Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Transcript

1 Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu) για τη διαδικασία επίλυσης Πραγματοποιούνται «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών που οδηγούν στη διαμόρφωση των διαδοχικών πινάκων simple Κάθε πίνακας simple αντιστοιχεί σε μία κορυφή της εφικτής περιοχής Πρακτικά, ελέγχονται οι βασικές εφικτές λύσεις και πραγματοποιώντας «άλματα» μεταξύ γειτονικών κορυφών (ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων) αποκαλύπτεται η άριστη. Σε κάθε επανάληψη (iteration) βελτιώνεται η τρέχουσα λύση (πρακτικά με τη χρήση της διαδικασίας Gauss Jordan) Γενική μορφή του μοντέλου Maimize/Minimize z c c c n n a a a n n / / b a a an n / / b. am am amn n / / bm και,,, n. Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης Maimize z c c c n n a a a n n b a a an n b am am amn n bm και,,, n Κανονική μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maimize Z = 5X + X ) Χ + Χ 55 (διαθέσιμο γάλα) ) Χ + Χ (εργασία σε λεπτά) ) Χ + 5Χ (δυναμικότητα συστήματος ψύξης) 4) Χ 4 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) και Χ, Χ (μη αρνητικότητα) Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Maimize z c c c n n a a a s n n b a a an n s b am a a n sm bm m mn και,,,,,,, n m Τυποποιημένη μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maimize z 5 s s s 5 s s 4, s, s, s, s, 4 s s s Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή 9. Δ Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Σύστημα m εξισώσεων και n+m μεταβλητών (μεταβλητές απόφασης + χαλαρές μεταβλητές = n+m) Στόχος: επίλυση του συστήματος, εντοπίζοντας τη βασική εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Το σύστημα είναι αόριστο Στο πρότυπο παράδειγμα: Εξισώσεις: m=4 Αγνωστοι: n+m=+4=6 Στη μέθοδο simple εκχωρείται το μηδέν σε n από τις μεταβλητές και επιλύουμε ως προς τις υπόλοιπες Στο παράδειγμα (): Αν θέσουμε = και s4 = θα πάρουμε: s 55 s s 4 Άρα, = 4 οπότε s = 5, s = 6 και s =. σημείο Β(4, ), δηλαδή είναι η βασική εφικτή λύση: (,,,,, ) (4,,5, 6,, ) =? s s s s4 Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή 9. Δ Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Στο παράδειγμα πάλι: Αν θέσουμε = και s = τότε: 55 s 5 s s 4 4 Δηλαδή θα πάρουμε την βασική (αλλά μη εφικτή) λύση: (,, s, s, s, s4 ) (,55,, 65, 75, 4) που αντιστοιχεί στο ακραίο σημείο Λ(,55), =? Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή 9. Δ Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Υπενθύμιση: Ποιος είναι ο στόχος της μεθόδου simple: Προφανώς να εντοπίσει την άριστη λύση Πώς? Ελέγχοντας τις βασικές εφικτές λύσεις, (δηλαδή τα ακραία σημείακορυφές της εφικτής περιοχής) εντοπίζει εκείνη την κορυφή που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί ανάλογα με την περίπτωση) την αντικειμενική συνάρτηση. Τις ελέγχει όλες μία προς μία (απαρίθμηση)? ΟΧΙ (ευτυχώς)! Δηλαδή, πιο συγκεκριμένα? Ξεκινά από μία βασική εφικτή λύση (η αρχή των αξόνων) Πραγματοποιεί «άλμα» από την τρέχουσα θέση (τρέχουσα κορυφή) σε μία καλύτερη γειτονική κορυφή. Μεταβάλλει το σύνολο των βασικών μεταβλητών (μία εξέρχεται και μία άλλη εισέρχεται στο σύνολο των n βασικών μεταβλητών) και βρίσκει μία νέα βασική εφικτή λύση από το σύστημα των εξισώσεων του προβλήματος Με διαδοχικές μεταβολές της βάσης (δηλαδή με διαδοχικά άλματα) εντοπίζει τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (δεν χρειάζεται να τις ελέγξει όλες)

2 7 Σχηματικά: Πιο αναλυτικά: Ξεκινάει από κάποια αρχική βασική εφικτή λύση (initial basic feasible solution) δηλαδη θέτει n μεταβλητές να έχουν μηδενικές τιμές (ποιες?) Καλή ιδέα: Ξεκίνα μηδενίζοντας τις μεταβλητές απόφασης (είσαι στην αρχή των αξόνων δηλαδή οι χαλαρές μεταβλητές είναι ίσες με τα δεξιά μέλη των περιορισμών) = Αρχική ΒΑΣΗ Προσοχή! Οι μεταβλητές της βάσης εμφανίζονται σε μία μόνο εξίσωση η καθεμία και με συντελεστή μονάδα, κάτι που διατηρείται σε όλα τα βήματα της μεθόδου Κάθε επανάληψη παριστάνεται από έναν πίνακα simple Στο πρότυπο παράδειγμα: Αρχική βασική εφικτή λύση:,, s, s, s, s ) (,, 55,,, 4) και = ( Κορυφή Α(, ) Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή 9. Δ Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Σύνοψη της διαδικασίας μετάβασης σε καλύτερη κορυφή (μετά τον καθορισμό της αρχικής βασικής εφικτής λύσης) Βήμα ο : Εντοπίζεται η εισερχόμενη μη βασική μεταβλητή Βήμα ο : Εντοπίζεται η εξερχόμενη βασική μεταβλητή Βήμα ο : Με «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών του τρέχοντος πίνακα προκύπτει ο επόμενος πίνακας simple όπου αντικατοπτρίζονται οι μεταβολές, που πρακτικά οδηγούν στην επόμενη κορυφή Βήμα 4 ο : Μετά το άλμα, ελέγχεται η νέα (τρέχουσα) βασική εφικτή λύση ως προς την αριστότητά της. Αν είναι η βέλτιστη τότε STOP, ELSE goto Βήμα. Πιο αναλυτικά: H μετακίνηση σε μία καλύτερη βασική εφικτή λύση: Επιτυγχάνεται με την έξοδο μίας βασικής μεταβλητής από τη βάση και την είσοδο μίας μη βασικής στη βάση, που «οδηγεί» σε μία γειτονική κορυφή (της εφικτής περιοχής). Κάθε φορά, μία μόνο μη βασική μεταβλητή εισέρχεται σε βάρος μίας μόνο βασικής η οποία αποχωρεί από τη βάση, βελτιώνοντας έτσι την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (). Πώς υλοποιείται αυτή η μετακίνηση αλγεβρικά? Μετακίνηση = μεταβολή του συνόλου των βασικών μεταβλητών δηλαδή της βάσης. Υπενθύμιση (για ή φορά): Mία μη βασική μεταβλητή επιλέγεται για να εισέλθει και μία βασική επιλέγεται για να εξέλθει από τη βάση Ο επόμενος πίνακας simple προκύπτει με τη βοήθεια των σειρών «zj» και «cj zj» στις οποίες καταχωρούνται σημαντικές πληροφορίες που αφορούν τη διαδικασία επιλογής Τυποποιημένη μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maimize z 5 s s s s s 55 s 5 s s 4 4,, s, s, s, s4 4 Επιστρέφουμε στο παράδειγμα : Από τον αρχικό πίνακα, ας υποθέσουμε ότι η μεταβλητή θα γίνει βασική (και θα της δώσουμε αυθαίρετα την τιμή = ) ενώ η θα παραμείνει μη βασική. Ποια επίδραση θα έχει αυτή η απόφαση στους περιορισμούς? ος περιορισμός: Αν = και = τότε: Αφού + + s = 55 και επειδή το παραμένει, πρέπει να μειωθεί η s κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s = 55, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + + s = 55, δηλαδή = 55. Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α πρέπει να γίνει ανταλλαγή με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου (δηλαδή της s), με άλλα λόγια, πρέπει να καταναλωθεί ένα λίτρο γάλα, δηλαδή, η εισέρχεται σε βάρος της s. Στο παράδειγμα συνέχεια (): ος περιορισμός: Αν = και = τότε: Αφού + + s = και επειδή το παραμένει, πρέπει να μειωθεί η s κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s =, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + * + s =, δηλαδή =. Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό, πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου s με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθεί και ένα λεπτό εργασίας, δηλαδή, η εισέρχεται σε βάρος και της s. Στο παράδειγμα συνέχεια (): ος περιορισμός: Αν = και = τότε: Αφού s = και επειδή το παραμένει, πρέπει να μειωθεί η s κατά δύο μονάδες (αρχική τιμή s =, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + 5* + s =, δηλαδή * + 5* =. Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό και το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό, πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με δύο μονάδες του αχρησιμοποίητου πόρου s, δηλαδή πρέπει να καταναλωθούν και δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών, με άλλα λόγια η εισέρχεται σε βάρος και της s Στο παράδειγμα συνέχεια (4): 4ος περιορισμός: Αν = και = τότε: για κάθε μονάδα που αυξάνεται η μειώνεται κατά μία μονάδα η s4 που εκφράζει τη ζήτηση που μένει ανικανοποίητη. Άρα, αφού + s4 = 4 και επειδή το παραμένει μηδενικό, (οπότε δεν επηρεάζει τον 4 ο περιορισμό), πρέπει η s4 να μειωθεί κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s4 = 4, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + s4 = 4, δηλαδή + 99 = 4. Συνεπώς: για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό, το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό και τις δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών που είδαμε στον τρίτο περιορισμό, πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα «μη ικανοποιηθείσας» ζήτησης s4 με άλλα λόγια πρέπει να μειωθεί η s4 κατά μία μονάδα προϊόντος, ώστε να συνεχίσει να είναι αληθής ο 4 ος περιορισμός, δηλαδή η εισέρχεται σε βάρος και της s4. Ανακεφαλαίωση: Δηλαδή, στον πρώτο περιορισμό, όπου η έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s επίσης μονάδα, μία μοναδιαία αύξηση της μειώνει την s με ρυθμό προς (άρα κατά μία μονάδα). στο δεύτερο περιορισμό, όπου η έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s επίσης μονάδα, η μοναδιαία αύξηση της μειώνει την s με ρυθμό προς (άρα κατά μία μονάδα) τρίτος περιορισμός: ο συντελεστής της είναι, και της s είναι μονάδα άρα ο ρυθμός μείωσης της s για κάθε μονάδα αύξησης της είναι προς τέταρτος περιορισμός: ο ρυθμός μείωσης της s4 είναι και εδώ ίσος με τη μονάδα. Ανακεφαλαίωση () Μία βασική μεταβλητή μειώνεται, μέσω της ανταλλαγής (echange, θυσίας) που πρέπει να γίνει, ώστε να καταστεί δυνατή η αύξηση της τιμής της μη βασικής μεταβλητής, η οποία αποσπά πόρους από αυτήν για να εισέλθει. Οι τεχνολογικοί συντελεστές των μεταβλητών ονομάζονται και συντελεστές ανταλλαγής ή αντικατάστασης ή υποκατάστασης (echange or substitution coefficients). Γενικό Συμπέρασμα: Η είσοδος μίας μη βασικής μεταβλητής στη βάση (στη βασική εφικτή λύση) μειώνει, σύμφωνα με τους συντελεστές ανταλλαγής κάθε περιορισμού, κάθε μία από τις ήδη βασικές μεταβλητές Με άλλα λόγια, ο ρυθμός μείωσης (αύξησης) βασικής (μη βασικής) μεταβλητής λόγω της εισόδου της μη βασικής, προκύπτει από τους τεχνολογικούς συντελεστές των δύο μεταβλητών Τι συνέπειες έχουν αυτές οι ανταλλαγές στο? Που βρίσκονται αυτές οι συνέπειες?

3 O αρχικός πίνακας (υπενθύμιση) Μοναδιαία επιδείνωση Μοναδιαία βελτίωση Πού βρίσκονται οι συνέπειες; Τελικά, πώς επιλέγεται η εισερχόμενη μεταβλητή? Επιλέγεται αυτή με τη μεγαλύτερη θετική τιμή στη σειρά cj zj (δηλαδή η μη βασική μεταβλητή που εμφανίζει τον μεγαλύτερο ρυθμό βελτίωσης της αντικειμενικής συνάρτησης). Στο πρότυπο παράδειγμα είναι η μεταβλητή αφού η αντίστοιχη τιμή στη σειρά cj zj είναι ίση με (και είναι μεγαλύτερη από το 5 που είναι η αντίστοιχη τιμή για την ). Η στήλη της εισερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται αξονική στήλη (pivot column). Ο αρχικός πίνακας (υπενθύμιση) Γιατί στη σειρά cj zj βρίσκονται οι ρυθμοί βελτίωσης του Z? Ο ρόλος της σειράς «zj» κάτω από κάθε μεταβλητή Περιέχει τη συνολική επιδείνωση που προκύπτει στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μονάδα αύξησης της μεταβλητής. Δηλαδή, για τις και από τον αρχικό πίνακα: z () () () () z () () (5) () Πρακτικά πώς προκύπτουν τα παραπάνω από τον πίνακα simple?? Για τις υπόλοιπες (τις βασικές) μεταβλητές είναι: Το περιεχόμενο της σειράς «cj zj» Στο πρότυπο παράδειγμα: Ο αρχικός πίνακας (υπενθύμιση) z () () () () z () () () () z () () () () 4 5 z 6 () () () () Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται με ρυθμό zj λόγω της εισόδου της j μεταβλητής στη βάση. Η τιμή της αντικειμενικής ταυτόχρονα αυξάνεται με ρυθμό που υπαγορεύεται από τον αντικειμενικό συντελεστή της εν λόγω μεταβλητής, cj Για τις στήλες των μεταβλητών και : c z 5 5 (για την ) c z (για την ) Εχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί για τις βασικές; Άρα, o καθαρός ρυθμός μεταβολής που προκύπτει για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα προκύπτει από τη διαφορά cj zj ενώ c j z j για τις s, s s s) για τις βασικές (τις χαλαρές) μεταβλητές Εισερχόμενη 55 / 4 Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής () Διαιρούμε το δεξιό μέλος κάθε περιορισμού με το συντελεστή της εισερχόμενης μεταβλητής από την αξονική στήλη (εφόσον αυτός μεγαλύτερος του μηδενός) Το πηλίκο που βρίσκουμε, είναι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή, εκμηδενίζοντας μία βασική μεταβλητή που αποχωρεί και προσέχουμε να μην γίνει αρνητική καμία άλλη μεταβλητή από τις βασικές. Ας δούμε πώς: ος Περιορισμός: * + * + s = 55. Αφού η παραμένει ίση με μηδέν (μη βασική), θα είναι *+*+s = 55 (λίτρα). Αφού υποθέτουμε ότι φεύγει η s, θέτοντας s = και λύνοντας ως προς έχουμε = 55/ = 55. Άρα, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μηδενίζοντας την s που εξέρχεται από τη βάση, είναι 55. Δηλαδή, το γάλα επαρκεί για να παραχθούν μέχρι 55 τεμάχια τύπου Β. Οποιαδήποτε τιμή της μεγαλύτερη από 55, θα καταστήσει την s αρνητική (ανέφικτη λύση). Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής () ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη αν επιλέξουμε να εξέλθει η s από τη βάση, είναι /. Με άλλα λόγια, με βάση τη διαθέσιμη εργασία μπορούν να παραχθούν το πολύ / τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή μεγαλύτερη από / θα καταστήσει την s αρνητική και τη λύση ανέφικτη. Άρα, αν επιλέξουμε να εισέλθει η σε βάρος της s, τότε η μεγαλύτερη αποδεκτή τιμή της είναι ίση με / Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής () ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη με εξερχόμενη την s, είναι 4. Δηλαδή, με βάση τη δυναμικότητα των μηχανών, μπορούν να παραχθούν το πολύ 4 τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή της μεγαλύτερη από 4 θα καταστήσει την s αρνητική (και τη λύση ανέφικτη). Άρα, αν επιλέξουμε να εισέλθει η σε βάρος της s, τότε η μεγαλύτερη αποδεκτή τιμή της είναι ίση με = / Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (4) 4 ος Περιορισμός: Στον τέταρτο περιορισμό δεν υπάρχει η μεταβλητή (ο τεχνολογικός συντελεστής α4 είναι μηδέν) Κατά συνέπεια, όποια τιμή και να πάρει εισερχόμενη στη βάση, δεν πρόκειται να επηρεάσει την τιμή της βασικής μεταβλητής s4. Αν για μια εισερχόμενη μεταβλητή ο τεχνολογικός της συντελεστής σε έναν περιορισμό είναι αρνητικός, ΠΟΙΕΣ ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ? 45 Αξιολόγηση και επιλογή εξερχόμενης Το μικρότερο πηλίκο είναι = / και είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή χωρίς να παραβιάζεται κανένας από τους περιορισμούς (δηλαδή??) Η εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή της οποίας ο περιορισμός έδωσε το ελάχιστο πηλίκο και εδώ είναι η s. Η γραμμή της εξερχόμενης μεταβλητής s ονομάζεται αξονική σειρά (pivot row). Το κοινό στοιχείο αξονικής σειράς και αξονικής στήλης ονομάζεται αξονικό στοιχείο ή πιλότος ή οδηγός (pivot) 46 Η κατασκευή του επόμενου πίνακα Νέα σειρά στη θέση της αξονικής = (προηγούμενη αξονική σειρά) / αξονικό στοιχείο και για όλες τις άλλες σειρές: Νέα σειρά = (προηγούμενη σειρά) (συντελεστής της εισερχόμενης μεταβλητής στην προηγούμενη σειρά) *(νέα σειρά στη θέση της αξονικής σειράς)

4 49 Επομένως: Νέα σειρά της μεταβλητής s : Προκύπτει διαιρώντας τα στοιχεία της με το αξονικό στοιχείο (=) και θα έχει τη ως βασική στον επόμενο πίνακα simple δηλαδή: (,,,,, ) (/,,, /,,, /) Σειρά της μεταβλητής s: (,,,,,, 55) * (/,,, /,,, /) δηλαδή (/,,,/,,, 65/). Σειρά της μεταβλητής s: (, 5,,,,, ) 5 * (/,,, /,,, /) δηλαδή (/,,,5/,,, /). Σειρά της μεταβλητής s4? Τελικά σε ποια κορυφή μετακινήθηκε? Νέα Βασική Εφικτή Λύση: ( 4,, s, s, s, s ) Αντιστοιχεί στην κορυφή: (, /,65 /,, /, 4) Ε(, /), άρα έγινε άλμα από το σημείο Α στο σημείο Ε. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι τώρα: z= 5*() + *(./) z=./ Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή 9. Δ Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή 5 Έλεγχος Αριστότητας (βήμα 4 ο ) Nέα στοιχεία της σειράς zj (στήλη του ) = z = (/) +(/) +(/) +() =/ (στήλη του ) = z = () +() +() +() = (στήλη του s) = z = () +() +() +() = (στήλη του s) = z4 = (/) +(/) +(5/) +() =/ (στήλη του s) = z5 = () +() +() +() = (στήλη του s4) = z6 = () +() +() +() = (στήλη του δεξ.μέλ.) = (65/)+(/)+(/)+(4) =./ Νέα στοιχεία της της σειράς cj zj (για το ) = 5 / = 5/ (για το ) = = (για το s) = = (για το s) = / = / (για το s) = = (για το s4) = = Υπάρχει θετικό στοιχείο στη σειρά cj zj?? Τέταρτο Βήμα Ανακεφαλαίωση: Έλεγχος τρέχουσας λύσης ως προς την αριστότητα: Από τη σειρά cj zj προκύπτει ότι αν τώρα εισέλθει η στη βάση, τότε θα υπάρξει η μεγαλύτερη δυνατή βελτίωση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 5/ (χμ) ανά μονάδα προϊόντος. Άρα, υπάρχει περιθώριο περαιτέρω βελτίωσης του συνολικού κέρδους, εφόσον εισέλθει στη βάση η μεταβλητή (δηλαδή, η τρέχουσα λύση δεν είναι άριστη!) Παρατήρηση: Για τις ήδη βασικές μεταβλητές (, s, s και s4) η βελτίωση αυτή στη σειρά cj zj είναι μηδενική ενώ για την s η τιμή είναι αρνητική, ίση με / (γιατί??). Δεύτερη επανάληψη της διαδικασίας,/ Η μετακίνηση στον επόμενο πίνακα Αξονική: (/,,, /,,, 65/)/(/) = (,, /, /,,, 5) Δεύτερη σειρά: (/,,, /,,, /) (/)*(,, /, /,,, 5) = (,, /, /,,, 5) Τρίτη σειρά: (/,,, 5/,,, /) (/)*(,, /, /,,, 5) = (,, /,/,,, 5) Τέταρτη σειρά: (,,,,,, 4) ()*(,, /, /,,, 5) = (,, /, /,,, 75) ΟΛΟΚΛΗΡΩΘΗΚΕ (επιτέλους!) ΜΙΑ ΠΛΗΡΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Έλεγχος αριστότητας και ολοκλήρωση Τέταρτο Βήμα Ανακεφαλαίωση: Έλεγχος τρέχουσας λύσης ως προς την αριστότητα: Από τη σειρά cj zj προκύπτει ότι αν τώρα δεν υπάρχει θετικό στοιχείο που θα μπορούσε να υποδείξει εισερχόμενη μεταβλητή που να προκαλεί βελτίωση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Άρα, δεν υπάρχει περιθώριο περαιτέρω βελτίωσης του συνολικού κέρδους (η τρέχουσα λύση είναι η άριστη!) Παρατήρηση: Για τις βασικές μεταβλητές (,, s και s4) η βελτίωση στη σειρά cj zj είναι μηδενική ενώ για τις s και s η τιμή είναι αρνητική, ίση με 5 και 5 αντίστοιχα (τι παριστάνουν?). Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή 9. Δ Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή ΟΛΟΚΛΗΡΩΘΗΚΕ η Διαδικασία! Μ Μη εφικτή

5 65 Ανακεφαλαίωση Επίλυση με το WinQSB () Επίλυση με το WinQSB () Η άριστη λύση με το WinQSB Αρχικός πίνακας simple (κορυφή Α) Βέλτιστη λύση: (,, s, s, s, s4 ) Αριστη τιμή: z=9.75. (5, 5,,, 5,75) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Δεύτερος πίνακας simple (κορυφή Δ) Δεύτερος = τελικός πίνακας simple Παράγει 5 μονάδες από το προϊόν Α, 5 από το Β. Καταναλώνεται όλη η ποσότητα γάλακτος (s = ), Χρησιμοποιείται όλος ο χρόνος εργασίας (s = ), Υπάρχει αδρανής παραγωγική δυναμικότητα (s = 5) Πρώτος πίνακας simple (κορυφή Ε) Δεν παράγει τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα για το πρώτο Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) προϊόν Α αλλά 75 μονάδες λιγότερες (s4 = 75). Η λύση αντιστοιχεί στο σημείο Δ (5, 5) Lindo (μοντέλο) Lindo (επίλυση) Lindo (αναφορά επίλυσης ) Lindo (αναφορά επίλυσης ) (775, + ) Ecel (δεδομένα και παράθυρο επίλυσης) Ecel (Αναφορά απάντησης) Ecel (Αναφορά ευαισθησίας) Επίλυση με το POM/QM (επαναλήψεις simple) Επίλυση με το POM/QM Η άριστη λύση με το WinQSB Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ (ή της Χ). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) ξεπεράσει τις χμ (45χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) μειωθεί περισσότερο από τις 66,6667χμ (5χμ) προς τ αριστερά; Πόση είναι τελικά η κατανάλωση πόρων στο άριστο σχέδιο ; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του κόστους ευκαιρίας; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για μία ακόμη μονάδα γάλακτος (ή εργασίας, ή δυναμικότητας, ή ζητούμενης ποσότητας) και για πόσες μονάδες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ, στα δεξιά άκρα των διαστημάτων εφικτότητας των περιορισμών C και C4; Ποια βασική αρχή διέπει τα διαστήματα που βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας;

6 8 Το διαφημιστικό Σχέδιο της ProLu Minimize z= και, συνολικό κόστος (εκατομμύρια χμ) γυναίκες ( άτομα) άνδρες ( άτομα) ελάχιστο πλήθος βραδινά μηνύματα Τυποποιημένη Μορφή του μοντέλου Min και z.5 e.5 e e.. e.5 5 e e,, e, e, e 5 9 Η γραφική επίλυση Είσοδος τεχνητών μεταβλητών (artificial variables) Min z.5.5 e e e Ma Ma Ma Αρχική βάση.. e α e α 9 e α όπου,, e, e, e, a, a, a Επίλυση με τη μέθοδο simple. Μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού. Επιλέγεται ως εισερχόμενη βασική μεταβλητή εκείνη που έχει το πιο αρνητικό στοιχείο στη σειρά cj zj. Τερματισμός όταν όλα τα στοιχεία στη σειρά cj zj είναι θετικά ή μηδέν. Ισοδύναμο πρόβλημα μεγιστοποίησης Maimize z.5.5 e e e Ma Ma Ma.. e α.5.5 e α e α 5 9 Επίλυση με τις κατάλληλες μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού. Μετασχηματισμός σε πρόβλημα μεγιστοποίησης (??) όπου,, e, e, e, a, a, a Σε ποια κορυφή αντιστοιχεί?? (,, e, e, e, a, a, a)= (,,,,,, 4, ) (,, e, e, e)= (,,5, 4, ) Δ (, ) Μετακίνηση στο ακραίο σημείο Δ Μετακίνηση στο ακραίο σημείο Ε (,, e, e, e, a, a, a)= (, 6,,, 6, 7.8,, ) (,, e, e, e)= (, 6, 7.8,, 6) Ε (, 6) Μετακίνηση στην κορυφή Γ Μετακίνηση στην κορυφή Α (βέλτιστη) Η άριστη λύση στο LINDO Αναφορά Απάντησης LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE ). VARIABLE VALUE REDUCED COST X.. X.. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) ) ).. NO. ITERATIONS=

7 97 Αναφορά Ευαισθησίας στο Lindo Επίλυση με το WinQSB () Επίλυση με το WinQSB () Επίλυση με το WinQSB () RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: Αρχικός πίνακας simple (κορυφή Ο) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Δεύτερος πίνακας simple (κορυφή Ε) Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Τέταρτος πίνακας = τελικός πίνακας simple (κορυφή Α) OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE ALLOWABLE VARIABLE CURRENT COEF INCREASE DECREASE X.5.5. X RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY Πρώτος πίνακας simple (κορυφή Δ) Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) Ολοκλήρωση της πρώτης φάσης με την κατασκευή του τρίτου πίνακα που ακολουθεί Τρίτος πίνακας simple (κορυφή Γ) Τέταρτη επανάληψη (τρίτος τέταρτος πίνακας) Η άριστη λύση με το WinQSB Επίλυση με το POM/QM (επαναλήψεις simple) Η άριστη λύση με το POM/QM Η άριστη λύση με το WinQSB Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ (ή της Χ). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) ξεπεράσει τις,75χμ (7,5χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) μειωθεί περισσότερο από,5χμ (χμ) προς τ αριστερά; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για να προσεγγίσει ακόμη. γυναίκες (περιορισμός C) και μέχρι πόσα επιπλέον άτομα ισχύει η ανάλυση αυτή; Ομοίως για επιπλέον άνδρες; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του περιορισμού C. Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (δηλαδή του ); Έχει κι άλλα; Εργαστήριο Πέλλα (όλα τα είδη περιορισμών) Δεδομένα Καλλιτεχνικός γύψος = 7.5 kg (πρέπει να καταναλωθούν) Κεφάλαια =.6.χμ (κόστος εργασίας) Μοναδιαίο κόστος εργασίας =. χμ/ώρα Έκτακτη παραγγελία η οποία προϋποθέτει τουλάχιστον 7 τεμάχια τύπου Α περισσότερα από τα Β) Κατανάλωση Πόρων Προϊόν Α:.5 ώρα, 5 kg γύψο, άλλα κόστη = 4.5 χμ, Προϊόν Β:.5 ώρες, 5 kg γύψος, κόστος =. χμ, Τιμή πώλησης Α = 8.χμ Τιμή πώλησης Β = 6.5χμ Γενική Μορφή του μοντέλου Γραφική επίλυση (ποια είναι η εφικτή περιοχή;) Επίλυση με τη μέθοδο simple (WinQSB ) Αρχικός πίνακας simple (κορυφή Α) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Επίλυση με τη μέθοδο simple (WinQSB ) Δεύτερος πίνακας simple (κορυφή Ε) Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) +s+emama () +a () () e + a +s Θ Ε Δ Γ Η Πρώτος πίνακας simple (κορυφή Ι) Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) Τρίτος πίνακας simple = τελικός πίνακας simple (κορυφή Γ) Α obj Ι Β

8 4 H άριστη λύση με το WinQSB H άριστη λύση με το POM/QM H άριστη λύση με το WinQSB Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών Ποιο είναι το φυσικό νόημα του αριστερού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X που είναι ίσο με Μ ( ); Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X που είναι ίσο με Μ (+ ); Παραλλαγή: Έστω, ότι ο πρώτος περιορισμός γίνεται: Ma z Γραφική Επίλυση παραλλαγής () Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simple () Αρχικός πίνακας simple (κορυφή Α) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πώς σχολιάζετε την απαίτηση να καταναλωθεί οπωσδήποτε όλη η ποσότητα γύψου με βάση τη συγκυρία; (ζημιογόνος; επικερδής; γιατί;) Τελικά, ποια ποσότητα γύψου φαίνεται ότι θα συνέφερε να καταναλωθεί με βάση τη δεδομένη συγκυρία; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του διαθέσιμου κεφαλαίου για το κόστος εργασίας. Μπορείτε να το συνδέσετε με το πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας (και για πόσες ώρες ακόμη); Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ ( ) στο αριστερό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του περιορισμού C; ) 5 5 7,5 ) 5, 6 ) 7 με, Θ Α Ι Ε Δ Β Γ Η Πρώτος πίνακας simple (κορυφή Ι) Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simple () Άριστη λύση της παραλλαγής με WinQSB Άριστη λύση της παραλλαγής με POM/QM Δεύτερος πίνακας simple = τελικός πίνακας simple (κορυφή Ε) Άριστη λύση της παραλλαγής με WinQSB Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X που είναι ίσο με Μ (+ ); Έχει κι άλλα; Παραλλαγή με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Ma z Τι θα συμβεί αν το δεξιό άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X αυξηθεί και γίνει ακριβώς ίσο με,7; Τελικά πόσα περισσότερα τεμάχια τύπου κατασκευάζονται ; Γιατί ; Συγκρίνετε με την προηγούμενη άριστη λύση και σχολιάστε. Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για την αγορά ενός επιπλέον κιλού γύψου ; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας και για πόσες ώρες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (+ ) στο δεξιό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας 4) 5 5 7,5 5) 5, 6 6) 7 με, του περιορισμού C; Ποιο είναι το φυσικό νόημα της αρνητικής σκιώδους τιμής του περιορισμού C;

9 9 Γραφική Επίλυση (παραλλαγή με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις).7 Επίλυση στο WinQSB () Αρχικός πίνακας simple (κορυφή Α) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) Επίλυση στο WinQSB () Δεύτερος πίνακας simple = τελικός πίνακας simple (κορυφή Ε).7.7 Πρώτος πίνακας simple (κορυφή Ι) Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) Ποια κορυφή αντιστοιχεί στην άριστη λύση του παραπάνω πίνακα ; H άριστη λύση στο WinQSB (εναλλακτικές άριστες λύσεις) Εύρεση της εναλλακτικής άριστης κορυφής Τελικός πίνακας simple της εναλλακτικής Από πού διακρίνω ότι υπάρχει εναλλακτική άριστη λύση ; (η ερώτηση δεν αναφέρεται στο προφανές μήνυμα με τα θαυμαστικά!!) Ο τελικός πίνακας simple της εναλλακτικής στο WinQSB H άριστη λύση στο POM/QM (εναλλατικές λύσεις) Ακόμη; H εναλλακτική άριστη λύση (κορυφή) στο WinQSB Παραλλαγή χωρίς εφικτή λύση (infeasibility) Γραφική Επίλυση (καμία εφικτή λύση) Μεγέθυνση (καμία εφικτή λύση): Πώς βρίσκουμε ότι δεν έχει εφικτή λύση; Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Ma Z =.5 X + 9.5X 5 5 9, 5,6 7 με, Α Θ Ι Ε Δ Η Γ Ma z e s e Ma Ma 5 5 e a 9, 5 s,6 e a 7 με,, e, a, s, e, a

10 45 Καμία εφικτή λύση Καμία εφικτή λύση Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () Αρχικός πίνακας simple (κορυφή Α) Δεύτερος πίνακας simple (κορυφή Ε) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Πρώτος πίνακας simple (κορυφή Ι) Τέταρτoς πίνακας simple = τελικός πίνακας simple (κορυφή Η) Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) Σε ποιο σημείο του σχήματος αντιστοιχεί? Επίλυση στο POM/QM (καμία εφικτή λύση) Μη φραγμένο πρόβλημα (unbounded problem) Maimize z 5 5, Γραφική Επίλυση (μη φραγμένο) Μη φραγμένο πρόβλημα () Μη φραγμένο πρόβλημα () Μη φραγμένο πρόβλημα () M α 5 5? s? Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () Αναφορά του LINDO για το μη φραγμένο πρόβλημα Αρχικός πίνακας simple (κορυφή Α) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) Πρώτος πίνακας simple (κορυφή Β) Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) Δεύτερος πίνακας simple (αδύνατο να προχωρήσει η διαδικασία) (κορυφή Γ) Αναφορά του WinQSB για το μη φραγμένο πρόβλημα UNBOUNDED VARIABLES ARE: X SLK X OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) E+8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X.. X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) 5..5 )..5 ITERATIONS= NO. SUFFICIENT SET (COLS), CORRECT ONE OF: X X

11 6 Επίλυση στο POM/QM (μη φραγμένο) Άλλες ειδικές περιπτώσεις. Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές Xj (μετασχηματίζουμε, ώστε όλες να είναι ). Ισοβάθμιση στην εισερχόμενη (cj zj). Ισοβάθμιση στην εξερχόμενη (πηλίκα, εκφυλισμένες) ΑΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣΟΥΜΕ ΕΔΩ!!