ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ"

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 3. Γενικά 3. Βασικά στάδια μιας δειγματοληψίας 4.3 Εκτιμητής και κανονική κατανομή 7.4 Απόκλιση και μέσο τετραγωνικό σφάλμα ενός εκτιμητή 8.5 Μέθοδοι δειγματοληψίας 0.5. Δειγματοληψίες με πιθανότητες.5.. Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ).5.. Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία Συστηματική Τυχαία Δειγματοληψία 6 Βιβλιογραφία 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 3. Το μοντέλο της παλινδρόμησης 3. Προσδιορισμός των συντελεστών α και β της ευθείας παλινδρόμησης 33.3 Διασπορές των μεταβλητών Χ και Y και συντελεστής συσχέτισης 35.4 Παραβολική παλινδρόμηση 36.5 Εφαρμογή της εκθετικής παλινδρόμησης 37.6 Πολλαπλή παλινδρόμηση 38.7 Μελέτη της ευθείας παλινδρόμησης 39.8 Ο συντελεστής προσδιορισμού r και ο συντελεστής συσχέτισης r. Έλεγχοι 44 για μεγάλα δείγματα για τον r Βιβλιογραφία 46 KΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΥΡΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Η έννοια της απόστασης Αναλυση σε κύριες συνιστώσες Στάδια της εφαρμογής της μεθόδου Τυποποίηση του αρχικού πίνακα δεδομένων Δημιουργία του πίνακα συσχετίσεων Έυρεση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα 55 συσχετίσεων

2 3...4 Υπολογισμός του ποσοστού αδράνειας (διασποράς) του νέφους των 55 σημείων στον κάθε έναν από τους νέους παραγοντικούς άξονες Υπολογισμός των συντεταγμένων των σημείων στους νέους άξονες 56 Βιβλιογραφία 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΗΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗΣ 58 (Clusterng Methods) 4. Γενικά Κατηγορίες μεθόδων ομαδοποίησης Οι ΙΕΡΑΡΧΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Η μέθοδος του πλησιέστερου γειτονικού σημείου Η εύκαμπτη μέθοδος των Lance και Wllams Oι ΜΗ ΙΕΡΑΡΧΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ομαδοποίησης Η μέθοδος ομαδοποίησης γύρω από κινητά κέντρα (K-Means method) 67 Βιβλιογραφία 7

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Γενικά Στην Στατιστική, η έννοια του πληθυσμού δεν έχει σχέση με την έννοια του πληθυσμού ανθρώπων που θεωρούμε στην καθημερινή ζωή. Έτσι, η έννοια του πληθυσμού αναφέρεται σε κάποιο πλήθος δεδομένων που μπορούν να ενταχθούν σε ποσοτικές ή ποιοτικές κατηγορίες. Τα δεδομένα αυτά μπορεί να είναι μετρήσεις μεγεθών όπως ημερομίσθια, μήκη πραγμάτων ή ποσοτητες υλικών ακόμα και ποσοτητες φυσικών μεγεθών όπως π.χ η θερμοκρασία, κατηγορίες γεγονότων ή ακόμη και εννοιών όπως η απόδοση φοιτητών στα μαθήματα χωρίς βαθμό π.χ Απορριπτέος, Μέτριος, Καλός, Πολύ Καλός, Άριστος ή και η προτίμηση ψηφοφορών πρός τα διάφορα κόμματα. Σύμφωνα με τις παραπάνω μετρήσεις ή παρατηρήσεις, δημιουργούμε τις μεταβλητές οι οποίες σε κάθε δεδομένο (άτομο ή στοιχείο) αντιστοιχούν σε μία τιμή [βιβλιογρ. 5]. Οι μεταβλητές αυτές λέγονται ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ, το σύνολο των ατόμων ή στοιχείων (ή στατιστικών μονάδων [βιβλιογρ. 4] επάνω στις οποίες αντιστοιχούν οι τιμές των τυχαίων μεταβλητών λέγεται ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ. Το πλήθος των στοιχείων του πληθυσμού είναι το μέγεθος του πληθυσμού. Ωστόσο, λόγω του μεγάλου μεγέθους του πληθυσμού που μελετάμε και το κόστος καταγραφής των τιμών που πάιρνει μία Τ.Μ., σ όλα τα στοιχεία ενός πληθυσμού, μελετάμε δείγματα του πληθυσμού. ΔΕΙΓΜΑ είναι ένα υποσύνολο ενός πληθυσμού. Επειδη ο σκοπός της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που έχουν βασιστεί σε δείγματα αλλά που αφορούν όλο τον πληθυσμό που μελετάμε, πρωταρχικό ρόλο παίζουν τα αντιπροσωπευτικά δείγματα ενός πληθυσμου. ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΟ είναι το δείγμα ενός πληθυσμού όταν τα συμπεράσματα που βγάζουμε απο το δείγμα αυτό είναι με πολυ μικρή προσέγγιση τα ίδια που θα βγάζαμε εάν μελετούσαμε ολόκληρο τον πληθυσμό. Κατα συνέπεια, το ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΟ δείγμα έχει σύσταση και δομή όμοια και ανάλογη σε μικρότερο πλήθος μ αυτές του πληθυσμού.

4 Ένα δείγμα λέγεται ΑΜΕΡΌΛΗΠΤΌ ή ΤΥΧΑΙΟ, εάν κάθε άτομα του πληθυσμού, στον οποίο ανήκει το δείγμα έχει ακριβός την ίδια πιθανότητα να περιλαμβάνεται σ αυτό το δείγμα.[βιβλιογρ. ]. Βασικά στάδια μιας δειγματοληψίας [βιβλιογρ.] Α) Σκοπός της δειγματοληψίας. Εάν ο ( ή οι ) σκοπός για τον οποίο γίνεται η δειγματοληψία δεν είναι τελείως συγκεκριμένος υπάρχει κίνδυνος σημαντικής αποκλίσεως απο αυτόν μετά το τέλος της δειγματοληψίας. Β) Σαφής καθορισμός του πληθυσμού από τον οποίο εκλέγονται τα δείγματα. Είναι πολύ σημαντικό σε κάθε δειγματοληψία να πούμε με βεβαιότητα εάν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στον πληθυσμό που μελετάμε. Αυτό προϋποθέτει αυστηρό καθορισμό των χαρακτηριστικών, των στοιχείων του πληθυσμού που θέλουμε να μελετήσουμε, πριν φτάσουμε στην δειγματοληψία. Έτσι, για έναν πληθυσμό από κάποιο απλό μηχανικό εξάρτημα ενός αυτοκινήτου π.χ. δεν θα υπάρξει δυσκολία. Αντίθετα πρέπει να ορίσουμε με ακρίβεια τα πλάισια στα οποία ανήκει η πολυκατοικία ώστε να μπορούμε να την κατατάξουμε σε κάποιο δείγμα ή όχι, σε μία συγκεκριμένη δειγματοληψία κάποιου τύπου κτιρίων που χαρακτηρίσαμε σαν πολυκατοικίες. Γ) Ακριβής συλλογή των απαραιτήτων δεδομένων Λιγότερα, περισσότερα, άχρηστα ή ασαφή δεδομένα κατά την διάρκεια της δειγματοληψίας δίνουν λανθασμένα αποτελέσματα. Δ) Προσδιορισμός της ακρίβειας των αποτελεσμάτων.

5 Επειδή πρόκειται για δειγματοληψία, τα συμπεράσματα υπόκεινται πάντα σε κάποιο ποσοστό σφάλματος. Το σφάλμα αυτό μειώνεται εάν χρησιμοποιηθούν μεγαλύτερα δείγματα ή και ακριβέστερα όργανα καταγραφής ( μέτρησης ). Ωστόσο, ο από την αρχή προσδιορισμός του μεγέθους του πιθανού σφάλματος προσδιορίζει σαφέστερα τα αποτελέσματα. Ε) Μέθοδοι και ακρίβεια των μετρήσεων Τα ερωτηματολόγια πρέπει να είναι καθολικά και ομοιόμορφα και προσεκτικά ελεγμένα μετα την συμπλήρωση τους. Σε μετρήσεις με όργανα, πρέπει να υπάρχει έλεγχος της καλής λειτουργίας και την αξιοπιστίας τους. Και στις δύο περιπτώσεις, οι μετρήσεις πρέπει να καταγράφονται σε Η/Υ μεγάλης ισχύος ώστε, με το κατάλληλο λογισμικό, να είναι δυνατή η επεξεργασία τους. ΣΤ ) Το πλάισιο δειγματοληψίας Απαραίτητη προϋπόθεση για την εκλογή ενός δείγματος, είναι ο διαχωρισμός του πληθυσμού σε μονάδες ή άτομα από τα οποία θα αποτελείται και το δείγμα. Πολλές φορές, τυχαίνει τα άτομα αυτά να είναι καθορισμένα σαν μονάδες - οντότητες αλλά αρκετα συχνά είναι αναγκαίο να προσδιοριστούν απο τον σκοπό της δειγματοληψίας. Έτσι, για παράδειγμα, στην περίπτωση γεωργικών ιδιοκτησιών πρέπει να καθοριστούν η έκταση, η δυνατότητα και η χρήση της ιδιοκτησίας, ο αριθμός των ιδιοκτητών και ίσως άλλα χαρακτηριστικά χρήσιμα στόν καθορισμό της γεωργικής ιδιοκτησίας σαν μονάδα δειγματοληψίας. Ζ) Η εκλογή του δείγματος Ο τρόπος εκλογής του δείγματος καθώς και ο προσδιορισμός του μεγέθους του θα καθορίσουν και τα αποτελεσματά μιάς δειγματοληψίας. Ωστόσο, σε μία δειγματοληψία, πρέπει να λαμβάνεται υπ όψη ο χρόνος και το απαιτούμενο ποσο χρημάτων για την διεκπεραίωση της.

6 Η) Προκαταρτική δειγματοληψία Μία εικονική και σε μικρό μέγεθος του πληθυσμού προκαταρτική δειγματοληψία δείχνει ατέλειες που πιθανά θα δημιουργήσουν πρόβλημα εάν δεν ληφθούν υπ όψη. Τέτοιες μπορεί να είναι ασαφείς μετρήσεις ή πολυ ψηλότερο από το εκτιμητέο κόστος. Θ) Οργάνωση κατά την διάρκεια της δειγματοληψίας Ο κατά μικρά χρονικά διαστήματα και συνεχής έλεγχος της συλλογής των δειγμάτων καθ όλη την διάρκεια της δειγματοληψίας είναι απαραίτητος, όπως επίσης και η αντιμετώπιση της αδυναμίας λήψης δείγματος (ή αδυναμίας συγκέντρωσης ερωτηματολογίων). Τέλος, η κατά τον ταχύτερο και ακριβέστερο τρόπο συνεργασία των εργαζομένων για μια δειγματοληψία βοηθά πολύ στην σωστή διεξαγωγή της. Ι) Συγκέντρωση και ανάλυση δεδομένων Αν και σήμερα (997) είναι πολύ δύσκολό οι εργαζόμενοι σε μία δειγματοληψία να καταγράφουν τα δείγματα σε ηλεκτρονικά μέσα (δισκέττες ή CD ηλεκτρονικών υπολογιστών) που επικοινωνούν μεταξύ τους μέσω κάποιου ηλεκτρονικού δικτύου (π.χ. INTERNET). Στο μέλλον, είναι πολύ πιθανό, να συμβεί αυτό, αλλά σήμερα θα πρέπει να συγκεντρώνονται τα δεδομένα, να ελέγχονται τα ερωτηματολόγια ή οι μετρήσεις, να καταγράφονται σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές με προσοχή και να επεξεργάζονται από ειδικούς επιστήμονες με την βοήθεια του κατάλληλου λογισμικού που εκτός απο άλλες πληροφορίες σίγουρα θα πρέπει να μας δίνει και το ποσοστό λάθους για τους εκτιμητές των πιο αντιπροσωπευτικών μεθόδων του πληθυσμού.

7 ΙΑ) Πληροφορίες για μελλοντικές δειγματοληψίες Λάθη στην όλη διαδικασία και πιθανά προβλήματα οδηγούν στην αποφυγή τους σε μια παρόμοια μελλοντική διαδικασία. Συμπεράσματα για το μέγεθος του δείγματος και για τους εκτιμητές μεγεθών του πληθυσμού είναι οδηγοί για μια σωστότερη δειγματοληψία..3 Εκτιμητες και κανονικη κατανομή Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε με δειγματοληψία την μέση τιμή του πληθυσμού μ. Αποφασίζουμε να πάρουμε μια σειρά δειγμάτων στό κάθε ένα από τα οποία υπολογίζουμε την μέση τιμή του έστω μ Έτσι, δημιουργείται μια κατανομή των δειγματοληπτικών μέσων τιμών μ των δειγμάτων που πήραμε. Η μέση τιμή του κάθε δείγματος αποτελεί έναν εκτιμητή της μέσης τιμής του πληθυσμού. Η καλύτερή προσέγγισή της μέσης τιμής του πληθυσμού είναι εάν βρούμε την μέση τιμή της κατανομής των δειγματοληπτικών μέσων. Ένας εκτιμητής μ της μέσης τιμής μ του πληθυσμού λέγεται αμερόληπτος, εάν η μέση τιμή του που προκύπτει απο όλα τα δυνατά δείγματα του πληθυσμού ισούται με την μέση τιμη του πληθυσμού. [βιβλιογρ. 5] Εάν το κάθε δείγμα απο τα n συνολικά δείγματα έχει πιθανότητα να εκλεγεί απο τον πληθυσμό, τότε η μαθηματική ελπίδα του αμερόληπτου εκτιμητή θα είναι αν δε όλα τα δείγματα είναι ισοπίθανα να εκλεγούν μεταξύ τους δηλ. τότε n Όταν τα δείγματα είναι αρκετά μεγάλα σε μέγεθος και αρκετά σε πλήθος τότε η κατανομή των εκτιμητών που προκύπτει απο αυτά ειναι προσεγγιστικά κανονική.

8 Σύμφωνα μ αυτό το απόλυτο σφάλμα της εκτίμησης της μέσης τιμής του πληθυσμού απο τον δειγματικό μέσο ( με διακύμανση ) έχει πιθανότητα: 0,68 να μην υπερβαίνει την τιμή της 0,95 να μην υπερβαίνει τιμή, 96 0,99 να μην υπερβαίνει τιμή, 58.4 Απόκλιση και μέσο τετραγωνικό σφάλμα ενός εκτιμητή [βιβλιογρ. ] Έστω ότι ο δειγματικός μέσος κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή m και μια απόκλιση K m απο τον πραγματικο μέσο του πληθυσμού, τον οποίο αγνοούμε και συνεπώς αγνοούμε και την ύπαρξη της απόκλισης Κ του πληθυσμού. Υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση απο την μέση τιμή m Πιθανότητα 0,4 Κατανομή της Τ.Μ. μ Με μέση τιμή m και τυπική απόκλιση σ 0,3 0,,96σ,96σ 0, μ Α -σ -σ μ 0 Β σ σ

9 Σύμφωνα με την κανονική κατανομή, και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει απόκλιση της μέσης τιμής m που θεωρούμε, απο την πραγματική μέση τιμή του πληθυσμού, θεωρούμε ότι η πιθανότητα το μέγεθος να ξεπερνά την τιμή,966 είναι ίση με 0,05. Η πιθανότητα αυτή είναι στην δεξιά πλευρά της κατανομής και υπολογίζεται απο το εμβαδόν που εκφράζει το ολοκλήρωμα e, 966 m d Τυποποιόντας την μεταβλητή θέτουμε m t m t d dt. Έτσι το κάτω όριο της ολοκλήρωσης γίνεται, 966 m m, 96 αλλά καθώς έχουμε την απόκλιση K m πιθανότητα (δηλ. το εμβαδόν) είναι ίση με το τελευταίο ισούται με, 96 K και έτσι, η t t e dt e dt K K, 96, 96 Στην αριστερή πλευρά της κατανομής, η αντίστοιχη πιθανότητα είναι K, 96 e t dt Ο Cochran, [] παραθέτει έναν πίνακα στο βιβλίο του Samplng Technques που δίνει την πιθανότητα λάθους που αντιστοιχεί σε στάθμη σημαντικότητας 0,05 καθώς ο λόγος K αυξάνει. Μέρος του πίνακα αυτού είναι: Πιθανότητα Λάθους K/σ <-.96 σ >.96 σ Συνολική

10 Θεωρώντας, τώρα ότι η μέση τιμή του εκτιμητή είναι m και άρα m 0, και ότι η απόκλιση της εκτιμούμενης μέσης τιμής απο την πραγματική τιμή του πληθυσμού είναι m, ορίζεται σαν μέτρο σύγκρισης εκτιμητών το Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα του εκτιμητή που είναι: M. S. E. m m m m m m.5 Μέθοδοι δειγματοληψίας Οι μέθοδοι δειγματοληψίας χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες. ) Δειγματοληψίες με πιθανότητα ) Κατευθυνόμενες ή δειγματοληψίες σκοπιμοτητας Εδώ, θα ασχοληθούμε πιο αναλυτικά με την πρώτη κατηγορία και θα αναφερθούμε συνοπτικά στα γενικά χαρακτηριστικά κάθε μεθόδου της δεύτερης. Οι δειγματοληψίες με πιθανότητα προτιμούνται για τους παρακάτω λόγους: ) Δεν υπόκεινται σε υποκειμενικά κριτήρια ) Σ αυτές, είναι δυνατόν, να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον εκτιμητη που χρησιμοποιείται 3) Αυξανομένου του μεγέθους του δείγματος αυξάνουν το παρεχόμενο ποσο της πληροφορίας. [ Φαρμάκης ]. Αντίθετα, στις κατευθυνόμενες δειγματοληψίες, οι επιλογές των στοιχείων των δειγμάτων γίνεται σύμφωνα με τις αντιλήψεις των μελετητών. Προτιμούνται όταν υπάρχει σαφής γνώση του πληθυσμού και όταν απαιτείται η εκλογή μικρού μεγέθους δειγματών. Επιπλέον πολλές απο αυτές έχουν σημαντικά μικρότερο κόστος από τις δειγματοληψίες με πιθανότητα.

11 .5. Δειγματοληψίες με πιθανότητες.5.. Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ) [Smple Random Samplng] Προϋποθέσεις. Κάθε δείγμα μεγέθους n έχει την ίδια πιθανότητα να εκλεγεί με οποιοδήποτε άλλο δείγμα ίδίου μεγέθους. Κάθε στοιχείο του ενεργού πληθυσμού, έχει την ίδια πιθανότητα να εκλεγεί στο δείγμα που λαμβάνεται απο τον πληθυσμό αυτό. Πιθανότητα Εκλογής Δειγματος Μεγέθους n H πιθανότητα επιλογής του πρώτου στοιχείου δείγματος μεγέθους n απο τον πληθυσμό μεγέθους Ν είναι.του δευτέρου στοιχείου και εφ όσον ξέρουμε ότι το πρώτο έχει επιλεγεί και άρα έχουν μείνει η- στοιχεία για την συμπλήρωση του δείγματος και Ν- στοιχεία του πληθυσμού είναι -μελές δείγμα η πιθανότητα εκλογής του θα ήταν πιθανότητα εκλογής του είναι. Άρα, για παράδειγμα, για ένα! =!!!, ενώ για ένα n-μελές η!!

12 Τρόπος Εκλογής Δείγματος Μεγέθους n A. Η Μέθοδος της Κάλπης ( Παλία Μέθοδος ) [βιβλιογρ. 4] ο Βήμα Αριθμούμε, χωρίς παραλήψεις ή επαναλήψεις, τα Ν στοιχεία του πληθυσμού απο έως Ν ο Βήμα Δημιουργούμε και αριθμούμε Ν κλήρους ή Ν μπαλάκια τα οποία τοποθετούμε σε μία κάλπη 3ο Βήμα Τραβάμε από την κάλπη τόσους κλήρους όσους και το μέγεθος του δείγματος δηλαδή n 4ο Βήμα Αφού σημειώσουμε την αρίθμηση που είχαν οι κλήροι που επιλέχτηκαν απο την κάλπη, βρίσκουμε και ελέγχουμε απο τον πληθυσμό τα άτομα που έχουν την ίδια αρίθμηση με τους n κλήρους. Η μέθοδος αυτή επειδή είναι ιδιαιτέρα δύσχρηστη και έχει εγκαταλειφθεί, εκτός απο ειδικές περιπτώσεις τυχερών παιγνιδιών ( λόττο, λαχεία κ.τ.λ ). Β. Μέθοδος των Τυχαίων Αριθμών με την Βοήθεια Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Σήμερα, οι αξιόπιστοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές τσέπης (κομπιουτεράκια) καθώς και τα προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών (PC s) που χρησιμοποιούν τυχαίους αριθμούς είναι εφοδιασμένοι με υποπρογράμματα (Functons ή Subroutnes) παραγωγής ψευδοτυχαίων αριθμών (πλήκτρα ή προγράμματα που η ονομασία τους περιέχει μέρος ή ολόκληρη την λέξη random). Έτσι, ο χρήστης έχει στην διάθεση του πίνακες τυχαίων αριθμών για την εκλογή τυχαίου δείγματος βάσει των πινάκων αυτών, και ακολούθει την διαδικασία που περιγράφεται παρακάτω.

13 Γ. Μέθοδος Επιλογής των Στοιχείων του Δείγματος Βάσει του Πίνακα των Τυχαίων αριθμών. Οι πίνακες των τυχαίων αριθμών, είναι πίνακες των μονοψηφίων ακεραίων αριθμών 0 έως 9 όπου ο κάθε ένας απο αυτούς έχει την ίδια πιθανότητα επιλογής με τους υπόλοιπους. Παρακάτω παραθέτουμε μέρος ένος πίνακα τυχαίων αριθμών που δίνει ο Cochran στο βιβλίο του [] Samplng Methods, είναι μονοψήφιοι αριθμοί τοποθετημένοι σε ομάδες απο 5 γραμμές και 5 στήλες και το σύνολο του πίνακα περιέχει 0 γραμμές και 50 στήλες. Η διαδικασία επιλογής τυχαίου δείγματος με την βοήθεια του πίνακα τυχαίων αριθμών περιγράφεται με το παρακάτω παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να επιλέξουμε ένα δεκαμελές δείγμα απο μία ομογενή περιοχή που αποτελείται απο 00 pxels ( pxel: στοιχειώδες κομμάτι εικόνας ) σε μία δορυφορική εικόνα που είναι σε ψηφιακή μορφή. Κάθε pxel έχει μια τιμή απο 0 έως 55 και η δορυφορική εικόνα απεικονίζει κάποια περιοχή. ο Βήμα

14 Αριθμούμε τα ( pxels ) στοιχεία όλου του πληθυσμού μας που στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι το σύνολο των Ν=00 pxels και σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα. Πληθυσμός 00 ραδιομετρικών τιμών μιας ομογενούς περιοχής ως προς την κάλυψη εδάφους μιας περιοχής (Ν=00) ο Βήμα Εκλέγουμε στην τύχη αριθμούς (για τον συγκεκριμένο πίνακα απο έως 0 και απο έως 50, γενικά απο εώς του αριθμού των γραμμών και από το έως τον αριθμό των στηλών) π.χ. 7,36 και βρίσκουμε τον τυχαίο αριθμό του πίνακα που αντιστοιχεί στην γραμμή 7 και στήν στήλη 36, είναι ο αριθμός. Επίσης, σημειώνουμε τον αριθμό των ψηφίων που έχει το πλήθος του πληθυσμού μας, εδώ Κ=3. 3ο Βήμα Ακολουθούμε την γραμμή ή την στήλη που κατέχει ο τριψήφιος αριθμός που με πρώτο ψηφίο το, που βρήκαμε στο ο βήμα εδώ για παράδειγμα ο 48 και συνεχίζοντας κάθετα ή οριζόντια, διαλέγουμε όλους τους τριψήφιους αριθμούς που

15 βρίσκονται μεταξύ και 00 (ουσιαστικά εκτός από το 00 όλους όσους έχουν για πρώτο ψηφίο 0) Παρατηρούμε ότι, η μέθοδος αυτή έχει ΜΕΓΑΛΟ ΠΟΣΟΣΤΟ ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Γι αυτό, στην περίπτωση που ο Ν είναι Κ-ψήφιος και μικρότερος απο 0 όπως εδώ που είναι , εφαρμόζουμε διάφορες μεθόδους για να μειώσουμε το μεγάλο ποσοστό απόρριψης εάν βέβαια 0 ακολουθούμε την αρχική διαδικασία του 3ο βήματος. η μέθοδος Χωρίζουμε όσο το δυνατόν με μικρότερη απώλεια το διάστημα 0 (εδώ ) σε ίσα διαστήματα (εδώ ανά 00), ακολουθώντας όπως και 3 πρίν την διαδικασία έως το βήμα 3 δεν απορρίπτουμε τους τριψήφιους >00 αλλά: Αφαιρούμε 00 απο τους αριθμούς μεταξύ 0 και 00 Αφαιρούμε 00 απο τους αριθμούς μεταξύ 0 και 300 Αφαιρούμε 300 απο τους αριθμούς μεταξύ 30 και 400 Αφαιρούμε 900 απο τους αριθμούς μεταξύ 90 και 999 Σημειώνουμε τους 0 πρώτους αριθμούς που προκύπτουν και είναι μεταξύ 0 και 0 και που θα αποτελέσουν τους αύξοντες αριθμούς των στοιχείων του δείγματος που θα εκλεγεί απο τον πληθυσμό μας (Ν=00) η μέθοδος Διαλέγουμε τόσους αριθμούς όσους το δείγμα (εδώ 0) κατά στήλη ή σειρά σύμφωνα με το 3ο βήμα. Όσοι αριθμοί είναι >00 τους διαιρούμε με 00 και στην θέση τους, κρατάμε το υπόλοιπό της διαίρεσης. 4ο Βήμα Εάν Ν=37 θα αρχίζαμε από το 0 απορρίπτοντας τους ενδιάμεσους από το 38 έως το 00

16 Από τον πληθυσμό μας, επιλέγουμε τους αριθμούς που έχουν αριθμηθεί σύμφωνα με τους 0 τυχαίους αριθμούς που εκλέξαμε στο 3ο βήμα. Εφαρμογή: μέθοδοι στο παράδειγμα του πλήθυσμού των 00 ραδιομετρικών τιμών Άσκηση Να εφαρμοστεί η η μέθοδος του 3ου βήματος για Ν=45 και 0-μελές δείγμα και να βρεθεί το ποσοστό απόρριψης στον πίνακα των τυχαίων αριθμών και να σιγκριθεί με το θεωρητικό ποσοστό απόρριψης της μεθόδου. [Cochran, σελ 0] Θεώρημα Η δειγματική μέση τιμή μ είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητης της μέσης τιμής του πληθυσμού. Απόδειξη: Έχουμε () έστω,,, οι μονάδες του πληθυσμού που ανήκουν στο τυχόν δείγμα μεγέθους n Έτσι, η σχέση (): όπου τα διάφορα j μπορεί να συμπίπτουν μεταξύ τους. Έτσι, για να βρεθεί το παραπάνω άθροισμα, πρέπει να βρούμε για κάθε μονάδα του πληθυσμού, σε πόσα δείγματα μπορεί να ανήκει. Το βρίσκουμε με τον παρακάτω συλλογισμό:

17 Παίρνουμε μια μονάδα του πληθυσμού και την τοποθετούμε για να σχηματίσουμε ένα τυχόν δείγμα μεγεθούς n. Επειδή οι μονάδες που μένουν απο τον πληθυσμό είναι Ν- και οι μονάδες που μένουν για να συμπληρώσουμε το δείγμα n- υπάρχουν δυνατοί συνδυασμοί για να συμπληρώθει το δείγμα. Άρα, κάθε μονάδα του πληθυσμού* μπορεί να ανήκει σε δείγματα και το κάθε στοιχείο j στο παραπάνω άθροισμα εμφανίζεταί φορές. Άρα η () γράφεται: =!!!!!!!!!!!! = όπου οι άνω δείκτες των j διαγράφηκαν λόγο σύμπτωσης. Παρακάτω, αναφέρουμε χωρίς απόδειξη μερικά σημαντικά θεωρήματα στην ΑΤΔ Θεώρημα Η διακύμανση της δειγματικής μέσης τιμής στην ΑΤΔ είναι: Var όπου σ η διακύμανση του πληθυσμού. Θεώρημα 3 Η διακύμανση του δείγματος S είναι αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης του πληθυσμού

18 S Σημείωση Γνωρίζουμε από την βασική Στατιστική ότι, για ένα δείγμα μεγέθους n απο ΑΠΕΙΡΟ πληθυσμό, η διακύμανση της δειγματικής μέσης τιμής είναι Το θεώρημα που αναφέρεται σε πληθυσμό μεγέθους Ν, διαφέρει λίγο στο παραπάνω αποτέλεσμα, δηλ. κατά τον πολλαπλασιαστικό παράγοντα Όταν λοιπόν ο λόγος είναι πολύ μικρός, το μέγεθος του πληθυσμού δεν παίζει ουσιαστικό ρόλο στόν υπολογισμό της διακύμανσης (της δειγματικής μέσης τιμής) του δείγματος. Θεώρημα 4 Η διακύμανση του εκτιμητή του συνολικού αριθμού του πληθυσμού είναι: Πόρισμα Var Το μέγεθός είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του αθροίσματος των στοιχείων του πληθυσμού Απόδειξη E N N E N N N N N

19 Πόρισμα Από το θεώρημα και απο το θεώρημα 4 αμέσως προκύπτει ότι, η διακύμανση του συνολικού πληθυσμού είναι δειγματικής μέσης τιμής δηλ. Var Var φορές η διακύμανση της.5.. Στρωματοποιημένη τυχαία δειγματοληψία (Startfed Random Samplng) (Σ.Τ.Δ.) Γενικά Στην γενική της μορφή, η Σ.Τ.Δ. αποτελείται από επιμέρους Α.Τ.Δ. σε διάφορα στρώματα που εμφανίζει ένας πληθυσμός. Μία βασική ένδειξη για τη χρήση της Σ.Τ.Δ είναι ο υπό μελέτη πληθυσμός να εμφανίζεται σαν την ένωση επιμέρους πληθυσμών δηλ. όπου Π ο συνολικός πληθυσμός και Πι, ι=,,...,κ οι επιμέρους υποπληθυσμοί οι οποίοι είναι ξένοι μεταξύ τoυς και στο σύνολο τους αποτελούν τον συνολικό πληθυσμό. ( Stratum ) j, j Εάν τα μεγέθη των ν υποπληθυσμών ( στρωμάτων ) αυτών είναι και του συνολικού πληθυσμού Ν τότε:,, k k k N ( ) Μόλις προσδιοριστούν τα συγκεκριμένα αυτά στρώματα (υποπληθυσμοί) του συνολικού πληθυσμού, εκλέγεται χωριστά σε κάθε στρώμα ένα δείγμα μεγέθους,,, k. Επειδή ακριβώς η εκλογή καθε δείγματος σε κάθε στρώμα γίνεται με Α.Τ.Δ γι αυτό και η δειγματοληψία αυτή λέγεται Σ.Τυχαία.Δ. Η Σ.Τ.Δ χρησιμοποιείται όταν:. Απαιτείται ο διαχωρισμός του μελετουμενου πληθυσμού σε στρώματα διαφορετικών μεγεθών τα οποία έχουν δημιουργηθεί για άλους λόγους απο

20 την δειγματοληψία π.χ. Η μελέτη του μέσου όρου κατανάλωσης ενός προιόντος σ έναν νομό της χώρας μπορεί να γίνει ανά κοινότητα η οποία διοικητική μονάδα χωρισμού και στην Σ.Τ.Δ μπορεί να αποτελέσει το στρώμα.. Υπάρχει προκαθορισμένη ετερογένεια ενός πληθυσμού μεταξύ υποπληθυσμών απο τους οποίους φαίνεται να αποτελείται και οι οποίοι στο εσωτερικό τους είναι ομογενείς. 3. Υπάρχει ανάγκη εκτιμήσεων στατιστικών μεγεθών συγκεκριμένων στρωμάτων του πληθυσμού, π.χ. για την τάξη των δημοσίων υπαλλήλων σ ένα συγκεκριμένο μεγάλο νησί της χώρας. Εάν θεωρήσουμε Χ την Τ.Μ. που μελετάμε ορίζουμε τα παρακάτω μεγέθη. Ν: μέγεθος πληθυσμού. N,=,,3...k: μέγεθος ( υποπληθυσμού ) στρώματος. Κ: πλήθος στρώματων του πληθυσμού. N : μέγεθος δείγματος στρώματος Ν. X j : j-οστή τιμή της Τ.Μ.Χ στο δείγμα του στρώματος Ν. B = = : ποσοστό βάρους του στρώματος Ν ως πρός τον συνολικό πληθυσμό. : ποσοστό βάρους του μεγέθους του δείγματος n του στρώματος Ν ως πρός το μέγεθος n του συνολικού δείγματος. =n: Μέγεθος συνολικού δείγματος. j j : Μέση τιμή της Τ.Μ X j στο στρώμα Ν j j N j N : Μέση τιμή δείγματός n j στό στό στρώμα Ν : Διακύμανση της Τ.Μ X j στο στρώμα Ν

21 Η μέση τιμή του πληθυσμού μ μπορεί να εκτιμηθεί με ειδών εκτιμητές [7]. Τον αναλογικό εκτιμητή ο οποίος εκτιμά ουσιαστικά την ανά στρώμα μέση τιμή του πληθυσμού και είναι K N j N K N. Τον γενικό εκτιμητή της μέσης τιμής του πληθυσμού μ που είναι ο δειγματικός μέσος N j K () K K (3) Παρατηρήσεις η. Υπάρχει σύμπτωση του αναλογικού με τον γενικό εκτιμητη όταν ισχύει η ισότητα: N (4) δηλαδή σύμφωνα με την τελευταία ισότητα όταν η αναλογία του μεγέθους του δείγματος ως προς το μέγεθος του στρώματος που ανήκει, είναι ίδια σε κάθε στρώμα και ίση με N. η. το αντίστοιχο δείγμα με την Α.Τ.Δ. στην Σ.Τ.Δ. είναι αυτό που προκύπτει απο την συνένωση των επι μέρους δειγμάτων K n κέθε στρώματος και έχει μέγεθος Το κύριο φυσικά ερώτημα που τίθεται στην Σ.Τ.Δ. είναι πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το μέγεθος του συνολικού δείγματος που είναι συνάρτηση του πόσο μεγάλα πρέπει να είναι τα δείγματα μεγεθών n σε κάθε στρώμα;

22 Την απάντηση εν μέρει στο παραπάνω ερώτημα δίνει η σχέση (4) που μας ορίζει απο την αρχή της δειγματοληψίας τον λόγο λογό N εφ όσον είναι καθορισμένα τα στρώματα N ). ( που έιναι ίσος με τον σταθερό Αλλά πάλι, πρέπει να καθοριστεί το μέγεθος n η καθ ένα απο τα n. Σαν παράδειγμα, έστω ότι έχουμε έναν πληθυσμό Ν=000 και έστω ότι το τέταρτο στρώμα του πληθυσμού έχει μέγεθος N Έτσι έχουμε 0 4 πράγμα που μπορεί να σημαίνει ότι 4 5 και 50 ή ότι 4 0 και 00 ή οτιδήποτε αριθμοί διατηρούν την αναλογία αυτή. Άρα, ο εκ των προτέρων προσδιορισμός του μεγέθους του συνολικού δείγματος n προσδιορίζει και τα εκάστοτε μεγεθη καθενός απο τα μερικά δείγματα n. Παρακάτω αναφέρουμε μερικά θεωρήματα της Σ.Τ.Δ. χωρίς απόδειξη. Θεώρημα Εάν για κάθε στρώμα του πληθυσμού N η μέση δειγματική τιμή είναι αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής του στώματος Ν δηλαδή της, τότε ο αναλογικός εκτιμητής είναι αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής του πληθυσμού μ. Λόγο σχετικής ευκολίας, αναφέρουμε παρακάτω την απόδειξη του θεωρήματος Η μέση τιμή μ του πληθυσμού είναι K N j j N K N N γιατί η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χj στο στρώμα είναι (5) N j N j

23 οπότε η (5) γράφεται K και επειδή δεχθήκαμε ότι η μέση δειγματική τιμή είναι αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής του στρώματος Ν δηλαδή θα έχουμε K K Θεώρημα Για μία ανεξάρτητη εκλογή δειγμάτων στα διάφορα στρώματα και αν ισχύει το Θεωρ. τότε όπου Var Var στρώματος. Var K Var η ανά στρώμα διακύμανση του αναλογικού εκτιμητή η διακύμανση της δειγματικής μέσης τιμής σε διάφορα δείγματα του ίδιου και Θεώρημα 3 Στην Σ.Τ.Δ. η διακύμανση του εκτιμητή είναι: K K Var α) Εάν 0 β) Εάν N τότε Var K ( ) τότε Var ( ) N γ) Εάν η δειγματοληψία είναι αναλογική και η διακύμανση όλων των στρωμάτων ίσες μεταξύ τους π.χ. k τότε K Var N Θεώρημα 4

24 Η διακύμανση Var του εκτιμητή του πληθυσμού του συνολικού αριθμού των ατόμων του πληθυσμού είναι: Var N N Var K Για να δούμε καλύτερα την διαφορά των εκτιμητών μεταξύ Α.Τ.Δ. και Σ.Τ.Δ. ο Cochran [βιβλιογρ. ] παραθέτει το πιο κάτω παράδειγμα: Ο παρακάτω πίνακας, δείχνει το 930, τον αριθμό των κατοίκων σε χιλιάδες από 64 μεγάλες πόλεις των Η.Π.Α. Το σύνολο χωρίστηκε σε στρώματα, το πρώτο με 6 μεγάλες πόλεις και το δεύτερο με τις υπόλοιπές 48. Από ένα δείγμα 4 πόλεων θα εκτιμηθεί ο συνολικός πληθυσμός των 64 πόλεων. Ζητείται να βρεθεί η τυπική απόκλιση του συνολικού πληθυσμού (η Τ.Μ του παραδείγματος) α) Με Α.Τ.Δ. β) Με Σ.Τ.Δ.με αναλογικό εκτιμητή και, γ) Με Σ.Τ.Δ. που το δείγμα αποτελείται απο πόλεις απο κάθε στρώμα. Για όλον τον πληθυσμό, το 930 βρέθηκε, ο συνολικός πληθυσμός N 9586 και η διακύμανση 5448 Οι εκτιμητές για τις τρείς περιπτώσεις που ζητούνται θα συμβολίζονται αντίστοιχα με,,. 3

25 Στρώμα Στρώμα ) Με Α.Τ.Δ. N N 4 64 Var ) Με Σ.Τ.Δ Οι διακυμάνσεις των δύο στρωμάτων είναι : και 5584 (τύπος σελ για κάθε στρώμα) Επειδή για την μέθοδο των αναλογικών εκτιμητών πρέπει: N N είναι Ν=64, 4, και N, N 48. Οπότε τα 4 6 ομοίως: , Από το Πόρισμα της Α.Τ.Δ. και την προυπόθεση ) έχουμε ότι Var N Var Var N N άρα υπολογίζονται ως εξής: N (θεωρημα 3 σελ

26 N N N 60 4 N N N N , Var 37, και 3) Εάν χρησιμοποιώντας το θεώρημα 4 έχουμε: Var 3 N N N N N , και Τελικά παρατηρούμε ότι: Συστηματική δειγματοληψία [Systematc Samplng] ( Σ.Δ.) Η εκλογή δείγματος είναι ευκολότερη, ταχύτερη και με μικρότερη πιθανότητα σφάλματος απο εκείνη της τυχαίας δειγματοληψίας. Ειδικά, όταν η Σ.Δ διενεργείται σε κάποιο χωρικό πλαίσιο όπως δειγματοληψίες εδάφους χρήσης γης ή πληθυσμιακές στον χώρο είναι πιο εύκολη απο την Τ.Δ λόγω της χωρικής περιοδικότητας των στοιχείων εκλογής του δείγματος. Έστω ότι έχουμε να εκλέξουμε ένα δείγμα n στοιχείων απο έναν πληθυσμό Ν στοιχείων αριθμημένων απο έως Ν. Για να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο και να πιάνει όλον τον πληθυσμό, το δείγμα αρκεί να χωρίσουμε τον πλήθυσμό σε n υποσύνολα κάθε ένα απο τα οποία θα περιέχει Κ=Ν/n στοιχεία. Εάν Κ: ακέραιος, τότε δημιουργούνται πλήρεις ομάδες απο Κ στοιχεία και όλα τα δυνατά δείγματα που έχουν ένα στοιχείο απο κάθε ομάδα είναι μεγέθους n.

27 Εάν N Kόπου K N, με N το ακέραιο μέρος οτυ αριθμού Ν/n, δημιουργούμε πάλι n ομάδες απο τις οποίες η n-οστή είναι ελλιπής. Κατά συνέπεια, μερικά από τα δείγματα θα περιέχουν n- στοιχεία, άρα έχουμε κάποια ομοιογένεια ως προς το μέγεθος των δειγμάτων. Η ανομοιογένεια αυτή εξαλείφεται σύμφωνα με τον κυκλικό νομό που περιγράφεται παρακάτω στο ο παράδειγμα. ο Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε να εκλέξουμε δείγματα n=5 ατόμων απο έναν πληθυσμό N=35 ατόμων έχουμε K N των 7 ατόμων σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα: άρα ο πληθυσμός θα χωριστεί σε 5 ομάδες Δείγμα Δείγμα Δείγμα 3 Δείγμα 4 Δείγμα 5 Δείγμα 6 Δείγμα 7 Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Παρατηρούμε ότι, ο δυνατός αριθμός των δειγμάτων είναι ίσος με τον αριθμό τον ατόμων κάθε ομάδας που δημιουργήθηκε. ο Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε πάλι να εκλέξουμε δείγματα n=5 απο έναν πληθυσμο Ν=3 ατόμων, εδώ βλέπουμε ότι N , 4 και και K δημιουργούμε πάλι 5 ομάδες των 7 ατόμων εκ των οποίων η 5η είναι ελλιπής. 6 7 άρα, Για να βρούμε πόσα απο αυτά θα είναι άρτια (με 5 στοιχεία), βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ν=3 με το Κ=7 δηλ. N 47 4, άρα 4. Το υπόλοιπο

28 της αφαίρεσης του 4 από το Κ=7 μας δίνει τον αριθμό των ελλειπτικών δειγμάτων. Αυτά φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Δείγμα Δείγμα Δείγμα 3 Δείγμα 4 Δείγμα 5 Δείγμα 6 Δείγμα 7 Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Το σημαντικότερο βέβαια στην παραπάνω περίπτωση που το μέγεθος του πληθυσμού δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μεγέθους του πληθυσμού των δειγμάτων που θέλουμε, είναι η συμπλήρωση των ελλιπών δειγμάτων. Μία μέθοδος που προτείνεται για την λύση του προβλήματος αυτού είναι: Εκλέγουμε έναν τυχαίο αριθμό απο το έως Ν. Με αφετηρία τον αριθμό αυτό και βήμα ίσο με Κ επιλέγουμε n αριθμούς απο τους Ν, τοποθετημένους σε κύκλο έτσι ώστε ο επόμενος του Ν να είναι ο. Δηλαδή στο συγκεκριμένο παράδειγμα εάν εκλεγεί τυχαία ο αριθμός 9 τότε το 5-μελές δείγμα μας θα είναι: 9,, 7,, 7 Η γενίκευση του πίνακα του πρώτου παραδείγματος στην περίπτωση που ο πληθυσμός N K μπορεί να χωριστεί σε Κ διαφορετικά δείγματα μεγέθους n το καθ ένα ( δηλαδή είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μεγέθους του δείγματος n ) δίνεται απο τον παρακάτω πίνακα ( Cochran ). n _ x x x _ n n n x x x x x x x Εάν συμβολίσουμε με την δειγματική μέση τιμή στην συστηματική δειγματοληψία και αν N Kτότε ισχύουν τα εξείς θεωρήματα. Θεώρημα Η είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής μ του πληθυσμού

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Επιλογή δείγματος Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφική

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα