ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ"

Transcript

1 ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ Συνοδευτικές, μόνον, σημειώσεις της ομιλίας του Γ. Σ. Γεωργακάκου στην ΕΕΔΕ την 2/2/2015 Οι σημειώσεις και οι διαφάνειες κατωτέρω συνοδεύουν, απλώς, την ομιλία του Γ. Γεωργακάκου και στοχεύουν να λειτουργήσουν ως μνημονικό βοήθημα και όχι να υποκαταστήσουν την ομιλία για την κατανόηση του θέματος Page 1 of 43

2 ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ. Ένας καλός υπότιτλος: «Μια Εκπαιδευτική Ενημέρωση του Προσωπικού της Παραγωγής στις Βασικές Αρχές της Βιομηχανικής Δειγματοληψίας» ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΤΟ ΑΚΡΟΑΤΗΡΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΙΜΗ, ΤΗΝ ΕΕΔΕ ΓΙΑ ΤΗΝ ΓΕΝΝΑΙΟΔΩΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΧΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΙΘΟΥΣΑΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΦΠ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΔΙΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΟΥΛΙΑ ΤΟΥ. ΠΟΙΟΣ ΕΙΜΑΙ: Κυρίως Μηχανικός-Εκπαιδευτικός ΤΙ ΘΑ ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΘΥΜΟΣΑΣΤΕ ΑΥΡΙΟ Τον υπ αριθμόν 4 λόγο και δύο ακόμη λόγους εκ των κάτωθι έξι για τους οποίους αξίζει να ασχολούμαστε με το θέμα της δειγματοληψίας, ιδίως στην ελληνική πραγματικότητα. Συγκεκριμένα: 1. Ότι γίνονται πολλά λάθη στην εφαρμογή της δειγματοληψίας, και ότι αυτά κοστίζουν ή ακυρώνουν την διεργασία της δειγματοληψίας. 2. Ότι με σχετικά μικρή επένδυση στην εκπαίδευση των χειριστών, επιθεωρητών και του προσωπικού της παραγωγής, η αποτελεσματικότητα της δειγματοληψίας βελτιώνεται αισθητά. ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΝΑ ΔΟΚΙΜΑΣΘΕΙ. 3. Με καλύτερη γνώση της θεωρίας της δειγματοληψίας, εμμέσως βελτιώνονται οι σχέσεις εσωτερικών ή εξωτερικών «προμηθευτών- πελατών», των διαφόρων τμημάτων παραγωγής και των άλλων τμημάτων που επικουρούν την παραγωγή, υποχρεώνουν σε διορθωτικές ενέργειες, ενώ μειώνεται η γκρίνια. 4. Η κατανόηση της θεωρίας και της εφαρμογής της Χαρακτηρίζουσας Καμπύλης (Operating Curve, OC) είναι το βασικότερο στοιχείο σε αυτή την εκπαιδευτική απόπειρα. 5. Επιμένουμε στην κατανόηση της Δειγματοληψίας βάσει Ιδιοτήτων για λόγους πρακτικούς. Εξ αυτής, η κατανόηση των λοιπών ειδών δειγματοληψίας είναι σχετικά εύκολη. 6. Προκαλούνται ενδιαφέρουσες ερωτήσεις σχετικά με τον Στατιστικό Τρόπο Σκέψης (Statistical Thinking) απαραίτητο στοιχείο για σημαντικές βελτιώσεις στην Ποιότητα και την Διαχείριση Παραγωγής. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 2 of 43

3 ΠΟΙΟΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΟΜΙΛΙΑΣ Να καλύψει τα διάφορα είδη Δειγματοληψίας ή ακόμα και την χρήση του όποιου σχετικού προτύπου Σήμερα, θα είμαστε επιλεκτικοί στην παρουσίαση της δειγματοληψίας διότι στον περιορισμένο χρόνο είναι αδύνατον η ομιλία να καλύψει τα διάφορα είδη Δειγματοληψίας ή τα διάφορα ΣΧΕΤΙΚΆ πρότυπα Να υποτιμήσει τις γνώσεις του παρόντος ακροατηρίου επαναλαμβάνοντας πασίγνωστες κοινοτυπίες, εξ ού και ο υπότιτλος της ομιλίας. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 3 of 43

4 ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΠΑΜΠΟΛΛΑ ΕΙΔΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΥΤΩΝ ΕΙΝΑΙ Η ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ: Αποδοχής Βάσει Ιδιοτήτων (περνά-δεν περνά) Απλή, Διπλή, Πολλαπλή, Διαδοχική, NLS (Narrow Limit Sampling) Βάσει Μεταβλητών Αλυσιδωτή Συνεχής (CSP-1, CSP-2, CSP-3) Άλλες εφαρμογές της δειγματοληψίας. Για κάθε μία εκ των ανωτέρω, υπάρχουν υποκατηγορίες και μέθοδοι. Για παράδειγμα το απόσπασμα κατωτέρω από το πρότυπο MIL-STD-105E/ ANSI-ASQ Z1.4 για την δειγματοληψία αποδοχής βάσει ιδιοτήτων δείχνει την δυσκολία να επεκταθεί η διάλεξη σε άλλα σχετικά θέματα: Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 4 of 43

5 Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 5 of 43

6 Εκ των ανωτέρω γίνεται κατανοητό ότι για να είμαστε αποτελεσματικοί θα πρέπει η εκπαιδευτική προσέγγιση σημερινή ομιλία να είναι ιδιαίτερα επιλεκτική και περιορισμένης στόχευσης. Ουσιαστικά θα πρέπει να δίνει μια σχετικά πειστική απάντηση στα κυριότερα προβλήματα που συχνά εμφανίζονται κατά την εφαρμογή της Δειγματοληψίας Αποδοχής στην (ελληνική κυρίως, βιομηχανία. Για τον λόγο αυτό θα επικεντρωθούμε στην κατανόηση της Χαρακτηρίζουσας Καμπύλης η οποία βασίζεται σε AQL για την Δειγματοληψία βάσει ιδιοτήτων. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 6 of 43

7 Ιδού η εμφάνιση μιας Χαρακτηρίζουσας Καμπύλης δειγματοληψίας στην οποία θα επανέλθουμε και θα εξηγήσουμε αργότερα. Πιθανότητα αποδοχής 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON. Πιθανότητα Αποδοχής για Δείγμα 125 τεμ με κριτήριο αποδοχής 1) μέχρι ΚΑΙ ΤΡΙΑ ελαττωματικά. c=3 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 Ποιότητα Εισερχομένων (ελαττωματικά %) Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 7 of 43

8 Το σχήμα που ακολουθεί δείχνει παραστατικά τρεις διεργασίες. Η πρώτη (Τ) είναι υπό Στατιστικό Έλεγχο ενώ οι άλλες (Υ) και (Ψ) είναι εκτός Στατιστικού ελέγχου.. Από το βιβλίο «Στατιστικός Έλεγχος Διεργασίας» του Γ. Γεωργακάκου, Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών «Διασφάλιση Ποιότητας» Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 8 of 43

9 Η ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Τα μαθηματικά είναι επιστήμη ΑΠΑΓΩΓΙΚΗ, όπου αρχόμενοι από το γενικό συμπέρασμα (από την γενική αλήθεια), καταλήγουμε στην ειδική περίπτωση π.χ. ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο εάν ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα. Αντιθέτως, η δειγματοληψία είναι επιστήμη ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ διότι από το ειδικό συμπέρασμα (δείγμα) επάγουμε πιθανή μόνον αλήθεια για το γενικό σύνολο (πληθυσμό). Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 9 of 43

10 Η ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ, ΙΣΤΟΡΙΚΑ Η δειγματοληψία χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα εμπειρικά. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι από αρχαιοτάτων χρόνων, χρησιμοποιείται δειγματικό μέγεθος ανάλογο του μεγέθους του πληθυσμού. Με επιστημονική βάση, η δειγματοληψία εμφανίζεται σχετικά προσφάτως. Η μεγάλη αλλαγή συντελείται στο πρώτο μισό του προηγούμενου αιώνα, ιδιαιτέρως την δεκαετία του 20 με τις εργασίες του Dodge και των συνεργατών του κυρίως στα εργαστήρια BELL LABORATORIES, όπου συντελούνται «θαύματα» στον χώρο της εφαρμοσμένης στατιστικής, με καταλυτικές επιπτώσεις στην Παραγωγή και στην Ποιότητα. Στα ίδια εργαστήρια εργάσθηκαν οι Dodge, Shewhart, Romig, Dehming, Juran κ.α. Σε συνδυασμό με τον Στατιστικό Έλεγχο Διεργασίας, μέσω στατιστικής, αναδεικνύεται ότι η κάθε διεργασία έχει τα όρια της τα οποία είναι συγκεκριμένα και μετρήσιμα. Έτσι η διάθεση και εν μέρει η ικανότητα του χειριστή και των επιθεωρητών δεν είναι ο κύριος παράγων για την απεριόριστη βελτίωση της ποιότητας. Είναι η στατιστική ανάλυση, η θεωρία και ο στατιστικός σχεδιασμός που αναγνωρίζει αυτά τα όρια. Είχε προηγηθεί μια σημαντική περίοδος ανάπτυξης προτύπων στην βιομηχανία με σημαντικότερη την εφαρμογή των συστημάτων εξειδίκευσης του Taylor και της λεγόμενης «Επιστημονικής Διαχείρισης της Παραγωγής». Οι Dodge και Romig δημιουργούν τους πρώτους πίνακες επιστημονικής δειγματοληψίας που βασίζονται στην Πιθανοτική (στο ρίσκο β, του καταναλωτή). Ακολουθεί μια περίοδος αισιοδοξίας, έρευνας και εφαρμογής της Δειγματοληψίας και του Στατιστικού Ελέγχου Διεργασίας. Γεμίζουν οι τοίχοι των εργοστασίων με διαγράμματα ελέγχου και πίνακες δειγματοληψίας, συχνά δυστυχώς, με οδηγίες μορφής συνταγής μαγειρικής και με ανεπαρκή κατανόηση και ανάλυση. Κατά την διάρκεια του Πολέμου συνεχίζεται η έρευνα και η εφαρμογή της δειγματοληψίας. Με το πέρας του Πολέμου, οι ΗΠΑ είναι ο απόλυτος κύριος στην βιομηχανία και την παραγωγή. Έχει το μονοπώλιο στην βιομηχανία και παραγωγή καταναλωτικών αγαθών. Οι πολίτες της έχουν χρήματα αλλά δεν Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 10 of 43

11 επαρκούν τα καταναλωτικά αγαθά για την ζήτηση λόγω της πολεμικής προσπάθειας που είχε προηγηθεί. Αναπόφευκτα η Ποιότητα υποφέρει και μαζί της τα επιστημονικά εργαλεία που επικουρούν την «σωστή» παραγωγή. Ακολουθεί η γνωστή ιστορία της επιτυχημένης ιαπωνικής ανάπτυξης, όπου δίδεται έμφαση στις στατιστικές μεθόδους. Μηχανικοί και τεχνίτες εκπαιδεύονται σε στατιστικές μεθόδους ακόμη και μέσω των ραδιοφωνικών βραχέων κυμάτων. Το MIL-STD-105 ορίζει τα πλαίσια επιστημονικής δειγματοληψίας το οποίο στην έκδοση Ε αγγίζει τα όρια του για δειγματοληψία per se. Η Ιαπωνία προοδεύει εντυπωσιακά. Η Δύση ξυπνά κάπως αργά. Το 1987 η MOTOROLA ανακοινώνει το σύστημα 6 Sigma (6σ) το οποίο έχει ως ΚΥΡΙΟ όχημα υλοποίησης την στατιστική. Το σύστημα 6σ, υιοθετείται ευρέως, τουλάχιστον ρητορικά, έστω και με κάπως διαφορετικά ονόματα. Βασικά του εργαλεία θεωρούνται επίσης τα κλασσικά εργαλεία που βασίζονται στην στατιστική π.χ. Στατιστικός Έλεγχος Διεργασίας (SPC), δειγματοληψία, κλπ. Διάφορα συστήματα Ολικής Ποιότητας με παραπλήσια ονόματα ανακυκλώνονται για να δηλώσουν ή να εφαρμόσουν γνωστές καλές πρακτικές νοικοκυρέματος. Το ISO 9001, το οποίο ήταν μια τροποποίηση του MIL-Q-9858A και του AQAP 1, στην πραγματικότητα δεν συνεισέφερε καθόλου στην ανάπτυξη των στατιστικών μεθόδων στην Παραγωγή. Αντιθέτως, λόγω της εμφάσεως στην Πιστοποίηση από Τρίτο Μέρος παρατηρείται μία μείωση στα σχετικά εκπαιδευτικά προγράμματα, στις στατιστικές εφαρμογές σε θέματα ποιότητας και σημειώνεται μια σημαντική πτώση στον αριθμό των μελών του στατιστικού τμήματος της Αμερικανικής Εταιρείας Ποιότητας (ASQ), όπως δείχνει το γράφημά της κατωτέρω, τουλάχιστον μέχρι προσφάτως. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 11 of 43

12 Εκείνη την εποχή, η δειγματοληψία και τα διαγράμματα στατιστικού ελέγχου ενοχοποιούνται (κακώς) ότι λειτουργούν ως εργαλεία εφησυχασμού και αποδοχής κακής ποιότητας. Το Στατιστικό Τμήμα της Αμερικανικής Εταιρείας Ποιότητας (ASQ) εισάγει τον όρο Στατιστικός Τρόπος Σκέψης (Statistical Thinking) και δημιουργεί «σχολή» με βάση αυτήν την φιλοσοφία. Υπάρχουν διαφορετικές διατυπώσεις της ίδιας φιλοσοφίας κατά διάφορα χρονικά σημεία. Μία χαρακτηριστική διατύπωση από την ASQ είναι η ακόλουθη: Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 12 of 43

13 Στατιστική Προσέγγιση/Στατιστικός Τρόπος Σκέψης Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 13 of 43

14 Η ΚΡΙΤΙΚΗ ΚΑΤΑ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Από την εποχή του 80, εμφανίζεται μια κριτική κατά της δειγματοληψίας καθώς και του Στατιστικού Ελέγχου Διεργασίας (ΣΕΔ) ότι δεν είναι παρά «εργαλεία συντήρησης και εφησυχασμού αντί να είναι όργανα προτροπής για συνεχή βελτίωση και μείωση της διασποράς, ότι απαιτούν συνεχείς προσθέσεις και διαιρέσεις και διαγράμματα, ότι επιτρέπουν μεγάλο ρίσκο τύπου α (καλά τεμάχια που απορρίπτονται) και τύπου β (σκάρτα που περνούν) και ότι είναι ένα "απολίθωμα" από την εποχή που δεν υπήρχαν ούτε ηλ. υπολογιστές, αλλά ούτε καν απλοί φθηνοί υπολογιστές χειρός που να μπορούν να υπολογίζουν την τυπική απόκλιση μιας κανονικής κατανομής. Ενώ, συνεχίζει η κριτική, η ποιότητα που απαιτείται είναι σε διεργασίες με μη συμμορφούμενα λιγότερα των 3 μονάδων στο εκατομμύριο» (Keki R. Bhote, πρώην συμβούλου της Motorola στο βιβλίο του «World Class Quality»). Η κριτική αυτή είναι άδικη. και, τουλάχιστον αρχικά, επηρεάζει σχεδόν όλους Επειδή η στατιστική επιστήμη είναι απαιτητική σε χρόνο και προσπάθεια ήταν εύκολο να εγκαταλειφθεί προς χάριν μεθόδων για «γρήγορες και θαυματουργές μεθόδους». Δεν έχω πρόσφατα στοιχεία αλλά από διαίσθηση και ανάγνωση αγγελιών προλήψεως στατιστικών, στατιστικά μισθολογικών απολαβών, δημοσιεύσεων κ.α. υπάρχει ένα ανανεωμένο και έντονο ενδιαφέρον στις εφαρμογές της στατιστικής στην Ποιότητα. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 14 of 43

15 ΜΕΡΙΚΑ ΑΠΟ ΤΑ ΣΥΝΗΘΗ ΛΑΘΗ ΚΑΙ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ, ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ (ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΤΟΥ ΔΙΟΣ) Η Ελλάδα των μικρών επιχειρήσεων. Στα μέσα της δεκαετίας του 80, ο καθηγητής Μάνατζμεντ και Ανθρώπινων Πόρων. Δημήτρης Μπουραντάς, τότε Επίκουρος Καθηγητής, δημοσίευσε μια έρευνα για τις Ελληνικές Επιχειρήσεις στην οποία αναφέρθηκε σ αυτό που απεκάλεσε «Σύνδρομο του Δία». Ο ιδιοκτήτης «τα ξέρει όλα» τοποθετεί συγγενείς ή ανθρώπους εμπιστοσύνης σε θέσεις κλειδιά (και για να τα ξέρει όλα), ενεργεί από διαίσθηση, είναι απανταχού παρόν και επαναλαμβάνει «Φτού να πάρει εγώ πρέπει να τα κάνω όλα για να γίνεται κάτι». Ίσως θυμάστε και το φιλμ του Βαφέα «το Εργοστάσιο». Οι καθημερινές πιέσεις δεν επιτρέπουν την ανασκόπηση για επικαιρότητα και ορθότητα πρακτικών στην παραγωγή και στην ποιότητα Ο Διευθυντής Διασφάλισης Ποιότητας, αυτός ο Μάρτυρας. Ακινδύνου, Ελπιδοφόρου, Ανεμποδίστου μαρτύρων της εκκλησίας μας (2 Νοεμβρίου) Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 15 of 43

16 Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 16 of 43

17 Υπάρχουν ακόμα αρκετές τέτοιες επιχειρήσεις. Δεν πρέπει να αγνοήσουμε την ύπαρξή τους. Ένα φόρουμ ποιότητας, δηλαδή μια εταιρεία διάδοσης της επιστημονικής πρακτικής και γνώσης, θα μπορούσε αλτρουιστικά και με πειστικό τρόπο να μεταφέρει αρκετή από την συσσωρεμένη εμπειρία της στον τομέα αυτόν. Σχεδόν όλες αυτές οι επιχειρήσεις (και όχι μόνον αυτές), με την μιά μορφή ή την άλλη, εφαρμόζουν κάποιο είδος δειγματοληψίας και την εφαρμόζουν με ελλιπή γνώση, ευκαιριακά, αυθαίρετα, ενίοτε και μόνον για δημόσιες σχέσεις (πελάτες, ISO 9001) ή ακόμα και για άλλες σκοπιμότητες. Ένα τραγικό και πανάκριβο αποτέλεσμα. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΠΟΥ ΕΜΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ. Μεταξύ άλλων, σημαντικές λανθασμένες πρακτικές οφείλονται στους κάτωθι λόγους: 1. Ανεπαρκής θεωρητική κατανόηση της δειγματοληψίας στο επίπεδο της Παραγωγής αλλά και της Γενικής Διοίκησης. (Ανεπαρκής είναι συνήθως και η απάντηση στην ερώτηση: Τί ακριβώς επιδιώκουμε να επιτύχουμε με την δειγματοληψία;). Παρ ότι συζητείται, ενίοτε, το θέμα της Δειγματοληψίας (Δ) με τον προμηθευτή, σχεδόν ποτέ δεν ελέγχεται η βαθύτερη κατανόηση της δειγματοληψίας στις συμφωνίες ή επιθεωρήσεις 2 ου ή 3 ου είδους. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 17 of 43

18 2. Ανεπαρκής προετοιμασία στην εισαγωγή της δειγματοληψίας. Έλλειψη συχνής ανασκόπησης της πρακτικής αυτής. 3. Υποτίμηση του αμέσου ή έμμεσου κόστους της δειγματοληψίας και ακόμα περισσότερο της κακής χρήσης αυτής. 4. Ασάφεια ως προς τον ορισμό του στατιστικού πληθυσμού (ή Γενικού Συνόλου ή Παρτίδας), της κατανομής του, εάν η διεργασία είναι υπό έλεγχο ή όχι. (Ορισμός: Στατιστικός Πληθυσμός είναι το σύνολο στοιχείων υπό μελέτη τα οποία έχουν τουλάχιστον ένα κοινό χαρακτηριστικό). Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό για λόγους δειγματοληψίας αποδοχής προϊόντος ή αξιολόγησης διεργασίας, το σύνολο των στοιχείων κάθε παρτίδα προς έλεγχο αποδοχής είναι ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ. Ας αναρωτηθούμε από πού προέρχεται το απόθεμα στην αποθήκη; Συχνά γίνεται το λάθος να αντιμετωπίζονται ενιαία κατά την δειγματοληψία οι διαφορετικές παρτίδες του ιδίου τύπου στην αποθήκη ή στην παραγωγή ή ακόμα και προϊόντα από διαφορετικούς προμηθευτές. 5. Αναντιστοιχία του πλάνου δειγματοληψίας με την ικανότητα ή την επίδοση τής υπό παρακολούθησιν διεργασίας. Συνήθως εφαρμόζεται ένα σχήμα/πλάνο απλής δειγματοληψίας (π.χ. AQL 1%, Κανονικό Επίπεδο), για όλες τις εσωτερικές ή εξωτερικές διεργασίες (passe partout). 6. Επιλέγεται δειγματικό μέγεθος αναλογικού μεγέθους του πληθυσμού. Πχ. 10 τοις εκατό. 7. Επιτρέπονται ανεπίσημες ή εγκεκριμένες άνωθεν κάποιες «μικρές» παρεκκλίσεις: Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 18 of 43

19 4.1. στον αριθμό των αποδεκτών «σκάρτων» (Σημείωση: Στην παρούσα παρουσίαση, χρησιμοποιούμε για ευκολία τον όρο «σκάρτα» για όλες τις διαβαθμίσεις ελαττωμάτων ή μη συμμορφουμένων). Συνήθως οι παρεκκλίσεις συνοδεύονται με την «καημενολογική» απορία: «Τι ψυχή έχει ένα κομμάτι παραπάνω;?;» στο μέγεθος που προδιαγράφει το πρότυπο στην μη χρήση του αυστηρότερου επιπέδου ελέγχου και γενικώς στους κανόνες αλλαγής μεταξύ κανονικού, ελαστικού ή αυστηρού επιπέδου, όταν αυτό απαιτείται από το πρότυπο 8. Τα δείγματα δεν είναι απλά τυχαία δείγματα, αλλά ό,τι βολεύει. 9. Η δειγματοληψία χρησιμοποιείται ως μέσον διαλογής για την βελτίωση της ποιότητας. 10. Οι συγγραφείς των εγχειριδίων δειγματοληψίας, σπανίως συνδυάζουν την θεωρητική με την πρακτική εμπειρία, ώστε να πείθουν τους ανθρώπους της παραγωγής. 11. Διενεργείται δειγματοληψία για εκτεταμένες χρονικές περιόδους ΜΟΛΟΝΟΤΙ μπορεί να είναι γνωστά τοις πάσι προσωρινά ή μόνιμα προβλήματα στον χώρο εργασίας (ειδικά αίτια) που ταλαιπωρούν την συγκεκριμένη διεργασία και γενικότερα την παραγωγή. (π.χ. προβληματικό μηχάνημα, όργανο μέτρησης /ελέγχου, έλλειψη βασικής κατάρτισης χειριστών, ανεπαρκής χρόνος γήρανσης προϊόντος, έλλειψη ανταλλακτικών και υποκατάστατα «πατέντες» ή εναλλακτικές πρώτες ύλες κ.λ.π.). Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 19 of 43

20 12. Σπανίως τα δεδομένα των ελέγχων ανασκοπούνται επαρκώς (εάν ανασκοπούνται), με προσοχή, λεπτομερώς και με ευλάβεια. ΔΕΝ ΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ ΟΙ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΔΙΟΡΘΩΤΙΚΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ που θα υποδείξει η σχετική ανάλυση. ΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΠΟΥ ΣΤΟΧΕΥΕΙ ΣΕ ΑΞΙΟΛΟΓΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Ένα είδος κατανομής Pareto των προαναφερθέντων αιτιατών, θα αναδείκνυε ως κύριο αίτιο την ελλιπή ή ακατάλληλη εκπαίδευση του προσωπικού και της Διεύθυνσης στην βασική θεωρία της δειγματοληψίας. Η εμπειρία μου στην εφαρμογή της δειγματοληψίας στην βιομηχανία επιβεβαιώνει αυτήν την εντύπωση. Οι άνθρωποι «κλειδιά» των οποίων ο προσηλυτισμός και η συμμετοχή είναι καταλυτική για την επιτυχία του εγχειρήματος είναι ο προϊστάμενος της παραγωγής, και ο διευθύνων σύμβουλος της μικρής επιχείρησης. Ο πρώτος λόγω του σκεπτικισμού του προς θεωρίες που δεν λαμβάνουν υπ όψιν τις μεγάλες πιέσεις που δέχεται, και ο δεύτερος διότι γνωρίζει συνήθως το πραγματικά μεγάλο της δειγματοληψίας όταν αυτή λειτουργεί αναποτελεσματικά. ΤΑ ΑΠΛΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΑΡΚΕΤΑ ΠΕΙΣΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Για να πεισθεί ο εκπαιδευόμενος χρειάζεται πειστική εξήγηση. Tα μαθηματικά είναι μια πειστική γλώσσα αρκεί να υπάρχει ισορροπία μεταξύ επάρκειας και απλότητας. Μεταξύ αυτού: Και αυτού: Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 20 of 43

21 Στο δίλλημα εάν θα ήταν δυνατή η πειστική δύναμη των Χαρακτηριστικών Καμπυλών δίχως μαθηματικά, η απάντηση ίσως είναι: Ως συμβιβασμό, δίχως αυστηρές αποδείξεις θα χρησιμοποιήσουμε βασικά μαθηματικά του εγχειριδίου της Γ Λυκείου ως πειστική γλώσσα για την μαθηματική υποστήριξη της Χαρακτηρίζουσας Καμπύλη. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 21 of 43

22 Η ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΣΑ ΚΑΜΠΥΛΗ Πιθανότητα αποδοχής 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON. Πιθανότητα Αποδοχής για Δείγμα 125 τεμ με κριτήριο αποδοχής 1) μέχρι ΚΑΙ ΤΡΙΑ ελαττωματικά. c=3 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 Ποιότητα Εισερχομένων (ελαττωματικά %) Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 22 of 43

23 Η βασική αρχή της Απαρίθμησης Εάν μια διεργασία μπορεί να πραγματοποιηθεί σε ν διαδοχικές φάσεις φ 1, φ 2, φ ν Εάν κάθε φάση φ μ (μ=1,2, ) μπορεί να πραγματοποιηθεί με κ μ τρόπους τότε η διαδικασία μπορεί να πραγματοποιηθεί με κ 1 κ 2 κ 3 κ ν, τρόπους Παράδειγμα: ταξίδι από Θεσσαλονίκη στο Ηράκλειο μέσω Αττικής. Πρώτα με πλοίο, αεροπλάνο, λεωφορείο, τραίνο μέχρι την Αττική και μετά με πλοίο ή αεροπλάνο μέχρι το Ηράκλειο. Σύνολο: Οκτώ τρόποι για να πάς στο Ηράκλειο Διάταξη ν στοιχείων κατά κ στοιχεία είναι κάθε ένας από τους διαφορετικούς τρόπους που βάζουμε κ στοιχεία σε μια σειρά. Το πλήθος των διατάξεων συμβολίζεται είτε με ν Δ κ είτε ν Ρ κ είτε: = Δ ν κ ν(ν-1)(ν-2) (ν-κ+1) Ειδική περίπτωση: Εάν κ=ν, τότε ν Δ κ =ν(ν-1)(ν-2) (ν-ν+1)=ν! δηλαδή η παράγωγος του ν και συμβολίζεται Μ ν =ν! ( διαβάζεται: ν παραγοντικό) Ας ξαναγράψουμε το πλήθος των διατάξεων Δ ν κ = ν(ν-1)(ν-2) (ν-κ+1)= ν(ν-1)(ν-2) (ν-κ+1) 1= ν! = ν(ν-1)(ν-2) (ν-κ+1) [(ν-κ)(ν-κ-1) 3 2 1]/[(ν-κ)(ν-κ-1) 3 2 1]=, ( ν κ)! Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 23 of 43

24 Διατάξεις = Δ ν κ ν! ( ν κ)! και συμβολίζεται επίσης με ν κ Εάν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά κατάταξης των κ στοιχείων, τότε αντί διατάξεων έχουμε πλήθος Συνδυασμών Δ ν κ /κ!= ν! 1 ν = κ!( ν κ)! κ! κ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ: Παρτίδα 49 με μπάλες μπιλιάρδου θα ελεγχθεί μέσω δείγματος 6 μονάδων. Εάν υπάρχουν 6 ελαττωματικές μονάδες σε όλη την παρτίδα, ποιά είναι η πιθανότητα να ευρεθούν 4 ελαττωματικές μονάδες στο δείγμα; Πέντε; Έξι; Αναγνωρίζουμε την πιθανοτική βάση του παιχνιδιού ΛΟΤΤΟ στο παράδειγμα και από το εγχειρίδιο του λυκείου αντιγράφουμε: Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 24 of 43

25 Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 25 of 43

26 Αυτό το αποτέλεσμα, μάς αποκαλύπτει την χρήσιμη ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ HG(x, n, m, N) την οποία θα χρησιμοποιήσουμε προκειμένου να κατανοήσουμε και να σχεδιάσουμε τις Χαρακτηρίζουσες Καμπύλες. ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΟ ΔΕΙΓΜΑ: ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ: ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΗΝ ΠΑΡΤΙΔΑ: ΜΕΓΕΘΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ: x n m N P ( x) N N n m m x = N n Εάν στο παράδειγμα του ΛΟΤΤΟ θελήσουμε να σχεδιάσουμε την πιθανότητα αποδοχής για 1 έως 6 σκάρτα στο δείγμα, αυτό γίνεται εύκολα και με το Excel στον πίνακα κατωτέρω: x m n N x/n P(A) 1/P(A) ,436 2, ,02 0,413 2, ,041 0,132 7, ,061 0,018 56, ,082 9,69E ,102 1,84E ,122 7,15E ,500 0,400 0,300 P(A) P(A) 0,200 0,100 0,000 0,000 0,020 0,041 0,061 0,082 0,102 0,122 Αυτή δεν είναι η Χαρακτηρίζουσα Καμπύλη, αλλά πλησιάζουμε. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 26 of 43

27 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ.XLS ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ (ΧΚ) (LINKED TO EXCEL- (Το φύλλο δεν παρέχεται εδώ) ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΥ ΟΔΗΓΕΙ ΣΕ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΣΑ ΚΑΜΠΥΛΗ. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΔΙΧΩΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΟ ΔΕΙΓΜΑ: ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ: ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΗΝ ΠΑΡΤΙΔΑ: ΜΕΓΕΘΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ: x n m N P ( x) = N m N m N n n x ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ P( X n p x n! p ( n x)! k n x x n x = ) = (1 ) (1 ) k Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON p ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΤΩΝ ΦΥΛΛΩΝ EXCEL ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΟΥ ΛΟΤΤΟ. = ( p n) c! c 0 p0n P( X = p0) = e Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 27 of 43 p

28 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΠΑΡΤΙΔΑΣ ΌΤΑΝ ΜΕΤΑΒΑΛΕΤΑΙ Ο x x/n 0 0,020 0,041 0,061 0,082 0,102 0,122 P(A) 0,436 0,413 0,132 0,018 0,001 1,84E-05 7,15E-08 ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΟ ΔΕΙΓΜΑ: x ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ: n ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΗΝ ΠΑΡΤΙΔΑ: m ΜΕΓΕΘΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ: N /P(A) 2,29 2,42 7,55 56, Εκ του ανωτέρω πίνακος με την βοήθεια του exel όπως επιδεικνύουμε στην παρουσίαση σχεδιάζουμε: 0,600 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΠΑΡΤΙΔΑΣ ΟΤΑΝ ΜΕΤΑΒΑΛΕΤΑΙ το m (δηλ. η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΕΙΣΕΡΧΟΜΕΝΩΝ) x=0 x=1 x=2 x=3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ Pa 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΕΙΣΕΡΧΟΜΕΝΩΝ m/n Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 28 of 43

29 Εκ των ανωτέρω, κατασκευάζουμε την αθροιστική ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΓΙΑ x ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΜΕΧΡΙ: x=0 x=1 x=2 x=3 P(A) P(A) P(A) P(A) 0,522 0,891 0,987 0,999 0,252 0,655 0,908 0,986 0,110 0,415 0,749 0,936 0,042 0,225 0,544 0,828 0,013 0,102 0,339 0,661 0,003 0,036 0,172 0,456 0,0005 0,009 0,064 0,251 Οπότε τώρα εκ του πίνακος ανωτέρω, κατασκευάζουμε την Χαρακτηρίζουσα Καμπύλη 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΓΙΑ x ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΜΕΧΡΙ: x=1 x=2 x=3 x= ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΠΑΡΤΙΔΑΣ (ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ) ΤΩΝ ΕΙΣΕΧΟΜΕΝΩΝ Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 29 of 43

30 Ένα πιο ρεαλιστικό παράδειγμα επί του ιδίου θέματος χρησιμοποιώντας την Γεωμετρική κατανομή είναι το ακόλουθο: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ n=125, N=3200, για x=1, x=2, x=3 ΥΠΕΡΓΕΩΜ ΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ για x, n=125, m, N=3200,. ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΓΙΑ x ΣΚΑΡΤΑ ΣΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΜΕΧΡ ΚΑΙ: 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 x=1 x=2 x=3 c= ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΠΑΡΤΙΔΑΣ ΕΠΙ ΤΟΙΣ ΕΚΑΤΟ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ ΕΙΣΕΧΟΜ ΕΝΩΝ Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 30 of 43

31 Με τον ίδιο τρόπο, από τα φύλλα excel που παρουσιάστηκαν στην διάλεξη, κατασκευάζουμε για το ίδιο δείγμα και τον ίδιο αριθμό σκάρτων αντίστοιχες Χαρακτηρίζουσες Καμπύλες δυνάμει των τύπων Binomial (Διωνυμικής) & Poιsson, στις δύο τελευταίες υποθέτουμε άπειρο μέγεθος πληθυσμού ή αντικατάσταση δείγματος. Το αποτέλεσμα δείχνει ελάχιστη διαφορά μεταξύ των καμπυλών. Πιθανότη τα αποδοχής ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ. Πιθανότητα Αποδοχής για Δείγμα 125 τεμ με κριτήριο αποδοχής μέχρι ΚΑΙ ΤΡΙΑ ελαττωματικά. c=3 c=1 c=2 c=0 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 Ποιότητα Εισερχομένων (ελαττωματικά %) Πιθανότη τα αποδοχής ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON. Πιθανότητα Αποδοχής της Παρτίδας για Δείγμα 120 τεμ. με κριτήριο αποδοχής: μέχρι ΚΑΙ ΤΡΙΑ ελαττωματικά στο δείγμα, c=3 c=1 c=2 c=0 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 Ποιότητα Εισερχομένων (ελαττωματικά %) Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 31 of 43

32 AQL. Με την βοήθεια της χαρακτηρίζουσας καμπύλης του παραδείγματος, ορίζεται το AQL, δηλαδή το Επίπεδο Ποιότητας Αποδοχής (Acceptance Quality Level). Επαναλαμβάνονται οι έννοιες Ρίσκο Προμηθευτή (α), Ρίσκο Καταναλωτή (β), Στατιστικά Σφάλματα Τύπου Ι και ΙΙ. Επίσης υπογραμμίζεται ότι κάλλιστα δυνάμεθα να σχεδιάσουμε δειγματοληπτικά πλάνα βασιζόμενα στο ρίσκο β αντί του AQL (Ρίσκου α) κλπ. ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON. Πιθανότητα Αποδοχής της Παρτίδας για Δείγμα 120 τεμ. με κριτήριο αποδοχής: μέχρι ΚΑΙ ΤΡΙΑ ελαττωματικά στο δείγμα, c=3 Series1 Series2 Πιθανότητα αποδοχής 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, Ποιότητα Εισερχομένων (ελαττωματικά %) Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 32 of 43

33 ΛΕΠΤΟΜΕΡΗΣ ΣΥΖΗΤΗΣΗ /ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ. 1. Ποιότητα εισερχομένων. Τι ακριβώς σημαίνει; Πως κατανοούμε τον πληθυσμό; 2. Ρίσκο προμηθευτή/παραγωγού α, ρίσκο πελάτη/καταναλωτή β. τι ακριβώς σημαίνει βεβαιότητα 95%. 3. AQL ορισμός, διάφορες οικογένειες καμπυλών με «ίδιο» AQL. Πρακτικοί λόγοι συμβιβασμού. 4. Ορισμός μοναδικής ΧΚ μέσω δύο προεπιλεγμένων σημείων. Οι τύποι για την εύρεση του καταλλήλου μεγέθους δείγματος n. 5. Άλλες καμπύλες ΧΚ οι οποίες δεν βασίζονται σε AQL. (Απλή αναφορά δίχως συζήτηση). 6. ΧΚ SIEMENS (Για πιθανότητα αποδοχής 50%- δεν χρησιμοποιείται πλέον). 7. ΧΚ Dodge Romig οι οποίες βασίζονται στο AOQL (Προστασία του καταναλωτή). Απλό παράδειγμα για συγκριτικούς λόγους εμφανίζεται κατωτέρω. Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 33 of 43

34

35 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ/ΚΑΚΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΩΝ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΑΝΑΦΕΡΘΕΙ ΕΝΩΡΙΤΕΡΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΕΚΚΛΙΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ 1. Δειγματοληψία με δειγματικό μέγεθος αναλογικό του μεγέθους του πληθυσμού. 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΜΕ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΝΑΛΟΓΑ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΓΙΑ C=0 n=5, N=50 n=10, N=100 n=20, N=200 n=100, N= ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΠΑΡΤΙΔΑΣ (ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ) ΤΩΝ ΕΙΣΕΧΟΜΕΝΩΝ % Παρατηρούμε πολύ μεγάλες διαφορές στην πιθανότητα αποδοχής για δειγματοληψία με αναλογικό δειγματοληπτικό μέγεθος του πληθυσμού. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Η ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΤΗΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΔΟΧΗΣ ΚΑΘΙΣΤΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΧΡΗΣΤΗ Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 35 of 43

36 2. Δειγματοληψία με «μικρές» παρεκκλίσεις στον αριθμό αποδοχής σκάρτων σε μία παρτίδα. Σημαντική μεταβολή στην πιθανότητα αποδοχής Ρα, όπως φαίνεται στην Χ.Κ. κατωτέρω Πιθανότητα Αποδοχής για Δείγμα 120 τεμ με κριτήριο αποδοχής 1)μέχρι ΚΑΙ ΤΡΙΑ ελαττωματικά (δηλ. το κανονικό), 2) μέχρι ΚΑΙ ΤΕΣΣΕΡΑ ελαττωματικά ("Τι ψυχή έχει ένα κομμάτι διαφορά...") 1,00 c=4 c=3 c=1 c=2 c=0 0,90 0,80 0,70 Πιθανότητα αποδοχής 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 Ποιότητα Εισερχομένων (ελαττωματικά %) Γ. ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΕΩΣ «ΣΥΧΝΕΣ ΠΑΡΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ». Page 36 of 43

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Ε. Γεωργίου xgr@otenet.gr 2 η εβδομάδαμαθημάτων 1 Το περιεχόμενο της σημερινής ημέρας ιοίκηση και ιαχείριση ποιότητας. Έλεγχος Ποιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚ Ι Ο Κ Ο Ε ΠΙ Π Τ Ι Ε Τ Λ Ε ΕΙΟ Ι Ο Ε Θ Ε Ν Θ ΙΚ Ι Η Κ Σ Η Α Μ

ΓΕΝΙΚ Ι Ο Κ Ο Ε ΠΙ Π Τ Ι Ε Τ Λ Ε ΕΙΟ Ι Ο Ε Θ Ε Ν Θ ΙΚ Ι Η Κ Σ Η Α Μ ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΑΜΥΝΑΣ ΚΛΑΔΟΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ & ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΜΥΝΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Σεμινάριο ΔΙΑΚΛΑΔΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΙΑΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑΣ -ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ - ΣΤΟΧΟΘΕΣΙΑΣ Θέμα: «Τεχνικές Διαχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα ISO9000. Παρουσιάστηκε το 1987, αναθεωρήθηκε το 1994 και το 2000.

Το σύστημα ISO9000. Παρουσιάστηκε το 1987, αναθεωρήθηκε το 1994 και το 2000. Το σύστημα ISO9000 Παρουσιάστηκε το 1987, αναθεωρήθηκε το 1994 και το 2000. Με τις αλλαγές δόθηκε έμφαση στην εφαρμογή της πολιτικής της ποιότητας και σε πιο πλήρεις διορθωτικές ενέργειες. Σε όλο τον κόσμο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση

Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση Πρόγραμμα Eξ Aποστάσεως Eκπαίδευσης (E learning) Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση Οδηγός Σπουδών Το πρόγραμμα εξ αποστάσεως εκπαίδευσης ( e-learning ) του Πανεπιστημίου Πειραιά του Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 249-258 Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος του εγχειριδίου, των διεργασιών και των διαδικασιών της ποιότητας.

Έλεγχος του εγχειριδίου, των διεργασιών και των διαδικασιών της ποιότητας. ΤΕΚΜΗΡΙΩΜΕΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Έλεγχος εγγράφων Κύριος σκοπός αυτής της διαδικασίας είναι να προσδιοριστούν οι αρμοδιότητες σύνταξης, ανασκόπησης, έγκρισης και διανομής όλων των εγγράφων και δεδομένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΥΓΚΥΡΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΩΝ CAPITAL CONTROLS ΣΤΙΣ ΜΜΕ

ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΥΓΚΥΡΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΩΝ CAPITAL CONTROLS ΣΤΙΣ ΜΜΕ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΥΓΚΥΡΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΩΝ CAPITAL CONTROLS ΣΤΙΣ ΜΜΕ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2015 ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΥΓΚΥΡΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΩΝ CAPITAL CONTROLS ΣΤΙΣ ΜΜΕ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Απαιτήσεις του ISO9001:2000

Απαιτήσεις του ISO9001:2000 Απαιτήσεις του ISO9001:2000 1. Αντικείμενο 2. Τυποποιητική παραπομπή 3. Όροι και ορισμοί 4. Σύστημα διαχείρισης ποιότητας 5. Ευθύνη της Διοίκησης 6. Διαχείριση πόρων 7. Υλοποίηση του προϊόντος 8. Μέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 ΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 ΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών : Θεματική Ενότητα : Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 11 Εισαγωγή στη Διοικητική Επιχειρήσεων & Οργανισμών Ακαδ. Έτος: 2007-08 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική;

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Copyright 2009 Cengage Learning 1.1 Τι είναι η Στατιστική; «Στατιστική είναι ένας τρόπος για την αναζήτηση πληροφοριών μέσα σε δεδομένα» Copyright 2009 Cengage Learning

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση Απαντήσεων

Παρουσίαση Απαντήσεων Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Επιτροπή Προπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών Παρουσίαση Απαντήσεων Ερωτηματολογίου για το Πρόγραμμα Σπουδών και τους Τρόπους Μετάδοσης Γνώσης στη Σχολή Στην έρευνα που πραγματοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ. Μάθημα 1 ο : Εισαγωγή στην γλωσσική τεχνολογία. Γεώργιος Πετάσης. Ακαδημαϊκό Έτος: 2012 2013

ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ. Μάθημα 1 ο : Εισαγωγή στην γλωσσική τεχνολογία. Γεώργιος Πετάσης. Ακαδημαϊκό Έτος: 2012 2013 ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Μάθημα 1 ο : Εισαγωγή στην γλωσσική τεχνολογία Γεώργιος Πετάσης Ακαδημαϊκό Έτος: 2012 2013 ΤMHMA MHXANIKΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2012 2013 Τι είναι η γλωσσική τεχνολογία;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΩΝ

ΕΚΘΕΣΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΩΝ ΕΚΘΕΣΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΩΝ Η έκθεση ακαδημαϊκών ενδιαφερόντων συνοδεύει σχεδόν πάντα την αίτηση για την είσοδο σε οποιοδήποτε πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών. Την έκθεση ακαδημαϊκών ενδιαφερόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΑΡΤΟ 4 ο δίωρο: ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Γιώτη Ιφιγένεια (Α.Μ. 6222) Λίβα Παρασκευή (Α.Μ. 5885)

ΤΕΤΑΡΤΟ 4 ο δίωρο: ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Γιώτη Ιφιγένεια (Α.Μ. 6222) Λίβα Παρασκευή (Α.Μ. 5885) ΤΕΤΑΡΤΟ 4 ο δίωρο: ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Γιώτη Ιφιγένεια (Α.Μ. 6222) Λίβα Παρασκευή (Α.Μ. 5885) Ανάλυση σε επιμέρους στόχους: 1. Εκτιμούν τη μορφή γραφημάτων με βάση τα δεδομένα τους. 2. Κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση........................................... 13 Πρόλογος στην πρώτη έκδοση............................................ 17 Εισαγωγή................................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Ποιός είναι ο σκοπός του μαθήματος μας? Στο τέλος του σημερινού μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

Κεφάλαιο 9. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Κεφάλαιο 9. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με δύο πολύ βασικά θέματα τα οποία σχετίζονται με την διαχείριση της ποιότητας. Το πρώτο από αυτά είναι η περιγραφή και ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Μαθησιακών Στόχων και Κριτηρίων Επιτυχίας: Αξιολόγηση για Μάθηση στην Πράξη

Κατασκευή Μαθησιακών Στόχων και Κριτηρίων Επιτυχίας: Αξιολόγηση για Μάθηση στην Πράξη Κατασκευή Μαθησιακών Στόχων και Κριτηρίων Επιτυχίας: Αξιολόγηση για Μάθηση στην Πράξη Μαργαρίτα Χριστοφορίδου 25 Απριλίου 2015 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΗΜΕΡΙΔΑ «ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ- ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΑΣΕΙΣ-ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωμένο Σύστημα Ιχνηλασιμότητας Προϊόντων

Ολοκληρωμένο Σύστημα Ιχνηλασιμότητας Προϊόντων TRACER FACTORY Ολοκληρωμένο Σύστημα Ιχνηλασιμότητας Προϊόντων Θεοδώρου Αυτοματισμοί ΑΒΕΤΕ Δρ. Ευάγγελος Θεοδώρου, Διευθύνων Σύμβουλος, Θεοδώρου Αυτοματισμοί ΑΒΕΤΕ, etheod@theodorou.gr Φίλιππος Σφυρής,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα