Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo"

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι αριθμοί Η συνάρτηση rand() προσφέρει μια ακολουθία τυχαίων αριθμών ομοιόμορφα κατανεμημένων στο διάστημα [0,1) Δύο βασικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την επίλυση ολοκληρωμάτων Μέθοδος επιλογής ή δειγματοληψίας Μέθοδος μέσης τιμής

2 ΦΥΣ Διαλ.09 Monte Carlo μέθοδος δειγματοληψίας Ø Περικλείουμε την συνάρτηση που θέλουμε να ολοκληρώσουμε μέσα σε ένα ορθογώνιο στο διάστημα της ολοκλήρωσης q Υπολογίζουμε το εμβαδό του ορθογωνίου Ø Εισάγουμε τυχαία σημεία στο ορθογώνιο Ø Μετρούμε τα σημεία που βρίσκονται μέσα στο ορθογώνιο και αυτά που περικλείονται από την συνάρτηση Ø To εμβαδό της συνάρτησης (ολοκλήρωμα) στο διάστημα ολοκλήρωσης δίνεται από Όπου Ν f(χ) = αριθμός E f (x) = E!"#!$. % N f (x) N!"#!$. Ν ορθογ. = αριθμός

3 ΦΥΣ Διαλ.09 Monte Carlo μέθοδος μέσης τιμής H ολοκλήρωση με Monte Carlo γίνεται με το να πάρουμε τη μέση τιμή της συνάρτησης υπολογιζόμενη σε τυχαία επιλεγμένα σημεία μέσα στο διάστημα ολοκλήρωσης I = x b! f (x)dx = (b " a) < f (x) > x a < f (x) >! 1 N N! i=0 f (x i ) Tο στατιστικό σφάλμα:! I = " f όπου! f =! f N

4 ΦΥΣ Διαλ.09 Παράδειγμα κώδικα ολοκλήρωσης Monte Carlo program random integer iseed/12345/ call srand(iseed)! Ξεκίνημα ακολουθίας τυχαίων αριθμών με! αρχική τιμή Τµήµα κώδικα για τη Μέθοδο δειγµατοληψίας Do I = 0, Npnts x = xmax * rand()! Η συνάρτηση rand() επιστρέφει ψευδοτυχαίες! τιμές στο διάστημα [0,1) frand = fmax * rand() if (frand < myfunc(x)) then below = below + 1 endif Enddo Print *, Apotelesma oloklirwsis =, fmax*xmax *below/npnts Τµήµα κώδικα για τη Μέθοδο µέσης τιµής Sum = 0 Do I = 0, Npnts x = xmax * rand() sum = f(x) + sum End do Print *, Apotelesma oloklirwsis, xmax*sum/npnts

5 ΦΥΣ Διαλ.09 Monte Carlo ολοκλήρωση σε πολλές διαστάσεις Εύκολο να γενικεύσουμε τη μέθοδο της μέσης τιμής σε πολλές διαστάσεις Το σφάλμα στη μέθοδο ολοκλήρωσης με Monte Carlo είναι στατιστικό Ελαττώνεται ως 1 N Για 2 διαστάσεις: b d I=! dx 1! dx 2 f (x, y)! (b " a)(d " c) # 1 c N a N $ i f (x i, y i )

6 ΦΥΣ Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Πολλαπλά ολοκληρώματα Για παράδειγμα, έστω τα ηλεκτρόνια του ατόμου του 4 Be: 1 1 I =! dx 1! dx 2! dx 3!! dx 12 f x 1, x 2,!, x ( ) Έχουμε 3 διαστάσεις για κάθε ηλεκτρόνιo x 4 ηλεκτρόνια = 12διαστάσεις I = (1! 0) 12 " 1 N # f (x i 1, x i i 2,!, x 12 ) Αλλά για N=10 6 σημεία στη ολοκλήρωση Monte Carlo έχουμε 10 6 υπολογισμούς Για τα PCs υποθέτοντας 1Giga υπολογισμούς/sec θα χρειαστούμε 10-3 secs!!

7 Monte Carlo και τυχαίοι αριθμοί ΦΥΣ Διαλ.09 7 Τα προσδιορισμένα συστήματα (deterministic systems) περιγράφονται εν γένει από κάποιο μαθηματικό κανόνα Κάποια συστήματα ωστόσο δεν είναι προσδιορισμένα Τυχαία ή στοχαστικά Οποιαδήποτε διεργασία ή αλγόριθμος χρησιμοποιεί τυχαίους αριθμούς και αντιτίθεται σε προσδιορισμένους αλγόριθμους ονομάζεται Monte Carlo Η μέθοδος Monte Carlo χρησιμοποιείται ευρέως στις επιστήμες: Φυσική: προσομοίωση φυσικών διεργασιών Μαθηματικά: αριθμητική ανάλυση Βιολογία: προσομοίωση κυττάρων Οικονομικά: εκτίμηση της διακύμανσης του χρηματιστηρίου αξιών Μηχανική: προσομοίωση πειραματικών διατάξεων

8 ΦΥΣ Διαλ.09 8 Σημασία των μεθόδων Monte Carlo Οι μέθοδοι Monte Carlo αποτελούν ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία στη Φυσική Ø Ανάλυση δεδομένων Ø Προσομοίωση φυσικών γεγονότων που στηρίζονται σε τυχαίες διεργασίες - πιθανότητες Ø Σχεδιασμό ανιχνευτών, βελτιστοποίηση και προσομοίωση Επομένως ας μάθουμε μερικές από τις βασικές αρχές Ø Σκοπός των γεννητόρων/προγραμμάτων Monte Carlo Ø Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Ø Ολοκλήρωση Ø Μερικά ιδιαίτερα δημοφιλή Monte Carlo προγράμματα

9 ΦΥΣ Διαλ.09 9 Tυχαίοι αριθμοί Τυχαίος αριθμός είναι ένας αριθμός επιλεγμένος σαν να ήταν καθαρά τυχαία από μια συγκεκριμένη κατανομή Σε μια ομοιόμορφη κατανομή τυχαίων αριθμών στο διάστημα [0,1), κάθε αριθμός έχει την ίδια τύχη να επιλεχθεί P(x) 0 1 x Για παράδειγμα: Όταν ρίχνετε ένα ζάρι οι αριθμοί που μπορείτε να πάρετε είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι μεταξύ 1 και 6. Κάθε αριθμός έχει την ίδια πιθανότητα να βγεί

10 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Ο καλύτερος τρόπος για να πάρουμε τυχαίους αριθμούς είναι να χρησιμοποιήσουμε μια διεργασία που συμβαίνει στη φύση. Ø Ρίξιμο ενός ζαριού ή ενός νομίσματος Ø Λόττο Ø Τα αποτελέσματα του ποδοσφαίρου Ø Η ραδιενεργός διάσπαση των πυρήνων Φυσικά ο τρόπος αυτός για να διαλέξουμε τυχαίους αριθμούς δεν είναι ιδιαίτερα αποδοτικός Ø Υπολογιστικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν που κάνουν την ίδια διαδικασία Πως μπορούμε όμως να κάνουμε κάποιο πρόγραμμα να υπολογίζει κάτι τυχαία; Ø Με ένα γεννήτορα τυχαίων αριθμών

11 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Γεννήτορας τυχαίων αριθμών είναι ένα υπο-πρόγραμμα το οποίο δημιουργεί μια ακολουθία τυχαίων αριθμών Όλοι οι υπολογιστές σήμερα περιέχουν στην βιβλιοθήκη τους ένα μηχανισμό για την δημιουργία ακολουθίας τυχαίων αριθμών οι οποίοι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα [0,1) Η ακολουθία των αριθμών αυτών μπορεί να θεωρηθεί σαν ψευδο-τυχαία ακολουθία αφού για κάθε εκτέλεση του προγράμματος, θα πάρουμε και πάλι την ίδια ακολουθία τυχαίων αριθμών για την ίδια αρχική τιμή του σπόρου (seed) της ακολουθίας Στην πραγματικότητα οι συναρτήσεις που καλούμε στον υπολογιστή χρησιμοποιούν μια μέθοδο (Lehmer 1948) στηριγμένη σε 32-bit ακεραίους και επομένως έχουν περίοδο το πολύ 2 31 ~10 9. Αυτό είναι το πλήθος των τυχαίων αριθμών που μπορούν να δημιουργηθούν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα σε ένα μοντέρνο υπολογιστή Η μέθοδος που ακολουθείται χρησιμοποιεί μια εξίσωση της μορφής: = ( + ) xn+ 1 mod!# axn b, m" $ όπου mod είναι το modulo. Οι σταθερές α,b και m διαλέγονται προσεκτικά ώστε η ακολουθία των αριθμών να γίνεται χαοτική και ομοιόμορφα κατανεμημένη

12 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Κανόνες Ø Η πρώτη αρχική τιμή, x 0, (seed) επιλέγεται Ø Η τιμή του m> x 0 και a, b! 0 Ø To εύρος των τιμών είναι μεταξύ 0 και m (διαιρώντας με m μετατρέπεται μεταξύ 0 και 1) Ø Η περίοδος του γεννήτορα αυτού είναι m-1. Επομένως το m πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο αφού η περίοδος δεν μπορεί ποτέ να γίνει μεγαλύτερη από m. Για παράδειγμα: Αν διαλέξουμε α=b=x 0 =7 και m = 10 τότε θα πάρουμε την ακολουθία: x i =mod(a*x i-1 +b,m) 7, 6, 9, 0 7, 6, 9, 0 7, 6, 9, 0 Και διαιρώντας με 10 θα έχουμε την ακολουθία 0.7, 0.6, 0.9, , 0.6, 0.9, , 0.6, 0.9, 0.0 Πολύ κακή ακολουθία

13 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Από τους πλέον δημοφιλής γεννήτορες είναι ο RANDU o οποίος αναπτύχθηκε από την IBM το 1960 με τον ακόλουθο αλγόριθμο: ( ) x n+1 = mod 65069x n,2 31!1 31 και αργότερα οι Park και Miller πρότειναν πως η εξίσωση x = n 1 mod( xn, 2! + 1) δίνει την ελάχιστη συνθήκη για ένα ικανοποιητικό γεννήτορα Πρόγραμμα Randu Πρόγραμμα Ran (ελάχιστης απαίτησης)

14 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Ομοιόμορφη (επίπεδη) Κατανομή Αν το R είναι ένα τυχαίος πραγματικός αριθμός μεταξύ [0,1) και αν τα Α και Β είναι πραγματικοί αριθμοί, και Μ, Ν είναι ακέραιοι αριθμοί τότε η τιμή: A + ( B! A) " R θα είναι ένα τυχαίος πραγματικός αριθμός στο διάστημα [Α,Β) Η τιμή της M + INT ( N! R) θα είναι ένα τυχαίος ακέραιος αριθμός στο διάστημα [Μ,Ν] P(x) P(x) Α Β x Μ Ν x Για παράδειγμα, για να δημιουργήσουμε την ομοιόμορφη τυχαία κατανομή που αντιστοιχεί στο ρίξιμο των ζαριών (τιμές μεταξύ [1,6]) θα γράφαμε: ( ) zari = 1+ INT 6! R

15 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Probability Distribution Function (PDF) q Πως μπορούμε να βρούμε μια γενική Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας (PDF) Στις προσομοιώσεις μιας τυχαίας διεργασίας συχνά ζητάμε μια μη ομοιόμορφη (ισοπίθανη) κατανομή τυχαίων αριθμών. Για παράδειγμα η ραδιενεργός διάσπαση χαρακτηρίζεται από κατανομή Poisson: ( ; ) n "!! e P n! = n! (πιθανότητα να βρούμε ακριβώς n γεγονότα όταν τα γεγονότα συμβαίνουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και την ανεξάρτητη μεταβλητή x και με μέσο ρυθμό ν στο διάστημα x) Ø Χρησιμοποιούμε δυο μεθόδους (συνήθως) q Μέθοδος του μετασχηματισμού (Transformation Method) q Μέθοδος της απόρριψης (Rejection Method) Σκοπός και των δυο μεθόδων είναι να μετατρέψουν μια ομοιόμορφη κατανομή τυχαίων αριθμών της μορφής P x (x) σε μια μή ομοιόμορφη της μορφής P y (y) P(x) Py 0 1 x Α B y

16 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος του μετασχηματισμού Θεωρήστε μια συλλογή από μεταβλητές { x x x },,, n 1 2! που κατανέμονται σύμφωνα με μια συνάρτηση P x (x), τότε η πιθανότητα να βρούμε μια τιμή στο διάστημα x και x+dx είναι P x (x)dx Aν y είναι κάποια συνάρτηση του x τότε μπορούμε να γράψουμε: ( ) = ( ) P x dx P y dy Όπου P y (y) είναι η πυκνότητα πιθανότητας που περιγράφει την συλλογή { y y! y } P(x) P ( ) c x x = c Ομοιόμορφη κατανομή 0 1 x και επομένως: ( ) dx Py y = c dy Για να βρούμε μια ακολουθία που χαρακτηρίζεται από την P y (y) θα πρέπει να βρούμε τη συνάρτηση μετασχηματισμού y=f(x) που ικανοποιεί την εξίσωση: Επομένως: q Θέλουμε την P y (y) dx P dy = y ( y) x y,,, n 1 2 H σταθερά C μπορεί να αγνοηθεί αφού απλά πολλαπλασιάζει την συνάρτηση Ø Βρίσκουμε την y=f(x) (συνάρτηση μετασχηματισμού) ώστε dx/dy = P y (y)

17 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές - H μέθοδος του μετασχηματισμού Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων μετασχηματισμού είναι τα ακόλουθα: Επιθυμητή κατανομή P y (y) k y Συνάρτηση μετασχηματισμού f(x) x k 2x n y ( n + 1) 1 y!# x" $ y e!ln( x) cos y e x arcsin x y [ ] x ( n+ ) 1 1

18 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές - H μέθοδος του μετασχηματισμού Παράδειγμα: Θεωρήστε ότι θέλετε την κατανομή P y (y) = y H συνάρτηση μετασχηματισμού είναι τότε: P(x) dx ( )! = " Py y y dy = = x ydy 0 1 x Λύνοντας ως προς y έχουμε: y = x! y = x Όπου τα x είναι τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα [0,1) P y y Ο κώδικας για το παραπάνω παράδειγμα είναι: transform.f

19 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος της απόρριψης Η μέθοδος του μετασχηματισμού είναι χρήσιμη όταν η συνάρτηση f(x) μπορεί να υπολογιστεί Ωστόσο υπάρχουν περιπτώσεις που η επιθυμητή συνάρτηση μπορεί να μην είναι γνωστή σε αναλυτική μορφή. P y = e! Για παράδειγμα, θεωρήστε ότι θέλουμε μια Gaussian κατανομή: ( ) Για την περίπτωση αυτή δεν βρίσκουμε την συνάρτηση y=f(x) γιατί: dx 2 2! y! y = Py ( y) = e " x = e dy dy # Το ολοκλήρωμα αυτό δεν υπολογίζεται αναλυτικά Για τέτοιου είδους προβλήματα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της απόρριψης η οποία μπορεί να δημιουργήσει την επιθυμητή κατανομή για οποιαδήποτε συνάρτηση. Mε τη μέθοδο αυτή, η ακολουθία των τυχαίων αριθμών { y y! y } Υποθέστε ότι ο σκοπός μας είναι να δημιουργήσουμε μια ακολουθία αριθμών κατανεμημένων σύμφωνα με τη συνάρτηση P y (y) y,,, n με μια ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [y min,y max ] που ενδιαφερόμαστε. 1 2 y 2 δημιουργείται P y max y min y max y Προχωρούμε με την ακολουθία των αριθμών { y y! y },,, n 1 2 και δεχόμαστε τιμές που είναι πολλαπλάσια της P y (y)

20 Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος της απόρριψης ΦΥΣ Διαλ Ø Ο αλγόριθμος που ακολουθούμε είναι ο ακόλουθος: Θέτουμε m = 0 (μετρητής) Προσδιορίζουμε την μέγιστη τιμή της επιθυμητής κατανομής P y (y) και το διάστημα [y min,y max ] της επιθυμητής κατανομής Δημιουργούμε τυχαίo ζευγάρι zran, yran από μια ομοιόμορφη κατανομή Για κάθε τιμή του y θέτουμε: y = y min + y max! y min ( ) " yran q Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό ptest ομοιόμορφα κατανεμημένο στο [0,P y max ] Py_test = Py_max * zran q Ελέγχουμε αν η τιμή της κατανομής P(y) > Py_test Αν ναι: Αυξάνουμε τον μετρητή m = m+1 Κρατάμε τη τιμή y μια και δίνει επιτρεπτή τιμή: θέτουμε z(m) =y Αν όχι: Απορρίπτουμε την τιμή y Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία Ν φορές: Οι αριθμοί z(m) που απομένουν στην ακολουθία κατανέμονται επομένως σύμφωνα με την συνάρτηση P y (y)

21 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος της απόρριψης! y 2 Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε την κατανομή Py ( y) = e y στο διάστημα y=[0,10] dp y H μέγιστη τιμή της συνάρτησης P y βρίσκεται ζητώντας 0 dy = Η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο y=2 το οποίο αντιστοιχεί σε P max =0.541 Επομένως οι τιμές του Py_test θα δημιουργηθούν στο διάστημα [0,0.541] To πρόγραμμα rejection.f δείχνει τον τρόπο που χρησιμοποιείται η μέθοδος της απόρριψης για το παραπάνω παράδειγμα.

22 ΦΥΣ Διαλ Monte Carlo βελτιστοποίηση Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τυχαίους αριθμούς για να βρούμε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών Τυχαία αναζήτηση Η μέθοδος αυτή υπολογίζει την συνάρτηση πολλές φορές σε τυχαία επιλεγμένες τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν συγκεντρώσουμε ένα ικανοποιητικό αριθμό δειγμάτων τότε προφανώς θα έχουμε εντοπίσει και το ακρότατο. Παράδειγμα: Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Monte Carlo για να υπολογίσετε το ελάχιστο της συνάρτησης f (x) = x 2! 6x + 5 στο διάστημα x [1,5] Η ακριβής λύση είναι f min =-4.0 για x=3.0 Αλγόριθμος για ελάχιστα: Προσδιορισμός του πλήθους των πειραμάτων (Ν) Προσδιορισμός του διαστήματος [Α,Β] Αρχική τιμή για το ελάχιστο fmin=9ε9 (πολύ μεγάλη τιμή) Επανάληψη της ακόλουθης διεργασίας Ν φορές) q Δημιουργία ενός τυχαίου αριθμού x στο [Α,Β] q Έλεγχος αν F(x) < fmin Αν ναι Βρήκαμε νέο ελάχιστο και κρατάμε τη τιμή του x min_mc.f έχει το κώδικα για το παράδειγμα

23 ΦΥΣ Διαλ Πιθανότητες Αν ένα νόμισμα ριχθεί δεν είναι σίγουρο αν θα πάρουμε την πάνω όψη του. Ωστόσο αν συνεχίσουμε να επαναλαμβάνουμε το πείραμα αυτό, έστω Ν φορές και παίρνουμε την πάνω όψη S φορές, τότε ο λόγος S/N γίνεται σταθερός μετά από ένα μεγάλο πλήθος επανάληψης του πειράματος. H πιθανότητα P ενός γεγονότος Α ορίζεται ως ακολούθως: Aν το Α μπορεί να συμβεί με S τρόπους από συνολικά K ισότιμους τρόπους τότε: P= S K Παράδειγμα: Ρίχνοντας ένα νόμισμα, η πάνω όψη μπορεί να συμβεί μια φορά από τις δυνατές δύο περιπτώσεις. Επομένως η πιθανότητα είναι P = 1/2 O Αλγόριθμος για να λύσουμε το πρόβλημα αυτό: Προσδιορίζουμε το αριθμό των πειραμάτων N Mηδενίζουμε το μετρητή των επιτυχημένων αποτελεσμάτων Εκτελούμε τα Ν πειράματα (διαδικασία loop) q Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό x (ομοιόμορφη κατανομή) q Ελέγχουμε αν το x < P και αν ναι αυξάνουμε το μετρητή κατά 1 (επιτυχημένη προσπάθεια ) Το πρόγραμμα coin.f περιέχει το παραπάνω παράδειγμα

24 Ρίχνοντας ένα νόμισμα ΦΥΣ Διαλ Ένα νόμισμα ρίχνεται 6 φορές. Ποιά είναι η πιθανότητα να πάρουμε (α) ακριβώς 4 φορές την πάνω όψη (β) τουλάχιστον 4 φορές την πάνω όψη Τα ακριβή αποτελέσματα δίνονται από τη διονυμική κατανομή: H διονυμική κατανομή: Μια τυχαία διεργασία με ακριβώς δυο πιθανά αποτελέσματα τα οποία συμβαίνουν με συγκεκριμένες πιθανότητες καλείται διεργασία Bernoulli. Αν η πιθανότητα να πάρουμε κάποιο αποτέλεσμα ( επιτυχία ) σε κάθε προσπάθεια είναι p, τότε η πιθανότητα να πάρουμε ακριβώς r επιτυχίες (r=0,1,2,,n) σε Ν ανεξάρτητες προσπάθειες χωρίς να παίζει ρόλο η σειρά με την οποία παίρνουμε επιτυχία ή αποτυχία, δίνεται από τη διονυμική κατανομή N! f ( r; N, p) = r! ( N! r)! pr q N!r Για το πρόβλημά μας θα έχουμε επομένως: (α) r=4 για Ν = 6 ενώ p=1/2 (q=1-p) και επομένως από τη διονυμική κατανομή P = 6! 4 2 " 1% " 1% 4!! 2! # $ 2& ' # $ 2& ' = = = (β) r 4 για Ν = 6 ενώ p=1/2 (q=1-p) και επομένως θα έχουμε σαν ολική πιθανότητα το άθροισμα για P(r=4) + P(r=5) + P(r=6) P = 6! 4 2 " 1% " 1% 4!!2! # $ 2& ' # $ 2& ' + 6! 5 1 " 1% " 1% 5!!1! # $ 2& ' # $ 2& ' + 6! 6 " 1% 6!!0! # $ 2& ' = = To πρόγραμμα coin6.f περιέχει τη MC λύση του προβλήματος αυτού

Η μέθοδος του Verlet - εισαγωγικά

Η μέθοδος του Verlet - εισαγωγικά Η μέθοδος του Verlet - εισαγωγικά ΦΥΣ 145 - Διαλ.08 1 q Η μέθοδος του Euler στηρίζεται στον ορισμό της δεξιάς παραγώγου. Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι f (t + h) # f (t # h) f (t) = lim h"0 2h q Αυτή η

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίοι Αριθμοί. (Random Numbers) Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων

Τυχαίοι Αριθμοί. (Random Numbers) Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων Τυχαίοι Αριθμοί (Random Numbers) Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων ΚΕΦ. 3 Μοντελοποίηση Τυχαίοι Αριθμοί Διαγράμματα Επαλήθευση Ανάλυση Αποτελεσμάτων ΣΗΜΑΣΙΑ-ΧΡΗΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ η προσομοίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά Mαθηματικά II

Υπολογιστικά Mαθηματικά II Υπολογιστικά Mαθηματικά II Ζαφειράκογλου Απόστολος 1 Άσκηση Να υπολογιστεί με τη μέθοδο Monte Carlo το ολοκλήρωμα : I = ˆ1 dx 1 ˆ1 ˆ1 dx 2... (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 1

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Συστημάτων

Προσομοίωση Συστημάτων Προσομοίωση Συστημάτων Παραγωγή τυχαίων αριθμών Άγγελος Ρούσκας Τυχαίοι αριθμοί και τυχαίες μεταβλητές Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε σε ένα τυχαίο αριθμό, αλλά σε ακολουθία τυχαίων αριθμών Οι τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος 2001-2002 ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #4

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος 2001-2002 ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος 2001-2002 ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #4 «Προγραμματισμός Η/Υ» - Τετράδιο Εργαστηρίου #4 2 Γενικά Στο Τετράδιο #4 του Εργαστηρίου θα αναφερθούμε σε θέματα διαχείρισης πινάκων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL. Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός

Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL. Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός 7.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η έννοια της συνάρτησης ως υποπρογράμματος είναι τόσο βασική σε όλες τις γλώσσες προγραμματισμού,

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία

Διαβάστε περισσότερα

TO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

TO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μάθημα 7 - Υποπρογράμματα Εργαστήριο 11 Ο TO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Βασικές Έννοιες: Υποπρόγραμμα, Ανάλυση προβλήματος, top down σχεδίαση, Συνάρτηση, Διαδικασία, Παράμετρος, Κλήση συνάρτησης, Μετάβαση

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.

X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν. Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Τυχαίοι αριθμοί - ψευδοτυχαίοι αριθμοί Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 3 Νοεµβρίου 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας ϑεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή X ορισµένη στον Ω µε πεδίο τιµών το διάστηµα [α, ϐ], όπου α < ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire) Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Δομή Επανάληψης Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Δομή Επανάληψης Επανάληψη με αρίθμηση DO = ,

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στο Σετ αυτό περιλαμβάνονται θέματα Πιθανοτήτων που έχουν δοθεί σε εξετάσεις παρελθόντων ετών στα Τμήματα Γεωλογικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή: Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2 Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. Υπολογίστε το x αν x < 0 4 fx) dx όταν fx) = αν 0 x 3/x αν < x 4 Λύση: Η f ταυτίζεται στο [, 0] με την συνεχή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηματικές Μέθοδοι στη Φυσική. Γράψτε το ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητάς σας στο πάνω μέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηματικές Μέθοδοι στη Φυσική. Γράψτε το ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητάς σας στο πάνω μέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηματικές Μέθοδοι στη Φυσική Τελική Εξέταση 24 Μάη 2005 Group: Α Γράψτε το ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητάς σας στο πάνω μέρος της αυτής της σελίδας. Πρέπει να απαντήσετε και στα 5 προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές. Κολοβού Αθανασία

Κατανομές. Κολοβού Αθανασία Κατανομές Κολοβού Αθανασία http://users.uoa.gr/~akolovou/ Bernoulli Trials-Binomial Distribution Bernoulli πείραμα Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός Δεδομένων

Μετασχηματισμός Δεδομένων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 2ο Μετασχηματισμός Δεδομένων a. από τα Data demo.sav επιλέγουμε τη στήλη Income b. δημιουργούμε νέο Data Set μόνο με αυτήν τη στήλη c. Click Transform d. Compute Variable e. Επιλέγω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Διατυπώστε τον 1 ο κανόνα ολοκλήρωσης Smpson b f ( xdx ) ( 1 3 f f f ) a, αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Φροντιστήριο Υπολογιστική Νοημοσύνη 2

1 ο Φροντιστήριο Υπολογιστική Νοημοσύνη 2 1 ο Φροντιστήριο Υπολογιστική Νοημοσύνη 2 Άσκηση Δίνεται ο αρχικός πληθυσμός, στην 1 η στήλη στον παρακάτω πίνακα και οι αντίστοιχες καταλληλότητες (στήλη 2). Υποθέστε ότι, το ζητούμενο είναι η μεγιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL I K ΗΜΗΤΡΙΟΥ 17 1. Γράφηµα συνάρτησης µιας µεταβλητής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θα σχεδιάσοµε µε το Excel το γράφηµα της συνάρτησης y=sin(x), x [0,2π], για να επιδείξοµε γενικότερα τη

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1)

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) 3.1. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) Αν ϑελήσουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αυτής μεταξύ δύο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Τυχαίες μεταβλητές Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3, Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση (simulation) στο Matlab

Προσομοίωση (simulation) στο Matlab Προσομοίωση (simulation) στο Matlab Monte Carlo simulation: Μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια εκτίμηση του π ως εξής. Γράψτε ένα script που παράγει τυχαία σημεία σ'ένα τετράγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας βασίζεται στην επέκταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ 8 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1996 ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ 8 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1996 ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ 8 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1996 ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Χρησιμοποιείστε τις παρακάτω τυποποιημένες εκφράσεις για να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Εντολή Δεδομένα Περιεχόμενα μετά την εκτέλεση 1 read(x) 122 x= 2 read(a,b,c) 133 244 355 a= b= c= 3 read(d,e) 166 277 3888

Εντολή Δεδομένα Περιεχόμενα μετά την εκτέλεση 1 read(x) 122 x= 2 read(a,b,c) 133 244 355 a= b= c= 3 read(d,e) 166 277 3888 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Να αναφέρετε μερικά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Pascal. 2. Ποιο είναι το αλφάβητο της Pascal; 3. Ποια είναι τα ονόματα-ταυτότητες και σε τι χρησιμεύουν; 4. Σε τι χρησιμεύει το συντακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα