ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß"

Transcript

1 ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1, 2, 3, 4] óôï ôýëïò ôïõ ìáèþìáôïò Âáóéêïß ïñéóìïß Ïñéóìüò ËÝãåôáé ðñïóáíáôïëéóìýíç åõèåßá Þ Üîïíáò ìéá åõèåßá, Ýóôù å, óôçí ïðïßá Ý åé ïñéóôåß Ýíá óôáèåñü óçìåßï Ï, Ýíá åõèýãñáììï ôìþìá ÏÁ ðïõ ôï ìþêïò ôïõ èåùñåßôáé ùò ìïíüäá ìýôñçóçò, äçëáäþ ÏÁ = 1 êáé èåôéêþ ç öïñü áðü ôï Ï ðñïò ôï Á (Ó ). Ôüôå ðñïöáíþò ç öïñü áðü ôï Á ðñïò ôï Ï èá åßíáé áñíçôéêþ. Áí ôþñá Ì åßíáé Ýíá Üëëï ôõ üí óçìåßï ôçò å, èá ðñýðåé ãéá ôï ìýôñï ôçò áðüóôáóþò ôïõ áðü ôï Ï íá éó ýåé: ÏÌ = x ÏÁ = x: 19

2 20 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 0 A M M 1 M 2 x Ó Þìá : ðñïóáíáôïëéóìýíç åõèåßá Þ Üîïíáò. Ï áñéèìüò x ïñßæåé ôüôå ôçí ôåôìçìýíç ôïõ óçìåßïõ Ì. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ç ôåôìçìýíç åßíáé èåôéêþ, üôáí ôï óçìåßï åßíáé äåîéü ôïõ Ï. Áíôßóôñïöá ôþñá, áí åßíáé ãíùóôþ ç ôåôìçìýíç åíüò óçìåßïõ, ôüôå èá åßíáé ãíùóôþ êáôü ìïíïóþìáíôï ôñüðï êáé ç èýóç ôïõ óôïí Üîïíá. Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðüíù, åðåéäþ óå êüèå óçìåßï ôïõ Üîïíá áíôéóôïé åß áêñéâþò Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò êáé áíôßóôñïöá (áìöéìïíïóþìáíôç áíôéóôïé ßá), ç åõèåßá å ôáõôßæåôáé ìå ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí R. Ïñéóìüò óôù Ì 1, Ì 2 äýï ôõ üíôá óçìåßá ôçò å. Ôüôå ôï ìýôñï Þ ç áëãåâñéêþ ôéìþ ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò Ì 1 Ì 2 èá éóïýôáé ìå Ì 1 Ì 2 = ÏÌ 2 ÏÌ 1 = x 2 ÏÁ x 1 ÏÁ = x 2 x 1 : ( ) 1.2 ÓõóôÞìáôá óõíôåôáãìýíùí Ïñèïãþíéï óýóôçìá óôù åðßðåäï Ð êáé äýï êüèåôåò åõèåßåò ôïõ ìå êïéíþ áñ Þ ôï óçìåßï ôïìþò ôùí, Ýóôù Ï. Áí ç ìßá áðü áõôýò óõìâïëßæåé ôïí Üîïíá ôùí x, ðïõ ëýãåôáé åðßóçò êáé Üîïíáò ôåôìçìýíùí êáé ç Üëëç ôùí y, ðïõ ëýãåôáé Üîïíáò ôåôáãìýíùí, ôüôå ôï óýóôçìá áõôü ïñßæåé Ýíá ïñèïãþíéï Þ êáñôåóéáíü óýóôçìá áîüíùí óôï åðßðåäï, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå Ïxy. Áíôßóôïé á óôïí þñï èåùñïýíôáé ôñåéò êüèåôåò åõèåßåò Ïx, Ïy êáé Ïz, üðïõ ç Ïz ëýãåôáé êáé Üîïíáò ôùí

3 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 21 z M 3 M O M 2 y x M 1 M Ó Þìá : êáñôåóéáíü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. êáôçãìýíùí. Ôï óýóôçìá áõôü óõìâïëßæåôáé ìå Ïxyz (Ó ) êáé ïñßæåé ôï áíôßóôïé ï ïñèïãþíéï óýóôçìá óôïí þñï. íá ïñèïãþíéï óýóôçìá óôïí þñï èá ëýãåôáé äåîéüóôñïöï, üôáí ç èåôéêþ öïñü ôïõ Üîïíá Ïz óõìðßðôåé ìå ôçí êáôåýèõíóç êßíçóçò åíüò êï ëßá, ðïõ óôñýöåôáé óôï åðßðåäï Ïxy êáôü ôçí áíôßèåôç öïñü ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý, äçëáäþ áðü ôïí Üîïíá Ïx ðñïò ôïí Ïy. Áíôßóôïé á óôï åðßðåäï ùò äåîéüóôñïöï óýóôçìá ïñßæåôáé åêåßíï ãéá ôï ïðïßï, ç èåôéêþ öïñü ôïõ Üîïíá Ïx óõìðßðôåé ìå ôç èåôéêþ öïñü ôïõ Üîïíá Ïy, üôáí ç êßíçóç ãßíåôáé ìå ôçí áíôßèåôç öïñü êßíçóçò ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý, äéáöïñåôéêü ëýãåôáé áñéóôåñüóôñïöï (Ó ). Áí Ïxyz åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí ôïõ þñïõ êáé Ì ôõ üí óçìåßï, ôüôå ç ðáñüëëçëç áðü ôï Ì ðñïò ôïí Üîïíá Ïz ôýìíåé ôï åðßðåäï Ïxy óôï óçìåßï Ì. Áðü ôï Ì öýñíïíôáò ðáñüëëçëåò ðñïò ôïõò Üîïíåò Ïy êáé Ïx ïñßæïíôáé ôá x 1 = ÏÌ 1 êáé y 1 = ÏÌ 2 áíôßóôïé á. ÔÝëïò áðü ôï Ì öýñíïíôáò ðáñüëëçëç ðñïò ôçí ÏÌ ïñßæåôáé ôï óçìåßï z 1 = ÏÌ 3. Ç ôñéüäá ôùí áñéèìþí (x 1 ; y 1 ; z 1 ) ïñßæåé ôüôå ôéò êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò Þ áðëü óõíôåôáãìýíåò ôïõ Ì óôïí þñï. ¼ìïéá ôï æåýãïò ôùí áñéèìþí (x 1 ; y 1 ) ïñßæåé ôéò êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò Þ áðëü óõíôåôáãìýíåò ôïõ Ì óôï åðßðåäï. Óýìöùíá ìå áõôü óå êüèå óçìåßï ôïõ þñïõ áíôßóôïé á ôïõ åðéðýäïõ áíôéóôïé ïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ êáé áíôßóôñïöá, üôáí åßíáé ãíùóôýò ïé óõíôåôáãìýíåò, ôüôå êáèïñßæåôáé áêñéâþò ç èýóç ôïõ óôïí þñï áíôßóôïé á

4 22 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá : óõíôåôáãìýíùí. (a) áñéóôåñüóôñïöï êáé (b) äåîéüóôñïöï óýóôçìá óôï åðßðåäï. íá üìïéï ìå ôï êáñôåóéáíü óýóôçìá åßíáé ôï ðëáãéïãþíéï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí, óôï ïðïßï ïé Üîïíåò ôýìíïíôáé ðëüãéá. Ôï óýóôçìá áõôü Ý åé ðåñéïñéóìýíåò åöáñìïãýò. Óôï åîþò ï üñïò óõíôåôáãìýíåò èá óçìáßíåé êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò, åêôüò áí äéáöïñåôéêü ïñßæåôáé ÁëëáãÝò ïñèïãþíéïõ óõóôþìáôïò ÅîåôÜæåôáé óôç óõíý åéá ôï ðñüâëçìá ôçò áëëáãþò ôùí óõíôåôáãìýíùí óôï åðßðåäï. Äéáêñßíïíôáé ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò: i) ÐáñÜëëçëç ìåôáôüðéóç áîüíùí óôù üôé ïé íýïé Üîïíåò Ï x y åßíáé ðáñüëëçëïé ðñïò ôïõò áñ éêïýò Ïxy (Ó ). Ç ðáñüëëçëç ìåôáôüðéóç ôïõ óõóôþìáôïò áñáêôçñßæåôáé áðü äýï èåôéêü Þ áñíçôéêü ìåãýèç a êáé b, ðïõ ðáñéóôüíïõí ôéò ðáñüëëçëåò ðñïò ôïõò Üîïíåò Ïy êáé Ïx ìåôáôïðßóåéò ôùí íýùí áîüíùí Ï y êáé Ï x áíôßóôïé á. Ôüôå, áí M åßíáé Ýíá óçìåßï ìå óõíôåôáãìýíåò (x; y) óôï óýóôçìá Ïxy, ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ (x ; y ) óôï Ï x y èá åßíáé: x = x a; y = y b ( )

5 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 23 y y M b O x O a x Ó Þìá : ðáñüëëçëç ìåôáôüðéóç áîüíùí. êáé áíôßóôñïöá: x = x + a; y = y + b: ( ) ii) ÓôñïöÞ ôùí áîüíùí êáôü ïñéóìýíç ãùíßá óôù üôé ôï óýóôçìá Ïxy óôñýöåôáé êáôü ôç äåîéüóôñïöç öïñü ðåñß ôçí áñ Þ Ï êáôü ãùíßá ìå è [0; 2ð) (Ó ). Ôüôå, áí Ï x y åßíáé ïé íýïé Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí êáé M ôõ üí óçìåßï ôïõ åðéðýäïõ ìå óõíôåôáãìýíåò (x; y) óôï áñ éêü êáé (x ; y ) óôï íýï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí, Ý ïõìå: x = x cos + y sin y = x sin + y cos ( ) êáé áíôßóôñïöá: x = x cos y sin y = x sin + y cos : ( ) iii) ÐáñÜëëçëç ìåôáôüðéóç êáé óôñïöþ ôùí áîüíùí Ç ðåñßðôùóç áõôþ ðñïêýðôåé ùò óõíäõáóìüò ôùí äýï ðñïçãïýìåíùí

6 24 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá : óôñïöþ ôùí áîüíùí êáôü ïñéóìýíç ãùíßá. ðåñéðôþóåùí. óôù üôé ôï óýóôçìá Ïxy ìåôáôïðßæåôáé ðáñüëëçëá ðñïò ôçí áñ éêþ ôïõ èýóç, Ýôóé þóôå ôï Ï íá ìåôáôïðéóôåß óôï Ï (a; b) êáé óôç óõíý åéá óôñýöåôáé äåîéüóôñïöá ðåñß ôç íýá ôïõ áñ ÞÏ êáôü ãùíßá. Ôüôå, áí M ôõ üí óçìåßï ôïõ åðéðýäïõ ìå óõíôåôáãìýíåò (x; y) óôï áñ éêü êáé (x ; y ) óôï íýï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí, Ý ïõìå: x = (x a) cos + (y b) sin y = (x a) sin + (y b) cos ( ) êáé áíôßóôñïöá: x = x cos y sin + a y = x sin + y cos + b: ( ) ëëá óõóôþìáôá óõíôåôáãìýíùí Ïé êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò åßíáé ïé ðñþôåò ðïõ ñçóéìïðïéþèçêáí óõóôçìáôéêü óôéò ðåñéóóüôåñåò åöáñìïãýò, åðåéäþ åßíáé ïé ðëýïí åý ñçóôåò, áöïý ç åöáñìïãþ ôïõò óôçñßæåôáé óôçí Ýííïéá ôçò ðáñüëëçëçò åõèåßáò ðñïò ôïõò Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí.

7 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 25 y M r Θ x Ó Þìá : ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ M(r; è). Ãåíéêüôåñá áðïäåéêíýåôáé üôé êüèå ìïíïóþìáíôç áíôéóôïé ßá óçìåßùí ôïõ åðéðýäïõ Þ ôïõ þñïõ êáé åíüò óõíüëïõ áñéèìþí, åßíáé äõíáôüí íá ñçóéìïðïéçèåß ùò óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. Ôá êõñéüôåñá áðü áõôü, ðïõ óõíþèùò ñçóéìïðïéïýíôáé óôéò åöáñìïãýò, äßíïíôáé ðáñáêüôù ÐïëéêÝò óõíôåôáãìýíåò óôï åðßðåäï Óôï óýóôçìá áõôü ç èýóç åíüò óçìåßïõ Ì óôï åðßðåäï ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôç âïþèåéá äýï áñéèìþí ùò åîþò: 1 óôù óçìåßï Ï ôïõ åðéðýäïõ, ðïõ ëýãåôáé ðüëïò êáé ìßá ðñïóáíáôïëéóìýíç åõèåßá å, ðïõ ëýãåôáé ðïëéêüò Üîïíáò êáé ç ïðïßá äéýñ åôáé áðü ôï Ï, äçëáäþ ìßá åõèåßá óôçí ïðïßá Ý åé êáèïñéóôåß ìßá áñ Þ ìýôñçóçò êáé ìßá èåôéêþ öïñü äéáãñáöþò. Áí r = ÏÌ åßíáé ç ëåãüìåíç ðïëéêþ áðüóôáóç êáé è ìå 0 è < 2ð åßíáé ç ðïëéêþ ãùíßá, ðïõ ïñßæåôáé ìå áñ éêþ ðëåõñü ôïí ðïëéêü Üîïíá êáé ôåëéêþ ôçí ÏÌ ìå äåîéüóôñïöç öïñü äéáãñáöþò, ôüôå ôï æåýãïò (r; è) ïñßæåé êáôü ìïíïóþìáíôï ôñüðï ôç èýóç ôïõ óçìåßïõ Ì êáé áíôßóôñïöá. Ôï æåýãïò (r; è) ïñßæåé ôüôå ôéò ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ Ì óôï åðßðåäï (Ó ). Ï ìåôáó çìáôéóìüò áðü ôéò ðïëéêýò (r; è) óôéò êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 1ÂëÝðå: http : ==en:wikipedia:org=wiki=p olar coordinate system

8 26 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò (x; y) ãßíåôáé ìå ôéò ó Ýóåéò: x = r cos ; y = r sin ; ( ) åíþ áðü ôéò êáñôåóéáíýò óôéò ðïëéêýò (r; è) ìå ôéò: r = x 2 + y 2 ; cos è = x r êáé sin è = y ; 0 è < 2; ( ) r üôáí (x; y) (0; 0) ÊõëéíäñéêÝò óõíôåôáãìýíåò Ç èýóç åíüò óçìåßïõ Ì óôïí þñï ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôéò ëåãüìåíåò êõëéíäñéêýò óõíôåôáãìýíåò ùò åîþò: 2 óôù ìßá áñ Þ (ðüëïò) Ï, Ýíá åðßðåäï Ð ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï Ï êáé Ýíáò Üîïíáò Ïx ðïõ âñßóêåôáé óôï åðßðåäï áõôü êáé äéýñ åôáé áðü ôï Ï (Ó ) êáé Ýóôù Ì ç ðñïâïëþ ôïõ Ì óôï åðßðåäï Ð. Ôüôå ç èýóç ôïõ óçìåßïõ Ì åßíáé äõíáôüí íá êáèïñéóôåß áðü ôá ðáñáêüôù óôïé åßá: - ôçò áðüóôáóçò r = ÏÌ ôïõ óçìåßïõ Ì áðü ôïí ðüëï, - ôçò ãùíßáò è ìå 0 è < 2ð ðïõ ïñßæåôáé ìå áñ éêþ ðëåõñü ôïí Üîïíá Ïx êáé ôåëéêþ ôçí ÏÌ, - ôçò áðüóôáóçò z = ÌÌ ôïõ óçìåßïõ Ì áðü ôï åðßðåäï Ð. Ïé áñéèìïß (r; ; z) ïñßæïõí ôüôå ôéò êõëéíäñéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ Ì. Ïé êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò (x; y; z) ðñïêýðôïõí áðü ôéò áíôßóôïé åò êõëéíäñéêýò ìå ôéò ó Ýóåéò x = r cos ; y = r sin ; z = z; ( ) 2ÂëÝðå: http : ==en:wikipedia:org=wiki=cylindrical coordinate system

9 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 27 z M r z O Θ y x M Ó Þìá : êõëéíäñéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ M(r; è; z), üôáí r = x 2 + y 2 + z 2 = (OM) ìå x; y íá ïñßæïíôáé áðü (1:2:4 1) êáé (MM ) = z. åíþ ïé êõëéíäñéêýò (r; è; z) áðü ôéò áíôßóôïé åò êáñôåóéáíýò ìå ôéò r = x 2 + y 2 + z 2 ; cos è = x r êáé sin è = y r ; 0 è < 2ð; z = z; üôáí (x; y) (0; 0): ( ) ÓöáéñéêÝò óõíôåôáãìýíåò ¼ìïéá ç èýóç ôïõ óçìåßïõ Ì óôïí þñï ðñïóäéïñßæåôáé ìå ôéò ëåãüìåíåò óöáéñéêýò óõíôåôáãìýíåò ùò åîþò: 3 óôù ìßá áñ Þ (ðüëïò) Ï, Ýíá åðßðåäï Ð ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï Ï êáé Ýíáò Üîïíáò Ïx ðïõ âñßóêåôáé óôï åðßðåäï áõôü êáé äéýñ åôáé áðü ôï Ï (Ó ). Ôüôå ç èýóç ôïõ óçìåßïõ Ì åßíáé äõíáôüí íá êáèïñéóôåß áðü ôá ðáñáêüôù óôïé åßá: 3ÂëÝðå: http : ==en:wikipedia:org=wiki=spherical coordinate system

10 28 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò z M r O Φ Θ y x M Ó Þìá : óöáéñéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ M(r; è; ö), üôáí r = x 2 + y 2 + z 2 = (OM) ìå x; y; z íá ïñßæïíôáé áðü (1:2:5 1). - ôçò áðüóôáóçò r = ÏÌ ôïõ óçìåßïõ Ì áðü ôïí ðüëï, - ôçò ãùíßáò ö ìå 0 ö < 2ð ðïõ ïñßæåôáé ìå áñ éêþ ðëåõñü ôïí Üîïíá Ïx êáé ôåëéêþ ôçí ÏÌ, üôáí Ì ç ðñïâïëþ ôïõ Ì óôï åðßðåäï ÏÌ, - ôçò ãùíßáò è (áæéìïýèéï - azimuth) ìå ð=2 è < ð=2 ðïõ ïñßæåôáé ìå áñ éêþ ðëåõñü ôçí ÏÌ êáé ôåëéêþ ôçí ÏÌ. Ôá (r; ö; è) ïñßæïõí ôüôå ôéò óöáéñéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ Ì. Ïé êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò (x; y; z) óõíäýïíôáé ìå ôéò áíôßóôïé åò óöáéñéêýò ìå ôéò ó Ýóåéò: x = r cos cos ; y = r cos sin ; z = r sin ; ( )

11 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá äéáíõóìüôùí 29 åíþ ïé óöáéñéêýò (r; ö; è) ìå ôéò áíôßóôïé åò êáñôåóéáíýò ìå ôéò: r = x 2 + y 2 + z 2 ; sin = z r ; x cos = êáé sin = y ( ) r cos r cos üðïõ ïé ãùíßåò êáé ö ðñýðåé íá åðáëçèåýïõí óôçí (1:2:5 2) ôéò åîéóþóåéò áðü ôéò ïðïßåò ðñïóäéïñßæïíôáé ìå ð=2 è < ð=2 êáé 0 ö < 2ð áíôßóôïé á, üôáí (x; y; z) (0; 0; 0). Ïé åíôïëýò ïñéóìïý êáé áëëáãþò óõíôåôáãìýíùí ìå ôï MATHEMATICA åßíáé: Ðñüãñáììá (óõóôþìáôá óõíôåôáãìýíùí) <<VectorAnalysis' SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]] SetCoordinates[Cylindrical[r,è,z]] SetCoordinates[Spherical[r,è,ö]] CoordinatesToCartesian[{r,è,ö},Spherical] CoordinatesFromCartesian[{x,y,z},Spherical] êëþóç ðáêýôïõ êáèïñéóìüò óõóôþìáôïò ôýðïé áëëáãþò 1.3 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá äéáíõóìüôùí Ïñéóìüò äéáíýóìáôïò Óýìöùíá êáé ìå ôïí Ïñéóìü ôï äéüíõóìá (vector) ïñßæåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò (äéáíýóìáôïò). Ïñßæåôáé ùò äéüíõóìá êüèå ðñïóáíáôïëéóìýíï åõèýãñáììï ôìþìá åðß ôïõ ðñïóáíáôïëéóìýíïõ Üîïíá å Þ ðáñüëëçëïõ ðñïò áõôüí. Ôá äéáíýóìáôá èá óõìâïëßæïíôáé óôï åîþò ìå á, â (Ó ) ê.ëð. 4 Ïñéóìüò Ïñßæåôáé ùò ìçäåíéêü ôï äéüíõóìá ðïõ ç áñ Þ êáé ôï ôýëïò ôïõ óõìðßðôïõí. Ôá ìçäåíéêü äéáíýóìáôá èá óõìâïëßæïíôáé ìå 0. 4Óõíçèßæåôáé óôá âéâëßá ï óõìâïëéóìüò ìå Ýíôïíá ãñüììáôá, üðùò á, â ê.ëð., áëëü óôçí ðñüîç ñçóéìïðïéåßôáé åðßóçò êáé ï óõìâïëéóìüò á, â ê.ëð.

12 30 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Β O Α Γ Ó Þìá : óõìâïëéóìüò äéáíõóìüôùí. Óôïé åßá äéáíýóìáôïò óôù ôï äéüíõóìá á = AB. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü ôï äéüíõóìá á áñáêôçñßæåôáé áðü ôá åîþò óôïé åßá: i) äéåýèõíóç ðïõ åßíáé ç 5 åõèåßá áðü ôá óçìåßá A êáé B, ii) öïñü áõôþ ðïõ ïñßæåôáé ìå áñ Þ ôï A êáé ôýëïò ôï B ôýëïò, iii ìýôñï á Þ á ðïõ éóïýôáé ìå ôï ìþêïò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò AB, äçëáäþ á = á = AB : ñá Ýíá äéüíõóìá èá åßíáé èåôéêü Þ áñíçôéêü, üôáí ç öïñü ôïõ óõìðßðôåé ìå ôç èåôéêþ Þ áíôßóôïé á áñíçôéêþ öïñü ôïõ Üîïíá. Ïñéóìüò Äéáíýóìáôá ðïõ Ý ïõí ôçí ßäéá äéåýèõíóç èá ëýãïíôáé óõããñáììéêü Åßäç äéáíõóìüôùí Ôá äéáíýóìáôá, áíüëïãá ìå ôéò éäéüôçôåò ôùí äéáöüñùí äéáíõóìáôéêþí ìåãåèþí ðïõ ðáñéóôüíïõí, äéáêñßíïíôáé óôéò ðáñáêüôù êáôçãïñßåò: 5Ç åõèåßá ëýãåôáé êáé öïñýáò ôïõ äéáíýóìáôïò.

13 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá äéáíõóìüôùí 31 i) åëåýèåñá, üôáí åßíáé äõíáôüí íá ìåôáôïðéóôïýí óôïí öïñýá ôïõò Þ ðáñüëëçëá ðñïò áõôüí (ð.. ç ñïðþ åíüò æåýãïõò), ii) ïëéóèáßíïíôá, üôáí ìåôáôïðßæïíôáé óôïí öïñýá ôïõò áëëü ü é ðáñüëëçëá ðñïò áõôüí (ð.. ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå óþìá), iii) åöáñìïóôü, üôáí Ý ïõí ïñéóìýíï óçìåßï åöáñìïãþò êáé óõíåðþò äåí ìåôáôïðßæïíôáé óôïí öïñýá ôïõò Þ ðáñüëëçëá ðñïò áõôüí (ð.. ç ôá ýôçôá õëéêïý óçìåßïõ) Éóüôçôá Ïñéóìüò Äýï äéáíýóìáôá á êáé â èá åßíáé ßóá, üôáí Ý ïõí ôï ßäéï ìýôñï, äéåýèõíóç êáé öïñü. Ôüôå ãñüöåôáé á = â, åíþ óå ïðïéáäþðïôå Üëëç ðåñßðôùóç ôá äéáíýóìáôá èá åßíáé äéáöïñåôéêü, äçëáäþ á â. Åýêïëá áðïäåéêíýåôáé üôé ç éóüôçôá ïñßæåé ìßá ó Ýóç éóïäõíáìßáò Ðñüóèåóç Ïñéóìüò Ôï Üèñïéóìá á + â ôùí äéáíõóìüôùí á êáé â ïñßæåôáé üôé åßíáé ôï äéüíõóìá ðïõ ðñïêýðôåé, üôáí ôï â ãßíåé äéáäï éêü ôïõ á, äçëáäþ ç áñ Þ ôïõ â óõìðýóåé ìå ôï ôýëïò ôïõ á. Ôüôå ôï á+â Ý åé ùò áñ Þ ôçí áñ Þ ôïõ á êáé ôýëïò ôï ôýëïò ôïõ â. Ï ôñüðïò áõôüò ôçò ðñüóèåóçò åßíáé ãíùóôüò êáé ùò êáíüíáò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ (Ó ) Ðïëëáðëáóéáóìüò ìå ðñáãìáôéêü áñéèìü Ïñéóìüò Ï ðïëëáðëáóéáóìüò åíüò äéáíýóìáôïò á ìå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ë (scalar multiplication) ïñßæåôáé üôé åßíáé ôï äéüíõóìá ëá, ðïõ Ý åé ìýôñï ë öïñýò ôï ìýôñï ôïõ á, ßäéá äéåýèõíóç ìå ôï á êáé öïñü: (Ó ) - ßäéá ìå ôïõ á, üôáí ë > 0,

14 32 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá : ðñüóèåóç äéáíõóìüôùí. - áíôßèåôç ìå ôïõ á, üôáí ë < 0, - åßíáé ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá, üôáí ë = 0. Ó Þìá : Ðïëëáðëáóéáóìüò äéáíýóìáôïò ìå ðñáãìáôéêü áñéèìü Ìïíáäéáßï äéüíõóìá Ïñéóìüò Ïñßæåôáé ùò ìïíáäéáßï ôï äéüíõóìá ðïõ ôï ìýôñï ôïõ éóïýôáé ìå ôç ìïíüäá ìýôñçóçò. Ðáñáäåßãìáôá ôýôïéùí äéáíõóìüôùí åßíáé óå ïñèïãþíéï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí Oxyz ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá i, j êáé k óôïõò Üîïíåò Ox, Oy êáé Oz. Õðåíèõìßæåôáé üôé Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí óôï ïðïßï Ý ïõí ïñéóôåß ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá ôùí áîüíùí ôïõ èá ëýãåôáé ïñèïêáíïíéêü.

15 ÓõíôåôáãìÝíåò äéáíýóìáôïò 33 Óôç óõíý åéá ïñßæåôáé ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ ôõ üíôïò äéáíýóìáôïò á. Ïñéóìüò óôù á ôõ áßï äéüíõóìá ìå á 0. Ôüôå ïñßæåôáé ùò ìïíáäéáßï äéüíõóìá Þ ùò äéáíõóìáôéêþ ìïíüäá êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ á êáé óõìâïëßæåôáé ìå á 0 ôï äéüíõóìá á 0 = á : ( ) á ïíôáò õðüøç ôïí Ïñéóìü , áðü ôçí (1:3:6 1) äéáäï éêü ðñïêýðôåé: á 0 = 1 á á = 1 á á = 1; äçëáäþ á 0 = 1: 1.4 ÓõíôåôáãìÝíåò äéáíýóìáôïò óôù Ýíá ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí Oxyz. ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò: Äéáêñßíïíôáé ïé ÄéÜíõóìá èýóçò Ïñéóìüò óôù Ïxyz Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí. Áí ç áñ Þ ôïõ äéáíýóìáôïò óõìðßðôåé ìå ôçí áñ Þ ôùí óõíôåôáãìýíùí O (Ó ), ôüôå ôï äéüíõóìá ëýãåôáé äéüíõóìá èýóçò Þ áêôéíéêü äéüíõóìá (position Þ location Þ êáé radius vector) êáé óõìâïëßæåôáé ìå r. Áí x, y êáé z åßíáé ïé ðñïâïëýò ôïõ r óôïõò Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí, äçëáäþ áí ôï ôýëïò M ôïõ äéáíýóìáôïò Ý åé óõíôåôáãìýíåò M(x; y; z), ôüôå Þ áðëü r = r x; y; z ( ) r = x; y; z : ( ) ÅðïìÝíùò óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôï Üèñïéóìá ôùí óõíéóôùóþí äéáíõóìüôùí x i, y j êáé z k ïñßæåé ôï äéüíõóìá r, ïðüôå ç (1:4:1 5) áíáëõôéêü ãñüöåôáé: r = x i + y j + z k: ( )

16 34 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò z M r O y x M Ó Þìá : ôï äéüíõóìá èýóçò Þ áêôéíéêü äéüíõóìá r. Ôüôå ôï ìýôñï ôïõ äéáíýóìáôïò r = r x; y; z óõíáñôþóåé ôùí óõíôåôáãìýíùí éóïýôáé ìå ÐáñáôÞñçóç r = r = x 2 + y 2 + z 2 ( ) ÁíÜëïãïé ôýðïé éó ýïõí êáé óôçí ðåñßðôùóç ôùí åðßðåäùí äéáíõóìüôùí èýóçò, äçëáäþ r = x i + y j ( ) êáé r = r = x 2 + y 2 ( ) ÐáñÜäåéãìá Áí M(1:5; 1), íá õðïëïãéóôåß ôï äéüíõóìá èýóçò ðïõ áíôéóôïé åß óôï óçìåßï áõôü. Ëýóç. ÅðåéäÞ z = 0, áðü ôçí (1:4:1 3) Ý ïõìå üôé (Ó ) r = 1:5 i + j = 1:5; 1 :

17 ÓõíôåôáãìÝíåò äéáíýóìáôïò y M r x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ôï äéüíõóìá èýóçò r =< 1:5; 1 > ôïõ óçìåßïõ M ÃåíéêÞ ìïñöþ ÃåíéêÜ, üôáí ôï á åßíáé Ýíá ôõ üí äéüíõóìá ôïõ 3-äéÜóôáôïõ þñïõ ìå áñ Þ ôï óçìåßï A (x 1 ; y 1 ; z 1 ) êáé ôýëïò ôï  (x 2 ; y 2 ; z 2 ), ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ èá ïñßæïíôáé áðü ôéò ðñïâïëýò ôïõ óôïõò Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí êáé èá åßíáé ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á 1 = x 2 x 1 ; á 2 = y 2 y 1 êáé á 3 = z 2 z 1 : Ôüôå üìïéá ìå ôçí ðåñßðôùóç (i) èá åßíáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ á = á á 1 ; á 2 ; á 3 = á x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1 ( ) Þ áðëü á = á 1 ; á 2 ; á 3 = x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1 ( ) åíþ ç áíáëõôéêþ ÝêöñáóÞ ôïõ èá åßíáé á = á 1 i + á 2 j + á 3 k = (x 2 x 1 ) i + (y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k: ( )

18 36 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôï ìýôñï ôïõ äéáíýóìáôïò á = á 1 ; á 2 ; á 3 óõíáñôþóåé ôùí óõíôåôáãìýíùí èá éóïýôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ìå á = á = á1 2 + á2 2 + á2 3 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 : ( ) ÐáñáôÞñçóç ¼ìïéá ìå ôçí ÐáñáôÞñçóç , áíüëïãïé ôýðïé éó ýïõí êáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãéá ôá åðßðåäá äéáíýóìáôá. ÐáñÜäåéãìá Ãéá ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá i, j êáé k óôïõò Üîïíåò Ox, Oy êáé Oz åíüò ïñèïãþíéïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí Oxyz ðïõ Ý ïõí óõíôåôáãìýíåò i = 1; 0; 0 ; j = 0; 1; 0 ; k = 0; 0; 1 ðñïêýðôåé ðñïöáíþò áðü ôïí ôýðï (1:4:1 4) üôé ÐáñÜäåéãìá i = j = k = 1: óôù ôï äéüíõóìá á = á 1:5; 1. Ôüôå áðü ôïí ôýðï (1:4:1 4) ðñïêýðôåé üôé á = 1:5 2 + ( 1) 2 = 3:25 1:802776: ñá ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá á 0 êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ á óýìöùíá ìå ôç ó Ýóç (1:3:6 1) èá åßíáé (Ó ) á 0 = á á = 1 3:25 (1:5 i j) = 1 3:25 1:5; 1 0:83205; 0:55470 :

19 ÓõíôåôáãìÝíåò äéáíýóìáôïò y x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ôï äéüíõóìá á =< 1:5; 1 > ìå ìðëå êáé ôï áíôßóôïé ï ìïíáäéáßï á 0 ìå ðñüóéíç ãñáììþ. ÐáñÜäåéãìá óôù ôï äéüíõóìá á = á 1; 2; 3. Ôüôå üìïéá áðü ôïí ôýðï (1:4:1 4) ðñïêýðôåé üôé á = ( 2) = 14: ñá ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá á 0 êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ á óýìöùíá ìå ôç ó Ýóç (1:3:6 1) èá åßíáé ÐáñáôÞñçóç á 0 = á á = 1 14 (i 2 j + 3 k) = ; 2; 3 : ÌåôÜ áðü ôïí ïñéóìü ôùí óõíôåôáãìýíùí åíüò äéáíýóìáôïò ïé ðáñáðüíù Ïñéóìïß , äçëáäþ ôçò éóüôçôáò êáé ôùí ðñüîåùí ôùí äéáíõóìüôùí ãñüöïíôáé éóïäýíáìá ùò åîþò: áí ôüôå á = á 1 i + á 2 j + á 3 k = á á 1 ; á 2 ; á 3 ; êáé â = â 1 i + â 2 j + â 3 k = â â 1 ; â 2 ; â 3 ;

20 38 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò éóüôçôá ðñüóèåóç áöáßñåóç á = â; üôáí á 1 = â 1 ; á 2 = â 2 ; á 3 = â 3 ; á + â = (a 1 + â 1 ) i + (á 2 + â 2 ) j + (á 3 + â 3 ) k = a 1 + â 1 ; á 2 + â 2 ; á 3 + â 3 ; á â = (a 1 â 1 ) i + (á 2 â 2 ) j + (á 3 â 3 ) k ðïëëáðëáóéáóìüò ìå áñéèìü = a 1 â 1 ; á 2 â 2 ; á 3 â 3 ; ëá = ëa 1 i + ëá 2 j + ëá 3 k = ëa 1 ; ëá 2 ; ëá 3 : Áíôßóôïé ïé ôýðïé éó ýïõí ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôïõ 2-äéÜóôáôïõ þñïõ. ÐáñÜäåéãìá óôù ôá äéáíýóìáôá Ôüôå á = 4; 2; 3 êáé â = 3; 2; 1 : á + 2â = ; ; ( 1) = 10; 2; 1 = 10i + 2j + k: Áí ã = á + 2â, ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (1:4:1 4) Ý ïõìå üôé ã = ã = á + 2â = = 105; ïðüôå áðü ôç ó Ýóç (1:3:6 1) ðñïêýðôåé üôé ôï ìïíáäéáßï êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ á + 2â èá åßíáé ôï äéüíõóìá ã 0 = ã ã = (10i + 2j + k) = ; 2; 1 :

21 Åóùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí y Β Α Θ x Ó Þìá : ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôùí äéáíõóìüôùí á êáé â. 1.5 Åóùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí Ïñéóìüò êáé éäéüôçôåò Ïñéóìüò óôù ôá äéáíýóìáôá á êáé â ìå á, â 0. Ôüôå ïñßæåôáé ùò åóùôåñéêü ãéíüìåíï (dot - scalar - inner product) 6 êáé óõìâïëßæåôáé ìå á â Þ á; â, ï ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ðïõ éóïýôáé ìå ôï ãéíüìåíï ôùí ìýôñùí ôùí äéáíõóìüôùí åðß ôï óõíçìßôïíï ôçò ãùíßáò è, ðïõ ó çìáôßæïõí ôá äýï áõôü äéáíýóìáôá (Ó ), äçëáäþ á â = á; â = á â cos è ìå 0 è : ( ) ÅéäéêÜ, üôáí Ýíá Þ êáé ôá äýï äéáíýóìáôá éóïýíôáé ìå ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá, ôüôå ôï åóùôåñéêü ôïõò ãéíüìåíï ïñßæåôáé ßóï ìå ôï ìçäýí. Éäéüôçôåò i) á â = â á áíôéìåôáèåôéêþ, ii) á (â + ã) = á â + á ã åðéìåñéóôéêþ, iii) (ëá) â = ë (á â) = á (ëâ), üôáí ë R. 6ÂëÝðå åðßóçò: http : ==en:wikipedia:org=wiki=dot product

22 40 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÓõíèÞêç êáèåôüôçôáò ¼ôáí = =2, áðü ôçí (1:5:1 1) ðñïêýðôåé üôé, áí ôá äéáíýóìáôá åßíáé êüèåôá ìåôáîý ôïõò, ôüôå åßíáé á â = 0 ( ) êáé áíôßóôñïöá. ñá ç (1:5:2 1), ðïõ åêöñüæåé ôç óõíèþêç êáèåôüôçôáò äýï äéáíõóìüôùí, åßíáé ìéá áíáãêáßá êáé éêáíþ óõíèþêç. Åðßóçò, áí á â = ± á â, ôüôå Þ è = 0 Þ è = ð, ïðüôå ôá äéáíýóìáôá åßíáé óõããñáììéêü (collinear) Õðïëïãéóìüò óõíáñôþóåé ôùí óõíôåôáãìýíùí Áí á = á 1 i + á 2 j + á 3 k êáé â = â 1 i + â 2 j + â 3 k åßíáé äýï ìç ìçäåíéêü äéáíýóìáôá, ôüôå, åðåéäþ ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá i = 1; 0; 0, j = 0; 1; 0 êáé k = 0; 0; 1 åßíáé áíü äýï êüèåôá ìåôáîý ôïõò, åíþ ôï ìýôñï ôïõò éóïýôáé 7 ìå 1, óýìöùíá êáé ìå ôçí (1:5:2 1) åýêïëá ðñïêýðôåé üôé: á â = á 1 i + á 2 j + á 3 k â 1 i + â 2 j + â 3 k = â 1 (á 1 i + á 2 j + á 3 k) i äçëáäþ +â 2 (á 1 i + á 2 j + á 3 k) j + â 3 (á 1 i + á 2 j + á 3 k) k = â 1 (á 1 i i + á 2 j i + á 3 k i) + â 2 (á 1 i j + á 2 j j + á 3 k j) +â 3 (á 1 i k + á 2 j k + á 3 k k) = = á 1 â 1 + á 2 â 2 + á 3 â 3 ; Áðü ôçí (1:5:3 1) ðñïêýðôïõí á â = á 1 â 1 + á 2 â 2 + á 3 â 3 : ( ) á á = á 2 = á á á 2 3: ( ) Áí ôá äéáíýóìáôá á êáé â åßíáé êüèåôá, ôüôå óýìöùíá êáé ìå ôç óõíèþêç êáèåôüôçôáò (1:5:2 1) éó ýåé á â = á 1 â 1 + á 2 â 2 + á 3 â 3 = 0: ( ) 7Áðü ôçí (1:5:2 1) ðñïêýðôåé üôé i = = 1, j = 1 êáé k = 1, åíþ óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü (1:5:1 1) åßíáé i j = i j cos = = 0. ¼ìïéá j k = 0, 2 k i = 0, ê.ëð.

23 ÐáñÜäåéãìá Åîùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí 41 óôù ôá äéáíýóìáôá á = á(1; 2; 3) êáé â = â( 1; 4; 2). Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí (1:5:3 1) åßíáé Ãùíßá äýï äéáíõóìüôùí á â = 1 ( 1) ( 3) 2 = 1: Ïñéóìüò óôù üôé ôá äéáíýóìáôá á êáé â Ý ïõí êïéíþ áñ Þ O êáé åßíáé äéüöïñá ôïõ ìçäåíéêïý äéáíýóìáôïò. Ôüôå ïñßæåôáé ùò ãùíßá ôùí á êáé â êáôü ôçí ôüîç ðïõ Ý ïõí ãñáöåß, ç ãùíßá (Ó ) ðïõ äéáãñüöåé ôï äéüíõóìá á, üôáí óôñýöåôáé êáôü ôç äåîéüóôñïöç öïñü ìý ñéò üôïõ óõìðýóåé ìå ôï äéüíõóìá â. Áí á = á á 1 ; á 2 ; á 3 êáé â = â â 1 ; â 2 ; â 3 åßíáé äýï ìç ìçäåíéêü äéáíýóìáôá, ôüôå áðü ôïõò ôýðïõò (1:5:1 1) êáé (1:5:2 1) ðñïêýðôåé üôé ç ãùíßá ôïõò, Ýóôù è, äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç cos è = á 1 â 1 + á 2 â 2 + á 3 â 3 á á2 2 + á2 3 â â2 2 + : ( ) â Åîùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí Ïñéóìüò Ïñéóìüò Ïñßæåôáé ùò åîùôåñéêü ãéíüìåíï (cross - vector product) 8 ôùí äéáíõóìüôùí á êáé â, üôáí á; â 0 êáé óõìâïëßæåôáé ìå á â ôï äéüíõóìá ã, üðïõ ã = á â = ( á â sin è) ç; ( ) üôáí è ç ãùíßá ôùí á, â óôï åðßðåäï ðïõ ðåñéý åé ôá åí ëüãù äéáíýóìáôá ìå 0 è êáé ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá ðïõ åßíáé êüèåôï óôï åðßðåäï ðïõ ïñßæïõí ôá á, â êáé ðïõ Ý åé äéåýèõíóç åêåßíç ðïõ ïñßæåé ï êáíüíáò ôïõ äåîéïý åñéïý 9 (Ó ). 8ÂëÝðå åðßóçò: http : ==en:wikipedia:org=wiki=cross product 9Õðåíèõìßæåôáé üôé óôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý åñéïý ôï ìåóáßï äü ôõëï õðïäçëþíåé ôïí öïñýá êáé ôç äéåýèõíóç ôïõ â, ï äåßêôçò õðïäçëþíåé ôïí öïñýá êáé ôç äéåýèõíóç ôïõ á, åíþ ï áíôß åéñáò õðïäçëþíåé ôïí öïñýá êáé ôç äéåýèõíóç ôïõ ç.

24 42 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 1.5 y Β Γ Α Θ x Ó Þìá : ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ã = á â ôùí äéáíõóìüôùí á êáé â. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ôï Ýíá Þ êáé ôá äýï äéáíýóìáôá éóïýíôáé ìå ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá Þ åðßóçò ôá á, â åßíáé óõããñáììéêü (è = 0 ; ), ôüôå ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíü ôïõò ïñßæåôáé íá åßíáé ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá Éäéüôçôåò ÁëãåâñéêÝò éäéüôçôåò i) á â = â á ìç áíôéìåôáèåôéêþ (anticommutative), ii) á (â + ã) = á â + á ã êáé (â + ã) á = â á + ã á åðéìåñéóôéêþ (distributive) ùò ðñïò ôçí ðñüóèåóç, iii) ë (á â) = (ëá) â = á (ëâ) ìå ë R, iv á (â ã) = â (ã á) = ã (á â) = 0 (ôáõôüôçôá ôïõ Jacobi). ÐáñáôÞñçóç Óôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï äåí éó ýåé ç ðñïóåôáéñéóôéêþ éäéüôçôá êáé ï íüìïò ôçò äéáãñáöþò.

25 ÃåùìåôñéêÝò éäéüôçôåò Åîùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí 43 i) Áí ôá äéáíýóìáôá åßíáé óõããñáììéêü, ôüôå ôï åîùôåñéêü ôïõò ãéíüìåíï éóïýôáé ìå ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá êáé áíôßóôñïöá - âëýðå êáé Ïñéóìü ii) Áí ôá äéáíýóìáôá á êáé â Ý ïõí êïéíþ áñ Þ, ôüôå ôï ìýôñï ôïõ åîùôåñéêïý ãéíïìýíïõ ôïõò éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ, ðïõ ïñßæïõí ôá á êáé â Õðïëïãéóìüò óõíáñôþóåé ôùí óõíôåôáãìýíùí Áí á = á 1 i + á 2 j + á 3 k êáé â = â 1 i + â 2 j + â 3 k åßíáé äýï ìç ìçäåíéêü äéáíýóìáôá, ôüôå, åðåéäþ ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá i, j êáé k åßíáé áíü äýï êüèåôá ìåôáîý ôïõò êáé óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü åßíáé: i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j i i = 0 j j = 0 k k = 0; ( ) ðñïêýðôåé ìå áíüëïãïõò ìå ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï õðïëïãéóìïýò üôé á â = (á 1 i + á 2 j + á 3 k) (â 1 i + â 2 j + â 3 k) = â 1 (á 1 i + á 2 j + á 3 k) i +â 2 (á 1 i + á 2 j + á 3 k) j + â 3 (á 1 i + á 2 j + á 3 k) k = â 1 (á 1 i i + á 2 j i + á 3 k i) + â 2 (á 1 i j + á 2 j j + á 3 k j) +â 3 (á 1 i k + á 2 j k + á 3 k k) ; äçëáäþ á â = (á 2 â 3 á 3 â 2 ) i (á 1 â 3 á 3 â 1 ) j + (á 1 â 2 á 2 â 1 ) k: ( ) Ç (1:6:3 2) ãñüöåôáé ìå ìïñöþ ïñßæïõóáò 3çò ôüîçò ùò åîþò: 10 i j k á â = á 1 á 2 á 3 : â 1 â 2 â 3 ( ) 10Ãéá ïñßæïõóåò âëýðå ÌÜèçìá ÃñáììéêÞ ëãåâñá.

26 44 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Õðåíèõìßæåôáé üôé ôï áíüðôõãìá ìéáò ïñßæïõóáò 2çò ôüîçò åßíáé á 1 á 2 â 1 â 2 = á 1â 2 á 2 â 1 ; ( ) åíþ ç (1:6:3 3), üôáí áíáðôõ èåß ùò ðñïò ôá óôïé åßá ôçò 1çò ãñáììþò äéáãñüöïíôáò êüèå öïñü ôç ãñáììþ êáé ôç óôþëç ôïõ óôïé åßïõ ðïõ èåùñåßôáé êáé ïñßæïíôáò ôçí ïñßæïõóá 2çò ôüîçò ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôá áñéóôåñü ðñïò ôá äåîéü, ãñüöåôáé i j k á â = á 1 á 2 á 3 ( ) â 1 â 2 â 3 Óçìåéþóåéò á = 2 á 3 i â 2 â 3 á 1 á 3 j â 1 â 3 + á 1 á 2 k â 1 â 2 = (á 2 â 3 á 3 â 2 ) i (á 1 â 3 á 3 â 1 ) j + (á 1 â 2 á 2 â 1 ) k: i) Ç ïñßæïõóá õðïëïãéóìïý ôïõ åîùôåñéêïý ãéíïìýíïõ åßíáé ðüíôïôå 3çò ôüîçò, äçëáäþ ôçò ìïñöþò (1:6:3 3). ii) ¼ôáí ôá äéáíýóìáôá á; â åßíáé óõíåðßðåäá, äçëáäþ á = á 1 i + á 2 j êáé â = â 1 i + â 2 j; ôüôå óýìöùíá ìå ôçí (1:6:3 3) åßíáé i j k á â = á 1 á 2 0 = (á 1 â 2 á 2 â 1 ) k; ( ) â 1 â 2 0 äçëáäþ Ýíá äéüíõóìá êüèåôï óôï åðßðåäï ôùí á; â - ðåñßðôùóç (ii) ôïõ Ïñéóìïý

27 ÐáñÜäåéãìá Ìåéêôü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí 45 óôù ôá äéáíýóìáôá á = i 2 j+k êáé â = 2 i+j+k. Æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ôï ìýôñï ôïõ á â. Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôçí (1:6:3 5) åßíáé i j k 2 1 á â = = i j k = ( 2 1) i (1 2) j + (1 + 4) k = 3 i + j + 5 k: ñá á â = ( 3) = 35 5:91608: Ï õðïëïãéóìüò ôïõ åóùôåñéêïý êáé ôïõ åîùôåñéêïý ãéíïìýíïõ ìå ôï MATH- EMATICA ãßíåôáé ùò åîþò: áí x = x 1 ; x 2 ; x 3 êáé y = y 1 ; y 2 ; y 3, ôüôå Dot[{x_1,x_2,x_3},{y_1,y_2,y_3}] Cross[{x_1,x_2,x_3},{y_1,y_2,y_3}] åóùôåñéêü åîùôåñéêü 1.7 Ìåéêôü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí Ïñéóìüò êáé ôýðïò õðïëïãéóìïý Ïñéóìüò óôù á, â êáé ã ìç óõíåðßðåäá êáé ìç ìçäåíéêü äéáíýóìáôá. Ôüôå ôï ìåéêôü Þ ôñéðëü (triple product) 11 ãéíüìåíü ôïõò ïñßæåôáé ùò ï áñéèìüò á (â ã) : ( ) 11ÂëÝðå åðßóçò: http : ==en:wikipedia:org=wiki=t riple product

28 46 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôýðïò õðïëïãéóìïý Ðñüôáóç Áí á = á 1 ; á 2 ; á 3, â = â 1 ; â 2 ; â 3 êáé ã = ã 1 ; ã 2 ; ã 3, ôüôå á 1 á 2 á 3 á (â ã) = det (á; â; ã) = â 1 â 2 â 3 ( ) ã 1 ã 2 ã 3 Ç áðüäåéîç ôçò ðñüôáóçò ðñïêýðôåé Üìåóá áðü ôïõò ôýðïõò (1:5:3 1) êáé (1:6:3 2) óå óõíäõáóìü ìå ôïí ôýðï (1:6:3 5). Ç ïñßæïõóá ôïõ äåîéïý ìýëïõò óôçí (1:7:1 1) óýìöùíá ìå ôçí (1:6:3 5) õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: á (â ã) = det (á; â; ã) = á 1 á 2 á 3 â 1 â 2 â 3 ã 1 ã 2 ã 3 = á 1 â 2 â 3 ã 2 ã 3 á 2 â 1 â 3 ã 1 ã 3 + á 3 â 1 â 2 ã 1 ã 2 = á 1 (â 2 ã 3 â 3 ã 2 ) á 2 (â 1 ã 3 â 3 ã 1 ) +á 3 (â 1 ã 2 â 2 ã 1 ): ( ) ÐáñÜäåéãìá Áí á = 2; 3; 1, â = 0; 4; 0 êáé ã = 1; 3; 3, íá õðïëïãéóôåß ôï ìåéêôü ãéíüìåíï á (â ã).

29 Ìåéêôü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí 47 Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (1:7:1 2) Ý ïõìå á (â ã) = det (á; â; ã) = = 2(4 3 0) [0 4( 1)] = = 20: ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá Ðñüôáóç ÃåùìåôñéêÜ ç áðüëõôç ôéìþ ôïõ ìåéêôïý ãéíïìýíïõ ôùí äéáíõóìüôùí ôùí ìç óõíåðßðåäùí êáé ìç ìçäåíéêþí äéáíõóìüôùí á, â êáé ã éóïýôáé ìå ôïí üãêï, Ýóôù V, ôïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ ìå áêìýò ôá ðáñáðüíù äéáíýóìáôá (Ó ), äçëáäþ V = á (â ã) : ( ) Ôï óõìðýñáóìá ôçò ðñüôáóçò ïñßæåé êáé ôç ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ôïõ ìåéêôïý ãéíïìýíïõ. ÐáñÜäåéãìá Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (1:7:2 1) ï üãêïò V ôïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ ðïõ ïñßæïõí ôá äéáíýóìáôá ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò åßíáé V = 20 = 20: Éäéüôçôåò Áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé ðáñáêüôù éäéüôçôåò:

30 48 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá : ôï ðáñáëëçëåðßðåäï ðïõ ó çìáôßæåôáé áðü ôá äéáíýóìáôá á, â êáé ã. Ôï ìåéêôü ãéíüìåíï åßíáé áìåôüâëçôï óå ìéá êõêëéêþ åíáëëáãþ ôùí äéáíõóìüôùí á, â êáé ã, äçëáäþ á (â ã) = â (ã á) = ã (á â) : ( ) Ç åíáëëáãþ ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ óôá Üêñá äéáíýóìáôá äåí ìåôáâüëëåé ôçí ôéìþ ôïõ, äçëáäþ Éó ýåé üôé Åðßóçò óõìâïëéêü üôé á (â ã) = (á â) ã ( ) á (â ã) = á (ã â) á (â ã) = â (á ã) á (â ã) = ã (â á) : ( ) [á (â ã)] á = (á â) (á ã) : ( )

31 ÃñáììéêÞ áíåîáñôçóßá äéáíõóìüôùí 49 Ôï ìåéêôü ãéíüìåíï éóïýôáé ìå ôï ìçäýí, üôáí ôá äéáíýóìáôá á, â êáé ã åßíáé óõíåðßðåäá. Áí äýï áðü ôá äéáíýóìáôá á, â êáé ã åßíáé ßóá, ôüôå ôï ìåéêôü ãéíüìåíï åßíáé ìçäýí, äçëáäþ á (á ã) = á (â á) = á (â â) = á (ã ã) = 0: ( ) 1.8 ÃñáììéêÞ áíåîáñôçóßá äéáíõóìüôùí Ïñéóìüò Ïñéóìüò Ôá äéáíýóìáôá á 1, á 2, : : :, á í èá åßíáé ãñáììéêü áíåîüñôçôá, üôáí êüèå ãñáììéêüò óõíäõáóìüò ôùí ôçò ìïñöþò ë 1 á 1 + ë 2 á 2 + : : : + ë í á í = 0 ( ) ìå ë R; i = 1; 2; : : : ; éó ýåé ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ë 1 = ë 2 = : : : = ë í = 0: ( ) Óå êüèå Üëëç ðåñßðôùóç ôá äéáíýóìáôá èá ëýãïíôáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá. Ç (1:8:1 2) åßíáé ãíùóôþ êáé ùò ç óõíèþêç ãñáììéêþò áíåîáñôçóßáò. ÐáñáôçñÞóåéò Ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíï. Áí êüðïéï áðü ôá äéáíýóìáôá á 1, á 2, : : :, á åßíáé ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá, ôüôå ôá äéáíýóìáôá áõôü åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá. Áí ôá äéáíýóìáôá á 1, á 2, : : :, á k åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá, ôüôå êáé ôá á 1, á 2, : : :, á ìå k < åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá.

32 50 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó åôéêýò ðñïôüóåéò Ðñüôáóç Áí ôá äéáíýóìáôá á = á á 1 ; á 2 ; á 3, â = â â 1 ; â 2 ; â 3 ìå â 0 åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá, ôüôå á = ëâ ìå ë R êáé áíôßóôñïöá. Áðüäåéîç. Åõèý. ÅðåéäÞ ôá äéáíýóìáôá á êáé â ìå â 0 åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá, èá ðñýðåé ãéá êüèå ãñáììéêü óõíäõáóìü ôçò ìïñöþòë 1 á+ë 2 â = 0 íá åßíáé ë 1 0, äçëáäþ á = (ë 2 =ë 1 ) â, ïðüôå á = ëâ. Áíôßóôñïöï. ÅðåéäÞ á = ëâ, èá ðñýðåé 1á ëâ = 0, äçëáäþ ôá á êáé â åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá. Áðü ôçí Ðñüôáóç ðñïêýðôåé ôüôå üôé, áí ôá äéáíýóìáôá á = á á 1 ; á 2 ; á 3 êáé â = â â 1 ; â 2 ; â 3 ìå â 0 åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá, ôüôå éó ýåé ç ðáñáêüôù óõíèþêç ðáñáëëçëßáò: á 1 â 1 = á 2 â 2 = á 3 â 3 : ( ) Ðñüôáóç Ôá äéáíýóìáôá á êáé â ìå â 0 åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá ôüôå êáé ìüíïí, üôáí åßíáé ðáñüëëçëá. ÐáñáôÞñçóç Ïé ÐñïôÜóåéò êáé éó ýïõí áíüëïãá êáé ãéá ôá åðßðåäá äéáíýóìáôá. Ïñéóìüò Äýï Þ ðåñéóóüôåñá äéáíýóìáôá åßíáé óõíåðßðåäá, üôáí áíþêïõí óôï ßäéï åðßðåäï Þ åßíáé ðáñüëëçëá ðñïò áõôü. Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü êáé ôéò ÐñïôÜóåéò êáé åýêïëá áðïäåéêíýïíôáé ïé ðáñáêüôù ðñïôüóåéò: Ðñüôáóç Áí ôá äéáíýóìáôá á êáé â åßíáé ãñáììéêü áíåîüñôçôá, ôüôå êüèå äéüíõóìá ôçò ìïñöþò ã = ká + â ìå k; R ( ) áíþêåé óôï åðßðåäï Ð, ðïõ ïñßæïõí ôá á êáé â êáé áíôßóôñïöá êüèå äéüíõóìá ôïõ åðéðýäïõ Ð, ðïõ ïñßæåôáé áðü ôá á êáé â, áíáëýåôáé óôç ìïñöþ (1:8:2 4).

33 ÃñáììéêÞ áíåîáñôçóßá äéáíõóìüôùí 51 Ðñüôáóç Áí ôá äéáíýóìáôá á, â êáé ã åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíá, ôüôå èá åßíáé óõíåðßðåäá êáé áíôßóôñïöá. Ðñüôáóç Áí ôá äéáíýóìáôá á = á (á 1 ; á 2 ; á 3 ), â = â (â 1 ; â 2 ; â 3 ) êáé ã = ã (ã 1 ; ã 2 ; ã 3 ) åßíáé óõíåðßðåäá, ôüôå á 1 á 2 á 3 Ä = â 1 â 2 â 3 = 0: ( ) ã 1 ã 2 ã 3 Ðñïöáíþò, áí Ä 0, ôá äéáíýóìáôá äåí åßíáé óõíåðßðåäá. ÁóêÞóåéò 1. óôù ôá äéáíýóìáôá á = 2; 1; 4, â = 1; 2; 5 êáé ã = 1; 2; 1. Íá õðïëïãéóôïýí: i) ôá äéáíýóìáôá á + 2â 3ã, 2á â + ã êáé ôá áíôßóôïé á ìïíáäéáßá ôïõò, ii) ôá ãéíüìåíá (á + 3â) ã, ä = (á + 3â) ã êáé (á; â; ã). Óôç óõíý åéá íá õðïëïãéóôåß ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá êáôü äéåýèõíóç ä. 2. óôù ôá äéáíýóìáôá á = 1; 2; 3, â = 2; 2; 3 êáé ã = k; l; m. Íá õðïëïãéóôïýí ôá k, l êáé m, Ýôóé þóôå 5á + 3â + 2ã = óôù ôá äéáíýóìáôá á = 1; 1 2l; 4 + m êáé â = 2; 5 + l; 8 m. Íá õðïëïãéóôïýí ôá l, m, Ýôóé þóôå ôá äéáíýóìáôá íá åßíáé ðáñüëëçëá. 4. óôù ôá äéáíýóìáôá á êáé â ôïõ þñïõ R 3 áíôßóôïé á ôïõ R 2. Íá äåé èïýí ïé ôáõôüôçôåò i) á + â 2 á â 2 = 4á â, ii) á + â 2 + á â 2 = 2 á â 2.

34 52 Äéáíýóìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 5. Äåßîôå üôé ôá äéáíýóìáôá á = 1; 2; 3, â = 1; 1; 4 êáé ã = 2; 4; 1 åßíáé ãñáììéêü áíåîüñôçôá. Óôç óõíý åéá áíáëýóôå ôï äéüíõóìá ä = 1; 1; 1 ùò ðñïò ôá á, â êáé ã. 6. Äåßîôå üôé, áí ÁÂÃÄ åßíáé Ýíá ôåôñüåäñï 12 ìå êïñõöþ Á üðïõ Á (x 1 ; y 1 ; z 1 ),  (x 2 ; y 2 ; z 2 ), à (x 3 ; y 3 ; z 3 ) êáé Ä (x 4 ; y 4 ; z 4 ), ôüôå ï üãêïò ôïõ ôåôñáýäñïõ éóïýôáé ìå x 1 y 1 z 1 1 V = 1 x A ; üôáí A = 2 y 2 z : x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 1 ÁðáíôÞóåéò 1. i) á + 2â 3ã = 1; 11; 17, 2á â + ã = 4; 2; 2 ê.ëð. ii) (á + 3â) ã = 28, ä = (á + 3â) ã = 31; 14; 17 êáé (á; â; ã) = ê.ëð. 2. Áðü (1:8:2 3) ðñïêýðôåé üôé: k = 11=2, l = 2 êáé m = ¼ìïéá l = 7=3 êáé m = ÅöáñìïãÞ ôùí (1:5:3 1) êáé (1:5:3 2). 5. Áðü ôïí Ïñéóìü ðñïêýðôåé üôé áí ôüôå ôï ïìïãåíýò óýóôçìá ë 1 1; 2; 3 + ë 2 1; 1; 4 + ë 3 2; 4; 1 = 0; 0; 0 ; ë 1 + ë 2 + 2ë 3 = 0; 2ë 1 ë 2 + 4ë 3 = 0; 3ë 1 + 4ë 2 + ë 3 = 0 Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôçí ë 1 = ë 2 = ë 3 = 0, åðåéäþ ç ïñßæïõóá ôùí óõíôåëåóôþí ôïõ Ä = : Óôç óõíý åéá áíáæçôïýíôáé óõíôåëåóôýò x, y, z, Ýôóé þóôå: ä = xá + yâ + zã, ïðüôå ôåëéêü x = ; y = 1 17 êáé z = 7 17 : 6. ÂëÝðå áíôßóôïé ç áðüäåéîç èåùñßáò, ôýðï (1:6:3 3) ê.ëð. 12Óõìâïëßæåôáé åðßóçò êáé Á:ÂÃÄ, üôáí A ç êïñõöþ.

35 1.9 Âéâëéïãñáößá [1] ÊáäéáíÜêçò, Í. & ÊáñáíÜóéïò, Ó. (2008). ÃñáììéêÞ ëãåâñá, ÁíáëõôéêÞ Ãåùìåôñßá êáé ÅöáñìïãÝò. ISBN: 960{917{250{4. [2] ÌðñÜôóïò, Á. (2002). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. ÁèÞíá: Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [3] ÎÝíïò, È. (2004), ÁíáëõôéêÞ Ãåùìåôñßá. Åêäüóåéò ÆÞôç. ISBN 960{431{ 915{9. [4] Öïýíôáò, Ãñ. (2009). ÁíáëõôéêÞ & ÄéáíõóìáôéêÞ Ãåùìåôñßá. Åêäüóåéò Ãñçã. Öïýíôá. ISBN 960{330{517{0. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ

Διαβάστε περισσότερα

Union of Pure and Applied Chemistry).

Union of Pure and Applied Chemistry). .5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,

Διαβάστε περισσότερα

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß

Διαβάστε περισσότερα

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç 0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò

Διαβάστε περισσότερα

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç 8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2

Διαβάστε περισσότερα

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé

Διαβάστε περισσότερα

Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá;

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá; ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç

Διαβάστε περισσότερα

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:

Διαβάστε περισσότερα

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç

2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç 2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç Ç ðßåóç ðïõ åîáóêåß Ýíá õãñü Þ Ýíá áýñéï óôï þñï ðïõ âñßóêåôáé, õðïëïãßæåôáé ìå Ýíá üñãáíï ôï ïðïßï ïíïìüæåôáé ìáíüìåôñï. Áí ïñßóïõìå, ëïéðüí, ùò áðüëõôç ðßåóç, ôçí ðñáãìáôéêþ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).

245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ). ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò

Διαβάστε περισσότερα

Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords

Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords &#922&#943&#957&#948&#965&#957&#959&#953 &#963&#964&#959 facebook WebQuest Description: &#932&#959 Facebook &#949&#943&#957&#945&#953 &#941&#957&#945&#962 &#953&#963&#964&#959&#967&#974&#961&#959&#962

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï

ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï Óôï ìüèçìá áõôü èá áó ïëçèïýìå ìå ôñßá áíôéêåßìåíá. Ðñþôïí, èá ðáñïõóéüóïõìå åðß ôñï Üäçí ìåñéêü âáóéêü ìáèçìáôéêü åñãáëåßá ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá êáôü ôçí áíüëõóç ôùí áëãïñßèìùí.

Διαβάστε περισσότερα