Nuklearna astrofizika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nuklearna astrofizika"

Transcript

1 Nuklearna astrofizika Matko Milin Fizički odsjek Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu 20. listopada 2013.

2 1 Astronomija: kratki uvod 1.1 Uvod Astrofizika je specifičan dio fizike jer je najveći dio spoznaja unutar nje dobiven jednostavnim promatranjem. Najveći dio svemira nam je posve nedostupan za bilo kakav drugi način istraživanja, a dakako, s astrofizičkim objektima (galaksijama, zvijezdama, planetima itd.) nemoguće je vršiti eksperimente. Posao astrofizičara je zato iz podataka koji se dobivaju promatranjem rekonstruirati procese koji se u pojedinim djelovima i fazama svemira odigravaju. Najvažniji unos u svaki astrofizički model su dobri rezultati astronomskih opaženja i njihova elementarna interpretacija. Brz tehnološki napredak rezultirao je u velikom broju novih uredaja koji su revolucionirali astronomiju u posljednjih dvadesetak godina Moderni astronomski uredaji Posljednja dva desetljeća dešava se brz rast broja i kvalitete uredaja kojima se prikupljaju informacije o Svemiru. Napredak je vezan uz brojne tehnološke inovacije, poput CCD-kamera (njezini izumitelji, W. Boyle i G.E. Smith, dobitnici su Nobelove nagrade za fiziku za godinu). CCD (od engl. charge coupled device) je uredaj osjetljiv na upadnu svjetlost i segmentiran u dvije dimenzije: na taj je način podijeljen na sitne elemente ( piksele ) koji nezavisno bilježe upadne fotone. U CCD-u se u principu dešavaju dva bitna koraka: konverzija fotona u električni naboj (u tzv. fotoaktivnom području, koje je uobičajeno silicijski MOSFET), te prebacivanje naboja s piksela na piksel ( područje prenošenja ) do ruba CCD-a (gdje se naboj pomoću nabojnog pojačala pretvara u naponski impuls). Upravo je tehničko rješenje prebacivanja naboja u skokovima bilo ključno u realizaciji CCD-kamere, uredaja koji je u meduvremenu proizveden u više desetaka milijardi primjeraka (). Dio novih uredaja vezan je za površinu Zemlje, no i broj teleskopa i uredaja iznad Zemljine atmosfere vrlo brzo raste - kod njih je glavna prednost činjenica da zračenje koje primaju s astronomskog objekta nije modificirano atmosferskim utjecajem (vidi sliku 1.1). U nastavku će biti dan popis najvažnijih novih uredaja, te kratak opis svakog. Slika 1.1: Ovisnost prozirnosti atmosfere o valnoj duljini. 6

3 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD Uredaji na površini Zemlje Većina modernih teleskopa su reflektori, kojima su zrcala vrlo velikog promjera zbog odnedavne primjene tehnologije tzv. aktivne optike - riječ je o teleskopima kojima se oblik(vrlo tankog) zrcala aktivno prilagodava položaju i time poništava efekte gravitacijske distorzije, te vanjskih utjecaja (temperature, vjetra itd.). Daljni napredak donosi tzv. adaptivna optika, kod koje se sekundarno zrcalo (ili pak posebno korektivno zrcalo) na vremenskoj skali reda stotinke sekunde prilagodava atmosferskim promjenama, koje se uočavaju promatranjem valne valne fronte svjetlosti koja dolazi s nekog sjajnog objekta (u pravilu zvijezde). Današnji najveći teleskopi imaju stoga promjere i preko 10 m; u nastavku će biti diskutirani najveći i najvažniji. Keck Teleskop Keck je donedavno bio najveći optički teleskop na svijetu smješten na planini (vulkanskog porijekla, visokoj 4145 m) Mauna Kea, Hawaii, SAD. Riječ je o dva identična ogledala efektivne veličine 10 metara (a koja se sastoje od 36 manjih heksagonalnih ogledala); prvi od dva teleskopa pušten je u rad godine, a drugi Zajedno, blizanci Keck imaju moć razlučivanja jednaku jednom teleskopu koji bi imao promjer od 90 metara: u stanju su razdvojiti izvore razmaknute samo jednu lučnu milisekundu. LBT Teleskop LBT(od engl. Large Binocular Telescope) nalazi se na planini Mount Graham u Arizoni i sastoji seoddvavezana teleskopa odkojih svaki imaprimarnozrcalo veličine 8.4 m; uradjepušten godine. GTC Teleskop GranTeCan ili GTC(od španj. Gran Telescopio Canarias) je trenutačno najveći teleskop na svijetu. Lociran je na otoku La Palmi (Kanarsko otočje) i u pogonu je od srpnja godine ( punom snagom radi tek od srpnja godine). Primarno zracalo mu je segmentirano, promjera 10.4 metara! Subaru Optički teleskop Subaru se takoder nalazi na Mauna Kea, Hawaii, SAD iako je u vlasništvu japanskog nacionalnog astronomskog opservatorija (ime mu na japanskom označava Plejade). Riječ je o 8.3 metra velikom teleskopu tipa Cassegrain; ujedno i najvećem monolitičnom teleskopu na svijetu. Pomoću ovog teleskopa je, izmedu ostalog, godine nadena najstarija galaksija, stvorena svega 800 milijuna godina nakon Velikog Praska. VLT Projekt Vrlo velikog teleskopa (engl. Very Large Telescope Project - VLT) sastoji se od četiri odvojena optička teleskopa (Antu, Kueyen, Melipal i Yepun) složenih u niz. Projekt organizira ESO (od engl. European Southern Observatory) i lociran je u pustinji sjevernog Čilea (opservatorij Paranal na visini 2635 m). Svaki teleskop ima aperturu od 8.2 metra, a povezani su interferometrom (VLTI) kojim će se moći razlučiti vrlo fini detalji; interferometar će sadržavati i više teleskopa promjera 1.8 m. Primarni način rada je nazavisan rad svakog od četiri teleskopa; interferometrija se koristi samo u specijalnim slučajevima.

4 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 8 VLA Jedan od najvažnijih opservatorija radio-valova je Vrlo velik niz (engl. Very Large Array - VLA) lociran u pustinjama Novog Meksika, SAD. VLA se sastoji od ukupno 27 velikih satelitskih tanjura ; svaki od njih velik je 25 metara i postavljen na tračnice da bi se mogao pomicati. Najveća udaljenost na koju je moguće postaviti 2 tanjura je 35 kilometra! VLA je najosjetljiviji radio-teleskop do sada napravljen; pomoću interferometrije ima rezoluciju od 0.04 lučne sekunde (na udaljenosti 150 km može razlučiti radio-izvor veličine loptice za golf). VLA radi na valnim duljinama od 0.7 do 400 cm. VLA kontinuirano ostvaruje nova otkrića; neka od njih su odredivanje sastava galaksija, proučavanje prolazećih kometa, te nove spoznaje o kvazarima, HII-područjima i klasterima galaksija. Koristi se takoder za primanje slabih radio-signala s meduplanetarnih letjelica. U planu je značajna nadogranja ovog opservatorija u bliskoj budućnosti. ALMA Radio-observatorij ALMA (od engl. Atacama Large Millimeter Array) je netom dovršen niz koji se sastoji od 66 antena (promjera 12 ili 7 metara), namijenjen promatranju Svemira na milimetarskim ( mm) valnim duljinama (dakle, manjim od VLA). Riječ je o trenutačno fizički najvećem astronomskom objektu u svijetu, koji se nalazi u pustinji Atacama na sjeveru Čilea (na nadmorskoj visini većoj od 5000 m). Cijena izgradnje bila je veća od milijardu dolara, a pokrile su ju EU, SAD, Kanada, Japan, Tajvan i Kina. ALMA bi trebala raditi u interferometrijskom načinu rada. Kao i kod VLA, pojedine antene niza mogu se pomaknuti na vrlo velike udaljenosti (do 14 km). Rezolucija ALMA-e trebala bi biti 10 lučnih milisekundi, oko 10 puta bolja od VLA i 5 puta bolja od Hubbleovog teleskopa. Osjetljivost ALMA-e trebala bi biti oko 20 puta bolja od VLA. SNO Neutrinski opservatorij Sudbury(engl. Sudbury Neutrino Observatory- SNO) detektor je smješten u rudniku nikla dvije tisuće metara ispod površine Zemlje u Ontariju, Kanada. SNO je dizajniran da detektira Sunčeve neutrine preko njihove interakcije s deuteronima. U principu detektor je sfera promjera 12 metara napunjena teškom vodom (ukupno 1000 tona) okružena s 9600 fotomultiplikatora (i, dakako, odgovarajućom zaštitom od zračenja). Ekeperiment ne detektira neutrine direktno već preko Čerenkovljeve svjetlosti koju relativistički elektroni proizvode u vodi. SNO je osjetljiv na sve tipove neutrina (za razliku od recimo Super-Kamiokande koji je osjetljiv samo na elektronske i tau-neutrine) i njegov je osnovni zadatak bilo rješavanje problema Sunčevih neutrina. Rezultati objavljivani od godine naovamo potvrduju da je prividan nedostatak broja neutrina koji dolaze sa Sunca posljedica promjene njihovog okusa. SNO je takoder bio u mogućnosti detektirati supernove unutar naše galaksije. Kako se neutrini kod takvih eksplozija emitiraju prije fotona, njihovom detekcijom moguće je vrlo rano okrenuti optičke teleskope prema supernovoj. Originalni detektor ugašen je godine, a trenutačno se na njegovoj lokaciji konstruira veći i poboljšani detektor (SNO+) kojim će se moći proučavati neutrini iz raznih izvora i u bitno širem opsegu energija. HESS HESS (od engl. High Energy Stereoscopic System) je tzv. Čerenkovljev atmosferski teleskop gama-zraka ili IACT (od engl. Imaging Atmospheric Cherenkov Telescopes). Princip rada mu je detekcija Čerenkovljeve svjetlosti koja nastaje pri prolasku visoko-energijskih čestica ili fotona kroz atmosferu (jedna upadna čestica ili foton stvaraju čitav pljusak sekundarnih čestica). Nalazi se u Namibiji i radi od godine. Pomoću njega je godine prvi put prostorno razlučen izvor vrlo visokog gama-zračenja.

5 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 9 MAGIC Teleskop MAGIC (od engl. Major Atmospheric Gamma-ray Imaging Cherenkov Telescope) je namijenjen prvenstveno detekciji gama-zraka visoke energije (od 50 GeV-a do 30 TeV-a). Lociran je na Kanarima i radi od godine. Princip rada mu je isti kao i za HESS; no s promjerom od 17 m, riječ je o najvećem svjetskom teleskopu ovakvog tipa. Od godine u pogonu je MAGIC2, praktično identičan teleskop na udaljenosti od 85 m od prvoga. Opservatorij Pierre Auger Opservatorij Pierre Auger je niz detektora-teleskopa dizajniran za proučavanje kozmičkih zraka ogromnih energija (>10 20 ev) - očekuje se da takvih kozmičkih zraka ima otprilike 1 po godini po km 2 pa je stoga 1600 stanica ovog detektora jednoliko raspodijeljeno na površini od 3000 km 2 u južnoj Argentini (u planu je gradnja i sjevernog dijela detektora u SAD-u). Svaka stanica je zapravo relativno velika cisterna vode u kojoj nastaje Čerenkovljevno zračenje; detekcijom istog u više stanica moguće je u potpunosti rekonstruirati energiju i smjer upadne čestice kozmičkog zračenja Uredaji u orbiti oko Zemlje Da bi razumijeli što više fenomena u Svemiru, nužno je proučavati sve informacije koje nam iz njega stižu, prvenstveno čitav elektromagnetski spektar. S tim ciljem NASA (američka agencija za svemirska istraživanja, engl. National Aeronautics and Space Administration - NASA) je krenula u projekt Velikih zvjezdarnica (engl. Great Observatories), nizom svemirskih teleskopa dizajniranih tako da vrše astronomska istraživanja na raznim frekvencijama elektromagnetskog zračenja. Konkretno, za promatranja na frekvencijama vidljive svjetlosti u orbitu je postavljen svemirski teleskop Hubble, za gama-zrake opservatorij Compton, za X-zrake Chandra, te za infracrvenu svjetlost Spitzer. Važan dio projekta bilo je preklapanje operativnih faza sve četiri misije ne bi li se omogućilo istovremeno promatranje nekih zanimljivih objekata na raznim valnim duljinama. Osim ovog velikog projekta, NASA je pokrenula i niz manjih projekata (kao što je npr. Swift), a i druge su se organizacije (npr. ESA, engl. European Space Agency) pridružile u postavljanju istraživačkih satelita u orbitu oko Zemlje... Hubble Prvi korak NASA-inog projekta Velikih opservatorija je i najpoznatiji - Svemirski teleskop Hubble (HST od engl. Hubble Space Telescope). HST je lansiran je godine kao zajednički projekt ESA-e i NASA-e. Postavljen je u nisku orbitu na 600 km iznad površine Zemlje. Zbog velike greške na optici teleskopa, godine je servisiran čime je pogreška u potpunosti ispravljena. Slijedeći uspješan servis obavljen je godine. Tijekom 20 godina HST je snimio oko milijun fotografija, a očekuje se da će s radom prestati godine, kada bi u upotrebu trebao ući njegov nasljednik, svemirski teleskop James Webb (engl. James Webb Space Telescope, JWST 1. HST je 2.4-metarski reflektor s 3 kamere, 2 spektrografa i vrlo preciznim uredajima za navodenje. S vremenom su dodani uredaji za promatranje u ultraljubičastom i bliskom infracrvenom dijelu elektromagnetskog spektra. Doprinos HST-a modernoj astronomiji i astrofizici je golem: dobivena je velika količina novih spoznaja o nastanku i smrti zvijezda, evoluciji galaksija, a i pojam crnih jama je definitivno postao realan. Nezanemariva je i uloga ovog teleskopa u popularizaciji astrofizike i fizike općenito; neke od HST-ovih spektakularnih fotografija postale se dio opće kolektivne svijesti modernog društva... 1 James Webb - drugi ravnatelj NASA-e, u doba lansiranja proba Mercury, Gemini i neposredno pred početak misija Apollo.

6 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 10 Compton Opservatorij gama-zraka Compton (engl. Compton Gamma Ray Observatory - CGRO) je najteži (17 tona!) instrument ikada prenešen u Svemir pomoću NASA-inih letjelica Space Shuttle. Lansiran je godine i zahvaljujući njemu, gama-astronomija je doživjela eksplozivan rast. Postavljanje iznad atmosfere je ključno za ovaj dio elektromagnetskog spektra jer se fotoni visokih energija u potpunosti apsorbiraju u njoj. Rezultati dobiveni ovim uredajima pokazuju da je Svemir vrlo živ, pun za sada nerazumljenih eksplozivnih dogadaja. Neka otkrića su i identificiranje misterioznih provala gama-zraka, pronalaženje posve nove vrste kvazara te otkriće objekata za koje se još uopće ne zna što su. CGRO je imao četiri instrumenta koja su pokrivala šest redova veličine energije elektromagnetskog spektra, od 30 kev do 30 GeV. To su (poredani po rastućoj energiji): Burst And Transient Source Experiment (BATSE), Oriented Scintillation Spectrometer Experiment (OSSE), Imaging Compton Telescope (COMPTEL) i Energetic Gamma Ray Experiment Telescope (EGRET). U lipnju godine ovaj je opservatorij sigurno vraćen u Zemljinu atmosferu. Chandra Teleskop X-zraka Chandra je treći od četiri NASA-ina satelita-teleskopa, lansiran godine. Osnovni zadatak teleskopa je detekcija X-zraka koje pristižu iz raznih nebeskih objekata. Korišteni detektori pokrivaju područje kev. Teleskop je postavljen u orbitu velikog ekscentriciteta (najbliže je Zemlji dolazio na udaljenost od 10 4 km, a najdalji je bio na km, jednoj trećini udaljenosti do Mjeseca). Takva je orbita korištena da bi se na njenom dijelu (tijekom 55 sati od ukupnog ciklusa od 65 sati) sasvim izbjegao utjecaj Zemljinih radijacijskih pojasa. Teleskop je ime dobio po nobelovcu Subrahmanyanu Chandrasekharu, pioniru mnogih dijelova astrofizike (a riječ Chandra na Sanskritu znači mjesec ). Prije lansiranja, ovaj je teleskop bio znan i kao AXAF, od engl. Advanced X-ray Astronomical Facility. Ovim teleskopom proučavani su svi izvori X-zračnja u Svemiru, s rezolucijom 25 puta boljom od bilo kojeg prethodnog X-detektora. Neka od otkrića ovog teleskopa su: otkriće kompaktnog objekta (neutronska zvijezda ili crna jama) na mjestu gdje je eksplodirala supernova Cassiopeia A, prva detekcija X-zračenja supemasivne crne jame Sagittarius A u centru naše galaksije, te otkriće nove vrste crnih jama (u galaksiji M82) srednje mase. Nadalje, po prvi put je istovremeno uočeno X-zračenje i provala γ-zračenja. Na temelju podataka za objekte RXJ1856 i 3C58, sugerirano je da oni nisu pulsari kao što se do tada mislilo, već čak i gušći objekti: kvarkovske zvijezde (ove tvrdnje su i dalje kontroverzne). Pomoću satelita Chandra primijećene su i super-baklje X-zraka (2005. god) u Orionovoj maglici, vrlo bitan podatak za teoriju nastanaka planetarnih sustava. Nedavno je i izmjerena Hubbleova konstanta metodom posve nezavisnom od tradicionalnih; dobivena vrijednost u slaganju je s trenutačno prihvaćenom što diže povjerenje u standardne načine mjerenja udaljenosti u astronomiji. Iako je originalno trebao raditi samo do godine, teleskop Chandra i dalje je operativan i daje zanimljive astronomske rezultate. Spitzer Svemirski teleskop Spitzer (engl. Spitzer Space Telescope - SST) četvrti je dio NASA-inog programa velikih opservatorija i to onaj koji pokriva termičko infracrveno zračenje (valne duljine od 3 do 180 µm); taj dio spektra posve je prigušen Zemljinom atmosferom. Sam teleskop je lansiran u orbitu u kolovozu 2003.; ukupna cijena bila mu je 800 milijuna US dolara. Sastoji se od teleskopa velikog 0.85 m i 3 hladena instrumenta. Poznat je i kao SIRTF, od engl. Space Infrared Telescope Facility. Ime Spitzer dano mu je u spomen Lymana Spitzera Jr., znanstvenika koji je prvi predložio postavljanje teleskopa u orbitu oko Zemlje (sredinom 40-tih godina prošlog stoljeća). Važniji rezultati uključuju detekciju najmlade zvijezde (2004.), preciznije mjerenje geometrije naše galaksije, detekciju prvih zvijezda stvorenih u Svemiru (2005.) itd. Jedan od najvažnijih

7 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 11 rezultata SST-a je i prvo direktno opažanje ekstrasolarnih planeta (2005.), kao i opažanje dotad neotkrivenog Saturnovog prstena (2009.). Krajem godine potrošen je sav tekući helij i odonda je operativnost teleskopa bitno smanjena. Swift NASA-in satelit Swift 2 izraden je (u partnerstvu s Italijom i Velikom Britanijom) s ciljem da detektira i vrlo brzo locira izvore gama-provala. Prvi takav direktno primijećen dogadaj zbio se (GRB B) kada je Swift uhvatio X-zračenje sa samo minutom zaostatka (koji se ugasio za daljnih pet minuta); Swiftov optički i ultraljubčasti teleskop nije vidio ništa. Pretpostavlja se da je sama provala bila vrlo kratka - otprilike 50 ms. Swift sadrži više instrumenata; prvi koji reagira je tzv. BAT (od engl. Burst Alert Telescope) koji reagira na γ-zrake i u stanju je otprilike odrediti smjer njihovog izvora. Sljedeći korak je brzo okretanje Swiftovih teleskopa za detekciju X-zraka i UV-zračenja. Tijekom i godine Swiftom je opaženo više zanimljivih pojava, izmedu ostalih i najudaljeniju opaženu svemirsku eksploziju (GRB na udaljenosti od milijardi svjetlosnih godina). Do sredine godine Swift je detektirao više od 750 GRB-a. Newton XMM-Newton (od engl. X-ray Multi-Mirror) je ESA-in opservatorij X-zraka, imenovan u čast Isaaca Newtona. Lansiran je godine u vrlo ekscentričnu orbitu; planiran vijek rada mu je do godine, no naknadno produžen do Popis rezultata dobivenih ovim uredajem je impresivan. Npr. po prvi put su uočena rotirajuća vruća područja na površinama bliskih neutronskih zvijezda. MOST Svemirski teleskop MOST (od engl. Microvariability and Oscillations of STars) je za sada jedini kanadski teleskop na satelitu (i najmanji od svih postojećih). Lansiran je godine i planirani vijek bio mu trajanja pet godina, no i tijekom godine i dalje je uspješno funkcionirao. Kao što mu i ime govori, osnovni zadatak ovog teleskopa je praćenje varijacija zvijezda; svaka zvijezda se prati unutar perioda i do 60 dana. Pojave koje se proučavaju na ovaj način su npr. zvijezde tipa Wolf-Rayet (pronadena periodičnost njihova sjaja). INTEGRAL Gama-teleskop INTEGRAL (od engl. INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory) ESA-in je projekt za mapiranje dijela elektromagnetskog spektra najviših energija. Lansiran je godine u vrlo ekscentričnu orbitu(poput Chandre) i za sada je najosljetljiviji gama-opservatorij ikada postavljen u orbitu oko Zemlje; predviden mu je rad do godine, no radio je posve uspješno, pa se očekuje da će mu se životni vijek produžiti do godine. Osnovni zadaci su mu istraživanje provala gama-zraka i neobičnih kvazara, te potraga za dokazima postojanja crnih rupa. Za razliku od drugih uredaja na satelitima koji se zbog ogromne osjetljivosti ne smiju uperiti prema Zemlji, INTEGRAL je godine izmjerio atmosfersko pozadinsko gama-zračenje upravo usmjeravanjem prema Zemlji! AKARI Japanski teleskop za infracrveno područje AKARI lansiran je početkom godine u suradnji s ESO-om. Ime mu na Japanskom znači svjetlost. Primarni zadatak mu je napraviti mapu cijelog 2 engl. swift - čiopa

8 1. ASTRONOMIJA: KRATKI UVOD 12 neba u infracrvenom području. Vijek trajanja (oko 550 dana) mu je limitiran činjenicom da se senzori za daleko i srednje infracrveno područje moraju hladiti tekućim helijom. Senzor za blisko infracrveno područje nastavit će raditi i nakon što se potrši sav helij Uredaji u pripremi Prema predvidanjima astronoma, u idućih 10 do 15 godina mogla bi biti proizvedena nova generacija zemaljskih teleskopa koji bi bili do deset i više puta veći od postojećih i čija bi slika bila do 40 puta oštrija od one HST-a. Cijena tekavih teleskopa je oko milijardu eura. Europski projekt Ekstremno Velikog Teleskopa (EST od engl. Extremely Large Telescope) ulazi u fazu dizajna. Teleskop Owl (od engl. Overwhelmingly Large Telescope) razmatra se od strane European Southern Observatory i trebao bi imati ogledalo efektivnog promjera 100 m! NASA-in svemirski teleskop James Webb (engl. James Webb Space Telescope - JWST) koji će zamijeniti HST prvobitno je trebao biti postavljen u orbitu još tijekom godine, no zbog promjene američke svemirske politike, lansiranje se ne očekuje prije godine. Promjer zrcala ovog teleskopa trebao bi biti 6.5 m (skoro tri puta veći nego kod HST-a), a i udaljenost od Zemlje trebala bi biti mnogostruko veća. KM3NeT ( Cubic Kilometre Neutrino Telescope ) i NEMO ( Neutrino Ettore Majorana Observatory ) su dva europska teleskopa neutrina u pripremi, koji će se nalaziti na dnu mediteranskog mora i koristiti veliki volumen mora za stvaranje Čerenkovljeve svjetlosti. Zbog problema s financiranjem, izgleda da je projekt NEMO napušten dok je budućnost KM3NeT neizvjesna. Na južnoj polutci (Antartiku) nedavno je dovršen američki neutrinski teleskop IceCube Neutrino Observatory, koji će očito do daljnjega ostati najveći neutrinski teleskop na svijetu. Prvi se znanstveni rezultat očekuju uskoro. U pripremi je i satelit Gaia (lansiranje je predvideno za g.) kojim bi se paralaksa izmjerila za 10% zvijezda u našoj galaksiji; to je nasljednik ESA-in satelita Hipparcos (od engl. High Precision Parallax Collecting satelite) koji je radio je u periodu

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Astronomija i astrofizika Teleskopi i detektori. Tomislav Jurkić Department of Physics University of Rijeka, Croatia

Astronomija i astrofizika Teleskopi i detektori. Tomislav Jurkić Department of Physics University of Rijeka, Croatia Astronomija i astrofizika Teleskopi i detektori Tomislav Jurkić Department of Physics University of Rijeka, Croatia 1 Teleskopi 1. Refraktori (objektiv je leća) 2. Reflektori (objektiv je ogledalo) 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κοσμάς Γαζέας Κεφάλαιο 1 Οπτική αστρονομία (VIS) Το πρώτο διαστημικό οπτικό τηλεσκόπιο (1989-1993) ήταν το HIPPARCOS (διάμετρος 0.29 m). Από το 1990 το τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Difuzna gama emisija struktura na velikim skalama

Difuzna gama emisija struktura na velikim skalama Dobardžić Aleksandra Katedra za astronomiju, Matematički Fakultet, Univerzitet u Beogradu Prodanović Tijana Departman za fiziku, Prirodno matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu Difuzna gama emisija

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije Glava 14 Elementi kosmologije 14.1 Zvezde i galaksije Rane civilizacije su verovale da je Zemlja centar Univerzuma. Tek u 16. veku je primećeno da je Zemlja samo jedna mala planeta koja orbitira oko Sunca.

Διαβάστε περισσότερα

INFRACRVENA FOTOGRAFIJA

INFRACRVENA FOTOGRAFIJA Primjena digitalne fotografije u reprodukcijskim medijima Katedra za grafički dizajn i slikovne informacije Grafički fakultet Sveučilišta u Zagrebu INFRACRVENA FOTOGRAFIJA SEMINARSKI RAD Nositelji kolegija

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Astronomski instrumenti Fotometrija

Astronomski instrumenti Fotometrija Astronomski instrumenti Fotometrija Spektar zračenja Kako ga detektirati i kako ga mjeriti? Svi uređaji imaju neke zajedničke osobine! PRIJEMNA POVRŠINA: Kod optičkih teleskopa OBJEKTIVI mogu biti LEĆE

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Princip rada CCD detektora

Princip rada CCD detektora Princip rada CCD detektora 10.1 CCD detektor CCD je skraćenica od Charge-Coupled Device, što bi se slobodno moglo prevesti kao sistem sa spregom preko prostornog naelektrisanja. CCD je pronađen krajem

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Marino Fonović SVEMIR SUNČEV SUSTAV ZVIJEZDE GALAKSIJE ŽIVOT U SVEMIRU. Fonović - vlastita naklada

Marino Fonović SVEMIR SUNČEV SUSTAV ZVIJEZDE GALAKSIJE ŽIVOT U SVEMIRU. Fonović - vlastita naklada Marino Fonović SVEMIR SUNČEV SUSTAV ZVIJEZDE GALAKSIJE ŽIVOT U SVEMIRU Fonović - vlastita naklada SADRŽAJ Uvod Astronomija: od mita do moderne znanosti 7 1. Sunčev sustav 9 _1. Kako je nastao Sunčev sustav?

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKI RAD SENZORI DIGITALNIH KAMERA

SEMINARSKI RAD SENZORI DIGITALNIH KAMERA UNIVERZITET U ZENICI PEDAGOŠKI FAKULTET U ZENICI ODSJEK MATEMATIKA I INFORMATIKA SEMINARSKI RAD SENZORI DIGITALNIH KAMERA Zenica, februar 2007. SADRŽAJ 1. UVOD...3 1.1. ŠTA JE TO SENZOR?...3 1.2. POJAM

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Vrijeme života miona Uvod

Vježba: Vrijeme života miona Uvod Vježba: Vrijeme života miona Uvod Fizika elementarnih čestica istražuje osnovne građevne elemente tvari i njihove interakcije. Prema sadašnjim saznanjima osnovni građevni elementi su fermioni, kvarkovi

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet elektrotehnike i računarstva. Zavod za radiokomunikacije SATELITSKE KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE

Fakultet elektrotehnike i računarstva. Zavod za radiokomunikacije SATELITSKE KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE Fakultet elektrotehnike i računarstva Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za radiokomunikacije SATELITSKE KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE Pokazna laboratorijska vježba: KOMUNIKACIJSKI SATELITI ASTRA

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Dr.sc. Ljiljana Mayer, spec.med.biokemije Zagreb, 18. ožujka 2017. Klinika za tumore Centar za maligne bolesti, KBCSM

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Pregled tema. Uvod Lansiranje i održavanje Globalni i uski snopovi Kut satelit Zemlja. FER-Zagreb, Satelitske komunikacijske tehnologije 2016/17

Pregled tema. Uvod Lansiranje i održavanje Globalni i uski snopovi Kut satelit Zemlja. FER-Zagreb, Satelitske komunikacijske tehnologije 2016/17 3. Satelit Pregled tema Uvod Lansiranje i održavanje Globalni i uski snopovi Kut satelit Zemlja 1 Uvod Treba razlikovati dvije osnovne funkcije satelitskog sustava. Komunikacijski moduli: antena i transponder

Διαβάστε περισσότερα

Αστρονομία στις ακτίνες γ

Αστρονομία στις ακτίνες γ Αστρονομία στις ακτίνες γ Τηλεσκόπια Μελέτη αστρονομικών αντικειμένων Αστρονομία ακτίνων γ Φωτόνια με ενέργειες από 0.5 MeV ~200 TeV (τα πιο ενεργά φωτόνια που έχουν ανιχνευθεί μέχρι σήμερα) Αστρονομία

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V?

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? a) b) c) d) e) Odgovor: a), c), d) Objašnjenje: [1] Ohmov zakon: U R =I R; ako je U R 0 (za neki realni, ne ekstremno

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Αστρονομία. Ενότητα # 5: Φάσματα Αστέρων. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Αστρονομία. Ενότητα # 5: Φάσματα Αστέρων. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αστρονομία Ενότητα # 5: Φάσματα Αστέρων Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Mala škola. Koprivnica, 2002., izdanje br. 20

Mala škola. Koprivnica, 2002., izdanje br. 20 Mala škola astronomije Koprivnica, 2002., izdanje br. 20 SADRŽAJ 1. Zemlja i nebo...3 1.1. Uvod... 3 1.1.1. Osnovno snalaženje na zvjezdanom nebu...5 1.1.2. Utjecaj optičkih i drugih pojava na promatranja

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10

Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10 Fizika 2 Fizikalna optika 2009/10 1 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP Aleksandar Smiljanić Generacija 1996 / 1997 8 + SP Hamburg 2014 4 - SP Rio de Janeiro 1. Cvijetić Nikola (1997)

Διαβάστε περισσότερα

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj ELEKTROTEHNIKA TZ Prezime i ime GRUPA Matični br. Napomena: U tablicu upisivati slovo pod kojim smatrate da je točan odgovor. Upisivati isključivo velika štampana slova. Točan odgovor donosi jedan bod.

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Αστρονομία στις ακτίνες γ

Αστρονομία στις ακτίνες γ Αστρονομία στις ακτίνες γ Τηλεσκόπια Μελέτη αστρονομικών αντικειμένων Αστρονομία ακτίνων γ Φωτόνια με ενέργειες από 0.5 MeV ~200 TeV (τα πιο ενεργά φωτόνια που έχουν ανιχνευθεί μέχρι σήμερα) Αστρονομία

Διαβάστε περισσότερα