משוואות דיפרנציאליות רגילות

Transcript

1 משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה. הספר עוסק במשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר או מישדי"פ) והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות. הניסיון מלמד כי לת רג ל בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה. גיא סלומון ג ל, ש ב יל הת רג ל...

3 תוכן פרק משוואות מסדר ראשון. משוואה הניתנת להפרדת משתנים.... משוואה הומוגנית....3 משוואה מהצורה = )dy...(a +b y+c )d + (a +b y+c.4 משוואה מדויקת....5 הפיכת משוואה לא מדויקת למשוואה מדויקת (גורם אינטגרציה)....6 משוואה לינארית....7 משוואת ברנולי....8 משוואת ריקטי....9 משוואות מסדר ראשון וממעלה גבוהה פרק משוואות לינאריות מסדר שני. משוואה חסרה הורדת סדר המשוואה (לא בהכרח לינארית) משוואה הומוגנית עם מקדמים קבועים... משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים השוואת מקדמים... משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים וריאצית הפרמטרים... משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים שיטות קצרות/אופרטוריות פרק 3 משוואות לינאריות מסדר n משוואה הומוגנית עם מקדמים קבועים... משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים השוואת מקדמים... משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים וריאצית הפרמטרים... משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים שיטות קצרות/אופרטוריות פרק 4 מערכת משוואות לינאריות 4. ליכסון מטריצות מציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה מערכת מסדר ראשון, הומוגנית, במקדמים קבועים שיטת הליכסון מערכת מסדר ראשון, לא הומוגנית, במקדמים קבועים וריאצית פרמטרים מערכת לא הומוגנית במקדמים קבועים שיטת החילוץ...

4 3 3 3 פרק 5 פתרון משוואות לינאריות בעזרת טורים פתרון על ידי טורים נקודה רגולרית... פתרון על ידי טורים נקודה סינגולרית-רגולרית פרק 6 התמרת לפלס 6. התמרת לפלס, התמרת לפלס של פונקציה מחזורית ושל פונקצית מדרגה התמרת לפלס ההפוכה, משפט הקונוולוציה פתרון משוואה דיפרנציאלית בעזרת התמרת לפלס... 4 פרק 7 שימושים של משוואות דיפרנציאליות דפי נוסחאות (נגזרות, אינטגרלים, טריגו, אלגברה, טורי טילור, התמרות לפלס)... 45

5 4 פרק. משוואות הנתנות להפרדת משתנים ) הסבר מהי משוואה דיפרנציאלית הניתנת להפרדת משתנים וכיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: dy = d ( ) y ' = y y ( (3 yy y ' = dy y() = ; ( ) = 4y d y() = ; dy = y+ 3y 3 9 d ( y + y) d ( y y ) dy= (4 (5 (6 (7 dy= t( y + 4) dt d dt = + y π = y + y = ( ) ; ' sin dy d y() = 4 ; = y sec (8 (9 ( ( תשובות y=± + k y=± + k y= y= 3 ln c 3 () () (3), + y = + + c y = y = y + = + c y= y= t + k = + t+ c cos y (4) (5) ln ln (6) ln 3 3 ln (7), (8) tan( ) (9) tan ( ) () y= () ln y = tan + ln 5 () = +.5

6 5 פרק. משוואות הומוגניות הגדר והדגם את המושג פונקציה הומוגנית של שני משתנים. הסבר מהי משוואה דיפרנציאלית הומוגנית וכיצד פותרים אותה. ( ( פתור את המשוואות הבאות: 3 3 ( y + ) d+ y dy= 4y 3 y ' = y y + y ' = yy ' (3 (4 (5 (3 y+ y ) d+ ( + y) dy= y y y cos d+ cos dy= y ' = ye ( / y) ( / y) ( / y) y + y e + e ( ) y() = ; y+ + y d dy= 3 3 ( t ) dt+ (4 6 t+ t ) d= n. ( y + ) d+ y dy= נתונה המשוואה א. מה צריך להיות הערך של הקבוע n על מנת שהמשוואה תהיה הומוגנית. (6 (7 (8 (9 ( ( n שמצאת בסעיף א. ב. פתור את המשוואה עבור הערך של

7 6 תשובות 3 (3) ln = ln ( y / ) + + c, y= /3 6 5 (4) ln = ln ( y / ) ln ( y / ) c, y=, y= (5) ln = ln ( y / ) ( y / ) + c, y= = y + + c y= y= 4 (6) ln ln ( / ) 4,, y ( ) (7) ln sin( / ) (8) ln ln, (9) ln sinh ( / ) = y + c + e = y + c y= = + c ( ) ln t = ln ( / t) ( / t) + c, ( t) =, ( t) = t () n=, ln = ln( + ( / y) ) + c 4 y

8 7 ( a + b y+ c ) d+ ( a + b y+ c ) dy= פרק -.3 משוואות מהצורה ( a + b y+ c ) d+ ( a + b y+ c ) dy= ) הסבר כיצד פותרים משוואות מן הצורה פתור את המשוואות הבאות: dy + + y = ( d + + y ( + y+ 3) d+ (+ 4y ) dy= dy y + 5 = d y 4 d 3+ + y = dy + + y (+ y 3) d+ ( + y ) dy= (3 (4 (5 (6 תשובות () = ( + y+ ) + ln(( + y+ ) + ) + + c, y= (3) = 4 y ( + y+ 3) + k y+ 3 y+ (4) ln = ln ln + + c, y= 3, y= y+ y+ (5) ln = ( ) ln ( )ln c, y=.5.5, y= y+ y+ (6) ln = ln c

9 8 פרק.4 משוואות מדויקות ) הסבר מהי משוואה דיפרנציאלית מדויקת וכיצד פותרים אותה פתור את המשוואות הבאות: 3 ( ) + 3 y d+ (3+ y ) dy= y ( 3 y ) ( ) y e + 4 d+ ye 3y dy= ( (3 y y ( ) ( ) y cos + e d+ sin + e dy= ( ) + y sin d y cos dy= y y + d+ + y( + ) dy= ( + y) + y 3 3 ( t ) dt+ (4 6 t+ t ) d= (4 (5 (6 (7 3 (3 y y + ye ) d+ ( y + ke ) dy= נתונה המשוואה באשר k קבוע. (8 א. ב. מה צריך להיות הערך של הקבוע k על מנת שהמשוואה תהיה מדויקת. פתור את המשוואה עבור הערך של k שמצאת בסעיף א. תשובות 4 y 4 3 y ().5 + 3y+.5 y y= c (3) e + y = c (4) ysin + e y= c y cos y (5) = c (6) ln + y + ( + ) y + ln = c y y (7) t t+ = c (8) k =, + e + = c

10 9 פרק.5 הפיכת משוואה לא מדוייקת למשוואה מדויקת (גורם אינטגרציה) הסבר מהו גורם אינטגרציה והראה כיצד ניתן בעזרתו להפוך משוואה לא מדוייקת למשוואה מדויקת. 3 y y y הראה שהמשוואה = ' ) + ( + האינטגרציה אינה מדוייקת ופתור אותה בעזרת גורם. y 3 ( ( sin y cos y+ e cos e sin d+ dy= y y 3) הראה שהמשוואה. אינה מדוייקת ופתור אותה בעזרת גורם האינטגרציה ye ( + ) sin yd+ cos ydy= הראה שהמשוואה אינה מדוייקת ופתור אותה בעזרת גורם (4 אינטגרציה. e. ( ) ( ) + y + d+ y dy= 5) פתור את המשוואה. ( ) y d+ ydy= 6) פתור את המשוואה ( ) ( ) y + y d+ y dy= 7) פתור את המשוואה. ( ) y y d+ dy= 8) פתור את המשוואה. ( ) ( ) y y d+ + y dy= 9) פתור את המשוואה. y ' = 3y + y 3 4 ) פתור את המשוואה תשובות y () ln y = c (3) e sin y+ y cos = c (4) sin y e = c 3 4 (5) y + = c (6) ln( + y ) = c (7) + y+ = c 3 y 3 3 y (8) = c (9) ln + y= c () + = y y y 3 3

11 פרק.6 משוואה לינארית ) הגדר משוואה לינארית מסדר ראשון והסבר כיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: dy y 4 d + = 3 y ' = y+ + 3 ( (3 ( ) y ' = y+ ( ) 3 (4 y ' + ( 3 ) y= 3 3 y() = ; dy + y= + t dt dy y cot 5e d + = cos y ' y cot = (5 (6 (7 (8 z( π ) = ; z ' + z= cos (9 תשובות y= + C e y= + + C y= + C () (3) 3 ln (4) ( ) t cos (5) y= + C e (6) y= t+ e (7) y= 5e C sin + sin (8) y= sin [ cot + C] (9) z=

12 פרק.7 משוואת ברנולי ) הגדר את משוואת ברנולי והסבר כיצד ניתן לפתור אותה. פתור את המשוואות הבאות: 3 y ' + y y = ( ( + ) y ' y y = dy y y d = / y() =.5 ; y ' + 5 y= y 4 3 z ' cot z= z sin 3 (3 (4 (5 (6 תשובות C e e 5e () y=± (3) y= (4) y= + C (5) y= c 5 sin (6) z=± cos + C

13 פרק.8 משוואת ריקטי ) הגדר את משוואת ריקטי והסבר כיצד ניתן לפתור אותה. פתור את המשוואות הבאות: 5 y ' = e + ( + e ) y+ y y ' = ( + + ) (+ ) y y ( (3 y ' = + y+ y (4 y ' = + + cos (+ 4 cos ) y+ y cos (5 תשובות e () y( ) = + (3) y( ) =.5e + + Ce + Ce (4) y( ) = + (5) y( ) = + + C cos sin + Ce 3.5

14 3 פרק.9 משוואות מסדר ראשון וממעלה גבוהה dy. p= y ' = d הערה בתת-פרק זה מסמנים ) הגדר משוואה מסדר ראשון וממעלה גבוהה והסבר כיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: 4 p 4 p y y = ( p + yp 6y = (3 yp y y p y + ( + + ) + + = (4 y= p+ p 4 (5 p yp + 4 = (6 6 p y + 3p y= (7 תשובות () ( y c ) ln y + ln c= (3) (ln y ln c ) (ln y + 3ln c ) = c y y+ + c = > y=± c + c (4) (.5 ) ( ), (5) c c (6) y= c + (7) 6 y 3 y + = c y y

15 4 פרק. משוואה חסרה מסדר שני (הורדת סדר המשוואה) ) הגדר משוואה חסרה מדר שני והסבר כיצד ניתן לפתור אותה. פתור את המשוואות הבאות: y '' + y ' = y ''tan = y ' y ' y '' ( y ') + = y '' ln = y ' y '' = e + y ( y ) yy '' + ' = ( y ) y '' y ' = 3 y '' + y ' = ' ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 תשובות () y= + C ln + C (3) y= + C cos + C 3/ (4) y=± ( C+ ) + C ; y=± + C3 3C (5) y= C( ln ) + C ; y= C3 (6) y= e ( ) + C + C y c ( + k) (7) = c+ k ; y= c (8) y= + (9) cot y= ( c+ k) ; y= c c 4

16 5 פרק. משוואות מסדר שני, לינאריות, הומוגניות עם מקדמים קבועים ) הגדר משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים והסבר כיצד פותרים אותה. פתור את המשוואות הבאות: y '' y= y '' 4 y ' = y '' 8 y ' + 7 y= z() =, z '() = ; 4 z '' + z ' 5z= y '' y ' + y= ( t) = t t y '' + 4y= y '' + y= y() =, y '() = ; y '' y ' + y= 5 y '' + 8 y ' + 4y= ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 ( ( תשובות () y= c e + c e (3) y= c + c e (4) y= c e + c e (5) z= e 4 7 [ ] (6) y= c e + c e (7) ( t) = c e + c te (8) y= e c cos+ c sin t / t / 5 4 /5 (9) c cos + c sin () y= e sin 3 () y= e c cos + c sin 5 5

17 6 פרק.3 משוואה לא הומוגנית, לינארית, מסדר שני עם מקדמים קבועים השוואת מקדמים הסבר והדגם כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים בשיטת השוואת המקדמים. ( פתור את המשוואות הבאות: y '' + 5 y ' + 6y = + 6 y() =, y '() = 7 ; y '' y ' + y = e d y y '' y ' y= 4sin y '' y= e y '' y= 3e cos y '' + 3 y ' = 9 dy 3 + y= + e + e + 4e d d 3 z '' + z = sin y '' 3 y ' + y= e y '' y ' = 6 t '' + 5 ' + 6= e + e t y '' + y ' + 5y= e sin ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 ( ( ( (3 תשובות () y= c e + c e + + (3) y= e + 4e + e 3 (4) (6) 3 y= ce + ce + sin cos (5) y= ce + ce + ( ) e y= ce + ce + e cos + e sin (7) c + ce (8) y= ce + ce e 3e + e (9) z= c cos + c sin cos () y= c e + c e e () 3 3 y= c e + c e t 3t t t () = ce + ce + e + te (3) y= e sin

18 7 פרק.4 משוואה לא הומוגנית, לינארית, מסדר שני עם מקדמים קבועים וריאציית פרמטרים הסבר כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים בשיטת וריאצית הפרמטרים. ( פתור את המשוואות הבאות: y '' + y= sin y '' + 4 y ' + 4y= e ln y '' + y ' + y= 3e + e y() =, y '() = ; y '' y ' + y= y '' 3 y ' + y= + e y '' + 4y= sec ( (3 (4 (5 (6 (7 תשובות () y= c cos + c sin cos + sin ln sin (3) y= ce + ce e ln e ln + [ ] 5 3 6( + ) 6( + ) 3/ (4) y= ce + ce e + e ( + ) 5 3 (5) y= e e + e ln ( > ) = + + ( + ) + ln( + e ) ( + e ) (6) y c e c e e ln e e (7) y= c cos+ c sin + cosln cos + sin 4

19 8 פרק.5 משוואה לא הומוגנית, לינארית, מסדר שני עם מקדמים קבועים שיטה אופרטוריות הסבר כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים בשיטה האופרטורית. ( פתור את המשוואות הבאות: ( ) 4 D D y= e + e + 4 ( ) D D+ y= e + e ( ) 4 D + D y= e + e + 4 ( + 4) = sin 5 D y ( 4) = sin cos cos D y ( + ) = cos 3sin D D y ( + 3) = cos cos D D y ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 ( ad + bd+ c) y= Q( ) ay '' + by ' + cy= Q( ) הערת סימון תשובות 4 () y= ce + ce + e 5e 5.5 (3) y= ce + ce + e + e 9 (4) y= ce + ce 4e + e + 7 (5) y= c cos + c sin sin 5 7 (6) y= ce + ce sin 4 (7) y= ce + ce + sin 8 3 (8) y= ce + ce + sin cos + sin 3 cos

20 9 פרק 3. משוואות לינאריות, הומוגניות עם מקדמים קבועים הגדר משוואה לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים והסבר כיצד פותרים אותה. ) הקושי העיקרי בפתרון משוואה לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים הוא בפתרון המשוואה האופיינית. צטט מספר משפטים מתחום האלגברה שבעזרתם נוכל לפתור את המשוואה האופיינית ביתר קלות. פתור את המשוואות הבאות: ( y ''' y '' 3 y ' = (3 (4) y y y y y + 3 ''' 5 '' 9 ' + 3 = (4 y ''' y '' y ' + y= (5 (4) y y y 5 '' + 4 = (6 y d 3 d dy 3 d d d (4) y= y= y (4) + y= (7 (8 (9 (6) y y '' = ( ) D + 3D + D D 3D y= (8) (4) y y y = ( ( ( z ''' 6 z '' + z ' 8z= (3 y (4) 4y= (4 (6) (4) '' = (5 y() = 3, y '() = 4, y ''() = ; y ''' y '' + y ' y = (6. y() =, y '() = 5, y ''() = 9, y '''() = 47; y '''' 3 y ''' + 6 y '' y ' + 8y= (7 8) נתונה מד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים מסדר 6 אשר אחד הפתרונות שלה הוא. א. מצא את הפתרון הכללי של המשוואה ב. מצא את המד"ר. e cos

21 תשובות: (3) y= c + c e + c e (4) y= c e + c e + c e + c e (5) y= c e + c e + c e (6) y= c e + c e + c e + c e [ ] [ ] (7) y= c e + c e + e c cos + c sin (8) y= c e + e c cos + c sin (9) y= e c cos + c sin + e c3 cos + c4 sin () y= c + c + c e + c e + cos + sin () 3 4 y= c e + c e + c e + c e + c e [ ] [ ] [ ] [ ] () y= e c cos + c sin + e c cos + c sin + e c cos + c sin + e c cos + c sin (3) y= ce + ce + c3 e (4) y= ce + ce + c3 cos + c4 sin (5) y= c e + c e + c e + c e + c e + c e (6) = + cos + 3sin (7) = + 3cos + 4sin y e y e e [ ] [ ] [ ] (8) (a) y= e c cos+ c sin + e c cos+ c sin + e c cos+ c sin (b) y '''''' 6 y ''''' + 7 y '''' 68 y ''' + 35 y '' 5 y ' + 5y=

22 פרק 3. משוואה לא הומוגנית, לינארית, עם מקדמים קבועים השוואת מקדמים ) הסבר כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים בשיטת השוואת המקדמים. פתור את המשוואות הבאות: y ''' y '' 3 y ' = sin 4cos (4) y + 3 y ''' 5 y '' 9 y ' + 3y= 8e y y y y 3 ''' '' ' + = y ''' 3 y ' + y= e y ''' y '' + y ' y = sin cos y() =, y '() =, y ''() = ; y ''' y ' = 4e + 3e (4) y + y '' = 3 + 4sin cos ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 תשובות: () y= c + c e + c e + sin (3) y= c e + c e + c e + c e + e (4) 3 y= ce + ce + c3e (5) y= ce + ce + c3e + e 6 (6) y= c e + c cos + c sin + (cos sin ) (7) y= e + e + e 4 4 (8) y= c + c+ c3 cos + c4 sin sin + cos 4 3

23 פרק 3.3 משוואה לא הומוגנית, לינארית, עם מקדמים קבועים וריאציית פרמטרים ) הסבר כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים בשיטת וריאצית הפרמטרים. פתור את המשוואות הבאות: תשובות: y ''' + y ' = cos e y ''' 3 y '' + y ' = + e e y ''' 3 y '' + 3 y ' y= ( (3 (4 () y= c + c cos + c3 sin + ln tan + cos + sin ln cos cos ( ( )) ( ) ( ) ( ) = y= c e + c e + c e e + e 4 (3) y c ce c3e e ln e e ln e e ln e (4) 3 ln

24 3 פרק 3.4 משוואה לא הומוגנית, לינארית, עם מקדמים קבועים שיטות קצרות/אופרטוריות ) הסבר כיצד פותרים משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים בשיטה האופרטורית. פתור את המשוואות הבאות: ( ) D D 3D y= 4e e 3 (4) 4 y y y y y e e + 3 ''' 5 '' 9 ' + 3 = + ( ) D 6D + 3D D+ 4 y = e + 4e 4 3 ( ) D 8D + D 8D + 7D 4 y = 4e + 8e ( ) D + D + D y = 4 sin(+ ) + cos( + ) ( ) D 8D + D 8D + 7D 4 y = 5sin 4 3 ( D 3D + 6D D+ 8) y = 3 sin cos + 48 cos 6 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 תשובות: 3 () y= ce + ce + c3e e + e (3) y= ce + ce + c3e + c4e + e e (4) y= c e + c e + c e + c e + 5 e + e (5) (6) y= ce + ce + c3 e + c4 e + c5e e + e 3 3 y= c + c + c e + c e + c e + c e sin(+ ) cos( + ) (7) y= ce + ce + c3 e + c4 e + c5e + [ 4sin cos ] 5 5sin + 5cos 3cos 8sin (8) y= ce + ce + c3 cos + c4 sin

25 4 פרק 4. ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, לכסון מטריצות עבור כל אחת מהמטריצות הבאות מצא ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. 3 A= 3 ( 6 A= ( 4 A= 3 (4 4 A= (3 A= (6 4 A= (5 A= (8 3 A= (7 4 תשובות: () =, =, =, v = (,,), v = (,,), v = (,,) = = = () = 6, =, = 4, v = (,,), v (,,), v = (,,) = 6 = = 4 (3) =, = 3, = 3, v = (,,), v = (,,) = (,,) () () 3 = = 3 = 3 (4) =, = 3, =, v= = (, 4,), v= 3 = (,,), v= = (,,) (5) =, = 4, =, v = (,,), v = (,,), v = (,,) = = 4 = (6) =, = 3 v = (, ), v = (, ) = = 3 (7) = ± i, v = ( + i,), v = ( i,), = + i = i (8) =, = + 3 i, = 3 i, v = (,,) v = = ( 3 i,+ 3 i, ), v = (+ 3 i, 3 i, ) = + 3i = 3i

26 פרק 4. מערכת מסדר ראשון, הומוגנית, במקדמים קבועים שיטת הליכסון 5 הסבר כיצד פותרים מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, הומוגניות, במקדמים קבועים בשיטת הליכסון. ( '( t) = ( t) ) פתור. () = 5 3, ' 3 ' = 3 ' ) פתור. z( t) = y( t) 3 = (). הוכח כי '( t) 4 ( t) y '( t) y( t) = z '( t) z( t) נתון כך ש- (4 ' = y+ 4z y ' = 3+ y z z ' = + y z 5) פתור '( t) = ( t) 6) פתור y( t) y( t). lim + lim t ( t) t ( t) (). חשב: = 6 ' = 4 נתון כך ש- (7 y ' + 5y y ' = 3 y ' 4 y ' 5y = 8) פתור A= r r '( t) = A פתור t) ( כאשר (9 הערה: בשאלות 8,9 יש להגיע מהפתרון המרוכב לפתרון ממשי.

27 6 תשובות: t t t 6t t 4t () ( t) = ce + ce + c3e (3) ( t) = e + e + 3e t 3t t (5) ( t) = ce 4 + ce + c3e t 4t t (6) ( t) = ce ce c3e + + t t (7) (8) ( t) = ce cos t sin t + ce cos t + sin t 3 3 t t t (9) ( t) = ce + ce cos 3t sin 3t 3 + ce sin 3t + cos 3t 3

28 7 פרק 4.3 מערכת מסדר ראשון, לא הומוגנית, במקדמים קבועים וריאציית הפרמטרים הסבר כיצד פותרים מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, לא הומוגניות, במקדמים קבועים בשיטת וריאציית הפרמטרים. ( פתור את מערכות המשוואות הבאות: ' = + + e ' = e t t ( ) a קבוע.( ' = + + e ' = 4 + e at at (3 4 8t '( t) = 3 ( t) 3 + (4 ' = + y+ z+ e y ' = + y+ z z ' = + y+ z+ e t t (5 y ''' + y '' y = t במערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. 6) המר את המשוואה

29 8 תשובות: t 3 e t t () ( t) = ce + ce t e te e t t 3t (3) ( t) = ce + ce + ( a= ), t at 3 e t t ( ) = + + ( ) at t c e c e a a e + t 3t t (4) ( t) = ce 4 + ce + c3e + (3t + ) 4 (3t + ) + ( 3t + ) t 4t t t t (5) ( t) = ce + ce + c3e + te + e 3 9 ' (6) ' = + 3 ' 3 t

30 9 פרק 4.4 מערכת לא הומוגנית במקדמים קבועים שיטת החילוץ פתור את מערכות המשוואות הבאות: 3 y '' + z ' = e y ' z '' + 3z = ( בהינתן = '() y z() = y() = y '' + z ' = e y + z = sin ( t ' = 4 y+ e y ' = 6 3y+ e t (3 ' = + + sin t ' = + + cos t (4 z '' 3 z ' + z+ y ' y = z ' z + y ' + y = (5 תשובות: () z= c+ ce + c3e + e +, y= e ce + c3e + k+ l 4 3 () z= + e e cos + sin, y= e + e + cos + sin t t t 3 t t 3 t 5 t (3) = c + ce + 4 te e, y= c + ce + 6te e e t t (4) = c + ce cos t sin t, = c + ce + sin t 4 4 (5) z= c + ce + c3e, y= c + ce

31 . = 3 פרק 5. פתרון מד"ר בעזרת טורים סביב נקודה רגולרית y '' + p( ) y ' + q( ) y= נתונה מד"ר מהתבנית ( )r שעבורה הנקודה = היא נקודה רגולרית. הסבר כיצד פותרים את המד"ר על ידי פיתוח הפתרון לטור חזקות סביב הנקודה. = בתשובתך התייחס גם למקרה בו הנקודה היא רגולרית כלשהי,,p פולינומים או מנה של פולינומים ). ) הנח כי q ( פתור את המשוואות הבאות (-8) על ידי פיתוח הפתרון לטור חזקות סביב =. במיוחד, רשום נוסחה רקורסיבית (נוסחת נסיגה) עבור האיבר הכללי וציין את ארבעת האיברים הראשונים בפיתוח של הטור. (הערת ניסוח: טור חזקות סביב = שקול לטור טיילור סביב = ושקול לטור מקלורן). y y y y y () = 3, '() = ; '' ' + 4 = + + (השתמש בפתרון בסימן. ). y() =, y '() = ; y '' y= ( ) y '' y ' + y= ( + 4) y '' + y= + y '' + ( ) y ' + ( 3) y= y() =, y '() = ; y '' + ty = e + t y '' + ( t ) y ' + (t 3) y= ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 y() =, y '() = ; y '' + ( ) y= פתור את המשוואה e על ידי פיתוח הפתרון לטור חזקות סביב =. (9. y( ) =, y '( ) = ; y '' + y ' + ( ) y= ) פתור את המשואה רמז: תנאי ההתחלה מרמז על כך שכדאי לפתח את הפתרון לטור חזקות סביב =.

32 3 תשובות: n n () an = an 3 ( n 5), y= K+ an K ( n ) n n (3) an = an 3 ( n 3), y= K+ an + K ( n ) n 6 6 n n (4) an = an ( n ), y = a + a + a + a + K + an + K n 3 ( n )( n 3) (5) an = an 3 an ( n 4) 4( n ) n 4( n ) n a 3 4 y= a + a+ + + a + K+ an n 5 (6) an = an an an 3 ( n 3) n n( n ) n( n ) n y= a + a+ a + a + a + a + a + K+ an + K 6 6 e a n( n )( n )! n( n ) n 3 (7) an = ( n 3) e e 3 e 4 4 n y( t) = + t+ t + t + t + K+ ant + K 6 4 n 5 (8) an = an an an 3 ( n 3) n n( n ) n( n ) n y= a + at + a + at + a + at + at + K+ ant + K 6 6 e a ( n )! a = n n! e e 3 e 4 4 n y= + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + K+ an( ) + K 6 4 n 5 () an = an an an 3 ( n 3) n n( n ) n( n ) n 3 (9) n ( 3) y ( ) ( ) ( ) ( ) = K n

33 3 פרק 5. פתרון מד"ר בעזרת טורים סביב נקודה סינגולרית-רגולרית. = y '' + p( ) y ' + q( ) y= נתונה מד"ר מהתבנית שעבורה הנקודה = היא נקודה סינגולרית-רגולרית. הסבר כיצד פותרים את המד"ר על ידי פיתוח הפתרון לטור חזקות סביב הנקודה,p פולינומים או מנה של פולינומים ). ) הנח כי q ( עבור כל אחת מהמשוואות הבאות הראה שהנקודה = היא נקודה סינגולרית רגולרית ופתור את המשוואה על יד פיתוח הפתרון לטור חזקות בסביבת הנקודה. 3 y '' + y ' + y= y '' + 7 ( + ) y ' 3y= y '' y ' + ( 5) y = 3 y '' y ' + y = y y y '' + ' + = y y y '' ' + = y y y '' + ( + ) ' = y y y '' + ( ) ' + = ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 הערה: בשאלות -5 הפתרונות של המשוואה האינדיציאלית שונים והפרשם אינו מספר שלם. בשאלות 6,7 הפתרונות שווים ובשאלות 8,9 הפתרונות שונים והפרשם מספר שלם.

34 33 תשובות: /3 4 4 () y= k + + K+ k + + K / (3) y= k + + K+ k (4) y= k K+ k + + K (5) y= k + k / (6) y= k + + K + k ln K+ + + K 4 4 k k (7) y( ) = k+ kln (8) y( ) = e e (9) y= a ln + + K+ a + K 4

35 34 פרק 6. התמרת/טרנספורם לפלס ) הגדר והדגם את המושג התמרת לפלס. חשב את התמרות לפלס הבאות בעזרת טבלת התמרות לפלס: 4t t 4 L( cosh 4 t) (5 L( e + e ) (4 L t + t + (3 L( t + 4t ) ( π ( ) ( ) ( ) ( ) L sin t (9 L sin t cos 3 t (8 L sin t cos t (7 L sinh t (6 t 4 t ( ) ( ) ( ) ( ) L e sin 4 t (3 L t e ( L t sin 4 t ( L cos 4 t ( t < t. g( t) = < t 4) מצא טרנספורם לפלס של הפונקציה t < t. g( t) = t < t 5) מצא טרנספורם לפלס של הפונקציה 6) מצא טרנספורם לפלס של הפונקציה המחזורית הבאה: 3 4 7) מצא טרנספורם לפלס של הפונקציה המחזורית הבאה: 3 4 -

36 35 8) מצא טרנספורם לפלס של הפונקציה המחזורית הבאה: 3 4. u( t 9) הגדר ושרטט את פונקציית המדרגה (t ) uואת ההזזה שלה (k t, f ( t) = u( t ) u( כאשר t) u( פונקציית המדרגה. ) שרטט את הפונקציה (3 t 4 f ( t) = t > 4 רשום את הפונקציה בעזרת פונקציית המדרגה. ( u( t ) רשום את הנוסחה להתמרת לפלס של פונקציית המדרגה (t, )u של הפונקציה (k. f ( t k) u( t ושל הפונקציה (k t< 4. g( t) = ( t 4) t 4 t< 4. g( t) = t t 4 חשב את התמרת לפלס של הפונקציה הבאה חשב את התמרת לפלס של הפונקציה הבאה (3 (4 תשובות: s s s s s s s+ 4 s s 4 s s (6) (7) (8) (9) / () (3) (4) (5) 3 5 s s s 6 s 5 s s s 4 () () () (3) s s s s s s 8(3s 6) ( + 6) ( ) ( ) + 6 e e + e e e se (5) (6) (7) (8) s s s e s e s ( e ) s s s s s s s ( ) ( + ) 4s 4s t 4 e e (8s 4s ) + + () f ( t) = = u( t 4) (3) (4) 3 3 t > 4 s s (4) e s s

37 36 פרק 6. התמרת לפלס ההפוכה ומשפט הקונוולוציה חשב את התמרת לפלס ההפוכה: L (3 L ( ( 4 L s s s s L (6 L (5 L (4 ( s ) 4 + s + 4 s + 4 s s L (9 L (8 L (7 ( s + 4) ( s + 4) ( s ) s L ( L ( L s + 5s s 4 s ( 6s + 4s 6 s + s s L (5 L (4 L (3 3 3 s 7s 6 s s s + 5s+ 6 5 s 8s s L (8 L (7 L (6 3 4 s s ( s ) ( s ) + + s 3s s+ 36 L ( L ( L s + s+ 3 ( s ) ( s 4s+ 4) 3 s + 6s + 9s (9 s + s+ s + s L (4 L (3 L ( ( s + )( s+ ) ( s + ) ( s 3) s + s+ s 3s 3 4e 4e 5s 3 L + (7 L (6 L (5 s s s ( s )( s + 4) ( s + )( s + 4) L s 4s s e e e (9 L + (8 ( s )( s ) s+ s + בשאלה 7 הוסף סעיף ב המבקש לשרטט את הפתרון.

38 37. ( ) f t L F s ( ) = ( ) f ( ) חשב את () f ו- כאשר e F( s) = s + s 3) נתון פתור בשתי דרכים שונות. f ( ) = lim f ( t), f () = lim f ( t) t t הערה: 3) הסבר והדגם את משפט הקונוולוציה. השתמש במשפט הקונוולוציה כדי לחשב: L (33 L (3 s ( s + 4) s ( s 4) 3 L (35 L (34 s( s + ) s( s 4) תשובות: 3 t t t t () () (3) e (4) sin t (5) cos t (6) e sin t (7) e cos t+ sin t 3! 3 t t 5t (8) t sin t (9) 3( sin t t cos t) () () e e () e 4 π 4 4 3t t t t t t 3t 3t (3) 3e e (4) + e e (5) e + e + 3 e (6) e + 3 t t t e e e t t t t 3t 3t t t t t (7) e + 4 te e (8) 6+ 5t + 6 e (9) 4 4e 3 te () e + te e + te e t e t t+ e t+ e t t.75 t 5 (6) e cost sin t+ 5t sin t+ (sin t t cos t) (7) 3 4 u( t ) ( t ) + 4 u( t 3) ( t 3) 4 t.5t 3t t () sin () sin.75 (3) sin (4) cos (5) sin sin ( ) ( t 4) t ( t ) (8) u( t 4) e + u( t+ )sin( t+ ) (9) u( t ) e e (3) f () = f ( ) = t 4t (3) ( t + t+ ) + e (33).5t sin t (34) e ( t ) + (35) ( cost+ t sin t)

39 38 פרק 6.3 פתרון מד"ר בעזרת התמרת לפלס ) א. הסבר והדגם כיצד פותרים משוואה לינארית, מסדר שני, לא הומוגנית במקדמים קבועים על ידי התמרת לפלס. ב. הסבר כיצד פועלים אם המד"ר מסדר כלשהו. פתור את המשוואות הבאות בעזרת התמרת לפלס y() = ; y ' + 4 y = e y() =, y '() = 4 ; y '' + 4 y ' + 4y = e y() =, y '() = 4 ; y '' 4 y ' = 6 y() = y '() = ; y '' + 4 y ' = 8t+ t y() = y '() = ; 4 y '' 4 y ' = te + e 4 y() = y '() = ; y '' 3 y ' + y= u( t 4) 3t t t ( (3 (4 (5 (6 (7 t< u( t) = t כאשר היא פונקציית המדרגה. u( t 4) = u ( t) 4 הערה: יש המסמנים y() = y '() = ; y '' + y ' = f ( t) (8 t< f ( t) כאשר = t y() = y '() = ; y '' + 5 y ' + 6 y= h( t) (9. < t< h( t) = t כאשר y() = y '() =, y ''() = 3 ; y ''' + 4 y '' + 5 y ' + y= cos t (

40 39 תשובות: () y( t) = e e (3) y( t) = e (5t + t ) (4) y( t) = 4t (5) y( t) = t 3t 4t t (6) y( t) = e ( t + ) (7) y( t) = u( t 4).5 e + e 8 ( t ) ( ) ( ) t t 4 ( t 4) (8) y( t) = u( t ) + ( t ) + e (9) y( t) = 3e e u( t ) 3e e t t t () y( t) = cost+ sint+ e te e t 3t ( t ) 3( t )

41 4 פרק 7 שימושים של משוואות דיפרנציאליות. y על עקום מסוים ידוע שהשיפוע של המשיק בכל נקודה (y (, מצא את משוואת העקום. על העקום שווה ל- ( (, y) נתון עקום, ברביע הראשון, העובר בנקודה (,3) ושיפוע המשיק אליו בנקודה שווה ל- ( +. מצא את משוואת העקום. y הוא מצא את משוואת העקום העובר דרך הנקודה (,) ושבכל נקודה (,y) שעליו שיפוע הנורמל y. y מצא את משוואת העקום שהנורמל שלו בכל נקודה עובר בראשית. מצא את משוואת העקום ששיפוע המשיק לו בכל נקודה שווה למחצית שיפוע הקטע מהראשית לנקודה. נתון עקום, ברביע הראשון, העובר בנקודה (4,). נתון כי ההפרש בין שיפוע המשיק לגרף העקום בנקודה A(, y) לשיעור ה- y של הנקודה שעליו ובין שיפוע הישר המחבר את A. A עם ראשית הצירים שווה מצא את משוואת העקום המאונך לישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקום ודרך הנקודה (3,4), אם ידוע שהעקום עובר גם דרך הראשית. קטע הנורמל לעקום בנקודה מצא את משוואת עקום זה. (, y) שבין נקודה זו וציר נחצה ע"י ציר. y מצא את העקום העובר דרך הנקודה (,) כך שהמשולש המוגבל על ידי ציר, y המשיק לעקום בנקודה כלשהי שעליו M(,y) והקטע OM מהראשית O ל- M הוא משולש שווה שוקיים שבסיסו הקטע (N. MN היא הנקודה בה המשיק הנ"ל חותך את ציר ). y צייר ציור מתאים ברביע הראשון הממחיש את הבעייה. נתון עקום העובר בנקודה (,). בכל נקודה A שעל העקום שווה שיפוע העקום לשטחו של הטרפז ABCD הנראה בציור. מהי משוואת העקום. (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 (

42 4 א) מצא את משפחת העקומות האורתוגונליות למשפחות העקומות הבאות: ln + ln y= c ( y = c + y = c ב) ג) (,). שרטט. + y = 9 בפרט, מצא את העקומה האורתוגונלית לעקומה בנקודה ד) + y = c. מצא את משפחת העקומות היוצרות זווית של 45 מעלות עם משפחת המעגלים + y = c = ו משתנה (ראה ציור). שטח S מוגבל ע"י עקום ), y = y( ציר ה- a, ידוע כי השטח S פרופורציונלי לאורך הקשת בין הנקודות (a,y(a)) ו- (,y()). ( (3 מצא את משוואת העקום. =, שטח S מוגבל ע"י עקום ), y = y( ציר ה- ידוע כי = () y (ראה ציור). ו משתנה. (4 האם קיים עקום כזה ששטחו של Sשווה ל- (. )y

43 4 =, שטח S מוגבל ע"י עקום ), y = y( ציר ה- ידוע כי = () y (ראה ציור). ו משתנה. (5 האם קיים עקום כזה ששטחו של S שווה ל- (. )y נניח שכמות (t )y גדלה (דועכת) אקספוננציאלית (מעריכית), כלומר בכל רגע קצב הגידול y (הדעיכה) שלו פרופורציונלי לערכו. נניח שבזמן התחלתי מסוים =t הכמות היא ונניח שקבוע הפרופורציה הוא k מצא נוסחה עבור הכמות בכל זמן. t קצב הריבוי הטבעי העולמי הוא % בשנה. ידוע כי בשנת 98 היו בעולם 4 מיליארד איש. כמה אנשים היו בעולם בשנת? א. כמה אנשים היו בעולם בשנת 974? ב. באיזה שנה יהיו בעולם 5 מיליארד אנשים? ג. (6 (7 הנח שאוכלוסיית העולם גדלה מעריכית ) כלומר שבכל רגע קצב הגידול פרופורציוני לערכו). האוכלוסיה בעיר מסוימת גדלה מעריכית. בשנה מסוימת היו בעיר 4 אלף תושבים ואחרי 4 שנים היו 44 אלף תושבים. א. מצא את אחוז הגידול השנתי ב. מצא כעבור כמה שנים (החל מהשנה המסוימת) היו בעיר 55 אלף תושבים. אדם הפקיד סכום כסף בבנק בריבית דריבית שנתית של 4%. כעבור 5 שנים הצטברו לאדם 5 ש"ח. א. כמה כסף הפקיד האדם. ב. כעבור כמה שנים יהיו לאדם 7 ש"ח? (8 (9 ( מספר חיות הבר בעין גדי גדל בצורה מעריכית. בספירה ראשונה היו חיות. בספירה שנייה שנעשתה כעבור חודשים היו 4 חיות בר. מצא אחרי כמה חודשים החל מהספירה הראשונה היו בשמורה חיות בר? ליסוד הרדיואקטיבי פחמן 4 יש זמן מחצית חיים של 575 שנים. ידוע כי קצב ההתפרקות הרגעי של היסוד פרופורציוני לכמותו הנמצאת באותו הרגע. א. כמה גרמים של יסוד זה ישרדו אחרי שנים מכמות התחתלתית של גרם? ב. כעבור כמה שנים תישאר כמות של גרם מכמות התחלתית של גרם? (

44 43 בבריכה אחת יש 4 טון דגים וכמות הדגים שבה גדלה ב- 4% כל שבוע. בבריכה שנייה יש טון דגים וכמות הדגים שבה גדלה ב- % כל שבוע. א. בעוד כמה שבועות תהיינה כמויות הדגים בשתי הבריכות שוות? ב. בעוד כמה שבועות תהיה כמות הדגים שבבריכה השנייה גדולה פי מכמות הדגים שבבריכה הראשונה? בזמן = t יש במיכל ק"ג מלח מומסים ב- 5 ליטר מים. נניח שמי מלח בריכוז של. ק"ג מלח לליטר מים מוזרמים לתוך המיכל, בקצב של 5 ליטר לדקה, ושהתמיסה המעורבת מנוקזת החוצה מן המיכל באותו קצב. חשב את כמות המלח במיכל לאחר דקות. סירה נגררת בקצב של קמ"ש. ברגע =t כשכבל הגרירה מנותק, מתחיל אדם, הנמצא בסירה לחתור בכיוון התנועה ומפעיל כח של ק"ג על הסירה. אם משקל החותר והסירה הוא 48 ק"ג וההתנגדות (ק"ג) שווה ל-.75v באשר v נמדדת ב- מטר/שעה, מצא את מהירות הסירה כעבור חצי דקה. ( (3 (4 חוק הקירור של ניוטון קובע כי הקצב בו גוף מתקרר פרופורציונאלי להפרש בין טמפרטורת הגוף וטמפרטורת הסביבה. חומר בעל טמפרטורה של 5 מעלות נמצא בכלי בעל טמפרטורת אויר קבועה השווה ל- 3 מעלות. החומר מתקרר לפי חוק הקירור של ניוטון ולאחר כחצי שעה יורדת טמפרטורת החומר ל- 7 מעלות. מהי טמפרטורת החומר לאחר כשעה? א. כעבור כמה זמן תהיה טמפרטורת החומר 4 מעלות? ב. נתון מיכל בצורת גליל שרדיוס בסיסו ס"מ וגובהו 4 ס"מ. הגליל מלא במים. ברגע מסוים פותחים ברז בתחתית הגליל והמים זורמים החוצה בקצב שפרופורציונאלי לשורש מגובהם. נסמן ב- (t )h את גובה פני המים וב- k את קבוע הפרופורציה. (5 (6 א. ב. רשום מד"ר עבור גובה פני המים, (t. )h מהו תנאי ההתחלה של הבעייה? ידוע כי. k= π פתור את המד"ר. תוך כמה זמן תישאר בגליל מחצית מכמות המים ההתחלתית? (7 כדור שלג שרדיוסו ההתחלתי 4 ס"מ נמס כך שהקצב שבו רדיוסו קטן פרופורציונאלי לשטח פניו.לאחר כחצי שעה רדיוס הכדור שווה ל- 3 ס"מ. א. ב. רשום נוסחה שתתאר את רדיוס הכדור בזמן. t כעבור כמה זמן יהיה נפח כדור השלג /64 מנפחו ההתחלתי? 8) מבלון מלא אויר שרדיוסו R מתחיל לצאת אוויר. קצב יציאת האוויר הוא (t 3 V ( כאשר (t V ( הוא נפח הבלון בזמן. t הוכח כי כעבור ln שניות ייקטן נפח הבלון לכדי שמינית מנפחו התחלתי?

45 44 תשובות: () + y = k () y 7 + = (3) 3y = (4) 3 + y = k (5) y = a (6) y = e (7) y= 4± 5 ( 3) (8) (א) () (ד) (3) (א) (7) + y = k (9) (ב) y = k y m c y = ( ) > () y= k cosh ± + C k. 3 4 e 7.8 mil (ב) = y+ y + () (ג) y = k / 4 y= e y= a, y= y y ln + ln + = arctan + c t) (6) y( כן (5) לא (4) = ye. ( 6) 4 e 4.5 mil 6 שנים (ג) 3.4 שנים (ב) ש"ח (א) (9) 5.9 שנים (ב) % (א) (8) 988 שנים (ב) גרם (א) () 4.77 חודשים ().94 דקות (ב) 6.75 ק"ג (א) (3) 4.6 שנים (ב) 3.4 שנים (א) () 43 3 (א) (5) מטר לשנייה (ג) 7 שניות (ב) 4.9 מטר לשנייה (א) (4) + (ב) t) h() = 4, πh'( t) = k h( (א) (6).3 שעות (ב) (א) (7) R( t) = t שעות (ב) kt

46 45 נוסחאות נגזרות. y= a y' =. y= f n y ' = n f n f ' 3. y= e f y' = e f f ' 4. y= a f y ' = a f f ' ln a 5. y= ln f y' = f ' f 6. y= sin f y' = cos f f ' 7. y= cos f y' = sin f f ' 8. y= tan f y' = f ' cos f 9. y= cot f y' = f ' sin f. y= arcsin f y ' = f ' f. y= ar cos f y ' = f ' f. y= arctan f y ' = f ' + f 3. y= ar cot f y ' = f ' + f 4. y= sinh f y ' = cosh f f ' 5. y= cosh f y ' = sinh f f ' 6. y= tanh f y ' = f ' cosh f 7. y= coth f y ' = f ' sinh f g ( ) g( ) 8. y= f ( ) y ' = f ( ) ( g( ) ln( f ( ))'

47 46 נוסחאות אינטגרלים ad= a+ c n+ n+ n n ( a+ b) d= + c n ( a+ b) d= + c n n+ a n+ d= ln + c d ln a b c = + + a+ b a a+ b a+ b e d= e + c e d= e + c a k a+ b k d= + c a+ b k ln k k d= + c a ln k cosd= sin + c cos( a+ b) d= sin( a+ b) + c a sin d= cos+ c sin( a+ b) d= cos( a+ b) + c a tan d= ln cos + c tan( a+ b) d= ln cos( a+ b) + c a cot d= ln sin + c cot( a+ b) d= ln sin( a+ b) + c a d= tan + c d tan( a b) c cos = + + cos ( a+ b) a d= cot + c d= cot( a+ b ) + c sin sin ( a+ b) a d= ln + tan + c d ln cot c cos cos = + sin sin a d= arctan c d ln c + = + + a a a a a + a d= arcsin + c a a d= ln + ± a + c ± a f ' = + f = + d ln f c f f ' d f c f f e f ' d= e + c cos f f ' d= sin( f ) + c f ' sin f f ' d= cos( f ) + c d= f + c f 3 f f ' d= f + c u v' d= u v u ' vd 3

48 sin α+ cos α = 47 נוסחאות טריגו sinα tanα = cosα cosα cotα = sinα sin α = sinα cosα α α α α α + tan α = cos α + cot α = sin α sin α = ( cos α) cos α = (+ cos α) sinα cosβ = ( sin( a+ β ) + sin( α β )) sinα sinβ = ( cos( a β ) cos( α+ β )) cosα cosβ = ( cos( a+ β ) + cos( α β) ) cos = cos sin = sin = cos = α+ π k sin = sinα = ( π α) + π k = α+ π k cos = cosα = α + π k tan = tanα = α+ πk cot = cotα = α+ π k sin = = π k π cos = = + π k

49 48 נוסחאות אלגברה ( a+ b) = a + ab+ b a + b = ( a+ b) ab ( a b) = a ab+ b a b = ( a b)( a+ b) + = = ( a b) = a 3a b+ 3ab b a b = ( a b)( a + b + ab) ( a+ b) = a + 4a b+ 6a b + 4ab + b 4 4 a + b = ( a + b ) a b ( a b) = a 4a b+ 6a b + 4ab + b a b = ( a b )( a + b ) ( a b) a 3a b 3 ab b a b ( a b)( a b ab) m n m+ n a a = a a>, b> m a m n ln a+ ln b= ln ab = a n a a ln ln l m n a b= n mn ( a ) = a b ln=, ln e= n n n ( ab) = a b n n n ln e = n a a = n n b ln = n ln ( > ) b ln a = e = k ln k e = n a = n k ln a e = k m n m n a = a, a = a b bln a a = e e = b = ln b k ln = k = e a if a a = a = a if a a b < = a d b c a b = a b c d a a = b b a b c e f d f d e < a a< < a d e f = a b + c h i g i g h > a < a or > a g h i

50 49 נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות תחום התכנסות טור מקלורן e n 3 = = n!!! 3! n= < < n n sin = ( ) = < < (n+ )! 3! 5! 7! n= n 4 6 n cos = ( ) = < < ( n)!! 4! 6! n= n+ 3 4 n ln( + ) = ( ) = n+ 3 4 n= < arctan = n= n n ( ) = n n = = < < n= 3... m m( m )... ( m n+ ) n ( + ) = + n= n! m( m ) m( m )( m ) = ! 3! 3 m... ( m> ) < ( < m< ) < < ( m ) m,,,3,...

51 5 נוסחאות התמרת לפלס G(s) g(t) s s n! n s + t n t (for n =,, 3 ) t n n s ( n )! (for n =,, 3 ) s a ( s a) n ( n )! ( s a) n s s s s s + a a + a s a a a s ( s + a ) at e n t e ( n )! t e n at cos( at ) sin( at ) cosh( at ) sinh( at ) at t sin( a t) a s ( s + a ) (sin( a t ) + a t cos( a t )) a

52 5 a ( ) s+ b + a s+ b ( ) s+ b + a sa ( s + a ) s a ( s + a ) ( s a) ( s + a ) e e bt bt sin at cos at t sin at t cos at at te (sin( at ) at cos( at )) 3 a s 3/ π t / π s t s u( t ) e ks ks u ( t k ) e s F( s) u( t k) f ( t k) ( F s ) ( ) n ( ) ( ) n n t g( t ) δ t k ks e ( )

53 5 תכונות נוספות L[ ag( t) + bh( t)] = al[ g( t)] + bl[ h( t)] ( [ ] L ag s + bh s = al G s + bl H s ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( at at L F s = e L f s a L F s = e L f s+ a [ ( )] [ ( )], [ ( )] [ ( )] (3 [ ] L ay '( t) + by( t) = Y ( s)[ as+ b] y()[ a] (4 [ ] L ay t by t cy t Y s as bs c y ''( ) + '( ) + ( ) = ( )[ + + ] ()[ as+ b] y '()[ a] [ '''( ) ''( ) '( ) ( )] L ay t + by t + cy t + dy t = Y s as bs cs d y as bs c y as b y a 3 ( )[ ] ()[ + + ] '()[ + ] ''()[ ] [ ''''( ) '''( ) ''( ) '( ) ( )] L ay t + by t + cy t + dy t + ey t = Y s as bs cs ds e y as bs cs d ( )[ ] ()[ ] y '()[ as + bs+ c] y ''()[ as+ b] y '''()[ a] לדף התמרות לפלס מורחב