4. CÂTEVA METODE DE CALCUL AL CÂMPULUI ELECTRIC Formule coulombiene

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. CÂTEVA METODE DE CALCUL AL CÂMPULUI ELECTRIC Formule coulombiene"

Σάπφιρα Αποστόλου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Patea II. Electostatica CÂTEVA METOE E CALCUL AL CÂMPULUI ELECTIC i) Cazul 4.1. Fomule coulombiene Fie o sacină electică punctuală, situată înt-un mediu omogen nemăginit, de pemitivitate ε. Aplicăm P n legea fluxului electic pe o supafaţă sfeică cu centul M în punctul M, în cae se află sacina electică (Fig.4.1): Fig.4.1. C@mpul electic podus de o sacin` electic` punctual`. nds in motive de simetie sfeică, ae doa componentă adială pe şi aceasta este constantă pe. Atunci, din elaţia de mai sus, ezultă: de unde: şi: apoi: ds ds 4π 4π 4π 4 πε E (4.1) eoaece E este funcţie doa de, putem admite că şi V este funcţie de. Ca umae, (v. Anexa A):

2 Patea II. Electostatica 9 E gadv ( ) V '( ) Ţinând cont de elaţia (4.1), avem: de unde: V ' V + C Impunând valoaea nulă pentu potenţialul de la infinit ( V0), ezultă: V (4.) Folosind acest ezultat, putem calcula E, V poduse înt-un mediu omogen nemăginit, de o distibuţie volumică de sacină electică v (Fig.4.). Împăţim domeniul, în cae avem sacină electică, în mici subdomenii de volume v, în cae sacina electică este v v, unde v este densitatea de sacină electică înt-un punct M din inteioul subdomeniului. Intensitatea câmpului electic E, podusă de mica sacină electică în punctul P descis de vectoul de poziţie faţă de punctul M, este dată de elaţia (4.1): P M E v v 4 πε Însumând contibuţiile tutuo subdomeniilo din, ezultă: E E v v

3 Patea II. Electostatica 9 Limita expesiei de mai sus, pentu o divizae abita de fină este: v M v v v P E Fig.4.. C@mpul electic ceat de o distibu\ie volumic` de sacin` electic`. v E dv La fel: V v dv (4.) (4.4) Obsevaţie. Ecuaţia potenţialului în mediul omogen (unde εct) este dată de elaţia (1.5): deci: divε gadv εdiv( gadv ) ε V v v V (4.5) ε Soluţia ecuaţiei (4.5) este dată de elaţia (4.4). Înt-o manieă asemănătoae, se pot stabili intensitatea câmpului electic şi potenţialul ceate de o sacină electică distibuită pe supafaţa S cu densitatea de supafaţă S : S E ds S V S ds S (4.6) (4.7) acă sacina electică este distibuită cu densitatea l pe cuba C, atunci: l E (4.8) C

4 Patea II. Electostatica 94 V l (4.9) C Obsevaţii: a) Integalele (4.), (4.4) şi (4.7) sunt absolut convegente chia dacă punctul P se află în Γ 1 domeniul de integae. E θ b) Integalele (4.), (4.6) şi (4.8) se fac pe componente. n 1 Γ C S 1 Ez S S l A B n n Fig.4.. C@mpul electic podus de un fi ectiliniu [nc`cat unifom cu sacin` electic`. Γ 1 de fomă ciculaă cu centul pe fi, de lungime ii) Cazul Fie un fi ectiliniu infinit de lung, unifom încăcat cu sacina electică cu densitatea lineică l şi aflat înt-un mediu omogen şi măginit. Poblema ae simetie cilindică şi, datoită faptului că fiul este infinit de lung, măimile nu depind de coodonatele z şi θ. Aplicăm legea inducţiei electomagnetice pe cuba l : Γ 1 E Eθ Eθ Eθ l 0 şi ezultă că E şi nu au componente pe coodonata θ ( E θ 0, θ 0). Aplicăm legea inducţiei electomagnetice pe cuba Γ ABCA de fomă deptunghiulaă, cu latuile BC şi A paalele cu fiul şi ţinem cont de faptul că E nu depinde de coodonatele z şi θ:

5 Patea II. Electostatica 95 Γ E d l E + Ez ( B) E Ez AB BC C A Ez ( B) Ez Ez ( B) BC Ez A 0 BC A de unde ezultă Ez ( B) Ez. eci, componenta lui E pe diecţia z este constantă. Impunând E 0 pentu 0, ezultă că E z 0. Aplicăm legea fluxului electic pe supafaţa închisă de fomă cilindică, cu axa pe fi, de înălţime h, cu bazele S 1, S şi supafaţa lateală S l : deci: nds zds z ds + S1 S + ds π h l h S 1 de unde: l π şi: l E (4.10) πε Apoi, admiţând că potenţialul V depinde doa de coodonata, avem: gadv V ' E şi, admiţând că la 0 avem V0, ezultă:

6 Patea II. Electostatica 96 acă 01m, avem: V l ln 0 πε V l 1 ln πε (4.11) emacăm că stuctua analizată mai sus este independentă de coodonata z. In geneal, spunem că o stuctuă de copui ae configuaţie plan-paalelă dacă există o diecţie pivilegiată, astfel încât pentu oice secţiune pependiculaă pe această diecţie avem aceeaşi geometie a copului şi aceleaşi popietăţi electice (sacini şi caacteistici constitutive). e exemplu, stuctua din Fig.4. ae configuaţia plan-paalelă, o secţiune cu un plan pependicula pe axă fiind descisă de un punct. Inves, dacă secţiunea dint-un plan pependicula pe axă aată ca în Fig.4..a), atunci în stuctua este dată în Fig.4.4.b). eci, un fi încăcat cu sacina electică distibuită a) b) Fig.4.4. Stuctui plan-paalele.

7 Patea II. Electostatica 97 unifom, cu densitatea lineică l, coespunde în ² unei sacini electice "punctuale" l sau, pe unitatea de lungime, l 1. La fel, pentu cube din ² avem densitatea "lineică" S îc/m²ş ia pentu domenii (supafeţe) din ² avem densitatea de "supafaţă" v îc/m ş. Putem spune deci că intensitatea câmpului electic şi potenţialul ceate de o sacină "punctuală" în ² sunt date de fomulele (4.10) şi (4.11). acă sacina electică este distibuită înt-un domeniu ² cu densitatea de "supafaţă" v, atunci: V E V πε 1 πε V 1 ln ds ds (4.1) (4.1) Ambele integale sunt absolut convegente. acă sacina electică este distibuită pe cuba C din ² cu densitatea "lineică" S, atunci: S E πε (4.14) C V Integala (4.1) este absolut convegentă. 1 1 S ln πε (4.15) C

Σχετικά έγγραφα

r d r. r r ( ) Curba închisă Γ din (3.1 ) limitează o suprafaţă de arie S

r d r. r r ( ) Curba închisă Γ din (3.1 ) limitează o suprafaţă de arie S - 37-3. Ecuaţiile lui Maxwell 3.. Foma integală a ecuaţiilo lui Maxwell Foma cea mai geneală a ii lui Ampèe (.75) sau (.77) epezintă pima ecuaţie a lui Maxwell: d H dl j ds + D ds (3.) S dt S sau: B dl