Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας
|
|
- Τρύφαινα Βιτάλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθμοι Δρομολόγησης Γ. Κορμέντζας
2 Δρομολόγηση Περιεχόμενα Διαδικασίες δρομολόγησης Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Σχεδιασμός γραμμών πολλαπλών σημείων Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης με περιορισμούς 2
3 Στόχος Δρομολόγηση Λήψη απόφασης για τον τρόπο μεταφοράς απαιτήσεων κυκλοφορίας στο δίκτυο Υπάρχουν περισσότερα από ένα μονοπάτια για την εξυπηρέτηση της ανάγκης Υπάρχει πληροφορία για: Tοπολογία Χωρητικότητες κόμβων Κόστη γραμμών μετάδοσης Καθυστέρηση, απώλεια, κοκ Επιλογή με βάση κριτήρια απόδοσης 3
4 Δρομολόγηση Διαδικασίες Δρομολόγησης Πλημμύρα flooding Κάθε κόμβος στέλνει αντίγραφο πακέτου που έλαβε σε όλους τους γείτονες Δεν είναι ανάγκη ο κόμβος να γνωρίζει την τοπολογία δικτύου Περιορισμός αέναης κυκλοφορίας του ίδιου πακέτου στο δίκτυο Time-to-live (χρόνος ζωής μετρητής βημάτων). Καταγραφή του αριθμού του πακέτου που έχει ληφθεί. Πλεονεκτήματα Όχι ανάγκη αλλαγής πληροφοριών κατάστασης. Απλότητα και ταχύτητα. Μειονέκτημα Διπλότυπα πακέτα σπατάλη πόρων. 4
5 Δρομολόγηση Διαδικασίες Δρομολόγησης Ρητή δρομολόγηση Εκ των προτέρων ορισμός διαδρομής για κάθε ζεύγος προορισμού αφετηρίας Διαφορετικές διαδρομές για διαφορετικά είδη κίνησης Δεν είναι ανάγκη ο κόμβος να γνωρίζει την τοπολογία δικτύου Πλεονεκτήματα Όχι ανάγκη αλλαγής πληροφοριών κατάστασης Απλότητα και ταχύτητα Μειονέκτημα Διαχείριση σε μεγάλης κλίμακας δίκτυα 5
6 Διαδικασίες Δρομολόγησης Δρομολόγηση Στατική δρομολόγηση συντομότερου μονοπατιού Κάθε ζεύξη και κόμβος χαρακτηρίζονται από μήκος ή κόστος Συνήθως αναλλοίωτα στο χρόνο Για ανάθεση ετικέτας κόστους (D j ) στον κόμβο j από τον i υπολογίζεται η D j = D i + L i + L ij D i : μήκος μονοπατιού μέχρι κόμβο i L i : κόστος κόμβου i L ij : μήκος ζεύξης από i σε j Αν όλες οι ζεύξεις έχουν τιμή κόστους 1, τότε δρομολόγηση ελάχιστων βημάτων Αν οι ζεύξεις έχουν τιμή κόστους, τότε δρομολόγηση ελάχιστου κόστους 6
7 Δρομολόγηση Διαδικασίες Δρομολόγησης Προσαρμοστική δρομολόγηση Αντιμετώπιση συμφόρησης και βλαβών Το κόστος (μήκος) ζεύξεων και κόμβων αυξάνει με τον κορεσμό Διάχυση πληροφορίας συμφόρησης πολλές φορές αδύνατη Η προσαρμοστική δρομολόγηση κατευθύνει κίνηση εκτός των κορεσμένων μονοπατιών. Αν η εικόνα που συντηρούν οι κόμβοι δικτύου είναι παρωχημένη τότε μη αποτελεσματική δρομολόγηση Ταλάντωση συμφόρησης Διαμόρφωση βρόχων Κατάρρευση δικτύου 7
8 Δρομολόγηση Διαδικασίες Δρομολόγησης Κατανεμημένη δρομολόγηση Προσαρμοστική δρομολόγηση που υλοποιείται κατανεμημένα Κάθε κόμβος αποφασίζει για τη ζεύξη στην οποία θα προωθήσει το μήνυμα next hop Η διαδικασία επαναλαμβάνεται από όλους τους κόμβους μέχρι το μήνυμα να φθάσει στον προορισμό Απαιτεί συντονισμό μεταξύ κόμβων, εισάγει καθυστερήσεις, και επιβαρύνσεις στους κόμβους 8
9 Δρομολόγηση Κατανεμημένη δρομολόγηση - Διαδικασία Κάθε κόμβος ενημερώνει πίνακα αποστάσεων (κόστους) προς κάθε κατεύθυνση (δηλ. προς όλους του άλλους κόμβους) του δικτύου (1 η στήλη), μέσω κάθε κλάδου με τον οποίο είναι συνδεδεσμένος (1 η γραμμή). Αρχικά γνωρίζει το κόστος των κλάδων με τους οποίους είναι συνδεδεσμένος. Ο κόμβος Β δημιουργεί τον ακόλουθο πίνακα αποστάσεων προς τις κατευθύνσεις Α, Γ, Δ, (1 η στήλη) μέσω των γειτονικών κόμβων (με τους οποίους είναι συνδεδεμένος) Α, Γ (1 η γραμμή). Αρχικά γνωρίζει τα στοιχεία: (Α,Α)=4 και (Γ,Γ)=1. (Στα υπόλοιπα θέτει ) κ α τ ε ύ θ υ ν σ η μέσω Β Α Γ Α 4 Γ 6 Δ Παράδειγμα 9
10 Δρομολόγηση Κατανεμημένη δρομολόγηση - Διαδικασία (συνέχεια) Μαθαίνει το κόστος προς μία κατεύθυνση, ρωτώντας κάθε γειτονικό του κόμβο, τι ελάχιστο κόστος βλέπει (ο γείτονάς του) προς την κατεύθυνση. Έτσι, συμπληρώνει τον πίνακα των αποστάσεων (κόστους) που βλέπει ο ίδιος προς κάθε κατεύθυνση, και βρίσκει το ελάχιστο κόστος προς την κάθε κατεύθυνση. Ενημερώνει (στέλνει μήνυμα) τους γειτονικούς κόμβους για το ελάχιστο κόστος που βλέπει. Δημιουργεί τον πίνακα δρομολόγησης, ο οποίος δείχνει μέσω ποιου κόμβου θα φθάσει με ελάχιστο κόστος την κάθε κατεύθυνση και το ελάχιστος κόστος. Η επικοινωνία με τους γειτονικούς κόμβους δεν σταματάει ποτέ. 10
11 Δρομολόγηση Κατανεμημένη δρομολόγηση - Παράδειγμα Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Β 4 Γ 1 Δ 2 Β Α Γ Β Α Γ Α 4 Γ 6 Δ Α 4 7 Γ 5 6 Δ 6 7 Β Γ Δ Γ Α Β Δ Γ Α Β Δ Α 1 Β 6 Δ 1 Α Δρομολόγηση Β Β,4 Γ Γ,1 Δ Δ,2 Β Δρομολόγηση Α Α,4 Γ Γ,5 Δ Α,6 Α Β Δ Δ Α Γ Δ Α Γ Α 2 Β Γ 1 Γ Δρομολόγηση Α Α,1 Β Α,5 Δ Δ,1 Α 2 2 Β 6 6 Γ 3 1 Δ Δρομολόγηση Α Α,2 Β Α,6 Γ Γ,1 11
12 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Ροές Δικτύων Διατύπωση του προβλήματος Να προσδιορισθούν οι ροές f ij από τον κόμβο i (αφετηρία s) στον κόμβο j (προορισμός d), που ικανοποιούν τους περιορισμούς του δικτύου: Συνολική εξερχόμενη ροή Απαίτηση μεταφοράς Συνολική εισερχόμενη ροή Απαίτηση μεταφοράς Συνθήκη συντήρησης ροής Επίλυση του προβλήματος: Αλγόριθμος Ford-Fulkerson 12
13 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Προσδιορίζει την μέγιστη ροή από τον κόμβο αφετηρία s προς τον κόμβο προορισμού d. Συγκεκριμένα, προσδιορίζει μονοπάτια s-d (από αφετηρία σε προορισμό) και στέλνει μέσω αυτών όση περισσότερη ροή γίνεται χωρίς να υπερβαίνει τους περιορισμούς της χωρητικότητας. Θεώρημα Μέγιστης Ροής - Ελάχιστης Τομής (max flow - minimum cut) των Ford-Fulkerson: Η μέγιστη ροή S-D (από την αφετηρία προς τον προορισμό) είναι ακριβώς ίση με τη χωρητικότητα της ελάχιστης τομής του δικτύου μεταξύ S-D. 13
14 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Ο αλγόριθμος έχει δύο τμήματα: Ρουτίνα Α και Β Η Α αναθέτει ετικέτες και ερευνά για μονοπάτι επαύξησης ροής από αφετηρία s σε προορισμό d για το οποίο ισχύει f < c για όλες τις ακμές προς τον προορισμό (forward arcs) και f > 0 σε όλες τις ακμές αντίθετης κατεύθυνσης (backward arcs) Εάν η ρουτίνα A εντοπίσει μονοπάτι επαύξησης ροής, η Ρουτίνα Β μεταβάλλει τη ροή αντίστοιχα. Διαφορετικά η τρέχουσα ροή είναι βέλτιστη Αρχικά επιλέγεται εφικτή ροή (π.χ., f=0). Ένας κόμβος βρίσκεται σε μία από τρεις καταστάσεις: χωρίς ετικέτα, ελεγμένος με ετικέτα, μη- ελεγμένος με ετικέτα. Αρχικά όλοι οι κόμβοι είναι χωρίς ετικέτα 14
15 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson: Ρουτίνα Α Αρχικά η αφετηρία παίρνει την ετικέτα (-,ε(s)= ). Γενικό βήμα: Επιλογή κόμβου x μη-ελεγμένο με ετικέτα. Η ετικέτα του είναι η (z±,ε(x)). Σε όλους τους διάδοχους κόμβους (χωρίς ετικέτα), y, όπου ισχύει η συνθήκη f(x, y) < c(x, y), ανατίθενται οι ετικέτες (x+, ε(y)) όπου: ε(y) = min(ε(x), c(x, y) - f(x, y)) Οι κόμβοι αυτοί θεωρούνται με ετικέτα και μη ελεγμένοι. Για όλους τους πρόδρομους κόμβους (χωρίς ετικέτα), y, όπου ισχύει f(y, x) > 0, ανατίθενται οι ετικέτες (x-, ε(y)), όπου: ε(y) = min(ε(x), f(y, x)) Οι κόμβοι y θεωρούνται πλέον με ετικέτα και μη ελεγμένοι. Πλέον ο κόμβος x θεωρείται με ετικέτα και ελεγμένος. Το γενικό βήμα επαναλαμβάνεται μέχρι να ανατεθεί ετικέτα στον προορισμό και να είναι μη-ελεγμένος ή να μην είναι δυνατόν να εκχωρηθούν νέες ετικέτες. 15
16 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson: Ρουτίνα Β (αλλαγής ροής) Ο προορισμός έχει λάβει την ετικέτα (y±, ε(t)). Εάν το πρώτο σκέλος της ετικέτας είναι y+, η τιμή f(y,t) αντικαθίσταται με την τιμή f(y,t)+ε(t) διαφορετικά η τιμή f(t,y) αντικαθίσταται με την τιμή f(t,y)-ε(t). Στη συνέχεια, ο κόμβος y θα αντιμετωπιστεί με τον ίδιο τρόπο: εάν η ετικέτα του είναι (x+, ε(y)) η τιμή f(x, y) αντικαθίσταται με την f(x, y) + ε(t). Εάν η ετικέτα είναι (x-, ε(y)) η τιμή f(y, x) αντικαθίσταται με την f(y, x) - ε(t). Και στις δύο περιπτώσεις, θα συνεχιστεί η εκτέλεση του αλγορίθμου στον κόμβο x και μέχρι να φτάσει στην αφετηρία. Τότε θα πρέπει να απορριφθούν όλες οι ετικέτες και να ενεργοποιηθεί η ρουτίνα Α. 16
17 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Παράδειγμα χ χωρητικότητα (c(x,y)=3) καθώς και ροή (f(x,y)=0) Η αρχική ροή στέλνει μία μονάδα ροής από το μονοπάτι (s, x, y, t). 17
18 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Παράδειγμα χ χ Η πρώτη εκτέλεση της Ρουτίνας Α προσδιορίζει ένα μονοπάτι επαύξησης ροής με τις ετικέτες που φαίνονται στο σχήμα Μετά το 2 ο βήμα της Α 18
19 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Παράδειγμα χ εκτελείται η Ρουτίνα Β, προσδιορίζοντας εκ νέου τις ροές χ Μετά το 3 ο βήμα της Α Ρουτίνα Β - Προσδιορισμός ροών 19
20 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Παράδειγμα χ Στο σχήμα φαίνεται ότι η ροή μπορεί να αυξηθεί κατά μία μονάδα (=ε(t)) κατά μήκος του επαυξητικού μονοπατιού (s, (y, x), t). Εκτελείται και πάλι η Ρουτίνα Α δίνοντας τις ετικέτες που φαίνονται στο Σχήμα. 20
21 Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Παράδειγμα Κατά την εφαρμογή του αλγορίθμου αντίστροφα, από τον προορισμό, το μονοπάτι διασχίζει την ακμή (x, t), οπότε η ροή του αυξάνεται κατά 1 (η ποσότητα f(x,t) γίνεται 2). Η επικεφαλίδα στο κόμβο x υποδεικνύει τη διάσχιση της ακμής (x,y) με κατεύθυνση προς τα πίσω, οπότε η ροή της μειώνεται κατά 1 (η ποσότητα f(x,y) γίνεται 0). Στην συνέχεια, η ετικέτα του κόμβου y, μας υποδεικνύει ότι το μονοπάτι επαύξησης ροής διασχίζει την ακμή (s,y) με κατεύθυνση προς τα εμπρός, οπότε η ροή του αυξάνεται κατά 1 (η ποσότητα f(s,y) γίνεται 2). Εφόσον, ο αλγόριθμος έφτασε στην αφετηρία, τερματίζεται η εκτέλεση της Ρουτίνας Β και εκτελείται πάλι η Ρουτίνα Α, όπου δεν εντοπίζεται μονοπάτι επαύξησης ροής και ο αλγόριθμος τερματίζεται. χ 21
22 Αλγόριθμος Ford-Fulkerson
23 Demo vxs
24
25
26
27
28
29
30
31 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Δέντρων σε Γράφους Πώς εντοπίζω δένδρα σε ένα γράφο; Γιατί πρέπει να εντοπίσω δένδρα; Αποτελούν ελάχιστες (minimal) μορφές δικτύων Παρέχουν συνδεσιμότητα χωρίς πλεονάζοντες συνδέσμους Παρέχοντας ένα και μοναδικό μονοπάτι μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων, εξαλείφουν την ανάγκη δρομολόγησης Ο σχεδιασμός ενός δικτύου, σχεδόν πάντα, ξεκινάει με ένα δέντρο 31
32 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Δέντρων σε Γράφους Μέθοδοι διάσχισης: Δοθέντος ενός δέντρου είναι συχνά αναγκαία η επίσκεψη όλων των κόμβων του αναζήτηση με προτεραιότητα πλάτους (Breadth First Search). επισκέπτεται πρώτα τους κόμβους που βρίσκονται κοντά στη ρίζα αναζήτηση με προτεραιότητα βάθους (Depth First Search) η σειρά επίσκεψης είναι η ακόλουθη: A, B, E, F, I, J, K, L, C, D, G, H 32
33 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Ελάχιστων Δέντρων σε Γράφους Άπληστος Αλγόριθμος: σε κάθε βήμα του επιλέγουμε την ακμή με το μικρότερο μήκος Μυωπικός Αλγόριθμοι Prim και Kruskal Αλγόριθμος Kruskal ταξινομεί τις ακμές του γράφου σύμφωνα με το βάρος τους επιλέγει αυτήν με το μικρότερο βάρος συμπεριλαμβάνει τις ακμές που δεν έχουν ήδη επιλεγεί και δεν διαμορφώνουν κύκλο με τις υπόλοιπες ακμές του ελάχιστου δέντρου επικάλυψης 33
34 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Ελάχιστων Δέντρων σε Γράφους Αλγόριθμος Kruskal 1. Αρχικά ορίζει ένα κενό σύνολο ακμών T 2. Ορίζει ένα σύνολο συστατικών C (ένα δάσος από δέντρα) 3. Εξετάζει όλες τις ακμές στο σύνολο των ακμών του γράφου (E) ταξινομώντας αυτές σύμφωνα με το βάρος τους δηλαδή η ακμή με το μικρότερο βάρος πρώτη 4. Εάν μία ακμή συνδέει δύο ασύνδετα συστατικά του C, τότε προστίθεται στο Τ. Εάν μία ακμή δεν συνδέει δύο ασύνδετα συστατικά του C τότε απορρίπτεται. 5. Τα βήματα 3 και 4 επαναλαμβάνονται μέχρι το C να περιέχει μόνο ένα συστατικό 34
35 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Ελάχιστων Δέντρων σε Γράφους Αλγόριθμος Kruskal 3ο βήμα, ταξινόμηση των ακμών σύμφωνα με το βάρος Ακμή Βάρος (1,2) 1 (2,3) 2 (4,5) 3 (6,7) 3 (1,4) 4 (2,5) 4 (4,7) 4 (3,5) 5 (2,4) 6 (3,6) 6 (5,7) 7 (5,6) 8 35
36 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Ελάχιστων Δέντρων σε Γράφους Αλγόριθμος Kruskal 4ο βήμα, στο Τ προστίθενται οι ακμές χαμηλότερου βάρους οι οποίες όμως δεν προκαλούν την εμφάνιση κυκλώματος. Με επανάληψη Το δέντρο Τ διαμορφώνεται όπως φαίνεται δίπλα με τη σειρά προσθήκης ακμών. (1,2) (2,3) (4,5) (6,7) (1,4) (4,7) 36
37 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Ελάχιστων Δέντρων σε Γράφους Αλγόριθμος Prim: ξεκινάει από μία κορυφή και αναπτύσσει το υπόλοιπο του δέντρου με την προσθήκη μίας ακμής σε κάθε βήμα Διαμορφώνει ένα δέντρο με μοναδική κορυφή επιλέγεται τυχαία από τον γράφο. Δημιουργεί ένα σύνολο που περιέχει όλες τις ακμές του γράφου Επαναλαμβάνει (loop) τις παρακάτω ενέργειες όσο υπάρχουν κορυφές εκτός δέντρου ή η κάθε ακμή στο άνω σύνολο να συνδέει δύο ακμές του δέντρου Αφαίρεση μίας ακμής ελαχίστου κόστους από το σύνολο η οποία συνδέει μία κορυφή του δέντρου με μία κορυφή εκτός δέντρου. Προσθήκη της ακμής (και της κορυφής) στο δέντρο 37
38 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Εντοπισμός Ελάχιστων Δέντρων σε Γράφους Σύγκριση Prim vs Kruskal: Ο Kruskal θα επέλεγε την (A, C), την (B, D), την (C, E), θα απέρριπτε την (A, E) επειδή οδηγούσε σε κύκλο με την (A, C) και την (C, E) που έχουν ήδη επιλεγεί, θα επέλεγε την (A, B) και στη συνέχεια θα σταματούσε γιατί είχε ολοκληρώσει τον υπολογισμό ενός πλήρους ελάχιστου δέντρου επικάλυψης O Prim, αν ξεκινούσε από τον κόμβο Α, θα τον θεωρούσε κόμβο του δέντρου, και στη συνέχεια θα συμπεριλάμβανε τους C, E, B και D ο Prim επιστρέφει το ίδιο δέντρο με τον Kruskal οι ακμές επιλέγονται με διαφορετική σειρά. 38
39 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού (Shortest Path) επιδιώκεται ο προσδιορισμός του πλέον σύντομου, φθηνότερου ή αξιόπιστου μονοπατιού μεταξύ ενός ή περισσοτέρων ζευγών κόμβων σε ένα δίκτυο διαφοροποιείται από το πρόβλημα εύρεσης του ελαχίστου δέντρου επικάλυψης το πρώτο προσπαθεί να προσδιορίσει το φθηνότερο μονοπάτι μεταξύ κάποιων κόμβων το δεύτερο αναφέρεται στο φθηνότερο μονοπάτι το οποίο συνδέει όλους τους κόμβους του δικτύου 39
40 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Εξετάζεται ένας κατευθυντικός γράφος G=(V,E) Η κάθε ακμή e που ανήκει στο E, έχει ένα βάρος c e. κόστος, χρονική επιβάρυνση, απώλειες, κ.α. Για ένα ζεύγος κόμβων, u 1 και u k, το βάρος ενός μονοπατιού P=u 1 e 1 u 2 e 2...u k 1 e k 1, όπου u i ανήκει στο V, και e i ανήκει στο E, είναι το άθροισμα των βαρών των e i που συμμετέχουν στο μονοπάτι: προσδιορισμόs του μονοπατιού που ξεκινάει από τον κόμβο u 1 και καταλήγει στον u k έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα w(p). 40
41 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού τα συντομότερα μονοπάτια εμφωλεύονται (nested) εάν κάποιος κόμβος k αποτελεί τμήμα του συντομότερου μονοπατιού από i στο j, τότε το συντομότερο μονοπάτι (i, j) θα πρέπει να είναι το συντομότερο (i,k) μονοπάτι και το συντομότερο (j,k) μονοπάτι. Tα ελάχιστα μονοπάτια μπορούν να προσδιοριστούν μέσω της αναδρομικής σχέσης: d ij = min k (d ik + d kj ) όπου d xy είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού από το x στο y. 41
42 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra Εφαρμόζεται σε κατευθυντικούς γράφους με μη-αρνητικά βάρη ακμών. Εντοπίζει τα ελάχιστα μονοπάτια από τον κόμβο αφετηρία r σε όλους τους υπόλοιπους κόμβους του γράφου. Βασική ιδέα η αντικατάσταση των προσωρινών ετικετών που αναθέτονται στους κόμβους με μόνιμες. Η μόνιμη ετικέτα ενός κόμβου υποδηλώνει το συνολικό κόστος του ελαχίστου μονοπατιού από τον κόμβο αφετηρία στον τρέχοντα κόμβο. 42
43 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra: Σε κάθε βήμα ο αλγόριθμος: επιλέγει τον κόμβο i με τη μικρότερη προσωρινή ετικέτα την καθιστά μόνιμη καταγράφει τον προηγούμενο κόμβο ενημερώνει τις προσωρινές ετικέτες όλων των γειτονικών κόμβων του i 43
44 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra 44
45 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra 45
46 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra 46
47 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra 47
48 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra 48
49 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra 49
50 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Dijkstra 50
51 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Bellman-Ford Υποθέτουμε ότι ο κόμβος 1 είναι ο κόμβος προορισμού (destination) και εξετάζουμε το πρόβλημα εντοπισμού του συντομότερου μονοπατιού από κάθε κόμβο προς τον κόμβο 1. Υποθέτουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι από κάθε κόμβο προς τον προορισμό. Θεωρούμε ότι d ij = την απόσταση κάθε ακμής (i, j) που δεν ανήκει στον γράφο To συντομότερο μονοπάτι από ένα κόμβο i προς τον κόμβο 1, με τον περιορισμό ότι το μονοπάτι περιέχει h ή λιγότερες ακμές και διέρχεται από τον κόμβο 1 μόνο μία φορά, καλείται συντομότερο ( h) μονοπάτι με μήκος D i h Ο αλγόριθμος πρώτα προσδιορίζει τα μικρότερα μήκη μονοπατιού που αποτελούνται από μία ακμή, μετά τα μικρότερα μήκη μονοπατιού με δύο ακμές κλπ. 51
52 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Bellman-Ford τεχνική της χαλάρωσης (relaxation) προχωράει στην χαλάρωση μίας ακμής (u, v) όταν μπορεί να βελτιωθεί το συντομότερο μονοπάτι προς τον κόμβο v με την μετακίνηση μέσω του κόμβου u Η εκτίμηση για το συνολικό κόστος του συντομότερου μονοπατιού παρουσιάζεται μέσα στον κάθε κόμβο Στο σχήμα, η τρέχουσα εκτίμηση κόστους συντομότερου μονοπατιού για τον v είναι 9, ενώ η αντίστοιχη εκτίμηση για τον u είναι 5 και το κόστος της ακμής (u,v) είναι 2 Κατά συνέπεια, το 9 μπορεί να αντικατασταθεί με την τιμή 5+2=7 52
53 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Bellman-Ford 53
54 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Bellman-Ford Συντομότερα μονοπάτια χρησιμοποιώντας 1 ακμή ή λιγότερες. 54
55 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Bellman-Ford Συντομότερα μονοπάτια χρησιμοποιώντας 2 ακμές ή λιγότερες. 55
56 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Bellman-Ford Συντομότερα μονοπάτια χρησιμοποιώντας 3 ακμές ή λιγότερες. 56
57 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Bellman-Ford Τελικό Δένδρο 57
58 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Floyd-Warshall Χρησιμοποιεί γραμμικό προγραμματισμό για να επιλύσει το πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού για όλα τα ζεύγη κόμβων ενός γράφου Η μέθοδος χρησιμοποιεί πίνακα γειτνίασης Για γράφο G=(V,E) έστω C(v,w) το βάρος της ακμής (v,w) Οι κορυφές αριθμούνται από 1 έως V. Δηλαδή: V={ v 1,v 2,...,v Ν } Έστω V k το σύνολο των k πρώτων κορυφών στο V Δηλαδή:V κ ={ v 1,v 2,...,v k } Έστω P k (v,w) το συντομότερο μονοπάτι από v προς w που διέρχεται μόνο από τις κορυφές του V k, εάν υπάρχει κάποιο τέτοιο μονοπάτι Δηλαδή το μονοπάτι P k (v,w) είναι της μορφής: { v 1,v 2,...,w } Ανήκουν στο V k 58
59 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Floyd-Warshall Έστω D k (v,w) το μήκος του μονοπατιού P k (v,w) Αν δεν υπάρχει P k (v,w) το μήκος του θεωρείται άπειρο. Εφόσον, V 0 =, τα μονοπάτια P 0 είναι οι κορυφές του γράφου G Τα μήκη D 0 των μονοπατιών P 0 αντιστοιχούν στα βάρη των ακμών του G. Ο Floyd υπολογίζει διαδοχικά τους πίνακες D 0, D 1, D 2,. D V. Οι αποστάσεις στους πίνακες D i αναπαριστούν μονοπάτια με ενδιάμεσους κόμβους στο σύνολο V i. Εφόσον V i+1 =V i U {v i+1 }, οι αποστάσεις που περιέχονται στον D i+1 μπορούν να προσδιοριστούν από τον D i λαμβάνοντας υπόψη μόνο τα μονοπάτια που διέρχονται από τον κόμβο v i+1. v D i (v,v i+1 ) D i (v,w) V i+1 w D i (v i+1,w) 59
60 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Floyd-Warshall Για κάθε ζεύγος κόμβων (v,w) συγκρίνονται οι αποστάσεις D i (v,w) (που αναπαριστά τα συντομότερο μονοπάτι από τον κόμβο v στο κόμβο w χωρίς να μεσολαβεί ο v i+1 ) με το άθροισμα D i (v,v i+1 )+D i (v i+1,w) (που αναπαριστά το συντομότερο μονοπάτι από το v στο w που διέρχεται από το v i+1 ). Έτσι, το D i+1 υπολογίζεται ως εξής: πριν την ενεργοποίηση του αλγορίθμου θα πρέπει να διαμορφωθεί ένας πίνακας n n ( n πλήθος κόμβων γράφου). κάθε γραμμή αναπαριστά ένα κόμβο αφετηρίας στο γράφο ενώ κάθε στήλη αναπαριστά τα σημεία τερματισμού. Εάν υπάρχει ακμή μεταξύ σημείου αφετηρίας και σημείου τερματισμού, το σχετικό κόστος τοποθετείται στην θέση (i, j) 60
61 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Floyd-Warshall Αρχικός πίνακας αποστάσεων μεταξύ κόμβων. Οι κόμβοι στήλης αναπαριστούν προορισμούς (to), οι κόμβοι γραμμής αναπαριστούν αφετηρίες (from). αρχική κατάσταση πίνακα προηγούμενου κόμβου (predecessor) 61
62 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Floyd-Warshall Αν θεωρήσουμε τον κόμβο B ως ενδιάμεσο κόμβο, οι τιμές στις θέσεις (Α, D) και (C, D) του πίνακα αλλάζουν νέα κατάσταση πίνακα προηγούμενου κόμβου (predecessor) 62
63 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Floyd-Warshall A B C D E A B 0 2 C D E 0 A B C D E A A A A B C B B B B B B C C C C B C D D C D D D E E E E E E Αν θεωρήσουμε τον κόμβο C ως ενδιάμεσο κόμβο, οι τιμές στις θέσεις (Α, E) και (D, B) του πίνακα αλλάζουν νέα κατάσταση πίνακα προηγούμενου κόμβου (predecessor) 63
64 Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Πρόβλημα συντομότερου μονοπατιού Floyd-Warshall αν θεωρηθούν ως ενδιάμεσοι οι κόμβοι D και E προκύπτουν οι δίπλα πίνακες 64
65 Σχεδιασμός γραμμών πολλαπλών σημείων Πρόβλημα Σύνδεση ομάδας τερματικών με το κέντρο μιας δικτυακής αρχιτεκτονικής. Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης υπό Περιορισμούς Πρόβλημα ΕΔΕ με περιορισμό στο μέγεθος των υπο-δέντρων Constrained Minimum Spanning Tree CMST Μπορεί να χρησιμοποιηθεί τροποποιημένος Kruskal Είναι άπληστος αλγόριθμος Ανήκει στην οικογένεια αλγορίθμων καλύτερης ακμής Επιλέγει την καλύτερη εφικτή ακμή και συνδέει μέσω αυτής τα συστατικά του γράφου 65
66 Σχεδιασμός γραμμών πολλαπλών σημείων Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης υπό περιορισμούς Kruskal Ακμές κατά αύξουσα σειρά κόστους Προτεραιότητες επιλογής ακμών ίδιου κόστους (0,1,2...) Βάρος κάθε κόμβου = 1, μέγιστο βάρος W max =3 Επιλέγονται οι ακμές (1, 3), (1, 2) και (0, 1), με αυτή τη σειρά (αποτελούν τμήμα του MST) Οι ακμές (2, 4) και (3, 5) (θα ολοκλήρωναν το MST) απορρίπτονται λόγω W max =3 O γράφος ολοκληρώνεται με τις (4, 5) και (4, 0). Συνολικό κόστος δικτύου 41 Υπάρχουν δέντρα χαμηλότερου κόστους Π.χ. [(0, 1), (1, 3), (0, 2), (2, 4), (4, 5)] με κόστος
67 Σχεδιασμός Γραμμών Πολλαπλών Σημείων Σύνοψη Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης με Περιορισμούς Στόχος: Ελάχιστο κόστος ζεύξεων + ικανοποίηση περιορισμού Κλασικοί Αλγόριθμοι MST + Περιορισμός π.χ. Kruskal + περιορισμός (συνολικό βάρος κόμβων σε κάθε ζεύξη πολλαπλών σημείων) Αλγόριθμοι Esau-Williams, Sharma Βελτιστοποίηση Ελάχιστων Δέντρων Επικάλυψης Αλγόριθμοι bin-packing Στόχος: Ελάχιστος αριθμός γραμμών πολλαπλών σημείων Αλγόριθμοι First Fit, Best Fit, Worst Fit 67
68 Αλγόριθμος Κέντρου Μάζας Πρόβλημα χωροθέτησης συγκεντρωτών Δίδεται: το σύνολο των θέσεων των τερματικών i - συντεταγμένες (x i, y i ). το βάρος (ή μάζα) w i του τερματικού i, που εκφράζει την συνολική κίνηση από και προς το τερματικό. Ζητείται: να προσδιορισθούν μία ή περισσότερες συστάδες τερματικών, όπου στο κέντρο μάζας κάθε συστάδας θα τοποθετηθεί συγκεντρωτής της κίνησης των τερματικών, και μέσω αυτού τα τερματικά θα συνδέονται στο Κεντρικό Δίκτυο, ελαχιστοποιώντας το κόστος των συνδέσεων. 68
69 Αλγόριθμος Κέντρου Μάζας Αρχικά κάθε τερματικό θεωρείται ως μία αυτόνομη συστάδα. Ακολούθως συγχωνεύονται οι συστάδες (ανά δύο) που απέχουν την μικρότερη (ευκλείδια) απόσταση. Η συγχώνευση γίνεται στο κέντρο μάζας. Η νέα μάζα της συστάδας είναι το άθροισμα των μαζών. H συγχώνευση επαναλαμβάνεται μέχρι να δημιουργηθεί ο επιθυμητός αριθμός συστάδων. Αν (x i,y i ) και (x j,y j ) οι συντεταγμένες δύο τερματικών d i,j = 2 2 i j i j x x y y είναι η ευκλείδια απόστασή τους. Οι συντεταγμένες της συστάδας που θα δημιουργηθεί μετά την συγχώνευση δύο τερματικών, θα είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους τους (x k,y k ). Η νέα μάζα της συστάδας (μετά από συγχώνευση) είναι: w k =w i +w j 69
70 Αλγόριθμος Κέντρου Μάζας Πιθανοί περιορισμοί Η μάζα της συστάδας (μέγιστη ή ελάχιστη). Όριο απόστασης (δεν συγχωνεύονται συστάδες των οποίων η απόσταση υπερβαίνει το όριο). Ανάλογα με τους υπόλοιπους περιορισμούς, ο επιθυμητός αριθμός συστάδων δυνατόν να μην αποτελεί αυστηρό περιορισμό. Κέντρο μάζας συστάδας - Παράδειγμα Δίδονται 3 τερματικά στις συντεταγμένες (2, 2), (6, 6), (10, 10). Να ευρεθεί το κέντρο μάζας τους, όταν: Η συνολική κίνηση από/προς κάθε τερματικό είναι ίδια. Το τερματικό στην θέση (6,6) έχει διπλάσια ή υποδιπλάσια κίνηση. Το τερματικό στην θέση (10, 10) έχει διπλάσια κίνηση. 70
71 Αλγόριθμος Κέντρου Μάζας Κέντρο μάζας συστάδας - Λύση παραδείγματος Από τις θέσεις των τερματικών (βρίσκονται επ ευθείας σε ίσες αποστάσεις), γραφικά προκύπτει ότι το κέντρο μάζας τους είναι: Στο μέσον, δηλ. (x k,y k )=(6,6), όταν έχουν την ίδια κίνηση (ίδια μάζα). Στο μέσον, δηλ. (x k,y k )=(6,6), όταν η κίνηση του (6,6) είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη (διπλάσια ή υποδιπλάσια), ενώ των άλλων δύο ίδια. Σε θέση (x k,y k ) μεταξύ (6,6) και (10,10), όταν η κίνηση του (10,10) είναι μεγαλύτερη (διπλάσια) από τα άλλα δύο τερματικά. x k 3 wx i i i 1 1* 2 1*6 2* w i 1 i y k 3 wjyj j 1 1* 2 1*6 2* w j 1 j 71
Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας
Αλγόριθμοι Δρομολόγησης Γ. Κορμέντζας Δρομολόγηση Περιεχόμενα Διαδικασίες δρομολόγησης Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Σχεδιασμός γραμμών πολλαπλών σημείων Ελάχιστα δέντρα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1: Αλγόριθμος Ford-Fulkerson
ΘΕΜΑ : Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Α Να εξετάσετε αν ισχύει η συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής στο δίκτυο. Β Με χρήση του αλγορίθμου Ford-Fulkerson να βρεθεί η μέγιστη ροή που μπορεί να σταλεί από τον
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15%
Επίλυση 1 ης Εργασίας Παραδόθηκαν: 11/12 15% ΘΕΜΑ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής Το φορτίο που μεταφέρεται από τον r είναι 3 (r->1=1) + (r->3=0) + (r- >4=2) Το φορτίο που φθάνει στον
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά
Διαβάστε περισσότερα4. ΔΙΚΤΥΑ
. ΔΙΚΤΥΑ Τελευταία μορφή επιχειρησιακής έρευνας αποτελεί η δικτυωτή ανάλυση (δίκτυα). Τα δίκτυα είναι ένα διάγραμμα από ς οι οποίοι συνδέονται όλοι μεταξύ τους άμεσα ή έμμεσα μέσω ακμών. Πρόκειται δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)
Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΔροµολόγηση (Routing)
Δροµολόγηση (Routing) Περίληψη Flooding Η Αρχή του Βέλτιστου και Δυναµικός Προγραµµατισµός Dijkstra s Algorithm Αλγόριθµοi Δροµολόγησης Link State Distance Vector Δροµολόγηση σε Κινητά Δίκτυα Δροµολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση
Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.
Διαβάστε περισσότεραΔρομολόγηση (Routing)
Δρομολόγηση (Routing) Περίληψη Flooding Η Αρχή του Βέλτιστου και Δυναμικός Προγραμματισμός ijkstra s Algorithm Αλγόριθμοi Δρομολόγησης Link State istance Vector Δρομολόγηση σε Κινητά Δίκτυα Δρομολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραGraph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια
Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή - ορολογία. Προώθηση (forwarding): Δρομολόγηση (routing):
Δρομολόγηση Ι Εισαγωγή - ορολογία Προώθηση (forwarding): Οι συσκευές διαδικτύωσης (γέφυρες, δρομολογητές, κ.τ.λ.) προωθούν πακέτα δεδομένων στα κατάλληλα μονοπάτια βάσει των πινάκων δρομολόγησης (routing
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Minimum Spanning Trees 2. Αλγόριθμος Prim 3. Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Minimum Spanning Tree Πρόβλημα: Για δοσμένο συνεκτικό, μη προσανατολισμένο,
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 4 Πρωτόκολλα Δρομολόγησης
Εργαστήριο 4 Πρωτόκολλα Δρομολόγησης. Εισαγωγή Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση έχει ως σκοπό την εξοικείωση με τα πρωτόκολλα δρομολόγησης τα οποία χρησιμοποιούνται στα Ad-Hoc δίκτυα, καθώς και την συγκριτική
Διαβάστε περισσότεραΣυγκοινωνιακός Σχεδιασµός κόµβος Σχήµα.. Αναπαράσταση σε χάρτη του οδικού δικτύου µιας περιοχής... Μέθοδοι καταµερισµού των µετακινήσεων.. Εύρεση βέλτ
Καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο.. Εισαγωγή Το τέταρτο και τελευταίο στάδιο στη διαδικασία του αστικού συγκοινωνιακού σχεδιασµού είναι ο καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο (λεωφόρους,
Διαβάστε περισσότερα... Αν ν = 16 εγκαταλείπει τις προσπάθειες μετάδοσης του πακέτου. Τοπολογία Διαύλου (BUS).
Άσκηση 1 Ethernet protocol Δύο H/Y, Α και Β, απέχουν 400 m και συνδέονται με ομοαξονικό καλώδιο (γραμμή μετάδοσης) που έχει χωρητικότητα 100 Mbps και ταχύτητα διάδοσης 2*10 8 m/s. Στην γραμμή τρέχει πρωτόκολλο
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;
Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης
- Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο
Σχεδίαση Αλγορίθμων Άπληστοι Αλγόριθμοι http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad 1 Άπληστοι αλγόριθμοι Προβλήματα βελτιστοποίησης ηςλύνονται με μια σειρά επιλογών που είναι: εφικτές τοπικά βέλτιστες
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση
Διαβάστε περισσότεραιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ
ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ (Kεφ. 10) ΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ Χαρακτηριστικά Στρατηγικές ροµολόγησης Παραδείγµατα Βιβλίο Μαθήµατος: Επικοινωνίες Υπολογιστών & εδοµένων, William Stallings, 6/e, 2000. ΕΥ - κεφ.10 (2/3)
Διαβάστε περισσότερα3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΚΤΥΑ (13) Π. Φουληράς
ΔΙΚΤΥΑ (13) Π. Φουληράς Τεχνολογίες WAN και Δρομολόγηση LAN Επεκτείνεται μόνον σε ένα κτίριο ή ομάδα κτιρίων WAN (Wide Area Network) Επεκτείνονται σε μεγάλες περιοχές MAN Ενδιάμεσο ως προς το μέγεθος της
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/55 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/55 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ Δρομολόγηση στο Internet (II) Αλγόριθμοι Distance Vector (Bellman) Αλγόριθμοι Link State (Dijkstra)
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ Δρομολόγηση στο Internet (II) Αλγόριθμοι Distance Vector (Bellman) Αλγόριθμοι Link State (Dijkstra) Β. Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr www.netmode.ntua.gr 2/11/2015 Άδεια Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραΕίναι η διαδικασία εύρεσης της διαδρομής που πρέπει να ακολουθήσει ένα πακέτο για να φτάσει στον προορισμό του. Η διαδικασία αυτή δεν είναι πάντα
1 Είναι η διαδικασία εύρεσης της διαδρομής που πρέπει να ακολουθήσει ένα πακέτο για να φτάσει στον προορισμό του. Η διαδικασία αυτή δεν είναι πάντα εύκολη, τη στιγμή που γνωρίζουμε ότι ένα σύνθετο δίκτυο
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1: Robbie και Αναζήτηση
Θέμα : Robbie και Αναζήτηση Ο Robbie, το ρομπότ του παρακάτω σχήματος-χάρτη, κατά τη διάρκεια των εργασιών που κάνει διαπιστώνει ότι πρέπει να γυρίσει όσο το δυνατόν πιο γρήγορα, από την τρέχουσα θέση,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET
ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET Κεφάλαιο 4: Τεχνικές Μετάδοσης ΜΕΤΑΓΩΓΗ Τεχνική µεταγωγής ονομάζεται ο τρόπος µε τον οποίο αποκαθίσταται η επικοινωνία ανάµεσα σε δύο κόµβους με σκοπό την
Διαβάστε περισσότεραΟπτικά Δίκτυα. Εγκατάσταση Οπτικών Διαδρομών (Lightpath Setup) και δρομολόγηση
Οπτικά Δίκτυα Εγκατάσταση Οπτικών Διαδρομών (Lightpath Setup) και δρομολόγηση Εισαγωγή Στα αμιγώς οπτικά δίκτυα παρέχονται συνδέσεις στους πελάτες με τη μορφή των lightpahts. Η μεταγωγή των lightpaths
Διαβάστε περισσότερα4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου
. Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες
Διαβάστε περισσότεραΛυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007
Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΥλοποίηση Δικτυακών Υποδομών και Υπηρεσιών: Δρομολόγηση
Υλοποίηση Δικτυακών Υποδομών και Υπηρεσιών: Δρομολόγηση Δρ. Απόστολος Γκάμας Διδάσκων 407/80 gkamas@uop.gr Υλοποίηση Δικτυακών Υποδομών και Υπηρεσιών Διαφάνεια 1 Δρομολόγηση Εισαγωγή Ιεραρχική δρομολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Ψευδοκώδικας Kruskal. Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα.
Άσκηση 1 Ψευδοκώδικας Kruskal Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα. Αντιστοιχίζω τους κόμβους με αριθμούς από το 0 έως το 4. 2Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ - MAY 2018
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γράφων Αλγόριθμοι BFS, Prim, Dijkstra, Bellman-Ford
Θεωρία ράφων λγόριθμοι BFS, Prim, Dijkstra, Bellman-Ford Θεωρία γράφων Υπογράφοι και spanning trees Ένας γράφος G =(V,E ) είναι υπογράφος (subgraph) ενός γράφου G=(V,E) αν V ' V και E' E Ένας υπογράφος
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem
Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραm 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΤαιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του
Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ (INTERNETWORKING)
ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ (INTERNETWORKING) Α. Α. Οικονομίδης Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Διασυνδεδεμένο δίκτυο διασύνδεση δικτύων που το καθένα διατηρεί την ταυτότητά του χρησιμοποιώντας ειδικούς μηχανισμούς διασύνδεσης
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Διαβάστε περισσότεραΠροσφορά Τροποποιηµένος πίνακας, όπου προσφορά ίση µε τη ζήτηση µε την προσθήκη εικονικού προορισµού *
ΚΕΦ.8 ΕΙ ΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ιδιαίτερη κατηγορία των προβληµάτων ΓΠ είναι τα προβλήµατα δικτυακής ροής. Σε αυτά ανήκουν τα προβλήµατα µεταφοράς και εκχώρησης. 8. Πρόβληµα µεταφοράς Σε m πηγές (κέντρα προσφοράς)
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων
Κ Σ Ι Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Παναγιώτα Παναγοπούλου Άσκηση 1. Υποθέστε ότι οι διεργασίες ενός σύγχρονου κατανεμημένου συστήματος έχουν μοναδικές ταυτότητες (UIDs), γνωρίζουν ότι είναι συνδεδεμένες
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστα Γεννητορικά ένδρα
λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραOutline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Ιανουάριος 2019 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3η σειρά ασκήσεων Ιανουάριος 2019 1 / 54 Outline 1 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 11: Minimum Spanning Trees Αλγόριθμος Prim Αλγόριθμος Kruskal Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 5ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους
Διαβάστε περισσότερα7.9 ροµολόγηση. Ερωτήσεις
7.9 ροµολόγηση Ερωτήσεις 1. Να δώσετε τον ορισµό της δροµολόγησης; 2. Από τι εξαρτάται η χρονική στιγµή στην οποία λαµβάνονται οι αποφάσεις δροµολόγησης; Να αναφέρετε ποια είναι αυτή στην περίπτωση των
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης
ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 10 ο Γράφοι Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Γράφοι Ορισµός Αφηρηµένος τύπος δεδοµένων Υλοποίηση Αναζήτηση έντρο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 13: Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive
Διαβάστε περισσότερα3.2 Το αυτοδύναμο πακέτο IP (datagram) Δομή πακέτου
3.2 Το αυτοδύναμο πακέτο IP (datagram) Δομή πακέτου 1 / 54 Το πρωτόκολλο Διαδικτύου (Internet Protocol -IP) ενθυλακώνει τα πακέτα δεδομένων που του προωθούνται από το ανώτερο επίπεδο σε αυτοδύναμα πακέτα
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές Ερωτήσεις Θεωρίας
Ενδεικτικές Ερωτήσεις Θεωρίας Κεφάλαιο 2 1. Τι καλούμε αλγόριθμο; 2. Ποια κριτήρια πρέπει οπωσδήποτε να ικανοποιεί ένας αλγόριθμος; 3. Πώς ονομάζεται μια διαδικασία που δεν περατώνεται μετά από συγκεκριμένο
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλη Επεξεργασία Κεφάλαιο 7 ο Αρχιτεκτονική Συστημάτων Κατανεμημένης Μνήμης
Παράλληλη Επεξεργασία Κεφάλαιο 7 ο Αρχιτεκτονική Συστημάτων Κατανεμημένης Μνήμης Κωνσταντίνος Μαργαρίτης Καθηγητής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Μακεδονίας kmarg@uom.gr http://eos.uom.gr/~kmarg
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
ιάλεξη : λάχιστα εννητορικά ένδρα Αλγόριθμος Prim Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: λάχιστα εννητορικά ένδρα () Minimum Spanning Trees Ο αλγόριθμος του Prim για εύρεση σε γράφους
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους
Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερα Μονοπάτια για Όλα τα Ζεύγη Κορυφών
Συντομότερα Μονοπάτια για Όλα τα Ζεύγη Κορυφών Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΌρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη
Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μέχρι στιγμής εξετάσθηκαν μέθοδοι ταξινόμησης µε πολυπλοκότητα της τάξης Θ ) ή Θlog ). Τι εκφράζει
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθμους
Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση και μελέτη αλγορίθμων
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
ιάλεξη : λάχιστα εννητορικά ένδρα Αλγόριθμος Kruskal Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ο αλγόριθμος του Kruskal για εύρεση σε γράφους Παράδειγμα κτέλεσης ιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Συντομότατα μονοπάτια 2. Αλγόριθμος Bellman-Ford 3. Αλγόριθμος Dijkstra 4. Floyd-Warshall Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Single-Source Shortest Path Πρόβλημα:
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.2 Διαδρομές σε Γραφήματα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Πρόβλημα Οδικό Δίκτυο
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,
Διαβάστε περισσότεραΔίκτυα Υπολογιστών I
Δίκτυα Υπολογιστών I Δίκτυα Μεταγωγής και Διαδίκτυα: Μέρος Γ Ευάγγελος Παπαπέτρου Τμ. Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Ε.Παπαπέτρου (Τμ.Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής) MYY703: Δίκτυα Υπολογιστών I 1 /
Διαβάστε περισσότεραΔιάρθρωση. Δίκτυα Υπολογιστών I Δίκτυα Μεταγωγής και Διαδίκτυα: Μέρος Γ. Διάρθρωση. Σκοπός της Δρομολόγησης. Ευάγγελος Παπαπέτρου
Δίκτυα Υπολογιστών I Δίκτυα Μεταγωγής και Διαδίκτυα: Μέρος Γ Ευάγγελος Παπαπέτρου Τμ. Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων 2 3 Ε.Παπαπέτρου (Τμ.Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής) MYY703: Δίκτυα Υπολογιστών I
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ
Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους
Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ
ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότερα8 η ιάλεξη: σε δίκτυα δεδομένων
Εργαστήριο ικτύων Υπολογιστών 8 η ιάλεξη: Βασικές αρχές δρομολόγησης Βασικές αρχές δρομολόγησης σε δίκτυα δεδομένων ρομολόγηση (Routing) Μεταφορά μηνυμάτων μέσω του διαδικτύου από μία πηγή σε ένα προορισμό
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST)
Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Γεννητικό δέντρο (Spanning Tree) Ένα γεννητικό δέντρο για ένα γράφημα G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο (δηλ., είναι συνεκτικό και δεν
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότερα