ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Διπλωματική Εργασία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Διπλωματική Εργασία"

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Διπλωματική Εργασία ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ του ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΕΛΕΣΙΑΔΗ Υποβλήθηκε ως απαιτούμενο για την απόκτηση του μεταπτυχιακού διπλώματος στη Λογιστική και Χρηματοοικονομική (κατεύθυνση Χρηματοοικονομικής) Απρίλιος 01

2 ii Στα αγαπημένα μου πρόσωπα

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου για την πολύπλευρη στήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια, όσο και για τις πολύτιμες γνώσεις που μου μετέδωσαν. Επίσης, θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ. Ζαπράνη Αχιλλέα, που παρείχε το έναυσμα για την ενασχόλησή μου με το εξαιρετικά ενδιαφέρον και δημιουργικό αντικείμενο της χρηματοοικονομικής μηχανικής. Και φυσικά, ένα μεγάλο ευχαριστώ στη Μαρία. iii

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο την σύγκριση και την αξιολόγηση τεσσάρων εκ των δημοφιλέστερων στη σύχρονη πρακτική, μοντέλων τιμολόγησης δικαιωμάτων προαίρεσης αμερικάνικου τύπου και εστιάζει στην ακρίβεια και την ταχύτητα της τιμολόγησης του δικαιώματος. Τα μοντέλα που συγκρίνονται είναι το μοντέλο των διωνυμικών δέντρων των Cox, Ross και Rubinstein (400 χρονικά βήματα), το μοντέλο των τριωνυμικών δέντρων του Boyle (400 χρονικά βήματα), το μοντέλο της δευτεροβάθμιας προσέγγισης των Barone-Adesi και Whaley και το μοντέλο της τροποποιημένης προσέγγισης των Bjerksund και Stensland. Η μοντελοποίηση πραγματοποιήθηκε διαδοχικά σε δικαιώματα αγοράς και πώλησης μικρής διάρκειας ζωής (3 μήνες), μεσαίας διάρκειας ζωής (6 μήνες) και μεγάλης διάρκειας ζωής (3 έτη), τα οποία τιμολογήθηκαν βάσει τριών διαφορετικών σειρών αρχικών παραμέτρων. Οι πραγματικές τιμές των δικαιωμάτων προσεγγίστηκαν με ακρίβεια μέσω του συγκλίνοντος μοντέλου των διωνυμικών δέντρων με χρονικά βήματα. Κατά την πραγματοποίηση της συγκριτικής ανάλυσης, η ταχύτητα του συνόλου των μοντέλων κρίθηκε πολύ ικανοποιητική. Εν τούτοις, τα μοντέλα εμφάνισαν μεγάλες διαφορές στην ακρίβεια τιμολόγησης των δικαιωμάτων. Χρησιμοποιώντας τους δείκτες σφάλματος MAPE και RMSE, αποδείχθηκε ότι η ακρίβεια των διωνυμικών και τριωνυμικών είναι εξαιρετική. Αντίθετα, η δευτεροβάθμια προσέγγιση και η τροποποιημένη προσέγγιση των Bjerksund και Stensland υστέρησαν σε μεγάλο βαθμό, παρουσιάζοντας σημαντικά σφάλματα. Η δευτεροβάθμια προσέγγιση αξιολογήθηκε ως το λιγότερο ακριβές μοντέλο της παρούσας μελέτης, όσον αφορά την ακρίβεια τιμολόγησης. Η συμπεριφορά της τροποποιημένης προσέγγισης των Bjerksund και Stensland κατά την τιμολόγηση θεωρήθηκε καλύτερη, συγκρινόμενη με τη δευτεροβάθμια προσέγγιση, ωστόσο συνολικά αξιολογήθηκε ως μη ικανοποιητική. Συνοψίζοντας, τα διωνυμικά και τριωνυμικά δέντρα αποδείχθηκαν μακράν τα ακριβέστερα μοντέλα της παρούσας συγκριτικής ανάλυσης, ενώ τα μοντέλα της τροποποιημένης προσέγγισης των Bjerksund και Stensland και της δευτεροβάθμιας προσέγγισης κρίθηκαν ανεπαρκούς ακρίβειας τιμολόγησης. iv

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ιστορικά στοιχεία Η ισοδυναμία αγοράς πώλησης... 3.ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ.1 Βασική κατηγοριοποίηση στοχαστικών διαδικασιών..5. Διαδικασίες Markov και αποτελεσματικότητα της αγοράς.5.3 Ιδιότητες της διακύμανσης στις διαδικασίες Markov..6.4 Διαδικασίες Wiener..7.5 Γενικευμένες διαδικασίες Wiener 9.6 Διαδικασίες Itô Διαδικασίες των τιμών των μετοχών και Γεωμετρική Κίνηση Brown Το λήμμα του Itô.1 3.ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΩΝ BLACK SCHOLES MERTON 3.1 Εισαγωγικά Η μερική διαφορική εξίσωση των Black Scholes Merton Οριακές συνθήκες δικαιωμάτων ευρωπαϊκού τύπου Αποτίμηση δικαιωμάτων ευρωπαϊκού τύπου μέσω των εξισώσεων Black Scholes ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4.1 Βασικά χαρακτηριστικά Οριακές συνθήκες δικαιωμάτων αμερικάνικου τύπου Κατηγορίες μοντέλων τιμολόγησης δικαιωμάτων αμερικάνικου τύπου Αριθμητικά μοντέλα Αναλυτικά μοντέλα v

6 5.ΔΙΩΝΥΜΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ 5.1 Το μοντέλο των Cox,Ross και Rubinstein Κατασκευή του διωνυμικού δέντρου Οπισθογενής επαγωγή Δικαίωμα ευρωπαϊκού τύπου Δικαίωμα αμερικάνικου τύπου ΤΡΙΩΝΥΜΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ 6.1 Εισαγωγικά Κατασκευή του τριωνυμικού δέντρου Αποτίμηση δικαιώματος αμερικάνικου τύπου ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 7.1 Η δευτεροβάθμια προσέγγιση (Barone-Adesi και Whaley) H τροποποιημένη προσέγγιση των Bjerksund και Stensland(00) Δικαίωμα αγοράς Δικαίωμα πώλησης ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 8.1 Εισαγωγικά Μεθοδολογία Δείκτες Σφάλματος Υπολογιστικά αποτελέσματα Σημεία αναφοράς Αξιολόγηση αποτελεσμάτων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ.51 vi

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1.Μέση χρονική διάρκεια τιμολόγησης δικαιώματος / μοντέλο για το σύνολο των υπολογισμών Πίνακας.Δικαιώματα αγοράς με διάρκεια ζωής Τ = 0,5 (3 μήνες)...4 Πίνακας 3.Δικαιώματα πώλησης με διάρκεια ζωής Τ = 0,5 (3 μήνες)...43 Πίνακας 4.Δικαιώματα αγοράς με διάρκεια ζωής Τ = 0,5 (6 μήνες)...44 Πίνακας 5.Δικαιώματα πώλησης με διάρκεια ζωής Τ = 0,5 (6 μήνες)...45 Πίνακας 6.Δικαιώματα αγοράς με διάρκεια ζωής Τ = 3 (3 έτη)...46 Πίνακας 7.Δικαιώματα πώλησης με διάρκεια ζωής Τ = 3 (3 έτη)...47 vii

8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Διάγραμμα 1.Προσομοίωση διαδικασίας Wiener με Ν = χρονικά βήματα...8 Διάγραμμα.Σύγκριση βασικής διαδικασίας Wiener (z) και γενικευμένης διαδικασίας Wiener (x) με α = 1 και b = 1,5 (Ν = χρονικά βήματα)...10 Διάγραμμα 3.Προσομοίωση κίνησης τιμής μετοχής (γεωμετρική κίνηση Brown 1000 χρονικά βήματα)...1 viii

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ιστορικά στοιχεία Η ευρεία χρήση των παραγώγων προϊόντων στις μέρες μας είναι αδιαμφισβήτητη και δεν είναι υπερβολή να ειπωθεί ότι αποτελούν τον ταχύτερα αναπτυσσόμενο τομέα της χρηματοοικονομικής επιστήμης. Ενδεικτικό της ανάπτυξης της αγοράς αποτελεί το γεγονός ότι η αξία των εξωχρηματιστηριακών (over-the-counter) συναλλαγών ξεπέρασε τα 700 τρισεκατομμύρια δολάρια κατά το πρώτο εξάμηνο του 011 ενώ 10 χρόνια νωρίτερα, κατά το πρώτο εξάμηνο του 001, η αντίστοιχη αξία ήταν 100 τρισεκατομμύρια δολάρια (Bank for International Settlements, Τα δημοφιλή αυτά εργαλεία οφείλουν τη διάδοσή τους παγκοσμίως σε μεγάλο βαθμό στα σύγχρονα μοντέλα τιμολόγησης παραγώγων που έχουν ανακαλυφθεί τα τελευταία 40 χρόνια και ιδιαίτερα στα μοντέλα δικαιωμάτων προαίρεσης (options). Το πρόβλημα του τρόπου τιμολόγησης ενός δικαιώματος προαίρεσης απασχόλησε πολλές γενιές επιστημόνων. Μέχρι και το τέλος του 19 ου αιώνα, η τιμολόγηση των δικαιωμάτων πραγματοποιούνταν διαισθητικά και σε συνδυασμό με το νόμο της προσφοράς και ζήτησης, δίχως να υπάρχει κάποιο μαθηματικό μοντέλο που να τυγχάνει ευρείας αποδοχής. Το αποτέλεσμα ήταν οι τιμές συχνά να μην ανταποκρίνονται στην πραγματική αξία του συμβολαίου. Το πρώτο ουσιαστικό βήμα έγινε το 1900, με τη δημοσίευση της περίφημης διατριβής του Γάλλου μαθηματικού Bachelier, Théorie de la Spéculation []. Ο Bachelier υπέθεσε ότι η τιμή της μετοχής (υποκείμενης μεταβλητής του δικαιώματος) ακολουθεί μία αριθμητική κίνηση Brown και κατάφερε να φτάσει στην πρώτη τεκμηριωμένη εξίσωση για την τιμολόγηση ενός δικαιώματος. Πρόκειται για την τιμή ενός δικαιώματος ευρωπαϊκού τύπου και είναι της μορφής: c ( S K) N( d ) Tn( d ) (1.1) 1 1 1

10 Όπου d 1 S K T, S η τρέχουσα τιμή της μετοχής, K η τιμή εξάσκησης, T ο χρόνος έως τη λήξη του δικαιώματος, σ η μεταβλητότητα της τιμής της υποκείμενης μετοχής, N(x) η αθροιστική συνάρτηση της κανονικής κατανομής και n(x) η κατανομή πυκνότητας πιθανότητας της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Η εργασία του Bachelier, λόγω των νεωτεριστικών τεχνικών που χρησιμοποιούσε, αρχικά δεν αντιμετωπίστηκε με την πρέπουσα προσοχή. Η πρωτοποριακή αυτή προσπάθεια είχε δύο κύρια μειονεκτήματα. Κατά πρώτον, το γεγονός ότι οι αποδόσεις των μετοχών δεν είναι δυνατό να ακολουθούν κανονική κατανομή, καθώς κάτι τέτοιο θα σήμαινε πως υφίσταται η πιθανότητα να πάρουν αρνητικές τιμές, ενώ στην πραγματικότητα ισχυέι ότι S 0. Κατά δεύτερον, δεν είχε ενσωματωθεί στο μοντέλο η έννοια της προεξόφλησης, παρά μόνο του χρόνου.το γεγονός αυτό είχε ως αποτέλεσμα τα επιτόκια να μην παίζουν ρόλο στην τιμολόγηση των δικαιωμάτων. Εξ ορισμού, όμως, είναι γνωστό ότι η αξία κάθε χρηματοοικονομικού προϊόντος επηρεάζεται από τα επιτόκια. Η πρώτη προσπάθεια βελτίωσης των αποτελεσμάτων του Bachelier προέρχεται από τον Sprenkle(1961) []. Oι δύο κύριες υποθέσεις του μοντέλου του Sprenkle είναι ότι οι μεταβολές της τιμής της υποκείμενης μετοχής ακολουθούν τη λογαριθμική κανονική κατανομή και ότι η τιμή της υποκείμενης μετοχής ακολουθεί μία γεωμετρική κίνηση Brown. Η εξίσωση στην οποία καταλήγει ο Sprenkle είναι η εξής: T c( S, T) Se N( d ) (1 A) KN( d ) (1.) 1 Όπου d 1 S ln T K T, 1 d d T,ρ είναι ο μέσος ρυθμός αύξησης της τιμής της μετοχής και Α ο βαθμός αποστροφής του κινδύνου της αγοράς (market risk aversion).

11 Ο Sprenkle κατάφερε να αντιμετωπίσει επιτυχώς τα προαναφερθέντα μειονεκτήματα της μελέτης του Bachelier, καθώς μέσω της λογαριθμικής κανονικής κατανομής απέκλεισε τις αρνητικές τιμές των μετοχών, ενώ ταυτόχρονα συμπεριέλαβε μέσω του όρου ρ την έννοια της προεξόφλησης. Δυστυχώς, όμως, η πρακτική εφαρμογή της εξίσωσής του ήταν περιορισμένη. Καθώς ο στόχος ενός χρηστικού μοντέλου τιμολόγησης δικαιώματος θα έπρεπε να είναι η εξάλειψη της υποκειμενικότητας, οι όροι Α και ρ αποδείχτηκαν τροχοπέδη για την αποδοχή της σχέσης (1.), αφού ήταν εξαιρετικά δύσκολο να υπολογιστούν. Τα αμέσως επόμενα χρόνια ακολούθησαν αρκετές προσπάθειες για την τελειοποίηση του μοντέλου του Sprenkle. Συγκεκριμένα, οι Black και Scholes [4] αναφέρουν τις μελέτες των Ayres (1963), Boness (1964), Samuelson (1965), Baumol, Malkiel και Quandt (1966) και Chen (1970). Τα νέα αυτά μοντέλα αποτέλεσαν βελτιώσεις των ήδη υπαρχόντων, αλλά κοινό τους χαρακτηριστικό γνώρισμα αποτελούσε το γεγονός ότι περιείχαν αφηρημένους μαθηματικούς όρους, οι οποίοι ήταν δύσκολο να χρησιμοποιηθούν στην πράξη. Εκτός της ακαδημαϊκής κοινότητας, πολύ σημαντική θεωρείται επίσης η έρευνα που πραγματοποιήθηκε από τους Thorp και Kassouf(1967), ιδιαίτερη αναφορά στην οποία γίνεται από τους Black και Scholes [4]. 1. Η ισοδυναμία αγοράς πώλησης Μία από τις θεμελιώδεις αρχές στον κλάδο της τιμολόγησης παραγώγων ονομάζεται ισοδυναμία αγοράς πώλησης (put call parity). Η συγκεκριμένη αρχή περιγράφεται πλήρως εμπεριστατωμένα για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία από τον Stohl (1969) [3], αλλά στην πραγματικότητα είναι γνωστή εδώ και αιώνες στους κύκλους της χρηματοοικονομικής και ήδη αναφέρεται από τον De La Vega (1688). Σύμφωνα με την ισοδυναμία αγοράς πώλησης, ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από ένα δικαίωμα αγοράς ευρωπαϊκού τύπου και μετρητά αξίας rt Ke είναι πάντοτε ίσης αξίας με ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από ένα δικαίωμα πώλησης ευρωπαϊκού τύπου και την υποκείμενη μετοχή. Συγκεκριμένα, ισχύει: rt c Ke p S0 (1.3) 3

12 Η παραπάνω ισοδυναμία δε λαμβάνει υπόψη μερίσματα. Στην περίπτωση που συμπεριληφθούν και πιθανά μερίσματα, τότε η (1.3) μετατρέπεται σε: rt c D Ke p S0 (1.4) Όπου D είναι η παρούσα αξία των μερισμάτων κατά τη διάρκεια της ζωής του δικαιώματος. Εάν η σχέσεις (1.3) και (1.4) δεν ευσταθούν, τότε υφίστανται δυνατότητες εξισορροπητικής κερδοσκοπίας (arbitrage), κάτι το οποίο σύμφωνα με τη θεωρία γενικής ισορροπίας (general equilibrium theory), δεν μπορεί να ισχύει. Η ισοδυναμία αγοράς πώλησης είναι εξαιρετικής σημασίας για την ανάπτυξη των περισσότερο πολύπλοκων μαθηματικών μοντέλων τιμολόγησης παραγώγων. 4

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ.1Βασική κατηγοριοποίηση στοχαστικών διαδικασιών Κάθε μεταβλητή οι τιμές της οποίας αλλάζουν με αβέβαιο τρόπο, θεωρείται ότι ακολουθεί μία στοχαστική διαδικασία. Οι στοχαστικές διαδικασίες πάντοτε ανήκουν σε μία από τις παρακάτω κατηγορίες, ανάλογα με το είδος του χρόνου και της μεταβλητής τους: 1.Διακριτού χρόνου και διακριτής μεταβλητής.διακριτού χρόνου και συνεχούς μεταβλητής 3.Συνεχούς χρόνου και διακριτής μεταβλητής 4.Συνεχούς χρόνου και συνεχούς μεταβλητής Οι στοχαστικές διαδικασίες αποτελούν ένα ερευνητικό πεδίο νευραλγικής σημασίας για την ανάπτυξη μοντέλων τιμολόγησης χρηματοοικονομικών παραγώγων. Για τη μοντελοποίηση των τιμών των υποκείμενων μετοχών είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε από τα παραπάνω είδη στοχαστικής διαδικασίας.. Διαδικασίες Markov και αποτελεσματικότητα της αγοράς Η διαδικασία Markov είναι ένα είδος στοχαστικής διαδικασίας συνεχούς χρόνου και μεταβλητής, κατά την οποία οι μελλοντικές κινήσεις της μεταβλητής εξαρτώνται μόνο από το σημείο που βρίσκεται στο παρόν (t=0) από ιστορικά στοιχεία. H S t και κατά συνέπεια δεν εξαρτάται ακολουθεί μία διαδικασία Markov εάν οι κατανομές πιθανότητας του συνόλου των St t για όλες τις μετέπειτα t+δt χρονικές στιγμές εξαρτώνται μόνο από την S t. Σύμφωνα με την αδύναμη μορφη αποτελεσματικότητας της αγοράς, όλες οι πληροφορίες που περιέχονται στις παρελθοντικές τιμές των μετοχών, ενσωματώνονται στην παρούσα τιμή, παραδοχή που είναι απόλυτα συμβατή με μία διαδικασία Markov. 5

14 Θα πρέπει να υπογραμμιστεί ότι στην πραγματικότητα οι διαδικασίες που ακολουθούν οι τιμές των μετοχών είναι διακριτής μεταβλητής. Επιπρόσθετα, ο χρόνος δεν μπορεί να θεωρηθεί απόλυτα συνεχής, μιας και τα χρηματιστήρια έχουν συγκεκριμένο ωράριο λειτουργίας. Στην πράξη, όμως, αποδεικνύεται ότι οι στοχαστικές διαδικασίες συνεχούς χρόνου και συνεχούς μεταβλητής προσεγγίζουν επαρκώς τις κινήσεις των τιμών μίας μετοχής..3 Ιδιότητες της διακύμανσης στις διαδικασίες Markov Σε μία διαδικασία Markov, η μεταβολή S S 1 είναι στοχαστικά ανεξάρτητη (stochastically independent) της μεταβολής S S 3, όπου t = 0,1,,,n. Θεωρώντας ότι t = 0 και η S 0 είναι γνωστή, συνάγεται ότι: S S ( S S ) ( S S ) (.1) Καθώς το αρχικό χρονικό σημείο αναφοράς είναι t = 0, η S 0 δεν έχει διακύμανση. Συνεπώς η διακύμανση της ανεξαρτησία: S προκύπτει ως εξής, σύμφωνα με τη στοχαστική var( S ) var[( S S ) ( S S )] var( S S ) var( S S ) (.) Εάν υποθέσουμε πως οι μεταβολές S t1 S t έχουν την ίδια διακύμανση var, ισχύει: var( S ) var( S S ) var( S S ) var( S S ) (.3) t1 t Ειδικότερα, από την (.3) συνάγεται ότι η δεσμευμένη διακύμανση της S ισούται με: var( S S ) var( S S ) 0 t1 t (.4) Η γενίκευση της (.4) για τη μεταβλητή S T είναι: var( S S ) T var( S S ) (.5) T 0 t1 t 6

15 Δύο σημαντικά συμπεράσματα που προκύπτουν από την (.5) για τις μεταβλητές που ακολουθούν διαδικασία Markov είναι ότι α) η διακύμανσή τους είναι ανάλογη του χρόνου και β) η τυπική τους απόκλιση είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου..4 Διαδικασίες Wiener Η διαδικασία Wiener (γνωστή και ως κίνηση Brown στον τομέα της Φυσικής), αποτελεί έναν συγκεκριμένο τύπο της διαδικασίας Markov, στην οποία θεωρείται ότι: var( S t1 St St ) 1 και E( S t1 St St ) 0 (.6) όπου Ε η αναμενόμενη μεταβολή της S t. Για να ακολουθεί μία μεταβλητή z διαδικασία Wiener, θα πρέπει κατά τη διάρκεια ενός μικρού χρονικού διαστήματος Δt να ισχύει: z t (.7) όπου ε μία τυχαία τιμή από την ανηγμένη κανονική κατανομή φ(0,1). Επιπρόσθετα, οι αξίες του Δz σε δύο μη αλληλοεπικαλυπτόμενα μικρά χρονικά διαστήματα είναι στοχαστικά ανεξάρτητες. Από την (.7) συνάγεται ότι το Δz ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 0, τυπική απόκλιση t και διακύμανση Δt. Κατά τη διάρκεια μίας μεγάλης χρονικής περιόδου, Τ, η μεταβολή της z είναι ίση με z(t) z(0). Αυτή η μεταβολή μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των μεταβολών του z σε Ν μικρά χρονικά διαστήματα διάρκειας Δt, όπου Συνεπώς: z( T) z(0) i t (.8) N i1 T N t. όπου τα i, (i=1,,,n) αποτελούν τυχαίες τιμές της ανηγμένης κανονικής κατανομής. Σύμφωνα με την (.8), προκύπτει: 7

16 E( z( T) z(0)) 0 (.9) var( z( T) z(0)) Nt T (.10) ( z( T) z(0)) T (.11) όπου σ η τυπική απόκλιση. Οι (.9), (.10) και (.11) δεν εξαρτώνται από τη χρονική διάρκεια των χρονικών διαστημάτων Δt, ενώ αρκεί η αρχική τιμή της μεταβλητής z και η χρονική διάρκεια της διαδικασίας, ώστε να υπολογιστεί η αναμενόμενη μέση τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση. Κατά συνέπεια, σε ένα χρονικό διάστημα διάρκειας Τ, η μεταβολή μιας μεταβλητής z που ακολουθεί διαδικασία Wiener είναι κανονικά κατανεμημένη, με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση T. Στο παρακάτω γράφημα αναπαρίσταται η τιμή της μεταβλητής z σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν ακολουθεί μία διαδικασία Wiener με διαστήματα). T N t = χρονικά βήματα (μικρά χρονικά τιμή μεταβλητής z χρόνος t Διάγραμμα 1. Προσομοίωση διαδικασίας Wiener με Ν = χρονικά βήματα 8

17 .5 Γενικευμένες διαδικασίες Wiener Μία γενικευμένη διαδικασία Wiener (ή κίνηση Brown με παρέκκλιση) για μία μεταβλητή x,με ρυθμό παρέκκλισης (drift rate) α και ρυθμό διακύμανσης (variance rate) b ορίζεται ως: dx adt bdz (.1) Όπου dz είναι μία διαδικασία Wiener για t 0 και a, b είναι σταθερές. Ενώ στην περίπτωση της βασικής διαδικασίας Wiener ο ρυθμός παρέκκλισης είναι 0 και ο ρυθμός διακύμανσης είναι 1, αντιθέτως σε μία γενικευμένη διαδικασία Wiener οι a και b μπορούν να τεθούν ίσες με οποιεσδήποτε σταθερές. Θέτοντας b = 0 και ολοκληρώνοντας ως προς το χρόνο, προκύπτει: dx dx adt a x x0 at dt (.13) Δηλαδή η σταθερά α, δείχνει το σταθερό ποσό μεταβολής της μεταβλητής x εντός χρονικού διαστήματος t. Σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt, η (.1) γίνεται: x at bz x at b t (.14) Στην περίπτωση οποιουδήποτε χρονικού διαστήματος T και σε αναλογία με τις (.9),(.10) και (.11), προκύπτει ότι η γενικευμένη διαδικασία Wiener είναι κανονικά κατανεμημένη με: E( x( T) x(0)) at (.15) var( ( ) (0)) x T x b T ( x( T) x(0)) b T (.16) (.17) Στο διάγραμμα που ακολουθεί συγκρίνεται μία γενικευμένη διαδικασία Wiener, με α = 1 και b = 1,5 με τη βασική διαδικασία Wiener. 9

18 .5 μεταβλητές z x χρόνος t Διάγραμμα. Σύγκριση βασικής διαδικασίας Wiener (z) και γενικευμένης διαδικασίας Wiener (x) με α = 1 και b = 1,5 (Ν = χρονικά βήματα). Από το γράφημα φαίνεται ότι, παρά την τυχαιότητα των μεταβολών της τιμής, στη διαδικασία της μεταβλητής x υφίσταται μία συνολική αυξητική τάση, σε σχέση με τη διαδικασία της μεταβλητής z. Το συγκεκριμένο είδος συμπεριφοράς της μεταβλητής x καταγράφεται από έναν τύπο στοχαστικής διαδικασίας, γνωστής ως διαδικασία διάχυσης (diffusion process)..6 Διαδικασίες Itô Μία γενικευμένη διαδικασία Wiener κατά την οποία οι παράμετροι α και b είναι συναρτήσεις της τιμής της μεταβλητής x και του χρόνου t ονομάζεται διαδικασία Itô. Ορίζεται ως εξής: dx a( x, t) dt b( x, t) dz (.18) Χαρακτηριστικό της διαδικασίας Itô αποτελεί το γεγονός ότι ο ρυθμός παρέκκλισης και ο ρυθμός διακύμανσης αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Σε διακριτό χρόνο και εντός ενός μικρού χρονικού διαστήματος Δt, ισοδύναμα ισχύει: x a( x, t) t b( x, t) t (.19) 10

19 Το σύμβολο φανερώνει ότι η (.19) εσωκλείει μία μικρή προσέγγιση. Αυτό συμβαίνει καθώς για το μικρό χρονικό διάστημα ανάμεσα στο t και στο t+δt θεωρείται εδώ ότι ο ρυθμός παρέκκλισης και ο ρυθμός διακύμανσης παραμένουν σταθεροί, ενώ στην πραγματικότητα αλλάζουν συνεχώς..7 Διαδικασίες των τιμών των μετοχών και Γεωμετρική Κίνηση Brown Η διαδικασία που ακολουθούν οι τιμές των μετοχών αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη των σημαντικότερων μοντέλων τιμολόγησης δικαιωμάτων προαίρεσης, όπως τα ευρύτατα διαδεδομένα στην πράξη μοντέλα Black Scholes Merton και διωνυμικών δέντρων που αναλύονται στη συνέχεια. Εάν στην εξίσωση (.18) θέσουμε όπου x = S, α(x,t) = μs και b(x,t) = σs, όπου μ είναι η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής και σ η μεταβλητότητα της τιμής της μετοχής, τότε προκύπτει: ds ds Sdt Sdz dt dz S (.0) Η εν λόγω διαδικασία θεωρείται ότι αντικατοπτρίζει με τον καλύτερο δυνατό τρόπο τα χαρακτηριστικά της κίνησης της τιμής μίας μετοχής και είναι γνωστή ως γεωμετρική κίνηση Brown (geometrical Brownian motion). Μεταβαίνοντας από συνεχή σε διακριτό χρόνο, η (.0) μετατρέπεται σε: S S St S t t t S (.1) Ακολουθεί το γράφημα μίας προσομοίωσης της κίνησης της τιμής μίας μετοχής με αρχική τιμή 0, για χρονικό διάστημα ενός μήνα. Η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής/έτος είναι μ = 5% και η μεταβλητότητα της/έτος είναι σ = 5% 11

20 1.5 Τιμή μετοχής, μήνας Διάγραμμα 3. Προσομοίωση κίνησης τιμής μετοχής (γεωμετρική κίνηση Brown 1000 χρονικά βήματα).8 Το λήμμα του Itô Εάν είναι γνωστή η στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί μία μεταβλητή x, τότε μέσω του λήμματος του Itô [14], μπορεί να βρεθεί η στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί η συνάρτηση G(x,t). Η χρήση του λήμματος του Itô είναι πολύ μεγάλης σημασίας στον τομέα της τιμολόγησης δικαιωμάτων, καθώς το δικαίωμα είναι μία συνάρτηση της τιμής του υποκείμενου μέσου (μετοχής) και του χρόνου. Σύμφωνα με το λήμμα του Itô, εάν η τιμή μίας μεταβλητής x ακολουθεί μία διαδικασία Itô (.18), τότε η συνάρτηση G(x,t) ακολουθεί τη διαδικασία: G G 1 G G dg a b dt bdz x t x x (.) Κατά συνέπεια, πρόκειται για ένα είδος διαδικασίας Itô, με ρυθμό παρέκκλισης a x t x G G 1 G b και ρυθμό διακύμανσης G b. x 1

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΩΝ BLACK SCHOLES - MERTON 3.1 Εισαγωγικά Μία από τις μεγαλύτερες τομές στην ιστορία της τιμολόγησης των δικαιωμάτων προαίρεσης θεωρείται ότι πραγματοποιήθηκε το 1973, με τη δημοσίευση του άρθρου των Fischer Black και Myron Scholes The Pricing of Options and Corporate Liabilities [4]. Με τη βοήθεια του Robert Merton και τη δημοσίευση του Theory of Rational Option Pricing [18] εντός του ιδίου έτους, κατάφεραν να ολοκληρώσουν το περίφημο μοντέλο Black-Scholes-Merton, στη μορφή που είναι σήμερα γνωστό. Το σπουδαιότερο επίτευγμά τους σε σχέση με το παρελθόν ήταν ότι πέτυχαν να φτάσουν σε ένα σύνολο εξισώσεων οι οποίες περιελάμβαναν μεταβλητές που ήταν μετρήσιμες. Το αποτέλεσμα ήταν το σύνολο των εξισώσεων αυτών να αποτελέσει το πρώτο μοντέλο που έτυχε ευρείας αποδοχής, όχι μόνο από την ακαδημαϊκή κοινότητα, αλλά και από τους επαγγελματίες των αγορών παραγώγων. 3. Η μερική διαφορική εξίσωση των Black Scholes - Merton Οι Black και Scholes [4], θέτουν τις εξής ως αρχικές υποθέσεις του μοντέλου τους: 1.Τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια είναι γνωστά και σταθερά..η τιμή της μετοχής ακολουθεί έναν τυχαίο περίπατο σε συνεχή χρόνο, με μεταβλητότητα ανάλογη του τετραγώνου της τιμής της μετοχής. Ως αποτέλεσμα, η κατανομή των τιμών των μετοχών είναι μία λογαριθμική κανονική κατανομή. Η μεταβλητότητα της απόδοσης της μετοχής είναι σταθερή. 3.Η υποκείμενη μετοχή δεν πληρώνει μερίσματα. 13

22 4.Το δικαίωμα προαίρεσης είναι ευρωπαϊκού τύπου, δηλαδή μπορεί να εξασκηθεί μόνο στη λήξη του. 5.Δεν υφίστανται κόστη συναλλαγών κατά τις συναλλαγές της μετοχής ή του δικαιώματος. 6.Είναι εφικτός ο δανεισμός οποιουδήποτε αριθμού χρεογράφων, ακόμη και υποδιαίρεσης αυτών. 7.Επιτρέπεται η ανοικτή πώληση χρεογράφων(short-selling), δίχως κόστος. Με βάση τη δεύτερη υπόθεση, η οποία υποδεικνύει ότι η τιμή της υποκείμενης μετοχή ακολουθεί μία γεωμετρική κίνηση Brown, οι Black, Scholes και Merton κατάφεραν να φτάσουν σε μία λύση η οποία εξάλειψε τα θεμελιώδη μειονεκτήματα των προηγούμενων προσπαθειών. Σύμφωνα με την (.0): ds Sdt Sdz (3.1) Με βάση το λήμμα του Itô και δεδομένου ότι η διαδικασία που ακολουθεί η τιμή της μετοχής S είναι γνωστή, μπορεί να βρεθεί η διαδικασία της συνάρτησης της τιμής της μετοχής, S και του χρόνου, Τ. Αυτή τη διαδικασία ακριβώς ακολουθεί η τιμή ενός παραγώγου συμβολαίου με υποκείμενη μεταβλητή την τιμή της μετοχής S. Έστω f η τιμή του εν λόγω παραγώγου, τότε: f f 1 f f df S S dt Sdz s t S s (3.) Μεταβαίνοντας από μία διαδικασία συνεχούς χρόνου στην αντίστοιχη διακριτού χρόνου, από την (3.1) και την (3.), προκύπτει: S St S z (3.3) f f 1 f f f S S t S z s t S s (3.4) 14

23 Στη συνέχεια δημιουργείται ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από μία θέση πώλησης σε ένα παράγωγο και μία θέση αγοράς σε θf/θs μετοχές. Η αξία αυτού του χαρτοφυλακίου είναι: f f S S (3.5) Η μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου εντός του χρονικού διαστήματος Δt είναι: f f S S (3.6) Αντικαθιστώντας τις (3.5) και (3.6) στην (3.4): f 1 f ( S ) t t S (3.7) Καθώς ο όρος Δz έχει πλέον απαλειφθεί, το χαρτοφυλάκιο μπορεί να θεωρηθεί ότι δεν εμπεριέχει κίνδυνο (risk free portfolio). Το σημείο αυτό αποτελεί και τη ριζική διαφοροποίηση σε σχέση με τις προγενέστερες προσπάθειες, καθώς κανείς μέχρι και το 1973 δεν είχε καταφέρει να απαλείψει το στοιχείο της αβεβαιότητας. Θέτοντας ως r το επιτόκιο δίχως κίνδυνο, ισχύει: r t (3.8) Από τη (3.8) και μέσω των (3.3) και (3.7): 1 ( f f S ) t r( f f S) t t S S (3.9) 15

24 Απλοποιώντας, από την εξίσωση (3.9) καταλήγουν στην περίφημη μερική διαφορική εξίσωση Black - Scholes - Merton: f f 1 f rs S rf t S S (3.10) Η διαφορική εξίσωση που προκύπτει δεν εμπεριέχει καμία μεταβλητή η οποία επηρεάζεται από τις προτιμήσεις των επενδυτών ως προς τον κίνδυνο. Κατά συνέπεια, σε έναν κόσμο στον οποίο οι επενδυτές είναι ουδέτεροι ως προς τον κίνδυνο, η αναμενόμενη απόδοση όλων των χρεογράφων είναι ίση με το επιτόκιο δίχως κίνδυνο, r, ενώ η παρούσα αξία οποιασδήποτε ταμειακής ροής μπορεί να προσδιοριστεί προεξοφλώντας την αναμενόμενη αξία της μέσω του επιτοκίου δίχως κίνδυνο. Στον τομέα της χρηματοοικονομικής μηχανικής η εν λόγω τεχνική είναι γνωστή ως ουδέτερη ως προς τον κίνδυνο αποτίμηση (risk neutral valuation). 3.3 Οριακές συνθήκες δικαιωμάτων ευρωπαϊκού τύπου Η μερική διαφορική εξίσωση (3.10) έχει άπειρες λύσεις, ανάλογα με τις οριακές συνθήκες (boundary conditions) που θα τεθούν. Στην περίπτωση ενός δικαιώματος αγοράς ευρωπαϊκού τύπου, η τιμή του, οριακή συνθήκη: c( S, T) απαιτείται να ικανοποιεί την παρακάτω c( S, T) S K = max(,0) (3.11) Ενώ στην περίπτωση ενός δικαιώματος πώλησης ευρωπαϊκού τύπου, η τιμή του, p( S, T ) απαιτείται να ικανοποιεί: p( S, T) max( K S,0) (3.1) 16

25 3.4 Αποτίμηση δικαιωμάτων ευρωπαϊκού τύπου μέσω των εξισώσεων Black - Scholes Οι Black και Scholes καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι υπάρχει μόνο μία εξίσωση που να ικανοποιεί τη μερική διαφορική εξίσωση (3.10), υποκείμενη στην οριακή συνθήκη ενός δικαίωματος αγοράς ευρωπαϊκού τύπου (3.11). Στη συνέχεια μετατρέπουν την (3.10) στην εξίσωση μεταφοράς θερμότητας (heat transfer equation), γνωστή από τον τομέα της φυσικής επιστήμης. Η λεπτομερής ανάλυση της λύσης της (3.10) είναι εκτός του σκοπού της παρούσας εργασίας. Η κλειστή μορφή τύπου που προκύπτει για την αποτίμηση του δικαιώματος αγοράς ευρωπαϊκού τύπου είναι η εξής: c S N( d ) Ke N( d ) rt 0 1 (3.13) Επιπλέον ισχύει: d 1 S K T T 0 ln( ) ( r ) και S0 ln( ) ( r ) T d K d1 T T, ενώ με βάση την ισοδυναμία αγοράς πώλησης ο αντίστοιχος τύπος για ένα δικαίωμα πώλησης ευρωπαϊκού τύπου είναι: rt p Ke N( d ) S N( d ) 0 1 (3.14) Όπου c η τιμή του δικαιώματος αγοράς ευρωπαϊκού τύπου, p η τιμή του δικαιώματος πώλησης ευρωπαϊκού τύπου, S 0 η τιμή της μετοχής για t=0, K η τιμή εξάσκησης, r το συνεχώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο δίχως κίνδυνο, Τ ο χρόνος ως τη λήξη του δικαιώματος και σ η μεταβλητότητα της υποκείμενης μετοχής. 17

26 Μία από τις αρχικές υποθέσεις των Black και Scholes αποτελεί η παραδοχή πως η υποκείμενη μετοχή δεν πληρώνει κάποιο μέρισμα. Εάν η αρχική αυτή υπόθεση χαλαρώσει, το μοντέλο των Black - Scholes - Merton μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να λαμβάνει υπόψη πιθανά μερίσματα. Για το σκοπό αυτό, η αξία των μερισμάτων D προεξοφλείται με το επιτόκιο δίχως κίνδυνο r και εν συνεχεία αφαιρείται από την αρχική αξία της μετοχής S 0. Κατ αυτόν τον τρόπο αποτιμάται η αξία ενός δικαιώματος με υποκείμενη μετοχή που πληρώνει μέρισμα. Συγκεκριμένα, ισχύει: S S D ' 0 0 (3.15) Κλειστές μορφές τύπων όπως οι (3.13), (3.14) είναι στοιχειώδεις στον προγραμματισμό σε υπολογιστή και επιπρόσθετα, ταχύτατες στον υπολογισμό. Ήδη από την έναρξη της λειτουργίας του Chicago Board Options Exchange (CBOT), τον Απρίλιο του 1973, οι επαγγελματίες των αγορών τους χρησιμοποιούν καθημερινά στην πράξη. Οι εξισώσεις των Black Scholes Merton αποτελούν μέχρι και σήμερα το βασικό μοντέλο τιμολόγησης δικαιωμάτων ευρωπαϊκού τύπου. Παρότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν αυτούσιοι στην περίπτωση πιο σύνθετων συμβολαίων, όπως τα δικαιώματα αμερικάνικου τύπου που εξετάζονται στην παρούσα μελέτη, ωστόσο αποτελούν το κοινό σημείο αναφοράς για τη δημιουργία της πλειοψηφίας των μοντέλων τιμολόγησης των εν λόγω συμβολαίων. 18

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4.1 Βασικά χαρακτηριστικά Ο αγοραστής (holder) ενός δικαιώματος ευρωπαϊκού τύπου έχει τη δυνατότητα να το εξασκήσει μόνο στη λήξη του, γεγονός που απλουστεύει τη διαδικασία τιμολόγησης. Θα πρέπει να υπογραμμιστεί όμως ότι στις αγορές παραγώγων είναι πλέον συνήθης η τιμολόγηση των δικαιωμάτων αμερικάνικου τύπου, καθώς πρόκειται για τον περισσότερο διαδεδομένο τύπο σύγχρονου δικαιώματος προαίρεσης. Στην περίπτωση ενός δικαιώματος αμερικάνικου τύπου, ο αγοραστής μπορεί να εξασκήσει το δικαίωμα οποτεδήποτε θελήσει, μέχρι και τη στιγμή της λήξης του, κάτι που περιπλέκει την τιμολόγησή του. Βασική διαφοροποίηση της διαδικασίας τιμολόγησης των δικαιωμάτων αμερικάνικου τύπου αποτελεί η έμφαση στις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η μετοχή διανέμει μέρισμα, καθώς αποτελούν πιθανές βέλτιστες στιγμές εξάσκησης του δικαιώματος. 4. Οριακές συνθήκες δικαιωμάτων αμερικάνικου τύπου Είναι γνωστό από τη θεωρία ότι οι οριακές συνθήκες ενός δικαιώματος ευρωπαϊκού τύπου και ενός αμερικάνικου τύπου είναι ταυτόσημες στη λήξη τους. Συγκεκριμένα ισχύει για t=t:,, max, 0 c S T C S T S K (4.1),, max, 0 p S T P S T K S (4.) όπου C η αξία δικαιώματος αγοράς αμερικάνικου τύπου και P η αξία δικαιώματος πώλησης αμερικάνικου τύπου. Επιπλέον, ισχύουν οι συνθήκες: C( S, t) max( S K,0) (4.3) 19

28 P( S, t) max( K S,0) (4.4) Κατά συνέπεια, για να εξασκηθεί ένα δικαίωμα αμερικάνικου τύπου πριν τη λήξη του, θα πρέπει τη στιγμή της εξάσκησης η αξία του (που είναι ίση με την αξία του αντίστοιχου δικαιώματος ευρωπαϊκού τύπου), να είναι μεγαλύτερη από την αναμενόμενη αξία στη λήξη. Αν αντίθετα δε συμβεί κάτι τέτοιο στη διάρκεια ζωής του δικαιώματος, σε καμία περίπτωση δε συμφέρει να εξασκηθεί νωρίς. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκύπτει η μέγιστη δυνατή αξία του δικαιώματος ανά πάσα στιγμή έως και τη λήξη του:, max,, C S t S K c S t (4.5), max,, P S t K S p S t (4.6) 4.3 Κατηγορίες μοντέλων τιμολόγησης δικαιωμάτων αμερικάνικου τύπου Τα μοντέλα μέσω των οποίων μπορεί να τιμολογηθεί ένα δικαίωμα αμερικάνικου τύπου, μπορούν να ενταχθούν σε δύο ευρύτερες κατηγορίες: Αριθμητικά μοντέλα (numerical models) 4.3. Αναλυτικά μοντέλα (analytical models) Αριθμητικά μοντέλα Τα αριθμητικά μοντέλα εφαρμόζουν ένα είδος προσομοίωσης που περιλαμβάνει χρονικά βήματα (time-steps), και έχει στόχο την εύρεση της συμπεριφοράς της εξεταζόμενης διαδικασίας σε συνάρτηση με το χρόνο. Βασικό χαρακτηριστικό των αριθμητικών μοντέλων αποτελεί το γεγονός ότι εάν κατά την εκτέλεση της προσομοίωσης χρησιμοποιηθεί ένας ικανός αριθμός χρονικών βημάτων N, τότε η τιμή που προκύπτει από το μοντέλο συγκλίνει στην πραγματική τιμή του δικαιώματος (Amin και Khanna,1994) [1]. Η συγκεκριμένη ιδιότητα προσδίδει τη μέγιστη δυνατή 0

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηµατοοικονοµική Διοίκηση Ακαδηµαϊκό Έτος: 2013-2014 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ 31 Χρηματοοικονομική ιοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ 31 Χρηματοοικονομική ιοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-2012 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Πληροφοριακό Σημείωμα Μεθοδολογία προσδιορισμού Θεωρητικής Τιμής για Covered Warrants Bermudan Style. Έκδοση 1.0 17 Μαΐου 2013 Σημαντική Σημείωση Το Χρηματιστήριο Αθηνών (Χ.Α.) καταβάλλει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΑΠΟΓΕΥΜΑΤΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1 π.μ. π.μ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΣΕ ΦΥΣΙΚΟ ΠΛΟΥΤΟ & ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ 2 ης ΓΕΝΙΑΣ: ΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΣΕ ΦΥΣΙΚΟ ΠΛΟΥΤΟ & ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ 2 ης ΓΕΝΙΑΣ: ΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΣΕ ΦΥΣΙΚΟ ΠΛΟΥΤΟ & ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ 2 ης ΓΕΝΙΑΣ: ΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ31

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ31 Άσκηση η 2 η Εργασία ΔEO3 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ3 Η επιχείρηση Α εκδίδει σήμερα ομολογία ονομαστικής αξίας.000 με ετήσιο επιτόκιο έκδοσης 7%. Το

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 9. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα 9. Περιεχόμενα Περιεχόμενα 9 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 15 1. Οικονομικές και Χρηματοπιστωτικές Κρίσεις... 21 2. Χρηματοπιστωτικό Σύστημα... 31 2.1. Ο Ρόλος και οι λειτουργίες των κεντρικών τραπεζών... 31 2.2. Το Ελληνικό

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΑ. Στέλιος Ξανθόπουλος

ΠΑΡΑΓΩΓΑ. Στέλιος Ξανθόπουλος ΠΑΡΑΓΩΓΑ Στέλιος Ξανθόπουλος Εισαγωγικά Ένα παράγωγο συµβόλαιο είναι ένα αξιόγραφο η αξία του οποίου εξαρτάται από τις αξίες άλλων «πιο βασικών» υποκείµενων µεταβλητών. Τα παράγωγα συµβόλαια είναι επίσης

Διαβάστε περισσότερα

Credit Risk Διάλεξη 1

Credit Risk Διάλεξη 1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Credit Risk Διάλεξη 1 Εκτιμώντας πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές αγοράς Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODEL)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODEL) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODL) Ορισμός και μέτρηση της διάρκειας H διάρκεια ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος είναι ο μέσος σταθμικός χρόνος που απαιτείται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Συναλλαγματικές ισοτιμίες και επιτόκια

Συναλλαγματικές ισοτιμίες και επιτόκια Κεφάλαιο 2 Συναλλαγματικές ισοτιμίες και επιτόκια 2.1 Σύνοψη Στο δεύτερο κεφάλαιο του συγγράμματος περιγράφεται αρχικά η συνθήκη της καλυμμένης ισοδυναμίας επιτοκίων και ο τρόπος με τον οποίο μπορεί ένας

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης

Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης Ενότητα 13: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε το αρχικό περιθώριο ασφάλισης (ΠΑ) για τα 4 ΣΜΕ. ΠΣ=500 /συμβολαιο 4συμβόλαια

Υπολογίζουμε το αρχικό περιθώριο ασφάλισης (ΠΑ) για τα 4 ΣΜΕ. ΠΣ=500 /συμβολαιο 4συμβόλαια ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 - Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-2013 Γραπτή Εργασία 3 - Παράγωγα-Αξιόγραφα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΑΚΙΝΗΤΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΑΚΙΝΗΤΩΝ Η επιλογή της κατάλληλης εκτιμητικής μεθόδου ακινήτων αποτελεί μία «λεπτή» διαδικασία που εξαρτάται κυρίως από τη φύση και τις προοπτικές του κάθε ακινήτου.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα

Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα Αχιλλέας Ζαπράνης Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Θέματα Ορισμοί Προθεσμιακές Συμβάσεις (forwards) Συμβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 5: Η ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΓΟΡΩΝ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 5: Η ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 5: Η ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση για εκπαιδευση

Ζήτηση για εκπαιδευση Ζήτηση για εκπαιδευση Έστω, ότι η ζωή ενός ατόμου i, i = 1,, n, χωρίζεται σε δυο περιόδους, t και t + 1. Η πρώτη περίοδος αφορά την εφηβεία και η δεύτερη περίοδος αφορά την ενηλικίωση. Το άτομο αφιερώνει

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΘΕΜΑ 4 Υποθέστε ότι είστε ο διαχειριστής του αµοιβαίου κεφαλαίου ΑΠΟΛΛΩΝ το οποίο εξειδικεύεται σε µετοχές µεγάλης κεφαλαιοποίησης εσωτερικού. Έπειτα από την πρόσφατη ανοδική πορεία του Χρηματιστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Ι - ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ....................................17 1.1 Προβλέψεις - Τεχνικές προβλέψεων και διοίκηση................................17 1.2 Τεχνικές προβλέψεων

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Χαρτοφυλακίου ΟΕΕ. Σεμινάριο

Διαχείριση Χαρτοφυλακίου ΟΕΕ. Σεμινάριο Διαχείριση Χαρτοφυλακίου ΟΕΕ Σεμινάριο 1 Ενότητες Διαχείριση Χαρτοφυλακίου ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΟΜΟΛΟΓΙΕΣ ΜΕΤΟΧΕΣ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΤΡΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ 2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Ένας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Ανάλυση Μετοχής ΣΑΡΑΝΤΗΣ ΓΡ.

Τεχνική Ανάλυση Μετοχής ΣΑΡΑΝΤΗΣ ΓΡ. Τεχνική Ανάλυση Μετοχής ΣΑΡΑΝΤΗΣ ΓΡ. Η µετοχή Σαράντης στις αρχές Ιουλίου αφού δεν κατάφερε να διασπάσει ανοδικά τον κινητό µέσο όρο των 30 ηµ., κινήθηκε έντονα πτωτικά, µε αποτέλεσµα η τιµή της να µειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Α. Εισαγωγή Όταν μια επιχείρηση έχει περίσσια διαθέσιμα, μπορεί να πληρώσει άμεσα το διαθέσιμο χρηματικό ποσό ως μέρισμα στους μετόχους, ή να χρηματοδοτήσει κάποια νέα επένδυση.

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εξετάσει και να παρουσιάσει τις

Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εξετάσει και να παρουσιάσει τις Κεφάλαιο 9 Στρατηγικές τοποθέτησης σε δικαιώματα προαίρεσης Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εξετάσει και να παρουσιάσει τις βασικότερες στρατηγικές που μπορούν να σχηματιστούν με χρήση δικαιωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

«ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΑΓΟΡΑΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΑΓΟΡΑΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΑΓΟΡΑΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΠΑΤΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2005 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2009-10 Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 3: Τεχνικές επενδύσεων Ι Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 2

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 2 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στα Χηματοοικονομικά Παράγωγα 1 1.1 Χρηματοοικονομικοί Τίτλοι και Χρηματιστήριο...1 1.1.1 Το Χρηματιστήριο Αθηνών...4 1.2 Ιστορία των Παραγώγων...5 1.2.1 Τα Παράγωγα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματοποιείται με την κατάταξη των στοιχείων κατά κατηγορίες για μια σειρά ετών. Η σύγκριση των στοιχείων με παρελθόντα στοιχεία αυξάνει την

Πραγματοποιείται με την κατάταξη των στοιχείων κατά κατηγορίες για μια σειρά ετών. Η σύγκριση των στοιχείων με παρελθόντα στοιχεία αυξάνει την Πραγματοποιείται με την κατάταξη των στοιχείων κατά κατηγορίες για μια σειρά ετών. Η σύγκριση των στοιχείων με παρελθόντα στοιχεία αυξάνει την χρησιμότητα και εμφανίζει την φύση και τις τάσεις των τρεχουσών

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 7: Εισαγωγή στην Μακροοικονομική Θεωρία

Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 7: Εισαγωγή στην Μακροοικονομική Θεωρία Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 7: Καθηγητής: Κώστας Τσεκούρας Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σκοποί ενότητας Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n

Παράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n Παράγωγα Τιμολόγηση Αναφέρουμε μερικά εισαγωγικά τα οποία θα χρησιμοποιηθούν μέσω των μαθηματικών εργαλείων σαν υπάρχουσα γνώση για την τιμολόγηση των παραγώγων. Flered pace (Φιλτραρισμένοι Χώροι) Ένας

Διαβάστε περισσότερα

Asset & Liability Management Διάλεξη 3

Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Cash-flow matching Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά - Ορισμός: Η αγορά ενός αγαθού είναι η διαδικασία (θεσμικό πλαίσιο) μέσω της οποίας έρχονται σε επικοινωνία οι αγοραστές και οι πωλητές του συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Κατασκευάστε ένα λογιστικό φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28 Άσκηση 1 Η κατασκευαστική εταιρία Κ εξετάζει την περίπτωση αγοράς μετοχών της εταιρίας «Ε» με πληρωμή σε μετρητά. Κατά τη διάρκεια της χρήσης που μόλις ολοκληρώθηκε, η «Ε» είχε κέρδη ανά μετοχή 4,25 και

Διαβάστε περισσότερα