Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo"

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι αριθμοί Η συνάρτηση rand() προσφέρει μια ακολουθία τυχαίων αριθμών ομοιόμορφα κατανεμημένων στο διάστημα [0,1) Δύο βασικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την επίλυση ολοκληρωμάτων Μέθοδος επιλογής ή δειγματοληψίας Μέθοδος μέσης τιμής

2 ΦΥΣ Διαλ.09 Monte Carlo μέθοδος δειγματοληψίας Ø Περικλείουμε την συνάρτηση που θέλουμε να ολοκληρώσουμε μέσα σε ένα ορθογώνιο στο διάστημα της ολοκλήρωσης q Υπολογίζουμε το εμβαδό του ορθογωνίου Ø Εισάγουμε τυχαία σημεία στο ορθογώνιο Ø Μετρούμε τα σημεία που βρίσκονται μέσα στο ορθογώνιο και αυτά που περικλείονται από την συνάρτηση Ø To εμβαδό της συνάρτησης (ολοκλήρωμα) στο διάστημα ολοκλήρωσης δίνεται από Όπου Ν f(χ) = αριθμός E f (x) = E!"#!$. % N f (x) N!"#!$. Ν ορθογ. = αριθμός

3 ΦΥΣ Διαλ.09 Monte Carlo μέθοδος μέσης τιμής H ολοκλήρωση με Monte Carlo γίνεται με το να πάρουμε τη μέση τιμή της συνάρτησης υπολογιζόμενη σε τυχαία επιλεγμένα σημεία μέσα στο διάστημα ολοκλήρωσης I = x b! f (x)dx = (b " a) < f (x) > x a < f (x) >! 1 N N! i=0 f (x i ) Tο στατιστικό σφάλμα:! I = " f όπου! f =! f N

4 ΦΥΣ Διαλ.09 Παράδειγμα κώδικα ολοκλήρωσης Monte Carlo program random integer iseed/12345/ call srand(iseed)! Ξεκίνημα ακολουθίας τυχαίων αριθμών με! αρχική τιμή Τµήµα κώδικα για τη Μέθοδο δειγµατοληψίας Do I = 0, Npnts x = xmax * rand()! Η συνάρτηση rand() επιστρέφει ψευδοτυχαίες! τιμές στο διάστημα [0,1) frand = fmax * rand() if (frand < myfunc(x)) then below = below + 1 endif Enddo Print *, Apotelesma oloklirwsis =, fmax*xmax *below/npnts Τµήµα κώδικα για τη Μέθοδο µέσης τιµής Sum = 0 Do I = 0, Npnts x = xmax * rand() sum = f(x) + sum End do Print *, Apotelesma oloklirwsis, xmax*sum/npnts

5 ΦΥΣ Διαλ.09 Monte Carlo ολοκλήρωση σε πολλές διαστάσεις Εύκολο να γενικεύσουμε τη μέθοδο της μέσης τιμής σε πολλές διαστάσεις Το σφάλμα στη μέθοδο ολοκλήρωσης με Monte Carlo είναι στατιστικό Ελαττώνεται ως 1 N Για 2 διαστάσεις: b d I=! dx 1! dx 2 f (x, y)! (b " a)(d " c) # 1 c N a N $ i f (x i, y i )

6 ΦΥΣ Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Πολλαπλά ολοκληρώματα Για παράδειγμα, έστω τα ηλεκτρόνια του ατόμου του 4 Be: 1 1 I =! dx 1! dx 2! dx 3!! dx 12 f x 1, x 2,!, x ( ) Έχουμε 3 διαστάσεις για κάθε ηλεκτρόνιo x 4 ηλεκτρόνια = 12διαστάσεις I = (1! 0) 12 " 1 N # f (x i 1, x i i 2,!, x 12 ) Αλλά για N=10 6 σημεία στη ολοκλήρωση Monte Carlo έχουμε 10 6 υπολογισμούς Για τα PCs υποθέτοντας 1Giga υπολογισμούς/sec θα χρειαστούμε 10-3 secs!!

7 Monte Carlo και τυχαίοι αριθμοί ΦΥΣ Διαλ.09 7 Τα προσδιορισμένα συστήματα (deterministic systems) περιγράφονται εν γένει από κάποιο μαθηματικό κανόνα Κάποια συστήματα ωστόσο δεν είναι προσδιορισμένα Τυχαία ή στοχαστικά Οποιαδήποτε διεργασία ή αλγόριθμος χρησιμοποιεί τυχαίους αριθμούς και αντιτίθεται σε προσδιορισμένους αλγόριθμους ονομάζεται Monte Carlo Η μέθοδος Monte Carlo χρησιμοποιείται ευρέως στις επιστήμες: Φυσική: προσομοίωση φυσικών διεργασιών Μαθηματικά: αριθμητική ανάλυση Βιολογία: προσομοίωση κυττάρων Οικονομικά: εκτίμηση της διακύμανσης του χρηματιστηρίου αξιών Μηχανική: προσομοίωση πειραματικών διατάξεων

8 ΦΥΣ Διαλ.09 8 Σημασία των μεθόδων Monte Carlo Οι μέθοδοι Monte Carlo αποτελούν ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία στη Φυσική Ø Ανάλυση δεδομένων Ø Προσομοίωση φυσικών γεγονότων που στηρίζονται σε τυχαίες διεργασίες - πιθανότητες Ø Σχεδιασμό ανιχνευτών, βελτιστοποίηση και προσομοίωση Επομένως ας μάθουμε μερικές από τις βασικές αρχές Ø Σκοπός των γεννητόρων/προγραμμάτων Monte Carlo Ø Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Ø Ολοκλήρωση Ø Μερικά ιδιαίτερα δημοφιλή Monte Carlo προγράμματα

9 ΦΥΣ Διαλ.09 9 Tυχαίοι αριθμοί Τυχαίος αριθμός είναι ένας αριθμός επιλεγμένος σαν να ήταν καθαρά τυχαία από μια συγκεκριμένη κατανομή Σε μια ομοιόμορφη κατανομή τυχαίων αριθμών στο διάστημα [0,1), κάθε αριθμός έχει την ίδια τύχη να επιλεχθεί P(x) 0 1 x Για παράδειγμα: Όταν ρίχνετε ένα ζάρι οι αριθμοί που μπορείτε να πάρετε είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι μεταξύ 1 και 6. Κάθε αριθμός έχει την ίδια πιθανότητα να βγεί

10 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Ο καλύτερος τρόπος για να πάρουμε τυχαίους αριθμούς είναι να χρησιμοποιήσουμε μια διεργασία που συμβαίνει στη φύση. Ø Ρίξιμο ενός ζαριού ή ενός νομίσματος Ø Λόττο Ø Τα αποτελέσματα του ποδοσφαίρου Ø Η ραδιενεργός διάσπαση των πυρήνων Φυσικά ο τρόπος αυτός για να διαλέξουμε τυχαίους αριθμούς δεν είναι ιδιαίτερα αποδοτικός Ø Υπολογιστικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν που κάνουν την ίδια διαδικασία Πως μπορούμε όμως να κάνουμε κάποιο πρόγραμμα να υπολογίζει κάτι τυχαία; Ø Με ένα γεννήτορα τυχαίων αριθμών

11 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Γεννήτορας τυχαίων αριθμών είναι ένα υπο-πρόγραμμα το οποίο δημιουργεί μια ακολουθία τυχαίων αριθμών Όλοι οι υπολογιστές σήμερα περιέχουν στην βιβλιοθήκη τους ένα μηχανισμό για την δημιουργία ακολουθίας τυχαίων αριθμών οι οποίοι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα [0,1) Η ακολουθία των αριθμών αυτών μπορεί να θεωρηθεί σαν ψευδο-τυχαία ακολουθία αφού για κάθε εκτέλεση του προγράμματος, θα πάρουμε και πάλι την ίδια ακολουθία τυχαίων αριθμών για την ίδια αρχική τιμή του σπόρου (seed) της ακολουθίας Στην πραγματικότητα οι συναρτήσεις που καλούμε στον υπολογιστή χρησιμοποιούν μια μέθοδο (Lehmer 1948) στηριγμένη σε 32-bit ακεραίους και επομένως έχουν περίοδο το πολύ 2 31 ~10 9. Αυτό είναι το πλήθος των τυχαίων αριθμών που μπορούν να δημιουργηθούν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα σε ένα μοντέρνο υπολογιστή Η μέθοδος που ακολουθείται χρησιμοποιεί μια εξίσωση της μορφής: = ( + ) xn+ 1 mod!# axn b, m" $ όπου mod είναι το modulo. Οι σταθερές α,b και m διαλέγονται προσεκτικά ώστε η ακολουθία των αριθμών να γίνεται χαοτική και ομοιόμορφα κατανεμημένη

12 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Κανόνες Ø Η πρώτη αρχική τιμή, x 0, (seed) επιλέγεται Ø Η τιμή του m> x 0 και a, b! 0 Ø To εύρος των τιμών είναι μεταξύ 0 και m (διαιρώντας με m μετατρέπεται μεταξύ 0 και 1) Ø Η περίοδος του γεννήτορα αυτού είναι m-1. Επομένως το m πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο αφού η περίοδος δεν μπορεί ποτέ να γίνει μεγαλύτερη από m. Για παράδειγμα: Αν διαλέξουμε α=b=x 0 =7 και m = 10 τότε θα πάρουμε την ακολουθία: x i =mod(a*x i-1 +b,m) 7, 6, 9, 0 7, 6, 9, 0 7, 6, 9, 0 Και διαιρώντας με 10 θα έχουμε την ακολουθία 0.7, 0.6, 0.9, , 0.6, 0.9, , 0.6, 0.9, 0.0 Πολύ κακή ακολουθία

13 ΦΥΣ Διαλ Γεννήτορες τυχαίων αριθμών Από τους πλέον δημοφιλής γεννήτορες είναι ο RANDU o οποίος αναπτύχθηκε από την IBM το 1960 με τον ακόλουθο αλγόριθμο: ( ) x n+1 = mod 65069x n,2 31!1 31 και αργότερα οι Park και Miller πρότειναν πως η εξίσωση x = n 1 mod( xn, 2! + 1) δίνει την ελάχιστη συνθήκη για ένα ικανοποιητικό γεννήτορα Πρόγραμμα Randu Πρόγραμμα Ran (ελάχιστης απαίτησης)

14 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Ομοιόμορφη (επίπεδη) Κατανομή Αν το R είναι ένα τυχαίος πραγματικός αριθμός μεταξύ [0,1) και αν τα Α και Β είναι πραγματικοί αριθμοί, και Μ, Ν είναι ακέραιοι αριθμοί τότε η τιμή: A + ( B! A) " R θα είναι ένα τυχαίος πραγματικός αριθμός στο διάστημα [Α,Β) Η τιμή της M + INT ( N! R) θα είναι ένα τυχαίος ακέραιος αριθμός στο διάστημα [Μ,Ν] P(x) P(x) Α Β x Μ Ν x Για παράδειγμα, για να δημιουργήσουμε την ομοιόμορφη τυχαία κατανομή που αντιστοιχεί στο ρίξιμο των ζαριών (τιμές μεταξύ [1,6]) θα γράφαμε: ( ) zari = 1+ INT 6! R

15 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Probability Distribution Function (PDF) q Πως μπορούμε να βρούμε μια γενική Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας (PDF) Στις προσομοιώσεις μιας τυχαίας διεργασίας συχνά ζητάμε μια μη ομοιόμορφη (ισοπίθανη) κατανομή τυχαίων αριθμών. Για παράδειγμα η ραδιενεργός διάσπαση χαρακτηρίζεται από κατανομή Poisson: ( ; ) n "!! e P n! = n! (πιθανότητα να βρούμε ακριβώς n γεγονότα όταν τα γεγονότα συμβαίνουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και την ανεξάρτητη μεταβλητή x και με μέσο ρυθμό ν στο διάστημα x) Ø Χρησιμοποιούμε δυο μεθόδους (συνήθως) q Μέθοδος του μετασχηματισμού (Transformation Method) q Μέθοδος της απόρριψης (Rejection Method) Σκοπός και των δυο μεθόδων είναι να μετατρέψουν μια ομοιόμορφη κατανομή τυχαίων αριθμών της μορφής P x (x) σε μια μή ομοιόμορφη της μορφής P y (y) P(x) Py 0 1 x Α B y

16 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος του μετασχηματισμού Θεωρήστε μια συλλογή από μεταβλητές { x x x },,, n 1 2! που κατανέμονται σύμφωνα με μια συνάρτηση P x (x), τότε η πιθανότητα να βρούμε μια τιμή στο διάστημα x και x+dx είναι P x (x)dx Aν y είναι κάποια συνάρτηση του x τότε μπορούμε να γράψουμε: ( ) = ( ) P x dx P y dy Όπου P y (y) είναι η πυκνότητα πιθανότητας που περιγράφει την συλλογή { y y! y } P(x) P ( ) c x x = c Ομοιόμορφη κατανομή 0 1 x και επομένως: ( ) dx Py y = c dy Για να βρούμε μια ακολουθία που χαρακτηρίζεται από την P y (y) θα πρέπει να βρούμε τη συνάρτηση μετασχηματισμού y=f(x) που ικανοποιεί την εξίσωση: Επομένως: q Θέλουμε την P y (y) dx P dy = y ( y) x y,,, n 1 2 H σταθερά C μπορεί να αγνοηθεί αφού απλά πολλαπλασιάζει την συνάρτηση Ø Βρίσκουμε την y=f(x) (συνάρτηση μετασχηματισμού) ώστε dx/dy = P y (y)

17 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές - H μέθοδος του μετασχηματισμού Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων μετασχηματισμού είναι τα ακόλουθα: Επιθυμητή κατανομή P y (y) k y Συνάρτηση μετασχηματισμού f(x) x k 2x n y ( n + 1) 1 y!# x" $ y e!ln( x) cos y e x arcsin x y [ ] x ( n+ ) 1 1

18 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές - H μέθοδος του μετασχηματισμού Παράδειγμα: Θεωρήστε ότι θέλετε την κατανομή P y (y) = y H συνάρτηση μετασχηματισμού είναι τότε: P(x) dx ( )! = " Py y y dy = = x ydy 0 1 x Λύνοντας ως προς y έχουμε: y = x! y = x Όπου τα x είναι τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα [0,1) P y y Ο κώδικας για το παραπάνω παράδειγμα είναι: transform.f

19 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος της απόρριψης Η μέθοδος του μετασχηματισμού είναι χρήσιμη όταν η συνάρτηση f(x) μπορεί να υπολογιστεί Ωστόσο υπάρχουν περιπτώσεις που η επιθυμητή συνάρτηση μπορεί να μην είναι γνωστή σε αναλυτική μορφή. P y = e! Για παράδειγμα, θεωρήστε ότι θέλουμε μια Gaussian κατανομή: ( ) Για την περίπτωση αυτή δεν βρίσκουμε την συνάρτηση y=f(x) γιατί: dx 2 2! y! y = Py ( y) = e " x = e dy dy # Το ολοκλήρωμα αυτό δεν υπολογίζεται αναλυτικά Για τέτοιου είδους προβλήματα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της απόρριψης η οποία μπορεί να δημιουργήσει την επιθυμητή κατανομή για οποιαδήποτε συνάρτηση. Mε τη μέθοδο αυτή, η ακολουθία των τυχαίων αριθμών { y y! y } Υποθέστε ότι ο σκοπός μας είναι να δημιουργήσουμε μια ακολουθία αριθμών κατανεμημένων σύμφωνα με τη συνάρτηση P y (y) y,,, n με μια ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [y min,y max ] που ενδιαφερόμαστε. 1 2 y 2 δημιουργείται P y max y min y max y Προχωρούμε με την ακολουθία των αριθμών { y y! y },,, n 1 2 και δεχόμαστε τιμές που είναι πολλαπλάσια της P y (y)

20 Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος της απόρριψης ΦΥΣ Διαλ Ø Ο αλγόριθμος που ακολουθούμε είναι ο ακόλουθος: Θέτουμε m = 0 (μετρητής) Προσδιορίζουμε την μέγιστη τιμή της επιθυμητής κατανομής P y (y) και το διάστημα [y min,y max ] της επιθυμητής κατανομής Δημιουργούμε τυχαίo ζευγάρι zran, yran από μια ομοιόμορφη κατανομή Για κάθε τιμή του y θέτουμε: y = y min + y max! y min ( ) " yran q Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό ptest ομοιόμορφα κατανεμημένο στο [0,P y max ] Py_test = Py_max * zran q Ελέγχουμε αν η τιμή της κατανομής P(y) > Py_test Αν ναι: Αυξάνουμε τον μετρητή m = m+1 Κρατάμε τη τιμή y μια και δίνει επιτρεπτή τιμή: θέτουμε z(m) =y Αν όχι: Απορρίπτουμε την τιμή y Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία Ν φορές: Οι αριθμοί z(m) που απομένουν στην ακολουθία κατανέμονται επομένως σύμφωνα με την συνάρτηση P y (y)

21 ΦΥΣ Διαλ Τυχαίες κατανομές Η μέθοδος της απόρριψης! y 2 Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε την κατανομή Py ( y) = e y στο διάστημα y=[0,10] dp y H μέγιστη τιμή της συνάρτησης P y βρίσκεται ζητώντας 0 dy = Η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο y=2 το οποίο αντιστοιχεί σε P max =0.541 Επομένως οι τιμές του Py_test θα δημιουργηθούν στο διάστημα [0,0.541] To πρόγραμμα rejection.f δείχνει τον τρόπο που χρησιμοποιείται η μέθοδος της απόρριψης για το παραπάνω παράδειγμα.

22 ΦΥΣ Διαλ Monte Carlo βελτιστοποίηση Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τυχαίους αριθμούς για να βρούμε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών Τυχαία αναζήτηση Η μέθοδος αυτή υπολογίζει την συνάρτηση πολλές φορές σε τυχαία επιλεγμένες τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν συγκεντρώσουμε ένα ικανοποιητικό αριθμό δειγμάτων τότε προφανώς θα έχουμε εντοπίσει και το ακρότατο. Παράδειγμα: Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Monte Carlo για να υπολογίσετε το ελάχιστο της συνάρτησης f (x) = x 2! 6x + 5 στο διάστημα x [1,5] Η ακριβής λύση είναι f min =-4.0 για x=3.0 Αλγόριθμος για ελάχιστα: Προσδιορισμός του πλήθους των πειραμάτων (Ν) Προσδιορισμός του διαστήματος [Α,Β] Αρχική τιμή για το ελάχιστο fmin=9ε9 (πολύ μεγάλη τιμή) Επανάληψη της ακόλουθης διεργασίας Ν φορές) q Δημιουργία ενός τυχαίου αριθμού x στο [Α,Β] q Έλεγχος αν F(x) < fmin Αν ναι Βρήκαμε νέο ελάχιστο και κρατάμε τη τιμή του x min_mc.f έχει το κώδικα για το παράδειγμα

23 ΦΥΣ Διαλ Πιθανότητες Αν ένα νόμισμα ριχθεί δεν είναι σίγουρο αν θα πάρουμε την πάνω όψη του. Ωστόσο αν συνεχίσουμε να επαναλαμβάνουμε το πείραμα αυτό, έστω Ν φορές και παίρνουμε την πάνω όψη S φορές, τότε ο λόγος S/N γίνεται σταθερός μετά από ένα μεγάλο πλήθος επανάληψης του πειράματος. H πιθανότητα P ενός γεγονότος Α ορίζεται ως ακολούθως: Aν το Α μπορεί να συμβεί με S τρόπους από συνολικά K ισότιμους τρόπους τότε: P= S K Παράδειγμα: Ρίχνοντας ένα νόμισμα, η πάνω όψη μπορεί να συμβεί μια φορά από τις δυνατές δύο περιπτώσεις. Επομένως η πιθανότητα είναι P = 1/2 O Αλγόριθμος για να λύσουμε το πρόβλημα αυτό: Προσδιορίζουμε το αριθμό των πειραμάτων N Mηδενίζουμε το μετρητή των επιτυχημένων αποτελεσμάτων Εκτελούμε τα Ν πειράματα (διαδικασία loop) q Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό x (ομοιόμορφη κατανομή) q Ελέγχουμε αν το x < P και αν ναι αυξάνουμε το μετρητή κατά 1 (επιτυχημένη προσπάθεια ) Το πρόγραμμα coin.f περιέχει το παραπάνω παράδειγμα

24 Ρίχνοντας ένα νόμισμα ΦΥΣ Διαλ Ένα νόμισμα ρίχνεται 6 φορές. Ποιά είναι η πιθανότητα να πάρουμε (α) ακριβώς 4 φορές την πάνω όψη (β) τουλάχιστον 4 φορές την πάνω όψη Τα ακριβή αποτελέσματα δίνονται από τη διονυμική κατανομή: H διονυμική κατανομή: Μια τυχαία διεργασία με ακριβώς δυο πιθανά αποτελέσματα τα οποία συμβαίνουν με συγκεκριμένες πιθανότητες καλείται διεργασία Bernoulli. Αν η πιθανότητα να πάρουμε κάποιο αποτέλεσμα ( επιτυχία ) σε κάθε προσπάθεια είναι p, τότε η πιθανότητα να πάρουμε ακριβώς r επιτυχίες (r=0,1,2,,n) σε Ν ανεξάρτητες προσπάθειες χωρίς να παίζει ρόλο η σειρά με την οποία παίρνουμε επιτυχία ή αποτυχία, δίνεται από τη διονυμική κατανομή N! f ( r; N, p) = r! ( N! r)! pr q N!r Για το πρόβλημά μας θα έχουμε επομένως: (α) r=4 για Ν = 6 ενώ p=1/2 (q=1-p) και επομένως από τη διονυμική κατανομή P = 6! 4 2 " 1% " 1% 4!! 2! # $ 2& ' # $ 2& ' = = = (β) r 4 για Ν = 6 ενώ p=1/2 (q=1-p) και επομένως θα έχουμε σαν ολική πιθανότητα το άθροισμα για P(r=4) + P(r=5) + P(r=6) P = 6! 4 2 " 1% " 1% 4!!2! # $ 2& ' # $ 2& ' + 6! 5 1 " 1% " 1% 5!!1! # $ 2& ' # $ 2& ' + 6! 6 " 1% 6!!0! # $ 2& ' = = To πρόγραμμα coin6.f περιέχει τη MC λύση του προβλήματος αυτού

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος 2001-2002 ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #4

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος 2001-2002 ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος 2001-2002 ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #4 «Προγραμματισμός Η/Υ» - Τετράδιο Εργαστηρίου #4 2 Γενικά Στο Τετράδιο #4 του Εργαστηρίου θα αναφερθούμε σε θέματα διαχείρισης πινάκων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL I K ΗΜΗΤΡΙΟΥ 17 1. Γράφηµα συνάρτησης µιας µεταβλητής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θα σχεδιάσοµε µε το Excel το γράφηµα της συνάρτησης y=sin(x), x [0,2π], για να επιδείξοµε γενικότερα τη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εντολή Δεδομένα Περιεχόμενα μετά την εκτέλεση 1 read(x) 122 x= 2 read(a,b,c) 133 244 355 a= b= c= 3 read(d,e) 166 277 3888

Εντολή Δεδομένα Περιεχόμενα μετά την εκτέλεση 1 read(x) 122 x= 2 read(a,b,c) 133 244 355 a= b= c= 3 read(d,e) 166 277 3888 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Να αναφέρετε μερικά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Pascal. 2. Ποιο είναι το αλφάβητο της Pascal; 3. Ποια είναι τα ονόματα-ταυτότητες και σε τι χρησιμεύουν; 4. Σε τι χρησιμεύει το συντακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ψευδοτυχαίοι Αριθμοί Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Ψευδοτυχαίοι Αριθμοί Μια γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών είναι

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κατακερματισμός. 4/3/2009 Μ.Χατζόπουλος 1

Κατακερματισμός. 4/3/2009 Μ.Χατζόπουλος 1 Κατακερματισμός 4/3/2009 Μ.Χατζόπουλος 1 H ιδέα που βρίσκεται πίσω από την τεχνική του κατακερματισμού είναι να δίνεται μια συνάρτησης h, που λέγεται συνάρτηση κατακερματισμού ή παραγωγής τυχαίων τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων

Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων Α. Η στατιστική περιγραφή της µέτρησης φυσικών µεγεθών. Ο στοχαστικός χαρακτήρας της µέτρησης Στη διαδικασία µέτρησης ενός φυσικού µεγέθους η πραγµατική του τιµή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y)

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y) Λογικά Διανύσματα Τα λογικά διανύσματα του Matlab είναι πολύ χρήσιμα εργαλεία. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την γραφική παράσταση της tan(x) στο διάστημα από -3π/2 μέχρι 3π/2. >>x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί

Διαβάστε περισσότερα

Υπο-προγράμματα στη Fortran

Υπο-προγράμματα στη Fortran ΦΥΣ 145 - Διαλ.05 1 Υπο-προγράμματα στη Fortran q Mέχρι τώρα τα προβλήματα και τα προγράμματα που έχουμε δεί ήταν αρκετά απλά και επομένως ένα και μόνο πρόγραμμα ήταν αρκετό για να τα λύσουμε q Όταν τα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Χαρμανδάρης Βαγγέλης, Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης, Εαρινό Εξάμηνο 2013/14 Κεφάλαιο 4: Παράλληλοι Αλγόριθμοι Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 7 Ο. Αριθμητικές πράξεις Τυχαίοι αριθμοί Εφαρμογές σε προβλήματα ΣΙΝΑΤΚΑΣ Ι. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 2010-11 1

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 7 Ο. Αριθμητικές πράξεις Τυχαίοι αριθμοί Εφαρμογές σε προβλήματα ΣΙΝΑΤΚΑΣ Ι. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 2010-11 1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 7 Ο Αριθμητικές πράξεις Τυχαίοι αριθμοί Εφαρμογές σε προβλήματα ΣΙΝΑΤΚΑΣ Ι. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 2010-11 1 Εισαγωγή Οι αριθμητικές πράξεις που εκτελούνται στον υπολογιστή αποτελούν το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ομή Επανάληψης

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ομή Επανάληψης ΕΠ.1 Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα εκτυπώνει τους διψήφιους άρτιους ακέραιους. Η άσκηση στην ουσία θα πρέπει να εκτυπώσει του αριθμούς 10, 12, 14,.,96, 98. Μεμιαπρώτηματιάθαμπορούσαμενατηνλύσουμεμετοναπροσπελάσουμετιςτιμές

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ. Πως γίνεται ο ορισμός μιας διαδικασίας; Να δοθούν σχετικά παραδείγματα. ΑΡΧΗ Εντολές ΤΕΛΟΣ_ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ. Πως γίνεται ο ορισμός μιας διαδικασίας; Να δοθούν σχετικά παραδείγματα. ΑΡΧΗ Εντολές ΤΕΛΟΣ_ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Πως γίνεται ο ορισμός μιας διαδικασίας; Να δοθούν σχετικά παραδείγματα. Οι διαδικασίες μπορούν να εκτελέσουν οποιαδήποτε λειτουργία και δεν επιστρέφουν μια τιμή όπως οι συναρτήσεις. Κάθε διαδικασία έχει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 (Α) Σημειώστε δίπλα σε κάθε πρόταση «Σ» ή «Λ» εφόσον είναι σωστή ή λανθασμένη αντίστοιχα. 1. Τα συντακτικά λάθη ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5η: Εντολές Επανάληψης

Διάλεξη 5η: Εντολές Επανάληψης Διάλεξη 5η: Εντολές Επανάληψης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών Βασίζεται σε διαφάνειες του Κ Παναγιωτάκη Πρατικάκης (CSD) Εντολές Επανάληψης CS100, 2015-2016

Διαβάστε περισσότερα

2. β. Συνθήκη ή επιλογή. 4. δ. Υποπρόγραμμα. 5. ε. ιαδικασία εισόδου ή εξόδου

2. β. Συνθήκη ή επιλογή. 4. δ. Υποπρόγραμμα. 5. ε. ιαδικασία εισόδου ή εξόδου ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛHNIΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 28 ΜΑΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΜΗΜΕΝΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 19 Hashing - Κατακερματισμός 1 / 23 Πίνακες απευθείας πρόσβασης (Direct Access Tables) Οι πίνακες απευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Υπολογιστικών Συστημάτων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα;

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα; ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Θέμα 1ο I. Τι πρέπει να ικανοποιεί ένα κομμάτι κώδικα ώστε να χαρακτηριστεί ως υποπρόγραμμα; Τα υποπρογράμματα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Παράδειγμα 3 Παράδειγμα 5 Παράδειγμα 6 ΔΤ3 ΔΤ4 151

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Παράδειγμα 3 Παράδειγμα 5 Παράδειγμα 6  ΔΤ3 ΔΤ4  151 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Παράδειγμα 3 Σε ένα μετεωρολογικό κέντρο χρειάζεται να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη θερμοκρασία από τις μέσες ημερήσιες θερμοκρασίες ενός μήνα. Να γραφεί ένας αλγόριθμος που θα διαβάζει τη

Διαβάστε περισσότερα