Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Τεχνικές υπολογισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace ρητών συναρτήσεων. 4

5 Σκοποί Ενότητας Εξοικείωση με τις τεχνικές υπολογισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace ρητών συναρτήσεων. 5

6 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Αν το σήμα x(t) έχει μετασχηματισμό Laplace: t= X s = x t e st dt t= τότε το σήμα x(t) μπορεί να υπολογιστεί από τον X(s) μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace: x t = 1 2πj s=c+j s=c j X s e st ds, 1 όπου, για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, ο δρόμος s = c + j πρέπει να βρίσκεται εντός της περιοχής σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace. Συνήθως το ολοκλήρωμα (1) είναι δύσκολο να υπολογιστεί. 6

7 Πίνακας μετασχηματισμού Laplace f t F s δ t 1 u t 1 s tu t 1 s 2 t n u t n! s n + 1 e at u t 1 s + a sin(ωt)u t ω s 2 + ω 2 cos(ωt)u t s s 2 + ω 2 7

8 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace (1) L f t = F s = f t e st dt Ορισμός 0 L kf t = kf s Γραμμικότητα L f 1 t + f 2 t = F 1 s + F 2 s Γραμμικότητα L e at f t = F s + a Ολίσθηση συχνότητας L f t T = e st F s Ολίσθηση χρόνου L f at = 1 a F s a Κλιμάκωση χρόνου L df dt = sf s f 0 Παραγώγιση 8

9 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace (2) L d2 f dt 2 = s2 F s sf 0 f 0 Δεύτερη παράγωγος L dn f dt n = sn F s s n k f k 1 0 L t 0 f f 0 + f τ dτ n k=1 = F s = lim s 0 sf s s = lim s sf s Γενική παράγωγος Ολοκλήρωση Θεώρημα Τελικής τιμής Θεώρημα Αρχικής τιμής 9

10 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ρητών συναρτήσεων Ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace είναι απλός, όταν ο X(s) είναι ρητή συνάρτηση. Έστω R s p s = p q s q + p q 1 s q p 1 s + p 0, q Z + = 0,1,2,, p i R, i = 0,1,.., q το σύνολο (δακτύλιος) των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές και R s t s = b s a s, a s, b s R s, a s 0 το σύνολο (σώμα) των πραγματικών ρητών συναρτήσεων. 10

11 Το σύνολο των κανονικών (proper) πραγματικών ρητών συναρτήσεων Π.χ. t 1 s = 2s2 +3s+6 4s+2 R s, t 2 s = 3s2 +5s+7 s 3 +5s R s, t 3 s = 4s + 1 R s Το σύνολο (δακτύλιος) των κανονικών (proper) πραγματικών ρητών συναρτήσεων R pr s t s b s = a s R s, a s 0, dega s degb s π.χ. t 1 s = 2s2 + 3s + 6 R 4s + 2 pr s, t 2 s = 3s2 + 5s + 7 s 3 R + 5s pr s, t 3 s = 4s + 1 R pr s 11

12 Μηδενικά πολυωνύμου (1) Έστω x t b s a s Έστω X s b s X s = a s R s = b m s m + b m 1 s m b 1 s + b 0 R s = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 R s οι n ρίζες της εξίσωσης p 1, p 2,, p n a s = 0 12

13 Μηδενικά πολυωνύμου (2) Το πολυώνυμο a s γράφεται a s = a n s p 1 s p 2 s p n Οι n ρίζες p 1, p 2,, p n της εξίσωσης a s = 0 ονομάζονται μηδενικά του πολυωνύμου a s. 13

14 Πόλοι της ρητής συνάρτησης Πόλοι της ρητής συνάρτησης b s X s = a s R s είναι τα μηδενικά του παρανομαστή a s. Μηδενικά της ρητής συνάρτησης X(s) είναι τα μηδενικά του αριθμητή b s. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας ρητής συνάρτησης μπορεί να υπολογιστεί αναπτύσσοντας τη ρητή συνάρτηση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. 14

15 Παραδοχή Στα παρακάτω κάνουμε την παραδοχή ότι η ρητή συνάρτηση b s X s = a s R pr s είναι αυστηρά κανονική dega s > degb s 15

16 1. Διακριτοί πόλοι Αν οι πόλοι p 1, p 2,, p n της X s είναι διακριτοί p i p j, i j τότε b s X s = a s = b s a n s p 1 s p 2 s p n c 1 c 2 c n = s p 1 s p 2 s p n όπου c i = s p i X s s=pi, i = 1,2,, n διότι s p i s p i X s = c i + c j j=1,j i s p j n 16

17 Πραγματικοί πόλοι p i R Αν p i R, τότε c i R και επειδή c i s p i c i e p it Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της X s είναι x t = c 1 e p 1t + c 2 e p 2t + + c n e p nt 17

18 Παράδειγμα 1 (1) Έστω όπου s + 2 X s = s 3 + 4s 2 + 3s R pr s a s = s 3 + 4s 2 + 3s = s s + 1 s + 3 p 1 = 0, p 2 = 1, p 3 = 3 X s = c 1 s 0 + c 2 s c 3 s + 3 x t = c 1 + c 2 e t + c 3 e 3t, t 0 18

19 Παράδειγμα 1 (2) c 1 = s 0 X s s=0 = s+2 s+1 s+3 s=0 = 2 3, c 2 = s + 1 X s s= 1 = s+2 s s+3 s= 1 = 1 2, c 3 = s + 3 X s s=3 = s+2 s s+1 s= 3 = 1 6 x t = e t 1 6 e 3t 19

20 Παράδειγμα 1 (3)

21 2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (1) Όταν οι πόλοι p 1, p 2,, p n της X s είναι πραγματικοί διακριτοί και δύο ή περισσότεροι πόλοι είναι συζυγείς μιγαδικοί. Έστω Τότε p 1 = σ 1 + jω 1, p 2 = p1 = σ 1 jω 1, σ 1, ω 1 R, ω 1 0 X s = c 1 + c 1 + c s p 1 s p 2 s p 3 s p n x t = c 1 e p1t + c1e p2t + c 3 e p3t + + c n e p nt c n 21

22 Μιγαδικοί πόλοι (1) b s X s = a s = s + 1 s 3 + 2s 2 + 2s R pr s Έχουμε έναν πραγματικό και δύο μιγαδικούς πόλους. a s = s 3 + 2s 2 + 2s = s s 2 + 2s + 2 Ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων: b s X s = a s = s + 1 s 3 + 2s 2 + 2s = a 1 s 0 + a 2s + a 3 s 2 + 2s + 2 = a 1 s 2 + 2s s a 2 s + a 3 s s 2 + 2s + 2 = a 1 + a 2 s 2 + 2a 1 + a 3 s + 2a 1 s s 2 + 2s

23 Μιγαδικοί πόλοι (2) Εξίσωση συντελεστών: X s = a 1 + a 2 = 0, 2a 1 + a 3 = 1, 2a 1 = 1 b s a s = s + 1 a 1 = 1 2, a 2 = 1 2, a 3 = 0 1 s 3 + 2s 2 + 2s = 1 2 s 1 2 = s 1 s 2 s = s s 2 + 2s + 2 = 23

24 Μιγαδικοί πόλοι (3) s 1 2 s + 1 s s + 1 s x t = 1 2 u t 1 2 cos t e t sin t e t

25 Μιγαδικοί πόλοι (4) b s X s = a s = s + 1 s 3 + 2s 2 + 2s R pr s Έχουμε έναν πραγματικό και δύο μιγαδικούς πόλους. a s = s 3 + 2s 2 + 2s = s s 2 + 2s + 2 = s s j s + 1 j Ανάλυση σε άθροισμα μερικών: b s X s = a s = s + 1 s 3 + 2s 2 + 2s = a 1 s + a 2 s j + a 3 s + 1 j a 1 = s s s j s + 1 s + 1 j s=0 = s s j s + 1 s + 1 j s=0 25

26 Μιγαδικοί πόλοι (5) a 2 = a 3 = s j = = s + 1 a 1 = s s + 1 j j s s j 2j 1 j = 1 2 s + 1 j j 1 j = 1 2 s + 1 s= 1 j s s j s + 1 j = 1 + j 2 s j s + 1 j s= 1 j 1 j j + 1 j s= 1+j = 26

27 Μιγαδικοί πόλοι (6) X s = = s + 1 s s j s= 1+j = 1 + j 1 j j j j = 2j 1 + j = 1 1 j = a b s a s = s + 1 s 3 + 2s 2 + 2s = s j 4 s j j 4 s + 1 j x t = 1 2 u t j e 1 j t + 1 4? 1 j e 1+j t 27

28 Μιγαδικοί πόλοι (7) c = 1 + j c = = 2 c = 2 cos 3π 4 + jsin 3π 4 arg c = ArcTan 1 1 = 3π 4 c = 1 j c = = 2 arg c = ArcTan 1 1 = π 4 η 3π 4 c = 2 cos 3π 4 + jsin 3π 4 = 2 cos 3π 4 jsin 3π 4 = 28

29 Μιγαδικοί πόλοι (8) x t = 1 2 u t j e 1 j t j e 1+j t = 1 2 u t j e t e jt j e t e jt = 1 2 u t e t 1 + j e jt + 1 j e jt = 1 2 u t e t 2 cos 3π 4 + jsin 3π cos 3π 4 jsin 3π 4 cos t jsin t cos t + jsin t 29

30 Μιγαδικοί πόλοι (9) 2 cos 3π 4 cos t j cos 3π 4 jsin 3π 4 cos t + sin 3π 4 sin t + sin t = 1 2 u t e t + 2 cos 3π 4 cos t + j cos 3π 4 sin t jsin 3π 4 cos t + sin 3π 4 sin(t) = u t + 4 e t cos 3π 4 cos t + sin 3π 4 = 1 2 u t e t cos t 3π 4 sin t 30

31 Μιγαδικοί πόλοι (10)

32 2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (2) Έστω c 1 = a + jβ c1 = a jβ c 1 = a 2 + β 2, φ = arctan β α Άρα c 1 = c 1 cosφ + j c 1 sinφ = c 1 cosφ + sinφ c1 = c 1 cosφ j c 1 sinφ = c 1 cosφ sinφ 32

33 2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (3) c 1 e p1t + c1e p2t = c 1 e σ 1+jω 1 t + c1e σ 1 jω 1 t = c 1 e σ1t c 1 e jω1t + c1e σ1t c 1 e jω 1t = c 1 cosφ + jsinφ e σ1t e jω 1t + c 1 cosφ jsinφ e σ1t e jω 1t = c 1 e σ1t cosφ + jsinφ cos ω 1 t + jsin ω 1 t + c 1 e σ1t cosφ jsinφ cos ω 1 t jsin ω 1 t = 33

34 2. Διακριτοί πόλοι και δύο ή περισσότεροι μιγαδικοί πόλοι (4) = c 1 e σ 1t cosφ cos ω 1 t + jcosφsin ω 1 t + jsinφ cos ω 1 t sinφsin ω 1 t + c 1 e σ 1t cosφ cos ω 1 t jcosφsin ω 1 t jsinφ cos ω 1 t sinφsin ω 1 t = 2 c 1 e σ 1t cos ω 1 t + φ Επομένως x t = c 1 e p 1t + c1e p 2t + c 3 e p 3t + + c n e p nt = 2 c 1 e σ 1t cos ω 1 t + φ + c 3 e p 3t + + c n e p nt 34

35 Παράδειγμα 2 (1) Έστω b s X s = a s = s 2 2s + 1 s 3 + 3s 2 + 4s + 2 R pr s a s = s 3 + 3s 2 + 4s + 2 = s j s + 1 j s + 1 X s p 1 = 1 + j, p 2 = p1 = 1 j, p 3 = 1 b s = a s = s + 1 s 3 + 2s 2 + 2s = c 1 s + 1 j + c 2 s j + c 3 s + 1 c 3 = s + 1 X s s= 1 = s2 2s + 1 s 2 + 2s + 2 s= 1 = 4 35

36 Παράδειγμα 2 (2) c 1 = s + 1 j X s s= 1+j = s 2 2s + 1 s + 1 j s + 1 s= 1+j = j c 1 = = 5 2, φ = arctan 4 3 = 126,87 c j 2 j x t = 2 c 1 e σ 1t cos ω 1 t + φ + c 3 e p 3t = e t cos t + 126,87 + 4e t 36

37 3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (1) X s = 5s 1 s 3 3s 2 = 5s 1 s s 2 = c 1 s c 2 s c 3 s 2 s X s = s c 1 s c 2 s c 3 s 2 = c 1 s c 2 + c 3 s 2 s s X s s= 1 = c 2 37

38 3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (2) d ds d ds s X s = d ds c 1 s c 2 + c 3 s 2 s = c 1 + c 32 s + 1 s 2 c 3 s s 2 2 s X s s= 1 = c 1 c 1 s 2 X s = s 2 s c 2 s c 3 s 2 = c 1 s 2 s c 2 s 2 s c 3 s 2 X s s=2 = c 3 38

39 3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (3) Έστω ότι ο πόλος p 1 έχει πολλαπλότητα r και οι υπόλοιποι p r+1, p r+2,, p n πόλοι είναι διακριτοί a s = a n s p 1 r s p r+1 s p n X s = c 1 s p 1 + b s = a s = b s a n s p r 1 s p r+1 s p n c 2 s p c r 1 s p r + c r s p r+1 c i = s p i X s s=pi, i = r + 1, r + 2,, n c n s p n 39

40 3. Επαναλαμβανόμενοι πόλοι (4) c r i = 1 i! d i ds i s p i r X s s=p i, i = 1,2,, r 1 αν p i R, i = 1,2,, n 1 s p i q tq 1 q 1! ep it, q = 1,2,3, 40

41 Παράδειγμα 3 X s = 5s 1 s 3 3s 2 = 5s 1 s s 2 = c 1 s c 2 s c 3 s 2 c 1 = d ds s X s = 9 s 2 2 s= 1 s= 1 = 1 = d ds 5s 1 s 2 c 2 = s X s s= 1 = 5s 1 s 2 s= 1 = 2 c 3 = s 2 X s s=2 = 5s 1 s s=2 = 1 x t s= 1 = e t + 2te t + e 2t 41

42 Γενικά Αν η αυστηρά κανονική ρητή συνάρτηση X s dega s = b s, a s > degb s έχει: Απλό πραγματικό πόλο p Πραγματικό πόλο p με πολλαπλότητα 2 Πραγματικό πόλο p με πολλαπλότητα r Απλό μιγαδικό πόλο p = σ ± jω Μιγαδικό πόλο p = σ ± jω με πολλαπλότητα 2 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace x(t) της X(s) έχει όρο της μορφής : ce pt, c R c 1 e pt + c 2 te pt, c 1, c 2 R c 1 e pt + c 2 te pt + + c r t r 1 e pt, c 1, c 2,.., c r R ce σt cos ωt + φ, c, φ R c 1 e σt cos ωt + φ 1 + c 2 te σt cos ωt + φ 2, c 1, c 2, φ 1, φ 2 R 42

43 Παράδειγμα 4 X s = 1 s s + 1 s 4 2 s + 2 3j s j p 1 = 0, p 2 = 1, p 3 = 4, p 4 = 4, p 5 = 2 + 3j, p 6 = p5 = 2 3j x t = c 1 + c 2 e t + c 3 e 4t + c 4 te 4t + c 5 e 2t cos 3t + φ c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, φ R Συμπέρασμα: Η μορφή του σήματος x(t) εξαρτάται μόνο από τους πόλους της X s = b s a s. (πόλοι της X(s)=ρίζες του παρανομαστή a(s)) Δεν εξαρτάται από τα μηδενικά της X(s). (μηδενικά της X(s)=ρίζες του αριθμητή b(s)) 43

44 Συνέπεια (1) Συνέπεια των παραπάνω είναι ότι η συμπεριφορά του σήματος x(t), όταν ο χρόνος t εξαρτάται μόνο από τους πόλους της X s = b s a s και lim x t = 0 Re p i < 0, i = 1,2,, n t + Re( s) 0 Im (s) Μιγαδικό επίπεδο s Re (s) j 44

45 Συνέπεια (2) Αν ένας πόλος της X(s) είναι ο p 1 = 0 και όλοι οι άλλοι πόλοι p i Re s < 0, αν δηλαδή X s b s = sa 1 s = c 1 s + b 1 s a 1 s a 1 s = r s p 1 2 r s p 2 r 3 s p n 1 n, p i 0, Re p i lim x t = c 1 = sx s s=0 = t + b 0 p 2 r1 p 3 r2 R p n rn 1 < 0, i = 2,3,, n b s = b 0 = a 1 s s=0 a

46 Παράδειγμα 5 X s = 2s2 3s + 4 s 3 + 3s 2 + 2s = 2s2 3s + 4 s s + 1 s + 2 p 1 = 0, p 2 = 1, p 3 = 2 lim x t = sx s s=0 = 2s2 3s + 4 = 2 t s + 1 s + 2 s=0 46

47 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 2011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α: Κλασική Θεωρία Ελέγχου, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. Alexander D. Poularikas, Transforms and applications handbook / editor, -- 3rd ed., CRC Press, Taylor & Francis Group (Chapter 5, Laplace Transforms, by Alexander D. Poularikas and Samuel Seely). 47

48 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 48

49 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 49

50 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 50

51 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο