ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Ονόματα: Russell και Kripke

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Ονόματα: Russell και Kripke"

Transcript

1 1 ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Ονόματα: Russell και Kripke Ι. Η άποψη του Russell για τα ονόματα: Όταν ο Russell μιλούσε για ονόματα, χρησιμοποιούσε δύο έννοιες: μιλούσε για λογικά ονόματα και για συνήθη ονόματα. (Με τη λέξη «ονόματα» εννοεί άλλοτε τα μεν και άλλοτε τα δε.) Μια έκφραση είναι λογικό όνομα εάνν είναι απλό σύμβολο (δηλαδή τα μέρη της δεν έχουν γλωσσική σημασία) και «αναφέρεται άμεσα σε κάτι» (δηλ. ο ρόλος της στη γλώσσα συνίσταται απλώς στο ότι αναφέρεται σε κάποιο συγκεκριμένο πράγμα). Ο Russell επιχειρηματολόγησε ότι τα συνήθη ονόματα, μολονότι κατά κανόνα είναι απλά σύμβολα, δεν είναι λογικά ονόματα, αλλά συντομογραφίες οριστικών περιγραφών. (Οι οριστ. περιγραφές δεν αναφέρονται άμεσα σε κάτι. Αν αναφέρονταν άμεσα σε κάτι, τότε οποιεσδήποτε οριστ. περιγραφές με την ίδια αναφορά θα είχαν τον ίδιο ρόλο στη γλώσσα κι επομένως θα ήταν συνώνυμες.) Επίσης έλεγε ότι τα συνήθη ονόματα είναι μεταμφιεσμένες οριστ. περιγραφές. Δυσκολευόταν να βρει παραδείγματα λογικών ονομάτων. Τι εννοούσε όταν έλεγε ότι τα συνήθη ονόματα είναι συντομογραφίες οριστ. περιγραφών; Οπωσδήποτε πίστευε ότι μπορεί το ίδιο όνομα να συντομογραφεί διαφορετικές περιγραφές σε διαφορετικές περιπτώσεις. Νομίζω ότι η ορθή ερμηνεία του Russell είναι η εξής: κατ αυτόν, όποτε ένας ομιλητής χρησιμοποιεί στο λόγο του κάποιο όνομα, η σκέψη που έχει στο νου του θα μπορούσε να εκφραστεί πιο διεξοδικά χρησιμοποιώντας μια οριστ. περιγραφή, αλλά πάντως το κοινό στοιχείο των περιπτώσεων στις οποίες το όνομα χρησιμοποιείται σωστά είναι η αναφορά και όχι κάποια περιγραφή. Όμως συχνά ο Russell ερμηνεύεται αλλιώς: θεωρείται ότι, κατ αυτόν, ένα σύνηθες όνομα έχει στην κοινή γλώσσα (π.χ. τα ελληνικά) τη σημασία κάποιας οριστ. περιγραφής ή τις σημασίες περισσότερων οριστ. περιγραφών, οπότε το όνομα είναι πολύσημο (έχει πολλές σημασίες στην ίδια γλώσσα). Σύμφωνα με την πρώτη ερμηνεία, η θέση του Russell αφορά το τι εννοεί ένας ομιλητής όταν χρησιμοποιεί κάποιο όνομα. Σύμφωνα με τη δεύτερη ερμηνεία, η θέση του Russell αφορά το τι σημαίνει ένα όνομα σύμφωνα με τις συμβάσεις της ελληνικής (ή άλλης) γλώσσας. Ο Kripke π.χ. ερμηνεύει το Russell με το δεύτερο τρόπο. ΙΙ. Δύο επιχειρήματα με τα οποία υποστηρίζει ο Russell την άποψη ότι τα συνήθη ονόματα είναι συντομογραφίες οριστ. περιγραφών: (α) Αν το «α» είναι λογικό όνομα, τότε οι προτάσεις (1) Το α δεν υπάρχει (2) Το α υπάρχει στερούνται σημασίας. Όμως, αν πάρουμε π.χ. το όνομα «Όμηρος», οι προτάσεις «Ο Όμηρος δεν υπήρξε» και «Ο Όμηρος υπήρξε» έχουν σημασία. Συνεπώς, το «Όμηρος» δεν είναι λογικό όνομα, άρα είναι συντομογραφία οριστ. περιγραφής. Το επιχείρημα αυτό χρειάζεται κάποια ερμηνεία για να γίνει κατανοητό. Νομίζω ότι ο Russell εννοεί περίπου τα εξής. Αν ο ρόλος του «α» στη γλώσσα συνίσταται στο ότι αναφέρεται σε κάποιο συγκεκριμένο πράγμα, τότε ο ρόλος του στη γλώσσα εγγυάται ότι όντως το όνομα αναφέρεται σε κάτι. Με άλλα λόγια, ο ρόλος του «α» στην γλώσσα εγγυάται ότι το α υπάρχει (όχι κατ ανάγκη στο παρόν). Αλλά, τότε, η μεν (1) είναι ένα είδος αντίφασης ή παραλογισμού, η δε (2) ένα είδος ταυτολογίας. Για μιαν αντίφαση

2 2 μπορούμε να πούμε ότι δεν βγάζει νόημα και μια ταυτολογία είναι, κατά κάποιο τρόπο, κενή περιεχομένου (ακριβέστερα, η πληροφορία την οποία εκφράζει έχει μηδαμινή αξία ως πληροφορία). Όμως οι αντίστοιχες προτάσεις με συνήθη ονόματα δεν είναι ούτε αντιφάσεις ούτε ταυτολογίες. Αξίζει να σημειωθεί πως ο Russell έβλεπε μόνο δύο δυνατότητες για ένα σύνηθες όνομα: θα είναι λογικό όνομα ή θα είναι συντομογραφία οριστ. περιγραφής. (β) Όταν ξέρουμε κάποιο πρόσωπο ή αντικείμενο, το ξέρουμε από γνωριμία (by acquaintance) ή από περιγραφή (by description). Το ξέρουμε από γνωριμία αν το ξέρουμε βάσει μιας «άμεσης γνωστικής σχέσης» το ξέρουμε από περιγραφή αν αυτό είναι το F (για κάποια περιγραφή «το F») και ξέρουμε ότι υπάρχει κάτι που είναι το F. Τα ιστορικά πρόσωπα τα ξέρουμε από περιγραφή κι όχι από γνωριμία άρα τα ονόματά τους τα χρησιμοποιούμε ως συντομογραφίες οριστ. περιγραφών κι όχι ως λογικά ονόματα. Αλλά και τα πρόσωπα που έχουμε συναντήσει και τα μέρη όπου έχουμε πάει τα ξέρουμε από περιγραφή κι όχι γνωριμία, επειδή ανάμεσα σε μας και σε αυτά μεσολαβούν τα δεδομένα των αισθήσεων (sense-data, αισθητηριακές παραστάσεις). Π.χ. την Αθήνα την ξέρω από περιγραφή, επειδή είναι η πόλη που αντιστοιχεί στις τάδε και τάδε αισθητηριακές μου παραστάσεις και ξέρω ότι υπάρχει κάτι που είναι η πόλη που αντιστοιχεί στις τάδε και τάδε αισθητηριακές παραστάσεις. Άρα ακόμα και το όνομα «Αθήνα» το χρησιμοποιώ ως συντομογραφία οριστ. περιγραφής. Πώς σας φαίνεται αυτό το επιχείρημα; ΙII. Η άποψη ότι τα ονόματα (δηλ. τα συνήθη ονόματα) είναι συνώνυμα με οριστ. περιγραφές (ότι δηλ. κάθε όνομα έχει, στην κοινή μας γλώσσα, τη σημασία μιας ή περισσότερων οριστ. περιγραφών) είναι ενδιαφέρουσα άποψη, άσχετα από το αν την υιοθετούσε ο Russell. Ταιριάζει ιδιαίτερα σε κάποια ονόματα (π.χ. «Ξανθίππη», «Αγία Άννα») το καθένα από τα οποία είναι καθιερωμένο να το εξηγούμε με μια συγκεκριμένη περιγραφή («η σύζυγος του Σωκράτη», «η μητέρα της Παναγίας»). Επίσης, αν έχουμε συμφωνήσει με το Frege πως τα ονόματα έχουν νόημα που είναι άλλο από την αναφορά τους, η άποψη εκείνη μάς επιτρέπει να δώσουμε μιαν απάντηση στο ερώτημα τι είδους νόημα έχει ένα όνομα: έχει το νόημα μιας οριστ. περιγραφής. Η άποψη ότι τα ονόματα είναι συνώνυμα με οριστ. περιγραφές αποτελεί το αντίθετο όσων πίστευε για αυτά ο Mill. Γιατί, κατ αυτόν, τα ονόματα είναι σαν απλές ετικέτες και δεν έχουν κανένα περιγραφικό περιεχόμενο. Επίσης, ακόμα κι αν οι Frege και Russell δεν υιοθετούσαν ακριβώς εκείνη την άποψη, είναι νομίζω σωστό να πούμε ότι υιοθετούσαν παραλλαγές της. Με ρασελιανή ορολογία, ο Mill πίστευε ότι τα συνήθη ονόματα είναι λογικά ονόματα. IV. Μερικές πληροφορίες για τον Kripke και το σημαντικότερο σχετικό έργο του, το Naming and Necessity. Πώς ο Kripke επιχειρηματολόγησε ενάντια στην άποψη ότι τα ονόματα είναι συνώνυμα με οριστ. περιγραφές: Ας πάρουμε το όνομα «Αριστοτέλης» και την περιγραφή «ο φιλόσοφος που δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο» κι ας συγκρίνουμε τις προτάσεις (3) Ο Αριστοτέλης δεν δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο (4) Ο φιλόσοφος που δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο δεν δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο. Η (3) είναι ψευδής, αλλά παρουσιάζει μια κατάσταση που είναι λογικά δυνατή αυτό που λέει η (3) θα μπορούσε να ίσχυε (αν η ιστορία είχε εξελιχθεί διαφορετικά). Η (4) παρουσιάζει μιαν αδύνατη, αντιφατική, κατάσταση αυτό που λέει δεν θα μπορούσε να

3 3 ίσχυε. Άρα οι (3) και (4) δεν είναι συνώνυμες, οπότε και το όνομα δεν είναι συνώνυμο με την περιγραφή. Αντίστοιχα επιχειρήματα δείχνουν ότι «Ξανθίππη» δεν σημαίνει «η σύζυγος του Σωκράτη» και «Αυγερινός» δεν σημαίνει «ο πλανήτης που ανατέλλει λίγο πριν από τον ήλιο». (Ίσως εδώ απαντήσει κανείς στον Kripke ότι η (4) είναι αμφίσημη ανάλογα με το αν το «δεν» βρίσκεται μέσα στην εμβέλεια της οριστ. περιγραφής ή η περιγραφή βρίσκεται μέσα στην εμβέλεια του «δεν», και ότι με τη δεύτερη σημασία της η (4) παρουσιάζει μια δυνατή κατάσταση. Πράγματι, αν θεωρήσουμε ότι η περιγραφή βρίσκεται μέσα στην εμβέλεια του «δεν», τότε σύμφωνα με τη θεωρία του Russell για τις οριστ. περιγραφές η (4) παρουσιάζει μια δυνατή κατάσταση θα ήταν αληθής αν δεν υπήρχε φιλόσοφος που να δίδασκε το Μ. Αλέξανδρο ή αν υπήρχαν πολλοί. Όμως αυτό δεν αναιρεί το επιχείρημα του Kripke. Γιατί μπορούμε να το εφαρμόσουμε στις (3) και (4) ερμηνευμένες έτσι που η εμβέλεια του «δεν», και στις δύο, να περιορίζεται στο «δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο»: «Ο Αριστοτέλης είναι κάποιος που δεν δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο», «Ο φιλόσοφος που δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο είναι κάποιος που δεν δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο».) Μια πιο ρεαλιστική εκδοχή της άποψης ότι τα ονόματα είναι συνώνυμα με οριστ. περιγραφές θα έλεγε ότι το «Αριστοτέλης» είναι συνώνυμο με την περιγραφή «ο άνθρωπος που έχει όλα ή τουλάχιστον τα περισσότερα από τα γνωρίσματα γ», όπου γ είναι τα γνωρίσματα που συνήθως αποδίδονται στον Αριστοτέλη (ότι ήταν μαθητής του Πλάτωνα, ότι δίδαξε το Μ. Αλέξανδρο κλπ.). Τέτοια ήταν η άποψη του J. Searle. Αλλά και πάλι, ας συγκρίνουμε τις προτάσεις (5) Ο Αριστοτέλης στερείται τα περισσότερα από τα γνωρίσματα γ (6) Ο άνθρωπος που έχει όλα ή τουλάχιστον τα περισσότερα από τα γνωρίσματα γ στερείται τα περισσότερα από τα γνωρίσματα γ. Η κατάσταση που παρουσιάζεται στην (6) είναι λογικά αδύνατη, ενώ εκείνη που παρουσιάζεται στην (5) είναι λογικά δυνατή: θα μπορούσε ο Αριστοτέλης να πέρναγε μια πολύ διαφορετική ζωή από αυτή που πέρασε στην πραγματικότητα (θα μπορούσε να γινόταν γιατρός στα Στάγειρα θα μπορούσε να είχε πεθάνει πριν από τα πρώτα του γενέθλια). Άρα οι (5) και (6) δεν είναι συνώνυμες, οπότε και το όνομα δεν είναι συνώνυμο με την περιγραφή. V. Ο Kripke επεσήμανε πως τα ονόματα είναι άκαμπτοι αναφορείς (rigid designators). Τι σημαίνει αυτό; Πρώτα απ όλα, χρειαζόμαστε την έννοια του δυνατού κόσμου. Ένας δυνατός κόσμος είναι μια δυνατή κατάσταση που αφορά το πώς θα μπορούσε να είναι η όλη πραγματικότητα. Μια δυνατή κατάσταση είναι μια κατάσταση που ισχύει ή τουλάχιστον θα μπορούσε να ίσχυε π.χ. το να είμαι φιλόσοφος, όπως και το να είμαι αρχαιολόγος, αποτελούν δυνατές καταστάσεις. Όμως δεν είναι κάθε δυνατή κατάσταση δυνατός κόσμος: μια δυνατή κατάσταση που αφορά μόνο ένα πράγμα, π.χ. να είμαι εγώ αρχαιολόγος, δεν αποτελεί δυνατό κόσμο, αλλά κοινή όψη διάφορων δυνατών κόσμων. Ένας δυνατός κόσμος είναι και ο πραγματικός. Εφόσον θα μπορούσε ο Αριστοτέλης να μη δίδασκε το Μ. Αλέξανδρο, λέμε ότι σε κάποιο δυνατό κόσμο (μάλιστα σε πολλούς τέτοιους κόσμους) ο Αριστοτέλης δεν διδάσκει το Μ. Αλέξανδρο. Γνωρίζουμε τη συνήθη έννοια της αναφοράς: ένα όνομα, ή άλλη γλωσσική έκφραση, αναφέρεται σε κάποιο πράγμα (ή πρόσωπο). Ας εισαγάγουμε τώρα την έννοια της αναφοράς ως προς δυν. κόσμους: ένα όνομα, ή άλλη έκφραση, α αναφέρεται ως προς ένα δυν. κόσμο κ σε κάποιο πράγμα χ. Για παράδειγμα, η οριστ. περιγραφή «ο πρώτος άνθρωπος που πατά στο φεγγάρι» αναφέρεται ως προς ένα δυν. κόσμο κ στο ον εκείνο

4 το οποίο στον κ είναι ο πρώτος άνθρωπος που πατά στο φεγγάρι κι αν δεν υπάρχει τέτοιο ον, τότε η περιγραφή δεν έχει αναφορά ως προς τον κ. Έτσι, ως προς τον πραγματικό κόσμο η περιγραφή αναφέρεται στον Armstrong. Αν όμως για κάποιον άλλο δυν. κόσμο δ, ο Γκαγκάριν είναι εκείνος ο οποίος, στον δ, είναι ο πρώτος άνθρωπος που πατά στο φεγγάρι, τότε ως προς τον δ η οριστ. περιγραφή αναφέρεται στον Γκαγκάριν. Και αν σε κάποιον άλλο δυν. κόσμο ε κανείς δεν πατά στο φεγγάρι, τότε η περιγραφή δεν έχει αναφορά ως προς τον ε. (Ο Γκαγκάριν ήταν Ρώσος και ήταν στην πραγματικότητα ο πρώτος αστροναύτης.) Παρομοίως, το όνομα «Κίνα» αναφέρεται ως προς ένα δυν. κόσμο κ στην οντότητα εκείνη η οποία στον κ είναι η Κίνα. Ας πάρουμε μια γλωσσική έκφραση α που, ως προς τον πραγματικό κόσμο, αναφέρεται σε κάποιο πράγμα χ. Όταν ο Kripke λέει ότι η α είναι άκαμπτος αναφορέας, εννοεί ότι δεν υπάρχει δυν. κόσμος ως προς τον οποίο η α αναφέρεται σε κάτι άλλο από το χ, ούτε υπάρχει δυν. κόσμος κ τέτοιος που το χ υπάρχει στον κ, αλλά η α δεν αναφέρεται στο χ ως προς τον κ. (Σχηματικά: η α ακολουθεί το χ παντού και δεν πηγαίνει ποτέ με κάτι άλλο.) Για παράδειγμα, έστω χ ο άνθρωπος που είναι πρωθυπουργός της Ελλάδας το Νοέμβρη του Υπάρχουν πολλοί δυν. κόσμοι στους οποίους κάποιος άλλος είναι ο πρωθυπουργός της Ελλάδας το Νοέμβρη του Και υπάρχουν επίσης πολλοί δυν. κόσμοι στους οποίους ο χ υπάρχει χωρίς να είναι ο πρωθυπουργός της Ελλάδας το Νοέμβρη του (Αυτές οι δυο ομάδες δυν. κόσμων τέμνονται, αλλά δεν ταυτίζονται. Γιατί η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει και δυν. κόσμους στους οποίους ο χ δεν υπάρχει καν, ενώ η δεύτερη ομάδα περιλαμβάνει και δυν. κόσμους στους οποίους κανένας δεν είναι πρωθυπουργός της Ελλάδας το Νοέμβρη του 2017.) Συνεπώς, η οριστ. περιγραφή «ο πρωθυπουργός της Ελλάδας το Νοέμβρη του 2017» δεν είναι άκαμπτος αναφορέας: η περιγραφή αναφέρεται στον χ ως προς τον πραγματικό κόσμο, αλλά υπάρχουν δυν. κόσμοι ως προς τους οποίους η περιγραφή αναφέρεται σε κάποιον άλλο, και επίσης υπάρχουν δυν. κόσμοι κ τέτοιοι που ο χ υπάρχει στον κ, μα η περιγραφή δεν αναφέρεται στον χ ως προς τον κ. Τα ονόματα όμως, π.χ. το «Nixon», είναι άκαμπτοι αναφορείς. Ως προς τον πραγματικό κόσμο το «Nixon» αναφέρεται σε έναν άνθρωπο ψ. Δεν υπάρχει δυν. κόσμος στον οποίο κάποιος άλλος άνθρωπος (ή άλλο ον) είναι ο Nixon επομένως, δεν υπάρχει δυν. κόσμος ως προς τον οποίο το «Nixon» αναφέρεται σε κάποιον άλλο. Ούτε υπάρχει δυν. κόσμος στον οποίο εκείνος υπάρχει αλλά δεν είναι ο Nixon επομένως, δεν υπάρχει δυν. κόσμος κ τέτοιος που ο ψ υπάρχει στον κ, αλλά το «Nixon» δεν αναφέρεται στον ψ ως προς τον κ. Η βασική ιδέα εδώ είναι πως δεν θα μπορούσε κάτι άλλο από τον ψ να ήταν ο Nixon, ούτε θα μπορούσε να υπήρχε ο ψ χωρίς να είναι ο Nixon. Ο Kripke δεν επιχειρηματολογεί για αυτή την ιδέα. Θεωρεί πως θα αντιληφθούμε ότι είναι εντελώς προφανής, μόλις την ξεχωρίσουμε από άλλες, ψευδείς, ιδέες με τις οποίες ίσως τη συγχέουμε. Συμφωνεί, π.χ., ότι θα μπορούσε κάποιος άλλος από τον ψ να ονομαζόταν «Nixon» θα είχε αυτό το όνομα, αλλά δεν θα ήταν ο Nixon. Συμφωνεί επίσης ότι θα μπορούσε να υπήρχε ο ψ χωρίς να ονομάζεται «Nixon» δεν θα είχε αυτό το όνομα, αλλά θα ήταν ο Nixon. Δέχεται ακόμα ο Kripke πως θα μπορούσε ο ψ να υπήρχε με αρκετά διαφορετικές ιδιότητες από αυτές που έχει στην πραγματικότητα, π.χ. θα μπορούσε να πέθαινε στην παιδική του ηλικία θα είχε διαφορετικές ιδιότητες, αλλά θα ήταν ο Nixon. Τα ίδια ισχύουν κατά τον Kripke αν πάρουμε οποιοδήποτε όνομα. Αντίθετα από τα ονόματα, οι περισσότερες οριστ. περιγραφές δεν είναι άκαμπτοι αναφορείς. Μερικές όμως είναι. Για παράδειγμα, η περιγραφή «το άθροισμα του 7 και του 5» αναφέρεται άκαμπτα σε έναν αριθμό (γιατί;). 4

5 VI. Από τη θέση του ότι τα ονόματα είναι άκαμπτοι αναφορείς ο Kripke έβγαλε πολύ ενδιαφέροντα συμπεράσματα που ξεπερνούν τα όρια της φιλοσοφίας της γλώσσας και αφορούν τη γνωσιολογία και τη μεταφυσική. Πριν από τον Kripke οι φιλόσοφοι θεωρούσαν ότι αν μια αλήθεια είναι αναγκαία, δηλ. είναι αδύνατο να μην ίσχυε, και μπορούμε να τη γνωρίσουμε, τότε μπορούμε να τη γνωρίσουμε a priori, δηλ. με απλό στοχασμό, χωρίς εμπειρική έρευνα. Γιατί αν μιαν αλήθεια μπορούμε να τη γνωρίσουμε μόνο βασιζόμενοι σε εμπειρική παρατήρηση, τότε η αλήθεια αυτή εξαρτάται από το πώς είναι ο κόσμος, και άρα δεν είναι αναγκαία. Επίσης, οι φιλόσοφοι θεωρούσαν ότι, και αντίστροφα, αν μια αλήθεια μπορούμε να τη γνωρίσουμε a priori, τότε είναι αναγκαία. Γιατί αν μπορούμε να τη γνωρίσουμε χωρίς να κοιτάξουμε πώς είναι ο κόσμος, τότε δεν εξαρτάται από το πώς είναι ο κόσμος, και άρα είναι αναγκαία. Όμως ένα συμπέρασμα που έβγαλε ο Kripke είναι ότι υπάρχουν αναγκαίες αλήθειες που μπορούμε να τις γνωρίσουμε μόνο a posteriori, δηλ. μόνο αν βασιστούμε σε εμπειρική παρατήρηση. Τέτοια αλήθεια είναι ότι ο Αποσπερίτης είναι ο Αυγερινός (ταυτίζεται με τον Αυγερινό) και γενικότερα κάθε αλήθεια που η διατύπωσή της έχει τη μορφή «Το α είναι το β» όπου το «α» και το «β» είναι ονόματα σαν τα «Αποσπερίτης» και «Αυγερινός». Ας πάρουμε ως χ τον πλανήτη στον οποίο αναφέρονται τα ονόματα «Αποσπερίτης» και «Αυγερινός» ως προς τον πραγματικό κόσμο. Το «Αποσπερίτης» είναι άκαμπτος αναφορέας δεν θα μπορούσε κάτι άλλο από τον χ να ήταν ο Αποσπερίτης. Επίσης, το «Αυγερινός» είναι άκαμπτος αναφορέας δεν θα μπορούσε κάτι άλλο από τον χ να ήταν ο Αυγερινός. Αν όμως ο Αποσπερίτης και ο Αυγερινός υπήρχαν ως δύο όντα, δηλ. δεν ταυτίζονταν, τότε είτε ο Αποσπερίτης δεν θα ταυτιζόταν με τον χ είτε ο Αυγερινός δεν θα ταυτιζόταν με τον χ (είτε και τα δύο). Αφού, λοιπόν, αυτά είναι και τα δυο αδύνατα, είναι αδύνατο να μην ταυτίζονταν ο Αποσπερίτης και ο Αυγερινός. Άρα είναι αναγκαία αλήθεια πως ο Αποσπερίτης ταυτίζεται με τον Αυγερινό. Την ταύτιση όμως αυτή την ανακαλύψαμε εμπειρικά. Δεν μπορούσαμε να την ανακαλύψουμε στοχαζόμενοι απλώς τι εννοούμε λέγοντας «Αποσπερίτης» και τι εννοούμε λέγοντας «Αυγερινός». Ένα άλλο συμπέρασμα που έβγαλε ο Kripke είναι ότι υπάρχουν μη αναγκαίες αλήθειες που μπορούμε να τις γνωρίσουμε a priori. Με άλλα λόγια, υπάρχουν αλήθειες που, ενώ είναι δυνατό να μην ίσχυαν, γίνεται να τις γνωρίσουμε χωρίς εμπειρική παρατήρηση. Ας πάρουμε το εξής παράδειγμα, που οφείλεται στον G. Evans: Ξέρουμε ότι υπήρξε κάποιος, ψ, που ήταν ο εφευρέτης του φερμουάρ, αλλά δεν ξέρουμε ποιος ήταν αυτός. Υπ αυτές τις συνθήκες εισάγουμε το όνομα «Julius» ως όνομα εκείνου του εφευρέτη αποφασίζουμε δηλ. πως, ως προς τον πραγματικό κόσμο, το όνομα θα αναφέρεται σε αυτόν που εφηύρε το φερμουάρ, όποιος κι αν είναι αυτός. Κατά τον Kripke το όνομα είναι άκαμπτος αναφορέας δεν θα μπορούσε ο ψ να υπήρχε, αλλά να μην ήταν ο Julius. Όμως βέβαια θα μπορούσε ο ψ να υπήρχε, αλλά να μην εφεύρισκε το φερμουάρ θα μπορούσε να επιδιδόταν σε άλλες δραστηριότητες από αυτές στις οποίες επιδόθηκε στην πραγματικότητα. Συνεπώς, θα μπορούσε ο Julius να μην εφεύρισκε το φερμουάρ δεν είναι αναγκαία αλήθεια ότι ο Julius εφηύρε το φερμουάρ. Ωστόσο, είναι αλήθεια που γίνεται να τη γνωρίσουμε a priori, στοχαζόμενοι απλώς τι εννοούμε με το όνομα «Julius» δεν χρειάζεται να κάνουμε εμπειρική έρευνα για να διαπιστώσουμε ότι ο Julius είναι ο εφευρέτης. Αυτά τα συμπεράσματα του Kripke προκάλεσαν πάρα πολλές και εκτενείς συζητήσεις. Εδώ απλώς τα έθιξα, προκειμένου να εξηγήσω γιατί οι απόψεις του για τα ονόματα κίνησαν το ενδιαφέρον των φιλοσόφων γενικά κι όχι μόνο εκείνων που ειδικεύονται στη φιλοσοφία της γλώσσας. 5

6 6 VIΙ. Ο Kripke ασχολήθηκε επίσης με γενικές αρχές σχετικά με την αναφορά των ονομάτων, δηλ. αρχές της μορφής «Κάθε όνομα ο αναφέρεται στο πράγμα που σχετίζεται με το ο κατά τον τάδε τρόπο». Η έννοια της αναφοράς εδώ είναι η συνήθης, όχι η έννοια της αναφοράς ως προς δυν. κόσμους. Να μια τέτοια αρχή με την οποία ο Kripke διαφώνησε ριζικά: (Α) Έστω ότι ο είναι κάποιο όνομα και S κάποιος ομιλητής. Αν υπάρχει ένα και μόνο ένα πράγμα που έχει εν πολλοίς τα διακριτικά γνωρίσματα για τα οποία ο S πιστεύει ότι τα έχει ο φορέας του ο, τότε αυτό το πράγμα είναι ο φορέας του ο στην ιδιόλεκτο του S. Αν δεν υπάρχει ένα και μόνο ένα τέτοιο πράγμα, τότε το ο δεν έχει φορέα στην ιδιόλεκτο του S. Ιδιόλεκτος ενός ομιλητή είναι η γλώσσα του στο βαθμό που την ξέρει και με τον τρόπο που την καταλαβαίνει και τη χρησιμοποιεί. Η (Α) αφορά ιδιολέκτους, αλλά μπορούμε να διατυπώσουμε μιαν ανάλογη αρχή για τις κοινές γλώσσες. Μερικά από τα πολλά αντιπαραδείγματα στην (Α) που προσήγαγε ο Kripke: Ας πάρουμε το όνομα «Κικέρων» κι ας πούμε ότι S είναι κάποιος από τους ομιλητές οι οποίοι δεν συνδέουν με το όνομα αυτό άλλα γνωρίσματα παρά μόνον ότι πρόκειται για ένα σπουδαίο Ρωμαίο ρήτορα. Τότε, σύμφωνα με την (Α), το «Κικέρων» δεν έχει αναφορά κατά την ιδιόλεκτο του S. Γιατί υπάρχουν πολλοί σπουδαίοι Ρωμαίοι ρήτορες. Όμως, διαισθητικά, το όνομα στην ιδιόλεκτο του S έχει αναφορά: ο S μιλά για τον Κικέρωνα. Ας πάρουμε το όνομα «Ιωνάς». Ο Kripke μάς πληροφορεί ότι, σύμφωνα με τους ιστορικούς που ασχολούνται με τη Βίβλο, ο Ιωνάς υπήρξε και ήταν Εβραίος προφήτης, μολονότι οι ιστορίες της Βίβλου (πως τον έφαγε ένα ψάρι κλπ.) είναι φανταστικές. Έστω ότι S είναι κάποιος που πιστεύει τη Βίβλο. Σύμφωνα με την (Α), το «Ιωνάς», όπως το χρησιμοποιεί ο S, δεν έχει αναφορά. Γιατί δεν υπάρχει κανένας για τον οποίο να αληθεύουν εν πολλοίς οι ιστορίες της Βίβλου. Στην πραγματικότητα όμως, ο S μιλά για τον προφήτη. Αυτό μπορούμε να το δούμε ως εξής. Όταν ο S λέει «Τον Ιωνά τον έφαγε ένα ψάρι», εκφράζει μια λανθασμένη πεποίθηση για τον προφήτη ή μια πεποίθηση που δεν αφορά κανέναν πραγματικό άνθρωπο; Φαίνεται διαισθητικά ότι εκφράζει πεποίθηση για τον προφήτη. Το όνομα «Κολόμβος». Έστω S ένας ομιλητής ο οποίος δεν συνδέει με το όνομα άλλα γνωρίσματα παρά ότι πρόκειται για τον πρώτο Ευρωπαίο που πήγε στην Αμερική. Επειδή στην πραγματικότητα ο πρώτος Ευρωπαίος που το έκανε αυτό ήταν ένας Βίκινγκ, σύμφωνα με την (Α) το «Κολόμβος» στην ιδιόλεκτο του S αναφέρεται σε κάποιο Βίκινγκ. Αυτό όμως είναι λάθος. Όταν ο S λέει «Ο Κολόμβος πήγε πρώτος στην Αμερική», εκφράζει μια πεποίθηση για το Γενουάτη ναυτικό (και την εκφράζει με το συμβατικό του όνομα) ή εκφράζει μια πεποίθηση για κάποιο Βίκινγκ (και την εκφράζει χρησιμοποιώντας ένα όνομα που συμβατικά δεν το είχε ο Βίκινγκ); Φαίνεται πως ισχύει το πρώτο. Το όνομα «Gödel». Aς πάρουμε έναν ομιλητή S ο οποίος συνδέει το όνομα με την πληροφορία ότι πρόκειται για ένα μεγάλο Γερμανό μαθηματικό που απέδειξε τη μη πληρότητα της αριθμητικής. Ο S είναι επίσης εξοικειωμένος με την απόδειξη. Ας υποθέσουμε ακόμη ότι στην πραγματικότητα ο Gödel δεν απέδειξε τη μη πληρότητα οικειοποιήθηκε την απόδειξη από έναν άλλο μαθηματικό, τον Κ, του οποίου το πτώμα βρέθηκε αργότερα. Τότε, σύμφωνα με την αρχή (Α), το «Gödel» στην ιδιόλεκτο του S αναφέρεται στον Κ. Όμως φαίνεται σαφές ότι, ακόμα κι αν τα πράγματα σχετικά με την απόδειξη έγιναν όπως υποθέσαμε, ο S μιλά για τον Gödel όταν χρησιμοποιεί το όνομα. Όταν σκέφτεται «Ο Gödel απέδειξε κάτι πολύ δύσκολο», εκφράζει μια πεποίθηση για τον

7 7 Gödel που ίσως είναι λανθασμένη, δεν εκφράζει ορθή πεποίθηση για τον Κ. Να τώρα μια αρχή προς την οποία ο Kripke κλίνει: (Β) Έστω ότι ο είναι κάποιο όνομα και S κάποιος ομιλητής. Αν υπάρχει ένα και μόνο ένα πράγμα τέτοιο που μια κατάλληλη αιτιακή αλυσίδα συνδέει ένα βάπτισμα αυτού του πράγματος με τη χρήση του ο από τον S, τότε αυτό το πράγμα είναι ο φορέας του ο στην ιδιόλεκτο του S. Αν δεν υπάρχει ένα και μόνο ένα τέτοιο πράγμα, τότε το ο δεν έχει φορέα στην ιδιόλεκτο του S. Ανάλογη αρχή μπορούμε να διατυπώσουμε για τις κοινές γλώσσες. Βάπτισμα είναι κάθε επεισόδιο στο οποίο ένα όνομα δίνεται σε κάποιο πράγμα. Τι εννοούμε εδώ με αιτιακή αλυσίδα; Εννοούμε μια σειρά, μέσα στο χρόνο, ανθρώπων που χρησιμοποιούν το όνομα, ξεκινώντας από εκείνους που συμμετείχαν στο βάπτισμα κάθε άνθρωπος που απαντά αργότερα στη σειρά χρησιμοποιεί το όνομα επειδή το χρησιμοποιούσαν κάποιοι που προηγήθηκαν. Πότε η αλυσίδα είναι κατάλληλη; Δεν πειράζει αν κατά τη διάρκειά της το όνομα μεταβάλλεται φωνολογικά ούτε αν σε κάποιο σημείο το όνομα μεταφέρεται σε άλλη γλώσσα. Πρέπει όμως κάθε άνθρωπος στη σειρά να έχει την πρόθεση να χρησιμοποιεί το όνομα με την ίδια αναφορά με εκείνους από τους οποίους το πήρε. Η (Β) αποκαλείται «αιτιακή θεωρία των ονομάτων». Ο Kripke θεωρεί πως η (Β) βρίσκεται κοντά στην αλήθεια, αν και δεν αποκλείει να υπάρχουν εξαιρέσεις. Πράγματι, μια εξαίρεση (που επεσήμανε ο G. Evans) είναι το όνομα «Μαδαγασκάρη». Ήταν κάποτε όνομα μιας άλλης περιοχής στην Αφρική, ωστόσο υπάρχει κατάλληλη αιτιακή αλυσίδα ανάμεσα σε εκείνη τη χρήση και τη δικιά μας. Βιβλιογραφία M. Sainsbury. «Philosophical Logic». Στο Philosophy: A Guide through the Subject, τόμος 1, εκδ. A. C. Grayling (Οξφόρδη: Oxford University Press, 1995). Σελίδες B. Russell. Mysticism and Logic and Other Essays. Λονδίνο: Unwin Books, Κεφ. 10 («Knowledge by Acquaintance and Knowledge by Description»). S. Kripke. Naming and Necessity. Αναθεωρ. εκδ. Οξφόρδη: Basil Blackwell, Διαλέξεις 1 και 2.

ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΝΟΜΑΤΩΝ

ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΝΟΜΑΤΩΝ ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΝΟΜΑΤΩΝ Κεντρικός άξονας της περιγραφικής θεωρίας των ονομάτων είναι η θέση ότι το νόημα-σημασία ενός ονόματος δίνεται από μια οριστική περιγραφή και επομένως ικανή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Η διάκριση του G. Frege ανάμεσα στο νόημα και την αναφορά

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Η διάκριση του G. Frege ανάμεσα στο νόημα και την αναφορά 1 ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Η διάκριση του G. Frege ανάμεσα στο νόημα και την αναφορά Ι. Μερικές πληροφορίες για τη ζωή και το έργο του Frege (1848 1925). Αν και ο ίδιος εφάρμοζε τη διάκριση μεταξύ νοήματος

Διαβάστε περισσότερα

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές;

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΗΘΕΙΑ; τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ποια είναι η σχέση των πεποιθήσεών μας με την πραγματικότητα, για να είναι αληθείς και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Η θεωρία του B. Russell για τις οριστικές περιγραφές

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Η θεωρία του B. Russell για τις οριστικές περιγραφές 1 ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Η θεωρία του B. Russell για τις οριστικές περιγραφές Ι. Μερικές πληροφορίες για τη ζωή και το έργο του Russell. Η θεωρία του Russell για τις οριστικές περιγραφές μάς λέει πώς να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Οι προτάσεις που αποδίδουν γνωσιακές ή άλλες ψυχολογικές στάσεις

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ. Οι προτάσεις που αποδίδουν γνωσιακές ή άλλες ψυχολογικές στάσεις 1 ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Οι προτάσεις που αποδίδουν γνωσιακές ή άλλες ψυχολογικές στάσεις I. Παραδείγματα τέτοιων προτάσεων είναι τα εξής: «Ο Αριστοτέλης πίστευε ότι η Γη είναι σφαιρική», «Όλοι γνωρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Φιλοσοφία της Γλώσσας

Φιλοσοφία της Γλώσσας Φιλοσοφία της Γλώσσας Ενότητα: Ενικοί όροι. Αιτιακές θεωρίες των ονομάτων Ελένη Μανωλακάκη Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μεθοδολογίας, Ιστορίας και Θεωρίας της Επιστήμης (Μ.Ι.Θ.Ε.) 1. Αιτιακές θεωρίες

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Ο Άνσελμος για την ύπαρξη του Θεού (Monologion κεφ. 1)

Ο Άνσελμος για την ύπαρξη του Θεού (Monologion κεφ. 1) Ο Άνσελμος για την ύπαρξη του Θεού (Monologion κεφ. 1) Στα κεφ. 1 ο Άνσελμος δίνει μερικά επιχειρήματα για την ύπαρξη του Θεού. Τα επιχειρήματα αυτά μπορούν να λειτουργήσουν μόνον υπό την προϋπόθεση ενός

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΡΙΣΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΩΝ (RUSSELL)

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΡΙΣΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΩΝ (RUSSELL) Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΡΙΣΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΩΝ (RUSSELL) Ο B. Russell (1872-1970) υπήρξε ένας από τους πρωτεργάτες της αναλυτικής φιλοσοφίας και ένας από τους σημαντικότερους φιλοσόφους της ιδεώδους γλώσσας. Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ: «ΕΜΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ» ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΡΙΑΜΗ ΒΑΓΙΑ, Β4 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΤΑΒΑΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2016 17 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Φιλοσοφία της Γλώσσας

Φιλοσοφία της Γλώσσας Φιλοσοφία της Γλώσσας Ενότητα: Θεωρία νοήματος του Frege. Το πρόβλημα του νοήματος Ελένη Μανωλακάκη Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μεθοδολογίας, Ιστορίας και Θεωρίας της Επιστήμης (Μ.Ι.Θ.Ε.) 1. Frege: Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ

ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ http://hallofpeople.com/gr/bio/aquinas.php ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ Ο μεγαλύτερος και σπουδαιότερος φιλόσοφος του δευτέρου μισού του Μεσαίωνα ήταν ο Θωμάς ο Ακινάτης, που έζησε από το 1225 ως το 1274. Υπήρξε ο σημαντικότερος

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Μετά από αυτά, ορίζεται η Λογική: είναι η επιστήμη που προσπαθεί να εντοπίσει και να αναλύσει τους καθολικούς κανόνες της νόησης.

Λογική. Μετά από αυτά, ορίζεται η Λογική: είναι η επιστήμη που προσπαθεί να εντοπίσει και να αναλύσει τους καθολικούς κανόνες της νόησης. Λογική Εισαγωγικά, το ζήτημα της Λογικής δεν είναι παρά η άσκηση 3 δυνάμεων της νόησης: ο συλλογισμός, η έννοια και η κρίση. Ακόμη και να τεθεί θέμα υπερβατολογικό αναφορικά με το ότι πρέπει να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Τομέας Ανθρωπιστικών Κοινωνικών Επιστημών και Δικαίου Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΝΩΣΙΟΛΟΓΙΑΣ Κώστας Θεολόγου ΑΔΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα του μεταπτυχιακού φοιτητή Μαρκάτου Κωνσταντίνου Α.Μ.: 011/08 Επιβλέπων: Αν. Καθηγητής Άρης Κουτούγκος Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα Ιστορίας και Φιλοσοφίας

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Επιστημολογίας. Ρένια Γασπαράτου

Θέματα Επιστημολογίας. Ρένια Γασπαράτου Ρένια Γασπαράτου Στο σημερινό μάθημα: λίγη ιστορία της φιλοσοφίας (&) της επιστήμης ο παραδοσιακός ορισμός της γνώσης Οι απαρχές της φιλοσοφίας & της επιστήμης Ιωνία, 7ος-6ος αι. π.χ. Προ-σωκρατικοί (Θαλής,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Φιλοσοφία της Γλώσσας

Φιλοσοφία της Γλώσσας Φιλοσοφία της Γλώσσας Ενότητα: Ενικοί Όροι. Η Θεωρία των οριστικών περιγραφών (Russell) Ελένη Μανωλακάκη Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μεθοδολογίας, Ιστορίας και Θεωρίας της Επιστήμης (Μ.Ι.Θ.Ε.) 1. Η Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

FREGE: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ

FREGE: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ FREGE: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ Ο Gottlob Frege (1848-1925) υπήρξε ο θεμελιωτής της σύγχρονης Λογικής και μαζί με τους B. Russell, L. Wittgenstein και G. E. Moore πατέρας της Αναλυτικής Φιλοσοφίας. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη φιλοσοφία

Εισαγωγή στη φιλοσοφία Εισαγωγή στη φιλοσοφία Ενότητα 8 η : Ρένια Γασπαράτου Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης & της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Με τι ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

GEORGE BERKELEY ( )

GEORGE BERKELEY ( ) 42 GEORGE BERKELEY (1685-1753) «Ο βασικός σκοπός του Berkeley δεν ήταν να αμφισβητήσει την ύπαρξη των εξωτερικών αντικειμένων, αλλά να υποστηρίξει την άποψη ότι τα πνεύματα ήταν τα μόνα ανεξάρτητα όντα,

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x» 5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 7η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ.

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. 2 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ (Ι) ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ; Στο μάθημα «Κοινωνική Θεωρία της Γνώσης (I)» (όπως και στο (ΙΙ) που ακολουθεί) παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια από τα παρακάτω επιχειρήματα είναι έγκυρα και ποια άκυρα.

1. Ποια από τα παρακάτω επιχειρήματα είναι έγκυρα και ποια άκυρα. Γ. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ 1. Ποια από τα παρακάτω επιχειρήματα είναι έγκυρα και ποια άκυρα. (1) Όταν βρέχει οι δρόμοι είναι ολισθηροί (2) Οι δρόμοι είναι ολισθηροί την νύχτα (3) Άρα, βρέχει την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΠΟΧΗ.

ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΠΟΧΗ. 24 ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΠΟΧΗ. Οι σκεπτικιστικές απόψεις υποχώρησαν στη συνέχεια και ως την εποχή της Αναγέννησης κυριάρχησε απόλυτα το αριστοτελικό μοντέλο. Η εκ νέου αμφιβολία για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΑΓΓΛΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΗ

ΟΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΑΓΓΛΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΗ 33 ΟΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΑΓΓΛΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΗ JOHN LOCKE (1632-1704) Το ιστορικό πλαίσιο. Την εποχή του Locke είχε αναβιώσει ο αρχαίος ελληνικός σκεπτικισμός. Ο σκεπτικισμός για τον Locke οδηγούσε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Δημοσιογράφος: -Μπορούν να συνυπάρξουν η θρησκεία και η επιστήμη; Ν.Λυγερός: -Πρώτα απ όλα συνυπάρχουν εδώ και αιώνες, και κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. Άννα Κουκά

ΘΕΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. Άννα Κουκά ΘΕΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Άννα Κουκά Αξιολόγηση της επίδοσης των μαθητών. Μετρήσεις. Σημαντικές παρατηρήσεις Γενικός ορισμός με πρακτικά κριτήρια Αξιολόγηση είναι η απόδοση μιας ορισμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

SAUL KRIPKE, Το Ονομάζειν και η Αναγκαιότητα

SAUL KRIPKE, Το Ονομάζειν και η Αναγκαιότητα SAUL KRIPKE, Το Ονομάζειν και η Αναγκαιότητα ΔΙΑΛΕΞΗ 1: 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 1970 1 Μετάφραση: Στέλιος Γιαμαρέλος Επιμέλεια: Ελένη Μανωλακάκη Ελπίζω μερικοί από εσάς να διαβλέπουν ήδη κάποια σύνδεση μεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Λούντβιχ Βιτγκενστάιν

Λούντβιχ Βιτγκενστάιν Λούντβιχ Βιτγκενστάιν Ο τάφος του Βίτγκεντάιν στο Κέιμπριτζ κοσμείται από το ομοίωμα μιας ανεμόσκαλας: «Οι προτάσεις μου αποτελούν διευκρινίσεις, όταν αυτός που με καταλαβαίνει, τελικά τις αναγνωρίσει

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

Σπίτι μας είναι η γη

Σπίτι μας είναι η γη Σπίτι μας είναι η γη 1.α. Ο αρχηγός των Ινδιάνων λέει ότι η φύση είναι το σπίτι τους. Τι εννοεί; β. Πώς βλέπει ο λευκός τη φύση, σύμφωνα με τον Ινδιάνο; α. Η πρόταση αυτής της αγοραπωλησίας ήταν εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σάββατο, 16 Νοεμβρίου 2013 Αρχαία Ελληνική Φιλοσοφία Ενηλίκων Τμήμα Β Την προηγούμενη φορά. ΣΚΕΠΤΙΚΟΙ Οὐδὲν ὁρίζομεν «τίποτε δεν θέτουμε ως βέβαιο» (Διογένης

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης 1 Τι πρέπει να γνωρίζω για τα πεδία ορισμού; Χωρίς πολλές φιλοσοφίες: όταν μιλάμε για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Αριστείδης Αραγεώργης Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 1. «Παράδοξο» και «λύση» παραδόξου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Ηθικά Νικομάχεια, Βιβλίο Ε Δύο Προτάσεις του Αριστοτέλη Δύο Προβλήματα Πρόταση 1 «Αμοιβαιότητα/Ανταπόδοση θα υπάρξει [η ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Πώς Διηγούμαστε ή Αφηγούμαστε ένα γεγονός που ζήσαμε

Πώς Διηγούμαστε ή Αφηγούμαστε ένα γεγονός που ζήσαμε ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blgs.sch.gr/anianiuris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiuris@sch.gr) Πώς Διηγούμαστε ή Αφηγούμαστε ένα γεγονός που ζήσαμε Διηγούμαστε ή αφηγούμαστε ένα γεγονότος, πραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων.

LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων. 9 LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων. «Βλέπουμε με τα μάτια μας, αλλά κατανοούμε με τα μάτια της συλλογικότητας». 6 Ένα από τα κυριότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 1. Έννοιες και Λέξεις O άνθρωπος

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σάββατο, 30 Ιανουαρίου 2016 Κατερίνα Δ. Χατζοπούλου Η ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΩΣ ΣΥΜΒΑΣΗ Η ανθρώπινη γλώσσα, ως μέρος της πραγματικότητας απασχόλησε τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γνώση του εαυτού μας

Γνώση του εαυτού μας Γνώση του εαυτού μας Self awareness Η αυτογνωσία αναφέρεται σε: Συναισθήματα Σκέψεις Ενδιαφέροντα Ισχυρά & αδύνατα σημεία Αξίες Ικανότητες Στόχους Δεξιότητες Προτιμητέο στιλ επικοινωνίας 1 Γνώση του εαυτού

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Η ιστορική μέθοδος ερμηνείας» Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Ανδρέας Δημητρόπουλος

Θέμα: «Η ιστορική μέθοδος ερμηνείας» Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Ανδρέας Δημητρόπουλος Θέμα: «Η ιστορική μέθοδος ερμηνείας» Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Ανδρέας Δημητρόπουλος Η Ιστορία, όπως τονίζει ο Μεγαλοπολίτης ιστορικός Πολύβιος σε μια ρήση του, μας διδάσκει ότι τίποτα δεν γίνεται στην τύχη

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 2 η Τύποι Δεδομένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδομένων Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Σφραγίδες του ηµιουργού στην Ανθρώπινη Ψυχή

Οι Σφραγίδες του ηµιουργού στην Ανθρώπινη Ψυχή 1 Οι Σφραγίδες του ηµιουργού στην Ανθρώπινη Ψυχή Ενώ νομίζουμε ότι μπορούμε να μιλήσουμε για το μυαλό και την ψυχή, ως ευδιάκριτες έννοιες, συχνά μιλάμε περίπου για το ίδιο πράγμα. Είναι διαφορετικό αυτού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5--3 Μ. Παπαδημητράκης. Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι για να έχει νόημα το όριο f(x) x ξ πρέπει το ξ να είναι σε κατάλληλη θέση σε σχέση με το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική πρόταση 4: Συνοπτικό πλαίσιο πολιτικής και κοινωνικής οργάνωσης. Ερώτημα-κλειδί Πώς οργανωνόμαστε από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα;

Διδακτική πρόταση 4: Συνοπτικό πλαίσιο πολιτικής και κοινωνικής οργάνωσης. Ερώτημα-κλειδί Πώς οργανωνόμαστε από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα; Πώς οργανωνόμαστε; Διδακτική πρόταση 4: Συνοπτικό πλαίσιο πολιτικής και κοινωνικής οργάνωσης Ερώτημα-κλειδί Πώς οργανωνόμαστε από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα; Σύνδεση με το προηγούμενο μάθημα Στα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Αγαπητέ μαθητή/ αγαπητή μαθήτρια, Διεξάγουμε μια έρευνα και θα θέλαμε να μάθουμε την άποψή σου για τo περιβάλλον μάθησης που επικρατεί στην τάξη σου. Σε παρακαλούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2017 1 η Σειρά Ασκήσεων Παράδοση: Τρίτη, 28/2/2017 μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες Άσκηση 1.1 [1 μονάδα]

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΛΩΝΤΑΣ ΣΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ. ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΚΑΒΒΑΔΙΑ Σύμβουλος Ψυχικής Υγείας

ΜΙΛΩΝΤΑΣ ΣΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ. ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΚΑΒΒΑΔΙΑ Σύμβουλος Ψυχικής Υγείας ΜΙΛΩΝΤΑΣ ΣΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΚΑΒΒΑΔΙΑ Σύμβουλος Ψυχικής Υγείας 29.05.2015 Ερωτήματα που μας απασχολούν Τι κάνουμε όταν αμφιβάλλουμε για το αν θα τα καταφέρουμε να κρατήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

Εξέλιξη των ιδεών στις Φυσικές Επιστήμες

Εξέλιξη των ιδεών στις Φυσικές Επιστήμες Εξέλιξη των ιδεών στις Φυσικές Επιστήμες Ενότητα 5: Μορφές και περίοδοι της σύγχρονης επιστήμης: μια προσπάθεια κατασκευής τομών στο κοινωνικό πλαίσιο και στον ιστορικό χρόνο. Βασίλης Τσελφές Εθνικὸ και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΥΣΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΥΣΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΥΣΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΧΡOΝΙΚΕΣ ΠΡOΤΑΣΕΙΣ ΧΡOΝΙΚΕΣ ΠΡOΤΑΣΕΙΣ Τη θεωρία της ύλης θα τη βρείτε: Βιβλίο μαθητή σελ. 109-111 και Βιβλίο Γραμματικής σελ. 151 Ακούω και μιλώ (σελ. 109) Βρείτε στα κείμενα τα

Διαβάστε περισσότερα

Η άσκηση μιας ιστορίας

Η άσκηση μιας ιστορίας Η άσκηση μιας ιστορίας Η άσκηση (Σχολικό βιβλίο Φυσικής Α Λυκείου Άσκηση 14 / Σελίδα 158) «Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Βρείτε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη του Ν. Λυγερού στο The Economist Events 18th Roundtable with the Government of Greece:

Διάλεξη του Ν. Λυγερού στο The Economist Events 18th Roundtable with the Government of Greece: Διάλεξη του Ν. Λυγερού στο The Economist Events 18th Roundtable with the Government of Greece: The big rethink for Europe - The big turning point for Greece 10/07/2014 Θα ήθελα να απαντήσω πάνω στα λεγόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας;

Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας; Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας; Εμείς που αντιλαμβανόμαστε είμαστε όλοι φτιαγμένοι από το ίδιο υλικό; Πώς βρεθήκαμε σ αυτόν τον κόσμο; Ο θάνατός μας σημαίνει το τέλος ή

Διαβάστε περισσότερα

A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES.

A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES. A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES. 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

Γιούλη Χρονοπούλου Μάιος Αξιολόγηση περίληψης

Γιούλη Χρονοπούλου Μάιος Αξιολόγηση περίληψης Γιούλη Χρονοπούλου Μάιος 2018 Αξιολόγηση περίληψης Η δυσκολία συγκρότησης (και αξιολόγησης) της περίληψης Η περίληψη εμπεριέχει μια (φαινομενική) αντίφαση: είναι ταυτόχρονα ένα κείμενο δικό μας και ξένο.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα