ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες"

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 6 Πιθανότητες Επιμέλεια παρουσιάσεων: Δρ. Αλέκα Καλαπόδη Copyright 2009 Cengage Learning

2 Τρόποι ορισμού πιθανοτήτων Υπάρχουν τρεις τρόποι για τον ορισμό της πιθανότητας, P(O i ), για ένα αποτέλεσμα O i ενός πειράματος τύχης, και συγκεκριμένα: Κλασική προσέγγιση: βασίζεται σε ισοπίθανα αποτελέσματα. Προσέγγιση σχετικής συχνότητας: η πιθανότητα καθορίζεται με βάση πειράματα ή ιστορικά δεδομένα. Υποκειμενική προσέγγιση: η πιθανότητα ορίζεται με βάση μια υποκειμενική εκτίμηση. Copyright 2009 Cengage Learning 6.2

3 Κλασική Προσέγγιση Εάν ένα πείραμα έχει n δυνατά αποτελέσματα, η μέθοδος αυτή δίνει πιθανότητα 1/n σε κάθε αποτέλεσμα. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων. Πείραμα: Ρίχνουμε ένα ζάρι Αποτελέσματα: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Πιθανότητες: Κάθε αποτέλεσμα έχει πιθανότητα εμφάνισης ίση με 1/6. Copyright 2009 Cengage Learning 6.3

4 Κλασική Προσέγγιση Πείραμα: Ρίχνουμε δύο ζάρια και παρατηρούμε το άθροισμα Αποτελέσματα: {2, 3,, 12} Παραδείγματα: P(2) = 1/ P(6) = 5/36 P(10) = 3/ Copyright 2009 Cengage Learning 6.4

5 Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας Ένα κατάστημα πώλησης υπολογιστών καταγράφει το πλήθος των σταθερών υπολογιστών που πούλησε σε ένα μήνα (30 ημέρες): Για παράδειγμα, 10 ημέρες από τις 30 πουλήθηκαν 2 υπολογιστές την ημέρα. Μπορούμε να κατασκευάσουμε τις πιθανότητες ενός ενδεχομένου Υπολογιστές που πουλήθηκαν (όπως το πλήθος των υπολογιστών που πωλούνται μια συγκεκριμένη ημέρα) # ημερών Copyright 2009 Cengage Learning 6.5

6 Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας Υπολογιστές που πουλήθηκαν # ημερών Υπολογιστές που πουλήθηκαν 0 1 1/30 = /30 = /30 = /30 = /30 =.17 = 1.00 Υπάρχει 40% πιθανότητα το κατάστημα να πουλήσει 3 υπολογιστές σε μια οποιαδήποτε ημέρα Copyright 2009 Cengage Learning 6.6

7 Υποκειμενική Προσέγγιση Στην υποκειμενική προσέγγιση ορίζουμε την πιθανότητα ως το βαθμό πίστης που έχουμε στην εμφάνιση ενός ενδεχομένου Π.χ. μετεωρολογική πρόγνωση Π.Β. Η Πιθανότητα Βροχόπτωσης (ή Π.Β.) καθορίζεται με διαφορετικό τρόπο από κάθε μετεωρολόγο, καθώς ουσιαστικά είναι υποκειμενική πιθανότητα που στηρίζεται σε προηγούμενες παρατηρήσεις σε συνδυασμό με τις τρέχουσες καιρικές συνθήκες. Π.Β. 60% με βάση τις τρέχουσες συνθήκες, υπάρχει 60% πιθανότητα βροχής (υποθέτουμε). Copyright 2009 Cengage Learning 6.7

8 Ερμηνεία της Πιθανότητας Ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο ορίζεται η πιθανότητα η ερμηνεία δίνεται με την προσέγγιση της σχετικής συχνότητας Για παράδειγμα, σε ένα παιχνίδι λόττο επιλέγονται 6 αριθμοί (από τους 49). Η κλασική προσέγγιση θα προέβλεπε την πιθανότητα εμφάνισης οποιουδήποτε αριθμού ως 1/49=2.04%. Η ερμηνεία που δίνουμε είναι ότι σε άπειρες επαναλήψεις του παιχνιδιού κάθε αριθμός θα εμφανιστεί στο 2.04% των αποτελεσμάτων. Copyright 2009 Cengage Learning 6.8

9 Συνδυασμένη, Ολική, Δεσμευμένη Πιθανότητα Μελετάμε μεθόδους καθορισμού πιθανοτήτων ενδεχομένων που προκύπτουν από συνδυασμό άλλων ενδεχομένων με διάφορους τρόπους. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι συνδυασμού ενδεχομένων: Συμπληρωματικό ενδεχόμενο Τομή ενδεχομένων Ένωση ενδεχομένων Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Εξαρτημένα και ανεξάρτητα ενδεχόμενα Copyright 2009 Cengage Learning 6.9

10 Συμπλήρωμα ενός Ενδεχομένου Το συμπλήρωμα του ενδεχομένου A ορίζεται ως το ενδεχόμενο που αποτελείται από όλα τα σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο A. Το συμπλήρωμα του A συμβολίζεται με A c Το διάγραμμα Venn δείχνει την έννοια του συμπληρώματος P(A) + P(A c ) = 1 A A c Copyright 2009 Cengage Learning 6.10

11 Συμπλήρωμα ενός Ενδεχομένου Για παράδειγμα, στο παραλληλόγραμμο βρίσκονται όλα τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης 2 ζαριών {(1,1), 1,2), (6,6)} Έστω A = οι ρίψεις που έχουν άθροισμα 7, δηλ. {(1,6), (2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(Άθροισμα = 7) + P(Άθροισμα όχι ίσο με 7) = 1 A A c Copyright 2009 Cengage Learning 6.11

12 Τομή Δύο Ενδεχομένων Η τομή των ενδεχομένων A και B είναι το σύνολο των σημείων που ανήκουν και στο A και στο B. Η τομή συμβολίζεται: A και B Συνδυασμένη πιθανότητα των A και B ονομάζεται η πιθανότητα της τομής των A και B, δηλ. P(A και B) A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.12

13 Τομή Δύο Ενδεχομένων Για παράδειγμα, έστω A = οι ρίψεις στις οποίες το πρώτο ζάρι έδειξε 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} και B = οι ρίψεις στις οποίες το δεύτερο ζάρι έδειξε 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} Η τομή είναι {(1,5)} Η συνδυασμένη πιθανότητα του A και B είναι η πιθανότητα της τομής των A και B, δηλ. P(A και B) = 1/36 A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.13

14 Ένωση Δύο Ενδεχομένων Η ένωση δύο ενδεχομένων A και B, είναι το ενδεχόμενο που περιέχει όλα τα σημεία τα οποία ανήκουν στο A ή στο B ή και στα δύο: Η ένωση των A και B συμβολίζεται: A ή B A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.14

15 Ένωση Δύο Ενδεχομένων Για παράδειγμα, έστω A = οι ρίψεις στις οποίες το πρώτο ζάρι έδειξε 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} και B οι ρίψεις στις οποίες το δεύτερο ζάρι έδειξε 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} Η ένωση των A και B είναι {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.15

16 Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Όταν δύο ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα (δηλαδή δεν μπορεί να συμβούν ταυτόχρονα), η συνδυασμένη πιθανότητά τους είναι 0, επομένως: A B Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: δεν έχουν κοινά σημεία Για παράδειγμα A = ρίψεις με άθροισμα 7 και B = ρίψεις με άθροισμα 11 Copyright 2009 Cengage Learning 6.16

17 Βασικές Σχέσεις Πιθανοτήτων Συμπλήρωμα Ενδεχομένου Ένωση Ενδεχομένων A A c A B Τομή Ενδεχομένων Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα A B A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.17

18 Παράδειγμα 6.1 Γιατί κάποιοι διευθυντές αμοιβαίων κεφαλαίων είναι πιο επιτυχημένοι από άλλους; Ένας παράγοντας είναι το πανεπιστήμιο από το οποίο πήρε το MBA. Ο παρακάτω πίνακας καταγράφει την απόδοση των αμοιβαίων κεφαλαίων σε σχέση με την κατάταξη της σχολής από την οποία ο αντίστοιχος διευθυντής πήρε το MBA του: Απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη Απόδοση κατώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη Top-20 MBA προγράμματα Άλλο MBA πρόγραμμα Π.χ. Αυτή είναι η πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη ΚΑΙ ο διευθυντής του να ήταν σε ένα από τα top-20 MBA προγράμματα. Είναι μια συνδυασμένη πιθανότητα. Copyright 2009 Cengage Learning 6.18

19 Παράδειγμα 6.1 Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να συμβολίσουμε τα ενδεχόμενα ως: A 1 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα A 2 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που δεν αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα B 1 = Κεφάλαιο με απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη B 2 = Κεφάλαιο με απόδοση κατώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη B 1 B 2 A A Π.χ. P(A 2 και B 1 ) =.06 = η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη και ο διευθυντής του να μην προέρχεται από μια σχολή στις top-20. Copyright 2009 Cengage Learning 6.19

20 Ολική Πιθανότητα Οι ολικές πιθανότητες υπολογίζονται αθροίζοντας τα στοιχεία γραμμών ή στηλών, δηλαδή υπολογίζονται στα περιθώρια του πίνακα: B 1 B 2 P(A i ) A A P(B j ) P(B 1 ) = P(A 2 ) = ποια είναι η πιθανότητα ένας διευθυντής να μην προέρχεται από καλή σχολή; ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ περιθώρια πρέπει να αθροίζονται στο 1 ποια είναι η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να (χρήσιμος έλεγχος σφάλματος) αποδίδει καλύτερα από το χρημ. δείκτη; Copyright 2009 Cengage Learning 6.20

21 Δεσμευμένη Πιθανότητα Η δεσμευμένη πιθανότητα χρησιμοποιείται για να καθορίσουμε το πώς σχετίζονται δύο ενδεχόμενα, δηλαδή, μπορούμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα του ενός δεδομένου ότι ένα άλλο σχετικό ενδεχόμενο συμβαίνει. Η δεσμευμένη πιθανότητα γράφεται P(A B) και διαβάζεται η πιθανότητα του A δεδομένου του B και υπολογίζεται από τον τύπο: και Copyright 2009 Cengage Learning 6.21

22 Δεσμευμένη Πιθανότητα Είπαμε ότι, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεδομένου ότι ένα άλλο ενδεχόμενο συμβαίνει καλείται δεσμευμένη πιθανότητα και και Προσέξτε πώς συνδέονται το A δεδομένου του B και το B δεδομένου του A Copyright 2009 Cengage Learning 6.22

23 Δεσμευμένη Πιθανότητα Παράδειγμα 6.2 Ποια είναι η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη δεδομένου ότι ο διευθυντής του αποφοίτησε από ένα εκ των top-20 MBA προγραμμάτων; Υπενθυμίζουμε ότι: A 1 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα A 2 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που δεν αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα B 1 = Κεφάλαιο με απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη B 2 = Κεφάλαιο με απόδοση κατώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη Εμείς θέλουμε να μάθουμε την P(B 1 A 1 ) Copyright 2009 Cengage Learning 6.23

24 Δεσμευμένη Πιθανότητα Πρέπει να υπολογίσουμε την P(B 1 A 1 ) B 1 B 2 P(A i ) A A P(B j ) και Άρα, υπάρχει 27.5% πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη του χρηματιστηριακού δείκτη δεδομένου ότι ο διευθυντής του αποφοίτησε από ένα εκ των top-20 MBA προγραμμάτων. Copyright 2009 Cengage Learning 6.24

25 Ανεξαρτησία Ένα από τα ζητούμενα στον υπολογισμό δεσμευμένης πιθανότητας είναι να καθορίσουμε εάν δύο ενδεχόμενα συνδέονται. Ειδικότερα, θα θέλαμε να γνωρίζουμε εάν είναι ανεξάρτητα, δηλαδή, εάν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν επηρεάζεται από το αν συμβαίνει ή όχι το άλλο ενδεχόμενο. Δύο ενδεχόμενα A και B καλούνται ανεξάρτητα εάν P(A B) = P(A) ή P(B A) = P(B) Copyright 2009 Cengage Learning 6.25

26 Ανεξαρτησία Για παράδειγμα, είδαμε ότι P(B 1 A 1 ) =.275 Η ολική πιθανότητα για το B 1 είναι: P(B 1 ) = 0.17 Αφού P(B 1 A 1 ) P(B 1 ), τα B 1 και A 1 δεν είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Με άλλα λόγια, είναι εξαρτημένα. Δηλαδή, η πιθανότητα του ενός ενδεχομένου (του B 1 ) επηρεάζεται από το αν συμβαίνει ή όχι το άλλο ενδεχόμενο (το A 1 ). Copyright 2009 Cengage Learning 6.26

27 Ένωση Είπαμε νωρίτερα ότι η ένωση δύο ενδεχομένων συμβολίζεται ως: A ή B. Μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για να απαντήσουμε ερωτήσεις όπως: Να προσδιοριστεί η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη του χρηματιστηριακού δείκτη ή ο διευθυντής του να έχει αποφοιτήσει από ένα εκ των top-20 MBA προγραμμάτων. Copyright 2009 Cengage Learning 6.27

28 Ένωση Να προσδιοριστεί η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη του χρηματιστηριακού δείκτη (B 1 ) ή ο διευθυντής του να έχει αποφοιτήσει από ένα εκ των top-20 MBA προγραμμάτων (A 1 ). Το A 1 ή το B 1 συμβαίνουν όταν: A 1 και B 1 συμβαίνει, A 1 και B 2 συμβαίνει, ή A 2 και B 1 συμβαίνει B 1 B 2 P(A i ) A A P(B j ) P(A 1 ή B 1 ) = =.46 Copyright 2009 Cengage Learning 6.28

29 Ένωση Να προσδιοριστεί η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη του χρηματιστηριακού δείκτη (B 1 ) ή ο διευθυντής του να έχει αποφοιτήσει από ένα εκ των top-20 MBA προγραμμάτων (A 1 ). B 1 B 1 B 2 P(A i ) A 1 A A P(B j ) P(A 1 ή B 1 ) = =.46 Copyright 2009 Cengage Learning 6.29

30 Διαφορετικά Να πάρουμε το 100% και να αφαιρέσουμε το δεν συμβαίνει το A 1 ή το B 1 ; B 1 δηλ. το A 2 και B 2 B 1 B 2 P(A i ) A 1 A A P(B j ) P(A 1 ή B 1 ) = 1 P(A 2 και B 2 ) = 1.54 =.46 Copyright 2009 Cengage Learning 6.30

31 Κανόνες και Δένδρα Πιθανοτήτων Εισάγουμε τρεις κανόνες που μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε τις πιθανότητες πιο σύνθετων ενδεχομένων από τις πιθανότητες απλούστερων Κανόνας Συμπληρώματος, Κανόνας Πολλαπλασιασμού, και Κανόνας Πρόσθεσης Copyright 2009 Cengage Learning 6.31

32 Κανόνας Συμπληρώματος Όπως είδαμε πριν με το συμπληρωματικό ενδεχόμενο, ο κανόνας συμπληρώματος μας δίνει την πιθανότητα να ΜΗΝ συμβαίνει ένα ενδεχόμενο. Δηλαδή: P(A C ) = 1 P(A) Για παράδειγμα, στην απλή ρίψη ενός ζαριού, η πιθανότητα να φέρουμε 1 ισούται με 1/6. Η πιθανότητα να φέρουμε οποιοδήποτε αριθμό εκτός από 1 υπολογίζεται ίση με 1 1/6 = 5/6. Copyright 2009 Cengage Learning 6.32

33 Κανόνας Πολλαπλασιασμού Ο κανόνας πολλαπλασιασμού χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της συνδυασμένης πιθανότητας δύο ενδεχομένων. Προκύπτει από τον τύπο υπολογισμού της δεσμευμένης πιθανότητας: και Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με P(B) έχουμε: P(A και B) = P(A B) P(B) Ομοίως, P(A και B) = P(B A) P(A) Εάν τα A και B είναι ανεξάρτητα, τότε P(A και B) = P(A) P(B) Copyright 2009 Cengage Learning 6.33

34 Παράδειγμα 6.5 Ένα μάθημα στατιστικής παρακολουθείται από επτά αγόρια και τρία κορίτσια. Ο καθηγητής θέλει να επιλέξει τυχαία δύο φοιτητές για να τον βοηθήσουν σε μια εργασία. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν δύο κορίτσια; Έστω A το ενδεχόμενο ο πρώτος φοιτητής που επιλέγεται να είναι κορίτσι P(A) = 3/10 =.30 Τι γίνεται με τη δεύτερη επιλογή; Copyright 2009 Cengage Learning 6.34

35 Παράδειγμα 6.5 Ένα μάθημα στατιστικής παρακολουθείται από επτά αγόρια και τρία κορίτσια. Ο καθηγητής θέλει να επιλέξει τυχαία δύο φοιτητές για να τον βοηθήσουν σε μια εργασία. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν δύο κορίτσια; Έστω B το ενδεχόμενο ο δεύτερος φοιτητής που επιλέγεται να είναι κορίτσι P(B A) = 2/9 =.22 Δηλαδή, η πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι δεδομένου ότι έχει ήδη επιλεγεί ο πρώτος φοιτητής είναι 2 (κορίτσια) / 9 (εναπομείναντες φοιτητές) = 2/9 Copyright 2009 Cengage Learning 6.35

36 Παράδειγμα 6.5 Ένα μάθημα στατιστικής παρακολουθείται από επτά αγόρια και τρία κορίτσια. Ο καθηγητής θέλει να επιλέξει τυχαία δύο φοιτητές για να τον βοηθήσουν σε μια εργασία. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν δύο κορίτσια; Επομένως, θέλουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: ποια είναι η P(A και B) ; P(A και B) = P(A) P(B A) = (3/10)(2/9) = 6/90 =.067 Υπάρχει 6.7% πιθανότητα ο καθηγητής να επιλέξει δύο κορίτσια από αυτή την τάξη των 10 ατόμων. Copyright 2009 Cengage Learning 6.36

37 Παράδειγμα 6.6 Επανερχόμαστε στο προηγούμενο παράδειγμα. Ο καθηγητής έχει γρίπη και τα επόμενα δύο μαθήματα θα τα παραδώσει ένας αντικαταστάτης του. Αυτός επιλέγει σε κάθε μάθημα έναν φοιτητή στην τύχη και του ζητάει να απαντήσει σε ορισμένες ερωτήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν δύο κορίτσια; Έστω A το ενδεχόμενο ο πρώτος φοιτητής που επιλέγεται να είναι κορίτσι P(A) = 3/10 =.30 Τι γίνεται με το δεύτερο φοιτητή; Copyright 2009 Cengage Learning 6.37

38 Παράδειγμα 6.6 Έστω B το ενδεχόμενο ο δεύτερος φοιτητής που επιλέγεται να είναι κορίτσι. P(B A) = 3/10 =.30 Δηλαδή, η πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι δεδομένου ότι ο πρώτος φοιτητής έχει ήδη επιλεγεί παραμένει ίδια, αφού ο φοιτητής που επιλέχθηκε στο πρώτο μάθημα μπορεί να επιλεγεί πάλι στο δεύτερο. P(A και B) = P(A) P(B A) = (3/10)(3/10) = 9/100 =.090 Copyright 2009 Cengage Learning 6.38

39 Κανόνας Πρόσθεσης Θυμίζουμε ότι: ο κανόνας πρόσθεσης χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας να συμβεί το ενδεχόμενο A ή να συμβεί το B ή να συμβούν και το A και το B, δηλ. η ένωση των A και B. P(A ή B) = P(A) + P(B) P(A και B) A B = A + B P(A ή B) = P(A) + P(B) P(A και B) Εάν τα A και B είναι ασυμβίβαστα, τότε αυτός ο όρος μηδενίζεται Copyright 2009 Cengage Learning 6.39

40 Παράδειγμα 6.7 Σε μια πόλη, εκδίδονται δύο εφημερίδες, η Sun και η Post. Τα δίκτυα διανομής αναφέρουν ότι το 22% των νοικοκυριών της πόλης είναι συνδρομητές της Sun και το 35% είναι συνδρομητές της Post. Μια έρευνα έδειξε ότι το 6% των νοικοκυριών είναι συνδρομητές και στις δύο εφημερίδες. Ποιο ποσοστό των νοικοκυριών είναι συνδρομητές σε κάποια από τις εφημερίδες; Δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουμε τυχαία ένα νοικοκυριό το οποίο να έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post ή και στις δύο; Δηλ. ποια είναι η P(Sun ή Post) ; Copyright 2009 Cengage Learning 6.40

41 Παράδειγμα 6.7 Σε μια πόλη, εκδίδονται δύο εφημερίδες, η Sun και η Post. Τα δίκτυα διανομής αναφέρουν ότι το 22% των νοικοκυριών της πόλης είναι συνδρομητές της Sun και το 35% είναι συνδρομητές της Post. Μια έρευνα έδειξε ότι το 6% των νοικοκυριών είναι συνδρομητές και στις δύο εφημερίδες. Ποιο ποσοστό των νοικοκυριών είναι συνδρομητές σε κάποια από τις εφημερίδες; P(Sun ή Post) = P(Sun) + P(Post) P(Sun και Post) = =.51 Υπάρχει 51% πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο νοικοκυριό να έχει συνδρομή στη μία ή στην άλλη ή και στις δύο εφημερίδες Copyright 2009 Cengage Learning 6.41

42 Δένδρα Πιθανοτήτων Μια αποτελεσματική και απλή μέθοδος για την εφαρμογή των κανόνων υπολογισμού πιθανοτήτων είναι το δένδρο πιθανοτήτων, όπου τα ενδεχόμενα ενός πειράματος αναπαριστώνται με γραμμές. Το σχήμα που προκύπτει μοιάζει με δένδρο. Θα κατασκευάσουμε το δένδρο πιθανοτήτων σε μερικά παραδείγματα, ξεκινώντας από τα δύο που έχουμε ήδη δει μόνο με τους κανόνες υπολογισμού. Copyright 2009 Cengage Learning 6.42

43 Παράδειγμα 6.5 P(Κ), η πιθανότητα ο πρώτος φοιτητής να είναι κορίτσι Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή P(Κ Κ), η πιθανότητα ο δεύτερος φοιτητής να είναι κορίτσι δεδομένου ότι ήδη έχει επιλεγεί κορίτσι την πρώτη φορά Copyright 2009 Cengage Learning 6.43

44 Δένδρα Πιθανοτήτων Στο τέλος των κλαδιών, υπολογίζουμε τις συνδυασμένες πιθανότητες ως το γινόμενο των πιθανοτήτων των προηγούμενων κλαδιών. Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή Συνδυασμένες πιθανότητες P(ΚΚ)=(3/10)(2/9) P(ΚΑ)=(3/10)(7/9) P(ΑΚ)=(7/10)(3/9) P(ΑΑ)=(7/10)(6/9) Copyright 2009 Cengage Learning 6.44

45 Παράδειγμα 6.6 Υποθέτουμε πάλι ότι έχουμε την τάξη των 10 φοιτητών, αλλά οι φοιτητές ως στοιχεία του δειγματικού χώρου είναι ανεξάρτητοι, έχουμε δηλαδή επανατοποθέτηση ένας φοιτητής μπορεί να επιλεγεί την πρώτη φορά και να επιλεγεί πάλι τη δεύτερη. Το δένδρο και οι συνδυασμένες πιθανότητες θα είναι: ΚΚ P(ΚΚ)=(3/10)(3/10) ΚΑ ΑΚ P(ΚΑ)=(3/10)(7/10) P(ΑΚ)=(7/10)(3/10) ΑΑ P(ΑΑ)=(7/10)(7/10) Copyright 2009 Cengage Learning 6.45

46 Δένδρα Πιθανοτήτων Οι πιθανότητες που αντιστοιχούν στο σύνολο κλαδιών που ξεκινούν από έναν κόμβο πρέπει να αθροίζονται στο 1.00 Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή 2/9 + 7/9 = 9/9 = 1 Εύκολος τρόπος ελέγχου! 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1 3/9 + 6/9 = 9/9 = 1 Copyright 2009 Cengage Learning 6.46

47 Δένδρα Πιθανοτήτων Σημείωση: δεν είναι υποχρεωτικό τα κλαδιά να χωρίζονται δυαδικά, ούτε το δένδρο να έχει μόνο δύο επίπεδα βάθους, ούτε να υπάρχει το ίδιο πλήθος διαχωρισμών σε κάθε υποκόμβο Copyright 2009 Cengage Learning 6.47

48 Παράδειγμα 6.8 Οι πτυχιούχοι της Νομικής πρέπει να περάσουν μια ειδική εξέταση. Υποθέτουμε ότι το ποσοστό επιτυχίας την πρώτη φορά είναι 72%. Μπορούν να ξαναδώσουν εάν αποτύχουν και το ποσοστό επιτυχίας όσων δίνουν δεύτερη φορά είναι 88%. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος υποψήφιος να περάσει την εξέταση; Πρώτη εξέταση P(Επιτυχία) =.72 Δεύτερη εξέταση P(Αποτυχία και Επιτυχία)= (.28)(.88)=.2464 P(Αποτυχία και Αποτυχία) = (.28)(.12) =.0336 Copyright 2009 Cengage Learning 6.48

49 Παράδειγμα 6.8 Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος υποψήφιος να περάσει την εξέταση; Υπάρχει περίπου 97% πιθανότητα να περάσει την εξέταση P(Επιτυχία) = P(Επιτυχία 1 η ) + P(Αποτυχία 1 η και Επιτυχία 2 η ) = = =.9664 Πρώτη εξέταση P(Επιτυχία) =.72 Δεύτερη εξέταση P(Αποτυχία και Επιτυχία)= (.28)(.88)=.2464 P(Αποτυχία και Αποτυχία ) = (.28)(.12) =.0336 Copyright 2009 Cengage Learning 6.49

50 Νόμος του Bayes Η ονομασία του νόμου οφείλεται στον Thomas Bayes, έναν μαθηματικό του 18 ου αιώνα. Στην πιο βασική του μορφή, εάν γνωρίζουμε την P(B A), μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα P(A B) εάν εφαρμόσουμε το Νόμο του Bayes P(B A) P(A B) για παράδειγμα Copyright 2009 Cengage Learning 6.50

51 Παράδειγμα 6.9 Κόστος $500 για MBA προετοιμασία; Η εξέταση Graduate Management Admission Test (GMAT) είναι προαπαιτούμενη για όλους τους υποψήφιους MBA προγραμμάτων. Υπάρχουν διάφορα μαθήματα προετοιμασίας σχεδιασμένα να βοηθούν στην αύξηση του βαθμού στην εξέταση GMAT, βαθμός που κυμαίνεται από 200 έως 800. Υποθέτουμε ότι μία έρευνα μεταξύ MBA φοιτητών έδειξε ότι από αυτούς που πέτυχαν GMAT βαθμολογία τουλάχιστον 650, το 52% είχε παρακολουθήσει μάθημα προετοιμασίας, ενώ από αυτούς που πέτυχαν GMAT βαθμολογία κάτω από 650 μόνο το 23% είχε παρακολουθήσει μάθημα προετοιμασίας. Ένας υποψήφιος για MBA πρόγραμμα υπολόγισε ότι πρέπει να γράψει τουλάχιστον 650 για να εισαχθεί στο πρόγραμμα που επιθυμεί, αλλά πιστεύει ότι η πιθανότητα να πετύχει τόσο υψηλή βαθμολογία είναι αρκετά μικρή--10%. Σκέφτεται να παρακολουθήσει ένα μάθημα προετοιμασίας το οποίο κοστίζει $500. Προτίθεται να το παρακολουθήσει μόνο εάν η πιθανότητα να γράψει 650 ή παραπάνω διπλασιάζεται. Τι πρέπει να κάνει; Copyright 2009 Cengage Learning 6.51

52 Παράδειγμα 6.9 Μετατροπή σε Συμβολισμό Στατιστικής Έστω A = GMAT βαθμολογία τουλάχιστον 650, επομένως A C = GMAT βαθμολογία κάτω από 650 Ο φοιτητής μας έχει καθορίσει την πιθανότητα να γράψει 650 ή παραπάνω (χωρίς καμία προετοιμασία) στο 10%, δηλαδή: P(A) =.10 Άρα P(A C ) = 1.10 =.90 Copyright 2009 Cengage Learning 6.52

53 Παράδειγμα 6.9 Μετατροπή σε Συμβολισμό Στατιστικής Έστω B το ενδεχόμενο παρακολουθώ μάθημα προετοιμασίας επομένως, B C είναι δεν παρακολουθώ μάθημα προετοιμασίας Από την έρευνα γνωρίζουμε ότι μεταξύ αυτών που έχουν GMAT βαθμολογία τουλάχιστον 650, το 52% παρακολούθησε μάθημα προετοιμασίας, δηλαδή: P(B A) =.52 (Η πιθανότητα να βρούμε φοιτητή που παρακολούθησε μάθημα προετοιμασίας δεδομένου ότι έγραψε πάνω από 650 ) Ο φοιτητής μας θέλει να γνωρίζει την P(A B), δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα να γράψει πάνω από 650 με δεδομένο ότι έχει παρακολουθήσει ένα μάθημα προετοιμασίας; Εάν αυτή η πιθανότητας είναι > 20%, θα ξοδέψει $500 για το μάθημα προετοιμασίας. Copyright 2009 Cengage Learning 6.53

54 Παράδειγμα 6.9 Μετατροπή σε Συμβολισμό Στατιστικής Μεταξύ αυτών που έχουν GMAT βαθμολογία κάτω από 650 μόνο το 23% παρακολούθησε μάθημα προετοιμασίας. Αυτό σημαίνει ότι: P(B A C ) =.23 (Η πιθανότητα να βρούμε κάποιον που παρακολούθησε μάθημα προετοιμασίας δεδομένου ότι έγραψε κάτω από 650 ) Copyright 2009 Cengage Learning 6.54

55 Παράδειγμα 6.9 Μετατροπή σε Συμβολισμό Στατιστικής Οι δεσμευμένες πιθανότητες είναι P(B A) =.52 και P(B A C ) =.23 Χρησιμοποιώντας τον κανόνα συμπληρώματος βρίσκουμε τις δεσμευμένες πιθανότητες και P(B C A) = =.48 P(B C A C ) = =.77 Copyright 2009 Cengage Learning 6.55

56 Παράδειγμα 6.9 Συνέχεια Προσπαθούμε να καθορίσουμε την P(A B), και ίσως μας βοηθήσει ο ορισμός της δεσμευμένης πιθανότητας που είδαμε νωρίτερα και Δεν γνωρίζουμε την P(A και B) και δεν γνωρίζουμε ούτε την P(B). Μάλλον πρέπει να κατασκευάσουμε δένδρο πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 6.56

57 Παράδειγμα 6.9 Συνέχεια Προκειμένου να πάμε από την P(B A) = 0.52 στην P(A B) =?? πρέπει να εφαρμόσουμε το Νόμο του Bayes. Γραφικά: βαθμολογία 650 μάθημα προετοιμασίας A και B A και B C A C και B Τώρα χρειαζόμαστε μόνο την P(B)! A C και B C Copyright 2009 Cengage Learning 6.57

58 Παράδειγμα 6.9 Συνέχεια Προκειμένου να πάμε από την P(B A) = 0.52 στην P(A B) =?? πρέπει να εφαρμόσουμε το Νόμο του Bayes. Γραφικά: βαθμολογία 650 μάθημα προετοιμασίας A και B A και B C Ολική Πιθανότητα P(B) = P(A και B) + P(A C και B) =.259 A C και B A C και B C Copyright 2009 Cengage Learning 6.58

59 Παράδειγμα 6.9 Άρα, και Η πιθανότητα να γράψει 650 ή παραπάνω διπλασιάζεται σε 20.1%, επομένως θα παρακολουθήσει το μάθημα προετοιμασίας. Copyright 2009 Cengage Learning 6.59

60 Ορολογία Οι πιθανότητες P(A) και P(A C ) καλούνται πρότερες πιθανότητες επειδή καθορίζονται πριν από τη λήψη της απόφασης. Η δεσμευμένη πιθανότητα P(A B) καλείται ύστερη πιθανότητα (ή αναθεωρημένη πιθανότητα), επειδή η πρότερη πιθανότητα αναθεωρείται μετά τη λήψη της απόφασης σχετικά με την παρακολούθηση του μαθήματος προετοιμασίας. Copyright 2009 Cengage Learning 6.60

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική;

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική; ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 968, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ ής Ι. Μ ητ ρ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Έξι Πιθανότητες

Κεφάλαιο Έξι Πιθανότητες Κεφάλαιο Έξι Πιθανότητες Copyright 2009 Cengage Learning 6.1 Τρόποι Ορισμού Πιθανοτήτων Υπάρχουν τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις για τον ορισμό μιας πιθανότητας, P(O i ), σε ένα αποτέλεσμα, O i : Κλασσική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες:

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Ενότητα 0 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Τα δεδομένα με τα οποία ασχολείται η Στατιστική προέρχονται από παρατηρήσεις και πειράματα που εμπίπτουν σε οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα