Wimbledon. Queuing for iphone

Transcript

1 Wimbledo Queuig for iphoe UK WWII Food ratio UK WWII Lodo Louvre People Republic of Polad Waitig for the ipad Eiffel Tower ueue NY food tore Michael Jacko cocert Greece Egypt Idia

2 7 Περιμένοντας για άσυλο USSR Dole ueue USA Epre haircut Depreio Πεκίνο Chia Great Wall Greece Thailad

3 Αράχωβα 33 ΕΝΦΙΑ Δείτε κι αυτό Στοιχεία από τη Θεωρία Γραμμών Αναμονής (Queueig Theory) Ιστορικά Στοιχεία Μαθηματικά μοντέλα για τη μελέτη των ουρών αναμονής (ueue = cōda = cauda = tail) Ποια θεωρείται η αρχαιότερη αναφορά σε ουρά αναμονής; Ager Krarup Erlag (878-99), Τηλεφωνικά δίκτυα Poio κατανομή στις τηλεφωνικές κλήσεις (909) Συμβολισμοί D.G. Kedal (98-007) το 93, πρώτη αναφορά σε «ueuig ytem» (9, JRSS) Για κάποιους, η αφίσα οδήγησε τους Συντηρητικούς της Μ. Θάτσερ στη νίκη στις βουλευτικές εκλογές του 979 (Saatchi & Saatchi). Το ερώτημα βέβαια (που απαντήθηκε πολύ αργότερα) ήταν: πόσο κοντά στην αλήθεια βρίσκεται; Βρετανία, 007. Αντίστοιχη καμπάνια, από την ίδια εταιρεία, για τους Εργατικούς (θα έλεγα όχι με την ίδια επιτυχία, τουλάχιστον σημειολογικά). Οι εκλογές αυτές δεν έγιναν ποτέ (έγιναν το 00). Πηγή Πελατών Διαδικασία Αφίξεων Ουρά Αναμονής Πειθαρχία Μηχανισμός Εξυπηρέτησης Έξοδος G.F. O'Dell (90), Thorto Fry (98), Edward Charle Molia (97), Feli Pollaczek (89-98, 930), Adrey Kolmogorov ( , 93), Aleader Khichi (894-99, 93), C.D. Crommeli (93), Joh Little (98- MIT profeor) και πολλοί άλλοι. Εφαρμογές: τηλεπικοινωνίες, μονάδες υγείας, πληροφορική, συγκοινωνία και μεταφορές, πληροφορική, παροχή υπηρεσιών, σχεδίαση γραμμών παραγωγής, λιανεμπόριο κ.λπ ΟΙ ΟΥΡΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΟΥ Εισαγωγικά Στοιχεία Πληθυσμός (πηγή) πελατών (populatio) Διαδικασία Αφίξεων (arrival proce) Ουρά αναμονής (ueue) Πειθαρχία της ουράς (diciplie) Διαδικασία εξυπηρέτησης (ervice) Έξοδος (eit) Κωδικοποίηση και Συμβολισμοί Λήψη Αποφάσεων Επιπέδου Εξυπηρέτησης Εισαγωγικά Στοιχεία (συνέχεια) Ουρές αναμονής δημιουργούνται όταν η τρέχουσα ζήτηση για κάποια υπηρεσία ξεπερνάει τη δυναμικότητα παροχής της Ακόμη και στις περιπτώσεις όπου η δυναμικότητα του συστήματος φαινομενικά καλύπτει τις απαιτήσεις (τη ζήτηση), ουρές αναμονής τείνουν να διαμορφώνονται λόγω της μεταβλητότητας (στοχαστικότητας) που υπάρχει στις διαδικασίες άφιξης και εξυπηρέτησης πελατών Στόχος:Υπολογισμός δεικτών απόδοσης Αποφάσεις για το επίπεδο της παρεχόμενης εξυπηρέτησης αντισταθμίζοντας το κόστος παροχής της εξυπηρέτησης με το κόστος (για την επιχείρηση) από την αναμονή των πελατών Βασικά δομικά στοιχεία Η πηγή των πελατών (callig populatio) Μέγεθος: άπειρο δεν επηρεάζει το ρυθμό αφίξεων πότε θεωρείται πρακτικά άπειρο πεπερασμένο επηρεάζει ρυθμό αφίξεων? Ανοικτά συστήματα που απευθύνονται στο ευρύ κοινό Κλειστά συστήματα (π.χ. συστήματα συντήρησης) Ομογένεια πληθυσμού Ομαδικές αφίξεις Η Διαδικασία των αφίξεων (arrival proce) Προέλευση Πότε Μέσος ρυθμός άφιξης των πελατών (arrival rate) Προγραμματισμένες αφίξεις (determiitic arrival) Τυχαίες αφίξεις (tochatic, radom arrival), ανεξάρτητες μεταξύ τους - άγνωστη η χρονική στιγμή κάθε άφιξης Αφίξεις κατά ομάδες (batche) Κατανομή των αφίξεων (π.χ Poio, σταθερή, Geeric) Poio με παράμετρο λ (διακριτή κατανομή) Η Διαδικασία των αφίξεων (συνέχεια-) Αν η τυχαία μεταβλητή Χ, που παριστάνει το πλήθος αφίξεων στην μονάδα του χρόνου (π.χ. σε μία ώρα), ακολουθεί κατανομή Poio με μέσο ρυθμό αφίξεων λ πελάτες ανά μονάδα χρόνου, τότε η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει τιμή έστω, δηλαδή να πραγματοποιηθούν αφίξεις στη μονάδα του χρόνου, είναι: e X ), 0,,,... Διαδικασία αφίξεων (συνέχεια-) Αν το πλήθος των αφίξεων στη μονάδα του χρόνου ακολουθεί κατανομή Poio (διακριτή) με παράμετρο λ, τότε ο χρόνος, έστω Τ, που μεσολαβεί ανάμεσα σε διαδοχικές αφίξεις, είναι επίσης τυχαία μεταβλητή και ακολουθεί την εκθετική κατανομή (συνεχής) με μέση τιμή /λ (μονάδες χρόνου). Δηλαδή είναι: t f ( t) e Πυκνότητα: t 0 με Ε[t] = /λ Αθροιστική: T t) e t Διαδικασία αφίξεων (συνέχεια-3) Πλήθος αφίξεων σε ένα διάστημα: π.χ. στη μονάδα του χρόνου, το πλήθος των αφίξεων ακολουθεί την κατανομή Poio και το μέσο πλήθος πελατών που προσέρχονται (μέσος ρυθμός άφιξης) κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος μήκους α, είναι αλ (στη μονάδα χρόνου το μήκος είναι α=) Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων: μεσολαβεί ανάμεσα σε διαδοχικές αφίξεις, είναι τυχαία μεταβλητή και ακολουθεί εκθετική κατανομή και έχει μέση τιμή το αντίστροφο του μέσου ρυθμού αφίξεων δηλαδή /λ ή γενικά /αλ. Ο χρόνος μέχρι την επόμενη άφιξη είναι ανεξάρτητος της χρονικής στιγμής που έγινε η προηγούμενη (ιδιότητα αμνησίας τυχαίες αφίξεις) Η ουρά αναμονής - πειθαρχία (ueue, diciplie) Χωρητικότητα (μήκος ουράς) πεπερασμένη ή απεριόριστη, όταν όλες οι θέσεις αναμονής είναι κατειλημμένες τότε ο πραγματικός ρυθμός αφίξεων εκμηδενίζεται Συνήθειες των πελατών: μη προσχώρηση (balkig), έλλειψη υπομονής και αποχώρηση (reegig), εναλλαγή (witchig - jockeyig) Πειθαρχία: ο κανόνας με τον οποίο επιλέγεται ο επόμενος πελάτης για να εξυπηρετηθεί. FIFO (FCFS), LIFO (LCFS), Priority, Radom Order, accordig to ervice time

4 49 Διαδικασία εξυπηρέτησης (ervice proce) Θέσεις εξυπηρέτησης (πλήθος παράλληλων θέσεων - igle chael, multiple chael) Φάσεις εξυπηρέτησης (πλήθος διαδοχικών φάσεων - igle phae, multiple phae) Διαδικασία εξυπηρέτησης (συνέχεια-) Αν η τυχαία μεταβλητή Χ, που παριστάνει το πλήθος των ατόμων που εξυπηρετούνται στην μονάδα του χρόνου (π.χ. σε μία ώρα), ακολουθεί κατανομή Poio με μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης μ πελάτες ανά μονάδα χρόνου, τότε η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει τιμή έστω, δηλαδή να πραγματοποιηθούν εξυπηρετήσεις στη μονάδα του χρόνου, είναι: e X ), 0,,,... Διαδικασία εξυπηρέτησης (συνέχεια-) Αν το πλήθος των εξυπηρετήσεων στη μονάδα του χρόνου ακολουθεί κατανομή Poio (διακριτή) με παράμετρο μ, τότε ο χρόνος, έστω Τ, που απαιτείται για μία εξυπηρέτηση, είναι επίσης τυχαία μεταβλητή και ακολουθεί την εκθετική κατανομή (συνεχής) με μέση τιμή /μ (μονάδες χρόνου). Δηλαδή είναι: t f ( t) e Πυκνότητα: όπου t 0 και Ε[t]=/μ t T Αθροιστική: t) e Διαδικασία εξυπηρέτησης (συνέχεια-3) Πλήθος εξυπηρετήσεων σε ένα διάστημα: π.χ. στη μονάδα του χρόνου, το πλήθος των εξυπηρετήσεων ακολουθεί την κατανομή Poio και το μέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται (μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης) κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος μήκους α είναι αμ (στη μονάδα χρόνου το μήκος είναι α=) Χρόνος εξυπηρέτησης: είναι ο χρόνος που απαιτείται για μία εξυπηρέτηση, είναι τυχαία μεταβλητή και ακολουθεί εκθετική κατανομή και έχει μέση τιμή το αντίστροφο του μέσου ρυθμού εξυπηρέτησης δηλαδή /μ ή γενικά /αμ Έξοδος Άμεση επιστροφή στην πηγή, Επιστροφή με χρονική υστέρηση, Εγκατάλειψη της πηγής και του συστήματος, Επιστροφή σε προηγούμενη φάση της εξυπηρέτησης (rework) Σύστημα εξυπηρέτησης με διάφορα δομικά στοιχεία Παράδειγμα Αν υποτεθεί ότι η διαδικασία άφιξης ακολουθεί κατανομή Poio με μέση τιμή (μέσο ρυθμό αφίξεων) άτομα ανά (μία) ώρα, τότε λ=. Δηλαδή, το πλήθος των ατόμων Χ που προσέρχονται σε μία ώρα είναι τυχαία μεταβλητή και η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ = «πλήθος ατόμων που προσέρχονται σε μία ώρα» να είναι ίση με κάποια δεδομένη τιμή, είναι: e X ), 0,,,... Αντιστοίχως, ο χρόνος που παρεμβάλλεται μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή /λ=/ ώρες, δηλαδή, κατά μέσο όρο, παρεμβάλλονται λεπτά. Ιστόγραμμα (ραβδόγραμμα) κατανομής Poio με λ= (000 radomly geerated value) Κατανομή Poio με λ= Ιστόγραμμα εκθετικής κατανομής με μέση τιμή /λ=/ (000 radomly geerated value) Εκθετική κατανομή (πυκνότητα) με μέση τιμή /λ=/ Παράδειγμα Η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ = «πλήθος ατόμων που προσέρχονται σε μία ώρα», να πάρει τιμή ακριβώς ίση με =0, είναι: 0 e X 0) ! Η πιθανότητα να πάρει τιμή μικρότερη ή ίση με, δηλαδή να εμφανιστούν από 0 έως 0 άτομα σε μία ώρα είναι: X 0) 0 0 e Παράδειγμα 3 Ο χρόνος Χt, που παρεμβάλλεται μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή /λ=/ ώρες (δηλαδή λεπτά). Η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χt να πάρει τιμή το πολύ μέχρι λεπτά, δηλαδή ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις να είναι μέχρι /0 ώρες: X t /0) e t t Η πιθανότητα ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις να είναι το πολύ λεπτό (=/0 ώρες) είναι: X t /0) e t t Παράδειγμα 4 Έστω ότι ο ρυθμός εξυπηρέτησης της θέσης εξυπηρέτησης ακολουθεί κατανομή Poio με μέση τιμή μ=0 άτομα ανά ώρα, (οπότε ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή /μ=/0 ώρες, δηλαδή λεπτά ανά άτομο). Η πιθανότητα, μέσα σε μία ώρα, να εξυπηρετήσει άτομα είναι: 0 e 0 PX ( ) ! Η πιθανότητα, μέσα σε μία ώρα, να εξυπηρετήσει μέχρι άτομα είναι: 0 e 0 PX ( ) Παράδειγμα 4 (συνέχεια υπολογισμοί Poio ) Η πιθανότητα, μέσα σε μία ώρα, να εξυπηρετήσει 0 άτομα είναι: 0 0 e 0 PX ( 0) 0. 0! Η πιθανότητα, μέσα σε μία ώρα, να εξυπηρετηθούν έως 0 άτομα είναι: 0 0 e 0 X 0) Παράδειγμα 4 (συνέχεια υπολογισμοί Poio ) Η πιθανότητα να εξυπηρετηθούν 0 άτομα είναι: 0 0 e 0 PX ( 0) ! ενώ, η πιθανότητα να εξυπηρετηθούν μέχρι 0 άτομα είναι: 0 0 e 0 X 0) Πόση είναι η πιθανότητα να εξυπηρετηθούν «άπειρα» άτομα ; Πόση είναι η πιθανότητα να εξυπηρετηθούν μέχρι «άπειρα» άτομα ;

5 Παράδειγμα 4 (συνέχεια Poio ma fuctio) Παράδειγμα 4 (συνέχεια - Poio cumulative) Παράδειγμα 4 (συνέχεια Epoetial cumulative) Παραδείγματα συστημάτων εξυπηρέτησης () Εμπορικά συστήματα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση εξωτερικών πελατών πρατήρια βενζίνης, ταμεία τράπεζας, ταμεία κοινωφελών οργανισμών, καταστήματα, αυτόματοι πωλητές, ΑΤΜ'', ταχυδρομεία, upermarket, κλπ Μεταφορικά μέσα εξυπηρέτησης Τα μεταφορικά μέσα ως πελάτες σταθμοί διοδίων, σηματοδότες, πλοία σε προβλήτες, φορτηγά αναμένουν για φορτοεκφόρτωση, αεροσκάφη που αναμένουν για απογείωση ή προσγείωση κλπ Τα μεταφορικά μέσα ως θέσεις εξυπηρέτησης επιβάτες που αναμένουν ταξί, λεωφορεία, πυροσβεστικά οχήματα, ασθενοφόρα, ανελκυστήρες, αεροπορικές μεταφορές κ.λπ Παραδείγματα συστημάτων εξυπηρέτησης () Εμποροβιομηχανικά συστήματα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση εσωτερικών πελατών διακίνηση υλικών σε παραγωγικές διαδικασίες, συντήρηση μηχανών, σταθμοί επιθεώρησης, συστήματα Η/Υ, συστήματα εξυπηρέτησης εργαζομένων (αποθήκες εξοπλισμού, εστιατόρια, κάρτες πρόσβασης κλπ), συστήματα όπου μηχανές αποτελούν θέσεις εξυπηρέτησης κλπ Κοινωνικά συστήματα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση ευρύτερου κοινωνικού συνόλου άμεσα ή έμμεσα σύστημα δικαιοσύνης, νομοθετικό σύστημα, συστήματα υγείας, κοινωνικές υπηρεσίες (π.χ. στεγαστική πρόνοια, υποστήριξη ανέργων κλπ), παιδεία, δημόσια έργα κλπ Η ψυχολογία της αναμονής. Ο χρόνος που αναλώνεται σε αδράνεια μοιάζει μεγαλύτερος από εκείνον που αναλώνεται όταν ο πελάτης είναι απασχολημένος. Η αναμονή μέχρι να αρχίσει μία διαδικασία μοιάζει μεγαλύτερη από την αναμονή όταν είσαι μέσα στη διαδικασία 3. Η ανυπομονησία κάνει την αναμονή να μοιάζει μεγαλύτερη 4. Οι αναμονές στοχαστικής διάρκειας μοιάζουν μεγαλύτερες από εκείνες που είναι προσδιοριστικής διάρκειας. Μη εξηγήσιμες αναμονές είναι μεγαλύτερες από τις εξηγήσιμες. Αναμονή που οφείλεται σε μη ισότιμη μεταχείριση είναι μεγαλύτερη 7. Όσο πιο σημαντική είναι η διαδικασία εξυπηρέτησης τόσο μεγαλύτερη μοιάζει η αναμονή αλλά και ο πελάτης είναι διατεθειμένος να περιμένει και περισσότερο 8. Στη μοναχική αναμονή, ο χρόνος μοιάζει μεγαλύτερος απ ότι στην ομαδική αναμονή 9. Τα συναισθήματα είναι μεταδοτικά! Μερικές ιδέες αντιμετώπισης μεγάλων ουρών αναμονής. Απόκρυψη της αληθινής ουράς από τους πελάτες (εστιατόρια, πάρκα διασκέδασης). Ο πελάτης ως πόρος, λαμβάνει μέρος στη διαδικασία εξυπηρέτησης (alad bar, συμπλήρωση φορμών σε υπηρεσίες, elf ervice κ.λπ) 3. Παροχή άνετων χώρων αναμονής (με στόχο την αποφυγή του balkig και του reegig, άνετοι χώροι αναμονής στα ιατρεία με υλικό για διάβασμα, αναμονή στο μπαρ για τα εστιατόρια, χώροι αναμονής επίσημων συνεργείων κ.λπ.) 4. Απόσπαση της προσοχής του πελάτη (τηλεοράσεις, καταστήματα και εστιατόρια σε αεροδρόμια κ.λπ.). Άμεση ενημέρωση για πιθανές καθυστερήσεις (οι πελάτες δεν θέλουν να νοιώθουν παραμελημένοι, μεταφορικές εταιρείες package trackig ytem). Παροχή απαισιόδοξων χρόνων αναμονής (τελειώνοντας νωρίτερα οι πελάτες είναι ευτυχείς, αλλά χρειάζεται προσοχή) 7. Δικαιοσύνη (faire, ίδια μεταχείριση, αποφυγή παραβίασης της σειράς π.χ. erpetie ueue) Κωδικοποίηση μοντέλων (Kedall) Γενική μορφή : a/b//k/n a: κατανομή αφίξεων (π.χ. M, G, D) b: κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης (ομοίως με a) : πλήθος παράλληλων θέσεων εξυπηρέτησης () k: χωρητικότητα του συστήματος εξυπηρέτησης (>) N: πλήθος πελατών στην πηγή, όταν αυτό είναι πεπερασμένο. Όταν το σύστημα έχει άπειρη χωρητικότητα ή άπειρους πελάτες στην πηγή, τα αντίστοιχα σύμβολα συνήθως παραλείπονται. M/M/, M/M/, M/G/, M/D/, M/M///N? Βασικά σύμβολα και ορισμοί πλήθος πελατών στο σύστημα κάποια χρονική στιγμή ((t)) πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης του συστήματος λ μέσος ρυθμός αφίξεων στη μονάδα χρόνου (λ) μ μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης στη μονάδα χρόνου (μ) ρ βαθμός απασχόλησης θέσεων εξυπηρέτησης P πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα (t)) L μέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται στην εξυπηρέτηση (beig erved) L μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα μέσο πλήθος πελατών στην ουρά W μέσος χρόνος παραμονής πελάτη στο σύστημα W μέσος χρόνος αναμονής πελάτη στην ουρά Βασικά σύμβολα και ορισμοί (συνέχεια-) Κατάσταση ισορροπίας (μόνιμη, σταθερή, οριακή κατάσταση - teady tate): Ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, όταν η συμπεριφορά του δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που υπάρχουν κατά την έναρξη της λειτουργίας του. Ένα σύστημα φθάνει σε κατάσταση ισορροπίας, όταν παρέλθει ένα εύλογο χρονικό διάστημα από την αρχική του κατάσταση (την εκκίνηση), στη διάρκεια του οποίου εξαλείφεται η επίδραση των συνθηκών εκκίνησης, οπότε οι λειτουργικοί δείκτες είναι ανεξάρτητοι από το χρόνο παρατήρησης t. Βασικά σύμβολα και ορισμοί (συνέχεια-) Παροδική - μεταβατική περίοδος (traiet period, warm up period): Η περίοδος που διέρχεται το σύστημα ώστε να πάψει να εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εκκίνησης και να συγκλίνει σε κατάσταση ισορροπίας. Κατά την περίοδο αυτή, οι τιμές των λειτουργικών δεικτών επηρεάζονται ουσιαστικά από τις συνθήκες εκκίνησης και εξαρτώνται από τη χρονική στιγμή της παρατήρησης (t). Η προσομοίωση είναι μία μεθοδολογία της Επιχειρησιακής Έρευνας με την οποία διερευνάται η συμπεριφορά πολύπλοκων δυναμικών συστημάτων όπου ενδεχομένως δεν υπάρχει κατάσταση ισορροπίας (και όχι μόνο). Σχέσεις κατάστασης ισορροπίας (Little Law, Joh Little 9) Aν το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση ισορροπίας και δεν υπάρχουν παρεμβολές στην εξυπηρέτηση (table ad o-preemptive) L W L πρωταρχική W L L L L W W βαθμός απασχόλησης (utilizatio factor) ποσοστό χρόνου που είναι απασχολημένες οι θέσεις εξυπηρέτησης (συνήθως είναι λ<μ) Το σύστημα Μ/Μ/ Γενικό πλαίσιο. Η πηγή των πελατών περιέχει άπειρους πελάτες (N=).. Η διαδικασία αφίξεων ακολουθεί την κατανομή Poio με γνωστό μέσο ρυθμό αφίξεων στη μονάδα του χρόνου λ (πελάτες ανά μονάδα χρόνου), ο οποίος παραμένει σταθερός κατά τη διάρκεια παρατήρησης. Ισοδύναμα, ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή /λ (μονάδες χρόνου). 3. Υπάρχει μία μόνο ουρά με πειθαρχία FIFO. 4. Δεν παρατηρούνται: μη προσχώρηση (balkig, dicouragemet), αποχώρηση (reegig, impatiece) ή εναλλαγή (jockeyig, witchig).. Χωρητικότητα του συστήματος αναμονής απεριόριστη (k = ). Το σύστημα Μ/Μ/ Γενικό πλαίσιο (συνέχεια). Υπάρχει μία θέση εξυπηρέτησης ( = ) και η εξυπηρέτηση γίνεται σε μία φάση. 7. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή με γνωστή μέση τιμή /μ, που παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια παρατήρησης. Ισοδύναμα, η διαδικασία εξυπηρέτησης (πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται) είναι Poio με μέση τιμή μ. 8. Ο μέσος ρυθμός άφιξης είναι μικρότερος από το μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης (λ < μ ρ < ), οπότε το σύστημα οδηγείται σε κατάσταση ισορροπίας. Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (Μ/Μ/) L / ρ = λ / μ = λ / μ (=L για το μοντέλο αυτό όπου =) L ( ) L L L W ( ) L W W P 0 P k P k Παράδειγμα (εξωτερικό ιατρείο) Σε ένα εξωτερικό ιατρείο με μία διαγνωστική ομάδα και μία ουρά αναμονής, παρατηρήθηκε ότι την ημέρα της εφημερίας, κατά την περίοδο αιχμής, οι ασθενείς καταφθάνουν με διαδικασία Poio με μέσο ρυθμό λ= άτομα ανά ώρα, ενώ η ομάδα εξέτασης εξυπηρετεί με μέσο ρυθμό μ=3 άτομα ανά ώρα. Να αξιολογήσετε το σύστημα με τον υπολογισμό των κατάλληλων δεικτών απόδοσης, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης του χρόνου τη μία ώρα

6 8 Παράδειγμα (συνέχεια-) Σημειώνεται ότι: ο χρόνος ανάμεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακολουθεί εκθετική κατανομή (αφού έχουμε διαδικασία αφίξεων Poio) με μέση τιμή /λ = / ώρες (=30 λεπτά). ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή (αφού έχουμε εξυπηρέτησης με διαδικασία Poio) με μέση τιμή /μ = /3 ώρες (=0 λεπτά). Παράδειγμα (συνέχεια-) L / / 3 L 3 L 4 / 3 πελάτες ( ) 3(3 ) 3 3 L πελάτες τι παριστάνει η 3 πιθανότητα αυτή W 4 / 3 ώρες 40 λεπτά ( ) 3(3 ) 3 Παράδειγμα (αποτελέσματα στον Η/Υ - QSBWi) Παράδειγμα (ταμείο κινηματογράφου) Στο ταμείο ενός κινηματογράφου υπάρχει ένας ταμίας και μία ουρά αναμονής. Τις ώρες αιχμής, καταφθάνει ένας πελάτης ανά 0 ec κατά μέσο όρο (εκθετική κατανομή), ενώ ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή ec ανά πελάτη. Να αξιολογήσετε το σύστημα με τον υπολογισμό των κατάλληλων δεικτών απόδοσης, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης του χρόνου το ένα λεπτό. L W W ώρα Παράδειγμα (συνέχεια-) Η διαδικασία αφίξεων είναι Poio (αφού ο χρόνος ανάμεσα στις αφίξεις ακολουθεί εκθετική κατανομή). Ο μέσος ρυθμός αφίξεων είναι έχει τιμή λ=3 πελάτες το λεπτό (ισοδύναμα: λ = /0 πελάτες ανά δευτερόλεπτο). Παράδειγμα (συνέχεια-) 3 L L 3 9. πελ. ( ) 4(4 3) 4 Παράδειγμα (συνέχεια-3) 3 3 P P P Παράδειγμα (όλες πιθανότητες) Οι πιθανότητες για =0,,, 4 κ.λπ. = > Η διαδικασία εξυπηρέτησης είναι Poio (αφού ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή). Ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης μ= 4 πελάτες το λεπτό (ισοδύναμα: μ = / πελάτες ανά δευτερόλεπτο). 9 3 L 3 πελάτες / 4 3 W λεπτά 3 4 W W 3 λεπτό 4 4 P P P Παράδειγμα (κατανομή της τ.μ. ) Παράδειγμα (κατανομή της τ.μ., bar chart) Παράδειγμα (αθροιστική κατανομή της τ.μ. ) Παράδειγμα (αθρ. κατανομή της, bar chart) Παράδειγμα (μεταβολή των δεικτών ως προς το λ) Παράδειγμα (γραφική παράσταση /λ) Παράδειγμα (μεταβολή των δεικτών με βάση το μ) Παράδειγμα (γραφική παράσταση /μ) λ μ

7 97 Το σύστημα Μ/Μ/> Γενικό πλαίσιο. Η πηγή των πελατών περιέχει άπειρους πελάτες (N=).. Η διαδικασία αφίξεων ακολουθεί την κατανομή Poio με γνωστό μέσο ρυθμό αφίξεων στη μονάδα του χρόνου λ (πελάτες ανά μονάδα χρόνου), ο οποίος παραμένει σταθερός κατά τη διάρκεια παρατήρησης. Ισοδύναμα, ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή /λ (μονάδες χρόνου). 3. Υπάρχει μία μόνο ουρά με πειθαρχία FIFO. 4. Δεν παρατηρούνται: μη προσχώρηση (balkig, dicouragemet), αποχώρηση (reegig, impatiece) ή εναλλαγή (jockeyig, witchig).. Χωρητικότητα του συστήματος αναμονής απεριόριστη (k = ). Σύστημα Μ/Μ/> Γενικό πλαίσιο (συνέχεια). Υπάρχουν περισσότερες από μία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης.. Εξυπηρέτηση σε μία φάση σε μία από τις παράλληλες θέσεις. 3. Ο χρόνος εξυπηρέτησης σε κάθε θέση ακολουθεί την ίδια εκθετική κατανομή με γνωστή μέση τιμή /μ, που παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια παρατήρησης. Άρα και ο ρυθμός εξυπηρέτησης κάθε θέσης ακολουθεί την ίδια κατανομή Poio με μέση τιμή μ. 4. Ο συνολικός μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης όλων των θέσεων μαζί είναι μεγαλύτερος από το μέσο ρυθμό αφίξεων ( μ > λ ρ < ) οπότε το σύστημα οδηγείται σε κατάσταση ισορροπίας. Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (M/M/) ( / ) ( / ) 0!! P,!! P w P 0, μ P P Pw! Βασικές σχέσεις - δείκτες απόδοσης M/M/ (συνέχεια) L / L P 0 ( )!( ) L L W L W W Παράδειγμα 7 Παράδειγμα 7 (συνέχεια-) Παράδειγμα 7 (συνέχεια-, με μονάδα χρόνου την ώρα) Παράδειγμα 7 (συνέχεια-3) Η διεύθυνση ενός upermarket μελετά το υποσύστημα διάθεσης τυροκομικών και αλλαντικών. Τις ώρες αιχμής, οι πελάτες καταφθάνουν με μέσο ρυθμό λ=7 πελάτες την ώρα (Poio) και σχηματίζουν μία ουρά αναμονής, με τη χρήση αριθμημένων ετικετών. Τρεις πωλητές αναλαμβάνουν να εξυπηρετήσουν τους πελάτες (=3) και σύμφωνα με τα δεδομένα που έχουν καταγραφεί, ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης συνήθως κυμαίνεται στο λεπτό ανά πελάτη (εκθετική κατανομή). Να εντοπιστούν και να σχολιαστούν οι δείκτες απόδοσης χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης του χρόνου την μία ώρα ή το ένα λεπτό. Θα πρέπει οι δύο παράμετροι να αναφέρονται στην ίδια μονάδα χρόνου. Διατηρώντας το λ=7 άτομα ανά ώρα, θα πρέπει ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης, που είναι μ= άτομο ανά λεπτό (αφού ο χρόνος είναι λεπτό ανά άτομο) να μετατραπεί σε μ=0 άτομα ανά ώρα. Ισοδύναμα, αν παραμείνει το μ= άτομο το λεπτό, θα πρέπει να θέσουμε λ=. άτομα ανά λεπτό. / 7/ / 0 7 / 0 30! 3! / 0 7 / 0 7 / 0 7 / !! 3! 08 δηλαδή = 9.4% ( / ) P 0 ( )!( )! 0 (3 0 7) L L πελάτες 0 W L / 0.094/ ώρες (=0.078λεπτά) W L /.94/ ώρες (=.078λεπτά) ή W 4.8 και W 4.8 δευτερόλεπτα (για ακόμη καλύτερη κατανόηση του αποτελέσματος) Παράδειγμα 7 (συνέχεια-4) Πόση είναι η πιθανότητα ένας πελάτης να εξυπηρετηθεί αμέσως Παράδειγμα 7 (η κατανομή του πλήθους πελατών στο σύστημα ) Παράδειγμα 7 (αποτελέσματα στον Η/Υ - σε ώρες) Παράδειγμα 7 (αποτελέσματα στον Η/Υ - σε λεπτά) + P + P 7 /0 P 0.39! 7 / 0 P 0.8! Οπότε : + P + P = = = 8.88% - ( + P + P) = = 0.4 = 4.% Το σύστημα Μ/Μ//k - Γενικό πλαίσιο Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (M/M//k) Βασικές σχέσεις - δείκτες απόδοσης (M/M//k συνέχεια) Παράδειγμα 8 Ισχύουν οι παραδοχές του συστήματος Μ/Μ/ εκτός από: Είναι σύστημα με πεπερασμένη χωρητικότητα ουράς (k-) Δεν είναι απαραίτητο να ισχύει ότι λ < μ () Εκμηδένιση του πραγματικού ρυθμού αφίξεων όταν το σύστημα είναι πλήρες για 0,,..., k 0 για k / k k P όταν k P όταν k P k k ( k ) L k L W W ( Pk ) ( Pk ) L L ( P 0 ) W ( Pk ) Ο πραγματικός μέσος ρυθμός αφίξεων (effective arrival rate) στο σύστημα είναι λ(-pk) επειδή είναι ίσος με: λ όταν < k 0 όταν = k οπότε Ε(λ) = λ (-Pk) + 0(Pk) = λ(-pk) Επίσης, ο πραγματικός βαθμός απασχόλησης είναι Ε(ρ) = (λ/μ)(-pk)+ (0/μ)(Pk) = ρ(-pk) Ένα αυτόματο πλυντήριο αυτοκινήτων μπορεί να δεχτεί μέχρι τέσσερα οχήματα στο χώρο αναμονής. Η διαδικασία αφίξεων τις ώρες αιχμής είναι Poio με μέση τιμή: λ=9 οχήματα ανά ώρα. Η διαδικασία εξυπηρέτησης είναι επίσης Poio με μέσο ρυθμό μ= οχήματα ανά ώρα. Να βρεθούν οι δείκτες απόδοσης του συστήματος

8 3 Παράδειγμα 8 (συνέχεια-) Η χωρητικότητα του συστήματος είναι k=4+= οχήματα 9 0. Παράδειγμα 8 (συνέχεια-) k 0. P k P k Παράδειγμα 8 (η κατανομή του πλήθους πελατών στο σύστημα ) Παράδειγμα 8 (συνέχεια-3) k ( k ) L k 0. ( ) οχήματα L L ( ).04 ( 0.49) 0.9 οχήματα Ο πραγματικός (effective) μέσος βαθμός απασχόλησης είναι: 0 ( Pk ) Pk ( Pk ) 0. ( 0.03) Οι πιθανότητες για =0,,, 3, 4, = > ώρες( λεπτά) W ( Pk ) 9( 0.03) W W ώρες( 8.3 λεπτά) Παράδειγμα 8 (αποτελέσματα στον Η/Υ) Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η ) Ας υποθέσουμε ότι ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης μειώνεται (π.χ. λόγω κάποιας βλάβης) σε: μ= οχήματα ανά ώρα. Η χωρητικότητα παραμένει k = και η διαδικασία αφίξεων τις ώρες αιχμής παραμένει Poio με μέση τιμή λ=9 οχήματα ανά ώρα. Να βρεθούν οι δείκτες απόδοσης του συστήματος (και να συγκριθούν με την προηγούμενη περίπτωση). Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η συνέχεια-) 9.8 Όμως, ο πραγματικός μέσος βαθμός απασχόλησης είναι ( Pk ).8 ( 0.479) Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η συνέχεια-) k.8 P P k Οι πιθανότητες για =0,,, 3, 4, = > Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η ) (η κατανομή του πλήθους πελατών στο σύστημα ) Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η συνέχεια-3) k ( k ) L k.8 () οχήματα L L ( ) 3.93 ( 0.043).9 οχήματα W ώρες( 3 λεπτά) ( P ) 9( 0.479) W W ώρες( 48 λεπτά) Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η - αποτελέσματα στον Η/Υ) Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η ) Ας υποθέσουμε ότι η χωρητικότητα της ουράς εκμηδενίζεται οπότε k =? Η διαδικασία αφίξεων τις ώρες αιχμής παραμένει Poio με μέση τιμή λ=9 οχήματα ανά ώρα Η διαδικασία εξυπηρέτησης είναι Poio με μ= οχήματα ανά ώρα Πρακτικά, ένας πελάτης που καταφθάνει και βρίσκει κάποιον ήδη να εξυπηρετείται, τότε αποχωρεί και δεν δημιουργείται ποτέ ουρά. Να βρεθούν οι δείκτες απόδοσης του συστήματος (και να συγκριθούν με την αρχική περίπτωση) Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η συνέχεια-) Οι πιθανότητες για =0, = > Παράδειγμα 8 (παραλλαγή η - αποτελέσματα στον Η/Υ) Το σύστημα Μ/Μ///Ν - Γενικό πλαίσιο Ισχύουν οι παραδοχές του συστήματος Μ/Μ/ εκτός από: Πηγή πελατών: πεπερασμένο πλήθος ατόμων (Ν) Ο μέσος ρυθμός άφιξης στο σύστημα (λ) επηρεάζεται από το πλήθος των ατόμων που είναι ήδη στο σύστημα () Η διαδικασία αφίξεων ακολουθεί κατανομή Poio με μέσο ρυθμό εμφάνισης (άφιξης) για κάθε πελάτη, ίσο με λ Ο πραγματικός ρυθμός αφίξεων εκμηδενίζεται όταν έχει αδειάσει η πηγή (δηλαδή λ = 0 για =N). Σύστημα Μ/Μ///Ν (συνέχεια-) Εφαρμογές: Συστήματα εσωτερικής εξυπηρέτησης (π.χ. βιομηχανικά συστήματα, συντήρηση μηχανών) Ο πραγματικός ρυθμός άφιξης επηρεάζεται από το πλήθος των πελατών που είναι ήδη μέσα στο σύστημα (δηλαδή, το ). Tο λ ορίζεται ως ο ρυθμός με τον οποίο κάθε πελάτης, από τους Ν διαθέσιμους στην πηγή, τείνει να (επαν)εμφανίζεται στην ουρά (π.χ. είναι ο ρυθμός με τον οποίο μία μηχανή παρουσιάζει βλάβες, οπότε υπάρχει ανάγκη για επιδιόρθωσή της). Γενικά, αν οι πελάτες μέσα στο σύστημα εξυπηρέτησης είναι (πλήθους), τότε ο συνολικός ρυθμός εμφάνισης των υπολοίπων που παραμένουν στην πηγή, είναι λ = (Ν - ) λ Το είναι και ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι το κλασικό μ

9 9 Παράδειγμα 9 Αν (π.χ.) Ν= μηχανές και = συνεργείο, όλες οι πιθανές καταστάσεις του συστήματος δίνονται στον ακόλουθο πίνακα: Με βλάβη (στο σύστημα Σε λειτουργία Μήκος ουράς Συνεργείο εξυπηρέτησης = ) (πηγή = N-) Καμία (0) Κενή (0) Αδρανές 4 Κενή (0) Ενεργό 3 Ενεργό 3 Ενεργό 4 3 Ενεργό Καμία (0) 4 Ενεργό λ 4λ 3λ λ λ μ μ μ μ μ /4 /3 3/ 4/ /0 Πηγή/Συνεργείο 0/ μ μ μ μ μ λ λ 3λ 4λ λ Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (Μ/Μ///Ν) N N! 0 ( N )! N! P όταν N ( N )! L N ( ) L P ) ( 0 P 0 P όταν N P N W ( N L) L W W ( N L) 30 Σύστημα Μ/Μ///Ν (συνέχεια-) Υπολογισμός του πραγματικού μέσου ρυθμού αφίξεων: λ=0 όταν =Ν, με πιθανότητα PN λ=λ όταν =Ν-, με πιθανότητα PN- λ=λ όταν =Ν-, με πιθανότητα PN-. λ= (Ν-)λ όταν =, με πιθανότητα P λ= (Ν-)λ όταν = με πιθανότητα P λ= Νλ όταν =0, με πιθανότητα δηλαδή, το λ είναι λ(ν-) Για να βρούμε τον πραγματικό μέσο ρυθμό αφίξεων στο σύστημα πρέπει να βρούμε τη μέση τιμή της παραπάνω τυχαίας μεταβλητής (δηλαδή, του λ) 3 Υπολογισμός του πραγματικού μέσου ρυθμού αφίξεων N 0 ( N ) P N P P 3 N 0 ( N L) Επίσης, ο πραγματικός βαθμός απασχόλησης της θέσης εξυπηρέτησης με βάση τις αφίξεις που εισέρχονται τελικά στο σύστημα είναι: ( N L) N 0 Παράδειγμα 0 Σε μία βιοτεχνία, η οποία λειτουργεί σε 4ωρη βάρδια επί πενθήμερο, ένας τεχνικός είναι υπεύθυνος για την επιδιόρθωση τεσσάρων -σχετικά παλαιών- μηχανών πλέξης. Κάθε μηχανή, λειτουργεί κατά μέσο όρο 0 ώρες πριν να χρειαστεί ρύθμιση, προγραμματισμό ή επισκευή και "εμφανίζεται" στο συνεργείο για το σκοπό αυτό, με διαδικασία Poio. Ο τεχνικός χρειάζεται κατά μέσο όρο ώρες για κάθε επισκευή (εκθετική κατανομή). Να υπολογιστούν οι δείκτες απόδοσης, με στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου το πενθήμερο (=0 ώρες) Παράδειγμα 0 (συνέχεια-) Θα χρησιμοποιήσουμε ως στοιχειώδη μονάδα χρόνου το πενθήμερο (=0 ώρες). Τότε, είναι: λ=0/0= (δύο, κατά μέσο όρο, αφίξεις μιας μηχανής ανά πενθήμερο) και μ=0/= 8 (οκτώ, κατά μέσο όρο, επιδιορθώσεις μηχανών ανά πενθήμερο από τον τεχνικό) Αν είχαμε χρησιμοποιήσει ως στοιχειώδη μονάδα χρόνου την ώρα, τότε: λ=/0 (/0 της μηχανής φθάνει ανά ώρα) και μ=/ (ο μηχανικός επιδιορθώνει με ρυθμό / μηχανής ανά ώρα) Παράδειγμα 0 (συνέχεια-) N 0 4 N! 4! 4!... 0 ( N )! (4 0)! 8 (4 4)! 8 P N N! 4! ( N )! 8 (4 4)! N Παράδειγμα 0 (συνέχεια-3) L Οι πιθανότητες για =0,,, 3, 4 = > 8 N ( ) 4 ( 0.307) 0.34 μηχανές L L ( ) 0.34 ( 0.307).47 μηχανές Παράδειγμα 0 (η κατανομή του πλήθους πελατών στο σύστημα ) Παράδειγμα 0 (συνέχεια -4) Παράδειγμα 0 (αποτελέσματα στον Η/Υ) Παράδειγμα W ( 0. day) ( N L) (4.47).4 W W (.7 day) 8 Σε μία βιοτεχνία, υπάρχουν όμοιες μηχανές που λειτουργούν κατά μέσο όρο 0 ώρες πριν να χρειαστούν κάποια ρύθμιση. Ένας τεχνικός χρειάζεται κατά μέσο όρο ώρες για να ρυθμίσει μία μηχανή. ( N L) (4.47) Υπολογίστε τους δείκτες απόδοσης με στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου τη μία ώρα Παράδειγμα (συνέχεια-) Χρησιμοποιώντας ως στοιχειώδη μονάδα χρόνου τη μία ώρα παίρνουμε: λ=/0 (/0 μηχανής φθάνει ανά ώρα) και μ=/ (ο μηχανικός επιδιορθώνει με ρυθμό / μηχανής ανά ώρα). Το πλήθος των πελατών στην πηγή είναι Ν= Οπότε: Παράδειγμα (αποτελέσματα στον Η/Υ) Παράδειγμα (συνέχεια-) Οι πιθανότητες για =0,,, 3, 4,, = > Παράδειγμα (η κατανομή του πλήθους πελατών στο σύστημα ) P ! 0.0! 0.0! ( 0)! 0. ( )! 0. ( )!

10 4 Το σύστημα Μ/G/ Γενικό Πλαίσιο Ισχύουν οι παραδοχές του συστήματος Μ/Μ/ εκτός από: Η διαδικασία εξυπηρέτησης δύναται να ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή (Geeral) Χρειαζόμαστε κάποια εκτίμηση για τη μέση τιμή του χρόνου εξυπηρέτησης δηλαδή για το (/μ) και για τη διακύμανσή του, δηλαδή για το σ. Για να μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι γνωστές σχέσεις που συνδέουν τα μέτρα λειτουργικότητας πρέπει να ισχύει ότι λ<μ. Βασικές σχέσεις για τους δείκτες απόδοσης (Μ/G/) ( ) Pollaczek Khichi Formula L L W L W W Παράδειγμα Σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης με =, ο μέσος χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε διαδοχικές αφίξεις είναι λεπτά (εκθετική κατανομή) ενώ από δειγματοληψία η οποία διενεργήθηκε, βρέθηκε ότι η εξυπηρέτηση χρειάζεται κατά μέσο όρο 7. λεπτά ανά πελάτη, με άγνωστη κατανομή. H διακύμανση του χρόνου εξυπηρέτησης προσεγγίστηκε από το παραπάνω δείγμα και βρέθηκε να είναι ίση με σ = /4 (ώρες ). Να υπολογιστούν οι δείκτες απόδοσης. Παράδειγμα (συνέχεια -) Αν θεωρήσουμε τη μία ώρα ως στοιχειώδη χρονική μονάδα, τότε: Μέσος ρυθμός άφιξης: λ=0/= πελάτες/ώρα Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης: μ=0/7.= 8 πελάτες/ώρα Παράδειγμα (συνέχεια-) Παράδειγμα (συνέχεια-3) Παράδειγμα (συνέχεια-4) Παράδειγμα (συνέχεια-) 8 L πελάτες ( ) 4 8 L L 40 πελάτες W 4 W W 4 ώρες(. λεπτά) ώρες( 0 λεπτά) Επειδή η εκτίμηση της διακύμανσης είναι: σ = /4 = /8 = /μ, ουσιαστικά, στο παράδειγμά μας, η μέση τιμή και η διακύμανση, συμπεριφέρονται όπως και της εκθετικής (χωρίς απαραίτητα να είναι πραγματικά η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης εκθετική). Έτσι, τα αριθμητικά αποτελέσματα είναι ισοδύναμα με το Μ/Μ/. Πράγματι, αν αντικαταστήσουμε στον τύπο για το το σ με /μ θα έχουμε: L ( ) ( ) Είναι δηλαδή, ο τύπος του μοντέλου Μ/Μ/ για το. Οπότε είναι αλήθεια ότι έχουμε αντίστοιχα αποτελέσματα με εκείνα του συστήματος Μ/Μ/, τουλάχιστον κατά προσέγγιση επειδή η μέση τιμή και η διασπορά συμπεριφέρονται έτσι. Οι υπόλοιποι δείκτες υπολογίζονται από τους γνωστούς τύπους για το Μ/Μ/ (διαφάνεια 39) Παράδειγμα (τα αποτελέσματα στον Η/Υ) Το σύστημα Μ/D/ - Γενικό πλαίσιο Αν στο σύστημα Μ/G/ υποθέσουμε επιπλέον ότι σ = 0, τότε έχουμε ένα σύστημα Μ/G/ με μηδενική μεταβλητότητα του χρόνου εξυπηρέτησης. Τέτοιες περιπτώσεις εμφανίζονται σε βιομηχανικά συστήματα (π.χ. σε σταθμούς εργασίας) όπου μία επαναλαμβανόμενη εργασία εκτελείται από κάποια μηχανή σε σταθερό χρόνο και αμελητέα, πρακτικά μηδενική, απόκλιση. Στην περίπτωση αυτή, ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι πάντα ίδιος (σταθερός) και δεν υπάρχει αβεβαιότητα ως προς τη διάρκεια της εξυπηρέτησης. Είναι η περίπτωση εκφυλισμένης (σταθερής) κατανομής χρόνου εξυπηρέτησης. Τότε, για σ = 0 έχουμε: L ( ) ( ) Παράδειγμα 3 Συνεχίζοντας με τα δεδομένα του Παραδείγματος και θέτοντας σ = 0, έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα για τους βασικούς δείκτες απόδοσης. 8 L ( ) 48 πελάτες 8 48 W 48 ώρες (=. λεπτά) Παράδειγμα 3 (συνέχεια-) L L πελάτες L 48 W 48 ώρες (=3.7 λεπτά) Παρατηρούμε, ότι οι δείκτες απόδοσης του M/D/ είναι καλύτεροι από εκείνους του M/G/ και του M/M/ με ίδιες παραμέτρους (λ και μ) αλλά με μη μηδενική τη διακύμανση του χρόνου εξυπηρέτησης. Π.χ. ένας πελάτης στο παρόν σύστημα θα παραμείνει κατά μέσο όρο. λεπτά στην ουρά, ενώ στο προηγούμενο θα παρέμενε. λεπτά. Επομένως, μείωση ή εκμηδενισμός της μεταβλητότητας του ρυθμού εξυπηρέτησης μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικές βελτιώσεις των δεικτών λειτουργικότητας Βελτιστοποίηση της δυναμικότητας Λήψη αποφάσεων αναφορικά με: το πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης () την αποτελεσματικότητα των θέσεων εξυπηρέτησης (μ) το πλήθος των συστημάτων εξυπηρέτησης (λ) Όλες οι αποφάσεις σχετίζονται με το γενικότερο ερώτημα: Ποιο είναι το κατάλληλο επίπεδο εξυπηρέτησης? Ειδικότερα, για το πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης () αναζητείται το βέλτιστο πλήθος τους, ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό προσδοκώμενο (αναμενόμενο, μέσο) μεταβλητό κόστος λειτουργίας του συστήματος, ανά μονάδα χρόνου. Στοιχεία λειτουργικού κόστους Κόστος (για την επιχείρηση) από την αναμονή των πελατών Κόστος για την παροχή εξυπηρέτησης (εγκατάσταση λειτουργία θέσεων εξυπηρέτησης, αδράνεια) Όταν αυξάνεται η δυναμικότητα του συστήματος () τότε μειώνεται ο μέσος χρόνος παραμονής των πελατών στο σύστημα με αποτέλεσμα να μειώνεται και το κόστος από την αναμονή των πελατών (έμμεσο κόστος). Αυξάνεται όμως το κόστος παροχής εξυπηρέτησης (άμεσο κόστος) Όταν μειώνεται η δυναμικότητα του συστήματος () τότε αυξάνεται ο μέσος χρόνος παραμονής των πελατών στο σύστημα οπότε αυξάνεται και το κόστος από την αναμονή των πελατών. Μειώνεται όμως το κόστος παροχής της εξυπηρέτησης Γραφική παράσταση του λειτουργικού κόστους ως προς το Κόστος Συνολικό προσδοκώμενο κόστος, TC Ελάχιστο κόστος Κόστος εξυπηρέτησης, SC Κόστος αναμονής, WC Βέλτιστη δυναμικότητα Δυναμικότητα συστήματος, 7 Υπάρχει σημείο ισορροπίας 9 Μερικά ακόμη στοιχεία για το κόστος αναμονής Εξωτερικοί πελάτες Εμπορικά συστήματα ή κερδοσκοπικές θέσεις εξυπηρέτησης διαφυγόντα κέρδη, χαμένες συναλλαγές, αξιοπιστία Κοινωνικά συστήματα ή μη κερδοσκοπικές θέσεις εξυπηρέτησης κοινωνικό κόστος Εσωτερικοί πελάτες Εμποροβιομηχανικά συστήματα χαμένη παραγωγική εκροή, νεκροί χρόνοι, αδράνεια πρώτων υλών, ημικατεργασμένων προϊόντων και κεφαλαιουχικού εξοπλισμού, ακινητοποίηση πόρων, καθυστερήσεις, ρήτρες κ.λπ

11 Διαμόρφωση συνάρτησης κόστους ως προς το TC: μέσο συνολικό μεταβλητό κόστος λειτουργίας (Total Cot) WC: μέσο κόστος αναμονής των πελατών (Waitig Cot) SC: μέσο κόστος παροχής εξυπηρέτησης (Service Cot) Τότε: TC = WC + SC, οπότε ο στόχος είναι : Miimize TC cw: κόστος αναμονής ενός πελάτη ανά μονάδα χρόνου c: κόστος εξυπηρέτησης από μία θέση στη μονάδα του χρόνου όπου WC = cw W λ = cw L SC = c Παράδειγμα 4 Μια εταιρεία εφοδιαστικής και διανομών διαθέτει μεγάλο στόλο οχημάτων τα οποία τις ώρες αιχμής καταφθάνουν στην κεντρική αποθήκη για φορτοεκφόρτωση, με ρυθμό οχήματα ανά ώρα (διαδικασία Poio). Στην αποθήκη υπάρχουν ομοιόμορφα συνεργεία φορτοεκφορτωτών καθένα από τα οποία είναι σε θέση να εξυπηρετήσει ένα όχημα κατά μέσο όρο σε λεπτά (εκθετική κατανομή). Το ωριαίο κόστος εργασίας ενός συνεργείου ανέρχεται στα 0 ευρώ ανά ώρα ενώ το κόστος που αφορά τον αδρανή οδηγό και το όχημά του ανέρχεται στα 4 ευρώ ανά ώρα. Ποιο είναι το άριστο πλήθος συνεργείων? Παράδειγμα 4 (συνέχεια-) Ο μέσος ρυθμός αφίξεων είναι: λ= οχήματα/ώρα Ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι: μ=0/ = οχήματα/ώρα. Είναι ένα σύστημα M/M/ με πλήθος θέσεων που πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσο με 4 (). Διαδικασία: Για κάθε πιθανή (ακέραια) τιμή του, υπολογίζουμε από το σχετικό τύπο για το Μ/Μ/, το, και στη συνέχεια το L. Κατόπιν, υπολογίζουμε το συνολικό μεταβλητό ωραίο κόστος. Συγκρίνουμε τις διαδοχικές τιμές ώστε να βρούμε το βέλτιστο. Σύστημα Μ/Μ/S ( / ) ( / ) 0!! L P 0 ( )!( ) L L Παράδειγμα 4 (συνέχεια-) Πίνακας υπολογισμών L SC WC TC Παράδειγμα 4 (υπολογισμοί κόστους στον Η/Υ) Παράδειγμα 4 (υπολογισμοί για την άριστη λύση =) Παράδειγμα 4 (συνέχεια για την άριστη λύση =) Οι πιθανότητες για =0,,,, 9 = > = = = = = Ποιοι από τους παραπάνω υπολογισμούς δεν έπρεπε να γίνουν? Παράδειγμα 4 (η κατανομή του πλήθους πελατών στο σύστημα ) Παράδειγμα Η εταιρεία ενοικίασης αυτοκινήτων «Speedy» επιθυμεί να προσλάβει ένα στέλεχος για να εργάζεται τις αργίες. Θα απασχολείται επί εξάωρο, αποκλειστικά τις ημέρες αυτές. Ενδιαφέρονται τρεις υποψήφιες, η Αντωνία, η Βασιλική και η Γιάννα, καθεμία από τις οποίες έχει εμπειρία ανάλογης εργασίας. Ο υπεύθυνος προσωπικού, απασχόλησε κάθε υποψήφια για μία δοκιμαστική περίοδο, συνέλεξε δεδομένα σχετικά με την απόδοσή τους και διαπίστωσε ότι και οι τρεις υποψήφιες ακολουθούν εκθετική κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης, με μέσο χρόνο λεπτά για την Αντωνία, λεπτά για τη Βασιλική και λεπτά για την Γιάννα. Το συνολικό κόστος εργασίας των υποψηφίων για ένα εξάωρο είναι ανάλογο της εμπειρίας τους και ανέρχεται σε 90 ευρώ για την Αντωνία, 4 ευρώ για τη Βασιλική και 0 ευρώ για τη Γιάννα. Ο ρυθμός αφίξεων στο κατάστημα τις αργίες είναι συνήθως 7 πελάτες ανά δίωρο, (κατανομή Poio). Το κόστος για την επιχείρηση από την παραμονή ενός πελάτη στο σύστημα εκτιμήθηκε στα 0 ευρώ ανά ώρα. Ποια υποψήφια θα προσληφθεί με βάση το κριτήριο του ωριαίου κόστους? Παράδειγμα (συνέχεια-) Δεδομένα Υποψήφια Ρυθμός εξυπηρέτησης Ωριαίο κόστος εργασίας c μ (πελάτες/ώρα) (ευρώ) Α 0 / = / = Β 0 / = 4 / = 9 Γ 0 / = / = Σύγκριση τριών συστημάτων Μ/Μ/ τα οποία, ενώ έχουν ίδιο ρυθμό αφίξεων λ=3. άτομα ανά ώρα, διαφέρουν στο ρυθμό εξυπηρέτησης καθώς και στο κόστος παροχής της εξυπηρέτησης. Υπολογίζουμε για κάθε υποψήφια τους δείκτες και το προσδοκώμενο κόστος λειτουργίας. Σύστημα Μ/Μ/ L / ρ = λ / μ = λ / μ (=L για το μοντέλο αυτό όπου =) L ( ) L L L W ( ) L W W P 0 P k P k Παράδειγμα (Αντωνία) Παράδειγμα (Βασιλική) Παράδειγμα (Γιάννα) Παράδειγμα (σύνοψη) Αντωνία Βασιλική Γιάννα Δείκτης (λ=3., μ=3.7) (λ=3., μ=) (λ=3., μ=.44) (πελάτες) L (πελάτες) W (ώρες) W (ώρες) % 30% 3.83% Pwait = (-) % 70% 4.7% WC=cwL 0 4= = =7.9 SC=c 9 TC =WC + SC

12 77 Παράδειγμα (συμπεράσματα - ) Κατ'αρχήν απορρίπτεται η Αντωνία αφού απέχει κατά πολύ από τις υπόλοιπες υποψήφιες και ως προς τους λειτουργικούς δείκτες και ως προς το συνολικό κόστος. Με βάση το ωριαίο λειτουργικό κόστος επιλέγεται η Βασιλική (4.33<4.9). Όμως, η διαφορά σε σχέση με τη Γιάννα είναι μόλις, 0.7 ευρώ/ώρα, (εφόσον οι εκτιμήσεις είναι σχετικά ακριβείς). Συνολικά, ανά εξάωρο η εξοικονόμηση ανέρχεται μόλις στα 3.4 ευρώ αν προσληφθεί η Β έναντι της Γ. Παράδειγμα (συμπεράσματα - ) Υπάρχουν και οι δείκτες απόδοσης, οι οποίοι για τη Γιάννα είναι όλοι καλύτεροι. Π.χ, ο μέσος χρόνος αναμονής των πελατών με τη Βασιλική είναι 8 λεπτά (=0.40) ενώ με τη Γιάννα είναι 9.7 λεπτά (= ) δηλαδή 30% καλύτερος. Επομένως, και τα στοιχεία αυτά πρέπει να ληφθούν υπόψη για την τελική απόφαση. Τέλος, αλλά καθόλου ελάχιστο, ακόμη και αν προσληφθεί η Γιάννα, ο καλύτερος μέσος χρόνος αναμονής είναι σχεδόν 0 λεπτά και ο χρόνος συνολικής παραμονής, πάνω από 30 λεπτά (0. ώρες). Εσείς, θα ήσασταν ευχαριστημένοι ως πελάτες Παράδειγμα Μία βιοτεχνία ασχολείται με εποχιακά καλοκαιρινά προϊόντα και διαθέτει 0 μηχανές επεξεργασίας πλαστικής ύλης για το σκοπό αυτό. Κάθε μηχανή εμφανίζει, κατά μέσο όρο, κάποια βλάβη κάθε 0 ημέρες (εκθετική κατανομή). Υπάρχει ένα τεχνικό συνεργείο, το οποίο χρειάζεται κατά μέσο όρο ημέρες για να επιδιορθώσει μία βλάβη. Το ημερήσιο κόστος εργασίας ανέρχεται στα 70 ευρώ. Όταν υπάρχουν χαλασμένες μηχανές, τα διαφυγόντα κέρδη από ποινικές ρήτρες λόγω καθυστέρησης κάλυψης παραγγελιών και από τη μείωση της αξιοπιστίας της επιχείρησης, εκτιμώνται σε 00 ευρώ ημερησίως ανά μηχανή εκτός λειτουργίας. Να υπολογιστεί το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος και οι βασικοί δείκτες απόδοσης (μονάδα χρόνου η μία ημέρα). Στη συνέχεια, να υπολογιστούν τα ίδια στοιχεία, αν καταφέρουμε να βελτιώσουμε την παραγωγικότητα του συνεργείου κατά 0% με την χορήγηση επιδόματος παραγωγικότητας αντίστοιχης αξίας. Παράδειγμα (συνέχεια-) : Πρόκειται για ένα σύστημα Μ/Μ///Ν όπου Ν=0. Αν θεωρήσουμε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου την ημέρα, τότε: Μέσος ρυθμός εμφάνισης βλάβης μηχανής: λ=/0 (/0 μηχανής εμφανίζεται ανά ημέρα για επιδιόρθωση). Μέσος ρυθμός επιδιόρθωσης: μ=/ (/ μηχανής επιδιορθώνεται ανά ημέρα). Κόστος αναμονής: cw= 00 ευρώ/ημέρα (ανά μηχανή) Κόστος Εξυπηρέτησης: c = 70 ευρώ ημερησίως. Χρησιμοποιώντας τις γνωστές σχέσεις για το σύστημα Μ/Μ///Ν (διαφάνεια 8) για Ν=0, υπολογίζουμε το L και στη συνέχεια το συνολικό κόστος Παράδειγμα (συνέχεια-) 0 0 N N! 0! 0.0 0! ( N )! (00)! 0. (00)! Παράδειγμα (αποτελέσματα στον Η/Υ) Παράδειγμα (συνέχεια-3) Οι πιθανότητες για =0,,,, 0 = > Παράδειγμα (η κατανομή του πλήθους πελατών στο σύστημα -- ) L N ( ) 0 ( 0.48) L ( ).304 ( 0.48).48 WC = = 4.8 και SC = 70 = 70 TC = WC + SC = = Παράδειγμα (παραλλαγή) (0% βελτίωση παραγωγικότητας - 0% αύξηση κόστους εργασίας) Παράδειγμα 7 Στο κατάστημα ψυχαγωγίας «Αρένα», το πιο δημοφιλές παιγνίδι εικονικής πραγματικότητας είναι το «Lot Of Laugh ver.3.07» το οποίο διαρκεί ακριβώς τρία λεπτά και κοστίζει ευρώ τη φορά. Οι πελάτες καταφθάνουν με εκθετική κατανομή του χρόνου μεταξύ διαδοχικών αφίξεων με μέση τιμή λεπτά και περιμένουν τη σειρά τους δημιουργώντας μία ουρά αναμονής. Λόγω της μεγάλης ζήτησης, η διεύθυνση του καταστήματος δεν επιτρέπει να παίξει κανείς δύο συνεχόμενες φορές. Το κόστος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα είναι 0. ευρώ το λεπτό, και το κόστος εξυπηρέτησης είναι 0. ευρώ το λεπτό. Υπολογίστε τους δείκτες λειτουργικότητας και το προσδοκώμενο περιθώριο κέρδους της επιχείρησης από το συγκεκριμένο παιγνίδι, όταν η μονάδα του χρόνου είναι το ένα λεπτό. Παράδειγμα 8 Ένα σχολείο διαθέτει τρία λεωφορεία για τη μεταφορά των μαθητών και του προσωπικού. Το διοικητικό συμβούλιο του σχολείου προσέλαβε έναν μηχανικό για να τα συντηρεί. Ένα όχημα χρειάζεται κάποια συντήρηση, κατά μέσο όρο, κάθε 0 εργάσιμες ημέρες (διαδικασία Poio). Η συντήρηση απαιτεί κατά μέσο όρο τέσσερις εργάσιμες ημέρες (εκθετική κατανομή). Το ημερήσιο κόστος εργασίας για τον τεχνικό είναι 00 ευρώ ενώ το κόστος ενός λεωφορείου το οποίο δεν εκτελεί δρομολόγια διότι είναι στο σύστημα συντήρησης, είναι ίσο με 00 ευρώ ημερησίως. Με μονάδα μέτρησης του χρόνου την μία ημέρα, να υπολογίσετε, σε κατάσταση ισορροπίας, τους βασικούς δείκτες απόδοσης και τις πιθανότητες να βρίσκονται λεωφορεία στο τμήμα συντήρησης, για όλες τις τιμές του. Πόσα λεωφορεία είναι σε λειτουργία κατά μέσο όρο και πόσο είναι τελικά το συνολικό αναμενόμενο ημερήσιο κόστος λειτουργίας του συστήματος αυτού; Παράδειγμα 9 Το τμήμα διεκπεραίωσης παραγγελιών ενός ηλεκτρονικού καταστήματος λειτουργεί σε συνεχή βάση και στελεχώνεται από άτομα. Κάθε λεπτό καταφθάνει κατά μέσο όρο ένα αίτημα παραγγελίας μέσω του ηλεκτρονικού συστήματος (κατανομή Poio). Ένας από τους εξυπηρετητές χρειάζεται κατά μέσο όρο 0 λεπτά για να ολοκληρώσει τις διαδικασίες ελέγχου και προετοιμασίας της παραγγελίας για αποστολή (εκθετική κατανομή). Το κόστος εργασίας ενός εξυπηρετητή ανέρχεται σε 0 χ.μ. το λεπτό ενώ το κόστος από την παραμονή μίας παραγγελίας στο σύστημα ανέρχεται σε χ.μ. το λεπτό. Mε στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου το λεπτό υπολογίστε τα εξής: (α) πόσες παραγγελίες περιμένουν, κατά μέσο όρο, για να διεκπεραιωθούν (β) πόσο χρόνο, κατά μέσο όρο, χρειάζεται μία παραγγελία μέχρι να είναι έτοιμη προς αποστολή (γ) την πιθανότητα μία παραγγελία να περιμένει (δ) το αναμενόμενο κόστος λειτουργίας ανά λεπτό. Δίνεται : = 0,