ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ"

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 3. Γενικά 3. Βασικά στάδια μιας δειγματοληψίας 4.3 Εκτιμητής και κανονική κατανομή 7.4 Απόκλιση και μέσο τετραγωνικό σφάλμα ενός εκτιμητή 8.5 Μέθοδοι δειγματοληψίας 0.5. Δειγματοληψίες με πιθανότητες.5.. Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ).5.. Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία Συστηματική Τυχαία Δειγματοληψία 6 Βιβλιογραφία 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 3. Το μοντέλο της παλινδρόμησης 3. Προσδιορισμός των συντελεστών α και β της ευθείας παλινδρόμησης 33.3 Διασπορές των μεταβλητών Χ και Y και συντελεστής συσχέτισης 35.4 Παραβολική παλινδρόμηση 36.5 Εφαρμογή της εκθετικής παλινδρόμησης 37.6 Πολλαπλή παλινδρόμηση 38.7 Μελέτη της ευθείας παλινδρόμησης 39.8 Ο συντελεστής προσδιορισμού r και ο συντελεστής συσχέτισης r. Έλεγχοι 44 για μεγάλα δείγματα για τον r Βιβλιογραφία 46 KΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΥΡΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Η έννοια της απόστασης Αναλυση σε κύριες συνιστώσες Στάδια της εφαρμογής της μεθόδου Τυποποίηση του αρχικού πίνακα δεδομένων Δημιουργία του πίνακα συσχετίσεων Έυρεση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα 55 συσχετίσεων

2 3...4 Υπολογισμός του ποσοστού αδράνειας (διασποράς) του νέφους των 55 σημείων στον κάθε έναν από τους νέους παραγοντικούς άξονες Υπολογισμός των συντεταγμένων των σημείων στους νέους άξονες 56 Βιβλιογραφία 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΗΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗΣ 58 (Clusterng Methods) 4. Γενικά Κατηγορίες μεθόδων ομαδοποίησης Οι ΙΕΡΑΡΧΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Η μέθοδος του πλησιέστερου γειτονικού σημείου Η εύκαμπτη μέθοδος των Lance και Wllams Oι ΜΗ ΙΕΡΑΡΧΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ομαδοποίησης Η μέθοδος ομαδοποίησης γύρω από κινητά κέντρα (K-Means method) 67 Βιβλιογραφία 7

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Γενικά Στην Στατιστική, η έννοια του πληθυσμού δεν έχει σχέση με την έννοια του πληθυσμού ανθρώπων που θεωρούμε στην καθημερινή ζωή. Έτσι, η έννοια του πληθυσμού αναφέρεται σε κάποιο πλήθος δεδομένων που μπορούν να ενταχθούν σε ποσοτικές ή ποιοτικές κατηγορίες. Τα δεδομένα αυτά μπορεί να είναι μετρήσεις μεγεθών όπως ημερομίσθια, μήκη πραγμάτων ή ποσοτητες υλικών ακόμα και ποσοτητες φυσικών μεγεθών όπως π.χ η θερμοκρασία, κατηγορίες γεγονότων ή ακόμη και εννοιών όπως η απόδοση φοιτητών στα μαθήματα χωρίς βαθμό π.χ Απορριπτέος, Μέτριος, Καλός, Πολύ Καλός, Άριστος ή και η προτίμηση ψηφοφορών πρός τα διάφορα κόμματα. Σύμφωνα με τις παραπάνω μετρήσεις ή παρατηρήσεις, δημιουργούμε τις μεταβλητές οι οποίες σε κάθε δεδομένο (άτομο ή στοιχείο) αντιστοιχούν σε μία τιμή [βιβλιογρ. 5]. Οι μεταβλητές αυτές λέγονται ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ, το σύνολο των ατόμων ή στοιχείων (ή στατιστικών μονάδων [βιβλιογρ. 4] επάνω στις οποίες αντιστοιχούν οι τιμές των τυχαίων μεταβλητών λέγεται ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ. Το πλήθος των στοιχείων του πληθυσμού είναι το μέγεθος του πληθυσμού. Ωστόσο, λόγω του μεγάλου μεγέθους του πληθυσμού που μελετάμε και το κόστος καταγραφής των τιμών που πάιρνει μία Τ.Μ., σ όλα τα στοιχεία ενός πληθυσμού, μελετάμε δείγματα του πληθυσμού. ΔΕΙΓΜΑ είναι ένα υποσύνολο ενός πληθυσμού. Επειδη ο σκοπός της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που έχουν βασιστεί σε δείγματα αλλά που αφορούν όλο τον πληθυσμό που μελετάμε, πρωταρχικό ρόλο παίζουν τα αντιπροσωπευτικά δείγματα ενός πληθυσμου. ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΟ είναι το δείγμα ενός πληθυσμού όταν τα συμπεράσματα που βγάζουμε απο το δείγμα αυτό είναι με πολυ μικρή προσέγγιση τα ίδια που θα βγάζαμε εάν μελετούσαμε ολόκληρο τον πληθυσμό. Κατα συνέπεια, το ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΟ δείγμα έχει σύσταση και δομή όμοια και ανάλογη σε μικρότερο πλήθος μ αυτές του πληθυσμού.

4 Ένα δείγμα λέγεται ΑΜΕΡΌΛΗΠΤΌ ή ΤΥΧΑΙΟ, εάν κάθε άτομα του πληθυσμού, στον οποίο ανήκει το δείγμα έχει ακριβός την ίδια πιθανότητα να περιλαμβάνεται σ αυτό το δείγμα.[βιβλιογρ. ]. Βασικά στάδια μιας δειγματοληψίας [βιβλιογρ.] Α) Σκοπός της δειγματοληψίας. Εάν ο ( ή οι ) σκοπός για τον οποίο γίνεται η δειγματοληψία δεν είναι τελείως συγκεκριμένος υπάρχει κίνδυνος σημαντικής αποκλίσεως απο αυτόν μετά το τέλος της δειγματοληψίας. Β) Σαφής καθορισμός του πληθυσμού από τον οποίο εκλέγονται τα δείγματα. Είναι πολύ σημαντικό σε κάθε δειγματοληψία να πούμε με βεβαιότητα εάν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στον πληθυσμό που μελετάμε. Αυτό προϋποθέτει αυστηρό καθορισμό των χαρακτηριστικών, των στοιχείων του πληθυσμού που θέλουμε να μελετήσουμε, πριν φτάσουμε στην δειγματοληψία. Έτσι, για έναν πληθυσμό από κάποιο απλό μηχανικό εξάρτημα ενός αυτοκινήτου π.χ. δεν θα υπάρξει δυσκολία. Αντίθετα πρέπει να ορίσουμε με ακρίβεια τα πλάισια στα οποία ανήκει η πολυκατοικία ώστε να μπορούμε να την κατατάξουμε σε κάποιο δείγμα ή όχι, σε μία συγκεκριμένη δειγματοληψία κάποιου τύπου κτιρίων που χαρακτηρίσαμε σαν πολυκατοικίες. Γ) Ακριβής συλλογή των απαραιτήτων δεδομένων Λιγότερα, περισσότερα, άχρηστα ή ασαφή δεδομένα κατά την διάρκεια της δειγματοληψίας δίνουν λανθασμένα αποτελέσματα. Δ) Προσδιορισμός της ακρίβειας των αποτελεσμάτων.

5 Επειδή πρόκειται για δειγματοληψία, τα συμπεράσματα υπόκεινται πάντα σε κάποιο ποσοστό σφάλματος. Το σφάλμα αυτό μειώνεται εάν χρησιμοποιηθούν μεγαλύτερα δείγματα ή και ακριβέστερα όργανα καταγραφής ( μέτρησης ). Ωστόσο, ο από την αρχή προσδιορισμός του μεγέθους του πιθανού σφάλματος προσδιορίζει σαφέστερα τα αποτελέσματα. Ε) Μέθοδοι και ακρίβεια των μετρήσεων Τα ερωτηματολόγια πρέπει να είναι καθολικά και ομοιόμορφα και προσεκτικά ελεγμένα μετα την συμπλήρωση τους. Σε μετρήσεις με όργανα, πρέπει να υπάρχει έλεγχος της καλής λειτουργίας και την αξιοπιστίας τους. Και στις δύο περιπτώσεις, οι μετρήσεις πρέπει να καταγράφονται σε Η/Υ μεγάλης ισχύος ώστε, με το κατάλληλο λογισμικό, να είναι δυνατή η επεξεργασία τους. ΣΤ ) Το πλάισιο δειγματοληψίας Απαραίτητη προϋπόθεση για την εκλογή ενός δείγματος, είναι ο διαχωρισμός του πληθυσμού σε μονάδες ή άτομα από τα οποία θα αποτελείται και το δείγμα. Πολλές φορές, τυχαίνει τα άτομα αυτά να είναι καθορισμένα σαν μονάδες - οντότητες αλλά αρκετα συχνά είναι αναγκαίο να προσδιοριστούν απο τον σκοπό της δειγματοληψίας. Έτσι, για παράδειγμα, στην περίπτωση γεωργικών ιδιοκτησιών πρέπει να καθοριστούν η έκταση, η δυνατότητα και η χρήση της ιδιοκτησίας, ο αριθμός των ιδιοκτητών και ίσως άλλα χαρακτηριστικά χρήσιμα στόν καθορισμό της γεωργικής ιδιοκτησίας σαν μονάδα δειγματοληψίας. Ζ) Η εκλογή του δείγματος Ο τρόπος εκλογής του δείγματος καθώς και ο προσδιορισμός του μεγέθους του θα καθορίσουν και τα αποτελεσματά μιάς δειγματοληψίας. Ωστόσο, σε μία δειγματοληψία, πρέπει να λαμβάνεται υπ όψη ο χρόνος και το απαιτούμενο ποσο χρημάτων για την διεκπεραίωση της.

6 Η) Προκαταρτική δειγματοληψία Μία εικονική και σε μικρό μέγεθος του πληθυσμού προκαταρτική δειγματοληψία δείχνει ατέλειες που πιθανά θα δημιουργήσουν πρόβλημα εάν δεν ληφθούν υπ όψη. Τέτοιες μπορεί να είναι ασαφείς μετρήσεις ή πολυ ψηλότερο από το εκτιμητέο κόστος. Θ) Οργάνωση κατά την διάρκεια της δειγματοληψίας Ο κατά μικρά χρονικά διαστήματα και συνεχής έλεγχος της συλλογής των δειγμάτων καθ όλη την διάρκεια της δειγματοληψίας είναι απαραίτητος, όπως επίσης και η αντιμετώπιση της αδυναμίας λήψης δείγματος (ή αδυναμίας συγκέντρωσης ερωτηματολογίων). Τέλος, η κατά τον ταχύτερο και ακριβέστερο τρόπο συνεργασία των εργαζομένων για μια δειγματοληψία βοηθά πολύ στην σωστή διεξαγωγή της. Ι) Συγκέντρωση και ανάλυση δεδομένων Αν και σήμερα (997) είναι πολύ δύσκολό οι εργαζόμενοι σε μία δειγματοληψία να καταγράφουν τα δείγματα σε ηλεκτρονικά μέσα (δισκέττες ή CD ηλεκτρονικών υπολογιστών) που επικοινωνούν μεταξύ τους μέσω κάποιου ηλεκτρονικού δικτύου (π.χ. INTERNET). Στο μέλλον, είναι πολύ πιθανό, να συμβεί αυτό, αλλά σήμερα θα πρέπει να συγκεντρώνονται τα δεδομένα, να ελέγχονται τα ερωτηματολόγια ή οι μετρήσεις, να καταγράφονται σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές με προσοχή και να επεξεργάζονται από ειδικούς επιστήμονες με την βοήθεια του κατάλληλου λογισμικού που εκτός απο άλλες πληροφορίες σίγουρα θα πρέπει να μας δίνει και το ποσοστό λάθους για τους εκτιμητές των πιο αντιπροσωπευτικών μεθόδων του πληθυσμού.

7 ΙΑ) Πληροφορίες για μελλοντικές δειγματοληψίες Λάθη στην όλη διαδικασία και πιθανά προβλήματα οδηγούν στην αποφυγή τους σε μια παρόμοια μελλοντική διαδικασία. Συμπεράσματα για το μέγεθος του δείγματος και για τους εκτιμητές μεγεθών του πληθυσμού είναι οδηγοί για μια σωστότερη δειγματοληψία..3 Εκτιμητες και κανονικη κατανομή Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε με δειγματοληψία την μέση τιμή του πληθυσμού μ. Αποφασίζουμε να πάρουμε μια σειρά δειγμάτων στό κάθε ένα από τα οποία υπολογίζουμε την μέση τιμή του έστω μ Έτσι, δημιουργείται μια κατανομή των δειγματοληπτικών μέσων τιμών μ των δειγμάτων που πήραμε. Η μέση τιμή του κάθε δείγματος αποτελεί έναν εκτιμητή της μέσης τιμής του πληθυσμού. Η καλύτερή προσέγγισή της μέσης τιμής του πληθυσμού είναι εάν βρούμε την μέση τιμή της κατανομής των δειγματοληπτικών μέσων. Ένας εκτιμητής μ της μέσης τιμής μ του πληθυσμού λέγεται αμερόληπτος, εάν η μέση τιμή του που προκύπτει απο όλα τα δυνατά δείγματα του πληθυσμού ισούται με την μέση τιμη του πληθυσμού. [βιβλιογρ. 5] Εάν το κάθε δείγμα απο τα n συνολικά δείγματα έχει πιθανότητα να εκλεγεί απο τον πληθυσμό, τότε η μαθηματική ελπίδα του αμερόληπτου εκτιμητή θα είναι αν δε όλα τα δείγματα είναι ισοπίθανα να εκλεγούν μεταξύ τους δηλ. τότε n Όταν τα δείγματα είναι αρκετά μεγάλα σε μέγεθος και αρκετά σε πλήθος τότε η κατανομή των εκτιμητών που προκύπτει απο αυτά ειναι προσεγγιστικά κανονική.

8 Σύμφωνα μ αυτό το απόλυτο σφάλμα της εκτίμησης της μέσης τιμής του πληθυσμού απο τον δειγματικό μέσο ( με διακύμανση ) έχει πιθανότητα: 0,68 να μην υπερβαίνει την τιμή της 0,95 να μην υπερβαίνει τιμή, 96 0,99 να μην υπερβαίνει τιμή, 58.4 Απόκλιση και μέσο τετραγωνικό σφάλμα ενός εκτιμητή [βιβλιογρ. ] Έστω ότι ο δειγματικός μέσος κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή m και μια απόκλιση K m απο τον πραγματικο μέσο του πληθυσμού, τον οποίο αγνοούμε και συνεπώς αγνοούμε και την ύπαρξη της απόκλισης Κ του πληθυσμού. Υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση απο την μέση τιμή m Πιθανότητα 0,4 Κατανομή της Τ.Μ. μ Με μέση τιμή m και τυπική απόκλιση σ 0,3 0,,96σ,96σ 0, μ Α -σ -σ μ 0 Β σ σ

9 Σύμφωνα με την κανονική κατανομή, και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει απόκλιση της μέσης τιμής m που θεωρούμε, απο την πραγματική μέση τιμή του πληθυσμού, θεωρούμε ότι η πιθανότητα το μέγεθος να ξεπερνά την τιμή,966 είναι ίση με 0,05. Η πιθανότητα αυτή είναι στην δεξιά πλευρά της κατανομής και υπολογίζεται απο το εμβαδόν που εκφράζει το ολοκλήρωμα e, 966 m d Τυποποιόντας την μεταβλητή θέτουμε m t m t d dt. Έτσι το κάτω όριο της ολοκλήρωσης γίνεται, 966 m m, 96 αλλά καθώς έχουμε την απόκλιση K m πιθανότητα (δηλ. το εμβαδόν) είναι ίση με το τελευταίο ισούται με, 96 K και έτσι, η t t e dt e dt K K, 96, 96 Στην αριστερή πλευρά της κατανομής, η αντίστοιχη πιθανότητα είναι K, 96 e t dt Ο Cochran, [] παραθέτει έναν πίνακα στο βιβλίο του Samplng Technques που δίνει την πιθανότητα λάθους που αντιστοιχεί σε στάθμη σημαντικότητας 0,05 καθώς ο λόγος K αυξάνει. Μέρος του πίνακα αυτού είναι: Πιθανότητα Λάθους K/σ <-.96 σ >.96 σ Συνολική

10 Θεωρώντας, τώρα ότι η μέση τιμή του εκτιμητή είναι m και άρα m 0, και ότι η απόκλιση της εκτιμούμενης μέσης τιμής απο την πραγματική τιμή του πληθυσμού είναι m, ορίζεται σαν μέτρο σύγκρισης εκτιμητών το Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα του εκτιμητή που είναι: M. S. E. m m m m m m.5 Μέθοδοι δειγματοληψίας Οι μέθοδοι δειγματοληψίας χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες. ) Δειγματοληψίες με πιθανότητα ) Κατευθυνόμενες ή δειγματοληψίες σκοπιμοτητας Εδώ, θα ασχοληθούμε πιο αναλυτικά με την πρώτη κατηγορία και θα αναφερθούμε συνοπτικά στα γενικά χαρακτηριστικά κάθε μεθόδου της δεύτερης. Οι δειγματοληψίες με πιθανότητα προτιμούνται για τους παρακάτω λόγους: ) Δεν υπόκεινται σε υποκειμενικά κριτήρια ) Σ αυτές, είναι δυνατόν, να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον εκτιμητη που χρησιμοποιείται 3) Αυξανομένου του μεγέθους του δείγματος αυξάνουν το παρεχόμενο ποσο της πληροφορίας. [ Φαρμάκης ]. Αντίθετα, στις κατευθυνόμενες δειγματοληψίες, οι επιλογές των στοιχείων των δειγμάτων γίνεται σύμφωνα με τις αντιλήψεις των μελετητών. Προτιμούνται όταν υπάρχει σαφής γνώση του πληθυσμού και όταν απαιτείται η εκλογή μικρού μεγέθους δειγματών. Επιπλέον πολλές απο αυτές έχουν σημαντικά μικρότερο κόστος από τις δειγματοληψίες με πιθανότητα.

11 .5. Δειγματοληψίες με πιθανότητες.5.. Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ) [Smple Random Samplng] Προϋποθέσεις. Κάθε δείγμα μεγέθους n έχει την ίδια πιθανότητα να εκλεγεί με οποιοδήποτε άλλο δείγμα ίδίου μεγέθους. Κάθε στοιχείο του ενεργού πληθυσμού, έχει την ίδια πιθανότητα να εκλεγεί στο δείγμα που λαμβάνεται απο τον πληθυσμό αυτό. Πιθανότητα Εκλογής Δειγματος Μεγέθους n H πιθανότητα επιλογής του πρώτου στοιχείου δείγματος μεγέθους n απο τον πληθυσμό μεγέθους Ν είναι.του δευτέρου στοιχείου και εφ όσον ξέρουμε ότι το πρώτο έχει επιλεγεί και άρα έχουν μείνει η- στοιχεία για την συμπλήρωση του δείγματος και Ν- στοιχεία του πληθυσμού είναι -μελές δείγμα η πιθανότητα εκλογής του θα ήταν πιθανότητα εκλογής του είναι. Άρα, για παράδειγμα, για ένα! =!!!, ενώ για ένα n-μελές η!!

12 Τρόπος Εκλογής Δείγματος Μεγέθους n A. Η Μέθοδος της Κάλπης ( Παλία Μέθοδος ) [βιβλιογρ. 4] ο Βήμα Αριθμούμε, χωρίς παραλήψεις ή επαναλήψεις, τα Ν στοιχεία του πληθυσμού απο έως Ν ο Βήμα Δημιουργούμε και αριθμούμε Ν κλήρους ή Ν μπαλάκια τα οποία τοποθετούμε σε μία κάλπη 3ο Βήμα Τραβάμε από την κάλπη τόσους κλήρους όσους και το μέγεθος του δείγματος δηλαδή n 4ο Βήμα Αφού σημειώσουμε την αρίθμηση που είχαν οι κλήροι που επιλέχτηκαν απο την κάλπη, βρίσκουμε και ελέγχουμε απο τον πληθυσμό τα άτομα που έχουν την ίδια αρίθμηση με τους n κλήρους. Η μέθοδος αυτή επειδή είναι ιδιαιτέρα δύσχρηστη και έχει εγκαταλειφθεί, εκτός απο ειδικές περιπτώσεις τυχερών παιγνιδιών ( λόττο, λαχεία κ.τ.λ ). Β. Μέθοδος των Τυχαίων Αριθμών με την Βοήθεια Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Σήμερα, οι αξιόπιστοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές τσέπης (κομπιουτεράκια) καθώς και τα προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών (PC s) που χρησιμοποιούν τυχαίους αριθμούς είναι εφοδιασμένοι με υποπρογράμματα (Functons ή Subroutnes) παραγωγής ψευδοτυχαίων αριθμών (πλήκτρα ή προγράμματα που η ονομασία τους περιέχει μέρος ή ολόκληρη την λέξη random). Έτσι, ο χρήστης έχει στην διάθεση του πίνακες τυχαίων αριθμών για την εκλογή τυχαίου δείγματος βάσει των πινάκων αυτών, και ακολούθει την διαδικασία που περιγράφεται παρακάτω.

13 Γ. Μέθοδος Επιλογής των Στοιχείων του Δείγματος Βάσει του Πίνακα των Τυχαίων αριθμών. Οι πίνακες των τυχαίων αριθμών, είναι πίνακες των μονοψηφίων ακεραίων αριθμών 0 έως 9 όπου ο κάθε ένας απο αυτούς έχει την ίδια πιθανότητα επιλογής με τους υπόλοιπους. Παρακάτω παραθέτουμε μέρος ένος πίνακα τυχαίων αριθμών που δίνει ο Cochran στο βιβλίο του [] Samplng Methods, είναι μονοψήφιοι αριθμοί τοποθετημένοι σε ομάδες απο 5 γραμμές και 5 στήλες και το σύνολο του πίνακα περιέχει 0 γραμμές και 50 στήλες. Η διαδικασία επιλογής τυχαίου δείγματος με την βοήθεια του πίνακα τυχαίων αριθμών περιγράφεται με το παρακάτω παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να επιλέξουμε ένα δεκαμελές δείγμα απο μία ομογενή περιοχή που αποτελείται απο 00 pxels ( pxel: στοιχειώδες κομμάτι εικόνας ) σε μία δορυφορική εικόνα που είναι σε ψηφιακή μορφή. Κάθε pxel έχει μια τιμή απο 0 έως 55 και η δορυφορική εικόνα απεικονίζει κάποια περιοχή. ο Βήμα

14 Αριθμούμε τα ( pxels ) στοιχεία όλου του πληθυσμού μας που στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι το σύνολο των Ν=00 pxels και σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα. Πληθυσμός 00 ραδιομετρικών τιμών μιας ομογενούς περιοχής ως προς την κάλυψη εδάφους μιας περιοχής (Ν=00) ο Βήμα Εκλέγουμε στην τύχη αριθμούς (για τον συγκεκριμένο πίνακα απο έως 0 και απο έως 50, γενικά απο εώς του αριθμού των γραμμών και από το έως τον αριθμό των στηλών) π.χ. 7,36 και βρίσκουμε τον τυχαίο αριθμό του πίνακα που αντιστοιχεί στην γραμμή 7 και στήν στήλη 36, είναι ο αριθμός. Επίσης, σημειώνουμε τον αριθμό των ψηφίων που έχει το πλήθος του πληθυσμού μας, εδώ Κ=3. 3ο Βήμα Ακολουθούμε την γραμμή ή την στήλη που κατέχει ο τριψήφιος αριθμός που με πρώτο ψηφίο το, που βρήκαμε στο ο βήμα εδώ για παράδειγμα ο 48 και συνεχίζοντας κάθετα ή οριζόντια, διαλέγουμε όλους τους τριψήφιους αριθμούς που

15 βρίσκονται μεταξύ και 00 (ουσιαστικά εκτός από το 00 όλους όσους έχουν για πρώτο ψηφίο 0) Παρατηρούμε ότι, η μέθοδος αυτή έχει ΜΕΓΑΛΟ ΠΟΣΟΣΤΟ ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Γι αυτό, στην περίπτωση που ο Ν είναι Κ-ψήφιος και μικρότερος απο 0 όπως εδώ που είναι , εφαρμόζουμε διάφορες μεθόδους για να μειώσουμε το μεγάλο ποσοστό απόρριψης εάν βέβαια 0 ακολουθούμε την αρχική διαδικασία του 3ο βήματος. η μέθοδος Χωρίζουμε όσο το δυνατόν με μικρότερη απώλεια το διάστημα 0 (εδώ ) σε ίσα διαστήματα (εδώ ανά 00), ακολουθώντας όπως και 3 πρίν την διαδικασία έως το βήμα 3 δεν απορρίπτουμε τους τριψήφιους >00 αλλά: Αφαιρούμε 00 απο τους αριθμούς μεταξύ 0 και 00 Αφαιρούμε 00 απο τους αριθμούς μεταξύ 0 και 300 Αφαιρούμε 300 απο τους αριθμούς μεταξύ 30 και 400 Αφαιρούμε 900 απο τους αριθμούς μεταξύ 90 και 999 Σημειώνουμε τους 0 πρώτους αριθμούς που προκύπτουν και είναι μεταξύ 0 και 0 και που θα αποτελέσουν τους αύξοντες αριθμούς των στοιχείων του δείγματος που θα εκλεγεί απο τον πληθυσμό μας (Ν=00) η μέθοδος Διαλέγουμε τόσους αριθμούς όσους το δείγμα (εδώ 0) κατά στήλη ή σειρά σύμφωνα με το 3ο βήμα. Όσοι αριθμοί είναι >00 τους διαιρούμε με 00 και στην θέση τους, κρατάμε το υπόλοιπό της διαίρεσης. 4ο Βήμα Εάν Ν=37 θα αρχίζαμε από το 0 απορρίπτοντας τους ενδιάμεσους από το 38 έως το 00

16 Από τον πληθυσμό μας, επιλέγουμε τους αριθμούς που έχουν αριθμηθεί σύμφωνα με τους 0 τυχαίους αριθμούς που εκλέξαμε στο 3ο βήμα. Εφαρμογή: μέθοδοι στο παράδειγμα του πλήθυσμού των 00 ραδιομετρικών τιμών Άσκηση Να εφαρμοστεί η η μέθοδος του 3ου βήματος για Ν=45 και 0-μελές δείγμα και να βρεθεί το ποσοστό απόρριψης στον πίνακα των τυχαίων αριθμών και να σιγκριθεί με το θεωρητικό ποσοστό απόρριψης της μεθόδου. [Cochran, σελ 0] Θεώρημα Η δειγματική μέση τιμή μ είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητης της μέσης τιμής του πληθυσμού. Απόδειξη: Έχουμε () έστω,,, οι μονάδες του πληθυσμού που ανήκουν στο τυχόν δείγμα μεγέθους n Έτσι, η σχέση (): όπου τα διάφορα j μπορεί να συμπίπτουν μεταξύ τους. Έτσι, για να βρεθεί το παραπάνω άθροισμα, πρέπει να βρούμε για κάθε μονάδα του πληθυσμού, σε πόσα δείγματα μπορεί να ανήκει. Το βρίσκουμε με τον παρακάτω συλλογισμό:

17 Παίρνουμε μια μονάδα του πληθυσμού και την τοποθετούμε για να σχηματίσουμε ένα τυχόν δείγμα μεγεθούς n. Επειδή οι μονάδες που μένουν απο τον πληθυσμό είναι Ν- και οι μονάδες που μένουν για να συμπληρώσουμε το δείγμα n- υπάρχουν δυνατοί συνδυασμοί για να συμπληρώθει το δείγμα. Άρα, κάθε μονάδα του πληθυσμού* μπορεί να ανήκει σε δείγματα και το κάθε στοιχείο j στο παραπάνω άθροισμα εμφανίζεταί φορές. Άρα η () γράφεται: =!!!!!!!!!!!! = όπου οι άνω δείκτες των j διαγράφηκαν λόγο σύμπτωσης. Παρακάτω, αναφέρουμε χωρίς απόδειξη μερικά σημαντικά θεωρήματα στην ΑΤΔ Θεώρημα Η διακύμανση της δειγματικής μέσης τιμής στην ΑΤΔ είναι: Var όπου σ η διακύμανση του πληθυσμού. Θεώρημα 3 Η διακύμανση του δείγματος S είναι αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης του πληθυσμού

18 S Σημείωση Γνωρίζουμε από την βασική Στατιστική ότι, για ένα δείγμα μεγέθους n απο ΑΠΕΙΡΟ πληθυσμό, η διακύμανση της δειγματικής μέσης τιμής είναι Το θεώρημα που αναφέρεται σε πληθυσμό μεγέθους Ν, διαφέρει λίγο στο παραπάνω αποτέλεσμα, δηλ. κατά τον πολλαπλασιαστικό παράγοντα Όταν λοιπόν ο λόγος είναι πολύ μικρός, το μέγεθος του πληθυσμού δεν παίζει ουσιαστικό ρόλο στόν υπολογισμό της διακύμανσης (της δειγματικής μέσης τιμής) του δείγματος. Θεώρημα 4 Η διακύμανση του εκτιμητή του συνολικού αριθμού του πληθυσμού είναι: Πόρισμα Var Το μέγεθός είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του αθροίσματος των στοιχείων του πληθυσμού Απόδειξη E N N E N N N N N

19 Πόρισμα Από το θεώρημα και απο το θεώρημα 4 αμέσως προκύπτει ότι, η διακύμανση του συνολικού πληθυσμού είναι δειγματικής μέσης τιμής δηλ. Var Var φορές η διακύμανση της.5.. Στρωματοποιημένη τυχαία δειγματοληψία (Startfed Random Samplng) (Σ.Τ.Δ.) Γενικά Στην γενική της μορφή, η Σ.Τ.Δ. αποτελείται από επιμέρους Α.Τ.Δ. σε διάφορα στρώματα που εμφανίζει ένας πληθυσμός. Μία βασική ένδειξη για τη χρήση της Σ.Τ.Δ είναι ο υπό μελέτη πληθυσμός να εμφανίζεται σαν την ένωση επιμέρους πληθυσμών δηλ. όπου Π ο συνολικός πληθυσμός και Πι, ι=,,...,κ οι επιμέρους υποπληθυσμοί οι οποίοι είναι ξένοι μεταξύ τoυς και στο σύνολο τους αποτελούν τον συνολικό πληθυσμό. ( Stratum ) j, j Εάν τα μεγέθη των ν υποπληθυσμών ( στρωμάτων ) αυτών είναι και του συνολικού πληθυσμού Ν τότε:,, k k k N ( ) Μόλις προσδιοριστούν τα συγκεκριμένα αυτά στρώματα (υποπληθυσμοί) του συνολικού πληθυσμού, εκλέγεται χωριστά σε κάθε στρώμα ένα δείγμα μεγέθους,,, k. Επειδή ακριβώς η εκλογή καθε δείγματος σε κάθε στρώμα γίνεται με Α.Τ.Δ γι αυτό και η δειγματοληψία αυτή λέγεται Σ.Τυχαία.Δ. Η Σ.Τ.Δ χρησιμοποιείται όταν:. Απαιτείται ο διαχωρισμός του μελετουμενου πληθυσμού σε στρώματα διαφορετικών μεγεθών τα οποία έχουν δημιουργηθεί για άλους λόγους απο

20 την δειγματοληψία π.χ. Η μελέτη του μέσου όρου κατανάλωσης ενός προιόντος σ έναν νομό της χώρας μπορεί να γίνει ανά κοινότητα η οποία διοικητική μονάδα χωρισμού και στην Σ.Τ.Δ μπορεί να αποτελέσει το στρώμα.. Υπάρχει προκαθορισμένη ετερογένεια ενός πληθυσμού μεταξύ υποπληθυσμών απο τους οποίους φαίνεται να αποτελείται και οι οποίοι στο εσωτερικό τους είναι ομογενείς. 3. Υπάρχει ανάγκη εκτιμήσεων στατιστικών μεγεθών συγκεκριμένων στρωμάτων του πληθυσμού, π.χ. για την τάξη των δημοσίων υπαλλήλων σ ένα συγκεκριμένο μεγάλο νησί της χώρας. Εάν θεωρήσουμε Χ την Τ.Μ. που μελετάμε ορίζουμε τα παρακάτω μεγέθη. Ν: μέγεθος πληθυσμού. N,=,,3...k: μέγεθος ( υποπληθυσμού ) στρώματος. Κ: πλήθος στρώματων του πληθυσμού. N : μέγεθος δείγματος στρώματος Ν. X j : j-οστή τιμή της Τ.Μ.Χ στο δείγμα του στρώματος Ν. B = = : ποσοστό βάρους του στρώματος Ν ως πρός τον συνολικό πληθυσμό. : ποσοστό βάρους του μεγέθους του δείγματος n του στρώματος Ν ως πρός το μέγεθος n του συνολικού δείγματος. =n: Μέγεθος συνολικού δείγματος. j j : Μέση τιμή της Τ.Μ X j στο στρώμα Ν j j N j N : Μέση τιμή δείγματός n j στό στό στρώμα Ν : Διακύμανση της Τ.Μ X j στο στρώμα Ν

21 Η μέση τιμή του πληθυσμού μ μπορεί να εκτιμηθεί με ειδών εκτιμητές [7]. Τον αναλογικό εκτιμητή ο οποίος εκτιμά ουσιαστικά την ανά στρώμα μέση τιμή του πληθυσμού και είναι K N j N K N. Τον γενικό εκτιμητή της μέσης τιμής του πληθυσμού μ που είναι ο δειγματικός μέσος N j K () K K (3) Παρατηρήσεις η. Υπάρχει σύμπτωση του αναλογικού με τον γενικό εκτιμητη όταν ισχύει η ισότητα: N (4) δηλαδή σύμφωνα με την τελευταία ισότητα όταν η αναλογία του μεγέθους του δείγματος ως προς το μέγεθος του στρώματος που ανήκει, είναι ίδια σε κάθε στρώμα και ίση με N. η. το αντίστοιχο δείγμα με την Α.Τ.Δ. στην Σ.Τ.Δ. είναι αυτό που προκύπτει απο την συνένωση των επι μέρους δειγμάτων K n κέθε στρώματος και έχει μέγεθος Το κύριο φυσικά ερώτημα που τίθεται στην Σ.Τ.Δ. είναι πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το μέγεθος του συνολικού δείγματος που είναι συνάρτηση του πόσο μεγάλα πρέπει να είναι τα δείγματα μεγεθών n σε κάθε στρώμα;

22 Την απάντηση εν μέρει στο παραπάνω ερώτημα δίνει η σχέση (4) που μας ορίζει απο την αρχή της δειγματοληψίας τον λόγο λογό N εφ όσον είναι καθορισμένα τα στρώματα N ). ( που έιναι ίσος με τον σταθερό Αλλά πάλι, πρέπει να καθοριστεί το μέγεθος n η καθ ένα απο τα n. Σαν παράδειγμα, έστω ότι έχουμε έναν πληθυσμό Ν=000 και έστω ότι το τέταρτο στρώμα του πληθυσμού έχει μέγεθος N Έτσι έχουμε 0 4 πράγμα που μπορεί να σημαίνει ότι 4 5 και 50 ή ότι 4 0 και 00 ή οτιδήποτε αριθμοί διατηρούν την αναλογία αυτή. Άρα, ο εκ των προτέρων προσδιορισμός του μεγέθους του συνολικού δείγματος n προσδιορίζει και τα εκάστοτε μεγεθη καθενός απο τα μερικά δείγματα n. Παρακάτω αναφέρουμε μερικά θεωρήματα της Σ.Τ.Δ. χωρίς απόδειξη. Θεώρημα Εάν για κάθε στρώμα του πληθυσμού N η μέση δειγματική τιμή είναι αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής του στώματος Ν δηλαδή της, τότε ο αναλογικός εκτιμητής είναι αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής του πληθυσμού μ. Λόγο σχετικής ευκολίας, αναφέρουμε παρακάτω την απόδειξη του θεωρήματος Η μέση τιμή μ του πληθυσμού είναι K N j j N K N N γιατί η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χj στο στρώμα είναι (5) N j N j

23 οπότε η (5) γράφεται K και επειδή δεχθήκαμε ότι η μέση δειγματική τιμή είναι αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής του στρώματος Ν δηλαδή θα έχουμε K K Θεώρημα Για μία ανεξάρτητη εκλογή δειγμάτων στα διάφορα στρώματα και αν ισχύει το Θεωρ. τότε όπου Var Var στρώματος. Var K Var η ανά στρώμα διακύμανση του αναλογικού εκτιμητή η διακύμανση της δειγματικής μέσης τιμής σε διάφορα δείγματα του ίδιου και Θεώρημα 3 Στην Σ.Τ.Δ. η διακύμανση του εκτιμητή είναι: K K Var α) Εάν 0 β) Εάν N τότε Var K ( ) τότε Var ( ) N γ) Εάν η δειγματοληψία είναι αναλογική και η διακύμανση όλων των στρωμάτων ίσες μεταξύ τους π.χ. k τότε K Var N Θεώρημα 4

24 Η διακύμανση Var του εκτιμητή του πληθυσμού του συνολικού αριθμού των ατόμων του πληθυσμού είναι: Var N N Var K Για να δούμε καλύτερα την διαφορά των εκτιμητών μεταξύ Α.Τ.Δ. και Σ.Τ.Δ. ο Cochran [βιβλιογρ. ] παραθέτει το πιο κάτω παράδειγμα: Ο παρακάτω πίνακας, δείχνει το 930, τον αριθμό των κατοίκων σε χιλιάδες από 64 μεγάλες πόλεις των Η.Π.Α. Το σύνολο χωρίστηκε σε στρώματα, το πρώτο με 6 μεγάλες πόλεις και το δεύτερο με τις υπόλοιπές 48. Από ένα δείγμα 4 πόλεων θα εκτιμηθεί ο συνολικός πληθυσμός των 64 πόλεων. Ζητείται να βρεθεί η τυπική απόκλιση του συνολικού πληθυσμού (η Τ.Μ του παραδείγματος) α) Με Α.Τ.Δ. β) Με Σ.Τ.Δ.με αναλογικό εκτιμητή και, γ) Με Σ.Τ.Δ. που το δείγμα αποτελείται απο πόλεις απο κάθε στρώμα. Για όλον τον πληθυσμό, το 930 βρέθηκε, ο συνολικός πληθυσμός N 9586 και η διακύμανση 5448 Οι εκτιμητές για τις τρείς περιπτώσεις που ζητούνται θα συμβολίζονται αντίστοιχα με,,. 3

25 Στρώμα Στρώμα ) Με Α.Τ.Δ. N N 4 64 Var ) Με Σ.Τ.Δ Οι διακυμάνσεις των δύο στρωμάτων είναι : και 5584 (τύπος σελ για κάθε στρώμα) Επειδή για την μέθοδο των αναλογικών εκτιμητών πρέπει: N N είναι Ν=64, 4, και N, N 48. Οπότε τα 4 6 ομοίως: , Από το Πόρισμα της Α.Τ.Δ. και την προυπόθεση ) έχουμε ότι Var N Var Var N N άρα υπολογίζονται ως εξής: N (θεωρημα 3 σελ

26 N N N 60 4 N N N N , Var 37, και 3) Εάν χρησιμοποιώντας το θεώρημα 4 έχουμε: Var 3 N N N N N , και Τελικά παρατηρούμε ότι: Συστηματική δειγματοληψία [Systematc Samplng] ( Σ.Δ.) Η εκλογή δείγματος είναι ευκολότερη, ταχύτερη και με μικρότερη πιθανότητα σφάλματος απο εκείνη της τυχαίας δειγματοληψίας. Ειδικά, όταν η Σ.Δ διενεργείται σε κάποιο χωρικό πλαίσιο όπως δειγματοληψίες εδάφους χρήσης γης ή πληθυσμιακές στον χώρο είναι πιο εύκολη απο την Τ.Δ λόγω της χωρικής περιοδικότητας των στοιχείων εκλογής του δείγματος. Έστω ότι έχουμε να εκλέξουμε ένα δείγμα n στοιχείων απο έναν πληθυσμό Ν στοιχείων αριθμημένων απο έως Ν. Για να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο και να πιάνει όλον τον πληθυσμό, το δείγμα αρκεί να χωρίσουμε τον πλήθυσμό σε n υποσύνολα κάθε ένα απο τα οποία θα περιέχει Κ=Ν/n στοιχεία. Εάν Κ: ακέραιος, τότε δημιουργούνται πλήρεις ομάδες απο Κ στοιχεία και όλα τα δυνατά δείγματα που έχουν ένα στοιχείο απο κάθε ομάδα είναι μεγέθους n.

27 Εάν N Kόπου K N, με N το ακέραιο μέρος οτυ αριθμού Ν/n, δημιουργούμε πάλι n ομάδες απο τις οποίες η n-οστή είναι ελλιπής. Κατά συνέπεια, μερικά από τα δείγματα θα περιέχουν n- στοιχεία, άρα έχουμε κάποια ομοιογένεια ως προς το μέγεθος των δειγμάτων. Η ανομοιογένεια αυτή εξαλείφεται σύμφωνα με τον κυκλικό νομό που περιγράφεται παρακάτω στο ο παράδειγμα. ο Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε να εκλέξουμε δείγματα n=5 ατόμων απο έναν πληθυσμό N=35 ατόμων έχουμε K N των 7 ατόμων σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα: άρα ο πληθυσμός θα χωριστεί σε 5 ομάδες Δείγμα Δείγμα Δείγμα 3 Δείγμα 4 Δείγμα 5 Δείγμα 6 Δείγμα 7 Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Παρατηρούμε ότι, ο δυνατός αριθμός των δειγμάτων είναι ίσος με τον αριθμό τον ατόμων κάθε ομάδας που δημιουργήθηκε. ο Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε πάλι να εκλέξουμε δείγματα n=5 απο έναν πληθυσμο Ν=3 ατόμων, εδώ βλέπουμε ότι N , 4 και και K δημιουργούμε πάλι 5 ομάδες των 7 ατόμων εκ των οποίων η 5η είναι ελλιπής. 6 7 άρα, Για να βρούμε πόσα απο αυτά θα είναι άρτια (με 5 στοιχεία), βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ν=3 με το Κ=7 δηλ. N 47 4, άρα 4. Το υπόλοιπο

28 της αφαίρεσης του 4 από το Κ=7 μας δίνει τον αριθμό των ελλειπτικών δειγμάτων. Αυτά φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Δείγμα Δείγμα Δείγμα 3 Δείγμα 4 Δείγμα 5 Δείγμα 6 Δείγμα 7 Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Ομάδα Το σημαντικότερο βέβαια στην παραπάνω περίπτωση που το μέγεθος του πληθυσμού δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μεγέθους του πληθυσμού των δειγμάτων που θέλουμε, είναι η συμπλήρωση των ελλιπών δειγμάτων. Μία μέθοδος που προτείνεται για την λύση του προβλήματος αυτού είναι: Εκλέγουμε έναν τυχαίο αριθμό απο το έως Ν. Με αφετηρία τον αριθμό αυτό και βήμα ίσο με Κ επιλέγουμε n αριθμούς απο τους Ν, τοποθετημένους σε κύκλο έτσι ώστε ο επόμενος του Ν να είναι ο. Δηλαδή στο συγκεκριμένο παράδειγμα εάν εκλεγεί τυχαία ο αριθμός 9 τότε το 5-μελές δείγμα μας θα είναι: 9,, 7,, 7 Η γενίκευση του πίνακα του πρώτου παραδείγματος στην περίπτωση που ο πληθυσμός N K μπορεί να χωριστεί σε Κ διαφορετικά δείγματα μεγέθους n το καθ ένα ( δηλαδή είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μεγέθους του δείγματος n ) δίνεται απο τον παρακάτω πίνακα ( Cochran ). n _ x x x _ n n n x x x x x x x Εάν συμβολίσουμε με την δειγματική μέση τιμή στην συστηματική δειγματοληψία και αν N Kτότε ισχύουν τα εξείς θεωρήματα. Θεώρημα Η είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής μ του πληθυσμού

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Επιλογή δείγματος Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. Ματσάγκος Ιωάννης-Μαθηματικός

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. Ματσάγκος Ιωάννης-Μαθηματικός 1 ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ -Είναι γνωστό, ότι στη Στατιστική, όταν χρησιμοποιούμε τον όρο πληθυσμός, δηλώνουμε, το σύνολο των ατόμων ή αντικειμένων, στα οποία αναφέρονται οι παρατηρήσεις μας Τα στοιχεία του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου Σχηματική παρουσίαση της ερευνητικής διαδικασίας ΣΚΟΠΟΣ-ΣΤΟΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ερευνητικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα