Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λυμένες ασκήσεις στροφορμής"

Transcript

1 Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των τελεστών J και Jˆ, με το ίδιο j και m ± αντίστοιχα, δηλαδή Jˆ j, m : j, m ±. Οι τελεστές J ± ± δεν είναι μοναδιακοί, αφού αν ήταν μοναδιακοί θα έπρεπε, εφόσον ο ένας είναι ερμιτιανός συζυγής του άλλου, ο μεταθέτης τους να είναι μηδέν. Όμως ο μεταθέτης τους δεν είναι μηδέν, όπως δείξαμε στην προηγούμενη ενότητα σχέση. Εφόσον οι τελεστές J ± δεν είναι μοναδιακοί, δεν διατηρούν, εν γένει, το μέτρο των καταστάσεων στις οποίες δρουν. Άρα οι ιδιοκαταστάσεις Jˆ j, m δεν είναι, εν γένει, ± κανονικοποιημένες, όπως υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι οι ιδιοκαταστάσεις j, m. Έτσι, λοιπόν, μπορούμε να γράψουμε Jˆ- j, m C- j, m j, m - και Jˆ+ j, m C+ j, m j, m + Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές C± j, m με την ελευθερία απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, που είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης των κβαντικών καταστάσεων. Από την έχουμε C- j, m Jˆ- j, m j, m, Jˆ Jˆ- j, m, Jˆ- j, m - Jˆ- j, m º j, m Jˆ- Jˆ- j, m Επειδή Jˆ- Jˆ+, παίρνουμε C- j, m j, m Jˆ+ Jˆ- j, m 3 Σημείωση Ο γενικός συμβολισμός...,... για το εσωτερικό γινόμενο βοηθάει να χειριστούμε μη ερμιτιανούς τελεστές. Όμως Jˆ Jˆ+ Jˆ- - Jˆ + Jˆ σχέση 9 της προηγούμενης ενότητας. Επομένως Jˆ+ Jˆ- Jˆ + Jˆ - Jˆ Αν αντικαταστήσουμε την στην 3, θα πάρουμε C- j, m j, m Jˆ + Jˆ - Jˆ j, m j, m Jˆ j, m + j, m Jˆ j, m - j, m Jˆ j, m j, m j, m } j j + + m - m j j + - m m - 6//7

2 Επομένως C- j, m j j + - m m - Παραλείποντας τη σταθερή φάση του C- j, m, παίρνουμε C- j, m j j + - m m - 5 Έτσι η γράφεται Jˆ- j, m j j + - m m - j, m - 6 Παρατηρήστε ότι για m - j, η 5 μάς δίνει C- j, - j j j j - j - j j + - j j + C- j, - j 7 όπως αναμέναμε, αφού ο τελεστής J - πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση ελάχιστης ιδιοτιμής, j, - j. Με την ίδια λογική θα υπολογίσουμε τον συντελεστή C+ j, m. Από τη έχουμε C+ j, m Jˆ+ j, m Jˆ+ Jˆ } j, m, Jˆ Jˆ - + Jˆ+ j, m, Jˆ+ j, m j, m, Jˆ+ Jˆ+ j, m j, m º j, m Jˆ- Jˆ+ j, m C+ j, m j, m Jˆ- Jˆ+ j, m 8 Όμως Jˆ Jˆ- Jˆ+ + Jˆ + Jˆ σχέση 8 της προηγούμενης ενότητας. Επομένως Jˆ- Jˆ+ Jˆ - Jˆ - Jˆ 9 Αν αντικαταστήσουμε την 9 στην 8, θα πάρουμε C+ j, m j, m Jˆ - Jˆ - Jˆ j, m j j + - m - m j j + - m m + C+ j, m j j + - m m + Παραλείποντας πάλι τη σταθερή φάση, παίρνουμε C+ j, m j j + - m m + Έτσι η γράφεται Jˆ+ j, m j j + - m m + j, m + 6//7

3 Παρατηρήστε ότι για m j, η μάς δίνει C+ j, j j j + - j j + C+ j, j όπως αναμέναμε, αφού ο τελεστής J + πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση μέγιστης ιδιοτιμής, j, j. Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών Jˆ x και Jˆ στις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Jˆ. Με άλλα λόγια, θα υπολογίσουμε τις καταστάσεις Jˆx j, m και Jˆ j, m. Λύση Είναι Jˆ+ Jˆx + Jˆ Jˆ- Jˆx - Jˆ Από την, βλέπουμε ότι ο Jˆ x είναι το πραγματικό μέρος του J + και ο Jˆ είναι το φανταστικό μέρος του J +. Αν προσθέσουμε τις και κατά μέλη, παίρνουμε Jˆx Jˆ+ + Jˆ- 3 Αν αφαιρέσουμε τη από την, παίρνουμε ˆ Jˆ+ - Jˆ- Jˆ Þ Jˆ J + - Jˆ Jˆ Jˆ- - Jˆ+ Από τις 3 και μπορούμε, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 6 και της προηγούμενης άσκησης, να υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών Jˆ x και Jˆ στις ιδιοκαταστάσεις του Jˆ. Έτσι, από την 3, θα έχουμε Jˆx j, m Jˆ+ + Jˆ- j, m Jˆ+ j, m + Jˆ- j, m j j + - m m + j, m + + j j + - m m - j, m - Jˆx j, m j j + - m m - j, m j j + - m m + j, m + 5 6//7

4 Από την θα πάρουμε Jˆ j, m Jˆ- - Jˆ+ j, m Jˆ- j, m - Jˆ+ j, m j j + - m m - j, m - - j j + - m m + j, m + Jˆ j, m j j + - m m - j, m - - j j + - m m + j, m Θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές και τις αβεβαιότητες των Jˆ x και Jˆ σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m του Jˆ. Λύση Από τις σχέσεις 5 και 6 της προηγούμενης άσκησης, και το γεγονός ότι οι ιδιοκαταστάσεις j, m είναι ορθοκανονικές, παίρνουμε j, m Jˆx j, m και l, m Jˆ l, m Επομένως Jˆx Jˆ Ένας άλλος τρόπος για να καταλήξουμε στις και είναι χρησιμοποιώντας τη σχέση Jˆ+ Jˆx + Jˆ Πράγματι, παίρνοντας μέσες τιμές, θα έχουμε Jˆ+ Jˆ x + Jˆ Jˆx + Jˆ j,m Όμως Jˆ+ j, m Jˆ+ j, m και από τη σχέση της άσκησης, έχουμε j, m Jˆ+ j, m j, m j j + - m m + j, m + j j + - m m + j, m j, m + 3 Επομένως Jˆ+ 6//7

5 Άρα Jˆx + Jˆ j,m Οι τελεστές Jˆ x και Jˆ είναι ερμιτιανοί, επομένως έχουν πραγματικές ιδιοτιμές, άρα και πραγματικές μέσες τιμές. Έτσι, από την τελευταία εξίσωση θα πρέπει Jˆx και Jˆ Για να υπολογίσουμε τις αβεβαιότητες των Jˆ x και Jˆ στην τυχαία ιδιοκατάσταση j, m, χρειαζόμαστε τις μέσες τιμές των τετραγώνων τους, δηλαδή τα Jˆx Jˆ και. Είναι Jˆx j, m Jˆx Jˆx j, m Εφαρμόζουμε τη σχέση 5 της προηγούμενης άσκησης για να υπολογίσουμε την κατάσταση Jˆx j, m, και παίρνουμε Jˆx j, m j j + - m m - Jˆx j, m - + j j + - m m + Jˆx j, m + 3 Εφαρμόζουμε πάλι τη σχέση 5 της προηγούμενης άσκησης για να υπολογίσουμε τις επιμέρους καταστάσεις Jˆx j, m - και Jˆx j, m +. Είναι Jˆx j, m - j j + - m - m - j, m - + j j + - m - m j, m j j + - m + m j, m + j j + - m + m + j, m + 5 και Jˆx j, m + Από τις σχέσεις 3 5 βλέπουμε ότι η κατάσταση Jˆx j, m είναι γραμμικός συνδυασμός των ιδιοκαταστάσεων j, m -, j, m, και j, m +. Έτσι, η μέση τιμή Jˆx, δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης Jˆx j, m με την ιδιοκατάσταση j, m θα είναι ίσο με τον συντελεστή της ιδιοκατάστασης j, m στον ανάπτυγμα της κατάστασης Jˆ j, m. Όπως βλέπουμε από τις σχέσεις 3 5, ο x συντελεστής αυτός είναι ίσος με j j + - m m - δηλαδή είναι ίσος με j j + - m - m + 5 j j + - m m + j j + - m + m 6//7

6 j j + - m m - + j j + - m m + j j + - m j j + - m Επομένως Jˆx j j + - m 6 Παρατηρήστε ότι, επειδή m j, είναι j - m ³ Þ j + j - m ³ j Þ j j + - m ³ j j, με την ισότητα να ισχύει όταν m j Þ m ± j. Από την προηγούμενη ανισοϊσότητα βλέπουμε επίσης ότι Jˆ > όταν j ¹. Επομένως, από την 6 παίρνουμε Jˆx x ³ Έχοντας υπολογίσει τη μέση τιμή του Jˆ x και τη μέση τιμή του τετραγώνου του Jˆ x, μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα του Jˆ, δηλαδή την αβεβαιότητα της x x -συνιστώσας της στροφορμής σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της -συνιστώσας της στροφορμής. Είναι DJˆx Jˆx - Jˆx j,m Αν αντικαταστήσουμε στην προηγούμενη σχέση την και την 6, παίρνουμε DJˆ x j j + - m 7 Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου του Jˆ, μπορούμε να κάνουμε ό,τι κάναμε για τον υπολογισμό της μέσης τιμής του τετραγώνου του Jˆ. Εδώ, θα x δείξουμε έναν διαφορετικό τρόπο υπολογισμού, χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα 6 και τη σχέση Jˆ+ Jˆx + Jˆ. Σημείωση Εν τω μεταξύ, η φυσική διαίσθησή μας, πρέπει να μας έχει ήδη πει ότι Jˆ Jˆx. Είναι Jˆ+ Jˆ x + Jˆ Jˆ x + Jˆ Jˆx + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx - Jˆ Jˆ x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x Jˆ+ Jˆ x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x 8 6 6//7

7 Εξάλλου, είναι Jˆ+ j, m : Jˆ+ j, m + : j, m +, δηλαδή Jˆ+ j, m : j, m +. Επομένως, Jˆ+ Jˆ+ j, m Jˆ+ j, m : j, m j, m +, δηλαδή 9 Αν πάρουμε μέσες τιμές στην 8, θα έχουμε Jˆ+ Jˆx Jˆ - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x Jˆx - Jˆ j,m + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx Jˆ+ Jˆx - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx Από τις 9 και, παίρνουμε Jˆx - Jˆ j,m + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx Οι τελεστές Jˆx, Jˆ, και Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x είναι ερμιτιανοί, άρα έχουν πραγματικές ιδιοτιμές και πραγματικές μέσες τιμές. Οπότε, από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε Jˆx - Jˆ Þ Jˆx j,m Jˆ j,m και Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx αυτό δεν τον χρειαζόμαστε εδώ Άρα, λοιπόν, Jˆ j j + - m και η αβεβαιότητα του Jˆ είναι DJˆ j j + - m 3 Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων του Jˆ x και του Jˆ είναι DJˆ DJˆ x j j + - m Εφόσον j j + - m ³ j, από τη παίρνουμε DJˆx DJˆ ³ j, με το ίσον να ισχύει όταν m ± j. Παρατηρήστε ότι η αβεβαιότητα γίνεται μέγιστη όταν m, δηλαδή όταν μηδενιστεί η -συνιστώσα της στροφορμής του σωματίου. Η μέγιστη τιμή του γινομένου των αβεβαιοτήτων των συνιστωσών x και της στροφορμής είναι, από τη, 7 6//7

8 DJˆ DJˆ x max j, j j + 5 δηλαδή, είναι ίση με το μισό του τετραγώνου της στροφορμής του σωματίου. Αντίθετα, η αβεβαιότητα γίνεται ελάχιστη όταν m ± j, δηλαδή όταν το μέτρο της -συνιστώσας της στροφορμής του σωματίου γίνει μέγιστο. Η ελάχιστη τιμή του γινομένου των αβεβαιοτήτων των συνιστωσών x και της στροφορμής είναι, από τη, DJˆ DJˆ x mn j,± j j 6 Παρατηρήστε επίσης ότι όταν m ± j, το μέτρο της -συνιστώσας της στροφορμής είναι j. Το τετράγωνο της στροφορμής είναι j j +, επομένως το μέτρο της στροφορμής είναι j j + j + j > j, για j ¹. Με άλλα λόγια, όταν j ¹, δηλαδή όταν το σωμάτιο έχει στροφορμή, το μέτρο της είναι πάντα μεγαλύτερο από τη -συνιστώσα της, αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στην κλασική μηχανική για την τροχιακή στροφορμή, όπου αν οι συνιστώσες x και είναι μηδέν, η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής είναι ίση με την τροχιακή στροφορμή. Το γεγονός ότι στην κβαντική μηχανική η -συνιστώσα της στροφορμής είναι πάντα μικρότερη από το μέτρο της στροφορμής, οφείλεται στην αβεβαιότητα των συνιστωσών x και, η οποία είναι πάντα μεγαλύτερη του μηδενός, όπως βλέπουμε από τη 6, όταν j ¹, δηλαδή όταν το σωμάτιο έχει στροφορμή. Σημείωση Για δύο τυχαίους ερμιτιανούς τελεστές Aˆ, Bˆ, η γενικευμένη σχέση αβεβαιότητας γράφεται é ˆ ˆù DAˆ DBˆ ³ A, B û ë όπου η μέση τιμή λαμβάνεται σε μια τυχαία κατάσταση. Έτσι σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m του τελεστή Jˆ, θα έχουμε DJˆ DJˆ x ³ éˆ ˆ ù J x,j û ë j,m Όμως é Jˆx,Jˆ ù ë û Jˆ Jˆ m 3 m Επομένως é Jˆx,Jˆ ù ë û m Άρα DJˆ DJˆ x ³ m 7 Αν αντικαταστήσουμε τη στη 7, παίρνουμε m j j + - m ³ Þ j j + - m ³ m Þ Þ { j j + ³ m + m Þ j j + ³ m m + m m 8 6//7

9 Η τελευταία ανισότητα ισχύει αφού j ³ m. Επομένως, είμαστε εντάξει. Για την περίπτωση όπου l τροχιακή στροφορμή, θα υπολογίσουμε τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ, Lˆ± στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, και θα επαληθεύσουμε τη μεταθετική σχέση é Lˆx, Lˆ ù Lˆ. Ακολούθως θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές του Lˆx και του Lˆ ë û στην κατάσταση, m, και θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι μηδέν. Λύση Για l, m -,,. Επομένως έχουμε τρεις ιδιοκαταστάσεις του Lˆ :,,,,, -. Αυτές οι ιδιοκαταστάσεις είναι τα διανύσματα βάσης του χώρου Hlbert των καταστάσεων της στροφορμής για l. Αυτή τη βάση θα χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ, Lˆ±. Σημειώνουμε ότι η σειρά των διανυσμάτων βάσης, δηλαδή ποιο βάζουμε πρώτο, ποιο δεύτερο, και ποιο τρίτο, έχει σημασία, αφού επηρεάζει την αναπαράσταση του κάθε τελεστή. Έτσι, θεωρούμε ότι το, είναι το πρώτο διάνυσμα, το, είναι το δεύτερο, και το, - είναι το τρίτο. Θα συμβολίσουμε με e το διάνυσμα,, με e το διάνυσμα,, και με e 3 το διάνυσμα, -. Γενικά, ο πίνακας A που παριστάνει τον τελεστή A στην ορθοκανονική βάση N {eˆn }n είναι ο N N πίνακας με στοιχεία Aj eˆ Aˆ eˆ j όπου, j,,..., N Έτσι, θα έχουμε L L Lˆ,, } eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, 3 L L 3 Lˆ,, eˆ Lˆ eˆ, Lˆ, } Lˆ, - -, - eˆ Lˆ eˆ3, Lˆ, - } -,, - 3 L eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, 3 L eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, L 3 eˆ Lˆ eˆ3, Lˆ, - -,, //7

10 L 3 eˆ3 Lˆ eˆ, - Lˆ,, -, 3 L 3 eˆ3 Lˆ eˆ, - Lˆ,, -, L 33 eˆ3 Lˆ eˆ3, - Lˆ, - -, -, Επομένως L - Η βάση που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τους τελεστές, δηλαδή τα διανύσματα,,,,, -, είναι οι ιδιοκαταστάσεις τους Lˆ, επομένως ο πίνακας L είναι διαγώνιος με στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιμές,, -. Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε τους πίνακες L± και από αυτούς, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Lˆ± Lˆx ± Lˆ, θα βρούμε τους πίνακες Lx, L. Για να κατασκευάσουμε τους πίνακες L±, θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις Lˆ+ l, m l l + - m m + l, m + και Lˆ- l, m l l + - m m - l, m - που έχουμε αποδείξει στην άσκηση Στην περίπτωσή μας l, οπότε Lˆ+, m - m m +, m + 3 Lˆ-, m - m m -, m - Έτσι παίρνουμε Lˆ+, - - -,, Lˆ+, - *,, Lˆ+, Και Lˆ-, - Lˆ-,, - Lˆ-,, Οπότε 6//7

11 L+, Lˆ+, 3 L+, Lˆ+,,, L+ 3, Lˆ+, - :,, 3 :, L+, Lˆ+, L+, Lˆ+, 3 :, L+ 3, Lˆ+, -, L+ 3, - Lˆ+, L+ 3, - Lˆ+, 3, :, L+ 33, - Lˆ+, - 3 :, Έτσι, ο πίνακας L+ είναι L+ 5 Θα κατασκευάσουμε με τον ίδιο τρόπο και τον πίνακα L-, και στη συνέχεια θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι ο ερμιτιανός συζυγής του πίνακα L+, δηλαδή του πίνακα 5. Είναι L-, Lˆ-, 3 :, L-, Lˆ-, 3 :,- L- 3, Lˆ-, - 3 L-, Lˆ-,, L-, Lˆ-, 3, :, - L- 3, Lˆ-, - 6//7

12 L- 3, - Lˆ-, 3 :, L- 3, - Lˆ-,, -, - L- 33, - Lˆ-, - Άρα L- 6 Παρατηρούμε ότι L+ T L Θα υπολογίσουμε τώρα τους πίνακες Lx, L. Από τις σχέσεις Lˆ± Lˆx ± Lˆ έχουμε ανατρέξτε στην άσκηση, σχέσεις 3 και : Lˆx Lˆ+ + Lˆ και Lˆ Lˆ- - Lˆ+ Επομένως Lx + Lx 7 και 6//7

13 L L- - L L - 8 Από την 7 βλέπουμε ότι ο πίνακας Lx είναι ερμιτιανός. Από την 8 παίρνουμε - L - - L -, οι πίνακες Lx, L είναι ερμιτιανοί, όπως πρέπει, αφού παριστάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τους πίνακες, 7, και 8 για να επαληθεύσουμε ότι é Lˆx, Lˆ ù Lˆ. ë û Είναι - - Lx L L Lx - Επομένως Lx L - L Lx L - 3 6//7

14 éë Lx, L ùû L Τέλος, θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές των Lx, L για m, δηλαδή στην ιδιοκατάσταση,. Η ιδιοκατάσταση, είναι το δεύτερο διάνυσμα βάσης, επομένως παριστάνεται από το διάνυσμα-στήλη. Έτσι, το αντίστοιχο bra, δηλαδή το bra,, παριστάνεται από το διάνυσμα-γραμμή. Άρα, η μέση τιμή του τελεστή Lˆx στην ιδιοκατάσταση,, δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο, Lˆ,, είναι x Lx, Με το ίδιο σκεπτικό, L, Στην προηγούμενη άσκηση υπολογίσαμε ότι ο πίνακας Lx που παριστάνει τον τελεστή Lˆx για l είναι ο Lx. Θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Lx και θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι επίσης m, με m -,,. Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Λύση Από την εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα Lx, παίρνουμε -l x x l Þ -l x -l όπου l είναι η τυχαία ιδιοτιμή του Lx 6//7

15 x Για να είναι το διάνυσμα ιδιοδιάνυσμα, θα πρέπει να είναι γραμμικά x ανεξάρτητο, δηλαδή ¹. Έτσι, το ομογενές σύστημα πρέπει να έχει μη μηδενική λύση, οπότε θα πρέπει -l -l -l Þ -l -l -l Þ -l Þ -l l - l Þ l l + + l Þ Þ l -l + Þ l, - l + Þ l ±, οι ιδιοτιμές του Lx είναι οι -,,, όπως αναμέναμε. Θα υπολογίσουμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Για l, από την παίρνουμε x x Þ Þ x + Þ Þ και x + Þ και - x x Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι. -x Ας το κανονικοποιήσουμε. x * x -x Þ x Þ x -x * 5 6//7

16 Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε x. Επομένως το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το, και - γράφουμε mx - όπου mx είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆx με m l. Βάζουμε βέλος αντί για ίσον επειδή το διάνυσμα-στήλη είναι - αναπαράσταση του αφηρημένου διανύσματος στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ. Με άλλα λόγια, το διάνυσμα είναι η αναπαράσταση της - ιδιοκατάστασης mx στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ με l. Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσουμε και τα άλλα δύο ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Για l -, από την παίρνουμε x x Þ Þ ì x+ x+ x x Þ Þí + + î Þ ì ì ì xx Þ í- + + Þí + Þí + + î î î 6 x- ì x + Þí î + 6//7

17 Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι Η συνθήκη κανονικοποίησης μάς δίνει * * *. Þ + + Þ Þ Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε -. Επομένως το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το. Άρα - - mx Για l, από την παίρνουμε 7 6//7

18 - - x x - - Þ Þ - - ì -x + -x + x x Þ Þ Þí - î ì ì ì x x x ì x Þí -+ Þ í- + Þí - Þí î î î î Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι. Όπως και προηγουμένως, εφαρμόζουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης και επιλέγουμε πραγματική τιμή για το. Έτσι, καταλήγουμε mx Ας ελέγξουμε αν τα ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια, όπως πρέπει, αφού αναπαριστούν τις ιδιοκαταστάσεις του ερμιτιανού τελεστή Lˆx. Είναι mx mx //7

19 - mx mx mx - mx Τα τρία ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια, και κανονικοποιημένα, επομένως αποτελούν και αυτά μια ορθοκανονική βάση, την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να αναπαραστήσουμε τους τελεστές και τις καταστάσεις της τροχιακής στροφορμής για l. 6 Αν ένα σωμάτιο βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆx, ας πούμε στην ιδιοκατάσταση mx -, ποια είναι η πιθανότητα το σωμάτιο να έχει, αντίστοιχα, m -,, ; Με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα η συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι, αντίστοιχα, -,, ; Λύση Στην προηγούμενη άσκηση, βρήκαμε ότι στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, η ιδιοκατάσταση του Lˆx με mx -, ας τη συμβολίσουμε mx -, παριστάνεται από - το διάνυσμα-στήλη. Είναι η σχέση 3 της προηγούμενης άσκησης. - Εφόσον είναι 9 6//7

20 mx - - m + m - m - Από την συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής ή 5%, η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι είναι ή 5%, και η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του στροφορμής του σωματίου να είναι - m - είναι - σωματίου να είναι m είναι ή 5%. Το άθροισμα των τριών πιθανοτήτων είναι ή %, όπως πρέπει. Ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσουμε τις τρεις προηγούμενες πιθανότητες είναι ο εξής: Αν το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση mx -, η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι - είναι m - mx -. Εφόσον - m - και mx -, θα έχουμε - - m - mx - - Άρα, η πιθανότητα είναι ή 5%. Σημείωση Όπως γνωρίζουμε από τη διανυσματική ανάλυση, το εσωτερικό γινόμενο δύο r r διανυσμάτων, x g, δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να το υπολογίσουμε. Μπορούμε να το υπολογίσουμε σε όποιο σύστημα συντεταγμένων μάς βολεύει, ή ακόμα και αφηρημένα, δηλαδή χωρίς να «καταφύγουμε» σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Το ίδιο ισχύει και για τα εσωτερικά γινόμενα μεταξύ κβαντικών καταστάσεων, όπου τώρα το σύστημα συντεταγμένων είναι η βάση που χρησιμοποιούμε, στον χώρο των καταστάσεων, για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις κβαντικές καταστάσεις ή και τους τελεστές που μας ενδιαφέρουν. Με τον ίδιο τρόπο, οι άλλες δύο πιθανότητες είναι 6//7

21 m mx - - ή 5% - και m mx - - ή 5% - 7 Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σωμάτιο βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση του Lˆ και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα μια άλλη συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής, δηλαδή ο τελεστής Lˆx ή ο τελεστής Lˆ, να έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση με m, δηλαδή στην κατάσταση,, την οποία εδώ θα συμβολίσουμε με m, και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η x συνιστώσα να έχει τιμή - και την πιθανότητα η -συνιστώσα να είναι μηδέν. Τι κάνουμε σε αυτήν την περίπτωση; Λύση Οι δύο πιθανότητες που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι, αντίστοιχα, η mx - m και η m m. Στην προηγούμενη άσκηση, βρήκαμε ότι. Ξέρουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό ως * προς τα δύο ορίσματά του, δηλαδή a b b a. Επομένως, m mx - * mx - m m mx - Þ mx - m m mx - Άρα mx - m m mx - Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα m m, χρησιμοποιούμε ξανά την αντισυμμετρική ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου και παίρνουμε m m m m * 6//7

22 Για να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο m m, θα γράψουμε την κατάσταση m στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ. Η κατάσταση m είναι ιδιοκατάσταση του Lˆ με ιδιοτιμή, δηλαδή Lˆ m Χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση του τελεστή Lˆ στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, η εξίσωση ιδιοτιμών γράφεται x L 3 - όπου L - ανατρέξτε στην άσκηση, σχέση 8 Επομένως, η 3 γράφεται - x ì - ì Þ x Þ í í î x î x x x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε x * x x Þ x Þ x x * Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε x. Επομένως m Έτσι, το στοιχείο πίνακα, ή πλάτος πιθανότητας, m m είναι 6//7

23 m m Οπότε, από την παίρνουμε m m 5 Η πιθανότητα, λοιπόν, η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου μας να είναι μηδέν, όταν το σωμάτιο βρίσκεται στην ιδιοκατάσταση, του Lˆ, είναι m m ή 5%. Η επόμενη άσκηση είναι γενίκευση των δύο προηγούμενων 8 Για την περίπτωση όπου l Γράψτε τους πίνακες Lx, L, L που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών L και Lˆ. Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων Lx, L, L. Γράψτε το διάνυσμα-στήλη Y που αναπαριστά μια τυχαία κατάσταση της τροχιακής στροφορμής στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών L και Lˆ. cos j v Αν Y sn j, με j Î [, p, ελέγξτε αν το διάνυσμα Y είναι κανονικοποιημένο, και υπολογίστε α τις πιθανότητες η x -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. β τις πιθανότητες η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. γ τις πιθανότητες η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. δ τις μέσες τιμές των τριών συνιστωσών της τροχιακής στροφορμής, Lˆx, Lˆ, Lˆ. Λύση Για l, m -,,. Επομένως, οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ είναι οι,,,,, -. Αυτή είναι η βάση της αναπαράστασης που θέλουμε να κατασκευάσουμε. Αν θεωρήσουμε, αυθαίρετα, την ιδιοκατάσταση, ως το ο διάνυσμα βάσης, την ιδιοκατάσταση, ως το ο διάνυσμα βάσης, και την ιδιοκατάσταση, - ως το 3ο διάνυσμα βάσης, τότε, όπως δείξαμε στην άσκηση, οι πίνακες Lx, L, L είναι οι 3 6//7

24 Lx - L - L 3 - Στην άσκηση 5 υπολογίσαμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Βρήκαμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι -,,, και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα -, με ιδιοτιμή - -, με ιδιοτιμή -, με ιδιοτιμή Τα τρία αυτά διανύσματα-στήλες αναπαριστούν τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Lˆx με ιδιοτιμές, αντίστοιχα, -,,. Συμβολίζουμε - mx - - 6//7

25 mx 5 - mx 6 Θα υπολογίσουμε τώρα τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα L. Η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα L γράφεται -l Þ - x x - l Þ x -l 7 -l x x l Þ x Εφόσον το είναι ιδιοδιάνυσμα, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως x πρέπει να είναι διάφορο από το μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή ¹. Έτσι, το ομογενές σύστημα 7 πρέπει να έχει μη μηδενική λύση. Άρα, η ορίζουσα του συστήματος 7 πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή 5 6//7

26 -l - -l Þ -l l - -l + Þ -l Þ -l l - + l Þ l l + Þ Þ l - l Þ l, - l Þ l ± Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα L είναι -,,, ίδιες με τις ιδιοτιμές του πίνακα Lx. Ας βρούμε τώρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Για l -, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται Þ ì Þí î x x Þ Þ ì x x x+ Þ í x+ Þ + + î ì x x ì x + Þ í- + - Þ í - î - î - Επομένως x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε 6 6//7

27 * * * + + Þ Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Επομένως, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το. - Ας κάνουμε έναν έλεγχο L Το διάνυσμα είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα L με ιδιοτιμή -, και - αναπαριστά την αντίστοιχη ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆ, δηλαδή 7 6//7

28 m Με τον ίδιο τρόπο, υπολογίζουμε τα άλλα δύο κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα του πίνακα L. Για l, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται x - x Þ - Þ - ì Þ x - Þ í î x - Επομένως x x x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε x* x x* Þ x Þ x x Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x Επομένως, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα L με ιδιοτιμή είναι το, όπως υπολογίσαμε και στην άσκηση 7. Άρα m 9 8 6//7

29 Για l, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται - - x x - - Þ Þ - - ì ì -x x -x Þ x- Þ í x- Þí - + Þ - - î î ì x - ìx - Þí Þí î î Επομένως x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε * * * + + Þ Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Άρα 9 6//7

30 - m Ας κάνουμε έναν έλεγχο L Ο πίνακας L είναι διαγώνιος, επομένως οι ιδιοτιμές του είναι τα - διαγώνια στοιχεία του, δηλαδή -,,. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα, με ιδιοτιμή,, με ιδιοτιμή, και, με ιδιοτιμή -. Πράγματι, είναι //7

31 - - - Επομένως m m m - 3 όπου m º,, m º,, και m - º, - Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πίνακες Lx, L, L, επομένως και οι τρεις αντίστοιχοι τελεστές Lˆ, Lˆ, Lˆ, έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, -,,. Οι ιδιοτιμές αυτές είναι οι x προβολές της τροχιακής στροφορμής στους αντίστοιχους άξονες, x,,, για l, δηλαδή όταν το τετράγωνο της στροφορμής είναι l l +, επομένως όταν το μέτρο της στροφορμής είναι. Οι ιδιοκαταστάσεις,,,,, -, που εδώ τις συμβολίζουμε, αντίστοιχα, m, m, m -, αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων χώρος Hlbert της στροφορμής με l. Έτσι, τα διανύσματα,,, που αναπαριστούν τις προηγούμενες ιδιοκαταστάσεις, αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο της αναπαράστασης, που είναι επίσης ένας χώρος Hlbert. Επομένως, μια τυχαία κατάσταση της στροφορμής με l θα αναπαρίσταται από ένα διάνυσμα, ας το συμβολίσουμε με Y, που είναι γραμμικός συνδυασμός των τριών διανυσμάτων,,. a Y a + b + c b c Θεωρώντας ότι η κατάσταση είναι κανονικοποιημένη, το διάνυσμα Y πρέπει να είναι κι αυτό κανονικοποιημένο, δηλαδή 3 6//7

32 Y Y a * b * a c b Þ a + b + c c * Επομένως a Y b c με a + b + c v Έστω cos j Y sn j 5 Τότε cos j Y Y cos j sn j sn j cos j + sn j Þ Y Y cos j Το διάνυσμα sn j είναι, επομένως, κανονικοποιημένο. α Τα πλάτη των πιθανοτήτων που θέλουμε να υπολογίσουμε γράφονται mx -, m x, mx Τα εσωτερικά γινόμενα είναι ανεξάρτητα από τη βάση που χρησιμοποιούμε για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις εμπλεκόμενες καταστάσεις εν προκειμένω τις καταστάσεις, mx -, mx, mx. Θα επιλέξουμε ως βάση αναπαράστασης τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ. Τότε, όπως δείξαμε - mx - - mx - 3 6//7

33 mx και cos j Y sn j Επομένως, θα έχουμε mx - cos j - sn j - cos j + sn j cos j mx - sn j cos j mx cos j sn j cos j + sn j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P mx - mx - - cos j + sn j cos j + sn j sn j cos j sn j + cos j sn j + sn j 3 P mx - sn j + sn j 6 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -. Παρόμοια, θα έχουμε P mx cos j 7 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. 33 6//7

34 P mx cos j + sn j cos j + sn j + sn j cos j sn j + cos j sn j + sn j + 3 P mx sn j + + sn j 8 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι sn j + sn j + cos j + + sn j + + sn j sn j + + cos j + P mx - + P mx + P mx P mx - + P mx + P mx 9 Το άθροισμα των τριών πιθανοτήτων είναι ίσο με, όπως πρέπει. Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσουμε τις αντίστοιχες πιθανότητες για τις άλλες δύο συνιστώσες της στροφορμής. β Δείξαμε ότι m - - m - m Επομένως 3 6//7

35 m - cos j sn j cos j + sn j cos j m sn j cos j m cos j - sn j cos j + sn j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P m - - cos j + sn j sn j - cos j sn j + - cos j sn j + cos j sn j + cos j + sn j sn j + 3 P m - sn j + Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -. P m cos j Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. P m cos j + sn j sn j + cos j sn j + cos j sn j + cos j sn j + P m sn j + Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι sn j + + cos j + sn j + sn j + + cos j sn j + + cos j + P m - + P m + P m 35 6//7

36 P m - + P m + P m 3 γ Δείξαμε ότι m m m - Επομένως cos j m - sn j cos j m sn j sn j cos j m sn j cos j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P m - Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -, και, όπως βλέπουμε, είναι μηδέν. P m sn j 5 Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. P m cos j 6 Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι P m - + P m + P m 7 δ Η μέση τιμή του τελεστή Lˆx στην κατάσταση είναι, όπως ξέρουμε, Lˆx Lˆx. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή δηλαδή το εσωτερικό 36 6//7

37 γινόμενο σε όποια αναπαράσταση μάς βολεύει. Έτσι, επιλέγοντας την αναπαράσταση που ως βάση έχει τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ, θα έχουμε Lˆx Lˆx cos j sn j cos j sn j 3 Lx cos j sn j sn j cos j sn j cos j + sn j cos j sn j sn j Lˆx sn j 8 Αντίστοιχα, η μέση τιμή του Lˆ στην κατάσταση είναι Lˆ Lˆ cos j sn j - cos j - sn j 3 L cos j sn j - sn j cos j - sn j cos j + sn j cos j sn j Lˆ 9 Σημείωση Η μέση τιμή Lˆ πρέπει να είναι πραγματική, διότι ο τελεστής Lˆ είναι ερμιτιανός, επομένως έχει πραγματικές ιδιοτιμές. Ωστόσο, ο πίνακας L έχει μόνο φανταστικά cos j στοιχεία, και μηδενικά, ενώ το διάνυσμα sn j, που αναπαριστά την κατάσταση, έχει πραγματικά στοιχεία. Επομένως, το εσωτερικό γινόμενο Lˆ, δηλαδή η μέση τιμή Lˆ θα είναι φανταστικός αριθμός ή μηδέν. Επειδή δεν μπορεί να είναι φανταστικός αριθμός, είναι μηδέν. Με την ίδια λογική 37 6//7

38 cos j ˆ ˆ L L cos j sn j sn j - 3 L cos j sn j cos j cos j Lˆ cos j 3 Ας δούμε τι μάς δίνουν οι μέσες τιμές 8 3 στην περίπτωση που το διάνυσμα cos j sn j είναι ιδιοδιάνυσμα του L, δηλαδή όταν η κατάσταση είναι cos j ˆ ιδιοκατάσταση του τελεστή L. Αν το sn j είναι ιδιοδιάνυσμα του L, τότε cos j cos j p sn j ή sn j, δηλαδή j ή j θυμηθείτε ότι j Î [, p. Για j, Lˆ και Lˆ, και Lˆ. Σε αυτήν την περίπτωση, η x κατάσταση είναι η ιδιοκατάσταση m, επομένως Lˆ, ενώ Lˆx Lˆ, διότι όπως έχουμε δείξει στην άσκηση 3, οι μέσες τιμές των τελεστών Lˆx και Lˆ είναι μηδέν στις ιδιοκαταστάσεις του Lˆ. p sn p και Lˆ, και Lˆ. Σε αυτήν την περίπτωση,, Lˆx η κατάσταση είναι η ιδιοκατάσταση m, επομένως Lˆ, ενώ Για j Lˆx Lˆ αφού είμαστε σε ιδιοκατάσταση του Lˆ. στην ιδιοκατάσταση m μηδενίζονται και οι τρεις μέσες τιμές. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@otmal.com 38 6//7

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

Η άλγεβρα της στροφορμής

Η άλγεβρα της στροφορμής Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1 Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

Δείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού 2

Δείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού 2 Δείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού Jˆ Jˆ Jˆ περιστροφέα με Χαμιλτονιανή Hˆ = x y z και ολική στροφορμή j = x y z είναι οι ιδιοκαταστάσεις των τριών συνιστωσών της στροφορομής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,

Διαβάστε περισσότερα

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017 Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης

(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Σπιν 1 μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο (ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Έστω ηλεκτρόνιο μέσα σε μαγνητικό πεδίο cos B B t, όπου B, και si cose si sie cos e είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρημα virial1 στην κβαντική μηχανική

Το θεώρημα virial1 στην κβαντική μηχανική Το θεώρημα val στην κβαντική μηχανική Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. sposkonsanoganns@gal.co 7 Φεβρουαρίου 08 Η λέξη val προέρχεται από το λατινικό vs, που σημαίνει «δύναμη», «ενέργεια», «ισχύς»

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι

Δηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι Κβαντικός περιστροφέας που J J J H y z τοποθετείται y z περιγράφεται μέσα σε από τη ομογενές, Χαμιλτονιανή χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, δηλαδή B B ez, με B >. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις

Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις 4. Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ˆ i e, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L

Διαβάστε περισσότερα

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη

Διαβάστε περισσότερα

+ z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας

+ z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας r Έστω κβαντικός περιστροφέας ολικής στροφορμής J, που περιγράφεται από Jx J y J τη Χαμιλτονιανή H = z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας I x I y I z του περιστροφέα ως προς τους άξονες x,y,z,

Διαβάστε περισσότερα

( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού

( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού Half Oscillator Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού ì, x ï V x í ïî mw x, x > Το σύστημα αυτό αναφέρεται ως «Half Oscillator». Στα Ελληνικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «μισός αρμονικός ταλαντωτής»,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

Είναι (1) Έστω (2) Τότε η (1) γράφεται (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( x; a ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα

Είναι (1) Έστω (2) Τότε η (1) γράφεται (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( x; a ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα Είναι i ö ö y ( ; ) ç ep ç - ˆ ep ç ( p ø ø ) ö ø () Έστω () Τότε η () γράφεται i ö ö y ( ; ) ç ep ç ep ç - ( - ˆ p ø ø ) ö ø (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( ; ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite

Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite i) Δείξτε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. ii) Δείξτε ότι y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,...

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι

Διαβάστε περισσότερα

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07 Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0.

ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0. ΑΣΚΗΣΗ 4 Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ip ˆ x x, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ˆp x ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες

Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2

Διαβάστε περισσότερα

( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)

( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1) ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια Κεφάλαιο 1 Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια 1.1 Η συμμετρία Πουανκαρέ 1.1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Η θεμελιώδης κινηματική συμμετρία για ένα φυσικό σύστημα είναι η συμμετρία των μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή:

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή: α.. Πρόσθεση διιανυσμάτων Αν έχουμε δύο διανύσματα α, β για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: 1 0ς τρόπος!! Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε διάνυσμα Α = α!!!!!" και στη συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα