Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση"

Transcript

1 Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1

2 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης είναι το πρώτο εργαλείο που θα μελετήσουμε. Η ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμοποιείται στην πρόβλεψη της τιμής μιας μεταβλητής (εξαρτημένη μεταβλητή) με βάση άλλες μεταβλητές (ανεξάρτητες μεταβλητές). Εξαρτημένη μεταβλητή: συμβολίζεται με Y Ανεξάρτητες μεταβλητές: συμβολίζονται με X 1, X 2,, X k Copyright 2009 Cengage Learning 16.2

3 Ανάλυση Συσχέτισης Εάν ενδιαφερόμαστε να καθορίσουμε μόνο εάν υπάρχει σχέση μεταξύ των μεταβλητών, χρησιμοποιούμε την ανάλυση συσχέτισης, μια μέθοδος που εισήχθηκε ενωρίτερα. Το κεφάλαιο αυτό θα εξετάσει τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, που μερικές φορές ονομάζεται απλή γραμμική παλινδρόμηση. Οι μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν αυτές τις σχέσεις ονομάζονται μοντέλα, και είναι δύο ειδών: αιτιοκρατικά/ντετερμινιστικά ή πιθανοθεωρητικά. Copyright 2009 Cengage Learning 16.3

4 Είδη Μοντέλων Αιτιοκρατικό/Ντετερμινιστικό Μοντέλο: μια εξίσωση ή ομάδα εξισώσεων που μας επιτρέπουν να καθορίσουμε πλήρως την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής από τις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών. Πιθανοθεωρητικό Μοντέλο: μια μέθοδος που χρησιμοποιείται στον εντοπισμό της τυχαιότητας που αποτελεί μέρος της διαδικασίας της πραγματικής ζωής. Π.χ. όλες οι κατοικίες του ιδίου μεγέθους (μετρούμενες σε τετραγωνικά μέτρα) πωλούνται ακριβώς στην ίδια τιμή; Copyright 2009 Cengage Learning 16.4

5 Ένα Μοντέλο Για να δημιουργήσουμε ένα πιθανοθεωρητικό μοντέλο ξεκινάμε από ένα αιτιοκρατικό μοντέλο που προσεγγίζει τη σχέση που θέλουμε να «μοντελοποιήσουμε» και προσθέτει ένα τυχαίο όρο που μετρά το σφάλμα της αιτιοκρατικής συνιστώσας Αιτιοκρατικό Μοντέλο: Το κόστος οικοδόμησης μιας νέας κατοικίας είναι περίπου 100 ευρώ ανά τετραγωνικό μέτρο και τα περισσότερα οικόπεδα πωλούνται γύρω στα 100,000 ευρώ. Επομένως η κατά προσέγγιση τιμή πώλησης (y) είναι: y = 100, x (όπου x είναι το μέγεθος της κατοικίας σε τετραγωνικά μέτρα). Copyright 2009 Cengage Learning 16.5

6 Ένα Μοντέλο Ένα μοντέλο της σχέσης μεταξύ του μεγέθους κατοικίας (ανεξάρτητη μεταβλητή) και της τιμής της κατοικίας (εξαρτημένη μεταβλητή) θα ήταν: Τιμή κατοικίας Τα περισσότερα οικόπεδα πωλούνται έναντι 100,000 ευρώ Μέγεθος κατοικίας Στο μοντέλο αυτό, η τιμή της κατοικίας καθορίζεται πλήρως από το μέγεθος. Copyright 2009 Cengage Learning 16.6

7 Ένα Μοντέλο Στην πραγματική ζωή, όμως, το κόστος κατοικίας ποικίλει ακόμη και ανάμεσα σε κατοικίες ιδίου μεγέθους: Τιμή κατοικίας Κατώτερη έναντι ανώτερης μεταβλητότητας Τιμή κατοικίας = 100, (εμβ.) + Μέγεθος κατοικίας Ίδια επιφάνεια, αλλά διαφορετικά σημεία τιμής (π.χ. επιλογές διακόσμησης, αναβαθμισμένοι χώροι, θέση οικοπέδου ) x Copyright 2009 Cengage Learning 16.7

8 Τυχαίος Όρος Παρουσιάζουμε τώρα την τιμή μιας κατοικίας ως συνάρτηση του μεγέθους της σε αυτό το Πιθανοθεωρητικό Μοντέλο: y = 100, x + Όπου (ελληνικό γράμμα έψιλον) είναι ο τυχαίος όρος (επίσης γνωστός και ως μεταβλητή σφάλματος). Είναι η διαφορά μεταξύ της πραγματικής τιμής πώλησης και της εκτιμώμενης τιμής με βάση το μέγεθος της κατοικίας. Η τιμής μπορεί να ποικίλει από πώληση σε πώληση, ακόμη κι αν η επιφάνεια (δηλαδή, x) παραμένει η ίδια. Copyright 2009 Cengage Learning 16.8

9 Μοντέλο Απλής Γραμμικής Παλινδρόμησης Ένα μοντέλο ευθείας γραμμής με μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται γραμμικό μοντέλο πρώτης τάξης ή μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Δίδεται από την εξίσωση: εξαρτημένη μεταβλητή ανεξάρτητη μεταβλητή ίχνος στο άξονα y κλίση της ευθείας μεταβλητή σφάλματος Copyright 2009 Cengage Learning 16.9

10 Μοντέλο Απλής Γραμμικής Παλινδρόμησης Σημειώστε ότι τόσο το όσο και το είναι παράμετροι του πληθυσμού που συνήθως είναι άγνωστοι και άρα εκτιμώμενοι από τα δεδομένα. y ύψος μήκος =κλίση (=ύψος/μήκος) = ίχνος στον άξονα y x Copyright 2009 Cengage Learning 16.10

11 Εκτίμηση των Συντελεστών Με σχεδόν τον ίδιο τρόπου που βασίζουμε εκτιμήσεις του µ στο x, εκτιμούμε το β 0 χρησιμοποιώντας το b 0 και το β 1 χρησιμοποιώντας το b 1, το ίχνος στον άξονα y και η κλίση (αντιστοίχως) της ευθείας ελάχιστων τετραγώνων ή της ευθείας παλινδρόμησης δίδεται από τον τύπο: (Θυμηθείτε: αυτή είναι μια εφαρμογή της μεθόδου ελάχιστων τετραγώνων και παράγει μια ευθεία γραμμή που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ των σημείων και της ευθείας) Copyright 2009 Cengage Learning 16.11

12 Παράδειγμα 16.1 Τα ετήσια πριμ απόδοσης (σε χιλιάδες ευρώ) έξι υπαλλήλων με διαφορετικά χρόνια υπηρεσίας καταγράφονται παρακάτω. Θέλουμε να καθορίσουμε την σχέση ευθείας γραμμής μεταξύ των ετήσιων πριν και των ετών υπηρεσίας. Έτη υπηρεσίας x Ετήσιο πριμ y Copyright 2009 Cengage Learning 16.12

13 Ευθεία Ελάχιστων Τετραγώνων Παράδειγμα 16.1 Οι διαφορές αυτές ονομάζονται υπόλοιπα Copyright 2009 Cengage Learning 16.13

14 Παράδειγμα 16.2 Οι έμποροι αυτοκινήτων στη Βόρεια Αμερική χρησιμοποιούν το «Κόκκινο Βιβλίο» για να καθορίσουν την αξία των μεταχειρισμένων αυτοκινήτων που παίρνουν με ανταλλαγή από τους πελάτες τους όταν αυτοί αγοράζουν ένα καινούργιο αυτοκίνητο. Το βιβλίο αυτό, που εκδίδεται κάθε μήνα, καταγράφει τις εμπορικές τιμές όλων των βασικών μοντέλων αυτοκινήτων. Παρέχει εναλλακτικές τιμές για κάθε μοντέλο σύμφωνα με την κατάστασή του και τα προαιρετικά χαρακτηριστικά του. Οι τιμές καθορίζονται με βάση τον μέσο όρο τιμής σε πρόσφατες δημοπρασίες μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, που αποτελούν την πηγή προσφοράς για πολλούς εμπόρους μεταχειρισμένων αυτοκινήτων. Copyright 2009 Cengage Learning 16.14

15 Παράδειγμα 16.2 Ωστόσο, το Κόκκινο Βιβλίο δεν δείχνει την τιμή που καθορίζεται από την ένδειξη του χιλιομετρητή, παρά το γεγονός ότι ένας κρίσιμος παράγοντας για τους αγοραστές μεταχειρισμένων αυτοκινήτων είναι πόσα χιλιόμετρα έχει διανύσει το αυτοκίνητο. Για να διερευνήσει αυτό το ζήτηση, ένας έμπορος μεταχειρισμένων αυτοκινήτων επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 100 αυτοκινήτων Toyota Camrys ηλικίας τριών ετών, τα οποία πωλήθηκαν σε δημοπρασία κατά τη διάρκεια του περασμένου μήνα. Ο έμπορος κατέγραψε την τιμή (σε χιλιάδες δολάρια) και τον αριθμό των μιλίων (σε χιλιάδες) του χιλιομετρητή. (Αρχείο Xm16-02). Ο έμπορος θέλει να βρει τη γραμμή παλινδρόμησης. Copyright 2009 Cengage Learning 16.15

16 Παράδειγμα 16.2 Κλικ Data, Data Analysis, Regression Copyright 2009 Cengage Learning 16.16

17 Παράδειγμα 16.2 A B C D E F SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error Observations 100 ANOVA df SS MS F Significance F Regression E-24 Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept E-98 Odometer E-24 Copyright 2009 Cengage Learning 16.17

18 Παράδειγμα 16.2 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Όπως ίσως θα αναμένατε με τα μεταχειρισμένα αυτοκίνητα Ο συντελεστής κλίσης, b 1, είναι , δηλαδή, κάθε επιπλέον μίλι στην ένδειξη του χιλιομετρητή μειώνει την τιμή κατά $ Το ίχνος στον άξονα y, b 0, είναι 17,250. Η ερμηνεία μας θα ήταν ότι όταν x = 0 (το αυτοκίνητο δεν διένυσε κανένα μίλι) η τιμή πώλησης είναι $17,250. Ωστόσο, δεν έχουμε δεδομένα για αυτοκίνητα με λιγότερα από 19,100 διανυθέντα μίλια, επομένως δεν είναι μια σωστή αξιολόγηση. Copyright 2009 Cengage Learning 16.18

19 Παράδειγμα 16.2 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Επιλέγοντας «line fit plots» [διαγράμμα γραμμής προσαρμογής] στο Regression dialog box [πλαίσιο διαλόγου παλινδρόμησης], δημιουργούμε ένα διάγραμμα διασποράς των δεδομένων και την γραμμή παλινδρόμησης Copyright 2009 Cengage Learning 16.19

20 Απαιτούμενες Προϋποθέσεις/Συνθήκες Για να ισχύουν αυτοί οι μέθοδοι παλινδρόμησης πρέπει να ικανοποιούνται οι εξής τέσσερις συνθήκες μεταβλητής σφάλματος ( ): Η κατανομή πιθανοτήτων της είναι κανονική Ο μέσος της κατανομής είναι μηδέν, δηλαδή Ε ( ) = 0 Η τυπική απόκλιση της πρέπει να είναι σταθερή για κάθε τιμή του x Η τιμή του σφάλματος για κάθε συγκεκριμένη τιμή του y είναι ανεξάρτητη από την τιμή του σφάλματος για κάθε άλλη τιμή του y. Copyright 2009 Cengage Learning 16.20

21 Αξιολόγηση Μοντέλου Η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων θα παράγει πάντα μια ευθεία γραμμή, ακόμη κι αν δεν υπάρχει σχέση μεταξύ των μεταβλητών, ή αν η σχέση είναι κάτι άλλο παρά γραμμική. Επομένως, εκτός από τον καθορισμό των συντελεστών της γραμμής ελάχιστων τετραγώνων, θα πρέπει να το αξιολογήσουμε για να δούμε πόσο καλά «ταιριάζει» στα δεδομένα. Θα εξετάσουμε αυτές τις μεθόδους αξιολόγησης τώρα. Βασίζονται στο άθροισμα των τετραγώνων σφάλματος (SSE). Copyright 2009 Cengage Learning 16.21

22 Άθροισμα Τετραγώνων Σφάλματος (SSE) Το άθροισμα των τετραγώνων σφάλματος υπολογίζεται ως εξής: n 2 SSE (y ŷ i 1 i i) Και χρησιμοποιείται στον υπολογισμό του τυπικού σφάλματος εκτίμησης: Αν είναι μηδέν, τότε όλα τα σημεία είναι πάνω στη γραμμή παλινδρόμησης. Copyright 2009 Cengage Learning 16.22

23 Τυπικό Σφάλμα Εκτίμησης Εάν το s ε είναι μικρό, η αντιστοιχία είναι εξαιρετική και το γραμμικό μοντέλο θα πρέπει να χρησιμοποιείται στη πρόβλεψη. Εάν το s ε είναι μεγάλο, το μοντέλο είναι ανεπαρκές Τι είναι όμως μικρό και τι είναι μεγάλο; Copyright 2009 Cengage Learning 16.23

24 Τυπικό Σφάλμα Εκτίμησης Κρίνετε την τιμή του συγκρίνοντάς την με τον δειγματικό μέσο της εξαρτημένης μεταβλητής ( ). Στο παράδειγμα αυτό, s ε = και = έτσι (μιλώντας σχετικά) φαίνεται να είναι «μικρή», επομένως το μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης της τιμής του αυτοκινήτου ως συνάρτηση της ένδειξης του χιλιομετρητή είναι «καλό». Copyright 2009 Cengage Learning 16.24

25 Έλεγχος της Κλίσης Εάν δεν υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, θα αναμέναμε η γραμμή παλινδρόμησης να είναι οριζόντια, δηλαδή να έχει μηδενική κλίση. Θέλουμε να δούμε εάν υπάρχει γραμμική σχέση, δηλαδή θέλουμε να δούμε εάν η κλίση (β 1 ) είναι κάτι άλλο πλην μηδενικής. Η υπόθεση έρευνας γίνεται: H 1 : β 1 0 Επομένως η μηδενική υπόθεση γίνεται: H 0 : β 1 = 0 Copyright 2009 Cengage Learning 16.25

26 Έλεγχος της Κλίσης Μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτόν τον έλεγχο για να δοκιμάσουμε τις υποθέσεις μας: όπου είναι η τυπική απόκλιση του b 1, οριζόμενη ως: Αν η μεταβλητή σφάλματος ( ) έχει κανονική κατανομή, ο έλεγχος έχει μια κατανομή Student t με n 2 βαθμούς ελευθερίας. Η περιοχή απόρριψης εξαρτάται από το εάν διενεργούμε έναν έλεγχο ενός ή δύο άκρων (ο έλεγχος δύο άκρων είναι ο πιο συνήθης). Copyright 2009 Cengage Learning 16.26

27 Παράδειγμα 16.4 Δοκιμάστε να καθορίσετε εάν υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ της τιμής και των ενδείξεων του χιλιομετρητή (με 5% στάθμη εμπιστοσύνης) Θέλουμε να ελέγξουμε: H 1 : β 1 0 H 0 : β 1 = 0 (εάν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής, δεν υπάρχει γραμμική σχέση) Η περιοχή απόρριψης είναι : Copyright 2009 Cengage Learning 16.27

28 Παράδειγμα 16.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Υπολογίζουμε το t με το χέρι ή παραπέμπουμε στο αποτέλεσμα του Excel. τιμή-p Βλέπουμε ότι ο έλεγχος t για «χιλιομετρητή» Σύγκριση (δηλαδή, η κλίση b 1 ) είναι 13.49, που είναι μεγαλύτερη από το t κρίσιμο = Σημειώνουμε επίσης ότι η τιμή-p είναι 0,000. Υπάρχουν συντριπτικά στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ ένδειξης χιλιομετρητή και τιμής. Copyright 2009 Cengage Learning 16.28

29 Έλεγχος της Κλίσης Εάν θέλουμε να ελέγξουμε την ύπαρξη θετικών ή αρνητικών γραμμικών σχέσεων διενεργούμε ελέγχους ενός άκρου, δηλαδή η υπόθεση έρευνας γίνεται: ή H 1 : β 1 < 0 (έλεγχος αρνητικής κλίσης) H 1 : β 1 >0 (έλεγχος θετικής κλίσης) Φυσικά, η μηδενική υπόθεση παραμένει: H 0 : β 1 = 0. Copyright 2009 Cengage Learning 16.29

30 Συντελεστής Προσδιορισμού Οι μέχρι τώρα έλεγχοι έχουν δείξει εάν υπάρχει μια γραμμική σχέση. Είναι επίσης χρήσιμο να μετρήσουμε την ισχύ της σχέσης. Αυτό γίνεται με τον υπολογισμό του συντελεστή προσδιορισμού R 2. Ο συντελεστής προσδιορισμού είναι το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης (r), επομένως R 2 = (r) 2 Copyright 2009 Cengage Learning 16.30

31 Συντελεστής Προσδιορισμού Μπορούμε να χωρίσουμε την απόκλιση y σε δύο μέρη: Απόκλιση y = SSE + SSR Το SSE Sum of Squares Error [Άθροισμα Τετραγώνων Σφάλματος] μετρά το μέγεθος της μεταβλητότητας στον y που παραμένει ανεξήγητο (π.χ. λόγω του σφάλματος) Το SSR Sum of Squares Regression [Άθροισμα Τετραγώνων Παλινδρόμησης] μετρά το μέγεθος της μεταβλητότητας στον y που εξηγείται από την μεταβλητότητα στην ανεξάρτητη μεταβλητή x. Copyright 2009 Cengage Learning 16.31

32 Συντελεστής Προσδιορισμού ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Μπορούμε να τον υπολογίσουμε με το χέρι ή με Excel Copyright 2009 Cengage Learning 16.32

33 Συντελεστής Προσδιορισμού ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ο R 2 έχει μια τιμή 0,6483. Αυτό σημαίνει ότι το 64,83% της μεταβλητότητας των τιμών πώλησης σε δημοπρασία (y) εξηγείται από την μεταβλητότητα στις ενδείξεις χιλιομετρητών (x). Το εναπομένον 35,17% είναι ανεξήγητο, π.χ. λόγω σφάλματος. Γενικώς, όσο υψηλότερη είναι η τιμή του R 2, τόσο καλύτερα ταιριάζει το μοντέλο στα δεδομένα. R 2 = 1: Τέλεια αντιστοιχία μεταξύ της γραμμής και των σημείων δεδομένων. R 2 = 0: Δεν υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ x και y. Copyright 2009 Cengage Learning 16.33

34 Περισσότερα για το Αποτέλεσμα του Excel Ένας πίνακας (ANOVA) ανάλυσης διασποράς για το μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης μπορεί να έχει την εξής μορφή: Πηγή Βαθμοί ελευθερίας Άθροισμα τετραγώνων Μέσα τετράγωνα Έλεγχος F Παλινδρόμηση 1 SSR MSR = SSR/1 F=MSR/M SE Σφάλμα n 2 SSE MSE = SSE/(n 2) Σύνολο n 1 Μεταβλητότητα y Copyright 2009 Cengage Learning 16.34

35 Συντελεστής Προσδιορισμού Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή συσχέτισης (που είδαμε ενωρίτερα) για να ελέγξουμε την ύπαρξη γραμμικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών. Θυμηθείτε: Το εύρος του συντελεστή συσχέτισης είναι μεταξύ 1 και +1. Εάν r = 1 (αρνητική συσχέτιση) ή r = +1 (θετική συσχέτιση) όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω στην γραμμή παλινδρόμησης. Εάν r = 0 δεν υπάρχει γραμμικό μοτίβο Copyright 2009 Cengage Learning 16.35

36 Συντελεστής Προσδιορισμού Ο συντελεστής συσχέτισης πληθυσμού συμβολίζεται με (rho) Υπολογίζουμε την τιμή του από τα δεδομένα του δείγματος με τον συντελεστή συσχέτισης δείγματος: Ο έλεγχος για το εάν = 0 είναι: όπου η κατανομή δειγματοληψίας είναι η κατανομή Student t με n 2 βαθμούς ελευθερίας. Copyright 2009 Cengage Learning 16.36

37 Παράδειγμα 16.6 Μπορούμε να διενεργήσουμε τον έλεγχο t του συντελεστή συσχέτισης ως ένα εναλλακτικό μέσο προσδιορισμού του εάν μεταξύ της ένδειξης χιλιομετρητή και της τιμής πώλησης στη δημοπρασία υπάρχει γραμμική σύνδεση. Η υπόθεση έρευνας είναι: H 1 : ρ 0 (δηλαδή, υπάρχει γραμμική σχέση) και η μηδενική υπόθεση είναι: H 0 : ρ = 0 (δηλαδή, δεν υπάρχει γραμμική σχέση όταν ρ = 0) Copyright 2009 Cengage Learning 16.37

38 Παράδειγμα 16.6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ήδη δείξαμε ότι: Άρα υπολογίζουμε τον συντελεστή συσχέτισης ως εξής: και η τιμή του ελέγχου μας γίνεται: Copyright 2009 Cengage Learning 16.38

39 Παράδειγμα 16.6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε Excel > Add-Ins > Data Analysis Plus και το εργαλείο Correlation (Pearson) για να έχουμε: Μπορούμε επίσης να διενεργήσουμε έναν έλεγχο ενός άκρου για θετικές ή αρνητικές γραμμικές σχέσεις τιμή-p σύγκριση Και πάλι, απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (ότι δεν υπάρχει γραμμικής συσχέτιση) υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης (ότι οι δύο μεταβλητές μας συνδέονται όντως με ένα γραμμικό τρόπο). Copyright 2009 Cengage Learning 16.39

40 Χρήση της Εξίσωσης Παλινδρόμησης Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση παλινδρόμησης: y = x Για να προβλέψουμε την τιμή πώλησης ενός αυτοκινήτου με ένδειξη χιλιομετρητή 40 (.000) μίλια: y = x = (40) = 14,574 Αυτή την τιμή ($14,574) την ονομάζουμε σημειακή πρόβλεψη. Οι πιθανότητες όμως είναι η πραγματική τιμή να είναι διαφορετική, επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή πώλησης με όρους ενός διαστήματος. Copyright 2009 Cengage Learning 16.40

41 Διάστημα Πρόβλεψης Το διάστημα πρόβλεψης χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να προβλέψουμε μια συγκεκριμένη τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, με δεδομένη μια συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής: (x g είναι η δεδομένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x) Copyright 2009 Cengage Learning 16.41

42 Διάστημα Πρόβλεψης Πρόβλεψη τιμής πώλησης ενός Camry ηλικίας 3 ετών με 40,000 μίλια στον χιλιομετρητή (x g = 40) Προβλέπουμε μια τιμή πώλησης μεταξύ $13,925 και $15,226. Copyright 2009 Cengage Learning 16.42

43 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης της αναμενόμενης τιμής της y. Στην περίπτωση αυτή εκτιμούμε τον μέσο της y με δεδομένη μια τιμή της x: (Από τεχνικής άποψης, ο τύπος αυτός χρησιμοποιείται για απείρως μεγάλους πληθυσμούς. Ωστόσο, μπορούμε να ερμηνεύσουμε το πρόβλημά μας ως μια προσπάθεια προσδιορισμού της μέσης τιμής πώλησης όλων των Toyota Camrys, όλων με 40,000 μίλια στον χιλιομετρητή) Copyright 2009 Cengage Learning 16.43

44 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης Εκτίμηση της μέσης τιμής ενός μεγάλου αριθμού αυτοκινήτων (x g = 40): Το κατώτερο και ανώτερο όριο της εκτίμησης διαστήματος εμπιστοσύνης της αναμενόμενης τιμής είναι $14,498 και $14,650 Copyright 2009 Cengage Learning 16.44

45 Ποια είναι η Διαφορά; Διάστημα Πρόβλεψης Διάστημα Εμπιστοσύνης 1 no 1 Χρησιμοποιείται στην εκτίμηση της τιμής μιας τιμής της y (με δεδομένη τιμή της x) Χρησιμοποιείται στην εκτίμηση μέσης τιμής της y (με δεδομένη τιμή της x) Η εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης της αναμενόμενης τιμής της y θα είναι στενότερη από το διάστημα πρόβλεψης για την ίδια δεδομένη τιμή της x και τη στάθμη εμπιστοσύνης. Και τούτο επειδή υπάρχει μικρότερο σφάλμα στην εκτίμηση μιας μέσης τιμής σε σύγκριση με την πρόβλεψη μια μεμονωμένης τιμής. Copyright 2009 Cengage Learning 16.45

46 Διαστήματα με Excel ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Add-Ins > Data Analysis Plus > Prediction Interval Σημειακή Πρόβλεψη Διάστημα Πρόβλεψης Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Copyright 2009 Cengage Learning 16.46

47 Διάγνωση Παλινδρόμησης Υπάρχουν τρεις προϋποθέσεις που απαιτούνται για την εκτέλεση της ανάλυσης παλινδρόμησης. Αυτές είναι: Η μεταβλητή σφάλματος πρέπει να έχει κανονική κατανομή, Η μεταβλητή σφάλματος πρέπει να έχει σταθερή διασπορά & Τα σφάλματα πρέπει να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Πώς μπορούμε να διαγνώσουμε παραβιάσεις αυτών των προϋποθέσεων/συνθηκών; Ανάλυση Υπολοίπων, δηλαδή, εξέταση των διαφορών μεταξύ των πραγματικών σημείων δεδομένων και εκείνων που προβλέπονται από την γραμμική εξίσωση. Copyright 2009 Cengage Learning 16.47

48 Ανάλυση Υπολοίπων Θυμηθείτε ότι οι αποκλίσεις μεταξύ των πραγματικών σημείων δεδομένων και της γραμμής παλινδρόμησης ονομάστηκαν υπόλοιπα ή κατάλοιπα. Το Excel υπολογίζει τα υπόλοιπα ως μέρος της ανάλυσης παλινδρόμησης: Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτά τα υπόλοιπα για να προσδιορίσουμε εάν η μεταβλητή σφάλματος είναι μη κανονική, εάν η μεταβλητότητα σφάλματος είναι σταθερή, και εάν τα σφάλματα είναι ανεξάρτητα. Copyright 2009 Cengage Learning 16.48

49 Μη-Κανονικότητα Μπορούμε να πάρουμε τα υπόλοιπα και να τα βάλουμε σε ένα ιστόγραμμα για να ελέγξουμε οπτικά την κανονικότητα αναζητώντας ένα ιστόγραμμα με μορφή «καμπάνας», με τον μέσο πλησίον του μηδενός. Copyright 2009 Cengage Learning 16.49

50 Ετεροσκεδαστικότητα Όταν παραβιάζεται η προϋπόθεση της σταθερής μεταβλητότητας, έχουμε μια συνθήκη ετεροσκεδαστικότητας. Μπορούμε να διαγνώσουμε ετεροσκεδαστικότητα σχεδιάζοντας τα υπόλοιπα έναντι των προβλεπόμενων τιμών της y. Copyright 2009 Cengage Learning 16.50

51 Ετεροσκεδαστικότητα Αν η διασπορά μεταβλητής σφάλματος ( ) δεν είναι σταθερή, τότε έχουμε «ετεροσκεδαστικότητα». Εδώ έχουμε ένα διάγραμμα των υπολοίπων έναντι της αναμενόμενης τιμής της y: δεν φαίνεται να υπάρχει μια μεταβολή στο εύρος των σημείων, επομένως δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα Copyright 2009 Cengage Learning 16.51

52 Μη-Ανεξαρτησία της Μεταβλητής Σφάλματος Εάν θα έπρεπε να παρατηρήσουμε τις τιμές αυτοκινήτων σε δημοπρασίες κάθε εβδομάδα για, ας πούμε, ένα έτος, αυτό θα συνιστούσε μια χρονολογική σειρά. Όταν τα δεδομένα είναι χρονολογικές σειρές, τα σφάλματα συχνά εμφανίζουν συσχέτιση. Σφάλματα που σχετίζονται στην πάροδο του χρόνου λέμε ότι εμφανίζουν αυτοσυσχέτιση ή σειριακή συσχέτιση. Συχνά μπορούμε να διαπιστώσουμε αυτοσυσχέτιση όταν κάνουμε μια γραφική αναπαράσταση των υπολοίπων έναντι των χρονικών περιόδων. Εάν εμφανιστεί ένα μοτίβο, είναι πιθανό να παραβιάζεται η προϋπόθεση της ανεξαρτησίας. Copyright 2009 Cengage Learning 16.52

53 Μη-Ανεξαρτησία της Μεταβλητής Σφάλματος Τα μοτίβα στην εμφάνιση των υπολοίπων έναντι του χρόνου δείχνουν ότι υπάρχει αυτοσυσχέτιση: Σημειώστε τα μήκη των θετικών υπολοίπων που αντικαταστάθηκαν από μήκη αρνητικών υπολοίπων Σημειώστε την συμπεριφορά ταλάντευσης των υπολοίπων γύρω από το μηδέν. Copyright 2009 Cengage Learning 16.53

54 Ακραίες Τιμές Ακραία τιμή είναι μια παρατήρηση που είναι ασυνήθιστα μικρή ή ασυνήθιστα μεγάλη. Π.χ. το παράδειγμα των μεταχειρισμένων αυτοκινήτων είχε ενδείξεις χιλιομετρητή από 19.1 έως 49.2 χιλιάδες μίλια. Έστω ότι έχουμε μια τιμή μόνο 5,000 μιλίων (δηλαδή, ένα αυτοκίνητο οδηγείται από ένα ηλικιωμένο άτομο μόνο τις Κυριακές ) το σημείο αυτό είναι μια ακραία τιμή. Copyright 2009 Cengage Learning 16.54

55 Ακραίες Τιμές Πιθανοί λόγοι για την ύπαρξη ακραίων τιμών είναι μεταξύ άλλων: Σφάλμα στην καταγραφή της τιμής Η τιμή δεν θα έπρεπε να περιλαμβάνεται στο δείγμα Ίσως η παρατήρηση είναι όντως αληθής. Οι ακραίες τιμές μπορούν εύκολα να εντοπίζονται από ένα διάγραμμα διασποράς. Εάν η απόλυτη τιμή του τυπικού υπολοίπου είναι > 2, υποψιαζόμαστε ότι το σημείο μπορεί να είναι μια ακραία τιμή και ερευνούμε περαιτέρω. Πρέπει να αντιμετωπίζονται, αφού μπορούν εύκολα να επηρεάσουν την γραμμή ελάχιστων τετραγώνων. Copyright 2009 Cengage Learning 16.55

56 Διαδικασία Ανάλυσης Παλινδρόμησης 1. Θεωρητική σύλληψη ενός μοντέλου. 2. Συλλογή δεδομένων για τις δύο μεταβλητές στο μοντέλο. 3. Σχεδίαση του διαγράμματος διασποράς για να καθοριστεί εάν ένα γραμμικό μοντέλο είναι κατάλληλο. Αναγνώριση πιθανών ακραίων τιμών. 4. Προσδιορισμός της εξίσωσης παλινδρόμησης. 5. Υπολογισμός των υπολοίπων και έλεγχος των απαιτούμενων προϋποθέσεων/συνθηκών 6. Αξιολόγηση του μοντέλου. 7. Εάν το μοντέλο ταιριάζει στα δεδομένα, χρήση της εξίσωσης παλινδρόμησης για την πρόβλεψη μιας συγκεκριμένης τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής ή/και εκτίμηση του μέσου της. Copyright 2009 Cengage Learning 16.56

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΣΤΕΛΕΧΗ (EMBA) Διατριβή μεταπτυχιακού Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς (Analysis of Variance, ANOVA) είναι μέθοδος στατιστικού ελέγχου υποθέσεων που αναφέρονται σε περισσότερους από δύο πληθυσμούς. Στην προηγούμενη ενότητα αναφερθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Δεκέμβριος 2011 Στόχος Έρευνας H βιτρίνα των καταστημάτων αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v Περιεχόμενα Πρόλογος... v 1 Χρήση της έκδοσης 10 του SPSS για Windows και καταχώριση δεδομένων... 1 2 Περιγραφή μεταβλητών: πίνακες και γραφήματα... 19 3 Περιγραφή μεταβλητών αριθμητικά: μέσοι όροι, διακύμανση,

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική;

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική; ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Γενικές οδηγίες για την εργασία Τέταρτη Γραπτή Εργασία Όλες οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Μέρος 1: Βασικές έννοιες Μια σύντομη εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) Γενικά Επέκταση της σύγκρισης µέσων τιµών µεταβλητής ανάµεσα σε 2 δείγµατα (οµάδες ήστάθµες): Σύγκριση πολλών δειγµάτων (K>2) µαζί Σχέση ανάµεσα σε µια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 2 Περιγραφικές Τεχνικές

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 2 Περιγραφικές Τεχνικές ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση!

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! ΘΕΜΑ ο [Μονάδες 20] Ερώτημα i (4 μονάδες). Για να κάνουμε τους υπολογισμούς που χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Κωνσταντίνος Ζαφειρόπουλος Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο]

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο] Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2- Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2-2 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο.6. είκτες µερικής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Καταρχήν Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι εν απαιτούν κανονικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Στατιστικής

Σημειώσεις Στατιστικής + εφαρμογή με το LibreOffice Calc και το R Project Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Νοέμβριος 0, Ξάνθη. Επικοινωνία : epdiamantopoulos@yahoo.gr Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/! Κατάλογος περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Α. ΕΜΒΑΛΩΤΗΣ Α. ΚΑΤΣΗΣ Γ. ΣΙΔΕΡΙΔΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Α ΕΚΔΟΣΗ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2006 Α. Εμβαλωτής: Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Α. Κατσής: Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εισαγωγή στο P.A.S.W. Υποχρεωτικό μάθημα 4 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Ερώτηση Α.1 (α) (β) www.arnos.gr info@arnos.co.gr

Ερώτηση Α.1 (α) (β) www.arnos.gr info@arnos.co.gr Ερώτηση Α.1 Σε μια κλειστή οικονομία οι αγορές αγαθών και χρήματος βρίσκονται σε ταυτόχρονη ισορροπία (υπόδειγμα IS-LM). Να περιγράψετε και να δείξετε διαγραμματικά το πώς θα επηρεάσει την ισορροπία των

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα