ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς
|
|
- Παλλάς Κόρακας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή
2 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες μέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδομένου ότι: Η τύχηείναι άμεσα συνδεδεμένη με τα υδρολογικά φαινόμενα (πλημμύρες, ξηρασίες) με αποτέλεσμα να περιγράφονται σε μικρό ή μεγάλο βαθμό από τη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε μετρήσεις φυσικών μεταβλητώνπου η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών μεθόδων(έλεγχος των σφαλμάτων των μετρήσεων, συμπλήρωση ελλείψεων ιστορικών δειγμάτων και κυρίως επέκταση χρονοσειρών) Η λήψη αποφάσεων για το σχεδιασμόκαι τη βέλτιστη λειτουργίατων υδραυλικών έργων και των υδατικών συστημάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό καθεστώς αβεβαιότητας, η οποία μπορεί να ποσοτικοποιηθείμε την θεωρία των πιθανοτήτων Σημειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν μπορεί να υποκαταστήσει την έλλειψη μετρήσεων των υδρολογικών μεταβλητώνή την έλλειψη αξιοπιστίας σε αυτές, χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρμογή οποιασδήποτε προσέγγισης. 2
3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήμα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π Δειγματοληψία ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εμφανιστεί μια τιμή σε συγκεκριμένο διάστημα Σε τι τιμή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα ΔΕΙΓΜΑ (Ν Δ < Ν Π ) Συμπύκνωση πληροφορίας ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυμμετρίας Μοντελοποίηση Εκτίμηση πιθανοτικών μεγεθών ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανομής Στατιστικές δοκιμές καταλληλότητας 3
4 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ 0.75 ) ΔΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ Χ 0.25 ) ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ 0.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ 1.5*(Χ Χ 0.25 ) ΕΩΣ 3* (Χ Χ 0.25 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ 0.25 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ Χ 0.25 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ 4
5 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ n Μέση τιμή (ροπή τάξης 1) X i i= 1 = n Τυπική απόκλιση n ( X i ) 2 i= 1 s = n 1 Διασπορά (κεντρική ροπή τάξης 2) 2 s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή Τέταρτη ροπή Συντελεστής ασυμμετρίας Συντελεστής κύρτωσης Μέγιστη τιμή Ελάχιστη τιμή C k C s = = i ( 3 ) i= 1 µ = n ( X ) n i ( 4 ) i= 1 µ = n ( X ) n ( 3 ) 2 µ n ( 2 ) 3 / 2 ( µ ) ( n 1) ( n 2 ) 3 ( 4 ) n * µ ( n 1) * ( n 2 ) * ( n 3 ) * µ n M. T. = m a{ X 1, X 2 i= 1 n 3 4,..., X E. T. = m in{ X, X,..., X } Χ 1...Χ n : Οι τιμές της μεταβλητής n :Αριθμός δεδομένων δείγματος i=1 1 2 n n } ( 2 ) 5
6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ 40 ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 12 Παροχή (m3/s) Χρόνος (έτη) Απόλυτη συχνότητα Συχνότητα (%) ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, Αθροιστική συχνότητα (%) Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ Ετήσια παροχή (m 3 /s) 6
7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Αθροιστική συχνότητα (%) ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ιστόγραμμα σχετικής συχνότητας Ετήσια παροχή (m 3 /s) 100 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Αθροιστικό ιστόγραμμα Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων,
8 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέσητιμή 1< Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1= Τυπική απόκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1= Συντελεστής ασυμμετρίας 2=0 Συντελεστής κύρτωσης 1= Συντελεστής κύρτωσης 2 Τιμές μεταβλητής ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέσητιμή 1= Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1= Τυπική απόκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1= -Συντελεστής ασυμμετρίας 2 Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστής κύρτωσης 2 Συντελεστής ασυμμετρίας >0 Τιμές μεταβλητής Συντελεστής ασυμμετρίας <0 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέσητιμή 1=Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 < Τυπική απόκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1= Συντελεστής ασυμμετρίας 2=0 Συντελεστής κύρτωσης 1 Συντελεστής κύρτωσης 2 ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μέσητιμή 1=Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1= Τυπική απόκλιση 2 Σ.Α. 1 = Σ.Α. 2= 0 Συντελεστής κύρτωσης~5 Συντελεστής κύρτωσης~2 Τιμές μεταβλητής Τιμές μεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης~3 8
9 Χ τυχαία μεταβλητή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Συνάρτηση κατανομής (πιθανότητα μη υπέρβασης) H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μικρότερη ή ίση της δεδομένης τιμής F 0 X = ( ) F X = P( X ) ( ) F X ( ) F X ( + ) = 1 Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη της δεδομένης τιμής F 1X = P( X ) = 1 F X ( ) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X ( X ) = dfx ( ) d 9
10 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ = 1 > = 1 = 1 1 Η περίοδος επαναφοράς είναι το αντίστροφο της πιθανότητας υπέρβασης. Προϋποθέσεις για να ισχύει η παραπάνω σχέση είναι (α) να είναι συνεχής η τυχαία μεταβλητή και (β) να ισχύει η παραδοχή ανεξαρτησίας της προηγούμενης ενότητας, δηλαδή κάθε εμφάνιση να είναι στοχαστικά ανεξάρτητη από τις προηγούμενες και επόμενές της. Βασική σχέση, η οποία συνδέει τα τρία βασικά μεγέθη υδρολογικού σχεδιασμού ενός έργου, δηλαδή την περίοδο επαναφοράς, τη διάρκεια ζωής και τη διακινδύνευση: =1 1 1 = Τέλος, δεδομένου ότι ln 1 = ln 1 =, παίρνουμε και την ακόλουθη προσεγγιστική έκφραση του R: =1 η οποία ισχύει με σφάλμα <1% για Τ 50 έτη. 10
11 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ =1 1 1 Γραφική απεικόνιση της σχέσης των χαρακτηριστικών μεγεθών υδρολογικού σχεδιασμού (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 11
12 Παράδειγμα*: α) Διώρυγα εκτροπής σχεδιάζεται να λειτουργήσει κατά την περίοδο κατασκευής φράγματος, η οποία εκτιμάται σε 5 χρόνια. Ποια πρέπει να είναι η περίοδος επαναφοράς της πλημμύρας σχεδιασμού, ώστε η διακινδύνευση να μην υπερβαίνει το 10%; β) Πόση είναι η διακινδύνευση αν ένα έργο σχεδιαστεί με περίοδο επαναφοράς ίση με τη διάρκεια ζωής του; Λύση ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ α) =1 1 = =. = έτη Στρογγυλεύουμε για περίοδο επαναφοράς Τ = 50 έτη. β) Αν δεχτούμε ότι η διάρκεια ζωής του έργου είναι αρκετά μεγάλη ( 50 χρόνια),τότεαπότηνπροσεγγιστικήσχέσηπαίρνουμεr=1 e 1 =0.632 = 63.2%. Διαφορετικά η διακινδύνευση υπολογίζεται από την κανονική εξίσωση (*Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 12
13 F ) n N ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγματος X ( = n :oαριθμός των τιμών του δείγματος που δεν υπερβαίνουν την τιμή χ 1000 ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) F (800)=18/25=0.72=72% F 1 (800)=7/25=0.28=28% Όμως: F (1000)=25/25=1=100% F 1 (1000)=0/25=0=0% F X ( ) Για αυτό: n = N
14 Οι εμπειρικές συναρτήσεις κατανομής (πιθανότητες μηυπέρβασης ταξινομημένου δείγματος σε αύξουσα σειρά) Όνομα κατανομής Σχέση q i = Weibull Blom Cunnane 1 1 i n+1 ( n i+ 1) n ( n i+ 1) 0.4 n+ 0.2 Gringorten Hazen 1 ( n i+ 1) 0.44 n i 1 2n 14
15 Εμπειρικές κατανομές Weibull, Blom, Cunnane, Gringorten Ετήσια μέγιστα έντασης ωριαίων βροχοπτώσεων Weibull Blom Cunnane Gringorten Gumbel Ma Return period (T) f or Maimum v alues in y ears - scale: Gumbel (Ma) distribution mm/h
16 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ Περίοδος επαναφοράς,τμιας δεδομένης τιμής της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι ο μέσος αριθμός χρονικών διαστημάτων (εν προκειμένω υδρολογικών ετών) που μεσολαβεί μεταξύ 2 διαδοχικών εμφανίσεων της τυχαίας μεταβλητής με μέγεθος μεγαλύτερο ή ίσο της δεδομένης τιμής. Πιθανότητα υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε nέτη: F 1 =1/Τ F=1-F 1 =(1-1/Τ) (1-1/Τ) n Διακινδύνευση είναι ηπιθανότητα Rνα πραγματοποιηθεί μέσα σε nέτη τιμή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ. Πιθανότητα υπέρβασης σε nέτη (Διακινδύνευση): R=1-(1-1/Τ) n Παράδειγμα Τ=50 έτη, n=10 έτη R=1-(1-1/50) 10 =0.18=18% 16
17 ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ομοιόμορφη Κατανομή Διωνυμική Κατανομή Κατανομή Poisson Κανονική Κατανομή Λογαριθμοκανονική Κατανομή Κατανομές Ακραίων Τιμών (Etreme Value distributions) Ακραίων τιμών τύπου Ι (EVI, Gumbel) Ακραίων τιμών τύπου ΙΙ Ακραίων τιμών τύπου ΙΙΙ (Weibull) Κατανομή Pearson ΙΙΙ Κατανομή Log-Pearson III 17
18 OMOIΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Θεωρούμε τηνομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας(uniform probability distribution). Ορισμένες φορές καλείταιορθογώνια κατανομή πιθανότητας).περιγράφεται από την συνάρτηση: f ( ) = 0, < a f() f f ( ) ( ) = = 1, a b a 0, b< b a b εμβαδόν = μήκοςύψος = (b a) = 1 18
19 ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ p( n / N) N n N! n!( N n)! n N n n N n = p * q = p *(1 p) Η διωνυμική κατανομή δίνει την πιθανότητα να έχουμε n επιτυχίες σε Ν δοκιμές όπου pη πιθανότητα επιτυχίας κάθε δοκιμής και q=1-pη πιθανότητα αποτυχίας κάθε δοκιμής Παράδειγμα. Η πιθανότητα να εμφανιστεί η τιμή με πιθανότητα 20%, 3 φορές σε 5 χρόνια είναι: p(3/5) =(5!/(3!*2!))*0.2 3 *0.8 (5-3) = Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός με πιθανότητα υπέρβασης p τουλάχιστον μια φορά στα n χρόνια είναι: F ( ) = 1 (1 p) n 19
20 ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON Τυχαία γεγονότα που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια του χρόνου tμε μέσο ρυθμό άφιξης λ Υποθέσεις: Α) Μονιμότητας Β) Μη πολλαπλασιαστικότητας Γ) Ανεξαρτησίας Για κάθε χρονικό διάστημα tο αριθμός των γεγονότων χπου θα συμβεί έχει μια πιθανότητα Poisson. F( ) = ( λt) e! λt 20
21 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1. Συνεχής και ορισμένη για όλες τις θετικές τιμές 2. Άνω κλάδος χωρίς όριο (unbounded) 3. Κάτω κλάδος με όριο μηδέν ή μια θετική τιμή 4. Ασυμπτωτική στον άξονα για μεγάλες θετικές τιμές της μεταβλητής 5. Μέγιστος αριθμός παραμέτρων = τρείς (3) (μέση τιμή, διασπορά ή τυπική απόκλιση, συντελεστής ασυμμετρίας) 21
22 ΠΡΑΚΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ (ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ) 1. Επιλογή τιμών 2. Διάταξη κατά φθίνουσα σειρά μεγέθους (για μέγιστα) και κατά αύξουσα σειρά μεγέθους (για ελάχιστα) 3. Υπολογισμός της πιθανότητας υπέρβασης και της περιόδου επαναφοράς 4. Προσαρμογή μιας θεωρητικής κατανομής με εκτίμηση των παραμέτρων της 5. Εκτίμηση μεγέθους γεγονότος για μια δεδομένη περίοδο επαναφοράς ή 6. Εκτίμηση περιόδου επαναφοράς ενός δεδομένου μεγέθους 22
23 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΜΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1. Η μέθοδος των Ροπών(method of moments) 2. H μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας(method of maimum likelihood) 3. Η μέθοδος των L-ροπών (πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών) (method of L- moments) 4. H μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares) 5. Η μέθοδος του ελαχίστου 2 (minimum 2 method) 6. Η μέθοδος των έξι διαιρέσεων (method of setiles) 7. Η μέθοδος επιλογής ειδικών σημείων (method of matching selected points) 23
24 MEΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ Υπολογισμός των ροπών Μέσος ˆµ = N i= 1 i N Διακύμανση ή τυπική απόκλιση N ˆ σ = i= 1 ( ) i N 1 2 1/ 2 Συντελεστής ασυμμετρίας gˆ = N ( N 1)( N 2) N i= 1 ( i ) ˆ σ 3/
25 Δειγματικές ροπές ως στατιστικοί δείκτες Απλές (μεροληπτικές) εκτιμήτριες των δειγματικών ροπών Στατιστικός δείκτης Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Τρίτη κεντρική ροπή Συντελεστής ασυμμετρίας Τέταρτη κεντρική ροπή m 4, συντελεστής κύρτωσης δείγματος g 2 (μεροληπτικός) µ ( 3) µ = n i µ σ = n 1 = n Εκτιμήτρια µ C s = 3 σ 1 4 m 4 = ( i µ ) m4 g2 = 3 2 n, m 2 όπου m 2 η δειγματική μεταβλητότητα = σ 2 Για την περίπτωση της εκτίμησης παραμέτρων κατανομών με την έμμεση μέθοδο των ροπών (περίπτωση κατανομής Log-PearsonIII) θα χρησιμοποιείται η μετασχηματισμένη μεταβλητή: y i =ln i στην θέση της i 3 i µ i ( ) 3µ σ n ( 3) 2 ( ) = ( µ ) 3 1 i 2 µ 3 3 ή 25
26 Δειγματικές ροπές ως στατιστικοί δείκτες Συντελεστές διόρθωσης μεροληψίας -αμερόληπτες εκτιμήσεις των ροπών του πληθυσμού Στατιστικός δείκτης Μέση τιμή - Τυπική απόκλιση Τρίτη κεντρική ροπή n n 1 ( n 1)( n 2) Συντελεστής ασυμμετρίας n( n 1) Αμερόληπτη εκτιμήτρια της κύρτωσης του πληθυσμού. Συντελεστής διόρθωσης μεροληψίας n 2 n 2 ( n 1) n ( n 1)( n 2)( n 3) 4 ( i ) ( n 1) + i = k n ( n 2)( 3) Όπου η μέση τιμή του δείγματος και k 2 η αμερόληπτη εκτιμήτρια για την μεταβλητότητα του πληθυσμού. Για την περίπτωση της εκτίμησης παραμέτρων κατανομών με την έμμεση μέθοδο των ροπών (περίπτωση κατανομής Log-Pearson III) θα χρησιμοποιείται η μετασχηματισμένη μεταβλητή: yi=lni στην θέση της i. n
27 ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ (ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ) ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Για πολλές κατανομές πιθανότητας μπορεί να γραφεί η ακόλουθη σχέση = + σˆ K T T όπου Κ Τ είναι ο παράγοντας συχνότητας που εξαρτάται από την περίοδο επαναφοράς Τ και τα χαρακτηριστικά της κατανομής 27
28 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανομής f µ 1 0.5*( ) σ ( ) = e σ 2π ( F = 2 σ ( ) e σ 2π µ ) 2 d ( Τ) ma ( Τ) min = = ( Τ) ( Τ) Όρια εμπιστοσύνης + z(1+ α)/2st S = δ z S T (1+ α)/2 T ˆ σ Ν 1+ 2 Κ(T) δ ( T) (1 1/ T) = 2 K = Z S T η τυπική απόκλιση του T Z (1+α)/2 η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομήςόταν το επίπεδο είναι α% σˆ N η τυπική απόκλιση του δείγματος ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος 28
29 Βήματα Προσαρμογής Κανονικής Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Κατάταξη δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 5. Εύρεση τυποποιημένης μεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε F. 6. Εκτίμηση τιμών μεταβλητής από τα Ζ. X = + Z * 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος 2 ή/και Kolmogorov-Smirnov για την καταλληλότητα της κατανομής. S 29
30
31 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F() (%) για 0 Ζ 3.09
32 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F() (%) για Ζ -0.10
33 ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανομή Σε δείγμα τιμών Χiμε μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ ηπαράμετρος z=(xi-μ)/σ ακολουθεί κανονική κατανομή με μ=0, σ=1 (τυπική κανονική κατανομή) Δείγμα έχει μ=10, σ=5 και ακολουθεί κανονική κατανομή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιμής Χi=15 z=(15-10)/5=1 Ποια είναι η τιμή Χiπου αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ= 1.5έτη F=1-(1/1.5)=0,333 F=84,1% Πίνακας (0,1) z=1, F=0,8413 F=33.3% Πίνακας (0,1) Για F= z=0.43 Για F=0.333 z=-0.43 z=1 Τ=1/(1-0,8413) 6 έτη z=-0.43 (Xi-10)/5=-0.43 άρα Xi=
34 40 ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Περίοδος επαναφοράς (έτη) Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 50% 16% 2.3% 0.2% Ετήσια παροχή (m3/s) % % -2 16% -1 50% 0 84% % % 3 4 Ανηγμένη μεταβλητή Gauss Συνάρτηση κατανομής (%) 34
35 Βήματα ελέγχου 2 1. Υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής που πρόκειται να προσαρμοστεί (για την κανονική κατανομή r=2, μκαι σ). 2. Χωρίζεται το δείγμα των στοιχείων σε kισοπίθανεςκλάσεις (κριτήριο συνήθως να έχω τουλάχιστον 5 στοιχεία σε κάθε κλάσηή k r+2ή καιk N/5). 3. Υπολογίζεται ο βαθμός ελευθερίας της κατανομής ν= k-r Υπολογίζεται η Αθροιστική Πιθανότητα οι τιμές να βρίσκονται στην τρέχουσα και τις προηγούμενες κλάσεις. 5. Προσδιορίζεται τοχπου αντιστοιχεί στην αθροιστική πιθανότητα Zκάθε κλάσης και τα όρια των κλάσεων. 6. Υπολογίζεται η πιθανότητα (p i )μίας τυχαίας τιμής της κατανομής 2 να ανήκει σε κάθε κλάση(γι αυτό χρειάζεται τουλάχιστον μία παρατήρηση σε κάθε κλάση). 7. Υπολογίζεται ο αναμενόμενος (θεωρητικός) αριθμός παρατηρήσεων για κάθε κλάση με τη συγκεκριμένη κατανομή, E i = n*p i (πολλαπλασιάζεται το p i με το μέγεθος του δείγματος n). 35
36 Βήματα ελέγχου 2 8. Γίνεται καταμέτρηση των πραγματικών παρατηρήσεων N i από το δείγμα που πέφτουν μέσα σε κάθε κλάση. 9. Υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος, D(όταν η τιμή είναι πολύ μεγάλη, αναμένεται ότι η κατανομή δεν προσαρμόζεται καλά στη 2 ). D=Σ[(N i -E i ) 2 / Ε i ] 10.Συγκρίνεται η τιμή της παραμέτρου D με την τιμή που προκύπτει από τους πίνακες 2 για το συγκεκριμένο ν και συγκεκριμένες πιθανότητεςεπίπεδα σημαντικότηταςα 2 α. 11.Η μηδενική υπόθεση (ότι το δείγμα ακολουθεί τη θεωρητική κατανομή στην οποία προσαρμόστηκε (π.χ. την κανονική))γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α, αν D< 2 α. Συνήθη επίπεδα σημαντικότητας είναι τα 1%, 5% και 10%. 36
37 Αριθμός παραμέτρων κανονικής κατανομής: 2 40 ΕΛΕΓΧΟΣ 2 για κανονική κατανομή Αριθμός κλάσεων (k): 5 Βαθμοί ελευθερίας Πιθανότητα κλάσης(p i ): 1/5=20% κατανομής χ 2 : Θεωρητικός αριθμός σημείων κλάσης (Ν*p i ): 30*0.2=6 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αριθμός σημείων ανά κλάση (Ν i ) Αθροιστική πιθανότητα (%) 20 % 20 % 20 % 20 % 20 % 7 Κλάση N i N*p i =Ε i (N i -Ε i ) 2 /Ε i 0 0 0,167 0,167 0 D=0,
38 100 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ 1. Η μεταβλητή χ 2 ακολουθεί την κατανομή χ 2 με 2 βαθμούς ελευθερίας 2. Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D 3. Η μηδενική υπόθεση (Η 0 ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<χ 2 α 80 Πιθανότητα (%) D=0,33 Q 0.1 = Μεταβλητή χ2 Q 0.05 = 6.0 Q 0.01 = 9.2 Το D(0.33)είναι μικρότερο από το χ 2 αγια τα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας 1%(9.2), 5% (6.0), 10%(4.6). Άρα η μηδενική υπόθεση (Η 0 ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονικήκατανομή γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας. 38
39 39
40 40
41 41
42 42
43 F*(Χ (i) )=i/n ΕΛΕΓΧΟΣ Kolmogorov-Smirnov Βασίζεται στη διαφορά μεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής F ()και του παρατηρημένου αθροιστικού ιστογράμματος F*() όπου είναι η iμεγαλύτερη παρατηρημένη τιμή σε δείγμα με μέγεθος n Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D n D= ma i= 1 [ ] n ( i) ( i) i ( i) F *( X ) F( X ) = ma F( X ) Η μηδενική υπόθεση (Η 0 ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<D c i= 1 n ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ D c Μέγεθος α=0.10 α=0.05 α=0.01 δείγματος > /n 1/2 1.36/n 1/2 1.63/n 1/2 43
44 ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΛΕΓΧΟΣ KOLMOGOROV SMIRNOV [Τιμές της παραμέτρου : P( D c ) 1 -α]* 44
45 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Προσαρμογή κανονικής κατανομής 45
46 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανομή Χ(Τ) ma ,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% (1+a)/ (1+a)/ Χ(Τ) min Χ(2) Χ(Τ)=m + Z (1-1/T) * s
47 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Κανονική κατανομή ,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% % % % %
48 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ α% ( Τ) ( Τ) ma min = ( Τ) + z = ( Τ) z (1+ α ) / 2 (1+ α )/ 2 S S T T Z (1+α)/2 η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομήςόταν το επίπεδο είναι α% S T η τυπική απόκλιση του T σˆ S T σ = δ ˆ Ν Η τυπική απόκλιση του δείγματος N Ο αριθμός των Ν παρατηρήσεων του δείγματος Κανονική κατανομή δ = K Κ( T ) 1+ 2 ( T ) = Z(1 1/ T ) 2 ΚατανομήGumbelμεγίστων δ = Κ ( T) + 1.1Κ( T) k( T ) = *ln( ln(1 1/ T )) 2 48
49 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανομή ,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% Χ(2) 20% Χ(Τ) ma =X(T) + z (1+a)/2 * S T 10% 5% (1+a)/2 2% 1%,5% Χ(Τ)=m + Z (1-1/T) * s,2%,1%,05% (1+a)/2 Χ(Τ) min =X(T) -z (1+a)/2 * S T T=100, 1-1/T =99%, z 99% =2.33 a=95% (1+a)/2=97.5% z 97.5% =
50 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = z ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH 1 2πS y * e 1 ln m ( 2 S y y 2 ) F X ( ) Εκτίμηση παραμέτρων (μέθοδος ροπών) Χειρισμός της κατανομήςβάσει της μεθόδου ma πιθανοφάνειας = Συνάρτηση Κατανομής 0 s 1 2π S S y = ln( 1+ S / m ) my' = lnm Sy / 2 ' my = ln ln = Z * S y + my S Z S y y + m = e * y Z η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής y * e 1 2 ln ( s m S y y 2 ) 50
51 Βήματα Προσαρμογής Λογαριθμοκανονικής Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών λογαρίθμων δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Κατάταξη λογαρίθμων δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 5. Εύρεση τυποποιημένης μεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε F. 6. Εκτίμηση τιμών από τα Ζ. Z S y + m = e * y 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος 2 ή/και K-S για την καταλληλότητα της κατανομής. 51
52 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή λογαριθμοκανονικής κατανομής Weibull LogNormal Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05%
53 ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ (EXTREME VALUE DISTRIBUTIONS, EV) ΤΥΠΟΣ Ι:Αρχική κατανομή χωρίς όριο προς την κατεύθυνση της ακραίας τιμής (EV I ή Gumbel, για μέγιστα και ελάχιστα) ΤΥΠΟΣ ΙΙ: Αρχική κατανομή χωρίς όριο προς τις δύο κατευθύνσεις (ΕV II π.χ. Cauchy δεν εφαρμόζεται στην υδρολογία) ΤΥΠΟΣ ΙΙΙ: Αρχική κατανομή με όριο προς την κατεύθυνση της ακραίας τιμής (ΕV III ή κατανομές Pearson) 53
54 ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράμετροι (μέθοδος ροπών) c= 0, 45 a = 1,282 / S S παράμετρος θέσης παράμετρος κλίμακας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) F X ( ) = e e ( T) + k( T) * = Συνάρτηση Κατανομής ln( lnf ) ln( ln( 1 1/ T)) a ( c) ( T) = c = c a a Όρια εμπιστοσύνης S ( T ) = S {0,45+ 0,7797 ln[ln( T ) ln( T 1)]} k( T) = *ln( ln( 1 1/ T)) S ( T ) T n 2 ma, min = ( T ) ± Z(1 + a )/ 2 * * k( T ) + 1.1* k( ) δ S T 54
55 Βήματα Προσαρμογής Κατανομής EVI (Gumbel) (μέθοδος ροπών) 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Υπολογισμός παραμέτρων ακαι c. a =1,282 / S c= 0, 45S 3. Κατάταξη δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 4. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 5. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 6. Εύρεση για κάθε F=1-1/Τ της τιμής του απευθείας από τον τύπο της θεωρητικής κατανομής Gumbel. = S { 0,45+ 0,7797 ln[ln( T ) ln( T 1)]} 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με την ποσότητα ln(lnt-ln(t-1)). 8. Έλεγχος 2 ή/και Κ-S για την καταλληλότητα της κατανομής. 55
56 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ EVI (Gumbel)(μέθοδος ροπών) 1. Επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας (significancelevel, α) (συνήθως α=5%) 2. Βρίσκονται η μεταβλητή Ζ 1-α/2 της τυποποιημένης κανονικής κατανομής για αθροιστική πιθανότητα μεταξύ των ορίων 1-α. 3. Υπολογίζεται η τυπική απόκλιση των τιμών της κατανομής EVI(Gumbel) από τον τύπο: ˆ σ S T = δ N σˆ όπου: είναι η τυπική απόκλιση του δείγματος μεγέθους Ν παρατηρήσεων και 2 δ = K K 4. Υπολογίζονται τα όρια εμπιστοσύνης (Confidence Limits) της Θεωρητικής κατανομής Gumbel Άνω Όριο : X T, ma = X T + Z1 α / 2 1 T T S T Κάτω Όριο: X T, min = X T Z1 α / 2 S T 56
57 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής EVI ή Gumbel μεγίστων Weibull Gumbel Ma Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05%
58 ,9% 99,5% 98% 95% 90% 80% 70% 60% ΕΛΕΓΧΟΣ 2 50% 40% 30% Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: καταν ομή Gumbel (Ma) 20% 10% για κατανομή EVI (Gumbel) Αριθμός κλάσεων (k): 5 Πιθανότητα κλάσης (p i ): 1/5=20% Βαθμοί ελευθερίας Αριθμός παραμέτρων Θεωρητικός αριθμός σημείων κατανομής Gumbel: 2 κατανομής χ 2 : κλάσης (Ν*p i ): 33*0.2=6.6 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% Αριθμός σημείων ανά κλάση (Ν i ) Κλάση N i N*p i (N i -N*p i ) 2 /N*p i , D = % 20% 20% 20% 20%
59 ΜΕΣΕΣ ΕΤΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών Weibull Normal LogNormal Galton Eponential Gamma PearsonIII LogPearsonIII Gumbel Ma EV2-Ma Gumbel Min Weibull GEV Ma GEV Min Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Min (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% Κανονική κατανομή (Gauss) Kατανομή Gumbel μεγίστων
60 ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών Weibull Normal LogNormal Galton Eponential Gamma PearsonIII LogPearsonIII Gumbel Ma EV2-Ma Gumbel Min Weibull GEV Ma GEV Min Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Min (k spec.) Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Καν ον ική κατανομή ,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% Κανονική κατανομή (Gauss) Kατανομή Gumbel μεγίστων
61 ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΜΕΓΙΣΤΩΝ Εκτίμηση Παραμέτρων (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 61
62 ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΜΕΓΙΣΤΩΝ Συντελεστής συχνότητας K T K T = 0,7797 0,5772+ ή = 0,7797y 0,45 T ln ln T 1 F( y) = ep( ep( y)) 62
63 ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL)ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Παράμετροι (μέθοδος ροπών) c= + 0, 45 a = 1,282 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) Συνάρτηση Κατανομής F X ( ) = 1 e e a ( c ) ln( ln(1 F ) ln( ln(1/ T )) ( T ) = c+ = c+ a a 63
64 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής EVI (Gumbel) ελαχίστων Weibull Gumbel Min Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05%
65 ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Εκτίμηση Παραμέτρων (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 65
66 66 ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL k c X e F ) / ( 1 ) ( = Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Κατανομής Παράμετροι (μέθοδος ροπών) k c k X e c c k f ) / ( 1 ) *( ) ( = ) 1 (1 k c + Γ µ = ) 1 (1 ) 2 (1 1 + Γ + Γ = + µ σ k k [ ] [ ] k k T c F c T 1/ 1/ ) ln(1/ * ) ln(1 * ) ( = = μ, σ μέση τιμή και τυπική απόκλιση του δείγματος c, κ παράμετροι της κατανομής Weibull Γ() συνάρτηση Γάμμα
67 ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL Εκτίμηση Παραμέτρων Θέτω Υ = lnx Συνάρτηση κατανομής ελαχίστων τύπου Ι με παράμετρο θέσης lnακαι παράμετρο κλίμακας κ (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 67
68 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής Weibull Weibull Weibull Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05%
69 f F X X ( ) = ( ) = ΚΑΤΑΝΟΜΗ LOG PEARSON III Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας κ λ *ln( c) Γ( κ) e c κ λ Γ ( κ ) * Παράμετροι c: παράμετρος κλίμακας λ>0 παράμετρος σχήματος κ>0 παράμετρος σχήματος (ln s κ 1 e c ) λ(ln c) Συνάρτηση Κατανομής Χειρισμός της κατανομής κ 1 e λ (ln s c ) Το Ζ υπολογίζεται από πίνακες με βάσητην πιθανότητα εμφάνισης και το συντελεστή ασυμμετρίας της ln z = ln S ds ln ln = zsln ln zsln + ln ln + = e 69
70 Βήματα Προσαρμογής Λογαριθμικής Pearson ΙΙΙ Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών λογαρίθμων δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση, συντελεστής ασυμμετρίας). 2. Κατάταξη λογαρίθμων δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Εύρεση από Πίνακα Log Pearsonτων συντελεστών συχνότητας Κ(Τ) με βάση το gτου δείγματος και τα διάφορα Τ. 5. Εκτίμηση νέων θεωρητικών τιμών από τις σχέσεις(*): 6. Γραμμική παλινδρόμηση μεταξύ λογαρίθμων δείγματος y(t) και Κ(Τ) με σκοπό την καλύτερη προσαρμογή των σημείων y(t), K(T), έτσι ώστε η ευθεία να y(t)=m+k(t)*c να προσεγγίζει κατά το δυνατόν την ευθεία. 7. Εύρεση διορθωμένου y (T) από τη σχέση y (T) = m + K(T)*C, 8. (T) = e y (T). y ( T) = και = e ln + K( T)* Sln,, ( T) 9. Χάραξη θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα K(T) στον οριζόντιο άξονα. 10. Έλεγχος 2 ή/και K-S για την καταλληλότητα της κατανομής. y( T ) *Μιμίκου, Μ., Τεχνολογία Υδατικών Πόρων, Εκδόσεις Παπασωτηρίου 70
71 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ PEARSON III Πηγή: Μ.Α. Μιμίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Εκδόσεις Παπασωτηρίου 71
72 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής Log-Pearson III Weibull LogPearsonIII Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05%
73 (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων,
74 (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων,
75 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίμηση τιμών και ορίων εμπιστοσύνης 95% 1000 Παροχή (m 3 /s) ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 Ανηγμένη μεταβλητή Ζ Παροχή (m 3 /s) ΛΟΓΑΡΙΘΜΟ- ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 0 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 Ανηγμένη μεταβλητή Ζ (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων,
76 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίμηση τιμών και ορίων εμπιστοσύνης 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 76
77 ΣΧΟΛΙΑ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Κανονική κατανομή μπορούμε να εφαρμόζουμε σε μεγέθη που προέρχονται από συνάθροιση (ή μέσες τιμές) πάνω σε ένα χρονικό διάστημα, για παράδειγμα ετήσιες βροχοπτώσεις Ειδικά για την κανονική κατανομή ένα κριτήριο για να ικανοποιείται η απαίτηση της κυριαρχίας των θετικών τιμών είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας (C v =σ /μ ) να είναι C v <0.25. Αν όμως C v >0.5 θα πρέπει να αποκλείεται η κανονική κατανομή Κατανομή γάμα (ή PearsonIII ή και λογαριθμοκανονική 2-3 παραμέτρων) εφαρμόζουμε σε μεγέθη που παρουσιάζουν (θετική) ασυμμετρία. π.χ. τα δείγματα που έχουν εποχικότητα (π.χ. χρονοσειράβροχοπτώσεων συγκεκριμένου μήνα ετήσιου χρονικού βήματος) Εκθετική κατανομή για την περιγραφή υδρολογικών μεταβλητών σε μικρή χρονική κλίμακα Κατανομές ακραίων τιμών (ΑΤ) ή Log-PearsonIII για την περιγραφή ακραίων τιμών σε ένα χρονικό διάστημα (όπως χρονοσειρέςετησίων μεγίστων βροχόπτωσης ή παροχής) ΑΤ-3 ελαχίστων (Weibull) για την περιγραφή παροχών ξηρασίας Pareto για την περιγραφή μεταβλητών που ξεπερνούν ένα δεδομένο κατώφλι 77
78 Βιβλιογραφία Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «Πιθανοτικήπροσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών», Διαφάνειες του μαθήματος «Τεχνική Υδρολογία» Κουτσογιάννης, Δ., και Θ. Ξανθόπουλος. «Τεχνική Υδρολογία», Έκδοση 3, 418 σελίδες, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, Κουτσογιάννης, Δ. «Στατιστική Υδρολογία»,Έκδοση 4, 312 σελίδες, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, Μιμίκου, Μ.Α. «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 3 η Έκδοση, Μιμίκου, Μ.Α. και Ε.Α. Μπαλτάς. «Τεχνική Υδρολογία», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η Έκδοση, Παπαμιχαήλ, Δ.Μ. «Τεχνική Υδρολογία Επιφανειακών Υδάτων», Εκδόσεις Γιαχούδη-Γιαπούδη, Τσακίρης, Γ. «Υδατικοί Πόροι Ι. Τεχνική Υδρολογία», Εκδόσεις Συμμετρία,
79 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στoπλαίσιoτου εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 79
ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών
ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών
ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών
Διαβάστε περισσότεραΥ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών
Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών
Διαβάστε περισσότεραΠιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών
Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 9 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας
Διαβάστε περισσότεραΥ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών
Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 2: Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση ακραίων υδρολογικών τιμών 2.1. Πιθανοτική Ανάλυση Ακραίων Τιμών Καθ. Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΠιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών
Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή Σχέσεις Έντασης Διάρκειας
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών
ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:
Διαβάστε περισσότεραΠερίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.
1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 8:Υδρογραφήματα-ΜοναδιαίοΥδρογράφημα - Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα: Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 8:Υδρογραφήματα-ΜοναδιαίοΥδρογράφημα - Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα: Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΠλημμύρες Πιθανοτικό πλαίσιο
Πλημμύρες Germany, Bavaria, Franconia, Bamberg, Old City Hall over river Νίκος Μαμάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 4 Ίχνη πλημμύρας σε κτήρια της Κολωνίας Πηγή: Early Warning
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής
Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις αρχές και μεθόδους της στατιστικής, τις οποίες παρουσιάσαμε ήδη στο κεφάλαιο 3, σε ένα από τα πιο τυπικά
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 2: Στοιχεία Μετεωρολογίας Υετόπτωση: Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 2: Στοιχεία Μετεωρολογίας Υετόπτωση: Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών
Διαβάστε περισσότεραiii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην κανονική κατανομή και την χρήση της στην Υδρολογία Σ.Η.Καραλής
Βασική στατιστική Υδρολογία Εισαγωγή στην κανονική κατανομή και την χρήση της στην Υδρολογία Σ.Η.Καραλής 1. Ορολογία 2. Ιστογράμματα συχνοτήτων 3. Ιδιότητες κανονικής κατανομής 4. Πίνακες τυποποιημένης
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΕλλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΟι καταιγίδες διακρίνονται σε δύο κατηγορίες αναλόγως του αιτίου το οποίο προκαλεί την αστάθεια τις ατμόσφαιρας:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΡΑΓΔΑΙΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Καταιγίδα (storm): Πρόκειται για μια ισχυρή ατμοσφαιρική διαταραχή, η οποία χαρακτηρίζεται από την παρουσία μιας περιοχής χαμηλών ατμοσφαιρικών πιέσεων και από ισχυρούς
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΌµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος
Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια
Διαβάστε περισσότεραΔημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ
Δημήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Έκδοση 4 Αθήνα 1997 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Επίκουρος Καθηγητής Τομέας Υδατικών Πόρων
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...
Διαβάστε περισσότερα(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π
Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 6 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική
Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2017
ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2017 Κίνητρα μελέτης πλημμυρικών παροχών Τεράστιες επιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότερα1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών
Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ
Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΘέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις
01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1
Διαβάστε περισσότεραΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ... 25 1.3 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΛίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 1 Εισαγωγή 21 1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη στατιστική; 21 1.2 Τι είναι η στατιστική; 22 1.3 Περισσότερα για την επαγωγική στατιστική 23 1.4 Τρεις
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση
Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν
Διαβάστε περισσότεραΣΧ0ΛΗ ΤΕΧΝ0Λ0ΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: ΟΡΓΑΝΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΡΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ
ΣΧ0ΛΗ ΤΕΧΝ0Λ0ΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: ΟΡΓΑΝΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΡΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος «ποιότητα», είναι μια απλή έννοια που εκφράζεται
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 3: Χρήσιμες Κατανομές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)
Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΝΧΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΝΧΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ «Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση ακραίων βροχοπτώσεων και απορροών σε 400 λεκάνες απορροής από την βάση MOPEX»
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα
Διαβάστε περισσότερα4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου
4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Οργάνωσης και Διαχείρισης Αθλητισμού
Τμήμα Οργάνωσης και Διαχείρισης Αθλητισμού 3 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους 2013-2014 ΟΔ 034 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Δευτέρα 10:00-13:00 Ώρες διδασκαλίας (3)
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική
Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Εκτιμητική
Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 5 : Εκτιμήσεις Ι. Αντωνίου, Χ. Μπράτσας Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου
Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική
Διαβάστε περισσότερα