Clasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a

Transcript

1 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA I, Clasa a V-a a+ b Numerele a, b, c, d N verifică relaţia: b+ c + c+ d + d+ a + = 5 Calculaţi: a + b+ c+ d 7 (G M /006) Suma a două umere aturale este 54 Uul ditre umere coţie cifra pe care dacă o ştergem obţiem celălalt umăr Aflaţi cele două umere (Valer Pop) 3 Să se calculeze suma şi produsul umerelor aturale x, y şi z ştiid că a, a, ude a este sumele de câte două ditre ele formează mulţimea { } umăr atural impar Clasa a VI-a (Io Bogda) Să se calculeze suma tuturor umerelor abba, ştiid că ab ba= 3 a+ 3b (G M /006) Sadu a îceput să citească o carte de 0 pagii marţi şi a termiat-o îtr-o vieri Î fiecare zi a citit exact câte o pagiă mai mult decât î ziua precedetă Să se precizeze î ce zi a citit u umăr de pagii divizibile cu (Da Brâzei) 3 Fie (OC şi (OD două semidrepte situate î iteriorul ughiului AOB, astfel îcât (OD este iclusă î It( AOC) Aflați măsura ughiului format de bisectoarele ughiurilor AOC și BOD, știid că m( AOD) = 50 și m( BOC) = 40 Clasa a VII-a Să se determie cel mai mare divizor comu al tuturor umerelor aturale a + b b+ c c+ a, ude a, b, c Z şi 5 a+ b= 3c de forma ( )( )( ) Determiaţi umerele aturale de forma abcd cu proprietatea 3 4 a + b + c + d = abcd (Dumitru Barac) (G M 3/006)

2 3 Dacă u trapez isoscel are u ughi de 30 o şi lugimea bazei mici egală cu a şaptea parte di lugimea bazei mari, atuci trapezul poate fi descompus î opt triughiuri cogruete (Ioa Bogda) Aflaţi a b N Clasa a VIII-a, care verifică relaţia: ( a+ 7 ) = b( b+ 3) 8 a (G M 0/003) Determiaţi umerele reale m şi ştiid că: mx+ y m + my+ x m = x + y, x, y R ( ) (Artur Bălăucă) 3 Î paralelipipedul dreptughic ABCDA B C D otăm cu M, N, P proiecţiile puctelor A, C şi, respectiv, B pe [BD ] D' M D' N D' P Să se arate că: BM BN BP Clasa a IX-a Să se rezolve î R ecuaţia: 6{ x } 8x+ = 0, ude {x} reprezită partea fracţioară a umărului real x (GM 9/006) Î triughiul ABC, cevieele AP, BQ, CR sut cocurete î F Să se arate echivaleţă afirmaţiilor: a) AP + BQ+ CR= 0 ; b) F este cetrul de greutate al triughiului ABC (Doru Isac) 3 Să se arate că dacă puctul M este așezat î iteriorul pătratului ABCD cu latura, atuci ditre distațele MA, MB, MC, MD: 5 a) cel mult ua este mai mare decât ; b) cel mult două sut mai mari decât ; c) cel mult trei sut mai mari decât Clasa a X-a (G M 6/959) Fie tetraedrul ABCD a) Să se arate că există cel puţi u grup de patru plae paralele echidistate care trec fiecare pri câte u vârf al tetraedrului b) Câte astfel de grupe există? (***)

3 Fie, b, c (,+ ) a Arătaţi că: log a+ log b+ log c a b b c c a (56, GM /006) 3 Fie a, b C astfel îcât: a + b şi a + b + ab Să se arate că, petru orice N, + + a + b a + b Clasa a XI-a (Ali Pop) Pe laturile BC, CA, AB ale triughiului ABC de arie S se dau puctele K, L, M Să se arate că aria cel puţi a uui triughi MAL, KBM, LCK u depăşeşte 4 S (G M 7767 r 8/968) Să se rezolve î ( C) 3 Fie b R+ a, şi ( ) Calculaţi limitele: M ecuaţia X 3X = A, ude A = 0 9 (Petru Vlad) a o progresie aritmetică de umere aturale, a a a a a a a b+ b+ + b l a a+ a+ + a lim ; lim a a a a b+ b+ + b Clasa a XII-a a Să se determie umărul polioamelor ireductibile, de grad trei, peste corpul Z p Calculaţi: 6 8 x x + x a), ; 0 dx x R + x 5 x + x b) dx, x R, N * 6 + x (GM /003 şi /004) 3 Fie G u grup cu 0 elemete, u elemet uitate e şi elemete a e b di G astfel îcât a = b = e Să se arate că grupul G u este abelia (***, GM 3/00)

4 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A II-A, Clasa a V-a Difereţa a două umere aturale este 5 Aflaţi umerele ştiid că uul ditre ele este cu 7 mai mic decât triplul celuilalt (Ioa Duicu, Bistrita) U buic are doi epoți Vârsta buicului se exprimă pritr-u umăr de două cifre, fiecare cifră exprimâd vârsta uui epot Ce vârstă are fiecare dacă suma celor trei vârste este 84 de ai (GM r6/007) 3 Aflați cifrele a, b, c, d, e știid că î baza de umerație 0 are loc egalitatea: abcde3= abcde Clasa a VI-a 0 (Moica Sas) Determiați umerele de forma abcd divizibile cu 5, petru care a + d = (b + c) (GM r /007) Să se determie umerele prime a, b, c astfel îcât să aibă loc egalitatea: a (a +) + a b + 6c = 30 (Simoa Florea) 3 Două ughiuri au vârful comu, iar suma măsurilor lor este 80 Arătați că există două ughiuri, formate cu laturi ale celor două ughiuri, ale căror bisectoare formează u ughi drept (Ioa Duicu) CLASA a VII-a Să se determie toate umerele aturale N petru care este umăr prim (GM) Fie a u umăr atural eul dat Să se determie atural astfel îcât umărul a+5 3 a + să fie pătrat perfect

5 3 Se dă rombul ABCD cu m ABC = 30 Să se costruiască pătratul BDEF astfel îcât C să fie u puct iterior pătratului Dacă DC BF = {H} și EC BF = {G}, demostrați că: a) CBH este isoscel b) [FC] este mediaă î EFG c) CGH este isoscel (Ioa Duicu) Clasa a VIII-a + 3 Determiați umerele aturale petru care fracția este + 3 umăr atural (GM r 7/007) Arătați că dacă x, y, z ( 0, ) și x + y + z = xyz, atuci ( x + y + z ) x y z 3 Fie a umăr atural eul dat Să se rezolve î R ecuația: [ax] + {(a + )x} = a +, ude [t] și {t} reprezită partea îtreagă și respectiv partea fracțioară a umărului real t (Valer Pop) 3 Baza mare [AB] a trapezului dreptughic ABCD ( AD AB ) este iclusă î plaul α Știid că: D α, DD α, D ' α, CC ' α, C ' α, m( DAD ˆ ') = 60 și ABC este echilateral cu latura de 8 cm a) Demostrați că DC α și ABC 'D' este trapez dreptughic b) Calculați măsurile ughiurilor ditre dreptele AD și C ' D', BC și C ' D' și cosiusul ughiurilor ditre dreptele BD și CC ', respectiv BC și DD ' Clasa a IX-a (Ioa Duicu) Fie ABCD u trapez oarecare î care AB CD Să se arate că: (AC + AB BC )(BD BC + CD ) = = (AC AD + CD )(BD + AB AD ) (GM r 7/007) Să se determie umere reale eegative,, cu proprietatea că fiecare ditre acestea este egal cu pătratul sumei celorlalte ( ) (Mugur Acu)

6 Clasa a X-a si A si B si C Îtr-u triughi ABC se verifică relația: + + = 3 si B si C si A Determiați măsurile ughiurile triughiului Fie k u umăr atural eul dat, a,, și (GM r7/007), a a k umere reale diferite de, b bk umere reale diferite de și disticte de umerele a, a,, ak ( x ) și ( y ) defiite pri relațiile b,, Se cosideră șirurile de umere reale de recureță : y y x + k =, y + k =, x = a, x = a,, x x y = b, b ( ) y =,, y = b k k x = a, Să se demostreze ce șirurile x și y ) sut periodice ( k k 3 Arătați că există o sigură pereche de umere prime impare p și q așa îcât restul împărțirii lui p la q să fie 4 iar restul împărțirii lui q la p să fie Fie p, q N, Clasa a XI-a p < q < (p + ) și x p+ q ude [a] reprezită partea îtreagă a lui u, u este par dacă și umai dacă este impar (Aa Maria Acu) = [( ) ], petru orice N R Să se demostreze că x Fie (a ) o progresie aritmetică cu a > 0 si raţia r > 0 limitele: p i) L = lim ( a p+ i a j ) ; ii) L > i< j lim Ude p N, p 0, este fixat p = ( a > + i a j ) ; p a i< j (GM r 8/005) Calculați

7 3 3 Fie A, B M 3 ( R) astfel îcât AB BA = A Să se arate că A = O3 Clasa a XII-a (GM r /005) Să se determie umărul puctelor de extrem ale fucției: f : R R, f (x) = (x )(x ) (x 3) 3 (x ), ude N* (GM r/005) Fie (G, ) u grup cu proprietatea că există u edomorfism f : G G, astfel îcât f (x y + ) = x + y, petru orice x, y G, iar N*, dat Să se arate că: a) x + = e, ( ) x G ; b) G este grup abelia (GM r/005) 3 Calculați: + + ( + ) x ( x a) + x + a x+ a i) I = dx, a R + + +, N*, x R ; x ax + a x + a a+ bx ii) I = dx, a, b, c R + +, N*, x > 0 x+ cx (Nicolae Sada) 3

8 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A III-A, 008 Clasa a V-a Pe işte bilete sut scrise umere aturale astfel îcât suma şi produsul lor sut egale cu Aflaţi umărul biletelor (Găsiţi toate soluţiile posibile) (GM) Orgaizatorii uei îtâliri cu copii pregătesc petru aceştia de două ori mai multe portocale decât baae şi dau copiilor sosiţi câte 5 portocale şi baae Ştiid că au rămas 5 de protocale şi 0 de baae, să se afle umărul copiilor participaţi la îtâlire şi apoi, umărul de portocale şi umărul de baae pregătite petru copii (Nastasia Chiciudea) 3 O grădiă de formă dreptughiulară este împrejmuită cu u gard format di 8 râduri de sârmă Ştiid că lugimea totală a sârmei este de 400 metri, iar lugimea grădiii este cu 6 metri mai mare decât triplul lăţimii, aflaţi: a) perimetrul grădiii; b) suprafaţa grădiii (Moica Sas) Clasa a VI-a Se dă fracţia zecimală î baza 0, x = 0,34( abc ) Se ştie că: a) a 006-a zecimală este 8; b) a 007-a zecimală este 5; c) a 005-a zecimală este 9 Aflati x (GM) Să se determie pătratele umerelor de două cifre, scrise î baza 0, pătrate perfecte care sut de forma a ( b a) b, ude a, b a, şi b sut cifre iar a b (Moica Sas) Fie şirul de umere raţioale: ; ; ; ; ; ; ; ; ; Precizaţi poziţia (umărul locului) pe care o ocupă î şir, umărul de forma m, m şi fiid umere aturale eule 4

9 Clasa a VII-a Trei ditre ughiurile exterioare ale uui triughi sut direct proporţioale cu umerele 4, 6, respectiv 7 Să se arate că triughiul este dreptughic Aflaţi toate umerele aturale x cu proprietatea că: x + (GM) Ν 3x+ (Rodica Coma) 3 Arătaţi că petru orice b Ζ şi orice p umăr prim, umărul este umar îtreg Clasa a VIII-a b p + u Dacă a, b, c ( 0 ; + ), să se demostreze echivaleţa: a( b + c) c( a+ b + ) = a+ c a= c a+ b b+ c (GM) a) Să se arate că petru orice x real pozitiv are loc egalitatea: = x x+ + ( x+ ) x x x+ b) Demostraţi iegalitatea: > (Dumitru Barac) 3 Fie ABCD u romb, iar M, N, P şi Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi, respectiv, [AD] a) Stabiliţi atura patrulaterului MNPQ b) Dacă E [NQ] astfel îcât NE = NQ, ME NP = {F}, FP = 8 cm şi 4 m( BAD) = 60 0, calculaţi A ABCD (Moica Sas) 5

10 Clasa a IX-a Fie ABCD u paralelogram î care otăm cu O itersecţia diagoalelor şi cu M mijlocul segmetului AO Ştim că BD = AO, AC = a, m( ADB ) = 60º Pe perpediculara î M pe plaul (ABC) se ia puctul P astfel îcât MP = a i) Să se calculeze distaţele de la puctul P la laturile paralelogramului ii) Să se afle distaţa de la puctul M la plaul (BCP) (GM) Demostraţi că dacă a i R, i =,, a + = a, atuci a (a + a ) + a (a + a 3 ) + + a - (a - + a ) + a (a + a + ) 0 Câd are loc semul egal? (Rodica Coma) 3 Dacă petru umerele reale a, a, a 3, a 4 există x pozitiv astfel îcât să fie verificate iegalităţile: xa - (x + )a + (x + )a 3 0 xa - (x + )a 3 + (x + )a 4 0 xa 3 - (x + )a 4 + (x + )a 0 xa 4 - (x + )a + (x + )a 0, atuci umerele a, a, a 3, a 4 sut egale Clasa a X-a Fie a u umăr atural par eul şi umerele aturale k a k Să se arate că umărul a + + este compus 6 (GM) Să se arate că: 5 cos x + 5 cos y cos (x + y) 9, x,y R (Dumitru Barac) 3 Fie a (; ) şi u umăr atural dat, Să se rezolve î R sistemul: x+ x + + x = x x x a + a + + a = a (Nicolae Sada) Clasa a XI-a Fie k u umăr îtreg Petru ce umere aturale eule avem [ k ]? (GM)

11 Fie z, z, z 3 C astfel îcât z = z = z 3 = z + z + z 3 = a, a > 0 Calculați z z z 3 (GM) 3 Fie b u umăr real pozitiv, șirul (a ) verifică relația: ba + + b + = = (b + )(ba + b + ) b + petru orice N*, a = Aflati termeul b geeral a Clasa a XII-a Se cosideră o mulţime A de umere reale care satisface simulta proprietăţile: ) 0 A ; ) x A x + 3 x A ; 3) x +x 3 A x A Să se arate că: a) mulţimea A este emărgiită b) mulţimea A coţie cel puţi două umere strict pozitive subuitare (GM) lim l! Să se calculeze ( )! (Petru Ivăescu) 3 Determiaţi X M (C) ştiid că are suma elemetelor egală cu, iar 3 5 X 008 = 5 3 (Rodica Coma) 7

12 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A IV-A, 7-9 NOIEMBRIE 009 Clasa a V-a Suma a patru umere aturale este 009 Arătați că cel puți uul ditre ele este mai mare sau egal cu 503 (GM 6/009) Să se determie umerele abc, scrise î baza de umerație 0, astfel îcât: abc= a+ b+ c+ ab+ bc+ ca+ ba+ cb+ ac (Se acceptă și umere de forma 0x= x ) 3 Fie umerele x= 3 009, y= și 3 0 z= Să se afle: a) resturile împărțirilor lui x, respectiv, y la 00; b) restul împărțirii lui t = x + z la y Clasa a VI-a Aflați umerele aturale a, b, c cu a< b c astfel îcât: a b c b = 009 Numerele aturale a, b, c verifică codițiile: i) 3a+ 3b+ 8c se divide cu 3; ii) a+ b+ c se divide cu 3 Demostrați că 4a+ 8b+ c se divide cu 3 (Rodica Coma) (GM 6/009) (Nastasia Chiciudea) 3 Fie A0, A, A,, A 00 situate î această ordie pe o dreaptă, astfel îcât: A0 A = A A = cm și Ak Ak+ = Ak Ak, petru orice k {,3,,009} a) Să se arate că puctul 4 A este mijlocul segmetului [ ] b) Să se calculeze lugimea segmetului [ A0 A 00] A A 0 5 (Lucreția Checec) 8

13 Clasa a VII-a ( ) 0 Se dă triughiul isoscel ABC ( AB) ( AC) cu m ( A ) = 40 simetricul lui B față de AC, [AD bisectoarea ughiului BAC, D ( BC) { E} = BF AC și { P} = AD CF Arătați că: 9 Fie F, a) Triughiul ACF este isoscel; b) DE CP; 0 c) m( APC ) = 50 (GM 6/009) x y z Arătați că petru oricare x, y, z umere aturale, umărul u este pătrat perfect (Mugur Acu) 3 Fie p u umăr prim impar și fie a, b, c umere aturale cu a< b< c< p astfel îcât a, b, c să dea același rest la împărțirea cu p Arătați că p divide a + b + c Clasa a VIII-a Fie N u umăr atural astfel îcât 9N se scrie ca o sumă de două pătrate perfecte Arătați că 0N are aceeași proprietate (GM 5/009) Fie k [, ] Să se arate că dacă a > 0 și b > 0, cu a b atuci 3 Fie ABC u triughi isoscel cu a kab+ k+ b a b a + b a ( ) max(, ) m( BAC ) = 0 pe latura BC astfel îcât MN = BM BM NC+ NC 0 Să se arate că m( MAN ) = 60 0 iar M și N două pucte Clasa a IX-a (Dumitru Barac) Șapte di vârfurile uui cub sut etichetate cu cifra zero, iar vârful al optulea este etichetat cu cifra Avem o succesiue fiită de pași, fiecare pas costâd î aduarea lui la capetele uei muchii Să se arate că, la sfârșit, cel mai mare divizor comu al celor 8 umere di vârfurile cubului este (GM 6/009)

14 Să se rezolve î R R sistemul: + = x 4 3x 6 y y 4 3y + 6= x (Nastasia Chiciudea) 3 Arătați că oricare ar fi umerele pozitive a, a,, a, Ν, cu ai = avem: i= Fie,,, ( + ) ai+ i= ai Clasa a X-a a b c d umere reale cu proprietatea { a, b} { c, d} 0 (Moica Sas) Să se arate că ecuația x+ a+ x+ b = x+ c+ x+ d are cel mult o soluție reală (GM 5/009) Dacă x, y, z ( 0,), să se arate că: a) log ( yz) + log ( zx) + log ( xy) 6 ; x y z b) log ( yz) log ( xz) + log ( zx) log ( yx) + log ( zy) log ( xy) 48 x y y z x z (Rodica Coma) 3 Arătați că petru oricare m > 0 î orice triughi ABC are loc iegalitatea m + m ( si A+ si C) cos B Studiați cazul de egalitate Clasa a XI-a Fie ABCD u tetraedru îscris î sfera de rază R, cu proprietatea că MA + MB + MC + MD = 8, oricare ar fi M u puct al sferei a) Să se calculeze R b) Să se arate că segmetele AB, AC, AD pot fi laturile uui triughi (GM 3/009) Fie ( x ) și ( ) y Să se calculeze: două șiruri de umere reale astfel îcât lim x = lim y = 0 x y x y + y 3 lim x + x y+ y

15 i) Să se verifice egalitatea = 0 4 ii) Să se arate că 3a+ b+ c 3b+ c+ a 3c+ a+ b 4a+ c 4b+ a 4c+ b ( )( )( ) ( )( )( ) petru oricare a, b, c umere pozitive (Dumitru Barac) m Să se calculeze: ( ak) b, b,, b m > 0 Clasa a XII-a lim bk l + l + k =, ude a, a,, a m > și 4 x ( x 6) Să se determie primitivele fucției f : R R, f ( x) = 4 5/ ( x + 6) (GM 5/009) (Nicolae Sada) 3 Folosid faptul că petru orice Ν 4 π lim să se demostreze iegalitatea 90 = 4 k = k 4 π + 3( ) k= k + (Emil C Popa)

16 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A V-A, 9- NOIEMBRIE 00 Clasa a V-a La u campioat de fotbal, Adrei, Mihai și Vasile au marcat împreuă de goluri Adrei a marcat de trei ori mai multe goluri decât Vasile, iar Mihai jumătate di umărul golurilor marcate de Adrei Câte goluri a marcat fiecare? (GM 6/00) Să se determie umerele aturale abc, scrise î baza 0, astfel îcât abc= cba+ ab+ ba+ ca+ ac+ bc+ cb 3 Există 5 umere aturale a, b, c, d și e cu proprietatea că suma a oricăror patru ditre ele dă restul pri împărțirea la 4? (Moica Sas) Clasa a VI-a Determiați toate umerele aturale eule care împărțite la 7 dau câtul egal cu restul și împărțite la 3 dau, de asemeea, câtul egal cu restul (GM 7-8-9, 00) m Determiați m, umere aturale astfel îcât = 0 (Nastasia Chiciudea) 3 Arătați că umărul x= este atural și se divide cu 0 Clasa a VII-a Î triughiul ABC, M este mijlocul îălțimii AD ( D ( BC) (Moica Sas) ), iar E ( AC) astfel îcât EC= AE Arătați că puctele B, M, E sut coliiare dacă și AB AC umai dacă [ ] [ ] (GM 7-8-9/00) Să se determie a, b Ν știid că 997 împărțit la a dă restul b a și împărțit la b dă restul a 0 (Nastasia Chiciudea)

17 3 Dacă x, y, z, t sut umere reale, atuci ( x+ y+ z+ t) + ( x y+ z+ t) + ( x+ y z+ t) + ( x+ y+ z t) + x+ y+ z+ t 4 Precizați cazul de egalitate Clasa a VIII-a Fie patrulaterul iscriptibil ABCD Dacă AC BD= { O}, E ( OC) și F ( BD), să se demostreze că EF ǁ AB dacă și umai dacă ADE BCF Demostrați că petru orice umăr atural are loc iegalitatea < 3 Fie a și două umere aturale eule Arătați că umărul 3 x ( a) = + a+ a + a + + a se divide pri (GM 6/00) (Lucreția Checec) ( a+ )( a + )( a + a + ) Clasa a IX-a Fie a R cu a Determiați fucția f : R R care are proprietatea f ( x) + af ( + x) = ( a+ ) x + ( a ) x+ ( a+ ), petru orice x, umăr real Dacă x, y, z (0, ) să se arate că: (GM 6/00) ( x y) ( y z) ( z x) 3( x y z) 3 Fie ABCD u patrulater și puctele M, N, P, Q astfel îcât: MB= α MA, NB= αnc, PC= αpd și QA= α QD, α R, α > 0 Să se arate că: MP + QN ( AB + BC + α CD + α AD ) α (Nastasia Chiciudea) Clasa a X-a (Vasile Negrușeri) Fie x, y > 0 și Ν Să se arate că: ( x+ y) ( x+ y) ( x+ y) (GM 7-8-9/00) x+ y x + y x + y

18 Să se determie mulțimea perechilor ( a, b) R R cu proprietatea max ( ax + bx ) = [,] x (Dumitru Barac) p 3 Arătați că u există p prim așa îcât 3 + 9( p ) să fie pătrat perfect Clasa a XI-a Fie a, b, c umere complexe Cosiderăm S a b c = + + și S+ S+ S A = S+ 3 S+ S+, ude Ν S+ 4 S+ 3 S + Să se arate că: det( A ) = ( abc) ( b a) ( c a) ( c b) Demostrați că î orice triughi ascuțitughic are loc iegalitatea: ( a+ b) si C + ( b+ c) si A+ ( c+ a) si B 6 S (GM /00) (Nastasia Chiciudea) x 3 Fie a R, a > dat Cosiderăm șirul x0 R, x = x + + a, Ν x Să se calculeze lim l Clasa a XII-a Fie A o matrice de ordiul cu elemete reale și λ, λ rădăciile poliomului P= det( A λi) Să se arate că: ( ) λ ( λ ) ( λ λ ) A I + A I = I, Ν, (GM /00) Aflați primitivele fucției x 4 ( + e ) f ( x) =, x R 4x + e (Nicolae Sada) 3 Să se arate că + ( + )!! e ( + )( + ) < 3 + ( + )!, =, 3, (Lucia Vița) 4

19 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A VI-A, 8-0 NOIEMBRIE 0 Clasa a V-a a) Aflați umerele aturale de forma ab care împărțite la 36 dau restul u pătrat perfect b) Î 8 cutii sut 5 de bile roșii, galbee și albastre Știid că î fiecare cutie sut bile de toate culorile, arătați că există cel puți două cutii care coți același umăr de bile (Gazeta Matematică, 5 / 0) U elev premiat primește la sfărșitul aului școlar o eciclopedie El citește î prima zi de vacață, 8 iuie 0, primele cici pagii ale ei Apoi citește î fiecare zi cu două pagii mai mult decât î ziua precedetă a) Î ce dată a termiat de citit primul capitol care are 40 de pagii? b) Știid că a termiat de citit cartea î 7 iulie 0, aflați câte pagii are aceasta (Rodica Coma) 3 Rezolvați î mulțimea umerelor aturale ecuațiile: a) b) z y x = 36 ; z y x + y z x = 3 (Artur Bălăucă, Moica Sas) Clasa a VI-a Există N astfel îcât umărul + 00 să fie pătrat perfect? (GM 6/0) a) Arătați că, pritre ouă umere prime mai mari ca 5, există îtotdeaua două a căror difereță se divide cu 30 b) Să se demostreze că umărul a = , ude N, este divizibil cu 73 (Nastasia Chiciudea) 3 a) Arătași că dacă u umăr atural m, scris î baza zece, are 03 divizori aturali, atuci m este pătrat perfect b) Aflați umerele aturale de trei cifre scrise î baza zece care au 4 de divizori (Artur Bălăucă) 5

20 Clasa a VII-a a) Să se determiare valorile aturale ale lui, petru care fracția se poate simplifica 9+ 4 b) Arătați că u există umere aturale eule x, y, z petru care x + y = 7 (x, z) și x + z = 7 (x, y) (am otat cu (a, b) cel mai mare divizor comu al umerelor aturale a și b) (Gazeta Matematică, 5/0) Rezolvați î x ecuația: a) x y = 4 x b) Să se afle N * +, știid că fractiile: 3 + și 0 6 sut echivalete (Rodica Coma) 3 Se cosideră paralelogramul ABCD și puctele E, F, O, M, P, și N astfel AB îcât : E (AB), F (AB), AE = FB =, {O} = AC BD; DE FC = {M}, 4 MO AB = {P}; DP MB = {N} și AB = cm a) Aflați lugimea segmetului (PE) b) Arătați că patrulaterul MNOE este paralelogram AB c) Dacă BC = AM =, arătați că dreptele BD și BC sut perpediculare, iar triughiul NOE este echilateral Clasa a VIII-a Fie x, y umere rațioale eule Arătați că dacă rațioal atuci x = y 6 (Artur Bălăucă, Nicolae Sada) x y 5+ y 3 5+ x 3 este umăr (Gazeta Matematica, 5/0) a) Să se determiare umerele aturale, pătrate perfecte petru care ( + ) < 0 b) Rezolvați î mulțimea umerelor îtregi ecuația N (Maria Sas) 4 x + y 4 = 0, ude (***)

21 3 Fie cubul ABCDA B C D și puctele M și N proiecțiile puctului A pe bisectoarea ughiului ABD și, respectiv pe bisectoarea ughiului AB D Arătați că: a) MN AC; b) Dreptele AA și MN sut ecoplaare; c) Câte plae egal depărtate de puctele M, N, A și A există? Justificați (Artur Bălăucă, Nicolae Sada) Clasa a IX-a Fie ABCDA B C D' u paralipiped dreptughic î care (A BC) (BC D) și (A B C) (ABC ) Arătați că ABCDA B C D este cub (GM 4/0) Dacă x este u umăr real, atuci rațioale 7 x și 5 7 x 5 u sut ambele 3 Dacă a, b, x, y, z, t şi x + y + z + t = u, atuci (au + bx) + (au + by) + (au + bz) + (au + bt) + 4 a+ b u 4 Clasa a X-a (DM Bătiețu și Nicolae Sada) Cosiderăm umerele complexe z, z,, z, Re z k > 0, Im z k > 0 petru orice k {,,, } Să se arate că z + z + z ( z + z + + z ) (GM 6/0) Să se arate că petru orice atural,, avem că: A si a x si a x si a x + B cos a x cos a x cos a x max{ A, B } ude a, a, a, A, B, x sut umere reale arbitrare (Acuța Mititea) 3 Fie a, a,, a ( 0, )), arătați că ecuatia cu a + = a are o sigura solutie i= i i+ i= i+ i a + a x = a a x (Dumitru Acu) 7

22 Clasa a XI-a Fie șirul (a ) 0 defiit pri a 0 = 0 și a + + a a = a a + a, a 0, ( ) N a) Să se determie a, 0, oarecare, și limita șirului b) Să se determie N petru care a 0 (Costati Taru) Fie a și matircea A = Calculați A, N* 0 a 0 a a a 8 (Vasile Negrușeri) 3 Arătați că orice umăr prim p, p 3, u se poate scrie sub forma x k + + y k +, x, y N și k N* Clasa a XII a Fie α și (a ) u șir de umere reale pozitive ce verifică simulta următoarele codiții: i) a (0, ); ii) a+ = a a, ( ) N* a iii) a = α, ( ) N* a + Determiați α astfel îcât șirul (a ) să fie coverget (Daiela Burtoiu și Liaa Agola) Calculați: + + ( x+ ) ( x x 3) si x 3 dx (Moica Sas și Vasile Negrușeri) 3 Folosid literele di MATEMATICA CU DRAG, ude î ordie se acordă 0,,, etc î ordiea apariției, determiați dacă matricea 4 x 4 obțiută îșirâd aceste valori este iversabilă Există o altă așezare a acestor umere astfel îcât matricea să fie sigulară? (Radu Gologa)

23 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A VII-A, 0 Clasa a V-a Arătați că petru orice umăr atural eul, umărul poate fi scris ca o sumă de trei pătrate perfecte (GM 9/0, Suplimet) a) Aflați suma cifrelor umărului a, ude a = ( ) b) Determiați cifrele umărului: x = , ude, 7 (Maria Sas) 3 Fie umerele aturale de trei cifre, scrise î baza zece, cu proprietatea că umărul format di primele două cifre ale lor este de trei ori mai mare decât umărul format di ultimele două cifre ale acestora Aflați umerele și arătați că suma cifrelor acestor umere este 3 (Cătăli Budeau) Clasa a VI-a Fie puctele coliiare A 0, A, A,, A situate pe dreapta d î această ordie astfel îcât: A 0 A = cm, A A = cm,, A A = cm a) Aflați lugimea segmetului A 45 A 99 precum și distața ditre puctele A 0 și M, ude M este mijlocul segmetului [A 45 A 99 ] b) Aflați umărul, dacă lugimea segmetului [A 0 A ] este egală cu 86 cm (Nicolae Sada) Numerele aturale eule a, b, c îdepliesc simulta codițiile: i) a + b + 3c = 3000, () și 9b + c = 000, () ii) a are 6 divizori, b are 8 divizori și c are 4 divizori Să se demostreze că a are patru cifre, b are trei cifre și c are două cifre (GM 9/0, Suplimet) 3 Se cosideră mulțimea: A = {x / x = abcde, ude a, b, c, d, e sut cifre disticte pare î baza 0} Aflați: a) Cardialul mulțimii B = {x A / 4 divide x} b) Mulțimea A C, ude C = {x A / x = t, t } (Artur Bălăucă) 9

24 Clasa a VII-a + Aflați cardialul mulțimii A = x Z x=, N, (GM 9/0, Suplimet) Numim umăr drag u umăr atural care are exact 4 divizori aturali a) Dați u exemplu de trei umere dragi cosecutive b) Să se arate că u există trei umere dragi cosecutive astfel îcât primul ditre ele să fie par (Cătăli Budeau) 3 Se cosideră patrulaterul covex ABCD, astfel îcât AB = AC = AD = CD și m( ABC) = 80 Pe latura AB se ia puctul E, cu m( CEB) = 30 Arătați că dreptele DE și BC sut paralele (Artur Bălăucă) Clasa a VIII-a Rezolvați ecuația: x x + x x = (GM 9/0, Suplimet) a a a Se dă suma: S = , a a a a a a ude a i \{}, i =, ( )( ) ( )( ) ( ) Determiați umerele îtregi a i, i =, petru care S este umăr atural 30 (Nastasia Chicidea) 3 Fie A, B, C, D patru pucte ecoplaare, puctul M este mijlocul segmetului (BC), iar puctele P, Q, R, S, R și S astfel îcât P (AM), Q (DM), BP AC = {R}, CP AB = {S}, BQ CD = {R } și QC BD = {S } a) Dacă puctele P și Q sut cetrele de greutate ale triughiurilor ABC și, respectiv, BCD, arătați că dreapta PQ este paralelă la plaul (ABD) b) Demostrați că dreptele SS și RR sut coplaare (Nicolae Sada)

25 Clasa a IX-a Să se determie cea mai mare valoare a umărului real k petru care x 4 + x y + y 4 k(x + y) 4, oricare ar fi x, y (GM 6-7-8/0) Se cosideră triughiul ABC î care otăm AB = c, AC = b, M mijlocul lui (BC) Arătați că dacă P este puctul di pla cu AP= b AB+ c AC atuci m BAP = m CAP ( ) ( ) 3 Dacă 0 < a a a și a + a + + a k, atuci a + 3a + 5 a3 + + ( ) a k,, (Dumitru Barac) Clasa a X-a Să se determie termeul geeral al șirului (a ) știid că a a = și 0!a +!a + + ( )!a = ( )!! a+ oricare ar fi (GM 5/0) Notăm cu l a lugimea bisectoarei di A, cu h a lugimea îălțimii di A și cu r raza cercului îscris î ABC Arătați că: A A + si = si (Acuța Mititea) l h r a a 3 i) Arătați că x 3 + y 3 + z 3 (x y + xy + x z + xz + yz + y z) + 3xyz 0, x, y, z 0 ii) Să se arate că umerele reale a, b satisfac relația: x 3 + y 3 + z 3 a(x y + xy + x z + xz + yz + y z) + bxyz 0, x, y, z 0 dacă și umai dacă există r, s [0, ) astfel îcât a = r, b = 3 6r + s (Dumitru Barac) 3

26 Clasa a XI-a Să se arate că: A (A B) B = B (A B) A, petru orice matrice pătratică de ordi cu urme egale (GM /0) Să se determie fucțiile f : care, petru m, umere aturale date, îdepliesc codițiile: a) f (, ) = m + ; b) f (x, y + z) = f (x, y) + z, oricare ar fi x, y, z ; c) f (y + z, x) = f (y, x) + mz, oricare ar fi x, y, z ; (Moica Sas) 3 Fie șirul (a ) de umere reale eule defiit pri a = 6 și a+ a = 3( + )( + ), oricare ar fi Să se arate că: a a 4 + a a a a = Clasa a XII-a Cosiderăm fucția f :, f (x) = xarctgx Să se calculeze f (0) (0) l( ) x + (GM 5/0) Fie k *, X, Y M ( ) cu proprietatea ky = YX XY Să se arate că Y = O (***) 3 Fie k * și a < Calculați: l(a) = k cos x(l a cos x+ si x) kx k dx a + cos x (Nicolae Sada) 3

27 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A VIII-A, 03 Clasa a V-a Găsiți umerele aturale a și b petru care: 63a b = 03 (GM 5/03) Se umește umăr împerecheat u umăr atural scris î baza zece care are patru cifre și este format di două perechi de cifre egale (exemple: 5577, 7755, 5555, 5757, etc) a) Găsiți două umere împerecheate care au suma 0 b) Dacă se așază îtr-u șir toate umerele împerecheate î ordie crescătoare, aflați primii patru și ultimii patru termei ai șirului c) Câte umere împerecheate există? Justificați răspusul! (Cătăli Budeau) 3 Cu chibrituri costruim u pătrat care coție = 4 pătrățele mici (ca î figura alăturată) Câte chibrituri sut ecesare petru a costrui u pătrat care să coțiă 00 = 0000 de pătrățele mici? Justificați răspusul! Clasa a VI-a (Nicolae Sada) Rezolvați î mulțimea umerelor aturale ecuațiile: a) 5xy + z = 55 (Artur Bălăucă) b) a + = 7 a b 6 (GM 5/03) Fie șirul de umere aturale,, 4, 7,, 6, a) Determiați următorii trei termei ai șirului b) Precizați dacă umărul 78 este terme al șirului 3 a) Să se determie umerele aturale abc care îdepliesc codiția: c 3 + c + c = abc b) Aflați umerele aturale a și b știid că (a + )(a + a) + b = 3, iar b este umăr prim 33

28 Clasa a VII-a Determiați m * astfel îcât m m = m! + 3, ude m! = 3 m (Gazeta Matematică) Determiați cel mai mic umăr ratioal pozitiv r petru care umerele 8 98 r și r sut ambele aturale (Rodica Coma) 3 Se cosideră puctele fixe B și C, iar puctul A oarecare (variabil) esituat pe dreapta BC Î exteriorul triughiului ABC se costruiesc triughiurile dreptughice isoscele ACE și ABD cu m( ADB) = m( AEC) = 90 Arătați că mediatoarele segmetelor (DE) trec pritr-u puct fix (pri același puct) (Artur Bălăucă) Clasa a VIII-a a) Fie u umăr atural Determiați, dacă + 49 și 49 sut cuburi perfecte (Gazeta Matematică) b) Calculați a = (Cătăli Budeau) Fie umerele reale x, y, z petru care au loc simulta relațiile: a + 4a+ (i) x + y + z = a și (ii) xy + yz + zx = a) Găsiți o relație idepedetă de a ître x, y și z b) Stabiliți cărui iterval de lugime, cu extremitățile umere îtregi, aparție fiecare ditre umerele x, y, z (Cătăli Budeau) 3 Pri vârfurile A, B, D și E ale hexagoului regulat ABCDEF se cosideră respectiv, dreptele a, b, d și e astfel îcât a b d e a De aceeași parte a plaului (ABC) pe dreptele a, b și d se iau respectiv, puctele A, B și D astfel îcât lugimile segmetelor [AA ], [BB ] și [DD ] exprimate î uități de lugime sut egale cu: AA = , BB = 03 și DD = 00 Dacă plaul (A B D ) itersectează dreapta e î puctul E, aflați distața ditre puctele E și E (Artur Bălăucă)

29 Clasa a IX-a Se dă piramida patrulateră regulată TABCD de volum a, a > 0 Să se determie volumul piramidei TABMN, ude M și N sut pucte situate pe MC ND TC și, respectiv, TD astfel îcât = = TC TD 3 (GM /03) Să se demostreze că: < < 688 (***) 3 Fie p N; arătați că umărul 4 + (4p + ) + 4p + 4p + 3 u poate fi scris ca sumă a două umere aturale prime, oricare ar fi umărul atural Clasa a X-a Fie x cu proprietatea că umerele x 3 + x și x 5 + x sut rațioale Să se arate că x este umăr rațioal (GM 6-7-8/03) Petru orice umăr atural k, să se găsească cel mai mic atural astfel îcât k 9 k (***) 3 Fie a, a,, a,, umere reale pozitive astfel îcât a + a + + a = i) Arătați că a a a ; 3 ii) ( ) i ai + ai + 3, (Acuța Mititea) = Clasa a XI-a Fie a, a,, a > 0, ude N, Să se arate că: a + a + + a aa3 a+ aa3 a+ aa a Rezolvați, î mulțimea umerelor reale, ecuația: 03x 03x 03x x = x x 04 Demostrați că: + + > 3 log cos 0 log cos 40 log cos (Petre Guțescu) (Dumitru Barac)

30 3 Arătați că petru orice p îtreg toți termeii șirului a a a = a =, a 3 =, a + 3 = + p + + +, a sut umere îtregi (Maria Sas) Clasa a XII-a Cosiderăm șirul de umere reale (x ) defiit pri x = si + = x + = +, Să se arate că lim x = (GM 9/03) dx Calculați:, x fiid ditr-u iterval î si x si( x+ )si( x+ ) si( x+ 3) care umitorul u se aulează (Nicolae Sada) 3 Fie a u umăr atural par și eul Arătați că petru orice * umărul f a () = a + a + are cel puți divizori primi diferiți (***) 36

31 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A IX-A, -3 NOIEMBRIE 04 Clasa a V-a a) Scrieți umărul 00 ca o sumă de patru cuburi perfecte b) Scrieți umărul 00 6p + ca o sumă de patru cuburi perfecte, ude p este umăr atural (Gazeta Matematică) c) Să se arate că ( ) > (Moica Sas) Fie umărul A = [ (03 04) : ] : : ( ) a) Arătați că umărul B = A este pătrat perfect b) Comparați umerele cu B (Moica Sas) 3 Victor are pe aleea dreaptă di fața casei u pavaj cu pavele î formă de pătrate Fiecare pavelă este împărțită î 9 pătrate egale, iar pe fiecare pătrățel sut scrise umere aturale după cum urmează: pavela pavela pavela 3 pavela a) Aflați suma tuturor umerelor scrise pe primele 0 de pavele b) Care este umărul scris î cetrul pavelei de pe locul al -lea? c) Știid că umărul scris î cetrul celei de a -a pavelă di pavaj este 00, aflați (Artur Bălăucă) Clasa a VI-a a) Aflați umerele aturale eule a căror difereță este egală cu câtul lor (Gazeta Matematică) b) Determiați umerele aturale prime a, b, c astfel îcât umărul A = a 4 + b 4 + c 4 3 să fie prim (***) 37

32 Arătați că umărul zxy scris î baza zece este pătrat perfect dacă xy+ 9 = (Artur Bălăucă) xyz+ y+ z 3 3 Pe dreapta d se cosideră puctele A, O, B cu O (AB) Fie semidreptele (OC și (OD astfel îcât m( COD) = 70 Dacă semidreptele (OM și (ON sut bisectoarele ughiurilor BOD și, respectiv, AOC, determiați măsura ughiului MON (Nicu Sada) Clasa a VII-a a) Determiați umerele aturale abc și x petru care are loc egalitatea: x 3 + ax + bx + c = 04 (Gazeta Matematică) b) Arătați că a) Dacă b și a, iar iversul umărului a b este a + b, să se arate că a = b) Fie șirul de umere aturale 7, 77, 777, 7777, scrise î baza zece Să se arate că pritre primii 0 termei ai șirului există cel puți uul divizibil cu 0 (Nicu Sada) 3 Se dă triughiul ABC cu m( ACB) = 30 și m( BAC) = 0 Pe latura (BC) a triughiului se cosideră puctul D astfel îcât m( DAC) = 50 Arătați că (AB) (CD) (Artur Bălăucă) Clasa a VIII-a a) Rezolvați î mulțimea umerelor îtregi ecuația x 3 3xy + y 3 = 9 (Gazeta Matematică) b) Fie șirul a = a +, a = 0 a +,, a + = 38 a +, oricare ar fi * Dacă a 0 *, a 0 fixat, arătați că șirul coție o ifiitate de termei irațioali a) Să se rezolve î mulțimea umerelor aturale prime și disticte două câte două ecuația x + y + z + t = 40 b) Câte soluții are ecuația? (Artur Bălăucă)

33 3 Se dau trei drepte cocurete și ecoplaare a, b, c care itersectează trei plae paralele α, α și α 3 a) Să se arate că puctele de itersecție ale dreptelor a, b, c cu plaele α, α și α 3 formează î fiecare pla u triughi, iar cele trei triughiuri sut asemeea b) Să se arate că cetrele cercurilor circumscrise celor trei triughiuri de la a) sut coliiare (Nicu Sada) Clasa a IX-a Să se determie umerele aturale a și b astfel îcât E(a, b) = a 3k + 9b să se dividă cu 7, oricare ar fi k, umăr atural (GM 5/04) Fie triughiul ABC dreptughic î A cu AB = 3 și AC = 5 și puctele 4 R, S BC astfel îcât BR= BC, BS = BC, apoi P (AR și Q (AS 7 9 astfel îcât AP = 3 și AQ = 0 Demostrați că PQ AB (Romaița și Ioa Ghiță) a [ a] + c { c} [ b] { b} = 0,6 3 Să se rezolve sistemul 4 b [ b] + 4 a { a} 4[ c] { c} = c [ c] + b { b} [ a] { a} = 049 (ude [x], {x} reprezită partea îtreagă, respectiv, partea fracțioară a umărului real x) (Nastasia Chiciudea) Clasa a X-a Fie umerele reale strict pozitive x și y astfel îcât x 5 + y 5 = x y Să se arate că x 4 + y 4 < (GM 3/04) Petru orice p * se defiesc mulțimile A p ={cos(p π ) * } a) Demostrați că A p este fiită, petru orice p * b) Determiați mulțimea A 38 A 53 (Romaița și Ioa Ghiță) 3 Fie a și b umerele reale, iar f :, f (x) = (x a)(x a b)(x a b )(x a b ) + i) Arătați că f (x) > 0, petru orice x real; ii) Aflați miimul lui f 39 b ( b+ ) 4 +

34 Clasa a XI-a Să se determie umerele reale x, y, z, t petru care t + t x= x, x + x y= y, y + y z = z, z + z t = t cosα siβ Se cosideră matricea A= siβ cosα, α, β a) Să se determie A, * b) Să se determie α, β astfel îcât A cos( α) = si( β ) petru orice * 40 (GM 6-7-8/04) si( β ), cos( α ) (Romaița și Ioa Ghiță) 3 Cosiderăm următoarele k, k 3, șiruri (x, ), (x, ),, (x k, ) care au termeii iițiali pozitivi, iar petru avem: x, + = x, +, x, + = x 3, +, x x 3, X k-, + = x k-, + x k, 4,, x k-, + = x k-, + x,, x k, + = x, + Arătați că: a) iciuul di șiruri u este mărgiit b) cel puți uul ditre termeii x, x,, x este mai mare ca k,k, k k,k Clasa a XII-a x, Să se determie fucțiile derivabile f, g : care au proprietatea ca fucția f + 3g este o primitivă a fucției f + g și fucția 5 f 6g este o primitivă a fucției 0 f + g Să se determie primitivele fucției f : (0, ) x x 4x f ( x) = l( + x+ x + x + + x ) x + x + x 4 (GM 6-7-8/04) (Romaița și Ioa Ghiță) 3 Se cosideră matricea A M ( ) cu det A = Să se arate că det(a + I ) + det(a + A I ) = 8 (***)

35 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA A X-A, NOIEMBRIE 05 Clasa a V-a Putem pava complet o tablă de dimesiui 6 6 cu piese de tipul alăturat fără ca piesele să se suprapuă sau să iasă î afara tablei? Pătrăţelele piesei au latura Justificaţi! (Gazeta Matematică) a) Sut doi saci cu uci, uul coție 000 de uci iar celălalt 05 uci Ioel și Gigel joacă următorul joc: iau pe râd umai ditr-u sac oricâte uci cosideră Pierde cel care u mai are ce lua Ce strategie poate aplica Ioel care îcepe jocul, petru a câștiga? Justificați! b) Comparați umerele: cu Justificați! (Artur Bălăucă) 3 Numerele aturale de patru cifre abcd au proprietatea a c + b d = 7 Determiați: a) Câte umere există cu proprietatea dată? b) Care este cel mai mic umăr? Dar cel mai mare? c) Scrieți umerele care îdepliesc și codiția a > b > c > d Justificați! (Artur Bălăuică) Clasa a VI-a a) Să se determie umerele abcd știid că 998 divide umărul dcbadcba (Nastasia Chiciudea) b) Stabiliți valoarea logică a propoziției: [a, b] + (a, b) a + b, ude a, b * Justificaţi! U umăr atural de patru cifre scris î baza zece de forma abcd, se umește util dacă abcd = d ef fe, ude umerele d, ef și fe sut umere prime a) 05 este umăr util? b) Determiați toate umerele utile Justificaţi! (Artur Bălăucă) 4

36 3 a) Există 7 pucte disticte două câte două care să determie exact 0 drepte? b) Se cosideră pucte disticte două câte două di care câteva sut situate pe dreapta d, iar oricare trei ditre celelalte pucte sut ecoliiare Câte pucte se află pe dreapta d, știid că cele pucte determiă exact 57 de drepte? Justificați! (Cătăli Budeau) Clasa a VII-a a) Fie a, b, c trei umere aturale impare Arătați că cel puți două ditre umerele a 4, b 4, c 4 au suma sau difereța multiplu al lui 0 (Gazeta Matematică) b) Se cosideră î pla 06 pucte Să se arate că există o dreaptă cu proprietatea că î semiplaele determiate de aceasta se află exact câte 008 pucte (Nicu Sada) Aflați umerele aturale a, b, c petru care a! = b! + 5 c! (0! = și! = ude * ) (Adrei Eckstei) 3 Se cosideră triughiul isoscel ABC ((AB) (AC)) cu m( BAC) = 30 Fie puctul D situat î semiplaul mărgiit de dreapta BC care u coție puctul A, astfel îcât m( CBD) = 45 Pe semidreapta (BC se ia puctul E astfel îcât (BE) (BD) (AC) Determiați: a) măsura ughiului CAE; b) măsurile ughiurilor patrulaterului ABDE (Moica Sas) Clasa a VIII-a a) Fie x, y, z umere reale Arătați că: (x + )(y + )(z + ) + 8 (x + )(y + )(z + ) (Gazeta Matematică) b) Arătați că x 8 x 5 + x x + > 0, x Se dau mulțimile: a 4ab+ b A = x x= ; a, b * și ab( a+ b) 3 3 a + b B = y y = ; a, b * ab( a b) Determiați mulțimea A B 4 (Artur Bălăucă)

37 3 Se cosideră patru pucte ecoplaare cu proprietatea că AC + BD = CD Fie E itersecția bisectoarei ughiului ACD cu dreapta AD, K proiecția lui B pe bisectoarea ughiului BDC și {F} = CK BD Arătați că EF (ABC) (Gazeta Matematică) Clasa a IX-a Fie puctele M, N, P pe laturile (AB), (BC) respectiv (CA) ale triughiului ABC şi R (MN), S (NP) astfel îcât AM =λ AB, BN =λbc, CP=λCA şi MR= ( λ) MN, NS = ( λ) NP, cu λ (0, ) Dreapta RS itersectează laturile (AB) şi (AC) ale triughiului ABC î puctele E, respectiv F Demostraţi că: a) RS este paralelă cu BC b) ER = SF (GMB) Rezolvaţi ecuaţia x = 05 ori (Adrei Eckstei) 3 Să se găsească toate umerele reale ce verifică relaţia {x} = {x } = {x 3 } (Cu {a} s-a otat partea fracţioară a umărului real a) (Radu Gologa) Clasa a X-a Fie a, b, c umere complexe cu proprietatea că a + b 3c = a 4b +3c Arătaţi că a, b, c sut afixele uui triughi dreptughic (Marius Maiea) Determiaţi umărul fucţiilor f : {,,, } {,,, }, crescătoare, cu Card (Im f) = și f ο f = f (Radu Gologa) 3 Fie u umăr atural, Arătaţi că există o ifiitate de -upluri de umere aturale disticte, avâd proprietatea că petru orice p {, 3,, } orice sumă formată cu p elemete di uplu, u eapărat disticte, divide produsul elemetelor mulţimii (GMB) 43

38 Clasa a XI-a Fie σ o permutare de ordiul, f (σ) = Calculați S = f ( σ ) σ S σ ( k) k k= (Marius Maiea) Se cosideră şirul (x ) defiit pri x = şi x + = x 4 + petru x a) Arătaţi că şirul este coverget la 4 b) Arătaţi că x 4 4 < 000 (Radu Gologa) 3 Fie matricele iversabile A, B M ( ) care comută şi fie a > 0 astfel îcât det(a ab ) > (a detb deta) Arătaţi că det(ab B ) 0 (GMB) Clasa a XII-a x Fie F primitiva fucţiei f : dată de f (x) = e cu F (0) = 0 Arătaţi că F (3) > 5 (R Gologa) Fie (G, ) u grup cu elemet eutru e, î care există u elemet a astfel îcât x 08 = (ax) 06 petru orice x G Arătaţi că: a) x = e petru orice x G b) G este abelia (GMB) 3 a) Fie f : o fucţie ce verifică relaţia f (x) 05 + f (x) x = 0 petru orice x Demostraţi că f are primitive b) Arătaţi că o fucţie ce verifică relaţia f (x) 05 f (x) x = 0 u poate avea primitive (Vlad Cerbu-Mihai Piticari) 44