstantnoj temperaturi i pritisku (T, p = const.): G = H T S = U + P V T S Na osnovu I i II zakona termodinamike za reverzibilnu promenu u zatvorenom sitemu: U = T S wrev G = wrev ( P V ) Promena Gibbs-ove funkcije ekvivalentna je razlici reverzibilno izvršenog, tj. maksimalnog 63 rada i rada širenja i predstavlja koristan rad.

64 KRITERIJUM SPONTANOSTI PROCESA ZA ZATVOREN SISTEM, nastavak A = U TS da = du d (TS ) = du TdS SdT Prema I zakonu termodinamike du = dq + dw = dq - PdV, ukoliko je u sistemu jedino moguć rad širenja gasa: da = dq pdv TdS SdT Na konstantnoj temperaturi i zapremini (T, V = const.), dt = 0 i dv = 0: da = dq TdS Prema II zakonu termodinamike: TdS dq (da)v,t 0 U spontanom procesu u zatvorenom termodinamičkom sistemu, gde se vrši samo zapreminski rad pri uslovima konstantne temperature i konstantne zapremine, Helmholtzova funkcija neprekidno opada težeći minimalnoj vrednosti koja odgovara ravnoteži. Na konstantnoj temperaturi i pritisku (T, P = const.): (dg ) p,t 0 U spontanom procesu u zatvorenom termodinamičkom sistemu, gde se vrši samo 64 zapreminski rad pri uslovima konstantne temperature i konstantnog pritiska, Gibbs-ova funkcija neprekidno opada težeći minimalnoj vrednosti koja odgovara ravnoteži.

65 Kriterijum spontanosti procesa u zatvorenom sistemu koji uključuju samo PΔV rad, odnosno rad nastao širenjem gasa: za spontane (nepovratne) procese u ravnoteži (ds)v,u > 0 (ds)v,u = 0 (du)v,s < 0 (du)v,s = 0 (dh)p,s < 0 (dh)p,s = 0 (da)t,v < 0 (da)t,v = 0 (dg)t,p < 0 (dg)t,p = 0 Kinetički uslov reakcije! 65

66 HEMIJSKI POTENCIJAL Za otvoren sistem (p, T, V, n) dg = SdT + VdP + N i= 1 µ i dni G µ i= n i T, P,n j Hemijski potencijal neke vrste predstavlja promenu Gibsove funkcije po broju molova (parcijalna molarna Gibsova funkcija) pri konstantnoj temperaturi, pritisku i količini svih ostalih vrsta u sistemu. 66

67 AKTIVNOST I KOEFICIJENAT AKTIVNOSTI Hemijski potencijal se često izražava korišćenjem bezdimenzione veličine aktivnosti a. Hemijski potencijal i-te vrste ili komponente u smeši: µ i = µ i0 + RT ln a i Za idealan gas: Za realan gas: ai = Pi P0 ai = fi f0 Pi - pritisak (parcijalni pritisak) gasa u smeši P0 - pritisak čistog gasa u standardnom stanju fi - fugasnosti gasa u smeši f0 - fugasnosti čistog gasa u standardnom stanju Aktivnost čistih supstanci u njihovom standardnom stanju je 1! 67

68 U rastvorima aktivnost date komponente i: γi koeficijent aktivnosti vrste i xi molski udeo vrste i ai = γ i xi Koeficijenat aktivnosti predstavlja korekciju za neidealnost realnih rastvora. Koeficijenat aktivnosti je pozitivan broj i može imati vrednosti manje ili veće od jedinice. Koeficijenat aktivnosti je bezdimenzion pošto su i aktivnost i molski udeo bezdimenzione veličine. Aktivnost ai se može definisati i preko molarne (molalne) koncentracije vrste i, ci c ai = γ i 0i ci c0 - standardna koncentracija (obično 1 mol dm 3 ili 1 mol kg 1) Koeficijenat aktivnosti za razblažene vodene rastvore elektrolita (koncentracije u molalitetu ci): lg γ i = I= zi2 A 1 ci zi2 2 I zi - naelektrisanje i-tog jona A - konstanta (A = 0,509 kg1/2mol 1/2 na 298 K) I - jonska jačina 68

69 TREĆI ZAKON TERMODINAMIKE - pregled Treći zakon termodinamike Gibsova funkcija Helmholcova funkcija Kriterijumi spontanosti procesa za zatvoren sistem Hemijski potencijal Aktivnost i koeficijent aktivnosti 69

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA

Διαβάστε περισσότερα

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas ,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

TOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE TOPLOTA I RAD, PRI ZAKON TERMODINAMIKE Mehanički rad u termodinamici uvek predstavlja razmenu energije izmedju sistema i okoline. Mehanički rad se javlja kao rezultat delovanja sile duž puta: W Fdl W Fdl

Διαβάστε περισσότερα

Promene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži

Promene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži romene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži Helmholcova slobodna energija-2.5.1.,2.5.2. Gibsova slobodna energija-2.5.3. Gibs-Helmholcova jednačina-2.5.4. Reverzibilni i ireverzibilni

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. Sistem i okruženje

TERMODINAMIKA. Sistem i okruženje TERMODINAMIKA Sistem i okruženje SISTEM je deo sveta koji nas zanima; to je bilo koji objekat, bilo koja količina materije, bilo koji deo prostora, izabran za ispitivanje i izdvojen (misaono) od svega

Διαβάστε περισσότερα

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika Molekularna fizika proučava strukturu i svojstva supstanci polazeći od molekularno -kinetičke teorije: supstance su sastavljene od vrlo malih čestica (molekula, atoma i jona) koji se nalaze u stalnom haotičnom

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Termohemija Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Poglavlje 2.2 Termohemija Termohemija je deo termodinamike i bavi se proučavanjem toplotom razmenjenom pri hemijskim i fizičkim promenama,

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Termohemija Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Poglavlje 2.2 Termohemija Termohemija je deo termodinamike i bavi se proučavanjem toplotom razmenjenom pri hemijskim i fizičkim promenama,

Διαβάστε περισσότερα

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE SPONANI PROCESI II ZAKON ERMODINAMIKE I zakon termodinamike se bavi termodinamičkim procesom kao procesom koji je praćen ekvivalentnošću različitih oblika energije bez ikakvih ograničenja odnosno ne govori

Διαβάστε περισσότερα

C P,m C V,m = R C P C V = nr

C P,m C V,m = R C P C V = nr I zakon termodinamike du dq+ dw+ dw e dh du+ pd du U U d+ d d+ u d,m,m R nr dh Izotermski procesi: p d + H H d wnr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.. w p Izotermski revetzibilni

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽA FAZA.

RAVNOTEŽA FAZA. RAVNOTEŽA FAZA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 Definicija faze faznog prelaza nezavisne komponenete stepena slobode Termodinamički uslov ravnoteže faza Gibsovo pravilo faza Ravnoteža

Διαβάστε περισσότερα

II zakon termodinamike

II zakon termodinamike Poglavlje.3 II zakon termodinamike Pravac i smer spontanih promena Drugi zakon termodinamike-definicije Karnoova teorema i ciklus Termodinamička temperaturska Prvi zakon termodinamike: Energija univerzuma

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna

Διαβάστε περισσότερα

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike . ERMODINAMIKA.. rvi zakon termodinamike ermodinamika je naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje ENROPIJA Spontani procesi u prirodi se uvek odvijaju u određenom smeru (npr. prelazak toplote sa toplijeg na hladnije telo) što nije moguće opisati termodinamičkim funkcijama do sad obrađenim. Nulti zakon

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K 1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori Osnovni pojmovi i izračunavanja

Rastvori Osnovni pojmovi i izračunavanja Rastvori Osnovni pojmovi i izračunavanja Disperzni sistem je smeša u kojoj su jedna ili više supstanci raspršene u nekoj drugoj supstanci u obliku sitnih čestica. Disperzni sredstvo je supstanca u kojoj

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Gibbs-ova slobodna energija

Gibbs-ova slobodna energija ibbs-ova slobodna energija Reakcija će se odvijati spontano ili ne, zavisno od toga de li je praćena porastom entropije univerzuma ili ne: ri = const: S S S univerzuma sistema okruzenja S univerzuma H

Διαβάστε περισσότερα

I zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike

I zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike I zakon termodinamike je doveo do uvoñenja unutrašnje nje energije, U koja nam omogućava da odredimo koje termodinamičke promene su moguće: samo one u kojima unutrašnja energija izolovanog sistema ostaje

Διαβάστε περισσότερα

BROJ NEZAVISNIH KOMPONENTI

BROJ NEZAVISNIH KOMPONENTI RAVNOTEŽA FAZA FAZA p-homogeni deo nekog heterogenog sistema, uniforman po svojim fizičkim osobinama i hemijskom sastavu u celoj zapremini a koji je od ostalih delova sistema odvojen granicom faza. Granica

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1

Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1 Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamika. Termodinamika

Termodinamika. Termodinamika ermodinamika Postoje brojne definicije termodinamike kao nauke o toploti. ako na primjer, prema Enriku Fermiju: Glavni sadržaj termodinamike je opisivanje transformacije toplote u mehnaički rad i obratno

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena 13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

2. OSNOVNI POJMOVI. 2.1 Fizika i termodinamika

2. OSNOVNI POJMOVI. 2.1 Fizika i termodinamika 2. OSNOVNI POJMOVI 2.1 Fizika i termodinamika Fizika nauka koja se bavi izučavanjem procesa kretanja materije u svim njenim pojavnim oblicima. Kako je osnovna kvantitativna mera kretanja materije energija

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamički zakoni

Termodinamički zakoni Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj

Διαβάστε περισσότερα

kvazistatičke (ravnotežne) promene stanja idealnih gasova

kvazistatičke (ravnotežne) promene stanja idealnih gasova zbirka zadataka iz termodinamike strana 1/71 kvazistatičke (ravnotežne) promene stanja idealnih gasova 1.1. Vazduh (idealan gas), (p 1 =2 bar, t 1 =27 o C) kvazistatički menja stanje pri stalnoj zapremini

Διαβάστε περισσότερα

PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori i osobine rastvora

Rastvori i osobine rastvora Rastvori i osobine rastvora U srpskom jeziku reč rasvor predstavlja homogenu tečnu smešu. U engleskom reč solution predstavlja više od toga smešu dva gasa, legure (homogene smeše dva metala)... Na ovom

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE DRUGI ZKON ERMODINMIKE Povratni i nepovratni procesi Ranije smo razmotrili više različitih procesa pomoću kojih se termodinamički sistem (u našem razmatranju, idealan gas) prevodi iz jednog stanja ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA

IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA Redoks reakcije su reakcije razmene elektrona. U ovim reakcijama dolazi do promene oksidacionog broja supstanci koje učestvuju u procesu oksidacije i redukcije.

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017.

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017. M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017. Konzervativne sile i potencijalna energija 1 Konzervativne sile Definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako rad te sile

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA RAVNOTEŽA TEČNO-PARA Smeša dve isparljive komponente (dve tečnosti) koje se mešaju u svim odnosima: f = c p + 2 = 2 2 + 2 = 2 tečna homogena smeša+para iznad tečnosti Ako su te dve nezavisno promenjive

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu.

Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu. VISKOZNOST VISKOZNOST Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu. VISKOZNOST Da li očekujete da će glicerol imati veću ili manju

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα