1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
|
|
- Κάστωρ Μαυρίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis meile kooliõpingutest esimesena tuntuks saanud naturaalarvude hulk N: N= { 0; 1; 2; 3;...} 1. Et loendamise teel on nulli raske saada, siis ei kuulunud see arv esialgu tuntud arvude hulka 2. Alles 7. sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. Need on liitmine ja korrutamine ning nende pöördtehted lahutamine ja jagamine. 1. Täitke tabel, valides arvudeks a ja b võimalikult erinevaid naturaalarve. Milliste tehete korral saame alati öelda, et tehte tulemus on naturaalarv? Nr. a b a + b a b a b a:b Üldise naturaalarvude teooria üheks väljaarendajaks oli itaalia matemaatik G Peano ( ). 2 Ka tänapäeval antakse välja õpikuid ja teisi matemaatika raamatuid, kus nulli ei loeta naturaalarvuks. 3
2 Eelmises ülesandes selgus, et vahe 3 7 ei ole naturaalarv. Seega, tundes vaid naturaalarve, ei saa me alati lahutamistehet sooritada. Siit ka vajadus laiendada naturaalarvude hulka uute arvudega nii, et saadud arvuhulgas oleks alati teostatav ka lahutamistehe. Võttes kasutusele naturaalarvude vastandarvud, osutubki see võimalikuks. Naturaalarvu n vastandarvu n defineerisime selliselt, et n+ ( n) = 0. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z: Z = {... 2; 1; 0; 1; 2;...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast + Z = 1; 2; 3;... ja { } negatiivsete täisarvude hulgast Z : Z = {... 3; 2; 1}. Niisiis + Z = Z { 0} Z ja N Z(joon. 1. 1) 1. + Z : Joon Võtnud kasutusele vastandarvud, saame lahutamistehet tõlgendada liitmisena (vahet summana): a b= a+ ( b). Et igal täisarvul leidub vastandarv, siis on lahutamistehe täisarvude hulgas alati teostatav iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv. Täisarvud liigituvad veel paaris ja paarituteks täisarvudeks. Täisarvu, mis jagub kahega, nimetatakse paarisarvuks. Ta on esitatav kujul 2n, kus n Z. Paaritud, st. kahega mittejaguvad täisarvud, esituvad aga kujul 2n + 1, kus n Z. 2. Valige ülesandes nr.1 lähtearvudeks a ja b võimalikult erinevaid täisarve. Milliste tehete korral võib alati öelda, et tehte tulemus on täisarv? 1 4 Positiivseid ja negatiivseid arve tunti juba vanas Hiinas umbes 200 a. e. Kr. Eeskirjad aritmeetiliste tehete sooritamiseks negatiivsete arvudega leiame aga esmakordselt 7. sajandi india matemaatikute töödest.
3 Äsja lahendatud ülesandes selgus, et täisarvude jagatis pole alati b 0, siis on jagatiseks täisarv, täisarv. Kui arv a jagub arvuga b ( ) vastasel juhul murdarv a b. Kui a ja b on samamärgilised, siis on see murd positiivne, kui erimärgilised, siis negatiivne. Laiendades täisarvude hulka murdarvudega, saame uue arvuhulga, kus on alati teostatav ka jagamistehe. Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. (joon. 1.2). Et iga täisarvu saab avaldada jagatisena (näiteks 5 = ; 0= ), a 10 0 b 2 2 Joon siis võime defineerida, et ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a b, kus a Z, b Z ja b 0. Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi mõisteid: a a N, b N ja b 0 b a b a b ; ; ; ; harilik murd ( ) lihtmurd ( < ) liigmurd ( ) 1 1 Segaarv naturaalarvu ja lihtmurru summa: 2 = Kümnendmurd murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne.: 7 5 3, 75 = Ühte ja sama arvu võib esitada mitmel erineval kujul: = = 1,
4 Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda: 1. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd: 51 1, = 2. Teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd: : 6 2, ,8(3). 6 = = = Et ka lõplikku kümnendmurdu on võimalik esitada lõpmatuna ja perioodilisena (1,275 = 1,27500 = 1,275(0)), siis võime öelda: 6 iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Kehtib ka vastupidine: iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd esitab ratsionaalarvu. Näide. Avaldame lõpmatu perioodilise kümnendmurru x = 1,2(43) kahe täisarvu jagatisena. Lahendus. 1000x= 1243, x= 12, a ja on a 990x= 1231 teineteise pöördarvud x = = A. 3. Millised järgnevatest arvudest on 1) naturaalarvud; 2) positiivsed ratsionaalarvud; 3) täisarvud; 4) mittepositiivsed naturaalarvud; 5) ratsionaalarvud; 6) teineteise vastandarvud; 7) mittenegatiivsed täisarvud; 8) teineteise pöördarvud; 9) paarisarvud; 10) paaritud arvud? 1, , , ,3 0,005
5 4. Millised eelmises ülesandes toodud arvudest on esitatud 1) hariliku murru kujul; 2) liigmurru kujul; 3) segaarvu kujul; 4) kümnendmurru kujul? 5. Tooge näiteid ratsionaalarvudest, mis ei ole 1) naturaalarvud; 2) täisarvud ega harilikud murrud; 3) täisarvud; 4) naturaalarvud ega kümnendmurrud. 6. Tooge näiteid naturaalarvudest, mis 1) ei ole täisarvud; 2) ei ole positiivsed täisarvud; 3) on ratsionaalarvud; 4) on täisarvud. 7. Millised järgnevatest lausetest on tõesed? 1. Iga naturaalarv on täisarv. 2. Iga ratsionaalarv on täisarv. 3. Iga täisarv pole ratsionaalarv. 4. Iga naturaalarv on positiivne. 5. Leidub ratsionaalarve, mis pole täisarvud. 6. Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 7. Leidub täisarve, mis on naturaalarvud. 8. Leidub naturaalarv, mis pole positiivne. 9. Iga harilik murd on täisarv. 10. Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 11. Leidub harilikke murde, mis on täisarvud. 12. Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 8. Arvutage arvude 7 ja 13 1) summa vastandarv; 2) vastandarvude vahe; 3) vahe pöördarv; 4) pöördarvude summa; 5) pöördarvude vahe ja vastandarvude summa jagatis; 6) vastandarvude summa ja pöördarvude vahe korrutis. 9. Avaldage kümnendmurruna. 1) 7 81 ; 2) ; 3) 9 ; 25 4) ; 5) ; 6) Avaldage kahe täisarvu jagatisena. 1) 0,(5); 2) 1,34(5); 3) 0,4(12); 4) 1,(4); 5) 0,7(5); 6) 2,2(34). 7
6 B. 11. Lahutage ülesandes nr. 9 olevate murdude nimetajad algteguriteks. 1. Milliste murdude nimetajate algteguriteks on vaid arvude 2 ja 5 astmed? Millised taandumatud murrud teisenevad lõplikuks 30 2 kümnendmurruks, millised mitte? Põhjendage püstitatud hüpotees. Uurige selleks 5 5 järgnevat näidet: = = = = 0, Avaldage kahe täisarvu jagatisena murrud 0,(7); 0,(76) ja 0,(765). Sõnastage reegel analoogiliste lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude teisendamiseks harilikeks murdudeks. 2. Avaldage kahe täisarvu jagatisena murrud 0,2(5), 0,2(54), 0,2(543) ja 0,12(54). Sõnastage reegel analoogiliste kümnendmurdude teisendamiseks harilikeks murdudeks IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD 13. Lõigates ruudu, mille pindala on 1 ruutühik (rü), pooleks mööda tema diagonaali, saame kaks võrdset kolmnurka pindalaga 0,5 rü. Kas neljast sellisest kolmnurgast on võimalik moodustada ruut, mille pindala on 2 rü? Lahendades ülaltoodud ülesannet ning tundes vaid ratsionaalarve, on täiesti loomulik järgmiste küsimuste tekkimine. 1. Milline on saadud ruudu külje pikkus? 2. Mis liiki arv väljendab sellise ruudu külje pikkust? 3. Kas see arv saab olla täisarv? (Uurige järjestikuste täisarvude ruute!) 4. Kas see arv saab olla mingi täisarvust erinev ratsionaalarv, s.o. mingi taandumatu murd a, kus ja, 0 ning 1? b a b Z b b Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2. 8
7 Tõestus. Oletame vastupidiselt väitele, et selline ratsionaalarv siiski leidub, ja tähistame ta sümboliga 2. Eelnevas selgus, et 2 ei saa olla täisarv. Järelikult võib ta olla mingi taandumatu murd kujul a b, kus a ja b on ühistegurita. Seega 2 a a a a a a 2 = ehk 2 = = =. b b b b b b Et arvud a ja b on ühistegurita arvud (neil puuduvad ühised algtegurid) ja arvu ruutu tõstmine ei lisa uusi algtegureid, siis on ka murd a a taandumatu ega saa võrduda arvuga 2. Järelikult pole b b õige ka meie oletus, et otsitav arv on ratsionaalarv. Seega on olemas veel arve, mida me seni pole vaadelnud. Neid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks 1. Irratsionaalarvu 2 paiknemist arvteljel iseloomustavad järgmised võrratused: < 2 < 2 1 = 1; 2 = 4 ; ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 1, 4 < 2 < 1,5 1, 4 = 1,96; 1,5 = 2, 25 ; 1,41 < 2 < 1,42 1,41 = 1,9881; 1,42 = 2,016. Täpsemad arvutused näitavad, et 2 = 1, Et 2 pole ratsionaalarv, siis pole ta ka lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: 3 5 2; 3; 7; π jt. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R: R=I Qja Q R. 1 ld. irrationalis mõistusega mittehaaratav. Analoogilise probleemi ees oldi Antiik-Kreekas juba 2500 aastat tagasi. 9
8 Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Arvuhulkade laiendamist kirjeldab kokkuvõtvalt järgnev joonis 1.3. Joon A. 14. Leidke arvutil 1; 0,1 ja 0,01 ühiku pikkused vahemikud, kus paikneb arv Tõestage, et 3 on irratsionaalarv. 16. Millised järgnevatest arvudest on 1) naturaalarvud; 2) täisarvud; 3) ratsionaalarvud; 4) irratsionaalarvud; 5) reaalarvud; 6) mittepositiivsed irratsionaalarvud? 4 13,5 5 π Millised järgnevatest lausetest on tõesed? 1. Kõik naturaalarvud on reaalarvud. 2. Kõik täisarvud on naturaalarvud. 3. Mõni täisarv on naturaalarv. 4. Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 5. Ükski irratsionaalarv pole täisarv ,
9 6. Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7. Mõni reaalarv on täisarv. 8. Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9. Kõik ratsionaalarvud on reaalarvud. 10. Ükski naturaalarv pole täisarv. 18. Leidke arvutil 1 ja 0,1 ühiku pikkused vahemikud, kus paikneb arvude 2; 2 3 ja 3 2 aritmeetiline keskmine. B. 19. Olgu r reaalarv. Millised järgmistest arvudest on kindlasti suuremad kui r? r+ 1; 2 r; r ; r Olgu p paaritu täisarv ja n suvaline täisarv. Milline järgnevatest väidetest kehtib arvu p 2 + npkohta? 1. See arv on alati paaritu arv. 2. See arv on alati paarisarv. 3. See arv on paarisarv vaid siis, kui n on paarisarv. 4. See arv on paaritu arv vaid siis, kui n on paaritu. 5. See arv on paaritu vaid siis, kui n on paarisarv. 21. Tõestage, et kahe järjestikuse paaritu täisarvu ruutude vahe jagub kaheksaga. 22. Arvutage korrutis Millised on jada kaks järgnevat liiget? ; ; 1; ; Kastis on 20 punast, 20 rohelist, 20 kollast, 5 sinist ja 5 valget ühesuurust kuulikest. Kuule võetakse nende värvust nägemata. Mitu kuuli tuleb vähemalt võtta, et nende seas oleks kindlasti 1) 10 ühevärvilist; 2) vähemalt üks punane, üks roheline ja üks kollane kuul? 11
10 1.3. ARVUHULKADE OMADUSI 25. Kirjeldage arvuhulkade üldisi omadusi, kasutades järgnevas esitatud definitsioone. 12 Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või a<b. 1. Millised arvuhulkadest N, Z, Q, I ja R on järjestatud? 2. Millistes neist hulkadest leidub vähim arv? 3. Millistes neist hulkadest ei leidu ei vähimat ega suurimat arvu? Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb arv a + 1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. 4. Milliste vaadeldud arvuhulkade korral saab rääkida arvude vahetust üksteisele järgnemisest? Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. 5. Milline on arvude a ja b ning nende aritmeetilise keskmise suurusjärjestus? 6. Tooge näide täisarvudest, mille aritmeetiline keskmine pole täisarv. 7. Kas leidub ratsionaal- (reaal)arve, mille aritmeetiline keskmine pole ratsionaal- (reaal)arv? 8. Millised vaadeldud arvuhulkadest on tihedad? (Põhjendustes toetuge alapunktides 5 7 saadule.) Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. 9. Tooge näide naturaalarvudest, mille vahe pole naturaalarv. 10. Tooge näide täisarvudest, mille jagatis pole täisarv. 11. Milliste tehete suhtes on kinnised arvuhulgad N, Z, Q Q + ja R R +? 12. Milliste tehete suhtes on kinnine irratsionaalarvude hulk?
11 Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev. 13. Millistele arvtelje punktidele ei vasta täisarve? 14. Konstrueerige sirkli ja joonlauaga arvteljel punkt, millele ei vasta ratsionaalarvu (lähtuge näiteks ruudust). 15. Milline vaadeldud arvuhulkadest on pidev? Lähtudes eelmises ülesandes saadust, võime sõnastada arvuhulkade järgmised omadused: Naturaalarvude hulk N 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurimat arvu; 2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge; 3) on hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Täisarvude hulk Z 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge; 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes. Ratsionaalarvude hulk Q 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2) on tihe arvuhulk, s. t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2) on pidev arvuhulk, s. t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel; 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 13
12 1.4. PÕHITEHTED REAALARVUDEGA JA NENDE OMADUSED Põhitehteks naturaalarvude hulgas on liitmine ja korrutamine ning nende pöördtehted lahutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul. Seejuures peavad säilima järgnevas tabelis esitatud tehete põhiomadused. Kommutatiivsus e. vahetuvus Assotsiatiivsus e. ühenduvus Korrutamise distributiivsus e. jaotuvus liitmise suhtes 14 a+ b= b+ a ab = ba a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c abc ( ) = ( ) ab ( + c) = ab+ ac abc Üleminekul naturaalarvude hulgast täisarvude hulka säilivad nimetatud põhiomadused, kui tehetel negatiivsete arvudega järgi- a; b N : takse järgmisi eeskirju ( ) 1. a+ ( b) = b+ ( a) = ( a+ b) ; b a, kui b> a + = + = ( a b), kui b < a; 2. a b b ( a) 3. a+ a= a+ ( a) = 0 ; 4. a( b) = b( a) = ab; 5. ab = b ( a) = ab. Tehete põhiomaduste säilimine üleminekul täisarvude hulgast ratsionaalarvude hulka tagatakse järgmiste eeskirjadega: a c ad ± bc 1. ± =, b 0 ja d 0 ; b d bd a c ac 2. =, b 0 ja d 0 ; b d bd a c ad 3. : =, b 0, c 0 ja d 0. b d bc Täpsemate selgitusteta võtame teatavaks, et ka tehteid irratsionaalarvudega on võimalik defineerida selliselt, et üleminek ratsionaalarvude hulgast reaalarvude hulka säilitab tehete põhiomadused.
13 Irratsionaalarvudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Näiteks sajandikeni ümardatult on π 3,14; 2 1, 41 ja 3 1,73. Kui arvud on esitatud kujul π, 2 või 3, siis öeldakse, et on antud irratsionaalarvu täpne väärtus. Irratsionaalarvu täpne väärtus võib olla esitatud ka juuremärke sisaldava avaldisena: 3 5; 5 2 ja π 1. A. 26. Arvutage arvude 21 ja 7 1) summa; 2) vahe; 3) korrutis; 4) jagatis; 5) vastandarvude vahe vastandarv. 27. Arvutage. 1) 2 4 5; 2) 2 4( 5); 3) 2 (4 5); 4) 2( 4 5); 5) 2( 4) 5; 6) 2( 4) ( 5); 7) 15 : 5 3; 8) 15 : ( 5) 3; 9) 15 : (5 3). 28. Järjestage arvud arvutit kasutamata kasvavas järjekorras ) ; ; ; 0,7; 0,7( 5 ); ; 0,7( 42) ; ) ; ; 0,4() 1 ; ; 0, ( 3 ); ; 0,1( 23) Leidke arvude 5 6 ja 1 pöördarvude summa ning vastandarvude 3 vahe jagatis. 30. Leidke arvude 4 ja 6 summa pöördarvu ning pöördarvude summa vahe. 31. Arvutage. Vastus esitage hariliku murruna või segaarvuna ) 1, 4 ( 7) ; 2) 0,3( 15) + 1 ; ) 0,3( 21) + ; 4) 4, ( 7) 1 ; ) 1, 2 ( 5) ; 6) 0, ( 42 ):1 ;
14 7) 8) 9) : ; : 0, ; : Kas klassiruumitäis limonaadi maksab rohkem või vähem kui krooni maksev auto? Klassitoa mõõtmed on 6 m, 12 m ja 3,5 m ning 0,(3) liitrit limonaadi maksab 7 kr. ja 20 senti. 33. Ringi diameeter on 7 cm. Arvutage ringi pindala ja ringjoone pikkuse 1) täpne väärtus; 2) ligikaudne väärtus, mis ei erine täpsest enam kui 0,1 ühiku võrra. 34. Ruudu tipud asuvad ringjoonel. Mitu protsenti moodustab ruudu pindala ringi pindalast? Esitage vastus täpse arvuna. 35. Maakera ekvaatori pikkus on ca km. Kui palju pikeneks ekvaator, kui maakera raadius suureneks 1 m võrra? 36. Ringil ja ruudul on võrdne ümbermõõt. Kui suure osa ringi pindalast moodustab ruudu pindala? B. 37. Uurige seaduspärasusi arvude 1 10 korrutustabelis. 1. Milline on erinevate korrutiste esinemissagedus tabelis? Milline korrutis esineb tabelis kõige sagedamini, milline kõige harvemini? 2. Millised naturaalarvud puuduvad tabelist? Miks? 3. Millised arvud asuvad tabeli peadiagonaalil (ülalt vasakult alla paremale)? 4. Mida võib öelda peadiagonaali suhtes sümmeetriliste arvude kohta? Põhjendage. 5. Leidke tabelis oleva suvalise arvu seoseid tema naaberarvudega. Näiteks tabelis on neli korda arv 12. Leidke igal juhul arvu 12 seos temaga vahetult külgnevate (a) horisontaalsihis, (b) vertikaalsihis olevate arvudega. Põhjendage püstitatud hüpotees. Kas analoogiline omadus kehtib ka juhul, kui vaatleme antud arvust sama kaugel asuvaid arve?
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραFormaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότερα1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραMudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.
Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραVektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM
Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Hindamine:
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi
Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραPÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I
PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I 0. Arvut vldise,6 4 täpe väärtus. 4 4. Lihtsust vldis. 4 4. Lhed võrrdisüsteem = 4. 4= 4. Mtel mksis 400 krooi. Mtli hid tõusis lgul 0% j seejärel veel %. Kui suur oli lõpuks
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραEesti LV matemaatikaolümpiaad
Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότεραProgrammeerimise eksamiülesannete kogu
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραÜlesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραGeomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. IX klass Lahendamisaega on 5 tundi. Iga ülesande õige ja ammendavalt põhjendatud lahendus annab 7 punkti.
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. VII klass I osa: Lahendamiseks on aega 40 minutit. Sellele lehele kirjuta ainult vastused, lahendamiseks
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραExcel Statistilised funktsioonid
Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότεραTeaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότερα1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Διαβάστε περισσότεραKeemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.
Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότερα