Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική"

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Βιβλίο Ασκήσεων ρ. Πολίτης Αναστάσιος, Καθηγητής Εφαρµογών ρ. Αναστασίου Χρήστος, Αναπληρωτής Καθηγητής Σέρρες, Μάιος 0 η Έκδοση

2 Πρόλογος Το παρόν εγχειρίδιο αποτελεί µια προσπάθεια για την ενδυνάµωση των φοιτητών του Τµήµατος Πληροφορικής και Επικοινωνιών του ΤΕΙ Σερρών στις θεµατικές ενότητες που διδάσκονται στο ο Εξάµηνο σπουδών στα πλαίσια του µαθήµατος Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική. Έχει δοµηθεί µε τη σειρά που παρουσιάζονται οι θεµατικές αυτές ενότητες στο βασικό βιβλίο διδασκαλίας του κ. Γ. Χ. Ζιούτα. Παρέχει, µε το τρόπο αυτό, συµπληρωµατική εξάσκηση των φοιτητών σε προβλήµατα που µπορούν να τους βοηθήσουν στην καλύτερη και σε βάθος κατανόηση του αντικειµένου που διδάσκεται στο θεωρητικό µέρος του µαθήµατος. Στην ουσία πρόκειται για µια συλλογή ασκήσεων που έχουν βρεθεί σε εγχειρίδια βιβλία και σηµειώσεις και τα οποία αναφέρονται στη βιβλιογραφία. Σε καµία περίπτωση δεν αποτελεί ικανό εργαλείο για την επιτυχή εξέταση του µαθήµατος, εφόσον µελετηθεί µόνον αυτό. Φιλοδοξώντας να υπάρξουν νεότερες εκδόσεις του παρόντος εγχειριδίου µε ακόµα περισσότερες και διαβαθµισµένου δείκτη δυσκολίας ασκήσεις πράξης στο µέλλον, επιζητείται κάθε καλοπροαίρετη πρόταση ειδικά από τους φοιτητές του Τµήµατος µας. Τέλος, είναι αυτονόητο ότι κάθε επισήµανση/παρατήρηση/εύρεση λαθών, είναι ευπρόσδεκτες από τους συγγραφείς. Α. Πολίτης Χ. Αναστασίου

3 Περιεχόµενα Σελ.. Θεωρία Συνόλων 4. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Αρχές Α αρίθµησης 5 4. εσµευµένη, Ολική Πιθανότητα και το Θεώρηµα ayes 9 5. Ανεξαρτησία 9 6. Τυχαίες Μεταβλητές 7. Βιβλιογραφία 9

4 . Θεωρία Συνόλων. ειγµατοχώρος Τυχαίου Πειράµατος Άσκηση. Να βρεθούν οι δειγµατοχώροι των τυχαίων πειραµάτων: α Ρίψη ενός τίµιου κέρµατος. β Ρίψη ενός τίµιου ζαριού. γ Επαναλαµβανόµενη ρίψη ενός τίµιου κέρµατος µέχρι να εµφανιστεί Κορώνα για πρώτη φορά. α Ο δειγµατοχώρος πεπερασµένος ενός κέρµατος είναι: Με Κ: Κορώνα και Γ: Γράµµατα. { Κ Γ} S, β Ο δειγµατοχώρος πεπερασµένος ενός ζαριού είναι: S {,,,4,5,6 } γ Ο κατάλληλος δειγµατοχώρος άπειρος αλλά αριθµήσιµος για το συγκεκριµένο πείραµα θα είναι: S Με Κ: Κορώνα και Γ: Γράµµατα. { Κ, ΓΚ, ΓΓΚ, ΓΓΓΚ, ΓΓΓΓΚ, ΓΓΓΓΓΚ,..., ΓΓΓΓΓ... Κ,... } Άσκηση. Να βρεθούν οι δειγµατοχώροι των τυχαίων πειραµάτων: α Ρίψη δύο τίµιων κερµάτων ταυτόχρονα. β Ρίψη δύο τίµιων ζαριών ταυτόχρονα. γ Ρίψη ενός τίµιου κέρµατος και ενός τίµιου ζαριού ταυτόχρονα. Και στις τρείς περιπτώσεις ο κατάλληλος σύνθετος δειγµατοχώρος προκύπτει από το καρτεσιανό γινόµενο των επιµέρους δειγµατοχώρων S S. α Οι επιµέρους δειγµατοχώροι θα είναι: 4

5 { Κ Γ} { Κ, } S και, S Γ Εποµένως ο δειγµατοχώρος του πειράµατος θα είναι: β Αναλόγως θα έχουµε: γ Παροµοίως: S S S S S S { ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} {,,,4,5,6} {,,,4,5,6 } S και S {,,,,,,...,,,,,,,...,6,4,6,5,6,6} { Κ Γ} {,,,4,5,6 } S και, S S S S { Κ,, Κ,, Κ,,..., Γ,4, Γ,5, Γ,6} Άσκηση. Τρία άτοµα Α, Β και Γ τοποθετούνται τυχαία σε τρία διαδοχικά καθίσµατα. Ποιός είναι ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος; Ο δειγµατικός χώρος θα είναι: S { ΑΒΓ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ} Άσκηση 4. Ένα κουτί περιέχει δύο µπάλες, µια άσπρη και µια µαύρη. Εκτελούµε το ακόλουθο πείραµα: αφαιρούµε τυχαία µια µπάλα, την επανατοποθετούµε µέσα στο κουτί και κάνουµε µια δεύτερη προσπάθεια. Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. Στην πρώτη προσπάθεια ενδέχεται να αφαιρέσουµε είτε την µαύρη είτε την άσπρη µπάλα. Εφόσον επανατοποθετούµε την µπάλα της πρώτης προσπάθειας µέσα στο κουτί, η δεύτερη προσπάθεια θα έχει τα ίδια πιθανά αποτελέσµατα. Εποµένως, ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος θα είναι: Με Α: Άσπρη και Μ: Μαύρη. S { Α, Α, Α, Μ, Μ, Α, Μ, Μ} } Στο ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε να οδηγηθούµε κάνοντας χρήση και του δενδροδιαγράµµατος. Το δενδροδιάγραµµα είναι ένας παραστατικός τρόπος για να περιγράψουµε την εκτέλεση του τυχαίου πειράµατος και αποτελεί πολλες φορές ένα αρκετά βοηθητικό εργαλείο. Για το συγκεκριµένο πείραµα το δενδροδιάγραµµα δίνεται στο παρακάτω σχήµα. 5

6 Άσκηση 5. Ένας φοιτητής εξετάζεται προφορικά σε τέσσερις διαδοχικές ερωτήσεις. Η εξέταση διακόπτεται όταν ο φοιτητής απαντήσει λάθος στην πρώτη ερώτηση ή σε δύο διαδοχικές. Τότε απορρίπτεται. Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. Εάν συµβολίσουµε µε Λ την λάθος απάντηση σε µία ερώτηση και µε Σ την σωστή, ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος θα είναι: S. Γεγονότα. { Λ, ΣΛΛ, ΣΛΣΣ, ΣΛΣΛ, ΣΣΛΣ, ΣΣΛΛ, ΣΣΣΣ, ΣΣΣΛ} } Ασκηση. Μετά την ρίψη ενός τίµιου ζαριού να προσδιοριστούν τα γεγονότα: α Α: η ένδειξη να είναι άρτιος αριθµός. β Β: η ένδειξη να είναι µικρότερη από. α Το γεγονός Α θα περιλαµβάνει τα εξής δειγµατοσηµεία: {,4,6} β Το γεγονός Β θα περιλαµβάνει τα εξής δειγµατοσηµεία: {,} 6

7 Άσκηση. Τρία άτοµα Α, Β και Γ τοποθετούνται τυχαία σε τρία διαδοχικά καθίσµατα. Να βρεθούν τα γεγονότα Ε ο Α να είναι δίπλα στον Β, και Ε ο Α δεν είναι δίπλα στον Γ. Όπως παρουσιάστηκε σε προηγούµενη άσκηση ο δειγµατικός χώρος θα είναι: S { ΑΒΓ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ} Από τα παραπάνω δειγµατοσηµεία, αυτά στα οποία ο Α είναι δίπλα στον Β είναι το ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΓΑΒ και ΓΒΑ. Εποµένως το γεγονός Ε θα είναι: Αναλόγως και για το Ε : E { ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΓΑΒ, ΓΒΑ} E { ΑΒΓ, ΓΒΑ} Άσκηση. Ένας φοιτητής εξετάζεται προφορικά σε τέσσερις διαδοχικές ερωτήσεις. Η εξέταση διακόπτεται όταν ο φοιτητής απαντήσει λάθος στην πρώτη ερώτηση ή σε δύο διαδοχικές. Τότε απορρίπτεται. Να βρεθούν τα γεγονότα: Αο φοιτητής απορρίφθηκε, Βο φοιτητής απάντησε λάθος στην τρίτη ερώτηση, Γο φοιτητής απάντησε λάθος στην τέταρτη ερώτηση, ο φοιτητής πέρασε, Εο φοιτητής απάντησε λάθος στην τρίτη ερώτηση και πέρασε. Σε προηγούµενη άσκηση προσδιορίσθηκε ο δειγµατοχώρος του πειράµατος όπως; παρακάτω: S { Λ, ΣΛΛ, ΣΛΣΣ, ΣΛΣΛ, ΣΣΛΣ, ΣΣΛΛ, ΣΣΣΣ, ΣΣΣΛ} } Εφόσον ο φοιτητής απορρίπτεται µε λάθος απάντηση στην πρώτη ερώτηση ή σε δύο διαδοχικές, το γεγονός Α θα είναι: Το γεγονός Β: Το γεγονός Γ: Το γεγονός : Α Β Γ { Λ, ΣΛΛ, ΣΣΛΛ} } { ΣΛΛ, ΣΣΛΣ, ΣΣΛΛ} } { ΣΛΣΛ, ΣΣΛΛ, ΣΣΣΛ} } 7

8 { ΣΛΣΣ, ΣΛΣΛ, ΣΣΛΣ, ΣΣΣΣ, ΣΣΣΛ} } Το γεγονός Ε θα προκύψει από την τοµή των γεγονότων Β ο φοιτητής απάντησε λάθος στην τρίτη ερώτηση και ο φοιτητής πέρασε: Ε Β {ΣΣΛΣ}} Άσκηση 4. Θεωρούµε τον δειγµατικό χώρο S s, s, s, s, s, s, s, } και ορίζουµε τα γεγονότα { s8 s, s, }, s, s, s, }, s, s, s, }. Να εκφραστούν µε συµβολισµό συνόλων { s { 4 s5 οι ακόλουθες περιπτώσεις: α c, β { 4 5 s8 c,γ c, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, ξ, ο, π, ρ c, σ c c, τ c. α Το συµπλήρωµα του γεγονότος Α θα είναι το γεγονός το οποίο ορίζεται ως εξής: c { s S : s }Εναλλακτικά µπορεί να ειπωθεί ότι: το συµπλήρωµα ενός γεγονότος συµβαίνει κάθε φορά που δεν συµβαίνει το γεγονός αυτό. Εποµένως: c s, s, s, s, }. β Οµοίως: c s, s, s, }. { 6 7 s8 γ Οµοίως: c s, s, s, }. { 6 s7 { s8 δ Η ένωση των γεγονότων Α και Α περιλαµβάνει όλα τα δειγµατοσηµεία που ανήκουν στο Α ή στο Α ή και στα δύο. Εποµένως: s, s, s, s, }. { 4 s5 ε Οµοίως: s, s, s, s, s, }. { 4 5 s8 ζ Οµοίως: s, s, s, s, }. { 4 5 s8 η Οµοίως: s, s, s, s, s, }. { 4 5 s8 θ Η τοµή των γεγονότων Α και Α περιλαµβάνει όλα τα δειγµατοσηµεία που ανήκουν και στο Α και στο Α. Εποµένως: s, }. ι Οµοίως: }. { s { s κ Οµοίως: s, s, }. { 4 s5 λ Οµοίως: }. { s 8

9 µ Η διαφορά των γεγονότων Α και Α περιλαµβάνει όλα τα δειγµατοσηµεία που ανήκουν στο Α και όχι στο Α. Εναλλακτικά: s S : s, s }. Άρα: }. ν Οµοίως: s, }. { 4 s5 ξ Οµοίως: s, }. { s ο Οµοίως: s, s, }. { 4 5 s8 π Οµοίως: }. { s ρ Οµοίως: }. { s 8 { { s σ Το συµπλήρωµα του συµπληρώµατος του γεγονότος Α θα είναι, προφανώς, το Α. Εναλλακτικά: c c { s, s, s. } c τ Οµοίως: c { s, s, s, s. 4 5} Άσκηση 5. Να σχεδιαστούν τα διαγράµµατα Venn για τα ερωτήµατα δ, θ και µ της προηγούµενης άσκησης. Το ερώτηµα δ ορίζει την ένωση των γεγονότων Α και Α. Περιλαµβάνει δηλαδή όλα τα στοιχεία πουτ ανήκουν είτε στο ένα είτε στο άλλό γεγονός είτε και στα δύο. Το ερώτηµα θ ορίζει την τοµή των γεγονότων Α και Α. Περιλαµβάνει δηλαδή τα δειγµατοσηµεία που είναι κοινά στα δύο γεγονότα. 9

10 Το ερώτηµα µ ορίζει την διαφορά των γεγονότων Α και Α. Περιλαµβάνει δηλαδή όλα τα δειγµατοσηµεία που ανήκουν στο Α και όχι αυτά που ανήκουν στο Α. Άσκηση 6. Έστω τα γεγονότα Α, Α και Α για κάποιο δειγµατικό χώρο S. Κάνοντας χρήση των γεγονότων αυτών, των συµπληρωµάτων τους, των ενώσεων και των τοµών τους να εκφραστούν τα παρακάτω γεγονότα: α D i το γεγονός i δεν πραγµατοποιείται, όπου i,,. β Ε όλα τα γεγονότα Α, Α και Α πραγµατοποιούνται. γ F δεν πραγµατοποιείται κανένα από τα γεγονότα Α, Α και Α. δ G τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα Α, Α και Α πραγµατοποιείται. ε Η ακριβώς δύο από τα γεγονότα Α, Α και Α πραγµατοποιείται. ζ Ι ακριβώς ένα από τα γεγονότα Α, Α και Α πραγµατοποιείται. η Να βρεθεί εναλλακτική έκφραση για το γεγονός G που να περιλαµβάνει κάποιο ή κάποια από τα γεγονότα των υπόλοιπων ερωτηµάτων. µπορείτε να βοηθηθείτε κάνοντας τα διαγράµµατα Venn. 0

11 α Το γεγονός D i είναι ισοδύναµο µε το συµπλήρωµα του γεγονότος i. ηλαδή: c c c D, D, D β Τα γεγονότα Α, Α και Α πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα όταν πραγµατοποιείται η τοµή τους. ηλαδή: E γ Για να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα γεγονότα Α, Α και Α θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί η τοµή των συµπληρωµάτων τους το αντίθετο του προηγούµενου ερωτήµατος. ηλαδή: c c c F δ Για να πραγµατοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα αρκεί να πραγµατοποιηθεί είτε το Α είτε το Α είτε το Α. ηλαδή, η ένωση τους: G ε Για να πραγµατοποιηθούν ακριβώς δύο από τα τρία, θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί η τοµή δυο γεγονότων µε το συµπλήρωµα του τρίτου. Κάνοντας ένα διάγραµµα Venn µπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι: H c c c ζ Με ανάλογο τρόπο µε αυτόν του προηγούµενου ερωτήµατος: c c c c c c I η Εύκολα µπορεί κανείς να καταλήξει ότι για να πραγµατοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα τρία γεγονότα Α, Α και Α πρέπει να συµβεί είτε η τοµή και των τριών τους το γεγονός Ε δηλαδή είτε ακριβώς δύο από τα τρία το γεγονός Η είτε ακριβώς ένα από τα τρία το γεγονός Ι. ηλαδή: G Ε Η Ι Άσκηση 7. Να επαληθευτεί ο νόµος του DeMorgan µε τη χρήση των διαγραµµάτων Venn. Ο νόµος του DeMorgan για δύο γεγονότα Α και Β ορίζει: c c c c c c ΑΒ Α Β και ΑΒ Α Β

12 Ας εξετάσουµε την πρώτη ισότητα, καθώς η επαλήθευση της δεύτερης µπορεί να γίνει µε ανάλογο τρόπο. Το διάγραµµα Venn για το πρώτο µέρος της ισότητας το συµπλήρωµα της ένωσης των γεγονότων Α και Β µπορεί να σχεδιαστεί όπως στο παρακάτω σχήµα. Άς εξετάσουµε τώρα ένα ένα ξεχωριστά, τα µέλη του δεύτερου µέρους της ισότητας. Το συµπλήρωµα του γεγονότος Α και το συµπλήρωµα του γεγονότος Β θα σχηµατιστούν όπως παρακάτω: Η τοµή των συµπληρωµάτων των δύο γεγονότων Α και Β µπορεί εύκολα να προσδιοριστεί ως ο χώρος που περιβάλλει την ένωση των δύο γεγονότων, καταλήγοντας έτσι στο πρώτο διάγραµµα Venn που σχεδιάσαµε. Με τον παραπάνω τρόπο µπορούµε εύκολα να επαληθεύσουµε τον νόµο του DeMorgan και για περισσότερα του ενός γεγονότα.

13 . Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Κλασσικός Ορισµός της Πιθανότητας. Άσκηση. Εκτελούµε το ακόλουθο πείραµα: ρίχνουµε ταυτόχρονα δύο τίµια ζάρια και σηµειώνουµε το άθροισµα των ενδείξεων τους. Να βρεθούν: α η πιθανότητα το άθροισµα να είναι άρτιος αριθµός. β η πιθανότητα το άθροισµα να είναι 4. γ η πιθανότητα το άθροισµα να είναι µεγαλύτερο του 9. Σύµφωνα µε τον κλασσικό ορισµό της πιθανότητας, θα πρέπει να προσδιορίσουµε το σύνολο των δειγµατοσηµείων του πειράµατος. Για το συγκεκριµένο πείραµα αυτό µπορεί να γίνει κατασκευάζοντας έναν πίνακα που περιλαµβάνει όλα τα πιθανά αθροίσµατα: α Από τον παραπάνω πίνακα µπορούµε εύκολα να εντοπίσουµε όλα τα άρτια αθροίσµατα 8, καθώς και το σύνολο των δειγµατοσηµείων 6 του πειράµατος: n n S β Τα αθροίσµατα των ενδείξεων που είναι ίσα µε 4, είναι στο σύνολο τους:,,,,,. Εποµένως, το γεγονός Β το άθροισµα των ενδείξεων των δύο ζαριών να είναι 4 αποτελείται από δειγµατοσηµεία:

14 n n S 6 0, 08 γ Το γεγονός G το άθροισµα να είναι µεγαλύτερο από 9 αποτελείται από 6 δειγµατοσηµεία: G{4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6}. Εποµένως: n G n S , 66 Άσκηση. Κάποιος παίκτης παίζει το παραπάνω παιχνίδι ρίψης των δύο τίµιων ζαριών. Κερδίζει όταν το άθροισµα τους είναι 7 ή, ενώ χάνει όταν είναι, ή. Για οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσµα δεν υπάρχει νικητής και το παιχνίδι επαναλαµβάνεται από την αρχή. Να βρεθούν: α η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει το παιχνίδι. β η πιθανότητα ο παίκτης να χάσει το παιχνίδι. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα που κατασκευάσαµε στην προηγούµενη άσκηση για να υπολογίσουµε τις πιθανότητες εµφάνισης των αθροισµάτων των ενδείξεων των δύο ζαριών. Κατασκευάζουµε, λοιπόν, τον παρακάτω πίνακα: Άθροισµα Πιθανότητα /6 /6 /6 4/6 5/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 α η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει ένα οποιοδήποτε παιχνίδι N θα είναι προφανώς η ένωση των γεγονότων: Α το άθροισµα της ρίψης των ζαριών είναι 7 και Β το άθροισµα της ρίψης των ζαριών είναι. Άρα: N + Αφού τα γεγονότα αυτά είναι ξένα τότε θα ισχύει: και εποµένως: N , β µε ανάλογο τρόπο η πιθανότητα ο παίκτης να χάσει ένα οποιοδήποτε παιχνίδι X θα είναι: X ,

15 Άσκηση. ύο φίλοι Χ και Υ παίζουν ένα παιχνίδι µε ένα τίµιο κέρµα. Ρίχνουν το κέρµα µια φορά και κατόπιν µια δεύτερη. Εάν έρθει Κεφαλή σε οποιαδήποτε από τις δύο ρίψεις, τότε κερδίζει ο Χ, ειδάλλως το παιχνίδι το κερδίζει ο Υ. Να βρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει ο Χ την παρτίδα. Το πρόβληµα αυτό αποτελεί ένα παράδειγµα του πόσο σηµαντικό είναι ο σωστός προσδιορισµός του δειγµατικού χώρου. Κάποιος θα µπορούσε να υποστηρίξει ότι ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι: S { ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Αποτελείται, δηλαδή, ο δειγµατοχώρος από τέσσερα δυνατά αποτελέσµατα. Στα τρία από αυτά ο παίκτης Χ κερδίζει το παιχνίδι και εποµένως η πιθανότητα νίκης του παίκτη Χ είναι ¾ 75%. Κάποιος άλλος θα µπορούσε να πεί ότι εάν το αποτέλεσµα της πρώτης ρίψης είναι Κεφαλή τότε δεν υπάρχει λόγος να συνεχιστεί το παιχνίδι µε την δεύτερη ρίψη καθώς από τους κανόνες του παιχνιδιού οποιοδήποτε αποτέλεσµα της δεύτερης ρίψης θα είναι ανούσιο ο Χ θα έχει κερδίσει την παρτίδα ήδη από την πρώτη ρίψη. Άρα, ο κατάλληλος δειγµατικός χώρος για την δεύτερη προσέγγιση θα είναι: S { Κ, ΓΚ, ΓΓ} ηλαδή, ο δειγµατοχώρος αποτελείται από τρία δυνατά ενδεχόµενα, εκ των οποίων στα δύο ο Χ κερδίζει το παιχνίδι. Η πιθανότητα νίκης του Χ θα είναι / ~ 66%, και όχι 75% σύµφωνα µε τον προηγούµενο συλλογισµό. Ωστόσο, η δεύτερη προσέγγιση υποθέτει την ισοπίθανη πραγµατοποίηση των ενδεχοµένων, πράγµα το οποίο είναι λανθασµένο. Όπως θα φανεί σε επόµενες ασκήσεις υπο συνθήκη πιθανότητα και ολική πιθανότητα ο δειγµατικός χώρος πράγµατι είναι αυτός της δεύτερης προσέγγισης αλλά µε διαφορετική κατανοµή πιθανοτήτων για κάθε ενδεχόµενο.. Αρχές Α αρίθµησης. Κανόνας Γινοµένου Άσκηση. α Ντύσου επιλέγοντας ένα πουκάµισο, ένα παντελόνι, ένα ζευγάρι παπούτσια και ένα καπέλο, από n πουκάµισα, n παντελόνια, n παπούτσια και n 4 καπέλα µε n 4, n, n n 4. β Σχηµάτισε όλους τους αριθµούς µε k ψηφία, επιλέγοντας τα k ψηφία από n διαφορετικούς αριθµούς µε k, n4. 5

16 γ Σχηµάτισε όλους τους δυνατούς κώδικες µήκους 4 ψηφίων κάνοντας χρήση των ψηφίων 0 και. α Εφαρµόζοντας τον κανόνα του γινοµένου το σύνολο των τρόπων που µπορεί να ντυθεί ένα άτοµο είναι: n n n n β Μπορούµε να θεωρήσουµε ότι το πείραµα ο σχηµατισµός των αριθµών ολοκληρώνεται σε k στάδια. Αφού σε κάθε στάδιο έχουµε n επιλογές, τότε εφαρµόζοντας τον κανόνα του γινοµένου µπορούµε να πούµε ότι όλοι οι αριθµοί που µπορούν να σχηµατιστούν είναι: n n γ Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να πούµε ότι το πείραµα χωρίζεται σε 4 στάδια όπου έχουµε δύο επιλογές 0 και. Εποµένως, εφαρµόζοντας τον κανόνα του γινοµένου θα έχουµε: Ε αληθέυστε το γ ερώτηµα µε τη βοήθεια δενροδιαγράµµατος. Άσκηση. Να βρεθούν όλες οι δυνατές πινακίδες αυτοκινήτων της µορφής ΓΓΓαααα όπου Γ είναι γράµµα της ελληνικής αλφαβήτου από ένα σύνολο 4 γραµµάτων, και αααα είναι ένας αριθµός από το 000 µέχρι το Ως γνωστόν οι ελληνικές πινακίδες διαθέτουν τρία γράµµατα τα οποία µπορούν να ληφθούν από 4 διαφορετικές επιλογές {Α,Β,Ε,Ζ,Η,Ι,Κ,Μ,Ν,Ο,Ρ,Τ,Υ,Χ} και τέσσερις αριθµούς εκ των οποίων ο πρώτος µπορεί να είναι -9 δηλαδή εννιά δυνατότητες και οι υπόλοιποι µπορεί να είναι από 0-9 δηλαδή δέκα επιλογές. Σύµφωνα, λοιπόν, µε τον κανόνα του γινοµένου όλες οι πιθανές πινακίδες που µπορεί να κυκλοφορούν είναι: Άσκηση : Πόσες λέξεις µε πέντε γράµµατα µπορούν να σχηµατιστούν χρησιµοποιώντας τα 6 γράµµατα του Αγγλικού αλφαβήτου, εάν: α εν υπάρχει κανένας περιορισµός. β Και τα πέντε γράµµατα πρέπει να είναι διαφορετικά. 6

17 α Εφόσον δεν υπάρχει κανένας περιορισµός µπορεί η κάθε λέξη να έχει το ίδιο γράµµα πάνω από µία φορές, όλες οι δυνατές λέξεις θα είναι: β Σε αυτή τη περίπτωση θα πρέπει το κάθε γράµµα να είναι διαφορετικό στην κάθε λέξη. Εποµένως, το πρώτο γράµµα της λέξης µπορεί να είναι ένα από τα 6 διαθέσιµα, το δεύτερο γράµµα µπορεί να επιλεγεί από 5 ένα έχει αφαιρεθεί αφού χρησιµοποιείται ως πρώτο γράµµα, το τρίτο επιλέγεται από 4 διαθέσιµα κ.ο.κ. Άρα, το σύνολο των λέξεων θα είναι:. Μεταθέσεις και Συνδυασµοί Άσκηση : Έχουµε τρία άτοµα Α, Β και Γ σε µια τάξη. α Εάν θέλουµε να τα τοποθετήσουµε τυχαία σε τρία διαδοχικά καθίσµατα, µε πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε να τα διατάξουµε; β Εάν θέλουµε τα άτοµα Α και Β να τα τοποθετήσουµε στα τρία καθίσµατα, µε πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε να τα διατάξουµε; γ Εάν επιλέξουµε τυχαία δυο από αυτά τα άτοµα για την ανάθεση µιας εργασίας, πόσους συνδυασµούς θα έχουµε; α Στο ερώτηµα αυτό µας ενδιαφέρει η διάταξη των ατόµων π.χ. το Α στην πρώτη θέση το Β στη δεύτερη κ.ο.κ. Επιχειρώντας, λοιπόν, να τοποθετήσουµε αυτά τα άτοµα στις θέσεις αυτές θα δούµε ότι για την πρώτη θέση έχουµε επιλογές. Για την δεύτερη επιλογές. Και για την τρίτη µας αποµένει µια επιλογή. Εποµένως, οι τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να διατάξουµε τα άτοµα είναι:! 6 Πράγµατι, όλες οι πιθανές διατάξεις των ατόµων θα είναι: {ΑΒΓ,ΑΓΒ,ΒΑΓ,ΒΓΑ,ΓΑΒ,ΓΒΑ}. Μ ορείτε να ε αληθέυσετε το α οτέλεσµα µε τη χρήση δενδροδιαγράµµατος. β Εδώ µας ενδιαφέρει η διάταξη αλλά µε λιγότερα άτοµα από ότι οι θέσεις. Άρα, εφαρµόζοντας τον τύπο των µεταθέσεων θα έχουµε µε n- αριθµός θέσεων και k-αριθµός ατόµων: n!! 6 6 n k!! 7

18 Πράγµατι, οι διαφορετικές διατάξεις θα είναι: {ΑΒ_,ΒΑ_,_ΑΒ,_ΒΑ,Α_Β,Β_Α}, όπου το σύµβολο _ αναπαριστά την κενή θέση. γ Στο ερώτηµα αυτό δεν µας ενδιαφέρει η διάταξη των ατόµων, αλλά οι επιλογές που µπορούµε να έχουµε οι δυνατοί συνδυασµοί. Εφόσον διαλέγουµε από τα τρία αυτά άτοµα n τα δύο k θα έχουµε: n! k! n k!! 6!! Πράγµατι, όλοι οι συνδυασµοί θα είναι: {ΑΒ, ΑΓ, ΓΒ}. Άσκηση : 8 αυτοκίνητα σταθµεύουν σε 0 θέσεις στάθµευσης. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει αυτό, εάν δεν µας ενδιαφέρει η θέση που θα καταλάβει το κάθε αυτοκίνητο; Πρόκειται για πρόβληµα συνδυασµών εφόσων δεν µας ενδιαφέρει η διάταξη των αυτοκινήτων. Εποµένως, οι δυνατές θέσεις είναι 0 και τα αυτοκίνητα είναι 8 θα έχουµε: n k n! 0! k! n k! 8!0 8! Άσκηση : Το διδακτικό προσωπικό ενός ακαδηµαϊκού τµήµατος ενός Πανεπιστηµίου αποτελείται από 4 επίκουρους καθηγητές, 6 αναπληρωτές καθηγητές και 5 καθηγητές. Επίσης, έχει 0 µεταπτυχιακούς φοιτητές. Πρόκειται να συσταθεί µια πενταµελής επιτροπή µε σκοπό να εξετάσει ένα θέµα του προγράµµατος σπουδών. α Ποιός είναι ο αριθµός όλων των δυνατών επιτροπών οι οποίες θα αποτελούνται µόνο από διδακτικό προσωπικό; β Πόσες επιτροπές µπορούν να σχηµατιστούν αν πρέπει να συµµετέχουν σε αυτές µεταπτυχιακοί φοιτητές και να αντιπροσωπεύονται όλες οι βαθµίδες; α Σε αυτό το υποερώτηµα µας ενδιαφέρουν οι συνδυασµοί. Έχουµε 5 µέλη διδακτικού προσωπικού που θα συστήσουν την επιτροπή. Εποµένως, εφαρµόζοντας τον τύπο των συνδυασµών µε n5 και k5 θα έχουµε: n 5 5! k 5 5!5 5! 5! 5! 0!

19 β Σε αυτή τη περίπτωση από τους 0 φοιτητές θα πρέπει να επιλεγούν. Σύµφωνα µε τους 0 συνδυασµούς όλες οι επιλογές θα είναι. Θα πρέπει να εκπροσωπούνται όλες οι βαθµίδες. Άρα, για 4 6 τους βοηθούς καθηγητές οι επιλογές θα είναι, για τους αναπληρωτές και για τους 5 καθηγητές. Άρα, όλες οι πιθανές επιτροπές θα είναι το γινόµενο των παραπάνω συνδυασµών: !!8! 4!!! 6!!5! 5!!4! εσµευµένη, Ολική Πιθανότητα και το Θεώρηµα ayes Άσκηση : Ρίχνουµε τρία κέρµατα, µία φορά το καθένα. Θεωρούµε τα γεγονότα Α θα έρθει ακριβώς δυο φορές Κορώνα και Β τα κέρµατα και θα έρθουν Κορώνα. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να συµβεί το γεγονός Β δεδοµένου ότι έχει συµβεί το γεγονός Α. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος «ρίψη κερµάτων» θα αποτελείται από: 8 δειγµατοσηµεία. Αυτά θα είναι: S{KKK,ΚΚΓ,ΚΓΚ,ΚΓΓ,ΓΚΚ,ΓΚΓ,ΓΓΚ,ΓΓΓ} Επαληθεύστε το µε τη χρήση δενδροδιαγράµµατος. Τα δειγµατοσηµεία είναι όλα ισοπίθανα. Το γεγονός Α θα αποτελείται από τα εξής δειγµατοσηµεία: Α{ΚΚΓ,ΚΓΚ,ΓΚΚ}. Ενώ το γεγονός Β θα έχει: Β{ΚΚΚ,ΚΚΓ}. Εποµένως, οι πιθανότητες και Β θα είναι: N N και N S 8 N S Η τοµή των γεγονότων Α και Β θα περιέχει τα δειγµατοσηµεία: ΑΒ{ΚΚΓ}. Και η πιθανότητα της θα είναι προφανώς: /8. Αναζητούµε την πιθανότητα να συµβεί το γεγονός Β δεδοµένου ότι έχει συµβεί το γεγονός Α. Την δεσµευµένη πιθανότητα, δηλαδή,. Εφαρµόζοντας την σχέση της δεσµευµένης πιθανότητας θα έχουµε:

20 Άσκηση : Ρίχνουµε δύο ζάρια από µία φορά. Θεωρούµε τα γεγονότα Α το άθροισµα των ενδείξεων τους είναι 5 και Β το άθροισµα των ενδείξεων τους είναι 4. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να συµβεί το γεγονός Β δεδοµένου ότι έχει συµβεί το γεγονός Α. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων της ρίψης των δύο ζαριών θα είναι Μπορούµε να κατασκευάσουµε τον πίνακα των αθροισµάτων των ενδείξεων όπως παρακάτω Το γεγονός Α θα περιέχει τα δειγµατοσηµεία: Α{,,,,,,,4,,,,,,,,,,,4,}, 0 δειγµατοσηµεία. Το γεγονός Β θα έχει δειγµατοσηµεία δεν τα παραθέτουµε για ευνόητους λόγους. Η τοµή των γεγονότων Α και Β θα έχει τα εξής δειγµατοσηµεία: ΑΒ{,,,4,,,,,,,,,4,}, 7 δειγµατοσηµεία. Εποµένως, οι αντίστοιχες πιθανότητες θα είναι: N 0 N N και και N S 6 N S 6 N S Η δεσµευµένη πιθανότητα που ζητάµε θα είναι:

21 Άσκηση : Ένα δοχείο περιέχει 0 πανοµοιότυπα σφαιρίδια, από τα οποία τα 5 είναι µαύρα, τα είναι κόκκινα και τα είναι άσπρα. Βγάζουµε τέσσερα σφαιρίδια ένα κάθε φορά χωρίς να τα επανατοποθετούµε στο δοχείο. Να βρεθεί η πιθανότητα το πρώτο σφαιρίδιο να είναι µαύρο, το δεύτερο κόκκινο, το τρίτο άσπρο και το τέταρτο µαύρο. Το πείραµα αποτελείται από τέσσερα στάδια. Μπορούµε να κάνουµε χρήση του ακόλουθου δενδροδιαγράµµατος: Στο δενδροδιάγραµµα φαίνεται µόνο η διαδροµή που µας ενδιαφέρει: Μ Κ Α Μ, καθώς επίσης και η εκάστοτε πιθανότητα για την µετάβαση σε κάθε στάδιο. Έτσι θα έχουµε: 5 M K M M K M M K Εµείς αναζητούµε την πιθανότητα MKM. Σύµφωνα, λοιπόν, µε το πολλαπλασιαστικό θεώρηµα θα έχουµε: 4 7 M K M M K M M K M 0.04 M K Άσκηση 4: Υποθέτουµε οτι έχουµε δύο δίδυµα αδέρφια και ότι η πιθανότητα και τα δύο παιδιά να είναι αγόρια είναι 0.0. Η πιθανότητα και τα δύο παιδιά να είναι κορίτσια είναι 0.6. Αν η πιθανότητα ότι το πρώτο παιδί είναι αγόρι είναι 0.5, να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α Το δεύτερο παιδί είναι αγόρι, δεδοµένου ότι το πρώτο παιδί είναι αγόρι. β Το δεύτερο παιδί είναι κορίτσι, δεδοµένου ότι το πρώτο παιδί είναι κορίτσι. γ Το πρώτο παιδί είναι αγόρι και το δεύτερο κορίτσι. Υ όδειξη: Συµβολίστε µε Α i και K i τα γεγονότα το i-παιδί να είναι αγόρι ή κορίτσι, αντίστοιχα, µε i,.

22 Από την εκφώνηση της άσκησης έχουµε τα εξής δεδοµένα: 0.0 K K α Σε αυτό το ερώτηµα αναζητούµε την. Εφαρµόζοντας την σχέση της δεσµευµένης πιθανότητας, εύκολα καταλήγουµε: β Η πιθανότητα προς εύρεση είναι η K K. Θα πρέπει, όµως να γνωρίζουµε την πιθανότητα το πρώτο παιδί να είναι κορίτσι: K Τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα: K K 0.6 K K 0.54 K 0.48 γ Τώρα µας ζητείται η πιθανότητα K. Σύµφωνα µε το πολλαπλασιαστικό θεώρηµα αυτή δίνεται από την σχέση: K K Είναι προφανές ότι επιβεβαιώστε το µε τη βοήθεια δενδροδιαγράµµατος: K Εποµένως: K Άσκηση 5: Εάν και > 0, να εκφραστούν οι πιθανότητες και µε τη βοήθεια των πιθανοτήτων και. Χρησιµοποιούµε την σχέση της υπό συνθήκης πιθανότητας όπως παρακάτω: + +

23 Αντίστοιχα: + + Άσκηση 6: Να δειχθεί ότι για τρία γεγονότα Α, Β και µε > 0 ισχύει: + Ξεκινούµε από το αριστερό µέλος της σχέσης και αναπτύσσουµε ως εξής: Κατόπιν εφαρµόζουµε τον προσθετικό κανόνα στον αριθµητή: Άσκηση 7: Να δειχθεί ότι για δύο γεγονότα Α και Β µε > 0 ισχύει: Ξεκινούµε από το αριστερό µέλος της σχέσης και αναπτύσσουµε όπως παρακάτω: Σε αυτό το σηµείο µπορούµε να κάνουµε χρήση ενός διαγράµµατος Venn αφήνεται στον αναγνώστη να το επιβεβαιώσει. Το συµπλήρωµα του γεγονότος Α θα είναι όλος ο χώρος γύρω από το γεγονός Α και η τοµή του µε το γεγονός Β θα είναι το γεγονός Β εκτός από την τοµή του µε το Α. Άρα:

24 Άσκηση 8: Ένα σήµα αποστέλλεται από ένα σηµείο Α σε ένα σηµείο Β διαµέσου δύο διακοπτών Ι και ΙΙ οι οποίοι βρίσκονται συνδεδεµένοι σε σειρά. Υποθέτουµε ότι οι διακόπτες Ι και ΙΙ είναι κλειστοί µε πιθανότητες I K 0. 8 και II K 0. 6, αντίστοιχα. Έστω επίσης ότι ισχύει: II I II. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: K K K i Το σήµα παραλαµβάνεται στο σηµείο Β. ii Η δεσµευµένη πιθανότητα να είναι ανοικτός ο διακόπτης Ι, δεδοµένου ότι το σήµα δεν παρελήφθη στο σηµείο Β. iii Η δεσµευµένη πιθανότητα να είναι ανοικτός ο διακόπτης ΙΙ, δεδοµένου ότι το σήµα δεν παρελήφθη στο σηµείο Β. i Για να παραληφθεί το σήµα στο σηµείο Β θα πρέπει και οι δύο διακόπτες να είναι κλειστοί. Ζητούµε δηλαδή την πιθανότητα I K II : K I II II I I K K K ii Για να µην παραληφθεί το σήµα στο σηµείο Β θα πρέπει είτε ο διακόπτης Ι είτε ο ΙΙ να είναι ανοικτός. Ζητούµε δηλαδή την πιθανότητα I I II : K K I I II I I II I II I I II η ισότητα στον αριθµητή επαληθεύεται αµέσως µε τη βοήθεια διαγράµµατος Venn. Το µόνο που αποµένει σε αυτό το σηµείο είναι ο προσδιορισµός της τιµής του παρονοµαστή. Το γεγονός ένας διακόπτης να είναι ανοικτός, είναι το συµπλήρωµα του γεγονότος αυτός να είναι κλειστός. Κάνοντας χρήση και του κανόνα του DeMorgan µπορούµε να έχουµε: Εύκολα λοιπόν υπολογίζουµε: I II I II I II I II 0.5 K K K I 0. I I II 0.84 I II 0.5 iii Το ερώτηµα αυτό απαιτεί την ίδια διαδικασία, µόνο που ζητείται η πιθανότητα II I II. Αναλόγως, αυτή η πιθανότητα θα είναι: K K K 4

25 II 0.4 II I II I II 0.5 Άσκηση 9: Ένα κουτί περιέχει 5 πανοµοιότυπα σφαιρίδια, τα 0 εκ των οποίων είναι κόκκινα και 5 είναι µαύρα. Βγάζουµε διαδοχικά τέσσερα σφαιρίδια χωρίς επανατοποθέτηση. Υπολογίστε την πιθανότητα το πρώτο και το τέταρτο σφαιρίδιο να είναι κόκκινα. Από την εκφώνηση µπορούµε εύκολα να συµπεράνουµε ότι το πείραµα µας αποτελείται από τέσσερα στάδια. Είναι, εποµένως, χρήσιµο να κατασκευάσουµε ένα δεδνροδιάγραµµα: Στο δενδροδιάγραµµα µας ενδιαφέρουν µόνο οι διαδροµές που στο πρώτο και στο τέταρτο στάδιο καταλήγουν σε Κ. Σε κάθε στάδιο φαίνεται και η πιθανότητα επιλογής σφαιριδίου. Ζητούµε, λοιπόν, την πιθανότητα K X X K, όπου Χ είναι το χρώµα των σφαιριδίων στα στάδια και τα οποία µπορεί να είναι είτε Κ είτε Μ. Σύµφωνα µε το θεώρηµα της ολικής πιθανότητας θα έχουµε: K X X K K K K K + K K M K + K M K K + K M M K Και για κάθε µια πιθανότητα εφαρµόζουµε το πολλαπλασιαστικό θεώρηµα: K K K K K K M K K M K K

26 Τέλος, η πιθανότητα προς αναζήτηση θα είναι: K M M K K X X K Άσκηση 0: ύο φίλοι Χ και Υ παίζουν ένα παιχνίδι µε ένα τίµιο κέρµα. Ρίχνουν το κέρµα µια φορά, εξετάζουν το αποτέλεσµα και κατόπιν µια δεύτερη. Εάν έρθει Κεφαλή σε οποιαδήποτε από τις δύο ρίψεις, τότε κερδίζει ο Χ, ειδάλλως το παιχνίδι το κερδίζει ο Υ. Να βρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει ο Χ την παρτίδα. Πρόκειται για την άσκηση που χρησιµοποιήθηκε για την ανάδειξη της σηµασίας εύρεσης του σωστού δειγµατοχώρου. Ο σωστός δειγµατοχώρος πράγµατι αποτελείται από τα δειγµατοσηµεία {Κ,ΓΚ,ΓΓ} τα οποία όµως δεν είναι ισοπίθανα. Αυτό µπορεί εύκολα να προκύψει από την χρήση ενός δενδροδιαγράµµατος: Κ Κ Γ Γ Το παιχνίδι εκκινεί µε την πρώτη ρίψη του νοµίσµατος. Εποµένως, έχουµε δύο ισοπίθανα ενδεχόµενα Κ και Γ, µε K 0.5 και Γ 0.5. Εάν έρθει Κεφαλή, τότε το παιχνίδι σταµατά και κερδίζει ο Χ. Γι αυτό το λόγο δεν συνεχίζεται το δενδροδιάγραµµα έπειτα από το ενδεχόµενο Κ. Εάν έρθει Γράµµατα τότε το παιχνίδι συνεχίζεται µε την δεύτερη ρίψη. Τότε θα έχουµε τα ενδεχόµενα να έρθει Κ αφού έχει έρθει Γ στην πρώτη ρίψη και Γ αφού έχει έρθει Γ στην πρώτη ρίψη. Εποµένως, θα έχουµε τις υπό συνθήκη πιθανότητες K Γ 0.5 και Γ Γ 0.5. Από τους τύπους της δεσµευµένης πιθανότητας θα έχουµε: K Γ K Γ K Γ Γ Αντίστοιχα θα ισχύει και Γ Γ Εποµένως, η πιθανότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων Κ, ΓΚ και ΓΓ θα είναι 0.5, 0.5 και 0.5 αντίστοιχα. 6

27 Για να βρούµε την πιθανότητα ο Χ να κερδίσει το παιχνίδι αρκεί να βρούµε την πιθανότητα να έρθει Κ είτε στην πρώτη είτε στην δεύτερη ρίψη. Εφαρµόζοντας τον τύπο της ολικής πιθανότητας θα έχουµε: K K + K Γ Άσκηση : Σε ένα συγκεκριµένο σταθµό πώλησης καυσίµων, τα ποσοστά των οδηγών που χρησιµοποιούν αµόλυβδη, ενισχυµένη αµόλυβδη και υψηλής ποιότητας αµόλυβδη βενζίνη είναι 40%, 5% και 5%, αντίστοιχα. Τα αντίστοιχα ποσοστά µε τα οποία οι οδηγοί επιλέγουν να γεµίσουν πλήρως τις δεξαµενές τους είναι 0%, 50% και 60%. Ποια είναι η πιθανότητα ένας οδηγός αυτοκινήτου που θα επιλεγεί τυχαία από τους ιδιοκτήτες του πρατηρίου, να γεµίσει πλήρως τη δεξαµενή καυσίµου του; Ας συµβολίσουµε µε Α, Ε και Υ τα γεγονότα ένας οδηγός να βάλει Αµόλυβδη, Ενισχυµένη αµόλυβδη και Υψηλής ποιότητας αµόλυβδη βενζίνη, αντίστοιχα. Επίσης, ας συµβολίσουµε µε Φ το γεγονός ένας οδηγός να γεµίσει πλήρως το ρεζερβουάρ του. Από τα δεδοµένα της άσκησης θα έχουµε: 0.4, E0.5, Y0.5, Φ Α0., Φ Ε0.5 και Φ Υ0.6. Αναζητούµε την πιθανότητα Φ η οποία µπορεί να γραφτεί σύµφωνα µε τον τύπο της ολικής πιθανότητας: Φ ΦΑ + ΦΕ + ΦΥ Εύκολα µπορούν να προσδιοριστούν οι επιµέρους πιθανότητες από τον τύπο της δεσµευµένης πιθανότητας: Άρα ΦΑ Φ E Φ Y Φ Άσκηση : Από ένα πληθυσµό που αποτελείται από 5% γυναίκες και 48% άνδρες, επιλέγεται στην τύχη ένα άτοµο, το οποίο βρίσκεται ότι πάσχει από διαβήτη. Αν υποθέσουµε ότι οι αναλογίες των πασχόντων από διαβήτη στις γυναίκες και τους άνδρες είναι 5% και 5%, αντίστοιχα, ποια είναι η πιθανότητα το άτοµο που επιλέχθηκε να είναι άνδρας; 7

28 Ας συµβολίσουµε µε Μ, W και τα γεγονότα ένα άτοµο να είναι άνδρας, γυναίκα και να πάσχει από διαβήτη, αντίστοιχα. Οι πιθανότητες που µας δίνονται από την εκφώνηση είναι: M 0.48, W 0. 5, M 0. 05, W 0. 5 Εµείς ψάχνουµε την πιθανότητα M. Αυτή θα δίνεται: M M Ας ξεκινήσουµε προσδιορίζοντας την πιθανότητα ένα άτοµο να έχει διαβήτη. Από τα δεδοµένα της άσκησης θα έχουµε: M M M W W W Με χρήση της ολικής πιθανότητας προσδιορίζουµε την : Με απλή αντικατάσταση, καταλήγουµε: M + W M 0.04 M Άσκηση : Τρείς µηχανές Ι, ΙΙ και ΙΙΙ, συναρµολογούν το 0%, 0% και 40%, αντίστοιχα, του συνόλου των τηλεοράσεων µιας εταιρίας. Από αυτές το 4%, το % και το %, αντίστοιχα είναι ελαττωµατικά. Επιλέγουµε τυχαία µια τηλεόραση από το σύνολο και ελέγχουµε εάν είναι ελαττωµατική ή όχι. i Ποια η πιθανότητα η τηλεόραση αυτή να είναι ελαττωµατική; ii Εάν όντως είναι ελαττωµατική, ποια η πιθανότητα να έχει κατασκευαστεί από την µηχανή Ι; iii Η ίδια ερώτηση µε το υποερώτηµα ii, αυτή τη φορά για τις µηχανές ΙΙ και ΙΙΙ. i Η εκφώνηση µας δίνει τις εξής πιθανότητες: I0., II0. και III0.4. Επίσης µας δίνει τις δεσµευµένες πιθανότητες µια τηλεόραση να είναι ελαττωµατική γεγονός Ε δεδοµένου ότι έχει προέλθει από µία από τις µηχανές Ι, ΙΙ και ΙΙΙ: E I0.04, E II0.0 και E III0.0. 8

29 Η πιθανότητα µια τυχαία τηλεόραση να είναι ελαττωµατική E θα προκύψει εφαρµόζοντας το θεώρηµα της ολικής πιθανότητας: E E I + E II + E III ii Ζητούµε την πιθανότητα I E: I E 0.0 I E 0.4 E 0.09 iii Αναλόγως καταλήγουµε ότι II E0. και III E Ανεξαρτησία Γεγονότων Άσκηση : Ένα ποντίκι είναι εγκλωβισµένο σε ένα λαβύρινθο και πρέπει να περάσει από τρείς διαδοχικές παγίδες για να µπορέσει να απελευθερωθεί. Οι παγίδες λειτουργούν ανεξάρτητα και οι πιθανότητες να περάσει το ποντίκι επιτυχώς από αυτές είναι 0.6, 0.4 και 0., αντίστοιχα. Να υπολογιστούν οι ακόλουθες πιθανότητες: i Το ποντίκι θα καταφέρει να βγει από τον λαβύρινθο. ii Το ποντίκι δεν θα τα καταφέρει. i Ας συµβολίσουµε µε K, K και Κ τα γεγονότα ότι το ποντίκι θα καταφέρει να περάσει από τις παγίδες, και, αντίστοιχα. Θα έχουµε δηλαδή K 0.6, K 0.4 και K 0.. Για να µπορέσει το ποντίκι να απελευθερωθεί θα πρέπει να περάσει επιτυχώς Ε από όλες τις παγίδες. Άρα: E K K K K K K ii Εύκολα βρίσκουµε ότι: E E Άσκηση : Ηλεκτρικό ρεύµα µεταδίδεται από ένα σηµείο Α σε ένα σηµείο Β διαµέσου Ν διακοπτών που είναι συνδεδεµένοι παράλληλα. Υποθέτουµε ότι οι Ν διακόπτες κλείνουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο και µε αντίστοιχες πιθανότητες p, p,, p N. Να υπολογιστούν οι ακόλουθες πιθανότητες: 9

30 i Κανένας διακόπτης δεν είναι κλειστός. ii Τουλάχιστον ένας διακόπτης είναι κλειστός. iii Ακριβώς ένας διακόπτης είναι κλειστός. iv Πώς θα γίνουν οι εκφράσεις εάν p p p N i Σε αυτό το ερώτηµα αναζητούµε την πιθανότητα όλοι οι διακόπτες να είναι ανοικτοί. Ας συµβολίσουµε τον κάθε διακόπτη µε έναν αύξον αριθµό,,, Ν. Και το γεγονός ότι αυτός είναι ανοικτός µε το γράµµα Α. Έτσι εύκολα µπορούµε να γράψουµε την πιθανότητα που αναζητούµε... N N p p p N ii Τώρα ζητούµε την πιθανότητα τουλάχιστον ένας διακόπτης να είναι κλειστός:... N... N p p p iii Ζητείται η πιθανότητα: N... N... N N Τα σύνθετα γεγονότα µέσα στις παρενθέσεις είναι αµοιβαία αποκλειόµενα δεν µπορούν να συµβούν ταυτόχρονα µεταξύ τους. Εφαρµόζοντας, λοιπόν, τον προσθετικό κανόνα στην απλουστευµένη του µορφή λόγω των αµοιβαίων αποκλειόµενων γεγονότων καταλήγουµε: p p pn + p p p N p p p N iv Με απλή αντικατάσταση θα έχουµε για το ερώτηµα i -p N, για το ii --p N και το iii Νp-p N-. Άσκηση : Αν τα γεγονότα Α, Β και είναι ανεξάρτητα, να δείξετε ότι: i Τα γεγονότα Α και Β είναι επίσης ανεξάρτητα. ii Να υπολογιστεί η πιθανότητα Β σε συνάρτηση των πιθανοτήτων και. p N 0

31 i Για να είναι τα γεγονότα Α και Β ανεξάρτητα θα πρέπει να ισχύει Α Β και Β ΑΒ. Αναπτύσσουµε ως εξής: [ ] Με αντίστοιχο τρόπο καταλήγουµε και στο Β ΑΒ. ii Αναπτύσσουµε ως εξής: + + Φυσικά υπάρχει και απλούστερος τρόπος για να καταλήξουµε στο παραπάνω αποτέλεσµα. Αφού Β ΑΒ θα έχουµε: Τυχαίες Μεταβλητές, Μέση Τιµή και Κατανοµές Άσκηση : Ένα περιοδικό δηµοσιεύει τις φωτογραφίες τριών ηθοποιών, έστω Α, Β, Γ, και ζητά από τους αναγνώστες να αντιστοιχίσουν σωστά τα ονόµατα τους. Θεωρούµε την τυχαία µεταβλητή Χ η οποία προσδιορίζει τον αριθµό των σωστών αντιστοιχίσεων. Εάν ένας αναγνώστης που δεν ξέρει καθόλου τους ηθοποιούς προσπαθήσει να αντιστοιχίσει τα ονόµατα στις φωτογραφίες, να βρεθούν: i Οι τιµές που µπορεί να πάρει η X. ii Η πιθανότητα να µην υπάρξει καµία σωστή αντιστοίχιση. iii Η πιθανότητα όλες οι αντιστοιχίσεις να είναι σωστές. i Ας υποθέσουµε ότι η σωστή σειρά αντιστοίχισης είναι Α, Β, Γ. Ο δειγµατικός χώρος θα είναι:

32 {ΑΒΓ,ΑΓΒ,ΒΑΓ,ΒΓΑ,ΓΑΒ,ΓΒΑ}. Τα δειγµατοσηµεία δίνουν τις εξής τιµές στην Χ, αντίστοιχα: Χ,Χ,Χ,Χ0,Χ0,Χ. Άρα οι τιµές που παίρνει η τ.µ. Χ είναι 0,,. ii Ζητείται η πιθανότητα X0. Εύκολα καταλήγουµε ότι: iii Παρόµοια: X 0 6 X 6 Άσκηση : Ρίχνουµε δύο τίµια ζάρια ταυτόχρονα. Έστω η τ.µ. Χ στην οποία αναθέτουµε το αποτέλεσµα του αθροίσµατος των ενδείξεων των δύο ζαριών. α Να βρεθούν οι πιθανότητες X 5 και X 9. β Να σχεδιαστεί η συνάρτηση µάζας πιθανότητας fxxx α Κατασκευάζουµε τον πίνακα µε όλα τα πιθανά αθροίσµατα Για την πιθανότητα X 5 θα έχουµε: 4 9 X 5 X + X 4 + X Αντίστοιχα για την X 9: 4

33 4 X 9 X 9 + X 0 + X + X β Η γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης µάζας πιθανότητας µπορεί να προκύψει εύκολα και µε την χρήση του παρακάτω πίνακα: Τιµή τυχαίας µεταβλητής Χ Πιθανότητα pxfx /6 /6 4 /6 5 4/6 6 5/6 7 6/6 8 5/6 9 4/6 0 /6 /6 /6 Αναπαριστώντας γραφικά τις τιµές του παραπάνω πίνακα θα έχουµε το γράφηµα της συνάρτησης µάζας πιθανότητας. 0 6

34 Άσκηση : Έστω η συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ η οποία παίρνει τιµές στο διάστηµα [,] µε πυκνότητα: f x a x Να βρεθεί η σταθερά α. Από την εκφώνηση µπορούµε να συµπεράνουµε ότι η Χ στο R-[,] θα είναι µηδέν. ηλαδή fx0 όταν το x ανήκει στο R-[,]. Εφόσον η fx είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα πρέπει να ισχύει: Έχουµε: f x dx f x dx a a a dx x 0dx + a dx + x 0dx a dx a x x + x dx a + a [ x ] a + Θα πρέπει: a άρα a και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα είναι: για x f x x 0 αλλού Άσκηση 4: Η συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: x f x 0 c για0 x για x < 0ή x > Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς c c -. 4

35 Για να είναι η f συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα πρέπει να ισχύει: Εποµένως: f x dx f x dx 0 0dx + 0 x c dx + 0dx 0 x c c+ x dx c + 0 c+ 0 c + c + Τέλος θα έχουµε: c + c Άρα η f θα ορίζεται όπως ακολούθως: x f x 0 για 0 x για x < 0ή x > Άσκηση 5: Ρίχνονται δύο ζάρια. Να βρεθεί η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής που προσδιορίζει το άθροισµα των ενδείξεων τους. ιαισθητικά µπορεί εύκολα κανείς να υποστηρίξει ότι η µέση τιµή της διακριτής τυχαίας µεταβλητής θα είναι ίση µε 7. Πράγµατι, κάνοντας χρήση του ορισµού της µέσης τιµής µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής θα καταλήξουµε στο ίδιο αποτέλεσµα: E X i xi p x i Άσκηση 6: Μια τυχαία µεταβλητή έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: x f x 0 για0 x αλλού Να βρεθεί η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής. 5

36 Η τυχαία µεταβλητή είναι συνεχής στο διάστηµα [0,]. Η µέση τιµή της θα δίνεται: Αναπτύσσοντας θα έχουµε: E X xf x dx 0 x x E X xf x dx dx x dx dx dx 0 0 [ x ] 0 x Άσκηση 7: Ένα νόµισµα τίµιο ρίχνεται διαδοχικά για 5 φορές. α Να σχεδιαστεί το διάγραµµα της πιθανότητας να έρθει κεφαλή k φορές όπου k0,,,,4,5. β Να βρεθεί η µέση τιµή του αριθµού κεφαλών στο τέλος της διαδικασίας. α Πρόκειται για διωνυµική κατανοµή. Το πείραµα µας αποτελείται δηλαδή από n5 διαδοχικές δοκιµές ernoulli. Εάν αναθέσουµε στην τυχαία µεταβλητή Χ διακριτή τον αριθµό των κεφαλών που θα προκύψουν έπειτα από τις διαδοχικές ρίψεις του νοµίσµατος, η πιθανότητα Χk όπου k0,,,,4,5 θα δίνεται από τη σχέση: X n k k n k k p p Όπου p η πιθανότητα επιτυχίας η πιθανότητα να έρθει κεφαλή σε κάθε ρίψη του νοµίσµατος. Θα έχουµε, λοιπόν: 6

37 X X X X X X ! !5! 5!!4! ! 0.5!! 5! 0.5!! 5! !! 5! !0! Το διάγραµµα που θα προκύψει θα είναι: Xk k β Η µέση τιµή της διακριτής τυχαίας µεταβλητής Χ θα είναι: E X 5 k 0 kp k

38 Άσκηση 8: Ένας καθηγητής επικοινωνεί µε τους φοιτητές του µέσω . Τα µηνύµατα φτάνουν στη θυρίδα του καθηγητή µε µέσο ρυθµό ένα µήνυµα κάθε έξι ώρες και απαντώνται από αυτόν µε µέσο ρυθµό ένα µήνυµα ανά οκτώ ώρες. Με βάση τα στοιχεία αυτά: i. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο καθηγητής να λάβει τρία τουλάχιστον µηνύµατα σε µία µέρα; ii. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο καθηγητής να απαντήσει σε δύο µηνύµατα σε µία ηµέρα; iii. Αν ο µέσος ρυθµός λήψης των µηνυµάτων από τον καθηγητή παραµείνει ο ίδιος αλλά ο µέσος ρυθµός απάντησης αυξηθεί κατά 70%, να υπολογιστεί η πιθανότητα να προλαβαίνει να απαντάει σε 4 τουλάχιστον µηνύµατα καθηµερινά; Ας υποθέσουµε αρχικά τις δύο τυχαίες µεταβλητές X in ο αριθµός των εισερχοµένων µηνυµάτων και X out ο αριθµός των εξερχοµένων απαντηµένων µηνυµάτων, οι οποίες λαµβάνουν τιµές σύµφωνα µε την oisson κατανοµή. Κατόπιν ας υπολογίσουµε τον ρυθµό λ in και λ out. λ 4 4 4µην ηµ έρα και λ out µην / ηµ έρα 6 8 in / i Σε αυτή την ερώτηση αναζητούµε την X in. Θα έχουµε: [ X 0 + X + X ] X X < in in Σύµφωνα µε την oisson κατανοµή, η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να πάρει µια συγκεκριµένη τιµή σε ένα χρονικό διάστηµα δίνεται από: in in in X x e t x λt λ x! όπου t ηµέρα. Άρα θα έχουµε: X in X in < e ! + e 4 4! + e 4 4 e! e ii Τώρα, θέλουµε να προσδιορίσουµε την πιθανότητα X out. Εύκολα προκύπτει: X out e t λ out t λout x! x e! 4.5 e 0.6 8

39 iii Σε αυτή την περίπτωση το λ out θα µεγαλώσει κατά 0.7. µην/ηµέρα. Άρα συνολικά ο καθηγητής θα απαντά σε 5. µην/ηµέρα. Ζητούµε, λοιπόν, την πιθανότητα X out 4 µε το ανανεωµένο λ out. Θα έχουµε: X out e 5. 4 X 5. 0! 0 + e 5. out 5.! [ X + e 5. 5.! + e in X 5.! in e + X 5. in + X ] in 7. Βιβλιογραφία. Γ. Ζιούτας, Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς, Εκδόσεις Ζήτη, Γ. Ρούσσας, Εισαγωγή στην Πιθανοθεωρία, Εκδόσεις Ζήτη, 0.. Α. Παπούλης, Πιθανότητες, Τυχαίες Μεταβλητές και Στοχαστικές ιαδικασίες, Εκδόσεις Τζιόλα, Σ. Κουνιάς και Χ. Μωυσιάδης, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι, Εκδόσεις Ζήτη, K. Weltner, J. Grosjean,. Schuster and W. J. Weber, Mathematics for Engineers and Scientists, Stanley Thornes Ltd, Κουϊρουκίδης, Πιθανότητες-Στατιστική, TEI Σερρών,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 1 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Ο εκφωνητής του δελτίου καιρού δίνει

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης,

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν Ω είναι δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. *

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Βασικές Έννοιες Πιθανότητας 0 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ, ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ, ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα.. Δειγματοχώρος και Δειγματοσημεία..3 Σύνθετος Δειγματοχώρος...4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ6 / ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ # - Λύσεις Ασκήσεων Θέµα Α Έστω T t ο µέσος χρόνος µετάδοσης ενός πλαισίου δεδοµένων και Τ f, αντίστοιχα, ο χρόνος µετάδοσης πλαισίου επιβεβαίωσης αρνητικής, na, ή θετικής ac

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

3ο Φροντιστηριο ΗΥ217

3ο Φροντιστηριο ΗΥ217 3ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 30 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση 0.1 Εχουµε 3 κέρµατα. Το ένα από αυτά έχει κορώνα και στις δύο πλευρές, το άλλο έχει γράµµατα και στις δύο πλευρές, και το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. ιάταξη φυσικών αριθµών 2. Στρογγυλοποίηση 3. Πρόσθεση-Αφαίρεση-Πολλαπλασιασµός 4. υνάµεις 5. Ευκλείδεια ιαίρεση 6. ιαιρετότητα-μκ

Διαβάστε περισσότερα