nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.

Transcript

1 Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t Ako hipoteza u potpuosti određuje raspodelu obeležja kaže se da je to prosta hipoteza. Hipoteza da je epozati parametar θ jedak broju θ 0, u ozaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza ije prosta, oda je složea. 1

2 Prag začajosti ili ivo začajosti Običo imamo dve hipoteze: hipoteza koju testiramo H 0 - ulta hipoteza ihi hipoteza H 1 alterativa ti hipoteza. Ako se odbacuje ulta hipoteza kada je tača, pravi se greška geš aprvog ogtpa tipa. Ako se prihvata ulta hipoteza kada je tača alterativa hipoteza, pravi se greška drugog tipa. Verovatoća α odbacivaja hipoteze H 0, ako je tača, je verovatoća greške prvog tipa i aziva se prag začajosti ili ivo začajosti. Običo se uzima da je 0,01; 0,05 ili 0,1.

3 Opšte apomee Neka je X 1 1,..., X prost slučaja uzorak obima za obeležje X u čijoj raspodeli figuriše epozati parametar θ. Testiramo hipotezu H 0 (θ = θ 0 ) protiv alterative H 1 (θ θ 0 ). Formira se statistika kojom se ocejuje parametar θ. Izračua se realizovaa vredost statistike θ * Pomoću odgovarajućih tablica se alazi ε iz uslova P θ ˆ H [ θ0 ε] = α 0 statistika H 0 se odbacuje a osovu datog uzorka i za dato α ako je * θ θ 0 ε realizovaa vredost statistike 3

4 Opšte apomee, astavak Druga mogućost je da se pri pretpostavci p H 0 izračua [ θˆ θ θ θ = α * P H ] H 0 se odbacuje ako je α α. Skup K=(-, (, θ 0 - ε] ] (θ 0 + ε,, ] ]je kritiča oblast za H 0 pri H 1. P [ˆ θ ] = α H 1 (θ θ 0 ). H K 0 Kritiča oblast je jedostraa K=(θ 0 + ε, ] ]akojeh H 1 (θ > θ 0 ). Kritiča oblast je jedostraa K=(-, θ 0 - ε,] ako je H 1 (θ < θ 0 ). * 4

5 Verovatoće odluka Postupak doošeja odluke i verovatoće pojediih odluka pri testiraju hipoteze H 0 protiv alterative H 1 Hipoteza koja je prihvaćea H 0 H 1 Hipoteza koja je tača H 0 H 1 Pravila odluka (1-α) Greška. vrste (β) Greška 1. vrste (α) Pravila odluka (1-β) Veličia (1-β) predstavlja verovatoću da se e učii greška druge vrste moć testa. 5

6 Hipoteze o matematičkom očekivaju Testiraje hipoteze H 0 0( (m=m 0 0) ) o matematičkom očekivaju obeležja X koje ima ormalu raspodelu N(m, σ ), ako je σ pozato. Neka je alterativa ti hipoteza H 1 (m m 0 ). Ako je H 0 tača, uzoračka sredia ima N(m,σ /) raspod. ε alazimo iz uslova P H0 [ ] 0 X m ε = P = α 0 H0 X m σ Za dato α pomoću tablica se alazi z β i izračua ε z β = ε σ ε σ 6

7 Hipoteze o matematičkom očekivaju Nultu hipotezu odbacujemo ako je x m 0 ε Oblast K=(-, m 0 - ε] (m 0 + ε, ] je kritiča oblast za hipotezu H 0 (m = m 0 ) pri alterativi H 1 (m m 0 ). Ako realizovaa vredost statistike ik x K, oda hipotezu H 0 odbacujemo. iterval povereja kritiča oblast β α verovatoća ć da parametar bude u itervalu 1 verovatoća da parametar bude u krit. oblasti 0 7

8 Hipoteze o matematičkom očekivaju Testiraje hipoteze H 0 (m=m 0 ) o matematičkom očekivaju obeležja X koje ima ormalu raspodelu N(m, σ ), ako disperzija σ ije pozata. Neka je alterativa hipoteza H 1 1( (m m 0 0) ). X m0 Ako je H 0 tača, oda statistika: 1 S ima Studetovu raspodelu sa -1 stepei slobode. Iz tablica za Studetovu raspodelu alazi se ε iz [ ] X m ε 0 PH X 0 ε = 1 1 = 0 m PH 0 S S [ ] α H 0 se odbacuje ako je ε maje ili jedako od realizovae vredosti x m 0 iz uzorka. 8

9 Hipoteze o disperziji Testiraje hipoteze H 0 (σ = σ 0) ako obeležje ima ormalu raspodelu N(m, (, σ ) i ako je m pozato. Neka je alterativa hipoteza H 1 (σ > σ ~ 0). S Pri tačoj hipotezi H 0 statistika ima χ σ 0 Kritiču oblast alazimo iz ~ S P H0 > ε = α σ 0 Iz tablica za χ raspodelu se alazi vredost ε. Ako je ~ s > ε σ 0 H 0 se odbacuje a osovu datog uzorka za dato α. 9

10 Hipoteze o disperziji, astavak Testiraje hipoteze H 0 (σ = σ 0) ako obeležje ima ormalu raspodelu N(m, (, σ ) i ako m ije pozato. Neka je alterativa hipoteza H 1 (σ > σ 0). S Pri tačoj hipotezi H 0 statistika ima χ 1 Kritiču oblast alazimo iz S P H > ε = α 0 σ 0 Za dato α iz tablica za χ raspodelu sa -1 stepei slobode se alazi vredost ε. Ako je s > ε H 0 se odbacuje a osovu datog uzorka i za dato α. σ 0 σ 0 10

11 Testiraje hipoteze o jedakosti disperzija Testiraje hipoteze H 0 (σ 1 = σ ) za ezavisa obeležja sa ormalim raspodelama i pozatim očekivajima. Neka ezavisa obeležja imaju ormale raspodele X : N ( m 1, σ 1 ) Y : N ( m, σ ) Neka je alterativa hipoteza H 1 (σ 1 σ ). Ako je H 0 tača, tada statistika ~ S ~ σ S Z = ~ = ~ S S ima Fišerovu raspodelu F 1,. σ

12 Hipoteza o jedakosti disperzija Iz uslova P [ Z 1 (0,1 ε ) (1 + ε, )] = α e mogu se jedozačo odrediti ε 1 i ε. Postavljaju j se dodati uslovi α P ( Z < 1 ε 1 ) = P ( Z > 1 + ε ) = ε 1 i ε se određuju iz tablica za F 1, raspodelu. α 1

13 Testiraje hipoteze o jedakosti disperzija Testiraje hipoteze H 0 (σ 1 = σ ) za ezavisa obeležja sa ormalim raspodelama i epozatim očekivajima. Neka ezavisa obeležja imaju ormale raspodele X : N ( m 1, σ 1 ) Y : N ( m, σ ) Neka je alterativa hipoteza H 1 (σ 1 σ ). Ako je H 0 tača, tada statistika Z = ˆ S Sˆ 1 S ima Fišerovu raspodelu F 1-1,

14 Hipoteza o jedakosti disperzija Iz uslova P [ Z 1 (0,1 ε ) (1 + ε, )] = α e mogu se jedozačo odrediti ε 1 i ε. Postavljaju j se dodati uslovi α P ( Z < 1 ε 1 ) = P ( Z > 1 + ε ) = ε 1 i ε se određuju iz tablica za F 1-1, -1 raspodelu. Ako je realizovaa vredost statistike Z u kritičoj oblasti (0, 1- ε 1 ) (1+ε, ) hipotezu H 0 odbacujemo za date uzorke i dati prag začajosti. α 14

15 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja (koje se odose a samu raspodelu obeležja) se azivaju eparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi eparametarski testovi (testovi saglasosti). Pirsoov χ - test Testira se hipoteza H 0 da obeležje X za koje imamo prost slučaja uzorak X 1,..., X ima datu fukciju raspodele F 0 (x). Pišemo: H 0 (X : F 0 (x)) Neka je u raspodeli obeležja X epozato s parametara. Skup mogućih vredosti obeležja se razbija a r disjuktih delova S 1,..., S r, tako da je broj m j elemeata iz uzorka u skupu S j ajmaje j 5. 15

16 Pirsoov χ - test Pirsoov χ test Brojevi m j su realizovae vredosti slučajih veličia M j, j j j j, čije su raspodele B(, p j ), j=1,...,r. Nalaze se verovatoće ] [ H 0 j j S X P p = Statistika kojom se testira postavljea hipoteza je r r M p M ) ( = = = = χ r j j r j j j j p M p p M j U 1 1 ) ( Ako je H 0 tača, test-statistika ima raspodelu 1 χ s r s 16

17 χ - test Za dati ivo začajosti, iz uslova P( χ se određuje χ. r s 1; α r 1 r s χ α) s 1; = α Ako je vredost test-statistike veća od tabliče, hipoteza se odbacuje. U suprotom, hipoteza se prihvata. Ovaj test se aziva hi-kvadrat ili Pirsoov test. 17

18 Test Kolmogorova Neparametarski test (ezavisa od raspodele obeležja). Primejuje se za obeležja koja imaju eprekide raspodele. Nulta hipoteza H 0 je da je raspodela F(x) jedaka raspodeli F 0 (x), a alterativa hipoteza je da je F(x) različita od F 0 (x). Test-statistika, tj. statistika Kolmogorova je uzoračka fukcija D = * sup F ( x) F0 ( x) < x< Kolmogorov je pokazao da za eprekide fukcije raspodela važi k = raspodele k k λ lim P[ D < λ] = K ( λ ) = ( 1) e, λ > 0 K( λ) = 0, 0 λ 18

19 Test Kolmogorova, astavak Neka je realizovaa vredost statistike Kolmogorova Kitič Kritiča oblast je d = * sup F ( x) F0 ( x) < x< C = d α [,, ) određuje se iz tablica Hipotezu H 0 odbacujemo (za dati prag začajosti i za dati uzorak), ako je d d >, α 19

20 Poređeje eparametarskih testova χ test se odosi a sve raspodele. Test Kolmogorova samo za eprekide raspodele. U χ testu mogu figurisati i raspodele sa epozatim parametrima. ti Kod χ testa se upoređuju empirijske i teorijske frekvecije, a kod testa Kolmogorova empirijska i teorijska fukcija raspodele. U χ testu se vrši grupisaje podataka i samo je važo koliko ih ima po pojediim i itervalima, a e i koji su. Time se gubi deo iformacije o uzorku. 0