Proračun graničnih nosivosti (1)

Transcript

1 Proračun graničnih nosivosti () K. F.. Linearno elastičan idealno plastičan materijal Poveća li se opterećenje toliko da naprezanja u dijelovima nekih poprečnih presjeka dosegnu granicu popuštanja/tečenja, deformacijsko stanje postaje u tim presjecima elastoplastično, a daljnjim povećanjem opterećenja i potpuno plastično, pri čemu dolazi do otvaranja plastičnih zglobova. Otvori li se dovoljan broj zglobova, konstrukcija postaje mehanizmom; obično se govori o mehanizmu sloma. U proračunu graničnih nosivosti ne mogu se pretpostaviti linearnoelastični odnosi naprezanjâ i deformacija stvarni su σ ε dijagrami gradevinskih materijala nelinearni u područjima velikih deformacija i naprezanja, a povratne grane pri rasterećivanju ne podudaraju se s granama opterećivanja. Jednostavnosti proračuna radi stvarni se σ ε dijagrami najčešće aproksimiraju idealiziranima. Tako se za linearno elastičan idealno plastičan materijal, nazvan i Prandtlovim materijalom, pretpostavlja linearnoelastično ponašanje do granice popuštanja, a potom deformacije rastu (u beskraj) bez daljnjeg povećanja naprezanja: σôεõ za ε È Ô, ε y Õ, σôεõ Eε za ε È Ö ε y,ε y, σôεõ za ε È Ôε y, Õ; prema tome, dio dijagrama u elastičnom području dio je pravca kroz ishodište, s nagibom E, dok su dijelovi dijagrama u plastičnim područjima dijelovi pravaca usporedni s osi ε, pa su vlačna i tlačna grana dijagrama bilinearne (slika.). Takav je model prilično σ ε y ε y ε Slika.

2 dobra aproksimacija ponašanja mekoga čelika (ali se očvršćivanje ne uzima u obzir, a nećemo se baviti ni povratnim granama). σ min h R d e R p d p R R p a. b σ max b. ε min c. ε y d. e e. ε max ε max f. ε max g. Slika. Ograničit ćemo se na ravninske sisteme s ravnim štapovima konstantnoga pravokutnog poprečnog presjeka (slika.a). Prema Bernoulli Eulerovoj pretpostavci poprečni presjeci pri savijanju ostaju ravni, a zaokreću se oko neutralnih osi presjekâ (i ostaju okomiti na deformiranu os štapa), tako da je raspodjela uzdužnih deformacija uzdužnih vlakanaca štapa po visini poprečnog presjeka linearna (slika e.; uzet ćemo da je moment savijanja u presjeku pozitivan, tako da se vlakanca u donjoj zoni rastežu). U linearnoelastičnom području uzdužna su naprezanja proporcionalna uzdužnim deformacijama, pa su i naprezanja linearno raspodijeljena po visini poprečnoga presjeka (slika b.; za pozitivni su moment savijanja naprezanja u donjoj zoni vlačna, a u gornjoj tlačna). Vrijednosti naprezanjâ na donjem i gornjem rubu poprečnoga presjeka su σ max σ min 6M bh. () Naime, intenzitet R rezultanata naprezanja u vlačnoj i tlačnoj zoni je R σ max h b 4 σ max h b. Te dvije rezultante tvore spreg s krakom d h, pa je 3 M R d 4 σ max h b 3 h 6 σ max h b.

3 Za rubno naprezanje možemo dalje pisati σ max 6M bh h h bh 3 M h M I h, pa je deformacija rubnih vlakanaca ili je, obratno, zakrivljenost osi štapa ε max σ max E M EI h κ h, κ ε max h. () Poveća li se opterećenje, povećat će se i moment savijanja, a time i naprezanja u presjeku i deformacije vlakanaca. Kad rubno naprezanje σ max dosegne granicu popuštanja, deformacije rubnih vlakanaca dosegnut će graničnu vrijednost elastične deformacije ε y, te započinje plastifikacija poprečnog presjeka. U tom je trenutku vrijednost momenta savijanja M y 6 h b. (3) Nastavi li se opterećenje povećavati, nastavit će se povećavati i moment savijanja i zakrivljenost grede zbog savijanja. Pretpostavka o ravnim poprečnim presjecima (okomitima na os) kinematička je, a ne konstitucijska pretpostavka, pa ćemo je zadržati i u plastičnom području. Iz ε max κhß tada slijedi da će se i deformacije uzdužnih vlakanaca nastaviti povećavati (slika.f.). Naprezanja se, medutim, ne mogu povećati preko, pa će raspodjela naprezanja po visini poprečnog presjeka izgledati kao na slici c. (to je, u stvari, dijagram sa slike. sa zamijenjenim osima). Zone plastifikacije širit će se od rubova presjeka prema osi; poprečni je presjek djelomice plastificiran. I na kraju, kad se donja i gornja zona plastifikacije sastanu, poprečni će presjek biti potpuno plastificiran; raspodjela naprezanja u potpuno plastificiranom presjeku prikazana je na slici.d. Prema slici.f. zakrivljenosti osi štapa pri djelomičnoj plastifikaciji presjeka možemo izraziti i u ovisnosti o ε y : κ ε y e ; (4) pritom je e visina neplastificiranoga dijela poprečnog presjeka, nazvanog i elastičnom jezgrom presjeka. Pri potpunoj plastifikaciji presjeka elastična jezgra iščezava (e 0), pa iz prethodnoga izraza slijedi da zakrivljenost osi postaje beskrajno velikom. To pak znači da se progibna linija štapa lomi u plastificiranom se presjeku otvara zglob. Za razliku od klasičnoga idealnog zgloba, plastični zglob prenosi moment savijanja nepromjenjivoga intenziteta, koji ćemo nazvati plastičnim momentom. 3

4 Kako je intenzitet R p rezultanata naprezanja u vlačnoj i tlačnoj zoni pri potpunoj plastifikaciji presjeka R p h b i kako je krak njihovoga sprega d p h, vrijednost je plastičnoga momenta 4 h b. (5) Omjer ßM y naziva se plastičnom rezervom poprečnoga presjeka. Njezina vrijednost ovisi o obliku presjeka; lako je vidjeti, uvrštavanjem izraza (5) i (3), da je za pravokutni poprečni presjek ßM y 3ß,5 dok se za različite I presjeke ta vrijednost kreće u uskom rasponu izmedu,5 i,7. Spomenut ćemo još da iz izraza () slijedi da su u potpuno plastificiranom presjeku deformacije rubnih vlakanaca beskrajno velike (slika.g.).. Jednostavno oslonjena greda Neka je jednostavno oslonjena greda konstantnoga pravokutnog poprečnog presjeka i raspona l opterećena koncentriranom silom vrijednosti F (F 0) u polovini raspona (slika 3.a.). Poveća li se intenzitet sile tako da intenzitet momenta savijanja u njezinu hvatištu dosegne vrijednost, u toj će se točki otvoriti plastični zglob. Iako se otvaranjem zgloba pretvara u mehanizam, pri graničnom je intezitetu sile sistem u ravnoteži. No, budući da intenzitet momenta ne može rasti preko, do sloma će doći pri bilo kakvom, pa i infinitezimalnom, povećanju intenziteta sile. Granični intenzitet sile intenzitet sile sloma lako je izračunati iz izraza za moment savijanja u polovini raspona (slika 3.b.): F 4 c. (6) l U ostalim je presjecima intenzitet momenta savijanja manji od, pa se u idealiziranoj analizi uzima da je njihovo ponašanje i dalje elastično. Povećanje progiba u slomu uzrokuje stoga samo zaokret u plastičnom zglobu, dok se zakrivljenost u drugim točkama ne mijenja; na slici 3.d. tanja je linija skica elastične progibne linije, a deblja progibne linije nakon otvaranja plastičnoga zgloba. U stvarnosti, kad naprezanja u rubnim vlakancima dosegnu, započinje plastifikacija presjeka. Pri daljem povećanju opterećenja plastična se zona širi prema osi, ali i prema susjednim presjecima, jer i u njihovim rubnim vlakancima naprezanja dosežu. Naime, kako se u središtem presjeku vrijednost momenta savijanja povećava od M y prema, u susjednim presjecima vrijednosti momenata počinju dosezati M y (slika c.). Stoga se i u susjednim presjecima (ubrzano) povećava zakrivljenost osi, a time i progibi. 4

5 F a. l/ l/ b. Fl 4 M c. M y d. ψ p e. δψ δψ 4 δψl F c f. Slika 3. Intenzitet sile sloma možemo izračunati i primjenom teorema o virtualnom radu (za kruta tijela) na virtualnim pomacima mehanizma sloma. Budući da pretpostavljamo da se pri otvaranju plastičnoga zgloba greda nigdje drugdje dodatno ne deformira, dijelove grede lijevo i desno od tog zgloba možemo smatrati krutim tijelima i uzeti da na mehanizam djeluju samo zadana sila, sada intenziteta F c, i plastični momenti neposredno lijevo i neposredno desno od zgloba (slika 3.f.). Dijagram virtualnih pomaka mehanizma prikazan je na slici e. Ako je kut virtualnoga zaokreta u plastičnom zglobu δψ, kutovi su zaokreta lijevoga idesnogadijela grede, zbogsimetrije, δψ usuprotnomsmislu, pajeradplastičnih momenata δψ ; taj rad negativan zato što se momenti odupiru zaokretu. Mehanizam sloma ima jedan stupanj slobode, pa se duljina virtualnoga pomaka hvatišta vanjske sile može izraziti u ovisnosti o kutu δψ: δw F δψl. Ukupni je virtualni rad, 4 5

6 stoga, δw F c 4 δψl δψ 4 F cl δψ. Kako su u trenutku otvaranja plastičnoga zgloba sila sloma i plastični momenti u ravnoteži, taj rad, prema teoremu o virtualnim pomacima za kruta tijela, mora biti za bilo koji virtualni zaokret jednak nuli, δw 0 δψ, pa slijedi 3. Obostrano upeta greda F 4 c. l Ako je obostrano upeta greda opterećena koncentriranom silom intenziteta F u polovini raspona (slika 4.a.), intenziteti su momenata savijanja u ležajevima i u polovini raspona M Ô0Õ M ÔlÕ M ÔlßÕ F l 8 (slika b.). Kada ti intenziteti dosegnu, u navedenim će se presjecima otvoriti plastični zglobovi, pa je intenzitet sile sloma F 8 c. l I sada taj intenzitet možemo izračunati primjenom teorema o virtualnim pomacima. Mehanizam sloma ponovo je mehanizam s jednim stupnjem slobode (slika 4.d.), pa su njegovi pomaci odredeni jednim kinematičkim parametrom (slika c.). Odabrali smo kut zaokreta desnoga dijela grede, δψ; lijevi se dio, zbog simetrije, zaokreće za isti kut, ali u suprotnom smislu, a lako je izraziti i duljinu pomaka hvatišta sile u ovisnosti o tom kutu δw F δψl. Osim zadane sile na mehanizam djeluju i plastični momenti u ležajevima i par plastičnih momenata u srednjem zglobu(slika d.). Formalni iskaz pretpostavke teorema o virtualnom radu, F c δψl 4 δψ 0 δψ, daje ravnotežnu vrijednost sile sloma: F 8 c. l Slučaj jednoliko raspodijeljene sile nešto je složeniji (slika 5.a.). Intenziteti momenata savijanja u ležajevima sada su M Ô0Õ M ÔlÕ ql, 6

7 F a. l/ l/ b. Fl 8 Fl 8 M c. δψ δψ δψl d. F c Slika 4. dok je intenzitet momenta u polovini raspona manji, M ÔlßÕ ql 4 (slika b.). Povećavamo li intenzitet q raspodijeljene sile, prvo će, pri intenzitetu qc ÔÕ, intenziteti M Ô0Õ i M ÔlÕ dosegnuti (slika c., dijagram nacrtan tanjom linijom), pa će se u ležajevima otvoriti plastični zglobovi. Time se sistem pretvara u jednostavno oslonjenu gredu, tako da njegova nosivost još nije iscrpljena, što znači da se intenzitet q može i dalje povećavati. Pritom se, medutim, intenzitet momenata u ležajevima ne mijenja M Ô0Õ M ÔlÕ ; povećava se samo intenzitet momenta u polovini raspona (slika c., dijagram nacrtan debljom linijom). Treći će se zglob otvoriti kad taj intenzitet dosegne (slika d.). Uvjet za stvaranje mehanizma sloma je, prema tome, Iz tog uvjeta (i elementarne statike) slijedi M Ô0Õ M ÔlÕ M ÔlßÕ. odnosno, M Ô0Õ M ÔlßÕ q cl 8, q cl 8, 7

8 q a. l b. ql ql 4 M c. q () c l = M d. M q cl 8 e. δψ 4 δψl δψ l/4 l/4 l/4 l/4 q cl q cl f. Slika 5. pa je granični intenzitet q c raspodijeljene sile q c 6 l. 8

9 Za primjenu teorema o virtualnom radu crtamo dijagram virtualnih pomaka mehanizma sloma mehanizma, naravno, s jednim stupnjem slobode (slika 5.e.). Na slici f. naznačene su sve (poopćene) sile koje rade na tim pomacima. Dijelove distribuirane sile na lijevom i desnom disku zamjenjujemo njihovim rezultantama; pripadne smo virtualne pomake naznačili na slici e. Iz pretpostavke q cl δψl 4 4 δψ 0 δψ slijedi q c 6 l. 9

10 0