1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions"

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions Στην πρώτη διάλεξη που κάναμε για δημοπρασίες, ξεκινήσαμε με την περίπτωση που έχουμε προς πώληση μόνο ένα αγαθό. Έστω τώρα ότι ο δημοπράτης έχει ένα σύνολο από m αγαθά, ας πούμε M = {1, 2,..., m}, που θα θελε να πουλήσει με μια δημοπρασία. Υπάρχει πληθώρα από εφαρμογές με ένα τέτοιο σενάριο, π.χ., τα αγαθά αυτά μπορεί να αντιστοιχούν σε συχνότητες τηλεπικοινωνιών, σε δρομολόγια λεωφορείων, κτλ. Στις δημοπρασίες ενός αγαθού, οι συμμετέχοντες είχαν απλά μια αξία v i για την απόκτηση του αγαθού. Τώρα στην περίπτωση που μελετάμε, θεωρούμε ότι κάθε παίκτης i έχει μια συνάρτηση αποτίμησης (ή συνάρτηση ωφέλειας), η οποία ορίζεται στο δυναμοσύνολο του M, v i : 2 M R. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε υποσύνολο S M, η τιμή v i (S) καθορίζει την αξία/ωφέλεια που έχει το υποσύνολο S για τον παίκτη i, και συνεπώς και τη μέγιστη τιμή που θα ήταν διατεθειμένος να πληρώσει ο παίκτης i αν ο δημοπράτης του έδινε το σύνολο S. Οι συναρτήσεις αυτές είτε μπορεί να δίνονται στον δημοπράτη, αν μπορούν να περιγραφούν με κάποιον εύσχημο τρόπο, είτε μπορεί ο δημοπράτης να τις μαθαίνει (ή να τις προσεγγίζει) μέσα απο ερωτήσεις (queries) προς τους bidders για προσφορές σε συγκεκριμένα υποσύνολα. Δεν θα μας απασχολήσει περαιτέρω εδώ το πώς θα μπορούσε ο δημοπράτης να μάθει τις συναρτήσεις αυτές. Το πρόβλημα που έχει να λύσει ο δημοπράτης σε ένα τόσο πολύπλοκο εκ πρώτης όψεως σενάριο είναι διπλό. Συγκεκριμένα, πρέπει να αποφασίσει πώς θα λύσει τα εξής 2 πρόβλήματα: 1. Ανάθεση αγαθών. Καταρχήν βλέποντας τις συναρτήσεις ωφέλειας των παικτών, θα πρέπει να κάνει μια ανάθεση των αγαθών. Μια ανάθεση είναι μια διαμέριση των αγαθών, έστω S = (S 1, S 2,..., S n ), όπου S i είναι το υποσύνολο που παίρνει ο παίκτης i. Αφού πρόκειται για διαμέριση, θα πρέπει να ισχύει ότι S i S j = (δεν υπάρχουν επικαλύψεις), και i S i = M (ανατίθενται όλα τα αγαθά). 2. Χρέωση. Πρέπει να κοινοποιηθεί σε κάθε παίκτη τι ποσό πρέπει να πληρώσει για τα αγαθά που του ανατίθενται. Με ένα μόνο αγαθό, οι συνήθεις κανόνες είναι είτε η χρέωση 1ης τιμής ή η χρέωση της 2η υψηλότερης προσφοράς. Όταν έχουμε πολλά αγαθά όμως, δεν είναι προφανές τι θα αποτελούσε μια αποτελεσματική πληρωμή για κάθε παίκτη. 1

2 Η δυσκολία που διαφαίνεται στα παραπάνω, καθώς και η ολοένα αυξανόμενη χρήση τέτοιων δημοπρασιών σε ποικίλες εφαρμογές έχουν καταστήσει τις συνδυαστικές δημοπρασίες ένα πολύ ενεργό ερευνητικό πεδίο κυρίως τα τελευταία 15 χρόνια. 2 Ο Μηχανισμός VCG Στη συνέχεια περιγράφουμε έναν φιλαλήθη μηχανισμό που αποτελεί γενίκευση της δημοπρασίας Vickrey για ένα αγαθό. Αναφέρεται συνήθως στην βιβλιογραφία ως VCG προς τιμήν των Vickrey, Clarke, Groves. Η ιδέα είναι ότι όπως ακριβώς στη δημοπρασία 2ης τιμής κάνουμε μια μικρή έκπτωση στον νικητή, έτσι και τώρα πάλι θα προσφέρουμε μια τιμή που είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την ωφέλεια που δηλώνει ο παίκτης για τα αντικείμενα που του ανατίθενται. Για να γίνει αυτό ο μηχανισμός VCG στηρίζεται στην επίλυση του προβλήματος μεγιστοποίησης του κοινωνικού οφέλους. Ορισμός 1. Για μια ανάθεση αγαθών S = (S 1, S 2,..., S n ) στους n παίκτες, το κοινωνικό όφελος που παράγεται είναι η συνολική αξία που έχουν τα αγαθά για τους παίκτες, είναι δηλαδή ίσο με: n SW (S) = v i (S i ) i=1 Το Πρόβλημα Βελτιστοποίησης του Κοινωνικού Οφέλους - The Social Welfare Maximization (SWM) problem: Δεδομένων n παικτών, m αντικειμένων, και των συναρτήσεων ωφέλειας v 1 ( ), v 2 ( ),..., v n ( ) των n παικτών, βρες μια ανάθεση των αντικειμένων, έστω S = (S 1, S 2,..., S n), η οποία μεγιστοποιεί το παραγόμενο κοινωνικό όφελος, δηλαδή: SW (S ) SW (S), για καθε άλλη πιθανή ανάθεση S Δεδομένου ενός αλγορίθμου που λύνει το SWM πρόβλημα, μπορούμε να ορίσουμε τον μηχανισμό VCG, ως εξής: Ο μηχανισμός VCG: 1. Λύσε το SWM πρόβλημα και έστω S = (S 1, S 2,..., S n) η βέλτιστη διαμέριση. 2. Ανάθεση: για i = 1,..., n, ο παίκτης i λαμβάνει το σύνολο S i. 3. Πληρωμές: Κάθε παίκτης πληρώνει την ζημιά που προκαλεί στο κοινωνικό όφελος των υπολοίπων, δηλαδή η πληρωμή p i του παίκτη i, ισούται με: p i = SW i j i v j (S j ) (1) όπου SW i είναι το μέγιστο κοινωνικό όφελος που μπορούν να πετύχουν όλοι οι παίκτες μαζί χωρίς την παρουσία του παίκτη i, είναι δηλαδή το μέγιστο κοινωνικό όφελος ως προς όλες τις διαμερίσεις των αγαθών στους n 1 παίκτες εκτός του i. 2

3 Είναι εύκολο να δούμε ότι η δημοπρασία αυτή είναι γενίκευση της δημοπρασίας του Vickrey για ένα αγαθό που είδαμε στο μάθημα. Με ενα αγαθό, έστω ότι ο παίκτης 1 έχει την υψηλότερη προσφορά. Τότε η βέλτιστη ανάθεση είναι να πάρει το αγαθό ο παίκτης 1, και οι υπόλοιποι παίκτες να μην πάρουν τίποτα, άρα S2 = S 3 =... = S n =. Επομένως έτσι έχουμε ότι j 1 v j(sj ) = 0. Επίσης, χωρίς την παρουσία του παίκτη 1, το βέλτιστο κοινωνικό όφελος είναι v 2, αφού τότε θα το έπαιρνε ο παίκτης με την δεύτερη υψηλότερη προσφορά. Άρα SW 1 = v 2. Εφαρμόζοντας την φόρμουλα (1), παίρνουμε ότι ο παίκτης 1 πληρώνει p 1 = v 2 0 = v 2. Ομοίως μπορούμε να δούμε ότι για όλους τους υπόλοιπους παίκτες θα ισχύει ότι p 2 =... = p n = 0. Επομένως καταλήξαμε ακριβώς στην δημοπρασία Vickrey της 2ης τιμής. Το γεγονός ότι βάζουμε τους παίκτες να πληρώνουν την ζημιά που προκαλούν στο κοινωνικό όφελος των υπολοίπων, σημαίνει ότι η πληρωμή δεν εξαρτάται από το τι έχει δηλώσει ο παίκτης i. Η δήλωση του παίκτη i καθορίζει τι αγαθά θα πάρει αλλά όχι την τιμή που πρέπει να πληρώσει. Αυτό τελικά σημαίνει ότι κανένας παίκτης δεν έχει κίνητρο να κάνει ψευδείς δηλώσεις για τις προτιμήσεις του. Επομένως έχουμε το εξής σημαντικό θεώρημα: Θεώρημα 1. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις ωφέλειας, ο μηχανισμός VCG είναι φιλαλήθης, δηλαδή είναι κυρίαρχη στρατηγική για κάθε παίκτη να δηλώσει τις αληθινές του προτιμήσεις. 3 Κάποιες Κατηγορίες Συναρτήσεων Ωφέλειας Στην πράξη είναι εύλογο σε κάποιες εφαρμογές να παρατηρείται ότι οι παίκτες εμφανίζουν συμπεριφορές που μπορούν να μοντελοποιηθούν με κάποιες ειδικές κατηγορίες συναρτήσεων. Στη συνέχεια παραθέτουμε κάποια παραδείγματα. Στην πρώτη κατηγορία παρακάτω μπορούμε να έχουμε πολυωνυμική υλοποίηση του VCG, ενώ στις επόμενες κατηγορίες ο VCG απαιτεί εκθετικό χρόνο. 3.1 Προσθετικές Συναρτήσεις Όταν τα προς πώληση αγαθά είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (μη σχετιζόμενα το ένα με το άλλο), τότε είναι εύλογο να υποθέσουμε ότι η αξία ενός παίκτη για ένα σύνολο αγαθών είναι απλά το άθροισμα της αξίας που έχει για το κάθε αγαθό χωριστά, δηλαδή: v i (S) = j S v i ({j}) S M (2) Σε μια τέτοια περίπτωση, αρκεί να ξέρουμε για κάθε παίκτη i την ωφέλεια του για κάθε αγαθό j. Αν γνωρίζουμε δηλαδή την ποσότητα v i ({j}), για κάθε i και j, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε την ωφέλεια σε κάθε υποσύνολο. Επομένως η είσοδος στο πρόβλημα μας θα μπορούσε να αναπαρασταθεί με ένα n m πίνακα, όπου οι πάικτες αντιστοιχούν στις γραμμές και τα αγαθά αντιστοιχούν στις στήλες. Ας θεωρήσουμε το εξής παράδειγμα: 3

4 Πίνακας 1: Παράδειγμα αναπαράστασης προσθετικών συναρτήσεων ωφέλειας με 3 παίκτες και 4 αντικείμενα. Εδώ έχουμε 3 παίκτες και 4 αγαθά. Ο παίκτης 1 βλέπουμε ότι δεν έχει ωφέλεια για το αγαθό 4, ενώ π.χ. για το σύνολο {2, 3} η ωφέλειά του είναι = 52. Πάμε τώρα να εφαρμόσουμε τον μηχανισμό VCG. Το πρώτο βήμα είναι να λύσουμε το SWM πρόβλημα. Εδώ επειδή οι συναρτήσεις είναι προσθετικές, η μεγιστοποίηση του κοινωνικού οφέλους επιτυγχάνεται όταν δώσουμε το κάθε αγαθό σε αυτόν που το θέλει περισσότερο. Επομένως η βέλτιστη ανάθεση είναι η S = (S1, S 2, S 3 ), όπου S 1 = {1, 2}, S 2 = {3}, S3 = {4}. Δηλαδή, ο παίκτης 1 παίρνει το πρώτο και το 2ο αγαθό, αφού αυτός έχει τη μεγαλύτερη αξία για αυτά, ο παίκτης 2 παίρνει το 3ο αγαθό και ο παίκτης 3 παίρνει το 4ο. Το βέλτιστο κοινωνικό όφελος είναι SW = = 164. Για να δούμε και τι πληρώνει ο κάθε παίκτης, θα εφαρμόσουμε τη φόρμουλα (1). Για να γίνει αυτό θα πρέπει να υπολογίσουμε και το βέλτιστο κοινωνικό όφελος όταν απουσιάζει καθένας από τους παίκτες. Π.χ., για τον παίκτη 1, όταν δεν είναι παρών, (σκεφτείτε αν δεν υπήρχε η πρώτη γραμμή), τότε το βέλτιστο κοινωνικό όφελος θα ήταν SW 1 = = 140. Άρα η (1) μας δίνει ότι η πληρωμή του 1 θα είναι p 1 = SW 1 j 1 v j (S j ) = 140 (v 2 (S 2) + v 3 (S 3)) = 140 ( ) = 65 Ομοίως για τον παίκτη 2, βρίσκουμε πρώτα το βέλτιστο όφελος αν δεν είναι παρών (αν σβήσουμε την 2η γραμμή), το οποίο είναι: SW 2 = = 125. Και στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την (1), έχουμε: p 2 = SW 2 v j (Sj ) = 125 (v 1 (S1) + v 3 (S3)) = 125 ( ) = 11 j 2 Τέλος με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δούμε ότι για τον παίκτη 3, p 3 = 5. Παρατηρούμε τώρα ότι οι πληρωμές των παικτών συμπίπτουν με τις πληρωμές που θα προέκυπταν αν τρέχαμε τη δημοπρασία Vickrey για κάθε αγαθό χωριστά και χρεώναμε την δευτερη υψηλότερη προσφορά. Αυτό φυσικά δεν είναι τυχαίο και είναι απόροια του γεγονότος ότι έχουμε υποθέσει προσθετικές συναρτήσεις ωφέλειας. Δεν ισχύει για μη προσθετικές συναρτήσεις. Θεώρημα 2. Όταν οι παίκτες έχουν προσθετικές συναρτήσεις ωφέλειας σε m αντικείμενα, ο μηχανισμός VCG ταυτίζεται με την εκτέλεση m ανεξάρτητων δημοπρασιών Vickrey, και επομένως μπορεί να υλοποιηθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. 4

5 3.2 Υποπροσθετικές (Subadditive) και Submodular Συναρτήσεις Όταν υπάρχει κάποια συσχέτιση μεταξυ των αγαθών, η υπόθεση για προσθετικές συναρτήσεις δεν είναι εφαρμόσιμη. Σκεφτειτε το ενδεχόμενο τα αγαθά να είναι όλα παρόμοια μεταξύ τους και εσείς να ενδιαφέρεστε να αποκτήσετε μόνο ένα από αυτα. Για παράδειγμα, αν υπάρχουν 10 laptops προς πώληση, εσείς μπορεί να επιθυμείτε να αποκτήσετε μόνο ένα από αυτά. Σε μια τέτοια περίπτωση, η ωφέλειά σας για 2 laptops μπορεί να είναι σχεδόν ίδια με την ωφέλεια που έχετε για ένα laptop, αφού το δεύτερο μπορεί να μην το χρησιμοποιήσετε καν. Επομένως, σε τέτοια σενάρια, η συνάρτηση ωφέλειας παρουσιάζει υποπροσθετική συμπεριφορά. Ορισμός 2. Μια συνάρτηση ωφέλειας για έναν παίκτη i είναι υποπροσθετική (subadditive) αν για οποιαδήποτε δύο ξένα υποσύνολα αντικειμένων S, T, S T =, ισχύει ότι v i (S T ) v i (S) + v i (T ) (3) Παρατηρήστε τη διαφορά μεταξύ της (2) και της (3). Παρατηρήστε επίσης ότι οι προσθετικές συναρτήσεις είναι μια ειδική κατηγορία υποπροσθετικών συναρτήσεων όπου ισχύει η ισότητα στην (3) για όλα τα υποσύνολα. Μια κατηγορία υποπροσθετικών συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται ευρέως και παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι οι submodular συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις αυτές προσπαθούν να μοντελοποιήσουν το γεγονός ότι όσο συνεχίζουμε να δίνουμε αγαθά σε κάποιον παίκτη, επέρχεται ένας κορεσμός στην ωφέλειά του. Η αύξηση της ωφέλειας από την απόκτηση νέων αγαθών είναι μικρή όταν ο παίκτης έχει ήδη στην κατοχή του κι άλλα αγαθά. Έχουμε λοιπόν μια μονότονη (φθίνουσα) συμπεριφορά στην αύξηση της ωφέλειας. Οι submodular συναρτήσεις είναι ουσιαστικά το ανάλογο των κοίλων συναρτήσεων, αλλά σε διακριτά σενάρια με μη διαιρετά αγαθά και ορίζονται ως εξής: Ορισμός 3. Μια συνάρτηση ωφέλειας για έναν παίκτη i είναι submodular αν για οποιαδήποτε δύο υποσύνολα αντικειμένων S, T, με S T, και για κάθε αντικείμενο j T, ισχύει ότι v i (T {j}) v i (T ) v i (S {j}) v i (S) (4) Ο παραπανω ορισμός μας λέει ότι η αύξηση της ωφέλειας που προκαλεί η προσθήκη του αγαθού j στον παίκτη i είναι μεγαλύτερη όταν προσθέτουμε το j σε ένα σύνολο αγαθών S, από ότι όταν το προσθέτουμε σε ένα μεγαλύτερο σύνολο του S (το T ). Πάρα πολλά μικροοοκονομικά μοντέλα στηρίζονται στην υπόθεση ότι οι εμπλεκόμενοι παίκτες έχουν submodular συμπεριφορά. Όταν έχουμε submodular ή subadditive συναρτήσεις, ο μηχανισμός VCG εξακολουθεί να είναι ένας φιλαλήθης μηχανισμός. Όμως η υλοποίηση του είναι αρκετά πιο πολύπλοκη. Συγκεκριμένα το SWM πρόβλημα είναι πλέον NP-hard. Επομένως σε αντίθεση με τις προσθετικές συναρτήσεις, τώρα δεν μπορούμε να έχουμε εκτέλεση του VCG σε πολυωνυμικό χρόνο. Το πρόβλημα έγκειται στο ότι δεν αρκεί να κάνουμε αυτό που κάναμε με τις προσθετικές συναρτήσεις, δηλαδή να δίνουμε μεμονωμένα το κάθε αγαθό στον παίκτη που το θέλει περισσότερο, καθώς τώρα η ωφέλεια ενός παίκτη για ένα αγαθό είναι συσχετισμένη 5

6 με τα υπόλοιπα αγαθά που έχει. Για το λόγο αυτό η ερευνητική δραστηριότητα έχει επικεντρωθεί στην εύρεση προσεγγιστικών αλγορίθμων για το κοινωνικό όφελος, αλγορίθμων δηλαδή που τρέχουν σε εύλογο χρονικό διάστημα και παράγουν λύσεις σχετικά κοντά στο βέλτιστο κοινωνικό όφελος. 3.3 Υπερπροσθετικές (Superadditive) Συναρτήσεις Σε αντίθεση με την προηγούμενη ενότητα, μπορεί να έχουμε και εφαρμογές όπου τα αγαθά εμφανίζουν έντονη συμπληρωματικότητα. Αυτό σημαίνει ότι θα θέλαμε να αποκτήσουμε κάποια αγαθά μαζί. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα συμπληρωματικών αγαθών είναι ένα αριστερό και ένα δεξιό παπούτσι. Θέλετε να τα έχετε και τα δύο, το ένα από αυτά μόνο του δεν έχει αξία. Άλλο παράδειγμα είναι τα δημητριακά και το γάλα. Όταν αγοράζετε δημητριακά θέλετε να αγοράσετε και γάλα γιατί σας ενδιαφέρει ο συνδυασμός και όχι να έχετε το ένα από αυτά τα αγαθά. Η ωφέλεια αν κάποιος σας έδινε μόνο δημητριακά είναι σχεδόν μηδενική. Οι δημοπρασίες για συχνότητες τηλεποικοινωνιών εμφανίζουν επίσης συμπληρωματικότητα, καθώς οι παίκτες μπορεί να ενδιαφέρονται για ένα συνεχόμενο φάσμα συχνοτήτων και όχι για μεμονωμένες συχνότητες. Σε τέτοιες περιπτώσεις η συνάρτηση ωφέλειας παρουσιάζει υπερπροσθετική συμπεριφορά. Ορισμός 4. Μια συνάρτηση ωφέλειας για έναν παίκτη i είναι υπερπροσθετική (superadditive) αν για οποιαδήποτε δύο ξένα υποσύνολα αντικειμένων S, T, S T =, ισχύει ότι v i (S T ) v i (S) + v i (T ) (5) Δυστυχώς και σε αυτή την περίπτωση, το SWM πρόβλημα είναι NP-hard. Επομένως και για αυτή την κλάση συναρτήσεων, το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην εύρεση γρήγορων προσεγγιστικών αλγορίθμων που να επιτυγχάνουν όσο το δυνατόν καλύτερη (κατά μέσο όρο) προσέγγιση του βέλτιστου κοινωνικού οφέλους. 6

7 4 Το Τίμημα της Αναρχίας Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε πώς μπορούμε να αξιολογήσουμε τα σημεία ισορροπίας ενός παιγνίου. Σκοπός είναι να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με το αν τα σημεία ισορροπίας σε ένα παίγνιο μπορούν να οδηγήσουν τους παίκτες σε μη βέλτιστες καταστάσεις που θα μπορούσαν να αποφευχθούν αν υπήρχε μια κεντρική οντότητα για να κατευθύνει τους παίκτες σε καλύτερες επιλογές. Θα ξεκινήσουμε ορίζοντας την έννοια του κοινωνικού οφέλους σε αντιστοιχία με τον ορισμό που δώσαμε στις δημοπρασίες. Θεωρήστε το ακόλουθο παράδειγμα: t 1 t 2 t 3 s 1 4, 3 3, 2 5, 1 s 2 3, 2 24, 4 4, 2 s 3 1, 8 2, 8 37, 5 Το κοινωνικό όφελος σε ένα προφίλ στρατηγικών είναι η ωφέλεια που παράγεται για το σύνολο των παικτών. Π.χ. για το προφίλ (s 1, t 1 ), το κοινωνικό όφελος ισούται με 7. Ορισμός 5. Για ένα παίγνιο 2 παικτών, το κοινωνικό όφελος σε ένα προφίλ στρατηγικών (x, y) ισούται με: SW (x, y) = u 1 (x, y) + u 2 (x, y) Ομοίως αν έχουμε ένα παίγνιο με περισσότερους παίκτες, απλά αθροίζουμε την ωφέλεια κάθε παίκτη. Ας παρατηρήσουμε τώρα το προφίλ (s 1, t 1 ), που έχει κοινωνικό όφελος 7. Το προφίλ αυτό είναι σημείο ισορροπίας, επομένως αν με κάποιο τρόπο οι 2 παίκτες καταλήξουν να επιλέξουν αυτές τις στρατηγικές, τότε κανείς δεν θα έχει κίνητρο να αλλάξει. Όμως, στο προφίλ (s 3, t 3 ), το κοινωνικό όφελος είναι αρκετά μεγαλύτερο, ίσο με 42, και ισχυει ότι και οι 2 παίκτες έχουν καλύτερη ωφέλεια από ότι στο (s 1, t 1 ). Δυστυχώς όμως, το προφίλ αυτό δεν είναι σημείο ισορροπίας, καθώς ο παίκτης 2 έχει κίνητρο να αλλάξει. Η παραπάνω συζήτηση φανερώνει ότι η μεγιστοποίηση του κοινωνικού οφέλους δεν είναι πάντα συμβατή με την έννοια του σημείου ισορροπίας. Το γεγονός αυτό δίνει το έναυσμα για να μελετήσουμε τη ζημιά που προκαλείται στο κοινωνικό όφελος από τη στρατηγική συμπεριφορά των χρηστών. Τη ζημιά αυτή θα την εκφράσουμε ως το λόγο του βέλτιστου οφέλους δια του χειρότερου οφέλους που μπορεί να επιτευχθεί στα σημεία ισορροπίας του παιγνίου. Έτσι έχουμε τον εξής ορισμό¹: Ορισμός 6. Έστω ένα παίγνιο σε κανονική μορφή, και έστω OPT το βέλτιστο κοινωνικό όφελος του παιγνίου. Το τίμημα της αναρχίας (για αμιγείς στρατηγικές) ορίζεται ως: P oa = sup OP T SW (x, y) όπου το supremum είναι ως προς όλα τα σημεία ισορροπίας του παιγνίου. ¹Η έννοια αυτή εισήχθη στην εργασία: Elias Koutsoupias, Christos Papadimitriou, Worst Case Equilibria, Computer Science Review, 3(2), 65-69,

8 Στο παράδειγμά μας, έχουμε 2 σημεία ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές, συγκεκριμένα, τα προφίλ (s 1, t 1 ), και (s 2, t 2 ). Το χειρότερο από αυτά τα 2 σημεία είναι το πρώτο, άρα για το παίγνιο αυτό έχουμε ότι P oa = 42/7 = Μεικτές Στρατηγικές Στο προηγούμενο παράδειγμα υπολογίσαμε το τίμημα της αναρχίας λαμβάνοντας υπόψη μόνο σημεία ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές. Όταν το παίγνιο έχει σημεία ισορροπίας και με μεικτές στρατηγικές, τότε μπορεί κανείς να υπολογίσει το νέο τίμημα της αναρχίας, το οποίο ενδέχεται να είναι χειρότερο. Προτού προχωρήσουμε, θα πρέπει να ορίσουμε τι σημαίνει κοινωνικό όφελος όταν επιτρέπουμε μεικτές στρατηγικές. Ο ορισμός είναι ο ίδιος με πριν, απλά πλέον ο όρος u 1 (x, y) όταν το προφίλ (x, y) αποτελείται από πιθανοτικές στρατηγικές, θα ισούται με τη μέση ωφέλεια του παίκτη 1. Οπότε θα συγκρίνουμε το βέλτιστο όφελος με τη μέση ωφέλεια που προκύπτει από το σημείο ισοροπίας. Ας πάρουμε για παράδειγμα το παίγνιο Bach-Stravinsky: B S B 2, 1 0, 0 S 0, 0 1, 2 Με αμιγείς στρατηγικές, έχουμε 2 σημεία ισορροπίας, τα (B, B), και (S, S). Και στα 2, το κοινωνικό όφελος είναι 3. Το βέλτιστο κοινωνικό όφελος είναι επίσης 3. Επομένως με αμιγείς στρατηγικές έχουμε ότι P oa = 1. Αν επιτρέψουμε και μεικτές στρατηγικές, τότε έχουμε 3 σημεία ισορροπίας, τα 2 που ειδαμε πριν, και το προφίλ s = ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)). Στα δύο πρώτα ξέρουμε ήδη το κοινωνικό τους όφελος. Στο τρίτο που αφορά μεικτές στρατηγικές, πρέπει να υπολογίσουμε το μέσο κοινωνικό όφελος, το οποίο θα είναι: SW (s) = (2 + 1) (0 + 0) (0 + 0) (1 + 2) = 4/3 3 Παρατηρούμε ότι το κοινωνικό όφελος είναι χειρότερο σε αυτό το σημείο ισορροπίας, σε σχέση με τα άλλα δύο, επομένως έχουμε ότι με μεικτές στρατηγικές: P oa = 3 4/3 = 9/4 Γενικότερα, όταν περνάμε από το τίμημα της αναρχίας με αμιγείς στρατηγικές, στο τίμημα με μεικτές, περιμένουμε να έχουμε αύξηση. Αυτό συμβαίνει διότι έχουμε πλέον ένα μεγαλύτερο σύνολο από σημεία ισορροπίας, και άρα το χειρότερο σημείο μπορεί να δίνει λιγότερο κοινωνικό όφελος σε σχέση με πριν. 8

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 8: Δημοπρασίες. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 8: Δημοπρασίες. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 8: Δημοπρασίες Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Δημοπρασίες ενός αγαθού 2 Δημοπρασίες 1 µη διαιρετό αγαθό Σύνολο παικτών N = {1, 2,, n} 3 Δημοπρασίες Μέσο συνδιαλλαγής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2017

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2017 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2017 2η σειρά ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 16 Ιουνίου 2017 Πρόβλημα 1. (18 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 2015 16 Ιουνίου 2015 Διάρκεια εξέτασης: 2,5 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2016

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2016 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις 2ης σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 25 Ιουνίου 2016 Πρόβλημα 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching

Διαβάστε περισσότερα

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Λύσεις παιγνίων 2 Επιλέγοντας στρατηγική... Δεδομένου ενός παιγνίου, τι στρατηγική πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα αποτελούνται από πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 22 Απριλίου 2015 Πρόβλημα 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μοντέλο Ανάθεσης Πόρων Σύνολο πόρων Ε = { e 1,, e

Διαβάστε περισσότερα

2 Πώς πουλάει διαφημιστικό χώρο η Google;

2 Πώς πουλάει διαφημιστικό χώρο η Google; 2 Πώς πουλάει διαφημιστικό χώρο η Google; 2.1. Μία Σύντομη Απάντηση Σήμερα πολλές διαδικτυακές υπηρεσίες και πληροφορίες στον παγκόσμιο ιστό διατίθενται «δωρεάν», λόγω των διαφημίσεων που εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων ιδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Το Διαδίκτυο ως ερευνητικό αντικείμενο

Το Διαδίκτυο ως ερευνητικό αντικείμενο Το Διαδίκτυο ως ερευνητικό αντικείμενο Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου christos ΟΠΑ, 20 Ιουνίου 2007 2 TοΔιαδίκτυο Τεράστιο, ανοικτό, end-to-end Κορυφαίος παράγων οικονομικής ανάπτυξης Το σπίτι του www It wants

Διαβάστε περισσότερα

μηχανισμούς; ΚΟΙΝΟΚΤΗΜΟΣΥΝΗ

μηχανισμούς; ΚΟΙΝΟΚΤΗΜΟΣΥΝΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ Κάθε κοινωνική ομάδα θα πρέπει να διαθέτει μηχανισμούς κατανομής των πόρων που είναι διαθέσιμοι σε αυτήν. Ένας από τους πιθανούς μηχανισμούς κατανομής πόρων βασίζεται στην έννοια της ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Τι είναι η Θεωρία Παιγνίων? Quote από το βιβλίο του Osborne: Game Theory aims to help us understand situawons in which decision makers interact

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2 Θεωρία παιγνίων: Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 3 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία παιγνίων: 3 Δεκεμβρίου 2012 1 / 21 -best responses Κυνήγι ελαφιού: Δυο κυνηγοί ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Αγορές: Αγορά είναι οτιδήποτε φέρνει σε επικοινωνία αγοραστές και πωλητές. Η αγορά έχει δύο πλευρές: αγοραστές (Ζήτηση) και πωλητές (Προσφορά).

Αγορές: Αγορά είναι οτιδήποτε φέρνει σε επικοινωνία αγοραστές και πωλητές. Η αγορά έχει δύο πλευρές: αγοραστές (Ζήτηση) και πωλητές (Προσφορά). Ζήτηση και Προσφορά ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αγορές: Αγορά είναι οτιδήποτε φέρνει σε επικοινωνία αγοραστές και πωλητές. Η αγορά έχει δύο πλευρές: αγοραστές (Ζήτηση) και πωλητές (Προσφορά). Ανταγωνιστικές Αγορές: Είναιοιαγορές,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 Διάλεξη 6 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 1 Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέχρι στιγμής το μονοπώλιο έχει θεωρηθεί σαν μια επιχείρηση η οποία πωλεί το προϊόν της σε κάθε πελάτη στην ίδια τιμή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 26 Μαΐου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) 26 Μαΐου 2012 1 / 19 Εως τώρα τα αγαθά που θεωρήσαμε ότι καταναλώνει ο καταναλωτής ήταν ιδιωτικά αγαθά. Με απλά λόγια

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Ένα Γενικό Πρόβλημα Πολιτικής και Άμεση Δημοκρατία

Ένα Γενικό Πρόβλημα Πολιτικής και Άμεση Δημοκρατία Ένα Γενικό Πρόβλημα Πολιτικής και Άμεση Δημοκρατία Α. Ένα Γενικό Πρόβλημα Πολιτικής Ας υποθέσουμε μια κοινωνία που αποτελείται από n άτομα. Οι προτιμήσεις των ατόμων περιγράφονται από τη ακόλουθη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης

Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης Ανταγωνιστική Ανάθεση Πόρων και Παίγνια Συμφόρησης ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συστήματα με Ιδιοτελείς (και Ανταγωνιστικούς) Χρήστες

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης (ilgrom, Paul and John Roberts 98, imit Pricing and Entry under Incomplete Information) - Μια επιχείρηση ακολουθεί πολιτική οριακής τιμολόγησης (limit pricing) όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΣΜΟΣ ΤΙΜΩΝ. Κεφάλαιο 8. Οικονομικά των Επιχειρήσεων. Ε. Σαρτζετάκης 1

ΔΙΑΦΟΡΙΣΜΟΣ ΤΙΜΩΝ. Κεφάλαιο 8. Οικονομικά των Επιχειρήσεων. Ε. Σαρτζετάκης 1 ΔΙΑΦΟΡΙΣΜΟΣ ΤΙΜΩΝ Κεφάλαιο 8 Ε. Σαρτζετάκης Διαφορισμός τιμών Τιμολόγησηότανηεπιχείρησηέχειισχυρήθέσηστηναγορά: διαφορισμός τιμών Οι επιχειρήσεις οι οποίες έχουν σε κάποιο βαθμό δύναμη σε κάποια αγορά

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams Αλέκα Σεληνιωτάκη Ηράκλειο, 26/06/12 aseliniotaki@csd.uoc.gr ΑΜ: 703 1. Περίληψη Συνεισφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Β. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής. Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων

Β. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής. Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων Β. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων Περιεχόμενα Θεωρία Αποφάσεων o Αποφάσεις χωρίς πιθανότητα o Αποφάσεις με πιθανότητα Θεωρία Παιγνίων o Παίγνια Μηδενικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά. Μικροοικονομική. Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Πολιτικές διάκρισης τιµών

10/3/17. Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά. Μικροοικονομική. Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Πολιτικές διάκρισης τιµών /3/7 HL R. VRIN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Μέχρι τώρα, αντιμετωπίζουμε ένα μονοπώλιο ως μια εταιρεία η

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Ένθετο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Μικροοικονομική Ε. Σαρτζετάκης 1 Καταναλωτική συμπεριφορά Σκοπός αυτής της διάλεξης είναι να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες Κατηγορίες Αλγορίθμων

Ορισμένες Κατηγορίες Αλγορίθμων Ορισμένες Κατηγορίες Αλγορίθμων Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Οριασμένες κατηγορίες αλγορίθμων 1 Αλγόριθμοι Προσέγγισης Υπολογιστικά προβλήματα τα οποία είναι NPhard δεν μπορούμε να τα λύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΟΛΕΣ. 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα

ΕΝΤΟΛΕΣ. 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα ΕΝΤΟΛΕΣ χρησιμοποιηθούν παρακάτω στα παραδείγματα Βάζοντας την εντολή αυτή σε οποιοδήποτε χαρακτήρα μπορούμε να αλλάζουμε όψεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop (2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του alop (alop, teve 979, Moopolstc Competto wth Outsde Goods) - Υποθέτουμε μια πόλη που παριστάνεται από την περιφέρεια ενός κύκλου με περίμετρο L=. p

Διαβάστε περισσότερα

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή Διάκριση Τιμών ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) -H διάκριση τιμών 1 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή επιχείρηση γνωρίζει τις ατομικές συναρτήσεις ζήτησης όλων των καταναλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 10

Μονοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 10 Μονοπώλιο Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Αρ. Διάλεξης: 10 Η πλήρως ανταγωνιστική επιχείρηση θεωρεί τις τιμές ως δεδομένες, ενώ αντίθετα η μονοπωλιακή επιχείρηση διαμορφώνει τις τιμές. Μια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπωλιακή Ισορροπία - Αν η αγορά του αγαθού Α είναι πλήρως ανταγωνιστική, τότε η ατομική επιχείρηση θεωρεί δεδομένη την τιμή (p) και, επομένως,

Μονοπωλιακή Ισορροπία - Αν η αγορά του αγαθού Α είναι πλήρως ανταγωνιστική, τότε η ατομική επιχείρηση θεωρεί δεδομένη την τιμή (p) και, επομένως, Μονοπωλιακή Ισορροπία - Αν η αγορά του αγαθού Α είναι πλήρως ανταγωνιστική, τότε η ατομική επιχείρηση θεωρεί δεδομένη την τιμή (p) και, επομένως, αντιμετωπίζει μια πλήρως ελαστική (οριζόντια) καμπύλη ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Συνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto Συνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2015-2016 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου Συμπληρωματικές Ασκήσεις (Διαλέξεις 10-13) Ερώτηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10. Γενική Ισορροπία VA 30

Διάλεξη 10. Γενική Ισορροπία VA 30 Διάλεξη 10 Γενική Ισορροπία V 30 1 Μερική & Γενική Ισορροπία Μέχρι τώρα εξετάζαμε γενικά την αγορά ενός αγαθού μεμονωμένα. Το πώς δηλαδή η προσφορά και η ζήτηση επηρεάζονται από την τιμή του συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος . Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος - Ορισμός. Αν η αύξηση του επιπέδου ενός χαρακτηριστικού που διαφοροποιεί τα προϊόντα των επιχειρήσεων ωφελεί κάποιους καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Μέχρι τώρα, αντιμετωπίζουμε ένα μονοπώλιο ως μια εταιρεία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία Ολιγοπωλιακή Ισορροπία - Χρησιμοποιούμε τις βασικές αρχές της θεωρίας παιγνίων για να εξετάσουμε τη στρατηγική αλληλεπίδραση των επιχειρήσεων σε ατελώς ανταγωνιστικές αγορές, εστιάζοντας την προσοχή μας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11

Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11 Μονοπώλιο Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Αρ. Διάλεξης: 11 Βασική αιτία δημιουργίας Μονοπωλίου Η πλήρως ανταγωνιστική επιχείρηση θεωρεί τις τιμές ως δεδομένες, ενώ αντίθετα η μονοπωλιακή επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα