ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ"

Transcript

1 ΤΕΥΧΟΣ ΙΘ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 00

2

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑ ΤΕΥΧΟΣ ΙΘ ΕΚΑΜΒΡΙΟΣ 00 Επιμέλεια Έκδοσης Γρηγόρης Μακρίδης Ανδρέας Φiλίππου

4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ α. Διοικητικό Συμβούλιο της ΚΥ.Μ.Ε.. Κυριότερες Δραστηριότητες της ΚΥ.Μ.Ε. εντός του Χαιρετισμός του Γενικού Διευθυντή του ΥΠΠ στο Ε Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Β Συμπόσιο Αστροναυτικής και Διαστήματος 4. Χαιρετισμός του Προέδρου της ΚΥ.Μ.Ε. στις Τελετές 7 Βράβευσης των Μαθηματικών Διαγωνισμών Χαιρετισμός Του Διευθυντή Μέσης Εκπαίδευσης για την 9 έναρξη των εργασιών του Καλοκαιρινού Μαθηματικού Σχολείου. 6. Φωτογραφίες από δραστηριότητες της ΚΥ.Μ.Ε. 7. Χορηγοί της ΚΥ.Μ.Ε. εντός του Αποτελέσματα Επαρχιακών Διαγωνισμών Β' και Γ' Λυκείου για το έτος Αποτελέσματα Παγκύπριου Διαγωνισμού για το Γυμνάσιο για το έτος Αποτελέσματα Παγκύπριου Διαγωνισμού για την Α' Λυκείου για το έτος 00. Αποτελέσματα Παγκύπριου Διαγωνισμού Λυκείων «Ζήνων» για το έτος 00. Ασκήσεις Ανισοτήτων για το Γυμνάσιο και το Λύκειο Σάββας Ιωαννίδης. Αστρονομικά Ημερολογιακά Στοιχεία Κύπρου για το έτος 00 Ιωάννης Φάκας Μαθηματικά και Φιλοσοφία Γιάννης Κερασίδης 9 5. Το Βοεικόν Πρόβλημα Ιωάννης Φάκας Τα τρία Προβλήματα της Αρχαιότητας. Σάββας Καρακούλλης Μια Διδακτική Πρόταση Γιάννης Κερασίδης 6 8. Μαγικά Τετράγωνα Σάββας Καρακούλλης 7 9. Ενιαίες Γραπτές Εξετάσεις 00 (ΛΕΜ Σ, Σ + ΕΛ 0) ΚΥ.Μ.Ε Ενιαίες Γραπτές Εξετάσεις 00 (ΛΕΜ Σ, Σ4, Σ5) ΚΥ.Μ.Ε. 99. Ενιαίες Γραπτές Εξετάσεις 00 (Ε.Λ. 6) ΚΥ.Μ.Ε. 05. Ενιαίες Γραπτές Εξετάσεις 00 (Τεχνικών Σχολών) ΚΥ.Μ.Ε. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

6 . Εισαγωγικές Εξετάσεις 00 (Μαθηματικά 4) ΚΥ.Μ.Ε Εισαγωγικές Εξετάσεις 00 (Μαθηματικά 8) ΚΥ.Μ.Ε Εισαγωγικές Εξετάσεις 00 (Μαθηματικά ΤΕΙ) ΚΥ.Μ.Ε Εισαγωγικές Εξετάσεις 00 (Τεχνικών Σχολών) ΚΥ.Μ.Ε Θέματα και Λύσεις Επαρχιακού Διαγωνισμού Λευκωσίας Σάββας Αντωνίου Όλγα Παπαγιάννη 8. Θέματα και Λύσεις Επαρχιακού Διαγωνισμού Λεμεσού Μάριος Ευσταθίου Θεόκλητος Παραγιός 9. Θέματα και Λύσεις Επαρχιακού Διαγωνισμού Λάρνακας - Αμμοχώστου Ανδρέας Σαββίδης Μιχάλης Βαντζής 0. Θέματα και Λύσεις Επαρχιακού Διαγωνισμού Πάφου Ευθύβουλος Λιασίδης Χρ. Παπασάββας. Θέματα και λύσεις Παγκύπριου διαγωνισμού Γ' Γυμνασίου Ανδρέας Σαββίδης Ανδρέας Αθανασίου. Θέματα και λύσεις Παγκύπριου διαγωνισμού Α' Λυκείου Μάριος Ευσταθίου Νίκος Νικολαίδης. Θέματα και λύσεις Παγκύπριου διαγωνισμού "ΖΗΝΩΝ" Μάριος Αντωνιάδης Θεόκλητος Παραγιός 4. Θέματα και λύσεις Διαγωνισμού επιλογής κάτω των 5 ½ Πέτρος Πέτρου Σάββας Ιωαννίδης 5. Θέματα και λύσεις Διαγωνισμού επιλογής άνω των 5 ½ Γρηγόρης Μακρίδης Ανδρέας Σχοινής 6. Θέματα και λύσεις ΒΜΟ 00 Μάριος Αντωνιάδης Θεόκλητος Παραγιός 7. Θέματα και λύσεις JΒΜΟ 00 Μάριος Αντωνιάδης Ανδρέας Φιλίππου 8. Θέματα και λύσεις ΙΜΟ 00 - πρώτη μέρα Ανδρέας Σχοινής Χρ.Παπαχριστοδούλου Αίτηση Εγγραφής για Τακτικά Μέλη Αίτηση Εγγραφής για Έκτακτα Μέλη 9 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

7 Διοικητικό Συμβούλιο της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Σεπτέμβριος 00 - Σεπτέμβριος 004 Πρόεδρος Αντιπρόεδρος (00-00) Αντιπρόεδρος (00-004) Γενικός Γραμματέας Ταμίας Οργανωτικός Γραμματέας Βοηθός Ταμίας Σύμβουλοι : Γρηγόρης Μακρίδης : Αθανάσιος Γαγάτσης : Ανδρέας Σχοινής : Σάββας Αντωνίου : Αντρέας Φιλίππου : Νικόλαος Γιασουμή : Μάριος Ευσταθίου : Μάριος Αντωνιάδης Παντελής Ζαμπυρύνης Σάββας Ιωαννίδης Ευθύβουλος Λιασίδης Όλγα Παπαγιάννη Θεόκλητος Παραγυίου Ανδρέας Σαββίδης Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

8 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 4 ΚΥΜΕ 00

9 ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ Δρα ΠΕΤΡΟΥ Μ. ΚΑΡΕΚΛΑ ΣΤΟ Ε ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ Β ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Πάφος, Φεβρουάριος 00 Με μεγάλη χαρά αποδέχθηκα την πρόσκληση της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας να χαιρετίσω και να κηρύξω την έναρξη του Ε Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και του Β Συμποσίου Αστροναυτικής και Διαστήματος. Ως γνωστόν, το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού, από την περσινή σχολική χρονιά εισήγαγε στα σχολεία μας την εκπαιδευτική μεταρρύθμιση που σκοπό έχει να συμβάλει στη βελτίωση του εκπαιδευτικού έργου και ~ην αναβάθμιση της Κυπριακής Εκπαίδευσης. Στα πλαίσια αυτής της καινοτόμου προσπάθειας Το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στην καλλιέργεια, στον εκσυγχρονισμό και στη βελτίωση της Μαθηματικής Παιδείας στην Κύπρο. Η πορεία της χώρας μας προς την Ευρώπη και η είσοδος της ανθρωπότητας στον ο αιώνα δημιουργούν νέο σκηνικό για την εκπαίδευση λόγω των ραγδαίων πολιτικών, οικονομικών, επιστημονικών και τεχνολογικών εξελίξεων. Η κυπριακή κοινωνία στρέφει με αγωνία το βλέμμα προς το Εκπαιδευτικό μας Σύστημα και του ζητά να μορφώσει κατάλληλα και να δημιουργήσει τον πολίτη εκείνο που θα είναι ικανός να αντιμετωπίζει επιτυχώς τα πολύπλοκα προβλήματα που συναντά και να ανταποκρίνεται αποτελεσματικά στις προκλήσεις της σύγχρονης εποχής. Ο ρόλος όλων μας επομένως σήμερα αλλάζει. Πέραν από την προσφορά βασικών γνώσεων έχουμε την υποχρέωση να καλλιεργήσουμε τόσο τη νοητική όσα και τη συναισθηματική σφαίρα της προσωπικότητας των μαθητών μας, να ενθαρρύνουμε την κριτική τους στάση και να τους αναπτύξουμε όλες εκείνες τις δεξιότητες που θα τους καταστήσουν ικανούς να αυτομορφώνονται και να τους παρέχουν τη δυνατότητα για δια βίου εκπαίδευση. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 5 ΚΥΜΕ 00

10 Στην πολύγνωρη αυτή προσπάθεια τα Μαθηματικά διαδραματίζουν σημαντικότατο ρόλο γιατί λόγω της φύσης τους μπορούν να συμβάλουν αποφασιστικά στην προώθηση και επίτευξη των στόχων που προ ανάφερα. Εκτός από την πρακτική βοήθεια που προσφέρουν στην αντιμετώπιση και επίλυση προβλημάτων της καθημερινής ζωής, συμβάλλουν αποτελεσματικά στη γενικότερη πνευματική καλλιέργεια και στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του ανθρώπου. Ενεργοποιούν και οξύνουν τις γνωστικές λειτουργίες, όπως την αντίληψη, την προσοχή, τη μνήμη και τη φαντασία. Ακόμα συντελούν στην ανάπτυξη της παρατηρητικότητας, βοηθούν στην άσκηση της αυτοσυγκέντρωσης, ενισχύουν και αναπτύσσουν την έλλογη και συνειδητή βούληση. Συμβάλλουν επίσης στην αισθητική καλλιέργεια των παιδιών μας ώστε να αντιλαμβάνονται και να χαίρονται το ωραίο, την αρμονία και την τελειότητα όπου το συναντούν. Η παρουσία των Μαθηματικών στην εξήγηση των φαινομένων της φύσης είναι κυρίαρχη. Ο Νεύτωνας χρησιμοποιώντας τη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης, κατόρθωσε να αποδείξει το νόμο της παγκόσμιας έλξης που διέπει τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων. Μέσα στις απειροπληθείς επαναλήψεις των ομοειδών φαινομένων, λεει ο Γαλιλαίος, εκείνο που μένει σταθερό είναι ο μαθηματικός τύπος που εκφράζει τη νομοτέλειά τους. Είναι αδύνατο να περιγράφουμε και να εξηγήσουμε τα φυσικά φαινόμενα χωρίς τη Γεωμετρία. Κατά συνέπεια η σύζευξη των Μαθηματικών με την Αστρονομία στο σημερινό Συνέδριο είναι απόλυτα φυσιολογική και επιτυχής. Συγχαίρω θερμά τόσο την Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία όσο και την Κυπριακή Αστροναυτική Εταιρεία για τη διοργάνωση αυτού του Συνεδρίου, του οποίου η πληθώρα των εισηγήσεων αλλά και η ποιότητα και το επιστημονικό τους επίπεδο, το αναδεικνύουν ως ένα από τα σημαντικότερα επιστημονικά Συνέδρια Παιδείας στην Κύπρο. Με τις λίγες αυτές σκέψεις κηρύσσω την έναρξη των εργασιών του Συνεδρίου και εύχομαι ευόδωση των στόχων του για το καλό της Παιδείας μας και γενικότερα του τόπου. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 6 ΚΥΜΕ 00

11 Χαιρετισμός του Προέδρου της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας, Δρα Γρηγόρη Μακρίδη στις Τελετές Βράβευσης των Μαθηματικών Διαγωνισμών 00 Κάθε χρονιά σε αυτού του είδους των τελετών εξυμνώ τα Μαθηματικά και τις δραστηριότητες της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας. Οι δραστηριότητες είναι πλέον γνωστές εκτός δύο νέων που θα αναφέρω σε λίγο. Το πόσο σημαντικά είναι τα μαθηματικά, πιστεύω για να βρίσκεστε εδώ σήμερα θα πρέπει να το γνωρίζετε ήδη πολύ καλά. Έτσι φέτος θα σχολιάσω ανησυχίες και προβληματισμούς. Ο μαθηματικόs κόσμος και ιδιαίτερα οι εκπαιδευτικοί μαθηματικοί αλλά και όσοι σχεδιάζουν τη Μαθηματική Παιδεία στο τόπο μας έχουν να αντιμετωπίσουν σήμερα πολλές προκλήσεις. Μερικές από αυτές είναι,. οι πολλές επιλογές ενασχόλησης και διασκέδασης των νέων. η αυτοματοποίηση και η εύκολη πρόσβαση σε αγαθά. η υπεραπασχόληση των γονιών με αποτέλεσμα λιγότερο χρόνο με τα παιδιά 4. το εύκολο χρήμα απ όπου και αν προέρχεται 5. η εξαφάνιση των κοινωνικών και οικογενειακών αξιών 6. η τηλεόραση και τα περίφημα προγράμματά της 7. τα ναρκωτικά Όλες αυτές οι προκλήσεις επηρεάζουν σήμερα τους μαθητές αρνητικά με αποτελέσματα να χάνουν το ενδιαφέρον τους για μάθηση. Πολλοί ρίχνουν το φταίξιμο στην κακή διδασκαλία αλλά κάνουν λάθος. Το πρόβλημα κατά τη γνώμη μου είναι το περιεχόμενο και το στυλ της διδασκαλίας που πρέπει να αλλάξει. Χρειάζεται να εισαχθεί ένας νέος όρος στην παιδεία ο οποίος μπορεί να είναι «Εφαρμοσμένη Μαθηματική Παιδεία» η οποία θα ακολουθεί μετά το θεωρητικό μέρος και θα παρουσιάζει και θα διδάσκει τον μαθητή πως τα φυσικά φαινόμενα και η καθημερινή ζωή μπορεί να εξηγηθεί, και να ερμηνευθεί με απλά μαθηματικά. Ο μαθητής θα μπορεί να δώσει νόημα σε αυτά που μαθαίνει, θα μπορεί να τα διερευνήσει ο ίδιος, θα μπορεί να ανακαλύψει ο ίδιος, έτσι τα μαθηματικά θα σταματήσουν να αποτελούν για πολλούς τη στεγνή, θεωρητική, ανιαρή επιστήμη. Για να γίνει αυτό χρειάζεται συλλογική εργασία, χρειάζεται συγγραφή νέων βιβλίων, επιμόρφωση, δημιουργία εποπτικού υλικού, προχωρημένη χρήση των νέων τεχνολογιών και σκληρή δουλειά. Με λίγα λόγια θα πρέπει η εκπαίδευση να συναγωνιστεί τις προκλήσεις ενδιαφέροντος που υπάρχουν σήμερα στην κοινωνία και να δημιουργήσει αντίστοιχες μέσα από το μάθημα, τέτοιες που να προκαλούν το ενδιαφέρον των μαθητών. Τα ΜΜΕ έχουν να παίξουν καταλυτικό ρόλο στη αλλαγή των στάσεων και πεποιθήσεων των πολιτών για τα μαθηματικά και τις επιστήμες, μια πραγματικότητα που δημιουργεί σοβαρά προβλήματα για την ανάπτυξη της τεχνολογίας. Η Ευρωπαϊκή Ένωση η οποία έχει επισημάνει τα προβλήματα και ήδη άρχισε να μεριμνά. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 7 ΚΥΜΕ 00

12 Συγκεκριμένα η απόφαση COM/00/678 λεει, «Σε μια κοινωνία γνώσης, η Δημοκρατία απαιτεί από τους πολίτες της να έχουν επιστημονική και τεχνολογική γνώση ως μέρος των βασικών δεξιοτήτων τους» Οι μελλοντικοί αντικειμενικοί σκοποί των Ευρωπαϊκών Εκπαιδευτικών Συστημάτων που συμφωνήθηκαν στις //00 από το Συμβούλιο Εκπαίδευσης και εγκρίθηκε από το Ευρωπαϊκό Συμβούλιο Στονχόλμης σημειώνουν ως θέματα προτεραιότητας τα Μαθηματικά, Επιστήμες και Τεχνολογίες. Ο βασικός στόχος είναι η αύξηση του ενδιαφέροντος για μαθηματικά, επιστήμη και τεχνολογία από νεαρή ηλικία και η ώθηση των νέων να ακολουθούν καριέρες σε αυτούς τους τομείς, ειδικότερα στο τομέα της έρευνας. Ειδικά προγράμματα έχουν αναπτυχθεί για δημοσιογράφους και την επιμόρφωσή τους οι οποίοι θεωρούνται ως σημαντικοί καταλύτες της επικοινωνίας των επιστημών προς τον πολίτη. Έχει δημιουργηθεί ένα πρόγραμμα ονόματι Alpha-Galileo Europe το οποίο είναι υπηρεσία Internet που παρέχει ενημέρωση σε δημοσιογράφους σε επιστημονικά και τεχνολογικά θέματα. Έχει θεσμοθετηθεί ειδικό βραβείο για επιστημονική δημοσιογραφία. Ειδικά προγράμματα χρηματοδότησης για εκπαιδευτικά τηλεοπτικά προγράμματα. Με όλα αυτά αναμένεται ότι μέσω των ΜΜΕ θα ευαισθητοποιηθεί ο πολίτης για τη σημαντικότητα των επιστημών και θα αναπτυχθεί το ενδιαφέρον προσελκύοντας νέους επιστήμονες σε θέματα όπως τα μαθηματικά, επιστήμες και τεχνολογίες δημιουργώντας έτσι το αναγκαίο επιστημονικό υπόβαθρο για εξασφάλιση μέχρι το 00 της πρωτιάς της Ευρώπης σε νέες τεχνολογίες. Εμείς ως Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία θα συνεχίσουμε να αγωνιζόμαστε για την αναβάθμιση της μαθηματικής παιδείας και επιστήμης, για την βελτίωση των στάσεων μαθητών, γονιών, εκπαιδευτικών και κοινωνίας σε ένα κόσμο γεμάτο προκλήσεις. Τα δύο νέα γεγονότα που θέλω να σας αναφέρω προτού κλείσω είναι η Δημιουργία της Μαθηματικής Εταιρείας Νοτιοανατολικής Ευρώπης στην οποία η ΚΥΜΕ παίζει πρωταγωνιστικό ρόλο και η κυκλοφορία του νέου επιστημονικού περιοδικού με τίτλο Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, Κλείνοντας, εκ μέρους του Συμβουλίου της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας θα ήθελα να ευχαριστήσω τους αθλοθέτες των διαγωνισμών Τράπεζα Κύπρου, Οικογένεια Μορφάκη, Αντρέα Κανίκλη, Γλαύκο Αντωνιάδη, Κλαίλια Σκοτεινού καθώς και το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού που ενισχύει οικονομικά την ΚΥΜΕ για τις συμμετοχές σε Διεθνής Ολυμπιάδες. Ευχαριστίες επίσης στη ΑΤΗΚ για την υποστήριξη των δραστηριοτήτων της ΚΥΜΕ. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 8 ΚΥΜΕ 00

13 ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ κ. Ανδρέα Σκοτεινού για την έναρξη των εργασιών του Καλοκαιρινού Μαθηματικού Σχολείου. Είναι με ιδιαίτερη χαρά που απευθύνομαι στους μετέχοντες στο Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο που οργανώνει η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία. Με την ευκαιρία εκφράζω τα θερμά συγχαρητήρια στη ΚΥΜΕ, τόσο γι αυτή τη δραστηριότητά της όσο και τις πολυπληθείς άλλες ενέργειες της,που έχουν ως στόχο τόσο της ανάπτυξης της μαθηματικής επιστήμης και παιδείας, όσο και γενικότερα την ενίσχυση της πνευματικής δημιουργίας στο τόπο μας. Επίσης θα θελα να στραφώ σε σας αγαπητά μου παιδιά, που έχετε έλθει εδώ με επιδιώξεις, οράματα και όρεξη τόσο για παραπέρα εμπλοκή στα Μαθηματικά όσο και για τη δική σας καλλιέργεια. Η συμμετοχή σας στο εργαστήρι αυτό είναι βέβαιο ότι θα σας ενισχύσει πνευματικά, μέσα από τις δυνατότητες που θα σας δοθούν για κριτική σκέψη και διανόηση, αλλά ταυτόχρονα θα σας δώσει και ευκαιρίες για μια σειρά από άλλες δραστηριότητες που διακρίνουν ένα ολοκληρωμένο άτομο. Το Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο προσφέρει ένα ευρύτατο φάσμα ενασχολήσεων, όχι μόνο για καλλιέργεια του μυαλού αλλά και για υγιή συναναστροφή που βοηθά στη διαμόρφωση της προσωπικότητας και δημιουργεί ευχάριστη ατμόσφαιρα. Τέτοιες συνθήκες ακονίζουν την αντίσταση του καθενός μας στις σειρήνες και τους κινδύνους που μας περιτριγυρίζουν και μας οπλίζουν με εφόδια για να αντιμετωπίσουμε τα σύγχρονα προβλήματα. Τα μαθηματικά που θα είναι το βασικό αντικείμενο αυτού του Καλοκαιρινού Σχολείου, είναι ένα πολύπλευρο οικοδόμημα με δυναμικό χαρακτήρα που συνέχεια διαφοροποιείται και εξελίσσεται. Ένας απλοϊκός ορισμός που κάποτε ακούγεται γι αυτή την έννοια είναι ότι Μαθηματικά είναι η επιστήμη της ποσότητας και του χώρου. Ο ορισμός αυτός αντιπροσωπεύει ίσως τα πρώτα βήματα στον τομέα. Εξελικτικά ήλθαν κάποιοι να προχωρήσουν και να πουν ότι Μαθηματικά είναι η επιστήμη των αφηρημένων δομών Πιστεύω όμως ότι και αυτός ο ορισμός όσο περιεκτικός και να είναι δεν εκφράζει την πλήρη έκταση και το πλήρες πλάτος του αντικειμένου τους. Ξεκινώντας όμως από τις δικές σας εμπειρίες θάθελα να τονίσω μερικές από τις πτυχές των Μαθηματικών που προσδιορίζουν τη σημασία που αυτά έχουν για τον άνθρωπο. Τα Μαθηματικά είναι πρώτα απ όλα ένα χρήσιμο εργαλείο που το αξιοποιούμε για να λύσουμε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων. Είναι επίσης μία γλώσσα και κυρίως είναι η γλώσσα των επιστημών. Σε αυτά τα πλαίσια πρέπει να το βλέπουμε ως ένα μέσο επικοινωνίας που πράγματι πολλαπλασιάζει τις προοπτικές και δυνατότητες που δίνουν άλλα μέσα επικοινωνίας όπως για παράδειγμα η φυσική γλώσσα. Πέραν των άλλων όμως είναι σημαντικό να δούμε τα Μαθηματικά και μέσα από τη φιλοσοφική τους διάσταση και να σταθούμε σε μερικά συστατικά τους που μας οδηγούν σε κάποια κατανόηση της δύναμής τους. Ένα από αυτά είναι η αφαίρεση που θεωρείται ότι τους δίνει τη ιδιάζουσα πνοή για να επεκτείνονται και να επικρατούν. Χαρακτηριστικά ο P. Dirac Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 9 ΚΥΜΕ 00

14 σημειώνει ότι τα Μαθηματικά είναι, ειδικά, το πιο κατάλληλο εργαλείο για την ενασχόληση με αφηρημένα θέματα κάθε είδους. Δεν υπάρχει όριο στη δύναμή τους σε αυτό το πεδίο. Ένα δεύτερο στοιχείο που χαρακτηρίζει τα Μαθηματικά είναι η δομή. Με την αντίληψη αυτή της δομής αποκτούμε το πλεονέκτημα όταν εργαζόμαστε σε μαθηματικές οντότητες να μεταφέρουμε εμπειρίες και ανάλογες έννοιες από ένα αντικείμενο σε ένα άλλο που ικανοποιεί παρόμοια κριτήρια ή προυποθέσεις. Μια άλλη όμως πτυχή των μαθηματικών που δεν πρέπει να τη ξεχάσουμε και που δικαιολογεί γιατί πολλοί από εμάς βρισκόμαστε σε αυτό το χώρο, αυτή την εποχή που είναι οι διακοπές μας, είναι η αισθητική εμπειρία και το αισθητικό συστατικό που βιώνονται από όσους εμπλέκονται σε αυτά. Είναι γενικά πλέον αποδεκτό ότι, παρά το γεγονός ότι οι αισθητικές κρίσεις εκφράζουν το προσωπικό στοιχείο, η μαθηματική αισθητική αναλύεται σένα ευρύ φάσμα συστατικών, όπως η εναλλαγή έντασης και χαλάρωσης, η πραγμάτωση προσδοκιών, η έκπληξη σχετικά με την αντίληψη για τις απροσδόκητες σχέσεις και ενότητες, η οπτική ευχαρίστηση, η ευχαρίστηση από την αντιπαράθεση του απλού και του σύνθετου, της ελευθερίας και του περιορισμού και φυσικά, τα παραδοσιακά συστατικά όπως η αρμονία η ισορροπία και η αντίθεση. Μ αυτές τις λίγες σκέψεις θ άθελα να κλείσω το χαιρετισμό μου και να σας καλέσω να αξιοποιήσετε τις λίγες μέρες που θα είστε εδώ για να γνωρίσετε καλύτερα τις μαθηματικές αξίες. Θα ήταν όμως παράλειψη αν σε αυτό το σημείο δεν απευθυνόμουν και προς την εκλεκτή ομάδα των μαθηματικών που πρόθυμα ανταποκρίνονται για να διδάξουν κάποιες ενότητες και να σας εμφυσήσουν μαθηματική πνοή. Η παρουσία του Καθηγητή του Πανεπιστημίου της Λυών κ. Νίκου Λυγερού και της κυρίας Milena Radnovis λαμπρύνει το σχολείο αυτό. Τους ευχαριστώ πολύ για τη συνεισφορά τους και τους συγχαίρω για τις καλές τους διαθέσεις. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 0 ΚΥΜΕ 00

15 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

16 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

17 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

18 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 4 ΚΥΜΕ 00

19 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 5 ΚΥΜΕ 00

20 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 6 ΚΥΜΕ 00

21 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 7 ΚΥΜΕ 00

22 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 8 ΚΥΜΕ 00

23 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 9 ΚΥΜΕ 00

24 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 0 ΚΥΜΕ 00

25 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

26 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΑΒΒΑ ΙΩΑΝΝΙΔΗ (α ) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ να δείξετε ότι a + β + γ aβ + βγ + γa (β ) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει α + β + γ > 0 να δείξετε ότι α + β + γ αβγ (γ ) Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς α, β και γ να δείξετε ότι: α β γ + + β + γ γ + α α + β (δ ) Δίνονται οι πραγματικοί ακέραιοι αριθμοί α,β,γ,δ,ε [0,]. Να δείξετε ότι : α + β + γ + δ + ε + 4 α + β + γ + δ + ε ( ) ( ) (ε ) Να βρεθούν όλοι οι θετικοί αριθμοί α,β,γ οι οποίοι ικανοποιούν ταυτόχρονα τις ακόλουθες τρεις ανισότητες: α < α + β γ, β < β + γ α, γ < γ + α β. (στ ) Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν, ισχύει: > 4ν + 4ν + 4ν + 8ν 8 (ζ ) Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί α, β, γ οι οποίοι ικανοποιούν την ανισότητα α + β + γ + < αβ + β + γ. (η ) Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ και δ να δείξετε ότι ισχύει: α + β + γ + δ + β + γ + δ + γ + δ + δ α + 4β + 9γ + 6δ (θ ) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς a, a, a,... a ν να δείξετε ότι: a + a +... aν a a a aν a + a +... a + a + a + a + a ν ν (ι ) Να δείξετε ότι ν ισχύει: 5 ν... < 4 6 ν ν + (ια ) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν οι σχέσεις: α + β + γ > 0 αβ + βγ + γα > 0 αβγ > 0 Να δείξετε ότι α > 0, β > 0, γ > 0 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ (ιβ ) Να δείξετε ότι για κάθε ν ισχύει: ν ν < (ιγ ) Να βρεθούν όλοι οι μη αρνητικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις πιο κάτω σχέσεις: χ + ψ, χ + + ψ + (ιδ ) Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί χ και ψ που ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις: χ ψ χ < χ ψ ψ + χ <,, 0 (ιε ) Για τους πραγματικούς αριθμούς χ και ψ ισχύει η σχέση: Να δείξετε ότι χ > ψ. χ ψ χ ψ = 0. + (ιστ ) Αν αβγ,, να δείξετε ότι: α + β + αβ + α + γ + αγ > β + γ + βγ. (ιζ ) Να αποδείξετε την ανισότητα: α + β γ + β + γ α + γ + α β α β + β γ + γ α (ιη ) Αν χ, ψ, z και χ ψ z 0 να δείξετε ότι: χ + ψ + ψ + z + z+ χ χ + χψ + ψ ψ + ψz+ z z + zχ + z + (ιθ ) Αν χ, ψ, z να δείξετε ότι: χ ψ z χψ ψz zχ + (κ ) Αν αβγ,, να δείξετε ότι: α β γ α + β β + γ γ + α (κα ) Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι: α + β + γ αβ + αγ + α+ β + γ αβ + βγ + α+ β + γ αγ + βγ < α + β + γ (κβ ) Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι: β + γ α γ + α β α + β γ αβγ ( ) ( ) ( ) (κγ ) Για τους θετικούς αριθμούς a, a, a,... a ν ισχύει a a a... a ν =. Να δείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ν α α α α ν (κδ ) Αν χ, ψ, z + να δείξετε ότι: (α) χ ψ z χ z ψ ψ + z + χ z + ψ + χ και (β) χ ψ z χ ψ z ψ + z + χ ψ + z + χ Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 4 ΚΥΜΕ 00

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ (κε ) Αν a, a, a, β, β, β + να δείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) α + β α + β α + β αα α + β β β (κστ ) Αν α, β, γ και χ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ισχύει: + + =. Να δείξετε ότι: α + β + γ,75 α + χ β + χ γ + χ 8χ β + χ γ + χ α + χ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ (α ) Προσθέτουμε κατά μέλη τις προφανείς ανισότητες: ( α β) ( β γ) ( γ α) ( α β) ( β γ) ( γ α) α αβ + β + β βγ + γ + γ γα + α 0 α + β + γ αβ + βγ + γα (β ) Έχουμε την γνωστή ταυτότητα : α + β + γ αβγ = α + β + γ α + β + γ αβ βγ γα (γ ) ( ) ( ) Είναι όμως α +β + γ >0 και α + β + γ αβ βγ γα 0 α + β + γ αβγ 0 α + β + γ αβγ α β γ + + β + γ γ + α α + β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) α γ + α α + β + β β + γ γ + α + γ β + γ γ + α β + γ γ + α α + β α ( γα βγ α αβ) β ( βα β γα βγ) γ ( βγ βα γ γα) ( β γ)( γα γβ α αβ) αγ+ αβγ + α³ + α² β + αβ² + β³ + αβγ + βγ ² + βγ² + αβγ + γ ³ + + αγ ² αβγ α ² β α ² β αβ ² αγ ² βγ ² γα ² αβγ 0 α ³ + β ³ + γ ³ α ² γ α ² β αβ ² β ² γ βγ ² βγ ² αγ ² 0 α ³ + α³ + β³ + β³ + γ³ + γ³ α² γ α² β αβ² β² γ βγ² αγ² 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α² α γ + α² α β β² α β + β² β γ γ² β γ γ² α γ 0 ( α γ)( α γ ) ( α β)( α β ) ( β γ)( β γ ) ( α γ) ( α γ) ( α β) ( α β) ( β γ) ( β γ) η οποία είναι προφανής αφού κάθε προσθετέος είναι θετικός ή ίσος με 0. Η ισότητα ισχύει όταν α = β = γ. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 5 ΚΥΜΕ 00

30 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ α β γ (γ ) Μια δεύτερη προσέγγιση: Η προς απόδειξη σχέση + + β + γ γ + α α + β μετασχηματίζεται ως εξής: Θέτουμε: β + γ = χ, γ + α = ψ, α + β = ω χ + ψ + ω ( α + β + γ) = χ + ψ + ω α + β + γ = χ + ψ + ω, ψ + χ + ω α β, γ ω + χ + = = = ψ Τότε πρέπει να αποδείξουμε ότι: χ + ψ + ω ψ + χ + ω ω+ χ + ω + + χ ψ ω χ ω χ ψ χ χ ψ ψ ω ω ω χ ω χ ω ψ () χ ψ χ ω ψ ω ψ χ ω χ ω ψ Για τους θετικούς αριθμούς χ, ψ, ω ισχύει: +, +, + χ ψ χ ω ψ ω ψ χ ω χ ω ψ Εφ όσον απεδείχθη η σχέση () τότε ισχύει και χ ψ χ ω ψ ω η αρχική σχέση. (δ ) Για κάθε έχουμε ( ) 0 ( ) ( ) Αν στη σχέση () αντικαταστήσουμε το χ με = α + β + γ + δ + ε θα έχουμε ( α + β + γ + δ + ε + ) 4 ( α + β + γ + δ + ε). Εφ όσον,,,, [ 0,],,,,. a a β β γ γ δ δ ε ε Επομένως ( a + β + γ + δ + ε + ) ( α + β + γ + δ + ε ) (ε ) Μετασχηματίζουμε την πρώτη ανισότητα ως εξής: α < α + β γ α α β + γ < 0. Εφ όσον η παράσταση + (). a a β γ a a β γ αβγδε θα είναι + είναι ένας αρνητικός ακέραιος θα έχουμε Με ανάλογο τρόπο: β β γ + a () και γ γ a + β (). Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων (), () και () έχουμε: a a β + γ + β β γ + α + γ γ α + β ( a ) ( β ) ( γ ) a =, β = και γ = (στ ) Το πρώτο μέλος της ανισότητας γράφεται ως ακολούθως: = 4ν + 4ν + 4ν + 8ν Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 6 ΚΥΜΕ 00

31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ν + 4ν + 4ν + ν 5ν + 5ν + 5ν + ν ν + 6ν + 6ν + ν 7ν + 7ν + 7ν + ν Είναι όμως ν = 4ν + 4ν + 4ν + ν 5ν ν = 5ν + 5ν + 5ν + ν 6ν ν = 6ν + 6ν + 6ν + ν 7ν ν = 7ν + 7ν + 7ν + ν 8ν 8 Αλλά > 5 διότι + + > > 4ν + 4ν + 4ν + 8ν 8 (ζ ) Η δοθείσα σχέση μετασχηματίζεται ως εξής: α + β + γ + < αβ + β + γ α + β + γ + αβ β γ < 0 Η παράσταση α + β + γ + αβ β γ είναι αρνητικός ακέραιος αριθμός. Άρα α + β + γ + αβ β γ α + β + γ + αβ β γ + 0 4α 4β 4γ 4αβ β 8γ α 4αβ β β² β 4 γ² 8γ ( ) ( ) ( a β + β 4β γ γ + ) 0 ( a β) ( β ) ( γ ) a β = 0, β = 0, γ = 0 β=, γ= και α-=0 α=, β=, γ= a + β + γ + δ = χ + (η ) a, βγδε,,,. Θέτουμε β + γ + δ = ω χ > ψ > ω > δ > 0 γ + δ = ω a = β χ, β = ψ ω, και γ = ω δ τότε: Έτσι η προς απόδειξη σχέση μετασχηματίζεται ως εξής.: α + β + γ + δ + β + γ + δ + γ + δ + δ α + 4β + 9γ + 6δ Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 7 ΚΥΜΕ 00

32 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ( ) ( ) + ψ + ω + δ χ ψ + 4 ψ ω + 9 ω δ + 6δ ( ψ ω δ) ( χ ψ 5ω 7δ) ψ ω δ χ ψ 5ω 7δ ψ + ω + δ + χψ + χω ++ χδ + ψω + ψδ + ωδ χ + ψ + 5ω + 7δ χψ + χω + χδ + ψω + ψδ + ωδ ψ + 4ω+ 6δ Από τις σχέσεις χ > ψ > ω > δ > 0 ψ ψ, χω ω, χδ δ, ψω ω, ψδ δ, ωδ δ. Με πρόσθεση κατά μέλη των τελευταίων έξι ανισοτήτων λαμβάνουμε την προς απόδειξη σχέση: α + β + γ + δ + β + γ + δ + γ + δ + δ α + 4β + 9γ + 6δ (θ ) Έχουμε να αποδείξουμε την σχέση a + a +... aν a a a aν a + a +... a + a + a + a + a ν ν. Α μέλος: a+ a +... aν a + a +... aν = = + a + a +... aν + a + a +... a + + a + a +... a a + a +... a ν ν ν = a a aν a + a +... a + a + a +... a + a + a +... a ν ν ν a a a aν a + a + a + a ν Παρατηρήσεις: Αρχικά διαιρέσαμε με a + a +... a ν υποθέτοντας ότι δεν είναι ίσο με μηδέν. Αν a + a +... a ν = 0 η ανισότητα είναι προφανής. Η άσκηση ισχύει και για μιγαδικούς αριθμούς a, a,..., a ν. Η απόδειξη είναι η ίδια. (ι ) Συμβολίζουμε με: 5 ν a =..., 4 6 ν 4 6 ν β =.... Παρατηρούμε ότι: 5 7 ν ν ν a β = ν ν + ή a β = ν + Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 8 ΚΥΜΕ 00

33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Είναι όμως < 4 < < a < β a < aβ a < a < 6 7 ν + ν ν ν < ν ν + (ι ) Μια δεύτερη προσέγγιση είναι με την τέλεια επαγωγή. Ι. ν = < ισχύει. ΙΙ. Δεχόμαστε ότι ισχύει για ν=κ 5 κ... < 4 6 κ κ + ΙΙΙ. Θα δείξουμε ότι ισχύει για ν=κ+. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη τις σχέσης ΙΙ ( κ + ) 5 κ ( κ + ) ( κ + ) επί το κλάσμα. Τότε... < κ κ κ + κ + κ + ( ) Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι: κ + < κ + κ + κ + ( ) ( κ ) ( κ ) ( κ ) + + < + ( ) ( κ + ) ( κ + ) ( κ ) < κ ( κ + ) < ( κ + ) ( κ + ) κ + 4κ 6κ κ 4κ 8κ 4 ( ) < + + <4 προφανής (ια ) Παίρνουμε την εξίσωση ( χ α) ( χ β) ( χ γ) = 0 η οποία έχει σαν ρίζες τους αριθμούς α, β, γ. Η εξίσωση αυτή γράφεται ως ακολούθως: χ α + β + γ χ + αβ + αγ + βγ χ αβγ = 0 Παρατηρούμε ότι η εξίσωση αυτή ( ) ( ) δεν μπορεί να έχει αρνητικές ρίζες διότι αν χ = χ < 0 θα έχουμε: χ <, 0 ( ) ( αβ αγ βγ ) χ 0 α + β + γ χ < 0 ( α + β + γ > 0, δεδομένο) + + < ( αβ + αγ + βγ > 0, δεδομένο) 0 ( 0, έ ) ( ) ( ) αβγ < αβγ > δεδομ νο χ α + β + γ χ + αβ + αγ + βγ χ αβγ < α > 0, β > 0, γ > 0 0 Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 9 ΚΥΜΕ 00

34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ (ια ) Μια δεύτερη προσέγγιση με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε: Ι. α < 0, β < 0, γ < 0 άτοποδιότι α + β + γ > 0 ΙΙ. a < 0, β > 0, γ > 0 ή a > 0, β < 0, γ > 0 ή a > 0, β > 0, γ < 0 άτοπο διότι αβγ > 0 ΙΙΙ. Μένει η περίπτωση να είναι οι δύο αριθμοί αρνητικοί και ο ένας θετικός. Έστω α < 0, β < 0, γ > 0 Τότε από την πρώτη σχέση των δοθεισών έχουμε: α β γ > α + γ > β ( ) Η δεύτερη γράφεται ως εξής: αβ + βγ + γα > 0 β( α γ) γα 0 διότι υποθέσαμε β > 0, α + γ > 0 ( ) άρα β( α + γ) < 0 και + + > πράγμα άτοπο γ > 0, α < 0 και γ α < 0. Είναι λοιπόν και οι τρεις αριθμοί θετικοί διότι οι άλλες περιπτώσεις μας οδηγούν σε άτοπο. Έτσι θα είναι α > 0, β > 0, γ > 0 (ιβ ) Έχουμε κατά σειρά τα ακόλουθα = ν ν = ν ν 4 6 ν = ν + ν ν =... ν + ν + ν + +. Έτσι η προς απόδειξη ανισότητα γίνεται: ν ν + ν + ν + ν Είναι όμως > = ν + ν + ν + ν ν ν ν και ν < = < ν + ν + ν + ν ν + ν + ν + ν + Το ίσον ισχύει μόνο για ν= στο πρώτο μέλος της ανισότητας. <. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 0 ΚΥΜΕ 00

35 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ (ιγ ) χ + ψ και χ + + ψ + Η δεύτερη σχέση μετασχηματίζεται ως εξής: ( χ ψ ) ( ) ( ) ( ) χ + + ψ + + χ + ψ + ( ) χ + ψ + + 4χψ + χ + ψ + χ + ψ + + 4χψ + χ + ψ + 6 Είναι όμως χ + ψ + + 4χψ χψ + 5 4χψ χψ χψ () 4 4 Επίσης έχουμε χ ψ. Τότε η σχέση () γράφεται χ( χ) χ χ + 0 ( χ ) 0 χ = χ χ Όμοια ψ χ ψ. Τότε η σχέση () γίνεται ψ ( ψ) ψ + 0 ( ψ ) 0 ψ =. (ιδ ) Έχουμε χ < χ χ 0< χ < και χ χ =. χ < 0 χ ( χ ) < 0 ψ ψ Η δεύτερη σχέση τότε γράφεται: 5 ψ ψ + < 0 ψ = < ψ ψ + < < ψ < + 5 και ψ ψ = ή ψ =. Είναι όμως χ ψ ψ = (ιε ) Η δοθείσα σχέση γράφεται κατά σειρά ως εξής: χ + ψ χ + 4ψ + 46= 0 χ χ ψ 4ψ χ + ψ + 7 = = ( ) ( ) ( χ ) 4 ( ) χ 4 0 ( χ )( χ + ) 0 ( ) ( ψ + 7) 4 ( ψ + 7) 4 0 ( ψ + 5)( ψ + 9) 0 ( ) Από τις () και () προκύπτει χ > 5 ψ χ > ψ (ιστ ) Η ζητούμενη ανισότητα μετασχηματίζεται ως εξής: α + β + αβ + α + γ + αγ > β + γ + βγ Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

36 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ( α β αβ α γ αγ ) ( β γ βγ ) > > + + α β αβ α γ αγ α β αβ α γ αγ β γ βγ ( ) ( ) α + β + αβ α + γ + αγ > βγ α αβ αγ. Αν το δεύτερο μέλος της ανισότητας είναι αρνητικό έχουμε προφανή ανισότητα. Διαφορετικά τετραγωνίζουμε και τα δύο μέλη > 4 4( α αγ αγ αβ βγ αγβ αβ αβγ αβγ) 4 β γ + 4α + α β + α γ 4α βγ αβ γ + 4α β + 4α γ + αβγ α γ + α β + β γ + 6αγβ + 6αβγ + 6α βγ > 0. Η τελευταία σχέση είναι προφανής διότι α, β, γ +. (ιζ ) Έχουμε την γνωστή ανισότητα χ + ψ χ ψ. Τότε α + β γ + β + γ α α + β γ β γ + α = α γ = α γ () β + γ α + γ + α β β + γ α γ α + β = β α = β α () γ + α β + α + β γ γ + α β α β + γ = γ β = γ β () Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες (), (), () και έχουμε: α + β γ + β + γ α + γ + α β α γ + β α + γ β α + β γ + β + γ α + γ + α β α β + β γ + γ α (ιη ) Παίρνουμε ένα από τα τρία κλάσματα και παρατηρούμε ότι: χ + ψ () χ + χψ + ψ Αν χ + ψ 0 η ανισότητα είναι προφανής. Αν χ + ψ > 0 τετραγωνίζουμε και τα δύο μέλη και έχουμε: χ + χψ + ψ 4 χ + 6χψ + ψ 4χ + 4χψ + 4ψ χ + χψ + ψ χ χψ + ψ 0 ( χ ψ ) 0 προφανής. Ομοίως έχουμε ψ + z z + χ (), ψ + ψz+ z z + zχ + z Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων (), () και () θα έχουμε: χ + ψ + ψ + z + z+ χ χ + χψ + ψ ψ + ψz+ z z + zχ + z () (ιθ ) Η δοθείσα ανισότητα χ ψ z χψ ψz zχ με χ, ψ, z + Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ μετασχηματίζεται ισοδύναμα ως εξής: χ ψ z χψ ψz zχ χ ψ z χψ χ z ψ z χψ ψ z zχ χ ψ z χψ χ z ψ z χ ψ z χψ χ z ψ z χ χψ ψ χ χ z z ψ ψ z z η οποία είναι προφανής. χ ψ χ z ψ z α β 0 α αβ + β 0 α + β αβ (κ ) Έχουμε κατά σειρά τα εξής: ( ) ( ) α αβ β 4αβ α β 4αβ Επειδή αβγ,, έχουμε ( α + β ) αβ α β α + β + Έχουμε λοιπόν για αβγ,, τις πιο κάτω ανισότητες: 4 4 +, + α β α + β β γ β + γ, 4 +. Προσθέτοντας κατά μέλη γ α γ + α Διαιρούμε δια του 4 και τα δύο μέλη α β γ α + β β + γ γ + α α β γ α + β β + γ γ + α (κα ) Μετασχηματίζουμε το κάθε ριζικό ως ακολούθως: ( ) α+ β + γ αβ + αγ = β + γ β + γ α α = ( ) = β + γ α = β + γ α = β + γ α διότι β + γ > α. Έτσι η ζητούμενη ανισότητα γράφεται β + γ α + α + γ β + α + β γ < α + β + γ β + γ + α + γ + α + β < α + β + γ Ισχύει όμως β γ β γ β + γ < β + γ + < + () διότι ( ) β + γ < β + γ + βγ 0< βγ προφανής. Ομοίως α + γ < α + γ () και α + β < α + β () Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων (), () και () έχουμε την προς απόδειξη σχέση στη μετασχηματισμένη της μορφή. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ ΚΥΜΕ 00

38 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ (κβ ) Εφ όσον α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου θα έχουμε β + γ α > 0, γ + α β > 0 και α + β γ > 0 Χρησιμοποιούμε τώρα την ανισότητα: Γ. Μ. ΑΜ.. (Γ.Μ. = Γεωμετρικός Μέσος, Α.Μ. = Αριθμητικός Μέσος) β + γ α + γ + α β β + γ α γ + α β = γ ( )( ) Έχουμε λοιπόν κατά κυκλική εφαρμογή του τύπου τις ακόλουθες ανισότητες: ( γ + α β)( α+ β γ) α, ( α + β γ)( β+ γ α) β, ( )( ) β + γ α γ + α β γ Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των τριών αυτών ανισοτήτων λαμβάνουμε: ( β + γ α ) ( γ + α β ) ( α + β γ) αβγ (κγ ) Έχουμε ( χ ψ ) 0 χ + ψ χψ Έτσι + α α + α α + α α... + α ν α ν Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των πιο πάνω ανισοτήτων βρίσκουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) + α + α + α... + α ν a a a... a ν ν αλλά a a a... a ν =. Έτσι τελικά ( ) ( ) ( ) ( ) + α + α + α... + α ν ν (κδ ) (α) Έχουμε την γνωστή ανισότητα: α + β + γ αβ + βγ + γα. χ ψ z Θέτουμε όπου α =, β =, γ = ψ z χ χ ψ z χ ψ ψ z z χ Τότε ψ + z + χ ψ z + z χ + χ ψ χ ψ z χ z ψ ψ + z + χ z + ψ + χ (β) Για την απόδειξη της β απόδειξης εργαζόμαστε ως ακολούθως: Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 4 ΚΥΜΕ 00

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ α + β + γ αβ + βγ + γα α + β + γ αβ + βγ + γα α + β + γ + α + β + γ α + β + γ + αβ + βγ + γα ( α + β + γ ) ( α + β + γ) α + β + γ α + β + γ ( α + β + γ) α + β + γ αλλά αβγ (Α.Μ. > Γ.Μ.) α + β + γ ( α + β + γ ) αβγ χ ψ z Θέτοντας α =, β, γ ψ = z = χ έχουμε χ ψ z χ ψ z ψ + z + χ ψ + z + χ (β) (κε ) Χρησιμοποιούμε τώρα την ανισότητα: Α. Μ ΓΜ... για τους θετικούς αριθμούς α α α β β β,, και,, α + β α + β α + β α + β α + β α + β α α α + + α + β α + β α + β α α α Έτσι: ή α + β α + β α + β α α α α α α + + α + β α + β α + β α + β α + β α + β ( ) ( ) ( ) β β β β β β + + α + β α + β α + β α + β α + β α + β ( ) ( ) ( ) Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο αυτές ανισότητες. και α α α β β β + ( α + β ) ( α + β ) ( α + β ) ( α + β ) ( α + β ) ( α + β ) α α α + β β β ( α + β ) ( α + β ) ( α + β ) ( ) ( ) ( ) α + β α + β α + β αα α + β β β (κστ ) Χρησιμοποιούμε τώρα την ανισότητα: Α. Μ ΓΜ... για τους θετικούς αριθμούς γ + χ α + χ β + χ γ + χ α + χ β + χ γ + χ α + χ β + χ,,. Τότε + + α + χ β + χ γ + χ α + χ β + χ γ + χ α + χ β + χ γ + χ γ α β χ + + α + χ β + χ γ + χ α + χ β + χ γ + χ γ α β γ α β χ + + α + χ β + χ γ + χ 8χ α + χ β + χ γ + χ 8 γ + α + β,75 α + χ β + χ γ + χ Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 5 ΚΥΜΕ 00

40 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 00 Ιωάννη Φάκα Φάσεις της Σελήνης για το έτος 00 Νέα Σελήνη Πρώτον Τέταρτον Πανσέληνος Τελ. Τέταρτον ημ ω λ ημ ω λ ημ ω λ ημ ω λ Ιαν. 0 Ιαν Ιαν 8 48 Ιαν 5 0 Φεβ Φεβ 09 Φεβ Φεβ 8 46 Μαρ Μαρ Μαρ. 8 5 Μαρ Απρ. 0 9 Απρ Απρ. 6 6 Απρ. 4 8 Μάης Μάης 09 5 Μάης Μάης 0 Μάης 06 0 Ιούνης 07 8 Ιούνης 4 6 Ιούνης 6 45 Ιούνης Ιούλης Ιούλης Ιούλης 09 0 Ιούλης Αύγου Αύγου Αύγου Αύγου Σεπτ Σεπτ Σεπτ 8 0 Σεπτ Οκτ 0 09 Οκτ Οκτ 8 4 Οκτ Νιο Νιο 09 0 Νιο Νιο Νιο Δεκ 08 7 Δεκ Δεκ 4 Δεκ Οι χρόνοι δίδονται εις χειμερινήν ώραν Κύπρου. ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ ΚΑΤΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 00 Το έτος 00, υπάρχουν 4 εκλείψεις, δύο του Ηλίου και δύο της Σελήνης.. Ολική Έκλειψη Σελήνης 6 Μαίου 00. Ορατή εν μέρει από την Κύπρο. Στοιχεία της Έκλειψης: Είσοδος στην παρασκιά ω 5λ Είσοδος στην σκιά 4ω λ Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 6 ΚΥΜΕ 00

41 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 00 Οι υπόλοιπες φάσεις της Σελήνης είναι αόρατες από την Κύπρο, διότι η Σελήνη θα δύσει στις 4ω 46λ. Μέγεθος Έκλειψης:,. Δακτυλιοειδής Έκλειψη Ηλίου, Μαίου 00 Ορατή στην Κύπρο ως μερική. Στοιχεία Έκλειψης: Πρώτη επαφή Μέσον Έκλειψης Τέλος Έκλειψης ω 59λ 4ω 5λ 5ω 46λ Μέγεθος Έκλειψης 0,598 Η πρώτη επαφή θα γίνει πριν την ανατολή του Ήλιου. Ο Ήλιος θα ανατείλει στις 4ω λ και θα ευρίσκεται σε έκλειψη.. Ολική Έκλειψη Σελήνης 9 Νοεμβρίου 00. Ορατή από την Κύπρο. Στοιχεία της Έκλειψης: Είσοδος Σελήνης στην παρασκιά 00ω 5λ Είσοδος Σελήνης στην σκιά 0ω λ Αρχή της Ολικής Έκλειψης 0ω 06λ Μέσον της Έκλειψης 0ω 8,5λ Τέλος Ολικής Έκλειψης 0ω 0,7λ Έξοδος εκ της σκιάς 05ω 4,5λ Έξοδος εκ της παρασκιάς 06ω λ Την ημέρα της έκλειψης η Σελήνη ανατέλλει στις 6ω λ και δύει στις 6ω 5λ. Μέγεθος Έκλειψης,0 4. Ολική Έκλειψη Ηλίου 4 Νοεμβρίου 00. Αόρατη από την Κύπρο Η έκλειψη αρχίζει στις ω και 46λ της ης Νοεμβρίου και λήγει στις ω και 5λ της 4 ης Νοεμβρίου. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 7 ΚΥΜΕ 00

42 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 00 Η έκλειψη θα είναι ορατή από μια περιοχή στην οποία περιλαμβάνονται η Ανταρκτική και η Αυστραλία. Εποχές του έτους 00. Ο Ήλιος εισέρχεται στον Κριόν την ην Μαρτίου στις ω 00λ. Αρχή του Έαρος.. Ο Ήλιος εισέρχεται στον Καρκίνον την ην Ιουνίου στις ω 0λ. Αρχή του Θέρους.. Ο Ήλιος εισέρχεται στον Ζυγόν την ην Σεπτεμβρίου στις ω 47λ. Αρχή του Φθινοπώρου. 4. Ο Ήλιος εισέρχεται στον Αιγόκερω την αν Δεκεμβρίου στις 09ω 04λ. Αρχή του Χειμώνα. Οι χρόνοι δίδονται σε χειμερινή ώρα Κύπρου. ΔΙΑΒΑΣΗ ΤΟΥ ΕΡΜΟΥ ΠΡΟ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Την 7 η Μαίου 00 θα συμβεί διάβαση του Ερμού προ του ηλιακού δίσκου, η οποία θα είναι ορατή από την Κύπρο. Οι χρόνοι των διαφόρων φάσεων είναι οι ακόλουθοι: α) Εξωτερική επαφή Εισόδου 7ω λ 7δ β) Εσωτερική επαφή Εισόδου 7ω 6λ 4δ γ) Εσωτερική επαφή Εξόδου ω 7λ δ δ) Εξωτερική Επαφή Εξόδου ω λ 7δ Την ημέρα της διάβασης του Ερμή ο Ήλιος θα ανατείλει στις 4ω 50λ. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 8 ΚΥΜΕ 00

43 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ [ΜΕΡΙΚΑ ΙΔΕΟΛΟΓΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ] ΚΕΡΑΣΑΡΙΔΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-Πάτμου, Άλιμος (74 56) Περίληψη Τα μαθηματικά μοντέλα των φυσικών και κοινωνικών φαινομένων και διαδικασιών, δεν είναι φιλοσοφικά και ιδεολογικά ουδέτερα, αφού στο βάθος αντικατοπτρίζουν τις αντιλήψεις του κατασκευαστή τους για τη Φύση και την κοινωνία και τον τρόπο που αλληλεξαρτώνται και αλληλοεπηρεάζονται Prècis The mathematical models of natural and social phenomenon and procedures, are not considered to be philosophically and ideologically neutral as, in the bottom line, they reflect the beliefs of their creator about Nature, society and the way which they depend and influence each other. Ι. Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Αντί ορισμού. Μέσα από την ιστορία διαπιστώνουμε πως η δεσπόζουσα άποψη για τη φιλοσοφία είναι ότι: α) διαμορφώνει μια συνολική αντίληψη για τη φύση, την κοινωνία και τη γνώση, δηλ., είναι κοσμοθεωρία, β) η φιλοσοφία είναι μια μορφή κοινωνικής συνείδησης, γ) η φιλοσοφία ήταν πάντοτε έκφραση των αντιθέσεων και των δυνατοτήτων της κάθε εποχής, δ) η φιλοσοφία αποτελεί γενίκευση όχι μόνο των φυσικών αλλά και των κοινωνικών επιστημών. Αντικείμενο της φιλοσοφίας. Αντικείμενο της φιλοσοφίας, από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, είναι ο κόσμος σαν σύνολο, και σε οργανική συνάρτηση μ αυτό, η γνωστική δυνατότητα της ανθρώπινης νόησης. Το οντολογικό και το γνωσιολογικό ερώτημα είναι αξεχώριστα. Αυτό το μαρτυρεί ολόκληρη η ιστορία της φιλοσοφίας, έστω και αν, μετά τον Καντ, το γνωσιολογικό ερώτημα έγινε κυρίαρχο, φτάνοντας να γίνει μοναδικά νόμιμο αντικείμενο της φιλοσοφίας κατά τον νεώτερο θετικισμό. Η διαφοροποίηση των επιστημών και η ικανότητά τους να ανακαλύπτουν με το πείραμα τις σχέσεις των φυσικών φαινομένων και να αντικαθιστούν τα παλιά μυθεύματα, έκαναν περιττή τη φιλοσοφία σαν την «επιστήμη των επιστημών» και τη φιλοδοξία της να αναγάγει σε ενιαία και καθολικά συστήματα τις επί μέρους προσφορές των άλλων επιστημών που δεν αντιπροσώπευαν παρά τους κρίκους στην αλυσίδα του ενιαίου συστήματος που επεξεργαζόταν η φιλοσοφία. Η φιλοσοφία του Χέγκελ α- ποτέλεσε την τελευταία αυτού του είδους. Το τέλος της φιλοσοφίας σαν «επιστήμης των επιστημών» αποτέλεσε μια πρόοδο με σοβαρές επιπτώσεις τόσο πάνω στις φυσικές και κοινωνικές επιστήμες, όσο και στην ίδια τη φιλοσοφία. Χαρακτηριστικά της φιλοσοφίας. Η φιλοσοφία έχει όχι μόνο επιστημολογική εμβέλεια (θεωρία των επιστημών, στρατηγική της έρευνας), αλλά και το ότι ασκεί μια συγκεκριμένη γνωστική λειτουργία. Βέβαια η φιλοσοφία δεν παράγει ειδική γνώση, όπως οι ειδικές επιστήμες: Μαθηματικά, Φυσική, Πολιτική Οικονομία κλπ. Τέλος, σαν θεωρία της γνώσης, συμβάλει στην ανάδειξη των γενικών χαρακτηριστικών της γνωστικής διαδικασίας και θεμελιώνει τη γνωσιμότητα ή μη της πραγματικότητας. Λειτουργίες της φιλοσοφίας. Δεσπόζουσα λειτουργία της φιλοσοφίας δεν είναι η γνωστική είναι η κοινωνικοπρακτική. Η φιλοσοφία, μορφή κοινωνικής συνείδησης, είναι ταξική και συμβάλει στην α- ναπαραγωγή και στη διαιώνιση του κυρίαρχου τρόπου παραγωγής ή στην ανατροπή του. Τα φιλοσοφικά συστήματα. Το βασικό πρόβλημα της φιλοσοφίας είναι η σχέση ανάμεσα στο είναι και τη νόηση, στην ύλη και τη συνείδηση. Ανάλογα με τον τρόπο που λύνουν και με τις απαντήσεις που δίνουν σ αυτό το πρόβλημα τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα, χωρίζονται σε δύο μέρη: στον υλισμό και στον ιδεαλισμό. Το τέλος της φιλοσοφίας; [ή η νέο-θετικιστική άποψη]. Πολλοί μίλησαν και μιλούν για το «τέλος της Φιλοσοφίας» Έπ αυτού η άποψή μας είναι πως η πραγματικότητα των ημερών μας μαρτυρεί για την αδιάκοπη ανανέωση της φιλοσοφίας, που αναπαράγεται και ανανεώνεται, με φενακισμένη ή ορθολογική μορφή, σαν έκφραση των συγκρούσεων και των επιστημονικών επιτευγμάτων της εποχής μας. Νόηση και φύση. Ποιος προηγείται; Με την εργασία του ο άνθρωπος υπερβαίνει το καθαρά ζωικό στάδιο. Αλλά η νόηση, αυτονομούμενη σχετικά από την πραγματικότητα, μπορεί να αγνοήσει τις Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 9 ΚΥΜΕ 00

44 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ προϋποθέσεις και την ιστορία της και να φαντασθεί ότι η ίδια είναι η αιτία του εαυτού της ή, ακόμη περισσότερο, ότι η ίδια νομοθετεί ή και δημιουργεί την πραγματικότητα Η ιδεαλιστική φιλοσοφία χαρακτηρίζεται από μια τέτοια τοποθέτηση. Η νόηση είναι σε θέση να ιδιοποιηθεί θεωρητικά την εξωτερική πραγματικότητα: να γνωρίσει τον κόσμο από τον οποίο αναδύθηκε. Το όλον, που εμφανίζεται στο πνεύμα σαν νοημένη πραγματικότητα, είναι προϊόν του σκεφτόμενου εγκεφάλου, που ιδιοποιείται τον κόσμο με τον τρόπο που του είναι δυνατός, με τρόπο που διαφέρει από την ιδιοποίηση αυτού του κόσμου από την τέχνη, τη θρησκεία, το πρακτικό πνεύμα. Η αυτονόμηση των πραγματικών σχέσεων και η "έννοια". Από τη στιγμή που πραγματοποιείται ο καταμερισμός της εργασίας σε εργασία υλική και διανοητική, η συνείδηση μπορεί να χειραφετηθεί από τον κόσμο και να περάσει στη διαμόρφωση της «καθαρής» θεωρίας, της θεολογίας, της φιλοσοφίας, της ηθικής κλπ. Στα πλαίσια του καταμερισμού της εργασίας, οι πολιτικές σχέσεις και οι σχέσεις δικαίου αυτονομούνται σε σχέση με τα άτομα. Αλλά κάθε σχέση εκφράζεται με τη μορφή έννοιας. Αν λοιπόν οι έννοιες εμφανίζονται σαν μυστηριακές δυνάμεις, αυτό οφείλεται στο ότι οι πραγματικές σχέσεις, των οποίων είναι η έκφραση, έχουν αυτονομηθεί: οι φαντασμαγορίες μέσα στον ανθρώπινο εγκέφαλο είναι εξιδανικεύσεις που προκύπτουν αναγκαστικά από τη διαδικασία της υλικής ζωής των ανθρώπων. Γιατί η συνείδηση δεν καθορίζει τη ζωή αντίστροφα, η ζωή καθορίζει τη συνείδηση. Η φιλοσοφική έννοια του χώρου και του χρόνου. Την καθολική ιδιότητα των υλικών σωμάτων να έχουν έκταση, να κατέχουν κάποια θέση και να βρίσκονται σε μια ορισμένη διάταξη ανάμεσα στα άλλα αντικείμενα υποδηλώνει η φιλοσοφική έννοια του χώρου. Την καθολική ιδιότητα των υλικών διεργασιών να συντελούνται η μια πίσω από την άλλη, με μια ορισμένη διαδοχικότητα, να έχουν διάρκεια και να εξελίσσονται σταδιακά υποδηλώνει η φιλοσοφική έννοια του χρόνου. Ο χώρος και ο χρόνος αποτελούν τις καθολικές μορφές ύπαρξης της ύλης. Σπουδαιότερη ιδιότητα του χώρου και του χρόνου είναι η αντικειμενικότητά τους, δηλαδή, το ότι δεν εξαρτώνται από την ανθρώπινη συνείδηση. Κι αυτό είναι πολύ φυσικό, εφόσον είναι μορφές της αντικειμενικά υπάρχουσας ύλης. Έτσι, το διηνεκές και το άπειρο της ύλης καθορίζουν την αιωνιότητα του χρόνου και την απεραντοσύνη του χώρου. Τούτο σημαίνει πως δεν είχαν αρχή κι ούτε θα έχουν ποτέ τέλος. Σε διάκριση με τον χώρο (που είναι τρισδιάστατος), ο χρόνος δεν έχει παρά μόνο μια διάσταση: από το παρελθόν στο μέλλον. ΙΙ. Η ΛΟΓΙΚΗ [ή η πρωτεΐνη των Μαθηματικών] Ορισμός. Η Λογική είναι η επιστήμη που μελετά όχι τις εξωτερικές μορφές της νόησης, αλλά τους νόμους της ανάπτυξης όλων των υλικών, φυσικών και πνευματικών πραγμάτων, δηλαδή τους νόμους που διέπουν το «γίγνεσθαι» όλου του συγκεκριμένου περιεχομένου του κόσμου και τη γνώση του δηλαδή αντιπροσωπεύει τον απολογισμό, το σύνολο, το συμπέρασμα που βγαίνει από την ιστορία της γνώσης του κόσμου. Οι νόμοι της Λογικής είναι οι αντανακλάσεις του αντικειμενικού κόσμου στη συνείδηση του ανθρώπου Τυπική Λογική. Η Τυπική Λογική δεν είναι παρά ο κατώτατος βαθμός της Λογικής, που μπορούμε να την συγκρίνουμε με τα στοιχειώδη Μαθηματικά. Η Τυπική Λογική αντιμετωπίζει τα φαινόμενα και τα αντικείμενα έξω από τις αμοιβαίες σχέσεις τους και από τις αλληλεξαρτήσεις τους, σαν να ήσαν ακίνητα και αμετάβλητα. Δεν υπολογίζει την ανάπτυξη, τις αλλαγές, τις εσωτερικές αντιφάσεις των πραγμάτων, κλπ. Οι νόμοι της νόησης τους οποίους διατυπώνει αντανακλούν τα αντικείμενα και τα φαινόμενα ανεξάρτητα από τις διεργασίες, από τις βαθμιαίες αλλαγές που συντελούνται μέσα τους, στο εσωτερικό τους. Διαλεκτική Λογική. Διαλεκτική, Λογική και Γνωσιοθεωρία αποτελούν ένα μόνο και το ίδιο πράγμα, γιατί η Λογική δεν μπορεί να δημιουργήσει νόμους της σκέψης, που να μη συμφωνούν με τους νόμους που διέπουν το ίδιο το «είναι». Η Διαλεκτική Λογική έχει σαν βασικό αξίωμα, το ότι οι έννοιες και οι κατηγορίες δεν είναι δημιουργήματα της ανθρώπινης νόησης αλλά αντανακλάσεις των αντικειμενικών νόμων που διέπουν την εξέλιξη της φύσης και της κοινωνίας στην ανθρώπινη συνείδηση. Η διαλεκτική λογική απαιτεί ώστε οι έννοιες και οι κατηγορίες να είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους, να βρίσκονται σε αμοιβαία αλληλεπίδραση όπως και τα αντικειμενικά φαινόμενα που αντανακλούν. Οι λογικές έννοιες και οι λογικές κατηγορίες δεν παρουσιάζονται παρά μόνο στη διάρκεια και πάνω στο έδαφος της πρακτικής δράσης που άλλωστε τις γεννάει και που μόνο αυτή (η πράξη) καθορίζει το βαθμό εγκυρότητάς τους. Η πρακτική δραστηριότητα του ανθρώπου οδηγεί τη συνείδησή του να επαναλαμβάνει δισεκατομμύρια φορές τις διάφορες λογικές μορφές έως ότου μπορέσουν να γίνουν αξιώματα. Μαθηματική Λογική. Η Μαθηματική (ή Συμβολική Λογική) έχει σαν αντικείμενο τη μελέτη των μαθηματικών εννοιών, πράξεων και κανόνων. Είναι μια εφαρμογή των μαθηματικών μεθόδων στο πεδίο Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 40 ΚΥΜΕ 00

45 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ της Τυπικής Λογικής, μια επέκταση του πεδίου ερεύνης της Τυπικής Λογικής πιο πέρα από τους πατροπαράδοτους (αριστοτέλειους) συλλογισμούς. Η Μαθηματική Λογική αντικαθιστά τις λέξεις που υποδηλώνουν τους όρους της Λογικής, τα συνδετικά και τις ενέργειες, τις εργασίες της Λογικής με σημεία συμβολικά και με τύπους μαθηματικούς διατυπωμένους με τη βοήθεια αυτών των σημείων. Ο τρόπος αυτός επιτρέπει να λύνονται πιο πολύπλοκα και πιο γενικά προβλήματα που λύνει η πατροπαράδοτη Λογική. Η Μαθηματική Λογική δεν βρίσκεται σε αντίφαση με τη συνήθη, την Τυπική, τη στοιχειώδη δηλ. Λογική, αλλά επιβάλλει αναγκαστικά σ αυτήν (την Τυπική Λογική) τις δικές της θέσεις. Λογιστική (Logistique). Είναι μια μεταφυσική μετονομασία και παραμόρφωση της Μαθηματικής Λογικής και είναι πλατειά διαδεδομένη στους οπαδούς του θετικισμού. Η Λογιστική εκφυλίζει, παραποιεί και εκτρέπει προς τη μεταφυσική, τις θεωρητικές βάσεις, τις μεθόδους και τα συμπεράσματα της Μαθηματικής Λογικής. Αντιπαραθέτει τεχνητά τη Μαθηματική στην Τυπική Λογική και την χρησιμοποιεί ταυτόχρονα για να καταπολεμήσει τη Διαλεκτική Λογική. Θεωρεί τη Μαθηματική Λογική σαν ένα σύνολο από συμβατικούς κανόνες και αυθαίρετους συνδυασμούς συμβόλων, που δεν έχουν και δεν αντανακλούν κανένα ουσιαστικό δεσμό, καμία σχέση ανάμεσα σ αυτά τα πράγματα. Σύμφωνα με την έκφραση του Κάρναπ, ενός απ τους θιασώτες της Λογιστικής: «η Λογιστική δεν λαβαίνει υπ όψη της ούτε τη σημασία των συμβόλων, ούτε τη σημασία των τύπων αλλά απλά και μόνο τα είδη και τη διάταξη των συμβόλων, που, μ αυτά, διατυπώνονται οι τύποι». Λογική Νόηση. Η Λογική Νόηση είναι ένα ποιοτικά ανώτερο στάδιο στην ανάπτυξη της γνώσης. Σκοπός της, να αποκαλύψει τις πάγιες ιδιότητες, τα βασικά γνωρίσματα του αντικειμένου. Οι μορφές της λογικής νόησης είναι: «Έννοια»:Η έννοια δεν αντανακλά όλες τις πτυχές του αντικειμένου, αλλά μόνο τις ουσιαστικές, τις γενικές, κάνοντας αφαίρεση των επουσιωδών γνωρισμάτων. «Κρίση»: Κρίση είναι η μορφή της νόησης που βεβαιώνει κάτι ή αρνείται κάτι. Οι έννοιες και οι κρίσεις είναι αλληλένδετες. «Συλλογισμός»: Συλλογισμός είναι η δημιουργία νέας κρίσης (συμπέρασμα) από τα στοιχεία των κρίσεων (προκείμενα). Με βάση τους συλλογισμούς, από τις υπάρχουσες γνώσεις είναι δυνατό να προκύψουν νέες γνώσεις. «Υπόθεση»: Υπόθεση είναι η εικασία για τα φαινόμενα, τα γεγονότα τους νόμους. Παραδείγματα υ- ποθέσεων μπορεί να είναι οι εικασίες για την προέλευση της ζωής πάνω στη Γη, για την κοσμογονία του ηλιακού συστήματος κ.ά. «Ιδέα»: Κάτω από την επίδραση των πρακτικών αναγκών, στο κεφάλι του ερευνητή γεννιέται πρώτα η ιδέα, η οποία προηγείται από την κίνηση της σκέψης, που χαράζει τις βασικές κατευθύνσεις των επιστημονικών αναζητήσεων. Η ιδέα αυτή δίνει, συνήθως, μια αμυδρή, κατά προσέγγιση, απάντηση στα ζητήματα της πράξης. «Φαντασία»: Είναι μια ιδιαίτερη και πρωτότυπη αντανάκλαση της αντικειμενικής πραγματικότητας στη συνείδηση, μια εικονογραφημένη αναπαράσταση πραγματικών ή μη πραγματικών φαινομένων. Κάθε αναπαράσταση (ακόμη και η πιο φανταστική), μακριά από του να είναι καθαρά υποκειμενικό προϊόν της ανθρώπινης συνείδησης, πηγάζει, σε τελευταία ανάλυση, από την αντανάκλαση της αντικειμενικής πραγματικότητας. Πρέπει να γίνει διάκριση ανάμεσα στην άγονη φαντασία που στηρίζεται πάνω σε εσφαλμένες αντιλήψεις της πραγματικότητας και στη γόνιμη που αντλεί δυνάμεις από τη γνώση των γεγονότων. Είναι χαρακτηριστικό ότι η ιδέα που προηγείται της θεωρίας δεν γεννιέται μόνο κάτω από την επίδραση της πράξης, αλλά υπαγορεύεται και από τη λογική ανάπτυξη της ίδιας της επιστήμης. «Θεωρία»: Οι επιστημονικές θεωρίες εκπροσωπούν τη βαθιά, πολύπλευρη γνώση για ορισμένες διαδικασίες ή τομείς της πραγματικότητας. Οι γνώσεις αυτές επαληθεύονται με τον πειραματισμό και την πρακτική. Η μεθοδολογία της επιστημονικής γνώσης «Ανάλυση»: Ανάλυση είναι η διάλυση του αντικειμένου στα συστατικά στοιχεία, πτυχές του, ώστε να κατανοηθεί η θέση τους και να επισημανθούν τα ουσιαστικά, τα κύρια. Ανάλυση είναι η επεξεργασία των ξεχωριστών πτυχών, η διάλυση του συγκεκριμένου φαινομένου. Η εμπράγματη ανάλυση χρη- Ο όρος Λογιστική προτάθηκε από τον Itelson σ ένα μαθηματικό συνέδριο στη Γενεύη (904), σε αντικατάσταση των ό- ρων: Αλγοριθμική Λογική, Μαθηματική Λογική, Συμβολική Λογική που χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν την τάση να παριστάνονται οι μέθοδοι και οι κανόνες της Τυπικής Λογικής με σύμβολα και κανόνες ανάλογους με κείνους της Άλγεβρας. Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 4 ΚΥΜΕ 00

46 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ σιμοποιείται βασικά στη διερεύνηση της ανόργανης φύσης. Η λογική ανάλυση, χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις που δεν είναι δυνατό να διαλυθεί το αντικείμενο. «Σύνθεση»: Σε διάκριση από την ανάλυση, η σύνθεση αποτελεί την υλική ή νοερή συνένωση των συστατικών και των πτυχών του αντικειμένου, που επιτρέπει να αποκαλυφθούν οι εσωτερικές, αναγκαίες διασυνδέσεις του, καθώς και οι ενυπάρχουσες στο αντικείμενο νομοτέλειες. «Επαγωγή»: Επαγωγή είναι η διαδικασία κίνησης της σκέψης από τα ξεχωριστά φαινόμενα στα γενικά συμπεράσματα. Ως γνωστό, νόμος είναι το γενικό και επαναλαμβανόμενο στα φαινόμενα. Το γενικό, όμως, δεν υπάρχει παρά μέσα στο ξεχωριστό. Σαν μέσο απόχτησης γενικής γνώσης από τη γνώση του ξεχωριστού, η επαγωγή είναι σπουδαία μέθοδος αποκάλυψης των νομοτελειών και των αιτιωδών συνδέσεων. «Παραγωγή» (ή παραγωγική απόδειξη): Είναι η διαδικασία κίνησης της σκέψης από το γενικό στο μοναδικό. Όταν υπάρχει γνώση για μια ολόκληρη τάξη πραγμάτων, στο σύνολό της, η παραγωγή επιτρέπει να επεκταθεί αυτή η γνώση σε οποιοδήποτε αντικείμενο της ίδιας τάξης. Η παραγωγή χρησιμεύει σαν μέθοδος επεξεργασίας της επιστημονικής θεωρίας. «Αφαίρεση»: Είναι το αποτέλεσμα της νοερής απομάκρυνσης από ορισμένες πτυχές ή γνωρίσματα του αντικειμένου και της προβολής άλλων, απαραίτητων και σπουδαίων για το δοσμένο στάδιο της έρευνας. Τελικά, διαμορφώνονται οι αφηρημένες έννοιες που, όπως, ξέρουμε, είναι σπουδαία μορφή της λογικής γνώσης. Η αφαίρεση αποτελεί διαδικασία μετάβασης απ το αντικείμενο στην εικόνα. Στο υποκείμενο δημιουργούνται εικόνες ως αποτέλεσμα της αντανάκλασης της αντικειμενικής πραγματικότητας σ αυτό, από την αλληλεπίδραση μαζί της, δηλ. δημιουργούνται μοντέλα της πραγματικότητας. Πρόκειται για εικόνες αντικειμένων και φαινομένων [συσχετίσεις, συναρτησιακές σχέσεις]. «Αναγωγή από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο»: Μια άλλη μέθοδος διερεύνησης του αντικειμένου στην κίνηση και εξέλιξή του, στις εσωτερικές διασυνδέσεις του, είναι η αναγωγή από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο. Το συγκεκριμένο εκπροσωπεί το αντικείμενο που αντανακλάται στη νόηση, με πλήρη ενότητα των ουσιαστικών, των διασυνδέσεων και σχέσεών του. Το αφηρημένο και το συγκεκριμένο, σαν λογικές κατηγορίες, εδράζονται στην αντικειμενική πραγματικότητα, δηλαδή στην ενότητα, ολότητα των αντικειμένων και φαινομένων του κόσμου, που συνεπάγονται ορισμένα συστατικά, μέρη, γνωρίσματα. IΙΙ. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ορισμός των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά μελετούν τις μορφές του χώρου και τις ποσοτικές σχέσεις στον πραγματικό κόσμο, και, έτσι, το αντικείμενο μελέτης τους έχει τις ρίζες του στην πραγματικότητα. Η πολύ αφηρημένη μορφή αυτού του αντικειμένου μελέτης με δυσκολία αποκρύπτει την προέλευσή της από τον εξωτερικό κόσμο. Όμως, για να ερευνηθούν αυτές οι μορφές και οι σχέσεις ως αφηρημένες, είναι απαραίτητο να αποχωρισθούν, εντελώς, από το υποκείμενο (υλικό) περιεχόμενό τους, το οποίο πρέπει να παραμεριστεί σαν κάτι άσχετο. Όμως, ο αφηρημένος χαρακτήρας των Μαθηματικών, δεν συνεπάγεται τον διαχωρισμό των Μαθηματικών από την υλική πραγματικότητα. Το πλήθος των ποσοτικών σχέσεων και των μορφών του χώρου, που μελετώνται από τα Μαθηματικά, είναι άρρηκτα συνδεμένο με τις απαιτήσεις της Τεχνολογίας και των Φυσικών Επιστημών και αυξάνεται συνεχώς. Κατά συνέπεια, ο ορισμός των Μαθηματικών, που δόθηκε πιο πάνω, εμπλουτίζεται με ακόμη αφθονότερο περιεχόμενο. Η σημασία των Μαθηματικών. Οι σχέσεις των Μαθηματικών με τις πρακτικές ανάγκες και με το πρακτικο-διανοητικό επίπεδο της ανθρώπινης κοινωνίας καθορίζουν την ανάπτυξή τους. Έτσι καταλήγουν σε καθολικά επιτεύγματα που τους επιτρέπουν να εξυπηρετούν και να επιδρούν επί αιώνες και χιλιετίες στην ανάπτυξη των επόμενων εποχών. Σήμερα, θα λέγαμε ότι, τα Μαθηματικά πάντοτε έφεραν τα ίχνη της «παραγωγικής δύναμης» στην πνευματική και οικονομική συγκρότηση κάθε εποχής, εξυπηρετώντας την με τα αντίστοιχα για τις ανάγκες της νέα και κληροδοτημένα καθολικά μαθηματικά μέσα. Η καθολικότητα των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά ξεχωρίζουν μεταξύ των άλλων επιστημών με την καθολικότητά τους. Οι μέθοδοι της μαθηματικής έρευνας αποτελούν, πρακτικά, αναπόσπαστο τμήμα όλων των επιστημών. Οι μαθηματικοί εργάζονται σε ό- λους τους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας και τα αποτελέσματά τους στη συνέχεια επιβεβαιώνονται πειραματικά. Η εφαρμογή των μαθηματικών μεθόδων έρευνας αυξάνει την αντικειμενική αξία των επιστημονικών θεωριών. Η καθολικότητα των Μαθηματικών εξηγείται από την ευρύτητα του α- ντικειμένου τους. Όλα τα αντικείμενα κι οι διαδικασίες που υπάρχουν πραγματικά στον κόσμο έχουν Μαθηματικό Βήμα ΙΘ 4 ΚΥΜΕ 00

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Σκοπός του Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επιδιώξεις της παιδαγωγικής διαδικασίας. Σκοποί

Επιδιώξεις της παιδαγωγικής διαδικασίας. Σκοποί Επιδιώξεις της παιδαγωγικής διαδικασίας Σκοποί Θεματικές ενότητες Διαμόρφωση των σκοπών της αγωγής Ιστορική εξέλιξη των σκοπών της αγωγής Σύγχρονος προβληματισμός http://users.uoa.gr/~dhatziha/ Διαφάνεια:

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος : έρευνα και πειραματισμός

Μέθοδος : έρευνα και πειραματισμός 1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 Μέθοδος : έρευνα και πειραματισμός Στόχος της Τεχνολογίας στην Γ Γυμνασίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης kliapis@sch.gr 1 Ο Ρόλος του εκπαιδευτικού Αξιολογεί την αρχική μαθηματική κατάσταση κάθε παιδιού, ομαδοποιεί τα παιδιά σύμφωνα με

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί πως η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στον ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

12 Ο ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΟΡΟΣ στην εκπαιδευση

12 Ο ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΟΡΟΣ στην εκπαιδευση προλογοσ Το βιβλίο αυτό αποτελεί καρπό πολύχρονης ενασχόλησης με τη θεωρητική μελέτη και την πρακτική εφαρμογή του παραδοσιακού χορού και γράφτηκε με την προσδοκία να καλύψει ένα κενό όσον αφορά το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ Γνωστικό αντικείμενο Επίπεδο ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείου Ταυτότητα Στόχος Περιγραφή Προτεινόμενο ή υλοποιημένο Λογισμικό Λέξεις κλειδιά Δημιουργοί α) Γνώσεις για τον κόσμο: Οι δυνάμεις εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΑΣΠΑΙΤΕ ΕΠΑΙΚ 2013-2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΥΡΙΚΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ «Ο ΕΝΣΤΕΡΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΞΙΩΝ-ΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ» ΣΤΑΜΑΤΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΤΣΕΜΕΚΙΔΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΥΝΤΥΧΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΓΟΝΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ Α, Β και Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 28/11/2012 ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΣΤΗΝ Α, Β και Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Παπαφιλίππου

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

- `Εντιμη Εκπρόσωπη του Υπουργού Οικονομικών Κυρία Ρέα Γεωργίου Γενική Λογίστρια της Δημοκρατίας.

- `Εντιμη Εκπρόσωπη του Υπουργού Οικονομικών Κυρία Ρέα Γεωργίου Γενική Λογίστρια της Δημοκρατίας. 1 ΤΕΛΕΤΗ ΒΡΑΒΕΥΣΗΣ 9ης ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΣ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑΣ Σάββατο 8 Ιουνίου 2013 - Αίθουσα τελετών του Πανεπιστημίου Κύπρου κτίριο Αναστάσιος Γ Λεβέντης αίθουσα Β108 στην Πανεπιστημιούπολη - `Εντιμη Εκπρόσωπη

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα διεξαγωγής έρευνας με χρήση ερωτηματολογίου δόθηκε από τη δημοσιογραφική ομάδα του Σχολείου μας, η οποία στα πλαίσια έκδοσης της Εφημερίδας

Η ιδέα διεξαγωγής έρευνας με χρήση ερωτηματολογίου δόθηκε από τη δημοσιογραφική ομάδα του Σχολείου μας, η οποία στα πλαίσια έκδοσης της Εφημερίδας 1 2 Η ιδέα διεξαγωγής έρευνας με χρήση ερωτηματολογίου δόθηκε από τη δημοσιογραφική ομάδα του Σχολείου μας, η οποία στα πλαίσια έκδοσης της Εφημερίδας μας, διεξήγαγε έρευνα ανάμεσα στους συμμαθητές μας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Εσπερινών Επαγγελματικών Λυκείων (ΟΜΑΔΑ Α )

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Εσπερινών Επαγγελματικών Λυκείων (ΟΜΑΔΑ Α ) 29 Μαΐου 2014 ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Εσπερινών Επαγγελματικών Λυκείων (ΟΜΑΔΑ Α ) Α1. Ο συγγραφέας του κειμένου αναφέρεται στη σημασία του δημιουργικού σχολείου στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πιλοτική Εφαρμογή της Πολιτικής για Επαγγελματική Ανάπτυξη και Μάθηση

Πιλοτική Εφαρμογή της Πολιτικής για Επαγγελματική Ανάπτυξη και Μάθηση Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου Πιλοτική Εφαρμογή της Πολιτικής για Επαγγελματική Ανάπτυξη και Μάθηση 390 παιδιά Το πλαίσιο εφαρμογής 18 τμήματα Μονάδα Ειδικής Εκπαίδευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Εισαγωγή Το νέο πρόγραμμα σπουδών που ισχύει πλέον πλήρως, ξεκίνησε να εφαρμόζεται σταδιακά ανά έτος από το ακαδημαϊκό έτος 2011-12 και είναι αποτέλεσμα αναμόρφωσης και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Συγγραφική ομάδα: Δεληγιάννη Ελένη Μάκη-Παναούρα Γεωργία Παντζιαρά Μαριλένα Παπαριστοδήμου Έφη Σιακαλλή Μύρια Χειμωνή Μαρία ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Νέο Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί ότι η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στο ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΙΑΙΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΕΝΙΑΙΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΝΙΑΙΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΕΙ ΚΑΤΑ ΤΟ ΜΕΡΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΙΣΧΥΟΥΝ ΤΟ ΔΕΠΠΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ Μάθημα 1 ο 14/3/2011 Περίγραμμα και περιεχόμενο του μαθήματος Μάθηση με την αξιοποίηση του Η/Υ ή τις ΤΠΕ Θεωρίες μάθησης Εφαρμογή των θεωριών μάθησης στον σχεδιασμό εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 1 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 1. Εισαγωγή Το μάθημα εισάγει τους μαθητές και τις μαθήτριες στην σύγχρονη οικονομική επιστήμη, τόσο σε επίπεδο μικροοικονομίας αλλά και σε επίπεδο μακροοικονομίας. Ο προσανατολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Παιδαγωγική

Εισαγωγή στην Παιδαγωγική Εισαγωγή στην Παιδαγωγική ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Χειμερινό εξάμηνο 2016-2017 Διδάσκουσα: Μαρία Δασκολιά Επίκουρη καθηγήτρια Τμήμα Φ.Π.Ψ. Θεματική του μαθήματος Έννοια και εξέλιξη της Παιδαγωγικής

Διαβάστε περισσότερα

www.themegallery.com LOGO

www.themegallery.com LOGO www.themegallery.com LOGO 1 Δομή της παρουσίασης 1 Σκοπός και στόχοι των νέων ΠΣ 2 Επιλογή των περιεχομένων & Κατανομή της ύλης 3 Ο ρόλος μαθητή - εκπαιδευτικού 4 Η ΚΠΑ στο Δημοτικό & το Γυμνάσιο 5 Η Οικιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014»

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014» ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014» Γ Ε Ν Ι Κ Α Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Πρόγραμμα Διαγωνισμός : Καλλιέργεια Ερευνητικής και Καινοτομικής Κουλτούρας : Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Ρώσσης, Φάνη Στυλιανίδου Ελληνογερμανική Αγωγή. http://www.creative-little-scientists.eu

Δημήτρης Ρώσσης, Φάνη Στυλιανίδου Ελληνογερμανική Αγωγή. http://www.creative-little-scientists.eu Τι έχουμε μάθει για την προώθηση της Δημιουργικότητας μέσα από τις Φυσικές Επιστήμες και τα Μαθηματικά στην Ελληνική Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία; Ευρήματα για την εκπαίδευση στην Ελλάδα από το

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Διάταξη Θεματικής Ενότητας ΕΠΑ71Κ / Διαχείριση αλλαγής, σχολική αποτελεσματικότητα και στρατηγικός σχεδιασμός

Διάταξη Θεματικής Ενότητας ΕΠΑ71Κ / Διαχείριση αλλαγής, σχολική αποτελεσματικότητα και στρατηγικός σχεδιασμός Διάταξη Θεματικής Ενότητας ΕΠΑ71Κ / Διαχείριση αλλαγής, σχολική αποτελεσματικότητα και στρατηγικός σχεδιασμός Σχολή ΣΑΚΕ Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Πρόγραμμα Σπουδών ΕΠΑ Επιστήμες της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Σελίδα από Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς Η ανισότητα α β α ± β α + β με α, β C χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. και η Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός, Ιούνιος 008 Α. Εισαγωγή Το κείμενο αυτό ξεκίνησε να

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η θέση της Πανελλήνιας Ένωσης Καθηγητών Πληροφορικής Επιμέλεια κειμένου: Δ.Σ. ΠΕΚαΠ κατόπιν δημόσιας διαβούλευσης των μελών της Ένωσης από 20/07/2010. Τελική έκδοση κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΑΛΛΟΔΑΠΩΝ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝΝΟΣΤΟΥΝΤΩΝ ΓΟΝΕΩΝ

ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΑΛΛΟΔΑΠΩΝ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝΝΟΣΤΟΥΝΤΩΝ ΓΟΝΕΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΑΛΛΟΔΑΠΩΝ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝΝΟΣΤΟΥΝΤΩΝ ΓΟΝΕΩΝ Τερψιχόρη Γκιόκα Μέλος ΠΟΔ Αττικής Η «Συμβουλευτική Ψυχολογία» είναι ο εφαρμοσμένος κλάδος της Ψυχολογίας, ο οποίος διευκολύνει την δια βίου προσωπική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ κατάλληλο διδακτικό περιβάλλον εκπαιδευτικός διαχειριστής της τάξης μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Σκοποί της παιδαγωγικής διαδικασίας

Σκοποί της παιδαγωγικής διαδικασίας Σκοποί της παιδαγωγικής διαδικασίας Θεματικές ενότητες Διαμόρφωση των σκοπών της αγωγής Ιστορική εξέλιξη των σκοπών της αγωγής Σύγχρονος προβληματισμός Διαμόρφωση των σκοπών της αγωγής Η παιδαγωγική διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ )

ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ ) ΗΛΙΑΣ. ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ, Σχολικός Σύµβουλος 41 ης ΕΠ Αττικής ΣΤΕΛΙΟΣ Κ. ΚΡΑΣΣΑΣ, Σχολικός Σύµβουλος 31 ης ΕΠ Αττικής ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ. 3983-4008) ΣΚΟΠΟΣ ΣΤΟ ΕΠΠΣ 1. Σκοπός της ιδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α.

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου 013 στο 17 ο ΓΕΛ από τους καθηγητές Ν.Κ, Κ.Μ, Δ.Α. Παρακάτω παρατίθενται τα θέματα και οι λύσεις ανεπτυγμένες σε κάποια σημεία, με σχόλια καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ / ΜΥΤΙΛΗΝΗ Ετήσιο Πρόγραμμα Παιδαγωγικής Κατάρτισης / Ε.Π.ΠΑΙ.Κ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ / ΜΥΤΙΛΗΝΗ Ετήσιο Πρόγραμμα Παιδαγωγικής Κατάρτισης / Ε.Π.ΠΑΙ.Κ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ / ΜΥΤΙΛΗΝΗ Ετήσιο Πρόγραμμα Παιδαγωγικής Κατάρτισης / Ε.Π.ΠΑΙ.Κ. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕ. Λ. ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Διδάσκων στην ΑΣΠΑΙΤΕ / Παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα