Ανάλυση της µηχανικής συµπεριφοράς της συνάφειας ράβδων οπλισµού FRP µε σκυρόδεµα

Transcript

1 Ανάλυση ης µηχανικής συµπεριφοράς ης συνάφειας ράβδων οπλισµού FRP µε σκυρόδεµα Β. Καραζαφέρης MΕ, Υποψήφιος διδάκωρ ΕΜΠ Μ. Καής Επίκουρος Καθηγηής ΕΜΠ Λέξεις κλειδιά: FRP, συνάφεια, πεπερασµένα σοιχεία ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Σε καασκευές από οπλισµένο σκυρόδεµα, η ασφαλής χρήση ων ράβδων FRP, που χρησιµοποιούναι ανί ων ράβδων οπλισµού από χάλυβα, απαιεί ην ανάπυξη νέων µονέλων που θα περιγράφουν ην µηχανική συµπεριφορά ης σύνδεσής ους µε ο σκυρόδεµα. Έχει διαπισωθεί πειραµαικά όι η µηχανική συµπεριφορά ης σύνδεσης FRP-σκυροδέµαος διαφέρει ποιοικά και ποσοικά από αυή ου χάλυβα-σκυροδέµαος, και συνεπώς, θα πρέπει να αναπυχθούν νέες µεθοδολογίες για ον σχεδιασµό καασκευών µε οπλισµό FRP που θα βασίζοναι σην συµπεριφορά που επιδεικνύουν α υλικά FRP. Σην παρούσα εργασία, για ον υπολογισµό ων άσεων συνάφειας που αναπύσσοναι καά µήκος µιας αγκυρωµένης ράβδου FRP σε σκυρόδεµα, προείνεαι ένα νέο µονέλο ανάλυσης που βασίζεαι σην µέθοδο ων πεπερασµένων σοιχείων. Σο µονέλο αυό, η συνάφεια ράβδου FRP-σκυροδέµαος προσοµοιώνεαι µε συνεχή ελαηριακή σύνδεση ράβδου-σκυροδέµαος που επιδεικνύει µη γραµµική συµπεριφορά. Η προεινόµενη διαδικασία ανάλυσης εµπλέκει ην καασκευή ου εφαποµενικού πίνακα ακαµψίας ης αγκυρωµένης ράβδου σε επαυξηική µορφή για ην επίλυση ων µη γραµµικών εξισώσεων που διέπουν ο πρόβληµα. Η µέθοδος εφαρµόζεαι σε συγκεκριµένες περιπώσεις µονοονικών φορίσεων και α αριθµηικά αποελέσµαα που προκύπουν συγκρίνοναι µε αυά ων ανίσοιχων πειραµαικών δοκιµών..εισαγωγη Σις εφαρµογές οπλισµένου σκυροδέµαος, ο χάλυβας εξακολουθεί να αποελεί ο περισσόερο αποελεσµαικό και ο πλέον οικονοµικά αποδεκό υλικό οπλισµού. Αυό οφείλεαι σο γεγονός όι οι µηχανικές ου ιδιόηες, η ανοχή και η ολκιµόηά ου για παράδειγµα, ον κάνουν να αιριάζει καλά µε ο σκυρόδεµα. Ενούοις, η χρήση ου χάλυβα ως υλικό οπλισµού σε ένονα διαβρωικό περιβάλλον καθίσααι προβληµαική. Παρόλο όι έχουν αναπυχθεί εχνικές για ην ανιµεώπιση ου φαινοµένου ης διάβρωσης, συνθεικές µεµβράνες και καθοδική προσασία για παράδειγµα, αυές οι εχνικές δεν έχουν δοκιµασθεί σον χρόνο. Πρόσφαα, ράβδοι οπλισµού από ινοπλισµένα πολυµερή έχουν αναπυχθεί ως εναλλακικός οπλισµός καάλληλος για έοιες περιπώσεις. Η συνάφεια µεαξύ σκυροδέµαος και ράβδων οπλισµού αποελεί ένα από α κύρια χαρακηρισικά που προσδιορίζουν ην συµπεριφορά ων καασκευών από οπλισµένο σκυρόδεµα. Βασικοί παράµεροι σχεδιασµού, όπως είναι ο µήκος αγκύρωσης ης ράβδου οπλισµού, η καµπική παραµόρφωση ου δοµικού σοιχείου, ο µήκος και ο πλάος ων ρωγµών σο σκυρόδεµα, εξαρώναι άµεσα από ην συνάφεια. Η συνάφεια µεαξύ ράβδων οπλισµού FRP και σκυροδέµαος έχει µελεηθεί πειραµαικά από πολλούς ερευνηές για διάφορα είδη ων ράβδων.

2 Από ην πειραµαική έρευνα έχει προκύψει όι η συνάφεια µεαξύ ράβδων οπλισµού FRP - σκυροδέµαος εξαράαι κυρίως από ην ριβή που οφείλεαι σην επιφανειακή ραχύηα ων ράβδων, από ην µηχανική εµπλοκή ων επιφανειακών νευρώσεων ων ράβδων µε ο σκυρόδεµα, ην χηµική πρόσφυση, ην υδροσαική πίεση που εξασκείαι σις ράβδους λόγω ης συσολής ξηράνσεως ου σκυροδέµαος, και λόγω ης διόγκωσης ων ράβδων από θερµοκρασιακές µεαβολές και υγρασία (Makitani t al. 993, anakuo T. t al. 993). Όπως σην περίπωση ου οπλισµού από χάλυβα, η συνάφεια µεαξύ ου οπλισµού FRP και σκυροδέµαος περιγράφεαι από ην σχέση µεαξύ ων οπικών άσεων που αναπύσσοναι σην επιφάνεια ης ράβδου και ις σχεικής ολίσθησης ης ράβδου οπλισµού. Η σχέση αυή, που αποκιέαι πειραµαικά, είναι µια µη-γραµµική σχέση και ισχύει για όλα α σάδια παραµόρφωσης ου σκυροδέµαος. Τέοιες σχέσεις έχουν πρόσφαα προαθεί ροποποιώνας καάλληλα αυές που είχαν αναπυχθεί για ον χάλυβα (Malvar 994, Cosnza t al. 997). Η πρόβλεψη ων άσεων συνάφειας που θα αναπυχθούν σε ένα δοµικό σοιχείο για ις φορίσεις που θα ο κααπονήσουν εµπλέκει µη γραµµικόηα, που καθισά ους σχεικούς υπολογισµούς πολύπλοκους. Σην παρούσα εργασία, προείνεαι µια υπολογισική διαδικασία προσδιορισµού ων άσεων συνάφειας σε ράβδους οπλισµού FRP που βασίζεαι σην µέθοδο ων πεπερασµένων σοιχείων. Η προεινόµενη διαδικασία µπορεί να εφαρµοσθεί για οποιοδήποε µη γραµµικό νόµο άσεων συνάφειας-ολίσθησης και για οποιοδήποε είδος φόρισης ης ράβδου οπλισµού. Αν και η έµφαση σην παρούσα εργασία δίνεαι για µονόονες φορίσεις, η µέθοδος αυή µπορεί µε καάλληλη επέκαση να εφαρµοσθεί σε ανακυκλιζόµενες φορίσεις.. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΡΑΒΟΥ ΟΠΛΙΣΜΟΥ Η ράβδος οπλισµού FRP που δείχνεαι σο Σχήµα είναι αγκυρωµένη σο σκυρόδεµα καά ο µήκος L και κααπονείαι αξονικά σις ακραίες διαοµές ης µε ις δυνάµεις Z l και Z r. Η παραµορφωσιακή και η εναική καάσαση που αναπύσσεαι σα δύο υλικά περιγράφεαι σε σχέση µε ον άξονα συνεαγµένων x, που συµπίπει µε ον άξονα ης ράβδου και έχει αρχή ην ακραία αρισερή διαοµή ης. Θα υποθέσουµε όι η µηχανική σύνδεση ων δύο υλικών καα µήκος ης διεπιφάνειας είναι ελαηριακού ύπου µε µη γραµµική συµπεριφορά. Z l Zr σ σ +dσ x ( α ) ( β) Σχήµα. (α) Το µονέλο ης ράβδου οπλισµού FRP και (β) οι άσεις που επενεργούν σο σοιχειώδες µήµα

3 Έσι, η δύναµη ελαηρίου ανά µονάδα επιφανείας (άση συνάφειας) που αναπύσσεαι καά ην επιβολή ων αξονικών φορίσεων σην ράβδο θα παρέχεαι από µια σχέση ης µορφής (s), s u uc, () όπου s είναι σχεική µεαόπιση (ολίσθηση) ων δύο εν επαφή επιφανειών, και u, u c οι µεαοπίσεις ης ράβδου οπλισµού και ου σκυροδέµαος καά µήκος ης διεπιφάνειας, ανίσοιχα. Από ην εξίσωση (β) προκύπει όι οι παραµορφώσεις ε ( du / ), ε c ( du c / ) καά µήκος ης διεπιφάνειας ων δύο υλικών ικανοποιούν ην σχέση ds ε ε c. () Επειδή η ράβδος οπλισµού υφίσααι µεγάλες παραµορφώσεις συγκριικά µε ο σκυρόδεµα, η συνεισφορά ου σκυροδέµαος σην σχεική ολίσθηση αµελείαι. Έσι, από ην εξίσωση () έχουµε ε ds. (3) Από ην πειραµαική έρευνα έχει διαπισωθεί όι οι ράβδοι οπλισµού FRP, σε ανίθεση µε όι συµβαίνει σις ράβδους οπλισµού από χάλυβα, παρουσιάζουν γραµµικά ελασική συµπεριφορά σε εφελκυσµό µέχρι ην θραύση ους. Έσι, η άσησ που αναπύσσεαι σην ράβδο θα συνδέεαι µε ην παραµόρφωση µε ην σχέση σ E ε, (4) όπου E είναι ο µέρο ελασικόηας ης ράβδου. Οι σχέσεις () και (4) αποελούν ις δύο καασαικές σχέσεις που υπεισέρχοναι σην ανάλυση ου προβλήµαος ης ράβδου και προσδιορίζοναι πειραµαικά σο εργασήριο. Τυπικές µορφές αυών ων καασαικών σχέσεων δείχνοναι σο Σχήµα. Σο Σχήµα β δείχνεαι ο διάγραµµα ελεύθερου σώµαος ενός σοιχειώδους µήµαος ης ράβδου οπλισµού µήκους. Από ην θεώρηση ης ισορροπίας και ου ενεργειακού ισοζυγίου καά ην διάρκεια ης παραµόρφωσης ου µήµαος αυού προκύπουν οι σχέσεις A dσ Σ, (5) s σ ε Σ Σ ( s) ds, (6) όπου A, Σ είναι ο εµβαδόν ης διαοµής και η περίµερος ης ράβδου οπλισµού, ανίσοιχα. Παίρνονας υπόψιν ις (3) και (4), οι παραπάνω σχέσεις παρέχουν

4 d s A E ( s) Σ, (7) 8E σ ( x) A Τ φ, (8) όπου φ είναι η διάµερος ης ράβδου οπλισµού, και A T s ( s) ds (9) ο σκιαγραµµισµένο εµβαδόν που δείχνεαι σην καµπύλη συνάφειας-ολίσθησης ου Σχήµαος β. Η διαφορική εξίσωση (7) έχει ως άγνωση συνάρηση ην ολίσθηση s s(x) και αποελεί ην διαφορική εξίσωση ου συνοριακού προβλήµαος που δείχνεαι σο Σχήµα α. Η σχέση (8) συνδέει ην άση που επενεργεί σην ράβδο σε µια θέση x µε ην άση συνάφειας που ανισοιχεί σην ίδια θέση. Η σχέση αυή έχει εξαχθεί για πρώη φορά απο ους Cosnza t al. (Cosnza t al. ), για µια συγκεκριµένη µορφή ου καασαικού νόµου συνάφειαςολίσθησης. είχθηκε παραπάνω όι η σχέση αυή έχει γενικό χαρακήρα και, όπως θα φανεί σην συνέχεια, είναι απαραίηη για ον υπολογισµό ου απαιούµενου µήκους αγκύρωσης ης ράβδου οπλισµού µε ην χρήση αριθµηικών µεθόδων. Τα ελευαία χρόνια, έχουν προαθεί διάφορες αναλυικές σχέσεις που εµπλέκουν πειραµαικές παραµέρους για να περιγράψουν ην σχέση συνάφειας-ολίσθησης σε ράβδους οπλισµού FRP. Μια έοια σχέση προάθηκε από ον Malvar (Malvar, 994) και έχει ην παρακάω µορφή F( s / s ) + ( G )( s / s ) + ( F )( s / s ) + G( s / s ). () Σχηµα. (α) Η καµπύλη άσεων παραµορφώσεων ης ράβδου FRP, και (β) η καµπύλη συνάφειας-ολίσθησης σην διεπιφάνεια ράβδου FRP-σκυροδέµαος

5 Σην σχέση αυή, είναι µέγιση ανοχή συνάφειας και s η ιµή ολίσθησης που ανισοιχεί σην συνάφεια. Οι σαθερές F και G που υπεισέρχοναι σην σχέση αυή είναι εµπειρικές σαθερές που προσδιορίζοναι για κάθε συγκεκριµένο ύπο ράβδου οπλισµού που χρησιµοποιείαι. Μια δεύερη σχέση προάθηκε αργόερα από ους Cosnza t al. (Cosnza t al. 995) επεκείνονας ην καασαική σχέση ων Elighausn-Popov-Brtro (Elighausn t al. 983) σε ράβδους FRP. Η καασαική αυή σχέση αποελείαι από ένα µη γραµµικό κλάδο και ένα γραµµικό κλάδο, όπως δείχνεαι σο Σχήµα 3. Ο µη γραµµικός κλάδος ανιπροσωπεύεαι από ην ακόλουθη εξίσωση s s a, (α) όπου είναι η µέγιση ανοχή συνάφειας και s η ιµή ολίσθησης που ανισοιχεί σην συνάφεια. Το α είναι µια σαθερά µικρόερη ης µονάδας και προκύπει από ην προσαρµογή ου κλάδου αυού σα πειραµαικά αποελέσµαα. Ο γραµµικός κλάδος ης καασαικής αυής σχέσης περιγράφεαι από ην εξίσωση (s s ) p s, (β) όπου p είναι µια παράµερος προσαρµογής ου γραµµικού κλάδου σα πειραµαικά δεδοµένα.. Σχήµα 3. Η ροποποιηµένη καµπύλη ων Elighausn-Popov-Brtro για ράβδους FRP Σις αριθµηικές εφαρµογές που γίνοναι παρακάω, θα χρησιµοποιηθεί ο δεύερος καασαικός νόµος συνάφειας ολίσθησης. Για ην περίπωση ου νόµου αυού, η παράµερος A T, για s s, έχει ην ιµή A T s + a ()

6 . ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΑΒΟΥ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Η ράβδος οπλισµού FRP ου Σχήµαος α προσεγγίζεαι µε ένα σύνολο n πεπερασµένων σοιχείων, κάθε ένα από α οποία έχει δύο ακραίους κόµβους. Ο κάναβος και ο υπικό πεπερασµένο σοιχείο ης ράβδου δείχνοναι σο Σχήµα 4. Για ην επίλυση ης µη γραµµικής διαφορικής εξίσωσης (7) σην περιοχή Ω x,x ) ου υπικού σοιχείου, θα θεωρήσουµε ( n n n+ h x x + Σχήµα 4. (α) Ο κάναβος και (β) ο πεπερασµένο σοιχείο ης ράβδου οπλισµού FRP. όι η ελική καάσαση ισορροπίας ου υπικού σοιχείου προέρχεαι από µια διαδοχή επαυξηικών καασάσεων ισορροπίας ου σοιχείου που ανισοιχούν σε γραµµικοποιηµένη µορφή ης σχέσης άσης-ολίσθησης. Θα εξάγουµε ην διαφορική εξίσωση ης επαυξηικής καάσασης ισορροπίας ου σοιχείου θεωρώνας όι η καάσαση ισορροπίας, πριν ην επαυξηική καάσαση, ανισοιχεί σε άση ράβδου σ σ ( x ) και σε ολίσθηση s s( x ). Η επαυξηική καάσαση ισορροπίας έσω όι ανισοιχεί σε άση ράβδου σ και σε ολίσθηση s. Έσι λοιπόν, µεά ην επιβολή ης επαυξηικής καάσασης, θα πρέπει να ικανοποιείαι η παρακάω διαφορική εξίσωση ισορροπίας σο πεδίο ου υπικού σοιχείου: A E d ( s + s) ( s + s) Σ. (3) Σο σηµείο αυό, θα υποθέσουµε όι η συνάφεια µεαβάλλεαι γραµµικά µε ο s σην περιοχή Ω, δηλαδή

7 ( s + s) ( s) +, T t s (4) όπου T t ( s ) είναι η εφαποµένη ης καµπύλης ( s ) σην θέση s. Ανικαθισώνας ην (4) σην (3) και παίρνονας υπόψιν ην (9), προκύπει η διαφορική εξίσωση ης επαυξηικής καάσασης ισορροπίας d s A E T Σ t s. (5) Σην επαυξηική καάσαση ισορροπίας, η ράβδος φορίζεαι µε ις δυνάµεις Zl Z r που προκαλούν ην ανάπυξη ων άσεων συνάφειας καά µήκος ης ράβδου (Σχήµα 4). Σην συνέχεια, θα αναπύξουµε ις εξισώσεις ου υπικού σοιχείου για ην επαυξηική καάσαση µε ην εχνική ων σαθµισµένων υπολοίπων. Προς αυό ον σκοπό, πολλαπλασιάζουµε ην εξίσωση (5) µε ην συνάρηση βάρους w w( x ) και ολοκληρώνουµε πάνω σην περιοχή ου υπικού σοιχείου: x + x d s w ( A E T Σ ) t s. (6) Από ην εξίσωση αυή προκύπει η ασθενής µορφή ου συνοριακού προβλήµαος x+ ( x dw d s ds x A E + Tt Σws) [ wa E ] x +. (7) Από ην σχέση αυή προκύπει όι η δευερεύουσα µεαβληή ου προβλήµαος είναι η συνάρηση N A Eds / που εκφράζει ην αξονική δύναµη ης ράβδου. Θεωρώνας για ο υπικό σοιχείο ις συνοριακές συνθήκες N A E ds x x ds N A E (8) x x + προκύπει η παρακάω συναρησιακή µορφή ου συνοριακού προβλήµαος B ( w, s) l( w), (9) όπου x + x dw ds B ( w, s) ( A E + Tt Σws), () l( w) w( x ) N + w( x ) N +. ()

8 Έσι λοιπόν, η άγνωση συνάρηση s θα πρέπει να ικανοποιεί ην συναρησιακή σχέση (9) για κάθε συνάρηση w. Η συνάρηση w θα πρέπει να ικανοποιεί ις οµογενείς συνοριακές συνθήκες ου συνοριακού προβλήµαος που µελεάµε, και θα πρέπει να είναι ουλάχισον µια φορά διαφορίσιµη σο πεδίο ου υπικού σοιχείου. Εισάγουµε ώρα ένα δεύερο σύνολο αγνώσων s και s, που είναι οι ιµές ης ζηούµενης συνάρησης s s( x ) σους κόµβους ου υπικού σοιχείου. Εποµένως η προσεγγισική µορφή ης συνάρησης αυής, πρέπει να ικανοποιεί ις παρακάω συνθήκες σους κόµβους ου σοιχείου s( x ) s, s ( x ) s +. () Υποθέονας µια γραµµική µορφή για ην s( x ) και χρησιµοποιώνας ις συναρήσεις παρεµβολής ης οικογένειας Lagrang x x h + ψ ( x), x x ψ ( x), (3) h η προσέγγιση ης ζηούµενης συνάρησης που ικανοποιεί ις συνθήκες () είναι s x) s ψ ( x) + s ψ ( ). (4) ( x Θα εξάγουµε ις εξισώσεις ου υπικού σοιχείου από ην ικανοποίηση ης (9), ανικαθισώνας σε αυήν ην συνάρηση s(x) που δίνεαι από ην (4), και ην συνάρηση βάρους w, διαδοχικά, µε ις συναρήσεις παρεµβολής ψ ( x) και ψ ( x). Από ην διαδικασία αυή, προκύπει ο παρακάω σύσηµα για ον προσδιορισµό ων κοµβικών ιµών s και s όπου µε [ ]{ s } { N }, (5) s N [ ],{ s },{ N }. (6) s N ij x dψ dψ i j + ( A E + Tt Σψ iψ j ). (7) x Από ην σχέση αυή, παίρνονας υπόψιν ις (3), προκύπει ο πίνακας ακαµψίας ου υπικού σοιχείου σην µορφή

9 Σ + 6 ] [ t h T h E A. (8) Θα εξάγουµε ώρα ις εξισώσεις ου κανάβου ης ράβδου, θεωρώνας ην συνέχεια ων ολισθήσεων σους συνδεόµενους κόµβους και ην ισορροπία ων κόµβων. Αν εισάγουµε ις ολισθήσεις ων κόµβων ου κανάβου µε ις σχέσεις s, s s,..., n n s, (9) όε, η συνέχεια ων ολισθήσεων σους κόµβους εξασφαλίζεαι. Από ις συνθήκες ισορροπίας ων κόµβων προκύπει η µηρωική εξίσωση ου κανάβου σην µορφή + 3 ] [ n n N N Κ Κ, (3) όπου + + n n 3 ] [ Κ Κ Κ Κ Κ Λ είναι ο εφαποµενικός πίνακας ακαµψίας ου κανάβου. Από ην σχέση (3), χρησιµοποιώνας ις συνοριακές συνθήκες ης επαυξηικής καάσασης που επικραούν σις άκρες ης ράβδου Z l N, n r N Z, (3) µπορούµε να υπολογίσουµε ις ολισθήσεις,,..., n σις θέσεις ων κόµβων. Με δεδοµένες ις κοµβικές ιµές ων ολισθήσεων, η ολίσθηση καά µήκος ων σοιχείων ης ράβδου υπολογίζεαι από ην σχέση (4). Για ην απόκηση αριθµηικών αποελεσµάων συνάχθηκε κώδικας ης µεθόδου, που εφαρµόζεαι αµέσως παρακάω σε συγκεκριµένα αριθµηικά προβλήµαα.

10 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Θεωρούµε ο πρόβληµα εξόλκευσης µιας ράβδου FRP που είναι αγκυρωµένη σε σκυρόδεµα και έχει διάµερο φ. 7, µέρο ελασικόηας E 4 MΡa, και εφελκυσική ανοχή f u 77 MPa. Για ον ύπο αυό ης ράβδου έχουν κααγραφεί συγκεκριµένα αποελέσµαα πειραµαικών δοκιµών εξόλκευσης σην βιβλιογραφία, α οποία θα συγκριθούν µε α θεωρηικά αποελέσµαα που θα προκύψουν από ην παρούσα ανάλυση. Ο καασαικός νόµος συνάφειαςολίσθησης που χρησιµοποιούµε, είναι ο ροποποιηµένος νόµος ων Elighausn-Popov-Brtro που δείχνεαι σο διάγραµµα ου Σχήµαος 3. Η προσαρµογή ης καµπύλης ου νόµου αυού σα πειραµαικά δεδοµένα ης βιβλιογραφίας, παρέχει ις παρακάω ιµές ων παραµέρων ης καµπύλης: s. 53, MPa, a. 45 και p. 8, s. 3 (Gosnza κ.α., ). Η ανάλυση θα γίνει πρώα για ένα µήκος ράβδου L 7 ( φ ) που κααπονείαι σο δεξιό ης άκρο µε άση σ r 8ΜPa. Η άση αυή υπολογίζεαι από ην σχέση (8), και είναι η ορθή άση ης ράβδου που ανισοιχεί σην ολίσθηση s. 53 ου νόµου συνάφειαςολίσθησης (Σχήµα 3). Η δύναµη εξόλκευσης Z r, που ανισοιχεί σην άση αυή και εφαρµόζεαι σο δεξιό εξωερικό άκρο ης ράβδου, είναι ίση µε 3555 Ν. Η δύναµη Z l ου αρισερού εσωερικού άκρου ης ράβδου είναι µηδενική. Το µήκος ης ράβδου διαµερίζεαι σε n πεπερασµένα σοιχεία και η δύναµη εξόλκευσης Z r προσεγγίζεαι µε επαυξήσεις, που ανισοιχούν σε µια δύναµη επαύξησης Z r N. Τα αριθµηικά αποελέσµαα που προκύπουν δείχνοναι σα διαγράµµαα ου Σχήµαος 5. Σα διαγράµµαα αυά δείχνεαι η µεαβολή ης ολίσθησης, ων ορθών άσεων και ης συνάφειας καά µήκος ης ράβδου. Σο σηµείο αυό σηµειώνουµε όι, σις ιµές ων ποσοήων που δείχνοναι σα διαγράµµαα αυά δεν παραηρείαι καµιά ουσιασική µεαβολή όαν αυξάνοναι παραπέρα ο αριθµός ων πεπερασµένων σοιχείων και ο αριθµός ων επαυξήσεων. Από ο διάγραµµα ου Σχήµαος 5α προκύπει όι η µέγιση ιµή ης ολίσθησης εµφανίζεαι, όπως εξάλλου αναµενόαν, σο δεξιό άκρο ης ράβδου, και είναι ίση µε.44. Η ιµή αυή είναι µικρόερη από ην ιµή ης ολίσθησης s. 53 που ανισοιχεί σην µέγιση άση συνάφειας MΡa ου νόµου συνάφειας ολίσθησης. Αυό σηµαίνει όι ο µήκος L 7 είναι µεγαλύερο απο ο µήκος L που απαιείαι για να αναπυχθεί σην ράβδο η ιµή ολίσθησης s. 53. Με d, διαδοχικές προσεγγίσεις, βρίσκουµε όι ο µήκος αυό είναι ίσο µε 87. Το µήκος αυό θα ο ορίσουµε ως µήκος αγκύρωσης ης ράβδου σε µέγιση άση συνάφειας. Σην συνέχεια, θα αναζηήσουµε ο µήκος αγκύρωσης Ld, που απαιείαι για να αναπυχθεί σην ράβδο η ιµή ολίσθησης s.3 ου νόµου συνάφειας-ολίσθησης ου Σχήµαος 3. Από ον νόµο συνάφειας-ολισθησης συνάγεαι όι σην θέση ης ράβδου που αναπύσσεαι η ιµή s ης ολίσθησης, η συνάφεια µηδενίζεαι, η δε ορθή άση ης ράβδου, όπως υπολογίζεαι από ην σχέση (8), είναι ίση µε 68 MΡa ( A T N/ ). Εφαρµόζονας σην ράβδο άση εξόλκευσης σ r 68 ΜΡa ( Z r 8685 Ν), για ον ίδιο µε παραπάνω αριθµό πεπερασµένων σοιχείων και επαυξήσεων, ο µήκος Ld, που προκύπει είναι ίσο µε 4. Για ην περίπωση αυή, η µεαβολή ης ολίσθησης, ων ορθών άσεων και ης συνάφειας καά µήκος ης ράβδου δείχνεαι σο Σχήµα 6. Το µήκος L d, ανισοιχεί σην µέγιση ολίσθηση s που µπορεί να αναπυχθεί σην ράβδο, και θα ο ορίσουµε ως µήκος αγκύρωσης σε µέγιση ολίσθηση. Προκειµένου να συγκριθούν α αποελέσµαα ης θεωρηικής ανάλυσης που αναπύχθηκε

11 Ολίσθηση [],3,5,,5,,5,.44 L[] (α) σ 8 MPa Ορθές Τάσεις [MPa] L[] (β) 5 5 Τάσεις Συνάφειας [MPa] MPa L[] 5 5 (γ) σ r 8 MPa L7 Σχήµα 5. Η διανοµή (α) ης ολίσθησης, (β) ης ορθής άσης και (γ) ης άσης συνάφειας καά µήκος ης ράβδου οπλισµού FRP για µήκος αγκύρωσης L7

12 Ολίσθηση [] L [] (α) Ορθές Τάσεις [MPa] 8 σ 68 MPa σ 8 MPa 3 L [] (β) Τάσεις συνάφειας [MPa ] MPa L87 L [ ] (γ) σ r 68 MPa L d, 4 Σχήµα 6. Η διανοµή (α) ης ολίσθησης, (β) ης ορθής άσης και (γ) ης άσης συνάφειας καά µήκος ης ράβδου οπλισµού FRP για µήκος αγκύρωσης L d, 4

13 Τάση [Mpa] ris arlsson (Φ.7) ris3 arlsson (Φ 5.9) ris4 Pc t al.-ασοχία ράβδου ris5 Pc t al.-ασοχία εξόλκευσης ris6 Bnokran & Masoudi L d, ris7 Καµπύλη πεπερασµένων σοιχείων ris L d, L d /φ Σχήµα 7. Σύγκριση θεωρηικών και πειραµαικών αποελεσµάων παραπάνω, µε α πειραµαικά αποελέσµαα ης βιβλιογραφίας, υπολογίσαµε α µήκη αγκύρωσης L d,, L d, που ορίσαµε παραπάνω, για διάφορες ιµές ης διαµέρου φ ης ράβδου. Τα αποελέσµαα που αποκήθηκαν δείχνοναι σο διάγραµµα ου Σχήµαος 7. Σο ίδιο διάγραµµα έχουν κααχωρηθεί α πειραµαικά αποελέσµαα ων δοκιµών εξόλκευσης που έχουν αποκηθεί για ον ίδιο ύπο ράβδου FRP από διάφορους ερευνηές (arlsson 997, Bnokran and Masoudi 996, Pcc t al. ). Από ην σύγκριση προκύπει όι υπάρχει µια καλή συµφωνία ανάµεσα σα θεωρηικά και σα πειραµαικά αποελέσµαα. Η θεωρηική καµπύλη δείχνει να είναι συνηρηική συγκρινόµενη µε ην πραγµαική συµπεριφορά που επιδεικνύεαι σις δοκιµές. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bnokran B., Masoudi R. (996), FRP C-Bar as rinforcing rod for concrt structurs, Procdings of th cond Intrnational Confrnc on Advancd Coposit Matrials in Bridg tructurs, Εditd y El-Badry M., Montral, Quc, Canada. Cosnza E., Manfrdi G., Ralfonzo R. (995), Analytical odlling of ond twn FRP rinforcing ars and concrt, Procdings of th cond Intrnational RILEM yposiu, Chnt 3-5 August 995, ditd y L.Tarw. E&FN poon, London 995, pp Cosnza E., Manfrdi G., Ralfonzo R. (997), Bhavior and odling of ond of FRP rars to concrt, Journal of Coposits for Constructions, Vol., pp.-3. Cosnza E., Manfrdi, G., Ralfonzo, R. (), Dvlopnt lngth of FRP straight rars, Coposits PartB: nginring, Vol. 33, pp

14 Elighausn R., Popov E.P, and Brtro V.V. (983), Local ond strss-slip rlationship of dford ars undr gnralizd xcitations, Rport No 83/3, Univrsity of California, Brkly anakuo T., Yonaru., Fukuyaa H., Fujisawa M., ono Y. (998), Bond prforanc of concrt rs rinforcd with FRP ars, Procdings of th Intrnational yposiu on Fir Rinforcd Plastic Rinforcnt for Concrt tructurs, ACI P-38, Editd y Nanni A. and Dolan C.W, Vancouvr, Canada. arlsson M. (997), Bond twn C-Bar FRP rinforcnt and concrt, Chalr Univrsity of Tchnology, Pu. No 98:3,Work No., Graduation Thsis:E-9:, Gotorg, wdn Makitani M., Irisawa I., Nishiura N. (998), Invstigation of ond in concrt r with fir riforcd plastic ars, Procdings of th Intrnational yposiu on Fir Rinforcd Plastic Rinforcnt for Concrt tructurs, ACI P-38, Editd y Nanni A. and Dolan C.W.), Vancouvr, Canada. Malvar L.J. (994), Bond strss-slip charactristics of FRP rars, Naval Facilitis Enginring rvic Cntr, Port Hun, CA , Tchnical Rport TR-3-HR, p.45 Pcc, M., Manfrdi G., and Cosnza,. E. (), Exprintal rspons and cod odls of GFRP RC as in nding, Journal of Coposits for Constructions, Vol.4, pp.8-9.