Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da."

Transcript

1 1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen printzipioa 9. Uhin-fenomenoak. Islapena, errefrakzioa, (muga angelua,islapen osoa), difrakzioa, polarizazioa 10. Uhin elektromagnetikoak. Espektro elektromagnetikoa 11. Argia eta haren propietateak. Mikel Lizeaga 1

2 0. Sarrera Bibrazio edo oszilazio bat joan etorri bat da denboran zehar. Denboran eta espazioan gertatzen den joan etorri bat uhina da. Uhin bat leku batetik bestera hedatzen da. Argia eta soinua uhin moduan espazioan zehar hedatzen diren bibrazioak dira. Baina arrunt desberdinak dira. Soinua, ingurune material batean (solido, likido edo gasa izan daiteke), bibrazioen hedapena da. Euskarri materialik gabe soinua ezin da hedatu. Beraz, ezin da hutsean hedatu. Aitzitik, argia bidaia daiteke hutsean. Argia eremu elektriko eta magnetiko baten bibrazio baten propagazioa da, energia huts baten bibrazioaren propagazioa. Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da. Uhin higidura foku izeneko puntu batean sortzen den perturbazioaren hedapena da ingurune elastiko batean. 1. Uhin elastikoak Ingurune elastiko edo deformagarri bateko puntu jakin bat (fokua) bibratzera behartzen dugunean, fokuan sortutako perturbazioa inguruko beste puntuetara hedatzen da, uhin bidaiarien bitartez. Horri uhin-higidura deitzen diogu (ingurunea material edo ez-materiala izan daiteke). Uhin motak. Uhinak sailkatzeko orduan, hiru irizpide nagusi hartuko ditugu kontuan: a) Hedapen-dimentsioen (norabideen) kopuruaren arabera: Dimentsio bakarrekoak: Soka edo malguki batean zehar hedatzen direnak. Bi dimentsiokoak: Plano lau batean hedatzen direnak, adibidez urazalean Hiru dimentsiokoak: Espazioaren hiru norabideetan hedatzen dira. Soinua, esaterako, uhin esferikoen bitartez hedatzen da. b) Energia hedatzeko moduaren arabera. Uhin mekanikoak. Hedatu ahal izateko ingurune material bat behar dutenak. Hau da, energia hedatzeko ingurune materiala behar dutenak. Uhin ez-mekanikoak. Hedatzeko ingurune material baten beharrik ez dutenak. Adibidez, argia (uhin elektromagnetikoak). Mikel Lizeaga Huts hodian tinbrearen hotsa ez da entzuten baina bonbilaren argia ikusi egiten da.

3 c) Bibratze moduaren arabera. Luzetarako uhinak. Bibrazioaren norabidea eta uhinaren hedapen-norabidea koinziditzen dute. Honelakoak dira gas batean hedatzen diren presio-uhinak, adibidez soinua. Horrelakoetan ingurunearen parte bat konprimatu egiten da, eta konpresio-uhin hau zabaldu egiten da. Hurrengo konpresioen artean, presio baxuko arrarifikazioak daude. Konpresioak eta arrarifikazioak hedapenaren norabide berean hedatzen dira. Soinu-uhinak luzetarako uhinak dira. Zeharkako uhinak. Bibrazioaren norabidea perpendikularra da, uhinaren hedapen-norabidearekiko. Adibidez, musika-tresnen korden uhinak, likidoen azal gainekoak edo elektromagnetikoak zeharkakoak dira. Applet honetan luzetarako uhinak eta zeharkako uhinak ikus ditzakegu: #Ondas%0longitudinales%0en%0una%0barra%0el%E1stica a) Luzetarako uhina; b) Zeharkako uhina. Diapasona kolpatzerakoan, (soinuaren fokua) berarekin ukipenean dauden aire molekulei higidura bibrakor harmoniko bat eragiten die eta bibrazio hori aldameneko molekuletara hedatzen da luzetarako uhin moduan. Mikel Lizeaga 3

4 Hemen aurrean esandakoaren froga burutuko dugu. Diapason baten inguru hurbilean elkar ukipenean dauden ping-pongeko bi pilota ditugu. Diapasona kolpatzerakoan ping-pong pilotak bibratu egiten dutela konproba dezakegu. Hemen konprobatzen dugu soinua uhin mekanikoa dela (hutsean ez lirateke pilotak mugituko) eta gainetik luzetarazkoa dela. Mikel Lizeaga 4

5 Perturbazioa gertatzen den puntuari fokua deitzen diogu. Adibidez, soinua foku batetik abiatuta uhin esferikoen bitartez hedatzen da. Fokutik urruntzen goazen neurrian makurdura (kurbatura) txikiagotzen doa, eta uhin esferikoak uhin lau bihurtzen dira. Gauza bera gertatzen da argiarekin. Horrela, eguzkiko argia uhin lau moduan iristen da Lurrera. Bibrazio-egoera berdina duten inguruneko puntuek uhin-frontea osatzen dute. Hau da, uhin-fronte berean dauden puntuek fasean bibratzen dute. Adibidez, ur-azaleko uhinen uhin-fronteak: kandorra sabela Uhin esferikoetan uhin-fronteak esferak dira. Uhin-fronteekiko perpendikularrak diren lerroak izpiak dira. Izpiek uhinaren aurrerapen-norabidea markatzen dute.. Uhin-higidura Suposa dezagun tenkatutako soka bat. Mutur librean eta gorantz kolpe bertikala ematen badiogu, pultsu bat sortuko dugu. Iraupen txikiko uhina sortu dugu. Sokaren partikula oro geldiunean dago pultsua iritsi arte. Une horretan denbora labur batez mugitzen da eta, ondoren, gelditasunera itzultzen da. Pultsua soka batean Mikel Lizeaga 5

6 Sokari kolpe bakar bat eman beharrean etengabe gora eta behera mugitzen badugu, pultsu segida bat sortzen ariko gara, edo uhin-tren bat. Kasu horretan sokako puntu guztiak mugitzen ariko dira. Hemendik aurrera uhinez hitz egiten dugunean, uhin-trenez ariko gara. Sokaren puntu bakoitzak bibrazio bertikala egiten duen bitartean, bibrazioa bera horizontalean hedatzen da. Hau da, uhin-higidura batean ez dago materia-garraiorik, energia-garraioa baizik. Uhin batean perturbazioari lotua dagoen energia transmititzen da. Horra hor, beraz, perturbazioaren eragina jasaten duten partikulek zergatik bibratzen duten oreka posizioaren inguruan fokuaren bibrazioa errepikatuz. Uhin-higidura baten adibiderik ezagunena uretan hedatzen den uhinarena da. Bare dagoen urmael batean harri bat erortzen uzten badugu, uhinek kanporantz bidaiatuko dute, zentroa perturbazioan duten eta gero eta handiagoak diren zirkuluak eratuz. Ematen du uhinak ura garraiatzen duela baina ur-azalean dagoen hostoa gora eta behera egingo du uhina pasatzerakoan, eta azkenean leku berean geldituko da. Hau da, perturbazioa igaro ondoren ingurunea, hasierako egoerara itzuliko da. Uhin-higiduraren magnitudeak. A: anplitudea. Inguruko puntuek bibratzean duten elongazio maximoa da. Edo uhinaren puntu baten eta oreka-posizioaren artean dagoen distantzia maximoa. T: periodoa. Puntu batek oszilazio oso bat emateko behar duen denbora. Edo uhinak uhin-luzera distantzia aurreratzeko behar duen denbora. f: maiztasuna: Segundo bakoitzean puntu bakoitzak ematen dituen bibrazio kopurua. Edo segundo bakoitzean pasatzen den uhin kopurua. Periodoaren alderantzizkoa da noski. Mikel Lizeaga 6

7 T = 1/f Nazioarteko Sisteman herzetan ematen da (s -1 ). Adibidez FM-ko irrati-estazio batek 101, 7 Mhz-ko maiztasuna duela esango dugu; hau da, hztan emititzen du. Horrek esan nahi du, emititzen ari den dorre baten antenako elektroiek maiztasun horrekin bibratzen dutela. Bibratzen duten elektroien maiztasuna eta elektroi horiek sortzen dituzten uhinena berdina da. : uhin-luzera: Fasean bibratzen duten bi puntu hurbilenen arteko distantzia. Edo periodo batean uhinak aurreratu duen distantzia. Metrotan neurtzen da. Aurreko definiziotik honako hau ondorioztatzen da: = v T edo = v/f v: hedapen-abiadura. Uhina zeinen azkar edo motel hedatzen den adierazten digu. Horretarako, bi gandor arteko distantzia neurtzen badugu(uhin-luzera) eta zenbat denbora behar duen pasatzeko ere(periodoa), bien arteko zatidura eginez hedapen-abiadura lortuko dugu. V = /T Uhin baten hedapen-abiadura, ingurunearen izaerari lotua dago;adibidez, dentsitateari, elastikotasunari, zurruntasunari, eta abarri. k: Uhin-zenbakia. m-ko luzeran sartuta dauden uhin-luzeren kopurua. k eta elkarren artean alderantziz proportzionalak dira. K = / (m -1 ) 3. Uhin-higiduraren ekuazioa. Lehen esan bezala, suposa dezagun mutur batetik finkatua dagoen soka baten mutur librean, bibrazio bat, hhs bat, sortzen dugula. Puntu horri fokua deitu diogu (beheko irudian, 1 puntua). Bibrazio hori sokako beste puntuetara hedatzen da. Uhina v abiaduraz hedatzen da Azter dezagun zer gertatzen den sokako puntuekin, 1 puntuak bibrazio oso bat egiten duen T denboran: t = T/4 s denean puntua bibratzen hasiko da, eta atzean daudenak geldirik jarraituko dute (B). t = T/ s denean 3 puntua bibratzen hasiko da, eta atzean daudenak geldirik jarraituko dute (C). t = 3T/4 s denean 4 puntua bibratzen hasiko da, eta atzekoak geldirik jarraituko dute (D). t = T denean 5 puntua bibratzen hasiko da, eta atzekoak geldirik jarraituko dute (E). Ikusten denez 1 eta 5 puntuek fasean bibratuko dute. Mikel Lizeaga 7

8 1 puntua(fokua) bibratzen hasten denean hhs batekin, sokako gainontzeko puntuak gelditasunean daude. Haren ekuazioa y (0,t) = A sin t da. puntua T/4 s geroago hasten da bibratzen. Haren desfasea fokuarekiko / rad da. Fokua y = - A posizioan dagoenean puntua 0 posizioan egongo da. 3 puntua T/s geroago hasten da bibratzen. Haren desfasea fokuarekiko rad da. 1 puntua +A-n dagoenean bera A-n dago. Hau da, faseoposizioan bibratzen dute. 4 puntua 3 T/4 s geroago hasten da bibratzen. Bere fokuarekiko desfasea 3/ rad da. 5 puntua T s geroago hasten da bibratzen. Bere desfasea fokuarekiko rad da. Biek fasean bibratzen dute. Mikel Lizeaga 8

9 dute. Sokako bi punturen arteko x distantzia n bada fasean bibratzen x = n (n = 1,,3..) Sokako bi punturen arteko x distantzia (n+1) / bada faseoposizioan bibratuko dute. x = (n+1) / (n = 1,,3..) Adibide bat jartze arren, irudiak sokaren egoera irudikatzen du, bi eta erdi periodo pasa direnean. 6 eta puntuek, edo 1 eta 9,( zeinak, distantziatara dauden) fasean bibratzen dute. 3 eta 1 edo 7 eta 1 puntuek, berriz, fase-oposizioan(beraien arteko distantziak / eta 3/ izanik). Mikel Lizeaga 9

10 Fokuaren ekuazioa hau da: fokuaren posizioa x = 0 m da. (A) y (0, t) = A sin t Orokorrean, x distantziara dagoen puntuaren elongazioa hau da: y (x, t) = A sin [ (t-t 0 ) ] x : fokutik inguruneko puntu jakin bateraino dagoen distantzia da. t 0 : uhinak x=0 posiziotik x = x-ra iristeko behar duen. denbora da. Aurreratze-abiadura v bada: v = x/t 0 t 0 = x/v Eta = /T denez y (x, t) = A sin [ /T(t x/v) ] y (x, t) = A sin [ (t/t x/vt) ] baina = v T dela gogoratuz: y (x,t) = A sin [ (t/t- x/) ] edo y(x,t) = A sin [ (ft x/) ] Uhina eskuinetik ezkerrera hedatuko balitz: y(x, t) = A sin [ (t/t + x/) ] Uhinaren ekuazioa maiztasun angeluarra eta k uhin-zenbakiaren funtzioan ere adieraz daiteke. y(x,t) = A sin ( t -kx) Eta hasierako desfasea 0 bada: y(x, t) = A sin ( t +/- kx + 0 ) y (x, t) ekuazio horren bitartez fokutik x distantziara dagoen puntu baten y elongazioa kalkula dezakegu edozein unetan. Ekuazio horretan x posizioa finkatzen badugu, ekuazioak puntu horren elongazioa denboraren funtzioan emango digu. Mikel Lizeaga 10

11 Uhinaren ekuazioan t denbora finkatzen badugu, ekuazioak puntu guztien elongazioaren balorea, une konkretu horretan, emango digu. Uhinaren ekuazioan ez dira nahastu behar uhinaren hedapen-abiadura eta puntuen zeharkako (edo bibrazio) abiadura. Hedapen-abiadura : v = /T = f Puntu baten bibrazio-abiadura lortzeko uhinaren ekuazioa denborarekiko deribatuko dugu: Eta azelerazioa v = dy/dt a = dv/dt 1. adibidea Soka batean zehar doan uhin baten ekuaziotik datu hauek dakizkigu: Anplitudea = 3 cm;hedapen abiadura = 5 m/s eta maiztasuna, 0 hz. Datu horietan oinarrituta, kalkulatu: a) Maiztasun angeluarra, b) Uhin-luzera. c) Uhin-zenbakia. d) Uhinaren ekuazioaren adierazpenak. e) Irudikatu uhina t = 0,1 s denean. f) x = 0,5 m puntuaren ekuazioa. 4. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran. Ikus dezagun nola aldatzen den energiaren hedapena distantziarekiko. Urmael batean hedatzen den uhinaren anplitudea txikiagotzen doa. Badirudi energia askatu egiten dela. Baina hori ez da egia. Uhin batek osziladore harmoniko baten energia transmititzen du. Suposa dezagun m masa duen partikula fokuan dagoela eta hhs batez mugitzen dela. Hari lotutako energia hau da: E= ½ ka = ½ m A = ½ m 4 f A = m f A (1) Beraz, uhinari lotutako energia maiztasunaren eta anplitudearen karratuekiko zuzenki proportzionala da. Suposa dezagun energia hori uhin esferiko baten moduan hedatzen dela v abiaduran. Orduan, energia hori zentroa fokuan duten esfera zentrukidetan banatzen joango da. Mikel Lizeaga 11

12 Handik t 1 denborara, energia r 1 = v t 1 erradioa duen uhin-frontea osatzen duten partikulen artean banatua izango da. Gauza bera gertatuko da r =vt erradioa duen uhin-fronteko puntuekin t denbora pasa eta gero. Marruskadurarik ez dagoela onartzen badugu, energia konstante mantenduko da. Hau da: de 1 = de de 1 =r 1 erradioa eta dr lodiera duen azal esferiko baten barruan dauden puntuek duten energia. de =r erradioa eta dr lodiera duen azal esferiko baten barruan dauden puntuek duten energia. (1) formula aplikatuz: de 1 = dm 1 f A 1 de = dm f A dm 1, A 1 = 1 fronteko puntuen masa eta anplitudea dm, A = fronteko puntuen masa eta anplitudea. m 1 eta m aurkitzeko ingurunearen dentsitatea dela onartuko dugu. dm 1 =s 1 dr = 4r 1 dr dm =s dr = 4r dr Hortik: de 1 = 4r 1 dr f A 1 de = 4r dr f A Biak berdinduz: de 1 = de r 1 A 1 = r A r 1 A 1 = r A r A =kte. A = kte/r Beraz, uhin baten anplitudea puntu batean, puntu horren fokuarekiko distantziaren alderantziz proportzionala da. Hau da, zentro igorletik urruntzen doan neurrian, uhina indargabetzen doa. Anplitudea txikiagotzen da eta, ondorioz, partikulen energia ere. Fokuaren energia, gero eta partikula gehiagoren artean banatzen delako gertatzen da. Fenomeno horri indargabetzea deitzen zaio. Uhin baten intentsitatea puntu batean, puntu horretan perpendikularki jarritako azalera-unitatea denbora-unitatean, zeharkatzen duen energia dela esango dugu. J/(s m ) -tan edo w/m -tan neurtzen da. I = E / S t = P/S 1 Uhin-frontearen intentsitatea: I 1 = de 1 /s 1 dt = Modu berean: I = A dt drf f 8 r1 A1 dr A1 drf = 4r dt dt 1 Mikel Lizeaga 1

13 Biak zatituz: I 1 /I = A 1 /A = r /r 1 I = kte/r Intentsitatea distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da. Intentsitatea gero eta handiagoa den azalera batean banatu behar da; eta azalera distantziaren karratuarekiko proportzionala delako gertatzen da hori. Uhinen indargabetzea berezko fenomeno naturala da. Esferaren azaleraren balioa 4r denez, foku igorlearen r distantziara uhin esferikoaren intentsitateak honako balio hau izango du: I = P / 4r. Uhinaren intentsitatea distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da. Adibidez, fokuarekiko distantzia bikoizten bada, intentsitatea lau bider txikiagoa izango da. 5. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa. Suposa dezagun bi fokuk sortutako bi uhin ingurune berean bidaiatzen ari direla eta puntu berean gainjartzen direla. Bi uhin puntu berean gainjartzen direnean, interferentzia gertatu dela esango dugu. Ingurune berean hedatzen ari diren bi uhin gainjartzen ba dira une eta puntu berean, puntuaren bibrazioa, uhin bakoitzak bere aldetik izango lukeen bibrazioen batura da. Interferentziaren ondoren uhin bakoitzak berdin jarraitzen du, ezer gertatu izan ez balitz bezala. Interferentzia Uhin-fenomeno tipikoa da; izan ere, partikulek talka egiten dutenean desbideratu egiten dira. Kasurik garrantzitsuena bi foku koherenteena da. Hau da, fasean edo fase-diferentzia konstantea duten fokuena; gainera, A, f eta bereko uhinak emititzen dituztela suposatuko dugu. Bi uhinen interferentzia gertatzen denean muturreko kasuak bi dira: interferentzia eraikitzailea eta suntsitzailea. Interferentzia eraikitzailean bi uhinen gandorrak (eta sabelak) puntu berean eta une berean koinziditzen dute. 1 Mikel Lizeaga 13

14 1 Interferentzia eraikitzailea gertatzen den puntuan: A = A 1 + A Eta anplitudeak berdinak badira: A = A Goiko appletatik hartutako irudiak, norabide eta noranzko berean hedatzen diren bi uhin koherenteen interferentzia erakusten digu. A 1 laukitxoan zapalduta zer egin behar den galdetzen da. Ikusten denez anplitudea bikoitza da. Puntu konkretu batean interferentzia eraikitzailea gerta dadin honako baldintza hau bete behar da: x x 1 = n non: n = 0, 1,, 3 den x : uhinak fokutik puntura bete duen distantzia x 1 : uhinak 1 fokutik puntura bete duen distantzia. x x 1 = 0 bada, = 0 eta t = 0. Bi uhinak aldi berean iristen dira puntura. Mikel Lizeaga 14

15 x x 1 = bada, = izango da eta t = Ts. Urrutiago dagoen fokutik datorren uhina T s geroago iristen da puntura. x x 1 = n bada, = n izango da eta t = n T s. Puntu batean interferentzia eraikitzailea gertatuko da, uhinek betetako distantzien diferentzia uhin-luzeraren multiplo osoa bada. Interferentzia suntsitzailea uhin baten gandorra beste baten sabelarekin une eta leku berean koinziditzen dutenean gertatzen da. Hau da, uhinak faseoposizoan iristen dira puntu berera. 1 1 Interferentzia gertatzen den puntuan: A = A 1 A Eta anplitudeak berdinak badira: A = 0 Irudiak norabide eta noranzko berdina duten baina uhin erdi baten ( rad) desfasea duten bi uhinen interferentzia erakusten digu. Ikusten denez, anplitudea nulua da puntu guztietan. Mikel Lizeaga 15

16 Puntu jakin batean interferentzia suntsitzailea gerta dadin honako hau bete behar da: x x 1 = (n + 1) / Non n = 0, 1,.... den x x 1 = / bada, = izango da eta t = T/. Urrutiago dagoen fokutik datorren uhina T/ s geroago iritsiko da. x x 1 = n / bada, = n izango da eta t = n T/. Puntu batean interferentzia suntsitzailea gertatuko da uhinek ibilitako distantzien diferentzia uhin-luzera erdiaren multiplo bakoitia bada. Aurreko guztia ulertzen laguntzeko azter ditzagun honoko irudi hauek: Uhinak fasean bibratzen duten bi iturritatik hedatzen dira (foku koherenteak). Puntu konkretu batean, bi fokuekiko distantzia-diferentzia(x edo s) Uhin-luzeraren multiplo oso bat (edo zero) bada, orduan uhinak fasean iristen dira. Horrek esan nahi du maximoak edo gandorrak(zirkulu beltzak) eta minimoak edo sabelak(zirkulu grisak) beti aldi berean iristen direla: interferentzia eraikitzailea da. Propietate hori duten puntuek gorriz marraztutako azaleretan daude. Interferentzia eraikitzaileko hiperbolak dira. A irudiko puntu arrosa bi fokutatik distantzia berera dago. Horregatik, bi uhinak aldi berean iristen dira, gandorra gandorrarekin edo sabela sabelarekin koinziditzen duten moduan. (A) Bigarren irudian puntu arrosa gertuago dago ezkerreko fokutik eskuinekotik baino. Distantziadiferentzia Uhin-luzera bat da. Beraz, eskuinetik datorren uhina T periodo bat beranduago iristen da, baina goian bezala bi uhinak fasean iristen dira. Irudian bi zirkulu gris (hau da, bi sabel) iristen dira aldi berean. Mikel Lizeaga 16

17 Distantzia-diferentzia uhin luzeraren erdiaren multiplo bakoiti bat den puntuetan, uhinak fase-oposizoan iristen dira. Horrek esan nahi du uhin baten maximoak beste uhinaren minimoekin batera iristen direla, honela interferentzia suntsitzailea da. Irudian puntu arrosaren fokuen arteko distantzia-diferentzia uhin luzera eta erdi bat da. Honela ezkerretik datorren sabel bat (zirkulu grisa) eskuinetik datorren gandor batekin (zirkulu beltza) elkartuko da eta alderantziz. Eskuinetik datorren uhina periodo eta erdi geroago iritsiko da. Propietate hori duten puntuak urdinez margotuak daude eta interferentzia suntsitzaileko hiperbolak eratzen dituzte.. adibidea 45 hz-eko maiztasuna duen soinua emititzen dute bi fokuk. Soinuak airean duen abiadura 340 m/s-koa bada, zer soinu jasoko luke fokuetatik 100m eta 101, m-ra dagoen puntuan jarritako mikrofonoak? Fokuek fasean emititzen dute. 6. Uhin geldikorrak. Suposa dezagun ingurune elastiko batean ezkerretik eskuinera hedatzen ari den uhin bat, eta muturrera iristerakoan islatu egiten dela, eskuinetik ezkerrera hedatzen den beste uhin bat sortuz. Bi uhin hauen arteko interferentziari uhin geldikorra deitzen diogu. Uhin geldikorrak sortzen dira, ingurune elastiko batean, izaera, maiztasun eta anplitude berdineko baina aurkako noranzkoko bi uhin armonikok interferentzia egiten dutenean. Hori gertatzen da, adibidez, soka batean (gitarra baten kordan;muturra nodoa da) edo haize-tresna baten hodian (kasu horretan ingurune elastikoa airea da, muturra harana da). Eskuinetik ezkerrera hedatzen den uhina: y 1 = A sin (t + kx) Ezkerretik eskuinera hedatzen dena : y = A sin(t - kx) Bi uhinen interferentzia : y = y 1 + y Ekuazio horretan, baloreak ordezkatuz; uhin geldikorraren ekuazioa emango digu. y = A sin (t + kx) + A sin (t - kx) a b Mikel Lizeaga 17

18 eta, sin a + sin b = sin a b cos a b dela kontuan hartuta: y = A sin t kx t kx t kx t kx cos Hortik, uhin geldikorraren ekuazioa honela gelditzen zaigu. y = A cos kx sin t. Eta A cos kx = A`(x) egiten badugu.. y = A`(x) sin t Uhin geldikorra harmonikoa da, osagaien maiztasun berekoa, eta beraren anplitudea, A (x), denborarekiko independientea da, baina sinusoidalki aldatzen da x abszisaren funtzioan. Hau da; x -ren balio jakin batzuetan coskx = 1 izango da. Puntu horietan antinodoak ditugu. y = A sin t Beste puntu batzuetan cos k x = 0 da. Puntu horietan nodoak ditugu. y = 0 m. Interferentzia eraikitzailea den puntuetan antinodoak sortzen dira eta uhinek elkar anulatzen duten puntuetan, nodoak (y = 0). Antinodoak diren puntuen ekuazioa hau da: y = A sin t Uhin geldikorrak ezin dira nodoetatik pasatu eta horregatik ez dago energia garraiorik. Ez dira uhin bidaiariak. cos k x = 0 den puntuetan y = 0 izango da eta nodo bat izango dugu. k x = (n + 1) / x = ( n 1) (n = 0,1, ) x = (n+1) /4 (/4; 3 /4; 5 /4 ) Baldintza hori betetzen duten puntuetan nodoak izango ditugu. Mikel Lizeaga 18

19 Bi aldameneko sabel edo antinodoen arteko distantzia uhin-luzera erdi bat da (edo, bi uhin-luzera laurden). cos k x = (+/-) 1 den puntuetan y = A sin t, antinodo bat izango dugu. K x = n x = x = n / n (n = 0,1,..) (edo x = n /4) Baldintza hori betetzen duten puntuetan antinodoa izango dugu. ( /4; 4 /4; 6 /4 ) Beraz, muturrean sabel bat izango dugu. Anplitude nuluko puntuetan (nodoak) izan ezik beste puntuek harmonikoki eta OX ardatzarekiko perpendikularki oszilatzen dute, eta aldiune beretan pasatzen dira orekaposizioetatik. Nodoak geldi daudenez, uhin geldikorrak ez du bidaiatzen, eta beraz, ez du energiarik garraiatzen. Beraz, esanahi hertsian hartuta, uhin geldikorrak benetako uhinak ez direla esan beharko genuke. X = 0 puntuan sabela dugu: y = A sin wt Uhin geldikorra muturrera iritsitakoan libreki mugi badaiteke, sabel edo antitodo bat izango dugu, uhin erasotzailea islatuarekin indartzen delako. Mikel Lizeaga 19

20 Irudi hauetan ezkerretik eskuinera hedatzen den uhina ikus dezakegu (gorriz). Mutur finkora iristerakoan, islatu egiten da eta, eskuinetik ezkerrera hedatzen da (urdinez). Bien arteko interferentziaz sortzen da uhin geldikorra (beltzez). Muturra finko dagoenez, nodo bat izango da. Hurrengo nodoa uhin-luzera erdi batera dago. Irudi honetan maiztasun sorgailu bati lotuatako hari malgu bat erakusten zaigu. Maiztasuna eta sokaren aldatuz, bertan uhin geldikorrak lortuko ditugu. Mikel Lizeaga 0

21 Uhin geldikorrak bi muturrak finko dituen hari batean. Korda duten musika tresnen kasua da hori. Hariaren luzera L dela suposatuko dugu. Bi muturrak(0 eta L) nodoak izango dira. Uhin geldikorretan ondoz ondoko bi nodoren arteko distantzia / denez, sokan uhin geldikorrak eduki ahal izateko baldintza hau bete beharko da: L = n / Hortik = L/n n = 1,, 3. Uhin-luzera bakoitzari dagokion bibrazioari bibrazio-modu normala deitzen diogu, eta bakoitzari maiztasun karakteristiko bat dagokio. 1 = L, = L, 3 = L/3... baloreak har ditzake. = v T denez, = v/f eta f = v/ da v/f = L/n izango da, eta hortik f= n v/l Maiztasunmodu normalak, uhinaren hedapen abiadurari lotuak daude. Maiztasun txikienari oinarrizko maiztasuna edo lehenengo harmonikoa deitzen zaio. f 1 = v / l f = v / l f 3 = 3 v / l f 4 = v / l 0, /4,/4,3/4,4/4 Gainontzekoei bigarren, hirugarren... harmonikoak esaten zaie. f 1 = v /L, f = v/l, f 3 = 3v /L. Kasu horretan uhin geldikorraren ekuazioa horrela idatziko dugu. y = A sin kx cos wt Mikel Lizeaga 1

22 sin k x = 0 den puntuetan nodoak izango ditugu: x = n π x = n λ / 4 Beraz, x = 0, λ / 4, 4 λ / 4, puntuetan nodoak izango ditugu. sin k x = 1 den puntuetan antinodoak izango ditugu: x = (n + 1) π / x = (n + 1) λ / 4 Beraz, x = λ / 4, 3 λ / 4, 5 λ / 4 puntuetan nodoak izango ditugu. 7. Huyghens-Fresnelen printzipioa. Huyghens-en printzipioaren bitartez bai uhinen hedapena nola errefrakzioa, islapena, eta horrelako uhin-fenomenoak azal daitezke. Printzipio hori, uhin guztien kasurako baliagarria da, eta uhin-fronte batetik hurrengora nola pasatzen den erakusten digu. Uhin-fronte bateko puntu guztiak uhin elementalen iturri dira. Uhin elemental horien inguratzailea uhin-fronte berria da. Ikus dezagun nola azaldu uhin lauen hedapena Huyghens-Fresnelen printzipioa aplikatuz. Suposa dezagun une jakin batean 1 uhin-frontea dugula. Orduan, a, b, c...puntuak, uhin elementalen iturri bihurtzen dira. Hau da; fasean dauden uhinak emititzen dituzte. Uhin elemental horien inguratzailea uhin-fronte berria da eta a, b, c puntuak uhin elemental berriak emititzen dituzte. Izpiak uhin fronteekiko perpendikularrak diren geziak dira. Hemen izpiak paraleloak dira elkarren artean. Ikus dezagun nola azaldu uhin esferikoen hedapena Huyghens-Fresnelen printzipioa aplikatuz. P 1, P eta P 3 uhin-fronteko puntu guztiak uhin elementalen iturri bihurtzen Mikel Lizeaga

23 dira. Horrela P 1, P eta P 3 puntuek uhinak emititzen dituzte. Uhin horien inguratzailea uhin-fronte berria da. Izpiak uhin fronteekiko perpendikularrak diren geziak dira. Uhinaren hedapen-norabidea markatzen dute. Hemen izpiak erradialak dira. Bi uhin-fronteen arteko distantzia da, noski. Modu berean, uhin fronte batetik hurrengora pasatzeko behar den denbora T da. Uhin-fenomenoak Islapena Uhin-fenomenoen artean, beharbada ezagunena edo gutxienez ohikoena izango da. Soinuaren oihartzuna, argiaren islapena ispilu batean, edo uraren atzerakako uhinak horman jo ondoren (erreponpa), uhinen islapenaz sortuak dira. Islapena da uhin bat bi ingurune bereizten dituen azalera edo oztopo batera iristerakoan, ingurune berean jasaten duen norabide-aldaketa. Islapenaren legeak, edo Snellen lehen legeak, honela dio: Uhin baten islapenean eraso-angelua eta islapen-angelua berdinak dira. Halaber, izpi erasotzailea, izpi islatua eta normala plano berean daude. Ikus dezagun nola gertatzen den islapena, eta zer lege betetzen duen. Irudian oztopo lau bat C eta F puntuetan erasotzen duten bi izpi erasotzaile erakusten dira. CD: Uhin-fronte erasotzailea da. HF: Uhin-fronte islatua da. N: normala. Uhin erasotzaileak azalera jotzen duen puntuarekiko lerro perpendikularra. î: Uhin erasotzailea eta normalaren arteko angelua. r: Uhin islatua eta normalaren arteko angelua. Uhin-fronte islatuen abiadura uhin-fronte erasotzaileen berdina da, ingurune berean bidaiatzen dutelako. Mikel Lizeaga 3

24 Egoera horretan honakoa betetzen da: CHF = CDF. Hau da, CHF eta CDF triangeluak berdinak dira: CF hipotenusa berdina dutelako CH = DF = direlako. Bestela honela arrazona dezakegu: Uhin-fronte islatuaren abiadura uhin-fronte erasotzailearen berdina da, ingurune berean bidaiatzen dutelako. ^ ^ Beraz: HCF = DFC. Gainera: HCF+r = 90º î = r. DFC+i = 90º. î = 0º i N N r = 0º r Eraso angelua nulua denean islapen angelua ere nulua da. Ez dago desbideraketarik. Bi argazki hauetan banko optiko batean egindako saiakuntza erakusten digu. Izpi erasotzailea azalerarekiko perpendikularki erasotzen duenean ez da islatzen (ez eta errefraktatzen). Bigarrenean eraso-angelua eta islapen-angelua berdinak direla ikusten dugu. Errefrakzio angelua normalera hurbiltzen da. Mikel Lizeaga 4

25 Errefrakzioa. Errefrakzioa honela definitzen da, uhin bat hedatze-abiadura desberdina duten bi ingurune bereizten dituen azalera batera iristerakoan gertatzen den uhin horren hedatze-norabidearen aldaketa. Islapenean egin bezala, ikus dezagun zein lege betetzen den errefrakzioan. Horretarako, azalpen geometrikoa erabiliko dugu. CD: uhin erasotzailearen uhinfrontea da. v 1: Argiaren abiadura 1 ingurunean. EF: uhin errefraktatuaren uhinfrontea da. V : Argiaren abiadura du ingurunean. Uhin-frontea D puntutik F-ra iristen den bitartean (DF = v 1 T = λ 1 betez), C puntutik emititzen den uhin-fronteak CE distantzia beteko du ingurunean (CE = v T = λ betez). C puntuak v t erradioa duen uhin esferikoa emititu du, beraz. CDF eta CFE triangeluetan hauxe betetzen da: DF sin DCF = DF (λ1 ) = CF sin DCF CF sin CFE = CE/CF CE (λ ) = CF sin CFE Gainera: DCF = i eta CFE = r ; Beraz: v 1 T = CF sin i 1 v T = CF sin r ½ eginez : v v 1 sini sinr Mikel Lizeaga 5

26 Edo gauza bera dena: v 1 sin r = v sin i Hori da, hain zuzen ere, errefrakziorako Snellen legea. Adierazpen hori beste modu honetara jar dezakegu: sin r = sin i v /v 1 v < v 1 bada, r < î izango da eta uhin errefraktatua normalera hurbilduko da. v > v 1 bada, r > î izango da eta uhin errefraktatua normaletik urrunduko da. Errefrakzio-legea sarritan n errefrakzio-indizea izeneko paramatroaren bitartez adierazten da. Argiak material gardenetan duen abiadura materialaren propietate fisikoen araberakoa da. Argiak edozein materialetan duen abiadura, beti ere, hutsean (edo airean) duena baino txikiagoa da. Material baten n errefrakzio-indizea honela definitzen da: n = c / v c : argiaren abiadura hutsean edo airean: m/s v : argiaren abiadura material jakin horretan. v beti c baina txikiagoa denez, n 1 da beti. Hori horrela bada: n 1 = c / v 1 v 1 = c / n 1 v 1 / v = n / n 1 n = c / v v = c / n Snell-en errefrakzioarn legea, beraz, honela geratuko zaigu: n / n 1 = sin i / sin r n 1 sin i = n sin r Mikel Lizeaga 6

27 Edo : sin r = sin i (n 1 / n ) n > n 1 sin r < sin i eta n < n 1 sin r > sin i Irudi honetan n > n 1. Ondorioz, r < i Irudi honetan n < n 1. Ondorioz, r< i. Mikel Lizeaga 7

28 Ikus dezagun irudi sorta honetan nola azaltzen diren islapena eta errefrakzioa Huyghens-en printzipioa erabiliz. Irudiak uhin-fronte lau bat irudikatzen du. Uhin-fronte horrek 30º-ko angelua osatzen du normalarekiko. inguruan mantsoago bidaiatzen duela onartuko dugu. Uhin-frontea azalerara iristerakoan, bertako puntuak Huyghens-en printzipioari jarraituz, uhin esferiko elementalen iturri bezala jokatzen dute. Uhin hauek inguruan polikiago bidaiatzen dute. Uhin esferiko elemental horien guztien gainezarmenak uhin lau berri bat ematen du, zeinaren frontea uhin esferikoen inguratzailea den. Ohartu zaitez, uhin erasotzailearen hedapen-norabidea aldatu egiten dela, ingurura pasatzerakoan. Mikel Lizeaga 8

29 Irudiak uhin-frontea eta izpi erasotzaileak erakusten dizkigu. Izpi erasotzaileak uhin-frontearen aurrerapen-norabidea markatzen digu eta perpendikularra da harekiko. Izpi erasotzaileak normalarekin osatzen duen angelua, eraso angelua, 30º da. Ondorioz, islapen-angelua ere 30º-koa da. Hori horrela da uhin islatua ingurune berean hedatzerakoan abiadura berdina duelako. Errefrakzio-angelua, erasotze-angelua baina txikiagoa da, bigarren inguruan argiaren abiadura txikiagoa delako. Irudia konplikatua da baina informazio ugari ematen digu. Aurreko irudietako informazioaz gain Uhin-fronte islatua eta errefraktatua nola eratzen diren erakusten digu. Saiakera sinple honetan argiaren errefrakzioa ura-airea sisteman nola gertatzen den ikus dezakegu. Arragoaren hondean dagoen txanpona ikusi egiten dugu bertan ura isuritzerakoan. Mikel Lizeaga 9

30 Difrakzioa. Difrakzioa uhin baten norabidean gertatzen den norabide-aldaketa da, uhin-luzeraren antzeko neurria duen zirrikitu batekin topo egiterakoan. Adibidez, ezkereskuin hedatzen den uhin lau bat zirrikitu bat duen oztopo batekin topatzen bada, zirrikitutik pasatzen ez den uhinfronte zatia, edo islatua edo zurgatua gertatzen da. Baina zirrikituko puntuak uhin elemental berrien iturri bihurtzen dira (Huyghens). Ondorioz, uhin lerro lauak uhin lerro esferiko bihurtzen dira. Uhinaren hedapenaren noranzkoa λ λ λ λ Uhin laua Zirrikituaren tamaina < λ Uhinaren hedapenaren noranzkoa λ λ λ λ Zirrikituaren zabalera uhin-luzera baino handiagoa bada, uhinak ez du desbideraketarik jasaten. Hau da, difrakzioa gerta dadin zirrikituaren zabalera uhin-luzera baino txikiagoa izan behar da. Uhin laua Zirrikituaren tamaina > λ Mikel Lizeaga 30

31 Polarizazioa. Polarizazio laua : Soka batean hedatzen den uhin batean puntu guztiek plano berean bibratzen dute. Hori horrela, uhin hori plano jakin batean polarizatua dagoela esango dugu. Polarizazio-planoa, hedatze-abiadurak eta bibrazio-norabideak osatzen duten planoa da. Uhin hau y-z planoan polarizatua dago Uhinaren hedapen-norabidea. y ardatza Bibrazio-norabidea z ardatza. Uhinaren ibilbidean zirrikitu bertikala jartzen badugu, uhinak zirrikitua zeharkatuko du baldin eta bertikalean polarizatua badago, baina ez du zeharkatuko horizontalean polarizatua badago. Horrelako plano bertikalean polarizatua dagoen uhina zirrikitu bertikal batetik pasako da. Aitzitik, zirrikitu horizontala jarriko bagenio, uhinak ez luke pasatzerik izango. Uhin bat polarizatzea hedatze-norabidea eta bibratze-norabidea plano berean jartzea da. Horrela, luzetarako uhinak ezin dira polarizatu, hedatze eta bibrazionorabideak koinziditzen dutelako. Adibidez, soinua ezin da polarizatu. Izan ere, hedatze eta bibrazio norabideak zuzen berean daude. Polarizazioak garrantzi handia du argiaren kasuan. Argia plano guztietan bibratzen duen uhina da (polarizatu gabeko argia). Argia plano bakar batean bibratzera behartzen denean, argia polarizatzen dela esaten da. Beste fenomeno batzuekin batera, horrek argiak uhin izaera duela demostratzen du. Mikel Lizeaga 31

32 Irudiak uhin elektromagnetiko bat erakusten digu, hau da, x ardatzean hedatzen den uhin lau polarizatua. Eremu elektrikoaren bektoreak y ardatzarekiko paralelo dira, eta eremu magnetikoarenak z ardatzarekiko.. Bi iragazi polarizatzaile ditugu hemen. Atzekoa biratzen dugunean argia ez da pasatzen. 9. Uhin elektromagnetikoak. Espektro elektromagnetikoa. Karga elektriko azeleratuak dira uhin elektromagnetikoak sortzen dituztenak. Hau da; erradiazio elektromagnetikoaren jatorria karga elektriko azeleratuak dira. ts/hwang/ntnujava/emwave/emwave_s.htm Irudian puntu berdea bibratzen ari den karga elektrikoa erakusten digu. Karga elektriko azeleratu horrek uhin elektromagnetiko bat sortzen du. Mikel Lizeaga 3

33 Espektro elektromagnetikoa existitzen diren uhin elektromagnetiko guztien multzoa da. Denak abiadura berdinez hedatzen dira hutsean : c = m/s. Beraz, c = f formulatik, edo f ezagutu dezakegu f edo ezagututa. = c/f edo f = c/ Uhin elektromagnetikoen energia eta sarkortasuna f-ren funtzioan aldatzen dira: f bada E handitzen da (eta sarkortasuna ere) Uhin elektromagnetikoek gorputzetan duten eragina f-ri lotua dago. Horregatik f-ren funtzioan sailkatzen dira. Gogoratu f eta alderantziz proportzionalak direla. Uhin motak Maiztasuna Uhin-luzera Uhin luzeak Hz m. Uhin Irrati Hz m. ertainak uhinak Uhin 10 6 Hz m. laburrak VHF Telebista Hz m. UHF uhinak Hz m. Mikrouhinak Hz m. Erradiazio infragorria Hz m. Argi ikusgaia Hz m. Erradiazio ultramorea Hz m. X izpiak Hz m. γ izpiak Hz λ handitu f handitu 3. adibidea. Gure begiek ( ) A tarteko espektro ikusgaiaren Uhin-luzerak kolore gorritzat hartzen dituzte. Kalkulatu aurreko uhinluzerei dagokien maiztasun-tartea. 1 A = 1 armstrong = m Mikel Lizeaga 33

34 10. Argia eta bere propietateak Argia uhin elektromagnetiko bat da, baina argiaren ezaugarri asko haren izaera elektromagnetikoa kontuan hartu gabe uler daitezke. Izan ere, argia izpi deitzen diogun lerro zuzenaren norabidean hedatzen da. Gogoratu izpiak uhinfronteekiko perpendikularrak direla, eta uhinaren hedapenabiaduraren noranzkoa markatzen digutela. Optika geometrikoak argiaren portaera aztertzen du, izpi-kontzeptua aplikatuz. Objektuen itzalak nola formatzen diren azaldu dezakegu, argia zuzen hedatzen dela kontuan hartuta. Mikel Lizeaga 34

35 Argiaren sakabanatzea prisma optikoan Eguzkiaren argi zuria edo ikusgaia uhin-luzera, maiztasun eta, ondorioz, kolore guztietako argien nahastea da. λ txikiagoa GORRIA, LARANJA, HORIA, BERDEA, URDINA, MOREA f handiagoa Argi guztiak abiadura berdinez hedatzen dira hutsean edo airean (c=310 8 m/s). Ez da gauza bera gertatzen beste edozein ingurune materialetan, adibidez uretan edo beiran. Beste ingurunetan f ez da aldatzen baina bai. Horregatik aldatzen da argiaren hedapen-abiadura: V = f denez, aldatzerakoan v aldatzen da. Argi baten uhin-luzera hutsean 0 bada, orduan, 0 = c/f Beste ingurune batean = v/f Baina ingurune baten errefrakzio-indizearen definizioa gogora ekartzen badugu: n = c/v eta v = c /n Orduan : = c/f n ; eta hemendik: = 0 /n λ gorria = 700 nm = m. λ morea = 400 nm = m. f gorria = 4, s -1 f morea = 7, s -1 Eta n > 1 denez < 0 ingurune baten beste 1 ingurune batekiko errefrakzio-indizea, honela definituko dugu: c v v1 n, 1 = n /n 1 = = c v v 1 4. adibidea Kalkulatu argi horiko izpi baten v eta, uretan eta beiran 0 =5890 A bada. Zein da beiraren errefrakzio-indizea urarekiko? n ura = 1, 33 Aurrekoa ikusi ondoren argiaren sakabanatzea zertan den ulertu dezakegu: Argi zuriaren sakabanatzea sinpleagoak diren beste argi batzuetan sakabanatzea da. Uhin-luzera guztien nahastea den argi zuriaren banaketa uhin-luzera desberdinetan. Fenomeno hori prisma optiko bat erabiliz lortu daiteke. (Prisma optiko bat bi azalera leun eta ez paraleloz mugatutako ingurune garden bat da). Mikel Lizeaga 35

36 Argi zuria prisman zehar pasatzerakoan, argi desberdinek desbideraketa desberdinak jasaten dituzte, beiran abiadura desberdinak izateagatik. Argi gorria abiadura handiagoz hedatzen denez gutxien desbideratzen dena da, beste muturrean argi morea gehien desbideratzen da abiadura txikiena duelako. Muga-angelua edo angelu-limitea. Islapen osoa. Errefrakzioaren kasu garrantzitsu bat da, eta gehienbat argiarekin gertatzen da. Uhin baten izpiak, eta, ondorioz, argi izpiak, errefrakzio handiagoa duen ingurune batetik, txikiagoa duen beste ingurune batera pasatzerakoan, normaletik urruntzen direla ikusi dugu. Suposa dezagun 1 ingurune batean (ura edo beira...) F argi iturri bat dugula. Foku horrek emititzen dituen izpien ibilbidea aztertuko dugu. ingurune batera pasatzerakoan(adibidez, airea) 1) Argi-izpiak normaletik urrunduz errefraktatzen dira. ) Eraso-angelua handitzerakoan errefrakzioangelua ere. 3) Eraso-angelu jakin batean(muga-angelua) errefrakzio-angelua r= 90º izango da. 4) Eraso-angeluak hori baino handiagoak badira,argi guztia islatu egiten da. Fenomeno horri islapen osoa deitzen zaio. 5) Azalerarekiko perpendikularrak diren izpiak ez dira errefraktatzen. 6) Fokua izpi errefraktatuak biltzen diren puntuan ikusten da. Irudia birtuala da. Mikel Lizeaga 36

37 (n 1 >n ) v 1 <v Snellen errefrakzioaren legea: n 1 sin i = n sin r Edo sin r = sin i n 1 /n (n 1 > n denez, n u > n a ) Beraz, sin r > sin i r > i Horrela angelu jakin batetara iristerakoan r = 90º da eta argi izpiak ez dira airera pasatzen. sin i = sin r n /n 1 ;bainan i = i m denean r = 90º sin r = sin 90º = 1 sin i muga = n /n 1 i muga = ark sin n /n 1 i > i muga bada argiak islapen osoa jasaten du. Gainetik begiratuta zirkulu argitsu bat antzemango genuke adibidea Kalkulatu argi izpi baten errefrakzioaren muga-angelua ur-masa bat eta gainean duen airean banatzen dituen gainazalean, baldin eta airearen errefrakzioindizea 1 bada eta urarena, 4/3 Em: 48,6º Marrazkian ura da gainean dagoena (argi izpia goitik eta ezkerretik dator). Mikel Lizeaga 37

38 Airearen ordez diamantea bagenu, zein izango litzateke muga-angelua. Mikel Lizeaga 38

ΖΕΡΔΑΛΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΤΟ ΟΥΤΙ ΣΤΗ ΒΕΡΟΙΑ (1922-ΣΗΜΕΡΑ) ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2005 1

ΖΕΡΔΑΛΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΤΟ ΟΥΤΙ ΣΤΗ ΒΕΡΟΙΑ (1922-ΣΗΜΕΡΑ) ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2005 1 (1922- ) 2005 1 2 .1.2 1.1.2-3 1.2.3-4 1.3.4-5 1.4.5-6 1.5.6-10.11 2.1 2.2 2.3 2.4.11-12.12-13.13.14 2.5 (CD).15-20.21.22 3 4 20.,,.,,.,.,,.,.. 1922., (= )., (25/10/2004), (16/5/2005), (26/1/2005) (7/2/2005),,,,.,..

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

1 3 5 7 9 11 12 13 15 17 [Nm] 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 155 PS 100 PS 125 PS [kw][ps] 140 190 130 176 120 163 110 149 100 136 125 30 100 20 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 RPM

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της Βασικές ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις.. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e,t (S.I.). Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης τη

Διαβάστε περισσότερα

.,, T = N N f = T rad/s. : dφ. ω =. dt

.,, T = N N f = T rad/s. : dφ. ω =. dt -,.. -. ( ). -.,,.. ( ),. t, t T = N N f = t. s s - /s Hz.,. f = T,, ( ) π ω = = πf T rad/s.... : dφ ω =. dt. 8 -3 ).......,...,. x x = Aηµ ωt (. ).,,. 9 .. -. -... υ = υ συν ωt (.) max a = a ωt (.3) maxηµ

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

FORD RANGER Ranger_2013.5_Cover_V2.indd 1 20/12/2012 14:57

FORD RANGER Ranger_2013.5_Cover_V2.indd 1 20/12/2012 14:57 FORD RANGER 1 2 3 4 5 1.8 m3 6 7 8 9 10 11 3 7 8 5 1 2 4 6 9 10 12 13 3500kg 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 28 29 29 30 [Nm] 475 450 425 400 375 350 [kw] [PS] 180 245 165 224 150 204 135

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

στοιχεία Βιο-μηχανική:

στοιχεία Βιο-μηχανική: : ορισμός Ως δύναμη ορίζεται η επίδραση, η οποία ασκούμενη σε ένα σώμα προκαλεί είτε μεταβολή στην κινητική του κατάσταση, είτε ταυτόχρονα και μεταβολή στην μορφή του. επιταχύνουν ή/και παραμορφώνουν σώματα.

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΕΡΑΙΑΣ ΠΟΛΥΚΑΤΟΙΚΙΑΣ 21 ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ - 7 ΟΡΟΦΩΝ - 3 ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ/ΟΡΟΦΟ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΕΡΑΙΑΣ ΠΟΛΥΚΑΤΟΙΚΙΑΣ 21 ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ - 7 ΟΡΟΦΩΝ - 3 ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ/ΟΡΟΦΟ ΜΕΛΕΤΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΕΡΑΙΑΣ ΠΟΛΥΚΑΤΟΙΚΙΑΣ 21 ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ - 7 ΟΡΟΦΩΝ - 3 ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ/ΟΡΟΦΟ Για την μελέτη της κεντρικής εγκατάστασης κεραίας σε πολυκατοικία πρέπει να γνωρίζουμε τα παρακάτω.

Διαβάστε περισσότερα

w w u u w u = 1 w v = 0 u v = (w 1, w 2,..., w N ) a β k V β i,j = p(w j = 1 z i = 1) θ d Dir(a) Dir(a) z d,n multi(θ d ) V w d,n β zd,n p(θ,, a, β) = p(θ,, a, β) p( a, β) similarity = (A, B) = AB A

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η. Παράδοση 16-3-2009. Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η. Παράδοση 16-3-2009. Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Παράδοση -3-009 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση Δύο σώματα m και m κινούνται χωρίς τριβές στην τροχιά που φαίνεται στο σχήμα με ταχύτητες V και V αντίστοιχα, V f V. Ελατήριο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι Σταύρος Κομηνέας Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Περιεχόμενα 0.1 Πρόλογος.......................................... ii 1 Μηχανική 1 1.1 Εισαγωγή..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική και Τεχνολογία των laser 6 o εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ

Φυσική και Τεχνολογία των laser 6 o εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Φυσική και Τεχνολογία των laser 6 o εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ Ασκήσεις Αθήνα, 2012 Περιεχόμενα 1 Άσκηση 1 3 2 Άσκηση 2 4 3 Άσκηση 3

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. ύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρµονικά κύµατα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα

Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα ΦΥΣ 131 - Διαλ.38 1 Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα Τα ηχητικά κύματα χρειάζονται ένα μέσο για να μεταδοθούν π.χ. αέρας Δεν υπάρχει ήχος στο κενό Ηχητικές συχνότητες 20Ηz 20ΚΗz Τα ηχητικά κύματα διαδίδονται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Ολοκληρώματα ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Ολοκληρώματα ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Ολοκληρώματα ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mil: info@iliskos.gr www.iliskos.gr Fl] = f]! D G] = F]

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Φ Ι ΛΤ Ρ Α 901-02-003 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ ΚΟΜΜΑΤΙ 30-30-1,5 901-02-002 901-12-001 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ PCX-125 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ GY6 50 4T 901-12-037 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ INNOVA

Φ Ι ΛΤ Ρ Α 901-02-003 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ ΚΟΜΜΑΤΙ 30-30-1,5 901-02-002 901-12-001 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ PCX-125 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ GY6 50 4T 901-12-037 ΦΙΛΤΡΟ ΑΕΡΟΣ INNOVA ΦΙΛΤΡΑ 901-02-002 GY6 50 4T 901-02-003 ΚΟΜΜΑΤΙ 30-30-1,5 901-12-001 PCX-125 901-12-034 DIO AF-18 901-12-037 INNOVA 901-12-039 CBR-125 901-12-042 AX-1-NX-250 901-12-063 TRANSALP 600 901-12-070 STEED-400-600

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ελατήριο σταθεράς k = 200 N/m διατηρείται σε κατακόρυφη θέση στερεωμένο στο κάτω άκρο

Ελατήριο σταθεράς k = 200 N/m διατηρείται σε κατακόρυφη θέση στερεωμένο στο κάτω άκρο ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΣΩΜΑ ΑΡΧΙΚΑ ΝΑ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΕΚΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ.. Σώμα που αφήνεται από κάποιο ύψος. Ελατήριο σταθεράς k = N/ διατηρείται σε κατακόρυφη θέση στερεωμένο στο κάτω άκρο του. Σώμα μάζας = kg αφήνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Amplitude Shift Keying-ASK Frequency Shift Keying-FSK Phase Shift Keying-PSK

Amplitude Shift Keying-ASK Frequency Shift Keying-FSK Phase Shift Keying-PSK Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ψηφιακές ιαµορφώσεις Amplitude Shift Keying-ASK Frequency Shift Keying-FSK Phase Shift Keying-PSK ρ. Αθανάσιος. Παναγόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ 1 Εργαστήριο Κινητών Ραδιοεπικοινωνιών,

Διαβάστε περισσότερα

V H F ΚΤ - 370 ΕΕ ΦΟΡΗΤΟΣ ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΗΣ VHF FM ΓΙΑ ΡΑΔΙΟΕΡΑΣΙΤΕΧΝΙΚΗ

V H F ΚΤ - 370 ΕΕ ΦΟΡΗΤΟΣ ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΗΣ VHF FM ΓΙΑ ΡΑΔΙΟΕΡΑΣΙΤΕΧΝΙΚΗ V H F ΚΤ - 380 ΕΕ ΦΟΡΗΤΟΣ ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΗΣ VHF FM ΓΙΑ ΡΑΔΙΟΕΡΑΣΙΤΕΧΝΙΚΗ ΧΡΗΣΗ 5W80ΚΑΝΑΛΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ Η/Υ 80 κανάλια VHF + VFO control. Φωτιζόμενη Dot Matrix οθόνη υγρών κρυστάλων (LCD). Ρυθμιζόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κεφάλαιο T4 Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κύµατα και σωµατίδια Τα κύµατα είναι πολύ διαφορετικά από τα σωµατίδια. Τα σωµατίδια έχουν µηδενικό µέγεθος. Τα κύµατα έχουν ένα χαρακτηριστικό µέγεθος το µήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

20.2.5 Å/ ÅÃ... YD/ kod... 130

20.2.5 Å/ ÅÃ... YD/ kod... 130 Περιεχόμενα 13 Ψάχνοντας υποαπασχόληση 1 13.1 Διάλογοι.................................................. 1 13.1.1 Ÿ º Â È Ç½µ¹ Å»µ¹..................................... 1 13.1.2 Ä µãä¹±äìá¹...........................................

Διαβάστε περισσότερα

Κοχλίες - 2 / 34 - - 2 / 34 - Παπαδόπουλος Α. Χρήστος

Κοχλίες - 2 / 34 - - 2 / 34 - Παπαδόπουλος Α. Χρήστος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΟΧΛΙΕΣ Κοχλίες - / 4 - - / 4 - Παπαδόπουλος Α. Χρήστος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 7 Κοχλίες Οι κοχλίες διακρίνονται σε δυό κατηγορίες ως προς την αποστολή τους: τους κοχλίες

Διαβάστε περισσότερα

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2 ¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Π. ΜΙΧΑΗΛ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Π. ΜΙΧΑΗΛ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θεσσαλονίκη 2011 Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Καραμπαρμπούνης ιευθυντής Εργαστηρίου Φυσικής Συντονιστής Εργαστηρίου Φ1. Εργαστηρίου Φυσικής 2014-20

Καραμπαρμπούνης ιευθυντής Εργαστηρίου Φυσικής Συντονιστής Εργαστηρίου Φ1. Εργαστηρίου Φυσικής 2014-20 Εισαγωγικές ιαλέξεις Εργαστηρίου Φυσικής 014-0 015 αν.καθηγητής Ανδρέας Καραμπαρμπούνης ιευθυντής Εργαστηρίου Φυσικής Συντονιστής Εργαστηρίου Φ1 ιαλέξεις: Κ.Ν. Παπανικόλας, Α. Καραμπαρμπούνης Ε. Στυλιάρης

Διαβάστε περισσότερα

2010 Offroad Standard & Flame fixed discs

2010 Offroad Standard & Flame fixed discs New Flame discs March 23/9/2010 2010 2010 Offroad Standard & Flame fixed discs APRILIA APRILIA RXV, MXV 450 450 2005-2010 - - - 110315 97 APRILIA SXV 450 450 2005-2010 - 112067 252-110315 97 APRILIA RXV

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση Θερμότητας. (Αγωγή / Μεταφορά με τη βοήθεια ρευμάτων / Ακτινοβολία)

Διάδοση Θερμότητας. (Αγωγή / Μεταφορά με τη βοήθεια ρευμάτων / Ακτινοβολία) Διάδοση Θερμότητας (Αγωγή / Μεταφορά με τη βοήθεια ρευμάτων / Ακτινοβολία) Τρόποι διάδοσης θερμότητας Με αγωγή Με μεταφορά (με τη βοήθεια ρευμάτων) Με ακτινοβολία άλλα ΠΑΝΤΑ από το θερμότερο προς το ψυχρότερο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝ ΘΕΜΤ ΦΥΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γαπητοί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο επαναληπτικό υλικό στη Φυσική Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου, αποτελούμενο από: Επαναληπτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΧΡ ΤΖΕΜΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Μ. 286

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΧΡ ΤΖΕΜΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Μ. 286 ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΧΡ ΤΖΕΜΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Μ. 86 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Η εργασία αυτή έγινε στα πλαίσια του μαθήματος «Εφαργμογές του Συμβολικού Προγραμματισμού» του

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Ελέγχου της Ηλιακής Ακτινοβολίας Για την ψύξη ενός δωματίου. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Προσομοίωση Ελέγχου της Ηλιακής Ακτινοβολίας Για την ψύξη ενός δωματίου. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Προσομοίωση Ελέγχου της Ηλιακής Ακτινοβολίας Για την ψύξη ενός δωματίου. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κύριες λειτουργίες ραδιοφωνικών δεκτών

Κύριες λειτουργίες ραδιοφωνικών δεκτών Εμπορικοί δέκτες Κύριες λειτουργίες ραδιοφωνικών δεκτών Αποδιαμόρφωση λήψη του σήματος πληροφορίας Συντονισμός φέροντος επιλογή του σταθμού Φιλτράρισμα απαλοιφή θορύβου και παρεμβολών Ενίσχυση αντιμετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ ABS (A) Τύπος Ορισµάτων: numeric Τύπος Αποτελεσµάτων: numeric, elemental Απόλυτη Τιµή. y = x ACHAR (I) Τύπος Αποτελεσµάτων: character, elemental Επιστρέφει τον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα που έχουν εξισώσεις y 1 = 0,1ημπ(5t,5x) (S.I.) και y = 0,1ημπ(5t

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010 ΦΥΕ4, 9--Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 8/6/ Άσκηση A) Μια ράβδος μήκους είναι ομοιόμορφα φορτισμένη θετικά με συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q και βρίσκεται κατά μήκος του θετικού άξονα x από το σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές

Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές Βασίλης Γιαννόπαπας Τμήμα Επιστήμης των Υλικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Ημερίδα ΣΥ.ΚΑ.ΦΥ/ Ε.Κ.Φ., Λευκωσία, Κύπρος, 23-1-2012 Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο

Διαβάστε περισσότερα

Διαμορφωτές Διαμορφωτές Διαμορφωτές Σύστημα 5 Καλωδίων Πολυδιακόπτες Απομακρυσμένης Πολυδιακόπτες Διαδοχικής Σύνδεσης Τροφοδοσίας Πολυδιακόπτες

Διαμορφωτές Διαμορφωτές Διαμορφωτές Σύστημα 5 Καλωδίων Πολυδιακόπτες Απομακρυσμένης Πολυδιακόπτες Διαδοχικής Σύνδεσης Τροφοδοσίας Πολυδιακόπτες Ενισχυτές SAT IF TERRA Ενισχυτές Splitband 2 Ενισχυτές Ιστού 3 Διακόπτες DiSeqC 3 Ενισχυτές Γραμμής 4 Diplexer 4 SAT IF splitter 4 Τροφοδοτικό ενισχυτών ιστού 4 1 Επίγεια TV TERRA Diplexer 5 Ενισχυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΙΙ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΙΙ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΙΙ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014 ΟΜΑΔΑ Α ΔΕΥΤΕΡΑ 11-13, ΤΡΙΤΗ 9-10,10-11 ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΑΞΗΣ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 13-15,ΤΡΙΤΗ 11-12,12-13 ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΑΞΗΣ ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15:

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15: Άσκηση 15: Παλμογράφος Σκοπός: Σε αυτή την άσκηση θα μάθουμε τις βασικές λειτουργίες του παλμογράφου και το πώς χρησιμοποιείται αυτός για τη μέτρηση συνεχούς και εναλλασσόμενης τάσης, συχνότητας και διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Μαγνητικό Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

Μαγνητικό Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Μαγνητικό Πεδίο Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Προτεινόμενη βιβλιογραφία: SERWAY, Physics fo scientists and enginees YOUNG H.D., Univesity

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. γ Α. β Α3. γ Α4. β Α5. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή απάντηση η: (iii) Το πλάτος της ΑΑΤ του σώματος () πριν την κρούση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05 Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 700 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο: ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οπτικής ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. Μάκης Αγγελακέρης 2010

Εργαστήριο Οπτικής ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. Μάκης Αγγελακέρης 2010 ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Μάκης Αγγελακέρης 2010 Σκοπός της άσκησης Να μπορείτε να περιγράψετε ποιοτικά το φαινόμενο της περίθλασης του φωτός καθώς επίσης να μπορείτε να διακρίνετε τις συνθήκες που χαρακτηρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑ 1 ο (βαθµοί 2) Σώµα µε µάζα m=5,00 kg είναι προσαρµοσµένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου και ταλαντώνεται εκτελώντας πέντε (5) πλήρης ταλαντώσεις σε χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ: ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΑΕΡΑ

ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ: ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΑΕΡΑ ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ: ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΑΕΡΑ Χρήσεις: Ξήρανση γεωργικών προϊόντων Θέρµανση χώρων dm Ωφέλιµη ροή θερµότητας: Q = c Τ= ρ qc( T2 T1) dt ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΙΚΑΛΥΨΗΣ ΗΛΙΑΚΗ ΨΥΧΡΟΣ ΑΕΡΑΣ ΘΕΡΜΟΣ ΑΕΡΑΣ Τ 1 Τ 2 ΣΥΛΛΕΚΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 31 Τα µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά πεδία παράγουν µαγνητικά πεδία. Ο Νόµος του Ampère-Ρεύµα µετατόπισης Νόµος του Gauss s στο µαγνητισµό

Διαβάστε περισσότερα

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα: Το τρένο του Άινστάιν Ένα τρένο κινείται ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο µε σταθερή ταχύτητα V. Στο µέσο ακριβώς του τρένου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή η χορδή ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα θα ισχύει. Όπου L είναι το µήκος της χορδής. Εποµένως, =2 0,635 m 245 Hz =311 m/s

Επειδή η χορδή ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα θα ισχύει. Όπου L είναι το µήκος της χορδής. Εποµένως, =2 0,635 m 245 Hz =311 m/s 1. Μία χορδή κιθάρας µήκους 636 cm ρυθµίζεται ώστε να παράγει νότα συχνότητας 245 Hz, όταν ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα. (a) Βρείτε την ταχύτητα των εγκαρσίων κυµάτων στην χορδή. (b) Αν η τάση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 η. (Ισχύς, συντελεστής ισχύος, βελτίωση συντελεστή ισχύος. Τριφασικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς)

Ενότητα 3 η. (Ισχύς, συντελεστής ισχύος, βελτίωση συντελεστή ισχύος. Τριφασικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς) - 1 - Ενότητα 3 η (Ισχύς, συντελεστής ισχύος, βελτίωση συντελεστή ισχύος. Τριφασικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς) Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται το θέμα της ισχύος σε μονοφασικά και τριφασικά συμμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ RIO.. 3 GLAMOUR.. 7 MATRIX. 11 STATUS. 15 CLASSIC. 19 KYKLOS. 27

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ RIO.. 3 GLAMOUR.. 7 MATRIX. 11 STATUS. 15 CLASSIC. 19 KYKLOS. 27 ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ. RIO.. 3 FX. 5 GLAMOUR.. 7 LINK 9 MATRIX. 11 PINK 13 STATUS. 15 MASTER 17 CLASSIC. 19 STIL. 21 FOCUS 23 DAK. 25 KYKLOS. 27 BIK 29 MAX 31 VEGA 32 Ε ρ γ ο σ τ ά σ ι ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

ΕΚΘΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Τίτλος Εγγράφου: ΕΚΘΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΣΤΟ ΔΗΜΟ ΑΓΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ Συντάκτης Έκθεσης: Νικόλαος Ε. Παπανικολάου Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΕΜΠ Ραδιοηλεκτρολόγος

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΔΟΜΗΣ 2 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 2-30. 1.1 Εισαγωγή 1-5. 1.2 Σειρές Fourier 1-5. 1.3 Το πεδίο της συχνότητας 1-7

1 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΔΟΜΗΣ 2 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 2-30. 1.1 Εισαγωγή 1-5. 1.2 Σειρές Fourier 1-5. 1.3 Το πεδίο της συχνότητας 1-7 1 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΔΟΜΗΣ 1-5 1.1 Εισαγωγή 1-5 1.2 Σειρές Fourier 1-5 1.3 Το πεδίο της συχνότητας 1-7 1.4 Φάσμα μιας σειράς δυαδικών δεδομένων βασικής ζώνης 1-10 1.5 Ο μετασχηματισμός Fourier 1-11 1.6 Η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ε Π Ι Σ Τ Ο Λ Η Δ Ι Ο Ι Κ Η Τ Η Α Υ Γ Ο Υ Σ Τ Ο Σ Μ η ν ι α ί α Ε π ι σ τ ο λ ή ι ο ι κ η τ ή 1 Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Σ ε λ ί δ ε ς Τ ο μ ή ν υ μ α τ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Μακροοικονομικά της Ανάπτυξης [Θεωρία Οικονομικής Μεγέθυνσης] Νίκος Θεοχαράκης Σημειώσεις στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ RIO.. 5 FX. 7 GLAMOUR.. 9 LINK 13 MATRIX. 15 PINK 17 STATUS. 19 MASTER 21 CLASSIC. 23 STIL. 25 FOCUS 27 DAK. 29 KYKLOS.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ RIO.. 5 FX. 7 GLAMOUR.. 9 LINK 13 MATRIX. 15 PINK 17 STATUS. 19 MASTER 21 CLASSIC. 23 STIL. 25 FOCUS 27 DAK. 29 KYKLOS. ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: * Στις αναγραφόμενες τιμές δεν συμπεριλαμβάνεται ο Φ.Π.Α * Οι ειδικές κατασκευές επιβαρύνονται με επιπλέον επιβάρυνση επί τις τιμής του καταλόγου της τάξεως + 15% ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ RIO.. 5 FX. 7 GLAMOUR.. 9 LINK 13 MATRIX. 15 PINK 17 STATUS. 19 MASTER 21 CLASSIC. 23 STIL. 25 FOCUS 27 DAK. 29 KYKLOS.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ RIO.. 5 FX. 7 GLAMOUR.. 9 LINK 13 MATRIX. 15 PINK 17 STATUS. 19 MASTER 21 CLASSIC. 23 STIL. 25 FOCUS 27 DAK. 29 KYKLOS. ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: * Στις αναγραφόμενες τιμές δεν συμπεριλαμβάνεται ο Φ.Π.Α * Οι ειδικές κατασκευές επιβαρύνονται με επιπλέον επιβάρυνση επί τις τιμής του καταλόγου της τάξεως + 20% ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Εργαστήριο Επεξεργασίας Σημάτων και Τηλεπικοινωνιών Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Μέρος Α: Τηλεπικοινωνιακά Θέματα: Τεχνικές Ψηφιακής Διαμόρφωσης και Μετάδοσης Tο γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Προμήθεια τηλεπικοινωνιακού υλικού για την Πολιτική Προστασία του Δήμου Ηρακλείου»

Θέμα: «Προμήθεια τηλεπικοινωνιακού υλικού για την Πολιτική Προστασία του Δήμου Ηρακλείου» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ταχ. Δ/νση: Ανδρόγεω 2, 4 ος όροφος Τ.Κ: 71202 Πληροφορίες: Εμμανουήλ Κουκιαδάκης Τηλ.:

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ακτομηχανική & Παράκτια Έργα 2/23/2012

Ακτομηχανική & Παράκτια Έργα 2/23/2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ A. Κανονικοί Κυματισμοί 1. Γραμμικοί και μη γραμμικοί κανονικοί κυματισμοί. Επανάληψη εννοιών. Προσομοίωση 2. Μετάδοση Κυματισμών μέσω μαθηματικών ομοιωμάτων. Ρήχωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΡΜΑΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΣΤΙΣ ΚΙΝΗΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΑΣΥΡΜΑΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΣΤΙΣ ΚΙΝΗΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΑΣΥΡΜΑΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΣΤΙΣ ΚΙΝΗΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ραδιοδίαυλοι Ιδανικός Ραδιοδίαυλος Το λαµβανόµενο σήµα αποτελείται από ένα απευθείας λαµβανόµενο σήµα, από το οποίο ανακατασκευάζεται πλήρως το εκπεµπόµενο

Διαβάστε περισσότερα