MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE
|
|
- Σταύρος Αντώνιος Παχής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ELEKTROTEHNIČKI AKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA IZIKA I --pedavanja za 3. sedmicu nastave MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE.3.3 Kužno ketanje/gibanje Kada ubzanje mateijalne tačke nema isti pavac kao bzina, već s bzinom zatvaa ugao azličit od nule, mateijalna tačka uvijek će se ketati po zakivljenoj liniji. Pimje takvog ketanja je kužno ketanje/ gibanje. Ketanje mateijalne tačke po kužnici je ketanje u avni. Neka kužnica leži u (x, y) avnini Catesijevog koodinatnog sustava (ct..8). Položaj mateijalne točke možemo opisati Catesijevim koodinatama x i y ili polanim koodinatama i ϕ. Kako je putanja kužnica, iznos adijusa vektoa je konstantan, te se pi ketanju mijenja samo polana koodinata ϕ. Ct..8 Veza između Catesijevih i polanih koodinata mateijalne tačke je: x = cosϕ y = sinϕ Kut/ugao ϕ se obično izažava u adijanima i jednak je količniku luka s i pulupečnika s 18 ϕ = ( ad ) 1 ad = = 57,3 π Iz ove elacije slijedi izaz za peđeni put: 8
2 s = ϕ Deivianjem puta s po vemenu, dobiva se tzv. obodna (lineana) bzina v: ds dϕ v = = = ω gdje je dϕ ω = ugaona/kutna bzina. Jedinica za ugaonu/ kutnu bzinu je ad s -1 ili s -1, budući da dopunsku jedinicu ad često ne pišemo. Kutna/ugaona bzina je vekto; čiji je smje na pavcu ose otacije i odeđen je pavilom desne uke. Ako psti desne uke slijede mateijalnu točku, palac pokazuje smje ω. Ct..9 Pavac ugaone/kutne bzine uvijek je okomit na avninu kuženja. Obodna/peifena bzina v uvijek je okomita i na vekto i na vekto ω (ct..9). Kut između i je π, tj sinα = 1. Zbog toga može se vektoski napisati kao: v = ω ili v = ω Jednoliko kužno ketanje/gibanje je kuženje s konstantnom uganom bzinom: dϕ = ω = konst. Integianjem dobivamo ϕ ϕ + ωt = 9
3 gdje je ϕ ugao u momentu t =. Za opisivanje jednolikog kužnog ketanja koisno je definiati fekvenciju i vijeme potebno za jedan puni kug-peiod. Očito je za jednoliko kužno ketanje: ω = πf, T = 1 f Jednoliko kužno ketanje je zapavo ubzano ketanje, je se pi njemu stalno mijenja smje obodne/peifene bzine, ct..1, iako joj iznos ostaje konstantan. Iznos pomjene bzine v jednak je v = v ϕ. Podijelimo li obje stane ove elacije sa t uz ganični pijelaz t, dobivamo iznos za ubzanje koja mijenja smje bzine : v v ϕ a = = = vω t lim t lim t t Ova akceleacija ima smje pema sedištu kužnice i zbog toga, zovemo je adijalna (nomalna) ili centipetalna akceleacija. Ct..1 Ako sa označimo jedinični adijus vekto usmjeen pema sedištu kužnice, izaz za adijalnu akceleaciju možemo pisati vektoski: a v = ω = = ω v.3.3 Nejednoliko kužno gibanje Pi nejednolikom kuženju iznos obodne/peifene bzine nije više konstantan već se mijenja s vemenom. 1
4 Zbog toga je ukupna akceleacija sastavljena od adijalne akceleacije a i tangencijalne akceleacije a t. Radijalna komponente akceleacije je u smjeu. Tangencijalna komponenta akceleacije je u smjeu tangente. Tangencijalna akceleacija nastaje zbog pomjene iznosa peifene/obodne bzine: ( ω) dv d dω a t = = = α gdje je dω d ϕ α = = ugaona/ kutna akceleacija (ubzanje). Jedinica ugaone/kutne akceleacije je ad s -. Ako ugaonu akceleaciju definiamo kao vekto čiji je smje okomit na avan kuženja, tada možemo napisati u vektoskom obliku: a t = α Pi jednolikom ketanju po kužnici ω = konst. odnosnoα = te je i tangencijalna akceleacija nula. Pi nejednolikom kužnom ketanju postoji i adijalna i tangencijalna akceleacija. Radijalna ima smje, dakle pema sedištu kužnice, dok je duga u smjeu tangente. One su okomite jedna na dugu pa ukupnu akceleaciju a dobivamo kao a = a t + a Poseban slučaj nejednolikog kužnog ketanja je ketanje s konstantom ugaonom akceleacijom ( α = konst.). Zakone takvog ketanja možemo dobiti uzimajući u obzi da je α = konst. i da je u tenutku t=, kut ϕ =, a ω = ω. Integiajući izaz dω = α dobivamo: ω ω dω = t α 11
5 odnosno ω = αt + ω Integianjem izaza ϕ = ( αt + ω ) dobivamo izaz za ugao/ kut: ϕ t d ( αt + ω ) = αt dϕ = + ϕ odnosno 1 = t t ϕ α + ω + ϕ t t ω Ovi izazi analogni su izazima za pavolinijsko ketanje. Tablica pokazuje fomalnu analogiju među fomulama pavolinijskog i kužnog ketanja. Ako u fomule pavolinijskog ketanja umjesto s, v i a uvstimo ϕ, ω, α dobivamo fomule kužnog ketanja. Pavolinijsko ketanje ds v = d s a = s = vt + s 1 s = at + v v = as + v t + s Kužno ketanje dϕ ω = d ϕ α = s = ωt + ϕ 1 s = αt + ω t + ϕ v = αϕ + ω 3. DINAMIKA ČESTICE 3.1. Uvod U kinematici smo poučavali zakone ketanja bez obzia na uzoke koji su to ketanje poizveli. Sada ćemo poučiti dinamiku koja azmata fizikalne uzoke ketanja Osnova dinamike su ti Newtonova asksioma/zakona koje je još fomuliao engleski fiziča Isaac Newton. Iz tih aksioma može se izgaditi tzv. klasična ili Newtonova mehanika. Newtonova mehanika izvsno opisuje makoskopske pojave, dakle tijela dimenzija većih od atoma i molekula, te bzine mnogo manje od bzine svjetlosti. 1
6 Za opisivanje mikosvijeta (atoma i molekula) moaju se pimjeniti zakoni kvantne mehanike, a za velike bzine upotebljavaju se zakoni elativističke mehanike(einsteinova teoija elativnosti). Osnovne fizikalne veličine dinamike su sila i masa. U fizici silu opisujemo pomoću njenog djelovanje. izička veličina kojom se mjee inteakcije između tijela naziva se sila. Djelovanje sile može biti dvojako: sila može ubzati ili uspoiti neko tijelo; tj. pomjeniti mu stanje ketanja, sila može pomjeniti oblik tijela (defomacija). U dinamici se poučava samo pvo djelovanje sila, tj. sila kao uzok pomjene stanja ketanja nekog tijela. Danas je poznato da postoje četii osnovna tipa međudjelovanja među česticama (molekulama, atomima, te elementanim česticama). To su gavitacijska sila, elektomagnetska sila, sila slabe inteakcije i sila jake inteakcije. Gavitacijska sila djeluje između tijela po Newtonovom zakonu gavitacije: m m = 1 γ gdje su m 1 i m mase tijela koje međudjeluju a, astojanje između centaa masa tih 11 tijela, γ = 6,67 1 Nm kg gavitacijska konstanta, jedinični vekto. Intenzitet gavitacijskih sila sazmjean je masama tijela a opada sa kvadatom astojanja između njih, usljed toga ove sile dolaze do izažaja kod tijela velikih masa, kao što su nebeska tijela, i djeluju na velikim astojanjima. Elektomagnetne sile potiču usljed međudjelovanja naelektisanih tijela. Ukoliko su naelektisanja u elativnom miovanju, inteakcija je izažena tzv. Coulombovom silom 1 q q 1 = ± 4πε gdje su q 1 i q naelektisanja a -astojanje između centaa tih naelektisanja, 1 1 ε = 8,85 1 m dielektična konstanta vakuuma. Ukoliko se naelektisanje keće u mangetnom polju B, na njega djeluje magnetna sila: = q ( v B) gdje je v bzina naelektisanja, q naboj a B magnetska indukcija. Ako osim mangetskog, na naboj djeluje i elektično polje, ukupna elektomagnetska (Loentzova) sila je vektoski zbo elektične i magnetske sile: = qe+ q v xb Međudjelovanje između molekula, atoma kao i sile unuta atoma su elektomagnetske piode, koje dolaze do izažaja na elativno malim astojanjima. Intenzitet elektomagnetskih inteakcija je mnogo puta veći od intenziteta gavitacijskih. Nukleane sile djeluju između čestica atomskog jezga bez obzia na njihovo naelektisanje. Nukleane sile djeluju na malim astojanjima, oko 1-15 m i velikog su intenziteta, većeg i od elektomagnetskog. 13
7 Masa je svojstvo svakog tijela koje odeđuje njegovo ponašanje pi djelovanju sile: što je masa tijela veća ono je tomije (intetnije), to ga je teže ubzati ili uspoiti, tj. pomjeniti mu stanje ketanja. Masa je mjea tomosti (inecije) tijela. Kvantitativna mjea za ineciju pedstavlja fizikalnu veličinu koja se zove masa. Ova fizikalna veličina odeđuje inetna i gavitacijska svojstva tijela Pvi Newtonov aksiom/zakon Još je Galilei uočio da tijelo na koje ne djeluju vanjske sile ostaje na miu ili se keće jednoliko po pavcu. Da pokenemo tijelo koje miuje potebna je odeđena sila; takođe, tijelo koje se keće jednoliko po pavcu ostat će u tom stanju ketanja sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila.. Svojstvo tijela da odžava svoje stanje ketanja/ketanja ili miovanja zovemo, tomost ili inecija. ustajnost Poučavajući Galileieva azmatanja, došao je Newton do svojeg pvog zakona/aksioma Svako će tijelo ostati u stanju miovanja ili jednolikog ketanja po pavcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne pomijeni. Pvi Newtonov aksiom se često zove i pincip inecije. Položaj tijela odeđujemo s obziom na neko dugo tijelo (okolinu) izboom efeentnog sistema/sustava. Pvi Newtonov zakon ne važi u svakom efeentnom sistemu. Sistemi u kojima važi pvi Newtonov aksiom su inecijalni sistemi/ sustavi; pihvaćanjem ovog aksioma oganičili smo se na opisivanje pojava u inecijalnim sustavima. Svaki sistem koji miuje ili se keće jednoliko po pavcu s obziom na neki inecijalni sistem opet je inecijalni sistem. Miovanje i jednoliko ketanje po pavcu avnopavni su. Tijelo koje u jednom inecijalnom sistemu miuje u dugom inecijalnom sistemu može miovati ili se ketatii jednoliko po pavcu Dugi Newtonov aksiom/zakon Dugi aksiom opisuje kako se ponaša tijelo kad na njega djeluje odeđena vanjska sila. Iz iskustva je poznato, a i bojni pokusi mogu potvditi, da je akceleacija tijela popocionalna sili i ima smje sile. Konstanta popocionalnosti između sile i akceleacije je masa tijela m: = m a (3.1) Masa je mjea za ineciju (tomost) tijela: što je masa tijela veća, to je za isto ubzanje potebna veća sila. Masa koja se pojavljuje u gonjoj elaciji naziva se, upavo zbog tog svojstva, tomom masom tijela. Ovu vezu između sile, mase i akceleacije zovemo dugi Newtonov zakon u neelativističkom obliku ili jednadžba ketanja. Napisan u ovom obliku. Newtonov aksiom vijedi u ganicama valjanosti Newtonove mehanike, tj. za bzine mnogo manje od bzine svjetlosti i zato se i zove neelativistički. Pomoću gonje jednadžbe možemo izvesti jedinicu za silu = m a = 1kg 1ms = 1kg ms = 1N [ ] [ ][ ] 14
8 Jedinica za silu je dakle 1 njutn (N). 1N je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubzanje od 1 m/s. Da bismo općenito fomiliali. Newtonov aksiom, potebno je definiati količinu ketanja/ketanja tijela (impuls tijela). To je vektoska veličina jednaka poduktu mase i bzine: p = m v (3.) Newtonova fomulacija dugog aksioma/zakona glasi: Bzina pomjene količine ketanja/ketanja popocionalna je sili i zbiva se u pavcu te sile: d m v dp = = (3.3) Ovako napisan. Newtonov aksiom vijedi i za velike bzine (upoedive s bzinom svjetlosti); zato se fomula (3.3) često zove elativistički oblik dugog Newtonovog aksioma. omula (3.3.) pelazi u (3.1.) u slučaju kad su bzine tijela malene u uspoedbi s bzinom svjetlosti (v << c). U tom slučaju masa tijela je konstantna, te je: d m v m dv = = = ma (3.3) Ova jednadžba pedstavlja difeencijalnu jednadžbu ketanja tijela, u kojoj je ezultanta svih inteakcija tijela mase m sa svim dugim tijelima, a a ubzanje tijela u odnosu na neki inecijalni sistem. Pvi i dugi Newtonov aksiom su neovisni je pvi konstatia svojstva tijela, a dugi kaakteizia ketanje tijela pod djejstvom sile. Jednadžba (3.3) pedstavlja dugi Newtonov zakon u vektoskom obliku. Odgovaajuće skalane jednadžbe su: x y z vx = m d = m d x y = m dv = m d y (3.5) dvz = = m d z Težina Težina tijela (G) je sila kojom tijelo djeluje na hoizontalnu podlogu ili na objesište u slučaju da je obješeno. Težina tijela uzokovana silom teže, usmjeena je vetikalno pema dolje i iznosi: G = m g (3.6) akceleacija sile teže. gdje je g 981,, 15
9 3.3. Teći Newtonov aksiom/zakon U pvom i dugom Newtonovom aksiomu govoi se o sili ili silama koje djeluju na odeđeno tijelo, ne vodeći ačuna o izvoima tih sila. Pošto sila u kajnjem slučaju kaakteizia inteakciju dva tijela, njihova uloga pi inteakciji se definia tećim Newtonovim zakonom/aksiomom koji glasi: Svakom djelovanju (akciji) uvijek je supotno i jednako potudjelovanje (eakcija). Djelovanja dvaju tijela jednog na dugo uvijek su jednaka i potivnog smjea. Teći Newtonov aksiom kao i pva dva potiče iz uopštavanja ekspeimentalnih činjenica. Na pimje, ako tijelo A (Zemlja) mase m A djeluje na tijelo B(kamen) mase m B, silom BA ct. 3.1., onda će i tijelo B djelovati na tijelo A silom AB pavcu a supotnog su smjea, pa se može napisati:. Ove sile su jednake po iznosu i BA = AB (3.7) (Jedna od ovih sila, ecimo BA, zove se akcija i njena napadana točka je u tijelu B (kamenu), odnosno sila BA napada tijelo B. Duga sila tj. AB zove se eakcija, njena napadna točka je u tijelu A Zemlji) koje napada. Koju, od pomenutih sila, ćemo nazvati akcijom a koju eakcijom sa fizičkog stanovišta je sasvim svejedno, je su obe bile iste piode. Pod dejstvom sila BA i AB, espektivno tijelo B i tijelo A mogu pomjeniti stanje ketanja (dinamičko djelovanje sile) ili pak izvšiti kakvu defomaciju svog oblika (statičko djejstvo sila). Ct Kaakteistike ketanja tijela pod djelovanjem sile odeđene su dugim Newtonovim aksiomom po kojem, u našem pimjeu, tijela dobivaju ubzanja: BA AB ab = i aa = m B m A dakle pema jednadžbi (3.7) dobivamo:; m A m B ab = m A aa ili ab m a = A B odnosno 16
10 B aa = m ab (3.8) m A Dakle, oba tijela mijenjaju stanje ketanja/ketanja (dobivaju ubzanja) zbog uzajamnog djelovanja, samo je ta pomjena, pema jednadžbi (3.8) obnuto popocionalna masi tijela. djelovati na stol silom Q čiji je pavac vetikalan a smje na niže (ka centu Zemlje). Napadna tačka sile Q će se nalaziti na stolu. S duge stane, stol će djelovati na uteg silom R čiji je pavac i iznos isti kao kod Na osnovu azmatanja sva ti Newtonova aksioma kao jedinstvene cjeline, za inecijalne sustave može se zaključiti slijedeće: svako ubzanje tijela uvjetovano je nekom silom. Svaka sila je mjea djelovanja nekih dugih tijela na uočeno tijelo i na kaju, sile imaju kaakte uzajamnog djelovanja. Aksiome koje je fomuliao Newton pedstavljaju uopštavanje iskustvenih činjenica koje su bile poznate i pije njega. Newtono-zasluga je u tome đto je on pokazao da se sva mehanička ketanja mogu opisati pomoću pomenuta ti aksioma, uzetih kao osnova mehanike, pa se često ta mehanika zove i Newtonova mehanika. 17
SLOŽENO KRETANJE TAČKE
SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE BRZINA TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU a) Relativna bzina b) Penosna bzina c) Apsolutna bzina d) Odeđivanje zavisnosti apsolutne od elativne i penosne
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
Διαβάστε περισσότεραJednoliko pravocrtno gibanje Jednoliko promjenljivo pravocrtno gibanje Slobodni pad Kružno gibanje Mirovanje s obzirom na pomicanje Uvjeti mirovanja
Mehanika 1 Jednoliko pavoctno gibanje Jednoliko pomjenljivo pavoctno gibanje Slobodni pad Kužno gibanje Miovanje s obziom na pomicanje Uvjeti miovanja s obziom na otaciju Sile na poluzi Sile na kosini
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA-V. Inercijalni i neinercijalni sistemi reference
4 MEHANIKA-V Inecijalni i neinecijalni sistemi efeence Fomulišući I Njutnov zakon ( Zakon inecije) koistili smo pojmove kao što su miovanje ili avnomeno ketanje Postavlja se pitanje koliko je opavdano
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα9. GRAVITACIJA Newtonov zakon gravitacije
9. GRAVITACIJA 9.1. Newtonov zakon gavitacije Pomatanje gibanja nebeskih tijela gavitacija: pivlačna sila meñu tijelima Claudius Ptolemeus (100 170) geocentični sustav Nikola Kopenik (1473 1543) heliocentični
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAČINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA.
KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAČINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA. Jednačine ketanja x(t) i y(t) u potpunosti odeđuju sve pojmove vezane
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDinamika Oblast mehanike koja proučava kretanje uzimajući u obzir uzroke kretanja i osobine tela koja se kreću. Dinamika
Oblast ehanike koja poučava ketanje uziajući u obzi uzoke ketanja i osobine tela koja se keću. Sila i asa (P 34) Njutnovi zakoni ehanike (P 35-37) Težina tela, gustina (P 38-40) specifična zapeina i gustina.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROMAGNETSKE POJAVE
ELEKTROMAGETSKE POJAVE ELEKTROMAGETSKA IDUKCIJA IDUKCIJA SJEČEJEM MAGETSKIH SILICA Pojava da se u vodiču pobuđuje ii inducia eektomotona sia ako ga siječemo magnetskim sinicama, zove se eektomagnetska
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραMAGNETIZAM I. Magnetsko polje Magnetska indukcija Magnetska uzbuda Sile u magnetskom polju
MAGNETIZAM I Magnetsko polje Magnetska indukcija Magnetska uzbuda Sile u magnetskom polju Teći osnovni učinak elektične stuje stvaanje magnetskog polja u okolišu vodiča i samom vodiču koji je potjecan
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραVEŽBE Elektrostatika
VEŽBE Elektostatika Još jedna supepozicija Pime ti azličito naelektisana tela Odedite sme sile na naelektisanje q: Odedite sme sile na naelektisanje q: Elektično polje pikazano linijama sila stvaaju dva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKinetička energija: E
Pime 54 Za iem pikazan na lici odedii ubzanje eea mae m koji e keće naniže kao i ilu u užeu? Na homogeni doboš a dva nivoa koji e obće oko zgloba O dejvuje, zbog neidealnoi ležaja konanni momen opoa M
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Auditorne vježbe - 7. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Računarstvo. Elekromagnetski valovi. 15. travnja 2009.
Fakule elekoehnike, sojasva i bodogadnje Računasvo Fiika Audione vježbe - 7 lekomagneski valovi 15. avnja 9. Ivica Soić (Ivica.Soic@fesb.h) Mawellove jednadžbe inegalni i difeencijalni oblik 1.. 3. 4.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραMašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 Predavanje 1 1 MEHANIKA
Mašinski fakultet, Beogad - Mehanika 1 Pedavanje 1 1 MEHNIK Mehanika je nauka koja poučava opšte zakone mehaničkih ketanja i avnoteže mehaničkih objekata. Pod mehaničkim ketanjem podazumeva se pomena položaja
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραVEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.
VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραKinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραFizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα- Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeraj koji je ona izazvala
Rad - Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeaj koji je ona izazvala Posmatajmo slučaj kada je sila konstantna po intenzitetu i pavcu. Rad je: A= A = Δ cosγ γ = (, Δ) Δ Skalani
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότερα- osnovni zakoni gibanja (Newtonovi aksiomi) - gibanja duž ravne podloge i kosine - sila trenja - vrste sila
Dinamika - osnovni zakoni gibanja (Newtonovi aksiomi) - gibanja duž ravne podloge i kosine - sila trenja - vrste sila Osnovni zakoni gibanja: Newtonovi aksiomi Sir Isaac Newton (1642. 1727.) by Sir Godfrey
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότερα1.1 Određivanje položaja i trajektorije materijalne tačke 1 KINEMATIKA
11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke 1 1 KINEATIKA 11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke snovni zadatak fizike (ϕνσιξ pioda) je izučavanje osnovnih svojstava piode, a jedno
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα. (2.116) v r. Prvi član s desne strane (2.119) je jednak nuli iz razloga što su vektori v = i p kolinearni: r r r. r d L0 =. (2.
48 DINAMIKA.9 Dinamika otacije.9. Momentna jednačina za mateijalnu tačku Posmatamo kivolinijsko ketanje mateijalne tačke, mase m, koja u datoj tački putanje ima bzinu v, vekto položaja u odnosu na efeentnu
Διαβάστε περισσότεραPotrebne su relacije za put slobodnog pada za jedno i drugo nebesko tijelo (nepoznato (X)
MEĐUISPIT_3. gupa zadaaka, -0, svaki zadaak 3 boda:. Maja je bacila kamen hoizonalno bzinom v, a Mako s ise visine pema dolje i isom bzinom v. Koja je od navedenih vdnji očna? (Zanemaimo opo zaka). A.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Elektrostatika. Električni potencijal Električni napon. Osnove elektrotehnike I: Elektrostatika
TEHNIČKI FKULTET SVEUČILI ILIŠT U RIJECI Zavod za elektoenegetiku Studij: Peddiplomski stučni studij elektotehnike Kolegij: Osnove elektotehnike I Pedavač: v. ped. m.sc. anka Dobaš Elektostatika Elektični
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDinamika krutog tijela. 14. dio
Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραFizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu
d Fedo Skuban Fizika za studente na Depatmanu za matematiku i infomatiku na PMF-u u Novom Sadu Depatman za fiziku, PMF Novi Sad Fizičke veličine. SI sistem jedinica 4 Osnovni pojmovi kinematike 0 Bzina
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραFizika 1, v 2. Sudar čestica i izmjena impulsa. R: - međudjelovanje čestica tokom sudara opisujemo III Newton-ovim aksiomom:
Fizika 1,1 14.03.08 1. Zakon očuvanja količine gibanja; izvedite taj zakon za slučaj elastičnog i centalnog sudaa dviju mateijalnih točaka koje se gibaju na istom pavcu i istim smjeom; masa m 1 i m 2 te
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραRAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραRotacija krutog tijela
Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj
Διαβάστε περισσότερα