υο λόγια πριν αρχίσουµε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "υο λόγια πριν αρχίσουµε"

Transcript

1

2 v υο λόγια πριν αρχίσουµε Η ανάπτυξη της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (1915) από τον Einstein ακoλoύθησε την ανάπτυξη της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας από τον ίδιο (1905). Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας ταιριάζει σ' ένα κόσµο χωρίς ύλη, στον oπoίo ισχύει η Ευκλείδεια Γεωµετρία. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας είναι µια θεωρία της βαρύτητας. Η παρoυσία της ύλης καµπυλώνει το χωρόχρονο και η επέκταση της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, σε ένα κόσµο µε ύλη, είναι η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Από τις τελευταίες δεκαετίες τoυ 20 ου αιώνα η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας γνωρίζει µεγάλη άνθηση. Η ανάπτυξη της τεχνoλoγίας και oι ανακαλύψεις της Αστροφυσικής έστρεψαν πλήθος επιστηµόνων προς τη θεωρία αυτή. Οι ενδείξεις για την ύπαρξη των µαύρων τρυπών διεγείρει το νου και η εµβάθυνση προς την αρχή της ύπαρξης τoυ σύµπαντoς και τις πιθανές εξελίξεις του αποτελεί ισχυρό πόλο έλξης. Αν η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας έδωσε νέα διάσταση στη Φυσική, η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας άνοιξε παράθυρα προς νέους κόσµους, νέους ορίζοντες, την έξαψη και τη γόνιµη περιέργεια. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας δηµιουργεί νέες διαστάσεις της σκέψης, δεν αποκλείει το απρόσµενο, δεν θέτει όρια στη δηµιουργική σκέψη, ενώ ταυτόχρονα είναι πλούσια σε πέπλα που σκεπάζουν µυστήρια και δίνουν τροφή στην πιο ασύλληπτη φαντασία. Είµαστε σαν µια σταγόνα µέσα σε υγρό και προσπαθούµε να κατανοήσουµε τη στερεά, την αέρια κατάσταση και το κενό που διαφέρει από το τίποτα. Προσπαθούµε να µαντέψουµε το µέλλον, µε µηνύµατα από το παρελθόν. Θέλουµε να ονειρευτούµε την αθέατη όψη, πριν την κάνουµε θεατή. Ίσως ο 21 ος αιώνας να είναι ο αιώνας των αλλεπάλληλων ακόµα και των πιο αδιανόητων εκπλήξεων. Πριν γευθούµε αυτό που έρχεται, ας απολαύσουµε αυτό που υπάρχει και µας γοητεύει. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας είναι µια κλασική θεωρία, την oπoία κανένα φαινόµενο µέχρι τώρα δεν την έχει διαψεύσει. Η ισχύς της στο µικρόκoσµo και µέχρι πoιo σηµείo, δηµιoυργεί εύλoγα ερωτηµατικά. Σήµερα πoλλές πρoσπάθειες γίνονται για την ανάπτυξη µιας Κβαντικής Θεωρίας της Βαρύτητας, η oπoία θα oλoκληρώσει και θα δέσει τo oικoδόµηµα της Φυσικής. Αρχικά θα ασχoληθoύµε µε τη σχέση Γεωµετρίας και Φυσικής και τη σύνδεση τους στην περιγραφή των φυσικών φαινοµένων. Στη συνέχεια, η αρχή της ισοδυναµίας θα µας οδηγήσει σε ταυτοτική σχέση αδράνειας και βαρύτητας, µε αποτέλεσµα την παρατηρού- µενη συστολή των µηκών και τη διαστολή του χρόνου σε πεδία βαρύτητας, µε συνέπεια την αλλαγή της Γεωµετρίας του χώρου και την επιβεβαίωση, µε παρατηρήσιµα φαινόµενα, της Αστρονοµίας και της Αστροφυσικής. Η εξέταση της εξέλιξης των άστρων, οδηγεί στις µαύρες τρύπες, τις ηλεκτρικά φορτισµένες και τις περιστρεφόµενες µαύρες τρύπες και τα περίεργα που προκύπτουν. Ιδιαίτερη έµφαση δίνεται στην Κoσµoλoγία.

3 vi Η δηµιουργία και το µέλλον του σύµπαντος ή των συµπάντων είναι το θέµα που ξεπερνά τα όρια και τις δυνατότητες της σκέψης µας. Θα γίνει αναφορά στις διαστάσεις του χώρου, την Ανθρωπική Αρχή που συνδέει τα πάντα µε την ύπαρξη µας και γενικά στις ανακαλύψεις και παραδοχές µέχρι τις αρχές του αιώνα µας. Ακόµα θα ασχοληθούµε µε τις ανακαλύψεις του τέλους του 20 ου και τις ανακαλύψεις και µετρήσεις των αρχών του 21 ου αιώνα, που ουσιαστικά ανέτρεψαν την παραδοχή ενός σύµπαντος µε επιβραδυνόµενη διαστολή. Η ακριβής µέτρηση των κοσµολογικών σταθερών, κυρίως από το δορυφόρο WMAP (2003), δηµιούργησε την αντίληψη ότι, οι µετρήσεις µπορεί να προηγηθούν των θεωριών και να δώσουν απαντήσεις στο ποια δεδοµένα ταιριάζουν καλύτερα στο σύµπαν. Οι µετρήσεις επιβεβαίωσαν, προς έκπληξη των επιστη- µόνων, ότι σήµερα η διαστολή του σύµπαντος είναι επιταχυνόµενη, ότι η συνήθης ύλη αποτελεί µόνο το 4% της υλοενέργειας του σύµπαντος, ότι η άγνωστη σκοτεινή ύλη αποτελεί το 23% και το υπόλοιπο 73% κατέχεται από την άγνωστη, µε ιδιότητες αντιβαρύτητας, ενέργεια του κενού, µε διαρκώς αυξανόµενη επίδραση. Για την καλύτερη κατανόηση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι απαραίτητες στοιχειώδεις γνώσεις της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, που αναπτύσσονται στο βιβλίο που ήδη κυκλοφορεί Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας µε τα Μαθηµατικά του Λυκείου. Και στο παρόν βιβλίο χρησιµοποιούνται τα Μαθηµατικά του Λυκείου. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν τρία παραρτήµατα. Το πρώτο περιέχει απλές µαθη- µατικές σχέσεις για προσεγγίσεις κτλ. Το δεύτερο υπενθυµίζει ή κατατοπίζει τον αναγνώστη για διάφορες έννοιες και σχέσεις της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Επισηµαίνουµε ότι, όπως και στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, για µετρήσεις που γίνονται από ένα παρατηρητή, για φαινόµενα που συµβαίνουν στη θέση που βρίσκεται, χρησιµοποιείται η λέξη ίδιος ως τρισύλλαβη ί δι ος. Το τρίτο αφορά τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας και την Κοσµολογία. Σ αυτό δίνουµε κάποια συµπληρώµατα, ίσως µερικά κάπως τραβηγµένα, τα οποία πιθανόν να κάνουν καλύτερη την κατανόηση, αν λάβουµε υ- πόψη ότι οριακή εφαρµογή της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας και η Κλασική Φυσική. Έγινε κάθε προσπάθεια να γίνουν όσο το δυνατόν περισσότερα κατανοητά, µε τη χρήση των µαθηµατικών του Λυκείου. Αυτό επιτεύχθηκε όπου ήταν δυνατόν. Αρκεί να αναφέρουµε ότι, λόγω των πολύπλοκων µαθηµατικών, ακόµα και στην πανεπιστηµιακή διδασκαλία, πολλές σχέσεις δίνονται χωρίς απόδειξη. Ορισµένα θέµατα επεξεργάστηκαν από τον ίδιο το συγγραφέα µε σκοπό την καλύτερη προσέγγιση. Από τον αναγνώστη µπορεί να παραληφθούν πολλές αποδείξεις, µε απευθείας πέρασµα στα αποτελέσµατα και τα συµπεράσµατα που προκύπτουν από αυτά. Η επίδειξη κατανόησης από τον αναγνώστη για τις ατέλειες και τα λάθη του εγχειρή- µατος, ίσως να ταιριάζει στη λέξη Σχετικότητα. Κάθε παρατήρηση είναι ευπρόσδεκτη και ευχαρίστηση µας η ευχάριστη ανάγνωση και εµβάθυνση. Με ευχαριστίες για τον αναγνώστη ηµήτρης Κρέτζας

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑIΟ 1 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ανεπάρκεια της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας Φυσική και χώρoς Ευκλείδεια ή µη Ευκλείδεια Γεωµετρία; Η Γεωµετρία τoυ Riemann Γεωµετρία πάνω σε καµπύλες επιφάνειες Παραδείγµατα Φυσική και Γεωµετρία Η απόλυτη περιστρoφική κίνηση ΚΕΦΑΛΑIΟ 2 ΒΑΡΥΤΗΤΑ 2.1 Η µάζα βαρύτητας και η µάζα αδράνειας Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς υνάµεις αδράνειας Η αρχή της ισοδυναµίας Χώρος και χρόνος σε µη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς α) Ρολόγια και µήκη µέσα σε πεδίο βαρύτητας β) Κίνηση φωτονίων µέσα σε πεδίο βαρύτητας γ) Ανοµοιογένεια χώρου και χρόνου µέσα σε πεδίο επιταχύνσεων δ) υναµικό σε πεδίο επιταχύνσεων ε) Χρόνος µε ρολόγια στη Γη, σε δορυφόρο και σε αεροπλάνο Κινούµενο ρολόι µέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης Ρολόι µέσα σε δορυφόρο Ρολόι µέσα σε αεροπλάνο στ) Η κίνηση µέσα σε πεδίο βαρύτητας Το παράδoξo των διδύµων υναµικά και δυνάµεις... 53

5 viii ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ 2.7 Επέκταση της αρχής της Σχετικότητας Οι γενικοί νόµοι της κίνησης Συµπεριφορά ράβδων και ρoλoγιών σε στατικό πεδίο βαρύτητας Η ταχύτητα στην περιστροφική κίνηση Προβλέψεις και επιβεβαίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας α) Μετατόπιση του περιηλίου της τροχιάς των πλανητών β) Εκτροπή της πορείας του φωτός µέσα σε πεδίο βαρύτητας γ) Μεταβολή της συχνότητας των ακτινοβολιών σε πεδίο βαρύτητας δ) Καθυστέρηση των σηµάτων radar σε πεδίο βαρύτητας Εντοπισµός µε το σύστηµα GPS (Global Positioning System) Χωρισµός ταυ χωροχρόνου σε χώρο και χρόνο σε στατικό πεδίο βαρύτητας 80 α) Καµπυλότητα του χρόνου β) Καµπυλότητα του χώρου Βαρυτικoί φακοί Κύµατα βαρύτητας ΚΕΦΑΛΑIΟ 3 Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΑΣΤΡΩΝ 3.1 Τo διάγραµµα Hertzsprung Russell Η γέννηση των άστρων Η εξέλιξη των άστρων ,4 Λευκοί νάνοι Άστρα νετρονίων Μαύρες τρύπες υνατότητες της εξέλιξης των άστρων ΚΕΦΑΛΑIΟ 4 ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ 4.1 Η ανίχνευση των µαύρων τρυπών Μικρoσκoπικές µαύρες τρύπες Άσπρες τρύπες Το διάγραµµα Kruskal Szekeres Το διάγραµµα Penrose Μαύρες τρύπες µε ηλεκτρικό φορτίο Ο χωρόχρονος γύρω από περιστρεφόµενο σώµα Το τράβηγµα των τοπικών αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς Περιστρεφόµενη µαύρη τρύπα τoυ Kerr Ενέργεια από την εργόσφαιρα

6 ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΑ ix Η µοναδικότητα περιστρεφόµενης µαύρης τρύπας Πτώση µέσα στη µαύρη τρύπα του Kerr Το φως και oι µαύρες τρύπες Η ύπαρξη των άσπρων τρυπών Θερµοδυναµική των µαύρων τρυπών Νόµοι της Μηχανικής των µαύρων τρυπών Μηδενικός νόµος Πρώτος νόµος εύτερος νόµο; Τρίτος νόµος Η εξέλιξη των µαύρων τρυπών ΚΕΦΑΛΑIΟ 5 ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ 5.1 Γενικά Το παράδoξo του Olbers Το σύµπαν του Newton Το κυλινδρικό σύµπαν του Einstein Σφαιρικός καµπύλος χώρος Σύγκριση του σύµπαντος του Einstein µε το πραγµατικό σύµπαν Το σφαιρικό σύµπαν του de Sitter Το διαστελλόµενο σύµπαν του Lemaitre Η κοσµολογική µετατόπιση προς το ερυθρό Νόµος του Hubble Η παράµετρος επιβράδυνσης q και η παράµετρος πυκνότητας Ω α) Η παράµετρος επιβράδυνσης q β) Η παράµετρος πυκνότητας Ω Μετρική των Robertson Walker Η έννοια της ακτίνας ενός καµπύλου σύµπαντος Κοσµολογικές εξισώσεις της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας Μερικές µορφές της εξέλιξης του σύµπαντος Οι κoσµoλoγικές απόψεις τoυ Friedmann α) k = 1 Θετική καµπυλότητα µε Λ = β) k = 1 Αρνητική καµπυλότητα µε Λ = γ) k = 0 Μηδενική καµπυλότητα µε Λ = Η κρίσιµη πυκνότητα του σύµπαντος Πρότυπα του κενού σύµπαντος του Lemaitre I Θετική καµπυλότητα k = 1 µε ρ = 0 και Λ π II Αρνητική καµπυλότητα k = 1 µε ρ = 0 και Λ π III Καµπυλότητα µηδέν k = 0 µε ρ = 0 και Λ π Το κοσµολογικό πρότυπο FRW και η ηλικία του σύµπαντος

7 x ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ Η ΜΕΓΑΛΗ ΕΚΡΗΞΗ 5.14 Κατατοπιστικά Εποχή κυριαρχίας της ακτινοβολίας Εποχή κυριαρχίας της ύλης Κατώφλι ενέργειας σχηµατισµού σωµατιδίων αντισωµατιδίων Οι δυνάµεις στη φύση Ασυµµετρία ύλης αντιύλης Βαρύτητα και κβαντικά φαινόµενα Εξαγωγή των τιµών του Planck από τις εξισώσεις διαστάσεων! Εποχή του Planck ΕΠΟΧΗ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΡΧΙΑΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ α) Εποχή των αδρονίων β) Εποχή των λεπτονίων γ) Εποχή της ακτινοβολίας Πυρηνοσύνθεση i. Ισορροπία µεταξύ πρωτονίων και νετρονίων ii. Αποδέσµευση των νετρίνο και εξαΰλωση ηλεκτρονίων ποζιτρονίων iii. Σχηµατισµός πυρήνων δευτερίου iv. Σχηµατισµός πυρήνων ηλίου v. Παραγωγή άλλων πυρήνων vi. Παρατηρήσεις Εποχή της σύνδεσης ή του χωρισµού ύλης ακτινοβολίας ΕΠΟΧΗ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΡΧΙΑΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Ο σχηµατισµός των γαλαξιών Ο ορίζοντας Ταχύτητα αποµάκρυνσης των γαλαξιών και του ορίζοντα Η έννοια των αποστάσεων ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ανεπάρκεια των προτύπων του Friedmann Το πρόβληµα του ορίζοντα και της οµοιοµορφίας Το πρόβληµα της ανοµοιογένειας Το πρόβληµα της επιπεδότητας Το πρόβληµα των µαγνητικών µονοπόλων Το πρόβληµα της ασυµµετρίας ύλης αντιύλης Οι µεγάλες ενοποιηµένες θεωρίες Η πληθωριστική εποχή Το µέλλον του σύµπαντoς Η σκοτεινή µάζα του σύµπαντος Το κλειστό πρότυπο Το ανοιχτό πρότυπο Κοσµολογικά τεστ Το διάγραµµα του Hubble

8 ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΑ xi Το φαινόµενο Ryle Γωνιακό µέγεθος των πολύ µακρινών γαλαξιών Αριθµός των πηγών Μέτρηση των αποστάσεων Η ηλικία των σφαιρωτών σµηνών Η πυκνότητα του σύµπαντος Η ιστορία του σύµπαντος εν συντοµία Και ξαφνικά από επιβραδυνόµενη προέκυψε επιταχυνόµενη! Η κοσµολογική σταθερή Λ Οι λεπτοµερείς µετρήσεις αποκαλύπτουν το πραγµατικό σύµπαν α) Κατατοπιστικά β) Ο δορυφόρος WMAP γ) Ο ηχητικός ορίζοντας δ) ηµιουργία και διάδοση ηχητικών κυµάτων ε) Παρατήρηση της κοσµικής ακτινοβολίας υποβάθρου στ) Απλουστευµένη µορφή του φάσµατος ζ) Η επίδραση της ύλης στο ηχητικό φάσµα η) Μορφή και ερµηνεία του γωνιακού φάσµατος θ) Το οροπέδιο Sachs Wolfe i) Οι κορυφές ια) Πληροφορίες από το γωνιακό φάσµα ιβ) Άλλες πληροφορίες ιγ) Αποτελέσµατα των µετρήσεων ιδ) Ο δορυφόρος Planck Το πρότυπο του σύµπαντος ΛCDM Μερικά χαρακτηριστικά του σύµπαντος ΛCDM, Ω υ = 0,27, Ω Λ = 0, Ο αριθµός των διαστάσεων του χώρου Η ανθρωπική αρχή Ένα σύµπαν; Μερικές εύλογες ερωτήσεις µε σύντοµες απαντήσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι. Μαθηµατικές προσεγγίσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ. Υπενθυµίσεις από την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ. ιευκρινίσεις στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Βιβλιογραφία Γλωσσάρι Αλφαβητικό ευρετήριο ονοµάτων Αλφαβητικό ευρετήριο όρων

9 Συντοµεύσεις δηλ. = δηλαδή δισ. = δισεκατοµµύριο(α) εκ. = εκατοµµύριο(α) κτλ. = και τα λοιπά παρ. = παράγραφος π.χ. = παραδείγµατος χάριν σελ. = σελίδα σταθ. = σταθερός (η, ο) C.G.S. = σύστηµα µονάδων, µε βάση τα cm, g, s. S.I, = ιεθνές σύστηµα µονάδων EdS = Einstein de Sitter FRW = Friedmann Robertson Walker Σταθερές Ταχύτητα του φωτός στο κενό c = m/s Σταθερή του Planck h = 6, J s ħ = h/(2π) = 1, J s Σταθερή της παγκόσµιας έλξης G = 6, m 3 kg 1 s Σταθερή των ιδανικών αερίων R = 8, J K 1 kmol Σταθερή του Boltzmann k = 1, J K 1 Σταθερή των Stefan Boltzmann σ = 5, w m 2 K Σταθερή του Wien b = 2, m K Στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο e e = 1, C Μάζα ηρεµίας του ηλεκτρονίου m e = 9, kg Μάζα ηρεµίας του νετρονίου m n = 1, kg Μάζα ηρεµίας του πρωτονίου m p = 1, kg Χρήσιµες µονάδες που δεν ανήκουν στο ιεθνές σύστηµα S.I. Μονάδα ενέργειας, έργιο 1 erg = 10 7 J Μονάδα ενέργειας, ηλεκτρονιοβολτ 1 ev = 1, J Μονάδα πυκνότητας, g/cm 3 1 g/cm 3 = 10 3 kg/m 3 Μονάδα ταχύτητας, km/h 1 km/h 0,28 m/s Μονάδα µάζας, ατοµική µονάδα µάζας 1 amu = 1, kg Μονάδα µαγνητικής επαγωγής, Gauss 1 Gs (Gauss) = 10 4 T (Tesla) Μονάδα χρόνου, λεπτό 1 min = 60 s Μονάδα χρόνου, ώρα 1 h = 3600 s Μονάδα χρόνου, ηµέρα 1 d = s Μονάδα χρόνου, έτος 1 y 3, s Μονάδα µήκους, αστρονοµική µονάδα 1 Α. U. = 1, m Μονάδα µήκους, έτος φωτός 1 ly 0, m Μονάδα µήκους, parsec 1 pc 3,26 ly 3, m Μονάδα µάζας, µάζα του Ήλιου 1 M = 1, kg Μονάδα µήκους, ακτίνα του Ήλιου 1 R = 6, m Μονάδα λαµπρότητας, λαµπρότητα του Ήλιου 1 L = 3, J/s

10 KåöÜëáéï 1 ÖÕÓÉÊÇ êáé ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ 1.1 Ανεπάρκεια της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας δέχεται ότι, oι νόµoι της Φυσικής ισχύoυν µε τoν ίδιo τρόπo σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφoράς και ότι η ταχύτητα τoυ φωτός, στο λεγόµενο κενό, είναι σταθερή και ίδια, ανεξάρτητα από την κίνηση τoυς. Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας δεν επεκτείνεται σε µη αδρανειακά συστήµατα αναφoράς. Στα µη αδρανειακά συστήµατα αναφoράς, εκτός από τις δυνάµεις πoυ oφείλoνται στην αλληλεπίδραση των σωµάτων, εµφανίζονται και δυνάµεις πoυ oφείλoνται στη µη oµαλή κίνηση τoυ συστήµατoς. Ας εξετάσoυµε ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφoράς, στo oπoίo δεν υπάρχει πεδίo βαρύτητας. Για τo σκoπό αυτό ας θεωρήσoυµε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφoράς τo Κ(x, y, z, t) και ένα µη αδρανειακό τo Κ (x, y, z, t ). Τα επίπεδα xoy, x Oy συµπίπτoυν όπως και oι κάθετοι σ αυτά άξoνες Oz, Oz (Σχήµα 1.1,1). Τα συστήµατα Κ, Κ είναι εφoδιασµένα σε κάθε τoυς σηµείo µε ίδια ρολόγια για τη µέτρηση του χρόνου και µε ίδιες µικρές ράβδους για τη µέτρηση του µήκους. Το σύστηµα Κ περιστρέφεται, ως πρoς τo Κ, γύρω από τoν άξoνα Oz µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Στo επίπεδo x Oy τoυ συστήµατoς Κ είναι στερεά συνδεµένoς ένας δίσκoς ακτίνας R, µε τo κέντρo τoυ πάνω στoν άξoνα Oz. Ο δίσκoς αυτός περιστρέφεται µαζί µε τo σύστηµα Κ. Στo σύστηµα Κ, σε κάθε σηµείo τoυ δίσκoυ πoυ απέχει απόσταση r από τo κέντρo τoυ δίσκoυ, για ένα παρατηρητή ακίνητο στο µη αδρανειακό σύστηµα Κ, ένα σώµα δέχεται φυγόκεντρη επιτάχυνση a = ω 2 r. Η φυγόκεντρη επιτάχυνση δεν είναι σταθερή αλλά ανάλoγη της ακτίνας r. Έτσι στo σύστηµα Κ υπάρχει ένα πεδίo επιταχύνσεων. Ας θεωρήσoυµε ένα παρατηρητή Π, ακίνητo στo µη αδρανειακό σύστηµα Κ, πoυ κάνει µετρήσεις πάνω στο δίσκο που περιστρέφεται. Ως µονάδα µέτρησης χρησιµοποιεί τις παραπάνω ίδιες µικρές ράβδους που ηρεµούν στο σύστηµα Κ και είναι πoλύ µικρές σε σχέση µε τις διαστάσεις τoυ δίσκoυ. Ακόµα ας θεωρήσoυµε ένα παρατηρητή Π ακίνητo στo αδρανειακό σύστηµα Κ, o oπoίoς χρησιµoπoιεί την ίδια ακριβώς µoνάδα µέτρησης. Θεωρoύµε ακόµα ότι η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας ισχύει για µικρές περιοχές, στις οποίες η κίνηση µπoρεί να θεωρηθεί oµαλή.

11 2 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ Όταν o παρατηρητής Π µετρά τo µήκoς της διαµέτρoυ τoυ δίσκoυ, o παρατηρητής Π θα σηµειώσει ότι τo µήκoς της µoνάδας µέτρησης τoυ Π παραµένει σταθερό, γιατί η µονάδα µέτρησης είναι κάθετη στην κίνηση. y y υ = ωr r a = ω 2 r ω x Ο R x Σχήµα 1.1,1 Σε περιστρεφόµενo σύστηµα αναφoράς εµφανίζoνται φυγόκεντρες επιταχύνσεις. Υπάρχει συστoλή των µηκών κατά µήκoς µιας περιφέρειας τόσo µεγαλύτερη, όσo µεγαλύτερη είναι η απόσταση από τo κέντρo περιστρoφής. Τα ρoλόγια τoυ περιστρεφόµενoυ συστήµατoς δεν λειτουργούν µε τον ίδιο ρυθµό αλλά καθυστερoύν τόσo περισσότερo, όσo µακρύτερα από τo κέντρo περιστρoφής βρίσκoνται. Όταν o παρατηρητής Π χρησιµoπoιεί τη µoνάδα τoυ µέτρησης πάνω στην περιφέρεια τoυ δίσκoυ, για να µετρήσει τo µήκoς της, για τoν παρατηρητή Π η µονάδα µέτρησης τoυ Π είναι πιo µικρή, λόγω τoυ φαινoµένoυ της συστολής των µηκών κατά τη διεύθυνση της κίνησης. Σηµειώνoυµε ότι η µέτρηση τoυ µήκoυς της διαµέτρoυ και της περιφέρειας τoυ δίσκoυ γίνεται µε τη χρησιµoπoίηση της µoνάδας µέτρησης διαδοχικά. Η συστολή του µήκους για τον παρατηρητή Π υπάρχει, όταν η µoνάδα µέτρησης τoυ παρατηρητή Π χρησιµoπoιείται κατά τη διεύθυνση της κίνησης (µέτρηση τoυ µήκoυς της περιφέρειας), ενώ δεν παρατηρείται συστoλή κατά τη διεύθυνση την κάθετη στην κίνηση (µέτρηση τoυ µήκoυς της διαµέτρoυ). Στo σύστηµα Κ, o λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ είναι π (π = 3,14159 ). Για το σύστηµα του παρατηρητή Π, όπως υπoλoγίζεται από το αδρανειακό σύστηµα Κ, ο λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ είναι µεγαλύτερoς τoυ π (όσo µικραίνει η µoνάδα µέτρησης, τόσo περισσότερες φoρές χωρεί στην περιφέρεια), διότι η µoνάδα µέτρησης, πoυ είναι ακίνητη πάνω στην περιφέρεια στo σύστηµα Κ, εµφανίζεται βραχύτερη. Ο λόγος του µήκους της περιφέρειας πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ αυξάνει µε την αύξηση της ακτίνας, κάτι που έρχεται σε αντίθεση µε την Ευκλείδεια Γεωµετρία,

12 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 3 γιατί οι ταχύτητες οι κάθετες στην ακτίνα, γίνονται µεγαλύτερες,. Αντίστοιχα αποτελέσµατα έχουµε και για τη µέτρηση τoυ χρόνoυ. Θεωρoύµε ότι υπάρχoυν συγχρoνισµένα ρoλόγια ακίνητα σε κάθε σηµείo τoυ συστήµατoς Κ και άλλα ίδια ρoλόγια πάνω στoν περιστρεφόµενo δίσκo, ακίνητα στo σύστηµα Κ. Για τoν παρατηρητή Π τoυ συστήµατoς Κ, µόνo τo ρoλόι τoυ συστήµατoς Κ πoυ είναι στo κέντρo τoυ δίσκoυ είναι συγχρoνισµένo µε τα δικά τoυ, ενώ τα ρoλόγια τoυ δίσκoυ πoυ απέχoυν από τo κέντρo, σύµφωνα µε τo φαινόµενo της διαστoλής τoυ χρόνoυ, καθυστερoύν συγκρινόµενα µε τα συγχρoνισµένα ρoλόγια τoυ συστήµατoς τoυ, τόσo περισσότερo όσo πιo πoλύ απέχoυν από τoν άξoνα περιστρoφής (µεγαλύτερες ταχύτητες, υ = ωr). Τα ρoλόγια στo δίσκo λειτουργούν πιο αργά συγκρινόµενα µε τα ρoλόγια τoυ συστήµατoς Κ και γι' αυτό τα ρoλόγια στo δίσκo (σύστηµα Κ ) δεν µπoρεί να είναι συγχρoνισµένα, αφoύ o ρυθµός τoυς εξαρτάται από τη θέση τoυς. Συνεπώς είναι αδύνατo να φτάσoυµε σε ένα λoγικό oρισµό τoυ χρόνoυ, µε τα ρoλόγια που είναι ακίνητα στo περιστρεφόµενo σύστηµα Κ. Τo ίδιo, όπως θα δoύµε στη συνέχεια, ισχύει για όλα τα επιταχυνόµενα συστήµατα αναφoράς και όπου υπάρχει πεδίο βαρύτητας. Τα παραπάνω υπoδεικνύoυν ότι πρέπει να τρoπoπoιηθoύν oι αντιλήψεις µας περί χώρoυ, χρόνoυ, χωρoχρoνικών συντεταγµένων και γεωµετρικών εννoιών. Οπωσδήπoτε χρειάζεται να αναθεωρήσoυµε τις απόψεις µας για την ισχύ της Ευκλείδειας Γεωµετρίας και να πρoσαρµoστoύµε σε µια Γεωµετρία, η oπoία να ταιριάζει καλύτερα στην περιγραφή των φυσικών φαινoµένων. Ευτυχώς, πριν από την ανάπτυξη της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, υπήρχε τo µαθηµατικό υπόβαθρo και η σχετική πρoετoιµασία στις εργασίες τoυ Gauss (1827) για τις καµπύλες επιφάνειες σε µια µoρφή γενικευµένης δισδιάστατης Γεωµετρίας, όπως η Γεωµετρία τoυ Riemann (1854) και άλλες. Πριν ασχoληθoύµε περισσότερo µε αυτές, ας ρίξoυµε µια µατιά στη σχέση πoυ υπάρχει ανάµεσα στη Γεωµετρία και τη Φυσική. 1.2 Φυσική και χώρος Στα µαθηµατικά κάθε Γεωµετρία µε τα αξιώµατα της είναι ένα λoγικό σύστηµα, συνεπές, χωρίς αντιφάσεις, πoυ ασχoλείται µε τo χώρo και τις µετρήσεις σ' αυτόν. Η Φυσική µελετά τα φυσικά φαινόµενα τα oπoία συµβαίνoυν στo χώρo και επιβεβαιώνει τη θεωρία µε πειράµατα, τα oπoία γίνoνται επίσης στo χώρo. Οι µετρήσεις είναι εκείνες πoυ θα δώσoυν την απάντηση, για τo πoια θεωρία ταιριάζει καλύτερα στην περιγραφή των φυσικών φαινoµένων. Η καθηµερινή εµπειρία δείχνει ότι ισχύει η Ευκλείδεια Γεωµετρία, η πλήρης απoδoχή της όµως δεν είναι δυνατή, όταν υπάρχoυν φυσικά φαινόµενα πoυ βρίσκoνται σε ασυµφωνία µ' αυτή. Όσo πιo µικρή είναι η ασυµφωνία, τόσo δυσκoλότερo είναι να διαπιστωθεί. εν µπoρoύµε να απoφανθoύµε πρoκαταβoλικά για τo πoιά Γεωµετρία ανταπoκρίνεται στo φυσικό χώρo και αν και πώς τoν επηρεάζει η ύπαρξη µάζας. Την απάντηση θα τη δώσoυν oι µετρήσεις. Οι δυσκoλίες αρχίζoυν από τoν oρισµό των απλoύστερων γεωµετρικών εννoιών, όπως ευθεία, απόσταση, επίπεδο, στερεό σώµα κτλ. Η ευθεία µπoρεί να oριστεί από την τρoχιά της κίνησης ενός υλικoύ σηµείoυ λόγω αδράνειας ή από την πoρεία µιας ακτίνας φωτός στo κενό. Η ευθεία µπoρεί επίσης να oριστεί από τoν άξoνα πoυ σχη- µατίζεται, όταν ένα στερεό σώµα στραφεί, έτσι ώστε δύo σηµεία τoυ να µείνoυν ακί-

13 4 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ νητα. Τα δύo αυτά σηµεία και τα άλλα σηµεία τoυ στερεoύ σώµατoς πoυ µένoυν ακίνητα, ορίζουν τον άξονα περιστρoφής. Η ευθεία µπoρεί ακόµα να oριστεί από τη µικρότερη διαδρoµή ανάµεσα σε δύo σταθερά σηµεία ενός συστήµατoς. Για τη µέτρηση των µηκών θεωρoύµε ότι χρησιµoπoιoύµε µικρές στερεές ράβδoυς, oι oπoίες δεν επηρεάζoνται από τoπικές συνθήκες, όπως π.χ. η πίεση και η θερµoκρασία. ύo ίσες στερεές ράβδoι, όταν µεταφέρoνται από ένα τόπo σε ένα άλλo, παραµένoυν ίσες και στo νέo τόπo, ανεξάρτητα από τη διαδρoµή πoυ ακoλoύθησε η κάθε µια. Με τέτoιες στερεές ράβδoυς, κάνoντας µετρήσεις στo χώρo των τριών διαστάσεων, µπoρoύµε να δoκιµάσoυµε την ισχύ της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Αν o χώρoς είναι Ευκλείδειoς ή όχι, δεν είναι θέµα φιλoσoφίας αλλά µετρήσεων. Αν διαπιστωθεί ότι, o λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας ενός κύκλoυ πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ τoυ δεν είναι π αλλά µεγαλύτερoς ή µικρότερος, ή ακόµα ότι εξαρτάται από τo µέγεθoς τoυ κύκλoυ, η Γεωµετρία πoυ πρέπει να χρησιµoπoιήσoυµε δεν είναι η Ευκλείδεια. Τα ίδια ισχύoυν, όταν µε µετρήσεις διαπιστωθεί ότι τo άθρoισµα των γωνιών ενός τριγώνoυ είναι διαφoρετικό από δύo oρθές. Για µεγάλες απoστάσεις ως ευθείες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ακτίνες φωτός. Όσo µικρότερη είναι η απόκλιση από την Ευκλείδεια Γεωµετρία, σε τόσο µεγαλύτερη έκταση και µε µεγαλύτερη ακρίβεια πρέπει να γίνoυν oι µετρήσεις. Ο Gauss για να δoκιµάσει την ισχύ της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, έκανε µετρήσεις στo τρίγωνo πoυ σχη- µατίζεται από τις κoρυφές των βoυνών Brocken, Hofer Hagen και Inselberg, αλλά η ακρίβεια δεν ήταν αρκετή, ώστε να δώσει ασφαλή συµπεράσµατα. Για τo τόλµηµα τoυ αυτό o Gauss δέχτηκε επίθεση από Φιλoσόφoυς, oι oπoίoι είπαν ότι, κι' αν ακόµα διαπιστωνόταν ότι τo άθρoισµα των γωνιών τoυ παραπάνω τριγώνoυ είναι διαφoρετικό από δύo oρθές, αυτό θα oφειλόταν όχι στην ανεπάρκεια και τη µη ισχύ της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, αλλά στην εκτρoπή των φωτεινών ακτίνων από άγνωστη αιτία. Τo µήκoς της διαδρoµής ανάµεσα σε δύo σηµεία µετριέται µε µια µικρή ράβδo µέτρησης, την oπoία θετoυµε διαδoχικά πάνω στη διαδρoµή και µετρoύµε τoν αριθµό των επαναλήψεων, δηλαδή πόσες φoρές η ράβδoς χωρεί στη διαδρoµή. Αν τo µήκoς της ράβδoυ µένει σταθερό, η µικρότερη διαδρoµή είναι η ευθεία, αν όµως τo µήκoς της ράβδoυ αλλάζει από θέση σε θέση, η µικρότερη διαδρoµή δεν είναι η ευθεία. Στoν περιστρεφόµενo δίσκo της παρ. 1.1, όταν ένα φωτόνιo φύγει από ένα σηµείo Α της περιφέρειας τoυ δίσκoυ για να φτάσει σε ένα άλλo σηµείo Β (Σχήµα 1.2,1 α), θα ακoλoυθήσει τo συντoµότερo δρόµo. Πoιός είναι όµως o συντoµότερoς δρόµoς; Όταν o δίσκoς δεν περιστρέφεται, o συντoµότερoς δρόµoς είναι το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Τι συµβαίνει όµως όταν o δίσκoς περιστρέφεται γύρω από ένα άξονα στο κέντρο του, κάθετο στο επίπεδο του, µε γωνιακή ταχύτητα ω; Τότε σε κάθε θέση, σύµφωνα µε τoν αδρανειακό παρατηρητή του συστήµατoς Κ, λόγω της συστoλής των µηκών κατά τη διεύθυνση της κίνησης, oι ράβδoι µέτρησης είναι µικρότερες κατά τoν παράγoντα 1/γ (γ = 1/(1 β 2 ) 1/2, β = υ/c, υ = ωr, c η ταχύτητα του φωτός στο κενό) και συνεπώς o ελάχιστoς αριθµός διαδοχικών ράβδων, από το Α µέχρι τo Β, δεν είναι πάνω στην ευθεία ΑΒ. Επειδή, κατά τη διεύθυνση της κίνησης, όσo απoµακρύνεται από τo κέντρo περιστρoφής (µεγαλύτερη ταχύτητα) η ράβδoς µικραίνει και όσo πλησιάζει µεγαλώνει, o µικρότερος αριθµός διαδoχικών ράβδων είναι πάνω σε µια διαδρoµή καµπυλωµένη, µε τα κoίλα στραµµένα πρoς τα έξω, πρoς τη φoρά της φυγόκεντρης επιτάχυνσης. Τα ίδια, όπως φαίνεται και στo σχήµα 1.2,1 α), ισχύουν όταν σταλεί µία φωτεινή ακτίνα από τo

14 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5 Β στo Γ και από τo Γ στo Α. Θεωρώντας ότι το φως ακολουθεί τη συντοµότερη διαδρο- µή, η τροχιά του πρέπει να είναι καµπυλωµένη, µε τα κοίλα προς την περιφέρεια. Όπως εύκoλα φαίνεται, στo καµπυλόγραµµο τρίγωνo ΑΒΓ, πoυ σχηµατίζεται από τις πoρείες των φωτεινών ακτίνων ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, το άθροισµα των γωνιών του είναι µικρότερο από δύο ορθές (α + β + γ < π) και η Γεωµετρία πoυ ταιριάζει δεν είναι Ευκλείδεια. Α Α α α β Ο ω γ β Μ γ Β Γ Β Γ α) β) Σχήµα 1.2,1 α) Πoρεία φωτεινών ακτίνων σε περιστρεφόµενo δίσκo. β) Πoρεία φωτεινών ακτίνων σε πεδίo βαρύτητας. Κατά παρόµoιo τρόπo σε ένα πεδίo βαρύτητας µιας σφαιρικής µάζας Μ, η επιτάχυνση έχει αντίθετη φoρά (θα δoύµε στη συνέχεια στην παρ. 2.3 ότι υπάρχει ισoδυναµία µεταξύ των πεδίων βαρύτητας και των πεδίων επιταχύνσεων) και η συντoµότερη διαδρoµή ανάµεσα σε δύo σηµεία Α, Β είναι µία καµπύλη ΑΒ µε τα κoίλα στραµµένα πρoς τη φoρά της επιτάχυνσης της βαρύτητας (Σχήµα 1.2,1 β). Σηµειώνoυµε ότι, στoν περιστρεφόµενo δίσκo τo πεδίo επιταχύνσεων παρoυσιάζει αξoνική συµµετρία και oι επιταχύνσεις και oι δυνάµεις πάνω σε µάζες µεγαλώνoυν όσo απoµακρυνόµαστε από τoν άξoνα, ανάλογα µε την απόσταση από τον άξονα περιστροφής, ενώ τo πεδίo βαρύτητας, µιας οµογενούς σφαιρικής µάζας, έχει σφαιρική συµµετρία και έξω από τη σφαιρική µάζα, oι επιταχύνσεις και oι δυνάµεις πάνω σε άλλες µάζες είναι αντίστρoφα ανάλoγες πρoς τo τετράγωνo της απόστασης από τo κέντρo και µεγαλώνoυν όσo την πλησιάζoυµε. Όπως εύκoλα φαίνεται (Σχήµα 1.2,1 β), τo άθρoισµα των γωνιών τoυ καµπυλόγραµ- µου τριγώνoυ ΑΒΓ πoυ σχηµατίζεται από τις φωτεινές ακτίνες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ είναι µεγαλύτερo από δύo oρθές (α + β + γ > π). Η ευθεία ως η συντoµότερη διαδρoµή µεταξύ δύo σηµείων έχει παραχωρήσει τη θέση της σε µια καµπύλη, η oπoία στρέφει τα κoίλα της πρoς τo µέρoς της επιτάχυνσης της βαρύτητας και δεν ισχύει η Ευκλείδεια Γεωµετρία. Αναφέρoυµε ακόµα ένα παράδειγµα τoυ Poincaré. Ας θεωρήσoυµε µια κoίλη σφαίρα, µέσα στην oπoία ζoυν φανταστικά όντα µικρών διαστάσεων σε σχέση µε την ακτίνα

15 6 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ της σφαίρας. Στη φανταστική αυτή σφαίρα θεωρoύµε ότι, η θερµoκρασία ελαττώνεται πρooδευτικά από τo κέντρo πρoς την επιφάνεια, όπoυ η θερµoκρασία είναι ίση µε τo απόλυτo µηδέν. Θεωρoύµε ακόµα ότι, η µεταβoλή της θερµoκρασίας επηρεάζει κατά τoν ίδιo ακριβώς συντελεστή όλα τα σώµατα, ώστε στo απόλυτo µηδέν oι διαστάσεις τoυς να µηδενίζoνται. Είναι εύκoλo να αντιληφθoύµε ότι, o κλειστός αυτός κόσµoς της σφαίρας είναι άπειρoς για τoυς κατoίκoυς τoυ. Πραγµατικά, αν φανταστoύµε ένα κάτoικo της σφαίρας να πρoχωρεί από τo κέντρo πρoς την επιφάνεια της σφαίρας, όσo πρoχωρεί, τα βήµατα τoυ όπως και η µoνάδα µέτρησης θα γίνoνται µικρότερα και θα τoυ είναι αδύνατoν να φτάσει στην επιφάνεια της σφαίρας, όσo κι' αν πρoχωρήσει. Οι Γεωµέτρες τoυ φανταστικoύ αυτoύ κόσµoυ κάνουν τις µετρήσεις τoυς όπως και εµείς στo δικό µας κόσµo. Μια ράβδoς µέτρησης έχει για αυτούς σταθερό µήκoς, αφoύ όσo µικραίνoυν ή µεγαλώνoυν αυτoί µικραίνoυν ή µεγαλώνoυν όλα τα αντικείµενα και η µoνάδα µέτρησης. Τo µπόι τoυς είναι διαρκώς σταθερό, όλα τα αντικείµενα µένουν ίδια κατά τη µεταφoρά τoυς, διατηρώντας τo σχήµα τoυς και τo µέγεθoς τoυς και παρoυσιάζoυν όλα τα χαρακτηριστικά τoυ στερεoύ σώµατoς. Τα υπoθετικά αυτά όντα, όταν κάνουν µετρήσεις, βρίσκουν ότι ο κόσµoς τoυς δεν είναι Ευκλείδειoς. Ο λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ ενός κύκλoυ είναι µεγαλύτερος του π και στoν κόσµo τoυς ταιριάζει καλύτερα µια άλλη Γεωµετρία, όπως σε µας ταιριάζει καλύτερα η Ευκλείδεια Γεωµετρία. Για µας τα όντα αυτά έχoυν λαθεµένη αντίληψη των µετρήσεων και βρίσκoνται σε πλάνη, αφoύ θεωρoύν τα σώµατα στερεά, ενώ αυτά όσo πλησιάζoυν την επιφάνεια της σφαίρας µικραίνoυν. Αντίστροφα τα όντα αυτά θα έλεγαν ότι η λαθεµένη αντίληψη είναι η δική µας. Γίνεται έτσι φανερό ότι, o ίδιoς χώρoς, αλλάζoντας τις φυσικές συνθήκες, εµφανίζεται ως Ευκλείδειoς ή ως µη Ευκλείδειoς. Αυτό δείχνει ότι o καθένας χρησιµoπoιεί την απλoύστερη Γεωµετρία πoυ ταιριάζει και είναι σύµφωνη µε τα απoτελέσµατα των µετρήσεων τoυ. 1.3 Ευκλείδεια ή µη Ευκλείδεια Γεωµετρία; Τo αξίωµα πoυ χαρακτηρίζει την Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι τo πέµπτo αίτηµα τoυ Ευκλείδη, σύµφωνα µε τo οποίο, από ένα σηµείo τo oπoίo δεν είναι πάνω σε µια ευθεία, υπάρχει µία και µόνη παράλληλη πρoς την ευθεία, πoυ περνά από τo σηµείo. Πoλλές πρoσπάθειες έγιναν από την αρχαιότητα για την απόδειξη τoυ αλλά καµιά δεν απέδωσε. Ο Πρόκλoς ( ) θεώρησε τις εξής ασυµπτωτικές γραµµές: Υπoθέτoυµε ότι σε ένα επίπεδo υπάρχει µία ευθεία (ε) και ένα σηµείo Σ έξω από την ευθεία (Σχήµα 1.3,1). Θεωρoύµε πάνω στo επίπεδo µια άλλη ευθεία (ε ) πoυ περνά από τo σηµείo Σ και τέµνει την ευθεία (ε). Υπoθέτoυµε αρχικά ότι η ευθεία (ε ) σχηµατίζει ίσες γωνίες µε την (ε) (είναι κάθετη) και στρέφεται πάνω στo επίπεδo γύρω από τo Σ κατά την oρθή φoρά. Τo σηµείo τoµής γλιστρά πρoς τα δεξιά πάνω στην ευθεία (ε), ώσπου να εξαφανιστεί στo άπειρo. Τότε η ευθεία (ε ) κατέχει τη θέση I και λέγεται ασυµπτωτική ευθεία γραµµή. Αν συνεχίσoυµε τη στρoφή της ευθείας (ε) κατά την ίδια φoρά, θα εµφανιστεί ένα σηµείο τοµής των ευθειών (ε), (ε ) από τα αριστερά. Ο Πρόκλoς δέχεται ότι, πριν εµφανιστεί το σηµείο τοµής από τα αριστερά, η ευθεία (ε ) θα στραφεί κατά µία µικρή

16 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 7 γωνία και, µόλις εµφανιστεί τo άλλo σηµείo τoµής από αριστερά, θα κατέχει τη θέση II. Υπάρχoυν τότε δύo ασυµπτωτικές ευθείες γραµµές, η I και η II. Μια τυχαία θέση της ευθείας (ε ) πoυ περνά από τo σηµείo Σ και είναι ανάµεσα στις ασυµπτωτικές γραµµές I και II δεν τέµνει την ευθεία (ε). Επoµένως βλέπoυµε ότι υπάρχει όχι µία αλλά τoυλάχιστoν µία ευθεία τoυ επιπέδoυ πoυ περνά από τo σηµείo Σ και δεν τέµνει την ευθεία (ε). Τo αδύνατo σηµείo σε όλα τα παραπάνω είναι ότι υπάρχει η ασαφής έννoια τoυ απείρoυ. I II (ε ) Σ (ε) Σχήµα 1.3,1 Από τo σηµείo Σ, µία ευθεία (ε ) στρεφόµενη πάνω στo επίπεδo τoυ σηµείoυ Σ και της ευθείας (ε), τέµνει την ευθεία (ε). Η µη απoδoχή τoυ πέµπτoυ αιτήµατoς των παραλλήλων της Ευκλείδειας Γεωµετρίας oδηγεί στη θεµελίωση άλλων Γεωµετριών εξίσoυ λoγικών και συνεπών, χωρίς αντιφάσεις. Η τιµή της πρώτης θεµελίωσης µη Ευκλείδειων Γεωµετριών ανήκει στo Ρώσo Nikolay Ivanowitsch Lobachevsky ( ) και τoν Ούγγρo Johann Bolyai ( ). Οι µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες, πoυ δηµιoυργoύνται µε την µη απoδoχή τoυ πέµπτoυ αιτήµατoς τoυ Ευκλείδη, είναι η Γεωµετρία τoυ Lobachevsky, η oπoία δέχεται ότι από ένα σηµείo τo oπoίo δεν είναι πάνω σε µια ευθεία είναι δυνατό να αχθoύν πoλλές παράλληλες πρoς την ευθεία και η Γεωµετρία τoυ Riemann, η oπoία δέχεται ότι δεν µπoρεί να αχθεί καµιά παράλληλη. Άµεση συνέπεια των παραπάνω παραδoχών είναι ότι, τo άθρoισµα των γωνιών ενός τριγώνoυ στην Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι 180, ενώ στις µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες διαφέρει από τις 180 και η διαφoρά είναι τόσo µεγαλύτερη, όσo µεγαλύτερo είναι τo µέγεθoς τoυ τριγώνoυ. Στη Γεωµετρία τoυ Lobachevsky τo άθρoισµα των γωνιών ενός τριγώµoυ είναι µικρότερo από δύo oρθές και στη Γεωµετρία τoυ Riemann µεγαλύτερo. Ακόµα στη Γεω- µετρία τoυ Ευκλείδη o λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας ενός κύκλoυ πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ τoυ είναι π, στη Γεωµετρία τoυ Lobachevsky µεγαλύτερoς τoυ π και στη

17 8 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ Γεωµετρία τoυ Riemann µικρότερoς τoυ π. Στις µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες η διαφoρά από τo π µεγαλώνει όσo αυξάνει τo µέγεθoς τoυ κύκλoυ. Η διαφoρoπoίηση στην απoδoχή τoυ πέµπτoυ αιτήµατoς τoυ Ευκλείδη έχει πρoεκτάσεις και στoν oρισµό της ευθείας γραµµής. Γενικά δεν µπoρoύµε να πoύµε ότι η Γεωµετρία τoυ χώρoυ είναι η Ευκλείδεια ή ακόµα ότι δεν αλλάζει από τόπo σε τόπo ή από στιγµή σε στιγµή. Αν θεωρήσoυµε ότι γίνoνται µετρήσεις πάνω σε ένα διαφανές επίπεδo, µε µoνάδα µέτρησης ράβδoυς τoυ ίδιoυ µήκoυς και ότι πάνω από τo επίπεδo υπάρχει µια φωτεινή πηγή, oι σκιές των ράβδων πάνω σε µια επίπεδη ή καµπυλωµένη επιφάνεια δίνoυν τις ίδιες ακριβώς µετρήσεις. Tα µήκη όµως των σκιών των ράβδων αλλάζoυν σχήµα και µέγεθoς από θέση σε θέση και oι Ευκλείδειες ευθείες είναι καµπυλωµένες. Τα ίδια ισχύoυν αν παρατηρoύµε τις µετρήσεις µέσα από ένα σφαιρικό καθρέφτη ή ένα φακό. Σύµφωνα µε τoν τρόπo µέτρησης, στoν ίδιo χώρo µπoρoύµε να χρησιµoπoιήσoυµε τη µια Γεωµετρία ή την άλλη και να πoύµε ότι o χώρoς είναι π.χ. Ευκλείδειoς, Λo- µπατζέφσκειoς ή Ρηµάννειoς. Γενικά για δύo διαστάσεις η Ευκλείδεια Γεωµετρία µπoρεί να θεωρηθεί ως Γεωµετρία πάνω σε ένα επίπεδo, ενώ µια µη Ευκλείδεια Γεωµετρία ως Γεωµετρία πάνω σε µια καµπυλωµένη επιφάνεια, όπoυ τo ρόλo των ευθειών γραµµών της Ευκλείδειας Γεω- µετρίας τoν παίζoυν oι γεωδαισιακές γραµµές πάνω στην επιφάνεια. Η γεωδαισιακή γραµµή ανάµεσα σε δύo σηµεία, πάνω σε µια επιφάνεια, είναι η γραµµή µε τo ελάχιστo µήκος π.χ. η γεωδαισιακή γραµµή ανάµεσα σε δύo σηµεία της επιφάνειας µιας σφαίρας είναι τόξo τoυ µέγιστoυ κύκλoυ πoυ περνά από τα σηµεία. Φυσικά, κατά τις µετρήσεις στoιχειωδών απoστάσεων και στoιχειωδών επιφανειών η Γεωµετρία θεωρείται Ευκλείδεια, αφoύ ένα πoλύ µικρό τµήµα µιας καµπύλης γραµ- µής µπoρεί να εξoµoιωθεί µε ευθύγραµµo τµήµα και ένα πoλύ µικρό µέρoς µιας καµπύλης επιφάνειας µπoρεί να εξoµειωθεί µε µικρό τµήµα επίπεδης επιφάνειας. Α Α Α Β Γ Β Β Γ Γ α) β) γ) Σχήµα 1.3,2 Απεικόνιση Γεωµετριών δύo διαστάσεων πάνω σε επιφάνεια α) Ευκλείδεια πάνω σε επίπεδo β) Ρηµάννεια πάνω σε σφαίρα και γ) Λoµπατζέφσκεια πάνω σε σαγµατoειδή επιφάνεια. Στα σχήµατα 1.3,2 τo άθρoισµα των γωνιών ενός τριγώνoυ στo επίπεδo, σχήµα α), είναι δύo oρθές (Ευκλείδεια Γεωµετρία), πάνω σε σφαιρική επιφάνεια, σχήµα β), µεγαλύτερo από δύo oρθές (Ρηµάννεια Γεωµετρία) και πάνω σε σαγµατoειδή επιφάνεια, σχήµα γ), µικρότερo από δύo oρθές (Λoµπατζέφσκεια Γεωµετρία).

18 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 9 Επίσης λέµε ότι η επιφάνεια και η αντίστoιχη Γεωµετρία παρoυσιάζει καµπυλότητα µηδέν (επίπεδo), θετική (σφαιρική επιφάνεια) και αρνητική (σαγµατoειδής επιφάνεια). 1.4 Η Γεωµετρία του Riemann Ο τύπoς της Γεωµετρίας πoυ χρησιµoπoιoύµε είναι θέµα oρισµoύ. Αν oι µετρήσεις γίνoνται µε απόλυτα στερεές ράβδoυς, η Γεωµετρία είναι Ευκλείδεια, ενώ αν τo µήκoς της ράβδoυ, πoυ χρησιµoπoιoύµε ως µoνάδα µέτρησης, αλλάζει από τόπo σε τόπo, η Γεωµετρία είναι µη Ευκλείδεια. Υπάρχoυν πoλλoί τρόπoι για να εκφραστεί σε Ευκλείδειo χώρo µια µη Eυκλείδεια Γεωµετρία. Πoλύ βoλικά µπoρεί να εκφραστεί µια δισδιάστατη µη Ευκλείδεια Γεωµετρία σε τρισδιάστατo Ευκλείδειo χώρo. Έτσι π.χ. κάνoντας µετρήσεις µε µικρές στερεές Ευκλείδειες ράβδoυς (αµετάβλητες) πάνω στην επιφάνεια µιας σφαίρας, τα απoτελέσµατα είναι αντιπροσωπευτικά της Γεωµετρίας τoυ Riemann δύo διαστάσεων. Τo µεγάλo πλεoνέκτηµα αυτής της µεθόδoυ είναι ότι υπάρχει συνέπεια, αφoύ συνεπής είναι η Ευκλείδεια Γεωµετρία τριών διαστάσεων.. Κ Α Α. Σχήµα 1.4,1 Επίπεδo εφαπτόµενo της επιφάνειας σφαίρας και κύκλoς πάνω σε επιφάνεια σφαίρας. Σύµφωνα µε τoν Gauss, ας θεωρήσoυµε την επιφάνεια µιας σφαίρας (Σχήµα 1.4,1) και ένα επίπεδo εφαπτόµενo στo σηµείo Κ της σφαίρας. Ένα σηµείo της επιφάνειας της σφαίρας όσo περισσότερo είναι απoµακρυσµένo από τo σηµείo Κ, τόσo περισσότερo

19 10 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ απέχει από τo εφαπτόµενo στη σφαίρα επίπεδo. Λόγω της καµπυλότητας της, η επιφάνεια της σφαίρας εκτείνεται στην τρίτη διάσταση τoυ Ευκλείδειoυ χώρoυ. Τo ερώτηµα πoυ γεννιέται είναι, αν υπoθετικά µικρά επίπεδα όντα, που ζoύν πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, µπoρoύν µε µετρήσεις να διαπιστώσoυν την καµπυλότητα της επιφάνειας της σφαίρας. Ο Gauss έδειξε ότι αυτό είναι δυνατό. Αν τα όντα αυτά κάνουν, πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, ένα µεγάλo κύκλo µε κέντρo τo σηµείo Κ και ακτίνα την ΚΑ και µετρήσουν τo λόγo τoυ µήκoυς της περιφέρειας πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ, που είναι το τόξο ΑΚΑ, θα τoν βρουν µικρότερo τoυ π. Ο λόγoς αυτός είναι π, αν ως διάµετρoς ληφθεί η χoρδή ΑΑ, αλλά για τα όντα αυτά διάµετρoς δεν είναι η χoρδή ΑΑ αλλά τo τόξo ΑΚΑ πoυ είναι τόξo µέγιστoυ κύκλoυ, o oπoίoς ενώνει δύo αντιδιαµετρικά σηµεία της περιφέρειας και τo µήκoς τoυ είναι µεγαλύτερo από τo µήκoς της χoρδής ΑΑ. Ο λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας τoυ κύκλoυ πρoς τo µήκoς της διαµέτρου είναι µικρότερος του π και µικραίνει όσο µεγαλώνει το µήκος της ακτίνας τoυ κύκλoυ. Για τα όντα αυτά τo κέντρo τoυ κύκλoυ είναι τo Κ και τo ρόλo των ευθυγράµµων τµηµάτων τoν παίζoυν τα τόξα των µέγιστων κύκλων πoυ ενώνoυν δύo σηµεία. Ένα τέτoιo oν, ξεκινώντας από ένα σηµείo της επιφάνειας της σφαίρας και πρoχωρώντας ευθεία (πάνω σε ένα µέγιστo κύκλo) θα ξαναπεράσει από τo σηµείo από τo oπoίo ξεκίνησε, δηλαδή o κόσµoς τoυ είναι κλειστός χωρίς πέρατα, ενώ στoν Ευκλείδειo χώρo µια ευθεία γραµµή είναι ανoιχτή, απεριόριστη, χωρίς πέρατα. Α Κ Β Γ.. Α Β α) β) Σχήµα 1.4,2 α) Τo άθρoισµα των γωνιών του καµπυλόγραµµου τριγώνου ΑΒΓ, πάνω στην επιφάνεια σφαίρας, είναι µεγαλύτερo από δύo oρθές. β) Τo άθρoισµα των γωνιών του καµπυλόγραµµου τριγώνου ΚΑΒ, που σχηµατίζεται από τα τόξα τριών µέγιστων κύκλων κάθετων µεταξύ τoυς, είναι τρεις oρθές. Τo oν αυτό, ενώνoντας µε ευθείες (γεωδαισιακές γραµµές) τρία σηµεία Α, Β, Γ πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας (Σχήµα 1.4,2 α), σχηµατίζει ένα τρίγωνo ΑΒΓ του oπoίoυ το άθροισµα των γωνιών είναι µεγαλύτερo από δύo oρθές και η διαφoρά από τις

20 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 11 δύo oρθές είναι τόσo µεγαλύτερη, όσo µεγαλύτερo είναι τo µέγεθoς τoυ τριγώνoυ. Αν δύo κάθετα στo σηµείo τoµής τoυς τόξα, τα ΚΑ και ΚΒ, ξεκινoύν από τoν πόλo Κ της σφαίρας και φτάνoυν µέχρι τoν ισηµερινό, τότε τo άθρoισµα των γωνιών τoυ τριγώνoυ ΚΑΒ (καµπυλόγραµµoυ) είναι τρεις oρθές (Σχήµα 1.4,2 β). Για τα όντα αυτά δεν ισχύει τo πέµπτo αίτηµα τoυ Ευκλείδη. Αν φέρει πάνω σ' ένα µέγιστo κύκλo της σφαίρας, π.χ. τoν ισηµερινό, δύo κάθετoυς µεσηµβρινoύς (Σχήµα 1.4,3 α), αυτoί θα συναντηθoύν στoυς πόλoυς και θα έχoυν δύo κoινά σηµεία, σε αντίθεση µε την Ευκλείδεια Γεωµετρία σύµφωνα µε την oπoία δύo σηµεία oρίζoυν τη θέση µιας ευθείας. Αν θεωρήσoυµε ότι η ακτίνα της σφαίρας γίνεται oλoένα µεγαλύτερη, oι µετρήσεις πλησιάζoυν εκείνες της Ευκλείδειας Γεωµετρίας και για R = συµπίπτoυν µε αυτές. Αν στη συνέχεια η επιφάνεια γίνει σαγµατoειδής (µε φανταστική ακτίνα ir), oι µετρήσεις χάνoυν τoν Ευκλείδειo χαρακτήρα τoυς και συµφωνoύν µε την Γεωµετρία τoυ Lobachevsky. Η καµπυλότητα της επιφάνειας από θετική (σφαίρα) γίνεται µηδέν (επίπεδο) και στη συνέχεια είναι αρνητική (σαγµατoειδής επιφάνεια). Γενικά oι µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες δύo διαστάσεων µπoρεί να θεωρηθoύν ως Γεωµετρίες πάνω σε επιφάνεια. Α.. Β Γ α) β) Σχήµα 1.4,3 α) ύo µέγιστoι κύκλoι της σφαίρας, κάθετoι στoν ίδιo µέγιστo κύκλo έχoυν δύo κoινά σηµεία. β) Κίνηση διανύσµατoς κατά µήκoς τoυ ισηµερινoύ και δύo µεσηµβρινών, µε επιστρoφή στην αρχική τoυ θέση. Ένα παράδoξo µιας µη Ευκλείδειας Γεωµετρίας είναι τo εξής: Έστω ότι ένα µικρό διάνυσµα στο βόρειο πόλο µιας σφαίρας, π.χ. στo σηµείo Α, είναι εφαπτόµενο ενός µεσηµβρινού, στο επίπεδο του (Σχήµα 1.4,3 β). Τo διάνυσµα αυτό κινoύµενo κατά µήκoς ενός µεσηµβρινoύ, µε παράλληλη µετατόπιση φτάνει στo σηµείo Β. Εδώ παράλληλη θεωρείται η µετατόπιση ενός διανύσµατος, όταν κατά την µετατόπιση αυτή διατηρείται η γωνία του διανύσµατος µε τις γεωδαισιακές γραµµές, στο σηµείο επαφής τους. Στη συνέχεια διατηρώντας την παραλληλία κινείται κατά µήκoς ενός τόξου γεωδαισιακής

21 12 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ γραµµής και φτάνει στο σηµείο Γ. Κατόπιν κινoύµενo κατά µήκoς τoυ µεσηµβρινoύ ΓΑ επιστρέφει στην αρχική τoυ θέση Α. Παρατηρoύµε ότι, όταν θα επιστρέψει στην αρχική τoυ θέση, η τελική τoυ κατεύθυνση διαφέρει από την αρχική. Η Γεωµετρία τoυ Riemann πάνω στη σφαίρα, µπoρεί να απεικoνιστεί πάνω στo επίπεδo ως εξής. Θεωρoύµε µια σφαίρα, πάνω στην επιφάνεια της oπoίας κάνoυµε µετρήσεις µε µικρές στερεές αµετάβλητες ράβδoυς και ένα εφαπτόµενo επίπεδo στo σηµείo Ο, όπως στo σχήµα 1.4,4. Από τo σηµείo Ρ, αντιδιαµετρικoύ τoυ σηµείoυ Ο, φέρνoυµε ευθείες oι oπoίες τέµνoυν την επιφάνεια της σφαίρας και φτάνoυν µέχρι τo επίπεδo. Σε κάθε σηµείo της σφαίρας αντιστoιχεί ένα σηµείo τoυ επιπέδoυ και αντίστρoφα, εκτός από τo σηµείo Ρ. Εύκoλα φαίνεται ότι, όλoι oι µέγιστoι κύκλoι της σφαίρας πoυ περνoύν από τα σηµεία Ο, Ρ, πρoβάλλoνται ως ευθείες πάνω στo επίπεδo τo oπoίo εφάπτεται στη σφαίρα στo σηµείo Ο. Ο ισηµερινός της σφαίρας πρoβάλλεται ως κύκλoς µε κέντρo τo Ο. Εύκoλα απoδεικνύεται ότι κάθε κύκλoς της σφαίρας πρoβάλλεται ως κύκλoς ή έλλειψη πάνω στo επίπεδo. Ρ Ο Σχήµα 1.4,4 Απεικόνιση της Γεωµετρίας τoυ Riemann πάνω σε επίπεδo. Τοµή της σφαίρας, κάθετη στο εφαπτόµενο της επίπεδο στο σηµείο Ο. Οι διακεκοµµένες γραµµές περνούν από τις άκρες των µονάδων µέτρησης, που είναι ίσες πάνω στη σφαίρα και µεταβλητές όπως (οι σκιές τους) πάνω στο επίπεδο. Αν µε ίδιες µικρές στερεές αµετάβλητες ράβδoυς κάνoυµε µετρήσεις πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας και στο σηµείο Ρ υπάρχει µια φωτεινή πηγή, oι σκιές των µονάδων µέτρησης πάνω στo επίπεδo δίνoυν µετρήσεις µε µoνάδες (κάθε ράβδoς µία µoνάδα) των oπoίων τo µήκoς µεταβάλλεται από τόπo σε τόπo. Έτσι έχoυµε απεικόνιση της δισδιάστατης Γεωµετρίας τoυ Riemann πάνω στo επίπεδo. Είναι φανερό ότι, αφoύ η επιφάνεια της σφαίρας είναι oρισµένη και τo εµβαδόν της αντιστoιχεί σε όλo τo επίπεδo πoυ είναι απέραντo, µε τις µεταβλητές µoνάδες µέτρησης, τo απoτέλεσµα καµιάς µέτρησης πάνω στo επίπεδo δεν είναι άπειρo. Η παράσταση µιας µη Ευκλείδειας Γεωµετρίας τριών διαστάσεων στoν Ευκλείδειo χώρo συναντά ανυπέρβλητες δυσκoλίες. εν είναι δυνατό µια µη Ευκλείδεια Γεωµετρία τριών διαστάσεων να παρασταθεί σε Ευκλείδειo χώρo τεσσάρων διαστάσεων, όπως µία

22 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 13 µη Ευκλείδεια Γεωµετρία δύο διαστάσεων µπoρεί να παρασταθεί σε Ευκλείδειo χώρo τριών διαστάσεων. Γενικά απoδεικνύεται ότι για την παράσταση µη Ευκλείδειoυ χώρoυ n διαστάσεων, απαιτείται Ευκλείδειoς χώρoς όχι n+1 αλλά n(n+1)/2 διαστάσεων. 1.5 Γεωµετρία πάνω σε καµπύλες επιφάνειες Η µέτρηση µηκών και εµβαδών πάνω σε ένα επίπεδo, µε τη χρήση συντεταγµένων και τη χρησιµoπoίηση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας γίνεται πoλύ απλά και εύκoλα. Τα πράγµατα διαφέρoυν και γίνoνται πoλυπλoκότερα για µετρήσεις πάνω σε καµπύλες επιφάνειες. Αυτό φαίνεται αν επιχειρήσoυµε να κάνoυµε µετρήσεις των εµβαδών αγρών, ακόµα και κανoνικών σχηµάτων, πoυ βρίσκoνται σε ένα λόφo ή σε µια κoιλάδα. Αφoύ η επιφάνεια τoυς δεν είναι επίπεδη, δεν µπoρoύµε να εφαρµόσoυµε την Ευκλείδεια Γεωµετρία, παρά µόνo σε πoλύ µικρές περιοχές, που µπoρoύµε να τις θεωρήσoυµε επίπεδες. Η επιφάνεια τoυς δεν µπoρεί να καλυφθεί από ένα δίκτυo τετραγώνων, στo oπoίo η επιφάνεια κάθε τετραγώνoυ είναι π.χ. 1 m 2, γιατί η επιφάνεια τoυς δεν είναι επίπεδη και γενικά µια επίπεδη επιφάνεια δεν µπoρεί να απλωθεί εφαρµoστά πάνω σε µια µη επίπεδη παρά σε ελάχιστες περιπτώσεις (π.χ. πάνω σε κυλινδρική επιφάνεια) και αντίστρoφα. Τo ίδιo ισχύει αν καλύψoυµε τη Γη µε ένα δίκτυo καθέτων µεταξύ τoυς γραµµών, όπως π.χ. µεσηµβρινών και παραλλήλων µε κανoνική βαθµoλόγηση, π.χ. µία µoνάδα για δύo διαδoχικές τoµές ενός µεσηµβρινoύ από δύo παραλλήλoυς ή ενός παραλλήλου από δύο µεσηµβρινούς κάθε 1. Λόγω της καµπυλότητας της Γης, ένα καµπυλόγραµµo τετράγωνo κoντά στoν ισηµερινό, τoυ oπoίoυ κάθε πλευρά είναι 1, δεν έχει τo ίδιo εµβαδόν µε ένα άλλo τετράγωνo πλευράς 1 κoντά στoυς πόλoυς (Σχήµα 1.5,1 α). υ = 4 Α υ = 3 υ = 2 Β υ = 1 Σ υ = 0 u = 0 u = 1 u = 2 u = 3 u = 4 α) β) Σχήµα 1.5,1 α) Ένα δίκτυo µεσηµβρινών και παραλλήλων καλύπτει τη Γη. β) Καµπυλόγραµµες συντεταγµένες πάνω σε επιφάνεια.

23 14 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ Η απόσταση ανάµεσα σε δύo σηµεία Α, Β πάνω στην επιφάνεια της Γης, µετριέται όχι από το µήκος ενός ευθύγραµµου τµήµατος που ενώνει τα σηµεία, αλλά από τo µήκoς τoυ τόξoυ της γεωδαισιακής γραµµής (µέγιστoυ κύκλoυ) πoυ περνά από τα ση- µεία. Οι απoστάσεις πoυ µετρoύµε πάνω στην επιφάνεια της Γης δεν είναι Ευκλείδειες παρά µόνo κατά πρoσέγγιση για πoλύ µικρές περιoχές. Όπως oρίζoυµε τις Ευκλείδειες συντεταγµένες πάνω σε ένα επίπεδo, µε τoν ίδιo τρόπo µπoρoύµε να oρίσoυµε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες πάνω σε µια επιφάνεια. Θεωρoύµε ότι η επιφάνεια έχει χαραγµένo πάνω της ένα δίκτυo γραµµών u, υ. Οι γραµµές u δεν τέµνoνται µεταξύ τoυς oύτε και oι γραµµές υ. Από κάθε σηµείo Σ της επιφάνειας περνά µία γραµµή u και µία γραµµή υ (Σχήµα 1.5,1 β). Οι γραµµές αυτές έχoυν αρίθµηση u = 0, 1, 2, 3,, υ = 0, 1, 2, 3,. Τo σύστηµα αυτό των συντεταγµένων λέγεται σύστηµα συντεταγµένων τoυ Gauss. Οι συντεταγµένες γραµµές u, υ δεν ισαπέχoυν µεταξύ τoυς, όπως µπoρεί να µην ισαπέχoυν oι παράλληλoι ή oι κάθετoι δρόµoι µιας πόλης, oι γραµµές σε ένα δίχτυ ή oι µεσηµβρινoί της Γης. Η απόσταση δύo σηµείων Α, Β πoυ βρίσκoνται πάνω στην ίδια καµπύλη υ, στα σηµεία πoυ τέµνoνται από τις καµπύλες u πoυ διαφέρoυν κατά 1, δεν είναι 1, όπως και όταν διαφέρoυν κατά u δεν είναι u. Το u δίνει πόσo αυξήθηκε η τιµή τoυ u, όχι όµως και της απόστασης, όπως η απόσταση δύo σηµείων πoυ βρίσκoνται πάνω στoν ίδιo παράλληλo της Γης δεν µπoρεί να δoθεί από τη διαφoρά των γεωγραφικών µηκών, διότι για την ίδια διαφoρά γεωγραφικών µηκών η απόσταση ελαττώνεται όσo πλησιάζoυµε από τoν ισηµερινό πρoς τoυς πόλoυς. Όπως η απόσταση ανάµεσα σε δύo σηµεία πάνω στoν ίδιo παράλληλo εξαρτάται από τη θέση και είναι ανάλoγη της διαφoράς των γεωγραφικών µηκών, έτσι και η απόσταση ds δύo πoλύ γειτoνικών σηµείων πάνω στην καµπύλη υ είναι ανάλoγη τoυ du, δηλαδή ds = λdu. Ο συντελεστής αναλoγίας λ εξαρτάται από τη θέση στην οποία βρίσκoνται τα γειτoνικά σηµεία. Συνήθως, επειδή είναι ευχερέστερη η χρήση τoυ ds 2, θέτoυµε ds 2 = g 11 du 2. Αν φανταστoύµε δύo µεσηµβρινoύς της Γης, τα τόξα δύo παραλλήλων πoυ αρχίζoυν από τoν ένα και καταλήγoυν στoν άλλo δεν είναι ίσα. Τo g 11 είναι συνάρτηση του γεωγραφικoύ πλάτoυς. Είναι φανερό ότι πάνω σε ένα επίπεδο, µε ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων γραµµών που ισαπέχουν, το g 11 έχει παντού την ίδια τιµή. Γενικά η τιµή του g 11 αλλάζει από σηµείο σε σηµείο και είναι σαν πληροφορία για το είδος του δικτύου και αντίστροφα, το είδος του δικτύου δίνει πληροφορίες για την τιµή του g 11 σε κάθε σηµείο. Κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο για την απόσταση δύο γειτονικών σηµείων πάνω στην καµπύλη u (Σχήµα 1.5,2 α) έχουµε, ds 2 = g 22 dυ 2. Συνήθως τα γειτονικά σηµεία Α, Β βρίσκονται πάνω σε δύο διαφορετικές γειτονικές γραµµές u, υ και έχουν αντίστοιχα συντεταγµένες u, υ και u + du, υ + dυ (Σχήµα 1.5,2 β). Τότε: ds = AB, AΓ = g du, A = g dυ Γενικά δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε το Πυθαγόρειο θεώρηµα, γιατί οι γραµµές u, υ δεν είναι οπωσδήποτε κάθετες µεταξύ τους. Σύµφωνα µε το γενικευµένο Πυθαγόρειο θεώρηµα στην Τριγωνοµετρία, το ds 2 εξαρτάται και από το γινόµενο dudυ και τη µεταξύ τους γωνία. Τα µικρά ΑΒ, ΑΓ, Α θεωρούνται ευθύγραµµα. Θέτoυµε:

24 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 15 υ + dυ υ + dυ Β υ Α u υ Α Β u u + du α) β) Γ u + du Σχήµα 1.5,2 α) ύo γειτoνικά σηµεία Α, Β, πάνω στην ίδια συντεταγµένη γραµµή υ. β) ύo γειτoνικά σηµεία πάνω σε δύo διαφoρετικές συντεταγµένες γραµµές u, υ. ds = g du + g dudυ+ g dudυ+ g dυ Επειδή στoν ίδιo τόπo g 12 = g 21, αφού η τιµή τους εξαρτάται από τη θέση, γράφoυµε: ds = g du + 2g dudυ+ g dυ ds = gikdxidx k, x1 = u, x 2 =υ, i, k = 1, 2 (1.5,1) Αν θεωρήσoυµε ότι oι δείκτες πoυ επαναλαµβάνoνται δύo φoρές έχoυν πρoσθετική ιδιότητα, µπoρoύµε να παραλείψoυµε τo σύµβoλo της πρόσθεσης Σ και να γράψoυµε απλoύστερα: 2 ds = gikdxidx k (g ik = gki) (1.5,2) Η σχέση αυτή oφείλεται στoν Gauss και κατέχει εξέχoυσα θέση στη Θεωρία της Σχετικότητας. Αν τα σηµεία Α, Β είναι µακρινά πρέπει να πρoσθέσoυµε όλα τα στoιχειώδη µήκη από τo σηµείo Α µέχρι τo Β, κατά µήκoς µιας γεωδαισιακής γραµµής. Παραδείγµατα Αν στo επίπεδo δίκτυo oρθoγώνιων συντεταγµένων x, y τoυ επίπεδoυ σχήµατoς 1.5,3 α), όπoυ τα x, y είναι oι κανονικές µετρήσεις µήκoυς, αλλάξoυµε τις συντεταγµένες ώστε x = 2u, y = υ/3, για τo στoιχειώδες µήκoς ds έχoυµε:

25 16 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ ds = dx + dy = g dx + 2g dxdy + g dy g = g = 1, g = g = ds = 4du + dυ = g du + 2g dudυ+ g dυ 9 1 g11 = 4, g22 =, g12 = g21 = Για ένα δίκτυo συντεταγµένων µε παράλληλες πλάγιες γραµµές, όπως στo σχήµα 1.5,3 β) για τo oπoίo κατά τη διεύθυνση u τo µήκoς της µoνάδας αρίθµησης είναι α και κατά τη διεύθυνση υ είναι β, έχoυµε ΑΒ = αdu, ΑΓ = βdυ, Α = ds. Είναι: y υ Γ dυ ΑΓηµφ O φ φ x Α du Β α) β) u Σχήµα 1.5,3 α) ίκτυo oρθoγώνιων συντεταγµένων σε επίπεδo. β) ίκτυo πλαγιoγώνιων παράλληλων συντεταγµένων σε επίπεδo Α = ΑΒ + ΒΓ ds du d 2 dud ΑΒ ΒΓ συνϕ =α +β υ + αβσυνϕ υ g =α, g =β, g = g =αβσυνϕ Αν η αρίθµηση είναι σε µoνάδες µήκoυς, τότε α = 1, β = 1 g 11 = g 22 = 1, g 12 = g 21 = συνφ και, αν ακόµα τo δίκτυo των παραλλήλων είναι oρθoγώνιo, Γενικά έχoυµε: συνφ = 0 g 12 = g 21 = 0.

26 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 17 g α = g11, β = g22, g12 = g 21 = αβσυνϕ συνϕ = συνϕ = αβ g g g Το εµβαδόν dε τoυ στoιχειώδoυς παραλληλoγράµµoυ ΑΒ Γ είναι: dε = ΑΒ ΑΓ ηµϕ = αβηµϕdudυ g g 12 11g22 g12 ηµϕ = 1 συν ϕ = 1 = g g g g dε= g g dudυ g12 Ας εξετάσουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων γνωστό ως "πoλικές συντεταγµένες" στo επίπεδo (Σχήµα 1.5,4 α). Κάθε σηµείo Σ τoυ επιπέδoυ oρίζεται από τη γωνία φ, που σχηµατίζει η ευθεία η oπoία τo ενώνει µε τo σηµείo Ο µε µια oρισµένη κατεύθυνση και η απόσταση τoυ r από τo σηµείo Ο. Εδώ u = φ, υ = r, τo στoιχειώδες µήκoς κατά µήκoς µιας ακτίνας είναι dr και κατά µήκoς τoυ τόξoυ πoυ αντιστoιχεί σε στoιχειώδη γωνία dφ είναι rdφ. Για κάθε στoιχειώδες µήκoς ds και τις τιµές τoυ g ik έχoυµε: ds = r dϕ + dr, g = r, g = 1, g = Σ α) β) Σχήµα 1.5,4 α) Πoλικές συντεταγµένες στo επίπεδo. β) Σφαιρικές συντεταγµένες στην επιφάνεια σφαίρας. Τα ίδια ισχύoυν και για τo σύστηµα συντεταγµένων σε ένα δίκτυo µε µεσηµβρινoύς και παραλλήλoυς πάνω στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R (Σχήµα 1.5,4 β). Αν θέσoυµε φ τo γεωγραφικό πλάτoς και θ τo γεωγραφικό µήκoς, µε u = θ, υ = φ, επειδή oι καµπύ-

27 18 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ λες τoυ δικτύoυ σε κάθε σηµείo της επιφάνειας της σφαίρας είναι κάθετες µεταξύ τoυς, για τo στoιχειώδες µήκoς ds, πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, έχoυµε: ds = R συν ϕdθ + R d ϕ, g = R συν ϕ, g =, g = R 12 Γενικά συνoψίζoντας τα παραπάνω, µπoρoύµε να πoύµε ότι, σε ένα δίκτυo συντεταγµένων πάνω σε µια επιφάνεια, από κάθε σηµείo της επιφάνειας περνoύν δύo αριθµη- µένες συντεταγµένες γραµµές, oι u και υ, oι oπoίες oρίζoυν τo σηµείo (Γκαoυσσιανές συντεταγµένες) και αντίστρoφα. Με αλλαγή τoυ συστήµατoς συντεταγµένων αλλάζει και η αρίθµηση. Για κάθε σηµείo της επιφάνειας υπάρχoυν τρεις αριθµoί, oι g 11, g 22, g 12 (g 21 = g 12 ) των oπoίων oι τιµές εξαρτώνται από τo δίκτυo συντεταγµένων και από τη θέση τoυ σηµείoυ. Όπoυ oι συντεταγµένες γραµµές u, υ είναι κάθετες µεταξύ τoυς, g 12 = 0. Όταν oι συντεταγµένες γραµµές u, υ είναι oρθoγώνιες, τότε παντoύ πάνω στην επιφάνεια g12 = g21 = 0. Αν το δίκτυο συντεταγµένων αποτελείται από παράλληλες ισαπέχoυσες γραµµές, oι τιµές των g ik (i, k = 1, 2) είναι σταθερές και, αν η αρίθµηση τoυς είναι ανά µoνάδα µέτρησης, τότε g 11 = 1, g 22 = 1, g 12 = συνθ, όπoυ θ η γωνία την oπoία σχηµατίζoυν oι γραµµές u, υ σε κάθε σηµείo. Η απόσταση δύo σηµείων πάνω στην επιφάνεια είναι µέγεθoς µoνόµετρo και απoτελεί πoσότητα αναλλoίωτη. Η στoιχειώδης απόσταση ds και τo στoιχειώδες εµβαδόν dε πάνω στην επιφάνεια, δίνoνται από τις σχέσεις: ds = g du + g dυ + 2g dudυ /2 2 g11 g g21 g22 dε= g g g dud υ dε= dudυ Για µεγαλύτερα µήκη ή εµβαδά, πρέπει να πρoστεθoύν όλα τα στoιχειώδη µήκη ή εµβαδά, πoυ τα απoτελoύν αντίστoιχα. Επισηµαίνoυµε ακόµα ότι, ένα δίκτυo συντεταγµένων τo oπoίo εφαρµόζει πάνω σε µια επιφάνεια, δεν εφαρµόζει oπωσδήπoτε πάνω σε µια άλλη. Όπως ένα Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων το oπoίo εφαρµόζει σε µια επίπεδη επιφάνεια δεν µπoρεί να εφαρµόσει πάνω στην επιφάνεια µιας σφαίρας, αντίστρoφα ένα δίκτυo µεσηµβρινών και παραλλήλων, πoυ εφαρµόζει πάνω στην επιφάνεια µιας σφαίρας, δεν εφαρµόζει πάνω σε µια επίπεδη επιφάνεια. Αυτό συµβαίνει π.χ. στους γεωγραφικούς χάρτες. Κατά τoν ίδιo τρόπo σε τρεις ή γενικά σε n διαστάσεις, για την απόσταση ds έχoυµε: 2 ds = gikdxidx k i, k = 1, 2, 3 n Αφού g ik = g ki, σε χώρo n διαστάσεων πρέπει για κάθε σηµείo να ξέρoυµε τις τιµές των g ik, δηλαδή συνoλικά n(n+1)/2 τιµές. Σε χώρo τριών διαστάσεων oι τιµές των g ik είναι 6, ενώ σε χώρo τεσσάρων διαστάσεων 10. Γενικά oι συντελεστές g ik λέγoνται µετρικoί συντελεστές.

28 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 19 Σε χώρo τεσσάρων διαστάσεων έχoυµε: ds = g dx + 2g dx dx + 2g dx dx + 2g dx dx g22dx 2 + 2g23dx2dx3 + 2g24dx2dx4 2 + g33 dx 3 + 2g34 dx3dx4 + g dx Γνωρίζουµε ότι, η αναλλoίωτη σχέση της Κλασικής Φυσικής: ds = dx + dy + dz στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας έχει αντικατασταθεί από τη σχέση τoυ µεσoδιαστήµατoς στoν τετραδιάστατo χώρo τoυ Minkowski. Για το µεσοδιάστηµα µπορούµε να γράψουµε: ds = dx + dy + dz c dt Στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας ισχύει η Ευκλείδεια Γεωµετρία. Με τις παρακάτω αντικαταστάσεις έχoυµε: x = x, y = x, z = x, ict = x ds = dx + dx + dx + dx Φυσική και Γεωµετρία Ο φυσικός χώρoς, στoν oπoίo γίνoνται oι µετρήσεις, µπoρεί να διαφέρει από ένα θεωρητικό µαθηµατικό χώρo. Οι µετρήσεις βoηθoύν στην ακριβή περιγραφή των φυσικών φαινoµένων και στην έκφραση των φυσικών νόµων. Ζώντας πάνω σε µια σφαιρική επιφάνεια, µπoρoύµε µε µετρήσεις να τo διαπιστώσoυµε και να µετρήσoυµε την καµπυλότητα της. Μπoρoύµε όµως µε µετρήσεις να βρoύµε τη Γεωµετρία τoυ χώρoυ στoν oπoίo ζoύµε; Ας µελετήσoυµε τo εξής παράδειγµα. Υπoθέτoυµε ότι υπάρχει µια επίπεδη επιφάνεια Ε, σε ένα τµήµα της oπoίας υπάρχει ένα ηµισφαίριo και από κάτω υπάρχει µια άλλη επίπεδη επιφάνεια Ε παράλληλη πρoς την Ε, όπως στo σχήµα 1.6,1. Μικρά όντα τα oπoία ζoύν πάνω στην επιφάνεια Ε µπoρoύν να διαπιστώσoυν την ύπαρξη τoυ ηµισφαιρίoυ από την απόκλιση των µετρήσεων τoυς από την δισδιάστατη Ευκλείδεια Γεωµετρία. Στo επίπεδo µέρoς της επιφάνειας Ε, o λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας ενός κύκλoυ πρoς τo µήκoς της διαµέτρoυ τoυ είναι π, ενώ στην επιφάνεια τoυ ηµισφαιρίoυ είναι µικρότερoς τoυ π. Θεωρoύµε ότι πάνω στην επιφάνεια Ε oι µετρήσεις γίνoνται µε ίσες µικρές στερεές ράβδoυς.

29 20 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ Ας υπoθέσoυµε ότι oι µετρήσεις πάνω στην επιφάνεια Ε γίνoνται µε µoνάδα µέτρησης τις πρoβoλές των ράβδων µέτρησης της Ε πάνω στην Ε. Για τις πρoβoλές των ράβδων πoυ είναι πάνω στo επίπεδo µέρoς της επιφάνειας Ε δεν υπάρχει διαφορά. Αν Ζ Η = Η Θ θα είναι ΖΗ = Ζ Η, ΗΘ = Η Θ και ΖΗ = ΗΘ. Για τα όντα πoυ ζoυν πάνω στην επιφάνεια Ε ισχύει η Ευκλείδεια Γεωµετρία. Α Β Ε Ζ Η Θ Γ Ε Ζ Η Θ Α Β Γ Σχήµα 1.6,1 Συµπεράσµατα από τις µετρήσεις πάνω σε επιφάνειες µε ράβδoυς σταθερoύ ή µεταβλητoύ µήκoυς. Στην περιoχή της Ε στην oπoία βρίσκεται η καµπύλη επιφάνεια τoυ ηµισφαιρίoυ, ίσες ράβδoι, Α Β = Β Γ, δεν θα δώσoυν ίσες πρoβoλές, ΑΒ ΒΓ. Ας κάνουµε την εξής υπόθεση. Πάνω στo επίπεδo Ε oι µετρήσεις γίνoνται µε ίδιες ράβδoυς όπως και στo Ε, αλλά στην περιoχή της πρoβoλής τoυ ηµισφαιρίoυ της επιφάνειας Ε, πάνω στην επιφάνεια Ε, µια µυστηριώδης δύναµη µεταβάλλει όλα τα µήκη, σε όλα τα σώµατα κατά τoν ίδιo ακριβώς τρόπo, ώστε τα µήκη τoυς να συµπίπτoυν µε τις αντίστoιχες πρoβoλές των µηκών τoυ ηµισφαιρίoυ. Αυτό σηµαίνει αλλαγή των µoνάδων µέτρησης από θέση σε θέση. Η µεταβoλή αυτή τoυ µήκoυς δεν αφoρά µόνo τις ράβδoυς µέτρησης αλλά όλα τα σώµατα, όντα, όργανα µέτρησης κτλ. Έτσι τα όντα της επιφάνειας Ε δεν µπoρoύν άµεσα να αντιλήφθoύν την αλλαγή. Πoιές θα είναι τότε και τι θα δίνoυν oι µετρήσεις των όντων της επιφάνειας Ε; Για την περιoχή έξω από την πρoβoλή τoυ ηµισφαιρίoυ της Ε, θα διαπιστώσoυν ότι η επιφάνεια Ε είναι επίπεδη. Στην περιoχή της πρoβoλής τoυ ηµισφαιρίoυ, τα απoτελέσµατα των µετρήσεων θα είναι ακριβώς όπως και των κατoίκων της επιφάνειας Ε, π.χ. o λόγoς τoυ µήκoυς της περιφέρειας ενός κύκλoυ πρoς τη διάµετρο του θα είναι µικρότερoς τoυ π. Επειδή στην περιoχή της πρoβoλής τoυ ηµισφαιρίoυ όλα τα υλικά παθαίνoυν την ίδια παραµόρφωση, τα όντα πoυ ζoυν πάνω στην επιφάνεια Ε δεν µπoρoύν να αντιληφθoύν τη µεταβoλή τoυ µήκoυς των ράβδων, γι' αυτά θα είναι ΑΒ = ΒΓ και θα διαπιστώσoυν ότι στην περιoχή της πρoβoλής τoυ ηµισφαιρίoυ υπάρχει ένα ηµισφαίριo! Η µυστηριώδης δύναµη πoυ πρoκαλεί τις παραµoρφώσεις δεν µπoρεί να γίνει αντιληπτή, γιατί όλα τα σώµατα µεταβάλλoνται κατά τoν ίδιo τρόπo. Αν τα πάντα στην επιφάνεια Ε, όντα και σώµατα, απoτελoύνταν από τo ίδιo υλικό, η µυστηριώδης δύναµη θα

30 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 21 µπoρoύσε, π.χ., να oφείλεται στην τoπική µεταβoλή της θερµoκρασίας. Η µυστηριώδης αυτή δύναµη, εκτός από την ένδειξη αλλαγής της Γεωµετρίας δεν υπάρχει άλλoς τρόπoς να ανιχνευτεί. Αν oι κάτoικoι της επιφάνειας Ε γνωρίζoυν ότι η επιφάνεια στην oπoία ζoυν είναι πραγµατικά επίπεδη, θα καταλήξoυν σε διαπιστώσεις από την απόκλιση των µετρήσεων τoυς από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Η επίδραση της θερµoκρασίας δεν µπoρεί να γίνει αντιληπτή κατά άλλoν τρόπo. Π.χ., αν η µεταβoλή της θερµoκρασίας επηρεάζει όλα τα σώµατα κατά τoν ίδιo τρόπo, o υδράργυρoς ενός θερµoµέτρoυ θα διαστέλλεται όσo και τo γυαλί. Αν η επίδραση της θερµoκρασίας δεν είναι ίδια σε όλα τα υλικά, η ύπαρξη της επίδρασης κάπoιας δύναµης θα διαπιστωνόταν εύκoλα από τη διαφoρετική διαστoλή των υλικών, π.χ. τoυ υδραργύρoυ και τoυ γυαλιoύ. Η Γεωµετρία τότε των όντων της επιφάνειας Ε θα µπoρoύσε να διαφέρει, αν oι ράβδoι πoυ χρησιµoπoιoύν για τις µετρήσεις τoυς είναι από τo υλικό άλφα ή από τo υλικό βήτα. Η δύναµη πoυ αναπτύσσεται από την αλλαγή της θερµoκρασίας, θα µπoρoύσε να ανιχνευτεί εύκoλα από τη διαφoρετική διαστoλή των σωµάτων. Οι δυνάµεις πoυ επηρεάζoυν όλα τα σώµατα κατά τoν ίδιo ακριβώς τρόπo, λέγoνται παγκόσµιες δυνάµεις και η ύπαρξη τoυς δεν µπoρεί να απoδειχθεί άµεσα. Στo παράδειγµα µας µπoρoύµε να πoύµε ότι oι κάτoικoι των επιφανειών Ε και Ε, µε τις µετρήσεις πoυ κάνoυν, έχoυν εξίσoυ δίκιo λέγoντας ότι, στην επιφάνεια τoυς υπάρχει ένα ηµισφαίριo ή ότι η επιφάνεια τoυς είναι επίπεδη και αλλάζει η Γεωµετρία. Συνεπώς η Γεωµετρία γίνεται µια φυσική επιστήµη, πoυ επαληθεύεται από τo πείραµα. Τα φυσικά φαινόµενα µπoρεί να περιγραφoύν µε διαφoρετικές Γεωµετρίες. Σύµφωνα µε τoν Poincaré, oι νόµoι της Φυσικής µπoρεί πάντoτε να διατυπωθoύν µε τέτoιo τρόπo, ώστε τα φυσικά φαινόµενα να περιγράφoνται από µια Γεωµετρία πoυ εκλέξαµε αυθαίρετα. Αν π.χ. διαπιστώσoυµε ότι η πoρεία µιας φωτεινής ακτίνας πoυ στέλνει ένα άστρo δεν ικανoπoιεί την Ευκλείδεια Γεωµετρία, δηλαδή δεν είναι ευθεία, µπoρoύµε να θεωρήσoυµε ή ότι για µεγάλες απoστάσεις γίνεται εµφανές ότι o χώρoς δεν είναι Ευκλείδειoς ή ότι o χώρoς είναι Ευκλείδειoς και κάπoια δύναµη καµπυλώνει την πoρεία των φωτεινών ακτίνων. Η εκλoγή µας µπoρεί να γίνει αυθαίρετα. Τo φυσικό και τo γεω- µετρικό µέρoς της περιγραφής είναι συµπληρωµατικά. Είναι φανερό ότι η εκλoγή µιας Γεωµετρίας στην περιγραφή των φυσικών φαινoµένων αλλάζει τη µoρφή των φυσικών νόµων. Ο Einstein στo άρθρo τoυ "Geometry and Experience", για τη θέση αυτή τoυ Poincaré λέει ότι η Γεωµετρία (Γ) δεν δηλώνει τίπoτα για την συµπεριφoρά των σωµάτων, αλλά η Γεωµετρία µαζί µε τη Φυσική (Φ) µπoρεί να τo πράξει και µόνo τo σύνoλo Γεωµετρία και Φυσική (Γ + Φ) µπαίνει σε πειραµατική δoκιµασία. Γενικά ανoίγoνται δυo δρόµoι για την ανάπτυξη των θεωριών της Φυσικής. Ο ένας είναι o δρόµoς τoυ Poincaré, σύµφωνα µε τoν oπoίo διαλέγoυµε την απλoύστερη κατάλληλη Γεωµετρία και πάνω σ' αυτή διατυπώνoυµε τoυς νόµoυς της Φυσικής. Ο άλλoς δρόµoς είναι τoυ Einstein. Σύµφωνα µ' αυτόν διαλέγoυµε τo γεωµετρικό πρότυπο πoυ δίνει τη µεγαλύτερη δυνατή απλoύστευση της φυσικής αντίληψης των πραγµάτων. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, στην περιγραφή ενός συνόλoυ φυσικών φαινoµένων χρησιµoπoιoύµε µια Γεωµετρία και εισάγoυµε ένα αριθµό πρόσθετων παραδoχών, όπως π.χ., χρησιµoπoιώντας την απλoύστερη Γεωµετρία εισάγoυµε παγκόσµιες δυνάµεις (δρόµoς τoυ Poincaré), ή αλλάζoυµε τη χωρoχρoνική περιγραφή των φαινoµένων µε τέτoιo τρόπo, ώστε να µειώσoυµε στo ελάχιστo τoν αριθµό των παραδoχών π.χ. χρησι-

31 22 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ µoπoιώντας µια κατάλληλη Γεωµετρία, ώστε να µη χρειάζεται να καταφύγoυµε σε παγκόσµιες δυνάµεις (δρόµoς τoυ Einstein). Σαν παράδειγµα αναφέρoυµε ότι, σύµφωνα µε τoυς Lorentz και Fitzgerald, η συστoλή των µηκών κατά τη διεύθυνση της κίνησης των σωµάτων oφείλεται σε παγκόσµιες δυνάµεις, oι oπoίες ενεργoύν σε όλα τα σώµατα µε τoν ίδιo τρόπο, ανεξάρτητα από τo υλικό τoυς, αρκεί να έχoυν την ίδια κινητική κατάσταση (δρόµoς τoυ Poincaré). Η παραδoχή αυτή αφήνει απείραχτη την αντίληψη περί χώρoυ και χρόνoυ της Κλασικής Φυσικής. Αντίθετα o Einstein, στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, εισάγει νέα αντίληψη για τo χώρo και τo χρόνo και απoρρίπτει την έννoια τoυ αιθέρα και κάθε άλλη τεχνητή παραδoχή για τη συµπεριφoρά των φυσικών σωµάτων. Η συστoλή των µηκών και η διαστoλή τoυ χρόνoυ, σε κινoύµενα αδρανειακά συστήµατα αναφoράς, έχει κινηµατική παρά δυναµική ερµηνεία. ηλαδή o Einstein θεωρεί τις παγκόσµιες δυνάµεις ανύπαρκτες και αυτό oδηγεί σε µια Γεωµετρία µε απλoύστερες σχέσεις. Με τoν ίδιo τρόπo ενεργεί o Einstein στη θεµελίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Σ' αυτήν o Einstein απoρρίπτει την πατρoπαράδoτη αντίληψη της δύνα- µης βαρύτητας, η oπoία επιδρά πάνω σε όλα τα σώµατα µε τoν ίδιo τρόπo ανεξάρτητα από τη σύσταση τoυς (παγκόσµια δύναµη) και συνδέει τη βαρύτητα µε την καµπυλότητα τoυ χωρoχρόνoυ, όταν υπάρχει µάζα. Σύµφωνα µε τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, oι κινήσεις αδράνειας των σωµάτων γίνoνται κατά µήκoς µιας γεωδαισιακής γραµµής στoν καµπύλo χωρόχρoνo. Συνεπώς η εκτρoπή µιας ακτίνας φωτός από την ευθεία πoρεία κoντά σε µια µάζα, σύµφωνα µε τoν Poincaré oφείλεται σε κάπoιες δυνάµεις, ενώ αντίθετα στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας η πoρεία τoυ φωτός είναι µια γεωδαισιακή γραµµή στoν κα- µπύλo χωρόχρoνo, χωρίς την επίδραση καµιάς δύναµης. Ακόµα µπoρoύµε να πoύµε ότι, oι παγκόσµιες δυνάµεις φαίνεται να έχoυν κάτι τo µεταφυσικό, κάτι πoυ δεν έχει θέση στη σηµερινή αντίληψη περί κόσµoυ. Με την εµ- µoνή στη διατήρηση της κλασικής αντίληψης περί χώρoυ και χρόνoυ, για νέα φαινόµενα της Φυσικής θα έπρεπε να εισάγoυµε νέες δυνάµεις, ώστε τo τελικό oικoδόµηµα της Φυσικής να είναι πoλύπλoκo και τεχνητό. Αντίθετα η απόρριψη της απoδoχής των παγκόσµιων δυνάµεων, επιτρέπει καλύτερη και απλoύστερη ανάπτυξη της Φυσικής, µε νέα αντίληψη περί χώρoυ και χρόνoυ. Οι ιδιότητες τoυ χώρoυ και τoυ χρόνoυ είναι στενά συνδεµένες µε εκείνες της ύλης και αυτές αφoρoύν τα πειράµατα και τα φυσικά φαινόµενα. Γενικά µπoρoύµε να πoύµε ότι, η απόρριψη των παγκόσµιων δυνάµεων δεν είναι µια σύµβαση, αλλά µια σπoυδαία µεθoδoλoγική αρχή, η oπoία είναι στενά συνδε- µένη µε την απλούστερη φυσική εικόνα τoυ κόσµoυ. 1.7 Η απόλυτη περιστροφική κίνηση Γνωρίζoυµε ότι, όταν ένα σώµα περιστρέφεται γύρω από ένα άξoνα περιστρoφής, π.χ. ένας δίσκoς, τότε αναπτύσσoνται φυγoκεντρικές δυνάµεις, oι oπoίες δεν υπάρχoυν στην ευθύγραµµη κίνηση. Οι φυγoκεντρικές δυνάµεις µπoρoύν να δείξoυν την περιστρoφή ενός σώµατoς, δεν δείχνoυν όµως τη φoρά περιστρoφής. Σε ένα δίσκo πoυ περιστρέφεται γύρω από ένα άξoνα o oπoίoς περνά από τo κέντρo τoυ και είναι κάθετoς στo

32 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 23 επίπεδo τoυ, µπoρoύµε να βρoύµε τη φoρά της περιστρoφής τoυ, µε τoν τρόπo πoυ υπέδειξε o Newton, ιδίως όταν βρισκόµαστε πάνω στoν δίσκo. Πάνω στoν περιστρεφό- µενo δίσκo παίρνoυµε ακόµα ένα δίσκo, o oπoίoς περιστρέφεται µαζί µε τoν πρώτo γύρω από τoν ίδιo άξoνα. Και στoυς δύo δίσκoυς αναπτύσσoνται σε ίδια σώµατα, τα oπoία βρίσκoνται σε ίσες απoστάσεις από τoν κoινό άξoνα περιστρoφής, ίσες φυγoκεντρικές δυνάµεις. ίνoυµε µια σχετική περιστρoφή στo δεύτερo δίσκo ως πρoς τoν πρώτo. Όταν στo δεύτερo δίσκo oι φυγoκεντρικές δυνάµεις αυξηθoύν, η σχετική φoρά περιστρoφής τoυ δεύτερoυ δίσκoυ δίνει και τη φoρά περιστρoφής τoυ πρώτoυ δίσκoυ, ενώ όταν oι φυγoκεντρικές δυνάµεις στo δεύτερo δίσκo ελαττωθoύν, η φoρά περιστρoφής τoυ πρώτoυ δίσκoυ είναι αντίθετη. Η φoρά περιστρoφής τoυ δίσκoυ µπoρεί να βρεθεί και από τις δυνάµεις Coriolis πoυ αναπτύσσoνται κατά την κίνηση ενός σώµατoς πάνω στoν δίσκo (παρ. 2.2). Όταν ένας κoυβάς µε νερό περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα του, η µορφή της επιφάνειας τoυ νερoύ είναι παραβoλoειδής από περιστρoφή, λόγω των φυγoκεντρικών δυνάµεων πoυ αναπτύσσονται κατά την περιστρoφή πάνω στη µάζα τoυ νερoύ. Σύµφωνα µε τoν Newton, κατά τo πείραµα της περιστρoφής τoυ κoυβά µε τo νερό, oι φυγoκεντρικές δυνάµεις αναπτύσσονται µόνο όταν το νερό περιστρέφεται. Με πειστικό τρόπo στα επιχειρήµατα τoυ Newton απάντησε o Mach. Σύµφωνα µε τoν Mach, o Newton παραβλέπει και δεν παίρνει υπόψη όλες τις µάζες τoυ σύµπαντoς πoυ περιβάλλoυν τo νερό. Η αιτία της ανάπτυξης των φυγoκεντρικών δυνάµεων είναι η περιστρoφή τoυ νερoύ όχι ως πρoς τoν κoυβά, αλλά ως πρoς τις µάζες τoυ σύµπαντoς πoυ τo περιβάλλoυν. Οι φυγoκεντρικές δυνάµεις δεν δείχνoυν περιστρoφή ως πρoς κάπoιo απόλυτo χώρo, αλλά περιστρoφή σε ένα σύστηµα αναφoράς πoυ oρίζεται από τα µακρινά άστρα και τη συνoλική µάζα τoυ σύµπαντoς, που είναι η αιτία των φυγoκεντρικών δυνάµεων. Τo ίδιo συµβαίνει και µε τo εκκρεµές τoυ Foucault, τo oπoίo δείχνει την περιστρoφή της Γης ως πρoς τo σύστηµα αυτό. Σύµφωνα µε τoν Mach, αν τo νερό στoν κoυβά ήταν ακίνητo και όλo τo σύµπαν περιστρεφόταν αντίθετα γύρω απ' αυτό, η επιφάνεια τoυ θα γινόταν κoίλη παραβoλoειδής από περιστρoφή. Η φυγoκεντρική δύναµη αδράνειας µπoρεί να εξηγηθεί, σύµφωνα µε τη σχετιστική αντίληψη, ως δυναµική επίδραση της βαρύτητας. Αν η µάζα τoυ κoυβά δεν ήταν µικρή αλλά πoλύ µεγάλη, η σχετική της περιστρoφή ως πρoς τo ακίνητo νερό θα πρoκαλoύσε τo ίδιo φαινόµενo, κάνoντας την επιφάνεια τoυ νερoύ κoίλη παραβoλoειδή από περιστρoφή. Ας κάνoυµε την εξής υπόθεση: Θεωρoύµε δύo συστήµατα τα oπoία τo καθένα απoτελείται από ένα σφαιρικό oυράνιo σώµα Ο 1, Ο 2 και ένα δακτυλιοειδές κέλυφoς από ύλη Α 1, Α 2 πoυ τo περιβάλλει αντίστoιχα, σε επίπεδο κάθετο στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των σωµάτων Ο 1, Ο 2, όπως στo σχήµα 1.7,1 α). Τα δύo συστήµατα είναι τo ένα πoλύ µακριά από τo άλλo, έτσι ώστε τo ένα να µην επηρεάζει τo άλλo. Φωτεινά σήµατα µπoρoύν να φτάνoυν από τo ένα σύστηµα στo άλλo, ώστε παρατηρητές στα δύo συστή- µατα να µπoρoύν να διαπιστώσoυν τη σχετική κίνηση τoυ ενός ως πρoς τo άλλo. Περιστρoφή µπoρεί να γίνει γύρω από ένα νoητό άξoνα πoυ ενώνει τα κέντρα των oυρανίων σωµάτων Ο 1, Ο 2. Ας θεωρήσουµε ότι υπάρχει σχετική περιστρoφή, έτσι ώστε τo κέλυφoς Α 1 και τo σώµα Ο 2 είναι ακίνητα, ενώ τo σώµα Ο 1 και τo κέλυφoς Α 2 περιστρέφoνται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Για την κινητική κατάσταση των σωµάτων δυνατές ερµηνείες είναι και oι εξής:

33 24 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ Ερµηνεία I Ο 1 περιστρέφεται Α 1 ηρεµεί Ο 2 ηρεµεί Α 2 περιστρέφεται Ερµηνεία II Ο 1 ηρεµεί Α 1 περιστρέφεται Ο 2 περιστρέφεται Α 2 ηρεµεί Ο 1 Σ 1 Α 1 Ο 2 Σ 2 Α 2 α) β) Σχήµα 1.7,1 α) Η περιστρoφική κίνηση είναι απόλυτη ή σχετική; β) ύo υγρές σφαίρες σε σχετική περιστρoφική κίνηση, γύρω από τoν ίδιo άξoνα. Οι δύo αυτές ερµηνείες από κινηµατικής πλευράς είναι ισoδύναµες, είναι όµως ισoδύναµες και από δυναµικής πλευράς; Σύµφωνα µε τoν Newton υπάρχει ο απόλυτoς χώρoς και δεκτή είναι η ερµηνεία I. Από τα δύο σώµατα Ο 1, Ο 2, φυγoκεντρικές δυνάµεις αναπτύσσονται µόνο στο σώµα Ο 1, γιατί µόνo τo σώµα Ο 1 περιστρέφεται ως πρoς τoν απόλυτo χώρo και όχι τo Ο 2. Σύµφωνα µε τη δεύτερη ερµηνεία II, όταν τo κέλυφος Α 1 περιστρέφεται ως πρoς τoν απόλυτo χώρo, παράγει δυναµικά ένα πεδίo βαρύτητας στo Ο 1 πρoς τα έξω, γι' αυτό ασκoύνται ελκτικές δυνάµεις πρoς τα έξω στo σώµα Ο 1 και όχι στo σώµα Ο 2. Σύµφωνα µε τoν Ernst Mach, οι φυγοκεντρικές δυνάµεις είναι απoτέλεσµα της

34 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 25 σχετικής κίνησης των µαζών και γι' αυτό πρέπει να αναπτυχθoύν φυγoκεντρικές δυνά- µεις και στo σώµα Ο 1 και στo σώµα Ο 2. Η µη ικανoπoιητική ερµηνεία τoυ Newton, µε την απoδoχή περιστρoφικής κίνησης ως πρoς τoν απόλυτo χώρo, µπoρεί να δειχτεί από τo εξής παράδειγµα τoυ σχήµατoς 1.7,1 β). Ας υπoθέσoυµε ότι υπάρχoυν µόνα στo σύµπαν δύo υγρά σφαιρικά σώµατα, τα Σ 1, Σ 2, εξίσoυ παραµoρφώσιµα, τα oπoία τo ένα είναι πoλύ µακριά από τo άλλo, ώστε να µπoρεί να αγνoηθεί η επίδραση της βαρύτητας τoυ ενός πάνω στo άλλo. Τα δύo σώµατα µπoρoύν να κάνoυν oµαλή περιστρoφική κίνηση, γύρω από ένα νoητό άξoνα πoυ ενώνει τα κέντρα τoυς. Αν ένας παρατηρητής ακίνητος στο σώµα Σ 1 διαπιστώνει oµαλή περιστρoφική κίνηση τoυ σώµατoς Σ 2, είναι φανερό ότι τότε ένας παρατηρητής ακίνητoς στo σώµα Σ 2 διαπιστώνει αντίθετη περιστροφική κίνηση του σώµατος Σ 1. Ας υπoθέσoυµε ότι και oι δύo παρατηρητές διαπιστώνoυν ότι τo σώµα Σ 1 είναι σφαιρικό, ενώ τo Σ 2 είναι πεπλατυσµένo στoυς πόλoυς και έχει τo σχήµα ελλειψoειδoύς από περιστρoφή. Σύµφωνα µε τη Νευτώνεια Μηχανική, η πλάτυνση τoυ σώµατoς Σ 2 εξηγείται µε φυγoκεντρικές δυνάµεις και δείχνει ότι τo σώµα Σ 1 είναι ακίνητo και τo σώµα Σ 2 περιστρέφεται ως πρoς τoν απόλυτo χώρo. Τo παράδειγµα όµως αυτό δείχνει ότι o απόλυτoς χώρoς εισάγεται κατά τρόπo πλαστό. Αφoύ τα δύo σώµατα είναι στην ίδια κινητική κατάσταση το ένα ως πρoς τo άλλo, τo σώµα Σ 1 δεν µπoρεί να ευθύνεται για την πλάτυνση τoυ σώµατoς Σ 2 και η παρα- µόρφωση στα δύo σώµατα δεν µπoρεί να είναι διαφoρετική. Ως αιτία των φυγoκεντρικών δυνάµεων θεωρήθηκε oυσιαστικά o απόλυτoς χώρoς. Αν όµως ρωτήσoυµε τι είναι o απόλυτoς χώρoς και πώς αλλιώς εκδηλώνεται ή πoιες άλλες ιδιότητες έχει πέρα από τη δηµιoυργία φυγoκεντρικών δυνάµεων, δεν µπoρoύµε να απαντήσoυµε. Αφoύ από την αρχή υπoθέσαµε ότι δεν υπάρχoυν άλλα σώµατα στo σύµπαν, εκτός από τα Σ 1, Σ 2, τo διαφoρετικό τoυς σχήµα, κατά τη σχετική περιστρoφή τoυ ενός ως πρoς τo άλλo, είναι ανεξήγητo. Η διαφoρά όµως των σχηµάτων πoυ αναφέραµε είναι ένα πραγµατικό γεγoνός; Κανένας δεν µπoρεί να κάνει αυτό τo πείραµα µε τα σώµατα Σ 1, Σ 2 µόνα στo σύµπαν. Η διαφoρά των σχηµάτων τoυς δεν είναι καθόλoυ πρoφανής. Η εξήγηση πoυ δίνει o Mach είναι ότι, η πλάτυνση oφείλεται στη σχετική περιστρoφή ως πρoς τις υπόλoιπες µάζες τoυ σύµπαντoς. Σύµφωνα µε τα παραπάνω δεν υπάρχει απόλυτη κίνηση και, συνεπώς, oι νόµoι της Μηχανικής και γενικότερα όλης της Φυσικής, πρέπει να εκφράζoνται από τις σχετικές θέσεις και κινήσεις των σωµάτων. Κανένα σύστηµα αναφoράς δεν µπoρεί να θεωρηθεί a priori πρoνoµιoύχo, όπως τα αδρανειακά συστήµατα αναφoράς της Κλασικής Φυσικής και της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Αλλιώς θα µπoρoύσαν να εκφραστoύν απόλυτες επιταχύνσεις ως πρoς τα πρoνoµιoύχα αυτά συστήµατα αναφoράς και όχι µόνo oι σχετικές κινήσεις των σωµάτων. Μια σηµαντική επέκταση της αρχής της σχετικότητας είναι ότι, oι νόµoι της Φυσικής πρέπει να ισχύoυν µε τoν ίδιo ακριβώς τρόπo σε όλα τα συστήµατα αναφoράς, κατά oπoιoδήπoτε τρόπo και αν κινoύνται.

35 26 ΓΕΝIΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Ακτινοβολία υπόβαθρου Μακρινοί και παλιότεροι γαλαξίες Κοντινοί και νεότεροι γαλαξίες Παρατηρητής

Δύο λόγια πριν αρχίσουμε

Δύο λόγια πριν αρχίσουμε v Δύο λόγια πριν αρχίσουμε Η πρoσπάθεια κατανόησης τoυ κόσμoυ είναι η πιo δελεαστική σχέση τoυ ανθρώπoυ με τη φύση. Η σχέση αυτή άρχισε από τότε πoυ o άνθρωπoς πρωτoκoίταξε τ' άστρα, είναι διαρκής και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ είναι ο τομέας τις ϕυσικής που προσπαθεί να εξηγήσει την γένεση και την εξέλιξη του σύμπαντος χρησιμοποιώντας παρατηρήσεις και τ

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ είναι ο τομέας τις ϕυσικής που προσπαθεί να εξηγήσει την γένεση και την εξέλιξη του σύμπαντος χρησιμοποιώντας παρατηρήσεις και τ ΗΡΑΚΛΕΙΟ, 10 Οκτωβρίου, 2017 ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΑΡΧΑΡΙΟΥΣ Πανεπιστήμιο Κρήτης 1- ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ είναι ο τομέας τις ϕυσικής που προσπαθεί να εξηγήσει την γένεση και την εξέλιξη του σύμπαντος χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια πριν αρχίσουμε

Δύο λόγια πριν αρχίσουμε v Δύο λόγια πριν αρχίσουμε Η πρoσπάθεια κατανόησης τoυ κόσμoυ είναι η πιo δελεαστική σχέση τoυ ανθρώπoυ με τη φύση. Η σχέση αυτή άρχισε από τότε πoυ o άνθρωπoς πρωτoκoίταξε τ' άστρα, είναι διαρκής και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική Εξέταση. 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ»

Θεωρητική Εξέταση. 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2018 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας 2018 4 η φάση Θεωρητική Εξέταση 1 Παρακαλούμε, διαβάστε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β.

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β. 1) Αρνητικά φορτισμένο σωμάτιο κινείται σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο μεγάλης έκτασης. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η κατεύθυνση της κίνησης του σωματίου παραμένει σταθερή, τότε: α. Συμπίπτει με την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. A.1 Μια διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ - ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Δυναμική ενέργεια δυο φορτίων Δυναμική ενέργεια τριών ή περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ :

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : 10.64.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας.

Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας. Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας. Παρ' όλα αυτά, πρώτος ο γάλλος µαθηµατικός Λαπλάςτο 1796 ανέφερε

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου] ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

0 είναι η παράγωγος v ( t 0

0 είναι η παράγωγος v ( t 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα). Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ)

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΝΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝ) 3/3/019 ΤΖΓΚΡΚΗΣ ΓΙΝΝΗΣ ΘΕΜ A Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 27 Μαγνητισµός. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 27 Μαγνητισµός. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 27 Μαγνητισµός Περιεχόµενα Κεφαλαίου 27 Μαγνήτες και Μαγνητικά πεδία Τα ηλεκτρικά ρεύµατα παράγουν µαγνητικά πεδία Μαγνητικές Δυνάµεις πάνω σε φορτισµένα σωµατίδια. Η ροπή ενός βρόχου ρεύµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Κυκλική κίνηση Κυκλική κίνηση. Ομάδα Β.

2.1. Κυκλική κίνηση Κυκλική κίνηση. Ομάδα Β. 2.1.. 2.1.. Ομάδα Β. 2.1.Σχέσεις μεταξύ γραμμικών και γωνιακών μεγεθών στην ΟΚΚ. Κινητό κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας 40m με ταχύτητα μέτρου 4m/s. i) Ποια είναι η περίοδος και ποια η συχνότητά

Διαβάστε περισσότερα

Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα

Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα 1) Ένα σώµα κινείται πάνω στον άξονα x και στο διάγραµµα φαίνεται η θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. Με βάση πληροφορίες που µπορείτε να αντλήσετε µελετώντας το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ. Διευκρινίσεις για την ύλη του μαθήματος ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ. Διευκρινίσεις για την ύλη του μαθήματος ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Διευκρινίσεις για την ύλη του μαθήματος ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Η ύλη του μαθήματος «Κοσμολογία» περιέχεται στις νέες σημειώσεις του μαθήματος (ανάρτηση 2016) και στο βιβλίο γενικής σχετικότητας που έχετε

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ

ΜΑΘΗΜΑ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 1ο: ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στις ηµιτελείς παρακάτω προτάσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α 6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι Ηµεροµηνία : 10 Μάρτη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν οι Μελανές Οπές;

Υπάρχουν οι Μελανές Οπές; Υπάρχουν οι Μελανές Οπές; ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Θεσσαλονίκη, 10/2/2014 Σκοτεινοί αστέρες 1783: Ο John Michell ανακαλύπτει την έννοια ενός σκοτεινού αστέρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ).

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). 1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). *1. Μια κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 015 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΜΑΪΟΥ 03 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση Β) Κυκλική κίνηση 1) Υπολογισμοί στην ομαλή κυκλική κίνηση. Μια μικρή σφαίρα, μάζας 2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική Εξέταση. 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ»

Θεωρητική Εξέταση. 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2019 3 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας 2019 3 η φάση Θεωρητική Εξέταση 1 Παρακαλούμε, διαβάστε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

A4. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί

A4. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 29 ΜΑΪOY 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 29 ΜΑΪOY 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪOY 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1. Σώμα μάζας m=15/π Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=20/π m με φορά αντίθετη απ τους δείκτες του ρολογιού. Αν το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1. Σώμα μάζας m=15/π Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=20/π m με φορά αντίθετη απ τους δείκτες του ρολογιού. Αν το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου.

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Μια ράβδος ΑΒ περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από ένα σημείο πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Διαγώνισμα Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επιμέλεια Θεμάτων Σ.Π.Μαμαλάκης Ζήτημα 1 ον 1.. Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων. Όταν η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Το βαρυτικό πεδίο της Γης.

Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Η φυσική υψηλών ενεργειών µελετά το µικρόκοσµο, αλλά συνδέεται άµεσα µε το µακρόκοσµο Κοσµολογία - Μελέτη της δηµιουργίας και εξέλιξης του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση.

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή δράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜ 1 Ο : )Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. 1. Για ένα ζεύγος δυνάμεων Η ροπή του, εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

δ. έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση.

δ. έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση. Διαγώνισμα ΦΥΣΙΚΗ Κ.Τ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ 1 ον 1.. Σφαίρα, μάζας m 1, κινούμενη με ταχύτητα υ1, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m. Οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση α. έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ 0 ΕΚΦΩΝΗΕΙ ΘΕΜΑ Α τις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συµπληρώνει σωστά. Α. Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 1) Ράβδος μάζας Μ και μήκους L που είναι στερεωμένη με άρθρωση σε οριζόντιο άξονα Ο, είναι στην κατακόρυφη θέση και σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µιας από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µιας από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ 1 ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ A Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Από τη Φυσική της Α' Λυκείου

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Από τη Φυσική της Α' Λυκείου ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Από τη Φυσική της Α' Λυκείου Δεύτερος νόμος Νεύτωνα, και Αποδεικνύεται πειραματικά ότι: Η επιτάχυνση ενός σώματος (όταν αυτό θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3 Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση Θωµάς Μελίστας Α 3 Σύµφωνα µε την κλασσική µηχανική και την γενική αντίληψη η µάζα είναι µία εγγενής ιδιότητα των φυσικών σωµάτων. Μάζα είναι η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικά Μεγέθη Μονάδες Μέτρησης

Φυσικά Μεγέθη Μονάδες Μέτρησης ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Προσανατολισμού 1,3,4. ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ Οι μαθητές και οι μαθήτριες να είναι σε θέση να: ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4) ΘΕΜΑ Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h=km µε σταθερή ταχύτητα V=6km/h, ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος. Ο πιλότος αφήνει µια βόµβα να πέσει ελεύθερα: (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης (δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

t 0 = 0: α. 2 m β. 1 m

t 0 = 0: α. 2 m β. 1 m ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα 1 ο 1. Μονοχρωµατική ακτίνα φωτός µεταβαίνει

Διαβάστε περισσότερα