Βασικές ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 1. Να δίνονται βασικά στοιχεία της κίνησης.

Transcript

1 Βασικές ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 1. Να δίνονται βασικά στοιχεία της κίνησης. 1 η Άσκηση Μικρό αυτοκινητάκι κινείται σε ευθεία γραµµή, που ταυτίζεται µε τον άξονα Ο, µε σταθερή ταχύτητα µέτρου +5 m/ και τη χρονική t = περνά από τη θέση = 1 m. α) Ποιο είναι το είδος της κίνηση του αυτοκινήτου; β) Να γράψετε την εξίσωση της κίνησής του και να βρείτε τη θέση του τη χρονική στιγµή t = 1. γ) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις υ = f(t) και = f(t), από έως 1. δ) Να βρείτε την µετατόπισή του από 4 έως 6. α) Κάνουµε ένα απλό σχήµα µε το σύστηµα αναφοράς της κίνησης και τις αρχικές συνθήκες (t =, = 1 m). Αφού η κίνηση γίνεται σε ευθεία γραµµή και η ταχύτητα είναι σταθερή, το αυτοκίνητο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση (Ε.Ο.Κ.). β) Στην Ε.Ο.Κ. για την µετατόπιση ισχύει: = υ t = υ( t t ) = + υ( t t ) Eπειδή t =, =1 mκαι υ = 5 m / µε αντικατάσταση έχουµε: = 1+ 5 t ( S. I.) (1) γ) Αφού η ταχύτητα είναι σταθερή η γραφική της παράσταση θα είναι ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα των χρόνων: υ (m/) t ()

2 Αφού από τη σχέση (1), η θέση είναι πρώτου βαθµού ως προς t, η γραφική της παράσταση θα είναι ευθεία γραµµή, άρα αρκούν δύο µόνο σηµεία της για να σχεδιαστεί: Για t =, = 1 m (, 1m). Για t = 1 από την (1) προκύπτει = = 6 m (1, 6m). Οπότε η αντίστοιχη γραφική παράσταση της = f (t) είναι η παρακάτω: t () δ) Η µετατόπισή του από 4 έως 6, µπορεί να υπογιστεί µε τρεις τρόπους: i. = υ t = 5( 6 4) = 5 2 = 1m ii. Από τη σχέση (1) για t 1 = 4 έχω 1 = 3m και για t 2 = 6 έχω 2 = 4m, οπότε = 2 1 = 4 3 = 1m iii. Από το εµβαδό της γραφικής παράστασης υ t, ανάµεσα στις δύο χρονικές στιγµές. H είναι ίση αριθµητικά µε το εµβαδόν Ε του µπλε ορθογωνίου παραλληλογράµµου: Άρα =Ε= 5 2 = 1m

3 2. Να δίνεται η εξίσωση κίνησης. 2 η Άσκηση Η εξίσωση κίνησης ενός σώµατος σε µια ευθύγραµµη κίνηση είναι = 3 + 1t (S.I.) (1). α) τι είδους κίνηση εκτελεί το σώµα; β) ποια είναι η θέση του τη χρονική στιγµή t = 5; γ) ποια χρονική στιγµή βρίσκεται στη θέση = 63m; δ) ποια είναι η µετατόπισή του από τη χρονική στιγµή t 1 =2 µέχρι τη χρονική στιγµή t 2 =8; ε) ποια είναι η µέση ταχύτητά του στην παραπάνω χρονική διάρκεια; α) Από την εξίσωση κίνησης που δίνεται καταλαβαίνουµε ότι το σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση αφού είναι της µορφής = +υt (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι : = +3m και υ = +1m/. β) Από την (1) για t = 5 έχουµε = = 53m γ) Από την (1) για = 63 m έχουµε: 63 = t 1t = 6 t = 6 δ) Από την (1) για t 1 = 2 έχουµε: 1 = = 23m Από την (1) για t 2 = 8 έχουµε: 2 = = 83m Άρα η µετατόπιση από τη χρονική στιγµή t 1 =2 µέχρι τη χρονική στιγµή t 2 =8 είναι: = 2-1 = 83 m 23 m = 6m ε) Επειδή δεν αλλάζει η φορά της κίνησης =. Άρα 6m 6m υµ = = = υµ = 1m / t 8 2 6

4 3. Από διάγραμμα υ-t σε διάγραμμα -t. 3 η Άσκηση Το διάγραµµα του σχήµατος δίνει τη µεταβή της ταχύτητας ενός σωµατιδίου σε σχέση µε το χρόνο, που κινείται σε ευθεία γραµµή. α) Να γραφούν οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης του σω- µατιδίου από έως 2, αν την t 1 = είναι 1 =1 m. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση = f (t) από έως 2. Να βρεθούν στο χρονικό διάστηµα έως 2: γ) Η συνική µετατόπιση. δ) Το συνικό διάστηµα και η µέση ταχύτητα του σωµατιδίου. 8-6 υ (m/) 5 ΥΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ιάγραµµα 1 t () α) i. Από 5 το σωµατίδιο εκτελεί ΕΟΚ µε ταχύτητα υ 1 = 8 m/. Tην t 1 = είναι 1 = 1 m. H εξίσωση της κίνησής του είναι = 1 + υ 1 (t t 1 ) οπότε αντικαθιστώντας προκύπτει: = 1 +8t (S.I.) (1) Τη χρονική στιγµή t 2 = 5 προκύπτει 2 = ή 2 = 5 m. ii. Από 5 15 το σωµατίδιο παραµένει ακίνητο αφού υ 2 = m/, οπότε = 5 m (2) iii. Από 15 2 το σωµατίδιο εκτελεί ΕΟΚ µε ταχύτητα υ 3 = - 6 m/. Tην t 3 = 15 είναι 3 = 5 m. H εξίσωση της κίνησής του είναι = 3 + υ 3 (t t 3 ) οπότε αντικαθιστώντας προκύπτει: = 5 6(t 15) (S.I.) (3) Την t = 2 είναι 4 = 5 6(2 15) ή 4 = = 5 3 = 2 m.

5 β) Σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα οι γραφικές παραστάσεις των (1), (2) και (3) φαίνονται στο παρακάτω διάγραµµα: ιάγραµµα 2 γ) 1 ος τρόπος Η συνική µετατόπιση προκύπτει από το ιάγραµµα 2, αν από την τελική θέση του σωµατιδίου αφαιρέσουµε την αρχική του θέση: = τελ α ρχ = 4 1= 2m 1m = 1m 2 ος τρόπος Η συνική µετατόπιση είναι αριθµητικά ίση µε το γραµµοσκιασµένο εµβαδό της γραφικής παράστασης υ t του ιαγράµµατος 1. Άρα = + + =Ε + Ε +Ε = 4+ 6(2 15) = = 1m δ) Για το συνικό διάστηµα έχουµε: = =Ε 1 + Ε 2 + Ε 3 = (2 15) = 4+ 3 = 7m 7m υ µ = = = 3,5 m / t 2

6 4. Από διάγραμμα -t σε διάγραμμα υ-t. 4 η Άσκηση Η θέση ενός δροµέα που κάνει ευθύγραµµη κίνηση αλλάζει σε σχέση µε το χρόνο σύµφωνα µε το διάγραµµα που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Πόση είναι η συνική µετατόπιση του δροµέα από έως 2; β) Να περιγράψετε τα είδη των κινήσεων από 2. γ) Να γίνει το διάγραµµα (υ - t) στο ίδιο χρονικό διάστη- µα. δ) Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης από t () α) Από το διάγραµµα προκύπτει ότι = 2 = m m = m β) i. Από έως 5 εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση (αφού η κλίση της ευθείας είναι σταθερή) µε 5 (3 ) m ταχύτητα: υ1= = = υ1= 6 m / t t t (5 ) 5 ii. Από 5 έως 1 ο δροµέας παραµένει ακίνητος, αφού η θέση του = 3m = σταθερή, άρα : υ (3 3) m = = = t t1 t5 (1 5) υ = m / 2 iii. Από 1 έως 2 εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση (αφού η κλίση της ευθείας είναι σταθερή) 2 1 ( 3) m µε ταχύτητα: υ3 = = = υ3 = 3 m / t t t (2 1) 2 1

7 γ) Σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα το διάγραµµα (υ - t) είναι το παρακάτω: υ (m/) 6 ΥΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ t () -3 δ) Στην Ε.Ο.Κ. για την µετατόπιση ισχύει: = υ t = υ( t t ) = + υ( t t ) (1) i. Από έως 5, από το διάγραµµα -t έχουµε την t =, = και υ = υ 1 = 6 m/. Άρα από την (1) = 6t (S.I.) ii. Από 5 έως 1, από το διάγραµµα -t έχουµε 2 = 3 m, t 2 = 5, και υ = υ 2 = m/. Άρα από την (1) = 2 = 3 m iii. Από 1 έως 2, από το διάγραµµα -t έχουµε την t = 1, =3m και υ = υ 2 = - 3m/. Άρα από την (1) = 3 3(t 1) = 3 3t + 3 = 6 3t (S.I.)

8 5. Δεδομένα από γραφικές παραστάσεις -t. 5 η Άσκηση Στο διπλανό διάγραµµα -t φαίνονται οι µεταβές της θέσης δύο κινητών (Α) και (Β) που κινούνται στην ίδια ευθεία. α) Ποιο είναι το είδος της κίνησης των δύο κινητών; 4 (A) β) Με πόση ταχύτητα κινούνται; Να σχεδιάσετε τις γραφικές πα- 3 ραστάσεις υ = f (t) και για τα δύο κινητά σε κοινό σύστηµα αξόνων. γ) Να γράψετε τις εξισώσεις της κίνησής τους. Πότε και που συ- 2 1 (B) ναντιούνται; 5 t () δ) Ποια χρονική στιγµή φτάνει το κινητό (Β) στη θέση = ; ε) Πόσο µετατοπίζονται µέχρι να συναντηθούν; α) Αφού οι γραφικές παραστάσεις -t για τα δύο κινητά είναι ευθείες γραµµές, οι θέσεις τους είναι πρώτου βαθµού ως προς t και επειδή η τροχιά τους είναι ευθεία γραµµή, συµπεραίνουµε ότι και τα δύο κινητά εκτελούν ευθύγραµµη οµαλή κίνηση (Ε.Ο.Κ.). β) Κινητό (Α) : Από την κλίση της ευθείας στο διάγραµµα -t υπογίζουµε την υ Α. A (3 ) m 3m υα = = = υα = 6 m / (κίνηση προς τα θετικά του άξονα Ο) t (5 ) 5 Κινητό (Β) : Από την κλίση της ευθείας στο διάγραµµα -t υπογίζουµε την υ Β. B (3 4) m 1m υb = = = υb = 2 m / (κίνηση προς τα αρνητικά του άξονα Ο) t (5 ) 5

9 Αφού οι ταχύτητες είναι σταθερές οι γραφικές τους παραστάσεις θα είναι ευθείες γραµµές παράλληλες προς τον άξονα των χρόνων: γ) Στην Ε.Ο.Κ. για την µετατόπιση ισχύει: = υ t = υ( t t ) = + υ( t t ) (1) Κινητό ( Α) : Eπειδή από το διάγραµµα -t έχουµε : την t =, = mκαι υ = 6 m / µε αντικατάσταση στην (1) προκύπτει: Α =+ 6 t ( S. I.) ( 2) Κινητό (B) : Eπειδή από το διάγραµµα -t έχουµε : Α την t =, =4 mκαι υ = -2 m / µε αντικατάσταση στην (1) προκύπτει: Β Β = 4 2 t ( S. I.) (3) Από το διάγραµµα -t προκύπτει ότι τα δύο κινητά συναντιούνται, στο σηµείο τοµής των γραφικών τους παραστάσεων, την t = 5 και στη θέση = 3 m. δ) Αντικαθιστώντας στην (3) όπου Β = έχουµε: 4 = 4 2t = 4 2t 2t = Β 4 t = t 2 2 =. m ε) Κινητό (Α) : Α = υα t= 6 (5 ) Α = 3m m Κινητό (Β) : Β = υβ t= 2 (5 ) Β = 1m

10 6. Ασκήσεις με δύο σώματα Συνάντηση δύο κινητών. 6 η Άσκηση Από δύο σηµεία Α και Β ενός ευθύγραµµου δρόµου περνάνε, τη χρονική στιγµή t =, δύο αυτοκίνητα (1) και (2) µε σταθερές ταχύτητες µέτρου υ 1 =2m/ και υ 2 =3m/, αντίστοιχα. Τα δύο σηµεία απέχουν απόσταση ΑΒ = d = 3 m και τα αυτοκίνητα κινούνται αντίθετα. d υ2 υ1 Θεωρήστε = την αρχική θέση του πρώτου αυτοκινήτου και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική και στη συνέχεια απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα: α) Να γράψετε τις εξισώσεις της κίνησής τους. β) Ποια χρονική έγινε η συνάντηση των δύο οχηµάτων; γ) Σε ποια θέση διασταυρώνονται τα δύο αυτοκίνητα; δ) Ποια χρονική στιγµή φτάνει το αυτοκίνητο (2) στη θέση = ; ε) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση µε το χρόνο: i) της µετατόπισης και ii) της θέσης, κάθε αυτοκινήτου. d υ2 υ 2 1 α) Στο παραπάνω σχήµα έχουµε σχεδιάσει τον άξονα και τις θέσεις των αυτοκινήτων τη στιγµή t =. Με βάση το σχήµα οι αρχικές θέσεις των κινητών είναι 1 = και 2 = +3m, ενώ οι ταχύτητές τους έχουν αλγεβρικές τιµές υ 1 = +2m/ και υ 2 = - 3m/. Για την κίνηση του πρώτου αυτοκινήτου, το οποίο κινείται προς τα δεξιά ισχύουν: t= υ 1 = +2m/ και 1 = 1+ υ1( t t) 1= 2 t ( S. I.) (1) Για την κίνηση του δεύτερου αυτοκινήτου, το οποίο κινείται προς τα αριστερά ισχύουν: t= υ 2 = - 3m/ και 2 = 2+ υ2( t t) 3 2 = 3 3 t ( S. I.) (2) 2= 1= m

11 β) Όταν τα δύο αυτοκίνητα συναντηθούν, έστω τη χρονική στιγµή t, θα βρίσκονται στην ίδια θέση, άρα: = t= t t= t= (1), (2) γ) Από την (1) ή την (2) για t = 6 προκύπτει ότι τα αυτοκίνητα θα συναντηθούν στη θέση: = 2t = 2 6 = 12m t= δ) Από την (2) για 2 = έχουµε: = 3 3t 3t= 3 t= 1 ε) Για το πρώτο αυτοκίνητο, αφού µελετάµε την κίνησή του θεωρώντας ότι αρχικά βρίσκεται στη θέση 1 =, η µετατόπισή του και η θέση του συµπίπτουν, οπότε µε βάση τη σχέση (1), η γραφική παράσταση είναι µια ευθεία γραµµή, η οποία µπορεί να χαραχθεί όπως στο παρακάτω σχήµα, λαµβάνοντας υπόψη και κάποιες τιµές, όπως αυτές του προηγούµενου ερωτήµατος, που φαίνονται στον πίνακα (Ι). t() Πίνακας (Ι), 6 1 t(), 6 1 t() Όµως για το δεύτερο αυτοκίνητο για τη θέση του έχουµε 2 = 3 3 t ( S. I.) (2), ενώ για τη µε- t= τατόπισή του ισχύει: = + υ ( t t ) = υ ( t t ) = 3 t ( S. I. ) (3) υ2= 3 m/ 2 Οπότε λαµβάνοντας υπόψη και τις τιµές του χρόνου t, αντικαθιστώντας στις σχέσεις (3) και (2) παίρνουµε τον Πίνακα (ΙΙ), οπότε έχουµε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις. t() 3, 6 1 t () Πίνακας (ΙΙ) , 6 1 t ()