Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λυμένες ασκήσεις στροφορμής"

Transcript

1 Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των τελεστών J και Jˆ, με το ίδιο j και m ± αντίστοιχα, δηλαδή Jˆ j, m : j, m ±. Οι τελεστές J ± ± δεν είναι μοναδιακοί, αφού αν ήταν μοναδιακοί θα έπρεπε, εφόσον ο ένας είναι ερμιτιανός συζυγής του άλλου, ο μεταθέτης τους να είναι μηδέν. Όμως ο μεταθέτης τους δεν είναι μηδέν, όπως δείξαμε στην προηγούμενη ενότητα σχέση. Εφόσον οι τελεστές J ± δεν είναι μοναδιακοί, δεν διατηρούν, εν γένει, το μέτρο των καταστάσεων στις οποίες δρουν. Άρα οι ιδιοκαταστάσεις Jˆ j, m δεν είναι, εν γένει, ± κανονικοποιημένες, όπως υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι οι ιδιοκαταστάσεις j, m. Έτσι, λοιπόν, μπορούμε να γράψουμε Jˆ- j, m C- j, m j, m - και Jˆ+ j, m C+ j, m j, m + Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές C± j, m με την ελευθερία απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, που είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης των κβαντικών καταστάσεων. Από την έχουμε C- j, m Jˆ- j, m j, m, Jˆ Jˆ- j, m, Jˆ- j, m - Jˆ- j, m º j, m Jˆ- Jˆ- j, m Επειδή Jˆ- Jˆ+, παίρνουμε C- j, m j, m Jˆ+ Jˆ- j, m 3 Σημείωση Ο γενικός συμβολισμός...,... για το εσωτερικό γινόμενο βοηθάει να χειριστούμε μη ερμιτιανούς τελεστές. Όμως Jˆ Jˆ+ Jˆ- - Jˆ + Jˆ σχέση 9 της προηγούμενης ενότητας. Επομένως Jˆ+ Jˆ- Jˆ + Jˆ - Jˆ Αν αντικαταστήσουμε την στην 3, θα πάρουμε C- j, m j, m Jˆ + Jˆ - Jˆ j, m j, m Jˆ j, m + j, m Jˆ j, m - j, m Jˆ j, m j, m j, m } j j + + m - m j j + - m m - 6//7

2 Επομένως C- j, m j j + - m m - Παραλείποντας τη σταθερή φάση του C- j, m, παίρνουμε C- j, m j j + - m m - 5 Έτσι η γράφεται Jˆ- j, m j j + - m m - j, m - 6 Παρατηρήστε ότι για m - j, η 5 μάς δίνει C- j, - j j j j - j - j j + - j j + C- j, - j 7 όπως αναμέναμε, αφού ο τελεστής J - πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση ελάχιστης ιδιοτιμής, j, - j. Με την ίδια λογική θα υπολογίσουμε τον συντελεστή C+ j, m. Από τη έχουμε C+ j, m Jˆ+ j, m Jˆ+ Jˆ } j, m, Jˆ Jˆ - + Jˆ+ j, m, Jˆ+ j, m j, m, Jˆ+ Jˆ+ j, m j, m º j, m Jˆ- Jˆ+ j, m C+ j, m j, m Jˆ- Jˆ+ j, m 8 Όμως Jˆ Jˆ- Jˆ+ + Jˆ + Jˆ σχέση 8 της προηγούμενης ενότητας. Επομένως Jˆ- Jˆ+ Jˆ - Jˆ - Jˆ 9 Αν αντικαταστήσουμε την 9 στην 8, θα πάρουμε C+ j, m j, m Jˆ - Jˆ - Jˆ j, m j j + - m - m j j + - m m + C+ j, m j j + - m m + Παραλείποντας πάλι τη σταθερή φάση, παίρνουμε C+ j, m j j + - m m + Έτσι η γράφεται Jˆ+ j, m j j + - m m + j, m + 6//7

3 Παρατηρήστε ότι για m j, η μάς δίνει C+ j, j j j + - j j + C+ j, j όπως αναμέναμε, αφού ο τελεστής J + πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση μέγιστης ιδιοτιμής, j, j. Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών Jˆ x και Jˆ στις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Jˆ. Με άλλα λόγια, θα υπολογίσουμε τις καταστάσεις Jˆx j, m και Jˆ j, m. Λύση Είναι Jˆ+ Jˆx + Jˆ Jˆ- Jˆx - Jˆ Από την, βλέπουμε ότι ο Jˆ x είναι το πραγματικό μέρος του J + και ο Jˆ είναι το φανταστικό μέρος του J +. Αν προσθέσουμε τις και κατά μέλη, παίρνουμε Jˆx Jˆ+ + Jˆ- 3 Αν αφαιρέσουμε τη από την, παίρνουμε ˆ Jˆ+ - Jˆ- Jˆ Þ Jˆ J + - Jˆ Jˆ Jˆ- - Jˆ+ Από τις 3 και μπορούμε, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 6 και της προηγούμενης άσκησης, να υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών Jˆ x και Jˆ στις ιδιοκαταστάσεις του Jˆ. Έτσι, από την 3, θα έχουμε Jˆx j, m Jˆ+ + Jˆ- j, m Jˆ+ j, m + Jˆ- j, m j j + - m m + j, m + + j j + - m m - j, m - Jˆx j, m j j + - m m - j, m j j + - m m + j, m + 5 6//7

4 Από την θα πάρουμε Jˆ j, m Jˆ- - Jˆ+ j, m Jˆ- j, m - Jˆ+ j, m j j + - m m - j, m - - j j + - m m + j, m + Jˆ j, m j j + - m m - j, m - - j j + - m m + j, m Θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές και τις αβεβαιότητες των Jˆ x και Jˆ σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m του Jˆ. Λύση Από τις σχέσεις 5 και 6 της προηγούμενης άσκησης, και το γεγονός ότι οι ιδιοκαταστάσεις j, m είναι ορθοκανονικές, παίρνουμε j, m Jˆx j, m και l, m Jˆ l, m Επομένως Jˆx Jˆ Ένας άλλος τρόπος για να καταλήξουμε στις και είναι χρησιμοποιώντας τη σχέση Jˆ+ Jˆx + Jˆ Πράγματι, παίρνοντας μέσες τιμές, θα έχουμε Jˆ+ Jˆ x + Jˆ Jˆx + Jˆ j,m Όμως Jˆ+ j, m Jˆ+ j, m και από τη σχέση της άσκησης, έχουμε j, m Jˆ+ j, m j, m j j + - m m + j, m + j j + - m m + j, m j, m + 3 Επομένως Jˆ+ 6//7

5 Άρα Jˆx + Jˆ j,m Οι τελεστές Jˆ x και Jˆ είναι ερμιτιανοί, επομένως έχουν πραγματικές ιδιοτιμές, άρα και πραγματικές μέσες τιμές. Έτσι, από την τελευταία εξίσωση θα πρέπει Jˆx και Jˆ Για να υπολογίσουμε τις αβεβαιότητες των Jˆ x και Jˆ στην τυχαία ιδιοκατάσταση j, m, χρειαζόμαστε τις μέσες τιμές των τετραγώνων τους, δηλαδή τα Jˆx Jˆ και. Είναι Jˆx j, m Jˆx Jˆx j, m Εφαρμόζουμε τη σχέση 5 της προηγούμενης άσκησης για να υπολογίσουμε την κατάσταση Jˆx j, m, και παίρνουμε Jˆx j, m j j + - m m - Jˆx j, m - + j j + - m m + Jˆx j, m + 3 Εφαρμόζουμε πάλι τη σχέση 5 της προηγούμενης άσκησης για να υπολογίσουμε τις επιμέρους καταστάσεις Jˆx j, m - και Jˆx j, m +. Είναι Jˆx j, m - j j + - m - m - j, m - + j j + - m - m j, m j j + - m + m j, m + j j + - m + m + j, m + 5 και Jˆx j, m + Από τις σχέσεις 3 5 βλέπουμε ότι η κατάσταση Jˆx j, m είναι γραμμικός συνδυασμός των ιδιοκαταστάσεων j, m -, j, m, και j, m +. Έτσι, η μέση τιμή Jˆx, δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης Jˆx j, m με την ιδιοκατάσταση j, m θα είναι ίσο με τον συντελεστή της ιδιοκατάστασης j, m στον ανάπτυγμα της κατάστασης Jˆ j, m. Όπως βλέπουμε από τις σχέσεις 3 5, ο x συντελεστής αυτός είναι ίσος με j j + - m m - δηλαδή είναι ίσος με j j + - m - m + 5 j j + - m m + j j + - m + m 6//7

6 j j + - m m - + j j + - m m + j j + - m j j + - m Επομένως Jˆx j j + - m 6 Παρατηρήστε ότι, επειδή m j, είναι j - m ³ Þ j + j - m ³ j Þ j j + - m ³ j j, με την ισότητα να ισχύει όταν m j Þ m ± j. Από την προηγούμενη ανισοϊσότητα βλέπουμε επίσης ότι Jˆ > όταν j ¹. Επομένως, από την 6 παίρνουμε Jˆx x ³ Έχοντας υπολογίσει τη μέση τιμή του Jˆ x και τη μέση τιμή του τετραγώνου του Jˆ x, μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα του Jˆ, δηλαδή την αβεβαιότητα της x x -συνιστώσας της στροφορμής σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της -συνιστώσας της στροφορμής. Είναι DJˆx Jˆx - Jˆx j,m Αν αντικαταστήσουμε στην προηγούμενη σχέση την και την 6, παίρνουμε DJˆ x j j + - m 7 Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου του Jˆ, μπορούμε να κάνουμε ό,τι κάναμε για τον υπολογισμό της μέσης τιμής του τετραγώνου του Jˆ. Εδώ, θα x δείξουμε έναν διαφορετικό τρόπο υπολογισμού, χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα 6 και τη σχέση Jˆ+ Jˆx + Jˆ. Σημείωση Εν τω μεταξύ, η φυσική διαίσθησή μας, πρέπει να μας έχει ήδη πει ότι Jˆ Jˆx. Είναι Jˆ+ Jˆ x + Jˆ Jˆ x + Jˆ Jˆx + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx - Jˆ Jˆ x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x Jˆ+ Jˆ x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x 8 6 6//7

7 Εξάλλου, είναι Jˆ+ j, m : Jˆ+ j, m + : j, m +, δηλαδή Jˆ+ j, m : j, m +. Επομένως, Jˆ+ Jˆ+ j, m Jˆ+ j, m : j, m j, m +, δηλαδή 9 Αν πάρουμε μέσες τιμές στην 8, θα έχουμε Jˆ+ Jˆx Jˆ - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x Jˆx - Jˆ j,m + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx Jˆ+ Jˆx - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx Από τις 9 και, παίρνουμε Jˆx - Jˆ j,m + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx Οι τελεστές Jˆx, Jˆ, και Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x είναι ερμιτιανοί, άρα έχουν πραγματικές ιδιοτιμές και πραγματικές μέσες τιμές. Οπότε, από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε Jˆx - Jˆ Þ Jˆx j,m Jˆ j,m και Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx αυτό δεν τον χρειαζόμαστε εδώ Άρα, λοιπόν, Jˆ j j + - m και η αβεβαιότητα του Jˆ είναι DJˆ j j + - m 3 Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων του Jˆ x και του Jˆ είναι DJˆ DJˆ x j j + - m Εφόσον j j + - m ³ j, από τη παίρνουμε DJˆx DJˆ ³ j, με το ίσον να ισχύει όταν m ± j. Παρατηρήστε ότι η αβεβαιότητα γίνεται μέγιστη όταν m, δηλαδή όταν μηδενιστεί η -συνιστώσα της στροφορμής του σωματίου. Η μέγιστη τιμή του γινομένου των αβεβαιοτήτων των συνιστωσών x και της στροφορμής είναι, από τη, 7 6//7

8 DJˆ DJˆ x max j, j j + 5 δηλαδή, είναι ίση με το μισό του τετραγώνου της στροφορμής του σωματίου. Αντίθετα, η αβεβαιότητα γίνεται ελάχιστη όταν m ± j, δηλαδή όταν το μέτρο της -συνιστώσας της στροφορμής του σωματίου γίνει μέγιστο. Η ελάχιστη τιμή του γινομένου των αβεβαιοτήτων των συνιστωσών x και της στροφορμής είναι, από τη, DJˆ DJˆ x mn j,± j j 6 Παρατηρήστε επίσης ότι όταν m ± j, το μέτρο της -συνιστώσας της στροφορμής είναι j. Το τετράγωνο της στροφορμής είναι j j +, επομένως το μέτρο της στροφορμής είναι j j + j + j > j, για j ¹. Με άλλα λόγια, όταν j ¹, δηλαδή όταν το σωμάτιο έχει στροφορμή, το μέτρο της είναι πάντα μεγαλύτερο από τη -συνιστώσα της, αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στην κλασική μηχανική για την τροχιακή στροφορμή, όπου αν οι συνιστώσες x και είναι μηδέν, η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής είναι ίση με την τροχιακή στροφορμή. Το γεγονός ότι στην κβαντική μηχανική η -συνιστώσα της στροφορμής είναι πάντα μικρότερη από το μέτρο της στροφορμής, οφείλεται στην αβεβαιότητα των συνιστωσών x και, η οποία είναι πάντα μεγαλύτερη του μηδενός, όπως βλέπουμε από τη 6, όταν j ¹, δηλαδή όταν το σωμάτιο έχει στροφορμή. Σημείωση Για δύο τυχαίους ερμιτιανούς τελεστές Aˆ, Bˆ, η γενικευμένη σχέση αβεβαιότητας γράφεται é ˆ ˆù DAˆ DBˆ ³ A, B û ë όπου η μέση τιμή λαμβάνεται σε μια τυχαία κατάσταση. Έτσι σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m του τελεστή Jˆ, θα έχουμε DJˆ DJˆ x ³ éˆ ˆ ù J x,j û ë j,m Όμως é Jˆx,Jˆ ù ë û Jˆ Jˆ m 3 m Επομένως é Jˆx,Jˆ ù ë û m Άρα DJˆ DJˆ x ³ m 7 Αν αντικαταστήσουμε τη στη 7, παίρνουμε m j j + - m ³ Þ j j + - m ³ m Þ Þ { j j + ³ m + m Þ j j + ³ m m + m m 8 6//7

9 Η τελευταία ανισότητα ισχύει αφού j ³ m. Επομένως, είμαστε εντάξει. Για την περίπτωση όπου l τροχιακή στροφορμή, θα υπολογίσουμε τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ, Lˆ± στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, και θα επαληθεύσουμε τη μεταθετική σχέση é Lˆx, Lˆ ù Lˆ. Ακολούθως θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές του Lˆx και του Lˆ ë û στην κατάσταση, m, και θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι μηδέν. Λύση Για l, m -,,. Επομένως έχουμε τρεις ιδιοκαταστάσεις του Lˆ :,,,,, -. Αυτές οι ιδιοκαταστάσεις είναι τα διανύσματα βάσης του χώρου Hlbert των καταστάσεων της στροφορμής για l. Αυτή τη βάση θα χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ, Lˆ±. Σημειώνουμε ότι η σειρά των διανυσμάτων βάσης, δηλαδή ποιο βάζουμε πρώτο, ποιο δεύτερο, και ποιο τρίτο, έχει σημασία, αφού επηρεάζει την αναπαράσταση του κάθε τελεστή. Έτσι, θεωρούμε ότι το, είναι το πρώτο διάνυσμα, το, είναι το δεύτερο, και το, - είναι το τρίτο. Θα συμβολίσουμε με e το διάνυσμα,, με e το διάνυσμα,, και με e 3 το διάνυσμα, -. Γενικά, ο πίνακας A που παριστάνει τον τελεστή A στην ορθοκανονική βάση N {eˆn }n είναι ο N N πίνακας με στοιχεία Aj eˆ Aˆ eˆ j όπου, j,,..., N Έτσι, θα έχουμε L L Lˆ,, } eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, 3 L L 3 Lˆ,, eˆ Lˆ eˆ, Lˆ, } Lˆ, - -, - eˆ Lˆ eˆ3, Lˆ, - } -,, - 3 L eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, 3 L eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, L 3 eˆ Lˆ eˆ3, Lˆ, - -,, //7

10 L 3 eˆ3 Lˆ eˆ, - Lˆ,, -, 3 L 3 eˆ3 Lˆ eˆ, - Lˆ,, -, L 33 eˆ3 Lˆ eˆ3, - Lˆ, - -, -, Επομένως L - Η βάση που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τους τελεστές, δηλαδή τα διανύσματα,,,,, -, είναι οι ιδιοκαταστάσεις τους Lˆ, επομένως ο πίνακας L είναι διαγώνιος με στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιμές,, -. Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε τους πίνακες L± και από αυτούς, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Lˆ± Lˆx ± Lˆ, θα βρούμε τους πίνακες Lx, L. Για να κατασκευάσουμε τους πίνακες L±, θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις Lˆ+ l, m l l + - m m + l, m + και Lˆ- l, m l l + - m m - l, m - που έχουμε αποδείξει στην άσκηση Στην περίπτωσή μας l, οπότε Lˆ+, m - m m +, m + 3 Lˆ-, m - m m -, m - Έτσι παίρνουμε Lˆ+, - - -,, Lˆ+, - *,, Lˆ+, Και Lˆ-, - Lˆ-,, - Lˆ-,, Οπότε 6//7

11 L+, Lˆ+, 3 L+, Lˆ+,,, L+ 3, Lˆ+, - :,, 3 :, L+, Lˆ+, L+, Lˆ+, 3 :, L+ 3, Lˆ+, -, L+ 3, - Lˆ+, L+ 3, - Lˆ+, 3, :, L+ 33, - Lˆ+, - 3 :, Έτσι, ο πίνακας L+ είναι L+ 5 Θα κατασκευάσουμε με τον ίδιο τρόπο και τον πίνακα L-, και στη συνέχεια θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι ο ερμιτιανός συζυγής του πίνακα L+, δηλαδή του πίνακα 5. Είναι L-, Lˆ-, 3 :, L-, Lˆ-, 3 :,- L- 3, Lˆ-, - 3 L-, Lˆ-,, L-, Lˆ-, 3, :, - L- 3, Lˆ-, - 6//7

12 L- 3, - Lˆ-, 3 :, L- 3, - Lˆ-,, -, - L- 33, - Lˆ-, - Άρα L- 6 Παρατηρούμε ότι L+ T L Θα υπολογίσουμε τώρα τους πίνακες Lx, L. Από τις σχέσεις Lˆ± Lˆx ± Lˆ έχουμε ανατρέξτε στην άσκηση, σχέσεις 3 και : Lˆx Lˆ+ + Lˆ και Lˆ Lˆ- - Lˆ+ Επομένως Lx + Lx 7 και 6//7

13 L L- - L L - 8 Από την 7 βλέπουμε ότι ο πίνακας Lx είναι ερμιτιανός. Από την 8 παίρνουμε - L - - L -, οι πίνακες Lx, L είναι ερμιτιανοί, όπως πρέπει, αφού παριστάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τους πίνακες, 7, και 8 για να επαληθεύσουμε ότι é Lˆx, Lˆ ù Lˆ. ë û Είναι - - Lx L L Lx - Επομένως Lx L - L Lx L - 3 6//7

14 éë Lx, L ùû L Τέλος, θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές των Lx, L για m, δηλαδή στην ιδιοκατάσταση,. Η ιδιοκατάσταση, είναι το δεύτερο διάνυσμα βάσης, επομένως παριστάνεται από το διάνυσμα-στήλη. Έτσι, το αντίστοιχο bra, δηλαδή το bra,, παριστάνεται από το διάνυσμα-γραμμή. Άρα, η μέση τιμή του τελεστή Lˆx στην ιδιοκατάσταση,, δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο, Lˆ,, είναι x Lx, Με το ίδιο σκεπτικό, L, Στην προηγούμενη άσκηση υπολογίσαμε ότι ο πίνακας Lx που παριστάνει τον τελεστή Lˆx για l είναι ο Lx. Θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Lx και θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι επίσης m, με m -,,. Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Λύση Από την εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα Lx, παίρνουμε -l x x l Þ -l x -l όπου l είναι η τυχαία ιδιοτιμή του Lx 6//7

15 x Για να είναι το διάνυσμα ιδιοδιάνυσμα, θα πρέπει να είναι γραμμικά x ανεξάρτητο, δηλαδή ¹. Έτσι, το ομογενές σύστημα πρέπει να έχει μη μηδενική λύση, οπότε θα πρέπει -l -l -l Þ -l -l -l Þ -l Þ -l l - l Þ l l + + l Þ Þ l -l + Þ l, - l + Þ l ±, οι ιδιοτιμές του Lx είναι οι -,,, όπως αναμέναμε. Θα υπολογίσουμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Για l, από την παίρνουμε x x Þ Þ x + Þ Þ και x + Þ και - x x Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι. -x Ας το κανονικοποιήσουμε. x * x -x Þ x Þ x -x * 5 6//7

16 Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε x. Επομένως το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το, και - γράφουμε mx - όπου mx είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆx με m l. Βάζουμε βέλος αντί για ίσον επειδή το διάνυσμα-στήλη είναι - αναπαράσταση του αφηρημένου διανύσματος στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ. Με άλλα λόγια, το διάνυσμα είναι η αναπαράσταση της - ιδιοκατάστασης mx στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ με l. Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσουμε και τα άλλα δύο ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Για l -, από την παίρνουμε x x Þ Þ ì x+ x+ x x Þ Þí + + î Þ ì ì ì xx Þ í- + + Þí + Þí + + î î î 6 x- ì x + Þí î + 6//7

17 Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι Η συνθήκη κανονικοποίησης μάς δίνει * * *. Þ + + Þ Þ Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε -. Επομένως το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το. Άρα - - mx Για l, από την παίρνουμε 7 6//7

18 - - x x - - Þ Þ - - ì -x + -x + x x Þ Þ Þí - î ì ì ì x x x ì x Þí -+ Þ í- + Þí - Þí î î î î Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι. Όπως και προηγουμένως, εφαρμόζουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης και επιλέγουμε πραγματική τιμή για το. Έτσι, καταλήγουμε mx Ας ελέγξουμε αν τα ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια, όπως πρέπει, αφού αναπαριστούν τις ιδιοκαταστάσεις του ερμιτιανού τελεστή Lˆx. Είναι mx mx //7

19 - mx mx mx - mx Τα τρία ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια, και κανονικοποιημένα, επομένως αποτελούν και αυτά μια ορθοκανονική βάση, την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να αναπαραστήσουμε τους τελεστές και τις καταστάσεις της τροχιακής στροφορμής για l. 6 Αν ένα σωμάτιο βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆx, ας πούμε στην ιδιοκατάσταση mx -, ποια είναι η πιθανότητα το σωμάτιο να έχει, αντίστοιχα, m -,, ; Με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα η συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι, αντίστοιχα, -,, ; Λύση Στην προηγούμενη άσκηση, βρήκαμε ότι στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, η ιδιοκατάσταση του Lˆx με mx -, ας τη συμβολίσουμε mx -, παριστάνεται από - το διάνυσμα-στήλη. Είναι η σχέση 3 της προηγούμενης άσκησης. - Εφόσον είναι 9 6//7

20 mx - - m + m - m - Από την συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής ή 5%, η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι είναι ή 5%, και η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του στροφορμής του σωματίου να είναι - m - είναι - σωματίου να είναι m είναι ή 5%. Το άθροισμα των τριών πιθανοτήτων είναι ή %, όπως πρέπει. Ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσουμε τις τρεις προηγούμενες πιθανότητες είναι ο εξής: Αν το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση mx -, η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι - είναι m - mx -. Εφόσον - m - και mx -, θα έχουμε - - m - mx - - Άρα, η πιθανότητα είναι ή 5%. Σημείωση Όπως γνωρίζουμε από τη διανυσματική ανάλυση, το εσωτερικό γινόμενο δύο r r διανυσμάτων, x g, δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να το υπολογίσουμε. Μπορούμε να το υπολογίσουμε σε όποιο σύστημα συντεταγμένων μάς βολεύει, ή ακόμα και αφηρημένα, δηλαδή χωρίς να «καταφύγουμε» σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Το ίδιο ισχύει και για τα εσωτερικά γινόμενα μεταξύ κβαντικών καταστάσεων, όπου τώρα το σύστημα συντεταγμένων είναι η βάση που χρησιμοποιούμε, στον χώρο των καταστάσεων, για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις κβαντικές καταστάσεις ή και τους τελεστές που μας ενδιαφέρουν. Με τον ίδιο τρόπο, οι άλλες δύο πιθανότητες είναι 6//7

21 m mx - - ή 5% - και m mx - - ή 5% - 7 Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σωμάτιο βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση του Lˆ και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα μια άλλη συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής, δηλαδή ο τελεστής Lˆx ή ο τελεστής Lˆ, να έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση με m, δηλαδή στην κατάσταση,, την οποία εδώ θα συμβολίσουμε με m, και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η x συνιστώσα να έχει τιμή - και την πιθανότητα η -συνιστώσα να είναι μηδέν. Τι κάνουμε σε αυτήν την περίπτωση; Λύση Οι δύο πιθανότητες που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι, αντίστοιχα, η mx - m και η m m. Στην προηγούμενη άσκηση, βρήκαμε ότι. Ξέρουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό ως * προς τα δύο ορίσματά του, δηλαδή a b b a. Επομένως, m mx - * mx - m m mx - Þ mx - m m mx - Άρα mx - m m mx - Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα m m, χρησιμοποιούμε ξανά την αντισυμμετρική ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου και παίρνουμε m m m m * 6//7

22 Για να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο m m, θα γράψουμε την κατάσταση m στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ. Η κατάσταση m είναι ιδιοκατάσταση του Lˆ με ιδιοτιμή, δηλαδή Lˆ m Χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση του τελεστή Lˆ στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, η εξίσωση ιδιοτιμών γράφεται x L 3 - όπου L - ανατρέξτε στην άσκηση, σχέση 8 Επομένως, η 3 γράφεται - x ì - ì Þ x Þ í í î x î x x x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε x * x x Þ x Þ x x * Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε x. Επομένως m Έτσι, το στοιχείο πίνακα, ή πλάτος πιθανότητας, m m είναι 6//7

23 m m Οπότε, από την παίρνουμε m m 5 Η πιθανότητα, λοιπόν, η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου μας να είναι μηδέν, όταν το σωμάτιο βρίσκεται στην ιδιοκατάσταση, του Lˆ, είναι m m ή 5%. Η επόμενη άσκηση είναι γενίκευση των δύο προηγούμενων 8 Για την περίπτωση όπου l Γράψτε τους πίνακες Lx, L, L που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών L και Lˆ. Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων Lx, L, L. Γράψτε το διάνυσμα-στήλη Y που αναπαριστά μια τυχαία κατάσταση της τροχιακής στροφορμής στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών L και Lˆ. cos j v Αν Y sn j, με j Î [, p, ελέγξτε αν το διάνυσμα Y είναι κανονικοποιημένο, και υπολογίστε α τις πιθανότητες η x -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. β τις πιθανότητες η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. γ τις πιθανότητες η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. δ τις μέσες τιμές των τριών συνιστωσών της τροχιακής στροφορμής, Lˆx, Lˆ, Lˆ. Λύση Για l, m -,,. Επομένως, οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ είναι οι,,,,, -. Αυτή είναι η βάση της αναπαράστασης που θέλουμε να κατασκευάσουμε. Αν θεωρήσουμε, αυθαίρετα, την ιδιοκατάσταση, ως το ο διάνυσμα βάσης, την ιδιοκατάσταση, ως το ο διάνυσμα βάσης, και την ιδιοκατάσταση, - ως το 3ο διάνυσμα βάσης, τότε, όπως δείξαμε στην άσκηση, οι πίνακες Lx, L, L είναι οι 3 6//7

24 Lx - L - L 3 - Στην άσκηση 5 υπολογίσαμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Βρήκαμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι -,,, και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα -, με ιδιοτιμή - -, με ιδιοτιμή -, με ιδιοτιμή Τα τρία αυτά διανύσματα-στήλες αναπαριστούν τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Lˆx με ιδιοτιμές, αντίστοιχα, -,,. Συμβολίζουμε - mx - - 6//7

25 mx 5 - mx 6 Θα υπολογίσουμε τώρα τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα L. Η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα L γράφεται -l Þ - x x - l Þ x -l 7 -l x x l Þ x Εφόσον το είναι ιδιοδιάνυσμα, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως x πρέπει να είναι διάφορο από το μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή ¹. Έτσι, το ομογενές σύστημα 7 πρέπει να έχει μη μηδενική λύση. Άρα, η ορίζουσα του συστήματος 7 πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή 5 6//7

26 -l - -l Þ -l l - -l + Þ -l Þ -l l - + l Þ l l + Þ Þ l - l Þ l, - l Þ l ± Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα L είναι -,,, ίδιες με τις ιδιοτιμές του πίνακα Lx. Ας βρούμε τώρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Για l -, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται Þ ì Þí î x x Þ Þ ì x x x+ Þ í x+ Þ + + î ì x x ì x + Þ í- + - Þ í - î - î - Επομένως x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε 6 6//7

27 * * * + + Þ Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Επομένως, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το. - Ας κάνουμε έναν έλεγχο L Το διάνυσμα είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα L με ιδιοτιμή -, και - αναπαριστά την αντίστοιχη ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆ, δηλαδή 7 6//7

28 m Με τον ίδιο τρόπο, υπολογίζουμε τα άλλα δύο κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα του πίνακα L. Για l, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται x - x Þ - Þ - ì Þ x - Þ í î x - Επομένως x x x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε x* x x* Þ x Þ x x Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x Επομένως, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα L με ιδιοτιμή είναι το, όπως υπολογίσαμε και στην άσκηση 7. Άρα m 9 8 6//7

29 Για l, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται - - x x - - Þ Þ - - ì ì -x x -x Þ x- Þ í x- Þí - + Þ - - î î ì x - ìx - Þí Þí î î Επομένως x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε * * * + + Þ Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Άρα 9 6//7

30 - m Ας κάνουμε έναν έλεγχο L Ο πίνακας L είναι διαγώνιος, επομένως οι ιδιοτιμές του είναι τα - διαγώνια στοιχεία του, δηλαδή -,,. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα, με ιδιοτιμή,, με ιδιοτιμή, και, με ιδιοτιμή -. Πράγματι, είναι //7

31 - - - Επομένως m m m - 3 όπου m º,, m º,, και m - º, - Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πίνακες Lx, L, L, επομένως και οι τρεις αντίστοιχοι τελεστές Lˆ, Lˆ, Lˆ, έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, -,,. Οι ιδιοτιμές αυτές είναι οι x προβολές της τροχιακής στροφορμής στους αντίστοιχους άξονες, x,,, για l, δηλαδή όταν το τετράγωνο της στροφορμής είναι l l +, επομένως όταν το μέτρο της στροφορμής είναι. Οι ιδιοκαταστάσεις,,,,, -, που εδώ τις συμβολίζουμε, αντίστοιχα, m, m, m -, αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων χώρος Hlbert της στροφορμής με l. Έτσι, τα διανύσματα,,, που αναπαριστούν τις προηγούμενες ιδιοκαταστάσεις, αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο της αναπαράστασης, που είναι επίσης ένας χώρος Hlbert. Επομένως, μια τυχαία κατάσταση της στροφορμής με l θα αναπαρίσταται από ένα διάνυσμα, ας το συμβολίσουμε με Y, που είναι γραμμικός συνδυασμός των τριών διανυσμάτων,,. a Y a + b + c b c Θεωρώντας ότι η κατάσταση είναι κανονικοποιημένη, το διάνυσμα Y πρέπει να είναι κι αυτό κανονικοποιημένο, δηλαδή 3 6//7

32 Y Y a * b * a c b Þ a + b + c c * Επομένως a Y b c με a + b + c v Έστω cos j Y sn j 5 Τότε cos j Y Y cos j sn j sn j cos j + sn j Þ Y Y cos j Το διάνυσμα sn j είναι, επομένως, κανονικοποιημένο. α Τα πλάτη των πιθανοτήτων που θέλουμε να υπολογίσουμε γράφονται mx -, m x, mx Τα εσωτερικά γινόμενα είναι ανεξάρτητα από τη βάση που χρησιμοποιούμε για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις εμπλεκόμενες καταστάσεις εν προκειμένω τις καταστάσεις, mx -, mx, mx. Θα επιλέξουμε ως βάση αναπαράστασης τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ. Τότε, όπως δείξαμε - mx - - mx - 3 6//7

33 mx και cos j Y sn j Επομένως, θα έχουμε mx - cos j - sn j - cos j + sn j cos j mx - sn j cos j mx cos j sn j cos j + sn j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P mx - mx - - cos j + sn j cos j + sn j sn j cos j sn j + cos j sn j + sn j 3 P mx - sn j + sn j 6 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -. Παρόμοια, θα έχουμε P mx cos j 7 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. 33 6//7

34 P mx cos j + sn j cos j + sn j + sn j cos j sn j + cos j sn j + sn j + 3 P mx sn j + + sn j 8 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι sn j + sn j + cos j + + sn j + + sn j sn j + + cos j + P mx - + P mx + P mx P mx - + P mx + P mx 9 Το άθροισμα των τριών πιθανοτήτων είναι ίσο με, όπως πρέπει. Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσουμε τις αντίστοιχες πιθανότητες για τις άλλες δύο συνιστώσες της στροφορμής. β Δείξαμε ότι m - - m - m Επομένως 3 6//7

35 m - cos j sn j cos j + sn j cos j m sn j cos j m cos j - sn j cos j + sn j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P m - - cos j + sn j sn j - cos j sn j + - cos j sn j + cos j sn j + cos j + sn j sn j + 3 P m - sn j + Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -. P m cos j Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. P m cos j + sn j sn j + cos j sn j + cos j sn j + cos j sn j + P m sn j + Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι sn j + + cos j + sn j + sn j + + cos j sn j + + cos j + P m - + P m + P m 35 6//7

36 P m - + P m + P m 3 γ Δείξαμε ότι m m m - Επομένως cos j m - sn j cos j m sn j sn j cos j m sn j cos j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P m - Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -, και, όπως βλέπουμε, είναι μηδέν. P m sn j 5 Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. P m cos j 6 Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι P m - + P m + P m 7 δ Η μέση τιμή του τελεστή Lˆx στην κατάσταση είναι, όπως ξέρουμε, Lˆx Lˆx. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή δηλαδή το εσωτερικό 36 6//7

37 γινόμενο σε όποια αναπαράσταση μάς βολεύει. Έτσι, επιλέγοντας την αναπαράσταση που ως βάση έχει τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ, θα έχουμε Lˆx Lˆx cos j sn j cos j sn j 3 Lx cos j sn j sn j cos j sn j cos j + sn j cos j sn j sn j Lˆx sn j 8 Αντίστοιχα, η μέση τιμή του Lˆ στην κατάσταση είναι Lˆ Lˆ cos j sn j - cos j - sn j 3 L cos j sn j - sn j cos j - sn j cos j + sn j cos j sn j Lˆ 9 Σημείωση Η μέση τιμή Lˆ πρέπει να είναι πραγματική, διότι ο τελεστής Lˆ είναι ερμιτιανός, επομένως έχει πραγματικές ιδιοτιμές. Ωστόσο, ο πίνακας L έχει μόνο φανταστικά cos j στοιχεία, και μηδενικά, ενώ το διάνυσμα sn j, που αναπαριστά την κατάσταση, έχει πραγματικά στοιχεία. Επομένως, το εσωτερικό γινόμενο Lˆ, δηλαδή η μέση τιμή Lˆ θα είναι φανταστικός αριθμός ή μηδέν. Επειδή δεν μπορεί να είναι φανταστικός αριθμός, είναι μηδέν. Με την ίδια λογική 37 6//7

38 cos j ˆ ˆ L L cos j sn j sn j - 3 L cos j sn j cos j cos j Lˆ cos j 3 Ας δούμε τι μάς δίνουν οι μέσες τιμές 8 3 στην περίπτωση που το διάνυσμα cos j sn j είναι ιδιοδιάνυσμα του L, δηλαδή όταν η κατάσταση είναι cos j ˆ ιδιοκατάσταση του τελεστή L. Αν το sn j είναι ιδιοδιάνυσμα του L, τότε cos j cos j p sn j ή sn j, δηλαδή j ή j θυμηθείτε ότι j Î [, p. Για j, Lˆ και Lˆ, και Lˆ. Σε αυτήν την περίπτωση, η x κατάσταση είναι η ιδιοκατάσταση m, επομένως Lˆ, ενώ Lˆx Lˆ, διότι όπως έχουμε δείξει στην άσκηση 3, οι μέσες τιμές των τελεστών Lˆx και Lˆ είναι μηδέν στις ιδιοκαταστάσεις του Lˆ. p sn p και Lˆ, και Lˆ. Σε αυτήν την περίπτωση,, Lˆx η κατάσταση είναι η ιδιοκατάσταση m, επομένως Lˆ, ενώ Για j Lˆx Lˆ αφού είμαστε σε ιδιοκατάσταση του Lˆ. στην ιδιοκατάσταση m μηδενίζονται και οι τρεις μέσες τιμές. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 38 6//7

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική

Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Υπενθυμίζουμε τη συνταγή που θέτει την εξίσωση Schrödger σε αντιστοιχία με τη μη-σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής: p E () m μέσω της αντικατάστασης των E, p με διαφορικούς

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής

Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής Α. Αραγεώργης Τομέας Ανθρωπιστικών, Κοινωνικών Επιστημών και Δικαίου Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά:

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά: Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς σε οποιοδήποτε σημείο ενός κυκλώματος υπολογίζεται ως το γινόμενο της στιγμιαίας τάσης επί το στιγμιαίο ρεύμα: Σε ένα εναλλασσόμενο σύστημα τάσεων και ρευμάτων θα έχουμε όμως:

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος

Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος Ανασκόπηση Γραµµική Άλγεβρα Σε πολλά µαθηµατικά προβλήµατα που θα συναντήσουµε στην φασµατική εκτίµηση και γενικά στην εκτίµηση παραµέτρων θα είναι βολικό να χρησιµοποιούµε διανύσµατα και πίνακες για την

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2 I ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ I Ομάδες μετασχηματισμών συμμετρίας Όπως συνηθίζεται θα διαλέξουμε μια ομάδα συμμετρίας και θα εξετάσουμε όλες τις ιδιότητες στην συγκεκριμμένη ομάδα σε ολόκληρες

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2.

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2. ΜΡΟΣ Β 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 1 Ορισμοί μβαδόν τετραγώνου 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α. E α α α μβαδόν ορθογωνίου Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα