5. Rad, snaga, energija, Zakon očuvanja mehaničke energije, Zakon kinetičke energije

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. Rad, snaga, energija, Zakon očuvanja mehaničke energije, Zakon kinetičke energije"

Transcript

1 5. Rad, naga, energija, Zakon očuvanja mehaničke energije, Zakon kinetičke energije RAD SILE Rad je djelovanje ile na putu. Diferencijal rada jednak je kalarnom produktu ile i diferencijala pomaka vektora položaja: dw F dr dr d (diferencijal puta), rad ile na cijelom putu od Kako je početnog do konačnog položaja dobije e integriranjem: W F F d F co d, gdje je α kut između vektora ile i vektora diferencijala puta. Rad daje amo komponenta ile u mjeru tangente, odnono u mjeru puta: W F FT d F d F F T F F co Kako je poznato da jednotruki integral predtavlja površinu ipod krivulje, tako je rad ile jednak površini ipod dijagrama F = F(), odnono ipod dijagrama F T = F T (): 53

2 F T / N W 0 / m Ako je: F = kont. i α = kont. (ila i kut u talni - kontantni - na cijelom putu!), tada vrijedi: W F = F coα, J Rad konzervativnih ila ne ovii o putanji, nego amo o početnom i konačnom položaju četice ili tijela. Primjerice, konzervativne ile u gravitacijka ila teža i elatična ila u opruzi. Rad ile teže može e izračunati prema: W G = m g h, gdje je: m maa tijela, kg g ubrzanje ile teže; uz površinu Zemlje može e uzeti da je kontantno i da iznoi 9,8 m - h razlika nivoa težišta od položaja. do položaja., m. Rad ile teže je pozitivan, ako e težište putilo od položaja. do položaja., a negativan ako e diglo! Općenito: Rad je negativan ako e za avladavanje ile mora trošiti energija. Tada ila djeluje tako da manjuje brzinu i kinetičku energiju. 54

3 Rad opruge je: W OPR c x x gdje je: c kontanta krutoti (elatičnoti) opruge, Nm - x, x produljenje ili uženje opruge u položaju. ili., m Za ratezanje ili tikanje (kupljanje) opruge potrebna je ila: F = F OPR Sila u opruzi nije kontantna, nego je to veća što e opruga više rateže ili kuplja: F OPR = - c x, N Predznak (-) znači da je ila F OPR uprotne orijentacije od pomaka x. Rad opruge jednak je površini ipod dijagrama F OPR = F OPR (x): F OPR / N F OPR W 0 x x / m Ako e opruga rateže ili tišće iz neopterećenog tanja (x = 0): W OPR x F OPR x c x c x Radovi ile otpora i ile trenja klizanja uvijek u negativni, jer ove ile djeluju tako da manjuju brzinu. Ako u ile kontantne (F OTP = kont. i F TR = kont.), tada e njihovi radovi mogu odrediti iz izraza: W OTP = F OTP W TR = F TR 55

4 je: SNAGA Snaga je brzina kojom ila obavlja rad: P dw dt Kako je diferencijal rada: P F d dt dw F d F d co F v co dt, a brzina d v, naga dt Snaga je trenutna veličina! Samo ako u ila, brzina i kut ile prema putu kontantni (F = kont., v = kont. i α = kont.), naga je kontantna! ENERGIJA Energija je poobnot (mogućnot) vršenja rada. Uzrok je vih promjena u vemiru. Ne može e tvoriti ni iz čega, ali e pretvara iz jednog oblika u drugi. Prema Einteinu, maa i energija u ekvivalentne i uz određene uvjete maa može prijeći u energiju i obrnuto. Ova e pretvorba odvija prema poznatoj jednadžbi: E = m c, gdje je: E energija, J m maa, kg c brzina vjetloti u vakuumu, približno m - Mehanička energija može biti kinetička i potencijalna. Kinetička je energija energija gibanja, a potencijalna je energija položaja. Mehanička potencijalna energija može biti gravitacijka i elatična. Kinetička energija četice i tijela koje tranlira može e odrediti prema: E K m v 56

5 Gravitacijka potencijalna energija: E GP = m g h, gdje je: h viina tijela iznad nekog referentnog nivoa, m: m m h h h 3 0 m 3 Elatična potencijalna energija (elatična tijela, opruge): E EP c x ZAKON OČUVANJA MEHANIČKE ENERGIJE Ako na četicu ili tijelo djeluju amo konzervativne ile, onda je zbroj kinetičke i potencijalne energije na vakom mjetu putanje jednak. E K + E P = E K + E P = E Ki + E Pi = kont. ZAKON KINETIČKE ENERGIJE (za četicu i tranlaciju) Iz drugog Newtonovog akioma dobije e Zakon kinetičke energije: m v m v F d, 57

6 m v m v W odnono:, ili: E K - E K = W - Zakon kinetičke energije izrečen riječima: Kinetičku energiju četice ili tijela od početnog položaja do konačnog položaja promijenio je rad vih ila od početnog do konačnog položaja! F je rezultanta vih ila koje djeluju pri gibanju, a W - je rad vih ila: W - = W F + W G + W OPR + W TR + W OTP Rad je pozitivan ako ila djeluje tako da povećava brzinu (a time i kinetičku energiju), a negativan je ako e na avladavanje ile mora trošiti energija čime e manjuje brzina. 58

7 Riješeni primjeri: 5.. Maa automobila je tone. Automehaničar ga gura iz mirovanja do brzine v, pri čemu obavi rad kj, a automobil e pomakne 5 m. Zanemarujući trenje i ve otpore, treba izračunati: konačnu brzinu vozila v i talnu vodoravnu ilu na vozilo. m = t = 000 kg v = 0 v = v W = kj = 000 J = 5 m v =? F T =? Promjenu kinetičke energije od položaja. do položaja. uzrokovao je rad vodoravne ile: E K E K = W Kako je početna brzina jednaka nuli i kinetička je energija tada jednaka nuli: m v W 000v 000 m km v 5,09 h Kako je ila talna i kut između nje i puta je nula, izraz za rad je: W = F 000 = F 5 F = 80 N 5.. Koliki rad obavi ila talnog iznoa 50 N koja djeluje na putu 5 m? Kut između vektora ile i vektora puta mijenja e na lijedeći način: - prva 4 m kut je idućih 5 m zadnjih 6 m kut je

8 F = 50 N = kont. = 4 m; α = 0 0 = 5 m; α = = 6 m; α 3 = 90 0 W =? Kako e mijenja kut između ile i puta, tako e mijenja i komponenta ile koja daje rad. Ta komponenta talna je amo u vakom zadanom intervalu gibanja. Ukupni rad na 5 m puta je zbroj radova u pojedinim intervalima: W = W + W + W 3 = F co α + F co α + F 3 co α 3 W = 50 4 co co co90 0 U prvom intervalu rad daje cijela ila F, jer je α = 0 0. Idućih 5 m rad daje komponenta ile F, dok je u zadnjem inervalu kut između ile i puta jednak 90 0 (ila je okomita na put), pa nema rada! W = = 975 J 5.3. Sila paralelna putom počinje djelovati na predmet mae 6 kg, koji u početku miruje. Sila e mijenja ovino o putu prema zadanom dijagramu. Koliki rad obavi ila? Kolika je brzina predmeta nakon prijeđenih 0 m, ako je ila F jedina ila koja djeluje na predmet? F / N / m α = 0 0 m = 6 kg 60

9 v = 0 W =? ; v =? nakon = 0 m Rad je jednak površini ipod dijagrama F(). Obavljeni rad ile nakon 0 m puta jednak je zbroju površine trokuta i pravokutnika u zadanom dijagramu: 0 0 W J Rad ile F uzrokovao je promjenu kinetičke energije E K = 0 na E K : E K m v v W m 5.4. Dizač utega tla podigne uteg težine 400 N iznad voje glave, što odgovara viini m. Koliki rad obavi dizač utega i kolika mu je rednja naga, ako dizanje utega traje,5 ekundi? G = 400 N h = m t =,5 W =? ; P =? Dizač utega avladava ilu težu koja djeluje na uteg i ona iznoi 400 N. Put na kojem e avladava ila jednak je viini na koju je podignut uteg: W = G h = 400 = 800 J Snaga je brzina obavljanja rada: W 800 P 30W t, Koliko je energije izgubila kuglica mae 0 g u udaru horizontalnom podlogom, ako je na nju pala viine m bez početne brzine, a odbila e do viine,5 m? Otpor zraka zanemariti! 6

10 m = 0 g = 0,0 kg h = m v = 0 h =,5 m v = 0 ΔE =? Ukupna mehanička energija kuglice u položaju. jednaka je potencijalnoj energiji: E P = m g h Nakon udara kuglice ona e odbila u položaj., prema lici. Ukupna mehanička energija kuglice u položaju. jednaka je potencijalnoj energiji: E P = m g h Razlika ovih energija je gubitak energije u udaru: ΔE = E P - E P = m g h - m g h ΔE = - 0,098 J v 0 v 0 h h 5.6. S viine 5 m, početnom brzinom 4 m/, bačeno je tijelo mae 0, kg. Ako je tijelo na tlo palo brzinom 0 m/, koliko je energije utrošeno na otpor zraka? h = 5 m v = 4 m/ m = 0, kg v = 0 m/ ΔE = W OTP =? Zadatak e može riješiti primjenom Zakona kinetičke energije: 6

11 E K - E K = W - mv mv W G W OTP Kinetičku energiju tijela od položaja. do položaja. promijenili u radovi ile teže i ile otpora zraka. Rad ile teže je pozitivan, jer e težište putilo. Izgubljena energija tijela jednaka je radu utrošenom na avladavanje ile otpora. Taj je rad negativan! Rad ile teže je: W G = m g h = 49,05 J Nakon uvrštavanja zadanih vrijednoti dobije e: 0, 0 0, 4 W 0,65J OTP 49,05 W OTP h v v 5.7. Četica mae 4 kg počinje e gibati iz tanja mirovanja niz hrapavu koinu, prema lici! Ako na četicu djeluje kontantna ila F = 5 N, 63

12 izračunati brzinu četice nakon prijeđenog puta = 3 m. Na avladavanje ile trenja klizanja utrošeno je 0 J. Zadana je lika: m 0 30 F F 0 30 m = 4 kg v = 0 F = 5 N = kont. = 3 m W TR = 0 J v =? Zakon kinetičke energije za četicu: mv mv W Promjenu kinetičke energije uzrokovali u lijedeći radovi: - rad ile teže težište e putilo za h (rad je pozitivan) - rad kontantne ile F - rad utrošen za avladavanje ile trenja klizanja (rad je negativan). m v 0 W G W F W Radove ile teže i ile F treba izračunati, dok je W TR zadan: W G = m g h TR Razlika nivoa težišta (h) dobije e iz pravokutnog trokuta prema kici: 64

13 0 in 30 h,5m h Rad ile teže je: W G = 4 9,8,5 = 58,86 J Kako u ila i njezin kut prema putu kontantni, rad e izračuna prema: W F = F coα Prema kici e vidi da je α = W F = 5 3 co30 0 = 38,97 J Dobivene e vrijednoti uvrte u Zakon kinetičke energije: 4v 0 58,86 38,97 0 v 6,38m h 0 30 F 3m

14 Zadaci za rješavanje: 5.8. Tijelo mae 600 g giba e brzinom m/. U nekom trenutku na njega počinje djelovati kontantna ila N u mjeru brzine. Kolika će biti kinetička energija tijela nakon 3 ekunde djelovanja ile? 5.9. Tijelo mae 600 g tranlatira tako da mu je kinetička energija jednaka 4 J. Kolika mu je količina gibanja? 5.0. Kontantna ila 0 N djeluje na tijelo mae 5 kg koje e giba po horizontalnoj podlozi. Koliki rad izvrši ta ila na putu = 6 m, ako djeluje pod kutom 0 0 prema horizontali? 5.. S viine 60 m, početnom brzinom 5 m/ prema dolje, bačeno je tijelo mae 4 kg. Kolikom je brzinom tijelo udarilo u tlo? Otpor zraka zanemariti! 5.. S viine 50 m, početnom brzinom 5 m/ prema dolje, bačeno je tijelo mae 4 kg. Ako je tijelo palo brzinom 3 m/, koliko je energije izgubilo zbog otpora zraka? 5.3. Na teret mae 00 kg, koji miruje na horizontalnoj hrapavoj podlozi, počinje djelovati kontantna ila F =,4 kn u mjeru puta. Kolika je brzina tereta nakon prijeđenog puta 5 m, ako je gubitak energije zbog trenja klizanja jednak 5 % rada koji izvrši ila F? 5.4. Kolika je rednja naga dizalice koja teret mae 00 kg digne na viinu 5 m za ekundi? 5.5. Tijelo mae kg giba e po horizontalnoj hrapavoj podlozi brzinom v = 4 m/. U nekom trenutku na tijelo počinje djelovati kontantna ila 0 N, pod kutom 40 0 u odnou na brzinu. Kolika je brzina tijela nakon prijeđenog puta m, ako je na rad ile trenja klizanja utrošeno 4 J? 66

15 5.6. Pri gibanju uz hrapavu koinu nagiba 30 0, u počenom trenutku tijelo mae m = 0 kg ima brzinu v 0 = 0 m/. Na putu = 4 m uz koinu na rad ile trenja klizanja utrošeno je 00 J. Nakon prijeđenog puta 4 m tijelo mae m udarilo je u tijelo mae m = kg, koje je mirovalo na koini. Ako je tijelo mae m nakon udara otalo mirovati, kolikom e brzinom c odbilo tijelo mae m? Obavezno popratiti kicom! 5.7. Tijelo mae 4 kg lobodno pada viine 0 m. Nakon pada zabije e u tlo 0 cm duboko. Kolika je rednja ila otpora probijanju tijela u tlo? Otpor zraka zanemariti! 5.8. Na tijelo mae m = kg, koje na početku miruje na glatkoj horizontalnoj podlozi, počinje djelovati kontantna ila F = 0 N pod kutom 30 0 prema horizontali. Nakon prijeđenog puta = m, tijelo mae m udari e tijelom mae m = 6 kg, koje miruje. Ako tijelo mae m nakon udara otaje mirovati, a ila F više ne djeluje, kolikom e brzinom odbije tijelo mae m? Trenje zanemariti! Obavezno popratiti kicom! 5.9. Kontantna ila 50 N na putu 5 m promjenila je kinetičku energiju tijela početnih 00 J na konačnih 40 J. Pod kojim je kutom u odnou na put djelovala ila? 5.0. Tijelo mae 4 kg miruje u podnožju glatke (μ = 0) koine nagiba Na tijelo počinje djelovati kontantna horizontalna ila. Koliki je izno ile, ako je nakon prijeđenog puta 3 m uz koinu brzina tijela 4 m/? Obavezno popratiti kicom! 5.. Automobil mae,4 tone počinje jednoliko ubrzavati iz tanja mirovanja i tijekom četvrte i pete ekunde zajedno prijeđe 4 m. Kolika mu je količina gibanja, a kolika kinetička energija u trenutku t = 6 od početka ubrzavanja? 5.. Na tijelo mae kg, koje e giba brzinom 4 m/, počinje djelovati kontantna ila iznoa F = 0 N u mjeru puta. Kolika je kinetička energija 67

16 tijela 4 ekunde nakon početka djelovanja ile, ako je ila F jedina ila koja djeluje na tijelo? 5.3. Četica mae 4 kg giba e niz koinu nagiba 45 0 i viine m. Na vrhu koine četica ima početnu brzinu 4 m/, a njezina konačna brzina na dnu koine je 6,5 m/. Kolika je rednja ila otpora pri gibanju niz koinu? 5.4. Kontantna ila 70 N na putu 8 m povećala je kinetičku energiju tijela za 500 J. Pod kojim je kutom u odnou na put djelovala ila? 5.5. Na kolica mae 5 kg, koja miruju na horizontalnoj podlozi, počinje djelovati talna ila 0 N u mjeru puta. Pod utjecajem te ile kolica u prešla put 4 m bez otpora. Koliki je rad izvršila ila? Kolika je brzina kolica nakon prijeđena 4 m? Koliko je bilo ubrzanje kolica? 5.6. Kolika je težina tijela kojemu je talna ila 3 N promjenila početnu brzinu 50 cm/ na konačnu 3,5 m/ za vrijeme 3 ekunde? Kolika je akceleracija tijela? Kolika je konačna kinetička energija? 5.7. Na tijelo mae kg, koje e giba brzinom 4 m/, počinje djelovati kontantna ila iznoa F = 0 N u mjeru puta. Kolika je kinetička energija tijela 5 ekundi nakon početka djelovanja ile, ako uz ilu F djeluje i talna ila otpora iznoa N? 5.8. U katalogu piše da automobil mae 800 kg može iz mirovanja ubrzati do 00kmh - za 8. Koliku proječnu nagu tada razvija motor? Gubitke ulijed trenja i otpora zanemariti! 5.9. Automobil e giba po ceti talnom brzinom 7 km/h. Ako e iključi motor, automobil e zautavi za 0. Kolika je naga motora koja održava talnu brzinu 7 km/h, ako je maa automobila 600 kg? Dijagramom je zadana ovinot ile o putu. Ako ila djeluje u mjeru puta, izračunati koliki je rad obavila na putu 4 m! 68

17 F / N / m 5.3. Tijelo mae 4 kg lobodno pada i na viini 0 m ima brzinu 5 m/ prema dolje. Kolika mu je brzina na viini 5 m? Kolika mu je kinetička energija u trenutku neporedno prije pada na tlo? Otpor zraka zanemariti! 5.3. Dizalica je podigla tijelo mae 4,5 t na viinu 8 m. Koliko je trajalo dizanje tereta, ako je rednja naga dizalice 8,83 kw? Kontantna horizontalna ila 0 N ubrzava tijelo mae kg duž puta 4 m po horizontalnoj podlozi bez trenja. Tijelo je prije toga mirovalo. Nakon prijeđena 4 m ila e manji na 0 N i djeluje duž iduća 4 m. Kolika je konačna kinetička energija tijela? Kolika mu je konačna brzina? Kamion mae 3 t vozi brzinom 45 km/h. Koliko mora iznoiti rednja ila kočenja da e kamion zautavi na putu 50 m? Koliko e vioko popne tijelo mae 0, kg kad ga e baci vertikalno u vi takvom brzinom da mu je kinetička energija 9,8 J? Otpor zraka zanemariti! Tijelo mae,5 kg lobodno pada viine 00 m i zabije e u pijeak 5 cm duboko. Kolika je ila otpora tla uz pretpotavku da je kontantna? Otpor zraka zanemariti! 69

18 5.37. Automobil mae 000 kg jednoliko e ubrzava od brzine 8 km/h do 36 km/h na putu 50 m. Kolika je vučna ila potrebna za takvo ubrzavanje? Kolika je promjena kinetičke energije? Kolika je rednja naga? Zanemariti ve otpore pri gibanju! Automobil mae t počinje jednoliko ubrzavati iz mirovanja tako da nakon 0 prijeđe 50 m. Kolika mu je kinetička energija u trenutku t = 4 od početka ubrzavanja? Stalna ila 50 N djeluje na tijelo u mjeru brzine na putu 5 m. Ako je početna kinetička energija tijela (na početku djelovanja ile) 00 J, a ila djeluje pod kutom 45 0, kolika je konačna kinetička energija tijela? Ako je za dizanje tereta mae t utrošen rad 0 kj, na koliku je viinu teret podignut? 5.4. Tijelo mae 0 kg bačeno je vertikalno u vi početnom brzinom 0 m/. Na viini m ima ukupnu energiju 500 J. Kolika je brzina tijela na toj viini? 5.4. Na teret mae 00 kg koji miruje na horizontalnoj hrapavoj podlozi počinje djelovati horizontalna kontantna ila F =,4 kn. Kolika je brzina tereta nakon prijeđenog puta 5 m, ako gubitak energije zbog trenja klizanja iznoi 5 % rada koji obavi ila F na itom putu? U trenutku kad tijelo mae 4 kg ima brzinu v = m/ na njega počinje djelovati talna ila F = N, prema zadanoj lici. Kolika je brzina tijela nakon prijeđenog puta 5 m po glatkoj (μ = 0) horizontalnoj podlozi? Sve otpore gibanju zanemariti! 70

19 v v m 60 0 F 0 5 m F Prvi automobil može jednoliko ubrzati iz mirovanja do brzine v od 0 do t. Drugi automobil, jednake mae, ubrzava od 0 do v za ito vrijeme. Koliko puta je naga drugog automobila veća od prvog? Kolika je proječna naga potrebna čovjeku mae 70 kg, koji e penje na planinu, da bi avladao viinku razliku km u vremenu 00 min? Za koliko mu e pri tom penjanju poveća gravitacijka potencijalna energija? 7

20 Rješenja zadataka: 5.8. E K = 43, J 5.9. p = mv =,9 kgm/ 5.0. W F = 56,38 J 5.. v = 34,67 m/ 5.. E = W OTP = 954 J 5.3. v = 3,4 m/ 5.4. P = 87, W 5.5. v = 4,6 m/ 5.6. c =,9 m/ 5.7. F OTP = 3963 N 5.8. c =,96 m/ 5.9. α = 55, F = 34,97 N 5.. p = 5 00 kgm/; E K = J 5.. E K = 576 J 5.3. F OTP = 9,87 N 5.4. α = 6, W = 80 J; v = 3,66 m/; a =,333 m/ 5.6. G =,943 N; a = 0 m/ ; E K = 48,8 J 5.7. E K = 576 J 5.8. P = W = 86,8 kw 5.9. P = W = 3 kw W = 5 J 5.3. v =, m/; E K3 = 44,4 J 5.3. t = E K = 0 J; v = 5,5 m/ F K = 4687,5 N h = 0 m F OTP = 9834,5 N F V = 750 N; ΔE K = J; P = 565 W E K = J = 44 kj E K = 76, 8 J h =,0 m 5.4. v = 7,8 m/ 5.4. v = 3,4 m/ v =,6 m/ Snaga drugog automobila četiri je puta veća od nage prvog automobila! P = 4,5 W; E P = J = 686,7 kj 7

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga 1. Koliko se puta promijeni kinetička energija automobila kada se njegova brzina poveća tri puta? A. Poveća se 3 puta. B. Poveća se 6 puta. C. Poveća se 9 puta. D. Poveća se 12 puta.

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija zadatci

Rad, snaga i energija zadatci Rad, snaga i energija zadatci 1. Tijelo mase 400 g klizi niz glatku kosinu visine 50 cm i duljine 1 m. a) Koliki rad na tijelu obavi komponenta težine paralelna kosini kada tijelo s vrha kosine stigne

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje 7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 281 (Luka, strukovna škola)

Zadatak 281 (Luka, strukovna škola) Zadaak 8 (Luka, rukovna škola) Kuglica ae. kg izbacuje e praćko. Priliko izbacivanja kuglice elaična vrpca praćke produži e za.5. Konana elaičnoi vrpce iznoi N/. Koliko brzino kuglica izlei iz praćke?

Διαβάστε περισσότερα

= = = vrijeme za koje tijelo doñe u točku B. g Vrijeme za koje tijelo prijeñe put od točke A do točke B jednako je razlici vremena t B i t A : m m

= = = vrijeme za koje tijelo doñe u točku B. g Vrijeme za koje tijelo prijeñe put od točke A do točke B jednako je razlici vremena t B i t A : m m Zadatak 6 (Ginazijalci, ginazija) Tijelo lobodno pada i u točki ia brzinu /, a u točki 4 /. Za koje će rijee prijeći udaljenot od do? Koliko u udaljene točke i? (g = 9.8 / ) Rješenje 6 h, = /, = 4 /, g

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 6 Rad. Energija. Snaga. Ivica Sorić. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 6 Rad. Energija. Snaga. Ivica Sorić. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 008/009 Fizika 1 Auditorne vježbe 6 Rad. Energija. Snaga. 19. prosinca 008. Ivica Sorić (suri@fesb.hr) Ponavljanje

Διαβάστε περισσότερα

ρ = ρ V V = ρ m 3 Vježba 101 Koliki obujam ima komad pluta mase 2 kg? (gustoća pluta ρ = 250 kg/m 3 ) Rezultat: m 3.

ρ = ρ V V = ρ m 3 Vježba 101 Koliki obujam ima komad pluta mase 2 kg? (gustoća pluta ρ = 250 kg/m 3 ) Rezultat: m 3. Zadaak 0 (Ana Marija, ginazija) Koliki obuja ia koad plua ae kg? (guoća plua ρ 50 kg/ ) Rješenje 0 kg, ρ 50 kg/,? Guoću ρ neke vari definirao ojero ae i obuja ijela. kg ρ / 0.004. ρ ρ kg 50 jeba 0 Koliki

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split DINAMIKA Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split Ova knjižica prvenstveno je namijenjena učenicima Srednje tehničke prometne škole Split. U knjižici su korišteni zadaci

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav,

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav, 1. UVOD 1. * Odgovorite na sljedeća pitanja tako da dopunite tvrdnje. 1.1 Što je gibanje tijela? Gibanje tijela je... tijela u... 1.2 Osnovni parametri u kinematici su... i... 1.3 Na koji način opisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje 469. m = 200 g = 0.2 kg, v 0 = 5 m / s, h = 1.75 m, h 1 = 0.6 m, g = 9.81 m / s 2, E k =?

Rješenje 469. m = 200 g = 0.2 kg, v 0 = 5 m / s, h = 1.75 m, h 1 = 0.6 m, g = 9.81 m / s 2, E k =? Zadatak 469 (Davor, tehnička škola) Kuglicu mase 00 g izbacimo početnom brzinom 5 m / s sa visine.75 m. Koliko iznosi kinetička energija kuglice kada se nalazi na visini 0.6 m iznad tla? Zanemarite gubitak

Διαβάστε περισσότερα

1. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1)

1. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1) Fakultet tehničkih nauka Novi Sad Katedra za Mehaniku 1. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1) A grupa A1 Padobranac mase m je iskočio iz aviona. U trenutku otvaranja padobrana, u kom je imao brzinu v 0 usmerenu

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

m m. 2 k x k x k m

m m. 2 k x k x k m Zadata 4 (Daro, rednja šola) Na glatoj horizontalnoj podlozi uz abijenu oprugu ontante 5 N/ leži ugla ae 4.5 g. Kolio će brzino ugla odletjeti ao je iputio? Opruga je prije ipuštanja ugle abijena za.6

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

FIZIKA 7- Priprema za pismenu provjeru ENERGIJA, RAD, SNAGA

FIZIKA 7- Priprema za pismenu provjeru ENERGIJA, RAD, SNAGA FIZIKA 7- Priprema za pismenu provjeru ENERGIJA, RAD, SNAGA 1. Kad kažemo da neko tijelo ima energiju? 2. Kako se mogu iskoristiti Sunčeva energija, energija vjetra, plime i oseke, vode? 3. Gdje se ili

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje 141 Uočimo da je valna duljina čestice obrnuto razmjerna sa razlikom energijskih razina. h = E E n m h E E. m c

Rješenje 141 Uočimo da je valna duljina čestice obrnuto razmjerna sa razlikom energijskih razina. h = E E n m h E E. m c Zadatak 4 (Ivia, trukovna škola) Crtež prikazuje dio energijkih razina vodikova atoma. Koja od trjelia prikazuje emiiju fotona najkraće valne duljine? Zaokružite ipravan odgovor. A. a) B. b) C. ) D. d

Διαβάστε περισσότερα

Kinetička energija: E

Kinetička energija: E Pime 54 Za iem pikazan na lici odedii ubzanje eea mae m koji e keće naniže kao i ilu u užeu? Na homogeni doboš a dva nivoa koji e obće oko zgloba O dejvuje, zbog neidealnoi ležaja konanni momen opoa M

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE

1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE 1 1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE 1. Automobil prvu trećinu puta vozi brzinom 50km/h, a preostali dio puta brzinom 20km/h. Kolika je srednja (prosječna) brzina tijekom putovanja? R: 25 km/h 2. Biciklista

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

m m ( ) m m v v m m m

m m ( ) m m v v m m m Zadatak (Ria, ginazija) Autoobil raketni pogono započne e iz tanja iroanja ubrzaati zbog potika rakete Potiak traje 5, a ubrzanje iznoi 5 / Nakon gašenja raketnog pogona autoobil e natai gibati kontantno

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ OČUVANJA ENERGIJE I ROTACIJSKOG GIBANJA

PITANJA IZ OČUVANJA ENERGIJE I ROTACIJSKOG GIBANJA PITANJA IZ OČUVANJA ENERGIJE I ROTACIJSKOG GIBANJA 1. Potencijalna energija tijela mase m smanjila se za 6J. Iz toga slijedi da je rad izvršen djelovanjem gravitacijske sile na masu tijela: a) 6J i visina

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

2 m. 4 m. v B0. v A0. MEHANIKA 2 ispit k=1600 N/cm. A m š=2kg/m' m B=3kg. 2 m 4 m. S=12 Ns

2 m. 4 m. v B0. v A0. MEHANIKA 2 ispit k=1600 N/cm. A m š=2kg/m' m B=3kg. 2 m 4 m. S=12 Ns MEHNIK ipit - 7.01.010. NPOMEN: Zadatak mora biti riješen uredno i pregledno. Rješenja moraju adržavati crteže potrebnim oznakama i kotama. Prije numeričkog računa naveti općeniti zakon koji e koriti (npr.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE

ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE veučilište u ijeci TEHNIČKI FAKULTET veučilišni preddiplomki tudij elektrotehnike ELEKTOOTONI OGONI - AUDITONE VJEŽBE Ainkroni motor Ainkroni motor inkrona obodna brzina inkrona brzina okretanja Odno n

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU. ilukacevic/

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU.  ilukacevic/ VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU www.fizika.unios.hr/ ilukacevic/ ilukacevic@fizika.unios.hr Igor Lukačević Odjel za fiziku Trg Ljudevita Gaja 6 1. kat, soba 6 9. listopada 7. LITERATURA

Διαβάστε περισσότερα

2. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1)

2. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1) Fakultet tehničkih nauka Novi Sad Katedra za Mehaniku 2. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1) A grupa A3 Dva robota se kreću po glatkoj horizontalnoj podlozi. Robot A, mase 20, 0 kg, kreće se brzinom 2, 00 m/s

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

h = v t π m 6.28

h = v t π m 6.28 Zadatak 00 (Too, elektrotehnička škola) Za koliko e ati napuni prenik obuja 400 odo koja utječe kroz cije projera 0 brzino /? Rješenje 00 V = 400, d = 0 = 0., = /, π.4, t =?.inačica Cije ia oblik aljka

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

2 k. Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu.

2 k. Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu. Zadaa (Lidija, ginazija) Tijelo ae g pui e da lobodno pada a počeno brzino /. Nađi ineiču energiju ijela polije 0.. (g = 9.8 / ) Rješenje = g = 0.00 g, v 0 = /, = 0., g = 9.8 /, =? Tijelo ae i brzine v

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ DINAMIKE 1

PITANJA IZ DINAMIKE 1 PITANJA IZ DINAMIKE 1 1. Što je teţina tijela a što sila teţa?. Objasni razliku izmeďu sile teţe i teţine. 3. Kakav je odnos (razjasni pojmove) izmeďu mase tijela, teţine tijela i sile teţe koja djeluje

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

1. Jednoliko i jednoliko ubrzano gibanje

1. Jednoliko i jednoliko ubrzano gibanje 1. JEDNOLIKO I JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE 3 1. Jednoliko i jednoliko ubrzano gibanje Jednoliko gibanje po pravcu je ono gibanje pri kojem se ne mijenja ni iznos ni smjer brzine. Ako se ne mijenja iznos

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Rad i energija. Rad i energija

Rad i energija. Rad i energija Rad (P 45-46) Snaga (P 46) Energija (P 46-5) Potencijalna energija. Kinetiča energija Zaon održanja energije (P 5-5) Da bi rad bio izvršen neohodno je otojanje ile. Sila vrši rad: ri omerenju tela jednog

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika. Uvod. Mikrometarskim vijkom odredili ste debljinu jedne vlasi d = 0,12 mm. Kolika je ta debljina izražena potencijama od deset u metrima?

Mehanika. Uvod. Mikrometarskim vijkom odredili ste debljinu jedne vlasi d = 0,12 mm. Kolika je ta debljina izražena potencijama od deset u metrima? Mehanika Uvod Jednoliko gibanje duž pravca Jednoliko ubrzano i usporeno gibanje duž pravca Nejednoliko gibanje Osnovni zakon gibanja Impuls sile i količina gibanja Složena gibanja Sastavljanje i rastavljanje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio Rad, snaga i energija Dinaika 1. dio Veliine u ehanici 1. Skalari. Vektori 3. Tenzori II. reda 4. Tenzori IV. reda 1. Skalari: 3 0 1 podatak + jerna jedinica (tenzori nultog reda). Vektori: 3 1 3 podatka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Primjeri zadataka iz Osnova fizike

Primjeri zadataka iz Osnova fizike Mjerne jedinice 1. Koja je od navedenih jedinica osnovna u SI-sustavu? a) džul b) om c) vat d) amper 2. Koja je od navedenih jedinica osnovna u SI-sustavu? a) kut b) brzina c) koncentracija d) količina

Διαβάστε περισσότερα

,8 8,33 28,8 16,8 16,8? 8,33? (brzina voza)

,8 8,33 28,8 16,8 16,8? 8,33? (brzina voza) PRIMJER 1: Voz je krečući se po pruzi, prešao 5 km za 10 minuta. Istom brzinom prešao je most za 28,8 sekundi. Pored posmatrača na kraj mosta voz je prošao za 16,8 sekundi. Odredi dužinu mosta i dužinu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

1.inačica Iz formula za put i brzinu pri jednolikom usporenom gibanju dobije se brzina vlaka na kraju puta v = v a t v =

1.inačica Iz formula za put i brzinu pri jednolikom usporenom gibanju dobije se brzina vlaka na kraju puta v = v a t v = Zadatak (Marko, ginazija) Vlak e giba talno brzino 6 k/h. U jedno trenutku lakooña počne jednoliko kočiti te lak za 6 preali put od 6. Koliko e brzino lak giba na kraju tog puta? Rješenje = 6 k/h = [6

Διαβάστε περισσότερα

2 2 c s Vježba 021 U sustavu koji miruje, π mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijeñe put 150 m. Rezultat: 50 ns.

2 2 c s Vježba 021 U sustavu koji miruje, π mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijeñe put 150 m. Rezultat: 50 ns. Zadatak (Rex, ginazija) U utau koji iruje, π ezon od trenutka natanka do trenutka rapada prijeñe put 75. Brzina π ezona je.995. Koliko je rijee žiota π ezona u latito utau? Rješenje = 75, =.995, = 3 8

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.

VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici. VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Newtonov opdi zakon gravitacije

Newtonov opdi zakon gravitacije Predavanje 3 Newtonov opdi zakon gravitacije F=Gm 1 m 2 /R 2 r Jedinični vektor G=6.67 10-11 Nm 2 kg -2 gravitacijska konstanta (Sir Henry Cavendish 1798) G nije isto što i g Gravitacijska sila djeluje

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović. Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα