Calculul valorilor proprii
|
|
- Παλλάς Αποστόλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute următoarele două proprietăţi a) x 0 b) Ax = λx. (5.1) Câteva dintre cele mai importante proprietăţi ale valorilor proprii ale unei matrice pătrate sunt prezentate mai jos. Teorema 5.2 Fie A R n n. Numărul λ C este o valoare proprie a lui A dacă şi numai dacă matricea λi A este singulară. Mai mult, matricea A sunt exact n valori proprii, incluzând multiplicităţile, care sunt zerourile polinomului caracteristic p(λ) = det(λi n A). (5.2) Dacă A R n n, atunci valorile proprii complexe apar în perechi conjugate. Notând cu λ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n } = {λ C det(λi A) = 0} (5.3) mulţimea tuturor valorilor proprii ale matricei A C n n. Mulţimeaλ(A) se numeşte spectrul de valori proprii al lui A. Este, evident, util să definim transformările matriceale care conservă spectrul de valori proprii al unei matrice date. Definiţia 5.3 Două matrice A, B R n n se numesc asemenea dacă există o matrice nesingulară T R n n astfel încât B = T AT 1. (5.4) Dacă T este o matrice ortogonală, atunci A şi B se numesc ortogonal asemenea. 1
2 2 LABORATOR 5. CALCULUL VALORILOR PROPRII Teorema 5.4 Dacă A, B R n n sunt asemenea atunci ele au acelaşi spectru de valori proprii λ(a) = λ(b). (5.5) Mai mult, dacă T este o transformare de asemănare ca în (5.4) şi dacă x A este un vector propriu al lui A asociat valorii proprii λ λ(a), atunci vectorul x B = T x A (5.6) este un vector propriu al matricei B, asociat aceleiaşi valori proprii. 5.2 Forma Schur (reală) Forma Schur (reală) joacă un rol central în calculul eficient al valorilor proprii ale unei matrice. Definiţia 5.5 O matrice S R n n se numeşte formă Schur reală (FSR) dacă are structura S 11 S 12 S 1q 0 S S = 22 S 2q, (5.7) S qq unde S ii R 1 1 sau S ii R 2 2 şi toate blocurile diagonale 2 2 au valori proprii complexe. O consecinţă imediată a structurii Schur este dată în propoziţia următoare. Propoziţia 5.6 Fie S R n n în FSR. Atunci: λ(s) = q i=1 λ(s ii). (5.8) Un rezultat important în calculul valorilor proprii este dat de următoarea teoremă. Teorema 5.7 Pentru orice matrice pătrată A R n n există o matrice ortogonală Q R n n astfel încât Q T AQ = S (5.9) este in FSR. Calculul (exact) al formei Schur (reale) pentru matrice de ordin superior lui 4 nu poate fi realizat într-un număr finit de operaţii elementare pentru că altfel s-ar contrazice un rezultat fundamental din algebră conform căruia rezolvarea unei ecuaţii algebrice de grad superior lui 4 nu este posibilă într-un număr finit de operaţii elementare.
3 5.2. FORMA SCHUR (REALĂ) 3 Pe de altă parte, dacă se dispune de un vector propriu x, calculul valorii proprii asociate λ este imediat folosind formula λ = xt Ax x T x. Mai mult, printr-o procedură de deflaţie, după determinarea unui vector propriu şi a valorii proprii asociate, problema îşi reduce dimensiunea. De aceea, există metode de calcul iterativ al unui vector propriu în absenţa cunoaşterii valorii proprii asociate, metode care stau la baza algoritmului QR, de calcul iterativ al formei Schur (reale). Prezentăm direct algoritmii corespunzători celor mai folosite astfel de metode: metoda puterii şi metoda puterii inverse Metoda puterii Presupunem că matricea A R n n are o valoare proprie dominantă, i.e. mai mare în modul decât toate celelalte, şi fie aceasta λ 1. Metoda puterii se bazează faptul că şirul vectorial y (k) = A k y 0, k = 1, 2,, (5.10) unde y 0 este un vector aleator ales, tinde, ca direcţie, către direcţia vectorului propriu asociat valorii proprii dominante. Introducând şi normarea vectorilor din acest şir, acesta poate fi definit recurent prin unde ρ k = 1 Ay (k 1) y (k) = ρ k Ay (k 1), k = 1, 2, (5.11) este un factor de scalare. Algoritm 5.8 (Metoda puterii) (Dată o matrice A C n n, un nivel de toleranţă tol R, tol < 1, şi un număr maxim admis maxiter de iteraţii, algoritmul calculează un vector propriu unitar y asociat valorii proprii dominante a matricei date sau tipăreşte un mesaj dacă obiectivul nu a fost atins în numărul de iteraţii admis.) 1. Se alege aleator un vector y R n 2. y y/ y 3. i = 0, e = 1 4. C^at timp e > tol 1. Dacă i > maxiter atunci 1. Tipăreşte S-a atins numărul maxim de iteraţii fără a se fi obţinut nivelul prescris al toleranţei. 2. Stop 2. z = Ay 3. z z/ z 4. e = 1 z T y 5. y z 6. i i + 1.
4 4 LABORATOR 5. CALCULUL VALORILOR PROPRII Dacă matricea nu are o valoare proprie net dominantă, viteza de convergenţă poate fi nesatisfăcătoare, iar în cazul absenţei unei valori proprii dominante şirul poate fi divergent Metoda puterii inverse Metoda puterii inverse pentru matricea A este, în fapt, metoda puterii pentru matricea (µi A) 1, unde µ este un scalar adecvat ales la fiecare pas, numit deplasare. Prin urmare, metoda puterii inverse construieşte un şir de vectori cu relaţia de recurenţă y (k) = ρ k (λi A) 1 y (k 1), k = 1, 2,... (5.12) Desigur, mijlocul eficient de implementare a iteraţiei (5.12), evită calculul matricei (λi A) 1 ci apelează la rezolvarea unui sistem liniar, conform următoarei scheme. 1. Se rezolvă în raport cu y (k) sistemul liniar (λi A)y (k) = y (k 1). 2. y (k) y (k) / y (k). Metoda puterii inverse este una dintre cele mai bune metode iterative de calcul al unui vector propriu a unei matrice. de Cea mai bună alegere a deplasării este dată de aşa numitul cât Rayleigh definit λ = (y(k 1) ) T Ay (k 1) y (k 1) 2 = (y (k 1) ) T Ay (k 1). (5.13) Utilizând acelaşi criteriu de trunchiere ca şi la metoda puterii obţinem următorul algoritm. Algoritm 5.9 (Metoda puterii inverse cu deplasare Rayleigh) (Dată o matrice A R n n, un nivel de toleranţă tol R, tol < 1, şi un număr maxim admis maxiter de iteraţii, algoritmul calculează un vector propriu unitar y al matricei date sau tipăreşte un mesaj dacă obiectivul nu a fost atins în numărul admis de iteraţii.) 1. Se alege aleator un vector y R n. 2. y y/ y 3. i = 0, e = 1 4. C^at timp e > tol 1. Dacă i > maxiter atunci 1. Tipăreşte S-a atins numărul maxim de iteraţii fără a se fi obţinut nivelul prescris al toleranţei. 2. Stop 2. µ = y T Ay 3. Se rezolvă sistemul liniar (µi n A)z = y
5 5.3. ALGORITMUL QR 5 4. z z/ z 5. e = 1 z T y 6. y z 7. i i Algoritmul QR Algoritmul QR este, în esenţă, o procedură de deflaţie iterativă care construieşte (recurent) un şir de matrice ortogonal asemenea cu matricea iniţială, şir care, în anumite condiţii, este convergent către forma Schur (reală). În vederea minimizării efortului de calcul, într-o fază preliminară, matricea dată este adusă, prin transformări de asemănare ce implică un număr (teoretic) finit şi (practic) rezonabil de mic de operaţii, la cea mai apropiată structură posibilă de forma Schur (reală). Această structură este forma superior Hessenberg 1. În continuare, structura Hessenberg este conservată de recurenţa fazei iterative a algoritmului. În acest fel, se obţine o importantă reducere a complexităţii unei iteraţii QR, fapt esenţial în economia algoritmului Reducerea la forma superior Hessenberg Posibilitatea reducerii unei matrice A R n n la forma superior Hessenberg, cu conservarea valorilor proprii, este dată de următorul rezultat. Teorema 5.10 Oricare ar fi matricea A R n n, există o matrice ortogonală Q R n n, calculabilă printr-o secvenţă finită de operaţii aritmetice, astfel încât matricea este superior Hessenberg. H = Q T AQ (5.14) Concret, reducerea la forma superior Hessenberg este bazată pe următoarea schemă de calcul HQ 1. Pentru k = 1 : n 2 1. Se calculează un reflector elementar U k+1 astfel încât (U k+1 A)(k + 2 : n, k) = A U k+1 A 3. A AU k+1. care suprascrie matricea A cu matricea Hessenberg rezultată A H = U n 1 U 3 U 2 AU 2 U 3 U n 1 = Q T AQ, (5.15) 1 Precizăm că matricea H R n n este în formă superior Hessenberg dacă h ij = 0, i > j + 1.
6 6 LABORATOR 5. CALCULUL VALORILOR PROPRII unde Q = U 2 U 3 U n 1. (5.16) Avându-se în vedere că reflectorul U k+1 are structura [ ] Ik 0 U k+1 =, 0 Ū 1 unde Ū1 este un reflector de ordin n k şi indice 1, rezultă imediat următoarele echivalenţe calculatorii: A U k+1 A A(k + 1 : n, :) Ū1A(k + 1 : n, :), A AU k+1 A(:, k + 1 : n) A(:, k + 1 : n)ū1. Prin urmare, pentru obţinerea formei superior Hessenberg este suficient să ştim să operăm numai cu reflectori de indice 1. În acest scop introducem următoarele proceduri: H (Procedură de calcul a elementelor definitorii u şi β ale unui reflector de indice 1 U 1 astfel încât (U 1 x)(2 : n) = 0 şi de calcul x U 1 x, unde x R n este un vector dat.) 1. σ = sign(x 1 ) ni=1 x 2 i 2. u 1 = x 1 + σ 3. Pentru i = 2 : n 1. u i = x i 2. x i = 0 4. β = u 1 σ 5. x 1 = σ Sintaxa de apel a procedurii H va fi [u, β, x] = H(x). Hs (Procedură de înmulţire la stânga a unei matrice A R n p cu un reflector de indice 1, U 1, dat prin elementele sale definitorii u şi β, i.e. se calculează A U 1 A.) 1. Pentru j = 1 : p 1. τ = ( n i=1 u i a ij ) /β 2. Pentru i = 1 : n 1. a ij a ij τu i Sintaxa de apel a procedurii Hs va fi A = Hs(u, β, A).
7 5.3. ALGORITMUL QR 7 Hd (Procedură de înmulţire la dreapta a unei matrice A R m n cu un reflector de indice 1, U 1, dat prin elementele sale definitorii u şi β, i.e. se calculează A AU 1.) 1. Pentru i ( = 1 : m nj=1 ) 1. τ = a ij u j /β 2. Pentru j = 1 : n 1. a ij a ij τu j Sintaxa de apel a procedurii Hd va fi A = Hd(A, u, β). Utilizând procedurile H, Hs şi Hd, se obţine imediat următorul algoritm. Algoritm 5.11 (HQ Reducerea la forma superior Hessenberg) (Dată o matrice A R n n, algoritmul calculează o secvenţă de reflectori U 2, U 3,, U n 1 astfel încât matricea transformată A H = U T n 1 U T 3 U T 2 AU 2U 3 U n 1 este în forma superior Hessenberg. De asemenea se calculează matricea de transformare Q = U 2 U 3 U n 1.) 1. Q = I n 2. Pentru k = 1 : n 2 1. [ u, β, A(k + 1 : n, k) ] = H(A(k + 1 : n, k)) 2. A(k + 1 : n, k + 1 : n) = Hs(u, β, A(k + 1 : n, k + 1 : n)) 3. A(1 : n, k + 1 : n) = Hd(A(1 : n, k + 1 : n), u, β) 4. Q(1 : n, k + 1 : n) = Hd(Q(1 : n, k + 1 : n), u, β). Pentru apelul algoritmului HQ va fi utilizată sintaxa generală [ Q, H ] = HQ(A), care exprimă posibilitatea de a memora rezultatele în alte tablouri decât cele iniţiale deşi calculele se fac cu suprascrierea internă a matricei iniţiale Faza iterativă a algoritmului QR Etapa iterativă a algoritmului QR utilizează, într-o manieră implicită, metodele puterii şi puterii inverse pentru reducerea unei matrice la forma Schur (reală). Precizăm că din motive de simplitate vom prezenta exclusiv algoritmul QR cu deplasare explicită cu paşi simpli care funcţionează numai pentru matrice reale cu spectru real.
8 8 LABORATOR 5. CALCULUL VALORILOR PROPRII Presupunem că matricea H R n n are o structură superior Hessenberg. Algoritmul QR cu deplasare explicită construieşte un şir de matrice H = H 1, H 2,, H k, H k+1, (5.17) pe baza relaţiei de recurenţă { Hk µ k I n = Q k R k H k+1 = R k Q k + µ k I n, k = 1, 2,, H 1 = H, (5.18) unde scalarul µ k, denumit deplasare, este folosit pentru asigurarea convergenţei. Valoarea optimă a deplasării este µ k = H k (n, n). În prima relaţie (5.18) matricea H k µ k I n este factorizată QR. În relaţia a doua din (5.18) matricea succesor H k+1 se obţine înmulţind matricele Q k şi R k în ordine inversă şi anulând deplasarea prin adunarea matricei µ k I n. Şirul (5.17), generat de (5.18), este denumit şirul QR. Corespunzător, tranziţia H k H k+1 se numeşte un pas sau o transformare QR. Prezentăm mai jos un algoritm QR didactic 2 cu paşi simpli cu deplasare explicită în care se realizează şi o gestionare structurală prin monitorizarea elementelor subdiagonale care devin neglijabile. Controlul elementelor subdiagonale se face în ordine inversă (ţinând seama de vitezele diferite de anulare asimptotică). În momentul în care un element subdiagonal devine neglijabil el este anulat efectiv iar în continuare transformările QR se aplică submatricei principale cu dimensiunea redusă cu o unitate. Algoritm 5.12 (QR Calculul iterativ al formei Schur reale) (Date o matrice A R n n cu spectru real şi o toleranţă tol pentru anularea elementelor subdiagonale, algoritmul calculează matricea superior Hessenberg H = Q T AQ, ortogonal asemenea cu A şi apoi suprascrie H cu matricele H k din şirul QR cu paşi simpli cu deplasare explicită. Tipărirea lui H la fiecare iteraţie permite urmărirea convergenţei şirului QR către forma Schur reală.) 1. [ Q, H ] = HQ(A) 2. iter = 0 3. k = n 4. C^at timp k > 1 1. µ = H(k, k) 2. Pentru i = 1 : k 1. H(i, i) = H(i, i) µ 3. [ Q, R ] = qr(h(1 : k, 1 : k)) 2 Algoritmul QR profesional foloseşte paşi dubli cu deplasare implicită şi toate procedurile apelate sunt optimizate atât din punctul de vedere al eficienţei cât şi cel al memoriei utilizate.
9 5.4. SARCINI DE LUCRU 9 Observaţii. 4. H(1 : k, 1 : k) = R Q 5. Pentru i = 1 : k 1. H(i, i) = H(i, i) + µ 6. Dacă k < n 1. H(1 : k, k + 1 : n) = Q T H(1 : k, k + 1 : n) 7. Q(:, 1 : k) = Q(:, 1 : k)q 8. iter = iter Tipăreşte iter şi H 10. Dacă H(k, k 1) < tol 1. H(k, k 1) = 0 2. k = k 1 1. Dacă nu aveţi timp să scrieţi o procedură eficientă de factorizare QR a unei matrice superior Hessenberg puteţi folosi funcţia qr din MATLAB pentru factorizarea QR a matricelor generale. 2. Dacă nu v-a reuşit obţinerea unui program de reducere la forma superior Hessenberg, în locul funcţiei dv. HQ puteţi utiliza funcţia hess din MATLAB. 3. La instrucţiunea 4.10, pentru neglijarea elementelor subdiagonale se preferă satisfacerea unei toleranţe relative, e.g. a unei condiţii de forma H(k, k 1) < tol ( H(k 1, k 1) + H(k, k) ). 5.4 Sarcini de lucru A. In laborator 1. Se vor edita şi testa programele MATLAB pentru implementarea metodelor puterii şi puterii inverse. 2. Se va edita şi testa un program MATLAB pentru implementarea algoritmului HQ de reducere la forma superior Hessenberg a unei matrice prin transformări ortogonale de asemănare. Se va compara rezultatul obţinut cu cel oferit de funcţia MATLAB hess. 3. Se va edita şi testa un program MATLAB pentru implementarea algoritmului QR de reducere a unei matrice cu spectru real în forma superior Hessenberg la forma Schur (reală). Programul va afişa matricea curentă din şirul QR pentru a se putea urmări anularea asimptotică a elementelor subdiagonale. Pentru aceeaşi matrice se vor utiliza mai multe niveluri de toleranţă tol (e.g. 1.e 15, 1.e 10, 1.e 5) şi se vor compara numerele de iteraţii necesare pentru aducerea la forma Schur. Observaţie. Pentru crearea unei matrice dense cu spectru impus (în particular real) se poate proceda în felul următor: dacă L = { l 1, l 2,, l n } este
10 10 LABORATOR 5. CALCULUL VALORILOR PROPRII spectrul (real) impus atunci următorul program MATLAB crează o matrice A densă cu spectrul L: L=[l 1, l 2,, l n ]; A=diag(L); T=rand(n); A=T*A/T; Se recomandă impunerea unor valori proprii uşor de recunoscut (de exemplu, numere întregi) B. Acasă 1 Se va edita şi testa un program MATLAB eficient de triangularizare ortogonală cu rotaţii a unei matrice superior Hessenberg şi un program MATLAB pentru implementarea algoritmului QR cu deplasare explicită cu paşi simpli, de reducere a unei matrice cu spectru real în forma superior Hessenberg la forma Schur (reală) fără a calcula explicit matricea Q din factorizarea QR a matricei H µi. 2 Se va edita şi testa un program MATLAB pentru implementarea algoritmului QR cu deplasare implicită cu paşi simpli, de reducere a unei matrice cu spectru real în forma superior Hessenberg la forma Schur (reală). Programul va afişa matricea curentă din şirul QR pentru a se putea urmări anularea asimptotică a elementelor subdiagonale.
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραDescompunerea valorilor singulare
Laborator 6 Descompunerea valorilor singulare 6.1 Preliminarii 6.1.1 Descompunerea valorilor singulare Vom introduce descompunerea valorilor singulare (DVS) ale unei matrice prin următoarea teoremă. Teorema
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραProceduri numerice de analiză sistemică
Laborator 6 Proceduri numerice de analiză sistemică 6.1 Tema Elaborarea, implementarea şi testarea procedurilor de analiză numerică a proprietăţilor sistemice fundamentale (stabilitate, controlabilitate
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCalculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală
Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότεραCalculul valorilor şi vectorilor proprii
Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραProblema celor mai mici pătrate
Seminar 3 Problema celor mai mici pătrate Acest seminar este dedicat metodelor numerice pentru rezolvarea unei probleme numerice foarte importante întâlnită în multe aplicaţii, aşa numita problemă a celor
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραCap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative)
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative) Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότερα