1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

Transcript

1 .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής ακολουθίας. Τα φύλλα εργασίας στην περαιτέρω διερεύνηση, οδηγούν στον ορισμό όταν το όριο είναι διαφορετικό του μηδενός. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Να εισαχθούν στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Να εξοικειωθούν με γραφικές, αλγεβρικές και αριθμητικές αναπαραστάσεις συγκλινουσών ακολουθιών. Να επεκταθεί σταδιακά η εικόνα που δημιουργούν οι μαθητές για τη σύγκλιση ακολουθίας ώστε να αποφευχθούν πιθανές παρανοήσεις (πχ όλες οι ακολουθίες συγκλίνουν στο μηδέν, όλες οι συγκλίνουσες ακολουθίες είναι μονότονες). Λογική της δραστηριότητας Το πρόβλημα που χρησιμοποιείται στο πρώτο φύλλο εργασίας βασίζεται σε ένα από τα γνωστά παράδοξα του Ζήνωνα. Η επιλογή του προβλήματος είναι τέτοια ώστε μέσα από τη μελέτη μιας άπειρης διαδικασίας να οδηγούνται οι μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Το πρόβλημα στο δεύτερο φύλλο εργασίας προσφέρει επίσης οπτική αναπαράσταση η οποία γίνεται ακόμη πιο ισχυρή με τη χρήση του περιβάλλοντος δυναμικής γεωμετρίας. Οι διαδικασίες που ακολουθούνται στα δυο φύλλα εργασίας είναι παρόμοιες και μπορούν να περιγραφούν από σύγκλιση ακολουθιών. Οι ερωτήσεις που τίθενται έχουν επιλεγεί κατάλληλα ώστε να οδηγήσουν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Προτείνονται δυο ανεξάρτητα φύλλα εργασίας τα οποία οδηγούν στον ορισμό της μηδενικής ακολουθίας. Ο καθηγητής μπορεί να επιλέξει εάν θα χρησιμοποιήσει ένα από τα δυο ή και τα δυο. Κάθε φύλλο εργασίας μπορεί να πραγματοποιηθεί στα χρονικά πλαίσια μιας διδακτικής ώρας,

2 ενώ σε άλλη μια διδακτική ώρα μπορούν να πραγματοποιηθούν τα προβλήματα της περαιτέρω διερεύνησης. Το πρώτο φύλλο εργασίας καθώς και τα προβλήματα στην περαιτέρω διερεύνηση δεν απαιτούν λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας. 2

3 .2. Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Ι Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους. Ένα υλικό σημείο κινείται από το A προς το B : Κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα ΑΑ ίσο με το μισό του διαστήματος ΑΒ. Κατά τη διάρκεια της δεύτερης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα Α Α 2 ίσο με το μισό του διαστήματος Α Β. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο, κατά τη διάρκεια της μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα A - A ίσο με το μισό του διαστήματος A - B. (Δηλαδή, κάθε μέρα το κινητό καλύπτει το μισό της απόστασης που έχει απομείνει μέχρι να το B). Ε: Το κινητό θα φτάσει στο σημείο στο B; Είναι πιθανό οι απόψεις των μαθητών να διαφέρουν. Άλλοι να υποστηρίζουν ότι θα φτάσει και άλλοι όχι. Ο καθηγητής μπορεί να ζητήσει να αιτιολογηθεί η κάθε άποψη. Στόχος της συζήτησης είναι να καταλήξει η τάξη στο συμπέρασμα ότι το κινητό δεν θα φτάσει ποτέ στο B. Αυτό μπορεί να αιτιολογηθεί με απαγωγή σε άτοπο. Εάν υποθέσουμε ότι φτάνει τη μέρα, αυτό σημαίνει ότι τη - μέρα δεν είχε φτάσει στο B. Έστω Γ το σημείο στο οποίο βρισκόταν τη - μέρα. Τότε τη μέρα βρισκόταν στο μέσον A του διαστήματος ΓB, όμως αυτό είναι διαφορετικό από το B. Ε2: Υπολογίστε το μήκος των διαστημάτων A B, για =,2, AB= A B =... 2 A B = Από τα παραπάνω μπορεί να αιτιολογηθεί και αριθμητικά ότι το κινητό δε θα φτάσει ποτέ στο Β γιατί το δεν υπάρχει ώστε το A B να ισούται με μηδέν. Ε3: Έστω Γ ένα σημείο του AB τέτοιο ώστε Γ B = 0-6. Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ ; 3

4 Γνωρίζουμε από την προηγούμενη ερώτηση ότι Α B =. 2 Οπότε η ερώτηση είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: 6 6 Υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε < 0 ή 2 > 0 ; 2 Η πρόταση αυτή είναι αληθής διότι το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν έχει άνω 6 6 φράγμα. Συνεπώς υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε > 0. Άρα 2 > > 0. Αρκετοί μαθητές ενδεχομένως να προσπαθήσουν να λύσουν την παραπάνω ανίσωση χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης. Είναι προτιμότερο να εστιάσουμε στο γεγονός ότι μας ενδιαφέρει η ύπαρξη ενός τέτοιου και δεν είναι ανάγκη ο προσδιορισμός κάποιου συγκεκριμένου. Με αφορμή αυτό ο καθηγητής μπορεί να κάνει μια αναφορά στη διαφορά που υπάρχει μεταξύ του να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός αριθμού με μια ιδιότητα και να βρούμε έναν αριθμό με αυτή την ιδιότητα. Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τα σημεία Γ 2, Γ 3 τέτοια ώστε Γ 2 Β = 0-00, Γ 3 Β = Ένα επιχείρημα παρόμοιο με αυτό της Ε3 μπορεί να δείξει ότι το σημείο θα ξεπεράσει τα Γ 2 και Γ 3. Ε5: Έστω Γ ένα τυχαίο σημείο ανάμεσα στα Α και Β. Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ; Έστω ε το μήκος του ΓΒ. Η ερώτηση είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: Υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε 2 < ε ή 2 > ; ε Αυτό μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια με τις Ε3 και Ε4. Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Οι μαθητές μπορούν να εκφράσουν κάποια πρόταση όπως η ακόλουθη Για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε a 4 < ε. Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν μια μέρα το σημείο βρίσκεται μετά το Γ τότε και όλες τις επόμενες ημέρες θα συμβαίνει το ίδιο. Για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε a m < ε για όλα τα m. Παρόλο που στο πρόβλημα αυτό η πληροφορία που προστίθεται στην Ε7 είναι προφανής από τη φύση του προβλήματος (μονότονη ακολουθία), γνωρίζουμε ότι στη γενική περίπτωση οι συγκλίνουσες ακολουθίες δεν είναι μονότονες. Στα ερωτήματα της περαιτέρω διερεύνησης δίνονται κατάλληλα παραδείγματα.

5 .2.2. Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας ΙΙ Έστω ABΓΔ ένα τετράγωνο πλευράς μήκους, K το σημείο τομής των A B διαγωνίων του και A, B, Γ και Δ τα A B μέσα των KA, KB, KΓ και KΔ αντίστοιχα. A- B- A B Κατασκευάζουμε το τετράγωνο A B Γ Δ. K Δ Γ Αν A 2, B 2, Γ 2 και Δ 2 είναι τα μέσα των Δ- Γ- KA, KB, KΓ, και KΔ αντίστοιχα, Δ Γ κατασκευάζουμε το τετράγωνο A 2 B 2 Γ 2 Δ 2. Γενικά, αν A, B, Γ, Δ είναι τα μέσα των Δ Γ KA -, KB -, KΓ - και KΔ - αντίστοιχα, κατασκευάζουμε το τετράγωνο A B Γ Δ, για = 2, 3, Δηλαδή, κάθε τετράγωνο έχει κορυφές του τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν το K με τις κορυφές του τετραγώνου που κατασκευάστηκε στο προηγούμενο βήμα. Ε: Εκτός από το Κ υπάρχουν άλλα σημεία τα οποία ανήκουν στο εσωτερικό όλων των τετραγώνων; Ανοίξτε το αρχείο.2.2.activity.gr.euc και πειραματιστείτε. Στο εμβαδόν εμφανίζεται το εμβαδόν E του τετραγώνου A B Γ Δ. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο της μεγέθυνσης. Η τομή των εσωτερικών όλων των τετραγώνων ισούται με {K}. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί θεωρητικά με απαγωγή σε άτοπο. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει στην τομή αυτή σημείο L διαφορετικό του K τότε υπάρχει ώστε η διαγώνιος του τετραγώνου A B Γ Δ να είναι μικρότερη του ΚL. Άρα το L δεν θα ανήκει στο τετράγωνο A B Γ Δ. Ε2: Υπολογίστε τα εμβαδά E των A B Γ Δ για =, 2, 3, Οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι σε κάθε βήμα η πλευρά του τετραγώνου που προκύπτει ισούται με το μισό της πλευράς του προηγούμενου τετραγώνου και να φτάσουν επαγωγικά στο συμπέρασμα E = (/2 ) 2 =/4. Ε3: Έχει κάποιο από τα τετράγωνα εμβαδόν μικρότερο από 0-0 ; Η ερώτηση αυτή μπορεί να απαντηθεί και αλγεβρικά (αντίστοιχα με τη δραστηριότητα.2.) και με πειραματισμό στο EucliDraw. Η σύγκλιση της E είναι ιδιαίτερα γρήγορη 5

6 και οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν στο περιβάλλον αλλάζοντας την ακρίβεια των δεκαδικών ψηφίων. Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τον αριθμό Το περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απάντηση αυτής της ερώτησης, συνεπώς είναι απαραίτητη η χρήση αλγεβρικού επιχειρήματος. Ε5: Έστω ε > 0. Υπάρχει τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι μικρότερο από ε; Οι ερωτήσεις Ε3 και Ε4 προετοιμάζουν την ερώτηση Ε5 όπου γίνεται γενίκευση και το ε είναι πλέον μεταβλητή οδηγώντας τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Οι μαθητές μπορούν να εκφράσουν κάποια πρόταση όπως η ακόλουθη Για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός τέτοιος ώστε a < ε. Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν σε κάποιο βήμα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι μικρότερο του ε, τότε θα ισχύει το ίδιο σε όλα τα επόμενα βήματα. Για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός τέτοιος ώστε a < ε για κάθε m. m 6

7 Περαιτέρω διερεύνηση. Δίνεται η ακολουθία ( ) a =, =,2,.... (i) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: α (ii) Υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός λ τον οποίο προσεγγίζουν οι όροι της ακολουθίας a καθώς το μεγαλώνει; (iii) Υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόσταση του λ από αυτόν και τους επόμενούς του όρους να είναι μικρότερη από 0-6 ; Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τους αριθμούς 0-00 και αντίστοιχα. (iv) Έστωε > 0. Υπάρχει όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόστασή αυτού και των επόμενών του όρων από το λ να είναι μικρότερη απόε ; (v) Μπορείτε να περιγράψετε το συμπέρασμα της ερώτησης (iv) με συμβολικό τρόπο; 2. Απαντήστε στις ίδιες ερωτήσεις για την ακολουθία β = +, =,2,

8 .2. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο Όριο Ακολουθίας Ι Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους. Ένα υλικό σημείο κινείται από το A προς το B : Κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα ΑΑ ίσο με το μισό του διαστήματος ΑΒ. Κατά τη διάρκεια της δεύτερης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα Α Α 2 ίσο με το μισό του διαστήματος Α Β. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο, κατά τη διάρκεια της μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα A - A ίσο με το μισό του διαστήματος A - B. (Δηλαδή, κάθε μέρα το κινητό καλύπτει το μισό της απόστασης που έχει απομείνει μέχρι να το B). Ε: Το κινητό θα φτάσει στο σημείο στο B; Ε2: Υπολογίστε το μήκος των διαστημάτων A B, για =,2, AB = A2 B =... A B = 8

9 Ε3: Έστω Γ ένα σημείο του AB τέτοιο ώστε Γ B = 0-6. Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ ; Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τα σημεία Γ 2, Γ 3 τέτοια ώστε Γ 2 Β = 0-00, Γ 3 Β =

10 Ε5: Έστω Γ ένα τυχαίο σημείο ανάμεσα στα Α και Β. Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ; Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν μια μέρα το σημείο βρίσκεται μετά το Γ τότε και όλες τις επόμενες ημέρες θα συμβαίνει το ίδιο. 0

11 .2.2. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας ΙΙ Έστω ABΓΔ ένα τετράγωνο πλευράς μήκους, K το σημείο τομής των A B διαγωνίων του και A, B, Γ και Δ τα A B μέσα των KA, KB, KΓ και KΔ αντίστοιχα. A- B- A B Κατασκευάζουμε το τετράγωνο A B Γ Δ. K Δ Γ Αν A 2, B 2, Γ 2 και Δ 2 είναι τα μέσα των Δ- Γ- KA, KB, KΓ, και KΔ αντίστοιχα, Δ Γ κατασκευάζουμε το τετράγωνο A 2 B 2 Γ 2 Δ 2. Γενικά, αν A, B, Γ, Δ είναι τα μέσα των Δ Γ KA -, KB -, KΓ - και KΔ - αντίστοιχα, κατασκευάζουμε το τετράγωνο A B Γ Δ, για = 2, 3, Δηλαδή, κάθε τετράγωνο έχει κορυφές του τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν το K με τις κορυφές του τετραγώνου που κατασκευάστηκε στο προηγούμενο βήμα. Ε: Εκτός από το Κ υπάρχουν άλλα σημεία τα οποία ανήκουν στο εσωτερικό όλων των τετραγώνων; Ανοίξτε το αρχείο.2.2.activity.gr.euc και πειραματιστείτε. Ο αριθμός με την ταμπέλα εμβαδόν είναι το εμβαδόν E του τετραγώνου A B Γ Δ. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο της μεγέθυνσης.

12 Ε2: Υπολογίστε τα εμβαδά E των A B Γ Δ για =, 2, 3, Ε3: Έχει κάποιο από τα τετράγωνα εμβαδόν μικρότερο από 0-0 ; Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τον αριθμό

13 Ε5: Έστω ε > 0. Υπάρχει τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι μικρότερο από ε; Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν σε κάποιο βήμα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι μικρότερο του ε, τότε θα ισχύει το ίδιο σε όλα τα επόμενα βήματα. 3

14 Περαιτέρω διερεύνηση. Δίνεται η ακολουθία ( ) a =, =,2,.... (i) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: α (ii) Υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός λ τον οποίο προσεγγίζουν οι όροι της ακολουθίας a καθώς το μεγαλώνει; (iii) Υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόσταση του λ από αυτόν και τους επόμενούς του όρους να είναι μικρότερη από 0-6 ; Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τους αριθμούς 0-00 και αντίστοιχα. 4

15 (iv) Έστωε > 0. Υπάρχει όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόστασή αυτού και των επόμενών του όρων από το λ να είναι μικρότερη απόε ; (v) Μπορείτε να περιγράψετε το συμπέρασμα της ερώτησης (iv) με συμβολικό τρόπο; 2. Απαντήστε στις ίδιες ερωτήσεις για την ακολουθία β = +, =,2,