1994) p. 40). 3/30

Transcript

1 Το Λάθος και το Στίγµα: Αξιολόγηση Λαθών στα Μαθηµατικά και Πρόληψη Σχολικής Αποτυχίας. Φ.Καλαβάσης, Χ.Μιτσούλης, Σ.Ορφανός, Χ. Σκουµπουρδή, Γ.Τζωρτζακάκης Όταν νοµίζεις ότι είσαι σίγουρος ότι έχεις απαντήσει σωστά, αλλά σε βαθµολογούνε κάτω από τη βάση. Όταν δεν µπορείς να το καταλάβεις, παρότι σου το εξήγησαν αρκετές φορές επαναλαµβάνοντας τα ίδια ακριβώς λόγια που δεν κατάλαβες. Όταν δεν προλαβαίνεις να ρωτήσεις, γιατί ο δάσκαλος συνέχισε στο επόµενο κεφάλαιο. Όταν στις εξετάσεις όλες οι απαντήσεις σου είναι λάθος. Το Λάθος, συνηθισµένο στα µαθηµατικά του σχολείου, επαναλαµβανόµενο σε όλες τις τάξεις, συνήθως ανεξήγητο. εν ασχολήθηκε κανείς µαζί του, χρεώθηκε στην τεµπελιά σου, στην ελλιπή σου προετοιµασία, στην κληρονοµική σου ευφυία ή στο φύλο σου, αν είσαι κορίτσι. Κι ύστερα έρχεται το Στίγµα. Έπιασες κάποια στιγµή 15 στα 20, και σου είπαν: πώς το κατάφερες; σίγουρα έχεις αντιγράψει, γι αυτό θα πάρεις 10, και πολύ σου είναι. Ενώ στον διπλανό σου, τον καλό µαθητή που έγραψε κι αυτός για 15, του είπαν: τι κρίµα, κάτι θα σου ξέφυγε και χάλασες την καλή βαθµολογία σου. εν πειράζει, θα στο κάνουµε 17. Το στίγµα θα σε ακολουθεί: δεν έχεις κλίση, δε στρώνεσαι στο διάβασµα, δεν τα παίρνεις στα σοβαρά, δεν είσαι και τόσο έξυπνος, δε χρειάζεται να σπουδάσεις παραπάνω. Ίσως κάποια στιγµή σου δόθηκε µια δεύτερη, µοναδική ευκαιρία. Σου έκαναν ιδιαίτερο. Πλήρωσαν, ξοδεύτηκαν. Αν έχασες κι αυτή την ευκαιρία, τότε µη ζητάς και τα ρέστα. Κανείς δε νιώθει ιδιαίτερα περήφανος για σένα. Όπως σου είχε πει και ο πρώτος σου δάσκαλος, οι άλλοι θα προχωρούν κι εσύ θα µένεις πίσω Είχε νευριάσει γιατί τον ρώταγες µε πείσµα «γιατί όταν πολλαπλασιάζουµε δυο δεκαδικούς, άλλοτε το αποτέλεσµα είναι µεγαλύτερο και άλλοτε µικρότερο από τους αριθµούς». Σου είχε πει δηµοσίως να µην επαναλαµβάνεις τόσο εκνευριστικά την ίδια ηλίθια ερώτηση µε την αντιπαθή φωνή σου. εν σου απάντησε ποτέ. Ο βασικός ισχυρισµός αυτής της εργασίας-δραστηριότητας είναι ότι η αποτυχία στα σχολικά µαθηµατικά, αν δε διαγνωστεί και αντιµετωπιστεί έγκαιρα, µπορεί να συνδεθεί µε σκληρές εκφράσεις του φαινοµένου της σχολικής αποτυχίας που χαρακτηρίζονται από ταυτόχρονη αρνητική σχέση µε την εν γένει γνώση και µε τους θεσµούς (αναλφαβητισµός, εγκληµατικότητα). Η σύνδεση αυτή µιας γνωστικής αποτυχίας στο σχολικό πλαίσιο µε βαρειές µορφές κοινωνικού στιγµατισµού οφείλεται στην αντίληψη ταύτισης των µαθηµατικών µε την ευφυία, στη δυσκολία διδασκαλίας-κατανόησης και την εξεταστική βαρύτητα του συγκεκριµένου µαθήµατος στο σχολείο, και στον ενοχοποιητικό τρόπο που βιώνεται από την οικογένεια µια ενδεχόµενη αποτυχία τού («αδιαµφισβήτητα έξυπνου») παιδιού στα µαθηµατικά. Στη συγκεκριµένη δηµοσίευση θα παρουσιαστούν θεωρητικές και ερευνητικές προσεγγίσεις θεµελίωσης του ισχυρισµού και περιγραφής του φαινοµένου. - Αρχικά θα γίνει µια συνοπτική παρουσίαση του θέµατος της σχολικής αποτυχίας και το πως αυτή επιδρά στη µετέπειτα πορεία του µαθητή στον κοινωνικό και εργασιακό του χώρο. - Στη συνέχεια θα αναπτυχθεί η έννοια του λάθους στα µαθηµατικά και στη διδασκαλία τους, καθώς και οι επιπτώσεις που η συστηµατική πραγµατοποίηση λαθών έχει στη σχέση του µαθητή µε µια σειρά παράγοντες του ευρύτερου περιβάλλοντος του. Στο σηµείο αυτό θα γίνει αναφορά στις διάφορες παιδαγωγικές πρακτικές και τη σχέση του λάθους µε την αξιολόγηση του µαθητή. 1/30

2 - Θα περιγραφεί η δυσκολία και η αµηχανία που υπάρχει στην διάγνωση και διαπραγµάτευση του λάθους από την πλευρά των εκπαιδευτικών. Στο σηµείο αυτό προτείνεται ένα συγκεκριµένο «Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων» που µπορούν να χρησιµοποιούν οι εκπαιδευτικοί µιας σχολικής µονάδας για βελτίωση των διδακτικών τους αποφάσεων και για την πρόληψη αρνητικών επιδράσεων στους µαθητές τους.. - Τέλος θα διατυπωθούν υποθέσεις για τη σχέση µαθηµατικών και σχολικής αποτυχίας και για τις επιπτώσεις που έχει η κακή σχέση - διαχείριση της µαθηµατικής εκπαίδευσης στην ψυχοπαθολογία του παιδιού και του εφήβου. Τα παραδείγµατα και οι αναφορές στα µαθηµατικά εστιάζονται σε προβλήµατα πιθανοτήτων, κλασµάτων και δεκαδικών αριθµών, ώστε να είναι εύληπτα από τους αναγνώστες-τριες αυτού του τόµου. Θα πρέπει να σηµειωθεί εισαγωγικά ότι η ίδια η φύση των µαθηµατικών, η ορολογία και ο συµβολισµός τους, η θέση τους µέσα στο εκπαιδευτικό σύστηµα και την κοινωνία ευρύτερα, ο τρόπος διδασκαλίας τους, ο τρόπος αξιολόγησης τους, ο φόρτος πνευµατικής εργασίας που απαιτούν, το ειδικό βάρος που έχει η επίδοση του µαθητή στην αυτοεκτίµηση του, όλοι αυτοί οι παράγοντες, ο καθένας ξεχωριστά και όλοι µαζί επιδρούν στο µαθητή και διαµορφώνουν τη στάση του απέναντι στα µαθηµατικά. 1. Η σχολική αποτυχία είναι ένα πολύ-παραγοντικό φαινόµενο µε κοινωνικές και πολιτικές προεκτάσεις που µελετάται ιδιαίτερα τα τελευταία χρόνια από τη διεθνή εκπαιδευτική και επιστηµονική κοινότητα, καθώς συνδέεται ταυτόχρονα µε ψυχολογικούς, γνωστικούς και κοινωνιολογικούς παράγοντες, µε θεσµούς (σχολείο, οικογένεια, δικαιοσύνη, εργασία) και µε κοινωνικές και επικοινωνιακές συµπεριφορές. Από την ανασκόπηση της σχετικής βιβλιογραφίας διαπιστώνουµε ότι η εµφάνιση της σχολικής αποτυχίας συνδέεται µε πολλούς παράγοντες, οι οποίοι µπορούν να κατηγοριοποιηθούν ως ακολούθως: Κοινωνικοί και προσωπικοί παράγοντες, Ψυχολογικοί και παράγοντες συµπεριφοράς, Σχολικό περιβάλλον, Εσωοικογενειακοί παράγοντες, Κοινωνικοοικονοµικοί παράγοντες, Εκπαίδευση των γονέων, Προβλήµατα επικοινωνίας και επίδοσης στο χώρο του σχολείου και βαθµολογία, Πολιτισµικό και πολεοδοµικό περιβάλλον Οι παράγοντες αυτοί δεν είναι σαφές αν έχουν αναπόδραστη σχέση µε το φαινόµενο, έχει πάντως παρατηρηθεί ότι αποτελούν σηµαντικές µεταβλητές του, καθώς η µεταβολή της ισχύος τους έχει θετική ή αρνητική επίδραση στην έκταση του φαινοµένου. Επιπλέον οι µεταβλητές αυτές αλληλοσχετίζονται και αλληλεπιδρούν. Εποµένως η εστίαση στη σχολική επίδοση στα µαθηµατικά και στις συνέπειες του λάθους σε αυτό το µάθηµα, δεν είναι µόνο µια µερική µεταβλητή, αλλά µια κεντρική γνωστική διάσταση που έχει συνάφεια µε όλους τους ανωτέρω παράγοντες. Οι ατοµικές και κοινωνικο-οικονοµικές συνέπειες της σχολικής αποτυχίας επίσης µπορούν να κατηγοριοποιηθούν. Ενδεικτικά αναφέρουµε: Μορφές κοινωνικού αποκλεισµού (ως αµυντικό βίωµα αλλά και ως ρατσιστική επιθετικότητα σε άλλες κατηγορίες του πληθυσµού), Αδυναµία-δυσκολία εύρεσης εργασίας: οι δείκτες ανεργίας είναι διπλάσιοι για όσους εγκαταλείπουν τη σχολική εκπαίδευση (µια πτυχή της σχολικής αποτυχίας είναι η εγκατάλειψη του σχολείου), Αρνητική επίδραση στην ψυχο-συναισθηµατική ανάπτυξη του παιδιού, Παραβατική συµπεριφορά. 2/30

3 Οι µορφές έκφρασης µε τις οποίες συνδέεται το φαινόµενο της σχολικής αποτυχίας, όσον αφορά το υποκείµενο, κατηγοριοποιούνται σε εσω-σχολικές και εξω-σχολικές. Στις πρώτες έχουµε τη συστηµατική απουσία, την κακή επίδοση µε επιδεικτική αδιαφορία, τη βίαια συµπεριφορά. Στις δεύτερες συναντάµε τη σχολική φοβία, την υπερκινητικότητα, την προσκόληση σε οικογενειακά πρότυπα. Σε πρόσφατες µελέτες έχει καταγραφεί ότι κατά τη µετάβαση από το Γυµνάσιο στο Λύκειο και στις πρώτες τάξεις του Λυκείου η σχολική διαρροή κινείται σε ποσοστό 33% (Κάτσικας, Τσουκαλάς, 2000). Στις ΗΠΑ περίπου 3.4 εκατοµµύρια παιδιών δεν αποφοιτούν από τη βασική εκπαίδευση (National Center for Education Statistics, 1994). Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να υπογραµµίσουµε ότι όταν µιλάµε για σχολική αποτυχία εννοούµε το φαινόµενο της κατάταξης κατηγοριών µαθητών στο ποσοστό αποτυχίας ενός συγκεκριµένου σχολικού συστήµατος, µε συγκεκριµένες παιδαγωγικές πρακτικές και συγκεκριµένη αντίληψη για τη γνώση. Η βιωµένη όµως, ως ατοµική ιστορία, αποτυχία ενός συγκεκριµένου παιδιού στο σχολείο ή σε κάποιες µαζικές εξετάσεις επιλογής, είναι κάτι τελείως διαφορετικό και δεν τοποθετεί αναγκαστικά τη συγκεκριµένη περίπτωση στο µοντέλο που περιγράψαµε.(charlot, 1993 p. 40). Έχει παρατηρηθεί ότι ένα σηµαντικό ποσοστό των παιδιών που καταγράφονται στο φαινόµενο της σχολικής αποτυχίας δεν είχε φοιτήσει στο Νηπιαγωγείο και ένα επίσης σηµαντικό ποσοστό δεν είχε καλή επίδοση στα µαθηµατικά. Η παρατήρηση αυτή σηµειώνει τη σχέση του φαινοµένου µε τη δύσκολη αρχική και γνωστική προσέγγιση του σχολικού συστήµατος και θεσµού. Η επιτυχία στα µαθηµατικά συνδέεται στατιστικά µε µια θετική προσµονή απέναντι σε αυτά. Σε αυτό το πλαίσιο η επιτυχία ή αποτυχία στα µαθηµατικά συναρτάται µε την ιεραρχική τοποθέτηση της γνώσης (positioning) που υιοθετεί η συγκεκριµένη κοινωνία, κοινωνική τάξη, οικογένεια, αλλά και το προσωπικό βίωµα του µαθητή και οι παιδαγωγικές πρακτικές που του έχουν δηµιουργήσει το βίωµα. Όπως διαφαίνεται από σύγχρονες µελέτες, η σχολική αποτυχία πρέπει να ειδωθεί σα µια διαδικασία απόκλισης, µεταξύ της σχέσης µε τη γνώση που έχει οικοδοµήσει το παιδί και της σχέσης µε τη γνώση που υιοθετεί, επιβάλει και εξετάζειαξιολογεί στο µαθητή το σχολείο. Όταν η απόκλιση αυτή είναι µεγάλη, όταν η αποδοχή της δεύτερης σχέσης από τον εκπαιδευτικό, την οικογένεια και την κοινωνία ακυρώνει την όποια δυναµική της προσωπικότητας του παιδιού-µαθητή, η σχέση µε τη γνώση µεταφέρεται σε σχέση µε το θεσµό (σχολείο, οικογένεια, κλπ) και η σχολική αποτυχία µετατρέπεται σε κοινωνικό φαινόµενο. Είναι σηµαντικό να τονιστεί ότι η σχέση ενός παιδιού µε τη γνώση είναι συνδεδεµένη µε την κοινωνική του προέλευση. Η κοινωνιολογία της εκπαίδευσης και ιδιαίτερα οι εργασίες των Bourdieu και Bernstein έχει καταδείξει ότι οι διάφορες κοινωνικές τάξεις (αστική, εργατική) δε διατηρούν ενιαία κοινωνική σχέση µε τη γνώση. 2. Εστιάζουµε τώρα την προσοχή µας στην απόκλιση των δύο σχέσεων µε τη γνώση στην περίπτωση των µαθηµατικών. Κεντρικό σηµείο της µελέτης µας είναι τα λάθη-παρανοήσεις στα οποία προβαίνουν τα παιδιά, ο τρόπος χειρισµού τους από την πλευρά των εκπαιδευτικών και ο τρόπος βίωσης τους από την πλευρά των µαθητών. Όταν αναφερόµαστε σε λάθη- παρανοήσεις δεν εννοούµε σφάλµατα αβλεψίας, αλλά λάθη ουσιώδη, συστηµατικά επαναλαµβανόµενα, λάθη που επιµένουν, που 3/30

4 έχουν µια σταθερότητα και που συνδέονται µεταξύ τους. ε θα αναφερθούµε σε γνώσεις που παρουσιάζουν ιδιαίτερες δυσκολίες και των οποίων η απόκτηση προϋποθέτει µεγαλύτερο και ιδιαίτερο κόπο. Με διαφορετικούς τρόπους αντιµετωπίζονται τα λάθη από µέρους των εκπαιδευτικών ανάλογα µε τις παιδαγωγικές και διδακτικές πρακτικές που εφαρµόζει ο καθένας. Στις παραδοσιακές παιδαγωγικές µετωπικής διδασκαλίας το λάθος είναι απευκταίο.ο δάσκαλος για να το αποφύγει προσπαθεί να προειδοποιήσει τους µαθητές, εξηγεί υπερβολικά, εξηγεί ξανά, επιτιµά, βαθµολογεί αρνητικά, δίνει περισσότερη δουλειά. Είναι αρνητικά φορτισµένο, ο µαθητής το βιώνει ως προσωπική αποτυχία γενικής φύσεως, προσπαθεί να το αποφύγει, να το αποκρύψει, επεξεργάζεται σε αυτή την κατεύθυνση ειδικές στρατηγικές (µαθητικές στρατηγικές κατά τον G. Collonges), που θα του επιτρέψουν να παραµείνει στο σχολικό σύστηµα. Στις συµπεριφοριστικές παιδαγωγικές διδασκαλίας, που η γνώση τεµαχίζεται σε επιµέρους στόχους και η µάθηση γίνεται νοητή ως συσσώρευση γνώσεων, το λάθος πρέπει να αποφεύγεται, αξιολογείται αρνητικά, θεωρείται δείκτης της απόστασης του µαθητή από το µαθησιακό στόχο. Καθώς ο νους θεωρείται ένας σκοτεινός θάλαµος µέσα στον οποίο δεν µπορούµε να ξέρουµε τι συµβαίνει, αυτό που προτείνεται από το σχολικό σύστηµα, για να αντιµετωπιστούν τα συστηµατικά λάθη, είναι να επιµεριστεί ο διδακτέος στόχος που ήταν σύνθετος σε απλούστερους στόχους. Ο µαθητής καλείται να δοκιµαστεί σε απλούστερα προβλήµατα. Στις διδασκαλίες που εµπνέονται από τις κατασκευαστικές θεωρίες µάθησης το λάθος φορτίζεται θετικά, θεωρείται ενδιάµεση γνώση, έχει ενδιαφέρον, δεν παρακάµπτεται, δεν απαγορεύεται, δεν τιµωρείται, συνδέεται µε έκφραση εµποδίων µε τη σηµασία που απέδωσαν στη λέξη οι Bachelard και Brousseau - είναι η πύλη προς τις αντιλήψεις των µαθητών που τους οδηγούν στη συγκεκριµένη πρακτική τους. Το λάθος εδώ αντιµετωπίζεται ως πηγή µιας κατάστασης ρήξης, ως πηγή µιας φάσης ανισορροπίας κατά τη διαδικασία της εξισορρόπησης στην πορεία προς τη µάθηση. Ένα λάθος λοιπόν, εδώ, γίνεται πηγή προόδου υπό την προϋπόθεση όµως ότι η έκφρασή του είναι επιτρεπτή στο πλαίσιο του διδακτικού συµβολαίου, άρα αντιληπτή από τον εκπαιδευτικό τη συγκεκριµένη στιγµή. Οι τυπολογίες λαθών που µας προσφέρει η διδακτική των µαθηµατικών προσδιορίζουν τα λάθη έχοντας στο επίκεντρο τον ίδιο το µαθητή και τη σχέση του µε τη γνώση και το δάσκαλο. Αναλύουν και ερµηνεύουν τα λάθη σε σχέση - µε τα χαρακτηριστικά του µαθητή, - µε τις αντιλήψεις του για συγκεκριµένες έννοιες και - µε την επίδραση του διδακτικού συµβολαίου στις απαντήσεις των µαθητών. Σε σχέση µε αυτή την τυπολογία προτείνεται η πρώιµη παρέµβαση ή η ύστερη διάγνωση µε στόχο την επαναδιαπραγµάτευση της γνώσης στο αρχικό πλαίσιό της αφού πρώτα βιωθεί από το µαθητή η ανεπάρκειά της όχι στο επίπεδο της σχολικής επίδοσης, αλλά στο επίπεδο της θεωρητικής γενίκευσης και των εφαρµογών της. Θα εξετάσουµε ορισµένα παραδείγµατα (R. Charnay, M.Mante): 1. Λάθη σε σχέση µε χαρακτηριστικά του µαθητή, συνδεόµενα µε το στάδιο διανοητικής του ανάπτυξης (οντογενούς προέλευσης). Παράδειγµα: υσκολίες στη διατήρηση της ποσότητας για παιδιά µικρότερα των 5 χρονών. - Λάθη οφειλόµενα σε περιορισµούς κάθε ατόµου στον τοµέα χειρισµού της πληροφορίας. 4/30

5 Συµβαίνουν όταν η εργασιακή µνήµη κινητοποιηθεί από γνωσιολογικές ενέργειες µη αυτοµατοποιηµένες οπότε η ικανότητα αποθήκευσης σ αυτή µειώνεται. Παραδείγµατα: Ο νοερός υπολογισµός για έναν µαθητή 4ης δηµοτικού του αθροίσµατος 36+24, ή αντίστοιχα λάθη στην επίλυση προβλήµατος.(ο J.-F. RICHARD,1982, αποδεικνύει πως οι περιορισµοί της εργασιακής µνήµης µπορούν να εκδηλωθούν στη φάση κατανόησης της εκφώνησης). Εάν κάποια γνώση έχει υποστεί επεξεργασία κατά τρόπο έντονα µονοσήµαντο και µονοµερή, τότε για το µαθητή είναι πολύ µεγάλος ο κίνδυνος να τη συνδέσει µε µη κατάλληλες ενδείξεις, που όµως για το µαθητή θα είναι χαρακτηριστικές αυτής της γνώσης. Π.χ. Η συχνή σχολική χρήση κανονικών ορθογωνίων µπορεί να έχει ως αποτέλεσµα την άρνηση του να αναγνωρίσει µία στενή ταινία σαν ορθογώνιο. - Λάθη οφειλόµενα σε ατοµικές ιδιαιτερότητες του µαθητή, που συνδέονται µε ικανότητες ανάγνωσης, γραφής, σχεδίου, βραδύτητα, µεταγνωστικές ικανότητες (π.χ. εφαρµογή µεθόδων ελέγχου), στάσεις για τα µαθηµατικά, πολιτιστικοκοινωνικές εµπειρίες. 2. Λάθη σε σχέση µε τις εµπειρίες του µαθητή σχετικά µε µια καθορισµένη γνώση. Ο µαθητής στηριγµένος στις εµπειρίες του δηµιουργεί δικούς του κανόνες - θεωρήµατα εν δράσει τα ονοµάζουν οι ερευνητές της διδακτικής των µαθηµατικών - λογικά υπονοούµενους και µε αυτούς δρα. Πολλά από τα λάθη που φαίνονται ακατανόητα στους δασκάλους οφείλονται σ αυτούς τους προσωπικούς κανόνες, τα θεωρήµατα εν δράση. Αυτοί οι κανόνες χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι έχουν ένα χώρο αποτελεσµατικότητας και επιτυχίας, που ενισχύει την αντίληψη του µαθητή περί της εγκυρότητας τους. Παράδειγµα: 7,4 < 7,12 και 0,6 < 0,25 Ο «κανόνας σύγκρισης» που χρησιµοποιείται εδώ (συγκρίνουµε πρώτα τα ακέραια µέρη, µετά, σε περίπτωση ισότητας τα δεκαδικά µέρη) είναι αποτελεσµατικός για όλους τους δεκαδικούς που έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων µετά την υποδιαστολή, περίπτωση την οποία οι µαθητές συναντούν πολύ συχνά. Ορισµένες από αυτές τις αντιλήψεις, αν δε διαγνωστούν και διορθωθούν στο αρχικό τους πλαίσιο, θα µεταβληθούν σε ισχυρά εµπόδια κατά την διαδικασία της µάθησης. Ως πιθανές πηγές τέτοιων αντιλήψεων των µαθητών θεωρούνται: - Τα εµπόδια επιστηµολογικής προέλευσης, οφειλόµενα στην ίδια την ιστορική εξέλιξη των εννοιών. Εµπόδια των οποίων η υπερπήδηση και απόρριψη συνέβαλε στην παραπέρα επεξεργασία των εννοιών. Για παράδειγµα η αντίληψη των αριθµών σαν έκφραση ενός µέτρου κάποιου µεγέθους δηµιούργησε ένα εµπόδιο στην επεξεργασία της έννοιας του αρνητικού αριθµού για πάνω από 15 αιώνες. - Τα εµπόδια διδακτικής προέλευσης. Ορισµένες αντιλήψεις των µαθητών αποδίδονται στους µηχανισµούς διδασκαλίας που εφαρµόστηκαν είτε στο επίπεδο του επιµερισµού της γνώσης που πραγµατοποιήθηκε µέσω του Αναλυτικού προγράµµατος, του σχολικού βιβλίου και του δάσκαλου, είτε στο επίπεδο της παιδαγωγικής πρακτικής που πάλι διαµορφώνεται από τους ίδιους παράγοντες. Για παράδειγµα η αντίληψη των δεκαδικών αριθµών α,β ως ζεύγους ακεραίων (α,β) µπορεί να συνδεθεί µε τις εξής δύο ερµηνείες: - Από την µια µεριά οι µαθητές φθάνοντας στην Πέµπτη δηµοτικού έχουν εξοικειωθεί πολύ µε τους φυσικούς αριθµούς και έχουν την τάση τους κανόνες που γνωρίζουν για αυτούς να τους επεκτείνουν και σ άλλα σύνολα αριθµών (κάθε αριθµός έχει έναν επόµενο, µεταξύ δύο συνεχόµενων 5/30

6 αριθµών δεν µπορεί να παρεµβληθεί κανείς, ). Έτσι µπορούν να οδηγηθούν στο σύνηθες λάθος «µεταξύ του 2,5 και του 2,7 υπάρχει µόνο το 2,6». - Από την άλλη µεριά οι τρόποι εισαγωγής των δεκαδικών αριθµών δεν προκαλούν ρήξη µ αυτήν την αντίληψη, αλλά µάλλον την ενισχύουν στο µέτρο που επιµένουν στις επεκτάσεις µεταξύ των φυσικών και δεκαδικών. Π.χ. Η εισαγωγή του δεκαδικού σε σχέση µε το µετρικό σύστηµα (το 1,25µ είναι µια άλλη γραφή του 125εκατοστά ή ακόµα, είναι µία γραφή που υποκαθίσταται από την σύνθετη γραφή 1µ25εκ.) δε βοηθά το µαθητή να διακρίνει µε σαφήνεια τα δύο σύνολα αριθµών και τους κανόνες που αφορούν το καθένα. 3. Λάθη σε σχέση µε το διδακτικό συµβόλαιο Σύµφωνα µε τον ορισµό του Guy Brousseau, διδακτικό συµβόλαιο θα εννοούµε «το σύνολο των τρόπων συµπεριφοράς του δασκάλου που είναι αναµενόµενοι από το µαθητή και το σύνολο των τρόπων συµπεριφοράς του µαθητή που είναι αναµενόµενοι από το δάσκαλο». Το συµβόλαιο αυτό είναι κατά ένα µόνο µικρό µέρος σαφώς εκπεφρασµένο. Ως επί το πλείστον είναι υπονοούµενο και καθορίζει τους άτυπους, αλλά πανίσχυρους κανόνες συµπεριφοράς στην τάξη και στις εξετάσεις τόσο του µαθητή όσο και του δασκάλου, άρα και το πότε θα είναι υπόλογος µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ο ένας απέναντι στον άλλο. Υπό την επίδραση του διδακτικού συµβολαίου δύο τύποι λαθών έχουν ταξινοµηθεί: - Αυτά που γίνονται εξ αιτίας κανόνων του συµβολαίου επεξεργασµένων από το µαθητή. Για παράδειγµα το γνωστό πρόβληµα της ηλικίας του καπετάνιου: «Ένα καράβι µεταφέρει 12 πρόβατα και 15 κατσίκια. Ποια είναι η ηλικία του καπετάνιου;» Ένα µεγάλο ποσοστό µαθητών απαντάει 27, θεωρώντας ότι αυτό στο οποίο πραγµατικά εξετάζονται είναι η πράξη της πρόσθεσης. Μπορεί κανείς εδώ να δει ότι λειτουργούν κανόνες του συµβολαίου που έχουν σχέση µε την λύση προβληµάτων: κάθε προτεινόµενο πρόβληµα στην τάξη επιδέχεται µία λύση, αυτή η λύση βρίσκεται µε υπολογισµούς που χρησιµοποιούν όλους τους αριθµούς της εκφώνησης. - Εκείνα τα λάθη που γίνονται λόγω της µη αφοµοίωσης από µέρους του µαθητή των ιδιαίτερων κανόνων για µια δεδοµένη εργασία. Ο µαθητής τότε δεν ξέρει τι ακριβώς περιµένει ο δάσκαλος απ αυτόν, τι ακριβώς δηλαδή ζητάει η εκφώνηση: τη συνοπτική διατύπωση της επίλυσης ενός προβλήµατος, την αναλυτική επιχειρηµατολογία της απόδειξης ή την ακρίβεια των γεωµετρικών σχηµάτων που χρησιµοποιούνται; 3. Το λάθος όµως που στις σχολικές συνθήκες είναι απευκταίο και ενοχοποιεί τον µαθητή, αντίθετα, σε συνθήκες επιστηµονικής έρευνας είναι ευκταίο να εντοπιστεί γιατί δίνει στον ερευνητή τη δυνατότητα επαναδιαπραγµάτευσης της µεθόδου, των υποθέσεων, της συνολικής του αντίληψης. «Μια επιστηµονική υπόθεση που δεν µπορεί να προσκρούσει σε καµιά αντίφαση δεν απέχει και πολύ από το να είναι άχρηστη. Όµοια µια εµπειρία που δεν διορθώνει κανένα λάθος, που είναι µονότονα αλάνθαστη, χωρίς διαµάχες, σε τι χρησιµεύει; Μια επιστηµονική εµπειρία είναι µια εµπειρία η οποία αντιτίθεται στην κοινή εµπειρία Είναι η προοπτική της διόρθωσης των λαθών που χαρακτηρίζει κατά την άποψη µας την επιστηµονική 6/30

7 γνώση.» (Gaston Bachelard, 1938). Οι πρόσφατες επιστηµονικές θεωρίες ισχυρίζονται ότι ο µαθητής των µαθηµατικών λειτουργεί σαν ένας µικρός ερευνητής και ότι ο δάσκαλος µαζί µε το µαθητή ανακαλύπτει κάθε φορά έναν τρόπο µάθησης και κατασκευής της γνώσης. Το παραγόµενο λάθος λοιπόν παίρνει τελείως διαφορετική σηµασία από την τρέχουσα και κατά συνέπεια η επίδραση του συστηµατικού λάθους στην αξιολόγηση της προσωπικότητας και των ικανοτήτων του µαθητή είναι επιστηµονικά άκυρη και παιδαγωγικά λανθασµένη. Τα µαθηµατικά «είναι ανθρώπινη κατασκευή η οποία γίνεται λίγο λίγο στην βάση των προσπαθειών, των προσωπικών λαθών και των ανταλλαγών µε τους άλλους. Τα µαθηµατικά είναι µια επιστήµη που στηρίζεται στην εικασία. Ως τέτοια λοιπόν οι προτάσεις της µπορεί να είναι επιβεβαιωτικές ποτέ όµως οριστικά βέβαιες. Η αποκάλυψη των λαθών είναι το ελατήριο το κίνητρο για την ανάπτυξη της γνώσης. Χωρίς λάθη δεν υπάρχει πρόοδος και στο κοινωνικό και στο ατοµικό επίπεδο.» Μichele Pellerey, 1987) Εάν έτσι λοιπόν έχουν τα πράγµατα στο επίπεδο της επιστηµονικής γνώσης και αυτός είναι ο δηµιουργικός ρόλος του λάθους στην ανάπτυξη της γνώσης, εύλογα αναρωτιέται κανείς: Ποιος ο ρόλος του λάθους στη σχολική τάξη; Το λάθος αντιµετωπίζεται ως µια γνώση ευκαιρία για την παραπέρα ανάπτυξη της γνώσης του µαθητή; Η µήπως το λάθος αξιοποιείται κυρίως για την αξιολόγηση του µαθητή µέσω της βαθµολόγησης; Κατά πόσο αξιολογείται η ποιότητα του λάθους και κατά πόσο η ποσότητα, το πλήθος των λαθών; Εδώ ανοίγει ένα µεγάλο κεφάλαιο σχετικό µε την αξιολόγηση των µαθητών στα µαθηµατικά. Στην εργασία αυτή θα περιοριστούµε µόνο σε ορισµένες διευκρινίσεις, παραπέµποντας το φιλοµαθή αναγνώστη στον τέταρτο τόµο των Θεµάτων ιδακτικής Μαθηµατικών «Αξιολόγηση των Μαθηµατικών και της ιδασκαλίας τους» (Επιµέλεια Φ.Καλαβάσης, Μ.Μεϊµάρης, Εκδόσεις Gutenberg, 2000). Σύµφωνα µε το διεθνή εµπειρογνώµονα συστηµάτων αξιολόγησης Αntoine Bodin, αξιολόγηση θα πρέπει να είναι το σύνολο των διαδικασιών και των διεργασιών συλλογής, επεξεργασίας και επικοινωνίας πληροφοριών, που πραγµατοποιούνται µε στόχο τη λήψη αποφάσεων. Αξιολογούµε όταν πρόκειται να πάρουµε κάποιες αποφάσεις, όταν πρέπει να διαλέξουµε ανάµεσα σε διαφορετικές επιλογές. Ο τύπος της πληροφορίας που θα συλλέξουµε εξαρτάται από το είδος των αποφάσεων που θέλουµε να πάρουµε, πρέπει να είναι τέτοιος που να βοηθά στη λήψη των αποφάσεων. Για παράδειγµα, ο αριθµός των σωστών απαντήσεων ενός µαθητή σ' ένα διαγώνισµα στα µαθηµατικά και η βαθµολογία του µπορεί να µας δώσει τη δυνατότητα να τον κατατάξουµε σε σχέση µε τους συµµαθητές του, αλλά δε µας δίνει την δυνατότητα να του προτείνουµε καταστάσεις µάθησης για να το βοηθήσουν να βελτιώσει την επίδοση του. Οι διαδικασίες συλλογής πρέπει να προσαρµόζονται στις πληροφορίες που επιθυµούµε να συλλέξουµε. Η επεξεργασία των πληροφοριών πρέπει να οργανωθεί έτσι ώστε οι χρήσιµες πληροφορίες που τελικά θα µείνουν να µπορούν να είναι απόλυτα εκµεταλλεύσιµες για την απόφαση. Κάθε είδους επεξεργασία περιορίζει την πρώτη ύλη των πληροφοριών, ιδιαίτερα η απλή βαθµολόγηση η οποία παρέχει πολύ περιορισµένες πληροφορίες. Οι λειτουργίες της αξιολόγησης έχουν άµεση σχέση µε τις αποφάσεις που πρέπει να ληφθούν και διαφοροποιούνται ανάλογα µε το αν οι αποφάσεις αφορούν στον προσανατολισµό των µαθητών, στην πιστοποίηση της εκπαίδευσης τους, ή στη ρύθµιση των εκπαιδευτικών δράσεων που τους αφορούν. Η πιστοποιητική λειτουργία υλοποιείται από την αθροιστική αξιολόγηση, που είναι η καταγραφή της απόδοσης και ο προσδιορισµός του βαθµού στον οποίο επετεύχθησαν οι προβλεπόµενοι στόχοι από το µαθητή. εν ασχολείται καθόλου µε 7/30

8 το πώς µαθαίνει ο µαθητής, αλλά προσπαθεί να βρει µε τη µεγαλύτερη ακρίβεια ποιες είναι οι ικανότητες του στο αντικείµενο που αξιολογείται. Η απόφαση λοιπόν έχει διχοτοµικό χαρακτήρα: ο µαθητής θα επιτύχει ή θα αποτύχει. Η αθροιστική αξιολόγηση αφορά στο παρελθόν και εξυπηρετεί κυρίως το εκπαιδευτικό ίδρυµα και δευτερευόντως τους µαθητές. Η προσανατολιστική λειτουργία λαµβάνει χώρα µέσω της προβλεπτικής ή προγνωστικής αξιολόγησης η οποία βοηθά στη λήψη αποφάσεων προσανατολισµού. Η προγνωστική αξιολόγηση χρησιµοποιεί το παρελθόν για να προβλέψει το µέλλον. Αξιοποιεί πληροφορίες που έχουν µια µακροχρόνια προοπτική να παραµείνουν σε ισχύ, είναι σηµαντικές και απαραίτητες για τη λήψη των αποφάσεων. Η ρυθµιστική λειτουργία επιτελείται από τη διαµορφωτική αξιολόγηση, η οποία αξιοποιεί τις πληροφορίες που συλλέγονται για την αλλαγή του προς µελέτη συστήµατος: κατά την διάρκεια της διδασκαλίας ο δάσκαλος συλλέγει πληροφορίες για τον τρόπο που κατανοούν οι µαθητές µια γνώση, τις διαδικασίες που χρησιµοποίησαν, την πορεία που ακολούθησαν, τα λάθη που έκαναν και τη σηµασία τους. Η πρόθεση του είναι να βοηθήσει τους µαθητές να υπερβούν τις δυσκολίες τους εκείνη τη στιγµή και άρα οι πληροφορίες που τον οδηγούν να τροποποιήσει τις διδακτικές του ενέργειες παύουν να έχουν ισχύ στο τέλος της διδασκαλίας. Οπότε θα ήταν αντιφατικό να τις ενσωµατώσει στην αθροιστική αξιολόγηση. Στην αξιολόγηση των µαθητών επισηµαίνει ο A.Bodin είναι σηµαντικό να διακρίνεται σαφώς η διαµορφωτική από την αθροιστική αξιολόγηση µια και πολλές από τις πληροφορίες που συλλέγονται κατά την διάρκεια της διαµορφωτικής αξιολόγησης αποδεικνύονται εσφαλµένες τη στιγµή του απολογισµού. Επιπλέον η διαµορφωτική αξιολόγηση είναι στην υπηρεσία του µαθητή και των γνώσεων που αποκτά. Πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο εξατοµικευµένη και προϋποθέτει, για να είναι αποτελεσµατική, την αποδοχή του µαθητή και την αµοιβαία εµπιστοσύνη δάσκαλου - µαθητή, προϋποθέσεις που δύσκολα πραγµατοποιούνται στο επίπεδο της αθροιστικής αξιολόγησης. Η αθροιστική αξιολόγηση δεν πρέπει να καταστρέφει τη διαµορφωτική αξιολόγηση, µπορεί όµως σ' ένα άλλο επίπεδο, πιο γενικό στατιστικό, να χρησιµοποιηθεί από τους "υπεύθυνους" του εκπαιδευτικού συστήµατος ώστε να επιδράσουν διαµορφωτικά στο σύστηµα. Στην τρέχουσα διδακτική πράξη η διαµορφωτική αξιολόγηση δυστυχώς ταυτίζεται µε την αθροιστική. Ένας κακός βαθµός που, στα πλαίσια της σχολικού πολιτιστικού πλαισίου, χαρακτηρίζει αρνητικά την επίδοση του µαθητή, επηρεάζει, ως µη όφειλε, την τελική αξιολόγηση και το αίσθηµα αποτυχίας του µαθητή. Το λάθος αντιµετωπίζεται φαινοµενικά µε ενιαίο τρόπο, βαθµολογείται, δεν ερµηνεύεται, δε διαµορφώνει νέες κατευθύνσεις. Στιγµατίζει το µαθητή, δε βελτιώνει το σύστηµα. Στη χειρότερη περίπτωση «πετάει το µαθητή έξω από το σύστηµα»: σχολική αποτυχία. Αποτυχία ποιανού άραγε; "Στο υπάρχον σύστηµα ο αριθµός των λαθών είναι αυτός που διαχωρίζει τους µαθητές σε καλούς ή κακούς. Όσο η αξιολόγηση θα διχοτοµεί τις νοητικές κατασκευές των παιδιών σε σωστό, λάθος και θα κρίνει ποσοτικά και άρα επιφανειακά µε βάση τον αριθµό των λαθών αγνοώντας το γνωστικό πλούτο και τη δυναµική που κρύβει µέσα της η ποιοτική αξιοποίηση του λάθους τόσο θα παραµένει συνδεδεµένη µε την αποτυχία του µαθητή." (N. Guignard). Το παραγόµενο λάθος στα µαθηµατικά δεν είναι εύκολο να εκφραστεί. Συχνά κρύβεται καλά πίσω από ελλιπή και δυσανάγνωστα γραπτά µαθητών. Οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να επεξεργαστούν κατάλληλα εργαλεία για να αποκαλύψουν το λάθος. Εάν µια παρανόηση εξωτερικεύεται έγκαιρα (υπογραµµίζω έγκαιρα) µέσω ενός λάθους, είναι ένα λάθος ευλογηµένο το οποίο µπορούµε και πρέπει να 8/30

9 χρησιµοποιήσουµε για την πρόοδο του µαθητή σηµείωνει σε διεθνές συνέδριο της Commission Internationale pour l Etude et l Amelioration de l Enseignement des Mathematiques (CIEAEM,1987) η σηµαντική Πολωνή ερευνήτρια της ιδακτικής των Μαθηµατικών Anna Zofia Krygowska και ο διάσηµος Ολλανδός µαθηµατικός: Hans Freudenthal συµπλήρωνει: «Η προσεκτική ανάλυση των λαθών των αδύνατων µαθητών µπορεί να προσφέρει υπηρεσίες και στους άλλους µαθητές ιδιαίτερα όταν γίνεται παρουσία η καλλίτερα µε την συνεργασία των καλών µαθητών» 4. Για να µπορέσουµε να παρέµβουµε διδακτικά στη διαχείριση του παραγόµενου από το µαθητή λάθους στα µαθηµατικά και να βελτιώσουµε τη διαδικασία της αξιολόγησής του ώστε η ερµηνεία και επαναδιαπραγµάτευση του λάθους να µη συγχέεται µε την τελειωτική βαθµολόγηση της επίδοσης του µαθητή, το Εργαστήριο Μαθησιακής Τεχνολογίας και ιδακτικής Μηχανικής του Πανεπιστηµίου Αιγαίου επεξεργάστηκε και χρησιµοποιεί ένα «Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων». Το εργαλείο αυτό, έχει τη µορφή ενός συνηθισµένου ερευνητικού ερωτηµατολογίου και χρησιµοποιείται αρχικά σε σεµινάρια επιµόρφωσης των εκπαιδευτικών µε πολύ ενθαρρυντικά αποτελέσµατα. Η δοµή και η χρήση του είναι απλή και περιγράφεται στα παρακάτω έξι στάδια: Α. Παρουσιάζονται ορισµένες εναλλακτικές απαντήσεις µαθητών σε ειδικά επιλεγµένο θέµα-πρόβληµα. Οι απαντήσεις αυτές είναι είτε όλες λανθασµένες, είτε όλες σωστές και έχουν συστηµατικά παρατηρηθεί από διαφορετικούς µαθητές σε συγκρίσιµες συνθήκες διδασκαλίας και µάθησης. Β. Καλούνται οι εκπαιδευτικοί ατοµικά να βαθµολογήσουν την κάθε απάντηση Γ. Καλούνται ατοµικά να ερµηνεύσουν την κάθε απάντηση. Καλούνται ατοµικά να περιγράψουν την διδακτική τους παρέµβαση σε κάθε περίπτωση, δηλαδή τον τρόπο µε τον οποίο θα επιχειρούσαν να οδηγήσουν τον µαθητή να κατανοήσει, έτσι ώστε να µην επαναλάβει το ίδιο λάθος. Ε. Συζητούν ανά µικρές οµάδες των τριών ή τεσσάρων τις βαθµολογίες, ερµηνείες, παρεµβάσεις τους για το ίδιο θέµα-πρόβληµα, ανταλλάσσοντας απόψεις. Επιλέγουν έναν-µια εκπρόσωπο της οµάδας για να παρουσιάσει το αποτέλεσµα της εργασίας (ατοµικής και συλλογικής), µε όλες τις εναλλακτικές προσεγγίσεις, στο σύνολο της επιµορφούµενης οµάδας. Το στάδιο αυτό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό διότι δεν υπάρχει προηγούµενη εξοικείωση µε τη συλλογική εργασία και την παρουσίαση όλων των απόψεων µε ταυτόχρονο σχολιασµό. ΣΤ. Παρουσιάζονται από τους-τις εκπροσώπους των οµάδων οι επιµέρους απαντήσεις στο σύνολο των επιµορφούµενων και γίνεται αναλυτική συζήτηση και αντιπαραθέσεις για το κάθε θέµα-πρόβληµα (λάθος- βαθµολογία- ερµηνείαδιόρθωση), καθώς και για τις ενδεχόµενες συνέπειες που θα µπορούσε να είχε η κάθε συγκεκριµένη διδακτική απόφαση του διδάσκοντα (βαθµός, παρατήρηση, αντιµετώπιση) στη µαθησιακή και σχολική πορεία του µαθητή. Ζ. Στο τέλος της συζήτησης για κάθε θέµα-πρόβληµα παρουσιάζονται από τον επιµορφωτή ερµηνείες των εναλλακτικών απαντήσεων των µαθητών που έχουν γίνει από ειδικούς επιστήµονες της ιδακτικής των Μαθηµατικών. Ολοκληρώνεται η επιµορφωτική διαδικασία µε την τελική διατύπωση και καταγραφή υποθέσεων και συµπερασµάτων από την οµάδα των επιµορφούµενων. Με τον τρόπο αυτό εξωτερικεύεται και συνειδητοποιείται η εσωτερικήαυτόµατη διαδικασία αξιολόγησης που εφαρµόζει ο κάθε εκπαιδευτικός, αναπτύσσεται µια λειτουργική γνωστική επικοινωνία µε το «µαθητή που µαθαίνει» και προλαµβάνονται διδακτικές αποφάσεις και αξιολογικές κρίσεις που ενδεχοµένως 9/30

10 θα καθόριζαν αρνητικά τη σχολική του πορεία.. Εντυπωσιακή είναι, από τη µέχρι τώρα εµειρία, η απόκλιση που παρουσιάζουν οι εκπαιδευτικοί-επιµορφούµενοι στην βαθµολόγηση και στην ερµηνεία των λαθών, σε σχέση µε τη σύγκλιση στο ζήτηµα της διδακτικής παρέµβασης. Ο στόχος είναι το µοντέλο αυτό να εµπλουτίζεται µε ενδεικτικά-συστηµατικά λάθη από τους συλλόγους δασκάλων και εκπαιδευτικών που διδάσκουν µαθηµατικά και σε συνεργασία µε το Εργαστήριο το ανανεούµενο υλικό να ξαναγυρίζει επεξεργασµένο στους εκπαιδευτικούς συλλόγους. Όσοι και όσες ενδιαφέρονται µπορούν να επικοινωνήσουν µε το site του Εργαστηρίου στη διεύθυνση ή απευθείας µε τον κ. Σταύρο Ορφανό στη διεύθυνση Το περιεχόµενο του Εργαλείου Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων: Για να συνδέσουµε τα µαθηµατικά µε τη σχολική αποτυχία, σχεδιάσαµε να ασχοληθούµε µε λανθασµένες απαντήσεις µαθητών σε µαθηµατικά θέµατα που παίζουν καθοριστικό ρόλο στη σχολική και µαθησιακή πορεία του µαθητή και σχετίζονται µε την αντίληψη του µαθηµατικού αλφαβητισµού. Η επιλογή αυτής της ενότητας θεµάτων και η σύνδεσή της µε τον µαθηµατικό αλφαβητισµό και όχι µε την ύλη κάποιας συγκεκριµένης τάξης έγινε για να είναι δυνατό να πραγµατοποιηθεί η επιµορφωτική δραστηριότητα µε εκπαιδευτικούς που διδάσκουν µαθηµατικά τόσο στην Α βάθµια όσο και στην Βθµια εκπαίδευση, επιτρέποντας µε αυτό τον τρόπο και την έναρξη ενός σηµαντικού διαλόγου που έχει καθυστερήσει πάρα πολύ. Τα θέµατα αυτά προέρχονται από διαφορετικές µαθηµατικές ενότητες. Συγκεκριµένα προέρχονται από τις Πιθανότητες, τα Κλάσµατα και τους εκαδικούς Αριθµούς. Η Θεωρία Πιθανοτήτων αποτελεί ένα είδος θεωρητικής πρόβλεψης του µέλλοντος. Ο σηµαντικός ρόλος της Θεωρίας Πιθανοτήτων σε όλους τους τοµείς των δραστηριοτήτων του ανθρώπου είναι σήµερα γεγονός αναµφισβήτητο. Οι Πιθανότητες ως κλάδος των µαθηµατικών, θεωρούνται εύχρηστες και έχουν να κάνουν µε πολύ απλά µαθηµατικά. Αυτή όµως η φαινοµενική απλότητα των πιθανοτήτων εξαπατά. Ένα φαινοµενικά απλό πρόβληµα µπορεί να προκαλέσει έντονες διαφωνίες µεταξύ µαθητών, δασκάλων και επιστηµόνων όπου όλοι µπορεί να υποστηρίζουν συγκρουόµενα συµπεράσµατα. Σε µερικές από αυτές τις έντονες διαφωνίες, περικλείονται σοβαρά λάθη, όπου ακόµα και οι ίδιοι οι επιστήµονες µπορούν να κάνουν. Θέµατα που σχετίζονται άµεσα µε τις Πιθανότητες είναι η χρήση και η κατανόηση των Κλασµάτων και των εκαδικών Αριθµών. Ο τρόπος µε τον οποίο διδάσκονται οι Ακέραιοι της αριθµητικής στο ηµοτικό Σχολείο, η σχέση τους µε τα Κλάσµατα και η σηµασία της διδασκαλίας των Κλασµάτων για την κατανόηση της βασικότερης ίσως έννοιας του Αναλυτικού Προγράµµατος της Στοιχειώδους Εκπαίδευσης, της έννοιας του ρητού, αποτελεί το λόγο ενασχόλησής µας µε αυτόν τον τοµέα. Όσον αφορά στο λόγο που ασχοληθήκαµε µε τους εκαδικούς Αριθµούς, είναι ο τρόπος που εισάγονται στο ηµοτικό Σχολείο και στις πρώτες τάξεις του Γυµνασίου και επίσης λόγω του ότι ήταν η έννοια µε τα λάθη της οποίας ασχολήθηκε ο εκ των θεµελιωτών της ιδακτικής των Μαθηµατικών Brousseau. Στο θέµα του Μαθηµατικού Αλφαβητισµού είναι προσανατολισµένα το έτος 2001 το 53 ο Συνέδριο της ιεθνούς Επιτροπής CIEAEM και το 18 ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας που θα πραγµατοποιηθεί στη Ρόδο. 10/30

11 Οι λανθασµένες αντιλήψεις που αναφέρουµε στα συγκεκριµένα ερωτηµατολόγια, δεν είναι αποµονωµένα λάθη ή αυθαίρετες σκέψεις. Φαίνεται µάλλον ότι αποτελούν τµήµα ενός τρόπου σκέψης, ο οποίος είναι βαθιά ριζωµένος σε πολλούς µαθητές. Είναι αντιλήψεις που συναντάµε πολύ συχνά στις απαντήσεις των µαθητών και έχουν αποτελέσει θέµατα ερευνών διεθνώς. Είναι θέµατα που τα αντιλαµβάνεται κανείς εύκολα χωρίς να χρειάζεται να έχει ειδικές γνώσεις µαθηµατικών. Είναι σηµαντικό σε αυτό το σηµείο να τονίσουµε ότι ο σκοπός του συγκεκριµένου εργαλείου δεν είναι να εξετάσει γνώσεις, αλλά να συζητήσει ιδέες και εµπειρίες. Στη συνέχεια παρουσιάζουµε το υλικό του Εργαλείου Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων, επισυνάπτοντας και µερικά σχόλια του σταδίου ΣΤ. Όσοι και όσες επιθυµούν να το χρησιµοποιήσουν δεν έχουν παρά να εργαστούν συλλογικά και να µη διαβάσουν τα σχόλια του σταδίου Ζ που παραθέτουµε, παρά µόνο στο τέλος της διαδικασίας ατοµικών απαντήσεων και µεταξύ τους διαλόγου. Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων Θέµα-Πρόβληµα 1ο Σε έρευνες (Karslake, 1974; Green, 1983; Cruikshank and Sheffield, 1988 και Καφούση, 1999) που έγιναν σε παιδιά ετών, δόθηκε το παρακάτω ερώτηµα: Αν ρίξεις ένα ζάρι µόνο µία φορά πιστεύεις ότι είναι πιο εύκολο να έρθει ο αριθµός 3 ή ο αριθµός 6; Εξήγησε την απάντησή σου. Οι λανθασµένες απαντήσεις που δόθηκαν από τα παιδιά ήταν πολλές. Μερικές από τις οποίες είναι οι εξής: 1. «το 3, γιατί είναι ο τυχερός µου αριθµός» 2. «το 6, γιατί το να τύχει κάποιος 6 πρέπει να είναι πολύ τυχερός» 3. «το 3, γιατί ο αριθµός 3 είναι πιο µικρός από τον αριθµό 6» 4. «το 6, γιατί όταν παίζω, ο αριθµός 6 µου τυχαίνει πιο πολλές φορές από ότι ο αριθµός 3» Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; Απάντηση Βαθµός Πού νοµίζετε ότι οφείλεται καθεµία από τις απαντήσεις; /30

12 Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε το µαθητή στην κάθε περίπτωση; Στάδιο Ζ -σχόλια Η Karslake (1974) (Χατζηπαντελής, Θ. και Γκάσταρης, Π., 1995 Εννοιολογικές δυσκολίες και εσφαλµένες αντιλήψεις στις Πιθανότητες και στη Στατιστική) παρατήρησε ότι πολλά παιδιά των πρώτων τάξεων του δηµοτικού σχολείου έχουν την εντύπωση πως όταν ρίχνουµε ένα ζάρι, ορισµένοι αριθµοί εµφανίζονται πιο εύκολα, ενώ άλλοι, όπως π.χ. το 6, εµφανίζονται σπανιότερα. Αν και η λανθασµένη αυτή αντίληψη παρουσιάζει κάµψη µε την αύξηση της ηλικίας, µπορούµε να τη συναντήσουµε και σε "στατιστικά αφελή" άτοµα. Ο Green (1983) αν και βρήκε σηµαντικά καλύτερες εκτιµήσεις της πιθανότητας σε σχέση µε την αύξηση της ηλικίας, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι για ορισµένους µαθητές κάποιες προκαταλήψεις (όπως η σπάνια εµφάνιση του 6 κατά τη ρίψη του ζαριού) παραµένουν µέχρι την ενηλικίωση. Οι Cruikshank and Sheffield (1988) (Φιλίππου και Χρίστου, 1995) υποστηρίζουν ότι πολλές φορές οι µαθητές είναι προκατειληµµένοι, χωρίς λόγο, εναντίον ορισµένων ενδεχοµένων. Για παράδειγµα ένα µεγάλο ποσοστό των µαθητών του δηµοτικού σχολείου πιστεύουν ότι, όταν ρίξουµε ένα ζάρι, είναι πολύ πιο δύσκολο να πάρουµε 6 παρά 3. O Crawford (1997) αναφέρει ότι ένα κλασσικό παράδειγµα παρανοήσεων σχετικά µε τις πιθανότητες είναι ότι όταν ρίχνουµε ένα κανονικό ζάρι το να έρθει έξι είναι πιο δύσκολο. Μια πιθανή εξήγηση αυτής της παραδοχής είναι γιατί το έξι είναι πιο συχνά ο αριθµός που απαιτείται για να αρχίσει ένα παιχνίδι οπότε συγκρίνουµε την πιθανότητα να πετύχουµε το έξι µε την πιθανότητα να µην το πετύχουµε που είναι πέντε φορές πιο πιθανό να συµβεί. Η Καφούση (1999) µε έρευνα που πραγµατοποίησε βρήκε ότι οι µαθητές που απαντάνε λάθος σε αυτήν την ερώτηση δίνουν εξηγήσεις: Που βασίζονται στην προσωπική τους εµπειρία µε παιχνίδια "διότι όταν παίζω µε τους φίλους µου, όταν µε επισκέπτονται µου βγαίνει πιο συχνά 3", "το 6 γιατί όταν παίζω ο αριθµός 6 µου τυχαίνει πιο πολλές φορές απ' ότι ο αριθµός 3", "από τη δική µου παρατήρηση είναι πιο εύκολο να φέρεις 6 απ' ότι 3" Που αναφέρονται στη σύγκριση των δύο αριθµών, όπως "το 3, επειδή ο αριθµός 3 είναι πιο µικρός από τον αριθµό 6", "το ζάρι σταµατάει πιο εύκολα στο 3, γιατί στο έδαφος δεν µπορεί να προχωράει πολύ", "το 6 επειδή ο αριθµός 6 είναι πιο µεγάλος από το 3", "το 6 γιατί η βαρύτητά του είναι πιο µεγάλη". Που αναφέρονται, στην προσωπική τους σχέση µε τους αριθµούς, όπως "το 3 γιατί είναι ο τυχερός µου αριθµός", "το 6, γιατί το να τύχει κάποιος 6 πρέπει να είναι πολύ τυχερός", "το 6 γιατί είµαι τυχερός". Θέµα-Πρόβληµα 2ο Α. Σε µία έρευνα που έγινε σε παιδιά ετών (Fischbein & Gazit, 1984), δόθηκε το ερώτηµα: 12/30

13 Η Ρουθ όταν συµπληρώνει λόττο προτιµάει να επιλέγει συνεχόµενους αριθµούς όπως 1, 2, 3, 4, 5, 6. Υποστηρίζει ότι µε αυτό τον τρόπο αυξάνει την πιθανότητα να κερδίσει. Από την άλλη µεριά η Τζένη υποστηρίζει ότι η πιθανότητα να κερδίσουµε βάζοντας έξι συνεχόµενους αριθµούς είναι µικρότερη από το να βάλουµε αριθµούς τυχαίας σειράς. Λέει ότι η κλήρωση είναι κάτι τυχαίο και για αυτό το λόγο δεν υπάρχει πιθανότητα να κληρωθεί µια σειρά συνεχόµενων αριθµών. Ποια είναι η γνώµη σου; Η λανθασµένη απάντηση των παιδιών είναι: Α. Οι τυχαίοι αριθµοί έχουν µεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσουν. Β. Σε άλλη έρευνα που έγινε σε παιδιά ετών (Fischbein & Schnarch, 1997) δόθηκε το ερώτηµα: Σε ένα παιχνίδι λόττο ο Μπιλ διάλεξε τους αριθµούς 1, 2, 3, 4, 5, 6 και η Ρόνα διάλεξε τους αριθµούς 39, 1, 17, 33, 8, 27. Ποιος έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει; Η λανθασµένη απάντηση των παιδιών είναι: Β. Η Ρόνα έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει. Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; Απάντησ η Α Β Βαθµός Πού νοµίζετε ότι οφείλεται καθεµία από τις απαντήσεις; Α. Β. Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε το µαθητή στην κάθε περίπτωση; Α. Β. Στάδιο Ζ - σχόλια Παραθέτουµε προς συζήτηση αποσπάσµατα από τα ερευνητικά αποτελέσµατα των δυο προβληµάτων. Α. Στις τάξεις ελέγχου, υπήρχε µια µείωση µε την ηλικία, των ποσοστών των υποκειµένων που αρνούνται τη σχέση µεταξύ ενός συγκεκριµένου συνόλου αριθµών (συνεχόµενων σε αυτή την περίπτωση) και της πιθανότητάς τους να κερδίσουν. Αυτό το αποτέλεσµα προκαλεί έκπληξη. Υπάρχουν δύο εξηγήσεις για αυτό. Η µία είναι ότι µε την αύξηση της ηλικίας αυξάνεται και η τάση παραδοχής των λογικών σχέσεων µεταξύ των γεγονότων, ακόµα και αν αυτές οι σχέσεις δεν έχουν µόνο αντικειµενική υποστήριξη. Η δεύτερη είναι ότι µε την αύξηση της ηλικίας αυξάνεται και ο αριθµός των υποκειµένων που απαντούν ότι το λόττο είναι τυχαίο παιχνίδι. Μπορεί όµως η απάντηση ότι το λόττο είναι τυχαίο παιχνίδι να ερµηνεύεται µε αντίθετο τρόπο (α) το λόττο είναι ένα τυχαίο παιχνίδι και για αυτό το λόγο η δοµή ενός συγκεκριµένου 13/30

14 συνόλου αριθµών δεν επηρεάζει την πιθανότητα του να είναι το κερδοφόρο (β) µια οµάδα συνεχόµενων αριθµών έχει µικρότερη πιθανότητα από µια οµάδα τυχαίων αριθµών. Στην πειραµατική οµάδα τα ποσοστά µεγαλώνουν µε την ηλικία. Φαίνεται λοιπόν καθαρά ότι µόνο µε διδασκαλία µπορεί να ξεπεραστεί το συγκεκριµένο εµπόδιο και µάλιστα η διδασκαλία είναι αποτελεσµατικότερη στις τάξεις ετών. Β. Εδώ το πρόβληµα ελέγχει τις λάθος αντιλήψεις για την αντιπροσωπευτικότητα. Οι άνθρωποι έχουν την τάση να εκτιµούν την πιθανότητα ενός γεγονότος µε το να παίρνουν υπόψη πόσο καλά αντιπροσωπεύουν µερικές απόψεις από τον πληθυσµό της πηγής του. (Kahneman & Tversky, 1972; Shaughnessy, 1992; Tversky & Kahneman, 1982). Θέµα-Πρόβληµα 3ο. Σε µία έρευνα που έγινε σε παιδιά 9-14 ετών (Fischbein et al., 1991) µελετήθηκε η ρίψη ενός ζαριού και ζητήθηκε από τα υποκείµενα να προσδιορίσουν πότε το γεγονός να φέρουµε κάποιο αριθµό είναι αδύνατο, πιθανό ή βέβαιο. Τα γεγονότα που µελετήθηκαν ήταν: (α) ζυγό αριθµό, (β) αριθµό µικρότερο από το 7, (γ) αριθµό µεγαλύτερο από το 6, (δ) αριθµό µεγαλύτερο από το 0, (ε) τον αριθµό 5. Τα ποσοστά των λάθος απαντήσεων των παιδιών παρουσιάζονται από τον παρακάτω πίνακα (όπου α, β, γ, δ, ε, τα γεγονότα που µελετήθηκαν και Π = Πιθανό, Β = Βέβαιο, Α = Αδύνατο): Ηλικίες 9-11 ετών ετών Γεγονότα α β γ δ ε α β γ δ ε Σωστή Π Β Α Β Π Π Β Α Β Π Απάντ. Λάθος Απάντ. % Τι παρατηρείτε στα αποτελέσµατα του πίνακα; Πού νοµίζετε ότι οφείλονται οι λανθασµένες απαντήσεις στην κάθε περίπτωση; α. β. γ. δ. ε. Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε τους µαθητές που έκαναν λάθη; α. β. γ. δ. ε. 14/30

15 Στάδιο Ζ -σχόλια. Υπάρχει µια µικρή βελτίωση των απαντήσεων µε την ηλικία και τη διδασκαλία. Το πιο εντυπωσιακό στα αποτελέσµατα είναι ότι η κατηγορία των ερωτήσεων που έχει τα χαµηλότερα ποσοστά είναι εκείνη των βέβαιων γεγονότων. Κάποια εξήγηση είναι ότι συνήθως κάποιος τείνει να σχετίζει την αντίληψη του "βέβαιου" µε του "µοναδικού". Σαν αποτέλεσµα της εισαγωγής της ιδέας της πολλαπλότητας των πιθανών γεγονότων, η αντίληψη του πιθανού έρχεται µε φυσικό τρόπο στο µυαλό µας. Θέµα-Πρόβληµα 4ο Σε µία έρευνα που έγινε σε παιδιά ετών (Fischbein & Schnarch, 1997) δόθηκε η ερώτηση: Α. Υποθέτουµε ότι κάποιος ρίχνει δύο ζάρια ταυτόχρονα. Ποιο από τα παρακάτω έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να συµβεί; Να πάρουµε το ζευγάρι 5-6. Να πάρουµε το ζευγάρι 6-6. Ή και τα δύο έχουν την ίδια πιθανότητα; Α. Τα παιδιά απάντησαν λανθασµένα ότι η πιθανότητα είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις. Σε µία άλλη έρευνα που έγινε σε παιδιά 9-14 ετών (Fischbein et al. 1991) δόθηκε η ερώτηση: Β. Όταν ρίχνουµε δύο ζάρια ταυτόχρονα, είναι πιο πιθανό να παρατηρήσουµε 5 µε το ένα ζάρι και 6 µε το άλλο ή 6 και µε τα δύο ζάρια; Ή η πιθανότητα είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις; Β. Τα παιδιά απάντησαν λανθασµένα ότι η πιθανότητα είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις. Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; Απάντηση Α Β Βαθµός Πού νοµίζετε ότι οφείλεται καθεµία από τις απαντήσεις; Α. Β. Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε το µαθητή στην κάθε περίπτωση; Α. Β. Στάδιο Ζ -σχόλια Α. Μπορεί κάποιος να υποθέσει ότι τα παιδιά θεώρησαν τα ζευγάρια ως διατεταγµένα και τότε η σωστή απάντηση θα είναι ότι τα ζευγάρια (5,6) και (6,6) είναι ισοπίθανα. Αναλύοντας τις εξηγήσεις, γίνεται φανερό ότι δεν παρατηρήθηκε καµία διάταξη και ότι ο πολύ συχνός τύπος απάντησης "ισοπίθανο" περισσότερο αιτιολογήθηκε από την επίδραση της τύχης ή µε το να πάρουν χωριστά τα δύο στοιχεία 5 και 6. Μόνο µικρό ποσοστό των απαντήσεων δείχνει διαφορετικές τις πιθανότητες. Εδώ έχουµε να κάνουµε µε µια πολύ γνωστή παρανόηση. Τα δύο 15/30

16 αποτελέσµατα (και το 6,6 και 5,6) θεωρούνται ισοπίθανα σε όλα τα επίπεδα ηλικιών από τα περισσότερα υποκείµενα χωρίς να υπονοούν µια δοσµένη διάταξη. Επίσης δεν υπάρχει βελτίωση µε τη διδασκαλία, αλλά αντίθετα υπάρχουν λιγότερες σωστές απαντήσεις στα µεγαλύτερα παιδιά µετά από συγκεκριµένη διδασκαλία παρά από τα µικρότερα παιδιά που δε διδάσκονται πιθανότητες. Μια πρώτη εξήγηση είναι το γεγονός ότι δεν έχουν τα παιδιά φυσική διαίσθηση για τον υπολογισµό της πιθανότητας σύνθετων γεγονότων. Φαίνεται ότι µε φυσικό τρόπο οι διάφορες πιθανές διατάξεις ενός συνόλου στοιχειωδών αποτελεσµάτων δε µετριούνται χωριστά (για παράδειγµα 5-6 και 6-5) όταν ορίζουµε το µέγεθος του δείγµατος. Αναλύοντας τη φύση των παρανοήσεων βλέπουµε ότι σχεδόν όλες οι απαντήσεις δείχνουν ότι τα δύο αποτελέσµατα έχουν την ίδια πιθανότητα. Η ιδέα ότι η πιθανότητα του ζευγαριού 5-6 είναι διπλάσια από την πιθανότητα του ζευγαριού 6-6 µπορεί να ειδωθεί µόνο µε το να πάρουµε την αναπαράσταση του αντίστοιχου εύρους του δείγµατος. Η κύρια αιτιολόγηση από τα παιδιά είναι ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουµε να κάνουµε µε τυχαία γεγονότα «η πιθανότητα είναι η ίδια γιατί κάποιος µπορεί να παρατηρήσει 6-6 και 6-5 ή κανένα από αυτά τα αποτελέσµατα» «κατά τη γνώµη µου η πιθανότητα είναι η ίδια γιατί είναι έκπληξη ποιον αριθµό θα παρατηρήσεις». Οι κύριες ιδέες που χρησιµοποιούνται για να αιτιολογήσουν τις πιθανότητες του να πάρεις 6-6 και 5-6 είναι (α) ότι και τα δύο γεγονότα είναι το αποτέλεσµα της τύχης και για αυτό το λόγο δεν υπάρχει λόγος να περιµένουµε το ένα περισσότερο από το άλλο και (β) η ιδέα ότι το 5 και 6 είναι ισοπίθανα και για αυτό κάθε γεγονός, που αναπαριστά ένα δυαδικό συνδυασµό τους έχει την ίδια πιθανότητα. Β. Γενικά: (α) Πολλά από τα υποκείµενα έχουν την ικανότητα να υπολογίσουν διαισθητικά το εύρος του δείγµατος που αντιστοιχεί σε ένα στοχαστικό πείραµα (β) Αυτή η διαισθητική ικανότητα βελτιώνεται µε την ηλικία (γ) αυτή η ικανότητα αυξάνεται µε τους γενικευµένους τύπους των ερωτήσεων (δ) το ποσοστό των σωστών υπολογισµών του εύρους του δείγµατος (όταν συγκρίνουµε πιθανότητες) είναι µεγαλύτερο αν το εύρος του δείγµατος είναι πλουσιότερο. Θέµα-Πρόβληµα 5ο Σε µία έρευνα που έγινε σε παιδιά 9-14 ετών (Fischbein et al. 1991) δόθηκε το παρακάτω: Ο Λουκάς και ο Παύλος παίζουν µε ένα ζευγάρι ζάρια. Αν το άθροισµα των πόντων είναι 3 ο Λουκάς είναι ο νικητής. Αν το σύνολο των πόντων είναι 11 ο Παύλος είναι ο νικητής. Ποιες από τις παρακάτω απαντήσεις είναι η σωστή; Γιατί; Α. Ο Λουκάς είναι το φαβορί. Β. Ο Παύλος είναι το φαβορί. Γ. Ο Λουκάς και ο Παύλος έχουν την ίδια πιθανότητα. Τα παιδιά απαντούν λανθασµένα: 1. «Ο Παύλος έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα γιατί έχει το µεγαλύτερο αριθµό». 2. «Ο Παύλος γιατί µε δύο ζάρια σχεδόν πάντα φέρνουµε αριθµούς µεγαλύτερους από 3». 3. «Ο Παύλος γιατί έχει 5 δυνατότητες να πάρει το 11 δηλαδή, 8+3, 10+1, 6+5, 9+2, 7+4 ενώ ο Λουκάς έχει µόνο µία δυνατότητα την 2+1» Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; 16/30

17 Απάντηση Βαθµός Πού νοµίζετε ότι οφείλεται καθεµία από τις απαντήσεις; Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε το µαθητή στην κάθε περίπτωση; Στάδιο Ζ -σχόλια Το ποσοστό των υποκειµένων που δεν απάντησαν σε αυτή την ερώτηση αυξάνεται µε την ηλικία και τη διδασκαλία, ενώ το ποσοστό των υποκειµένων που απάντησαν σωστά αυξάνεται µε την ηλικία αλλά όχι µε την επίδραση της διδασκαλίας. Υπάρχουν δύο κύριοι τύποι αιτιολόγησης για την επιλογή του µεγαλύτερου αριθµού (α) πολλά από τα υποκείµενα απλά διαλέγουν το µεγαλύτερο αριθµό, απλά επειδή είναι µεγαλύτερος (β) άλλοι προσπαθούν να αναγνωρίσουν τα ζευγάρια που αποτελούν το 11 αλλά ξεχνούν τα όρια που επιβάλλουν οι συνθήκες του παιχνιδιού (ο µεγαλύτερος αριθµός είναι ο 6 σε ένα ζάρι). Υποθέτουµε ότι ακόµα και αυτά τα υποκείµενα που χωρίς καµία εξήγηση διαλέγουν το11 ως το πιο πιθανό έχουν στο µυαλό την πολλαπλότητα των πιθανών συνδυασµών (αλλά ξεχνάνε το όριο του 6) Τα παρακάτω εµπόδια παρεµβαίνουν στην επιλογή του σωστού αποτελέσµατος: 1. εν υπάρχει διαισθητική φυσική υποστήριξη για την ξεχωριστή µέτρηση σαν ξεχωριστά αποτελέσµατα, των ίδιων οµάδων αποτελεσµάτων σε διαφορετικές σειρές (για παράδειγµα 5,6 και 6,5) 2. Τα υποκείµενα τείνουν να ξεχνούν µερικές φορές τις συγκεκριµένες συνθήκες της στοχαστικής εµπειρίας και το εύρος του δείγµατος κατασκευάζεται χωρίς τη µελέτη των απαραίτητων ορίων (για παράδειγµα στο παιχνίδι µε τα ζάρια αριθµοί όπως 7,8 κ.λ.π. επίσης µελετώνται) 3. Πολλά υποκείµενα δεν εφαρµόζουν µια συστηµατική τεχνική για να παραθέσουν όλα τα πιθανά αποτελέσµατα που σχετίζονται µε ένα γεγονός 4. Η διαθεσιµότητα φαίνεται να είναι ένας σηµαντικός παράγοντας στην διαισθητική αποτίµηση της σηµασίας του εύρους του δείγµατος. Τα υποκείµενα έχουν καλύτερη τύχη να συγκρίνουν σωστά τις πιθανότητες του να πάρουν (µε το να προσθέσουν δύο αριθµούς) 2 ή 12 παρά να πάρουν 3 ή 11 (σε παιχνίδι µε ζάρια) 5. Σε µερικά υποκείµενα η ιδέα του τυχαίου επηρεάζει τη λύση του προβλήµατος και οδηγεί στην ιδέα των ίσων ευκαιριών («οι πιθανότητες των δύο γεγονότων είναι οι ίδιες γιατί και τα δύο είναι τυχαία γεγονότα»). Θέµα-Πρόβληµα 6ο Από µαθητές Α τάξης Γυµνασίου δόθηκαν οι παρακάτω εσφαλµένες απαντήσεις: 17/30

18 1. 2,4 3,2 = 6,8 2. 2,3² = 4,9 3. 0,3 0,3 = 0,9 Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; Απάντηση Βαθµός Σε ποιους παράγοντες νοµίζετε ότι οφείλεται κάθε µια από τις εσφαλµένες απαντήσεις; Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε τους µαθητές; Στάδιο Ζ -σχόλια Μπορούµε να εξηγήσουµε αυτές τις απαντήσεις παρατηρώντας ότι ο µαθητής θεωρεί ένα δεκαδικό σα να αποτελείται από δύο ανεξάρτητους ακεραίους χωρισµένους από µια υποδιαστολή και στους οποίους πρέπει να ενεργήσει χωριστά, αρχίζοντας από εκείνον που είναι αριστερά. Ξεκινώντας µ' αυτήν την αντίληψη, ο µαθητής δηµιουργεί κανόνες δράσης (λογικά υπονοούµενους), «θεωρήµατα εν δράσει», που είναι συµβατά µε την αντίληψη, για παράδειγµα: "για να πολλαπλασιάσουµε δύο δεκαδικούς, πολλαπλασιάζουµε χωριστά τα ακέραια µέρη και τα δεκαδικά". Αυτοί οι κανόνες έχουν γενικά ένα χώρο αποτελεσµατικότητας και επιτυχίας που ενισχύει την αντίληψη του µαθητή. Έτσι ο παραπάνω κανόνας δίνει σωστό αποτέλεσµα π.χ. για το 0,4*0,4. Αυτή η αντίληψη των δεκαδικών ως ζεύγη ακεραίων µπορεί να συνδεθεί µε τις εξής δύο αιτίες: - Από την µια µεριά, φθάνοντας οι µαθητές στην πέµπτη δηµοτικού έχουν εξοικειωθεί µε έναν τύπο αριθµών (τους φυσικούς που είναι οι µόνοι χρησιµοποιούµενοι µέχρι τότε) και γνωρίζουν κανόνες που έχουν την τάση να τους επεκτείνουν σε όλους τους αριθµούς. Για παράδειγµα: κάθε αριθµός έχει έναν επόµενο ή µεταξύ δύο συνεχόµενων αριθµών δεν µπορεί να παρεµβληθεί κανείς άλλος, που µπορούν να ερµηνεύσουν ένα λάθος όπως το " µεταξύ του 2,5 και του 2,7 υπάρχει µόνο ο 2,6." - Από την άλλη µεριά, οι τρόποι που συνήθως χρησιµοποιούνται για την "εισαγωγή" των δεκαδικών αριθµών δεν έχουν σκοπό να προκαλέσουν ρήξη µε αυτήν την αντίληψη, αλλά µάλλον έχουν την ιδιότητα να την ενισχύουν στο µέτρο που επιµένουν στις "επεκτάσεις" µεταξύ φυσικών και δεκαδικών αριθµών: παρουσίαση του δεκαδικού σε σχέση µε το µετρικό σύστηµα (το 7,16 είναι µια άλλη γραφή του 716 όταν επιλέγουµε σαν µονάδα µέτρησης το µέτρο στη θέση 18/30

19 του εκατοστού ή ακόµη µια γραφή που υποκαθίσταται µε την σύνθετη γραφή 7µ16εκ.). Θέµα-Πρόβληµα 7 ο Α. Από µαθητές δηµοτικού ζητήθηκε να συµπληρώσουν τον όρο που λείπει από την ισότητα : =... 3 και ο Κώστας απάντησε λανθασµένα : =86-3. Β. Σε πρόβληµα που προτάθηκε για λύση σε µαθητές ηµοτικού ο Γιάννης έγραψε την λάθος έκφραση : 3 4 = = 17 Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε στις απαντήσεις; Απάντηση A B Βαθµός Σε ποιους παράγοντες νοµίζετε ότι οφείλεται κάθε µια από τις λάθος απαντήσεις; Α. Β. Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε τους µαθητές; Α. Β. Στάδιο Ζ -σχόλια Tο σύµβολο της ισότητας, αναφέρει η N. Guinard, είναι σαν ένα είδος ερεθίσµατος που λέει στα παιδιά: προσοχή, εκτελέστε την πράξη που προηγείται του συµβόλου. Πολλά παιδιά αντιλαµβάνονται το σύµβολο της ισότητας µε τη σηµασία του να εκτελέσουν την προηγούµενη του συµβόλου πράξη και όχι µε τη σηµασία µιας ισοδυναµίας ανάµεσα σε δύο όρους, ανάµεσα σε δύο εκφράσεις, ανάµεσα σε δύο οµάδες πράξεων. Συµβαίνει σχετικά συχνά, σχήµατα επίλυσης που χρησιµοποιήθηκαν στο παρελθόν να µην είναι πια λειτουργικά γιατί είναι άκαµπτα ή πολύ περιοριστικά. Στη συγκεκριµένη περίπτωση τα παιδιά κάνοντας συστηµατικά εξάσκηση στις πράξεις, για µεγάλο χρονικό διάστηµα, στις προηγούµενες τάξεις, αντιλαµβάνονται το σύµβολο της ισότητας ως ένα σύµβολο που οδηγεί στο αποτέλεσµα της πράξης. Όµως η µαθηµατικοποίηση, συνίσταται κατά ένα µέρος, στο να γράψουµε σε µαθηµατική γλώσσα τα δεδοµένα µιας κατάστασης. Η διάκριση, ήδη πολύ δύσκολη, ανάµεσα σε "καταστάσεις" και σε "µετασχηµατισµούς" ξαναεµφανίζεται ως διάκριση ανάµεσα στη γραφή ως µαθηµατικό αντικείµενο και στη γραφή ως αποτύπωµα ως ίχνος ή αναπαράσταση της διαδικασίας. Όλα συµβαίνουν ως ο µαθητής να µην είναι ακόµα ικανός να διακρίνει αυτό που είναι η δική του προσπάθεια, η δική του περιπλάνηση, οι δικές του διανοητικές πράξεις και εκείνο που είναι τα µαθηµατικά, οι ιδιότητες και οι πράξεις πάνω στους αριθµούς. Αυτό είναι πολύ εµφανές στο δεύτερο παράδειγµα όπου παρατηρούµε ακριβώς αυτήν την σύγχυση ανάµεσα σε µια µαθηµατική έκφραση και στη διανοητική πορεία σκέψης του µαθητή. 19/30

20 Στο δεύτερο παράδειγµα παρατηρούµε ότι η γραφή του µαθητή έχει ένα προσόν, είναι οικονοµική και µεταφράζει την περιπλάνηση της σκέψης του η οποία εκτελεί τις πράξεις συνεχόµενα τη µία µετά την άλλη. Αλλά από την άλλη η µαθηµατική απαίτηση υποφέρει από µια έκφραση γραφής η οποία εγκαθιστά ισότητες ανάµεσα σε διαφορετικές ποσότητες και η οποία δε σέβεται τη µεταβατική ιδιότητα. Γράφοντας αυτήν την έκφραση τυποποιούµε την πορεία της σκέψης µέσα στη δυναµική της. Αυτή η έκφραση έχει νόηµα, έχει κατεύθυνση. Όµως µια αληθινή πράξη, τέτοια όπως είναι µια µαθηµατική ή µια λογική πράξη είναι υποχρεωτικά αντιστρέψιµη Το αποτέλεσµα όµως, σε πείσµα των µη ίσων ποσοτήτων είναι σωστό. Το ερώτηµα ποιο είναι αυτό που αξίζει, το αποτέλεσµα, η διαδικασία σκέψης ή η έκφραση ακούγεται ρητορικό, αλλά δεν είναι καθόλου, ιδιαίτερα όταν κάποιος πρέπει να αξιολογήσει. Θέµα-Πρόβληµα 8ο Μαθητές ηµοτικού εκτέλεσαν µε τον παρακάτω εσφαλµένο τρόπο τις πράξεις: (Ν. Bednarz, 1988) Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; Απάντηση Βαθµός Πού νοµίζετε ότι οφείλεται κάθε µια από τις εσφαλµένες απαντήσεις; Πώς θα βοηθούσατε τους µαθητές; Στάδιο Ζ -σχόλια Στο πρώτο παράδειγµα παρατηρούµε ότι ο µαθητής δανείστηκε 1 δεκάδα και τη χρησιµοποίησε ως 1 µονάδα, διέγραψε το 3 και το έκανε 2 αλλά µετά στην πράξη δεν το έλαβε υπόψη του, επιστρέφοντας πίσω τη µία µονάδα ως 1 δεκάδα. Η N. Bednarz υποστηρίζει ότι εδώ έχουµε το δανεισµό µε "ανταλλαγή ένα έναντι ενός", όπου ο µαθητής θυµάται ότι µέσα στον αλγόριθµο: διαγράφουµε ένα και προσθέτουµε επί πλέον ένα, και το εφαρµόζει χωρίς να λαµβάνει υπόψη του τη διαφορετική αξία αυτών των µονάδων διαφορετικής τάξης. 20/30