STRUCTURES CLASSIFIED BY FUNCTION

Transcript

1

2 STRUCTURES CLASSIFIED BY FUNCTION RLB 2014/2015 1

3 STRUCTURES CLASSIFIED BY MAKEUP RLB 2014/2015 2

4 Space Truss Shell Arch Bridge Suspension Bridge RLB 2014/2015 3

5 مقدمة ما معنى اإلتزان ا) ن لكل فعل هنالك رد فعل يساويه بالمقدار و يعاكسه باإلتجاه( قاعدة اإلتزان: لبقاء أي منشأ في حالة إتزان البد من أن تكون القوى الخارجية المسلطة )األحمال )Loads على المنشأ تساوي القوى الداخلية )اإلجهادات )Stresses المتولدة في المنشأ. ما أهمية اإلجهاد و اإلنفعال و تكمن أهمية التعرف على اإلجهاد و اإلنفعال هو أن العالقة الرياضية بينهما إذا رسمت على مخطط بياني سينتج منحني اإلجهاد و اإلنفعال و هو منحني خاص بالمادة الهندسية بذاتها و يمكن أن نسمي هذا المنحني بأنه مفتاح التعامل مع المادة الهندسية. و مثال ذلك لو أننا أردنا تصميم عمود يقاوم أحمال معينة فان مقطع العمود سيختلف إذا اختلفت المادة التي سنستخدمها في إنشاء العمود فعند استخدام الخرسانة المسلحة Reinforced Concrete ستكون أبعاده أصغر فيما لو أستخدمنا مقاطع الحديد فقط وذلك بسبب اختالف مقاومة المادتين و تعبير المقاومة يعني لنا مقدار اإلجهاد الذي تستطيع المادة مقاومته و كم مقدار االنفعال الذي ستظهر على هذه المادة على اختالف مراحل التحميل األحمال Loads تتعرض القطع المنفردة في اي هيكل هندسي أو تركيبة ميكانيكية لقوى خارجية نتيجة لظروف الخدمة أو البيئة التي هي فيها. ولو كانت الوحدة أو العضو في حالة اتزان فإن محصلة القوى الخارجية تكون صفرا أو بمعنى آخر فان القوى الخارجية المسلطة على أي جزء من ذلك العضو ستكون مساوية تماما للقوى الداخلية المتولدة داخل ذلك الجزء. RLB 2014/2015 4

6 أنواع األحمال األحمال الخارجية األحمال الحية IMPACT LOADS األحمال الميتة Dead Loads. Dead loads consist of the weights of the various structural members and the weights of any objects that are permanently attached to the structure. Hence, for a building, the dead loads include the weights of the columns, beams, and girders, the floor slab, roofing, walls, windows, plumbing, Live Loads. Live Loads can vary both in their magnitude and location. They may be caused by the weights of objects temporarily placed on a structure, moving vehicles, or natural forces. Building Loads. The floors of buildings are assumed to be subjected to uniform live loads, which depend on the purpose for which the building is designed. These loadings are generally tabulated in local, state, or national codes Highway Bridge Loads. The primary live loads on bridge spans are those due to traffic, and the heaviest vehicle loading encountered is that caused by a series of trucks. Railroad Bridge Loads. The loadings on railroad bridges Impact Loads. Moving vehicles may bounce or sidesway as they move over a bridge, and therefore they impart an impact to the deck. The percentage increase of the live loads due to impact is called the impact factor Wind Loads. When structures block the flow of wind, the wind s kinetic energy is converted into potential energy of pressure, which causes a wind loading. The effect of wind on a structure depends upon the density and RLB 2014/2015 5

7 velocity of the air, the angle of incidence of the wind, the shape and stiffness of the structure, and the roughness of its surface Snow Loads. In some parts of the country, roof loading due to snow can be quite severe, and therefore protection against possible failure is of primary concern. Design loadings typically depend on the building s general shape and roof geometry, wind exposure, location, its importance, and whether or not it is heated Earthquake Loads. Earthquakes produce loadings on a structure through its interaction with the ground and its response characteristics. These loadings result from the structure s distortion caused by the ground s motion and the lateral resistance of the structure. Hydrostatic and Soil Pressure. When structures are used to retain water, soil, or granular materials, the pressure developed by these loadings becomes an important criterion for their design Other Natural Loads. Several other types of live loads may also have to be considered in the design of a structure, depending on its location or use. These include the effect of blast, temperature changes, and differential settlement of the foundation RLB 2014/2015 6

8 اإلجهادات STRESSES مقدار القوة المؤثرة و نرصد منها أنواع عديدة بناءا على أنواع الألحمال المختلفة اإلجهاد = وحدة من المساحة و منها اإلجهاد العمودي stress( )Normal الناتج عن قوة عمودية force( )Normal و اجهاد القص stress( )Shear الناتج عن قوى قاصة force(.)shear اإلجهاد العمودي Normal Stress بالنظر إلى الرسم التوضيحي نجد أن اإلجهادات على المساحة الكلية )A( يساوي القوة العمودية )N( على القطاع و يمكن وصفه بالمعادلة الرياضية التالية: اإلجهاد العموديσ القوة العمودية σ = N A = N شد σ موجب = N ضغط σ سالب RLB 2014/2015 7

9 Examples Example 1. N = 40 KN. mm 20 احسب σ على عينة من الحد يد قطرها محملة بقوة شد Example 2. عمود خرساني بقاعدة خرسانية مسلحة مربعة سمكها 50cm و عرضها 1.5m محملة بقوة محورية قدرها 6t. احسب γ rc = 25 KN/m 3 على التربة. σ Example 3. mm100 ماسورة قصيرة قطرها الداخلي mm75 و الخارجي محملة بضغط مركزي مقداره.KN 400 احسب σ على مقطع الماسورة. RLB 2014/2015 8

10 اإلنفعال العمودي Normal Strain إذا تعرض قضيب لشد عند طرفيه فإن طوله يزداد قليال و أما إذا تعرض للضغط فإن طوله ينقص قليال. و بافتراضية ثبات المقطع section( )equilibred فإن التغيير في النصف األيسر يساوي نفس نصف التغيير في القضيب كامال. و من هنا نالحظ أن نسبة التغيير في طول معين إلى الطول األصلي يعد مقدارا ثابتا و يسمى اإلنفعال العمودي ( normal.)strain و يمكن أن يكون اإلنفعال العمودي بسبب تمدد أو انكماش. و يمثل اإلنفعال برمز epsilon( ε( : و ليست له وحدة قياس. N N L 0 ΔL ε = L L 0 σ = f(ε)? العالقة بين )σ( و )ε( تختلف العالقة بين اإلجهاد و اإلنفعال باختالف نوع المادة كما تختلف المادة الواحدة حسب مستوى اإلجهاد و يعتبر اإلجهاد دالة لإلنفعال: σ = f(ε) يتناسب اإلجهاد مع اإلنفعال بعالقة خطية تتبع قانون هوك Law( :)Hooke s σ = E.ε )E( ثابت التناسب Elasticity( )Young s Modulus or Modulus of و هو مقدار معاير المرونة و له وحدات اإلجهاد Kg/cm²( )Mpa or و يعتبر مقياس لمقاومة المادة للتشوهات. و يفضل تمثيل هذه العالقة بيانيا عن طريق اختبار عينات شد )Tension( في حالة الصلب و ضغط )Compression( في حالة الخرسانة. حيث نجد مجموعتين أساسيتين للمواد و هما: RLB 2014/2015 9

11 )1 )2 المواد الممطولية :)Ductile( حيث تختبر العينات في الشد )Tension( كما في المعادن مثل الصلب الطري و النحاس المواد القصفة )Brittle( : حيث تختبر العينات في الضغط )Compression( كما في المواد الخرسانة و الزجاج و الطباشير منحني اإلجهاد و اإلنفعال العمودي للصلب الطري. )مادة ممطولية )Ductile Material نعرض عينة من الصلب الطري للشد المحوري بحمل استاتيكي كما هو موضح بالشكل التالي. بطيء حتى يحدث الكسر RLB 2014/

12 من النقطة 0 إلى النقطة a يكون المنحني خط مستقيم و ي مثل الم ي ل قيمة معيار المرونة E s و تعتبر النقطة a نقطة الخضوع العليا ويحدث بعدها مباشرة هبوط في اإلجهاد نتيجة خضوع المادة حتى النقطة b نقطة الخضوع السفلى ثم يحدث انفعال مع ثبات اإلجهاد حتى النقطة c عندها تستطيل العينة مكونة عنق و تسمى مدى الخضوع حتى تنتهي عند انفعال يساوي 0,02. عندها يحدث تصلب اإلنفعال من النقطة c حتى النقطة d حيث يزداد اإلنفعال مع ازدياد اإلجهاد حتى الوصول إلى نقطة d نقطة اإلجهاد األقصى ثم نرى زيادة اإلنفعال مع اإلنخفاض في اإلجهاد من النقطة d حتى النقطة e التي عندها تنكسر العينة. لجميع أنواع الصلب معيار المرونة (Modulus of Elasticity) Es = 200 GPa Example MPa إلى شد محوري قدره يتعرض قضيب صلب طري )مرن( له اجهاد خضوع 200 GPa و معيار المرونة للصلب 20mm و قطره 2 m إذا كان طول القضيب 70KN احسب اإلستطالة.ΔL Example 2. ΔL في ذراع مكبس طوله 75cm و معيار المرونة 200 t/cm² احسب اإلستطالة الكلية حيث أن المكبس يتحمل اجهاد عمودي قدره Kg/cm² Example 3 A rod 150cm long and of diameter 2.0 cm is subjected to an axial pull of 20 KN. If the modulus of elasticity of the material of the rod is N/mm², determine: The stress The strain The elongation of the rod. قضيب طوله 150 cm و قطره 2 cm يتعرض إلى قوة شد قيمتها 20. KN اذا كان معيار احسب: مرونة مادة القضيب تساوي N/mm² اإلجهاد اإلنفعال التمدد Example 4 1. Find the minimum diameter of a steel wire, which is used to raise a load of 4000 N if the stress in the rod must not exceed 95 MN/m². RLB 2014/

13 4000 N 1. احسب أصغر قطر لسلك من الحديد المستعمل لرفع حمل السلك ال يستطيع أن يتجاوز MN/m². 95. إذا كان اإلجهاد في 2. Find the young modulus of a rod of diameter 25 mm and of length 250 mm which is subjected to a tensile load of 50 KN when the extension of the rod is equal to 0.3 mm. 2. جد معيار المرونة لقضيب قطره 25 mm وطوله 250 mm يتعرض لحمل شد قيمته.0.3mm اذا كانت قيمة تمدد القضيب 50 KN Example 5 The safe stress, for a hollow steel column which carries an axial load of KN is 125 MN/m². If the external diameter of the column is 30 cm, determine the internal diameter. نعتبر ماسورة مفرغة من الصلب اإلجهاد الناتج عن حمل محوري قيمت KN يساوي.125 MN/m² اذا كان القطر الخارجي للماسورة 30 cm احسب القطر الداخلي. Example 6 A stepped bar shown in figure is subjected to an axially applied compressive load of 35 KN. Find the maximum and minimum stresses produce قضيب متدرج يتعرض لضغط محوري قيمته 35. KN احسب اإلجهاد األقصى و األدنى. Example 7 An axial pull of N is acting on a bar consisting of three lengths as shown in figure. If the Young s modulus = N/mm², determine: Stresses in each section Total extension of the bar يتعرض قضيب متكون من 3 أجزاء إلى قوة شد قيمتها N اذا كان معيار مرونة احسب: N/mm² مادة القضيب تساوي اإلجهاد في كل جزء التمدد الكلي للقضيب. RLB 2014/

14 Example 8 A member formed by connecting a steel bar to an aluminum bar is shown in figure. Assuming that the bars are prevented from buckling, calculate the magnitude of force P that will cause a total expansion of 0.25 mm. EA = N/mm² and Es = N/mm². Example 9 After a tensile test on steel specimen 50 mm long and with a diameter of 12 mm, we get the following results بعد اختبار شد أجري على عينة الصلب طولها األصلي 50 mm 12.تحصلنا على النتائج التالية و قطرها األصلي mm P (KN) L (mm) Draw the stress-strain curve Determine the yield stress Determine the ultimate tensile stress Determine the limit of elasticity Determine the Elastic Modulus ارسم منحنى اإلجهاد-اإلنفعال احسب اجهاد الخضوع احسب أقصى مقاومة الشد حد التناسب معامل المرونة RLB 2014/

15 )مادة قصفة )Brittle Material منحنى اإلجهاد و اإلنفعال العمودي للخرسانة العادية نختبر عينة من الخرسانة العادية في الضغط بحمل ستاتيكي الكسر كما هو مبين بالشكل التالي: محوري بطيء حتى يحدث تستخدم الخرسانة لتحمل الضغط حيث أن تحمله للشد يعد حول %15 من قيمة تحمله للضغط. تختلف رتب الخرسانة و بالتالي تعطي منحنيات اجهاد و انفعال مختلفة و لكن كلها تشترك في بعض امور و هي: يتكون المنحني من جزء ابتدائي مستقيم حتى انفعال قدره 0.15 εc أو %15 من قيمة انفعال التهشم من الضغط و يمكن حساب معيار المرونة Ec عن طريق المعادلة : ثم ينحني المنحني و يزداد اإلنفعال مع زيادة اإلجهاد حتى الوصول إلى أقصى اجهاد σcult عند نقطة انفعال تساوي حوالي 0,002. ثم يزداد اإلنفعال مع انخفاض في اإلجهاد حتى نقطة الكسر عند اجهاد الكسر الذي يحدث عند انفعال مقدارده حوالي 0,003. RLB 2014/

16 الخاصيات الميكانيكية للمواد mechanical properties of material Elasticity المرونة Is the ability of the material to return to its original dimensions when the external applied load is removed. هى قدرة المادة على استعادة أبعادها األصلية بعد زوال الحمل المؤثر عليها, أي عدم بقاء أي تشكالت دائمة فيها. و من الوجهة الهندسية فإن دليل المرونة ليس بمقدار التغييرات التي تحدث في المادة تحت تأثير الحمل. و إنما تعتبر اإلستعادة التامة لألبعاد األصلية للمادة عند زوال الحمل المؤثر هى فقط الدليل على المرونة. ويعرف إجهاد المرونة Stress( )Elastic Limit بأنه أكبر إجهاد تتحمله المادة بشرط عدم بقاء أى تغيير دائم فى الشكل بعد زوال اإلجهاد المؤثر. Plasticity اللدونة Is the property which permits materials to undergo permanent change in shape without fracture, i.e the material does not return to its original dimensions. هى قدرة المادة على أن يكون لها تشكل دائم بعد زوال الحمل المؤثر أى أن المادة ال تسترجع أبعادها األصلية وهى خاصية هامة فى تشكيل المعادن. Ductility الممطولية Is the ability of the material to stand large plastic deformation in tension, i.e the property of the material which enables it to be drawn out to a considerable extent before failure. هى الخاصية التى تسمح للمادة بتشكل لدن كبير تحت تأثير حمل الشد أى قدرة المادة على السحب وقابليتها لالستطالة الكبيرة عند تعرضها لحمل الشد Malleability المطروقية Is the property which represents the capacity of the material to withstand plastic deformation in compression without failure. هى قدرة المادة على أن يحدث لها تغيرات لدنة كبيرة تحت تأثير حمل الضغط أى قدرة المادة على أن تتفلطح بالطرق بدون حدوث كسر RLB 2014/

17 اإلجهادات العمودية في العناصر المركبة Normal Stress In Composite Sections )2 يتكون عنصر مركب من مادتين مترابطتين ببعضهما )1 و لضمان الرباط و عدم فصله يكون اإلنفعال للمادتين متساوي بنفس المقدار. لكل مادة منهما خاصيتها. تساوي القوة المسلطة على هذا العنصر المركب مجموع القوتين المسلطتين على كال المادتين. = P القوة المسلطة على العنصر المركب P = P1 + P2 = L طول العنصر المركب σ1 σ2 ε1 =P1/A1 =P2/A2 = σ1/e1 ε2= σ2/e2 σ2/e2 = σ1/e1 = A1 مساحة مقطع المادة 1 = A2 مساحة مقطع المادة 2 اإلجهاد في المادة 1 اإلجهاد في المادة 2 اإلنفعال في المادة 1 = E1 معاير مرونة المادة 1 اإلنفعال في المادة 2 ε 1 = ε2 = E2 معاير مرونة المادة 2 = P1 القوة في المادة 1 = P2 القوة في المادة 2 RLB 2014/

18 Examples Example 1. نأخذ اسطوانة صلب مجوفة و بداخلها خرسانة مصبوبة. 14 GPa = معيار مرونة الخرسانة = Ec 210 GPa = معيار مرونة الصلب = E s استخرج اإلجهاد في كلتا المادتين. Example 2 مقطع عمود من الخرسانة المسلحة بارتفاع.300 KN محمل بحمل محوري 3 m احسب اإلجهاد في الحديد و الخرسانة و مقدار التقاصر. Example 3. يتكون عنصر مركب طوله 4 m من لوحتين خشبيتين بينهما لوح حديد سمكه.5mm إذا كان اإلجهاد المسموح في الخشب 50 Kg/cm² و الحديد 1200Kg/cm² و معيار مرونة الخشب و معيار مرونة الحديد t/cm² 100 t/cm² احسب الحمل المسموح على العضو المركب و مقدار استطالته تحت هذا الحمل Example 4. Two brass rods and one steel rod together support a load P as shown in figure1. If the stresses in steel and brass are not to exceed 120 MPa and 60 MPa, find the safe load that can be supported. Take Es = 200 GPa and Eb = 100 GPa. Example 4. Three bars made of copper, zinc and aluminum are of equal length and have cross sections 500, 750 and 1000 mm 2 (figure 2). They are rigidly RLB 2014/

19 connected to their ends. If the compound member is subjected to a longitudinal pull of 250 KN, estimate the proportional of the load carried on each rod and the induced stresses. Take Esc = 130 GPa, Ez = 100 GPa and Ea = 80 GPa figure1 figure2 RLB 2014/

20 Thermal Stress اإلجهادات العمودية نتيجة تغيير في الحرارة عندما تتغير درجة حرارة عضو متجانس يتمدد اذا ارتفعت درجة الحرارة و ينكمش اذا انخفضت. اذا كانت حركة الجسم محدودة )أي مربوط مثال( تتولد اجهادات عمودية يداخله (thermal stresses). أما اذا كان العضو حرا فال تتولد اجهادات داخل المادة. اذا اعتبرنا قضيبا طوله L ارتفعت درجة حرارته بمقدار. T اذا كان القضيب حرا يتمدد بمقدار ΔL = αtl حيث α معامل التمدد الحراري للمادة أما اذا منع القضيب من التمدد يصبح حاله كحال قضيب طوله )L+ΔL( ضغط بقوة P حتى أصبح طوله L. و يكون االنفعال الناتج ε. التمدد = αtl الطول األصلي L(1 + αt) ε = و نظرا ألن مقدار αt صغير بالنسبة لواحد يمكن اهماله بدون خطأ يذكر و يصبح االنفعال يساوي: αt = ε = αtl L اجهاد الضغط المناظر لهذا اإلنفعال يصبح σ = ε. E = αte RLB 2014/

21 Examples Example 1. A rod is 2 m long at a temperature of 10 C. Find the expantion of the rod, when temperature is raised to 80 C. If this expansion is prevented, find the stress induced in the material of the rod. Take E = 1.x10 5 MN/m² and α = / C. Example 2. قضيب من الصلب بين لوحين صلدين. اذا كان معامل التمدد الحراري للصلب هو = α.c / 10 x10 6- و معيار المرونة يساويt/cm² احسب التغيير في درجة الحرارة الذي يولد اجهاد شد قدره 600 Kg/cm² Example 3. A steel rod of 3 cm diameter and 5 m long is connected to two grips and maintained at a temperature 95 C. Determine the stress and pull exerted when the temperature falls to 30 C. Take E = 2 x10 5 MN/m² and α = / C. RLB 2014/

22 اإلجهادات الحرارية في العناصر المركبة Thermal Stress in Composite Bars بفحص الصور اآلتية نرى قضيب مركب من قضيبين من صلب و نحاس. نرفع درجة الحرارة في العنصر المركب. P Copper Steel (1) (2) (3) اذا كان القضيبان غير متالصقين فال تتكون اجهادات حرارية. و لكن اذا كانا متالصقين فسيكون التمدد للقضيب المركب بنفس المقدار في القضيبين. و بما أن معامل حرارة النحاس هو أكبرمن معامل حرارة الصلب سوف يكون التمدد في النحاس أكبر من تمدد الصلب. ولكن القضيبين متالصقين ليسوا أحرارا في التمدد وبالتالي تمدد العنصر المركب سيكون أقل من تمدد النحاس وأكثر من الصلب. ومن هنا يكون اإلجهاد الحراري اجهاد ضغط في النحاس و شد في الصلب. Let مساحة مقطع النحاس = c A اإلجهاد في مادة النحاس = c σ اإلنفعال في مادة النحاس = c ε معامل التمدد الحراري في مادة النحاس = c α معيار المرونة في مادة النحاس = c E الخصائص المتعلقة بالصلب, s A s, σ s, ε s, α s, E التمدد في العنصر المركب = δ القوة المسلطة على النحاس = c σ c A القوة المسلطة على الصلب= σ s A s σ s A s = σ c A c للحصول على التوازن في المادة التمدد الحالي في الصلب = التمدد الحر للصلب + التمدد جر اء اجهاد الشد α s.t.l + L.σ s /E s = - التمدد الحالي في النحاس = التمدد الحر النحاس التمدد جر اء اجهاد الضغط RLB 2014/

23 α c.t.l - L.σ c /E c = α s.t.l + L.σ s /E s = α c.t.l - L.σ c /E c α s.t + σ s /E s = α c.t - σ c /E c P = tension in steel and compression in copper σ c = P A c and σ s = P A s Example 1. (α c α s ) P = T (A c E c ) 1 + (A s E s ) 1 A steel rod of 20 mm diameter passes centrally through a copper tube of 50 mm external diameter and 40 mm internal diameter. The tube is closed at each end by rigid plates of negligible thikness. The rod and tube are tightened (fixed) on the plates. If the temperature of the assembly is raised by 50 C. Find the stresses developped in copper and steel. Take Es = 200 GPa and αs = / C, Ec = 100 GPa and αs = / C. Example 2. A steel tube of 30 mm external diameter and 20 mm internal diameter enclose a copper rod of 10 mm diameter to which it is rigidly jointed at each end. If the temperature of the assembly is raised by 190 C. Calculate the stresses developped in copper and steel. Take Es = Ec = 210 GPa and αs = / C, and αs = / C. Example 3 A steel tube of 30 mm external diameter and 25 mm internal diameter encloses a gun metal rod of 20 mm diameter to which it is rigidly jointed at each end. The temperature of whole assembly is raised to 140 C. Find the intensity of stress in the rod when the common temperature has fallen to 30 C. Take Es = 210 GPa and Egm = 100 GPa, αs = per C and αgm = per C. RLB 2014/

24 الحلقات الرقيقة المعرضة لحمل شعاعي Thin rings & Axial loads عندما تتعرض حلقة دائرية إلى حمل شعاعي موزع بانتظام على طول المحيط يتولد بداخل الحلقة قوة محيطية. و إذا كانت هذه الحلقة رقيقة تسبب هذه القوة اجهادات منتظمة عمودية عند أي مقطع من الحلقة و قد يكون الحمل موزع نتيجة ضغط داخلي أو خارجي. اذا اعتبرنا حلقة نصف قطرها r معرضة لحمل اشعاعي P الحلقة عند xx فنجد أنه تتولد قوة N عند كل قطع للحلقة. موزع بانتظام نأخذ مقطعا في ΣF y = 0 كي نحدد قيمة N نعتبر اتزان القوى باالتجاه العمودي : π 2 2N = 2 P. r. sinθ. dθ = 2. P. r 0 = 2. P. r[ cosθ] 0 π 2 = 2. P. r( cos ( π 2 ) + cos0) Tensile strength N = Pr Stress = N = Pr A A Strain = σ = Pr E EA Example 1 ماسورة قطرها 600mm و سمكها 3mm تقاوم ضغطا داخليا يساوي.1MPa احسب مقدار اإلجهاد في جدار الماسورة و الزيادة في قطرها. معيار المرونة.200.GPa Example 2 ادخل انبوب من الصلب قطره الخارجي cm داخل انبوب من األلومنيوم قطره الداخلي. 10 cm اذا كان سمك كلمن األنبوبين 0.5 cm و Es =2000 t/cm² و =750 Ea. t/cm² احسب الضغط الشعاعي بين اإلثنين. RLB 2014/

25 اإلجهاد القاص Shear Stress بالنظر إلى الرسم التوضيحي نجد أن تكامل إجهادات القص )τ( على المساحة الكلية )A( تساوي القوة القاصة )V( المؤثرة على القطاع و يمكن وصفها بالمعادلة الرياضية التالية: تعتبر مقاومة المواد للقص مسألة ضرورية وهامة فى تصميم المنشآت وعناصرها مثل الوصالت المبرشمة Jointed) (Riveted والوصالت الملحومة Joints) (Welded والكمرات المعدنية والخرسانية.وتظهر أهمية القص فى أن مقاومة المادة للقص هى التى تتحكم فى مقاومة المواد الممطولية )ductile( لقوى الشد كذلك فى مقاومة المواد القصفة (brittle) لقوى الضغط حيث أنه قد تبين أن كسر تلك المواد تحت قوى الشد أو الضغط يكون فى أغلب األحيان من تأثير قوى القص.والقص هو حالة إنزالق جزء من المادة على جانب من مقطع مستعرض معين على باقى المادة الواقع على الجانب اآلخر من المقطع ويكون ذلك نتيجة تأثير قوى القص أو تأثير عزوم اإللتواء.والقوى التى تسبب القص هي التى تؤثر فى اتجاه موازي للمقطع المستعرض للجسم وينتج عن هذه القوى تشكل بانزالق أجزاء الجسم موازية التجاه قوة القص. القص المباشر يحدث القص المباشر عندما نؤثر على المقطع المستعرض للعينة المختبرة بقوى موازية أو مماسة لهذا المقطع فى اتجاه رأسى أو أفقى أو مائل بشرط عدم وجود ال مركزية فى حمل القص للوصول إلى القص الخالص والذى يحدث من تأثير قوتين متوازيتين المسافة بينهما RLB 2014/

26 تلك ولكن العينة مقطع مستوى نفس فى يقع والذى التأثير خط نفس لهما قوتين أي معدومة القوتين هو االتجاه كما فى متعاكستين موضح بالشكل غالب ا فإن القص الخالص تحت تأثير قوى الشد أو الضغط نادر الحدوث من الناحية العملية والمسببة بسيطة ولو الضغط أو الشد قوتين بين مسافة وجود من ألنه البد بمقطع العينة المختبرة كما هو الحال بالوصلة المبرشمة الموضحة بالشكل القص قوة نعتبر الوصلة هذه فى قص ( P )وعزم القص قوة المبرشمة انحناء المؤثرة بالقص المباشر حيث ولو صغير( P.e ) وحيث على فتحدث إجهاد قص قيمته كما يلى: و للقص المباشر أنواع مختلفة منه: القص المفرد. القص المزدوج. القص الثاقب. 1. القص المفرد المقطع المستعرض أنه يتعرض موزعة يمكن مقطع عمليا توزيعا قص حدوث فى لذلك تسمى حالة مسمار إهمال متساوي ا البرشام تأثيره على وبذ إلى لك المقطع يسمى القص المفرد بذلك ألن قوى القص تؤثر على مقطع مستعرض واحد فقط من العينة المختبرة كما هو موضح بالشكل.وإجهاد القص المفرد هذا يساوى قوة القص مقسومة على مساحة المقطع المقاوم لقوى القص RLB 2014/

27 τ = P A = P ab القص 2. المزدوج. هذا النوع من القص المباشر يسمى القص المزدوج ألنه يقاوم تأثير قوى مستعرضين من العينة أو الجسم المختبر كما هو مبين بالشكل وإجهاد يساوى قوة القص على المساحة المقاومة لهذه القوة أي أن: القص القص بمقطعين المزدوج τ = P 2A τ = P 2A = P 2ab حاالت القص المزدوج 3. القص الثاقب عندما تتعرض عينة لقوة ضغط لكى تحدث بتلك العينة ثقب كما هو موضح بالشكل فإن هذه العينة تنكسر تحت تأثير إجهادين هما: اجهاد ضغط يؤثر على مساحة المقطع المحملة ويساوى: σ = P A = P πd² 4 اجهاد قص يؤثر على المساحة الجانبية لمحيط مقطع للقرص المثقوب( ويسمى إجهاد القص الثاقب ويساوي: التأثير )المساحة τ = P side area = P πdt الجانبية حالة القص الثاقب RLB 2014/

28 Shear Strain إنفعال القص لنأخذ كتلة مستطيلة الشكل معرضة لقوى قاصة تحدث اجهاد قص )τ( في مستوى واحد و تتسبب اإلجهادات في تحويل الوجه المستطيل للكتلة إلى متوازي أضالع كما يظهر في الرسم. و يقاس انفعال القص strain( )shear بمقدار التغيير في الزاوية بمقدار نصف قطرية 2/π )radians( و يرمز النفعال القص ب ) ( و ليس له وحدات. τ = f( )? العالقة بين )τ( و ) ( يتناسب اجهاد القص )τ( مع انفعال القص ) ( تناسبا مباشرا كما هو الحال في اإلجهادات و اإلنفعاالت العمودية و يمكن التعبير عنه رياضيا: f( ) = τ تشترك معظم المواد إلى حد معين )مدى معين من اإلجهاد( حيث يتناسب إجهاد القص مع إنفعال القص بعالقة خطية: G γ τ = حيث modulus( G( = shear يسمى ثابت التناسب و هو عبارة على مكيال مرونة المادة للقص و له وحدات اإلجهاد و في معظم الحاالت: G 40% E و يمكن حسابها رياضيا: RLB 2014/

29 االجهادات العمودية Normal Stresses M z يتعرض اي مقطع الى قوى داخلية وهي ثالث قوى باتجاه المحاور الثالثة احدهم قوة عمودية N z و اإلثنان اآلخران قوى قاصة V y & V z باإلضافة إلى ثالثة عزوم حول المحاور اثنان منها عزوم انحناء M y & M x )تحدث اجهادات عمودية على المقطع( و اآلخر عزم التواء (يحدث اجهادات قاصة على المقطع). قوة عمودية N z عزوم انحناء M y & M x تحدث اجهادات عمودية على المقطع Y My Mx Nz Vy Vx Mx X V y & V z M z قوى قاصة عزم التواء تحدث اجهادات قاصة على المقطع Z.1 اجهادات القوة العمودية: Stresses of Normal Forces σ = N A تتولد اجهادات عمودية بسبب القوة المركزية N مثال: عمود الومينيوم محمل بضغط مركزي مقداره t 2 العمود (20x20). 2 cm احسب االجهادات على مقطع.2 اجهادات عزوم االنحناء Stresses of Bending Moments لدراسة االجهادات العمودية على القطاع بسبب عزوم اىنحناء يجب بحث التشوهات على القطاع و لذلك توضع اإلفتراضات التالية: يتعرض المقطع الى حالة انحناء فقط بدون قوى قاصة أو عمودية ال يتجاوز اجهاد المادة اجهاد الخضوع أو التناسب )المجال المرن( معاير المرونة يظل ثابتا في الشد و الضغط )المجال المرن( المقاطع المستوية قبل االنحناء تظل مستوية بعد االنحناء. )1 )2 )3 )4 مثال: الكمرة المحملة الموضحة نجد أن المنطقة الوسطى تتعرض إلى حالة انحناء بدون قوى عمودية أو قاصة. RLB 2014/

30 P P Y X L/3 L/3 L NFD SFD BMD P P مخطط القوة العمودية مخطط القوى القاصة مخطط عزم االنحناء M= PL/3 عند تكبير انحراف العتبة نجد أنه يحدث انحراف للكمرة على شكل جزء من دائرة و توجد ألياف مضغوطة حدث بها تقاصر كما توجد ألياف مشدودة حدث بها تمدد. اذا اعتبرنا أن المقطع مكون من ألياف نجد أنه توجد ألياف علوية مضغوطة و تتقاصر قليال بينما توجد ألياف سفلية مشدودة و استطالت قليال و توجد ليفة ال مضغوطة و ال مشدودة و يحدث لها ال تقاصر و ال استطالة و يطلق عليها الليفة المحايدة و يمر بها المحور المحايد. RLB 2014/

31 M M y بالنسبة لليفة EF لتصبح F'E' على مسافة من المحور المحايد.NN تحت عزم االنحناء تمتد هذه الليفة Original length of layer Original length of Neutral layer EF = δx NN = δx بعد االنحناء ال يتغير طول المحور المحايد و لكن يحدث تمدد في.EF length of Neutral layer N'N' = NN =δx = R.θ length of layer E F = (R+y).θ التمدد الحاصل لليفة EF هو: = E F EF = (R+y).θ - R.θ = y. θ اذا يكون االنفعال في الليفة :EF Ɛ EF = التمدد الطول األصلي Ɛ EF = y.θ R.θ = y R و بما أن مستوى االجهاد ال يتعدى حد الخضوع )الفرضية 2(: RLB 2014/

32 σ = ε y = y R E نالحظ أن قيمة االجهاد تزداد مع زيادة y أيضا: الذي يمثل بعد الليفة عن المحور المحايد و نالحظ y=0 Ɛ =0 σ =0 عند المحور المحايد عند أبعد ليفة عن المحور المحايد نجد أقصى قيمة لإلنفعال و اإلجهاد )سواء بالشد أو بالضغط( و تتبع العالقة خطا مستقيما. Y σ2y y2 Mx X NA Mx y1 da σ1y σ y1 = Eε y1 = y 1 R E σ y2 = Eε y2 = y 2 R E tension compression RLB 2014/

33 اذا تعرض القطاع الى عزم انحناء فقط و تولد اجهادات ضغط في مساحة القطاع أعلى المحور المحايد و اجهادات شد في مساحة القطاع أسفل المحور المحايد التزان القوى العمودية على المقطع يجب أن تتساوى القوة الضاغظة و القوة الشادة و تحسب القوة رياضيا كما يلي: da نعتبر طبقة )layer( صغيرة على مسافة y القوة في هذه الطبقة تساوي: من المحور المحايد و لنعتبر مساحتها. E R y da االجهاد في الطبقة x المساحة = da.σ = نحصل على القوة الجملية في مقطع الكمرة بالعالقة التكاملية التالية: E R A yda = A y R E القوة = da. E R A yda =0 لإلتزان المقطع مجموع القوى يساوي 0 من جهة أخرى إلتزام العزوم على المقطع نجد أن مجموع عزوم القوى حول المحور المحايد ال بد أن يساوي العزم الخارجي و يمثل رياضيا كما يلي: Force on the layer Moment of this force about NA = E R y da = Force on layer * y = E R y da y = E R y² da Total moment of the forces on the section of the beam = E R A y² da External moment M = E R A y² da But A y² da = I x = moment of inertia of the area of the section about NA. يمثل التكامل da y² عزم القصور الذاتيحول المحور المحايد = xi فتصبح المعادلة A كاآلتي: I و يسمى المقدار x IE صالدة االنحناء للمقطع حول المحور : M x = E x I R x RLB 2014/

34 E R = M x I x and σ y = E R. y so σ y = M x I x. y 1y 2y : القيمة القصوى إلجهاد الشد على القطاع يحدث في اللينة التي في األسفل على مسافة σ tmax = M x I x y 1 : من NA القيمة القصوى إلجهاد الضغط على القطاع يحدث في اللينة التي في األعلى على مسافة σ cmax = M x I x y 2 من NA و يجب على هذه االجهادات أن ال تتعدى اجهادات المادة لكي ال يحدث انهيار. مثال 1: كمرة بسيطة على ركيزتين لها بحر 6m و مقطع مستطيل عمقه 30cm و عرضه 20. cm اذا كان االجهاد المسموح به = MPa 120. احسب الحمل الموزع بانتظام w على الكمرة. 80 mm Y 80 mm 20 mm X مثال 2: احسب عزم االنحناء المسموح لمقطع T حيث أن اجهاد الشد المسموح به MPa= 40 و اجهاد الضغط المسموح به MPa= mm Y كم سيكون عزم االنحناء المسموح اذا قلب المقطع و أي الوضعيتين أفضل مثال I :3 مقطع على شكل كما هو موضح يتعرض لعزم انحناء مقداره 300. KN.m احسب االجهادات العمودية عليه )السمك mm= mm X 110 mm RLB 2014/

35 Stresses of Double Bending Moment اجهادات عزم 3. االنحناء المزدوج عندما يتواجد عزمي انحناء ( x M( و ( y M( متعامدين على بعض أو عزم (M) غير المحاور الرئيسية )X( و )Y( يكون المقطع تحت عزم انحناء مزدوج. في اتجاه Y Y M θ X = Mx My X M x = M.cosθ M y = M.sinθ االجهاد عند أي نقطة احداثياتها )x,y( هو المجموع الجبري لالجهاد المتولد بسبب :)M y ( و االجهاد المتولد بسبب )M x ( σ xy = ± M x I x y ± M y I y x و يالحظ أنه يمثل معادلة خط مستقيم يمر بالمركز و له ميل α tgα = ± ( M y I y α = tg 1 ± ( M y I y M x ) I x M x ) I x اصطالحات اإلشارة: و M y M x موجب إذا أحدثا شد في الربع األول x و y يقاسا من المركز إلى النقطة. RLB 2014/

36 مثال: 4 كمرة على سطح مائل قطاعما (150x100(mm بانتظام مقداره w = m/nk1,3 و بحرها أمتار. عليها حمل موزع احسب و ارسم االجهادات العمودية على المقطع الحرج عند منتصف البحر. Y w w = 1,3 KN/m X 4 m 150 mm 5 12 RLB 2014/

37 4. التأثير المشترك للقوة المركزية العمودية و عزم االنحناء أحيانا يتأثر العنصر بقوة عمودية N المحور X مع عزم انحناء M حول أحد المحاور و ليكن N Mx N Mx + + = + NA σ = ± N A σ = ± M x I x σ = ± N A ± M x I x y االجهاد بسبب الحمل العم ودي المركزي σ = ± N : N A M σ = ± x M x I x االجهاد بسبب عزم االنحناء مبدأ التجميع يعد الجمع الجبري للتأثيرين معا. االنحناء :M x االجهاد بسبب الحمل العمودي N و عزم σ = ± N A ± M x I x y الصطالحات اإلشارة: N موجبة اذا أحدثت شد في القطاع ضغط N سالبة - M x موجبة اذا أحدثت شد في الربع األول من القطاع ضغط M x سالبة - - X موجبة اذا كانت النقطة أعلى المحور y أسفل y سالبة - - RLB 2014/

38 . االجهادات العمودية الالمركزية Eccentral Normal Force.5 أحيانا يتعرض العنصر إلى قوة عمودية ال تمر بالمركز كما هو موضح: Z ex N Z ex N Y X X Z 1 X1 Y My =N. ex N X My N X My 1 القوة العمودية الالمركزية N تبعد عن المحور Y مسافة, x e يمكن نقل القوة العمودية الالمركزية إلى المركز بنفس قيمتها و إضافة عزم انحناء حول محور Y مقداره.N= ex االجهاد على القطاع عند نقاط الليفة 1-1: σ 1 = ± N ± M y X A I 1 σ 1 = ± N ± Ne x X y A I 1 σ 1 = ± N (1 + Ae x X y A I 1 ) y أحيانا المادة لها مقاومة عالية في الضغط و منخفضة في الشد و يتطلب ذلك أن ال يحدث اجهادات شد على المقطع و لذلك يجب: RLB 2014/

39 e x AX 1 I y 1 لو أخذنا مقطع مستطيل :bxh A = bh I y = hb 3 /12 X max =b/2 e xax 1 hb 3 12 I y 1 e x bh b 2 1 e x. 6 b 1 b لكي ال يصير شد على القطاع يجب أن يكون كما في االتجاه اآلخر بالمثل يجب أن يكون e x e y يساوي أو أقل من 6/b يساوي أو أقل من 6/h. h h/6 h/6 و لذلك يوجد بالقطاع ما يسمى بلب القطاع الذي اذا أ ثر عليه أو بداخله أي مقدار حمل سواء شد أو ضغط يصبح القطاع كله تحت اجهاد واحد اما شد أو ضغط و المحور المحايد خارج القطاع, b/6 b/6 أما اذا أثر الحمل خارجه يصبح جزء من القطاع تحت اجهاد الشد و الجزء اآلخر تحت اجهاد ضغط و المحور المحايد يمر بالقطاع. مثال: حمل شد يؤثر على مقطع مستطيل )12x20( مقداره 5 طن. احسب و ارسم االجهادات في حالتين: = 2 e y سم e= 8 y سم.1.2 RLB 2014/

40 Y Z N X 6. المركزية القوة بالنسبة للمحورين X و Y يمكن للقوة أن تؤثر على العنصر أو القطاع في أي نقطة. و بالتالي تصبح المركزية بالنسبة لمحور X حيث تبعد y e عنه و كذلك تصبح المركزية بالنسبة لمحور Y حيث تبعد x e عنه. Y Y ex ey N X My Mx N X Mx My N القوة العمودية ye بعد N عن المحور X xe بعد N عن المحور Y =N. ey العزم حول المحور X =N. ex العزم حول المحور Y االجهادات عند أي نقطة A لها احداثيات )y,x( σ A = ± N A ± M x I x y ± M y I y x r x 2 = I x A, r y 2 = I y A e x r y 2 x + e y r x 2 y + 1 = 0 (1) If we suppose that x = 0; (1) y = r x 2 e y لتحديد موضع المحور المتعادل. من خواص المقاطع نجد : معادلة المحور المحايد: point (0; r 2 x ) e y If we suppose that y = 0; (1) x = r y 2 point ( r 2 y ; 0) e x e x Neutral axis passes through two points (0; r x 2 ) and ( r 2 y ; 0) e y e x RLB 2014/

41 اج ه ادات الق ص M z V y V x ال تقل اجهادات القص أهمية عن االجهادات العمودية. تنتج اجهادات القص بسبب القوى القاصة و و كذلك عزم االلتواء Y Y Vy Vy Mz Vx X Vx X M z Shear Stress Equation معادلة I. اجهاد القص على مقاطع الكمرات تنشأ اجهادات القص على المقاطع المختلفة في الكمرات نتيجة لتغيير عزوم االنحناء عبر المقاطع المختلفة بطول الكمرة. RLB 2014/

42 نأخذ كمرة طولها L و عمقها h و عرضها b محملة بحمل خارجي. إذا اعتبرنا جزءا صغيرا من الكمرة طوله xd االجهادات العمودية يسار المقطع تساوي σ و يمين المقطع تساوي +σ. dσ يتولد اجهاد قص τ على السطح األفقي لليفة. اذا اعتبرنا عنصر من المقطع يبعد مسافة y عن المحور المحايد إلى جانب االجهادات العمودية σ و +σ dσ يتولد اجهاد قص τ على سطح هذا العنصر. τ x = V xs I x b ) 1( عند أي مقطع معين تكون القوة القاصة V و عزم القصور الذاتي للمقطع I ثابتين و يتغير اجهاد القص بتغير العزم األول للمساحة S و تغير سمك القطاع b Y S: العزم األول للمساحة A حول محور التعادل عند الليفة على مسافة y من المحور المحايد : h Δ y X S = b ( h 2 y) 1 2 (h 2 + y). I x = bh3 12 b قيمة االجهاد قصوى τ max عند = 0 y h قيمة االجهاد صفر τ 0 عند = y Shear Stress Distribution ± 2. II توزيع اجهادات القص على مقاطع الكمرات.1 يمكن استخدام المعادلة )1( إليجاد توزيع اجهادات القص على مقاطع الكمرات و لتطبيقها نأخذ اثنين من المقاطع الشائعة المستطيل و الدائرة, المقطع المستطيل Y الليفة العلوية τ 1 τ 1 h V y 1 y 2 X τ max τ 2 τ max τ 2 b RLB 2014/

43 المقطع محمل بقوة قص االجهادات القاصة مخطط االجهادات القاصة V على المقطع و توزيعها على المقطع يمكن حساب اجهاد القص عند أي ليفة في المقطع التي تبعد عن المحور المحايد )محور )X مسافة. 1y حساب العزم األول للمساحة Δ التي تبعد مسافة 1y من المحور X: S = b ( d 2 y 1) (y (d 2 y 1))= b ( d 2 y 1) ( d 4 + y 2 ) I x = bh3 12 المحور X: τ x = V xs I x b = 12V S = bd2 8 (1 4y 2 1 d² ) حساب عزم القصور الذاتي للمقطع حول 2 bh bh 3 بالتعويض في المعادلة )1(: 8b (1 4y 2 1 h² ) = 3V 2bh (1 4y 2 1 h² ) τ x = 3V 2A (1 4y 2 1 h² ) نالحظ من هذه المعادلة أن اتجاه اجهادات القص بالمقطع هو نفس اتجاه القوة القاصة V المؤثرة على المقطع. 2. المقطع المستدير b مقطع مستدير مؤث ر عليه بقوة قاصة V كما هو موضح بالشكل: τ 1 τ 1 R V θ y 1 X τ 2 τ max τ max τ 2 S = 2 3 R3 cos 3 θ RLB 2014/

44 I x = πr4 4 τ x = V xs I x b = 2 4VR 3 cos 3 θ 3πR 4. b b=2rcosθ عند الليفة : τ x = 2 4VR3 cos 3 θ 3πR 4. b y 2 R When y = R = 0 2 = sin²θ τ = 4V 3A A=πR² = 2 4VR3 cos 3 θ 3AR² 2Rcosθ = 4Vcos²θ 3A (1 y2 R 2) y = 0 τ = 4V Y 3A 3. مقطع معين بعرض متغير h b y X τ x = V xs(y) I x b(y) RLB 2014/

45 مثال 2 : مثال 1 : 100 mm 250 mm 450 mm 125 mm 150 mm V = 50 KN τ diagram? V= 30 KN τ max? مثال 3 : V = 40 KN τ diagram RLB 2014/

46 اللي و اجهادات اللي 1. اللي يعرف عزم اللي أو عزم االلتواء بأنه العزم الذي يسبب دوران مقطع العنصر حول محوره الطولي و يرمز له عادة بحرف T و يسبب هذا العزم اجهادات قاصة. لتحديد عزم اللي عند مقطع من المقاطع يطبق نفس المبادئ المتبعة لتحديد القوى العمودية و القاصة و عزوم االنحناء و بدراسة اتزان أي جزء من المنشأ على جانبي المقطع نجد ΣM z = 0 المعادلة التالية: حيث z هو المحور الطولي للعنصر. االلتواء هو إنزالق المقطع المستعرض للجسم على المقطع الذي يجاوره حول محور طولي عمودي على كل من المقطعين وليس إنزالق المقطعين عن بعضهما فى اتجاه رأسى أو اتجاه أفقى كما فى حالة القص المباشر ولكن انزالق بدوران أحد المقطعين حول محوره على المقطع اآلخر. ويحدث ا اللتواء إذا تعرض المقطع المستعرض إلى عزم التواء ) T (.يعمل فى مستوى القطاع أو موازى لمستوى القطاع ويكون دوران هذا العزم حول المحور الطولى للعنصر االنشائي. ويحدد االلتواء فى أجزاء المنشآت والماكينات المختلفة مثل أعمدة إدارة الموتور وعمود المروحة للطائرات إلخ. ومنها: اإللتواء لعزوم مختلفة حاالت ويوجد عزم التواء (T) يؤثر على الطرف الحر لقضيب حر من أحد أطرافه ومثبت من الطرف اآلخر أى على شكل كابولي تأثير عزمى إلتواء غير متساويين فى المقدار ولها نفس اتجاه الدوران العزم األول (T1) والعزم الثانى (T2) فإذا كان (T2 T1) > فإن قيمة عزم اإللتواء المؤثرة T = T1 T2 الخالصة (T): وجود عزمي إلتواء متساويين فى المقدار أحدهما عكس اآلخر فى اتجاه التأثير تعرض العينة إلى قوتين متوازيتين ومتعاكستين فى االتجاه ومتساويتين فى المقدار ( Q )وتبعد إحداهما على األخرى مسافة (e) بحيث تقع كل من القوتين فى نفس مستوى المقطع المستعرض وبذلك تسببان عزم التواء قيمته (T) T = Q.e : تأثير قوة المركزية )Q( على مستوى المقطع المستعرض للعينة وتبعد على مركز T = Q.e المقطع مسافة )e( فإنها تسبب عزم التواء )T(: RLB 2014/

47 .2 اجهادات اللي في المقاطع الدائرية Torsion stress in circular sections الستنتاج العالقة بين االجهادات القاصة و عزم اللي نفرض: يتعرض العنصر إلى اللي فقط المقطع المستوي يبقى مستوي بعد دورانه بسبب عزم اللي أي ليفة مستقيمة في القطاع قبل اللي تبقى مستقيمة بعد اللي مادة العنصر في المجال المرن أي يتبع قانون "هوك" و العالقة بين انفعال القص و اجهاد القص خط مستقيم..i.ii.iii.iv سنالحظ تغير توزيع االجهادات القاصة على المقطع المعرض للي خطيا من صفر عند مركز القطاع إلى قيمة قصوى عند الليفة الخارجية. و كما نعلم أن اجهادات القص تقع على مستوى المقطع. T T υmax R r υr قيمة أقصى اجهاد عند الليفة الخارجية التي تبعد مسافة R من مركز المقطع: υ max = T.R I p Polar moment of inertia I p هو عزم القصور القطبي : I p = ½(πR 4 ) و نالحظ أن اجهادات القص تتغير خطيا من الصفر في مركز المقطع إلى قيمة قصوى عند الليفة الخارجية. 3. زاوية اللي للعناصر الدائرية المقطع RLB 2014/

48 باإلضافة إلى اجهادات القص الناتجة عن عزم اللي تنتج اجهادات يعبر عنها بزوايا اللي و تعرف زاوية اللي في طول معين من العنصر و يرمز لها بحرف θ و هي زاوية انحراف ليفة قطرية من موضعها األصلي قبل اللي. نأخذ عنصر دائري المقطع مؤثر عليه بعزم T كما هو موضح في الشكل. عند طرف حر و مثبت عند الطرف اآلخر : عند تعرض العنصر إلى عزم لي نجد أن نقطة على الليفة القطرية الخارجية تنتقل بقيمة s S = rθ or s = lγ θ = γ l r γ = θ G θ max = T.R θ = θ G l = T.R.l = T.l R GRI p GI p I p θ. G l = T I p = θ max R = θ r عموما عندما يتغير مقطع العنصر و كذلك عزم اللي الذي يتعرض له يلزم تجميع زوايا اللي في مناطق العنصر المختلفة التي يكون فيها كل من عزم اللي و المقطع ثابتا على سبيل المثال زاوية اللي بين طرفي العضو )المثبت و الحر( للشكل المبين كما يلي: RLB 2014/

49 T1 T2 T3 Ip1 Ip2 Ip3 L1 L2 L3 θ = θ 1 + θ 2 + θ 3 θ = T 1L 1 GI p1 + T 2L 2 GI p2 + T 3L 3 GI p3 4. اللي في األعضاء المجوفة و الرقيقة الجدار تسري المعادالت على جميع المقاطع الدائرية من مصمتة أو مجوفة أو رقيقة الجدار مع مراعاة استخدام عزم القصور القطبي للمقاطع المختلفة كما يلي: (R int عزم القصور القطبي للمقطع المصمت I p = πr4 2 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_ المجوف ( ext < R I p = π 2 (R 4 ext R 4 int ) _-_-_-_-_-_-_-_-_-_ لمقطع رقيق I p = 2πR 3 t R: متوسط نصف القطر t: سمك الجدار الرقيق RLB 2014/

50 RLB 2014/

51 Coordinates of center of gravity: XG = A ix i A i YG = A iy i A i عزم االنحناء للعناصر المركبة المتناظرة RLB 2014/

52 C : center of gravity of hole section: RLB 2014/

53 RLB 2014/

54 عزم القصور الذاتي المقطع عزم القصور الذاتي المقطع RLB 2014/