Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Γραφική µε Υπολογιστές Α. Ντελόπουλος Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Άνοιξη 2003

2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Τί είναι η Γραφική µε Υπολογιστές ; Είναι αυτό επιστήµη ; Ο κύκλος ωής των γραφικών Modeling Εφαρµογή Γραφικών Υποσύστηµα ηµιουργίας Γραφικών (Graphics Generation) Απεικόνιση Γραφικών - Display Υποσύστηµα Απεικόνισης Γραφικών (Display) Οι χρησιµοποιούµενες Συσκευές Αναπαράσταση του Χρώµατος Ο µηχανισµός προσέγγισης του Χρώµατος από µείγµα ϐασικών χρωµάτων Συστήµατα Χρωµατικών Συντεταγµένων εικτοδότηση Χρώµατος Εφαρµογή Γραφικών και Υποσύστηµα ηµιουργίας Γραφικών Χάραξη Γραµµών - Scan Line Conversion Χάραξη ευθύγραµµων τµηµάτων Χάραξη κύκλων Πλήρωση Κλειστών Σχηµάτων - Filling ιανύσµατα και Σηµεία ιανυσµατικοί χώροι Βάσεις και διάσταση διανυσµατικού χώρου Συστήµατα συντεταγµένων διανυσµατικού χώρου ιανυσµατικοί Μετασχηµατισµοί, Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί, Μετασχηµατισµοί Affine

3 4.1.4 Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων διανυσµατικού χώρου Χώροι Σηµείων Συστήµατα συντεταγµένων χώρου σηµείων Μετασχηµατισµοί και Οµογενείς Συντεταγµένες Σηµείου Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων χώρου σηµείων Οι Γεωµετρικοί διανυσµατικοί χώροι R n Ο χώρος των τριών διαστάσεων Καρτεσιανές και οµογενείς συντεταγµένες Μετασχηµατισµοί affine στις 3 διαστάσεις Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων Ο χώρος των δύο διαστάσεων Μετασχηµατισµοί affine και αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων στις 2 διαστάσεις Θέαση του τρισδιάστατου κόσµου : Από τις 3 στις 2 ιαστάσεις Εισαγωγή στις προβολές µε στοιχεία ϕυσικής οπτικής Μετασχηµατισµοί προοπτικής και ορθογραφικής προβολής Προοπτική προβολή Ορθογραφική προβολή Μετασχηµατισµοί ϑέασης Προσδιορισµός της ϑέσης µίας εικονικής κάµερας Από το WCS στο σύστηµα συντεταγµένων της κάµερας Το οπτικό πεδίο της κάµερας Αποκοπή (clipping) Αποκοπή από επίπεδα κυρτά πολύγωνα Αποκοπή ευθυγράµµων τµηµάτων Αποκοπή τριγώνων Αποκοπή από τρισδιάστατα κυρτά πολύεδρα Αναπαράσταση καµπυλών και επιφανειών Προσέγγιση µέσω τεθλασµένης γραµµής ή πολυέδρου Προσέγγιση καµπύλης γραµµής Προσέγγιση επιφάνειας Προσέγγιση µέσω αναπτύγµατος σε συναρτήσεις ϐάσης Πολυώνυµα Βάσης

4 7.2.2 Προσέγγιση καµπύλης γραµµής (Bezier Curves) Προσέγγιση επιφάνειας Μετασχηµατισµοί affine καµπύλων γραµµών και επιφανειών Φωτισµός (Illumination) Βασικοί ορισµοί και παραδοχές Απλά (ευριστικά) µοντέλα ϕωτισµού Αυτοφωτισµός ιάχυτο ϕως από το περιβάλλον (ambient light) ιάχυτη ανάκλαση (diffuse reflection - Lambertian reflection) Κατοπτρική ανάκλαση Το συνολικό µοντέλο ϕωτισµού Μοντέλα ϕωτισµού µε ϐάση τη ϕυσική οπτική

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Τί είναι η Γραφική µε Υπολογιστές ; Η Γραφική µε Υπολογιστές, ορολογία που προέρχεται από µετάφραση της αγγλικής Computer Graphics, είναι ο κλάδος της επιστήµης των υπολογιστών που ασχολείται µε τη µεθοδολογία δηµιουργίας συνθετικών οπτικών αναπαραστάσεων σε ψηφιακή µορφή. Προορισµός των αναπαραστάσεων αυτών είναι κατά περίπτωση η προβολή τους στις οθόνες υπολογιστών, η προβολή τους µε τη χρήση προβολέων ϐίντεο, η εµφάνισή τους στην τηλεόραση, η εκτύπωσή τους σε χαρτί ή και σε κινηµατογραφικό ϕιλµ. Συνεπώς η Γραφική µε Υπολογιστές ασχολείται µε το πώς η περιγραφή ενός µοντέλου που έχει περιγραφεί από τον άνθρωπο/χρήστη µπορεί να µετατραπεί σε ψηφιακή είκόνα προκειµένου να αποτυπωθεί σε ένα από τα προαναφερθέντα µέσα. Μερικά τυπικά παραδείγµατα-εφαρµογές ίσως είναι πιο διαφωτιστικά : 1. Η εµφάνιση/εκτύπωση κειµένου. 2. Η χάραξη γραφικών παραστάσεων ή σχεδίων. 3. Η ρεαλιστική αποτύπωση τρισδιάστων συνθετικών αντικειµένων (µακέτες) σε εφαρµογές CAD. 4. Η αποτύπωση (κινούµενων) συνθετικών χαρακτήρων (ανθρωπόµορφων ή όχι) ή/και συν- ϑετικού περιβάλλοντος (αντικείµενα, κτίρια, ϕωτισµός, σκιές) σε ϐίντεο ή ϕιλµ. 5. Η προβολή συνθέσεων όπως οι παραπάνω στην οθόνη υπολογιστή (π.χ. computer games). Αξίζει να επισηµάνουµε ότι οι εφαρµογές αυτού του είδους έχουν τη σηµαντικότατη επιπλέον απαίτηση για ταχεία - real time - οπτική αναπαραγωγή. 4

6 1.2 Είναι αυτό επιστήµη ; Περιδιαβαίνωντας ένα οποιοδήποτε τεχνικό ϐιβλιοπωλείο, είναι αλήθεια ότι, στα ϱάφια µε την ένδειξη γραφική µε υπολογιστές ϑα συναντήσει κανείς µία πληθώρα ϐιβλίων που στην πραγ- µατικότητα είναι εγχειρίδια χρήσης πακέτων λογισµικού που χρησιµοποιούνται για τη σχεδίαση και αναπαραγωγή συνθετικών κόσµων όπως οι προαναφερθέντες. Είναι επίσης αλήθεια ότι η γραφική µε υπολογιστές έχει, στην κοινή γλώσσα, ταυτιστεί µε την τέχνη και την τεχνική των χειριστών των εν λόγω προγραµµάτων. Ωστόσο, αυτό που αληθινά απασχολεί την επιστήµη της γραφικής µε υπολογιστές είναι : Η σχεδίαση δοµών δεδοµένων για την εύχρηστη αναπαράσταση των συνθετικών µοντέλων και των ιδιοτήτων τους. Η επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων, κυρίως, αναλυτικής γεωµετρίας, γραµµικής άλγε- ϐρας και µαθηµατικής ανάλυσης. Η σχεδίαση αλγορίθµων που διαχειρίζονται τις παραπάνω δοµές δεδοµένων και αξιοποιούν τις λύσεις των προαναφερθέντων µαθηµατικών προβληµάτων. Η σχεδίαση του κατάλληλου hardware για την ταχεία υλοποίηση των αλγορίθµων. Στο παρόν κείµενο ϑα επικεντρώσουµε στα τρία πρώτα στοιχεία και ϑα αναφερθούµε στο hardware µόνο αποσπασµατικά, όπου η αναφορά αυτή απαιτείται για την κατανόηση των σχεδιαστικών επιλογών των αντίστοιχων αλγορίθµων. 1.3 Ο κύκλος ωής των γραφικών Εχει ήδη αναφερθεί ότι ένα ολοκληρωµένο σύστηµα γραφικών χρησιµοποιείται για να παράγει και προβάλλει εικόνες (ακίνητες ή κινούµενες) που έχει συνθέσει ένας αρχικός δηµιουργός (designer) και στις οποίες έχει ενδεχοµένως παρέµβει κάποιος άλλος χρήστης (user) του συστήµατος. Οσον αφορά στο ίδιο το σύστηµα γραφικών, η λειτουργία του µπορεί να αναλυθεί σε τέσσερα υποσυστήµατα. Ο διαχωρισµός αυτός - αν και όχι πάντοτε ευδιάκριτος - ϐοηθά στην κατανόηση της ακολουθούµενης µεθοδολογίας. Η διαδοχή των τεσσάρων υποσυστηµάτων αναπαρίσταται στο Σχήµα 1.1 και αναλύεται παρακάτω Modeling Το πρώτο στάδιο στη λειτουργία του συστήµατος γραφικών είναι η περιγραφή της ιδέας του δηµιουργού µέσω της κατασκευής ενός µοντέλου που την περιγράφει. 5

7 designer modeling application graphics generator display user Σχήµα 1.1: Ο κύκλος ωής των γραφικών Ακόµη και στην απλούστερη εφαρµογή γραφικής µε υπολογιστές - όπως αυτή της δηµιουργίας µίας σελίδας κειµένου που στο τελικό στάδιο της διαδικασίας ϑα τυπωθεί σε χαρτί - ο δηµιουργός προετοιµάζει καταγράφει τη σύλληψη της ιδέας του υπό τη µορφή χαρακτήρων (ASCII) εµπλουτισµένων µε τυπογραφικού είδους πληροφορίες όπως αυτές του τί είδους font ϑα χρησι- µοποιηθεί, πώς επιθυµεί να γίνει η στοίχιση των γραµµών, τί ϕόντο ϑα χρησιµοποιηθεί κ.λπ. Σε πιο σύνθετες εφαρµογές, όπως αυτή της κατασκευής µίας ϐιοµηχανικής ή αρχιτεκτονικής µακέτας µε τη χρήση υπολογιστή (CAD) ο δηµιουργός αναλαµβάνει να περιγράψει αρκετά πιο σύν- ϑετα µοντέλα τα οποία έχουν πολύ πλουσιότερες ιδιότητες όπως αυτές του τρισδιάστατου σχήµατος, του χρώµατος, της υφής (texture), του ϕωτεισµού, της στιλπνότητας, κ.λπ. Οταν µάλιστα εξετάσουµε εφαρµογές γραφικών που εµπεριέχουν κίνηση, στις παραπάνω ιδιότητες προστίθενται κινηµατικές ϕυσικές ιδιότητες όπως η αδράνεια, η ελαστικότητα, ο συντελεστής τριβής κ.λπ. Τέλος, αν ο δηµιουργός επιθυµεί να επιτρέπει τη ωντανή αλληλεπίδραση του τελικού χρήστη µε το δηµιούργηµά του, τότε πρέπει να επαυξήσει τις ιδιότητές του µε µεθόδους αλληλεπίδρασης. Για παράδειγµα σε εφαρµογές όπως αυτές των computer games το µοντέλο πρέπει να εµπεριέχει την πληροφορία του τι ϑα κάνει όταν ο χρήστης δώσει τη µία ή την άλλη εντολή. Μερικές παρατηρήσεις είναι χρήσιµες στο σηµείο αυτό : 1. Κατά τη ϕάση της µοντελοποίησης καταγράφεται µε δοµηµένο τρόπο η ιδέα που έχει ο δηµιουργός για το τελικό προϊόν του συστήµατος γραφικών χωρίς όµως στο στάδιο αυτό να υπάρχει οπτικοποίηση του αποτελέσµατος. Θεωρητικά ένας τυφλός δηµιουργός µπορεί άριστα να ϕέρει σε πέρας τη διαδικασία της µοντελοποίησης µε την ίδια λογική που ένας κουφός συνθέτης µπορεί να καταγράψει την έµπνευσή του σε παρτιτούρες χωρίς να ακούει το ηχητικό του δηµιούργηµα. Στην πράξη ϐέβαια τα περισσότερα συστήµατα γραφικών 6

8 υποστηρίζουν το στάδιο της µοντελοποίησης παρέχοντας στο δηµιουργό ένα είδος ανατρο- ϕοδότησης σπεύδοντας να µιµούνται (έστω και σε χαµηλή ποιότητα) τα τρία επόµενα στάδια του συνολικού συστήµατος γραφικών (ϐλ. WYSIWYG word processors). 2. Κατά τη δηµιουργία του µοντέλου ο δηµιουργός (επανα)χρησιµοποιεί έτοιµα δοµικά στοιχεία τα οποία ανακαλεί χωρίς να χρειάζεται να τα δηµιουργήσει. Ετσι για παράδειγµα, επιλέγει τη χρήση κάποιου ϕοντ όταν στοιχειοθετεί ένα κείµενο ή χρησιµοποιεί επιµέρους µοντέλα αντικειµένων (έπιπλα, δένδρα, αυτοκίνητα) όταν προετοιµάζει ένα αρχιτεκτονικό µοντέλο. 3. Για την περιγραφή του µοντέλου απαιτείται µία γλώσσα περιγραφής. Επιπλέον στην πράξη χρησιµοποιείται εξειδικευµένο λογισµικό ώστε να διευκολύνεται και να γίνεται πιό διαισθητική η κατασκευή του µοντέλου. Το αποτέλεσµα αποθηκεύεται συνήθως υπό τη µορφή ψηφιακού αρχείου. Τα αρχεία τύπου.html αποτελούν παράδειγµα αποθηκευµένων µοντέλων στοιχειοθετηµένου κειµένου µε γλώσσα περιγραφής την HTML. Αντίστοιχα τα αρχεία των προγραµµάτων CAD αποτελούν παράδειγµα αποθηκευµένων τρισδιάστατων µοντέλων Εφαρµογή Γραφικών Εχοντας δεδοµένο το µοντέλο η εφαρµογή γραφικών αναλαµβάνει : 1. Να προσδιορίσει τις τιµές των ελεύθερων παραµέτρων του µοντέλου. Για παράδειγµα, τη µεγέθυνση υπό την οποία ϕαίνονται οι χαρακτήρες σε ένα κείµενο, τη γωνία ϑέασης ενός τρισδιάστατου µοντέλου/µακέτας, τη σχετική ϑέση των αντικειµένων σε εφαρµογές videogames κ.λπ. Ο προσδιορισµός των παραµέτρων, ανάλογα µε την εφαρµογή µπορεί να γίνει από το δηµιουργό ή/και από τον τελικό χρήστη του συστήµατος γραφικών. 2. Να αντικαταστήσει τις αναφορές σε έτοιµα δοµικά στοιχεία µε την πλήρη περιγραφή τους λαµβάνοντας µάλιστα υπόψη τις τρέχουσες τιµές των παραµέτρων του συνολικού µοντέλου (π.χ., γωνία ϑέασης). 3. Να δηµιουργήσει, όπου χρειάζεται, τη διδιάστατη περιγραφή του µοντέλου όχι όµως και τη διδιάστατη απεικόνισή του. Για παράδειγµα ένα ευθύγραµµο τµήµα του τρισδιάστατου χώρου που περιγράφεται στο µοντέλο µέσω των συντεταγµένων των άκρων του προβάλλεται σε ένα ευθύγραµµο τµήµα του διδιάστατου επιπέδου παρατήρησης και προσδιορίζονται και πάλι οι διδιάστατες συντεταγµένες των άκρων. εν καθορίζονται όµως ποιά pixels της οθόνης ϑα χρωµατιστούν για να αναπαραστήσουν το προβεβληµένο ευθύγραµµο τµήµα. 7

9 1.3.3 Υποσύστηµα ηµιουργίας Γραφικών (Graphics Generation) Το Υποσύστηµα ηµιουργίας Γραφικών παραλαµβάνει την τρέχουσα αναλυτική περιγραφή του µοντέλου, όπως έχει υπολογιστεί από την Εφαρµογή Γραφικών, και τη απεικονίζει σε µία διδιάστατη εικόνα έτοιµη να προβληθεί / αποτυπωθεί στην έξοδο του συστήµατος γραφικών. Η εικόνα αυτή αποθηκεύεται προσωρινά σε µία γρήγορη τοπική µνήµη. Αξίζει να σηµειωθεί ότι το σύνορο µεταξύ των λειτουργιών της Εφαρµογής Γραφικών και του Υποσυστήµατος ηµιουργίας Γραφικών δεν είναι αυστηρά καθορισµένο. Επειδή το Υ Γ είναι συνήθως υλοποιηµένο σε harware, σηµαντική ϐελτίωση της ταχύτητας του συνολικού συστήµατος επιτυγχάνεται όταν το Υ Γ είναι σε ϑέση να δέχεται περιγραφές υψηλού επιπέδου. Για παράδειγµα, αν αντί για την Εφαρµογή Γραφικών αναλαµβάνει το Υ Γ την προβολή των τρισδιάστατων σχηµάτων στο διδιάστατο επίπεδο παρατήρησης η ταχύτητα του συνολικού συστήµατος αυξάνεται σηµαντικά Απεικόνιση Γραφικών - Display Η ϐαθµίδα Απεικόνισης Γραφικών αποτελεί την τελική έξοδο του Συστήµατος Γραφικών. Πρόκειται συνήθως για µία συσκευή (οθόνη, προβολέας, εκτυπωτής) που παραλαµβάνει τη διδιάστατη εικόνα που δηµιούργησε το Υ Γ και την προβάλει στο κατάλληλο µέσο (επιφάνεια οθόνης, πέτασµα, χαρτί, film). 8

10 Κεφάλαιο 2 Υποσύστηµα Απεικόνισης Γραφικών (Display) 2.1 Οι χρησιµοποιούµενες Συσκευές (Η ενοτητα αυτη δεν θα περιληφθει στις σηµειωσεις του ακαδηµαϊκου ετους 2003.) 2.2 Αναπαράσταση του Χρώµατος Το Υποσύστηµα Απεικόνισης Γραφικών επιτυγχάνει να δώσει στους χρήστες την αίσθηση του χρώ- µατος κάθε σηµείου της απεικονιζόµενης σκηνής µέσω της εκποµπής ενός µείγµατος σχεδόν µονοχρωµατικών ϐασικών χρωµάτων. Χάρη σε µια ατέλεια του ανθρώπινου αισθητηρίου της όρασης, το µείγµα αυτό µπορεί να δώσει υποκειµενικό αίσθηµα ίδιο µε το αίσθηµα µιας επιθυµητής χρω- µατικής απόχρωσης. Τα ϐασικά χρώµατα που χρησιµοποιούνται στα Υποσυστήµατα Απεικόνισης είναι συνήθως τρία και έχουν µήκη κύµατος που ϐρίσκονται στις περιοχές του Κόκκινου (R), του Πράσινου (G) και του Μπλε (B) Ο µηχανισµός προσέγγισης του Χρώµατος από µείγµα ϐασικών χρωµάτων Η χρωµατική πληροφορία µίας σηµειακής ϕωτεινής πηγής αναπαρίσταται µέσω ενός διανύσµατος τριών χρωµατικών συνιστωσών. Η αναπαράσταση αυτή γίνεται εφικτή χάρη στη ϕυσιολογία του ανθρώπινου αισθητηρίου της όρασης. Η αίσθηση του χρώµατος προκύπτει από το συνδυασµό του ερεθίσµατος που δέχονται τρεις διαφορετικοί τύποι κονίων (κύτταρα διάσπαρτα στον αµφιβληστροειδή του µατιού). Κάθε τύπος κονίου έχει διαφορετική συχνοτική απόκριση όταν διεγείρεται από το ορατό ϕως (Με µήκη κύµατος λ [λ min, λ max ] όπου λ min 360nm και λ max 830nm). Αν µία ϕωτεινή πηγή έχει ϕασµατικό περιεχόµενο f (λ) τότε το ερέθισµα που ϕτάνει στον εγκέφαλο 9

11 Σχήµα 2.1: Αποκρίσεις συχνότητας (s i (λ), i = 1, 2, 3) στην περιοχή του ορατού ϕάσµατος. Οι συναρτήσεις απόκρισης µεγιστοποιούνται κατά σειρά στις περιοχές του κόκκινου (R), πράσινου (G) και µπλε (B). ισοδυναµεί µε το διάνυσµα, c 1 c = c 2, όπου c i = c 3 λmax λ min s i (λ)f (λ)dλ, i = 1, 2, 3. (2.1) Οι συναρτήσεις s i (λ) µεγιστοποιούνται στις περιοχές του κόκκινου (R), πράσινου (G) και µπλε (B) όπως ϕαίνεται από τις αντίστοιχες καµπύλες του Σχήµατος 2.1. Αν δύο πηγές µε διαφορετικά ϕασµατικά περιεχόµενα f 1 (λ) και f 2 (λ) αντίστοιχα τυχαίνει να παράγουν το ίδιο διάνυσµα c τότε εµφανίζονται να έχουν το ίδιο χρώµα. Το διάνυσµα c ονοµάζεται προσλαµβανόµενο χρώµα. Για απλούστευση τα ολοκληρώµατα στη Σχέση (2.1) ϑα αντικατασταθούν στη συνέχεια από 10

12 αθροίσµατα της µορφής, c i s i (λ k )f (λ k ) k=1 N οπότε η Σχέση (2.1) µπορεί να γραφεί c = S T f (2.2) όπου και. s 1 (λ 1 ) s 2 (λ 1 ) s 3 (λ 1 ) s S = 1 (λ 2 ) s 2 (λ 2 ) s 3 (λ 2 )... s 1 (λ N ) s 2 (λ N ) s 3 (λ N ) f (λ 1 ) f (λ S = 2 ). f (λ N ) Αντίστοιχος µε τη λειτουργία του µατιού είναι ο µηχανισµός καταγραφής µίας έγχρωµης CCD κάµερας. Οταν η ίδια ϕωτεινή πηγή καταγράφεται από την κάµερα παράγεται ένα αντίστοιχο διάνυσµα µετρήσεων a 1 a = a 2, όπου a i = a 3 λmax λ min m i (λ)f (λ)dλ, i = 1, 2, 3. (2.3) όπου m i (λ) είναι οι αποκρίσεις συχνότητας (ϕίλτρα) τριών ϕωτοευαίσθητων αισθητήρων που αντιστοιχούν σε κάθε ϑέση (pixel) του CCD. Το διάνυσµα a ονοµάζεται καταγραφόµενο χρώµα. Τα τρία ϕίλτρα που χρησιµοποιούνται έχουν χρωµατική επιλεκτικότητα και παρουσιάζουν, συνήθως, µέγιστο στις περιοχές του κόκκινου (R), πράσινου (G) και µπλε (B) κατά µίµηση των συναρτήσεων s i (λ) του ανθρώπινου µατιού. Από τη ϕύση του λοιπόν το καταγραφόµενο χρώµα είναι ένα διάνυσµα RGB. ιακριτοποιώντας τη Σχέση (2.3) όπως και προηγουµένως έχουµε : a = M T f (2.4) όπου ο πίνακας M ορίζεται αντίστοιχα προς τον S. Το ητούµενο είναι πώς µε ϐάση το διάνυσµα a µπορεί να αναπαραχθεί ϕωτεινή ακτινοβολία που να δίνει το ίδιο υποκειµενικό αποτέλεσµα µε 11

13 το ϕως της αρχικής πηγής, δηλαδή c. Η εν λόγω αναπαραγωγή κατά περίπτωση ϑα γίνει από την οθόνη µιας τηλεόρασης, το µόνιτορ ενός υπολογιστή, την έγχρωµη εκτύπωση σε λευκό χαρτί, κ.λπ. Στη συνέχεια ϑα εξετάσουµε την απλή, αλλά διαφωτιστική, εκδοχή ενός τριχρωµατικού προβολέα (προθεςτορ). Το ϕως που παράγεται (για ένα σηµείο του πετάσµατος) από τον προβολέα είναι η σύνθεση των τριών ϕωτεινών δεσµών του προβολέα µε ϕάσµα p i (f ), i = 1, 2, 3. Το ϕάσµα της κάθε δέσµης είναι συγκεντρωµένο σε διαφορετικές περιοχές ϕωτεινών συχνοτήτων κατ αναλογία µε τις συναρτήσεις s i (f ) του µατιού. Ο προβολέας ϱυθµίζει το κέρδος κάθε δέσµης µε ϐάση τις συνιστώσες του διανύσµατος a που έχει παραχθεί από την κάµερα. Συγκεκριµένα, το παραγόµενο ϕως έχει ϕάσµα : g(f ) = a c 1 p 1(f ) + a c 2 p 2(f ) + a c 3 p 3(f ) (2.5) όπου a c a c 1 a c 2 = Tc a, (2.6) a c 3 όπου ο 3 3 πίνακας T c επιτρέπει τη λεγόµενη διόρθωση χρώµατος του προβολέα (ϑα δούµε στη συνέχεια το ϱόλο του πίνακα αυτού). Αν διακριτοποιήσουµε τη συχνότητα f όπως και προηγουµένως η παραπάνω σχέση γράφεται, g = a1 c p 1 + a2 c p 2 + a3 c p 3 (2.7) = [p 1, p 2, p 3 ]a c (2.8) = [p 1, p 2, p 3 ]T c a (2.9) = Pa (2.10) όπου ο N 3 πίνακας P = [p 1, p 2, p 3 ]T c εξαρτάται από το ϕασµατικό περιεχόµενο των τριών δεσµών του προβολέα και τον πίνακα διόρθωσης χρώµατος. Οταν το ανθρώπινο µάτι δεχθεί το ϕωτεινό ερέθισµα από το συγκεκριµένο σηµείο του πετάσ- µατος, σύµφωνα µε τη Σχέση (2.2) ϑα αντιληφθεί το προσλαµβανόµενο χρώµα ĉ = S T g = S T Pa = S T PM T f (2.11) όπου διαδοχικά χρησιµοποιήσαµε τις Σχέσεις (2.7) και (2.4). Για να έχει το προβαλλόµενο σηµείο το ίδιο προσλαµβανόµενο χρώµα µε αυτό της αρχικής πηγής ϑα πρέπει ĉ = c δηλαδή S T f = S T PM T f (2.12) Μάλιστα η Σχέση (2.12) πρέπει να ισχύει ανεξαρτήτως του χρώµατος της αρχικής πηγής f. Συνεπώς για να εξασφαλιστεί ότι η διαδικασία καταγραφής-αναπαραγωγής δεν αλλοιώνει το χρωµατικό 12

14 περιεχόµενο ϑα πρέπει : S T = S T PM T (2.13) όπου ο πίνακας S εξαρτάται από την ευαισθησία του ανθρώπινου µατιού στις συχνότητες του ορατού ϕωτεινού ϕάσµατος, ο πίνακας M εξαρτάται αποκλειστικά από την αντίστοιχη ευαισθησία της κάµερας και ο πίνακας P καθορίζεται από το ϕασµατικό περιεχόµενο των τριών δεσµών του προβολέα. Η ικανοποίηση της Σχέσης (2.13) είναι εφικτή υπό τις ακόλουθες παραδοχές : Αν και ο πίνακας S διαφοροποιείται από άνθρωπο σε άνθρωπο, µπορούµε να υποθέσουµε ότι υπάρχει ένας αντιπροσωπευτικός πίνακας που περίπου περιγράφει το µέσο ϑεατή. Για κάθε συνδυασµό κάµερας / προβολέα κάνουµε µία από τις ακόλουθες δύο ϱυθµίσεις : 1. Για δεδοµένο µοντέλο κάµερας (δηλαδή συγκεκριµένο πίνακα M επιλέγεται πειρα- µατικά 1 ο κατάλληλος πίνακας P του προβολέα έτσι ώστε να ικανοποιείται η Σχέση (2.13). Τούτο είναι εφικτό µε κατάλληλη επιλογή του πίνακα διόρθωσης χρώµατος T c. 2. Επιλέγονται κατάλληλα τα τρία ϕίλτρα m i (λ) της κάµερας, ισοδύναµα ο πίνακας M έτσι ώστε για δεδοµένους πίνακες S και P να ισχύει η Σχέση (2.13). Και εδώ η επιλογή γίνεται µε πειραµατικό τρόπο. Συνοψίζοντας, το προσλαµβανόµενο χρώµα c = S T f ενός ϕωτεινού σηµείου αναπαρίσταται από το καταγραφόµενο χρώµα a = M T f και από αυτό αναπαράγεται το προσλαµβανόµενο χρώµα ĉ = S T Pa λαµβάνοντας µέριµνα ώστε ĉ c Συστήµατα Χρωµατικών Συντεταγµένων Οπως έχει ήδη αναφερθεί, το καταγραφόµενο χρώµα a αναπαριστά κατά προσέγγιση τη συµµετοχή του κόκκινου, πράσινου και µπλε µέρους του ορατού ϕάσµατος στη σύνθεση ενός χρώµατος. Για το λόγο αυτό το συγκεκριµένο σύστηµα χρωµατικών συνιστωσών είναι το γνωστό ως RGB (Red- Green-Blue). Άλλα χρωµατικά συστήµατα όπως τα YIQ, YUV, YCrCb, CMY και CMYK είναι επίσης πολύ διαδεδοµένα (το τελευταίο χρησιµοποιεί 4 χρωµατικές συνιστώσες). Στα συστήµατα αυτά, το χρώµα αναπαρίσταται µέσω µίας τριάδας (ή και τετράδας) χρωµατικών συντεταγµένων που έχει αµφι- µονοσήµαντη σχέση µε το διάνυσµα a της αναπαράστασης RGB. Ο Πίνακας 2.1 περιέχει τους µετασχηµατισµούς του RGB διανύσµατος a στις παραπάνω εναλλακτικές αναπαραστάσεις. 1 Η πειραµατική διαδικασία στηρίζεται στην υποκειµενική κρίση αντιπροσωπευτικού αριθµού ανθρώπων που, για ένα πλήθος µονοχρωµατικών πηγών, αναλαµβάνουν να συγκρίνουν το ϕως της κάθε αρχικής πηγής µε αυτό που αναπαράγει ο προβολέας. 13

15 Πίνακασ 2.1: Συνηθέστερα συστήµατα χρωµατικών συντεταγµένων Σύστηµα Μετασχηµατισµός Χρήση και Σχόλια YUV a YUV [Y, U, V] T = Ta όπου T = YIQ a YIQ [Y, I, Q] T = Ta όπου T = YCrCb a YCrCb [Y, Cr, Cb] T = Ta όπου T = Χρησιµοποιείται από το ευρωπαϊκό πρότυπο τηλεό- ϱασης PAL. Η συνιστώσα Y του διανύσµατος αντιπροσωπεύει τη ϕωτεινότητα Χρησιµοποιείται από το αµερικανικό πρότυπο τηλεό- ϱασης NTSC Χρησιµοποιείται από τα πρότυπα κωδικοποίησης εικόνων και ϐίντεο JPEG και MPEG αντίστοιχα CMY a CMY = [1 1 1] T a Το σύστηµα (Cyan, Magenta, Yellow) είναι συµπληρω- CMYK a CMYK = [Ċ, Ṁ, Ẏ, K ] T όπου µατικό του συστήµατος RGB Το σύστηµα (Cyan,Magenta,Yellow,Black) χρησι- µε αναφορά στις συντεταγ- µένες του συστήµατος CMY, K = min(c, M, Y ), Ċ = C K, Ṁ = µοποιείται σε λευκό χαρτί εφαρµογές έγχρωµης εκτύπωσης σε M K, Ẏ = Y K HSV ορίζονται µέσω µη-γραµµικών Τα HSV και LAB είναι οµοιόµορφα ως προς το ανθρώ- και µετασχηµατισµών του RGB. πινο αισθητήριο. Οταν το µάτι αντιλαµβάνεται πως, LAB µεταξύ δύο χρωµάτων, το ένα πλησιάζει περισσότερο σε ένα χρώµα αναφοράς, η ίδια σχέση ισχύει και για τις Ευκλείδειες αποστάσεις των χρωµατικών τους συντεταγµένων. 14

16 2.2.3 εικτοδότηση Χρώµατος εικτοδότηση χρώµατος, είναι η εφαρµογή διανυσµατικού κβαντισµού στο διανυσµατικό χώρο των χρωµάτων a R 3. Πειραµατικά αποτελέσµατα έχουν καταδείξει ότι το ανθρώπινο µάτι µπορεί να διακρίνει µόνο ένα µικρό αριθµό από διαφορετικές χρωµατικές αποχρώσεις όταν αυτές συνυπάρχουν σε µία εικόνα. Με ϐάση αυτή την παρατήρηση η ιδέα του κβαντισµού των χρωµάτων σε µία εικόνα εµφανίστηκε ελκυστική κυρίως για λόγους συµπίεσης του όγκου των αναπαραστάσεων. Τα σύµβολα του διανυσµατικού κβαντιστή που χρησιµοποιείται είναι κατά σύµβαση οι αριθµοί από 1 έως N όπου N είναι το πλήθος των κβαντικών σταθµών. Ο αποκβαντισµός γίνεται µε εξαιρετικά απλό τρόπο µέσω ενός χρωµατικού πίνακα (color map) A διαστάσεων N 3 ο οποίος έχει στην i-γραµµή του το χρώµα a που αντιστοιχεί στην i κβαντική στάθµη (π.χ. το pixel µε δεικτοδοτηµένο χρώµα 5 ϑα έχει πραγµατικό χρώµα a = A(5, 1 : 3) T ). Τυπικές τιµές του N είναι 2 1, 2 4, 2 8 και 2 16 µε πιο συνηθισµένη την N = 2 8 =

17 Κεφάλαιο 3 Εφαρµογή Γραφικών και Υποσύστηµα ηµιουργίας Γραφικών 3.1 Χάραξη Γραµµών - Scan Line Conversion Ο όρος Χάραξη Γραµµών αναφέρεται στην προσέγγιση µίας διδιάστατης γραµµής στο διακριτό πλέγµα σηµείων (pixels) της ψηφιακής εικόνας που παράγεται στην έξοδο του συστήµατος γραφικών. ιακρίνονται δύο κατηγορίες αλγορίθµων χάραξης γραµµών : (α) αυτοί που χαράζουν µονοχρωµατικές γραµµές (π.χ., µαύρο πάνω σε άσπρο) και (ϐ) αυτοί που για να επιτύχουν καλύτερο οπτικό αποτέλεσµα χρησιµοποιούν και ενδιάµεσες αποχρώσεις (π.χ., αποχρώσεις του γκρί για τη χάραξη µίας µαύρης γραµµής πάνω σε άσπρο ϕόντο) Χάραξη ευθύγραµµων τµηµάτων Οι αλγόριθµοι χάραξης που εξετάζουµε αφορούν τη χάραξη ευθύγραµµων τµηµάτων µε άκρα πάνω στό διακριτό πλέγµα των pixels. Συγκεκριµένα, το ητούµενο είναι η χάραξη του ευθύγραµµου τµήµατος µεταξύ των σηµείων (x 0, y 0 ) και (x 1, y 1 ) όπου x 0 < x 1 και x 0, y 0, x 1, y 1 Z. Η εν λόγω ευθεία περιγράφεται από την εξίσωση y = mx + b µε m = y x y 1 y 0, x = x 1 x 0 και b = y 0 mx 0. Αλγόριθµος 1: R, όπου y = Dx = x1-x0; Dy = y1-y0; m = Dy/Dx; b = y0-m*x0; for x=x0:1:x1 16

18 y=mx+b; yp = floor(0.5+y); drawpixel(x,yp); end Τα Σχήµατα 3.1 και 3.2 δείχνουν το αποτέλεσµα του αλγορίθµου για 0 < m < 1 και m > 1 αντίστοιχα. Στην πρώτη περίπτωση (0 < m < 1) η διακριτή προσέγγιση του ευθύγραµµου τµήµατος είναι αρκετά ικανοποιητική χάρη στο γεγονός ότι για κάθε x [x 0 x 1 ] υπάρχει ένα δείγµα που ανήκει στην προσέγγιση αλλά ταυτόχρονα και για κάθε y [y 0 y 1 ] υπάρχει ένα τουλάχιστο δείγµα που επίσης ανήκει στην προσέγγιση. ίνεται έτσι η αίσθηση της συνεχόµενης γραµµής. Αντίθετα, στην περίπτωση που m > 1 η δεύτερη συνθήκη δεν ικανοποιείται µε αποτέλεσµα η προσέγγιση να δίνει την αίσθηση διακεκοµµένου ευθύγραµµου τµήµατος. Αυτή η αδυναµία του αλγορίθµου µπορεί να ξεπεραστεί αν στην περίπτωση που m > 1 χρησιµοποιηθεί το y σαν ανεξάρτητη µεταβλητή : Dx = x1-x0; Dy = y1-y0; m = Dy/Dx; b = y0-m*x0; invm = 1/m; invmb = b*invm; if (m<=1) for x=x0:1:x1 y=m*x+b yp = floor(0.5+y) drawpixel(x,yp) end else for y=y0:1:y1 x=invm*x-invmb; xp = floor(0.5+x) drawpixel(xp,y) end end Με την παραπάνω τροποποίηση του αρχικού αλγορίθµου καλύπτονται ικανοποιητικά οι περιπτώσεις όπου m 0 που αντιστοιχεί στη συνθήκη y 1 y 0. Για m < 0 ο ίδιος αλγόριθµος µπορεί 17

19 Σχήµα 3.1: Αλγόριθµος 1, 0 < m < 1 να χρησιµοποιηθεί µε κατάλληλες αλλαγές στα πρόσηµα των m και y. Η πολυπλοκότητα του Αλγορίθµου 1: Κατά την εκτέλεση του αλγορίθµου απαιτούνται Dx 0 m 1 N = max(dx, Dy) = Dy m > 1 επαναλήψεις υπολογισµού της δεσµευµένης συντεταγµένης (yp ή xp)αντίστοιχα µε συνολικό υπολογιστικό κόστος : N πραγµατικούς πολλαπλασιασµούς, N πραγµατικές προσθέσεις και N στρογγυλοποιήσεις. Αλγόριθµος 2: Digital Differential Analyzer - DDA Ο παρακάτω αλγόριθµος δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µειώνοντας το υπολογιστικό κόστος. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας παρουσιάζεται µόνο η εκδοχή του για 0 m 1. Ο αλγόριθµος στηρίζεται στην παρατήρηση ότι στην i + 1-επανάληψη ισχύει ότι : x i+1 = x i + 1 y i+1 = mx i+1 + b = m(x i + 1) + b = y i + m Συνεπώς είναι δυνατός ο αναδροµικός υπολογισµός της τεταγµένης y ως ακολούθως : Dx = x1-x0; Dy = y1-y0; m = Dy/Dx; 18

20 Σχήµα 3.2: Αλγόριθµος 1, m > 1 b = y0-m*x0; x=x0; y=y0; yp = floor(0.5+y) drawpixel(x,yp) for i=x0+1:1:x1 x=i; y=y+m; yp = floor(0.5+y) drawpixel(x,yp) end Αποτέλεσµα του αναδροµικού υπολογισµού είναι η µείωση της πολυπλοκότητας σε : N πραγ- µατικές προσθέσεις και N στρογγυλοποιήσεις. Είναι σηµαντικό το ότι δεν απαιτείται κανένας πολλαπλασιασµός. υστυχώς, το αντίτιµο στην παραπάνω υλοποίηση είναι η συσσώρευση σφάλµατος στρογγυλοποίησης λόγω της αναγκαστικά πεπερασµένης ακρίβειας στην αναπαράσταση του πραγµατικού αριθµού m. Αλγόριθµος 3: Ο αλγόριθµος του Bresenham (1965) Με αναφορά στο Σχήµα 3.3 ο αλγόριθµος του Bresenham παρακολουθεί και ενηµερώνει 19

21 yne=ye+1 ye P NE Q E xi xi+1 Σχήµα 3.3: Αλγόριθµος του Bresenham αναδροµικά την απόσταση του σηµείου Q που αντιστοιχεί στην ιδανική τεταγµένη του ευθύγραµ- µου τµήµατος στη ϑέση x i+1 = x 0 + i από τις δύο δυνατές προσεγγίσεις E και NE. Σε κάθε ϐήµα του αλγορίθµου επιλέγεται ένα από τα δύο υποψήφια σηµεία ανάλογα µε το ποιό ϐρίσκεται πλησιέστερα προς την ιδανικό σηµείο Q. Η σχετική απόφαση λαµβάνεται παρακολουθώντας το πρόσηµο της διαφοράς d i=δ(q, NE) δ(q, E) όπου, δ(q, NE) = y NE y Q = (y i + 1) (m(x i + 1) + b) δ(q, E) = y Q y E = (m(x i + 1) + b) y i οπότε, d i = δ(q, NE) δ(q, E) = 2y i 2mx i 2m 2b + 1. Αν d i 0 επιλέγεται ως επόµενο σηµείο το E, δηλαδή, y i+1 = y i. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα ότι στην επόµενη επανάληψη η µεταβλητή ελέγχου ϑα πάρει την τιµή : d i+1 = 2y i 2m(x i + 1) 2m 2b + 1 = d i 2m. Αντίστοιχα αν d i < 0 επιλέγεται ως επόµενο σηµείο το NE, δηλαδή, y i+1 = y i + 1. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα ότι στην επόµενη επανάληψη η µεταβλητή ελέγχου ϑα πάρει την τιµή : d i+1 = 2(y i + 1) 2m(x i + 1) 2m 2b + 1 = d i 2m + 2. Στις δύο παραπάνω αναδροµές ο όρος 2m είναι ϱητός αριθµός (m = y 1 y 0 x 1 x 0 ). Χωρίς αλλοίωση της συνθήκης ελέγχου, είναι εφικτή η µείωση του υπολογιστικού κόστους µε την υιοθέτηση της µεταβλητής f i=(x1 x 0 )d i οπότε η αναδροµή περιέχει µόνο ακέραιες προσθαφαιρέσεις : f i y f i 0 f i+1 = f i y + x f i < 0 (3.1) όπου x =2(x1 x 0 ) και y =2(y1 y 0 ). Με ϐάση τα παραπάνω ο αλγόριθµος του Bresenham για 0 m 1 έχει ως ακολούθως : 20

22 DeltaX = 2*(x1-x0); DeltaY = 2*(y1-y0); x = x0; y = y0; f = -DeltaY + DeltaX/2; drawpixel(x,y) for i=x0+1:1:x1 x=i; if f<0 y=y+1; f=f + DeltaX; end f = f - DeltaY; drawpixel(x,y) end Η αρχικοποίηση f = -DeltaY + DeltaX/2; προκύπτει αν ϑέσουµε στην (3.1) x i = x 0, y i = y 0 και λάβουµε υπόψη ότι y 0 = mx 0 + b. Το αναµενόµενο υπολογιστικό κόστος είναι N ακέραιες προσθαφαιρέσεις ενώ δεν υπάρχει το πρόβληµα της συσσώρευσης σφάλµατος (που είχε ο Αλγόριθµος 2 ). Με κατάλληλες µετατροπές ο αλγόριθµος του Bresenham καλύπτει και τις περιπτώσεις που το m ϐρίσκεται εκτός του διαστή- µατος (0, 1) Χάραξη κύκλων Στην ενότητα αυτή εξετάζεται η χάραξη κύκλων µε ακέραια ακτίνα, r Z, και κέντρο στο σηµείο (0, 0). Με ευκολία -µια απλή µετατόπιση τών προς χάραξη σηµείων - οι αλγόριθµοι επεκτείνονται σε κύκλους µε αυθαίρετο κέντρο (x c, y c ) Z 2. Είναι ωστόσο αρκετά διαφορετική η αντιµετώπιση της χάραξης όταν είτε οι συντεταγµένες του κέντρου είτε η ακτίνα είναι µή ακέραιες ποσότητες. Κάθε σηµείο (x, y) του παραπάνω κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση x 2 + y 2 = r 2 (3.2) ή σε πολική µορφή x(θ) = r cos(θ) y(θ) = r sin(θ), θ [0, 2π). (3.3) 21

23 Σε αντίθεση µε την εξίσωση της ευθείας, οι εξισώσεις (3.2) και (3.3) δεν ορίζουν µία (µονοσήµαντη) συνάρτηση από το x στο y. Τούτο εµποδίζει την άµεση χρήση αλγορίθµων παρόµοιων µε τους Αλγόριθµους 1-3 της προηγούµενης ενότητας. Ωστόσο, η δυσκολία αυτή µπορεί να ξεπεραστεί αν αντί για ολόκληρο τον κύκλο επιχειρηθεί η χάραξη ενός επιµέρους τόξου του. Ευτυχώς ο εντοπισµός των διακριτών σηµείων που προσεγγίζουν ένα κατάλληλο τόξο -ίσο προς ένα όγδοο του κύκλου- ορίζει αυτόµατα τις ϑέσεις των υπολοίπων σηµείων του κύκλου χάρη στις ακόλουθες συµµετρίες : Αν x, y ανήκει στον κύκλο τότε και τα σηµεία (x, y), ( x, y), ( x, y), (y, x), (y, x), ( y, x), ( y, x) ανήκουν επίσης στον ίδιο κύκλο. Με ϐάση την προηγούµενη παρατήρηση εξετάζονται στη συνέχεια αλγόριθµοι χάραξη του τόξου που αντιστοιχεί στο διάστηµα θ [π/4, π/2] σύµφωνα µε την παραµετροποίηση της εξίσωσης (3.3). Στο διάστηµα αυτό η λύση y = r 2 x 2 (3.4) της εξίσωσης ορισµού (3.2) είναι µία µονότονα ϕθίνουσα συνάρτηση του y ως προς x. Αλγόριθµος 1: Η µετατροπή του Αλγορίθµου 1 της Ενότητας είναι εύκολη : rsqr = rˆ2; rcos45 = floor(r*cos(pi/4))+1; for x=0:1:rcos45 y=sqrt(rsqr - xˆ2); yp = floor(0.5+y); drawpixel(x,yp) end Ωστόσο η υπολογιστική πολυπλοκότητα είναι ιδιαίτερα µεγάλη εξαιτίας των O(r cos(π/4)) επαναλήψεων του υπολογισµού της τετραγωνικής ϱίζας και των ισάριθµων υψώσεων του x στο τετράγωνο. Αλγόριθµος 2: υστυχώς, η άµεση µετατροπή του Αλγορίθµου 2 της Ενότητας δεν είναι εφικτή καθώς στην περίπτωση του κύκλου η µεταβολή της τιµής του y µεταξύ δύο διαδοχικών ϑέσεων x και x +1 δεν είναι σταθερή (η (3.4) είναι µή γραµµική). Αλγόριθµος 3: Αλγόριθµος του Bresenham για κύκλους Ο ταχύς αλγόριθµος του Bresenham επιδέχεται µετατροπής ώστε να χρησιµοποιηθεί στη χάραξη κύκλων. Με αναφορά στο Σχήµα 3.4 ο αλγόριθµος του Bresenham παρακολουθεί και ενηµερώνει αναδροµικά την ακτινική απόσταση του σηµείου (x i+1, y i+1 ) που επιλέγεται προς ένταξη στη δι- 22

24 yi E yi-1 SE xi xi+1=xi+1 Σχήµα 3.4: Αλγόριθµος του Bresenham ακριτή προσέγγιση του κύκλου από την καµπύλη του ιδανικού κυκλικού τόξου. Σε κάθε ϐήµα εξετάζονται οι δύο δυνατές προσεγγίσεις : E µε συντεταγµένες (x i + 1, y i ) και SE µε συντεταγµένες (x i + 1, y i 1). Σηµειώνεται ότι αυτές οι δύο εναλλακτικές, η πρώτη εκτός και η δεύτερη εντός του ιδανικού κύκλου, είναι οι µόνες δυνατές αφού η συνάρτηση y = y(x) είναι µονότονα ϕθίνουσα στο εξεταζόµενο τόξο του κύκλου. Σε κάθε ϐήµα του αλγορίθµου επιλέγεται ένα από τα δύο υποψήφια σηµεία ανάλογα µε το ποιό ϐρίσκεται πλησιέστερα προς τον ιδανικό κύκλο, δηλαδή έχει απόσταση από το κέντρο (0, 0) πλησιέστερη προς την ακτίνα r. Η σχετική απόφαση λαµβάνεται παρακολουθώντας το πρόσηµο της διαφοράς d i=δ(e) δ(se) όπου, δ(se) = r 2 (x i + 1, y i 1) 2 = r 2 [(x i + 1) 2 + (y i 1) 2 ] δ(e) = (x i + 1, y i ) 2 r 2 = [(x i + 1) 2 + y 2 i ] r2 (3.5) οπότε, d i = δ(e) δ(se) = 2x 2 i + 2y 2 i + 4x i 2y i 2r (3.6) Αν d i 0 επιλέγεται ως επόµενο σηµείο το E, δηλαδή, y i+1 = y i. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα ότι στην επόµενη επανάληψη η µεταβλητή ελέγχου ϑα πάρει την τιµή : d i+1 = 2(x i + 1) 2 + 2y 2 i + 4(x i + 1) 2y i 2r = d i + 4x i + 6 = d i + 4i + 6. (3.7) Αντίστοιχα αν d i > 0 επιλέγεται ως επόµενο σηµείο το SE, δηλαδή, y i+1 = y i 1. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα ότι στην επόµενη επανάληψη η µεταβλητή ελέγχου ϑα πάρει την τιµή : d i+1 = 2(x i + 1) 2 + 2(y i 1) 2 + 4(x i + 1) 2(y i 1) 2r = d i + 4x i 4y i + 10 = d i + 4i 4y i (3.8) 23

25 Στις δύο παραπάνω αναδροµές οι όροι ενηµέρωσης είναι ακέραιοι οπότε η αναδροµή περιέχει µόνο ακέραιες προσθαφαιρέσεις. Χάραξη άλλων καµπυλών Τροποποιηµένες εκδοχές των αλγορίθµων 1-3 έχουν κατασκευαστεί για άλλα είδη παραµετροποιήσιµων καµπυλών όπως (α) η έλλειψη, η παραβολή και άλλες κωνικές τοµές, (ϐ) πολυωνυµικά περιγραφόµενες καµπύλες. Η χάραξη αυθαίρετων καµπυλών, που δεν επιδέχονται αναλυτική περιγραφή, ανάγεται στην κατά τµήµατα προσέγγισή τους από αναλυτικές καµπύλες ή ευθείες. 24

26 3.2 Πλήρωση Κλειστών Σχηµάτων - Filling (Η Ενοτητα αυτη δεν θα περιληφθει στις σηµειωσεις του ακαδηµαϊκου ετους 2003.) 25

27 Κεφάλαιο 4 ιανύσµατα και Σηµεία Τόσο τα τρισδιάστατα όσο και τα διδιάστατα σχήµατα/αντικείµενα προσδιορίζονται µέσω των ϑέσεων που καταλαµβάνουν τα σηµεία από τα οποία αποτελούνται στον τρισδιάστατο και το διδιάστατο χώρο αντίστοιχα. Αν και οι έννοιες ϑέση και σηµείο ϕαίνεται στην κοινή γλώσσα να έχουν µια αρκετά προφανή σηµασία, ο µαθηµατικός χειρισµός τους απαιτεί µία αυστηρή ϑεµελίωση που εξασφαλίζει την εσωτερική συνέπεια της αντίστοιχης ϑεωρίας και επιτρέπει τον ορισµό πράξεων και τελεστών που αντιστοιχούν στις συνήθεις έννοιες της µετατόπισης, περιστροφής, προβολής κ.λπ. 4.1 ιανυσµατικοί χώροι Βασικό µαθηµατικό εργαλείο που χρησιµοποιείται για την αυστηρή ϑεµελίωση της διδιάστατης και τρισδιάστατής γεωµετρίας είναι η ϑεωρία των διανυσµατικών χώρων. Το σύνολο V αποτελεί διανυσµατικό χώρο και τα στοιχεία του αποκαλούνται διανύσµατα όταν (ι) µεταξύ των οποιονδήποτε δύο στοιχείων του, v 1, v 2, ορίζεται η πράξη της πρόσθεσης (v 1 +v 2 ) και (ιι) µεταξύ οποιουδήποτε στοιχείου του και οποιουδήποτε πραγµατικού αριθµού α R ορίζεται ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός (αv) και ισχύουν τα ακόλουθα αξιώµατα : 1. Η πρόσθεση είναι κλειστή πράξη : v 1, v 2 V v 1 + v 2 V (4.1) 2. Ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός δίνει αποτέλεσµα που ανήκει στο διανυσµατικό χώρο : v V, α R αv V (4.2) 3. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο 0 V ως προς την πρόσθεση τέτοιο ώστε : 0 + v = v + 0 = v, v V (4.3) 26

28 4. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο 1 R ως προς το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό τέτοιο ώστε : 1v = v, v V (4.4) 5. Η πρόσθεση είναι αντιµεταθετική : v 1 + v 2 = v 2 + v 1, v 1, v 2 V (4.5) 6. Η πρόσθεση είναι προσεταιριστική : (v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + (v 2 + v 3 ), v 1, v 2, v 3 V (4.6) 7. Ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός είναι προσεταιριστικός : (α 1 α 2 )v = α 1 (α 2 v), α 1, α 2 R, v V (4.7) 8. Ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός επιµερίζει τη διανυσµατική πρόσθεση : α(v 1 + v 2 ) = αv 1 + αv 2, v 1, v 2 V, α R (4.8) 9. Η πρόσθεση µεταξύ ϐαθµωτών (πραγµατικών) αριθµών επιµερίζεται από το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό : (α 1 + α 2 )v = α 1 v + α 2 v, v V, α 1 α 2 R (4.9) Για ευκολία αντί του γινοµένου ( 1)v χρησιµοποιείται το σύµβολο v και ισχύει ότι ( v) + v = ( 1 + 1)v = 0, v V. Ως απόρροια των παραπάνω αξιωµάτων ισχύουν οι ιδιότητες : 1. v + u = v + w u = w. 2. αv = αu, α 0 v = u. 3. αv = ϐv, v 0 α = ϐ. 4. (α ϐ)v = αv ϐv. 5. α(v u) = αv αu. 6. α0 = 0. Στις παραπάνω εκφράσεις τα α, ϐ συµβολίζουν πραγµατικούς αριθµούς και τα v, u διανύσµατα. 27

29 4.1.1 Βάσεις και διάσταση διανυσµατικού χώρου Τα διανύσµατα b 1, b 2,... b n, n Z + αποτελούν µία ϐάση του διανυσµατικού χώρου V αν κάθε διάνυσµα του χώρου µπορεί να γραφεί σαν γραµµικός συνδυασµός τους, δηλαδή v V, c 1, c 2,... c n R τέτοια ώστε n v = c i b i. (4.10) i=1 Το διάνυσµα c = [c 1,..., c n ] R n ονοµάζεται διάνυσµα συντεταγµένων (ή απλώς συντεταγµένες) του v ώς προς τη ϐάση {b i } i=1...n. Αν επιπλέον τα διανύσµατα της ϐάσης {b i } i=1...n είναι µεταξύ τους γραµµικώς ανεξάρτητα, δηλαδή, n α i b i = 0 α i = 0, i = 1... n (4.11) i=1 για οποιαδήποτε α 1, α 2,... α n R, τότε η ϐάση {b i } i=1...n ονοµάζεται γραµµικώς ανεξάρτητη ϐάση και το πλήθος, n, των στοιχείων της αποκαλείται διάσταση του διανυσµατικού χώρου V. Ενας διανυσµατικός χώρος µπορεί να έχει πολλές διαφορετικές (γραµµικώς ανεξάρτητες) ϐάσεις αλλά η διάστασή του είναι ένας συγκεκριµένος µοναδικός αριθµός Συστήµατα συντεταγµένων διανυσµατικού χώρου Μία οποιαδήποτε γραµµικώς ανεξάρτητη ϐάση του διανυσµατικού χώρου V ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων του διανυσµατικού αυτού χώρου. Για ένα δεδοµένο σύστηµα συντεταγµένων (ϐάση) {b i } i=1...n ενός διανυσµατικού χώρου, V, ορίζεται ένας ισοµορφισµός του V µε το σύνολο R n εάν : 1. Αντιστοιχηθεί κάθε διάνυσµα v του V στο διάνυσµα c R n των συντεταγµένων του ώς προς τη συγκεκριµένη ϐάση. 2. Αντιστοιχηθεί η διανυσµατική πρόσθεση + του V µε την κοινή πρόσθεση πραγµατικών διανυσµάτων µήκους n του R n. 3. Αντιστοιχηθεί ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός µεταξύ στοιχείων του R και του V µε τον κοινό ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό µεταξύ στοιχείων του R και πραγµατικών διανυσµάτων µήκους n του R n Ως αποτέλεσµα του ισοµορφισµού η διανυσµατική πρόσθεση και ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός είναι δυνατό να διεκπεραιώνονται στο σύνολο R n των συντεταγµένων και στη συνέχεια το αποτέλεσµα να ανάγεται στο διανυσµατικό χώρο V µέσω της σχέσης (4.10). 28

30 4.1.3 ιανυσµατικοί Μετασχηµατισµοί, Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί, Μετασχη- µατισµοί Affine Οι συναρτήσεις της µορφής f : V V που απεικονίζουν ένα οποιοδήποτε διάνυσµα v V στο διάνυσµα f (v) V ονοµάζονται διανυσµατικοί µετασχηµατισµοί. Αν επιπλέον, για το διανυσµατικό µετασχηµατισµό L : V V ισχύει ότι : L(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 L(v 1 ) + α 2 L(v 2 ), α 1, α 2 R, v 1, v 2 V, (4.12) τότε ο µετασχηµατισµός L ονοµάζεται γραµµικός. Επίσης, αν για το διανυσµατικό µετασχηµατισµό L : V V ισχύει ότι : L(v) = L(v) + v c (4.13) όπου το διάνυσµα v c είναι σταθερό (ανεξάρτητο του v) και ο µετασχηµατισµός L είναι γραµµικός, τότε ο L λέγεται διανυσµατικός µετασχηµατισµός affine. Απόρροια της εξ. (4.12) είναι η εξής πολύ ϐασική πρόταση : Πρόταση 4.1. Εστω γραµµικώς ανεξάρτητη ϐάση {b i } i=1...n του n-διάστατου διανυσµατικού χώρου V και c = [c 1,..., c n ] T R n οι συντεταγµένες του τυχαίου διανύσµατος v V. Κάθε γραµµικός διανυσµατικός µετασχηµατισµός L : V V ισοδυναµεί µε πολλαπλασιασµό των συντεταγµένων c του v από τα αριστερά µε τον n n πίνακα L= l 11 l 1n l n1... l nn όπου l ki, k = 1,..., n οι συντεταγµένες του µετασχηµατισµού, L(b i ) του διανύσµατος ϐάσης b i, δηλαδή, c L = Lc (4.14) Απόδειξη : Η εικόνα, L(v) του v ως προς το γραµµικό µετασχηµατισµό L αναπτύσσεται ώς εξής : n L(v) = L( c i b i ) = i=1 n c i L(b i ). (4.15) i=1 Κάθε ένα από τα διανύσµατα L(b k ) V µπορεί να αναπτυχθεί ώς προς την ίδια ϐάση {b i } i=1...n ως : L(b i ) = n l ki b k. (4.16) k=1 29

31 Συνδυάζοντας τις εκφράσεις (4.15) και (4.16) ο µετασχηµατισµός του διανύσµατος v γράφεται : L(v) = = = n n c i ( l ki b k ) i=1 k=1 k=1 n n ( l ki c i )b k i=1 n ckb L k k=1 όπου c1 L. = l 11 l 1n c 1. (4.17) Ο.Ε.. c L n } {{ } c L } l n1... {{ l nn c n } } {{ } L c Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων διανυσµατικού χώρου Οι γραµµικοί διανυσµατικοί µετασχηµατισµοί µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων ενός διανυσµατικού χώρου. Συγκεκριµένα ισχύει η ακόλουθη πρόταση : Πρόταση 4.2. Εστω γραµµικός διανυσµατικός µετασχηµατισµός L : V V και σύστηµα συντεταγµένων (γραµµικώς ανεξάρτητη ϐάση) {b i } i=1...n του V και L ο πίνακας της εξίσωσης (4.1). Αν ο πίνακας L είναι αντιστρέψιµος (δηλ., det L 0) τότε τα διανύσµατα {L(b i )} i=1...n αποτελούν ένα νέο σύστηµα συντεταγµένων του V. Απόδειξη : Αρκεί να δειχθεί ότι τα νέα n διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. Αρχικά, αποδεικνύεται ότι αν L(v) = 0 τότε v = 0. Πράγµατι, αν c και c L οι συντεταγµένες των v και L(v) ως προς τη ϐάση {b i } i=1...n τότε λόγω της Πρότασης 4.1 ισχύει ότι c L = Lc και εφόσον ο πίνακας L είναι αντιστρέψιµος συνεπάγεται ότι c = L 1 c L = 0. Κατά συνέπεια v = 0. Στη συνέχεια οι επόµενες συνεπαγωγές αποδεικνύουν τον ισχυρισµό της πρότασης : n α i L(b i ) = 0 i=1 ( n ) L α i b i i=1 = 0 n α i b i = 0 i=1 α i = 0, i = 1,..., n 30

32 Ο.Ε.. Οι συντεταγµένες ενός οποιουδήποτε διανύσµατος v του V ως προς το νέο σύστηµα συντεταγ- µένων καθορίζονται από την παρακάτω πρόταση. Πρόταση 4.3. Υπό τις προϋποθέσεις της Πρότασης 4.2 και αν c R n οι συντεταγµένες του διανύσ- µατος v V ως προς το σύστηµα συντεταγµένων {b i } i=1...n και d R n οι συντεταγµένες του ίδιου διανύσµατος ως προς το µετασχηµατισµένο σύστηµα {L(b i )} i=1...n ισχύει ότι : Απόδειξη : d = L 1 c. (4.18) Με χρήση της έκφρασης (4.16), το ανάπτυγµα του διανύσµατος v ώς προς τη νέα ϐάση γράφεται ως ακολούθως : v = = = n d i L(b i ) i=1 n d i i=1 k=1 n l ki b k ( n n ) d i l ki b k (4.19) k=1 και επειδή οι συντεταγµένες ως προς µία γραµµικώς ανεξάρτητη ϐάση είναι µοναδικές συνεπάγεται ότι c k = n i=1 d il ki. Ο.Ε.. Στο σηµείο αυτό έχει ενδιαφέρον να αντιπαραβληθούν οι σχέσεις (4.14) και (4.18). i=1 4.2 Χώροι Σηµείων Ενα σύνολο A ονοµάζεται σύνολο σηµείων όταν µεταξύ των στοιχείων του και των στοιχείων ενός διανυσµατικού χώρου V ορίζεται η συνάρτηση : A V A µε ουδέτερο στοιχείο (από δεξιά) το διάνυσµα 0 (p 0 = p, p A). Το σηµείο q = p v (µε p, q A και v V) ονοµάζεται µετατόπιση του p κατά v. Αντίστοιχα το διάνυσµα v ονοµάζεται διάνυσµα µετατόπισης και συµβολίζεται ως v = q p. Το σύνολο A ονοµάζεται χώρος σηµείων µε αρχή o A όταν για κάθε σηµείο του, p, υπάρχει v V τέτοιο ώστε p = o v. Συνεπώς ο χώρος σηµείων A περιγράφεται πλήρως από το διατεταγµένο εύγος (o, V) και για συντοµογραφία µπορεί να χρησιµοποιείται ο συµβολισµός A = (o, V). Ο χώρος σηµείων A µένει αναλλοίωτος αν αντί της αρχής o ορισθεί ως αρχή το σηµείο ó = o v 0 και αντί του διανυσµατικού χώρου V χρησιµοποιηθεί ο διανυσµατικός χώρος V = V v 0={v v 0, v V}. Ισχύει δηλαδή A = (o, V) (o v 0, V v 0 ). (4.20) 31

33 4.2.1 Συστήµατα συντεταγµένων χώρου σηµείων Μία οποιαδήποτε γραµµικώς ανεξάρτητη ϐάση του διανυσµατικού χώρου V µαζί µε την αρχή o A ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων του χώρου σηµείων A = (o, V). Για ένα δεδοµένο σύστηµα συντεταγµένων (ϐάση) {b i } i=1...n του διανυσµατικού χώρου, V, και µία συγκεκριµένη αρχή o του χώρου σηµείων A, ορίζεται ένας ισοµορφισµός του A = (o, V) µε το σύνολο R n αν χρησιµοποιηθούν οι συµβάσεις για τον αντίστοιχο ισοµορφισµό των διανυσµατικών χώρων (ϐλ. Ενότητα 4.1.2). Υπό αυτές τις συνθήκες κάθε σηµείο p = o v του A αντιστοιχίζεται στις συντεταγµένες c του διανύσµατος v ως προς την προαναφερθείσα συγκεκριµένη ϐάση Μετασχηµατισµοί και Οµογενείς Συντεταγµένες Σηµείου Οι συναρτήσεις της µορφής f : A A που απεικονίζουν ένα οποιοδήποτε σηµείο p του χώρου σηµείων A = (o, V) στο σηµείο f (p) A ονοµάζονται µετασχηµατισµοί σηµείου. Αν επιπλέον, κάθε σηµείο p = o v, v V αντιστοιχίζεται στο L(p) = o L(v) και ο L είναι µετασχηµατισµός affine του διανυσµατικού χώρου V, τότε ο µετασχηµατισµός σηµείου L ονοµάζεται σηµειακός µετασχηµατισµός affine. Είναι εύκολο µε ϐάση τον παραπάνω ορισµό να αποδειχθεί ότι για δύο σηµεία p και q του A ισχύει ότι : L(p) L(q) = L(p q). (4.21) Η εφαρµογή οποιουδήποτε σηµειακού µετασχηµατισµού affine έχει σαν αποτέλεσµα την αλλαγή των συντεταγµένων των σηµείων κατά ένα τρόπο που υπολογίζεται µε χρήση της Πρότασης 4.1. Συγκεκριµένα έστω c p, c q R n οι συντεταγµένες των σηµείων p = o v p και q = o v q αντίστοιχα του n διάστατου χώρου σηµείων A. Αν το σηµείο q = L(p) = o L(v p ) τότε v q = L(v p ) = L(v p ) + v c. Συνεπώς χάρη στην Πρόταση 4.1, c q = Lc p + c (4.22) όπου c είναι οι συντεταγµένες τους σταθερού διανύσµατος v c. Η παραπάνω εξίσωση µετασχηµατισµού των συντεταγµένων µπορεί εναλλακτικά να γραφεί ως, c qh = L h c ph (4.23) όπου τα µήκους n + 1 διανύσµατα, c ph= c p 1, cqh = c q 1 (4.24) 32

34 αποτελούν τις λεγόµενες οµογενείς συντεταγµένες των σηµείων p και q και L h = L c 0 1 n 1 (4.25) Η χρήση των οµογενών συντεταγµένων επιτρέπει την υλοποίηση οποιουδήποτε σηµειακού µετασχηµατισµού affine µέσω ενός πολλαπλασιασµού πίνακα επί το διάνυσµα των οµογενών συντεταγµένων. Αν ο γραµµικός διανυσµατικός µετασχηµατισµός L είναι αντιστρέψιµος, και κατά συνέπεια ο αντίστοιχος πίνακας L αντιστρέφεται, τότε και ο L h αντιστρέφεται. Συγκεκριµένα, µπορεί εύκολα να επαληθευτεί ότι : L 1 h = L 1 L 1 c 0 1 n 1. (4.26) Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων χώρου σηµείων Τα σηµεία του χώρου σηµείων A µπορούν να περιγραφούν ώς προς εναλλακτικά (άπειρα στο πλήθος) συστήµατα συντεταγµένων τα οποία µπορεί να διαφέρουν : 1. Είτε ως προς την ϑεωρούµενη αρχή (ϐλ. εξίσωση (4.20)). 2. Είτε ως προς τη ϑεωρούµενη ϐάση του διανυσµατικού χώρου V. Στην περίπτωση αυτή οι συντεταγµένες τροποποιούνται όπως περιγράφεται στην εξίσωση (4.18). 3. Είτε ταυτόχρονα ως προς τα δύο παραπάνω. Αναλυτικότερα, ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 4.4. Εστω χώρος σηµείων A = (o, V) και γραµµικός διανυσµατικός µετασχηµατισµός L : V V. Υπό τις προϋποθέσεις της Πρότασης 4.2 σχετικά µε την αντιστρεψιµότητα του L και αν 1. c R n οι συντεταγµένες του σηµείου p A ως προς το σύστηµα συντεταγµένων {b i } i=1...n µε αρχή το σηµείο o A, 2. ć R n οι συντεταγµένες του ίδιου σηµείου ως προς το µετασχηµατισµένο σύστηµα {L(b i )} i=1...n µε αρχή ó = o v 0, v 0 V, 3. c 0 οι συντεταγµένες του διανύσµατος µετατόπισης v 0 ως προς τη ϐάση {b i } i=1...n και 4. ć 0 οι συντεταγµένες του διανύσµατος µετατόπισης v 0 ως προς τη µετασχηµατισµένη ϐάση {L(b i )} i=1...n, 33

35 ισχύει ότι : ć = L 1 (c c 0 ) = L 1 c ć 0 (4.27) Απόδειξη : Το τυχαίο σηµείο p = o v του A έχει συντεταγµένες c R n που ταυτίζονται µε τις συντεταγµένες του v ως προς τη ϐάση {b i } i=1...n. Ως προς τη νέα αρχή ó = o v 0 το ίδιο σηµείο γράφεται σύµφωνα µε την εξίσωση (4.20) ως p = ó (v v 0 ). Συνεπώς οι συντεταγµένες του ως προς την αρχική ϐάση (αλλά ως προς τη µετατοπισµένη αρχή) ταυτίζονται µε τις συντεταγµένες του διανύσµατος v v 0 V και είναι c c 0. Άρα σύµφωνα µε την Πρόταση 4.3 (εξίσωση (4.18)) οι συντεταγµένες του ως προς τη µετασχηµατισµένη κατά L ϐάση είναι ć = L 1 (c c 0 ). Η δεύτερη ισότητα στην εξίσωση (4.27) προκύπτει χρησιµοποιώντας εκ νέου την εξίσωση (4.18) στις συντεταγµένες c 0 του v 0. Ο.Ε.. Η σχέση (4.27) απλουστεύεται αν γραφεί ως προς της οµογενείς συντεταγµένες, ć h ć, ch c, 1 1 υπό τη µορφή, ć h = L 1 L 1 c n 1 c h. (4.28) Είναι ενδιαφέρουσα η σύγκριση του (n + 1) (n + 1) πίνακα του παραπάνω µετασχηµατισµού µε τον αντίστροφο του πίνακα ενός σηµειακού µετασχηµατισµού affine της εξίσωσης (4.26). 4.3 Οι Γεωµετρικοί διανυσµατικοί χώροι R n Οι παραπάνω ορισµοί και ιδιότητες ισχύουν σε µία ευρύτατη κατηγορία συνόλων που ικανοποιούν τα αξιώµατα των διανυσµατικών χώρων και των χώρων σηµείων όπως για παράδειγµα σύνολα συναρτήσεων µίας µεταβλητής, σήµατα, ακολουθίες κ.λπ. Στην παρούσα ενότητα εξειδικεύονται οι έννοιες του διανυσµατικού χώρου και του χώρου σηµείων στα σύνολα διανυσµάτων/σηµείων που σχετίζονται µε τη γεωµετρία. Τα σύνολα αυτά αποτελούνται από πραγµατικά διανύσµατα µήκους n. Ειδικότερο ϐέβαια ενδιαφέρον δίνεται στις περιπτώσεις διανυσµάτων του επιπέδου (n = 2) και του τρισδιάστατου χώρου (n = 3). 34

36 4.4 Ο χώρος των τριών διαστάσεων Ο γεωµετρικός χώρος των τριών διαστάσεων αντιστοιχεί στο χώρο των σηµείων του ϕυσικού κόσµου. Ακριβέστερα, τα σηµεία του ϕυσικού κόσµου αποτελούν στοιχεία ενός συνόλου που έχει τις ιδιότητες ενός χώρου σηµείων διάστασης n = 3. Στο, σχεδόν ϕιλοσοφικό ερώτηµα, ποιά είναι η αρχή (o) και ποιά η ϐάση ({b i } i=1...3 ) αυτού του χώρου η απάντηση δεν είναι µονοσήµαντη 1. Η ϕυσική επιστήµη και τα µαθηµατικά απαντούν ότι ο κάθε παρατηρητής µπορεί να ορίσει ένα ϐασικό αυθαίρετο σύστηµα συντεταγµένων και να χρησιµοποιεί πολλά άλλα αρκεί να ϑυµάται πως αυτά σχετίζονται µε το αρχικό. Η επιστήµη της γραφικής µε υπολογιστές δεν ασχολείται µε τον ϕυσικό κόσµο αλλά µε προσοµοιώσεις του. Τα τρισδιάστατα µοντέλα, οι πηγές ϕωτός, η κίνηση κ.λπ. επιβιώνουν µέσα σε έναν εικονικό κόσµο. Και σε αυτόν τον κόσµο, όµως, η αρχή του παρατηρητή ισχύει : Μέσα σε κάθε εικονικό κόσµο ο παρατηρητής - δηµιουργός ή/και χρήστης - του ορίζει ένα αυθαίρετο αλλά ϐασικό σύστηµα συντεταγµένων και χρησιµοποιεί πολλά άλλα (δευτερεύοντα) γνωρίζοντας πάντα τις αντιστοιχήσεις τους µε το ϐασικό. Το εν λόγω κύριο σύστηµα συντεταγµένων ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων του κόσµου (world coordinate system - WCS). εδοµένου του WCS η εφαρµογή γραφικών - υπό τις εντολές του παρατηρητή - επιτελεί σειρές λειτουργιών που κατά ϐάση κατηγοριοποιούνται σε : 1. Κινήσεις αντικειµένων (µετατοπίσεις, περιστροφές, αλλαγές κλίµακας) 2. Αλλαγές συστήµατος συντεταγµένων από και πρός το WCS. Οπως : (α ) Από το ιδιωτικό σύστηµα συντεταγµένων ενός µοντέλου στο WCS. (ϐ ) Από το WCS στο σύστηµα συντεταγµένων µίας εικονικής κάµερας. 3. Προβολές του τρισδιάστατου κόσµου στις διδιάστατες συντεταγµένες της εικόνας που σχη- µατίζεται στην έξοδο του συστήµατος γραφικών. Στη συνέχεια αναλύονται τα δύο πρώτα είδη µετασχηµατισµού (κινήσεις και αλλαγές συστήµατος συντεταγµένων) ενώ οι µετασχηµατισµοί προβολής εξετάζονται αµέσως µετά την παρουσίαση του χώρου των δύο διαστάσεων που ακολουθεί. 1 Υπενθυµίζεται πάντως ότι παρόµοια ερωτήµατα οδήγησαν στην πυρά της Ιεράς Εξέτασης αρκετούς στοχαστές σε παρελθόντες αιώνες. 35

I λ de cos b (8.3) de = cos b, (8.4)

I λ de cos b (8.3) de = cos b, (8.4) Κεφάλαιο 8 Φωτισµός (Illumination) 8.1 Βασικοί ορισµοί και παραδοχές Με τον όρο Φωτισµός εννοούµε τι διαδικασία υπολογισµού της έντασης της ϕωτεινής ακτινοβολίας που προσλαµβάνει ο ϑεατής (π.χ. µία κάµερα)

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση 12 η. Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση 12 η. Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Παρουσίαση 12 η Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Εισαγωγή (1) Το χρώμα είναι ένας πολύ σημαντικός παράγοντας περιγραφής, που συχνά απλουστεύει κατά

Διαβάστε περισσότερα

Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε

Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε Κεφάλαιο 6 Αποκοπή (clipping) Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε η διαδικασία προβολής µεµονωµένων σηµείων και µόνο προς το τέλος του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α.Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ιδάσκων: Βασίλειος Γαργανουράκης. Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα

Α.Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ιδάσκων: Βασίλειος Γαργανουράκης. Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα 1 Τι απαιτείται για την όραση Φωτισµός: κάποια πηγή φωτός Αντικείµενα: που θα ανακλούν (ή διαθλούν) το φως Μάτι: σύλληψη του φωτός σαν εικόνα Τρόποι µετάδοσης φωτός

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας Διδάσκων: Αναγνωστόπουλος Χρήστος Κώδικες μετρήσεων αντικειμένων σε εικόνα Χρωματικά μοντέλα: Munsell, HSB/HSV, CIE-LAB Κώδικες μετρήσεων αντικειμένων σε εικόνες Η βασική

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 11 η : θεωρία Χρώματος & Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 11 η : θεωρία Χρώματος & Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 11 η : θεωρία Χρώματος & Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 2D σχημάτων (ευθεία) Σχεδίαση ευθείας θί με σάρωση (παρουσίαση προβλήματος) σχεδίαση ευθείας AB, με σάρωση, όπου A=(0,1) και B=(5,4) ποιο είναι το επόμενο pixel

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

Βίντεο και κινούµενα σχέδια

Βίντεο και κινούµενα σχέδια Βίντεο και κινούµενα σχέδια Περιγραφή του βίντεο Ανάλυση του βίντεο Κωδικοποίηση των χρωµάτων Μετάδοση τηλεοπτικού σήµατος Συµβατικά τηλεοπτικά συστήµατα Τεχνολογία Πολυµέσων 06-1 Περιγραφή του βίντεο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API)

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API) Εισαγωγή Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API) Γιατί OpenGL; Άλλα APIs: PHIGS (ANSI), GKS, Direct3D, VRML, JAVA-3D

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος Ο1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος 1. Εισαγωγή Όταν δέσµη λευκού φωτός προσπέσει σε ένα πρίσµα τότε κάθε µήκος κύµατος διαθλάται σύµφωνα µε τον αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική µε Υπολογιστές. Α. Ντελόπουλος Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

Γραφική µε Υπολογιστές. Α. Ντελόπουλος Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Γραφική µε Υπολογιστές Α. Ντελόπουλος Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Άνοιξη 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Τί είναι η Γραφική µε Υπολογιστές;..........................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Πολυμέσων. Ενότητα 4: Θεωρία Χρώματος. Θρασύβουλος Γ. Τσιάτσος Τμήμα Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Συστήματα Πολυμέσων. Ενότητα 4: Θεωρία Χρώματος. Θρασύβουλος Γ. Τσιάτσος Τμήμα Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Θεωρία Χρώματος Θρασύβουλος Γ. Τσιάτσος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας ιδάσκων: Αναγνωστόπουλος Χρήστος Βασικά στοιχεία εικονοστοιχείου (pixel) Φυσική λειτουργία όρασης Χηµική και ψηφιακή σύλληψη (Κλασσικές και ψηφιακές φωτογραφικές µηχανές)

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ, ΤΜΗΜΑ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΨΣ 50: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 005 006, Χειµερινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Η εξέταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 2 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και GPU 3 Εφαρμογές Ειδικά εφέ για ταινίες & διαφημίσεις Επιστημονική εξερεύνηση μέσω οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Γραφικά Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Γραφικά Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 3 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί 2 & 3

Μετασχηµατισµοί 2 & 3 Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνες και γραφικά. Τεχνολογία Πολυµέσων 05-1

Εικόνες και γραφικά. Τεχνολογία Πολυµέσων 05-1 Εικόνες και γραφικά Περιγραφή στατικών εικόνων Αναπαράσταση γραφικών Υλικό γραφικών Dithering και anti-aliasing Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Μετάδοση εικόνας Τεχνολογία Πολυµέσων 05-1 Περιγραφή στατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα CAD / CAM. Ενότητα # 6: Γραφικά

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα CAD / CAM. Ενότητα # 6: Γραφικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα CAD / CAM Ενότητα # 6: Γραφικά Δημήτριος Τσελές Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΨΗΦΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΜΑ Α Α Αριθµητική Λογική Μονάδα των 8-bit 1. Εισαγωγή Γενικά µια αριθµητική λογική µονάδα (ALU, Arithmetic Logic Unit)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Χρώµατα! τεχνολογία Οι Card χρωµατικοί splitter v3 χώροι και η τηλεόραση. Οι χρωµατικοί χώροι και η τηλεόραση

Χρώµατα! τεχνολογία Οι Card χρωµατικοί splitter v3 χώροι και η τηλεόραση. Οι χρωµατικοί χώροι και η τηλεόραση Οι Card χρωµατικοί splitter v3 χώροι και η τηλεόραση Χρώµατα! Στη φύση το φως δηµιουργεί τα χρώµατα, στην εικόνα, τα χρώµατα δηµιουργούν το φως! Τ Γράφει ο Γιώργος Κακαβιάτος α χρώµατα είναι στην πραγµατικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Ηχρήση του χρώµατος στους χάρτες

Ηχρήση του χρώµατος στους χάρτες Ηχρήση του χρώµατος στους χάρτες Συµβατική χρήση χρωµάτων σε θεµατικούς χάρτες και «ασυµβατότητες» Γεωλογικοί χάρτες: Χάρτες γήινου ανάγλυφου: Χάρτες χρήσεων γης: Χάρτες πυκνότητας πληθυσµού: Χάρτες βροχόπτωσης:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 5: Εικόνα Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 5: Εικόνα Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 5: Εικόνα Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Group (JPEG) το 1992.

Group (JPEG) το 1992. Μέθοδοι Συμπίεσης Εικόνας Πρωτόκολλο JPEG Συμπίεση Εικόνας: Μείωση αποθηκευτικού χώρου Ευκολία στη μεταφορά αρχείων Δημιουργήθηκε από την ομάδα Joint Photographic Experts Group (JPEG) το 1992. Ονομάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Η χρήση του χρώµατος στη χαρτογραφία και στα ΣΓΠ

Η χρήση του χρώµατος στη χαρτογραφία και στα ΣΓΠ Η χρήση του χρώµατος στη χαρτογραφία και στα ΣΓΠ Συµβατική χρήση χρωµάτων στους τοπογραφικούς χάρτες 1/31 Μαύρο: Γκρι: Κόκκινο, πορτοκαλί, κίτρινο: Μπλε: Σκούρο µπλε: Ανοιχτό µπλε: βασικές τοπογραφικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα