Planárne a rovinné grafy

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Planárne a rovinné grafy"

Transcript

1 Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf.

2 Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Príklad Dve nakreslenia grafu K 4 : Nakreslenie vľavo je planárne, ale nie rovinné.

3 História - rekreačná matematika, problém štyroch farieb (19. stor.)

4 História - rekreačná matematika, problém štyroch farieb (19. stor.) Problém piatich kráľovstiev (A.F. Möbius, 1840) Istý kráľ mal 5 synov; podľa jeho vôle mali synovia po jeho smrti rozdeliť kráľovstvo na 5 častí tak, aby každá časť mala spoločnú hranicu so všetkými ostatnými časťami (pozn. hranica nesmie pozostávať z "jediného bodu"). Je to možné?

5 História - rekreačná matematika, problém štyroch farieb (19. stor.) Problém piatich kráľovstiev (A.F. Möbius, 1840) Istý kráľ mal 5 synov; podľa jeho vôle mali synovia po jeho smrti rozdeliť kráľovstvo na 5 častí tak, aby každá časť mala spoločnú hranicu so všetkými ostatnými časťami (pozn. hranica nesmie pozostávať z "jediného bodu"). Je to možné? Problém služieb (utility problem, H. Dudeney, 1913) Do troch rôznych domov treba zaviesť elektrinu, plyn a vodu z troch výrobní tak, aby sa jednotlivé vedenia nekrížili. Je to možné?

6 História - rekreačná matematika, problém štyroch farieb (19. stor.) Problém piatich kráľovstiev (A.F. Möbius, 1840) Istý kráľ mal 5 synov; podľa jeho vôle mali synovia po jeho smrti rozdeliť kráľovstvo na 5 častí tak, aby každá časť mala spoločnú hranicu so všetkými ostatnými časťami (pozn. hranica nesmie pozostávať z "jediného bodu"). Je to možné? Problém služieb (utility problem, H. Dudeney, 1913) Do troch rôznych domov treba zaviesť elektrinu, plyn a vodu z troch výrobní tak, aby sa jednotlivé vedenia nekrížili. Je to možné? Problém štyroch farieb (F. Guthrie, 1852) Je možné štáty každej politickej mapy zafarbiť pomocou najviac štyroch farieb tak, aby žiadne dva štáty so spoločnou hranicou nemali tú istú farbu?

7 Z geometrického hľadiska je rovinný graf G nejaká množina bodov roviny (tvorená jednoduchými krivkami, ktoré majú spoločné koncové body). Množina R 2 \ G potom pozostáva z niekoľkých súvislých otvorených množín, ktoré sa nazývajú steny. Z nich je práve jedna neohraničená; táto sa nazýva vonkajšia stena G, ostatné steny sú vnútorné steny. Množinu všetkých stien G označujeme F (G).

8 Z geometrického hľadiska je rovinný graf G nejaká množina bodov roviny (tvorená jednoduchými krivkami, ktoré majú spoločné koncové body). Množina R 2 \ G potom pozostáva z niekoľkých súvislých otvorených množín, ktoré sa nazývajú steny. Z nich je práve jedna neohraničená; táto sa nazýva vonkajšia stena G, ostatné steny sú vnútorné steny. Množinu všetkých stien G označujeme F (G). Pre rovinný graf G možno tiež definovať binárnu reláciu susednosti stien na množine F (G) (dve steny sú susedné, ak majú spoločnú hranu) a binárne relácie incidencie stien s vrcholmi resp. hranami (presná definícia využíva topologický pojem hranice množiny: vrchol resp. hrana incidujú so stenou, ak sú časťou jej hranice).

9 Príklad Stena α inciduje s vrcholmi a, b, c a s hranami ab, bc, ca; stena β inciduje s vrcholmi b, c, d, e a s hranami bc, be, cd, de. Stena γ inciduje so všetkými vrcholmi a so všetkými hranami okrem hrany bc.

10 Definícia Nech G je rovinný graf a α F (G). Stupeň steny α je počet hrán incidentných s α, pričom každý most sa započítava dvakrát.

11 Definícia Nech G je rovinný graf a α F (G). Stupeň steny α je počet hrán incidentných s α, pričom každý most sa započítava dvakrát. Príklad Stena α má stupeň 3, stena β štyri a stena γ 15.

12 Lema Nech G je rovinný graf s m hranami. Potom deg(f) = 2m. f F (G)

13 Lema Nech G je rovinný graf s m hranami. Potom deg(f) = 2m. f F (G) Dôkaz: Ak hrana e rovinného grafu G je most, tak do stupňa incidujúcej steny sa započíta dvakrát. Každá iná hrana rovinného grafu sa započíta raz do stupňa každej z dvoch stien, ktoré s ňou incidujú. Teda celkovo je každá hrana v deg(f) započítaná dvakrát. f F (G)

14 Veta (Euler 1752) Nech G je súvislý rovinný graf s n vrcholmi, m hranami a s stenami. Potom n + s = m + 2.

15 Veta (Euler 1752) Nech G je súvislý rovinný graf s n vrcholmi, m hranami a s stenami. Potom n + s = m + 2. Dôkaz: matematickou indukciou podľa počtu k kružníc grafu.

16 Veta (Euler 1752) Nech G je súvislý rovinný graf s n vrcholmi, m hranami a s stenami. Potom n + s = m + 2. Dôkaz: matematickou indukciou podľa počtu k kružníc grafu. 1 : Ak k = 0, tak graf G je strom (je súvislý a bez kružníc), teda platí m = n 1. Ďalej, každý rovinný diagram G má jedinú stenu

17 Veta (Euler 1752) Nech G je súvislý rovinný graf s n vrcholmi, m hranami a s stenami. Potom n + s = m + 2. Dôkaz: matematickou indukciou podľa počtu k kružníc grafu. 1 : Ak k = 0, tak graf G je strom (je súvislý a bez kružníc), teda platí m = n 1. Ďalej, každý rovinný diagram G má jedinú stenu (to sa dokáže napr. matematickou indukciou podľa počtu vrcholov stromu: tvrdenie zrejme platí pre izolovaný vrchol. Každý väčší strom T obsahuje visiaci vrchol x incidentný s hranou xy; po jeho odobratí získame menší strom T x, ktorý má podľa indukčného predpokladu rovinné nakreslenie. Visiaci vrchol x potom možno pridať späť do "malého" okolia y tak, aby hrana s ním incidentná nepretínala iné hrany).

18 Veta (Euler 1752) Nech G je súvislý rovinný graf s n vrcholmi, m hranami a s stenami. Potom n + s = m + 2. Dôkaz: matematickou indukciou podľa počtu k kružníc grafu. 1 : Ak k = 0, tak graf G je strom (je súvislý a bez kružníc), teda platí m = n 1. Ďalej, každý rovinný diagram G má jedinú stenu (to sa dokáže napr. matematickou indukciou podľa počtu vrcholov stromu: tvrdenie zrejme platí pre izolovaný vrchol. Každý väčší strom T obsahuje visiaci vrchol x incidentný s hranou xy; po jeho odobratí získame menší strom T x, ktorý má podľa indukčného predpokladu rovinné nakreslenie. Visiaci vrchol x potom možno pridať späť do "malého" okolia y tak, aby hrana s ním incidentná nepretínala iné hrany). Teda platí n + s = n + 1 = (n 1) + 2 = m + 2.

19 2 : Nech tvrdenie platí pre všetky súvislé rovinné grafy s menej ako k kružnicami a nech G je súvislý rovinný graf, ktorý má k > 0 kružníc. Potom existuje hrana e patriaca nejakej kružnici v G.

20 2 : Nech tvrdenie platí pre všetky súvislé rovinné grafy s menej ako k kružnicami a nech G je súvislý rovinný graf, ktorý má k > 0 kružníc. Potom existuje hrana e patriaca nejakej kružnici v G. Graf G e je súvislý (odobratie kružnicovej hrany súvislosť nepokazí), rovinný (je podgrafom rovinného grafu G), má n = n vrcholov, m = m 1 hrán a s = s 1 stien (e inciduje s dvoma stenami, ktoré sa po odstránení e spoja do jedinej steny).

21 2 : Nech tvrdenie platí pre všetky súvislé rovinné grafy s menej ako k kružnicami a nech G je súvislý rovinný graf, ktorý má k > 0 kružníc. Potom existuje hrana e patriaca nejakej kružnici v G. Graf G e je súvislý (odobratie kružnicovej hrany súvislosť nepokazí), rovinný (je podgrafom rovinného grafu G), má n = n vrcholov, m = m 1 hrán a s = s 1 stien (e inciduje s dvoma stenami, ktoré sa po odstránení e spoja do jedinej steny). Podľa indukčného predpokladu potom platí n + s = m + 2, z čoho n + (s 1) = (m 1) + 2, teda n + s = m + 2.

22 Dôsledok Graf K 5 nie je planárny.

23 Dôsledok Graf K 5 nie je planárny. Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K 5. Toto nakreslenie má potom 5 vrcholov a 10 hrán, teda má = 7 stien.

24 Dôsledok Graf K 5 nie je planárny. Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K 5. Toto nakreslenie má potom 5 vrcholov a 10 hrán, teda má = 7 stien. Každá stena inciduje s aspoň tromi hranami, preto deg(x) 7 3 = 21. Zároveň však x F (K 5 ) deg(x) = 2 E(K 5 ) = 2 10 = 20, čo je spor. x F (K 5 )

25 Dôsledok Graf K 3,3 nie je planárny.

26 Dôsledok Graf K 3,3 nie je planárny. Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K 3,3. Toto nakreslenie má potom 6 vrcholov a 9 hrán, teda má = 5 stien.

27 Dôsledok Graf K 3,3 nie je planárny. Dôkaz: Sporom - nech existuje rovinné nakreslenie grafu K 3,3. Toto nakreslenie má potom 6 vrcholov a 9 hrán, teda má = 5 stien. Keďže K 3,3 je bipartitný graf, tak neobsahuje kružnice dĺžky 3 a teda každá stena inciduje s aspoň štyrmi hranami; preto deg(x) 5 4 = 20. Zároveň však x F (K 3,3 ) deg(x) = 2 E(K 3,3 ) = 2 9 = 18, čo je spor. x F (K 3,3 )

28 Dôsledok Nech n 3 a nech G je planárny n-vrcholový graf s m hranami. Potom m 3n 6, pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď každá stena G má stupeň 3.

29 Dôsledok Nech n 3 a nech G je planárny n-vrcholový graf s m hranami. Potom m 3n 6, pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď každá stena G má stupeň 3. Dôkaz: stačí dokazovať pre súvislé grafy. Uvažujme rovinné nakreslenie G, ktoré má s stien. Každá stena G inciduje s aspoň tromi hranami, preto deg(f) 3 = 3s. f F (G) f F (G)

30 Dôsledok Nech n 3 a nech G je planárny n-vrcholový graf s m hranami. Potom m 3n 6, pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď každá stena G má stupeň 3. Dôkaz: stačí dokazovať pre súvislé grafy. Uvažujme rovinné nakreslenie G, ktoré má s stien. Každá stena G inciduje s aspoň tromi hranami, preto deg(f) 3 = 3s. Na druhej f F (G) f F (G) strane, deg(x) = 2m, teda platí 2m 3s. Podľa Eulerovej f F (G) vety je n + s = m + 2, teda 3n + 3s = 3m + 6.

31 Dôsledok Nech n 3 a nech G je planárny n-vrcholový graf s m hranami. Potom m 3n 6, pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď každá stena G má stupeň 3. Dôkaz: stačí dokazovať pre súvislé grafy. Uvažujme rovinné nakreslenie G, ktoré má s stien. Každá stena G inciduje s aspoň tromi hranami, preto deg(f) 3 = 3s. Na druhej f F (G) f F (G) strane, deg(x) = 2m, teda platí 2m 3s. Podľa Eulerovej f F (G) vety je n + s = m + 2, teda 3n + 3s = 3m + 6. Z toho vyplýva 3m + 6 3n + 2m, teda m 3n 6. Rovnosť nastáva práve vtedy, keď 2m = 3s, čo je práve vtedy, keď každá stena G má stupeň rovný 3.

32 Dôsledok Každý planárny graf obsahuje vrchol stupňa najviac 5; hranica 5 je najlepšia možná.

33 Dôsledok Každý planárny graf obsahuje vrchol stupňa najviac 5; hranica 5 je najlepšia možná. Dôkaz: Nech G je n-vrcholový planárny graf s m hranami. Potom n δ = δ deg(x) = 2m 2(3n 6) = 6n 12 x V (G) x V (G) teda z čoho vyplýva δ 5. δ 6n 12 n = 6 12 n < 6

34 Dôsledok Každý planárny graf obsahuje vrchol stupňa najviac 5; hranica 5 je najlepšia možná. Dôkaz: Nech G je n-vrcholový planárny graf s m hranami. Potom n δ = δ deg(x) = 2m 2(3n 6) = 6n 12 teda x V (G) x V (G) δ 6n 12 n = 6 12 n < 6 z čoho vyplýva δ 5. Graf pravidelného dvadsaťstena je rovinný a 5-regulárny, teda hranica 5 v tvrdení je najlepšia možná.

35 Dôsledok Existuje práve päť pravidelných mnohostenov: pravidelný štvorsten, kocka, osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten:

36 Dôkaz: Ak je mnohosten M pravidelný, tak jeho graf G(M) je rovinný, p-regulárny a každá stena má stupeň q (pre nejaké p, q).

37 Dôkaz: Ak je mnohosten M pravidelný, tak jeho graf G(M) je rovinný, p-regulárny a každá stena má stupeň q (pre nejaké p, q). Nech G(M) má n vrcholov, m hrán a s stien. Platí 2m = np, 2m = sq. Po vyjadrení n, s a dosadení do Eulerovho vzorca dostávame 2m p + 2m q m = 2 ( 2 m p + 2 ) q 1 = 2

38 Dôkaz: Ak je mnohosten M pravidelný, tak jeho graf G(M) je rovinný, p-regulárny a každá stena má stupeň q (pre nejaké p, q). Nech G(M) má n vrcholov, m hrán a s stien. Platí 2m = np, 2m = sq. Po vyjadrení n, s a dosadení do Eulerovho vzorca dostávame 2m p + 2m q m = 2 ( 2 m p + 2 ) q 1 = 2 Je teda 2 p + 2 q 1, z čoho 1 p + 1 q > 1 2. Teda nemôže súčasne platiť p 4, q 4; z toho dostávame, že (p, q) je niektorá z piatich dvojíc:

39 (3, 3): pravidelný štvorsten (3, 4): kocka (3, 5): pravidelný dvanásťsten (4, 3): pravidelný osemsten (5, 3): pravidelný dvadsaťsten

40 Definícia Graf H je podrozdelením grafu G, ak ho možno získať z G pridaním vrcholov stupňa 2 na hrany G (t.j. nahradením hrán G cestami).

41 Definícia Graf H je podrozdelením grafu G, ak ho možno získať z G pridaním vrcholov stupňa 2 na hrany G (t.j. nahradením hrán G cestami). Príklad Prostredný graf je podrozdelením ľavého, avšak graf napravo nie.

42 Definícia Graf H je podrozdelením grafu G, ak ho možno získať z G pridaním vrcholov stupňa 2 na hrany G (t.j. nahradením hrán G cestami). Príklad Prostredný graf je podrozdelením ľavého, avšak graf napravo nie. Veta (Kuratowski 1930) Graf je planárny práve vtedy, keď neobsahuje ako podgraf podrozdelenie grafu K 5 ani K 3,3.

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Eulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db).

Eulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db). Eulerovské grafy Denícia Nech G = (V, E) je graf. Uzavretý ah v G sa nazýva eulerovská kruºnica, ak obsahuje v²etky hrany G. Otvorený ah obsahujúci v²etky hrany grafu sa nazýva eulerovská cesta. Graf sa

Διαβάστε περισσότερα

4. decembra decembra 2003 Teria grafov 1

4. decembra decembra 2003 Teria grafov 1 4. decembra 2003 19. decembra 2003 Teria grafov 1 9. Teória grafov Definícia. Obyčajný graf G je dvojica (V, E), kde V je množina vrcholov grafu G, E množina hrán grafu G je podmnožinou množiny ( V 2).

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Katolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta TEÓRIA GRAFOV. ( História matematiky referát ) Mária Házyová. M I Nv

Katolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta TEÓRIA GRAFOV. ( História matematiky referát ) Mária Házyová. M I Nv atolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta TEÓRIA GRAFOV ( História matematiky referát ) Mária Házyová 4.ročník M I Nv Teória grafov Teória grafov je časť matematiky, ktorá skúma vlastnosti

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Teória grafov I definícia grafu, základné pojmy, podgraf, cesty a kružnice v grafe, orientované grafy, eulerovský ťah, hamiltonovská kružnica

Teória grafov I definícia grafu, základné pojmy, podgraf, cesty a kružnice v grafe, orientované grafy, eulerovský ťah, hamiltonovská kružnica 0. kapitola Teória grafov I definícia grafu, základné pojmy, podgraf, cesty a kružnice v grafe, orientované grafy, eulerovský ťah, hamiltonovská kružnica 0. Úvodné poznámky Teória grafov ako matematická

Διαβάστε περισσότερα

ARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE

ARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE ARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE Miroslava Konrádová, KAM SjF ŽU, Žilinská univerzita, Žilina Úvod Počiatky samotnej teórie mnohostenov siahajú k počiatkom geometrických úvah vôbec. Pravidelné konvexné

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

1-MAT-220 Algebra februára 2012

1-MAT-220 Algebra februára 2012 1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu. Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem ihlana

Povrch a objem ihlana Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem hranola

Povrch a objem hranola Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore. Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa

Διαβάστε περισσότερα

Automaty a formálne jazyky

Automaty a formálne jazyky Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti 2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY

BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta

Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity

Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMICKÁ TEÓRIA GRAFOV

ALGORITMICKÁ TEÓRIA GRAFOV ŽILINSKÁ UNIVERZITA FAKULTA RIADENIA A INFORMATIKY Stanislav Palúch ALGORITMICKÁ TEÓRIA GRAFOV C C A B A B D D VYDALA ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE, 2008 Tlačová predloha týchto textov bola vytvorená v

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1

3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1 3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík

9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3

1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Matematická logika. Emília Draženská Helena Myšková

Matematická logika. Emília Draženská Helena Myšková Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1

ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2

Διαβάστε περισσότερα

Aproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT

Aproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT R. Královič Aproximačné algoritmy (7. októbra 2010) ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Algoritmy a zložitosť........................... 1 1.2 Lineárne programovanie......................... 1 1.3 Použité vzťahy..............................

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmy teórie grafov

Algoritmy teórie grafov Algoritmy teórie grafov Hľadanie minimálnej kostry grafu Kostra grafu taký strom grafu G = [U, H], pre ktorého podrgaf G = [U, H ] platí U = U a H H (faktor grafu). Kostra grafu každý súvislý graf má kostru.

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO. Pavol Ďuriš. Výpočtová zložitosť

FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO. Pavol Ďuriš. Výpočtová zložitosť FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Pavol Ďuriš Výpočtová zložitosť Máj 2009 Autor: Pavol Ďuriš Názov: Výpočtová zložitosť Vydavateľ: Knižničné a edičné centrum FMFI UK Rok vydania:

Διαβάστε περισσότερα

Logické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.

Logické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Vlastnosti nekonečných slov generovaných pomocou DGSM (diplomová práca)

Vlastnosti nekonečných slov generovaných pomocou DGSM (diplomová práca) Odbor 9.2.1 Informatika Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Vlastnosti nekonečných slov generovaných pomocou DGSM (diplomová práca) Marián Sládek

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

Διαβάστε περισσότερα

11. prednáška ( ) Najkratšie cesty (v grafe)

11. prednáška ( ) Najkratšie cesty (v grafe) 11. prednáška (9.5.2016) Najkratšie cesty (v grafe) 1 Grafy čo už vieme... Umožňujú modelovať relácie medzi objektmi reálneho sveta Skladajú sa z vrcholov a hrán G=(V, E) neorientované grafy (krúžky a

Διαβάστε περισσότερα

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom 0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem zrezaného ihlana

Povrch a objem zrezaného ihlana Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený

Διαβάστε περισσότερα

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju

Διαβάστε περισσότερα

Teória funkcionálneho a logického programovania

Teória funkcionálneho a logického programovania Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A

Διαβάστε περισσότερα

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie. Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,

Διαβάστε περισσότερα

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy

Διαβάστε περισσότερα

Vybrané partie z logiky

Vybrané partie z logiky FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z

Διαβάστε περισσότερα

Vybrané partie z logiky

Vybrané partie z logiky FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky Eduard Toman Bratislava 2005 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky..................................

Διαβάστε περισσότερα

Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011

Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011 Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou

Διαβάστε περισσότερα