Κεφ αλαιο3. Συν αρτησηlagrange. 3.1 ΗΛαγκρανζιαν ηκαιτοφυσικ οτη περιεχ οµενο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφ αλαιο3. Συν αρτησηlagrange. 3.1 ΗΛαγκρανζιαν ηκαιτοφυσικ οτη περιεχ οµενο"

Transcript

1 Κεφ αλαιο3 Συν αρτησηlagrange Αυτ οπουπραγµατικ αµεενδιαφ ερειε ιναι τοανοθε ο ε ιχετηδυνατ οτηταεπιλογ η κατ ατηδηµιουργ ιατουκ οσµου Albert Einstein 3.1 ΗΛαγκρανζιαν ηκαιτοφυσικ οτη περιεχ οµενο Στοπρ ωτοκεφ αλαιοδε ιξαµε οτιοδυναµικ ο ν οµο τουνε υτωναε ιναιισοδ υναµο µετηναπα ιτησηηδρ ασηω τοολοκλ ηρωµατη Λαγκρανζιαν η στοχρ ονονακαθ ισταταιστ ασιµη. Τογεγον ο αυτ οµα δ ινειτη δυνατ οτητανααναγ αγουµετοπρ ο ληµατη διερε υνηση τη εξ ελιξη εν ο µηχανικο υσυστ ηµατο στηνκατασκευ ητη λαγκρανζιαν η συν αρτηση τουσυστ ηµατο ηοπο ιακαιεµπερι εχει ολητη φυσικ η τουπρο- λ ηµατο.ηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση ( ησυν αρτησηlagrange)περι εχει Ηφυσικ ηκρυµµ ενη κ ατιπερισσ οτερο µ εσασεαυτ ηνκρ υ ονται ολε οισυµµετρ ιε τουσυστ ηµατο καιαπ οαυτ ε τι συµµετρ ιε, οπω θαδο υµεστοκεφ αλαιο 5, Lagrange µ εσαστησυν αρτηση µπορο υµεε υκολανακατασκευ ασουµετι διατηρο υµενε ποσ οτητε,οι οπο ιε θαµα διευκολ υνουνστηνεπ ιλυσητωνεξισ ωσεωνκ ινηση τουπρο- λ ηµατο. Εχουµεµ αθει εω τ ωρα οτιηκατ αλληληεπιλογ ηγιατηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηεν ο µηχανικο υσυστ ηµατο ε ιναιηδιαφορ αµεταξ υτη κινητικ η καιτη δυναµικ η εν εργεια τουσυστ ηµατο. Στοκεφ αλαιο αυτ οθαπροσπαθ ησουµενακαταλ α ουµετολ ογογιατονοπο ιοηλαγκρανζιαν η εχειαυτ ητηµορφ η. Στησυν εχειαθαδο υµε οτιηλαγκρανζιαν ηπεριγραφ ηε ιναι,ενγ ενει,ακατ αλληληγιασυστ ηµαταµεαν αλωση σταοπο ιαεµφαν ιζονταιµησυντηρητικ ε δυν αµει.θαεξηγ ησουµε, οµω, οτιαυτ οδεναποτελε ιουσιαστικ οπρ ο ληµα,αφο υσεθεµελι ωδε επ ιπεδο ολε οιδυν αµει στηφ υσηε ιναισυντηρητικ ε.τ ελο,θακλε ισουµεαυτ ο τοκεφ αλαιογρ αφοντα τηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηπουδι επειτηκ ινησησωµατιδ ιωνστοηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιοκαιθαπροσδιορ ισουµετην κανονικ ηορµ ητωνσωµατιδ ιωνσεαυτ ητηνπερ ιπτωση. Θααρχ ισουµεµελετ ωντα µερικ ε βασικ ε ιδι οτητε τη λαγκρανζια- 59

2 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE Τοµ ετροτη Λαγκρανζιαν η στερε ιταιφυσικο υ περιεχοµ ενου Ανµ ιαλαγκρανζιαν η µπορε ιναδιαχωριστε ι σεδ υοανεξ αρτητε, τοφυσικ οπρ ο ληµα σπ αει σεδ υο απλο υστερα προ λ ηµατα ν η συν αρτηση καθ ω καιτου µετασχηµατισµο υ αυτ η,οιοπο ιοιδεν αλλοι ωνουντηνπεριγραφ ητουµηχανικο υσυστ ηµατο. Ανπολλαπλασι ασουµετηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση Lεν ο συστ ηµατο µε εναναριθµ ο λ,ην εαλαγκρανζιαν η λlπουθαπροκ υψειθαπεριγρ αφεικαιπ αλιτο ιδιοφυσικ οσ υστηµα.ε ιναιε υκολοναδιαπιστ ωσεικανε ι οτιοιεξισ ωσει κ ινηση θαε ιναιοι ιδιε,αφο υοιεξισ ωσει Euler - Lagrange ε ιναιοµογενε ι διαφορικ ε εξισ ωσει παραγ ωγωντη Λαγκρανζιαν η.εξ αλλου,πολλαπλασι αζοντα τηλαγκρανζιαν ηµε εναναριθµ ο, πολλαπλασι αζουµεκαιτηδρ ασηµετον ιδιοαριθµ οδ ιχω ναµετα αλλουµετη θ εση τουστασ ιµουαυτ η :Ηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηναρχικ ηδρ ασηστ ασιµηκαθιστ αστ ασιµηκαιτην εαδρ αση, οπω ακρι ω τα ιδιασηµε ιααποτελο υνακρ οτατακαιτη συν αρτηση f(x)καιτη λf(x). ΗΛαγκρανζιαν ηεν ο συστ ηµατο σωµατιδ ιων,πουδεναλληλεπιδρο υν, ε ιναιαπλ ω το αθροισµατωνεπ ιµ ερου Λαγκρανζιαν ωντουκ αθεσωµατιδ ιου.ηιδι οτητααυτ ηµ α επιτρ επειναεκφρ ασουµετηλαγκρανζιαν η εν ο σ υνθετουσυστ ηµατο πουαποτελε ιταιαπ ουποσυστ ηµαταπουδεν αλληλεπιδρο υνµεταξ υτου ω το αθροισµατωνλαγκρανζιαν ωντωνεπ ι µ ερου συστηµ ατων. Ηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση,γιαπαρ αδειγµα,που δι επειτηνκ ινηση Nµηαλληλεπιδρ ωντωνελε υθερωνσωµατιδ ιων,εκ αστουµ αζα m i,ε ιναι L = N i=1 1 2 m i x i 2. (3.1) Πολλ ε φορ ε ενα τ ετοιο διαχωρισµ ο τη Λαγκρανζιαν η δενε ι- ναιπροφαν η. Οτανυπ αρχεικ αποιο µετασχηµατισµ ο τωνσυντεταγ- µ ενωντ ετοιο ωστεναµπορε ιηλαγκρανζιαν ηναγραφε ιω αθροισµα ανεξ αρτητωνλαγκρανζιαν ων,τ οτεαποκαλ υπτεταιηαπλο υστερηδοµ η τουσυστ ηµατο. Θαδο υµεαργ οτερα,στοκεφ αλαιο 8, οτιαυτ ηηιδι οτηταµ α δ ινειτηδυνατ οτητανααναλ υσουµε εναοσοδ ηποτεπολ υπλοκο µηχανικ οσ υστηµα,τοοπο ιοβρ ισκεταικοντ ασεκ αποιακατ αστασηευσταθο υ ισορροπ ια,ω ενασ υνολοπολλ ωνανεξ αρτητωνµονοδι αστατωναρµονικ ωνταλαντωτ ων. Α εξετ ασουµε εναπαρ αδειγµατ ετοιουµηπροφανο υ διαχωρισµο υ µια Λαγκρανζιαν η σεδ υοεπ ιµ ερου ανεξ αρτητε Λαγκρανζιαν ε. υο σωµατ ιδιαµ αζα m 1 και m 2 κινο υνταισεµ ιαδι αστασηυπ οτηνεπ ιδραση αµοι α ια αλληλεπ ιδραση πουπεριγρ αφεταιαπ οτοδυναµικ ο V ( x 1 x 2 ). Toδυναµικ οαυτ ολ εγεταιδυναµικ ονευτ ωνειουτ υπου,δι οτιαπ ο ενα τ ετοιοδυναµικ οπηγ αζουνδυν αµει αλληλεπ ιδραση τωνσωµατιδ ιων,οι οπο ιε ε ιναι ισε καιαντ ιθετε µεταξ υτου καιεποµ ενω ε ιναισ υµφωνε µετοντρ ιτον οµοτουνε υτωνα. Ε ιναιε υκολοναγρ αψεικανε ι τηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο τωνδ υοσωµατιδ ιωνω εξ η : L = 1 2 m 1ẋ m 2ẋ 2 2 V ( x 1 x 2 ). (3.2) Στι φυσικ ε συντεταγµ ενε x 1, x 2 ηλαγκρανζιαν ηδενε ιναιδιαχωρ ισιµη, αφο υτοδυναµικ οαλληλοεµπλ εκεικαιτι δ υοσυντεταγµ ενε.αν, οµω,

3 3.1. Η ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΚΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 61 γιατηνπεριγραφ ητουσυστ ηµατο χρησιµοποιο υσαµεω συντεταγµ ενε τηθ εσητουκ εντρουµ αζα X KM m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 καιτησχετικ ηθ εσητωνσωµατιδ ιων Οδιαχωρισµ ο επιτυγχ ανεταισε ν εε συντεταγµ ενε, πολλ ε φορ ε οχι τ οσοπροφανε ι x x 1 x 2, θαδιαπιστ ωναµεµεαπλ ηαντικατ ασταση οτιηλαγκρανζιαν ηθαλ αµ- ανετηδιαχωρ ισιµηµορφ η [ ] [ ] 1 1 L = 2 MẊ2 KM + 2 µẋ2 V ( x ), (3.3) οπου M = m 1 + m 2 ε ιναιηολικ ηµ αζακαι µ = m 1m 2 M ε ιναιηανηγµ ενηµ αζατουσυστ ηµατο. Τηντελευτα ιααυτ ηµορφ ητην αναµ εναµε,αφο υ ηδηγνωρ ιζουµεπ ω κινε ιται ενασ υστηµαδ υοσωµατιδ ιωνπουαλληλεπιδρο υνµεδυν αµει νευτ ωνειουτ υπου.τοσ υστηµαθα κινηθε ι ολοµαζ ισυµπεριφερ οµενοω εναελε υθεροσ ωµα,τοοπο ιοβρ ισκεταιστοκ εντροµ αζα τουσυστ ηµατο και εχειµ αζα ισηµετηνολικ η µ αζατουσυστ ηµατο (πρ ωτο ορο τη Λαγκρανζιαν η ).Συγχρ ονω,η σχετικ ηκ ινησητωνδ υοσωµατιδ ιωνθαε ιναιαυτ ηεν ο σ ωµατο µ αζα ιση µετηνανηγµ ενηµ αζατουσυστ ηµατο,ηοπο ιακινε ιταιστοδυνα- µικ οαλληλεπ ιδραση πουτ ωραφα ινεταιναπρο ερχεταιαπ οκ αποιαεξωτερικ ηπηγ η(τελευτα ιοιδ υο οροιτη Λαγκρανζιαν η ).Ην εααυτ ηµορφ η τη Λαγκρανζιαν η µ α επιτρ επειναδιαπιστ ωσουµε οτιοιεξισ ωσει Euler - Lagrange τουσυστ ηµατο καταλ ηγουνστηνοµαλ ηκ ινησητουκ εντρουµ αζα καιστησχετικ ηκ ινησητη ανηγµ ενη µ αζα στοδυναµικ ο αλληλεπ ιδραση. Μια αλληιδι οτητατη λαγκρανζιαν η συν αρτηση ε ιναιηακ ολουθη: ανστηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηεν ο συστ ηµατο προσθ εσουµεµ ια αλ- Μετασχηµατισµ ο λησυν αρτηση,ηοπο ιααποτελε ιτ ελειαχρονικ ηπαρ αγωγοκ αποια συν αρτηση τωνθ εσεωνκαιτουχρ ονου, βαθµον οµηση L(q, q, t) = L(q, q, t) + df(q, t) dt, (3.4) ην εαλαγκρανζιαν η Lπουπροκ υπτειπεριγρ αφεικαιπ αλιτο ιδιοµηχανικ οσ υστηµα. 1 Μπορο υµεναεπι ε αι ωσουµε οτιηπαραπ ανωπρ οταση ισχ υειανυπολογ ισουµεπροσεκτικ ατι εξισ ωσει Euler -Lagrange που προκ υπτουναπ οτην εαλαγκρανζιαν ηκαικαταλ ηξουµεστι αντ ιστοιχε 1 Τοσ υµ ολο qπαριστ ανειγενικ α ενασ υνολοσυντεταγµ ενων q 1, q 2,...καιαντ ιστοιχατο qσυµ ολ ιζειτηχρονικ ηπαρ αγωγο ολωναυτ ωντωνσυντεταγµ ενων.

4 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE εξισ ωσει τη αρχικ η Λαγκρανζιαν η (βλ.πρ ο ληµα1).οαπλο υστερο, ωστ οσο,τρ οπο νααποδε ιξουµε οτιοπαραπ ανωµετασχηµατισµ ο αφ ηνειαναλλο ιωτε τι εξισ ωσει κ ινηση καινακατανο ησουµετοβαθ υτερο ν οηµααυτο υτουµετασχηµατισµο υε ιναιναυπολογ ισουµετηδρ ασηστην οπο ιαοδηγε ιην εαλαγκρανζιαν η, S = tb L dt = t A tb t A L dt + f(q, t) t B ta = S + f(q(t B ), t B ) f(q(t A ), t A ). (3.5) Τιανα αθµονοµε ιται; Οιτελευτα ιοιδ υο οροιτη παραπ ανωπαρ ασταση ε ιναικ αποιοικαθορισµ ενοιαριθµο ι,αφο υτοαρχικ οκαιτοτελικ οσηµε ιοτη διαδροµ η κατ α τηνεφαρµογ ητη αρχ η ελ αχιστη δρ αση θεωρο υνταιδεδοµ ενα.επο- µ ενω,ηε υρεσηακροτ ατουτη Sδενεξαρτ αταιαπ οτησυν αρτηση f το ακρ οτατοτη Sε ιναιτο ιδιοµετοακρ οτατοτη Sκαιηφυσικ ητροχι α πουπροκ υπτειαπ οτηλαγκρανζιαν η Lε ιναι ιδιαµετηφυσικ ητροχι απου προκ υπτειαπ οτην L. Οµετασχηµατισµ ο αυτ ο,οοπο ιο αποτελε ισυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η,αφο υαφ ηνειαναλλο ιωτε τι εξισ ωσει Euler-Lagrange,ονοµ αζεταιgaugetransformation.σταελληνικ α εχειαποδοθε ιµετον οροµετασχη- µατισµ ο βαθµ ιδα. Ισω, οµω,πιοσωστ αθα επρεπεναονοµ αζεταιµετασχηµατισµ ο βαθµον οµηση.ουσιαστικ αµεαυτ οντοµετασχηµατισµ ο ε ιναισανναανα αθµονοµε ι εξουκαιοπροτειν οµενο ορο κανε ι την τιµ ητη δρ αση κατ αµ ηκο του αξονατουχρ ονουανεξαρτ ητω τη διαδροµ η πουακολουθε ιτοσ υστηµα,µετον ιδιοτρ οποπουθαµπορο υσε ναανα αθµονοµ ησεικανε ι το οργανοελ εγχουτη στ αθµη τη βενζ ινη εν ο αυτοκιν ητου οοδηγ ο τουαυτοκιν ητουθασυν ηθιζετι ανα αθµονοµηµ ενε ενδε ιξει τουοργ ανουκαιθαγν ωριζε,π αλι,π οτετελει ωνειη βενζ ινη.μετασχηµατισµο υ βαθµον οµηση συναντ ακανε ι πολ υσυχν α στηφυσικ η, οτανυπ αρχεικ αποιαελευθερ ιαστονκαθορισµ οεν ο µεγ εθου δ ιχω ναδιαφοροποιε ιταιτοφυσικ οπεριεχ οµενοτουπρο λ ηµατο. Παρ αδειγµατ ετοιουµετασχηµατισµο υπου εχουµε ηδησυναντ ησειε ιναι ηαυθα ιρετηεπιλογ ητουσηµε ιου οπουθεωρε ικανε ι οτιηδυναµικ ηεν εργειαµηδεν ιζεται.στηνπερ ιπτωσηαυτ η, οµω,αυτ οπου εχεισηµασ ιαε ιναιοτρ οπο µετονοπο ιοµετα αλλεταιη ιδιαηδυναµικ ηεν εργειακαι οχιηαπ ολυτητιµ ητη. 3.2 Κατασκευ ητη Λαγκρανζιαν η β ασει συµµετρι ων Ηβαθ υτερηπρο ελευσητη λαγκρανζιαν η συν αρτηση θααποκαλυφθε ιστησυν εχεια, οτανκατασκευ ασουµετηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση τουελε υθερουσωµατιδ ιουστηριζ οµενοιαποκλειστικ αστι συµµετρ ιε τουχ ωρουκαιτουχρ ονουκαιστοπαρατηρησιακ οδεδοµ ενο οτιµ ονοη

5 3.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗΣ ΒΑΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ 63 αρχικ ηθ εσηκαιηταχ υτητατουφυσικο υσυστ ηµατο αρκο υνγιαναπεριγραφε ιπλ ηρω ηεξ ελιξητουσυστ ηµατο.τοτελευτα ιοαυτ οδεδοµ ενο ενσωµατ ωνεται αµεσαστηµορφ ητη Λαγκρανζιαν η, οτανθεωρο υµε οτι αυτ ηε ιναισυν αρτησηµ ονοτωνθ εσεωνκαιτωνταχυτ ητωνκαι οχιαν ωτερωνχρονικ ωνπαραγ ωγων.α ξεκιν ησουµε,λοιπ ον,µεκ αποιαγενικ η λαγκρανζιαν ησυν αρτησηγιατοελε υθεροσωµατ ιδιοπου εχειτηνακ ολουθηµορφ η: L = L( x, x, t). Λ ογωτη οµογ ενεια τουχρ ονου,πουαπαιτε ινα εχουνοιν οµοιτη φ υ- Οισυµµετρ ιε του ση την ιδιαµορφ ησεκ αθεχρονικ ηστιγµ η,δενε ιναιδυνατ ονηλαγκρανζιαν ητουσωµατιδ ιουναεξαρτ αταιαπ οτοχρ ονο.οποιαδ ηποτεχρονικ η αντικατοπτρ ιζονται Σ υµπαντο στιγµ ηηλαγκρανζιαν ηπρ επειναε ιναιη ιδια,αφο υ ολε οιχρονικ ε στιγ- στηλαγκρανζιαν η µ ε ε ιναιισοδ υναµε.εποµ ενω,ηοµογ ενειατουχρ ονουµα οδηγε ιστην τουελε υθερου απλο υστερηλαγκρανζιαν η σωµατιδ ιου ( L = L x, x ). Αντιστο ιχω,λ ογωτη οµογ ενεια τουχ ωρου,πουαπαιτε ιναε ιναι ιδιοι οιφυσικο ιν οµοισεκ αθεσηµε ιοτουχ ωρου,ηλαγκρανζιαν ηδενε ιναι δυνατ ονναεξαρτ αταιο υτεαπ οτηθ εσητουσωµατιδ ιου. Τοελε υθερο σωµατ ιδιο, οπουκαιανβρ ισκεται,πρ επειναπεριγρ αφεταιαπ οτην ιδια λαγκρανζιαν ησυν αρτηση,αφο υκ αθεσηµε ιοτουχ ωρουε ιναιισοδ υναµο. Εποµ ενω,ηµορφ ητη Λαγκρανζιαν η πρ επειναε ιναιακ οµηπιοαπλ η ( ) L = L x. Τ ελο,ηισοτροπ ιατουχ ωρου,δηλαδ ηηανεξαρτησ ιατη περιγραφ η τουσωµατιδ ιουαπ οτηνκατε υθυνσητη κ ινησ η του, οποιακαιανε ιναιαυτ η,αφο υ ολε οικατευθ υνσει τουχ ωρουθεωρο υνταιισοδ υναµε, 2 επι αλλειηλαγκρανζιαν ησυν αρτησητουελε υθερουσωµατιδ ιουναε ιναι συν αρτησηµ ονοτουµ ετρουτη ταχ υτητα ( L = L x ). Ε ιναιενδιαφ ερον οτιοιτρει βασικ ε καιπροφανε ι συµµετρ ιε τουσ υ- µπαντο (ηισοτροπ ιατουχ ωρου,ηοµογ ενειατουχ ωρουκαιτουχρ ονου) δενε ιναιαρκετ ε γιατονπροσδιορισµ οτη Λαγκρανζιαν η εν ο ελε υθερουσωµατιδ ιου,ηοπο ιακρ υ εικαι ολητηδυναµικ ητουσωµατιδ ιου.η ανακ αλυψη,ωστ οσο,µια ν εα συµµετρ ια απ οτονγαλιλα ιο ητανκαθοριστικ η σηµασ ια γιατονπροσδιορισµ οτη δυναµικ η τουελε υθερου σωµατιδ ιου. Ηγαλιλαι κ ησυµµετρ ια,δηλαδ ηησυµµετρ ιαπεριγραφ η τουσυστ η- µατο σεδιαφορετικ ααδρανειακ ασυστ ηµατα,απαιτε ιναµηναλλ αζειτο 2 Φα ινεται ισω περ ιεργοπουαναφ ερουµεγιατοχ ωροταχαρακτηριστικ ακαιτη οµογ ενεια καιτη ισοτροπ ια,εν ωγιατοχρ ονοµ ονοαυτ οτη οµογ ενεια. Ολ ογο ε ιναι οτιοχρ ονο ε ιναιµονοδι αστατο,οπ οτεη εννοιατη ισοτροπ ια τουχρ ονουση- µα ινειαπλ ω οτιοχρ ονο θαµπορο υσεναρ εεισταµηχανικ ασυστ ηµαταε ιτεπρο το µ ελλονε ιτεπρο τοπαρελθ ονχωρ ι καµ ιαδιαφορ α.

6 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE Ηγαλιλαι κ η συµµετρ ιακρ υ εται µ εσασε ενα µετασχηµατισµ ο βαθµον οµηση φυσικ οπεριεχ οµενοτη Λαγκρανζιαν η, οτανηκ ινησητουσωµατιδ ιου περιγρ αφεταιαπ οκ αποιο αλλοαδρανειακ οσ υστηµααναφορ α. Ετσι, οµετασχηµατισµ ο x x = x V t, οπου Vε ιναιησταθερ ησχετικ ηταχ υτητακ ινηση τωνδ υοαδρανειακ ων συστηµ ατων τουκαινο υργιουω προ τοαρχικ ο δενµπορε ιναεπιφ ερειτ ιποτεπερισσ οτεροαπ ο εναµετασχηµατισµ οβαθµον οµηση στηλαγκρανζιαν η,οοπο ιο, οπω εχουµεαναφ ερει,δεναλλ αζειτοφυσικ οπεριεχ οµενοτη Λαγκρανζιαν η αφο υοδηγε ισε ιδιε εξισ ωσει κ ινηση.το αποτ ελεσµαδηλαδ ητουγαλιλαι κο υµετασχηµατισµο υστηλαγκρανζιαν ηπρ επειναε ιναι 3 L ( x ) 2 = L ( x ) 2 df( x, t) +. (3.6) dt Οµω, L ( x ) 2 = L ( x V ) ( ) 2 = L x x + V V 2V x Παρατηρο υµε οτι,επειδ ητο Vε ιναισταθερ οδι ανυσµα,οιδ υοτελευτα ιοι οροιστο ορισµατη συν αρτηση αποτελο υνµιατ ελειαχρονικ ηπαρ αγωγο, αφο υ V V 2V x = d ( ) V V t 2V x. (3.7) dt. Εποµ ενω,αναζητο υµεµιασυν αρτηση L( u 2 )γιατηνοπο ιαναισχ υει ( L u 2 + dg ) = L( u 2 ) + df dt dt, L( u 2 ) = a u 2 + b. Μ ονοηγραµµικ η συν αρτησηικανοποιε ι τι απαιτ ησει µα οπου gµιαδεδοµ ενησυν αρτηση ησυν αρτησηεντ ο τη παρ ενθεση στη σχ εση(3.7) και fµιαοποιαδ ηποτεσυν αρτησητων xκαι t.φα ινεταιαµ εσω οτιµιατ ετοιακατ αλληλησυν αρτησηε ιναιηγραµµικ ησυν αρτηση Ε ιναιδιαισθητικ απροφαν ε οτιδενε ιναιδυνατ ονκ αποια αλλησυν αρτησηεκτ ο απ οτηγραµµικ ηναικανοποιε ιτηζητο υµενησυνθ ηκη,αφο υ οποιαδ ηποτεµηγραµµικ οτητατη συν αρτηση θαε ιχεω αποτ ελεσµα ναεµφανιστε ιτοτετρ αγωνοτη dg/dt,τοοπο ιοδεναποτελε ιτ ελειαχρονικ ηπαρ αγωγο.βασιζ οµενοισεαυτ ητηνπαρατ ηρηση,ε ιµαστεσεθ εση νααποδε ιξουµεαυστηρ οτερα οτιηγραµµικ ησυν αρτησηε ιναιηµοναδικ η πουµπορο υµενακατασκευ ασουµεµετηνπαραπ ανωιδι οτητα.α θεωρ ησουµε οτιησυν αρτηση gε ιναικαταλλ ηλω µικρ η αυτ οµπορο υµενα τοεπιτ υχουµεεπιλ εγοντα µικρ ησχετικ αταχ υτητα V.Αναναπτ υξουµε την Lσε ορου µ εχριτ αξη Vλαµ ανουµε ( L u 2 + dg ) = L ( u 2) + dl(y) dt dy y= u 2 d( 2 V x) dt + O( V 2 ). (3.8) 3 Γιαναδιευκολυνθο υµεστηνεκτ ελεσητωνπρ αξεωνθαθεωρ ησουµετην L,χωρ ι να αλλοι ωσουµετοπερι εχοµεν οτη,συν αρτηση οχιτου x,αλλ ατου x 2.

7 3.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗΣ ΒΑΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ 65 Γιαναε ιναιογραµµικ ο ω προ V ορο µιατ ελειαχρονικ ηπαρ αγωγο, πρ επειοπαρ αγοντα dl(y) dy, y= u 2 ναε ιναιµιασταθερ α a,δηλαδ η, L( u 2 ) = a u 2 + b. Συνοπτικ αηλαγκρανζιαν ητουελε υθερουσωµατιδ ιουσε ενανκ οσµοπου παρουσι αζει ολε τι παραπ ανωσυµµετρ ιε πρ επεινα εχειτηνεξ η µορφ η L ελ.σωµ. = 1 2 m x 2. (3.9) Ηπροσθετικ ησταθερ α bαφαιρ εθηκεαπ οτονπαραπ ανωτ υπο,αφο υ, οπω εχουµεµ αθει,µιατ ετοιασταθερ αδεν εχειφυσικ ησηµασ ια (τετριµ- µ ενο µετασχηµατισµ ο βαθµον οµηση ),εν ωησταθερ α aαπλ ω αντικαταστ αθηκεµετησταθερ α m/2.ητελευτα ιααυτ ηεπιλογ ηε ιναιεντελ ω αυθα ιρετη,αφο υοποιοσδ ηποτεπολλαπλασιαστικ ο παρ αγοντα θα ηταν ικανοποιητικ ο. Πρ οκειται,ωστ οσο,γιαµιαλογικ ηεπιλογ η,αφο υστην κλασικ ηφυσικ ηηµοναδικ ηιδι οτηταεν ο υλικο υσωµατιδ ιουπουτοδιακρ ινειαπ οτα αλλαε ιναιµον αχαηµ αζατου. Οσογιατο 1/2ε ιναικαι αυτ οαυθα ιρετοκαι εχειεπιλεγε ιγιαναµα θυµ ιζειµιαγνωστ ηφυσικ η ποσ οτητα,τηνκινητικ ηεν εργεια. Α θεωρ ησουµεστησυν εχειαδ υοσωµατ ιδιαπουδεναλληλεπιδρο υν. Ησυνολικ ηλαγκρανζιαν ηαυτο υτουσυστ ηµατο σωµατιδ ιωνε ιναιτο ΗΛαγκρανζιαν ηδ υο αθροισµατωνλαγκρανζιαν ωντωνδ υοεπιµ ερου σωµατιδ ιων, µηαλληλεπιδρ ωντων σωµατιδ ιων L = 1 2 m 1 x m 2 x 2 2, (3.10) οπου x 1, x 2 οιθ εσει τωνδ υοσωµατιδ ιων. Εστω,τ ωρα, οτιταδ υοσωµατ ιδιααλληλεπιδρο υν. Στο οριοπουη αλληλεπ ιδρασηε ιναιαµελητ εαηολικ ηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο πρ επεινατε ινειστηνπαραπ ανωλαγκρανζιαν η,οπ οτεηλαγκρανζιαν η πουπεριγρ αφειτηναλληλεπ ιδρασηµεταξ υτωνσωµατιδ ιων,ηοπο ιαεξαρτ αταιαπ οτι συντεταγµ ενε καιτι ταχ υτητε καιτωνδ υοσωµατιδ ιων, θαπρ επειναεµφαν ιζεταιπροσθετικ α.θαµπορο υσενααναζητ ησεικανε ι εναν οροαλληλεπ ιδραση,οοπο ιο ναπολλαπλασι αζειτηλαγκρανζιαν ητωνδ υοελε υθερωνσωµατιδ ιωνκαιναε ιναιτ ετοιο ωστε, οταντα δ υοσωµατ ιδιααποµακρυνθο υνπολ υτο ενααπ οτο αλλο,ο ορο αυτ ο νατε ινειστηµον αδα, ηακ οµηνακατασκευ ασειµιαακ οµηπιοπερ ιπλοκη συναρτησιακ ηµορφ ηγιαναπεριγρ αψειτηναλληλεπ ιδραση.κ ατιτ ετοιο, οµω,θαοδηγο υσεσεπολ υπιοσ υνθετου φυσικο υ ν οµου κ ινηση οι οπο ιοι οµω δενεπαληθε υονταιπειραµατικ α.οπ οτεηαπλο υστερηλαγκρανζιαν ηε ιναιη L = 1 2 m 1 x m 2 x L αλληλ ( x 1, x 2, x 1, x 2, t). (3.11) Τιµορφ ηµπορε ινα εχειηl αλληλ ;Γιανατηνπροσδιορ ισουµεθαχρησι- µοποι ησουµεκαιπ αλιτι συµµετρ ιε τουσ υµπαντο. ΗΛαγκρανζιαν η Ηγενικ οτερη Λαγκρανζιαν ηδ υο αλληλεπιδρ ωντων σωµατιδ ιων

8 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE αυτ ηδενε ιναιδυνατ ονναεξαρτ αταιαπ οτοχρ ονοκαισυνεπ ω πρ επει ναπαραµ ενειαναλλο ιωτησεχρονικ ε µεταθ εσει,δι οτιοιφυσικο ιν οµοι λ ογωτη οµογ ενεια τουχρ ονουε ιναι ιδιοισεκ αθεχρονικ ηστιγµ η.πρ επειναεξαρτ αταιµ ονοαπ οτησχετικ ηθ εσηκαιτησχετικ ηταχ υτητατων σωµατιδ ιων, ετσι ωστεοιφυσικο ιν οµοιναπαραµ ενουναναλλο ιωτοι(συµ- µετρικο ι)ω προ τι χωρικ ε µεταθ εσει (οµογ ενειατουχ ωρου)καινα ικανοποιο υντηγαλιλαι κ ησυµµετρ ια.συνεπ ω,ηλαγκρανζιαν ητη αλληλεπ ιδραση πρ επειναε ιναιτη µορφ η L αλληλ = L αλληλ ( x, x ), οπου x = x 1 x 2 ησχετικ ηθ εσητωνσωµατιδ ιωνκαι x = x 1 x 2 ησχετικ ητου ταχ υτητα. Τ ελο,ηλαγκρανζιαν ηπρ επεινα εχειµορφ ηανεξ αρτητηαπ οτηνκατε υθυνσητωναξ ονωνπουεπιλ εξαµεγιαναπεριγρ αψουµετοσ υστηµα, ετσι ωστεναικανοποιε ιταιηισοτροπ ιατουχ ωρου. Αυτ οσηµα ινει οτιηλαγκρανζιαν ηπαραµ ενειαναλλο ιωτηστι στροφ ε καισυνεπ ω εξαρτ αταιµ ονοαπ οτι βαθµωτ ε µετα λητ ε πουµπορο υν νακατασκευαστο υναπ οτα x, x.αυτ ε ε ιναιοι x, x, x x, x x. Ειδικ αητελευτα ιαποσ οτηταµπορε ινακατασκευαστε ιαπ οτι υπ ολοιπε τρει αφο υ ( x x) 2 = ( x) 2 ( x) 2 ( x x) 2, οπ οτεµ ονοοιτρει πρ ωτε ποσ οτητε ε ιναιανεξ αρτητε ηµ ιααπ οτην αλλη.επ ιση,στι παραπ ανωεκφρ ασει δενσυµπεριλ α αµεποσ οτητε τη µορφ η a x,δι οτιαυτ οθασ ηµαινε οτιστοφυσικ οκ οσµουπ αρχει κ αποιαπροεξ αρχουσαδιε υθυνσηπουπροσδιορ ιζεταιαπ οτοδι ανυσµα a. Συνεπ ω,µιαλαγκρανζιαν ηαλληλεπ ιδραση πουικανοποιε ιτι ευκλε ιδειε συµµετρ ιε (οµογ ενειακαιισοτροπ ιατουχ ωρου),τηγαλιλαι κ η συµµετρ ιακαιτηνοµογ ενειατουχρ ονουπρ επειναε ιναιτη µορφ η L αλληλ ( x 1 x 2, x 1 x 2, ( x 1 x 2 ) ( x 1 x ) 2 ). Στηνκατασκευ ητη λαγκρανζιαν η αλληλεπ ιδραση εχουµευποθ εσει ο- τιοιαλληλεπιδρ ασει µεταξ υτωνσωµατιδ ιωνε ιναιακαρια ιε αυτ οση- µα ινει οτιηαλλαγ ητη θ εση ητη ταχ υτητα τουεν ο σωµατιδ ιουεπηρε αζειακαρια ιατο αλλοσωµατ ιδιο.στηνκλασικ ηµηχανικ ηηπαραδοχ η οτιοχρ ονο ε ιναιαπ ολυτο, ιδιο δηλαδ ησε ολατασυστ ηµατααναφορ α,καιηαρχ ητη γαλιλαι κ η σχετικ οτητα απαιτο υνοιαλληλεπιδρ ασει µεταξ υτωνσωµατιδ ιωνναε ιναιακαρια ιε.ε ανδενσυν ε αινεαυτ ο καιοιαλληλεπιδρ ασει διαδ ιδοντανµεκ αποιαπεπερασµ ενηταχ υτητα, αυτ ηηταχ υτηταθα ητανδιαφορετικ ησε ενα αλλοσ υστηµααναφορ α, γεγον ο πουσηµα ινει οτικ αποιο θαε ιχετηδυνατ οτηταναπροσδιορ ισει τηνταχ υτητατη ιδια τουτη κ ινηση,κ ατιπουαποτελε ισαφ ηπαρα ιασητη γαλιλαι κ η αρχ η τη σχετικ οτητα.

9 3.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗΣ ΒΑΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ 67 Οτρ ιτο ν οµο τουνε υτωναπουαπαιτε ιηδ υναµη F 12 πουασκε ιται στοπρ ωτοσωµατ ιδιοαπ οτοδε υτεροναε ιναι ισηκαιαντ ιθετηµετηδ υναµη F 21 πουασκε ιταιστοδε υτεροσωµατ ιδιοαπ οτοπρ ωτο,δενεπιτρ επεικαµ ια αλληεξ αρτησητη λαγκρανζιαν η αλληλεπ ιδραση παρ αµ ονο απ οτησχετικ ηθ εσητωνσωµατιδ ιων. Ετσι,ηΛαγκρανζιαν ηδ υοαλληλεπιδρ ωντωνµενευτ ωνειε δυν αµει σωµατιδ ιωνθα εχειτηµορφ η L = 1 2 m 1 x m 2 x 2 2 V ( x 1 x 2 ). (3.12) Πρινολοκληρ ωσουµετησυζ ητησησχετικ αµετηλαγκρανζιαν ηδ υο σωµατιδ ιων,πρ επεινασηµει ωσουµε οτιοιπαρ αµετροι m 1, m 2 τη παραπ ανωλαγκρανζιαν η δεν εχουνστηνκατασκευ ηµα τοφυσικ ον οηµα τη µ αζα τωνσωµατιδ ιων,αφο υοπολλαπλασιαστικ ο παρ αγοντα που ε ιχαµεεισαγ αγειστηλαγκρανζιαν ητουελε υθερουσωµατιδ ιου, στην Π ω προκ υπτουνοι οπο ιαβασ ισαµετηνκατασκευ ηµα, ητανεντελ ω αυθα ιρετο.ησχ εση µ αζε ; µεταξ υαυτ ωντωνπαραµ ετρωνµπορε ινακαθοριστε ιπειραµατικ αµετον ιδιοουσιαστικ ατρ οποπουονε υτωνα επιχε ιρησεναµετρ ησειτηναδρ ανειατωνσωµ ατων.οισχετικ ε επιταχ υνσει τωνδ υοαλληλεπιδρ ωντων σωµατιδ ιωνε ιναιαντιστρ οφω αν αλογε µετολ ογοτωνπαραµ ετρων m 1 και m 2, οπω µπορε ινααποδε ιξεικανε ι απ οτι εξισ ωσει Euler - Lagrange γιατηνπαραπ ανωλαγκρανζιαν η. Ετσι,θεωρ ωντα τη m 1 ιση µετηµον αδα,µπορε ικανε ι να ζυγ ισει τι παραµ ετρου µ αζε ολων των αλλωνσωµατιδ ιωνκαιµ αλισταανεξ αρτητααπ οτηµορφ ητουδυνα- µικο υαλληλεπ ιδραση τη εκ αστοτεµ αζα µετηµ αζα πρ οτυπο. Μετον ιδιοτρ οποµπορο υµενακατασκευ ασουµετηλαγκρανζιαν η εν ο αποµονωµ ενουσυστ ηµατο nσωµατιδ ιων,ταοπο ιααλληλεπιδρο υν ΗΛαγκρανζιαν η µενευτ ωνειε δυν αµει καισταοπο ιαδενασκε ιταικαµ ιαεξωτερικ ηδ υ- αποµονωµ ενου ναµη, L = n i=1 1 2 m i x i n n i=1 j=1,j i V ( x i x j ). (3.13) Το 1/2στοδιπλ ο αθροισµα εχεισυµπεριληφθε ι ετσι ωστε ολαταζε υγη τωνδυναµικ ωναλληλεπ ιδραση ναλαµ ανονταιµ ονοµ ιαφορ α. ΗΛαγκρανζιαν ηαυτ ηδενε ιναιηπιογενικ ηλαγκρανζιαν ηπουµπορο υµενακατασκευ ασουµεγια ενατ ετοιοσ υστηµατηρ ωντα τι συµµετρ ιε τουχ ωρουκαιτουχρ ονουκαιεπιλ εγοντα αλληλεπιδρ ασει πουεξαρτ ωνταιµ ονοαπ οτι θ εσει τωνσωµατιδ ιων.θαµπορο υσαµεγιαπαρ αδειγµαναθεωρ ησουµεδυναµικ ααλληλεπ ιδραση πουεξαρτ ωνταιαπ ο τι θ εσει τρι ων ηκαιπερισσ οτερωνσωµατιδ ιων.απλ ω ηλαγκρανζιαν η τη σχ εση (3.13)ε ιναιηαπλο υστερηεπ εκτασητη Λαγκρανζιαν η των δ υοσωµατιδ ιων. Απ οφυσικ η αποψη ηλαγκρανζιαν ητη εκφραση (3.13)θαµπορο υσεναδικαιολογηθε ι,αντοσωµατ ιδιο φορ εα τη αλλη- λεπ ιδραση,τοοπο ιοανταλλ ασσεταιµεταξ υτωναλληλεπιδρ ωντωνσω- µατιδ ιων, εχειτ οσοασθεν ησταθερ ασ υζευξη ωστεηανταλλαγ ηπερισσ οτερωντουεν ο τ ετοιωνσωµατιδ ιων φορ εωνµεταξ υδ υοσωµατιδ ιων ναε ιναιεξαιρετικ ααπ ιθανονασυµ ε ι.αυτ οισχ υειγιατι ηλεκτρασθενε ι καιτι βαρυτικ ε, οχι οµω καιγιατι ισχυρ ε αλληλεπιδρ ασει. συστ ηµατο σωµατιδ ιων

10 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση3.1. ε ιξτε οτιηλαγκρανζιαν η(3.13)οδηγε ισεαλληλεπιδρ ασει,οιοπο ιε ικανοποιο υντοντρ ιτον οµοτουνε υτωνα,δηλαδ ηοιδυν αµει πουασκο υνταιαπ οτο ενα σωµατ ιδιοστο αλλοικανοποιο υντι σχ εσει F ij = F ji. 3.3 Τοε υρο ισχ υο τη αρχ η τουχ αµιλτον Ε ιδαµε οτιηφυσικ ηκ ινησηεν ο σωµατιδ ιουσεσυντηρητικ οπεδ ιο οπουηδ υναµηπροκ υπτειαπ οκ αποιοδυναµικ ο V, F = V, ικανοποιε ιτηναρχ ηελ αχιστη δρ αση τουχ αµιλτονµελαγκρανζιαν η L = T V, οπου Tηκινητικ ηεν εργειατουσωµατιδ ιουκαι V ηδυναµικ ητουεν εργεια. 4 Σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηοιν οµοιτουνε υτωναε ιναιισοδ υναµοιµε τηναρχ ητουχ αµιλτον.εδ ωβε α ιω αναφερ οµαστεµ ονοστου δ υοπρ ωτου ν οµου οπρ ωτο ν οµο τουνε υτωνααποτυπ ωνεταιστηµορφ ητη κινητικ η εν εργεια Tπουεισ ερχεταιστηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση,εν ω οδε υτερο ν οµο αποτυπ ωνεταιµετον οροτη δυναµικ η εν εργεια που εισ ερχεταιαθροιστικ α (και οχιπολλαπλασιαστικ α ηµε αλλοτρ οπο)στη λαγκρανζιαν ησυν αρτηση.οιν οµοιτουνε υτωνα, οµω,ε ιναιυπ οµια εννοιαγενικ οτεροιαπ οτηναρχ ητουχ αµιλτον,αφο υγια εναοποιοδ ηποτε µηχανικ οσ υστηµαδενυπ αρχεικατ αν αγκηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση,η οπο ιαναοδηγε ιµ εσωτωνεξισ ωσεωνeuler-lagrange στι εξισ ωσει κ ινηση τουσυστ ηµατο.γιαπαρ αδειγµα,γιασυστ ηµατασταοπο ιαυπ αρχειαν αλωσηεν εργεια,εξαιτ ια,λ ογουχ αρη,τη τρι η,δενε ιναιενγ ενειεφικτ ηηκατασκευ ηλαγκρανζιαν η συν αρτηση πουναπεριγρ αφει τοσ υστηµα. Ετσι,εν ωηκ ινησηεν ο ιδανικο υρευστο υ,πουε ιναι ενα συνονθ υλευµααλληλεπιδρ ωντωνσωµατιδ ιων,µπορε ιναπροκ υψειµ εσω τωνεξισ ωσεωνeuler-lagrangeαπ οµ ιακατ αλληληλαγκρανζιαν η,ηκ ινησηπραγµατικ ωνρευστ ωνµειξ ωδε σταοπο ιαυπεισ ερχεταιαν αλωση δενµπορε ι 5 ναπεριγραφε ιαπ οκ αποιαλαγκρανζιαν η. Βασιζ οµενοιεπ ιση στηναρχ ητουχ αµιλτον, οπω τουλ αχιστοντην εχουµεδιατυπ ωσει,αδυνατο υµεναπεριγρ αψουµετηνκ ινησησωµατιδ ιων σεγενικ οτεραµησυντηρητικ απεδ ια.τ ελο, οταντοδυναµικ οεξαρτ αται απ οτι ταχ υτητε,οπ οτεοιδυναµικο ιν οµοιδενε ιναιαναλλο ιωτοιστου µετασχηµατισµο υ τουγαλιλα ιου,ηφυσικ ηκ ινησηδενδι επεταισυν ηθω απ οκ αποιαλαγκρανζιαν η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση3.2.ΗΛαγκρανζιαν η L(x,ẋ, t) = 1 2 eγt/m (mẋ 2 kx 2 )περιγρ αφεικ αποιο γνωστ οσα φυσικ οσ υστηµα;πρ οκειταιγιακ ινησησεσυντηρητικ οπεδ ιοδυν αµεων; 4 Στοεξ η στοβι λ ιοθαχρησιµοποιο υµετασ υµ ολα Tκαι V,αντ ιτων E κιν, E δυν, ακολουθ ωντα τηδιεθν ηβι λιογραφ ια. 5 Γιαναε ιµαστεπιοσαφε ι,δεν εχειβρεθε ι εω τ ωρατ ετοιαλαγκρανζιαν η.

11 3.4. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ 69 Ασκηση3.3.Ναβρεθε ιηλαγκρανζιαν ηπουπεριγρ αφειτηµονοδι αστατηκ ινηση σωµατιδ ιουµ αζα m,πουκινε ιταιυπ οτηνεπεν εργειαµια χρονοεξαρτ ωµενη δ υναµη τη µορφ η F(t). Ολα, οµω,ταθεµελι ωδηπεδ ιαδυν αµεωνπουγνωρ ιζουµεε ιναισυντηρητικ ακαιω εκτο υτουηδυναµικ ησυµπεριφορ ατου µπορε ιναπροκ υψειαπ οκ αποιαλαγκρανζιαν η.παρ ατογεγον ο,λοιπ ον, οτιοιν οµοι τουνε υτωναεφαρµ οζονταισεευρ υτεραµηχανικ ασυστ ηµατααπ ο,τιη αρχ ητη ελ αχιστη δρ αση τουχ αµιλτον,ηαρχ ητουχ αµιλτον εχειευρ υτερηφυσικ ησηµασ ιααπ οτου ν οµου τουνε υτωνα,δι οτιµα δ ινειτηδυνατ οτηταναπροσεγγ ισουµεσεπιοθεµελι ωδε επ ιπεδοτου ν οµου τη φ υση,ε ιτεαυτο ιαναφ ερονταισεµηχανικ ασυστ ηµαταε ιτε οχι,νααντι- ληφθο υµεαπ οπο υπρο ερχονταιοιδιατηρο υµενε ποσ οτητε καιναδια- µορφ ωσουµε εναπλα ισιοµετοοπο ιοναµπορο υµεναχειριστο υµετι νε ωτερε θεωρ ιε τη Φυσικ η.επιπλ εον, οπω ε ιδαµε ηδηστηνπερ ιπτωση τουελε υθερουσωµατιδ ιου,ηλαγκρανζιαν ηµπορε ινακατασκευαστε ιµε τηχρ ησηγενικ ωνεπιχειρηµ ατωνπουβασ ιζονταιστι συµµετρ ιε τουφυσικο υσυστ ηµατο.ηλαγκρανζιαν ηθε ωρησηµ α δ ινειτηδυνατ οτητανα προ λ επουµετι εξισ ωσει κ ινηση οταναυτ ε δενε ιναιγνωστ ε,καιβασιζ οµενοιστοπαρ αδειγµατη νευτ ωνεια µηχανικ η ναοικοδοµο υµεφυσικ ε θεωρ ιε πουπεριγρ αφουνφαιν οµεναγιαταοπο ιαοιν οµοιπουτα δι επουνµα ε ιναι αγνωστοι. Ηδρ ασησεαυτ ηντηθε ωρησηπροκ υπτει ω µιαποσ οτηταεξ εχουσα φυσικ η σηµασ ια,ηοπο ιαεπι ι ωνεικατ α τηµετ α ασηαπ οτηνκλασικ ηστηνκ αντικ ηµηχανικ ηκαιµ αλιστααποκτ αιδια ιτεροφυσικ ον οηµα.μ εσωτη δρ αση,γιαπαρ αδειγµα,ε ιναιδυνατ ηηθεµελ ιωσητη κ αντικ η µηχανικ η µε ενανιδια ιτεραδιαισθητικ ο καιπρωτ οτυποτρ οποµ εσωτωνολοκληρωµ ατωνδιαδροµ η (path integrals),πουεισ ηγαγανοιpauladrienmauricedirac[ ]καιrichard Phillips Feynman[ ]. 3.4 Λαγκρανζιαν ηφορτισµ ενουσωµατιδ ιου Εχουµεµ αθει εω τ ωραπ ω νακατασκευ αζουµελαγκρανζιαν ε για σωµατ ιδια ηγενικ αγιαµηχανικ ασυστ ηµαταπουκινο υνταισεδυναµικ α πεδ ιαπου εχουνκαθαρ αχωρικ ηεξ αρτηση.εξετ ασαµεεπ ιση παραδε ιγ- µατασυστηµ ατωνµεαν αλωσηγιαταοπο ιαε ιναιδυνατ ηηκατασκευ η τη αντ ιστοιχη Λαγκρανζιαν η (βλ.ασκ ησει 2,3). Τιµπορο υµε, οµω, νακ ανουµεσεπεριπτ ωσει πουηδ υναµηπουασκε ιταισε ενασωµατ ι- υσκολ ιε κατασκευ η διοεξαρτ αταιαπ οτηνταχ υτητατουσωµατιδ ιου; Εναπαρ οποιοπρ ο- ληµα εχουµε ηδηαντιµετωπ ισει, οτανδοκιµ ασαµεναπεριγρ αψουµεµε λαγκρανζιαν οτρ οποτηναντ ιστασησεκ αποιοµ εσο, οταναυτ ηε ιναιαν αλογητη ταχ υτητα.ηγενικ ηαντιµετ ωπισητ ετοιωνδυν αµεων,µολον οτι δενε ιναιπ αντοτεεφικτ η,δενπαρουσι αζειιδια ιτεροενδιαφ ερον,αφο υ τ ετοιουε ιδου δυν αµει δενε ιναιθεµελι ωδει δυν αµει ε ιναιαπλ ω ενα Λαγκρανζιαν η για δυν αµει εξαρτ ωµενε απ οτηνταχ υτητα.

12 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE οπου Eη εντασητουηλεκτρικο υπεδ ιουκαι Bηµαγνητικ ηεπαγωγ ηστη θ εση xπουβρ ισκεταιτοφορτισµ ενοµεφορτ ιο qσωµατ ιδιοτηχρονικ η στιγµ η t. Ηδυσκολ ιακατασκευ η τη αντ ιστοιχη Λαγκρανζιαν η εγκειταιστο γεγον ο, οτι,αφο υηδ υναµη ( ) F = q E + x B, (3.15) στατιστικ οαποτ ελεσµαηλεκτροµαγνητικ ωνδυν αµεωνπουασκο υνταισε µικροσκοπικ οεπ ιπεδο. Υπ αρχει,ωστ οσο,µιαδ υναµηεξαρτ ωµενηαπ ο τηνταχ υτητα,ηοπο ια,µολον οτιε ιναιθεµελι ωδη καισυντηρητικ η,δεν µπορε ιναπρο ελθειαπ οκ αποιοδυναµικ ο.πρ οκειταιγιατηδ υναµηπου δι επειτηνκ ινησηεν ο φορτισµ ενουσωµατιδ ιουµ εσασεηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιο,ηοπο ιαοδηγε ιστηνεξ ισωσηκ ινηση ( ) m x = q E + x B, (3.14) εξαρτ αταιαπ οτηνταχ υτητα,πρ επειοσυν ηθη ορο τη δυναµικ η εν εργεια στηλαγκρανζιαν η,ανβ ε αιαυπ αρχειλαγκρανζιαν η,ναεµπερι εχειτηνταχ υτητα.σεαυτ ητηνπερ ιπτωση, οµω,ηγενικευµ ενηορµ ηπου εµφαν ιζεταιστι εξισ ωσει Euler -Lagrange εκτ ο απ οτηνκλασικ ητη µορφ ηπουπρο ερχεταιαπ οτηνπαραγ ωγισητη κινητικ η εν εργεια θα περικλε ιεικαι αλλον εναν οροεξαιτ ια τη εξ αρτηση τη δυναµικ η εν εργεια απ οτηνταχ υτητα.αυτ οπεριπλ εκειτηδυναµικ ηεξ ισωσηκ ινηση καιπρ επειναε ιναικανε ι αρκετ ατυχερ ο γιανακαταφ ερεινααναπαραγ αγειτοδυναµικ ον οµο (3.14)ρυθµ ιζοντα κατ αλληλατηµορφ ητη λαγκρανζιαν η συν αρτηση. Εστω οτιηεπιθυµητ ηλαγκρανζιαν η εχειτηνκλασικ ηµορφ η L = T V, (3.16) Οστ οχο µα επι αλλει µιαδυναµικ ηεν εργεια γραµµικ ηω προ την ταχ υτητα οπου Tηκινητικ ηεν εργειατουσωµατιδ ιουκαι V ηδυναµικ ητουεν εργεια,ηοπο ιαπροφαν ω θαεξαρτ αταιαπ οτηνταχ υτητατουσωµατιδ ιου µετ ετοιοτρ οπο ωστεναε ιναιδυνατ οννααναπαραχθε ιηεξαρτ ωµενη απ οτηνταχ υτηταδ υναµηlorentz.μπορο υµεναισχυριστο υµε οτι,ανε ιναιδυνατ ηηκατασκευ ηµια τ ετοιουτ υπουλαγκρανζιαν η,ηδυναµικ η εν εργειαπρ επεινα εχειτοπολ υγραµµικ ηεξ αρτησηαπ οτηνταχ υτητα, ωστεο ορο d dt ( ) V x V x τη εξ ισωση Euler-Lagrangeναπαρ αγειµιαδ υναµητοπολ υγραµµικ η ω προ τηνταχ υτητα, οπω ε ιναιηδ υναµηlorentz.οποιαδ ηποτε αλλη µηγραµµικ ησυν αρτησητη ταχ υτητα γιατηδυναµικ ηεν εργειαθαε ιχε ω αποτ ελεσµαµιαδ υναµηµηγραµµικ ηω προ τηνταχ υτητα, οπω µπορε ιναδιαπιστ ωσεικανε ι αµεσα.συνεπ ω,θεωρο υµε οτιηδυναµικ ηεν εργεια εχειτηµορφ η V ( x, x, [ t) = q A( x, t) x ] + φ( x, t). (3.17)

13 3.4. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ 71 Ηδυναµικ ηεν εργεια, οντα µ ερο τη Λαγκρανζιαν η,δενµπορε ιπαρ α ναε ιναιµιαβαθµωτ ηποσ οτητα,γεγον ο πουδικαιολογε ιτην υπαρξητου εσωτερικο υγινοµ ενου. 6 Παρ αλληλα,ηπαρουσ ιατουφορτ ιουω πολλαπλασιαστικο υπαρ αγονταεπι αλλεταιαπ οτηναπα ιτησηναε ιναιηδ υναµηαν αλογητουφορτ ιου qτουσωµατιδ ιου.τ ελο,ηπαρουσ ιατουαρνητικο υπροσ ηµουστονπρ ωτο οροεντ ο τη αγκ υλη δεν εχεικαν εναουσιαστικ ολ ογο τοπρ οσηµοεπιλ εχθηκεαυθα ιρεταµεσκοπ ονααποκτ ησουνοιποσ οτητε A, φσυγκεκριµ ενοφυσικ οπεριεχ οµενοστοτ ελο τη αν αλυση. Οιεξισ ωσει Euler -Lagrange γιαµιαλαγκρανζιαν ηµετ ετοιαδυνα- µικ ηεν εργειακαταλ ηγουνστι ακ ολουθε εξισ ωσει κ ινηση : m x = q ( d A( x, t) dt + ( ) x A( x, t) φ ). (3.18) Ασκηση3.4.Εκτελ εστετι πρ αξει εντ ο τωνεξισ ωσεωνeuler-lagrangeκαιεπι- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ε αι ωστετησχ εση (3.18). Ηπαραπ ανωεξ ισωσηθαµπορο υσεναλ α ειτηµορφ ητη δυναµικ η εξ ισωση γιατοσωµατ ιδιο,ανε ιχαµετηδυνατ οτητανακατασκευ ασουµε ποσ οτητε A, φτ ετοιε ωστεναισχ υει d A( x, t) dt + ( ) x A( x, t) φ = E + x B. (3.19) Ηπρ ωτηπαρ αγωγο πουεµφαν ιζεταιστοαριστερ οσκ ελο τη παραπ ανω εξ ισωση ε ιναιηολικ ηχρονικ ηπαρ αγωγο τουανυσµατικο υπεδ ιου A κατ αµ ηκο τη τροχι α τουσωµατιδ ιου.σεαυτ ηνπεριλαµ ανεταιηµετα ολ ητου Aεξαιτ ια τη µετα ολ η τουχρ ονουκαθ ω επ ιση καιηµετα ολ ητου Aεξαιτ ια τη µετα ολ η τη θ εση τουσωµατιδ ιουστοναντ ιστοιχοχρ ονο. Συγκεκριµ ενα,επειδ ητο x εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οτο χρ ονο,θαισχ υει d A( x, t) dt = A( x, t) t + ( x ) A( x, t). Ετσι,τοαριστερ οσκ ελο τη (3.19)µπορε ιναγραφε ιω A( x, t) t ( u ) ( A( x, t) + u A( x, ) t) φ( x, t), (3.20) 6 Μια αλλη ισω δυνατ οτητακατασκευ η βαθµωτο υµεγ εθου, που ισω µοι αζει γραµµικ οω προ τηνταχ υτητα,θα ηταντο C u, ητο u. Οµω καιοιδ υοαυτ ε ποσ οτητε,µολον οτιβαθµωτ ε,δενε ιναιπραγµατικ αγραµµικ ε ω προ τηνταχ υτητα, αφο υηαντικατ αστασητη uµε u 1 + u 2 δενοδηγε ι,ενγ ενει,σε αθροισµααντ ιστοιχων ποσοτ ητων.

14 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE οπουσυµ ολ ισαµεµε u xτηταχ υτητατουσωµατιδ ιου. Ανεπικαλεστο υµεκαιτηµαθηµατικ ηταυτ οτητα 7 u ( A) = ( u A) ( u ) A, (3.21) πουισχ υει οταντοδι ανυσµα uδεν εχειεξ αρτησηαπ οτο x( οπω εδ ωθεωρο υµε οτισυµ α ινειµετι µετα λητ ε xκαι x),µπορο υµεναξαναγρ αψουµετησχ εση (3.19)µεµιαµικρ ηανακατανοµ ητων ορωνω ακολο υθω : E + x B = A( x, t) φ( x, t ( ) t) + u A( x, t). (3.22) Προτο υπροσπαθ ησουµενασυνδ εσουµετου ορου τουδεξιο υσκ ελου τη (3.22)µετοηλεκτρικ οκαιτοµαγνητικ οπεδ ιο,α θυµηθο υµετι σχ εσει πουικανοποιο υντοηλεκτρικ οκαιτοµαγνητικ οπεδ ιοµ εσωτων εξισ ωσεωνmaxwell E = ρ, (3.23) B = 0, (3.24) B E t E + B t = j, (3.25) = 0, (3.26) οπου ρε ιναιηπυκν οτηταφορτ ιουκαι jηπυκν οτηταρε υµατο,ποσ οτητε πουθεωρο υνταιδεδοµ ενε καιπα ιζουντορ ολοτωνπηγ ωντουηλεκτροµαγνητικο υπεδ ιου. Επιπλ εον,οιπυκν οτητε ρ, jικανοποιο υντην εξ ισωσησυν εχεια ρ t + j = 0. (3.27) Οιεξισ ωσει τουjamesclerkmaxwell[ ] εχουνγραφε ισεµον αδε Heaviside,δηλαδ ησετ ετοιε µον αδε ωστεηδ υναµηcoulombµεταξ υ δ υοφορτ ιωνναε ιναι, q 1 q 2 4πr 2 εν ωηταχ υτητατουφωτ ο εχειληφθε ι c = 1. Απ οτην B = 0προκ υπτει οτιηµαγνητικ ηεπαγωγ η Bµπορε ινα γραφε ιω oστρο ιλισµ ο κ αποιουπεδ ιου B = A, (3.28) οπου Aτοανυσµατικ οδυναµικ ο. 8 Αντικαθιστ ωντα αυτ ητηµορφ ητου µαγνητικο υπεδ ιουστην (3.26)θα εχουµε ( E + ( ) A = t E + A ) = 0, (3.29) t 7 Βλ.Μαθηµατικ οπαρ αρτηµα. 8 Προ τοπαρ ονηοµοι οτητατωνσυµ ολωνγιατοανυσµατικ οδυναµικ ο Aκαιτο ηλεκτρικ οδυναµικ ο φ,πουθασυναντ ησουµεαµ εσω στησυν εχεια,µετααγν ωστουταυτ οτητα πεδ ιαπουεισαγ αγαµεστηλαγκρανζιαν ηε ιναικαθαρ ασυµπτωµατικ η.στοτ ελο, οµω,τη αν αλυση θαφανε ιγιατ ιεπιλ εξαµεναχρησιµοποι ησουµετα ιδιασ υµ- ολα.

15 3.4. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ 73 λ ογωµεταθετικ οτητα τωνχρονικ ωνµετι χωρικ ε παραγ ωγου.συνεπ ω,η εκφρασηεντ ο τη παρ ενθεση, οντα αστρ ο ιλη,ε ιναιηβαθµ ιδα κ αποιουβαθµωτο υπεδ ιου E + A t = φ, (3.30) οπου φτοηλεκτρικ οδυναµικ ο. Ετσι,τοηλεκτρικ οπεδ ιοεκφρ αζεταιµ εσωτουανυσµατικο υκαιτουηλεκτρικο υδυναµικο υω E = A t φ. (3.31) Αντ ωρααπαιτ ησουµεη εκφραση (3.22)ναεπαληθε υεταιταυτοτικ α, θεωρ ωντα οτιτοηλεκτρικ οκαιτοµαγνητικ οπεδ ιο εχουναντικατασταθε ιαπ οτι ισοδ υναµε εκφρ ασει του (3.31,3.28),διαπιστ ωνουµε οτιτο διανυσµατικ οπεδ ιο Aκαιτοβαθµωτ οπεδ ιο φπουεισαγ αγαµεστηδυνα- µικ ηεν εργειατη Λαγκρανζιαν η δενε ιναιτ ιποτε αλλοαπ οτοανυσµατικ οδυναµικ οκαιτοηλεκτρικ οδυναµικ οαντ ιστοιχα. Καταλ ηγουµε,λοιπ ον,στοσυµπ ερασµα οτι εναφορτισµ ενοσωµατ ιδιο µ εσασεηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιοπεριγρ αφεταιαπ οτηλαγκρανζιαν η Ιδο υηπολυπ οθητη Λαγκρανζιαν η! L = 1 2 m x 2 + q A( x, t) x qφ( x, t), (3.32) µετονπροφαν ησυµ ολισµ οτωνδι αφορωνποσοτ ητωνπουπαρουσι αζονταισεαυτ η. 9 Κλε ινοντα αυτ οτοκεφ αλαιοαξ ιζειναπαρατηρ ησουµε οτιηγενικευ- µ ενηορµ ητουσωµατιδ ιουδενε ιναιηκλασικ η m u,αλλ αη p = L x = m u + q A. Τηνεπιπλ εονποσ οτητα qaθαµπορο υσαµενατηνερµηνε υσουµεω συ- Ιδο υκαιηιδι οµορφη νεισφορ ατουµαγνητικο υπεδ ιουστην ιδιατηνορµ ητουσωµατιδ ιου.το ορµ ητουσυστ ηµατο! γεγον ο αυτ ο εχει αµεσε συν επειε κυρ ιω σεκ αντοµηχανικ ασυστ η- µατα οπουηορµ η,πουσεκ αποιε περιπτ ωσει ε ιναικ αντισµ ενη,ε ιναιη γενικευµ ενηορµ η, οπω διατυπ ωθηκεστηνπροηγο υµενησχ εση,και οχι ησυν ηθη. Αξ ιζειεπ ιση νααναφ ερουµεµια αλληκοιν ηπερ ιπτωσηλαγκρανζιαν η µεδυναµικ ηεν εργειαπουεξαρτ αταιαπ οτηνταχ υτητα πρ οκειταιγια τηνπερ ιπτωσησωµατιδ ιουπουκινε ιταισεπεριστρεφ οµενοσ υστηµααναφορ α.ηαναλογ ιαµ αλισταµετοφορτισµ ενοσωµατ ιδιοσεηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιοε ιναιπλ ηρη,αφο υτορ ολοτουµαγνητικο υπεδ ιουτονπα ιζειηγωνιακ ηταχ υτητα.θακατασκευ ασουµετηναντ ιστοιχηλαγκρανζιαν ηµεδιαφορετικ οτρ οποεκτελ ωντα απλ ω ενανµετασχηµατισµ οσυντεταγµ ενων, οτανασχοληθο υµεστοκεφ αλαιο 6µετοθ εµατωνστροφ ων. 9 Στηνπαραπ ανωκατασκευ ηθεωρ ησαµετηνταχ υτητατουφωτ ο ισηµετηµον αδα, οπω µπορε ιτεναδιαπιστ ωσετεαπ οτηγραφ ητωνεξισ ωσεωντουmaxwell.ανθ ελουµε ναεπαναφ ερουµετησταθερ ααυτ ηστι εκφρ ασει µα ωστεναεργαζ οµαστεµεσυν ηθει µον αδε ο ορο q A( x, t)θαπρ επεινααντικατασταθε ιµετον ορο q A( x, t)/c.

16 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE 3.5 Λαγκρανζιαν ηδεσµευµ ενη κ ινηση σωµατιδ ιων Π ω κατασκευ αζουµε τηλαγκρανζιαν η εν ο συστ ηµατο µε συνδ εσµου ; Ανυπ αρχεικ αποιο σ υνδεσµο γρ αφουµε τηλαγκρανζιαν ησαν ναµηνυπ αρχει... Εχουµεεπιτ υχει εω τ ωρανακατασκευ ασουµελαγκρανζιαν ε για σωµατ ιδιαπουκινο υνταιµ εσασεσυντηρητικ απεδ ια,ταοπο ιαπηγ αζουν απ οδυναµικ α, ηµ εσασεπεδ ιαπου,ανκαιε ιναισυντηρητικ α,εξαρτ ωνται απ οτι ταχ υτητε τωνσωµατιδ ιων.εκτ ο, οµω,απ οτηναδυναµ ιακατασκευ η Λαγκρανζιαν η στηνπερ ιπτωσηµησυντηρητικ ωνπεδ ιων αδυναµ ιαπου, οπω αναφ εραµε,δεν εχειουσιαστικ ησηµασ ια γενν αται ενα γενικ οτερο προ ληµατισµ ο σχετικ αµετην υπαρξηλαγκρανζιαν η για µηχανικ ασυστ ηµαταπουυπ οκεινταισεκ αποιονπεριορισµ ο οσοναφορ α στηνκ ινησ ητου.οιπεριορισµο ιαυτο ιονοµ αζονταιγενικ οτερασ υνδεσµοι.ω χαρακτηριστικ οπαρ αδειγµαθαεξετ ασουµετηνπερ ιπτωσηεν ο σωµατιδ ιου,τοοπο ιοβρ ισκεταιµ εσαστοοµογεν ε πεδ ιοβαρ υτητα,αλλ α ε ιναιυποχρεωµ ενονακινε ιταιεπ ανωστοοριζ οντιοεπ ιπεδο z = 0.Απ ο του ν οµου τουνε υτωναγνωρ ιζουµε οτιτοσωµατ ιδιοεκτελε ιευθ υγραµ- µη,οµαλ ηκ ινησηστοεπ ιπεδο z = 0και οτισεαυτ οασκε ιταιµιακατακ ορυφηδ υναµη ισηκαιαντ ιθετηµετηδ υναµητη βαρ υτητα. Ανδεν υπ ηρχεκαν ενα περιορισµ ο στηνκ ινησητουσωµατιδ ιου,ηλαγκρανζιαν ητουσωµατιδ ιουεκπεφρασµ ενησεκαρτεσιαν ε συντεταγµ ενε θα ηταν L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) mgz. (3.33) Θαδε ιξουµε οτιηλαγκρανζιαν ηπουπροκ υπτει,αναντικαταστ ησουµε στηνπροηγο υµενηλαγκρανζιαν ητηνεξ ισωσητουσυνδ εσµου z = 0,...καιεκτωνυστ ερων επι αλλουµετι εξισ ωσει των συνδ εσµων περιγρ αφεισωστ ατηνκ ινησητουσωµατιδ ιου.ανκαικ ατιτ ετοιοφα ινεταιε υλογο,δενε ιναικαιτ οσοπροφαν ε οτιισχ υει.επιθυµ ωντα ναµετατρ εψουµετοσ υστηµαµα σε ενασ υστηµαπουπεριγρ αφεταιαπ ο ενα συντηρητικ οπεδ ιοδυν αµεωνκαινατοαπαλλ αξουµεαπ οτου περιορισµο υ τωνσυνδ εσµων,ηαντιµετ ωπισητωνοπο ιωνπροκαλε ιαµηχαν ια, α υποθ εσουµε οτιτοσωµατ ιδιοµπορε ινακινε ιταισε ολοτοχ ωροαλλ α βρ ισκεταιταυτ οχροναµ εσαστοοµογεν ε βαρυτικ οπεδ ιοκαθ ω επ ιση καισε εναν εοπεδ ιοµεδυναµικ ο V (k) (z) = 1 2 kz2. Φανταζ οµαστε οτικ ατωαπ οτοδ απεδουπ αρχουνελατ ηριασκληρ οτητα kτο ανω ακροτωνοπο ιωνφθ ανει εω το z = 0 οταναυτ αβρ ισκονταιστο φυσικ οτου µ ηκο. Ισω σκεφτε ιτε οτιτον εοσ υστηµαδεν εχεικαµ ια σχ εσηµετοαρχικ ο!α αναλογιστο υµε, οµω,τισυµ α ινειστο οριοπου k.ην εαλαγκρανζιαν η L = L V (k) (z)

17 3.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ 75 περιγρ αφει ενασωµατ ιδιοπουκινε ιταιµ εσαστοοµογεν ε βαρυτικ οπεδ ιο τη Γη,αλλ ασυγχρ ονω κ αποιοπολ υσκληρ οελατ ηριοδεντουεπιτρ επει νααποµακρυνθε ιπολ υαπ οτοεπ ιπεδο z = 0.Τοσωµατ ιδιο, οντα ενα µηχανικ οσ υστηµα,ηκ ινησητουοπο ιουπεριγρ αφεταιαπ οτρει ανεξ αρτητε µετα λητ ε (x, y, z),εξελ ισσεταιβ ασειτωντρι ωνεξισ ωσεωνeuler- Lagrange Ητρ ιτηεξ ισωση εχειω λ υσητην ( ) k z = A cos m t + B sin mẍ = 0, mÿ = 0, m z + mg + kz = 0. (3.34) ( ) k m t mg k. Ανσεαυτ ητηνεξ ισωσηεπι αλουµεαρχικ ε συνθ ηκε z(0) = 0, ż(0) = 0 οιοπο ιε ε ιναισυµ ατ ε µετοσ υνδεσµο z = 0,θακαταλ ηξουµεστη λ υση [ ( ) ] z = mg k cos k m t 1, ηοπο ιαεµφαν ω οδηγε ιστηναναµεν οµενηλ υση z = 0στο οριο k. Ουσιαστικ αεπιστρ εψαµεστηναρχικ ηεξ ισωσητουσυνδ εσµου. Οιυπ ολοιπε εξισ ωσει κ ινηση ε ιναιαυτ ε πουθαλαµ αναµε,ανθ εταµεεξαρχ η στηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο ανευσυνδ εσµου,l,τηνεξ ισωση τουσυνδ εσµου z = 0.Ε ιναιενδιαφ ερονναπαρατηρ ησεικανε ι οτιστη λ υσητουπρο λ ηµατο ουδεµ ιααναφορ αγ ινεταιστηναντ ιδρασητουεπιπ εδου! Αυτ ο αλλωστε ητανκαιτοπλεον εκτηµαπουε ιχανοιεξισ ωσει Euler-Lagrange, οτανπρωτοδιατυπ ωθηκαναπ οτονlagrange δενχρειαζ οτανναγ ινεταικαµ ιααναφορ αστι δυν αµει πουαναπτ υσσονταιστου συνδ εσµου σεαντ ιθεσηµετηνευτ ωνειαθεωρ ια.μετηνεισαγωγ η, οµω, τουφαινοµενολογικο υδυναµικο υτουσυνδ εσµου, V (k),ε ιµαστεσεθ εση ναυπολογ ισουµεκαιτηναντ ιδρασητουσυνδ εσµου,ηοπο ιαδενε ιναιτ ιποτε αλλοαπ οτηδ υναµηπουασκο υνστοσωµατ ιδιοταυποθετικ αελατ ηρια (k) V F =. z Aπ οτηνεξ ισωσηeuler-lagrangeγιατην εαλαγκρανζιαν η L εχουµε Ηαντ ιδρασηβρ ισκεται απ οτηνεξ ισωση 0 = d ( ) L L Euler - Lagrange που dt ż z = d ( ) L L (k) V +, (3.35) dt ż z z αντιστοιχε ιστο δηλαδ η, F = d dt ( ) L L ż z. (3.36) Στοενλ ογωπρ ο ληµαηδ υναµηκαταλ ηγειναε ιναι F = m z + mg. σ υνδεσµο

18 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE Στο οριο k οπουηλ υσηγιατησυντεταγµ ενη zε ιναι, οπω αναφ εραµε, z = 0,ηδ υναµηε ιναιηγνωστ ηµα αντ ιδρασητουδαπ εδου, mg. Α ε ιµαστε, οµω,λ ιγοπιοπροσεκτικο ικαια αντικαταστ ησουµετηλ υση στηνοπο ιακαταλ ηξαµεπριναπ ολ ιγογια k γιαναλ α ουµετελικ α το οριο k.τ οτεθαδιαπιστ ωσουµε οτιηδ υναµηε ιναι [ ( )] k F = mg 1 cos m t. Οδε υτερο ορο τη εξ ισωση ταλαντ ωνεταιτ οσογρ ηγορα, οταν k, ωστενα εχειν οηµαµ ονοηµ εσητιµ ηαυτο υ,ηοπο ιαε ιναιµηδ εν.για αλλη µιαφορ α,λοιπ ον,οδηγο υµαστεστηναναµεν οµενηαντ ιδραση F = mg. Σεαυτ οτοσηµε ιοαξ ιζεινασηµει ωσουµε οτιηεπι ολ ητουφαινοµενολογικο υδυναµικο υτουσυνδ εσµουκαιοιιδιοµορφ ιε κ αποιωναποτελεσµ ατων, οπω αυτ οτη ταχ υταταµετα αλλ οµενη αντ ιδραση,βρ ισκονταιπολ υπιοκοντ αστηνπραγµατικ ηφ υσητωνσυνδ εσµων. Ολατασ ω- µατα,ακ οµηκαιαυτ απουονοµ αζουµεστερε α, οντα ελαστικ α,δενµπορο υνναεπι αλλουνσταµηχανικ ασυστ ηµαταπαρ αµ ονοπροσεγγιστικ ε εξισ ωσει συνδ εσµων. Τοπρακτικ οσυµπ ερασµαστοοπο ιοοδηγο υµαστεε ιναι οτι,επι αλλοντα τηνεξ ισωσητουσυνδ εσµου z = ż = z = = 0στηναντ ιστοιχη εξ ισωσηeuler-lagrange (3.35),υπολογ ιζουµετελικ ατηναντ ιδρασητου συνδ εσµουω εξ η : F = [ d dt ( ) L L ] ż z z=ż= z=0. (3.37) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση3.5.Γρ αψτετηλαγκρανζιαν ηεν ο σωµατιδ ιουπουκινε ιταιστοεπ ιπεδο χρησιµοποι ωντα πολικ ε συντεταγµ ενε.υποθ εστεστησυν εχειαπω θ ελετεναεπι αλετετονπεριορισµ οκ ινηση τουσωµατιδ ιουσεµιακυκλικ ηστεφ ανηακτ ινα a. Επιλ εξτε ενακατ αλληλοδυναµικ οπουναεξαναγκ αζειτοσωµατ ιδιονακινε ιταιακτινικ α σ υµφωναµετηνεξ ισωση r = a.γρ αψτετηλαγκρανζιαν η L πουπροκ υπτει υστερααπ ο τηνπρ οσθεσητουν εουδυναµικο υκαιλ υστετηγωνιακ ηεξ ισωσηeuler-lagrangeεπι- αλλοντα τησυνθ ηκη r = a.υπολογ ιστετηνακτινικ ηαντ ιδρασητη στεφ ανη. [Απ αντηση: F r = ma θ 2 ] ε ιξαµελοιπ ον οτι,ανηκ ινησηεν ο µηχανικο υσυστ ηµατο περιορ ιζεταιαπ οδεσµο υ,τ οτεηλαγκρανζιαν ηπουπεριγρ αφειτηνκ ινησητου συστ ηµατο ε ιναιηδιαφορ αµεταξ υκινητικ η καιδυναµικ η εν εργεια τουσυστ ηµατο, οπουστονυπολογισµ οτωνενεργει ωναυτ ων εχουνληφθε ιυπ οψη ολοιοιπεριορισµο ιπουεπι αλλονταιαπ οτου δεσµο υ.στο επ οµενοκεφ αλαιοθαακολουθ ησουµεµιατελε ιω διαφορετικ ηθε ωρηση τωνδεσµ ωνπουσχετ ιζεταιµετηνπραγµατικ ηιστορικ ηπορε ιαπουακολο υθησεηαναλυτικ ηµηχανικ ηκαιθαµ αθουµεπ ω ναγρ αφουµετηλαγκρανζιαν ησεπεριπτ ωσει ακ οµηπιοσ υνθετωνδεσµ ων οπουδενυπ αρχειαπλ ω µιασυναρτησιακ ησχ εσηµεταξ υτωνσυντεταγµ ενων. Ωστ οσο,

19 3.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ 77 παρ ατι οποιεσδ ηποτετεχνικ ε δυσκολ ιε πουενδ εχεταινα εχειηεισαγωγ ηπιοπερ ιπλοκωνµορφ ωνδεσµ ωνστολαγκρανζιαν οφορµαλισµ ο,η ουσ ιαε ιναι οτικ αθεσ υνδεσµο µπορε ιαπ οφυσικ η αποψη νααντικατασταθε ιαπ οκ αποιοκατ αλληλο σκληρ ο υποθετικ οδυναµικ οκαιεπο- µ ενω τοµηχανικ οσ υστηµαναπεριγραφε ιπλ ηρω µ εσωσυντηρητικ ων πεδ ιων.

20 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE 3.6 Προ λ ηµατα 1.Αποδε ιξαµε,χρησιµοποι ωντα τηναρχ ητη ελ αχιστη δρ αση, οτι οιλαγκρανζιαν ε Lκαι L πουσυνδ εονταιµεµετασχηµατισµ οβαθ- µον οµηση L df(x, t) (x, ẋ, t) = L(x, ẋ, t) + dt οδηγο υνστι ιδιε εξισ ωσει κ ινηση. ε ιξτεµεκατευθε ιαναντικατ ασταση οτιηεξ ισωση Euler -Lagrange γιατην εασυν αρτηση L οδηγε ιστην ιδιαεξ ισωσηµεεκε ινηπουοδηγε ιηl. 2. ε ιξτε οτιοµετασχηµατισµ ο τουανυσµατικο υκαιηλεκτρικο υδυναµικο υ A A + ψ, φ φ ψ t, δενµετα αλλειτοηλεκτρικ οκαιµαγνητικ οπεδ ιοκαιανα αθµονο- µε ιτηλαγκρανζιαν ηεν ο φορτισµ ενουσωµατιδ ιουω εξ η : L = L + q dψ dt. 3. Ενασωµατ ιδιο,διασχ ιζοντα µιακοσµικ ησ ηραγγα (wormhole), εγκαταλε ιπειτοισ οτροποκαιοµογεν ε στοχ ωροκαιχρ ονοσ υµπαν µα καιεισ ερχεταισε ενα αλλοσ υµπαν,τοοπο ιοε ιναιοµογεν ε στο χ ωροκαιτοχρ ονο,αλλ αδενδιαθ ετειτηνισοτροπ ιατουδικο υµα. Αντ ιτη ισοτροπ ια τουδικο υµα Σ υµπαντο,δηλαδ ητουαναλλο ιωτουχαρακτ ηρατη Λαγκρανζιαν η σεοποιαδ ηποτεστροφ η, τον εοσ υµπανε ιναισυµµετρικ οµ ονοσεστροφ ε γ υρωαπ οκ αποιο συγκεκριµ ενο αξονα,α πο υµετον αξονα-z.κατασκευ αστετηλαγκρανζιαν ηεν ο ελε υθερουσωµατιδ ιουπουκινε ιταιµ εσαστον εο αυτ οσ υµπαν. [Υπ οδειξη:θεωρ ηστε οτιτον εοσ υµπανε ιναιαναλλο ιωτοκαιστου µετασχηµατισµο υ τουγαλιλα ιου.] 4.Οιµηχαν ε τουatwoodε ιναισυστ ηµαταπουαποτελο υνταιαπ οιδανικ ε α αρε ι τροχαλ ιε,α αρ ησχοινι ακαιµ αζε πουσυνδ εονται, γιαπαρ αδειγµα, οπω στοσχ ηµα.γρ αψτετηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηπουδι επειτηδυναµικ ητη µηχαν η τουatwoodπουαπεικον ιζεταιστοσχ ηµακαιυπολογ ιστετηνεπιτ αχυνσητη µ αζα m 2 ; 5.Μιαχ αντραε ιναιπερασµ ενησε ενασ υρµα,τοοπο ιοβρ ισκεταισε κατακ ορυφοεπ ιπεδοκαιτοσχ ηµατουπροσδιορ ιζεταιαπ οτησυν αρτηση z = f(x).ηχ αντρακινε ιταιελε υθεραστοσ υρµαυπ οτην επεν εργειατη βαρ υτητα.ναγραφε ιηλαγκρανζιαν ητη χ αντρα καιναµελετηθε ιηκ ινησ ητη κοντ ασε ενατοπικ οελ αχιστοτη κα- µπ υλη πουσχηµατ ιζειτοσ υρµα. 6.Φαιν οµενοaharonov-bohm: (α)τοµαγνητικ οπεδ ιοστοεσωτερικ ο εν ο απειρουκυλινδρικο υσωληνοειδο υ ακτ ινα R,ε ιναισταθερ ο,

21 3.6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 79 εν ωστοεξωτερικ οτουε ιναιµηδ εν. ε ιξτε οτιτοανυσµατικ οδυνα- µικ ο { B 2 A( x) = ( y, x, 0), για x2 + y 2 < R 2 1 BR 2 ( y, x, 0), για x 2 + y 2 R 2. 2 x 2 +y 2 παρ αγει ενατ ετοιοµαγνητικ οπεδ ιο.στηνπαραπ ανω εκφραση x = (x, y, z)καιο αξονα z εχειληφθε ικατ αµ ηκο τουµαγνητικο υπεδ ιου. (β)κατασκευ αστετηλαγκρανζιαν ηεν ο φορτισµ ενουσωµατιδ ιουπουκινε ιταιµ εσαστοπαραπ ανωπεδ ιοκαιδε ιξτε οτι οσοτο σωµατ ιδιοβρ ισκεταιεκτ ο πεδ ιουηλαγκρανζιαν ηπεριγρ αφειτην κ ινησηελε υθερουσωµατιδ ιου. [Υπ οδειξη:θασα φανε ιχρ ησιµηη ταυτ οτητα d ( y ) dt tan 1 = x yẋ + xẏ x 2 + y 2.] (γ)υπολογ ιστετηδρ ασηγιαµ ιαφυσικ ηδιαδροµ ηπουβρ ισκεται εξολοκλ ηρουεκτ ο τουσωληνοειδο υ µεαρχικ ηθ εση x 1 στοχρ ονο 0καιτελικ ηθ εση x 2 στοχρ ονο t. (δ) Ενασωµατ ιδιοπου ερχεται απ ο απειρηαπ οστασηµακρι ααπ οτοσωληνοειδ ε καιπερν α εξω αποτοσωληνοειδ ε,ε ιτεαπ οπ ανω(π.χ.θεωρ ηστετηνευθ υγραµµη διαδροµ ηαπ οτο (, R, 0)στο (, R, 0)),ε ιτεαπ οκ ατωαπ οαυτ ο (π.χ.θεωρ ηστετηδιαδροµ ηαπ οτο (, R, 0)στο (, R, 0)), περιγρ αφεταιαπ οµ ιακυµατοσυν αρτησητη µορφ η exp(ıs/ ) οπου Sε ιναιηδρ ασηπουαντιστοιχε ιστηδιαδροµ ηκαι ησταθερ α τουplanck.προκειµ ενουοικυµατοσυναρτ ησει ναε ιναιοι ιδιε ε ιτε απ οπ ανωε ιτεαπ οκ ατω,τισυµπ ερασµασυν αγετεγιατηµαγνητικ η ρο η Φ = πr 2 Bστοεσωτερικ οτουσωληνοειδο υ ; 7. ΕστωηΛαγκρανζιαν η L = m 2 ( x 2 1ω 2 x 2 ). Γρ αψτετι εξισ ωσει Euler -Lagrange πουδι επουντηνκ ινησηκαι

22 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE δε ιξτε οτιητροχι ατουσυστ ηµατο δ ιδεταιαπ οτην x(t) = a + b t + c sin(ωt) + d cos(ωt). Θ ετοντα τι σταθερ ε a, bαντιστο ιχω ισε µετοκ εντροµ αζα και τηνορµ ητουκ εντρουµ αζα δ υοσωµατιδ ιων ιδια µ αζα,δε ιξτε οτιηλαγκρανζιαν ηαυτ ηπεριγρ αφειτηνκ ινησηδ υοσωµατιδ ιων πουαλληλεπιδρο υνµεδυναµικ οαρµονικο υταλαντωτ η. (Φ. Χατζη ω αννου)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η ΙI 27 Ιουν ιου 2008 Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε στα 3 Θ εµατα µε σαφ ηνεια απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις εκτιµ ωνται ιδιαιτ

Διαβάστε περισσότερα

[ S Θ εµα Γ: Ενα σ υστηµα F σωµατιδ ιων, το καθ ενα µε µ αζα HG (I KJ!!LLLM! F ), κινο υνται π ανω σε µια κυκλικ η στεφ ανη ακτ ινας N. Η γωνιακ η θ ε

[ S Θ εµα Γ: Ενα σ υστηµα F σωµατιδ ιων, το καθ ενα µε µ αζα HG (I KJ!!LLLM! F ), κινο υνται π ανω σε µια κυκλικ η στεφ ανη ακτ ινας N. Η γωνιακ η θ ε 3 ' ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η ΙI Περι οδου Σεπτεµ ρ ιου 6 Σεπτεµ ρ ιου 008 Απαντ ηστε στα προ λ ηµατα που ακολουθο υν µε σαφ ηνεια, ακρ ι εια και απλ οτητα. Ολα τα προ

Διαβάστε περισσότερα

Albert Einstein. Lagrange

Albert Einstein. Lagrange Κεφ αλαιο 3 Συν αρτηση Lagrange Αυτ ο που πραγµατικ α µε ενδιαφ ερει ε ιναι το αν ο Θε ος ε ιχε τη δυνατ οτητα επιλογ ης κατ α τη δηµιουργ ια του κ οσµου Albert Einstein 3.1 Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας Σεπτεµ ρ ιου 200 Να απαντ ησετε στα 4 απ ο τα ακ ολουθα προ λ ηµατα. Θ εµα 1 Το γεγον ος βρ ισκεται εντ ος του µελλοντικο

Διαβάστε περισσότερα

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ :

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις επ ι Πτυχ ιω στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας 29 Απριλ ιου 2009 Να γραφο υν τα 4 απ ο τα 5 θ εµατα Σε ολα τα θ εµατα εργαστε ιτε σε σ υστηµα µον αδων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ ο τησ περιε- οµενο

Κεφ αλαιο Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ ο τησ περιε- οµενο Κεφ αλαιο 3 Συν αρτηση Lagange 3. Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ ο της περιεχ οµενο Ε ιδαµε στο πρ ωτο Κεφ αλαιο οτι ο δυναµικ ος ν οµος του Νε υτωνα ε ιναι ισοδ υναµος µε την απα ιτηση η δρ αση, ως το ολοκλ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΙΑΤΟΜΗΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ Η εννοια της διαφορικ ης διατοµ ης σκ εδασης Εστω οτι µ ια παρ αλληλη δ εσµη σωµατιδ ιων βοµ αρ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΙΑΤΟΜΗΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ Η εννοια της διαφορικ ης διατοµ ης σκ εδασης Εστω οτι µ ια παρ αλληλη δ εσµη σωµατιδ ιων βοµ αρ 1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΙΑΤΟΜΗΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ 1 1.1 Η εννοια της διαφορικ ης διατοµ ης σκ εδασης Εστω οτι µ ια παρ αλληλη δ εσµη σωµατιδ ιων βοµ αρδ ιζει κ αποιο στ οχο. Τα σωµατ ιδια αυτ α στο πε ιραµα

Διαβάστε περισσότερα

υσεισ Θ εµα Α : Θ εµα Β :

υσεισ Θ εµα Α : Θ εµα Β : 1 ΑΝΕΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 12 Φε ρουαρ ιου 28 Τµ ηµα Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε στα ερωτ ηµατα που ακολουθο υν µε σαφ ηνεια, ακρ ι εια απλ οτητα Ολα τα ερωτ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 6 Σεπτεµ ρ ιου 2005 Τµ ηµα Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 4 Θ εµατα µε σαφ ηνεια και απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο2. Λογισµ ο τωνμετα ολ ων. 2.1 Π οτε ενασυναρτησοειδ ε καθ ισταται στ ασιµο

Κεφ αλαιο2. Λογισµ ο τωνμετα ολ ων. 2.1 Π οτε ενασυναρτησοειδ ε καθ ισταται στ ασιµο Κεφ αλαιο2 Λογισµ ο τωνμετα ολ ων Σεπ εντελεπτ αθαπε ιτε οτι ολα ηταντ οσοαπ ιστευτααπλ α Sherlock Holmes 2.1 Π οτε ενασυναρτησοειδ ε καθ ισταται στ ασιµο Στοπροηγο υµενοκεφ αλαιοδιατυπ ωσαµεµιαν εααρχ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο οτε ενα συναρτησοειδ εσ καθ ισταται στ ασιµο

Κεφ αλαιο οτε ενα συναρτησοειδ εσ καθ ισταται στ ασιµο Κεφ αλαιο 2 Λογισµ ος των Μετα ολ ων Σε π εντε λεπτ α θα πε ιτε οτι ολα ηταν τ οσο απ ιστευτα απλ α Sherlock Holes 2.1 Π οτε ενα συναρτησοειδ ες καθ ισταται στ ασιµο Στο προηγο υµενο κεφ αλαιο διατυπ ωσαµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο9. ΗΧαµιλτονιαν ηθε ωρηση. 9.1 Εισαγωγ η

Κεφ αλαιο9. ΗΧαµιλτονιαν ηθε ωρηση. 9.1 Εισαγωγ η Κεφ αλαιο9 ΗΧαµιλτονιαν ηθε ωρηση Μεαντρε ια,µεσκληρ οτηταστερ εωσεαπ ανω στοσαλευ οµενοχ αο τοκαταστρ ογγυλο, τοκαταφ ωτιστοαλ ωνιτουνου, ν αλων ισει,ναλιχν ισει,σανοικοκ υρη,τασ υµπαντα. Ν ικο Καζαντζ

Διαβάστε περισσότερα

V eff. (r) r = L z. Veff( )=λ 2 /2

V eff. (r) r = L z. Veff( )=λ 2 /2 j H ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι Φε ρου αριος 2005 Τµ ηµα Π. Ιω αννου & Θ. Αποστολ ατου ΘΕΜΑ 1 (25 µον αδες) Σωµατ ιδιο µοναδια ιας µ αζας κινε ιται σ υµφωνα µε το δυναµικ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο Απ ο τη δυναµικ η στη στατικ

Κεφ αλαιο Απ ο τη δυναµικ η στη στατικ Κεφ αλαιο 4 Απ ο την Αρχ η του D Alembert στην Αρχ η της Ισοδυναµ ιας Αν στο µν ηµα σας χαρ αξουν κ ατι τ ετοιο, τ οτε τα π ατε περ ιφηµα. Richard Feynman Σχ ηµα 4.1: Το σχ εδιο αυτ ο ε ιναι χαραγµ ενο

Διαβάστε περισσότερα

L 96/22 EL ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 696/98 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ τη 27η Μαρτ ιου 1998 για την εφαρµογ η του κανονισµο υ (ΕΚ) αριθ. 515/97 του Συµβουλ ιου περ ι τη αµοιβα ια συνδροµ η µεταξ υ των διοικητικ ων αρχ

Διαβάστε περισσότερα

& N. Εστω µια ακολουθ ια απ ο οµ οκεντρους πολ υ λεπτο υς σφαιρικο υς φλοιο υς µε αντ ιστοιχες ακτ ινες "M " 6 "ONP Q Q Q RS"MTU και µ αζες " Q Q Q RV

& N. Εστω µια ακολουθ ια απ ο οµ οκεντρους πολ υ λεπτο υς σφαιρικο υς φλοιο υς µε αντ ιστοιχες ακτ ινες M  6 ONP Q Q Q RSMTU και µ αζες  Q Q Q RV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 2 Σεπτεµ ρρ ιου 200 Τµ ηµα Π. Ιω αννου & Θ. Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 10 ισοδ υναµα ερωτ ηµατα. Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις εκτιµ ωνται

Διαβάστε περισσότερα

κ ατιε ιναισυµµετρικ οαν δρ ωντα π ανωτουµεκ αποιοτρ οπο αυτ οπαραµ ενει οπω ηταναρχικ α Hermann Weyl αρµον ιη αφαν η φανερ η κρε ιττων Ηρ ακλειτο

κ ατιε ιναισυµµετρικ οαν δρ ωντα π ανωτουµεκ αποιοτρ οπο αυτ οπαραµ ενει οπω ηταναρχικ α Hermann Weyl αρµον ιη αφαν η φανερ η κρε ιττων Ηρ ακλειτο Κεφ αλαιο5 Συµµετρ ιε -Θε ωρηµατη Noether κ ατιε ιναισυµµετρικ οαν δρ ωντα π ανωτουµεκ αποιοτρ οπο αυτ οπαραµ ενει οπω ηταναρχικ α Hermann Weyl αρµον ιη αφαν η φανερ η κρε ιττων Ηρ ακλειτο 5.1 Εισαγωγικ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο1. Αρχ ηελ αχιστη ρ αση. 1.1 Εισαγωγικ ε παρατηρ ησει

Κεφ αλαιο1. Αρχ ηελ αχιστη ρ αση. 1.1 Εισαγωγικ ε παρατηρ ησει Κεφ αλαιο1 Αρχ ηελ αχιστη ρ αση Οδικ ο µα κ οσµο ε ιναιοκαλ υτερο απ ο ολου του δυνατο υ κ οσµου. Gottfried Wilhelm Leibniz 1.1 Εισαγωγικ ε παρατηρ ησει Ηνευτ ωνειαµηχανικ η,τοπνευµατικ οδηµιο υργηµατουισα

Διαβάστε περισσότερα

7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο

7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο Κεφ αλαιο 7 Παραδε ιγµατα Λαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων Σκο υπες σκουπ ακια ρουφηχτ ηρια φτερ α τιναχτ ηρια ξεσκον οπανα κουρελ οπανα κλ οουν θ ορυ οι και τρ οποι ακρο ατες, µαστ ιγιο π εφτουν οι κιν ησεις

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικ οσ προσδιορισµ οσ τησ θεµελει ωδουσ ταλ αντωσησ µι ασ αλυσ ιδασ

Προσεγγιστικ οσ προσδιορισµ οσ τησ θεµελει ωδουσ ταλ αντωσησ µι ασ αλυσ ιδασ Το πηλ ικο Rayleigh O Rayleigh το 187 τη εποχ η που ερευνο υσε τις ιδι οτητες των ηχητικ ων κυµ ατων ανεκ αλυψε µ ια ιδι οτητα των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων και ταλαντ ωσεων που εχει ιδια ιτερη σηµασ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο4. Απ οτηνaρχ ητουd Alembert στηνaρχ ητη Ισοδυναµ ια. 4.1 Απ οτηδυναµικ ηστηστατικ η

Κεφ αλαιο4. Απ οτηνaρχ ητουd Alembert στηνaρχ ητη Ισοδυναµ ια. 4.1 Απ οτηδυναµικ ηστηστατικ η Κεφ αλαιο4 Απ οτηνaρχ ητουd Alembert στηνaρχ ητη Ισοδυναµ ια Ανστοµν ηµασα χαρ αξουνκ ατισαναυτ ο, τα εχετεπ αειπερ ιφηµα. Richard Feynman Σχ ηµα4.1:τοσχ εδιοαυτ οε ιναιχαραγµ ενοστοµν ηµατουφλαµανδο υµηχανικο

Διαβάστε περισσότερα

Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz Κεφ αλαιο 1 Αρχ η Ελ αχιστης ρ ασης Ο δικ ος µας κ οσµος ε ιναι ο καλ υτερος απ ο ολους τους δυνατο υς κ οσµους. Gottfried Wilhelm Leibniz 1.1 Εισαγωγικ ες παρατηρ ησεις Η νευτ ωνεια µηχανικ η, το πνευµατικ

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολυπολικ η αν απτυξη του βαρυτικο υ δυναµικο υ

1 Πολυπολικ η αν απτυξη του βαρυτικο υ δυναµικο υ Πολ υπολα και το σχ ηµα της Γης Π. Ιω αννου & Θ. Αποστολ ατου Πολυπολικ η αν απτυξη του βαρυτικο υ δυναµικο υ Ε ιδαµε οτι το βαρυτικ ο δυναµικ ο πουπροκαλε ιται απ ο µ ια σφαιρικ η κατανοµ η µ αζας οτι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 6 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος

Κεφ αλαιο 6 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος Κεφ αλαιο 6 Στροφ ες Ειδικ η Θεωρ ια της Σχετικ οτητας Στο εξ ης ο χ ωρος και ο χρ ονος ως ανεξ αρτητες εννοιες ε ιναι καταδικασµ ενοι να σ ησουν, καταντ ωντας απλ ες σκι ες, και µ ονο ενα ε ιδος συν ενωσ

Διαβάστε περισσότερα

12:00 12:05 12:00 12:03

12:00 12:05 12:00 12:03 Εξετ ασεις στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας Ιο υνιος 4 Θ εµα : (α) Γρ αψτε υπ ο µορφ η π ινακα το µετασχηµατισµ ο oretz που συνδ εει τις χωροχρονικ ες συντεταγµ ενες δ υο συστηµ ατων που κινο υνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο7. Παραδε ιγµαταλαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων. 7.1 Ισ οτροπο καιανισ οτροπο αρµονικ ο ταλαντωτ η σε2διαστ ασει

Κεφ αλαιο7. Παραδε ιγµαταλαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων. 7.1 Ισ οτροπο καιανισ οτροπο αρµονικ ο ταλαντωτ η σε2διαστ ασει Κεφ αλαιο7 Παραδε ιγµαταλαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων Σκο υπε σκουπ ακια ρουφηχτ ηριαφτερ ατιναχτ ηρια ξεσκον οπανακουρελ οπανακλ οουν θ ορυ οικαιτρ οποιακρο ατε, µαστ ιγιοπ εφτουνοικιν ησει π ανωστηνκατοικ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο10. ΟΧ ωρο τωνφ ασεων Εισαγωγ η

Κεφ αλαιο10. ΟΧ ωρο τωνφ ασεων Εισαγωγ η Κεφ αλαιο10 ΟΧ ωρο τωνφ ασεων Πολ υπαρ αξενη,ε ιπε,ε ιναιηεικ οναπουµου παρουσι αζει καιοιδεσµ ωτε σουπαρ αξενοι. Οµοιοιµεµα ε ιναι,ε ιπαεγ ω καιπρ ωτα-πρ ωτα,πιστε υει πω τ ετοιοιδεσµ ωτε, εκτ ο τουεαυτο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣ ΜΟ Ι ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ 1 / 8 SCALE IC TRA CK ΕΛ. Μ. Ε

ΚΑΝΟΝΙΣ ΜΟ Ι ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ 1 / 8 SCALE IC TRA CK ΕΛ. Μ. Ε ΚΑΝΟΝΙΣ ΜΟ Ι ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ 1 / 8 SCALE IC TRA CK ΕΛ. Μ. Ε. 2 0 1 9 Κλ ά δο ς θερ µ ι κώ ν τη λ εκα τ ευθυ νό µ εν ω ν α υ το κι νή τω ν. Υπ εύ θυνο ς Κ λ ά δ ο υ Ζωτιαδης Κωστας bo d @ e l - m e. gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 3. Αν αλυση µετρ ησεων και αποτελ εσµατα. 3.1 Μ εθοδος αν αλυσης δεδοµ ενων

Κεφ αλαιο 3. Αν αλυση µετρ ησεων και αποτελ εσµατα. 3.1 Μ εθοδος αν αλυσης δεδοµ ενων Κεφ αλαιο 3 Αν αλυση µετρ ησεων και αποτελ εσµατα 3.1 Μ εθοδος αν αλυσης δεδοµ ενων Για τον προσδιορισµ ο των ενεργ ων διατοµ ων απ ο τις µετρ ησεις στη Στουτγ αρδη αναλ υθηκαν τα φ ασµατα εκε ινα, τα

Διαβάστε περισσότερα

που δεν περιγρ αφεται οµως οπως προηγουµ ενως ως ενα απλ ο ηµ ιτονο, αλλ α ως ενα αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων. Παρ αδειγµα: Εστω:

που δεν περιγρ αφεται οµως οπως προηγουµ ενως ως ενα απλ ο ηµ ιτονο, αλλ α ως ενα αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων. Παρ αδειγµα: Εστω: Αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων Η σχ εση "! # &%"' δηλ ωνει οτι οταν προσθ ετουµε ηµιτονοειδ η σ ηµατα που σχετ ιζονται αρµονικ α, δηλ. που περι εχουν συχν οτητες οι οπο ιες ε ιναι ακ εραια πολλαπλ ασια µιας

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο6. Στροφ ε &Ειδικ ηθεωρ ιατη Σχετικ οτητα. 6.1 Απειροστ ε στροφ ε διαν υσµατο

Κεφ αλαιο6. Στροφ ε &Ειδικ ηθεωρ ιατη Σχετικ οτητα. 6.1 Απειροστ ε στροφ ε διαν υσµατο Κεφ αλαιο6 Στροφ ε &Ειδικ ηθεωρ ιατη Σχετικ οτητα Στοεξ η οχ ωρο καιοχρ ονο ω ανεξ αρτητε εννοιε ε ιναικαταδικασµ ενοινασ ησουν, καταντ ωντα απλ ε σκι ε, καιµ ονο εναε ιδο συν ενωσ η του θασυνεχ ισει να

Διαβάστε περισσότερα

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

Tη λ.: +30 (210) Fax: +30 (210)

Tη λ.: +30 (210) Fax: +30 (210) ΕΠΕΝ ΥΣΗ ΣΙ Λ Ο ΠΟ Ρ Τ ΣΑΪ Α.Ε. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑ Τ Α ΣΤ Α ΣΕΙΣ Γ ΙΑ Τ Η Ν Π Ρ Ω Τ Η Π ΕΡ ΙΟ Ο Α ΝΑ Β ΙΩ ΣΗ Σ Π ΟΥ ΕΛ Η Ξ Ε Τ Η Ν 31.12.005 30.11.2005 έ ω ς 31.12.2005 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Έ κ θ η γ χ ο υ Ο ρ κ ω

Διαβάστε περισσότερα

11. 3. 1987, σ. 11).»

11. 3. 1987, σ. 11).» L 201/88 EL Ο ΗΓΙΑ 98/50/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 29η Ιουν ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 77/187/ΕΟΚ περ ι προσεγγ ισεω των νοµοθεσι ων των κρατ ων µελ ων, σχετικ ων µε τη διατ ηρηση των δικαιωµ

Διαβάστε περισσότερα

20/5/ /5/ /5/ /5/2005

20/5/ /5/ /5/ /5/2005 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠ ΙΧ ΕΙΡΗ ΣΕΙΣ FINDA Α.Ε. ΥΠΟ Ε Κ Κ Α Θ Α Ρ Ι Σ Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑ Τ Α ΣΤ Α ΣΕΙΣ Γ ΙΑ Τ Η Ν Χ Ρ Η ΣΗ Π ΟΥ ΕΛ Η Ξ Ε Τ Η Ν 19.5.2006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Έ κ θ εσ η Eλέ γ χ ο υ Ε λεγ κ τ ώ ν 3 Κ α τ ά

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν Ε ρ μ ο ύ π ο λ η, 0 9 Μ α ρ τ ί ο υ 2 0 1 2 Π ρ ο ς : Π ε ρ ιφ ε ρ ε ι ά ρ χ η Ν ο τ ίο υ Α ιγ α ί ο υ Α ρ ι θ. Π ρ ω τ. 3 4 2 2 κ. Ι ω ά ν ν η Μ α χ α ι ρ ί δ η F a x : 2 1 0 4 1 0 4 4 4 3 2, 2 2 8 1

Διαβάστε περισσότερα

[ ` + = [ + + q τροχι ας ε ιναι: \ / : : 98< D "!$# ) + 3.W/X 1G &% ' & 98 + &Z W /0 98< \> /0 98< [ & 98 W + / : : 98 + \ / : : 98 / : : 98 $]^ ε αφο

[ ` + = [ + + q τροχι ας ε ιναι: \ / : : 98< D !$# ) + 3.W/X 1G &% ' & 98 + &Z W /0 98< \> /0 98< [ & 98 W + / : : 98 + \ / : : 98 / : : 98 $]^ ε αφο Κεντρικ α πεδ ια στα οπο ια ολες οι φραγ ενες τροχι ες ε ιναι και περιοδικ ες παραλλαγ η της απ οδειξης του Arnod σ. 3) Καθ ως ενα σωατ ιδιο οναδια ιας αζας κινε ιται σε ενα κεντρικ ο δυναικ ο η γων ια

Διαβάστε περισσότερα

L 217/18 EL Ο ΗΓΙΑ 98/48/ΕΚ ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΙ ΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 20 η Ιουλ ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 98/34/ΕΚ για την καθι ερωση µια διαδικασ ια πληροφ ορηση στον τοµ εα των

Διαβάστε περισσότερα

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 20. 1. 98 EL Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 Ο ΗΓΙΑ 97/81/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 15η εκεµβρ ιου 1997 σχετικ α µε τη συµφων ια-πλα ισιο για την εργασ ια µερικ η απασχ οληση που συν

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV

15SYMV η η ο ατ α Νο ττ ο η ο α ου αγ η Ταχ. Δ/ ση: ωφ. ω / ου α α α ή 18 Ταχ. α : 166 73, Βο α ο α: 28-1-2015 A. Π ωτ.: 3258 Α Α Η : 5.416.68..Α. 23% : 1.245.84 Ο Ο : 6.662.52 Ω Η Ο Α : «Ο Η Α Ω Α Ο Η Α Α Ο

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV

15SYMV INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 0.0. :6:0 EET Reason: Location: Athens ΑΔΑ: 76ΨΧ0Α-Ω0Ν Ο ΡΑ Α ΧΟ Α Ω Ο Ρ Ω Α ΑΡ Α Ο Α Ο Α Ο ΡΩΟ Ω Α Α Ο ια α οχή

Διαβάστε περισσότερα

C 104 τη ). 1997, σ. 40).

C 104 τη ). 1997, σ. 40). 1. 8. 98 EL Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 215/65 Ο ΗΓΙΑ 98/55/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 17η Ιουλ ιου 1998 για τροποπο ιηση τη οδηγ ια 93/75/ΕΟΚ για τι ελ αχιστε προδιαγραφ ε που απαιτο

Διαβάστε περισσότερα

d u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e

d u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e Ρ ΤΟ Θ ΜΑ Μ. Α ΑΠΟ ε ΞεΤε ΤΙ ΑΝΑΓΚΑ Α ΚΑΙ ΙΚΑΝ ΣΥΝΘ ΚΗ ΣΤε ΝΑ Ι ΝΥΣΜΑ u t 0 ΝΑ ΠΑΡΑΜ ΝεΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ΜΙΑ ε ΟΜ ΝΗ ευθε Α ε ΝΑΙ u t u 0 Π ειξη Α ΑΠΟ ε ΞΟΥΜε ΤΟ ΙΚΑΝ ΗΛΑ ΑΝ ε ΝΑΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ε ΟΜ ΝΗ ευθε

Διαβάστε περισσότερα

613/97 ( 2 ) 2078/92,

613/97 ( 2 ) 2078/92, EL Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 212/23 ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 1678/98 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ τη 29η Ιουλ ιου 1998 για την τροποπο ιηση του κανονισµο υ (ΕΟΚ) αριθ. 3887/92 για τι λεπτοµ ερειε

Διαβάστε περισσότερα

Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Ο

Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Ο 3ω η Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Ο 9/5/2014 Ο Α Α Α ιο οιώ ας α α α ά ω α αθέ α α οσ αθήσ α α α ήσ σ α ω ή α α ο α ο ο θού : Ο Α Ο Α Α «Π ι ὸ Τὲ ὑ ὑ ῖ ὑ ὶ ὰ Τ Τ ὶ ὺ Τ» (DK 14.7) Α «ὴ ὑ ὶ ὺ Τ ὑ Τ Τ ὑ Τῆ ῖ

Διαβάστε περισσότερα

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x, α), f(x, α) = x(1 x) α. f(x e, α) = 0

ẋ = f(x, α), f(x, α) = x(1 x) α. f(x e, α) = 0 1.9.8.7.6 x e (a.5.4.3.2.1.5.1.15.2.25.3.35 Σχ ηµα1:τασηµε ιαισορροπ ια τη λογιστικ η εξ ισωση µερυθµ οαλ ιευση ασυναρτ ησειτουρυθµο υ αλ ιευση α.για α < 1/4υπ αρχουνδ υοσηµε ιαισορροπ ια τοπ ανωσταθερ

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Π ρ ο µ ο ί ω Μ η χ α ν ο ί Ε λ έ γ χ ο υ τ ο υ Χ ρ ό ν ο υ Φάσεις σο ση ς ισµ ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Φάσεις τ η ς π ρ ο σο µ ο ί ω ση ς i. Κατασκευή το υ µ ο ν τέ λ ο υ π ρ ο

Διαβάστε περισσότερα

ι λ γεται τετραγωνικη ρ ζα εν Θετικ αριθμ α και πι υμβ λ ζεται αυτη και τραιτεζι με ΔΓ Δ ην πλευρ ΔΓ

ι λ γεται τετραγωνικη ρ ζα εν Θετικ αριθμ α και πι υμβ λ ζεται αυτη και τραιτεζι με ΔΓ Δ ην πλευρ ΔΓ ι λ γεται τετραγωνικ ρ ζα εν Θετικ αριθμ α και πι υμβ λ ζεται αυτ Ποι αριθμ νομ ζεται ρρτ Πι ρ ζ νται ι πραγματικ αριθμ Θ ια ι λ γεται μ τ ν μια ξε α γων α ω ε ρθ γων υτριγι ν υ ι Μγεται εφαπτ μι μια οξε

Διαβάστε περισσότερα

Π αμμα Π α ον Ε παί υ «χ, χ χ ο ν» 4 ο Γυμν ο Κο ν

Π αμμα Π α ον Ε παί υ «χ, χ χ ο ν» 4 ο Γυμν ο Κο ν Π αμμα Π α ον Ε παί υ «χ, χ χ ο ν» 4 ο Γυμν ο Κο ν Μα /Μα σ Θ σσ ώ Θ σ ς ς Θ ώ ς ς σ ς ς σ σ - σ ς σ ς ς ς σ σ ς σ σ ς ς σ ώ Χ Χ σ ώ ς ς Χ σ ς π υν α Ε υ ία Παπα Κυ α Κου ί ου Μα ία Μ ου Κα ίνα Μπα ο νν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ. Χρ ηστος Παπαχρ ηστου Επι λ επουσα καθηγ ητρια: Φωτειν η-νι ο η Παυλ ιδου

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ. Χρ ηστος Παπαχρ ηστου Επι λ επουσα καθηγ ητρια: Φωτειν η-νι ο η Παυλ ιδου ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Χρ ηστος Παπαχρ ηστου Επι λ επουσα καθηγ ητρια: Φωτειν η-νι ο η Παυλ ιδου Αριστοτ ελειο Πανεπιστ ηµιο Θεσσαλον ικης Τµ ηµα Ηλεκτρολ ογων Μηχανικ ων

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς 9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Υ Π Α Γ Ι Α Τ Η Β Υ Ρ Ω Ν Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ι Ε Κ Μ Ε Τ Α Λ Ε Υ Ε Ε Ω Ν ΚΑ Ι Ο Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ε Α Π Ο Τ Ε Λ Ε Ε Μ Α Τ Α Χ Ρ Η Ε Ε Ω Ε

Τ Ο Υ Π Α Γ Ι Α Τ Η Β Υ Ρ Ω Ν Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ι Ε Κ Μ Ε Τ Α Λ Ε Υ Ε Ε Ω Ν ΚΑ Ι Ο Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ε Α Π Ο Τ Ε Λ Ε Ε Μ Α Τ Α Χ Ρ Η Ε Ε Ω Ε Τ. Ε. I. E X ΟΛΗ: Τ Μ Η Μ Α : ΚΑΒΑΛΑΕ α ί Ο Ι Κ Η Ε Η Ε & Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Ε Λ Ο Γ Ι Ε Τ Ι Κ Η Ε Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Η Εί= ΓΑΕΙΑ Τ Ο Υ Π Α Γ Ι Α Τ Η Β Υ Ρ Ω Ν Θ Ε Μ Α Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ι Ε Κ Μ Ε Τ Α Λ Ε Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΔΑ:Β43046ΨΖ2Ν-Φ7Ο ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ Αθήνα, 19/10/2012 ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµ εν α. Εισαγω γή. Επ ισκόπ ηση υπ ο βο λής φακέλω ν (IUCLID 5) Επ ισκόπ ηση υπ ο βο λής φακέλω ν (Reach-IT) Ερω τήσεις καιαπ αν τήσεις

Περιεχόµ εν α. Εισαγω γή. Επ ισκόπ ηση υπ ο βο λής φακέλω ν (IUCLID 5) Επ ισκόπ ηση υπ ο βο λής φακέλω ν (Reach-IT) Ερω τήσεις καιαπ αν τήσεις Περιεχόµ εν α Εισαγω γή Επ ισκόπ ηση υπ ο βο λής φακέλω ν (IUCLID 5) Επ ισκόπ ηση υπ ο βο λής φακέλω ν (Reach-IT) Ερω τήσεις καιαπ αν τήσεις Συµ π εράσµ ατα καιµ ελλο ν τικά διαδικτυακά σεµ ιν άρια http://echa.europa.eu

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Σχολ η Εφαρµοσµ ενων Μαθηµατικ ων και Φυσικ ων Επιστηµ ων Μετρ ησεις ενεργ ων διατοµ ων πυρηνικ ων αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης των ισοτ οπων του Στροντ ιου µε σηµασ

Διαβάστε περισσότερα

14SYMV

14SYMV Α Η Α Η Η ΙΩ ο ο ι ό έ α ο ς α ι ής Α ι ής σή α 07/09/2013 α ύ ά θι σ βα ο έ ώ : 14SYMV002269652 2014-09-03 Aφ ός ο ή ο α ι ής, ο ο οίος ύ ι σ ο αύ ιο, ο ός ο ο ιώ α. 1.. 19500, ό ς οσ ί αι ό ι α ια ο

Διαβάστε περισσότερα

15PROC

15PROC Η Ι Η Η Α ΙΑ Α Α Η Α ΙΑ Ι Ω Α ιθ.. 1456 Η Α Η Α Α σό 09 02 2015 / Η Ι Ω Η ΙΩ, ΙΑ & Ι Α Η Α Ι Ω Η ΙΩ INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 2015.02.10 11:22:02

Διαβάστε περισσότερα

15PROC

15PROC Δ Ω Δ Δ - Δ Ω Δ Ω & Δ INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 2015.02.09 10:47:54 EET Reason: Location: Athens Ε Δ Δ. Δ/.. Δ/ / π : : : : : :. 11 546 55,

Διαβάστε περισσότερα

Tηλ.: +30 (210) Fax: +30 (210)

Tηλ.: +30 (210) Fax: +30 (210) ΕΤΗΣΙΑ Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΚ Η ΕΚ Θ ΕΣΗ ΤΗΣ Χ Ρ ΗΣΕΩ Σ Π Ο Υ ΕΛ ΗΞ Ε ΤΗΝ 31 η ΕΚ ΕΜ Β Ρ ΙΟ Υ 2009 ΤΗΣ Ν ΑΥ ΤΙΚ ΗΣ ΕΤΑΙΡ ΕΙΑΣ «ΝΑΥΣΙΚΑ» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ε Κ Θ Ε ΣΗ Τ Ο Υ Ι Ο Ι Κ Η Τ Ι Κ Ο Υ ΣΥ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Υ Π Ρ

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία

15SYMV Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία Α Α Α Η Α Ω 15SYMV002528982 2015-01-16 Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία Α Η α οχής η σιώ σ ίασης catering σ ο αίσιο ι έ ιας ω άσ ω ισ ο οίησης Α χι ής α α ι ής α ά ισης α οφοί ω... ης ιό ο έα ία

Διαβάστε περισσότερα

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ ι ε α τ Τ εγνα α α ετ κ λε τ υργικ ο τημα Η οτ ρ α τ υ αρ Γ ζε τ τη Φ λα δ α απ τ α φ ιτητ τ υ Πα ετ τημ υ τ υ λ νκ ξεκ νη ε αν μ α τ ρ τ Θε α να δημ υργηθε ακαλ τερ Ενα τ υ αμτ ρε ααντατ κρ ετα καλ τερα

Διαβάστε περισσότερα

EL L 184/41 Αρθρο 2 1. Τα κρ ατη µ ελη θεσπ ιζουν τι αναγκα ιε νοµοθετικ ε, κανονιστικ ε και διοικητικ ε διατ αξει για να συµµορφωθο υν µε την παρο υσ

EL L 184/41 Αρθρο 2 1. Τα κρ ατη µ ελη θεσπ ιζουν τι αναγκα ιε νοµοθετικ ε, κανονιστικ ε και διοικητικ ε διατ αξει για να συµµορφωθο υν µε την παρο υσ L 184/40 EL Ο ΗΓΙΑ 98/42/ΕΚ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ τη 19η Ιουν ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 95/21/ΕΚ του Συµβουλ ιου για την επιβολ η, σχετικ α µε την ναυσιπλοι α που συνεπ αγεται χρ ηση κοινοτικ ων

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV

15SYMV Α Η Ο Α Ω ι ύθ ση: Οι ο ο ι ού ή α: ο ηθ ιώ Α ιθ. βάσ ως : 44/2014 Α Η ια α ο ή σιώ ια α ο ή έ α ισ ασ ι ώ ασιώ ο ί ι ια ώ α ασ άσ ο α ισ ίο ι αιώς Χ ό ος α ά ισης ης σύ βασης :22 β ίο 2014 ό ος : ι ό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΕΤ49-Ψ4Χ. αθ ός Ασφα ίας:. α ούσι, PROC έφ ο : , α :

ΑΔΑ: ΒΕΤ49-Ψ4Χ. αθ ός Ασφα ίας:. α ούσι, PROC έφ ο : , α : Α Α Α Α Α Α Ω Α Α / Ω ΑΪ Ω Α Ω Α Ω Α Ω Ω Ω Ω Ω Α Α Α. α α έο α ούσι οφο ί ς:. ό ς, Α. Α ι ιώ ς έφ ο : 210 3443427, 2103443252 α : 210 3443127 e-mail: t13pxg2@minedu.gov.gr α ια θ ί έ ι:. αθ ός Ασφα ίας:.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28 Ι Ο Α ΡΑ Α ΡΑ Α Ο ΑΤΟ. Ε ΡΟ Ο ΙΟ ΑΡΑ Ε ΤΙΟ ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 ΡΑ Α 2 5 1 Ο ΑΤΟ 1 2 2 Α AM Α ΙΟ 1 1 1 ΑΤ Ε ΡΟ Ο ΙΟ 1 2 1 ΑΡΑ Ε ΤΙΟ 1 1 2 Ι Η ΟΡΟ 1 1 1 ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 2 2 ΙΤΑΓΡ 1 1 9 15 Ε ΡΟ Α Ε Α ΡΟ Ο Η Ο ΙΟ Ι ΟΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για την αποστολή στοιχείων απλήρωτων υποχρεώσεων & ληξιπρόθεσµων οφειλών του Προγράµµατος ηµοσίων Επενδύσεων

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για την αποστολή στοιχείων απλήρωτων υποχρεώσεων & ληξιπρόθεσµων οφειλών του Προγράµµατος ηµοσίων Επενδύσεων Αθήνα, 27/11/2012 Αρ.Πρ:50858/ Ε6152 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟ ΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ & ΙΚΤΥΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ - ΕΣΠΑ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

14SYMV

14SYMV Ο ΡΑ Α ΧΟ Α Ω Ο Ρ Ω INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY 14SYMV002435751 2014-11-28 Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 2014.11.28 12:52:37 EET Reason: Location: Athens ΑΔΑ: ΒΧΑΩ46ΨΧ0Α-ΓΞΤ

Διαβάστε περισσότερα

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. --------------

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. -------------- ΕΚΘΕΣΗ Τ Ο Υ Ι Ο Ι ΚΗΤ Ι ΚΟ Υ ΣΥ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Υ Π Ρ Ο Σ Τ ΗΝ Τ Α ΚΤ Ι ΚΗ Γ ΕΝ Ι ΚΗ ΣΥ Ν ΕΛ ΕΥ ΣΗ Τ Ω Ν Μ ΕΤ Ο Χ Ω Ν Kύριοι Μ έ τ οχοι, Σ ύµ φ ω ν α µ ε τ ο Ν όµ ο κ α ι τ ο Κα τ α σ τ α τ ικ ό τ ης ε

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο

Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Α Α. Σ Υ Σ Τ Α Σ Η - Ε Π Ω Ν Υ Μ Ι Α - Ε Δ Ρ Α - Δ Ι Α Ρ Κ Ε Ι Α Β. Μ Ε Λ Η Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ Ο Υ Γ. Ο Ρ Γ Α Ν Α Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η Σ Δ. Π Ο Ρ Ο Ι Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Εκτε εστικής Επιτροπής

Κανονισμός Εκτε εστικής Επιτροπής Κανονισμός Εκτε εστικής Επιτροπής Περιφερειακής Ένωσης Δήμων (Π.Ε.Δ.) Ιονίων Νήσων Περιφερειακή Έν ση Δήμ ν (Π.Ε.Δ.) Ιονί ν Νήσ ν ΠΕΔ ΙΝ Ιανουάριος 2012 2 Περιε όμενα 1 Αντικείμενο 4 2 Σύν εση εκτε εστικής

Διαβάστε περισσότερα

,00-20, ,00-19, ,00-18, ,00-17,00

,00-20, ,00-19, ,00-18, ,00-17,00 Χ ή ο Πά η Ά ια «σ ι ά» ο φί ο ο ή σ «αθ ι ή θ ία» αία ό σ, φ σι ά, ις Πα ε ή ιες Ε ε άσεις. Ή α ια ο ιά, ιαφο ι ή α ό α ές ο ί α σ θήσ ι, αφού έο οι αθ ές ά ο αι σ αθή α α ί ο ας σ ο ές σ ώ ό, α ό α α

Διαβάστε περισσότερα

αναλυτικός απλός 1 Ο αναλυτικός βλέπει τον κόσμο σαν να αποτελείται από πολλά μικρά κομμάτια.

αναλυτικός απλός 1 Ο αναλυτικός βλέπει τον κόσμο σαν να αποτελείται από πολλά μικρά κομμάτια. αναλυτικός απλός 1 Ο αναλυτικός βλέπει τον κόσμο σαν να αποτελείται από πολλά μικρά κομμάτια. Σπάν άνια δέχ εται τα πράγ μα τα όπω πως είνα ναι. Θεω εωρε ρεί ότι όλα πρέπ έπει να τα ανα ναλύ ουμε εξο ξονυ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤ ΑΣΤ ΑΣΕΙΣ Τ Η Σ ΕΤ ΑΙΡ ΙΑΣ ΑΜΠ ΕΡ Α.Ε. Γ ΙΑ Τ Η Χ Ρ Η ΣΗ Π ΟΥ ΕΛ Η Ξ Ε Τ Η Ν 31 η ΕΚΕΜΒ Ρ ΙΟΥ 2005 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Κ Α Τ Α ΣΤ Α ΣΗ Α Π Ο Τ Ε Λ Ε ΣΜ Α Τ Ω Ν Τ Η Σ Χ Ρ Η ΣΗ Σ Π Ο Υ Ε Λ Η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Στα πλα ισια της παρο υσας διατρι ης µετρ ηθηκαν οι ενεργ ες διατοµ ες αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης στα τρ ια απ οτατ εσσερα σταθερ α ισ οτοπα του Sr

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV

15SYMV Α Η ια ο έ ο «ύ βο ος οσ ή ι ς ιφ ια ού ιασ ού ια οι ι ή σ ά σ ο ά σ ιφέ ια ι ής α ο ίας» (Κω ι ός : 2012 00880179, Κω ι ός Ο...: 390445 : «ύ βο οι χ ι ής οσ ή ι ης ιφέ ιας Κ ι ής Μα ο ίας» οέ ο 5:«ύ βο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ ΤΕΧΝ Οη ΟΓ ΙΚ Ο Ε Κ ΠΟ ΙΔ ΕΥ ΤΙ ΚΟ ΙΔΡΥΜΟ ΚΟΒΟΠΑΕ ΕΧΟΠΗ ΔΙϋΙ ΚΗ ΕΗ Σ ΚΑΙ Ο Ι ΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ηο ΓΙ ΣΤ ΙΚ ΗΣ ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - Καθηγητή ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

σί ς α ο ής ά α ό σ ια ό ιο α ίας ήσ ς φασ -φο, α ο ή αθίσ α ος, α ά ό ι σ βι ίσ α ος σί ς ο α έ ο αι α ό α α ή ιο

σί ς α ο ής ά α ό σ ια ό ιο α ίας ήσ ς φασ -φο, α ο ή αθίσ α ος, α ά ό ι σ βι ίσ α ος σί ς ο α έ ο αι α ό α α ή ιο Α Α Α Α (FRANCHISEE) ο ός ι α ό άθ ια ι ασία έ ι α οσ ο ισ ού α ό ο ι ιο ή ο α ασ ή α ος ισ ύο σα ά ια οι ο ο ής ή αι ό α αθ ώ σή ς, σ ο ό ο ά ισ ο α ό ι έ ά ο αι ο ή αι α ά ι, ο ο ο αφι ό. Α ί αι α ασ

Διαβάστε περισσότερα

20/5/ /5/ /5/ /5/2006

20/5/ /5/ /5/ /5/2006 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠ ΙΧ ΕΙΡΗ ΣΕΙΣ FINDA Α.Ε. ΥΠΟ Ε Κ Κ Α Θ Α Ρ Ι Σ Η ΕΤΗΣΙΕΣ Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΚ ΕΣ Κ Α ΤΑ ΣΤΑ ΣΕΙΣ ΕΚ Κ Α Θ Α Ρ ΙΣΗΣ ΣΥ Μ Φ Ω Ν Α Μ Ε ΤΑ ΙΕΘ Ν Η Λ Ο Γ ΙΣΤΙΚ Α Π Ρ Ο ΤΥ Π Α Χ Ρ ΗΜ Α ΤΟ Ο ΙΚ Ο Ν Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥ ΒΑΣΗ Α ΟΧΗΣ Υ Η ΕΣΙΩ 14SYMV

ΣΥ ΒΑΣΗ Α ΟΧΗΣ Υ Η ΕΣΙΩ 14SYMV ΣΥ ΒΑΣΗ Α ΟΧΗΣ Υ Η ΕΣΙΩ Αθή α, σή α 1 β ίο 2014, έ α έ α, α ύ αφ ός ς α ά ς ιοι ι ής Α ής ία «ι ο ή ο ίας αι έ ο αι ί....», ο ύ ι σ Αθή α, Α α ώ 17 αι α ία α ο ο ά ο,.. 104 38, αι οσ ί αι ό ι α α ό ο ό

Διαβάστε περισσότερα

14/5/ /12/ /5/ /5/2007

14/5/ /12/ /5/ /5/2007 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠ ΙΧ ΕΙΡΗ ΣΕΙΣ FINDA Α.Ε. ΕΤΗΣΙΕΣ Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΚ ΕΣ Κ Α ΤΑ ΣΤΑ ΣΕΙΣ ΣΥ Μ Φ Ω Ν Α Μ Ε ΤΑ ΙΕΘ Ν Η Π Ρ Ο ΤΥ Π Α Χ Ρ ΗΜ Α ΤΟ Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΚ ΗΣ Π Λ ΗΡ Ο Φ Ο Ρ ΗΣΗΣ ΤΗΣ Χ Ρ ΗΣΗΣ Π Ο Υ ΕΛ ΗΞ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Φ. 12 / 620 / /Γ Ισ : Τη : &

Φ. 12 / 620 / /Γ Ισ :  Τη : & Να δ ι α τ η ρ η θ ε ί µ έ χ ρ ι Β α θ µ ό ς α σ φ α λ ε ί α ς Ο Υ Υ Β Υ Μ Θ Μ Σ Σ Μ Β Μ Β Μ Σ Θ Υ Σ Υ Β Μ Σ κ α ι χ σ η π α ν δ ρ έ ο υ λ η Μ α ρ ο ύ σ ι τ ο σ ε λ ί δ α η ρ ο φ ο ρ ί ε ς π α χ ρ ή σ

Διαβάστε περισσότερα

αι ί Η ι ύ ι αι θέ ι βοήθ ια! αι α ό άς! Η Η Αφού ό οι ί ασ σ ο όσ ο ας, ίς α σ φ ό ασ Ο όσ ο ας!! Η Η 4

αι ί Η ι ύ ι αι θέ ι βοήθ ια! αι α ό άς! Η Η Αφού ό οι ί ασ σ ο όσ ο ας, ίς α σ φ ό ασ Ο όσ ο ας!! Η Η 4 Α Ο αθαί ο ας ισ ή η έσα α ό ο έα ο 3 α ι ή ο ά α 2 ο ασίο αίας ύθ ος αθ ής α ά ς ι ό αος «Α ήθ ια, α ήθ ια ι ύ ι αι θέ ι βοήθ ια» Σ α ή ο βα ιού, σ ία ο σ ι ιού αι σ α α ιά ο Μο φέα αι ί ο ίχ ο ό α α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: ΟΦΕΙΛΕΣ ΕΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟΥ ΣΚΕΛΟΥΣ. Ληξιπρόθεσµες οφειλές (τιµολόγιο>90 ηµερών) Εγκεκριµένη πίστωση. Χωρις κατανοµή πίστωσης

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: ΟΦΕΙΛΕΣ ΕΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟΥ ΣΚΕΛΟΥΣ. Ληξιπρόθεσµες οφειλές (τιµολόγιο>90 ηµερών) Εγκεκριµένη πίστωση. Χωρις κατανοµή πίστωσης ΦΟΡΕΑΣ: Υπουργείο / Αποκεντρωµένη ιοίκηση..... ΕΙ ΙΚΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: Γενική γραµµατεία... / Περιφέρεια..... Αναφορά για το µήνα: Ετος: 2012 ΣΑ έργου (Π Ε) Υποχρεώσεις πιστοποιηµένων εργασιών χωρίς τιµολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Ψ η φ ί σ τ η κ ε α π ό τ η Γ ε ν ι κ ή Σ υ ν έ λ ε υ σ η τ ω ν Μ ε λ ώ ν τ ο υ Σ Ε Π Ε τ η ν 24 η Μ α ΐ ο υ 2003 Δ ι ά τ α ξ η Ύ λ η ς 1. Π

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΜΙΣΘΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ Αριθμ.

Διαβάστε περισσότερα

... Γυ άσιο... Ο ΑΔΑ ΑΘΗΤΩ :

... Γυ άσιο... Ο ΑΔΑ ΑΘΗΤΩ : Κ Ε Ν Σ Ρ Ο Ε Ρ Γ Α Σ Η Ρ Ι Α Κ Ο Ε Π Ι Σ Η Μ Ω Ν αι ί ια ο φ ς... Γυ άσιο... Ο ΑΔΑ ΑΘΗΤΩ : 1... 2... 3... Μου ού Π. 2018-1- Α Ω Η Ω Α: ως αι Ό αση Η ό ασ ί αι ο σ ο αιό ο αισθ ή ιο ό α ο ο α θ ώ ο. ο

Διαβάστε περισσότερα

Θ ΕΜ Α:''Λ Ο ΓΙΣΤΙΚΗ ΤΟΝ Π Α ΓΙΩ Ν ΠΕΡΙΟ ΥΣΙΑΚΟ Ν ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ*

Θ ΕΜ Α:''Λ Ο ΓΙΣΤΙΚΗ ΤΟΝ Π Α ΓΙΩ Ν ΠΕΡΙΟ ΥΣΙΑΚΟ Ν ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ* TEXfstOAOriKO ΕΚ Π ΑΙΔ ΕΥΤ ΙΚΟ ΙΔ ΡΥ Μ Α ΣΧΟ ΛΗ ΔΙΟ ΙΚΗ ΣΗ Σ ΟΙΚΟΝΟΜ ΙΑΣ ΤΜΗΜΑ Λ Ο ΓΙΣ Τ β Ν Θ ΕΜ Α:''Λ Ο ΓΙΣΤΙΚΗ ΤΟΝ Π Α ΓΙΩ Ν ΠΕΡΙΟ ΥΣΙΑΚΟ Ν ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ* του ο π ο υ ^^τή' Α Θ ΑΝΑΣ ΙΟ Υ Λ,ΣΟ ΥΒΑΛΙΩ ΤΗ.!

Διαβάστε περισσότερα

«Π ς το οιητι ά, ς το ια ιστο ία:

«Π ς το οιητι ά, ς το ια ιστο ία: ΜΑ: «Πα ή ιος Μαθη ι ός ια ω ισ ός η ιο ι ής αφής ης ι ής α α ίας σό η ας ω Φύ ω...φ. αι ο ο ίο Παι ίας, Έ ας αι ησ ά ω Π.Π.. «Π ς το οιητι ά, ς το ια ιστο ία: έχ ι φύ ο η α ιά;» Η ι ή α α ία σό ας ύ....

Διαβάστε περισσότερα

ΕΤΗΣΙΕΣ Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΚ ΕΣ Κ Α ΤΑ ΣΤΑ ΣΕΙΣ ΣΥΜ Φ Ω Ν Α Μ Ε ΤΑ ΙΕΘ Ν Η ΠΡ Ο ΤΥΠΑ Χ Ρ ΗΜ Α ΤΟ Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΚ ΗΣ ΠΛ ΗΡ Ο Φ Ο Ρ ΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΤΑ ΙΡ ΙΑ Σ ΑΜΠΕΡ Α.Ε. ΤΗΣ 31 ης ΕΚ ΕΜ Β Ρ ΙΟ Υ 2006 ΠΕΡ ΙΕΧ Ο Μ ΕΝ

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV

15SYMV Ο ΡΑ Α ΧΟ Α Ω Ο Ρ Ω INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 2015.01.14 11:44:19 EET Reason: Location: Athens ΑΔΑ: 71ΞΠ46ΨΧ0Α-905 Α ΑΡ Α Ο Α Ο Ω Α Α ια η

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων

4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων Κεφ αλαιο 4 Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση µε τα πειραµατικ α αποτελ εσµατα 4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων Οπως αποδε ιχθηκε στην παρ αγραφο 1.5, ηενεργ ος διατοµ

Διαβάστε περισσότερα

Ε α ο Σ στ α Κο ω ς Ασφά ε ας- Ε Σ στ α Κο ω ς Ασφά σ ς φά αιο Α Α ές αι ό α α ο ιαίο σ ή α ος οι ι ής Ασφά ιας... 3 Ά θ ο ιώ ις α ές ο ιαίο σ ή α ος οι ι ής Ασφά ιας... 3 Ά θ ο θ ι ό βού ιο οι ι ής Ασφά

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ

Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ Κ Ω Δ Ι Κ Α Σ Δ Ε Ο Ν Τ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ Ψ η φ ί σ τ η κ ε α π ό τ η Γ ε ν ι κ ή Σ υ ν έ λ ε υ σ η τ ω ν Μ ε λ ώ ν τ ο υ Σ Ε Π Ε τ η ν 1 9 η Ο κ τ ω β ρ ί ο υ 1 9 9 6 Π ρ ό λ ο γ ο ς Τ ο π ρ ώ τ ο α ι ρ ε

Διαβάστε περισσότερα

1. Α Α α) ια ι ασ α ία ς Α ι ής ώσσας ως άθη α ι ής αι ίας α ά ο σ ο ι ό έ ος ο ί ο αι α α α ά ι α ι ά ι ί ια: Η Η Α Α ά η: «Α Α Α Α Α Η ο» Α Α

1. Α Α α) ια ι ασ α ία ς Α ι ής ώσσας ως άθη α ι ής αι ίας α ά ο σ ο ι ό έ ος ο ί ο αι α α α ά ι α ι ά ι ί ια: Η Η Α Α ά η: «Α Α Α Α Α Η ο» Α Α 1. Α Α α) ια ι ασ α ία ς Α ι ής ώσσας ως άθη α ι ής αι ίας α ά ο σ ο ι ό έ ος 2017- ο ί ο αι α α α ά ι α ι ά ι ί ια: Η Η Α Α ά η: «Α Α Α Α Α Η ο» Α Α Α Η. Α Α Ο Α, Ο Η. Α Α. -0002), ά η: «Α Α Α Α Η ο»

Διαβάστε περισσότερα

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores)

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores) INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ Α ΚΤΥΟ Date: 2015.08.04 15:53:37 EEST Reason: Location: Athens ΑΔΑ: ΩΛ0Π465Θ1Ω-ΣΓΛ Ε Η Η Η Α Α ΓΕ Ε ΓΑ Α,

Διαβάστε περισσότερα