Dinamica sistemelor de puncte materiale

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dinamica sistemelor de puncte materiale"

Σπάρτακος Γούσιος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Dinamica sistemelo de puncte mateiale Definitie: Pin sistem mateial (notat S) intelegem o multime finita de puncte mateiale (cente de masa ale uno copui) afate in inteactiune (micaea fiecaui punct depinde de miscaea celolalte puncte). Sistem mateial: - discet alcatuit dint-un numa finit de puncte mateiale izolate - continuu (igid) alcatuit dint-un numa infinit de puncte mateiale ce ocupa un domeniu, D inclus in R 3 Sistem mateial: - libe punctele pot ocupa oice pozitie in spatiu - legate punctele sunt obligate sa indeplineasca anumite estictii geometice sau cinematice ote: Int-un sistem mateial (S) actioneaza fote eteioae cae povin din afaa sistemului (e: atactie gavitationala) si fote inteioae cae povin de la punctele ce alcatuiesc sistemul (S). E: Soaele si planetele fomeaza un sistem de puncte mateiale. Planetele si soaele sunt puncte intene ale lui (S), ia celelalte copui ceesti sunt puncte eteioae. us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

2 Dinamica punctului mateial supus la legatui ie S un sistem mateial discet alcatuit din puncte mateiale M i ale cao pozitii fata de un epe inetial z sunt indicate de vectoii i, i,...,. Pentu a cunoaste miscaea sistemului de puncte mateiale tebuie sa deteminam: i i ( t), i,..., z M M us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

3 Dinamica punctului mateial supus la legatui ie: - m k masa punctului M k, - k ezultanta fotelo eteioae aplicate punctului M k - k fota inteioaa pe cae punctul M o eecita asupa punctului M k, k,,..., ; k z M k k Asupa punctului M actioneaza fota ezultanta: k k M + k k () us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 3

4 Dinamica punctului mateial supus la legatui Popietati ale fotelo inteioae. otele inteioae sunt supuse pincipiului actiunii si eactiunii: k +, k,, k,...,,..., () De asemenea: k k k k k k ( ) k M k k M us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 4

5 Dinamica punctului mateial supus la legatui. Rezultanta geneala a fotelo inteioae, R (i), si momentul ezultant al fotelo inteioae, M (i), ( abita in spatiu) sunt nule: Int-adeva: R ( i) R ( i), M ( i) k k, k Pentu punctele M k si M ( k ) avem: Deci: k k + k ( ) k + k k k k 3 3 () M M M ( i) k k k us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale (') (3) (4) (5) 5

6 Dinamica punctului mateial supus la legatui Ecuatiile difeentiale ale miscaii Ecuatiile difeentiale ale miscaii sistemului (S) sunt: d m + k,,..., dt k Poblema fundamentala a mecanicii sistemului (S) consta in deteminaea miscaii punctelo M din (S), adica a functiilo: cunoscand fotele ce actioneaza asupa sistemului (, k ( t ), & ( t) &,..., ( t),,..., ) si conditiile initiale: (6) (7) Rezolvand (6) cu conditiile (7) obtinem ecuatiile miscaii: ( t,,...,, &,..., & ),,..., (8) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 6

7 Dinamica punctului mateial supus la legatui Teoemele geneale ale dinamicii sistemelo mateiale e efeim in continuae la sisteme mateiale discete. ie (S): M (m ),,,,..., Miscaea este data de: m & + k,,..., k. Teoema impulsului (a cantitatii de miscae) (9) Definitie: Impulsul H al sistemului (S) sau cantitatea de miscae este suma tutuo impulsuilo punctelo mateiale: H m & m v () us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 7

8 Dinamica punctului mateial supus la legatui Din (9) si () avem: dh dt k k R ( 4) () unde R este ezultanta fotelo etene ce actioneaza asupa punctelo din sistem. Asada: dh dt Ecuatia () epima teoema impulsului: R Miscaea sistemului (S) ae loc astfel incat in oice moment deivata in apot cu timpul a impulsului sistemului este egala cu ezultanta fotelo eteioae. () us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 8

9 Dinamica punctului mateial supus la legatui Integale pime Definitie: elatie de foma: ( t,,...,, &,..., & ) c(constant), t t in cae functia de clasa este identic egala cu o constanta daca i i (t), i,..., satisfac ecuatia difeentiala (9) se numeste integala pima a miscaii. bs: integala pima poate inlocui o elatie din sistemul (9). azul. Daca: R H constant Ecuatia (3) epima pincipiul consevaii impulsului sistemului (S): Daca ezultanta fotelo eteioae sistemului este nula atunci impulsul sistemului se conseva in timp. (3) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 9

10 Dinamica punctului mateial supus la legatui azul. Daca R, da eista un veso fi u astefel incat R u (R u) atunci din () avem: dh dt. Teoema centului maselo d R u dt H u constant, t ( H u) R u Definitie: Punctul al caui vecto de pozitie in apot cu z este definit de elatia: m ii i i se numeste centul maselo (centul de inetie, centul de geutate) sistemului (S). m i t (4) (5) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

11 Dinamica punctului mateial supus la legatui Pecizam ca m Σ m i epezinta masa totala a sistemului (S). Deivand (5) avem: m& mi& i i si folosind teoema impulsului () obtinem: m& R H (6) (7) Teoema centului maselo: entul maselo unui sistem de puncte mateiale se misca asemenea unui punct mateial in cae este concentata inteaga masa a sistemului si asupa cauia actioneaza ezultanta fotelo eteioae aplicate sistemului. In coodonate cateziene daca (,, z ) si R(X,Y,Z) avem: m& X m && Y, mz &, (8) Z us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

12 Dinamica punctului mateial supus la legatui bsevatie: ie (S) un cop igid de masa m. Atunci: m dm ( S ) m ( S ) ρ dv este vectoul de pozitie al centului maselo sistemului (S). z Deoaece fotele intene satisfac pincipiul actiunii si eactiunii atunci teoema centului maselo amane valabila si pentu copui igide. onfom acestui ezultat asimilam miscaea unui cop igid cu miscaea unui punct mateial, centul de masa. dm us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

13 Dinamica punctului mateial supus la legatui 3. Teoema momentului cinetic Definitie: Momentul cinetic K al sistemului (S) in apot cu punctul este suma momentelo cinetice ale punctelo sistemului: v m K (9) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale & 443 & _ (9) (5) + + M k k m v m v K Deivand K in apot cu timpul si utilizand (9) obtinem: ()

14 Dinamica punctului mateial supus la legatui Avem: dk dt notatie M () unde M este momentul ezultant al fotelo etene. Relatia: dk dt () M epima teoema momentului cinetic: Miscaea unui sistem mateial ae loc astfel incat in oice moment deivata in apot cu timpul a momentului cinetic al sistemului este egala cu momentul ezultant al fotelo eteioae sistemului Integale pime Daca M atunci din () avem : K constant (3) Relatia (3) epima consevaea momentului cinetic. us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 4

15 Dinamica punctului mateial supus la legatui 4. Teoema enegiei cinetice Definitie: umimenegie cinetica a sistemului (S)maimea scalaa: T m v ie δl (et) si δl (int) lucul mecanic elementa al fotelo eteioae si al fotelo inteioae. Deci: _ (et) L (int) δ d; δ L kd k (4) (5) ie M (m ) punct al sistemului. Sciind enegia sa cinetica si teoema enegiei cinetice avem: dt _ d m v d + k k d,,..., (6) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 5

16 Dinamica punctului mateial supus la legatui Insumand (6) dupa obtinem teoema enegiei cinetice: dt (et) δ L + δl Teoema enegiei cinetice In oice pozitie a sistemului difeentiala enegiei cinetice este egala cu suma dinte lucul mecanic elementa si al fotelo etene si lucul mecanic elementa al fotelo intene. (int) (7) 5. Teoema de consevae a enegiei mecanice Daca eista o functie de stae (int) (int) V V (,, z,...,, numita enegie potentiala intena a sistemului, astfel incat atunci (7) devine: δ d (int) L dv (int) ( (int) ) (et) T V δl, z ) (8) + (9) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 6

17 Dinamica punctului mateial supus la legatui Daca fotele intene depind doa de pozitie, adica k k ( k ) atunci k d k dv (int) (int) k, V k kd (3) k Da δl (int) k k d k k d k + k u d( d k u) k k k k d( k k d ( u u) k k ) d k M k k k k M us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 7

18 Dinamica punctului mateial supus la legatui Atunci unde δl (int) k d, k V (int), k k k d k dv (int) (3 ) (int) (3) V k, k k Daca eista o functie de stae (et) (et) V V (,, z,..., numita enegie potentiala etena a sistemului, astfel incat atunci (9) devine: δ d (et) L dv (et) ( (et) (int) T + V + V ),, z ) (3) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 8

19 Dinamica punctului mateial supus la legatui Si deci (et) (int) T + V + V h(constant) (33) Ecuatia (33) epima teoema de consevae a enegiei mecanice: Miscaea unui sistem de puncte mateiale int-un camp consevativ de fote (fotele etene si intene sunt potentiale) ae loc astfel incat enegia mecanica totala E T + V (et) + V (int) se conseva in timpul miscaii sistemului. us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 9

20 Dinamica punctului mateial supus la legatui Eemplul : Doua puncte mateiale M si M cu masele egale cu unitatea se atag cu o fota egala cu distanta dinte ele coeficientul de popotionalitate fiind. In momentul initial punctul M se afla in oiginea aelo de coodonate si ae viteza v a, fiind diiat pe aa, ia M este pe aa avand viteza v si odonata a. Sa se detemine ecuatiile de miscae pentu sistemul fomat din M si M. M bsevatie: M (,a) M (,) v M Miscaea este plana (in ). Int-adeva putem considea fota ce actioneaza inte M si M ca fiind centala (de eemplu centul este M ) si atunci confom teoiei fotelo centale miscaea este plana. us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

21 Dinamica punctului mateial supus la legatui Ecuatiile miscaii: m & m & M M M M M M (33) Sciem ecuatiile (33) in poiectie pe aele (m m )si adaugam si conditiile initiale: && && && && ; ; ; ; () () () () ; ; ; a; & & & () & () () () a (34) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

22 Dinamica punctului mateial supus la legatui Din (34) se obtine: d dt d dt d dt d dt ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) (35) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale

23 Dinamica punctului mateial supus la legatui Integand (35) avem: (36) ); sin( ) cos( ; ); sin( ) cos( ; t t t t t t olosind conditiile initiale din (34) putem gasi constantele de integae,..., 8 : + + ) cos( ; ); sin( ; t a a t a t a (37) us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 3

24 Dinamica punctului mateial supus la legatui btinem: a a [ t + sin( t) ] [ cos( t) ] a a [ t sin( t) ] [ + cos( t) ] (38) Ecuatiile (38) epezinta doua cicloide fomate din doua puncte diametal opuse ale unui cec cae se ostogoleste pe deapta a. us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 4

25 Dinamica punctului mateial supus la legatui us. Dinamica sistemelo de puncte mateiale 5

Σχετικά έγγραφα

r d r. r r ( ) Curba închisă Γ din (3.1 ) limitează o suprafaţă de arie S

r d r. r r ( ) Curba închisă Γ din (3.1 ) limitează o suprafaţă de arie S - 37-3. Ecuaţiile lui Maxwell 3.. Foma integală a ecuaţiilo lui Maxwell Foma cea mai geneală a ii lui Ampèe (.75) sau (.77) epezintă pima ecuaţie a lui Maxwell: d H dl j ds + D ds (3.) S dt S sau: B dl