vibor jelić diplomski rad

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "vibor jelić diplomski rad"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET vibor jelić SPEKTROSKOPSKA ANALIZA ŠUME LYMANOVIH LINIJA U SPEKTRIMA KVAZARA diplomski rad Zagreb, listopad 2006.

2 Zahvaljujem prof. dr. sc. Krešimiru Pavlovskom kao voditelju diplomskog rada, prof. dr. sc. Saleemu Zaroubiu za stručnu pomoć tijekom boravka na Kapteyn Astroniomical Instituteu i dr. sc. Tae-Sun Kimu na ustupljenim spektrima kvazara.

3 Sadržaj 1. Eksperimentalna kozmologija 1 2. Reionizacijska faza svemira Izvori reionizacije Reionizacija vodika Reionizacija helija Fotoisparavanje plinovitog haloa nakon reionizacije Medugalaktička tvar Jednadžba stanja i numeričke simulacije Podjela Lyman sistema Lyα linije kao detektor svojstva IGMa Širina Lyα linija kao detektor temp. IGMa Uvjeti na jednadžbu stanja IGMa i reionizaciju Mjerni uredaj i spektri kvazara Mjerni uredaj VLT teleskop UVES spektrograf Spektri kvazara i

4 SADRŽAJ ii 5. Metoda analize Prilagodba Ly linija Voigtovom profilu Eliminacija linija metala Wavelet analiza spektra Rezultati mjerenja i diskusija Spektar kvazara PKS Lyα linije (PKS ) Lyβ linije (PKS ) Spektar kvazara QSO Temperaturni skok uslijed He ii reionizacije IGMa Zaključak 36 Literatura 38 Sažetak 40

5 Poglavlje 1 Eksperimentalna kozmologija Što dalje gledamo u svemir, to se više vraćamo u prošlost, jer je svijetlosti s udaljenih zvijezda i galaksija potrebno konačno vrijeme da dode do Zemlje (konačnost brzine svijetlosti). Na taj način, svih 13.7 milijardi kozmološke povijesti našeg svemira može se rekonstruirati sustavnim promatranjem vrlo udaljenih izvora u svemiru (npr. galaksija i kvazara). Za mjerenje kozmoloških udaljenosti (crvenog pomaka, z), najčešće se koriste karakteristične emisijske linije vodika i ostalih kemijskih elemenata u spektrima galaksija. Širenjem svemira, šire se i valne duljine emitirane svjetlosti, pa će spektri galaksija koje promatramo danas biti pomaknuti prema crvenom, za faktor 1 + z, u odnosu na emitirane spektre (sl. 1.1). U meduvremenu i svemir se proširio u linearnoj dimenziji za faktor 1 + z, pa odredena kozmološka udaljenost implicira pripadno kozmološko razdoblje. Današnji teleskopi omogućuju promatranje galaksija s crvenim pomakom z 6.5, što predstavlja razdoblje 850 milijuna godina nakon Velikog Praska. Osim analize spektra galaksija, jedna od važnijih eksperimentalnih metoda moderne kozmologije je analiza reliktnog mikrovalnog pozadinskog zračenja svemira (eng. Cosmic Microwave Background Radiation, CMB, sl. 1.2). U prvih nekoliko stotina tisuća godina, svemir se sastojao od termodinamički uravnotežene plazme protona, elektrona i lakih nuklearnih jezgri. Kao i plazma u našem Suncu, te drugim zvijezdama, kozmološka plazma je emitirala i raspršivala velike količine vidljivih i ultraljubičastih fotona (zračenje 1

6 1. EKSPERIMENTALNA KOZMOLOGIJA 2 Slika 1.1: Širenjem svemira, šire se i valne duljine emitirane svjetlosti, pa će linije u spektru koje danas promatramo biti pomaknute prema crvenom dijelu spektra. crnog tijela). Uslijed širenja svemira, godina poslije Velikog Praska temperatura svemira se spustila ispod nekoliko tisuća kelvina. Brzine protona i elektrona (termička energija) postale su dovoljno male da su se protoni i elektroni počeli privlačiti i stvarati atome vodika (proces kozmičke rekombinacije). Povećanjem broja neutralnih atoma vodika, raspršenje emitiranih fotona se smanjilo, te su se fotoni nastavili gotovo pravocrtno gibati u svim smjerovima prostora. Uslijed kozmičkog širenja, valne duljine emitiranih fotona pomaknute su prema crvenom i danas te fotone detektiramo u mikrovalnom području kao CMB. U trenutku kozmičke rekombinacije, gravitacija je počela imati sve veću ulogu u formiranju svemira. Dolazi do kontrakcije tvari u područjima nešto većih koncentracija, te nakon nekoliko milijuna godina sažimanja, nastale su prve galaksije i zvijezde. Ipak, današnja vidljiva količina tvari u svemiru nedostatna je za objašnjenje opažane gustoće galaksija u svemiru, što upućuje na postojanje tvari koju ne opažamo (tamna tvar). Iako nije vidljiva, tamna tvar gravitacijski medudjeluje s vidljivom tvari i čini 85% ukupne količine tvari u svemiru. Područje izmedu galaksija, ispunjeno je difuznim plinom kojeg nazivamo

7 1. EKSPERIMENTALNA KOZMOLOGIJA 3 Slika 1.2: CMB otkriven je god. tijekom testiranja komunikacijske radio antene. A. Penzias i R. Wilson dobili su Nobelovu nagradu za otkriće CMBa (1978). Lansiranjem satelita COBE (1989) otkrivena je anizotropnost CMBa i da je CMBov spektar jednak spektru crnog tijela (J.C. Mather i G.F. Smoot, Nobelova nagrada 2006) god. lansiranjem satelita WMAP izmjerena je anizotropnost CMBa s razlučivosti od 20 µk po 0.3 po kvadratnom pikselu, te CMBova polarizacija (izvor: lambda.gsfc.nasa.gov). medugalaktička tvar (eng. Intergalactic Medium, IGM). Svojstva medugalaktičke tvari mogu se promatrati analizom IGMovih apsorpcijskih linija u spektrima kvazara. Kvazari su kozmološki vrlo udaljeni i sjajni objekti, a dosadašnja istraživanja pokazuju da su to masivne crne rupe (milijardu puta veće mase od mase Sunca), koje se nalaze u centrima vrlo gustih i masivnih galaksija. Proces padanja okolne tvari u crnu rupu stvara jake sudare tvari koja onda emitira velike količine zračenja. Lyα apsorpcijska linija vodika IGMa, valne duljine 1216 Å, omogućuje odredivanje količine vodika u svemiru. Obzirom da se širenjem svemira povećava valna duljina fotona, apsorpcijsku liniju 1216 Å u referentom sustavu elementa plina na crvenom pomaku z, danas vidimo kao liniju valne duljine 1216 (1 + z) Å. Na taj način, Lyα apsorpcijske linije različitih elemenata plina na različitim crvenim pomacima z, duž linije promatranja, danas vidimo kao Lyα šumu apsorpcijskih linija. Dosadašnje analize Lyα apsorpcije IGMa, pokazale su da je IGM u peri-

8 1. EKSPERIMENTALNA KOZMOLOGIJA 4 odu od 850 milijardi godina kozmološkog doba (z 6.5) pa do danas, vruća i difuzno raspodijeljena plazma, s vrlo malim (gotovo zanemarivim) udjelom neutralnog vodika. Ovakav rezultat upućuje na činjenicu da je moralo doći do reionizacije IGM (z 16) nakon što je postala neutralna uslijed procesa rekombinacije. Mogući izvori zračenja, koji su reionizirali IGM, su prve generacije vrlo masivnih zvijezda ili minikvazari. Da bi se dao konačan odgovor na pitanje kako i kada je nastala reionizacija, potrebno je detektirati raspodjelu neutralnog vodika s crvenim pomakom 6.5 z 16. Medutim, na velikim crvenim pomacima gustoća neutralnog vodika puno je veća nego danas, pa je proces Lyα apsorpcije toliko izražen da se Lyα apsorpcijske linije ne mogu upotrebljavati za odredivanje gustoće neutralnog vodika, već se uvodi nova metoda kozmologije tzv. kozmologija na 21 cm. Emisijska ili apsorpcijska linija na 21 cm, povezna je s hiperfinom strukturom osnovnog stanja neutralnog vodika. Osnovno stanje vodika s paralelnim spinovim protona i neutrona nešto je veće energije od stanja s antiparalelnim spinovima. Prelazak vodika izmedu navedenih hiperfinih stanja stvara apsorpcijsku ili emisijsku liniju valne duljine 21 cm. Ako danas promatramo 21 cm liniju s pripadnih crvenih pomaka reionizacijske faze, detektirat ćemo je u niskofrekventnom radio području (1.5 4 m). Obzirom da je najmanja moguća rezolucija teleskopa proporcionalna promatranoj valnoj duljini, radio teleskopi koji će moći razlučiti kozmološku strukturu reionizacijske faze moraju imati promjer oko desetak kilometara. Jedan od takvih teleskopa, koji će se sastojati od stotinjak malih niskofrekventnih antena rasporedenih na širem području sjeverne Nizozemske (eng. Low Frequency Array, LOFAR), u izgradnji je i trebao bi dati prve rezultate o reionizacijskoj povijesti svemira tijekom godine. Osnovna namjera ovoga rada je detektirati temperaturni skok medugalaktičke tvari, uslijed He ii reionizacije, spektroskopskom analizom Lyα apsorpcijskih linija u spektrima kvazara PKS i QSO Prvi puta bi se istražile mogućnosti ispitivanja temperaturnih fluktuacija IGMa pomoću spektroskopske analize Lyβ apsorpcijskih linija i eventualno potvrditi raniji rezultati istraživanja Theuns et al. (2002).

9 Poglavlje 2 Reionizacijska faza svemira Na temelju današnjih saznanja o ranom svemiru, vodik se rekombinirao u neutralno stanje oko pola milijuna godina nakon Velikog praska, kada se primordijalna tvar svemira ohladila na 3000 K. Svemir je tada ušao u tzv. mračno doba, te se nastavio hladiti uslijed širenja. Nekoliko stotina milijuna godina poslije oblaci plina počeli su se zgušnjavati i nastaju prve zvijezde koje svojim zračenjem zagrijavaju svemir i stvaraju zračenje koje danas možemo promatrati. Navedena faza naziva se tzv. renesansnim dobom svemira. Nakon što se stvorio dovoljan broj ionizirajućih izvora, temperatura i količina ionizirane tvari u svemiru naglo raste, te većina neutralnog vodika nestaje. Faza u kojoj svemir prelazi iz stanja s velikom količinom neutralnog vodika u stanje potpune ionizacije naziva se reionizacijsko doba svemira. Shematski prikaz faza razvoja svemira prikazan je na sl Tri temeljna pitanja današnje kozmologije o ranom svemiru, za čijim odgovorima se traga teorijskim modelima, numeričkim simulacijama i novim generacijama niskofrekventnih radio teleskopa su: 1. Kada se točno dogodila reionizacija svemira? 2. Koliko brzo se reionizacija proširila svemirom? 3. Koji su bili dominantni izvori zračenja koji su uzrokovali reionizaciju? 5

10 2. REIONIZACIJSKA FAZA SVEMIRA 6 Slika 2.1: Shematski prikaz povijesti svemira i reionizacijske faze (izvor: Djorgovski et al. & Digital Media Center, Caltech) 2.1. Izvori reionizacije Uz pretpostavku da su izvori reionizacije slični današnjim izvorima ionizacijskog zračenja, svaki izvor stvarao je 4000 ionizirajućih fotona po barionu. Drugim riječima, bilo je dovoljno da se samo 0.1% ukupne mase plina u svemiru razvije u galaksije i ionizira ostatak svemira. Postoje tri moguće vrste zračenja koja su reionizirale svemir:

11 2. REIONIZACIJSKA FAZA SVEMIRA 7 zračenje prvih generacija zvijezda, zračenje oslobodeno pri gravitacijskom kolapsu prvih oblaka plina i zračenje prvih aktivnih galaktičkih jezgri i kvazara. Dugo se smatralo da kvazari svojim jakim ionizirajućim ultraljubičastim i X zračenjem imaju dominantnu ulogu u reionizaciji jer stvaraju jako pozadinsko ionizirajuće zračenje na malim crvenim pomacima (z < 4). Ipak, prostorna gustoća kvazara na velikim crvenim pomacima z nije dovoljna za stvaranje značajnog doprinosa reionizacijskom zračenju (Madau 2000), već samo početnom zagrijavanju medugalaktičke tvari. Današnje analize pokazuju da je zračenje prvih vrlo masivnih zvijezda dominantan faktor u reionizaciji. Njihova masa procjenjuje se da je > 100 M (Abel et al. 2002) i da su njihove temperature veće od većine današnjih novonastalih zvijezda. Takoder, takve masivne zvijezde mogle bi stvoriti dovoljnu količinu zračenja da ioniziraju lokalni vodik, stvarajući pri tome tzv. Strömgrenove sfere 1. Kada se Strömgrenove sfere različitih zvijezda unutar prvih malih galaksija počinju preklapati, nastaju gusta ionizirana područja koja se polako šire po cjelokupnom svemiru i reioniziraju ga (Gnedin 2000). Komplikaciju u navedenom scenariju predstavljaju oblaci plina oko prvih galaksija (tzv. mini haloi ) koji mogu zaustavljati ionizirajuće zračenje apsorbiranjem i time usporavati proces reionizacije svemira (Barkana & Loeb 2000). Ipak, konačnu potvrdu o mehanizmima i izvorima reionizacije dat će rezultati istraživanja s niskofrekventnim radio teleskopima u narednih desetak godina. 1 Strömgrenove sfere su ionizirana područja vodika oko mladih zvijezda O ili B tipa. Radijus Strömgrenove sfere dobiva se uspostavljanjem ravnoteže izmedu procesa ionizacije i rekombinacije, te iznosi: R S = ( 3 S 4π n 2 β 2 ) 1 3, gdje je S tok ionizirajućeg zračenja izvora, n broj protona (ionizirani vodik) i β 2 brzina rekombinacije.

12 2. REIONIZACIJSKA FAZA SVEMIRA Reionizacija vodika Proces ionizacije vodika sastoji se od više faza. Prvu fazu čine pojedinačni izvori zračenja koji počinju ionizirati svoju okolinu. Obzirom da su prvi izvori okruženi masivnim haloima plina, ionizirajući fotoni koji uspiju pobjeći od izvora moraju najprije proći kroz područja visoke gustoće u kojima je brzina rekombinacije velika. Fotoni koji uspiju proći kroz guste haloe vrlo lako prodiru kroz područja plina male gustoće. Tijekom ove faze IGM je dvokomponentna. Prvu komponentu čine visokoionizirajuća područja, a drugu komponentu neutralna područja. Komponente su medusobno odvojene ionizirajućom frontom. Intenzitet ionizacije je nehomogen, a ovisi o udaljenosti do najbližeg izvora i luminozitetu samog izvora. Slijedeću fazu čini relativno brzo preklapanje susjednih H ii područja, pri čemu je sav prostor unutar ujedinjenih ionizirajućih mjehurića izložen fotonima oba izvora. Intenzitet ionizacije naglo raste, što dozvoljava fronti zračenja da prodire i u područja plina velike gustoće. Obzirom da svako srašćivanje mjehurića ubrzava proces ionizacije, faza preklapanja ima karakteristiku faznog prijelaza na vremenskoj skali manjoj od Hubblovog vremena 2 t H na pripadnom crvenom pomaku z. Na kraju ove faze na većinu područja ionizirane IGMa djeluje više izvora, što stvara gotovo homogen intenzitet ionizacije. Dodatnu komponentu faze preklapanja čini hijerarhijski model razvoja strukture koji predvida vremenski naglo povećanje oblikovanja galaksija na pripadnom crvenom pomaku z. Posljedica hijerarhijskog modela je postojanje područja plina dovoljno visoke gustoće da sprječava ionizirajuće zračenje od daljenjeg širenja (tzv. samoštićena područja). Trenutak u kojem je sva IGMa ionizirana osim samoštićenih područja uzima se kao trenutak reionizacije vodika. Neutralni vodik u samoštićenim područjima danas promatramo, u spektrima kvazara s malim crvenim pomakom z, kao Lyman granične 3 (eng. 2 Hubblovo vrijeme t H definirano je kao recipročna vrijednost Hubblove konstante, a predstavlja minimalnu starost svemira (t H 1 3 H 0 vidi poglavlje 3.2 = godina).

13 2. REIONIZACIJSKA FAZA SVEMIRA 9 Slika 2.2: Razvoj vodikove reionizacije u ovisnosti o crvenom pomaku z, dobiven numeričkim simulacijama (Barkana 2006) Lyman Limit) i Lyman prigušene 4 (eng. Lyman Damped) sisteme. Daljnjim razvojem galaksija samoštićena područja postaju postepeno ionizirana, a prosječan intenzitet ionizacije i dalje raste. Raspodjela intenziteta je takoder homogenija, a u konačnosti proces ionizacije traje i danas. Ipak, na crvenom pomaku z 1.6 svi se izvori reionizacije medusobno vide, pa se navedeni crveni pomak naziva probojem reionizacije Reionizacija helija Izvori koji su reionizirali vodik, najvjerojatnije su uzrokovali i pojedinačnu reionizaciju helija u He ii stanje. Energija potrebna za ionizaciju neutralnog helija iznosi 24.6 ev ili više, dok je brzina rekombinacije helija približno jednaka brzini rekombinacije vodika. S druge strane, granica He ii ionizacije iznosi 54.4 ev, te se potpuno ionizirani helij rekombinira 5 puta brže od vodika. Dakle, reionizacija He ii morala je nastati puno kasnije od reionizacije vodika iako je broj atoma helija 13 puta manji od broja atoma vodika. Obzirom da je He ii reionizacija nastala na puno manjem crvenom pomaku od H i reionizacije, He ii reionizaciju moguće je detektirati slijedećim metodama: Lyα apsorpcijom medugalaktičkog He ii na valnoj duljini 304 Å (npr. Jakobsen et al. 1994), 4 vidi poglavlje 3.2

14 2. REIONIZACIJSKA FAZA SVEMIRA 10 Lyα apsorpcijom medugalaktičkog H i na valnoj duljini 1216 Å (npr. Schaye et al. 1999) i He ii apsorpcijom mekog X zračenja (Miralda-Escude, 2000). U radu koristit će se Lyα apsorpcija medugalaktičkog H i na valnoj duljini 1216 Å. Važno je istaknuti da He ii reionizacija može zagrijati IGM od K na više, dok H i reionizacija može najviše do K Fotoisparavanje plinovitog haloa nakon reionizacije Na kraju reionizacijske faze, jako ultraljubičasto (UV) pozadinsko zračenje ispunilo je cjelokupan svemir, ioniziralo većinu medugalaktičke tvari i povećalo temperaturu IGMa na K. Obzirom da je gotovo sva medugalaktička tvar ionizirana, UV zračenje uspijeva prodirati i u guste plinovite haloe. Plinoviti haloi nastaju gravitacijskim sažimanjem na vremenskoj skali koja je puno manja od vremena hladenja plina. Zbog nedostatka mehanizma hladenja gravitacijska potencijalna energija, koja se oslobada tijekom sažimanja, adijabatski zagrijava plin i predstavlja jedan od oblika virijalnog teorema. Virijalni teorem odnosi se na gravitacijski vezane sustave u ravnoteži u kojima je ukupna energija sistema E jednaka jednoj polovini potencijalne energije sistema U usrednjenoj u vremenu: E = 1 U, (2.1) 2 uz E = T + U, gdje je T kinetička energija sistema, virijalni teorem poprima oblik: 2 T = U. (2.2)

15 2. REIONIZACIJSKA FAZA SVEMIRA 11 Uz virijalni teorem, veže se i pojam virijalne temperature koja se dobije izjednačavanjem kinetičke energije plina s toplinskom energijom plina: T virijalna = mσ2 3k, (2.3) gdje je m prosječna masa čestice plina, k Boltzmanova konstanta i σ disperzija brzine 5. Virijalna temperatura haloa nešto je manja od 10 4 K, dok im je masa 10 4 M. Uslijed medudjelovanja haloa s pozadinskim UV zračenjem dolazi do procesa fotoionizacijskog zagrijavanja koje potiče isparavanje većine plina iz haloa natrag u medugalaktičku tvar (tzv. proces fotoispravanja, Barkana & Loeb 1999). Populacija plinovitih haloa na reionizacijskoj skali prikazana je na sl. 2.3, a dobivena je numeričkim simulacijama (Barkana & Loeb 1999). Slika 2.3: Utjecaj fotoionizacije plinovitih haloa na ukupnu populaciju plinovitih haloa u svemiru (Barkana & Loeb 1999) 5 σ = v 2 = radijus haloa 3 5 GM R, gdje je M ukupna masa haloa, G gravitacijska konstanta i R

16 Poglavlje 3 Medugalaktička tvar Svojstva medugalaktičke tvari možemo proučavati analizom spektra kvazara čiji spektar sadrži brojne apsorpcijske linije plavo od Lyα emisijske linije kvazara (Rauch 1998). Medu apsorpcijskim linijama dominiraju Lyα apsorpcijske linije, a prisutne su i Lyβ linije, te neke druge linije teških iona i metala (različita ionizacijska stanja C, O, Mg, Si, Fe i Al). Glavni Ly apsorber je neutralni vodik u medugalaktičkoj tvari koja se nalazi na liniji promatranja kvazara. Obzirom da se apsorberi (na liniji promatranja) nalaze na različitim crvenim pomacima z, spektar kvazara imat će brojne Lyα apsorpcijske linije (1216 Å) pomaknute prema crvenom dijelu spektra, tzv. Lyα šuma linija (sl. 3.1). Prvi teorijski modeli interpretirali su Lyα apsorbere kao diskretne strukture plinovitih oblaka u medugalaktičkom prostoru koji su ograničeni tlakom vruće medugalaktičke tvari (Sargent et al. 1980) ili lokaliziranom gravitacijom tamne tvari u tzv. mini haloima (Rees 1986). Daljnja istraživanja, pomoću hidrodinamičkih numeričkih simulacija evolucije hladne tamne tvari, pokazala su da se većina Lyα apsorbera nalazi u fotoioniziranoj medugalaktičkoj tvari koja se poput paučine prostire po cijelom medugalaktičkom prostoru, a ne u lokaliziranim oblacima (Efstathiou, Schaye & Theus 2000). Difuzna struktura medugalaktičke tvari posljedica je fluktuacija gustoće hladne tamne tvari u svemiru, a prvi eksperimentalni dokazi difuzne strukture uslijedili su nakon snimljenih visoko razlučivih spektra kvazara pomoću spektrografa HI- 12

17 3. MEDUGALAKTIČKA TVAR 13 Slika 3.1: Shematski prikaz nastajanja Lyα šume u spektrima kvazara RES na Keck I teleskopu i UVES (eng. Ultraviolet and Visual Echelle Spectrograph) na VLT (eng. Very Large Telescope) teleskopu (European Southern Observatory, Čile). Reionizacijsku povijest medugalaktičke tvari moguće je promatrati analizom njezinih temperaturnih fluktuacija, jer su vremena hladenja dovoljno duga, da medugalaktička tvar male gustoće ima memoriju o svojoj reionizacijskoj prošlosti (Miralda-Escude & Rees 1994). Takoder se pokazalo da spektroskopska analiza Lyα linija u spektru kvazara detektira temperaturne fluktuacije medugalaktičke tvari (Theuns & Zaroubi 2000) i da postoje eksperimentalne naznake da je He ii reionizacija medugalaktičke tvari nastala oko crvenog pomaka z 3.3 (Theuns et al. 2002) Jednadžba stanja i numeričke simulacije Jednadžba stanja medugalaktičke tvari opisuje temperaturne fluktuacije medugalaktičke tvari u ovisnosti o fluktuacijama gustoće, a dana je jednadžbom (Hui & Gnedin 1997): T/T 0 = (ρ/ ρ) γ 1, (3.1)

18 3. MEDUGALAKTIČKA TVAR 14 gdje je T temperaturna fluktuacija IGM, T 0 prosječna temperatura IGM, ρ/ ρ fluktuacije gustoće IGM i γ parametar stanja IGM. U trenutku reionizacije IGM postaje trenutno izotermalna, pa je γ 1, a kasnije ponovnim adijabatskim hladenjem, uslijed širenja svemira, parametar γ se asimptotski približava vrijednosti 1.6. Važno je istaknuti da se iz temperature IGM u ranim fazama reionizacije mogu odrediti i kozmološki parametri gustoće bariona, jer je T 0 (Ω b ) 1/1.7 (Hui & Gnedin 1997). Numeričke simulacije IGM baziraju se na kozmološkim hidrodinamičkim modelima, koji simuliraju evoluciju optički tankog plina i tamne tvari u medugalaktičkom prostoru, uz pretpostavku jednolikog proces fotoionizacije pozadinskim UV zračenjem. Modeli su definirani slijedećim parametrima i funkcijama: parametri koji definiraju kozmološki model i strukturu tvari u svemiru (npr. Ω m,b,λ - gustoća ukupne tvari, bariona i tamne energije; h - Hubbleova konstanta); amplituda i oblik fluktuacija mase; model pozadinskog UV zračenja kao funkcije crvenog pomaka z. U ovom radu prezentirat ćemo rezultate simulacija svemira hladne tamne tvari s početnim prostorno invarijantnim adijabatskim fluktuacijama (Efstathiou, Schaye & Theuns 2000). Simulacija generira evoluciju modela svemira s gustoćom Ω m = 1, Ω Λ = 0, Ω b = 0.05 i Hubblovom konstantom h = 0.5. Normalizacija modela je takva da prosječna vrijednost fluktuacija gustoće, u sferi polumjera 8h 1 Mpc, iznosi σ 8 = 0.7 (S model svemira, Bardeen et al. 1986). Dobivena raspodjela plina na crvenom pomaku z = 3, prikazana je na sl Iz sl. 3.2 vidljivo je da plin temperature T > 10 5 K (vrući plin) ispunjava vrlo mali dio volumena i strukturiran je u male guste vlaknaste nakupine, dok plin temperature T < 10 5 K (hladni plin) ispunjava veći dio prostora, male je gustoće i ima difuznu strukturu. Takoder se pokazalo da difuzna struktura intergalaktičke tvari sadrži većinu barionske tvari u svemiru na crvenom pomaku z 3, te se i većina Ly apsorbera nalazi u toj strukturi.

19 3. MEDUGALAKTIČKA TVAR 15 Slika 3.2: Distribucija IGM u simulacijama tamne tvari na z = 3: (a) za T > 10 5 K stvaraju se vlaknaste skupine vrućeg i gustog plina i (b) za T < 10 5 K stvara se difuzna struktura hladnog plina 3.2. Podjela Lyman sistema Energetska stanja atoma vodika dana su formulom: gdje je n indeks stanja (npr. E n = 13.6 ev n 2, (3.2) n=1, osnovno stanje; n=2, prvo pobudeno stanje; itd.), a 13.6 ev energija osnovnog stanja atoma vodika. Energija emitiranog (apsorbiranog) fotona tijekom prijelaza atoma vodika iz višeg u niže stanje (iz nižeg u više stanje) jednako je energiji prijelaza: ( 1 hν = E = 13.6 ev 1 ), (3.3) n 2 k n 2 p gdje je n p indeks početnog stanja i n k indeks konačnog stanja. Prijelazi atoma vodika iz pobudenih stanja u osnovno stanje nazivaju se Lyman prijelazima. Valna duljina emitiranog (apsorbiranog) Lyman fotona nalazi se u dalekom infracrvenom dijelu spektra, te iznosi: λ = gdje je h Planckova konstanta i c brzina svjetlosti. n2 hc 13.6 ev, (3.4)

20 3. MEDUGALAKTIČKA TVAR 16 Slika 3.3: Spektar kvazara PKS s crvenim pomakom z = 1.34 Ako se na liniji promatranja izmedu Zemlje i kvazara nalaze objekti s neutralnim vodikom, doći će do apsorpcije emitirane svjetlosti na valnoj duljini koja odgovara Lymanovim prijelazima u sustavu objekta: λ det = λ 0 (1 + z aps ), (3.5) gdje je λ det detektirana valna duljina apsorpcijske linije na Zemlji, λ 0 valna duljina Lymanove linije u sustavu apsorbera i z aps crveni pomak apsorbera. Obzirom da je dubina apsorpcijske linije definirana količinom atoma u apsorberu, Lyman apsorpcijski sistemi, na liniji promatranja izmedu Zemlje i kvazara, dijele se prema količini neutralnog vodika kojeg sadrže: sistem Lyα šume (N < cm 2 ), prigušeni Lyα sistem ( cm 2 < N < cm 2 ), granični Lyman sistem (N > cm 2 ). Na sl. 3.3 prikazan je spektar kvazara sa svim navedenim vrstama apsorpcijskih sistema. Prigušeni Lyα sistemi najčešće se nalaze unutar skupine galaksija, a količina vodika je dovoljno velika da apsorbira sve ionizirajuće fotone. Prigušene sisteme prepoznajemo po saturiranim apsorpcijskim linijama u kojima dominiraju Lorentzovi profili linija.

21 3. MEDUGALAKTIČKA TVAR 17 Granični Ly sistemi pokazuju oštar prekid u spektru kvazara na valnoj duljini koja odgovara 912 Å u sustavu apsorbera. Do prekida dolazi uslijed apsorpcije fotona koji mogu ionizirati vodik (E γ > 13.6 ev, što odgovara λ γ < 912 Å). Optička dubina prekida τ proporcionalna je količini neutralnog vodika i poprečnom presjeku ionizacije vodika: σ = (E γ /13.6 ev) 3 cm 2, (3.6) dok je tok zračenja kvazara u apsorpcijskom sistemu smanjen za faktor e τ. Fotoni s valnim duljinama koje su značajno manje od 912 Å u sustavu apsorbera uspjevaju proći kroz granični apsorpcijski sistem, jer se poprečni presjek ionizacije vodika smanjuje s povećanjem energije fotona Lyα linije kao detektor svojstva IGMa Numeričke simulacije IGM pokazale su da se većina Ly apsorbera nalazi u difuznoj strukturi medugalaktičke tvari, te da se analizom Lyα linija u spektru kvazara mogu detektirati svojstva IGM (Efstathiou, Schaye & Theuns 2000): optička dubina H i i He ii apsorpcije postavlja granice na barionsku gustoću u svemiru, te na evoluciju, amplitudu i spektar pozadinske fotoionizacije; fluktuacije optičke dubine H i apsorpcije daju energijski spektar fluktuacija tvari na crvenom pomaku z 2 4; širina Lyα apsorpcijskih linija definira temperaturu i postavlja uvjete na jednadžbu stanja difuzne IGM i njezine evolucije. Već analizom prvih visoko razlučivih spektra kvazara potvrdila su se gornja razmatranja.

22 3. MEDUGALAKTIČKA TVAR Širina Lyα linija kao detektor temp. IGMa Širina Lyα linija karakterizirana je parametrom širine b, koji se odreduje prilagodbom linije Voigtovom profilu 1. Ako je širina linije većinom definirana termalnim gibanjem apsorbera, tada parametar b ovisi o temperaturi apsorbera T na način: b = 2kT = 12.8 T km/s. (3.7) m p U stvarnosti postoje razni mehanizmi koji doprinose širini linije (npr. fluktuacije tlaka na malim skalama i diferencijalni zakon širenja svemira na prostoru apsorpcije), ali u većini slučajeva prevladava samo čisti termički doprinos. Opažana raspodjela širina Lyα linija u spektru kvazara, na crvenom pomaku z 3, prikazana je na sl. 3.4 (križići). Na sl. 3.4, prikazana je i raspodjela širina Lyα linija dobivena numeričkim simulacijama S i L modela svemira (S model - referentni model svemira opisan u poglavlju 3.1; L model - model svemira u kojem dominira tamna energija, Ω Λ = 0.7). Očito je da oba modela svemira daju puno manje temperature IGM od opažanih, što upućuje na činjenicu da postoji neki dodatni mehanizam zagrijavanja IGM na z 3 ili je potrebno drastično promijeniti parametre gustoće svemira. Promjena parametra gustoće tvari u svemiru davala je kontradiktorne rezultate (Theuns et al. 1999), pa su istraženi dodatni mehanizmi zagrijavanja, od kojih najbolje rezultate daje povećanje temperature uslijed He ii reionizacije (Abel & Haehnelt 1999). Mehanizam He ii reionizacije podupire i analiza jednadžbe stanja IGM opisana u slijedećem poglavlju. 1 Profil apsorpcijske linije odreden je intrinstičnom širinom uslijed konačnog vremena života apsorbera u pobudenom stanju (Lorentzov profil) i Dopplerovom širinom uslijed termičkog gibanja apsorbera (Gaussov profil). Voigt profil je konvolucija Lorentzovog i Gaussovog profila na način da stvara apsorpcijsku liniju s Gaussovom jezgrom i Lorentzovim krilima linije.

23 3. MEDUGALAKTIČKA TVAR 19 Slika 3.4: Distribucija širina Lyα linija na crvenom pomaku z = 3, dobivena eksperimentalno iz spektra kvazara (križići), numeričkim simulacijama za referenti model svemira S i model svemira u kojem dominira tamna energija (L, Ω Λ = 0.7), Efstathiou, Schaye & Theuns (2000) Uvjeti na jednadžbu stanja IGMa i reionizaciju Distribucija širina b Lyα apsorpcijskih linija u spektru kvazara može se upotrijebiti za postavljanje uvjeta na jednadžbu stanja i procese reionizacije medugalaktičke tvari jer su termalne vremenske skale dovoljno duge. Naime, minimalna širina linije je odredena temperaturom plina, a temperatura ovisi o gustoći plina. Prilagodba b raspodjele kao funkcije gustoće u stupcu (b(n) raspodjela) postavlja uvjete na jednadžbu stanja IGM (Efstathiou, Schaye & Theuns 2000). Nakon prilagodbe b(n) raspodjele (b = b 0 (N/N 0 ) Γ 1 ), potrebno je odrediti parametre T 0 i γ iz jednadžbe stanja IGM (poglavlje 2.1). Postupak se sastoji u tome da se numeričkim simulacijama različitih stanja IGM kalibriraju T 0 i γ preko b 0 i Γ parametara iz b(n) raspodjele (Efstathiou, Schaye & Theuns 2000). Ovakvu su analizu proveli Theuns et al. (2002) dobivši temperaturni skok u medugalaktičkoj tvari na crvenom pomaku z 3.5. To odgovara povećanju entropije uslijed He ii reionizacije. Iznad z 3.5, He ii fotoionizacija je zanemariva i prevladava hladenje IGM uslijed širenja svemira. H i reionizacija, najvjerojatnije je nastala oko crvenog pomaka z 8.

24 Poglavlje 4 Mjerni uredaj i spektri kvazara Za detekciju temperaturnih fluktuacija medugalaktičke tvari korištene su Lyα i Lyβ linije u spektrima visoke rezolucije kvazara PKS i QSO , snimljenim ultraljubičastim spektrografom UVES na UT2-Kueyen, VLT teleskopu. Spektre je snimila dr. sc. T. - S. Kim (ESO) godine Mjerni uredaj VLT teleskop ESO VLT teleskop sastoji se od četiri 8.2-m teleskopa i VLTI (eng. Very Large Telescope Interferometar) interferometra koji služi za razlučivanje malih struktura. VLTI uključuje i grupu od pet pomičnih 1.8-m teleskopa. VLT teleskop smiješten je u sklopu Paranal zvijezdarnice na 2635 m nadmorske visine u Atacama pustinji u sjevernom Čileu. 8.2-m teleskopi dobili su ime po astronomskim objektima na lokalnom Mapuche jeziku: Antu (Sunce), Kueyen (Mjesec), M elipal (zvijezde Južni križ) i Y epun (planet Venera). Teleskopi su opremljeni nizom instrumenata koji omogućuju istraživanja od bliskog ultraljubičastog pa do srednje infracrvenog dijela spektra, a moguće je raditi spektroskopiju visoke rezolucije, multiobjektnu spektorskopiju i snimanje, te direktno snimanje s velikom prostornom rezolucijom. Za potrebe 20

25 4. MJERNI UREDAJ I SPEKTRI KVAZARA 21 Slika 4.1: Ritchey-Chretien izvedba VLT jedinice: M1 - primarno zrcalo, M2 - sekundarno zrcalo i tri fokusa (izvor: ) visoko razlučivog snimanja i spektroskopije koristi se prilagodljiva optika koja koregira efekte atmosferske turbulencije. VLT teleskop može raditi u tri moda: kao grupa od četiri samostalna teleskopa, kao jedan veliki 16-m nekoherentni teleskop ili kao jedan interferometrijski uredaj s velikom moći razlučivanja. Svaki 8.2-m teleskop ima azimutalnu montažu. Teleskopska cijev može se pomicati oko horizontalne osi koja se naziva visinska os. Dva nosača koja drže teleskopsku cijev nalaze se na viljušci koja može rotirati oko vertikalne osi, tzv. azimutalne osi. Na taj način teleskop se može usmjeriti u bilo koji dio neba. Optička izvedba VLT jedinica je Ritchey-Chretien tipa (sl. 4.1). Ritchey- Chretien izvedba podrazumijeva dva zrcala (primarno i sekundarno) i tri

26 4. MJERNI UREDAJ I SPEKTRI KVAZARA 22 Slika 4.2: UVES spektrograf na VLT teleskopu, s kojim su snimljeni spektri kvazara (izvor: ) fokusa (Cassegrain, Nasmyth i Coudé). Na kraju teleskopske cijevi nalazi se primarno zrcalo (M1), a pri samom vrhu tronožaste konstukcije nalazi se manje, sekundarno zrcalo (M2). Primarno zrcalo ima funkciju sakupljanja svjetlosti, dok se fokusiranje vrši i primarnim i sekundarnim zrcalom direktno u Cassegrainov fokus, koji se nalazi ispod primarnog zrcala ili u jednom od dva Nasmythova fokusa. Coudéov fokus uspostavlja se sustavom zrcala koji svjetlost iz jednog od Nasmythovih fokusa usmjeravaju u podrum teleskopa UVES spektrograf UVES (eng. UltraViolet Echelle Spectrograph) je spektrograf velike spektralne rezolucije VLT teleskopa, postavljen u Nasmyth 2 fokus UT2 Kueyen jedinice. Pokriva područje valnih duljina od 300 nm (atmosferska granica) pa do 1100 nm (granica CCD osjetljivosti). Unutar UVESa, svjetlosni snop teleskopa razdvaja se u dva dijela: crveni nm (od UV do plavog dijela spektra), plavi nm (od vizualnog pa do crvenog dijela spektra). Crveni i plavi dio snopa može se analizirati odvojeno ili paraleno preko polupropusne prizme. Uz upotrebu 1-arcsec rešetke spektralna moć razlučivanja

27 4. MJERNI UREDAJ I SPEKTRI KVAZARA 23 Slika 4.3: Slika kvazara QSO , snimljena IRAS satelitom iznosi 40000, dok uz upotrebu uže rešetke može se postići za plavi i za crveni snop. Za razlaganje svjetlosti, UVES posjeduje tzv. echelle (iz fran. ljestve) rešetku. Echelle rešetka je difrakcijska rešetka s većim razmakom zareza nego kod obične rešetke pa će joj moć razlučivanja u višim redovima rešetke, na malom rasponu valnih duljina, biti značajno veća. Uredaj posjeduje i osam filtera koji omogućuju izolaciju odredenog reda rešetke, kako bi se mogla koristiti maksimalna širina rešetke od 30 arcsec. Središnje valne duljine filtra odabrane su na način da se mogu analizirati najznačajnije emisijske linije večine objekata: Hα (656.6 nm), Hβ (486.1 nm), O iii (500.7 nm), O iii (436.3 nm), N ii (575.5 nm), O i (630.0 nm), S ii (672.4 nm) i He ii (468.6 nm). Za snimanje spektra koriste se dva CCD detektora i to za plavi snop jedan čip, a za crveni snop mozaik od dva čipa. Svi elektronički uredaji nalaze se u prostoru s kontroliranom temperaturom, a za hladenje čipova koristi se hladilo s tekućim dušikom. Cjelokupan uredaj je automatiziran i ima računalnu kontorolu Spektri kvazara U analizi korištena su dva spektra visoke rezolucije kvazara PKS i QSO Spektre je snimila dr. sc. T. - S. Kim (ESO) godine.

28 4. MJERNI UREDAJ I SPEKTRI KVAZARA 24 Slika 4.4: Spektar kvazara PKS , snimljen UVES spektrografom Kvazar PKS ima crveni pomak z = 3.78, a kvazar QSO ima z = Rezolucija spektra je R s omjerom signal-šum od po rezolucijskom elementu. Obzirom da u spektru kvazara PKS postoji prigušeno Lyα područje (z = ) i u dijelu spektra nije bilo signala uslijed defekta CCDa (z = ), ti dijelovi spektra nisu uzeti za analizu (sl. 4.4).

29 Poglavlje 5 Metoda analize Analiza Ly linija spektra kvazara napravljena je u slijedeća tri koraka: 1. prilagodba spektralnih linija Voigtovom profilu; 2. eliminacija linija metala; 3. wavelet analiza spektra. Svaki od navedinih koraka objašnjen je u daljnjem tekstu. Za analizu Lyβ linija u spektru kvazara potrebno je prvo identificirati Lyβ linije, translatiranjem područja spektra kvazara u kojem se nalaze Lyβ linije, u odgovarajući sustav crvenog pomaka apsorbera, tj. sustav u kojem su definirane Lyα linije. Na taj način, Lyβ linija će biti ona linija čija se središnjica (jezgra linije) poklapa sa središnjicom pripadne Lyα linije, dok ona linija čija središnjica se ne poklapa, je Lyα linija apsorbera na nižem crvenom pomaku z i takva linija se ne uzima za analizu (sl. 5.1). Sustav crvenog pomaka apsorbera z, za Lyα i Lyβ linije, definiran je formulom: z = λ Lyα,β λ 0Lyα,β 1, (5.1) gdje je λ 0Lyα = Å, λ 0Lyβ linija detektirane na Zemlji. = Å, a λ Lyα,β valne duljine Ly 25

30 5. METODA ANALIZE 26 Slika 5.1: Primjer odabira dobro definiranih Lyβ linija (debele crvene linije) u spektru kvazara PKS ; Lyα područje (crne linije); Lyα i Lyβ područje (tanke crvene linije) 5.1. Prilagodba Ly linija Voigtovom profilu Prilagodba linija Voigtovom profilu napravljeno je korištenjem računalnog programa vpfit (Webb 1987, Carswell et al. 1987) koji koristi χ 2 minimizacijsku metodu. Po završetku χ 2 minimizacije, program daje listu prilagodenih linija s njihovom gustoćom N (cm 2 ), širinom b (km/s) i crvenim pomakom z apsorbera. Zbog brže i lakše Voigt prilagodbe linija spektar je rastavljen na manje dijelove i korišteno je grafičko okružje vpguess programa (Liske 2000) za odabir dobro definiranih Lyα i Lyβ apsorpcijskih linija Eliminacija linija metala Snimljeni spektar sadrži linije metala koje je potrebno eliminirati, jer ne ulaze u analizu temperaturnih fluktuacija. Obzirom da su linije metala u apsorpcijskom spektru kvazara vrlo uske linije (b 15 km/s), u odnosu na Lyα i Lyβ linije, može ih se prepoznati u izlaznoj vpfit listi profiliranih linija, te onda eliminirati. Ipak, ponekad je vrlo teško odlučiti je li ili nije uska linija, linija metala, obzirom da se ostale odgovarajuće linije metala ne moraju nalaziti u promatranom dijelu spektra ili se nalaze u dijelu spektra s jakim Ly linijama i nisu uočljive. U takvim slučajevima, kada je jedan

31 5. METODA ANALIZE 27 Voigtov profil uske linije davao jaku wavelet amplitudu u analizi, linija je označena kao linija metala i nije uzimana u daljnjoj analizi. Broj ovakvih potencijalnih linija metala je vrlo mali u odnosu na ukupan broj Ly linija, pa gotovo ne utječu na analizu Wavelet analiza spektra Analiza profiliranih Lyα i Lyβ linija radena je upotrebom IDL (Interactive Data Language) programskog paketa tfluc (Theuns & Zaroubi 2000), koji se bazira na wavelet analizi. Wavelet analiza omogućuje jedinstveno razlaganje spektra u ortogonalnoj bazi, preko lokalizirane wavelet funkcije konačne širine. Amplituda wavelet funkcije ovisi o širini linije u spektru, a položaj wavelet funkcije o položaju odgovarajuće linije u spektru. Na taj način, spektar promatramo kao funkciju širine apsorpcijske linije u ovisnosti o položaju 1 linije u spektru. Wavelet funkcija ima svojstvo da njezina amplituda A poprima velike vrijednosti za uske linije, a manje vrijednosti za šire linije u spektru (A b 1 ovisnost), pa će i dio spektra s većim brojem uskih linija (hladnije područje) imati prosječnu wavelet amplitudu veću od dijela spektra sa širim linijama (toplije područje). Iz ovog svojstva slijedi da je prosječna amplituda wavelet funkcije mjera temperature tog područja (< A > 1 T ovisnost). Važno je istaknuti da vrlo jake, saturirane linije u spektru, zbog svojeg pravokutnog oblika, mogu generirati vrlo velike wavelet amplitude, bez obzira na njihovu stvarnu širinu. Da bi se spriječio ovaj efekt, program prepoznaje saturirane linije, pridjeljuje im wavelet amplitudu jednaku nuli i ne uzima ih u daljnjoj analizi, jer ne nose nikakvu informaciju o temperaturi apsorbera u medugalaktičkoj tvari. Osnovni koraci wavelet analize spektra su: 1. Rekonstrukcija spektra (F (v)), pročišćenog od linija metala, iz vpfit 1 Položaj linije u spektru može biti wavelet duljina λ, crveni pomak z ili karakteristična brzina linije, tj. apsorbera v.

32 5. METODA ANALIZE 28 liste i izračunavanje projekcija wavelet funkcije na njezinu normaliziranu derivaciju (F (δ)). Korelacijone funkcije F (δ) su mjera temperaturnih varijacija u spektru, jer uske linije (hladnije područje) generiraju veće wavelet amplitude od širih linija (toplije područje) - wavelet amplituda ponaša se kao termometar. 2. Generiranje 200 nasumičnih spektara iz vpfit liste, koji služe kao usporedni spektri za odredivanje statističke težine temperaturnih fluktuacija u originalnom spektru. U tu svrhu, vrlo je važno definirati apsorpcijsku liniju kao dio spektra izmedu dva lokalna maksimuma Voigtovog profila, jer mnoge prilagodene apsorpcijske linije se sastoje od više Voigtovih profila, koji zajedno stvaraju najbolju prilagodbu originalnoj liniji. Obzirom da su bilo kakve temperaturne fluktuacije uništene procesom nasumičnosti, nasumični spektri su dobri referenti sustavi za odredivanje statističke težine temperaturnih fluktuacija. 3. Analiza grozdova (eng. Cluster Analysis) preko koje se pronalaze dijelovi spektra koji imaju statistički značajnu drugačiju temperaturu u odnosu na ostatak spektra. Analiza koristi vrijednosti projekcije wavelet funkcije na njezinu normaliziranu derivaciju unutar dva grozda (dio spektra koji promatramo), te na taj način odreduje statistički značajne dijelove spektra. Prvi korak wavelet analize Lyα i Lyβ linija spektra kvazara PKS prikazan je na sl. 6.1 i sl Sl. 6.1 i sl. 6.4 prikazuje tok zračenja (crne linije) i dobivene wavelet amplitude (ispunjeni histogrami koji su usrednjeni svakih 100 km/s) u ovisnosti o svojstvenoj brzini Ly linija. Uočljivo je da prvi dio spektra (narančasti histogrami) ima prosječnu amplitudu manju od preostalog dijela spektra (plavi histogrami), što znači temperaturnu razliku izmedu ta dva dijela spektra - prvi dio topliji (šire linije, manje wavelet amplitude), drugi dio hladniji (uže linije, veće wavelet amplitude).

33 Poglavlje 6 Rezultati mjerenja i diskusija Opisanom procedurom u poglavlju 4. provedena je wavelet analiza Lyα i Lyβ linija spektra kvazara PKS i QSO , te je detektiran temperaturni skok medugalaktičke tvari (z 3.36, statističke težine 99.5%) uslijed He ii reionizacije Spektar kvazara PKS Lyα linije (PKS ) Wavelet analiza Lyα linija spektra kvazara PKS (z = ), napravljena je s wavelet funkcijama veličine od 14 km/s do 18 km/s i s grozdovima veličine od 5000 km/s do km/s. Za sve kombinacije veličina wavelet funkcija i grozdova detektiran je temperaturni skok medugalaktičke tvari na crvenom pomaku z 3.36, ali s različitim statističkim težinama. Najveća statistička težina (99.5%) dobivena je za wavelet funkciju veličine 15 km/s i veličinu grozda km/s. Dobiveni rezultati ostalih kombinacija veličina wavelet funkcija i grozdova, s pripadnim statističkim težinama većim od 96%, prikazani su u tab Na sl. 6.1 prikazan je spektar Lyα linija kvazara PKS (crne linije) s dobivenim wavelet amplitudama (ispunjeni histogrami usrednjeni 29

34 6. REZULTATI MJERENJA I DISKUSIJA 30 Tablica 6.1: Dobiveni rezultati različitih kombinacija veličina wavelet funkcija i grozdova, s pripadnim statističkim težinama većim od 96%; statistička težina: tp=toplijeg područja, hp=hladnijeg područja i skok=temp. skoka wavelet [km s 1 ] grozd [km s 1 ] tp hp skok % 49 % 98 % % 51 % 99 % % 48 % 99.5 % % 43 % 99 % % 97.5 % 98.5 % svakih 100 km/s) u ovisnosti o svojstvenoj brzini Lyα linija. Uočljivo je da prvi dio spektra (narančasti histogrami) ima prosječnu amplitudu manju od preostalog dijela spektra (plavi histogrami), što znači temperaturnu razliku izmedu ta dva dijela spektra - prvi dio topliji (šire linije, manje wavelet amplitude), drugi dio hladniji (uže linije, veće wavelet amplitude). Temperaturni skok medugalaktičke tvari izmedu dva područja spektra, vidljiv je i iz grafičkog prikaza 1D i 2D statistike grozdova (sl. 6.2), te Kolmogorov-Smirnovog testa (sl. 6.3). Donji dio spektra (z < 3.36) je neuobičajeno topliji (statističke težine 99%) od gornjeg dijela (z > 3.36) koji je neuobičajeno hladniji (statističke težine 48%). Važno je uočiti da statistička težina hladnijeg dijela raste i na crvenom pomaku z 3.44 poprima vrijednost od 99%. Kumulativna raspodjela P (< A) wavelet amplituda A za toplije i hladnije područje spektra, te ukupnog spektra prikazana je na sl Sve tri raspodjele očito se razlikuju, što još jednom potvrduje temperaturnu razliku izmedu dva područja u spektru. Dobiveni temperaturni skok na crvenom pomaku z 3.36, u dobrom je slaganju s rezultatima analize Theuns et al. (2002), koji su temperaturni skok detektirali na crvenom pomaku z 3.3.

35 6. REZULTATI MJERENJA I DISKUSIJA 31 Slika 6.1: Tok zračenja (crne linije) i dobivene wavelet amplitude (ispunjeni histogrami usrednjeni svakih 100 km/s) u ovisnosti o svojstvenoj brzini Lyα linija - uočljiva je temperaturna razlika izmedu prvog dijela spektra (topliji dio, manje wavelet amplitude) i drugog (hladniji dio, veće wavelet amplitude) Lyβ linije (PKS ) Valna analiza Lyβ linija, napravljena je na isti način kao i Lyα analiza. Obzirom da u spektru ima 50% manje dobro definiranih Lyβ linija od Lyα linija, korištena je veća veličina wavelet funkcije (40 km/s), a manja veličina grozda (3000 km/s). Temperaturni skok detektiran je sa statističkom težinom 92.5% na nešto većoj vrijednosti crvenog pomaka (z 3.4) nego kod Lyα detekcije. Manja vrijednost statističke težine (0.925 < 2σ) i nešto veća vrijednost crvenog pomaka temperaturnog skoka, može se pripisati činjenici da u toplijem dijelu spektra ima manje linija nego u hladnijem dijelu, što će skok pomaknuti prema desno (većim vrijednostima crvenog pomaka). Temperaturni skok vidljiv je na statističkim grafičkim prikazima (sl. 6.4 i sl. 6.5).

36 6. REZULTATI MJERENJA I DISKUSIJA 32 Slika 6.2: Grafički prikaz 1D i 2D statistike grozdova, dobiven Lyα wavelet analizom spektra kvazara PKS Slika 6.3: Grafički prikaz kumulativne raspodjele P (< A) wavelet amplituda A i Kolmogorov-Smirnovog testa (KS) za toplije i hladnije područje spektra kvazara PKS

37 6. REZULTATI MJERENJA I DISKUSIJA 33 Slika 6.4: Tok zračenja (crne linije) i dobivene wavelet amplitude (ispunjeni histogrami usrednjeni svakih 100 km/s) u ovisnosti o svojstvenoj brzini Lyβ linija: prvi dio spektra topliji (manje wavelet amplitude) i drugi dio hladniji (veće wavelet amplitude) Slika 6.5: Grafički prikaz 1D i 2D statistike grozdova, dobiven Lyβ wavelet analizom spektra kvazara PKS : donji dio spektra (z < 3.38) neuobičajeno je topliji (statističke težine 25.5%) od gornjeg dijela (z > 3.38) koji je neuobičajeno hladniji (statističke težine 90%).

38 6. REZULTATI MJERENJA I DISKUSIJA Spektar kvazara QSO Valna analiza Lyα i Lyβ linija u spektru kvazara QSO , provedena je na isti način kao za kvazar PKS Analizom Lyα linija uspješno je detektiran temperaturni skok na crvenom pomaku z 3.3 (statističke težine 99.6% ), ali detekcija pomoću Lyβ linija bila je nuspješna. Neuspjeh u Lyβ detekciji pripisuje maloj količini dobro definiranih Lyβ linija na kojima se može provesti analiza Temperaturni skok uslijed He ii reionizacije IGMa Provedena wavelet analiza Lyα i Lyβ područja omogućila je samo detekciju temperaturnog skoka medugalaktičke tvari (z = 3.36, 99.5%), ali nije dala nikakvu informaciju o vrijednostima temperatura pojednih područja. Za dobivanje vrijednosti temperatura, potrebno je normalizirati A 1 T relaciju pomoću hidrodinamičkih simulacija spektra (hydra, Couchman, Thomas & Pearce 1995). Theuns et al. (2002) proveli su normalizaciju < A > 1 T relacije i dobili su normalizacijski pravac prikazan na sl Za veličinu wavelet funkcije 15 km/s i prozora km/s, izračunata je inverzna prosječna amplituda hladnijeg i toplijeg dijela spektra kvazara PKS (< A > 1 z>3.36= 1400 ± 100, < A > 1 z<3.36= 1000 ± 200). Korištenjem normalizacijskog pravca < A > 1 T ovisnosti, gdje je: T = T γ 1, uz γ = 1.4, (6.1) očitana je temperatura medugalaktičke tvari T 0 : povećanje od 35%. T 0, z> K, T 0, z< K,

39 6. REZULTATI MJERENJA I DISKUSIJA 35 Slika 6.6: Normalizacijski pravac < A > 1 T relacije (Theuns et al. 2002) Dobiveni skok temperature medugalaktičke tvari (35%, z = 3.36), upućuje na činjenicu da skok ne može biti posljedica polakog hladenja fotozagrijane, visoko ionizirane, ekspandirajuće medugalaktičke tvari (čije bi lagano smanjenje temperature detektirali u cijelom području spektra), već je posljedica naglog povećanja entropije medugalaktičke tvari uslijed He ii reionizacije. Takoder, dobivene temperature medugalaktičke tvari su manje od 10 5 K, što potvrduje teoriju o difuznoj (paučinastoj) strukturi medugalaktičke tvari u kojoj se nalazi većina Ly apsorbera.

40 7. Zaključak Analizirane su Lyα apsorpcijske linije u spektrima kvazara PKS i QSO U analizi, korištene su veličine wavelet funkcija od 14 km/s do 18 km/s i grozdovi veličine od 5000 km/s do km/s. Detektiran je temperaturni skok medugalaktičke tvari na crvenom pomaku z 3.36 (statističke težine 99.5%), što se može vidjeti i iz grafičkog prikaza 1D i 2D statistike grozdova (sl. 6.2), Kolmogorov-Smirnovog testa (sl. 6.3) i kumulativne distribucije wavelet amplituda (sl. 6.3). Korištenjem normalizacijskog pravca < A > 1 T ovisnosti (sl. 6.6), odredene su temperature hladnijeg i toplijeg dijela medugalaktičke tvari: T 0, z> K, (6.2) T 0, z< K. (6.3) Detektirani temperaturni skok iznosi 35%, a posljedica je naglog povećanja entropije medugalaktičke tvari uslijed He ii reionizacije (potvrda rezultata analize Theuns et al. (2002). Obzirom da su dobivene temperature medugalaktičke tvari manje od 10 5 K, potvrduje se i teorija o difuznoj strukturi medugalaktičke tvari u kojoj se nalazi većina Ly apsorbera (Efstathiou, Schaye & Theus 2000). Prvi puta provedena je i wavelet analiza Lyβ apsorpcijskih linija. Za Lyβ spektar kvazara PKS dobivena je pozitivna detekcija temperaturnog skoka IGMa, dok je za kvazar QSO dobivena negativna detekcija. Negativna detekcija pripisuje se nedovoljnoj količini dobro definiranih Lyβ linija u spektru kvazara QSO

41 6. REZULTATI MJERENJA I DISKUSIJA 37 Obzirom na pozitivnu detekciju temperaturnog skoka IGMa kod Lyβ spektra kvazara PKS , možemo očekivati da će provedena wavelet analiza Lyβ linija predstavljati novu zasebnu metodu detekcije temperaturnih fluktuacije medugalaktičke tvari. U svrhu provjere sigurnosti metode i rezultata detekcije, potrebno je provesti analizu na većem broju spektara godina Nikole Tesle

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Difuzna gama emisija struktura na velikim skalama

Difuzna gama emisija struktura na velikim skalama Dobardžić Aleksandra Katedra za astronomiju, Matematički Fakultet, Univerzitet u Beogradu Prodanović Tijana Departman za fiziku, Prirodno matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu Difuzna gama emisija

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012.

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. Kazimir Majorinc Povijest Lispa 12. j Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. MIT Research Laboratory of Electronics, Quarterly Progress Report, 15. travnja, 1959. Sadrži jednu od bar četiri

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula ukratko je objašnjeno značenje svih slova u formulama koje se dobiju uz ispit [u uglatim zagradama su SI mjerne jedinice] Kinetika v = brzina ( =

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci za vježbanje Termodinamika

Zadatci za vježbanje Termodinamika Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10

Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10 Fizika 2 Fizikalna optika 2009/10 1 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Auditorne vježbe 12. Kvatna priroda svjetlosti. Ivica Sorić. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava

Fizika 2. Auditorne vježbe 12. Kvatna priroda svjetlosti. Ivica Sorić. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika Auditorne vježbe Kvatna priroda svjetlosti Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr) Bohrovi postulati Elektron se kreće oko atomske

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi i strukture podataka (450)

Algoritmi i strukture podataka (450) Algoritmi i strukture podataka (450) Analiza složenosti algoritama Sadržaj Algoritmi Analiza složenosti algoritma T(N) složenost algoritma Određivanje reda algoritma Algoritmi i strukture podataka 2 1

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Optička spektroskopija

Optička spektroskopija Optička spektroskopija Uvod Moderno istraživanje bavi se brojnim mikrosistemima: molekulama, atomima, jezgrama i drugim sićušnim, a ipak kompleksnim objektima. Jednu od temeljnijih informacija o mikrosistemu

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Dr.sc. Ljiljana Mayer, spec.med.biokemije Zagreb, 18. ožujka 2017. Klinika za tumore Centar za maligne bolesti, KBCSM

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio

Matematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio Matematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio Realni sustavi promatraju se sustavi koji su česti u praksi matematički modeli konačne točnosti Pretpostavke za izradu matematičkog modela: dostupan realni

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Najjednostavnija metoda upravljanja slijedom instrukcija:

Najjednostavnija metoda upravljanja slijedom instrukcija: 4. Upravljačka jedinica Funkcija upravljačke jedinice Prijenos upravljanja između programa Rekurzivni programi LIFO ili stožna struktura Uporaba stoga AIOR, S. Ribarić 1 Funkcije upravljačke jedinice:

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα