ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
|
|
- Λαφιδὼθ Ήφαιστος Γιαννακόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko ima godina, matematičar je odgovorio: Ako od broja mojih godina oduzmeš 5, zatim dobiveni broj podijeliš s 5, te od toga opet oduzmeš 5 dobit ćeš broj 5. Koliko godina ima taj matematičar?. Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva. 3. Natjecatelj 4. razreda pohvalio se prijatelju da je riješio 009 zadataka pripremajući se za natjecanje. Rješavao je računske zadatke, geometrijske zadatke, pričice i zagonetke. Računskih je riješio 3 puta više od svih ostalih i još jedan. Zagonetki je riješio toliko koliko je pričica i geometrijskih riješio zajedno. Geometrija mu nije baš omiljena pa je geometrijskih riješio za 101 manje nego pričica. Izračunaj koliko je ovaj natjecatelj riješio računskih zadataka, koliko geometrijskih, koliko zagonetki i koliko pričica? 4. Napiši sve troznamenkaste brojeve kojima je umnožak znamenaka 54. Koliko ima takvih brojeva? 5. Duljina jedne stranice pravokutnika je dva puta veća od druge stranice. Rastavi pravokutnik na dijelove od kojih možeš sastaviti kvadrat. Objasni postupak! Svaki se zadatak boduje s 10 bodova. Nije dozvoljena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika.
2 ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODO- VATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Zadatak rješavamo unatrag. Kako smo od nepoznatog broja prvo oduzeli 5, zatim dobiveni broj podijelili s 5, te naposlijetku još oduzeli 5, suprotnim računskim operacijama doći ćemo do traženog broja. Zadnji dobiveni broj bio je 5. Dodamo li tom broju broj 5, dobivamo = 10. Nadalje, pomnožimo li broj 10 s 5, dobivamo 10 5 = 50. Konačno, dodamo li broju 50 broj 5, dobivamo = 55, pa matematičar ima 55 godina.. Zadatak rješavamo Gaussovom dosjetkom. Neparni dvoznamenkasti prirodni brojevi su 11, 13, 15, 17,..., 99. Ukupno ih je 5 9 = 45. Grupiramo ih u parove: prvi i zadnji, drugi i predzadnji,..., pri čemu srednji broj 55 ostaje bez para. Kako imamo para, imamo redom = ( ) + ( ) ( ) + 55 = = = = BODOVA 3. Ukupan broj riješenih zadataka je 009. Kako je učenik riješio tri puta više računskih zadataka i još jedan, u odnosu na preostale, zaključujemo da je učenik zajedno riješio (009 1) : 4 = 008 : 4 = 50 preostala zadatka. Prema tome, broj računskih zadataka je = = Nadalje, kako je učenik riješio zagonetki isto koliko pričica i geometrijskih zajedno, slijedi da je riješio 50 : = 51 zagonetku. Prema tome, učenik je zajedno riješio 51 pričicu i geometrijski zadatak. Kako je geometrijskih riješio za 101 manje, zaključujemo da je geometrijskih riješio (51 101) : = 150 : = 75. Konačno, broj riješenih pričica je = Kako je 54 = 3 3 3, broj 54 možemo na tri načina zapisati u obliku umnoška triju jednoznamenkastih brojeva: 55 = 1 6 9, 55 = 3 9, 55 = Ako je 55 = 1 6 9, imamo brojeve 169, 196, 619, 691, 916, 961. Ako je 55 = 3 9, imamo brojeve 39, 93, 39, 39, 93, 93. Ako je 55 = 3 3 6, imamo brojeve 336, 363, 633. Dakle, ukupno je = 15 troznamenkastih brojeva čiji je umnožak znamenaka jednak
3 Pravokutnik podijelimo na dva jednaka kvadrata, a zatim svaki kvadrat na dva jednaka trokuta. Na takav način dobivamo četiri jednaka pravokutna trokuta (A, B, C, D). Dva trokuta zadržimo u pravokutniku, a preostala dva premjestimo na drugu stranu (A, D ), tako da tvore kvadrat. 8 BODOVA
4 MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 5. razred osnovna škola 1. Koliko ima paralelograma na slici? Obrazloži odgovor.. Pomoću znamenaka 0 i 5 napiši sve deseteroznamenkaste brojeve koji su djeljivi s 9. Koliko ima takvih brojeva? 3. S kojim jednoznamenkastim brojevima je djeljiv zbroj prvih 009 brojeva? 4. Voćke su zasadene tako da je u svakom redu 15 voćaka. Kada bi u voćnjaku bilo 6 redova manje, a u svakom redu 5 voćaka više, onda bi u cijelom voćnjaku bilo ukupno 10 voćaka više. Koliko je redova voćaka zasadeno? 5. Zadan je kvadrat ABCD duljine stranice 9 cm. Kvadrat je presavijen, kao na slici, tako da vrh B pada u točku E koja je polovište stranice CD. Na takav su način odredena tri trokuta i to: CEF, EDG i GAH. Koliki je zbroj opsega tih triju trokuta? Svaki se zadatak boduje s 10 bodova. Nije dozvoljena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika.
5 ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 5. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODO- VATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Možemo promatrati paralelograme koji su sastavljeni od dva trokuta, od četiri trokuta i cijeli lik. Paralelograma sastavljenih od dva trokuta ima 8. Paralelograma sastavljenih od četiri trokuta ima 4. Cijeli lik je paralelogram. Dakle, na slici je = 13 paralelograma.. Zbroj znamenaka bilo kojeg deseteroznamenkastog broja sastavljenog od znamenaka 0 i 5 je višekratnik broja 5. Nadalje, kako tražimo brojeve koji su djeljivi s 9, zbroj znamenaka mora biti djeljiv s 9. Kako su brojevi 5 i 9 relativno prosti, slijedi da traženi brojevi moraju imati točno devet petica i jednu nulu. Tada je zbroj znamenaka jednak 9 5 = 45. Nula ne može biti na prvom mjestu pa imamo brojeve: , , , , , , , , BODOVA Dakle, ukupno je 9 brojeva koji zadovoljavaju uvjete zadatka Zbroj prvih 009 brojeva jednak je = = BODA Rastavimo dobiveni umnožak na faktore: = (7 7 41) (3 5 67) = BODA Dakle, jednoznamenkasti brojevi s kojima je djeljiv zbroj prvih 009 prirodnih brojeva su 1, 3, 5, Neka je x broj redova voćaka u voćnjaku. Tada je u voćnjaku 15 x voćaka. Kada bi u voćnjaku bilo 6 redova manje, a u svakom redu 5 voćaka više, u voćnjaku bi bilo 0 (x 6) = 0 x 10 = 15 x + (5 x 10) voćaka. Dakle, brojevi voćaka se razlikuju za 5 x 10, a prema uvjetu zadatka ta je razlika jednaka 10. Dakle, 5 x 10 = 10, pa je 5 x = 130, odakle je x = 130 : 5 = 6. Dakle, zasadeno je 6 redova voćaka. 4 BODA 5. Vratimo kvadrat ABCD u prvobitni oblik, te označimo na njemu sve vrhove uočenih trokuta. Označimo točku G dvaput, jednom na stranici AD (G), a jednom na stranici AB (G ). Napravimo isto i s točkom E. Uočimo kako je svaka od stranica triju trokuta CEF, EDG i GAH sadržana u nekoj stranici kvadrata ABCD, te da sve te stranice zajedno pokrivaju sve stranice kvadrata. Zbog toga je zbroj opsega trokuta CEF, EDG i GAH jednak opsegu kvadrata, odnosno jednak je 4 9 = 36 cm. 5 BODOVA
6 MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 6. razred osnovna škola 1. Pripremajući se za atletsko natjecanje, Niko je prvog dana pretrčao km, drugog dana km više od prvog, trećeg dana 4 km manje od drugog, a četvrtog dana 5km manje 15 od prvog i trećeg dana zajedno. Koliko je ukupno kilometara pretrčao Niko?. Martin ima odredeni broj žutih i plavih kuglica. Od ukupnog broja kuglica, 3 je žutih, 7 a ostale su plave. Kada bi Martin dobio još dvije žute kuglice, a izgubio šest plavih kuglica, imao bi jednak broj žutih i plavih kuglica. Koliko Martin ima žutih, a koliko plavih kuglica? 3. Koliko ima troznamenkastih brojeva djeljivih s 18 kojima je zbroj znamenaka 18? 4. Zadan je trokut ABC. Neka je M polovište stranice BC, N polovište stranice AB te neka su dužine AM i CN medusobno okomite. Izračunaj površinu trokuta ABC ako je AT = cm, CN = 3 cm, pri čemu je T sjecište dužina AM i CN. 5. Simetrale kutova povučenih iz vrhova A i B, trokuta ABC, sijeku se pod kutom od 10. Visina i simetrala kuta iz vrha C zatvaraju kut od 10. Odredi kutove trokuta ABC. Svaki se zadatak boduje s 10 bodova. Nije dozvoljena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika.
7 ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 6. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODO- VATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Niko je prvog dana pretrčao 13 km. 3 Drugog dana je pretrčao = = = 89 km Trećeg dana Niko je pretrčao = = 17 km. 3 Četvrtog dana je pretrčao = 30 5 = 10 5 = 5 km. 3 Dakle, Niko je ukupno pretrčao = 15 + = = = 014 km. 15. Ako s x označimo ukupan broj kuglica, tada je 3 7 x žutih i 4 x plavih. 7 Ukoliko Martin dobije dvije žute kuglice te izgubi šest plavih kuglica, on ima jednak broj žutih i plavih kuglica, pa vrijedi jednadžba 3 7 x + = 4 7 x 6. Dalje je 4 7 x 3 7 x = + 6, tj. 1 x = 8, odakle je x = Prema tome, Martin je na početku imao = 4 žute i 4 56 = 3 plave kuglice Neka je abc troznamenkasti broj za koji je a + b + c = 18. Ako je broj djeljiv s 18, onda je djeljiv s i 9. Očito, svaki takav broj abc je djeljiv s 9, pa mora biti paran, tj. c {0,, 4, 6, 8}. Ako je c = 0, onda je a + b = 18, odakle dobivamo broj 990. Ako je c =, onda je a + b = 16, odakle dobivamo brojeve 97, 88, 79. Ako je c = 4, onda je a + b = 14, odakle dobivamo brojeve 954, 864, 774, 684, 594. Ako je c = 6, onda je a + b = 1, odakle dobivamo brojeve 936, 846, 756, 666, 576, 486, 396. Ako je c = 8, onda je a + b = 10, odakle dobivamo brojeve 918, 88, 738, 648, 558, 468, 378, 88, 198. Dakle, ukupno je = 5 brojeva. 4. Promotrimo trokute ANC i NBC. Oni imaju zajedničku visinu, povučenu iz vrha C. Nadalje, kako je N polovište stranice AB, slijedi da je AN = NB. Dakle, trokuti ANC i NBC imaju jednake površine, pa je površina trokuta ABC dva puta veća od površine trokuta ANC tj. P (ABC) = P (ANC). Nadalje, kako su dužine AM i CN okomite, slijedi da je AT visina trokuta ANC s obzirom na CN.
8 CN AT Zbog toga je P (ANC) = = 3 = 3 cm. Konačno, za površinu trokuta ABC vrijedi P (ABC) = P (ANC) = 3 = 6 cm 5. Neka su α, β, γ redom kutovi pri vrhovima A, B, C. Nadalje, neka je D nožište visine iz vrha C, E sjecište simetrale kuta γ sa stranicom AB, te neka je F sjecište simetrala kutova α i β. Iz trokuta ABF imamo da je α + β + 10 = 180 α, tj. + β = 60. Zbog toga je α + β = 10, pa je γ = = 60. Nadalje, kako je <) ECA = γ = 30 slijedi da je <) DCA = <) ECA <) ECD = = 0, zato jer simetrala i visina iz vrha C zatvaraju kut od 10. Stoga, iz pravokutnog trokuta ADC imamo da je α = 180 ( ) = 70. Na kraju je β = 180 (α + γ) = 180 ( ) = 50.
9 MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 7. razred osnovna škola 1. Koliko dijagonala ima pravilni mnogokut kojemu se veličine unutarnjeg i vanjskog kuta odnose kao 3 :?. Zadani su cijeli brojevi a i b. Ako je zbroj tih dvaju brojeva jednak 100, može li biti 8a + 3b = 009? Obrazloži odgovor! 3. Riješi jednadžbu = 1 x U jednakokračnom trapezu ABCD dijagonale su medusobno okomite i duljina visine jednaka je 8 mm. Izračunaj površinu trapeza ABCD. 5. U kutiji se nalazi kuglica označenih brojevima od 1 do Na svakoj kuglici napisan je po jedan broj i svaki broj pojavljuje se točno jedanput. Izvlačimo jednu kuglicu. Kolika je vjerojatnost da je na njoj broj s različitim znamenkama koji je djeljiv s 5? Svaki se zadatak boduje s 10 bodova. Nije dozvoljena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika.
10 ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 7. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODO- VATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Neka je α unutarnji te α vanjski kut pravilnog mnogokuta. Znamo da je α + α = 180. Prema uvjetu zadatka je α : α = 3 : pa je α = 3k i α = k. Stoga je 3k + k = 180, tj. 5k = 180, odakle je k = 36. Prema tome, α = 3k = 108. S druge strane, kako je zbroj unutarnjih kutova n terokuta jednak (n ) 180, (n ) 180 slijedi da je α =. n Prema tome, vrijedi jednadžba (n ) 180 = 108, n odakle je n = 108 n 180 = 3, tj. redom 5(n ) = 3n, n = 10, pa je n = 5. 5 n(n 3) Konačno, broj dijagonala pravilnog peterokuta jednak je d = = 5 = 5.. Kako je a + b = 100, slijedi da je 8a + 3b = 3(a + b) + 5b = b = b. 5 BODOVA Nadalje, prema uvjetu zadatka je b = 009, odakle je 5b = Očito ne postoji cijeli broj b takav da je 5b = 1709, jer je lijeva strana posljednje jednakosti djeljiva s 5, a desna nije. NAPOMENA: Učenik takoder može riješiti posljednju linearnu jednadžbu i zaključiti da njeno rješenje nije cijeli broj. 3. U ovom zadatku koristimo Gaussovu dosjetku. Izračunajmo prvo nazivnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe. Imamo da je = ( ) = = Izračunajmo sada brojnik razlomka na lijevoj strani, služeći se prethodnim rezultatom. Naime, vrijedi = ( ) ( ) = = = 1005 ( ) = Prema tome, zadana jednadžba je ekvivalentna jednadžbi odakle je = 1 x , 1 x = = = Dakle, rješenje dane jednadžbe je x =
11 4. Uvedimo oznake kao na slici: Kako je trapez ABCD jednakokračan, slijedi da je BC = AD i <) ABC = <) DAB. Nadalje, očito je AB zajednička stranica trokuta ABC i ABD, pa su oni sukladni prema poučku S K S. Iz te sukladnosti slijedi da je <) CAB = <) ABD, tj. <) SAB = <) ABS. Prema tome, trokut ABS je jednakokračan pravokutan pa je <) SAB = 45. Sada, neka je EF visina trapeza ABCD koja sadrži točku S, te neka je v 1 = ES i v = SF. Dakle, <) SAE = 45, <) AES = 90, pa je trokut AES jednakokračan pravokutan, što znači da je AE = ES. Kako je ES visina jednakokračnog trokuta ABS, slijedi da je AE = EB = a. To znači da je a = v 1. Analogno je c = v, pa je v = v 1 + v = a + c = a + c. Zbog toga je površina trapeza P (ABCD) = a + c v = v v = 8 8 = 784 mm. 5. Na kuglicama su brojevi b Prebrojat ćemo jednoznamenkaste, dvoznamenkaste, troznamenkaste, četveroznamenkaste i peteroznamenkaste brojeve koji zadovoljavaju uvjete zadataka. 1. Ako je 1 b 9, onda samo broj 5 zadovoljava uvjete, pa imamo 1 jednoznamenkasti broj.. Ako je 10 b 99 onda je b = x0 ili b = x5. Kako je x 0 i budući da su znamenke brojeva različite, brojeva prve vrste ima 9, a druge 8, pa imamo ukupno 17 dvoznamenkastih brojeva koji zadovoljavaju uvjete zadatka. 3. Ako je 100 b 999 onda je b = xy0 ili b = xy5. Brojeva prve vrste ima 9 8 = 7 zato jer znamenku stotica možemo odabrati na 9, a znamenku desetica na 8 načina. Nadalje, brojeva druge vrste ima 8 8 = 64 zato jer znamenku stotica možemo odabrati na 8 načina (sve osim 0 i 5), a znamenku desetica opet na 8 načina (sve osim 5 i odabrane znamenke stotica). Dakle, ukupno je = 136 troznamenkastih brojeva. 4. Ako je 1000 b 9999, onda je b = xyz0 ili b = xyz5. Sličnim zaključivanjem kao u prethodnom slučaju zaključujemo kako brojeva prve vrste ima = 504, a druge = 448 (opet prvo biramo tisućice, stotice pa desetice). Dakle, četveroznamenkastih brojeva ima = Očito broj b = ne zadovoljava uvjete zadatka. Prema tome, imamo = 1106 povoljnih dogadaja. Konačno, kako je je broj mogućih dogadaja 10000, slijedi da je tražena vjerojatnost p = = = 11.06%. NAPOMENA: Ukoliko je učenik točno riješio zadatak, dobiva sve bodove bilo da vjerojatnost napiše u obliku razlomka, decimalnog broja ili postotka.
12 MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. razred osnovna škola 1. Izračunaj vrijednost izraza 1 x + x x x + 1, ako je x = 1.. Ako je x + y + z x + 4y 6z + 14 = 0, koliko je x + y + z? 3. Predvorje hotela, oblika pravokutnika duljine 8 m i širine 15 m, popločeno je pločicama oblika pravokutnika čija je duljina dvaput veća od širine, te je širina pločice, izražena u centimetrima, prirodni broj. Pločice su smede, bijele i crne boje te je bijelih 7 puta više od crnih, smedih 6 puta više od bijelih i broj crnih je veći od 80, a manji od 160. Terasa hotela oblika kvadrata popločena je pločicama oblika pravokutnika čija je duljina 4 5 širine, a širina jednaka širini pločica iz predvorja. Pločice su istih boja i jednakih odnosa izmedu broja pojedinih kao i u predvorju hotela. Ako je broj crnih pločica na terasi 3 broja crnih 4 pločica u predvorju, kolika je duljina terase? 4. Nad dužinom AC konstruirani su s različitih strana pravokutni trokuti ABC i ACD. Izračunaj površinu četverokuta ABCD ako je AB = BC i AD + DC = 1 cm. 5. Zadani su medusobno okomiti pravci p i t koji se sijeku u točki S. Na pravcu p odabrana je točka E takva da je ES = 6, a na pravcu t različite točke F i H takve da je F S = HS = 3. Odredi površinu dijela ravnine kojeg omeduju kružnica s promjerom EF i kružnica s promjerom HE. Svaki se zadatak boduje s 10 bodova. Nije dozvoljena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika.
13 ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODO- VATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. 1. Uočimo kako u nazivnicima imamo redom kvadrat zbroja i kvadrat razlike. Zbog toga, za x = 1 dobivamo: 1 x + x x x + 1 = 1 (x + 1) 1 (x 1) = 1 ( ) 1 ( ) = Nadalje, racionalizacijom nazivnika u prvom razlomku lagano dobivamo traženu vrijednost: 5 BODOVA = = (4 ) 1 = = = = BODOVA. Transformirajmo ponajprije zadanu jednadžbu x + y + z x + 4y 6z + 14 = 0. Primjenom formula za kvadrat zbroja i razlike imamo redom: x + y + z x + 4y 6z + 14 = x x y + 4y z 6z = (x 1) + (y + ) + (z 3) = (x 1) + (y + ) + (z 3), pa je dana jednadžba ekvivalentna jednadžbi (x 1) + (y + ) + (z 3) = 0. 5 BODOVA Kako je zbroj kvadrata triju brojeva jednak nuli, zaključujemo da su svi oni jednaki nuli. Preciznije, x 1 = 0, y + = 0, z 3 = 0, odakle je x = 1, y =, z = 3. Zbog toga je x + y + z = =. 3. Neka su a, b, c redom broj smedih, bijelih i crnih pločica u predvorju, te a 1, b 1, c 1 na terasi. Nadalje, neka je d širina pločice u predvorju. Tada je d duljina pločice u predvorju, d širina pločice na terasi i 4 d duljina pločice na terasi. 5 1 Takoder je b = 7c, b 1 = 7c 1, a = 6b, a 1 = 6b 1. Ukupan broj pločica u predvorju je a + b + c = 6b + b + c = 7b + c = 7 7c + c = 50c, a površina jedne pločice u predvorju je d d = d, pa vrijedi (50c) (d ) = cm, odnosno c d d = Kako je d N, imamo sljedeću tablicu: BOD c d S obzirom da je 80 < c < 160, vrijedi c = 10 cm, d = 10 cm. Dalje je c 1 = 3 4 c = 90, b 1 = 7c 1 = 630, a 1 = 6b 1 = 3780, pa je ukupan broj pločica na terasi a 1 + b 1 + c 1 = Površina jedne pločice na terasi je d 4 5 d = 80 cm. Konačno, neka je t duljina terase. Tada je t = = , odakle je t = 600 cm. Dakle, duljina terase je t = 600 cm, odnosno 6 m.
14 4. Neka je AD = b, DC = a i AB = BC = x. Primjenom Pitagorinog poučka na trokute ABC i ACD dobivamo: a + b = AC i x = AC. Izjednačavanjem tih dviju relacija dobivamo da je a + b = x. Nadalje, kako je a + b = 1, kvadriranjem dobivamo da je a + ab + b = 144, odakle je a + b = 144 ab. Zbog toga je 144 ab = x, odakle je ab + x = 7. S druge strane, površina četverokuta ABCD jednaka je zbroju površina dvaju pravokutnih trokuta ABC i ACD, pa je Konačno, iz dobivenih formula slijedi P (ABCD) = P (ACD) + P (ABC) = ab + x ab + x =. ab + x P (ABCD) = = 7 = 36 cm. 5. Kako je trokut EF S pravokutan, prema obratu Talesovog poučka, točka S se nalazi na kružnici s promjerom EF. Analogno je točka S na kružnici s promjerom HE. Neka je točka O polovište dužine EF. Očito, točka O je središte kružnice s promjerom EF te je OS = OE = OF. Primjenom Pitagorinog poučka na trokut EF S slijedi da je EF = ES + F S = ( 6) + (3 ) = = 4, odakle je EF = 6. Zbog toga je OS = OE = 6. Kako je ES = 6, slijedi da je trokut OSE jednakostraničan, pa je <) EOS = 60. Površina P 1 kružnog isječka sa središnjim kutom <) EOS je P 1 = 1 6 ( 6) π = π, a površina P jednakostraničnog trokuta OSE je P = ( 6) 3 = Zbog simetričnosti s ( obzirom na pravac p, za traženu površinu P vrijedi P = (P 1 P ). Dakle, vrijedi P = π 3 ) 3 = π 3 3.
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 007. 1. Izračunaj:
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 25. siječnja 2008.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 25. siječnja
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007. Zadatak
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. siječnja 007.. U brojevnom
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραMINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I SPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I SPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja 2016. 4. razred-osnovna
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 3.travnja-5.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, travnja-5travnja 07 5 razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότεραMINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO
4. razred-osnovna škola 1. Umjesto zvjezdica upiši odgovarajuće znamenke i obrazloži. * * 8 5 * * 5 5 * 0 + 4 * * 5 * * * * * 2. U jednoj auto-radionici u jednom mjesecu popravljena su 44 vozila i to motocikli
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnja 009. UPUTE: Na poledini
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 27. siječnja 2014.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 7. siječnja 014. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραKut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
Διαβάστε περισσότεραLjetno kolo 2017./2018.
Ljetno kolo 217./218. ŠKOLA EKIPA KATEGORIJA POVJERENIK NATJECANJA C3 R. IME I PREZIME UČENIKA RAZRED IME I PREZIME MENTORA 1. 2. 3.. ODGOVORI: 1. 11. 26. 2. 12. 27. 3. 13. 28.. 1. 29. 5. 15. 3. 6. 16.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραJesensko kolo 2017./2018.
MAT liga 07./08.. kolo.0.07. Jesensko kolo 07./08. ŠKOLA EKIPA KATEGORIJA POVJERENIK NATJECANJA D R. IME I PREZIME UČENIKA RAZRED IME I PREZIME MENTORA.... ODGOVORI: 5. razred 6. razred 7. razred 8. razred
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα