ELEKTROTEHNIKA 1 ELEKTROSTATIKA ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEKTROTEHNIKA 1 ELEKTROSTATIKA ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORI"

Transcript

1 ELEKTROTEHNIKA 1 ELEKTROSTATIKA ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORI 1

2 ELEKTROSTATIKA SADRŽAJ Električki kapacitet i kondenzatori 2

3 ELEKTRIČKI KAPACITET I KONDENZATORI Uvodna razmatranja Elektrostatika je dio nauke o elektricitetu koji govori o pojavama koje nastaju u prostoru u kojem električni naboji miruju. U poglavlju o naponu, struji i otporu opisani su naboji i sile koje djeluju u okolnom prostoru. Govori se o tijelima koji su suprotno nabijeni. Takva se dva tijela mogu dobiti tako da se na izvor istosmjernog konstantnog napona U priključe dvije, prethodno električki neutralne, metalne ploče, prema slici. 3

4 4

5 U metalnim pločama, s obzirom da se radi o vodičima, ima veliki broj slobodnih elektrona koji nisu međuatomskim silama vezani za svoje jezgre a mnoštvo je i valentnih elektrona na koje djeluju i najmanje privlačne sile. U neutralnom stanju dakle, obije ploče imaju isti broj slobodnih elektrona, kao što pokazuje slika 1a. Priključivanjem navedenih ploča na izvor napajanja napona U (V S ), slika 1b, dolazi do putovanja elektrona sa lijeve ploče prema + polu izvora, pa na toj ploči prevladava (zbog manjka elektrona) pozitivan naboj, dok sa pola izvora prema desnoj ploči teče upravo isti taj broj elektrona kako bi se uspostavila električna ravnoteža na obim pločama. 5

6 Dakle, bez obzira što je strujni krug otvoren u jednom kratkom trenutku strujnim krugom poteče struja. Uspostavljenom ravnotežom, jednak broj pozitivnog i negativnog naboja na pločama, slika 1c, prestaje teći struja a na pločama se uspostavi napon U c, koji je po iznosu jednak naponu izvora a po smjeru suprotan. Ako se nakon toga odspoje te dvije metalne ploče između kojih je neko izolacijsko sredstvo (zrak, vakum ili neki drugi materijal) u idealnim uvjetima, nagomilani pozitivni i negativni naboji ostaju i dalje međusobno vezani, naboji su pohranjeni a između ploča vlada i dalje napon, slika 1d. Napunjene ploče mogu djelovati kao privremena baterija. 6

7 7

8 Jedinica kojom se mjeri kapacitet C slijedi iz jednadžbe (1): Q As C F U V Jedinica F naziva se farad a manje jedinice su microfarad (µf=10 6 F),nanofarad (nf =10 9 F) picofarad (pf=10 12 F). Kapacitet od jednog farada ima onaj kondenzator koji pri naponu od jednog volta primi na sebe električki naboj od jednog kulona (ampersekunda). 8

9 S kapacitetom treba računati uvijek gdje su električni vodiči ili električki vodljivi dijelovi pod naponom odvojeni izolatorom. Međutim, u mnogim je uređajima često potreban neki točno određeni kapacitet pa se u tom slučaju ugrađuju posebni elementi koji se nazivaju kondenzatori. Električni kondenzatori su u biti, sustav dviju vodljivih ploča (elektroda) odvojenih izolatorom. Omjer na kondenzatoru razdvojenog naboja Q i pri tom uspostavljenog napona U je karakteristika koja se naziva, kao što je prethodno već rečeno, električni kapacitet C. Simbol za kondenzator prikazan je na slici. 9

10 1. Karakteristične veličine i podjela kondenzatora Karakteristične veličine kondenzatora su: radni napon: vrijednost istosmjernog ili efektivna vrijednost izmjeničnog napona određene frekvencije kojim kondenzator smije biti opterećen u trajnom radu, maksimalni napon: najveća vrijednost napona između obloga kondenzatora koju on podnosi bez oštećenja, temperaturno područje rada: područje između najviše i najniže temperature okoline u kojemu kondenzator još radi zadovoljavajuće, kut gubitaka: gubici u kondenzatoru izraženi kutem gubitaka (δ = 90 0 φ ) pri kružnoj frekvenciji ω. Gubici su posljedica nesavršenosti dielektrika između obloga kondenzatora te gubici izolatora zbog njegove polarizacije. 10

11 Kondenzatori se dijele na stalne i promjenljive a karakteristično im je da se kapacitet (kapacitivnost) stalnog kondenzatora ne može mijenjati nakon što je proizveden dok se kapacitet promjenljivog kondenzatora može mijenjati tijekom rada u određenim granicama. Karakteristične veličine kondenzatora su površina ploča (S), razmak između ploča, debljina izolacije (d) i dielektrična konstanta izolacije (ε). 11

12 Površina ploča Kapacitet kondenzatora je direktno proporcionalan površini ploča što znači da se povećanje kapaciteta može ostvariti povećanjem ploča dok se smanjenje kapaciteta kondenzatora postiže sa smanjenjem površine ploča. 12

13 Gornja granica površine ploča određena je, najčešće, veličinom uređaja u koji se kondenzator ugrađuje. 13

14 Razmak između ploča Kapacitet kondenzatora obrnuto je proporcionalan s razmakom između ploča, odnosno debljinom izolacije,pri čemu je donja granica debljine izolacijskog sloja ograničena tehnološkim postupcima (slika). 14

15 Dielektrična konstanata. Kapacitet kondenzatora ovisi također o materijalu odnosno dielektriku između ploča. Ta se veličina naziva dielektrična konstanta i obilježava se sa ε. Kapacitet je direktno proporcionalan dielektričnoj konstanti materijala, što znači da uz nepromjenjive dimenzije ploča i razmaka između njih kapacitet raste s povećanjem dielektrične konstante ε. Dielektrična konstanta ili dielektrična permitivnost vakuma ε 0 mjerenjima je ustanovljena i iznosi: As Vm F m ( ) 15

16 Mjerenjima se za različite izolacione materijale također odredila veličina koja se naziva relativna dielektrična konstanta ε r ili relativna permitivnost (tablica). Apsolutna dielektrična konstanta ε ili apsolutna permitivnost može se izračunati pomoću izraza: 12 0 r r 16

17 Tablica: Relativna dielektrična konstanta nekih materijala (ε r ) 17

18 Na slijedećem primjeru na slici, vidi se da s povećanjem relativne permitivnosti gdje se umjesto zraka između ploča kondenzatora umetne staklo, povećava kapacitet. 18

19 Formula za proračun kapaciteta pločastog kondenzatora Na osnovu prethodno iznijetog može se napisati formula za proračun kapaciteta pločastog kondenzatora: C S 0 d gdje je: permitivnost C kapacitet (kapacitivnost) u (F) ε 0 dielektrična konstanta vakuma ili vakuma (F/m) ε r relativna dielektrična konstanta ili relativna permitivnost S.površina ploča u (m 2 ) d udaljenost između ploča u (m). 19

20 Primjer Izračunati kapacitet pločastog kondenzatora čija površina ploče iznose m 2 a debljina papira kao dielektrika iznosi m. Relativan dielektrična konstanta papira iznosi ε r = 5.0. C 2 12 S 0 r (0.01 m )(5.0)( F / m) 5 d m F 20

21 Stalni kondenzatori Papirnati kondenzatori Višeslojni papirnati kondenzatori konstantnog kapaciteta našli su veliku primjenu u praksi s obzirom da imaju veliki kapacitet uz razmjerno male dimenzije. Povećanje površine obloge, odnosno kapaciteta, postiže se oblogama u obliku dugih i tankih folija (traka) od staniola ili aluminija debljine od oko 7 µm. Kao dielektrik koristi se papir impregniran uljem ili parafinom debljine od oko 10 µm s najmanje dva sloja. Debljina papira određena je visinom radnog napona kondenzatora. Da bi papir zadržao dobra izolacijska svojstva impregnira se mineralnim uljima, parafinom i slično. 21

22 Papirnati se kondenzatori proizvode u vrlo širokom opsegu, slika, nazivnih vrijednosti od 1 pf do 0.1 µf i naponske opteretivosti od 100 V do 2500 V istosmjernog napona. Relativna dielektrična konstanta papira iznosi

23 Keramički kondenzatori Tijelo kondenzatora, koji je ujedno i njegov dielektrik, sačinjeno je od keramičke pločice ili šupljeg valjka. Obloge kondenzatora čini tanak sloj metala, najčešće je to srebro, koje se nanosi na keramiku obradom pri visokim temperaturama, zbog čega su kondenzatori termički vrlo stabilni. Keramički kondenzatori su najčešće načinjeni na osnovi magnezijevog silikata ili titan dioksida (s malom dielektričnošću ε r = 6 500), i na osnovi feroelektričnih materijala, najčešće od barijevog titanata (s velikom dielektričnošću ε r = ). Kondenzatori s malom dielektričnošću imaju kapacitet od 1 pf do 1 nf dok oni s velikom dielektričnošću imaju kapacitet od 1 nf do 100 nf. 23

24 Keramički kondenzator srebrne elektrode 24

25 Keramički kondenzator titan dioksid ili magnezijev silikat 25

26 Keramički kondenzator barijev titanat 26

27 Elektrolitski kondenzatori Elektrolitski kondenzator čine dvije obloge i dielektrik. Jedna od obloga je načinjena od aluminijskog šupljeg valjka dok je druga obloga elektrolit. Kao elektrolit služi vodena otopina boraksa. Ulogu dielektrika preuzima tanak sloj aluminijskog oksida koji se dobije elektrokemijskim postupkom nazvanim anodna oksidacija. Ovakvi oksidni slojevi su neprozirni, dobrih su dielektričkih svojstava (velika dielektričnost ε r = 8 30) a imaju i ispravljačko djelovanje. Upravo zbog činjenice da je dielektrik sloj oksida vrlo male debljine, ostvaruju se vrlo veliki kapaciteti uz relativno male dimenzije (od 1µF do iznad µf). 27

28 Elektrolitski kondenzator boraks kao elektrolit 28

29 Na slici prikazani su razni tipovi elektrolitskog kondenzatora. 29

30 Elektrolitski kondenzator u obliku suze tantalov pentoksid kao dielektrik 30

31 Izgled elektrolitskog kondenzatora u obliku suze. 31

32 Promjenjivi kondenzatori Ograničenje u povećanju površine ploča kondenzatora može se riješiti paralelnim spajanjem jednakih kondenzatora kao na slici. 32

33 Svaka od njihovih obloga sastoji se od paralelno spojenih ploča međusobno jednakih površina. Dvije susjedne ploče (iste pripadaju različitim oblogama) tvore pločasti kondenzator. Za slučaj da se ploče mogu zakretati jedna prema drugoj (jedna ploča je nepomična a druga se zakreće) govori se o tzv. zakretnom kondenzatoru. Kapacitet takvog kondenzatora ovisi o kutu zakretanja jedne ploče prema drugoj, odnosno o međusobnom prekrivanju ploča. 33

34 Izgled tipični zakretnih kondenzatora prikazan je na slici 34

35 35

36 Načini spajanja kondenzatora Kondenzatori se u mrežama mogu spajati na dva osnovna načina: serijski paralelno Kombinacijom ova dva načina spajanja nastaje mješoviti spoj. 36

37 Serijski spoj kondenzatora Kondenzatori, čije su oznake stezaljki A i B, se kao i otpornici, serijski spajaju na način da se stezaljka B prvog spaja sa stezaljkom A drugog kondenzatora i tako redom. Ako se sada takav serijski spoj n kondenzatora priključi na istosmjerni napon U, prema slici, dolazi do uspostavljanja naboja Q na ploči A prvog i ploči B zadnjeg kondenzatora, istog polariteta kao i na polovima izvora. Tako ploča A prvog kondenzatora pohranjuje, zbog manjka elektrona, količinu naboja Q pozitivnog predznaka a ploča B zadnjeg kondenzatora, zbog viška elektrona, pohranjuje istu količinu negativnog naboj Q. 37

38 38

39 Što se događa na ostalim pločama kondenzatora? Sve ostale ploče, prethodno također električki neutralne, zbog pojave električne influencije, odnosno odvajanja naboja na prethodno neutralnim pločama, uslijed električnih privlačnih sila nabijenih ploča, poprimaju istu količinu naboja Q kao i nabijene ploče. S obzirom da se raznoimeni naboji privlače, ploča A prvog kondenzatora, sa količinom pozitivnog naboja Q + koja je uvjetovana izvorom, privući će na ploči B prvog kondenzatora istu količina negativnog naboja Q. Zbog tog privlačenja elektrona na ploču B prvog kondenzatora ostat će ploča A drugog kondenzatora bez tih elektrona, pa će u električnoj ravnoteži biti sa istom količinom pozitivnog naboja Q +. Opet dolazi do električne influencije i privlačenja negativnih naboja, odnosno elektrona sa ploče B drugog kondenzatora i postupak sa nastavlja za sve serijski spojene kondenzatore. 39

40 Očito je da se radi o istoj količini naboja na svim kondenzatorima i da je to ujedno ukupna količina naboja, pa se može pisati: Q = Q 1 = Q 2 = = Q i = =Q n Što se tiče naponskih prilika, zbog primljenog naboja na pojedinim kondenzatorima stvorit će se na njima nekakvi naponi, prema slici, čija će suma, zbog statičke ravnoteže, biti jednaka naponu izvora U: U = U 1 + U U i + + U n 40

41 Raspodjela narinutog napona u serijskom spoju: 41

42 Za svaki serijski spojeni kondenzator vrijedi da je: Q Q Q Qi Q U ; U ; U ; U i ; U n C C C C C i n n Ako se prethodne jednadžbe uvrste u gornju jednadžbu, slijedi: Q Q Q Q Q 1 C C C C C C n i... n Q 1 2 i n i 1 i Kako su naboji jednaki može se pisati: C C1 C2 C n 42

43 Jednadžba govori o tome da je u serijskom spoju n kondenzatora recipročna vrijednost ukupnog kapaciteta (kapacitivnosti) jednaka sumi recipročnih vrijednosti kapaciteta (kapacitivnosti) pojedinih kondenzatora. Za serijski spoj dvaju kondenzatora može se koristiti i jednadžba: C C C C C Ako je C 1 = C 2, slijedi: C C1 2 43

44 Kapacitivno djelilo Neka su kondenzatori, prema slici, nabijeni tako da su na njima naponi U 1 odnosno U 2. 44

45 Za čvor (a), s obzirom da se radi o serijskom spoju dvaju kondenzatora, vrijedi: Q 1 = Q 2 C 1 U 1 = C 2 U 2 Odnosno: C C U U Napon izvora razdijeli se na pojedine kondenzatore obrnuto proporcionalno omjeru njihovih kapaciteta, što znači da će uz veći kapacitet biti manji napon i obratno na manjem kapacitetu bit će veći napon. 45

46 Paralelni spoj kondenzatora Prema slici ako se kondenzatori spoje paralelno na izvor napajanja napona U, na svima će se uspostaviti naponi upravo jednaki naponu izvora. 46

47 Svaki kondenzator pohranjuje na svojim pločama naboj koji je ovisan o njegovom kapacitetu. Ukupan naboj, što ga iz izvora dobiva paralelna kombinacija kondenzatora, jednak je sumi svih naboja na kondenzatorima. To se može napisati pomoću jednadžbi: U U U... U... U 1 2 Q Q Q... Q... Q 1 2 i i n n Kako je Q = C U može se pisati: CU C1 U1 C2 U2... Ci Ui... Cn Un / U 0 47

48 Slijedi: C C C... C... C C 1 2 n C i 1 i i n U paralelnom spoju kondenzatora, rezultantni kapacitet kombinacije kondenzatora jednak je sumi pojedinih kondenzatora. U usporedbi sa serijskim i paralelnim spojem omskih otpora trošila isti bi se rezultat dobio kada bi se otpori R zamijenili njihovim recipročni vrijednostima, dakle, vodljivostima G. To znači da kapaciteti imaju karakter vodljivosti. 48

49 Mješoviti spoj kondenzatora Rezultantni kapacitet cijelog mješovitog (kombiniranog) spoja serijsko paralelno vezanih kondenzatora, prema slici, nalazi se tako da se, prema prijašnjim pravilima, mješovit spoj postepeno reducira na osnovne spojeve. Kako se u ovom primjeru radi o serijskom spoju kondenzatora C 1 s paralelnim spojem kondenzatora C 2 i C 3, slijedi da je naboj na prvom kondenzatoru jednak zbroju naboja na drugom i trećem kondenzatoru: Q Q Q

50 Mješoviti spoj kondenzatora 50

51 Naponi na drugom i trećem kondenzatoru su jednaki, a općenito, različiti od napona na prvom kondenzatoru: U U ; U U U Rezultantni kapacitet spoja može se izračunati pomoću izraza: C C C 1 23 C C C C gdje je C 23 = C 2 + C 3 kapacitet paralelnog spoja drugog i trećeg kondenzatora. 51

52 Elektrostatske mreže Osim mješovito serijsko paralelnih kombinacija mogu se zamisliti i složeniji spojevi s više izvora i kondenzatora, čije se rješavanje vrši u biti jednakim načinom koji je primijenjen u rješavanju linearnih strujnih mreža. Takvi se spojevi nazivaju elektrostatske mreže. Osnova svih metoda, su prema tome, dva Kirchhoffova zakona i to prvi za čvorove a drugi za konture. Međutim, razlika između rješavanja linearnih strujnih i elektrostatskih mreža postoji i ona se odnosi upravo na ono što navedene mreže karakterizira. Kod elektrostatskih mreža nema trajnih struja već se radi o mirujućim nabojima koji su rezultat kratkotrajnih udaraca struja nabijanja. 52

53 Zbog toga, se prvi Kirchhoffov zakon u elektrostatskim mrežama može izreći na slijedeći način: algebarska suma naboja na pločama svih kondenzatora koji su spojeni u nekom čvoru jednaka je nuli ako kondenzatori prilikom uključivanja na izvore napajanja nisu bili već otprije nabijeni nekim nabojem. Ako su kondenzatori imali već otprije neki naboj, tada zbog principa konzervacije naboja, algebarska suma naboja u jednom promatranom čvoru nakon priključka na izvore nije jednaka nuli, već točno sumi početnih naboja priključenih kondenzatora. 53

54 Jednadžba prvog Kirchhoffova zakona se prema tome može napisati na slijedeći način: a lg Q Q i 0 gdje su: Q i - konačni naboji Q 0 početni naboj Drugi Kirchhoffov zakon koji se odnosi na napone pojedinih kontura, jednak je u svom smislu kao i u strujnim mrežama. Prema tome, za stacionarno stanje kad su kondenzatori potpuno nabijeni postignuta je ravnoteža aktivnih napona izvora i protunapona na kondenzatoru: 54

55 a lg E a lg U c a kako je: U c Q C slijedi: alg E alg Q C Kao što su u linearnim strujnim mrežama na osnovi Kirchhoffovih zakona izvedeni razni teoremi za rješavanje tih mreža, tako se i kondenzatorski elektrostatski krugovi mogu rješavati odgovarajuće modificiranim teoremima. 55

56 Na primjer, Millmanov teorem za kondenzatorske mreže piše se jednadžbom: U ab E C i C i i Pri čemu su vodljivosti u granama strujnih mreža zamijenjene kapacitetima u granama elektrostatskih mreža. Slično se dobiju i jednadžbe za transformaciju spoja zvijezda trokut i trokut zvijezda, prema slici: 56

57 C C C C C C C C C1 C2 C3 C23 C C C C C C C C C1 C2 C3 C31 C C C C C C C C C1 C2 C3 C12 57

58 Zadaci za vježbu 1. Dva pločasta kondenzatora C 1 i C 2 istih dimenzija S = 110 cm 2 i d = 0.1 cm spojena su u seriju i priključena na izvor napona U = 100 V. Ako pri nabijanju izvor daje naboj Q = As, a C 1 je zračni kondenzator, odredite ε r2 kondenzatora C 2. 58

59 2. Pločasti kondenzator (ε r = 1), razmaka ploča d = 1 mm,uz napon između ploča U = 400 V, nabijen je nabojem Q = 0.7µF. a) Koliki je kapacitet kondenzatora? b) Što se dogodi s kapacitetom kondenzatora, ako mu prostor između ploča ispunimo dielektrikom s ε r = 2? c) Ako pri promjeni dielektrika napon ostane nepromijenjen, što se dogodi pri tom s nabojem? Kako bismo postigli da napon na kondenzatoru ostane nepromijenjen? 59

60 3. Pločastom kondenzatoru može se zakretanjem mijenjati efektivna površina ploča S. Kako se promijeni kapacitet kondenzatora, ako se površina ploča smanji na polovinu? 4. Kombinacija nenabijenih kondenzatora prema slici priključena je na izvor napona U = 100 V. Ako je U AB = + 55 V, C 1 = 15 nf i C 2 = C 3 = 5 nf, odredite naboj na C 4. 60

61 5. Tri nenabijena kondenzatora kapaciteta C 1 = 10 µf, C 2 = 6 µf i C 3 = 4 µf spojena su u kombinaciju prema slici a) i priključena na napon U = 100 V. Nakon toga kondenzator C 3 se odspaja, preokreće i uz očuvan naboj ponovo priključuje paralelno kondenzatoru C 2, kao što je pokazano na slici b). Koliku promjenu napona na C 1 uzrokuje takav postupak? Kada kombinaciju nenabijenih kondenzatora priključujemo na izvor napona U, oni će se u skladu s pravilima nabijanja serijsko paralelnih kombinacija, nabiti na određene napone. Odspoji li se kondenzator C3, električna ravnoteža se neće poremetiti, jer naponi na C1 i C2, zbrojeni, drže ravnotežu naponu izvora U. Okrene li se C3, pa se ponovo priključi paralelno kondenzatoru C2, prouzrokovat će se smanjenje napona na paralelnoj kombinaciji C2 i C3. 61

62 U E C1 a U E C1 b C2 C3 C2 C3 b a a) b) 62

63 Kako su na susjednim elektrodama kondenzatora C2 i C3 raznoimeni naboji nejednakih iznosa, doći će do međusobne neutralizacije naboja, pa će na C2 i C3 ostati razlika početnih iznosa naboja, koja će se zatim rasporediti na oba kondenzatora. Smanjenjem napona na C1 i C2 poremetit će se električna ravnoteža kruga, i zato će izvor dati serijskoj kombinaciji kondenzatora paralelnog spoja C2 i C3 dodatne naboje, koji će ponovo uspostaviti ravnotežu. Čitav opisani proces teče istovremeno i rezultira konačnim povećanjem napona na C1. Ekvivalentni kapacitet čitave kombinacije iznosi: C 123 C1 ( C2 C3 ) C C C F 63

64 Prilikom prvog nabijanja izvor daje naboj: Q C U As Q Q Naponi na kondenzatorima: Naboji: Q Q U 50V U 50V C1 C23 6 Q2 C2 U As 6 Q3 C3 U As 64

65 Okretanjem kondenzatora C2, na paralelnoj kombinaciji C2 i C3, prikazanoj ekvivalentnim kapacitetom C23, ostat će naboj: Koji će stvarati napon: 6 Q Q Q As U 230 Q C Tako da u ovoj fazi rada naponi na C1 i C23 imaju zajedno 60 V. Početni naboji nakon prespajanja: Q Q V 6 6 As As 65

66 Izvor će izvršiti nabijanje kondenzatora dok se ne postigne da je ukupan napon iznosa 100 V. Do tog iznosa preostalo je još 40 V, koji će se raspodijeliti u omjeru: pa konačni naponi iznose: U C : C 1:1 1 U V 30V 66

67 6. U spoju prema slici 3 gornja elektroda kondenzatora C 1 ima početni pozitivan naboj od 20 µas. Odredite konačne iznose naboja i napona na svim kondenzatorima ako je: C 1 = 5 µf, C 2 = 3 µf, C 3 = 2 µf, E 1 = 16 V, E 2 = 20 V i E 3 = 30 V. 67

68 7. U kombinaciji prema slici poznati su kapaciteti C 1 = 25 nf i C 2 = 15 nf. Kod kojih iznosa C 2 i C 4 će napon na C 3 biti tri puta veći od napona na C 1? 68

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj

1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj ELEKTROTEHNIKA TZ Prezime i ime GRUPA Matični br. Napomena: U tablicu upisivati slovo pod kojim smatrate da je točan odgovor. Upisivati isključivo velika štampana slova. Točan odgovor donosi jedan bod.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja električnih strujnih krugova

Metode rješavanja električnih strujnih krugova Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA STOSMJN STUJ ANALZA LNANH LKTČNH MŽA Saržaj preavanja. Uvo. zravna primjena Kirchhoffovih zakona. Metoa napona čvorova. Metoa konturnih struja 5. Metoa superpozicije. Theveninov teorem. Nortonov teorem

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 161 (Igor, gimnazija) Koliki je promjer manganinske žice duge 31.4 m, kroz koju teče struja 0.8 A, ako je napon

Zadatak 161 (Igor, gimnazija) Koliki je promjer manganinske žice duge 31.4 m, kroz koju teče struja 0.8 A, ako je napon Zadatak 6 (gor, gimnazija) Koliki je promjer manganinske žice duge. m, kroz koju teče struja 0.8, ako je napon između krajeva 80 V? (električna otpornost manganina ρ = 0. 0-6 Ω m) ješenje 6 l =. m, = 0.8,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1. Rad sila u el. polju i potencijalna energija 2. Električni potencijal 3. Vodič u električnom polju 4. Raspodjela naboja u vodljivom tijelu 5.

1. Rad sila u el. polju i potencijalna energija 2. Električni potencijal 3. Vodič u električnom polju 4. Raspodjela naboja u vodljivom tijelu 5. ELEKTROSTTIK II 1. Rad sila u el. polju i potencijalna energija 2. Električni potencijal 3. Vodič u električnom polju 4. Raspodjela naboja u vodljivom tijelu 5. Dielektrik u električnom polju 6. Električki

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za državnu maturu

Priprema za državnu maturu Priprema za državnu maturu E L E K T R I Č N A S T R U J A 1. Poprečnim presjekom vodiča za 0,1 s proteče 3,125 10¹⁴ elektrona. Kolika je jakost struje koja teče vodičem? A. 0,5 ma B. 5 ma C. 0,5 A D.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

E L E K T R I C I T E T

E L E K T R I C I T E T Coulombov zakon E L E K T R I C I T E T 1. Dva sitna tijela jednakih naboja međusobno su udaljena 0,3 m i privlače se silom 50 μn. Koliko iznosi svaki naboj? Q = 2,2 10 ⁸ C 2. Odredi kolikom će silom međusobno

Διαβάστε περισσότερα

Marko Periša, dipl. ing. UVODNO PREDAVANJE ELEKTROSTATIKA I

Marko Periša, dipl. ing. UVODNO PREDAVANJE ELEKTROSTATIKA I VJEŽBE - ELEKTROTEHNIKA Marko Periša, dipl. ing. UVODNO PREDAVANJE ELEKTROSTATIKA I KOLEGIJ NOSITELJI KOLEGIJA: Dr.sc. Sadko Mandžuka Dr.sc. Edouard Ivanjko Dr.sc. Niko Jelušić Asistent Marko Periša, dipl.ing.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

gdje je Q naboj što ga primi kondenzator, C kapacitet kondenzatora.

gdje je Q naboj što ga primi kondenzator, C kapacitet kondenzatora. Zadatak 06 (Mimi, gimnazija) Elektična enegija pločastog kondenzatoa, kapaciteta 5 µf, iznosi J Kolika je količina naboja pohanjena na kondenzatou? Rješenje 06 = 5 µf = 5 0-5 F, W = J, =? Enegija nabijenog

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Trofazni sustav. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi

Trofazni sustav. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi tranica: X - 1 tranica: X - 2 rofazni sustav inijski i fazni naponi i struje poj zvijezda poj trokut imetrično i nesimetrično opterećenje naga trofaznog sustava Uvodni pojmovi rofazni sustav napajanja

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika

Elektrodinamika Elektrodinamika.. Gibanje električnog naboja u električnom polju.2. Električna struja.3. Električni otpor.4. Magnetska sila.5. Magnetsko polje električne struje.6. Magnetski tok.7. Elektromagnetska indukcija

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Teoretski zadaci sa diodama 2. Analiza linije tereta 3. Elektronički sklopovi sa diodama 4. I i ILI vrata 5. Poluvalni ispravljač Teoretski zadaci

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici

Διαβάστε περισσότερα

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje . Analiza linearnih mreža istosmjerne struje.. Električna mreža i njezini elementi Složen strujni krug koji se sastoji od više različitih pasivnih i aktivnih elemenata zove se mreža. Pasivni elementi mreže

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Slika 1. Električna influencija

Slika 1. Električna influencija Elektrostatika_intro Naboj, elektriziranje trenjem, dodirom i influencijom za vodiče i izolatore, Coulombov zakon, električno polje, potencijal i napon, kapacitet, spajanje kondenzatora, gibanje naboja

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα