ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ. Το δέλτα του Kronecker. Το σύµβολο µετάθεσης. Χρήσιµες σχέσεις ΟΡΙΣΜΟΙ (3.133) = 1 =+1. εijk. αν ijk = 123 ή 231 ή 312 (3.

Transcript

1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Το δέλτα του Konece δ δ + 1 αν 0 αν (3.133 Το σύµβολο µετάεσης ε +1 ε 1 ε 0 αν 13 ή 31 ή 31 αν 13 ή 13 ή 31 αν οποιοιδήποτε δείκτες είναι ίδιοι (3.134 Χρήσιµες σχέσεις εεh δh (3.135 ε εmn δ δ + δ δ (3.136 m n n m

2 Η ορίζουσα µε χρήση του συµβόλου µετάεσης α α α α α α 1 3 α α α εα1 αα3 (3.137 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ιάνυσµα συναρτήσει µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης u δ1u1+ δ u +δ3u3 δ u (3.138 Μέτρο διανύσµατος u u u1 + u + u3 u (3.139 Εσωτερικά γινόµενα µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης ( δ1 δ1 ( δ δ ( δ3 δ3 ( δ1 δ ( δ δ3 ( δ3 δ1 ( δ δ ( δ δ ( δ δ (3.140 ή δ δ δ (3.141 Εξωτερικά γινόµενα µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης [ δ1 δ1] [ δ δ] [ δ3 δ3], 0 δ δ + δ, δ δ + δ, δ δ + δ δ δ δ, δ δ δ δ δ δ (3.14 ή δ δ ε δ (

3 Άροισµα διανυσµάτων ( u+ w δ u + δ w δ u + w (3.144 Γινόµενο βαµωτού µε διάνυσµα { } { } su s δ u δ su (3.145 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων { δ } { δ } ( δ δ uw u w u w δ uw uw (3.146 Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων [ u w] { δ } { δ } [ δ δ ] w w u w δ1 δ δ ε δ uw u u u w w w (3.147 Ο διαορικός τελεστής δ1 + δ + δ3 δ 1 3 (3.148 Η κλίση ενός βαµωτού πεδίου s δ1 + δ + δ3 δ 1 3 (

4 Η απόκλιση ενός διανυσµατικού πεδίου ( u δ δ u ( δ δ u u u δ (3.150 Ιδιότητες ( u ( u (3.151 ( su ( s u (3.15 ( { u+ w} ( u + ( w (3.153 Η περιστροή ενός διανυσµατικού πεδίου [ ] u { } δ δu δ δ u δ1 δ δ3 δ u ε 1 3 u u u u3 u u1 u3 δ 1 +δ +δ u 1 u1 (3.154 Ο τελεστής Laplace επί βαµωτού πεδίου ( s δ δ ( δ δ δ s (

5 Ο τελεστής Laplace σε καρτεσιανές συντεταγµένες (3.156 Ο τελεστής Laplace επί διανυσµατικού πεδίου (καρτεσιανές συντεταγµένες { } u δ u δ u + δ u + δ u (3.157 Ο τελεστής Laplace επί διανυσµατικού πεδίου (γενική µορή ( u u u u (3.158 Η ουσιαστική (υλική παράγωγος D Dt ( t + u (3.159 Η ουσιαστική παράγωγος βαµωτού µεγέους Ds Dt t ( u s u (3.160 t + + Η ουσιαστική παράγωγος διανυσµατικού µεγέους Du Dt u u + ( u u δ + ( u u t (3.161 t Η τελευταία µορή αναέρεται σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, γενικά ( 1 ( u u uu u u u u (

6 Ο διαορικός τελεστής επί γινοµένων s s+ s (3.163 ( su ( s u + s( u (3.164 ( [ ] ( [ ] ( [ ] u w w u u w (3.165 [ s ] [ s ] + s[ ] u u u (3.166 ΤΑΝΥΣΤΕΣ Τανυστής δεύτερης τάξης σ σ σ σσ σ σ σ σ σ σ (3.167 Συζυγής (ανάστροος τανυστής T σ σ T σ σ σ σ σ σ σ σ σ (3.168 υαδικό γινόµενο (δυάδα uw 1 1 uw 1 uw 1 3 uw uw 1 uw uw 3 uw uw uw (3.169 Μοναδιαίος τανυστής δ (

7 Ορισµός διανύσµατος Ένα µέγεος που χαρακτηρίζεται από µια διατεταγµένη τριάδα συνιστωσών (u1, u, u3 σε ένα σύστηµα συντεταγµένων µε οροµοναδιαία ανυσµατική βάση (δ1, δ, δ3 λέγεται διάνυσµα όταν περιστροή του συστήµατος συντεταγµένων στην οροµοναδιαία ανυσµατική βάση ( δ, δ, δ µεταβάλλει τις συνιστώσες σε ( u, u, u σύµωνα µε την σχέση 1 3 u 1 3 l u αλλά και u l u (3.171 όπου l δ δ ( δ δ cos, (3.17 Ορισµός τανυστή Αντίστοιχα ένα µέγεος που χαρακτηρίζεται από µια διατεταγµένη οµάδα εννέα συνιστωσών ( σ σε ένα σύστηµα συντεταγµένων µε οροµοναδιαία ανυσµατική βάση (δ1, δ, δ 3 λέγεται τανυστής (τανυστής δεύτερης τάξης όταν περιστροή του συστήµατος συντεταγµένων στην οροµοναδιαία ανυσµατική βάση ( δ, δ, δ µεταβάλλει τις συνιστώσες σε ( σ mn σύµωνα µε την σχέση σ 1 3 l l σ αλλά και σ l l σ (3.173 mn m n m n mn Μοναδιαίες δυάδες δδ , δδ , δδ κλπ (3.174 Παράσταση τανυστή και δυαδικού µε βάση τις µοναδιαίες δυάδες σ δδ σ (3.175 uw δ δ uw (

8 Γινόµενα µοναδιαίων δυάδων και διανυσµάτων δδ δ δ δ δ δδ (3.177 Εσωτερικό ( ( δ δ δ δ δ δ δ δ (3.178 { } { } ( δδ δ δ δ δ δ δ δ δδ (3.179 l l l Εξωτερικό { } { } δδ δ δ δ δ δ ε δ (3.180 l l l { } {[ ] } [ l l l] δ δ δ δ δ δ ε δ δ (3.181 {{ }} {{ }} [ m ] δδ δ δ δ δ δ δ δ ε δ δ (3.18 l l m m l ιπλό εσωτερικό ( δδ δ δ ( δ δ ( δ δ : δ δ (3.183 l l l ιπλό εξωτερικό {[ δδ δ δ ]} [ δ δ ][ δ δ ] [ δ ][ δ ] l l ε m m m n εln n (3.184 Εσωτερικό - εξωτερικό [ δδ δδl ] ( δ δ [ δ δl ] δ [ m εlmδm] (3.185 Εξωτερικό - εσωτερικό [ δδ δδl] [ δ δ]( δ δl [ mδ ] ε δ (3.186 m m l 94

9 Τάξη αποτελέσµατος γινοµένου N N λ 1 λ (3.187 όπου N : η τάξη των πολλαπλασιαζόµενων µεγεών, λ 1 : ο αριµός των εσωτερικών γινοµένων και λ : ο αριµός των εξωτερικών γινοµένων Πράξεις µεταξύ τανυστών και διανυσµάτων ( σ + τ δδ σ + δδ τ δδ σ + τ (3.188 ( sσ s δ δ σ δ δ sσ (3.189 { σ τ} δδ σ { δ δ lτ l l} { δδ δδl} στl δδσ τ l l δ δδσ τ l l δδ σ τ l l l l l l (3.190 [ σ u] δδ σ δ [ δ δ δ u ]( σu δδ( σu δ ( σ u δ ( σ u [ σ ] δu δ δ [ δ δ δ σ ]( uσ δδ ( uσ δ ( uσ δ ( uσ u (3.191 (

10 ( σ : τ { δδ σ} : { δ δ τ } ( δδ : δδl( στ l l ( δ δ( δ δl( στ l δδl ( στ l l ( στ l l l l (3.193 [ δ ] [ δ ] ( δ:σ σ u u u (3.194 (3.195 [ uv w] u( v w (3.196 [ uvw ] ( uv w (3.197 uv : w ( v w ( u uv w uw : v v : wu w : vu (3.198 vu : w v : uw wu : v w : uv ( σ : uw ([ σ u] w σ uw (3.199 ( uw : σ ( u [ w σ ] (3.00 [ ] σ δ δ δ σ δ δ δ σ (3.01 δδ δ δ σ σ σ w u δ w u (3.0 96

11 ( : u σ σ u (3.03 [ s ] δ s (3.04 [ uw] [ u w] + w( u (3.05 ( sδ: s( u u (3.06 Θεωρήµατα που συνδέουν ολοκληρώµατα όγκου µε ολοκληρώµατα επιάνειας V sdv A n sda ( u ( n u ( u n dv da da V A A (Gauss [ σ ] dv [ n σ ] V A da 97

12 ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων (,, ή (,, cos ( sn actan 0 π sn ( cos + + ( 0 cos ( sn + + ( 0 ( 0 + ( 0 + ( 1 ( cos ( sn ( 0 ( sn ( cos ( 0 ( 0 ( 0 ( 1 δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ ( cos ( sn ( 0 ( sn ( cos ( 0 ( 0 ( 0 ( 1 δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ ( u w uw + uw + uw [ u w] δ( uw uw + δ ( uw uw + δ( uw uw { σ τ} δδ ( στ + σ τ + στ + δδ ( στ + σ τ + στ + δδ ( σ τ + σ τ + σ τ

13 Σαιρικό σύστηµα συντεταγµένων sncos ( sn sn actan + 0 π ( cos actan 0 π (,, ή (,, coscos sn ( sncos + + sn cossn cos ( snsn + + sn sn ( cos + + ( 0 ( sncos ( snsn ( cos ( coscos ( cossn ( sn ( sn ( cos ( 0 δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ ( sncos ( cos cos ( sn ( snsn ( cossn ( cos ( cos ( sn ( 0 δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ ( σ τ : σ τ + σ τ + σ τ + σ τ + σ τ + σ τ + σ τ + σ τ + σ τ ( u [ v w] u u u v v v w w w 99

14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΤΩΝ ΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΒΑΣΗΣ ΚΑΙ Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ Σε Κυλινδρικό Σύστηµα Συντεταγµένων δ 0 δ 0 δ 0 δ δ δ δ δ 0 δ 0 δ 0 δ 0 1 δ + δ + δ Σε Σαιρικό Σύστηµα Συντεταγµένων δ 0 δ 0 δ 0 δ δ δ δ δ 0 δ δ sn δ δ cos δ δ sn δ cos 1 1 δ + δ + δ sn 100

15 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΤΟΝ ΤΕΛΕΣΤΗ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (,, ( u + + ( s ( τ : u u u u s s s + + u u u τ + τ + τ u u u u u u + τ + + τ + + τ + u u s [ u] u u s [ u] u u s [ u] [ τ] + + [ τ] [ τ] τ τ τ τ τ τ + + τ τ τ + + u u u u + + u u u u + + u u u u + + u u u [ u u] u + u + u u u u u + u + u [ u u] [ u u] u u u u + u + u Οι σχέσεις που αναέρονται στον τανυστή τ ισχύουν για συµµετρικό τανυστή µόνο 101

16 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΤΟΝ ΤΕΛΕΣΤΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (,, 1 1 u u s s + + u 1 u u u τ + τ τ + + ( u ( u ( s ( τ : u u 1 u 1 u u u u + τ τ τ [ s] [ s] [ s] 1 u u u u 1 1 u [ u] [ u] [ u] ( u 1 1 τ 1 τ + τ + 1 τ τ τ + + τ τ τ + + [ τ] ( τ [ τ] [ τ] ( τ 1 1 u u u u ( u u u u u ( u u 1 u u u + + u u u u u u + + u u u u u u u u u u u u u u + + u [ u u] [ u u] [ u u] Οι σχέσεις που αναέρονται στον τανυστή τ ισχύουν για συµµετρικό τανυστή µόνο 10

17 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΤΟΝ ΤΕΛΕΣΤΗ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (,, u + + sn ( u ( u ( u sn ( s ( τ : u sn s sn + sn + sn u 1 u u 1 u u u cot τ + τ + + τ + + sn u 1 u u u 1 u u + τ + + τ + sn 1 u 1 u cot + τ + u sn 1 1 u s [ u] ( u sn sn sn 1 1 u 1 s [ u] ( u sn 1 s 1 1 u sn [ u] ( u τ τ + τ τ τ sn + τ + sn sn ( ( τ τ cot τ + τ + + τ [ τ] ( ( sn sn sn 1 1 τ 1 τ τ cot τ sn u u cot u u u u sn [ τ] ( τ u u cos u u u + sn sn u u cos u u u + + sn sn sn u u u u u + u u + + sn [ u u] [ u u] u u u u cot u u u uu u sn u u u u u uu uu cot [ u u] u sn Οι σχέσεις που αναέρονται στον τανυστή τ ισχύουν για συµµετρικό τανυστή µόνο 103