Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge

Transcript

1 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse põrget absoluutselt elastseks. Pärast põrget võtavad kehad tagasi oma esialgse kuju. Põrke juures kasutatakse mõistet põrkejoon. See on kehade kokkupuutepunktist kokkupuutuvate pindadega risti tõmmatud sirge. Kui kehade masskeskmed asuvad põrke ajal põrkejoonel, siis nimetatakse põrget tsentraalseks. Selline on kõige lihtsam põrge. Sest siis ei tule arvestada pöörleva liikumise tekkimisega. Kehad ei pöörle ka pärast põrget, kui nad ei pöörelnud enne seda. Kerakujuliste kehade põrge on alati tsentraalne. 1

2 Põrked jaotatakse veel otse- ja kaldpõrgeteks. Otsepõrkel asuvad kehade kiirused nii enne kui pärast põrget ühel ja samal sirgel, kaldpõrkel mitte. Kahe kera puhul võib nende kaldpõrke muuta otsepõrkeks taustsüsteemi sobiva valikuga. Vaatleme elastsete kerade otsepõrget. Kaldpõrke võib alati selliseks teisendada, Enne põrget Pärast elastset põrget Pärast mitteelastset põrget Ülesanne seisneb kiiruste Ԧv 1 ja Ԧv määramises. Kiirused on seejuures võetud kõik ühemärgilised ja ühesuunalised. Sellisel juhtumil saame täiesti üldised valemid kiirustele pärast tsentraalset otsepõrget. Vastassuunaliste liikumiste puhul on kiiruste väärtused lihtsalt negatiivsed. Rakendame mehaanilise energia ja impulsi jäävuse seadust: ehk m 1 v 1 + m v = m 1 v 1 + m v m 1 v 1 + m v = m 1 v 1 + m v ቊ m 1 v 1 v 1 = m v v m 1 v 1 v 1 = m v v.

3 Jagades võrduste mõlemad pooled omavahel, saame v 1 + v 1 = v + v Korrutame võrdust m 1 -ga m 1 v 1 + m 1 v 1 = m 1 v + m 1 v. Liidame veel teise võrduse esialgsest süsteemist Siit m 1 v 1 + m v = m 1 + m v + m 1 v v = m 1v 1 + m m 1 v m 1 + m Samasugusel viisil saame leida, et v 1 = m v + m 1 m v 1 m + m 1 Vaatleme kahte erijuhtu. 1) m 1 = m, siis saame v = v 1 ja v 1 = v. Kuulikesed vahetavad kiirusi. Kui näiteks enne põrget seisis teine paigal, siis pärast põrget jääb paigale esimene. Teine jätkab liikumist esimese kiirusega. Põrke demonstratsioon 1 Need katsed on ilmekad näited liikumishulga ühelt kehalt teisele ülekandumise kohta. 3

4 ) m 1 m ; v =0. Kerge keha satub massiivsele paigalseisvale kehale. Põrge on absoluutselt elastne ja teine keha esimesega võrreldes lõpmatult massiivne. v = m 1 m 1 + m v 1 0 v 1 = m 1 m m + m 1 v 1 v 1 Kergem keha põrkub otse tagasi sama kiirusega, millega see suuremale langes. Massiivne jääb praktiliselt paigale. Mitteelastne tsentraalpõrge Antud juhul olgu kuulikesed niivõrd plastilised, et nad jääksid pärast põrget kokku. Sellisel juhtumil on süsteem mittekonservatiivne ja mehaanilise energia jäävuse seadust rakendada ei saa. Osa energiast kulub kuulikeste jäävaks deformeerumiseks. Lõppkiiruse määramiseks piisab impulsi jäävuse seadusest. Vaatleme kolme erijuhtumit. m 1 v 1 + m v = m 1 + m v; v = m 1v 1 + m v m 1 + m 1) m 1 = m, siis saame tulemuseks v = v 1 + v /. Kui teine keha seisis paigal v = 0, siis pärast põrget jätkavad liikumist koos poole väiksema kiirusega v = v 1 /. 4

5 ) Naela puusse löömine, v = 0. Tulemuseks saame v = m 1 m 1 + m v 1. Selleks, et nael saaks võimalikult suure kiiruse, peab kehtima võrratus m 1 m. Vasar peab olema naelast märksa suurema massiga. 3) Metallitüki sepistamine alasil. Eeldus ja ka lõppkiiruse valem on sama, mis juhul. Siin aga on oluline, et sepistatav detail koos alasiga liiguks vähe. Väikese lõppkiiruse saamiseks peab m m 1. Alasi koos sepistatava detailiga peab olema vasarast märkse massiivsem. Samale tulemusele jõuame, kui rakendame üldist energia jäävuse seadust. Kehade deformeerumiseks kulub mehaanilist energiat. See muundub kehade siseenergiaks need soojenevad. Vastav energiahulk on arvutatav mehaanilise energia muutuse kaudu: Q = m 1v 1 + m v m 1 + m v = Lühidalt = m 1v 1 + m v m 1 + m = m 1m v 1 v m 1 + m. Q = m 1m v 1 v m 1 + m. m 1 v 1 + m v m 1 + m = 5

6 Vaadeldud juhul 3 v = 0 saame m Q = m 1v 1 m 1 + m Vasara kineetilisest energiast m 1 v 1 läheb kehade m deformeerimiseks osa. Et see oleks võimalikult m 1 +m suur, peab olema m m 1. Sellisel juhtumil ligikaudu kogu löögi energia kulutatakse kehade deformeerimiseks (muundub siseenergiaks).. Pöördliikumise dünaamika Jõumoment ja impulssmoment Rakendame pöörlevale kehale mingi jõu. Mõju tulemuseks on tekkiv kiirendus. Millest see võiks oleneda? Katsed näitavad, et see ei olene ainult jõu suurusest. Jõu rakenduspunkti asukoht ja jõu suund on ka tähtsad. Pöörlevale kehale avaldatava mõju kirjeldamisel kasutatakse jõumomendi mõistet. Jõumomente on kaks. Kõigepealt vaatleme jõumomenti punkti suhtes, näiteks koordinaatide alguspunkti suhtes. Näitena vaatleme päikesesüsteemi. Koordinaatide alguspunkti võib valida suvaliselt. Võtame selle Päikese keskpunkti. Maa asukohta näitab siis kohavektor Ԧr. Maale mõjugu jõud, näiteks Linnutee gravitatsioonijõud F, mis ei pea asuma orbiidi tasandis. 6

7 Jõumoment punkti P suhtes defineeritakse järgmise vektorkorrutise abil: M = Ԧr ԦF M on vektor pikkusega M = rf sin α Mis asub risti Ԧr ja ԦF poolt määratud tasandiga. Mõjugu süsteemile mitu jõudu erinevates punktides. Siis mõjub süsteemile ka mitu jõumomenti. Nende mõju võib mõnikord asendada ühe jõumomendi omaga. Sellist protsessi nimetatakse jõumomentide liitmiseks. Sel juhul määratakse süsteemile mõjuvate jõudude momendid ja liidetakse need vektoriaalselt. Kõik jõumomendid peavad olema määratud ühe ja sama punkti suhtes, muidu pole liitmine põhjendatud. Praktikas esineb tihti olukordi, kus pöörlev kehade süsteem ei ole vaba, vaid omab mingit fikseeritud telge, mille ümber toimub pöörlemine. Sel juhul võetakse jõumomendi defineerimiseks vajaminev punkt pöörlemisteljele, nii et jõu rakenduspunkti kohavektor Ԧr oleks teljega risti. Samasse punkti O joonistame ka momendi M, mis on risti nii Ԧr kui ka ԦF vektoriga. 7

8 Lahutame jõu ԦF kaheks komponendiks ԦF ja ԦF. Esimese võtame paralleelse pöörlemisteljega, teise sellega risti. Sama teeme jõumomendiga. M on pöörlemisteljega paralleelne ja M sellega risti. Siis esineb järgmine vastavus: M on tekitatud jõu ԦF poolt ja M jõu ԦF poolt. Momendi M või jõu ԦF mõju kompenseeritakse laagrite poolt avaldatava vastureaktsiooni jõupaariga ԦF I. Seepärast võib fikseeritud telge omava keha pöörlemise kirjeldamisel jätta teljega paralleelsed jõud vaatlusest välja ja öelda, et mõjuvate jõudude moment pöörlemistelje suhtes on pöörlemisteljega paralleelne. Selline jõumoment defineeritakse vektorite Ԧr ja ԦF abil: M = Ԧr ԦF M = r F sin α = l F Lõiku l = r sin α nimetatakse jõu ԦF (või ԦF ) õlaks. See on jõu mõjumissirge kaugus pöörlemisteljest. Seega pöörlemistelge omavale kehale rakendatud jõu mõju oleneb selle ristkomponendi suurusest ja jõu õlast. Kehale mõjuva mitme jõu puhul, mis võivad mõjuda erinevates punktides, saab nende momente asendada ühega. Selleks tuleb kõigi jõudude momendid arvutada ühe ja sama telje suhtes ning tulemused liita vektoriaalselt. Summaarse momendi mõju asendab kõigi teiste mõjusid koosvõetuna. 8

9 Analoogiline on olukord impulsiga pöörleval liikumisel. Impulss ei kirjelda liikumishulka (pöörlemishulka) õigesti. Seda teeb impulsimoment N = Ԧr Ԧp = Ԧr m Ԧv See on impulsimoment punkti suhtes. Fikseeritud telge omava kehadesüsteemi korral võetakse Ԧr asemel Ԧr ja Ԧv asemel Ԧv ning siis on N suund kokkulangev pöörlemistelje omaga. Kui aga tegemist on ainepunktiga kehas, siis kiirus Ԧv on juba iseenesest risti teljega, mistõttu selle ristkomponenti pole vaja arvutada. Nendel juhtudel saame ülaltoodud valemit kasutades impulsimomendi telje suhtes. Inertsimoment Valemi N = Ԧr Ԧp = Ԧr m Ԧv järgi saab impulsimomenti arvutada ainult ainepunkti jaoks. Suuremate mõõtmetega keha puhul see ei sobi, sest selle igal punktil on oma kohavektor Ԧr (või Ԧr ) ja kiirus Ԧv (või Ԧv ). Sellisel juhtumil jaotatakse keha ainepunktideks, arvutatakse iga ainepunkti impulsimoment ja leitakse nende summa. Tulemuseks on keha impulsimoment N = Ԧr i m i Ԧv i i=1 Tahke keha korral saame valemit lihtsustada, sest Ԧv i on risti Ԧr i -ga, mistõttu nende korrutisel on pöörlemistelje suund. Sama telje suunaline on ka nurkkiiruse vektor ω. 9

10 Algul leiame mooduli Ԧr i Ԧv i = r i v i sin π = r i v i = r i ω Tahke keha korral on kõikidel punktidel sama nurkkiirus ω. Seega Ԧr i Ԧv i = r i ω mistõttu kogu keha impulsimomendi jaoks saame avaldise N = ω m i r i i=1 Summa märgi taha jäänud avaldis kannab ainepunkti inertsimomendi nime. Ainepunkti inertsimoment on tema massi ja pöörlemisraadiuse ruudu korrutis. Keha kõigi ainepunktide inertsmomentide summa kannab keha inertsimomendi nime I = m i r i i=1 Keha impulsimoment avaldub siis N = I ω Kulgevat liikumist iseloomustav suurus impulss arvutati valemiga L = m Ԧv. Pöörleva liikumise valem on kujult sama. Kiiruse asemel on tulnud temaga analoogiline suurus ω ja mass on asendunud inertsimomendiga I. Inertsimoment iseloomustab keha inertsust pöörleval liikumisel. Keha inerts ei olene ainult massist, vaid ka selle asetusest pöörlemistelje suhtes. Inertsimoment oleneb pöörlemistelje asendist keha suhtes. Seega ei ole see antud keha iseloomustav konstant. 10

11 Pöördliikumise dünaamika põhiseadus See on Newtoni II seadusega analoogiline seadus pöördliikumisel. Tuletamiseks lähtume Newtoni seadusest. i-nda ainepunkti kohta saame kirjutada ԦF i = d m i Ԧv i dt Vaatleme impulsimomendi tuletist aja järgi dn i dt = d Ԧr i m i Ԧv i = d Ԧr i dt dt m i Ԧv i + Ԧr i d m i Ԧv i = Ԧr dt i ԦF i Et Ԧr i on pöörleva punkti kohavektor, siis selle tuletis on ainepunkti kiirus Ԧv i. Esimene vektorkorrutis on võrdne nulliga, sest paralleelsete vektorite vektorkorrutis on alati null (sin 0 = 0). Teine vektorkorrutis annab (arvestades Newtoni seadust) korrutise Ԧr i ԦF i, mis on jõumoment. Eelnevat arvestades M i = dn i dt Summeerides üle kõigi ainepunktide süsteemis, saame paremal, tuletise märgi all, keha kogu impulsimomendi N = Iω ja vasakul kehale mõjuvate välisjõudude momendi M. Sisejõudude momentidele vastavad liikmed koonduvad summas välja Newtoni III seaduse põhjal. Seega M = d Iω dt Saadu on pöördliikumise dünaamika põhiseadus. Tavaliselt kirjutatakse see üles kujul d Iω = Mdt Impulsimomendi muutus on võrdeline jõumomendiga ja toimub jõumomendi suunas. 11

12 Erijuhul, kui pöörleva keha inertsimoment I on ajas muutumatu (konstantne), võib seaduse ümber kirjutada: d Iω M = = I dω = I Ԧε dt dt M = I Ԧε Kehale mõjuv jõumoment tekitab nurkkiirenduse, mis on võrdeline jõumomendiga ja pöördvõrdeline keha inertsimomendiga. Ratta raskus P tekitab horisontaalse jõumomendi M. Selle mõjul muutub horisontaalne Iω samuti horisontaalses suunas. Ratta telg hakkab pöörlema horisontaalasendis ega lange mitte alla Demonstratsioon 1 Impulsimomendi jäävuse seadus Impulsimomendi jäävuse seadus kehtib pöörlevate kehade süsteemis. Kui välismõjusid ei mõju või nende summaarne moment on null, siis pöördliikumise dünaamika põhiseadusest saame d Iω = 0 dt See tähendab, et impulsimoment ei muutu ajas Iω = const Impulsimomendi jäävuse seadus sõnastatakse tavaliselt kujul: suletud kehade süsteemi impulsimoment on jääv. Et impulsimoment on vektor, siis selle jäävus tähendab kõigi komponentide jäävust eraldi. Vektorkujul seose võib asendada kolme skalaarse avaldisega. Üldjuhul ei pea kõik kolm kehtima üheaegselt. 1

13 Järeldusi: 1) Kui suletud süsteemi mingid osad panna süsteemisiseste jõudude mõjul pöörlema ühes suunas, siis selleks, et summaarne impulssmoment ei muutuks, peab süsteemi ülejäänud osa hakkama pöörlema vastassuunas. Demonstratsioon 1. ) Kui mingisugusel põhjusel muutub süsteemi inertsimoment, siis peab vastupidiselt muutuma (kasvama või kahanema) nurkkiirus. Demonstratsioon. Pöörleva keha kineetiline energia Vaatleme pöörlevat keha ainepunktidest koosnevana. Kui mingi i-ndas ainepunkt massiga m i pöörleb kiirusega v i mööda ringjoont raadiusega r i, siis selle kineetiline energia on W i = m iv i Kuna v i = ω r i, siis W i = 1 m iω r i Summeerime kõigi ainepunktide energiad. Saame keha kineetilise energia W k = 1 ω m i r i i=1 13

14 Avaldises W k = 1 ω σ i=1 m i r i jäänud summa ei ole midagi muud kui keha inertsimoment. Seega saame kirjutada W k = Iω Keha inertsimomenti ei leita tavaliselt seose I = σ i=1 m i r i järgi, vaid integreerimise teel, sest massi jaotus on kehas pidev. Mõnede kehade inertsimomendid 1) Peenike rõngas raadiusega R rõnga sümmeetriatelje ümber pöörlemisel I = mr. ) Ketas (silinder) oma sümmeetriatelje ümber pööreldes I = 1 mr. 14