8. Introducere în metoda elementului finit

Transcript

1 Itroducere î metoda elemetului fiit 45 8 Itroducere î metoda elemetului fiit Formularea variaţioală a diferitelor probleme la limită împreuă cu ceriţele mai slabe de regularitate coduc î mod atural la metode aproximative de rezolvare umite de obicei metode directe Aplicarea acestor metode trasformă problema î găsirea puctelor staţioare ale uei fucţii de u umăr fiit de variabile reale Rezolvarea aproximativă a problemelor la limită petru ecuaţii difereţiale şi cu derivate parţiale s-a dezvoltat pe trei direcţii pricipale: a) metoda difereţelor fiite b) metoda elemetului fiit c) metoda elemetului de frotieră Î metoda difereţelor fiite sistemul de ecuaţii difereţiale sau cu derivate parţiale valabil petru orice puct al domeiului de aaliză se trasformă îtr-u sistem de ecuaţii valabile umai petru aumite pucte ale domeiului pucte ce defiesc reţeaua de discretizare a domeiului Dezavatajul pricipal al acestei metode îl costituie utilizarea uei reţele rectagulare de discretizare a domeiului de aaliză Deci folosirea ei pe domeii cu cotururi sau suprafeţe curbe itroduce o serie de dificultăţi şi de artificii de calcul Totodată apar umeroase probleme de stabilitate şi de covergeţă a soluţiilor fapt ce impue determiarea codiţiilor specifice de apariţie şi respectiv de evitare a lor petru fiecare clasă de probleme Î metoda elemetului fiit se utilizează ca puct de plecare u model itegral al feomeului studiat Acest model poate fi obţiut de exemplu cu ajutorul calculului variaţioal Această metodă se bazează pe aproximarea locală pe porţiui sau subdomeii Datorită folosirii uui model itegral ca bază de plecare şi a uor seturi de fucţii cotiue pe porţiui metoda elemetului fiit u mai este codiţioată de existeţa uei reţele rectagulare Cu ajutorul ei se pot discretiza practic corpuri geometrice oarecare Datorită performaţelor sale ridicate metoda elemetului fiit a deveit aproape o metodă stadard de aaliză şi proiectare î igieria costrucţiilor şi alte domeii Î acest capitol vom studia metoda elemetului fiit

2 46 Bazele Aalizei Numerice 8 Spaţii Hilbert Spaţiul euclidia R se distige pritre toate spaţiile de dimesiue fiită pri faptul că î el este defiit u produs scalar legat de ormă pritr-o relaţie simplă: pătratul ormei uui elemet este produsul scalar al acestui elemet cu el îsuşi De aceea este atural să se cosidere spaţii î care este defiit u produs scalar şi orma să fie defiită de produsul scalar ca mai sus Defiiţia Spaţiul vectorial real H se umeşte spaţiu prehilbertia dacă petru fiecare pereche de elemete x y di H este defiit u umăr real x y umit produs scalar al elemetului x cu elemetul y astfel îcât sut îdepliite următoarele codiţii: (i) x y = y x ( ) x y H (ii) (iii) α x + β y z = α x z + β y z ( ) x y z H α β R x x x x = x = θ H Di defiiţia produsului scalar rezultă imediat: a) x α y + β z = α x y + β x z ( ) x y z H α β R b) x θ H = θ H x = Ca şi î cazul spaţiilor euclidiee se poate demostra c) x y x x y y ( ) x y H (iegalitatea Cauchy- Buiakowski-Schwarz) Îtr-u spaţiu prehilbertia H se defieşte x = x x x H () Di (iii) şi () se obţie: d) x ( ) x H ; x = x = θ H e) αx = α x ( ) x H α R Totodat ă di c) rezultă f) x + y x + y ( ) x y H (iegalitatea triughiului) ormat Î cocluzie () defieşte o ormă pe H deci (H ) este u spaţiu Defiiţia U şir (x ) di H co verge la elemetul x di H şi vom ota x x coverge la deci dacă petru orice x x dacă şirul umeric ( ) ε> există ε N* astfel îcât x x < ε ( ) ε U şir (x ) di H

3 Itroducere î metoda elemetului fiit 47 se umeşte şir fudametal (Cauch dacă petru orice ε> există ε N* astfel ca x xm < ε ( ) m ε Evidet orice şir coverget este şir î geeral adevărată Cauchy afirmaţia reciprocă efiid Defiiţia 3 U spaţiu ormat î care orice şir Cauchy este coverget se umeşte complet (Baach) U spaţiu prehilbertia complet se umeşte spaţiu Hilbert (de la umele matematiciaului germa D Hilbert) Se poate arăta uşor că orice şir coverget este mărgiit Propoziţia următoare semalează proprietăţi simple specifice spaţiilor prehilbertiee Propoziţia Fie H u spaţiu prehilbertia (i) x + y + x y = ( x + y ) (idetitatea paralelogramului) (ii) Dacă x x şi y y atuci x y xy produsului scalar) Demostraţie (i) Di defiiţia ormei se obţie x + y = x + y x + y = x + x y + y (cotiuitatea x y = x y x y = x x y + y Aducâd cele două egalităţi obţiem (i) De remarcat că această idetitate este geeralizarea următoarei proprietăţi di geometria elemetară: suma pătratelor diagoalelor uui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale (ii) Folosid iegalitatea lui Cauchy-Buiakowski-Schwarz obţiem x y x y x y y + x x y x y y + x x y Cum şirul (y ) este mărgiit rezultă că membrul drept al iegalităţii coverge la deci x y x y U iteres fudametal îl reprezită spaţiile Hilbert Acestea reprezită gee ralizarea imediată a spaţiilor euclidiee deoarece geometria lor este mai apropiată de geometria euclidiaă decât geometria oricăror alte spaţii Baach Spaţiile Hilbert au umeroase proprietăţi specifice spaţiilor euclidiee care u sut geerice spaţiilor Baach (de exemplu idetitatea paralelogramului) Î cotiuare vom da u exemplu de spaţiu Hilbert importat î teoria ecuaţiilor difereţiale şi cu derivate parţiale

4 48 Bazele Aalizei Numerice Exemplul Fie o submulţime deschisă coexă şi mărgiită a lui R Notăm cu L ( ) = { u : R; u măsurabilă şi u dx < } Vom idetifica î L () orice două fucţii care coicid aproape peste tot (apt) pe Este clar că dacă λ R şi u L () atuci λu L () Fie acum uv L () Di iegalitatea [ u( + v( ] [ u + v ] ( ) x obţiem că [ u( + v( ] dx u dx + v dx < Î coseciţă u+v L () deci L () este u spaţiu vectorial real Totodată petru orice uv L () avem u( v( ( ) x ( ) de ude [ u( v( ] [ u + v ] ( ) x deci are ses umărul real def u v = u v( dx () Se verifică uşor că L () este u spaţiu prehilbertia Coform () petru orice u L () se poate defii orma / u = ( ) u x dx (3) Se poate demostra Teorema L () este u spaţiu Hilbert Defiiţia 4 Fie H u spaţiu Hilbert O mulţime D H se umeşte desă î H dacă petru orice x H există u şir (x ) î D astfel ca x x De remarcat că dacă este desă î H D D H şi D este desă î H atuci şi D Exemplul Dacă R şi u : R defiim suportul lui u ca suppu = x ; u( Cosiderăm mulţimea C ( ) a fucţiilor reale { } ϕ cu suport compact î (adică aulâdu-se î afara uei mulţimi compacte di ce depide de fucţia cosiderată) idefiit derivabile Aceste fucţii vor fi umite fucţii test Evidet că î raport cu aduarea fucţiilor test şi îmulţirea

5 Itroducere î metoda elemetului fiit 49 cu umere reale a fucţiilor test C ( ) este u spaţiu vectorial Există foarte multe fucţii test De exemplu se poate arăta că petru orice fucţie cotiuă f cu suport compact există totdeaua o fucţie test ϕ ce o aproximează oricât de bie adică petru orice ε > există ϕ astfel ca petru orice x f ϕ < ε Vom admite fără demostraţie că mulţimea C ( ) este desă î L () Observaţia Dacă D este desă î H şi x y = petru orice y di D atuci x = θ H Îtr-adevăr dacă z H atuci există (y ) di D astfel ca y z Ţiâd seama de cotiuitatea produsului scalar rezultă x z = Alegâd z= x se obţie că x = θh Defiiţia 5 Fie H u spaţiu Hilbert Elemetele x y H se umesc ortogoale şi se otează x y dacă x y = Elemetul x H este ortogoal pe mulţimea E H şi se otează x E dacă x este ortogoal pe fiecare elemet di E Mulţimea tuturor elemetelor ortogoale pe o mulţime dată E formează u subspaţiu vectorial îchis al l ui H umit complemetul ortogoal al mulţimii E şi se otează E Teorema următoare este fudametală î teoria spaţiilor Hilbert şi î rezolvarea aproximativă a uor probleme la limită petru ecuaţii difereţiale şi cu derivate parţiale Teorema Fie H u subspaţiu îchis al spaţiului Hilbert H şi complemetul ortogoal al lui H Orice elemet x H se poate reprezeta î mod uic sub forma x x + x x H x H (4) = Mai mult î x se atige distaţa ditre x şi H adică x x = mi y H x y (5) Demostraţie Notăm cu d = if y H x y şi alegem elemetele x H astfel ca x x < d + = (6) Di idetitatea paralelogramului se obţie x ( ) ( ) xm + x xm + x x = x xm + x x (7) H

6 5 Bazele Aalizei Numerice Dar ( x xm ) + ( x x ) = 4 x ( x m + x ) / x Deoarece + m x H rezultă ( x xm ) + ( x x ) 4d (8) Ţiâd seama de (6) şi (8) di (7) obţiem x xm d + + d + 4d = + m m Deci şirul (x ) este şir Cauchy şi cum H este complet există x = lim x Deoarece H este îchis rezultă x H Trecâd la limită î (6) găsim x x d iar di x H avem x x d deci x x = d (9) H x + y H Vom arăta acum că x = x x este ortogoal pe H şi deci x Fie y u elemet eul di H Petru orice λ R avem λ deci adică x y = x ( x + λ d λ x x λ x y + λ y d Avâd î vedere (9) obţiem λ x y + λ y Î particular petru x y λ = se deduce x y deci y x y = adică x y Astfel reprezetarea (4) şi relaţia (5) sut stabilite Rămâe să arătăm uicitatea reprezetării (4) Fie x x + x x H x H Di (4) se obţie x x = x = x H iar x x H Cum x x x deci x rezultă ( x ) ( x ) x x = Î coseciţă x = x Teorema este demostrată D efiiţia 6 Elemetele x şi x uic defiite de elemetul x se umesc proiecţiile elemetului x pe subspaţiul H respectiv H După cum este cuoscut u orice şir Cauchy de umere raţioale are limită î Q ci î R De fapt î R oţiuile de şir coverget şi şir Cauchy sut echivalete (altfel spus R este complet) Î mod similar orice spaţiu prehilbertia

7 Itroducere î metoda elemetului fiit 5 poate fi iclus îtr-u spaţiu Hilbert (deci complet) Se umeşte completatul uui spaţiu prehilbertia H cel mai mic spaţiu Hilbert care îl coţie pe H ca subspaţiu U rezultat cuoscut de aaliză fucţioală precizează că orice spaţiu prehilbertia admite u completat Î spaţiul completat vom face disticţie ître elemetele vechi di H şi eleme tele oi sau ideale obţiute pri completare Di teoreme cuoscute ale aalizei fucţioale rezultă că dacă u este u elemet ideal di completat atuci există u şir de elemete (u ) H ce coverge la u deci H este des î completat 8 Teorema variaţioală fudametală Fie H u spaţiu Hilbert real D H u subspaţiu des şi A : D H u operator liiar Defiiţia 7 Operatorul A se ume şte strict pozitiv dacă Au u > oricare ar fi u θ Operatorul A se umeşte simetric dacă H orice u v D Au v = u Av petru Î cele ce urmează vom presupue că operatorul A este simetric şi strict pozitiv Fie f H Fucţioala pătratică F( u) = Au u f u u D () se umeşte fucţioala eergetică a operatorului A Are loc Teorema 3 Petru ca u D să realizeze miimul fucţioalei eergetice este ecesar şi suficiet ca acesta să satisfacă Au = f () Dacă u astfel de elemet există el este uic Demostraţie Necesitatea Presupuem că u D realizează miimul fucţioalei () Fie h u elemet arbitrar di D şi t u umăr real arbitrar Atuci F (u + th) F (u ) () Rezultă că fucţia reală ϕ ( t) = F ( u + th) îşi atige miimul petru t= deci dacă ϕ este derivabilă î atuci ϕ ( ) = Cum A este simetric u calcul direct coduce la t [ ϕ ( t) ϕ ()] = Au f h + t Ah h ( ) h D Trecâd la limită cu t obţiem Au f h = ( ) h D şi cum D este des î H rezultă Au = f (Observaţia )

8 5 Bazele Aalizei Numerice Suficieţa Să presupuem acum că u satisface ecuaţia () Dacă u D u u atuci u = u + v v θ H Atuci cum A este simetric pri calcul obţiem F(u) = F(u ) + Au f v + Av v Dar u satisface ecuaţia () deci F(u) = F(u ) + Av v O peratorul A fiid strict pozitiv şi v θ H rezultă că Av v > şi î coseciţă F(u) > F(u ) Aceasta îseamă că î puctul u fucţioala () îşi atige miimul Petru uicitate să presupuem că există îcă u elemet u î care F îşi atige miimul Coform celor de mai sus F(u ) > F(u ) Î acelaş i mod ca mai sus se poate arăta că F(u ) > F(u ) Di cotradicţia obţiută rezultă că fucţioala () îşi poate atige miimul îtr-u sigur puct şi teorema este demos trată Observaţia Teorema stabileşte echivaleţa ître problema rezolvării ecuaţiei Au = f şi aceea a aflării miimului fucţioalei eergetice (); dacă ua di aceste probleme este rezolvabilă atuci şi cealaltă este rezolvabilă şi soluţia ueia ditre ele este şi soluţia celeilalte Teorema u stabileşte dacă aceste probleme au soluţie Mai mult este posibil să u avem soluţie petru problema formulată Exemplul 3 Să cosiderăm următoarea ecuaţie difereţială foarte simplă d u = f dx x () u() = u() = (3) Fie H = L (( )) Au = u D = { u C (()) C ([ ]) ; u ( ) = u() = } Cum C (() ) D rezultă că D este subspaţiu des î H Să arătăm că ope ratorul A este simetric Fie u v D Atuci itegrâd pri părţi obţiem Au v = u v( dx = u v( + u v dx = u v dx = u Av Totodată Au u = u dx > deoarece î caz cotrar u este costa tă şi di codiţiile la limită rezultă că u = Coform Teoremei 3 petru ca u D să fie o soluţie a problemei (3) este ecesar şi suficiet ca u să realizeze pe D miimul următoarei fucţioale F u [ u ( ) = f u( ] dx (4)

9 Itroducere î metoda elemetului fiit 53 Î plus dacă u astfel de elemet există el este uic Exemplul 4 Fie ecuaţia difereţială x ( t) + σ ( t) x( t) = f ( t) t () (5) cu codiţiile la limită x() = x() = (6) iar σ(t) e ste o fucţie pozitivă eidetic ulă şi cotiuă pe [ ] Fie H = L ( ) D = { u C (()) C ([ ]) ; u() = u() = } şi A : D H Ax(t) = x ( t) + σ ( t) x( t) Petru xy D itegrâd pri părţi avem Ax y = ( x ( t) + σ ( t) x( t) ) y( t) dt = x ( t) y ( t) dt + σ ( t) x( t) y( t) dt = x Ay deci A este simetric Totodată Ax x = x ( t) dt + σ ( t) x ( t) dt x ( t) dt > petru x(t) (vezi Exemplul 3) Aşadar A este strict pozitiv Aplicâd Teorema 3 rezultă că petru ca x D să fie o soluţie a problemei (5) (6) este ecesar şi suficiet ca x să realizeze pe D miimul fucţioalei F u x ( ) = ( t) dt + σ ( t) x ( t) dt f ( t) x( t) dt (7) De asemeea dacă există u astfel de elemet el este uic Exemplul 5 Fie R o mulţime deschisă coexă şi mărgiită şi C frotiera sa Se caută u C ( ) C ( ) care satisface u u u = = x y f L ( ) î (8) şi codiţia la limită u C = (9) Î acest caz H = L ( ) A = D = { u C ( ) C ( ) ; u C = } Cum D coţie C ( ) rezultă că D este desă î H De asemeea petru u v D coform formulei ree-riema rezultă u u v v u v = + v dx dy = vds + + dx dy x y C x x y y

10 54 Bazele Aalizei Numerice fiid versorul ormalei exterioare la C Cum v D v C = deci v v u v = + dx dy = u v x x y y adică operatorul A este simetric Î plus u u = [( ) + ( ) ] dx dy > ( ) u x y deci A este strict pozitiv Coform Teoremei 3 u D este o soluţie a problemei (8) (9) dacă şi umai dacă u realizează pe D miimul fucţioalei F ( u) = [( ) + ( ) ] dxdy f ( x u( x dxdy () x y Observaţia 3 Problema clasică u are ses decât petru fucţii u care sut de clasă C ( ) C ( ) Fucţioala corespuzătoare are ses petru fucţii de clasă C ( ) C ( ) Deci pri trecerea de la problema clasică la fucţioala eergetică codiţiile de regularitate pot fi slăbite Altfel spus problema de miim petru fucţioala eergetică se poate pue pe o clasă mai largă de fucţii Spre exemplu fucţioala () are ses dacă f L ( ) deci u mai este x y ecesar c a u să admită derivate parţiale de ordiul al doilea iar derivatele parţiale de ordiul îtâi u trebuie să fie eapărat cotiue Totodată existeţa şi uicitatea soluţiei clasice (adică a problemei (8) (9)) u se poate garata dacă fucţia f u e ste regulată Se poate arăta că orice soluţie a problemei de miim care este de clasă C () este soluţie clasică a problemei cosiderate Altfel spus problema de miim petru fucţioala eergetică se poate pue pe o clasă mai largă de fucţii 83 Metoda Ritz Creatorul metodei directe clasice este cosiderat matematiciaul elveţia W Ritz (878-99) Vom cosidera o fucţioală F defiită pe u spaţiu corespuzător H de fucţii admisibile Se caută o fucţie u astfel ca F( u ) = mi F ( u) = d () u H Fucţia u care miimizează fucţioala se aproximează cu o fucţie u ditr-u subspaţiu -dimesioal oarecare K H Evidet F(u) d petru orice u K Aşadar dacă fucţiile ϕ i i = formează o bază a subspaţiului K atuci vom căuta soluţia aproximativă sub forma

11 Itroducere î metoda elemetului fiit 55 u = c i ϕ i () i= umerele reale c c c urmâd a fi determiate Îlocuid u dat de () î fucţioala F rezultă F(u) = Φ(c c c ) şi deci problema miimizării fucţioalei F este îlocuită cu problema determiării extremelor fucţiei Φ : R R De remarcat că cele două probleme u sut echivalete deoarece s-a trecut de la fucţioala F la fucţia Φ pri itermediul fucţiilor ϕ ϕ ϕ iar alegerea acestora este la dispoziţia oastră; eficieţa acestei metode care se mai umeşte şi me toda Rayleigh-Ritz depide î mare măsură de alegerea fucţiilor ϕ ϕ ϕ Valorile parametrilor c c c se determiă după cum se cuoaşte di sistemul de ecuaţii Φ = i = c i (3) adică F c j j = i = c ϕ i j= Î secţiuile următoare vom arăta pe exemple cocrete cum se aleg fucţiile ϕ ϕ Î cotiuare vom prezeta metoda Rayleigh-Ritz ca metodă de cea mai buă aproximare î eergie Fie D u subspaţiu des al uui spaţiu Hilbert H iar A : D H u operator liiar simetric şi pozitiv defiit Presupuem că petru u f H dat ecuaţia Au = f admite o soluţie uică u D Fiid dat u subspaţiu -dimesioal K D vrem să aproximăm soluţia pri u K K = Sp( { ϕ ϕ } ) Deci căutăm u = c ϕ + + c ϕ astfel ca u u să fie mică Î ipotezele formulate asupra operatorului A vom defii u produs scalar umit produs eergie î D astfel u v Au v A = iar u = A Au u Vom ota cu H A completatul lui D î raport cu orma Spaţiul A HA se umeşte spaţiul eergetic al operatorului A Coform Teoremei există şi este uic u elemet u K elemet de cea mai buă aproximaţie adică u u = mi u v A (4) v K A Defiiţia 8 Vectorul uic u cu proprietatea (4) se umeşte aproximata Rayleigh-Ritz a soluţiei u după subspaţiul fiit dimesioal K Dacă K = Sp( { ϕ ϕ } ) atuci aproximata Rayleigh-Ritz a soluţiei u a ecuaţiei Au = f este dată de u = c ϕ + + c ϕ Fie fucţia

12 56 Bazele Aalizei Numerice g(c c c )= u u A Determiăm (c c ) puctul de miim al fucţiei g Deoarece g( c c ) = A( u u ) u u = [ cic j Aϕi ϕ j ci f ϕi ] + i= j= + Au u di codiţiile g = i = c i rezultă că c c sut soluţii ale sistemului liiar ϕ i ϕ j c j = f ϕi i = (5) j= A sistem care s -ar putea obţie direct di (3) ţiâd seama de formula () care dă fucţioala eergetică a operatorului A 84 Metoda lui Katorovici (metoda semidiscretă) Metoda costă î căutarea soluţiei aproximative sub forma α u = i ϕi i= u de coeficieţii αi i = u mai sut scalari ci fucţii de ua di variabilele idepedete de exemplu x iar fucţiile ϕ i sut fucţii de variabilele rămase x x m adică u( x xm ) = α i ( x ) ϕi ( x xm ) i= Această metodă se leagă de umel e matematiciaului rus L V Katorovici şi stă la baza metodei elemetului fiit de rezolvare a problemelor estaţioare (depedete de timp) π π Exemplul 6 Fie = {( x ; < x y < } Să aplicăm metoda lui Katorovici la rezolvarea aproximativă a ecuaţiei u u + = x y (6) care satisface codiţiile la limită

13 Itroducere î metoda elemetului fiit 57 π π u x ± = x (7) π π u ± y = y Se alege ca subspaţiu aproximat K subspaţiul fucţiilor de u sigur argumet y care coform (7) satisfac π π ϕ i = ϕi = i = Soluţia aproximativă se caută de forma u( x = α ϕ ( (8) i= i i ude fucţiile α i i = se determiă astfel ca u să miimizeze fucţioala F corespuzătoare problemei date Î acest caz u u F( u) = + dx dy + x y 4 Ţiâd seama de (8) avem π F( u) = Φ( α α α ) dx = J ( α α α ) π ude π π ( ) = d ϕ d ϕ i j d α d α j i Φ α α α { α i = j iα j dy + ϕ = π π iϕ j dy} + d y d y d x d x π + α i 4ϕ i dy (9) i= π Deoarece fucţii le ϕi i = sut cuoscute itegralele î (9) se pot calcula exact Se pue deci pro blema determiării extremalelor fucţioalei J α α ) Coform uui rezultat clasic de calcul variaţioal coeficieţii ( α α i i = sut daţi de sistemul Euler-Lagrage Φ αi d dx Φ = i = αi

14 58 Bazele Aalizei Numerice Î coseciţă fucţiile ecuoscute α i i = care apar î soluţia aproximativă (8) se obţi di sistemul de ecuaţii difereţiale ( α jcij α jdij ) = bi i = (3) j= ude π π π dϕ dϕ j i cij = dy dij = ϕiϕ j dy bi = ϕ i dy π dy dy π π cu codiţiile α i = i = i = π α π Î geeral metoda semidiscretă se poate aplica cu codiţia ca problema uidimesioală să poată fi rezolvată emijlocit şi exact 85 Metoda lui alerki Am prezetat î 83 metoda Ritz petru determiarea soluţiei aproximative a ecuaţiei Au = f (3) Î ipotezele formulate acolo soluţia ecuaţiei Au = f miimizează fucţioala eergetică F(u) = Au u f u (3) Astfel (vezi Exemplul 3) dacă A = fucţioala eergetică este F ( u) = [( ) + ( ) ] dx dy f u dx dy x y (33) Utilizarea itegrării pri părţi adică a formulei ree petru trasformarea fucţioalei (3) îtr-o formă care cere o regularitate mai slabă a fucţiilor admisibile (cum se îtâmplă de exemplu î (33)) este uul di succesele de bază ale metodei elemetului fiit Aproximata Ritz u = c i ϕ i i= a soluţiei problemei variaţioale satisface F( u) = c i i = adică Au ϕ f ϕ = i = (34) i i

15 Itroducere î metoda elemetului fiit 59 umai câd avem u operator A de forma cerută (de remarcat că sistemul (34) u este altceva decât o rescriere a sistemului (5) ) Ideea metodei lui alerki este de a cosidera soluţii aproximative petru ecuaţia (3) de forma de mai sus ude coeficieţii ei se determiă di sistemul Au f ϕ = i = (35) i chiar dacă A u satisface codiţiile di 83 Astfel de soluţii aproximative au fost cosiderate de matematiciaul ru s B alerki ( ) Aşadar sistemul (35) se poate utiliza chiar dacă operatorul A este eliiar Î coseciţă metoda elemetului fiit se poate utiliza petru rezolvarea uei clase largi de probleme mult mai iteresate decât clasa problemelor care provi di probleme variaţioale Totuşi este de dorit ca (35) să poată fi itegrat pri părţi petru a slăbi regularitatea cerută fucţiilor ϕ i Deci metoda lui alerki este absolut geerală Ea se poate aplica cu succes la ecuaţii de tipuri diferite: eliptice hiperbolice parabolice chiar dacă ele u sut legate de probleme variaţioale ceea ce reprezită u avataj faţă de metoda lui Ritz Totuşi petru probleme legate de probleme variaţioale ea se găseşte îtr-o iterdepedeţă strâsă cu metoda lui Ritz iar î multe cazuri este echivaletă cu aceasta di urmă î sesul că ambele coduc la aceeaşi soluţie aproximativă Exemplul 7 Vom prezeta acum o problemă de tip Neuma-Dirichlet petru operatorul lui Laplace î dimesiue Fie o mulţime deschisă şi coexă di R cu frotiera C etedă pe porţiui De asemeea fie C C o partiţie a lui C lugimea lui C fiid strict pozitivă şi r versorul ormalei exterioare la C Să cosiderăm acum problema clasică următoare: să se găsească fucţia u C ( ) C ( ) astfel ca u = f î (36) u = pe C (37) = g pe C (38) f fiid o fucţie reală defiită şi cotiuă pe iar g o fucţie reală defiită şi cotiuă pe C De remarcat că este vorba de ecuaţia lui Poisso cu membrul secud f (semul se itroduce di motive tehice) Codiţia Dirichlet pe C este omoge ă ceea ce u este restrictiv Îtr-adevăr dacă u satisface u=f î u = h pe C şi = g pe C şi dacă ştim să găsim o fucţie u suficiet de regulată care ia valorile h pe C atuci fucţia u = u u verifică (36)

16 6 Bazele Aalizei Numerice (37) (38) cu f îlocuit cu f+ u şi g îlocuit cu g A trece de la h pe C la u pe îseamă că se face o prelugire u fiid o prelugire a lui h (e xistă o ifiitate) Datorită prelugirii h u şi apoi a traslaţiei u u = u u rezultă că ipoteza codiţiei Dirichlet omogee pe C u este o restricţie Î cotiuare vom multiplica ecuaţia cu derivate parţiale cu o fucţie test apoi vom itegra pe utilizâd formula lui ree şi ţiâd seama de codiţiile la limită (37) (38) Fie acum spaţiile vectoriale reale W şi V defiite astfel: { v : R ; v ( ) C ( ) v = C } W = C pe { v : R ; v C ( ) C ( ) v = pe C grad v margiit pe } V = Problema clasică (36)-( 38) se poate formula astfel: găsiţi u W care verifică (36) şi (38) De remarcat că itegrâd pri părţi dacă u W şi v V are loc prima formulă ree: u vdxdy = grad( u) grad( v) dxdy vds (39) C Di această idetitate ţiâd seama de (36) şi (38) rezultă că a( u v) = f vdxdy + g vds ( ) v V (4) C ude a ( u v) = grad u grad v dxdy Aşadar a( ) este o formă biliiară şi simetrică Mulţi autori prezită ca problemă variaţioală asociată problemei (36)-(38) următoarea problemă: găsiţi u V astfel îcât să aibă loc (4) Problema clasică u are ses decât petru fucţii avâd regularitatea lui W Petru problema variaţioală este suficietă regularitatea lui V Aşadar trecâd de la problema clasică la problema variaţioală codiţiile de regularitate au fost slăbite Se poate arăta că orice soluţie u a problemei variaţioale care e ste î W este soluţie a problemei clasice Totodată u V este soluţie a problemei variaţio ale dacă şi umai dacă miimizează pe V fucţioala F ( v) = a( v v) fvdxdy + gvds C (comparaţi cu (33) ) Formularea variaţioală permite itroducerea explicarea şi justificarea metodelor umerice Petru a discretiza problema clasică î elemete fiite este evoie să puem î prealabil problema sub forma variaţioală Nu este

17 Itroducere î metoda elemetului fiit 6 deloc ecesară fucţioala F Ea este itrodusă di simplul motiv că î umeroase probleme similare dar de iteres fizic sau mecaic fucţioala F(v) are o iterpretare mecaică iteresată legea fizică corespuzătoare scriidu-se adesea sub forma uei probleme de miim Î cocluzie sistemul (35) se scrie după itegrarea pri părţi astfel: a( u ϕ i ) = f ϕi dxdy + g ϕi ds i = (4) C 86 Aproximarea fucţiilor Î mod obişuit elemetele fiite se defiesc î cadrul procesului de discreti zare ca rezultat al descompuerii uui domeiu de studiu î mai multe subdomeii cu iterior disjuct Coexiuea acestor domeii se face pri itermediul odurilor care u sut altceva decât pucte selectate î domeiul cosiderat î care se specifică valorile fucţiei studiate sau ale fucţiei şi ale derivatelor sale pâă la u aumit ordi Îtr-u ses mai larg elemetul fiit apare ca u model de aproximare cu proprietăţi fizice geometrice şi fucţioale eometric elemetul fiit reproduce îtr-o formă idealizată părţi ditr-u corp supus aalizei Î problemele î care fucţia este dată implicit de o ecuaţie (difereţială itegrală etc) valorile fucţiei sut parametrii ecuoscuţi ai problemei Î problemele d e iterpolare valorile fucţiei sut cuoscute de la îceput Aşadar fucţiile de iterpolare permit aproximarea fucţiilor avâd ca pucte de reper valorile odale ale fucţiei sau valorile odale ale fucţiei şi ale derivatelor sale pâă la u aumit ordi Deoarece structura acestor fucţii de iterpolare depide de structura odală a elemetului respectiv de forma lui ele se mai umesc şi fucţii de formă Aceste fucţii de formă vor juca rolul fucţiilor coordoate ϕ i i = di metodele prezetate î secţiuile aterioare Deşi se pot cocepe multe tipuri de fucţii de iterpolare se folosesc aproape î exclusivitate fucţiile poliomiale datorită uşuriţei relative cu care acestea pot fi derivate respectiv itegrate 86 Aproximarea pri polioame pe porţiui Cazul uidimesioal Aşadar e propuem să aproximăm o fucţie de o variabilă reală f pe u iterval fiit [a b] Vom cosidera o diviziue a acestui iterval : a = x < x << x = b

18 6 Bazele Aalizei Numerice Se obţi astfel subitervale [ xi xi+ ] i = Mai îtâi vom aborda problema aproximării pri polioame liiare pe porţiui Fucţia de iterpolare liiară pe porţiui depide de valorile fucţiei f î odurile x i Aceste valori le otăm cu f i = f(x i ) i = Pe fiecare subiterval [x i x i+ ] fucţia de iterpolare este u poliom de forma ϕ x ) = a x + b ude a i şi i ( i i b i se determiă î mod uic di codiţiile ϕ i ( x j ) = δ ij i j (δ ij - simbolul lui Kroecker) Astfel di ϕ (x ) = ϕ ( x i ) = i = obţiem x x x [ x x] ϕ = x x x [ x x ] (4) Totodată petru i fixat i di ϕ i ( x i ) = ϕ i ( x j ) = j i rezultă x xi x [ xi xi x i x ] i x ϕ ( ) = i+ x i x x [ xi xi+ ] (43) xi+ xi î rest Î sfârşit di ϕ(x ) = ϕ (x i ) = i = avem x [ x x ] ϕ = x x (44) x [ x ] x x x Fucţiile ϕ i i = reprezită cel mai simplu tip de fucţii de formă şi se reprezită astfel y O x x x i- x i x x x - x Cu ajutorul acestor fucţii acoperiş fucţia de iterpolare este dată de formula p = f i ϕi (45) i=

19 Itroducere î metoda elemetului fiit 63 Se arată uşor că fucţiile ϕ i i = sut liiar idepedete adică di α ϕ α ϕ + + α ϕ rezultă α α = = α (este suficiet să + = = = scriem relaţia dată î odurile x i i = ) Vom ota cu L( ) spaţiul vectorial real de dimesiue + geerat de fucţiile ϕ i i = deci al fucţiilor cotiue de forma g = ciϕ i ci R i = (46) i= Să remarcăm î particular că fucţ iile de formă ϕ i i = sut ule î afara itervalului [x i- x i+] deci au suport compact Fucţia p este locală î sesul că dacă x [x i x i+ ] i = depide umai de f i şi f i+ Se poate arăta că dacă fucţia f pe care vrem s-o aproximăm este suficiet de etedă (de exemplu admite derivată de ordiul al doilea) atuci iterpolarea pri polioame liiare pe porţiui e dă o aproximaţie de ordiu l al doilea atât î orma spaţiului L [a b] dată de (3) cât şi î orma Cebîşev Aşadar avem f p kh (k > ) (47) f respectiv f p = sup f p( kh f ( k > ) (48) x [ a b] Î cotiuare meţioăm că petru aproximarea soluţiilor problemelor bilocale petru ecuaţii difereţiale se pot folosi fucţiile B-splie ( 44) Vom avea îsă evoie ca fucţiile geeratoare să se auleze î extremităţile itervalului pe care căutăm soluţia ecuaţiei difereţiale cosiderate De remarcat că fucţiile B B - se aulează î x x iar fucţiile B - B B B - B B + u se aulează De aceea vom proceda după cum urmează Vom determia costatele a b c d şi α β γ δ astfel ca fucţiile: B = ab + bb B = cb + db B = α B + β B B = γ B + δ B+ ( să satisfacă codiţiile: B ( x ) = ; B ( x ) = ; B ( x ) = ; B ( x ) = ; B ( x+ ) = ; B ( x ) = ; B ( x ) = ; B ( x ) = De aici rezultă B = B 4B ; B = B 4B ; B = B 4B ; B = B 4B ( ) + x Deci fucţiile geeratoare B - splie le vom cosidera B B B B B ude Bi = Bi i =

20 64 Bazele Aalizei Numerice 86 Aproximarea pri polioame pe porţiui Cazul bidimesioal Vom aborda problema aproximării uei fucţii reale defiită pe u domeiu mărgi it R de frotieră C Ne vom ocupa îtâi de iterpolarea pri elemete fiite triughiulare Să presupuem petru simplitate că frotiera C a domeiului este o liie frâtă Atuci este totdeaua posibil să acoperim foarte exact cu o m ulţime de triughiuri T k k = p umite elemete fiite şi care costituie (abstracţie făcâd de frotiera lor) o partiţie a lui Se realizează astfel o triagularizare a domeiului Să otăm cu A i i = s vârfurile triughiurilor Uele vor fi î iteriorul lui altele pe C Aceste vârfuri se mai umesc oduri de discretizare Triughiurile se aleg astfel ca: - u vârf al uui triughi T k u trebuie să fie iciodată iterior uei laturi a altui triughi dar poate fi comu mai multor triughiuri; - ici u triughi să u fie plat; este de dorit să se evite ughiurile foarte apropiate de sau 8 (vom vedea de ce) De remarcat că o triagularizare de tip elemete fiite este mult mai suplă decât o reţea de tip difereţe fiite şi permite urmărirea mai fiă a frotierei domeiului Totodată cotrar difereţelor fiite căutăm o aproximare a soluţiei u u umai î odurile A i ci peste tot î Vom căuta soluţia problemei de iterpolare ca o fucţie poliomială pe porţiui î ţelegâd pri porţiui triughiurile Mai precis î fiecare triughi Tk = Ap Aq Ar vom căuta o aproximaţie de primul grad î x şi y deci o fucţie u(x = Ax + By + C Costatele A B C se pot determia î fucţie de v alorile lui u î cele trei vârfuri Ap ( x p y p ) Aq ( xq yq ) Ar ( x r yr ) otate u p uq ur respectiv Aşadar A B C reprezită soluţia sistemului liiar Ax p + By p + C = u p Axq + Byq + C = uq (49) Axr + Byr + C = ur de determiat x p y p xq x p yq y p = xq yq = = ± S (5) xr x p yr y p xr yr

21 Itroducere î metoda elemetului fiit 65 S fiid aria triughiului A p Aq Ar Deci dacă ici u triughi u este aplatizat determiatul este eul Aşadar o fucţie u ca mai sus este defiită î mod uic pe fiecare triughi pri valorile sale î cele trei vârfuri Să cosiderăm acum urma fucţiei u(x pe ua di laturile triughiului Ap Aq Ar să zicem ApAq Este o fucţie de gradul îtâi de abscisă (oblică) ξ de-a lugul lui A p A q (se scrie sub forma Dξ + E ); această fucţie este deci uic determiată de valorile sale î cele două vârfuri Presupuâd că fucţia de iterpolare defiită pe îtreg ia aceeaşi valoare î fiecare od comu mai multor triughiuri rezultă că este cotiuă de la u triughi la triughiul veci de-a lugul laturii comue Deci î codiţiile impuse fucţia de iterpolare este cotiuă (aceasta justifică ceriţa ca u vârf al uui triughi să u fie iterior uei laturi a altui triughi) Aşadar fiid dată o fucţie u cotiuă pe vom umi fucţie de iterpolare pe porţiui a lui u fucţia cotiuă pe luâd aceleaşi valori ca şi u î toate odurile (vârfurile) de triagularizare şi poliomială de gradul uu î fiecare triughi Vom îcepe cu costruirea u ei baze caoice îtr-u triughi Petru comoditate să otăm triu ghiul Ap Aq Ar cu A A A 3 şi să-l studiem deocamdată idepedet de alte triughiuri Cosiderăm fucţiile λ ( x λ ( x λ3 ( x afie care satisfac λ i ( A j ) = δ ij (simbolul lui Kroecker) i j = 3 Coform celor de mai sus fiecare fucţie există şi este uică şi λ ( x = [( y y3 ) x + ( x3 x ) y + x y3 x3 y ] λ ( x = [( y3 y ) x + ( x x3 ) y x y3 + ] x 3 y (5) λ3( x = [( y y ) x + ( x x ) y + x y x y] = ( x x )( y3 y ) ( x3 x )( y y ) Aceste fucţii sut liiar idepedete deoarece αλ ( x + α λ ( x + α 3λ3 ( x = α = α = α 3 = după cum se vede uşor scriid relaţia î puctele A A A 3 Î coseciţă fu cţiile λ ( x λ ( x λ3 ( x formează o bază umită baza caoică î spaţiul vectorial al polioamelor de gradul îtâi relativ la triughiul A A A 3 Î plus dacă se caută fucţia poliomială de gradul îtâi care ia î A A A 3 valorile impuse u u u 3 răspusul este simplu u( x = uλ ( x + uλ ( x + u3λ3 ( x (5) ceea ce justifică adjectivul caoic

22 66 Bazele Aalizei Numerice Fie acum P spaţiul vectorial real al fucţiilor cotiue şi afie pe porţiui pe Este clar că dimesiuea lui P coicide cu umărul vârfurilor dim P = s ( P depide evidet de triagularizarea domeiului aleasă) Baza caoică a lui P este dată de fucţiile ψ i ( x i = s ude ψ i ( A j ) = δ ij i j = s Atuci petru orice u P are loc s u( x = uiψ i ( x ui = u( Ai ) i = s i= Petru aceasta este ecesară defiirea uei corespodeţe biuivoce ître umărul global al odului şi umărul triughiului di care acesta face parte şi umărul local al odului î triughi Ce putem spue despre o fucţie ψ i ( x? Suportul lui ψ i este format umai di triughiurile care îl au pe A i ca vârf ; el este deci mic cu atât mai mic cu cât triagularizarea este mai fiă aceasta fiid ua ditre caracteristicile metodei elemetului fiit Dacă puctul A i este iterior lui ψ i este ulă pe C dar dacă A i C ψ i este eulă î segmetele de frotieră care ajug î A i Dacă se reprezită pe axa Oz valorile lui ψ i se obţie graficul lui ψ i Este o suprafaţă poliedrală (adică formată di feţe plae) Această suprafaţă este o piramidă a cărei îălţime este verticala di Ai adică şi a cărei bază se îtide pâă la puctele im ediat vecie A j Ak piramidă prelugită de plaul orizotal A i iterior lui A i pe frotiera lui C a lui A p A i A l A p A i A k A j A k raficul lui Î cotiuare e vom ocupa de iterpolarea pri elemete fiite dreptughiulare Domeiile de tip dreptughiular adică domeiile cu laturile paralele cu axele de coordoate apar î multe probleme ale fizicii şi tehicii Pri urmare elemetul dreptughiular are mare importaţă Ne propuem să aproximăm o fucţie u defiită pe domeiul dreptughiular = [ab] [c d] Fie x : a = x <x < <x = b o diviziue a ψ i

23 Itroducere î metoda elemetului fiit 67 lui [a b] cu + pucte y : c=y< y < < y m o diviziue a lui [c d] cu m+ pucte şi = x y diviziuea lui Elemetul fiit dreptughiular tipic este [x i x i+ ] [y j y j+ ] Putem cosidera polioamele liiare pe porţiui di cazul uidimesioal ϕ i date de (4)-(44) Atuci fucţia de iterpolare este dată de m p( x = ui jϕi ϕ j ( i= j= (53) ude ui j = u( xi y j ) i = j = m Pe elemetul dreptughiular [x i x i+ ] [y j y j+ ] fucţia de iterpolare are forma pi j ( x = ui jϕi ϕ j ( + ui+ j ϕi+ ( ϕ j ( + + ui j+ ϕ i ϕ j+ ( + ui+ j+ ϕ i+ ( ϕ j+ ( (54) Baza caoică î spaţiul fucţiilor de forma m p( x = ci jϕ i ϕ j ( ci j R i = j = m i= j= este dată de fucţiile ψ ij ( x = ϕi ϕ j ( i = j = m (55) 87 Metoda elemetului fiit petru probleme bilocale Se cosideră următoarea ecuaţie difereţială foarte simplă u = f < x < u() = u() = f L () (56) (Exemplul 3) Problema rezolvării acestei ecuaţii este echivaletă cu cea a miimizării fucţioalei F( u ) = u dx f u( dx pe mulţimea W = { u C ([ ]) C ([ ]) ; u() = u() = } Petru orice u v W are loc u v = u v dx A

24 68 Bazele Aalizei Numerice Vrem s ă aproximăm soluţia problemei bilocale (56) folosid polioamele liiare pe porţiu i ( 86) Aceste fucţii sut cotiue dar u sut derivabile deci u aparţi lui W Î coseciţă W u este spaţiul bu petru rezolvarea aproximativă a acestei probleme folosid polioamele liiare pe porţiui Petru a stabili spaţiul coveabil vom proceda după cum urmează Itroducem o oţiue ouă Fucţia g se umeşte derivata î sesul distribuţiilor a fucţiei w şi se otează g = w dacă şi umai dacă satisface w ϕ dx = g ϕ dx ( ) ϕ C ϕ() = ϕ() = (57) Dacă fucţia w are derivată cotiuă w atuci aceasta coicide cu derivata î sesul distribuţiilor a lui w Bieîţeles că derivata î sesul distribuţiilor poate exista fără ca derivata î ses clasic să existe De exemplu o fucţie w cotiuă care are derivată mărgiită cu excepţia uui umăr fiit de pucte are derivată î sesul distribuţiilor Î puctele î care derivata î ses clasic există cele două derivate coicid Astfel pe itervalul [- ] fucţia w( = x u este derivabilă î x = dar admite derivată î sesul distribuţiilor fucţia g( = sig( Fie H (( ) ) = { u L (( )) ; u L (( )) ; u() = u() = } (este vorba de derivata î sesul distribuţiilor) Spaţiul W este des î H (( )) De fapt H (( )) este chiar spaţiul eergetic al operatorului Ax ( t) = x ( t) Aşadar petru costruirea aproximatelor Ritz vom folosi polioamele liiare pe porţiui costruite î 86 Fie π : = x < x < x < < x < x + = o diviziue cu oduri echidistate a itervalului [ ] x i = ih h = şi ϕi i = fucţiile + x xi xi x xi h xi+ x ϕi = xi x xi+ i = (58) h î rest Fucţiile ϕ H (( ) ) i i = Căutăm soluţia sub forma u = c j ϕ j costatele cj determiâdu-se di sistemul (5) ude j= ϕi ϕ j = ϕi ϕ j dx iar A f ϕ = f ϕ ( x dx i A i )

25 Itroducere î metoda elemetului fiit 69 (derivatele sut î sesul distribuţiilor) Este u sistem de ecuaţii umite odale de forma Bx = d ude elemetele matricei B sut b ij = ϕ ( ϕ dx i j x = c c ) d = d d ) i j = ( c T ( di = f ϕi dx i = Matricea B se umeşte matrice de rigiditate şi este simetrică şi pozitiv defiită Î coseciţă sistemul Bx = d admite soluţie uică Pri calcul obţiem daca i = j h b ij = daca i-j = h î rest De asemeea x i x i+ d i = f ( x xi ) dx + f ( xi+ dx h x h i xi Aproximâd aces te itegrale cu formula trapezului obţiem d i = h f ( x i ) deci î locul sistemului Bx = d avem de rezolvat sistemul Bx = d cu membrul drept obţiut pri aplicarea uei formule de itegrare umerică Matricea de rigiditate B s-a calculat exact avâd polioame pe porţiui şi itegrarea făcâdu-se uşor Î alte cazuri matricea B se obţie tot pri calculul aproximativ al uor itegrale Se pue problema alegerii acestor formule î sesul că trebuie arătat că formulele de cuadratură aplicate e dau o covergeţă buă deci o compatibilitate î rezolvarea problemelor puse de metodele variaţioale Practic î cele mai multe cazuri alegâd ca fucţii de bază polioamele pe porţiui matricea B se calculează exact itegrarea făcâdu-se exact Cum îsă fucţia f u este de obicei u poliom problema este de a calcula aproximativ d i Î cazul de mai sus avem d T

26 7 Bazele Aalizei Numerice f ( x ) f ( x ) B = d = h f ( x ) f (x ) Aplic âd ecuaţiei u ( = f metoda stadard cu difereţe fiite se obţie exact acelaşi sistem de ecuaţii Î cazul metodei elemetului fiit soluţia aproximativă găsită ap roximează s oluţia exactă î orice puct al iterva lului [ ] Să cosiderăm acum problema mai geerală x ( t) + σ ( t) x( t) = f ( t) t x() = x() = [ ] σ ( t) > şi cotiuă pe Problema este abordată variaţioal î Exemplul 4 Cosiderăm deci operatorul Ax( t) = x ( t) + σ ( t) x( t) (59) Dacă fucţia f este cotiuă pe [] atuci există soluţie uică a problemei (59) şi x C ([ ] ) Petru determiarea aproximaţiei elemet fiit x ( t ) a soluţiei x(t) vom folosi petru îce put polioamele splie cubice Fie π : = t < t < < t = o diviziue cu oduri echidistate şi fucţiile B B B di 86 Î acest caz ϕ i ( t) = Bi ( t) i = Aceste fucţii aparţi domeiului de defiiţie al operatorului A Aproximaţia elemet fiit x ( t ) a soluţiei exacte x(t) va fi T x( t) = ci Bi ( t) ude c = ( c c c ) este soluţia sistemului algebric liiar i= ABi B j c j = f Bi i = j= Î acest caz elemetele matricei de rigiditate sut bi j = ABi B j = [ Bi ( t) B j ( t) + σ ( t) Bi ( t) B j ( t) ] dt i j = iar di = f ( t) B i ( t) dt i =

27 Itroducere î metoda elemetului fiit 7 Matricea de rigiditate sau matricea eergie va fi o matrice badă de tip 7 Matricea eergie şi termeul liber se pot calcula folosid de exemplu metoda lui auss cu două oduri Î ceea ce priveşte eroarea se poate demostra Teorema 4 Î ipotez f C atuci există o costată K idepedetă de astfel îcât 3 x x = sup x( t) x ( t) [ ] Kh x (ude h este pasul reţelei) ele de mai sus şi dacă [ ] Să aalizăm acum situaţia î care fucţiile de formă u aparţi domeiului operatorului A cum este cazul câd acestea sut polioamele liiare pe porţiui date de (58) Vom proceda ca î exemplul de la îceputul secţiuii Deci x( t) = ciϕi ( t) cu ϕi date de (58) Acum i= b ( ϕ ϕ + σϕ ) dt i j = ij = i j iϕ j (derivatel e sut luate î sesul distribuţiilor) Matricea de rigiditate va fi o matrice badă de tip 3 Se poate demostra [ ] Teorema 5 Î ipotezele de mai sus şi dacă f C există o c ostată K idepedetă de astfel ca x x Kh Se observă că dacă î aproximare folosim fucţii de bază mai etede obţiem o aproximare mai buă Se ajuge îs ă la u sistem liiar algebric cu mai multe elemete eule Î cazul polioamelor cubice splie se obţie o matrice badă de tip 7 î timp ce î cazul polioamelor pe porţiui de grad îtâi se obţie o matrice badă de tip 3 88 Metoda elemetului fiit petru probleme la limită petru ecuaţia lui Laplace î pla π π π π Fie = găsească soluţia ecuaţiei R şi C frotiera sa Se cere să se

28 7 Bazele Aalizei Numerice u u + = (6) x y cu codiţiile la limită π π u x ± = x (6) π π u ± y = y Problema este abordată variaţioal î Exemplul 5 rezolvarea sa fiid echivaletă cu cea a miimizării fucţioalei F ( u) = [( ) + ( ) ] dx dy + u( x dx dy x y pe mulţimea W = { u C ( ) C ( ) ; u = pe C} Petru orice uv W are loc v v ( u v) = ( + ) dx dy x x y y Petru găsirea soluţiei aproximative a problemei (6)-(6) vom folosi e lemetele fiite dreptughiulare costruite î secţiuea 6 care u aparţi lui W Î coseciţă W u este spaţiul bu petru rezolvarea acestei probleme cu elemete fiite dreptughiulare Petr u a depăşi această dificultate să costatăm mai îtâi că oţiuea de de rivată î sesul distribuţiilor itrodusă î secţiuea aterioară petru fucţii de o variabilă se extide î mod corespuzător la fucţii de mai multe variabile De exemplu fucţia g(x este u î sesul distribuţiilor dacă x satisface ϕ g ϕ dx dy = u dx dy ( ) ϕ C x ϕ = pe C Fie u u H ( ) = { u L ( ) ; u L ( ) u = x y pe C} (derivatele parţiale sut luate î sesul distribuţiilor) Spaţiul W este des î H ( ) H ( ) fiid spaţiul eergetic al operatorului - Spaţiul H ( ) este spaţiu Hilbert î raport cu produsul scalar u v v v = ( uv + + ) dx dy x x y y

29 Itroducere î metoda elemetului fiit 73 Petru găsirea soluţiei aproximative partiţioăm domeiul î (+) pătrate folosid paralele (echidistate) cu axele de coordoate Fucţiile de bază utilizate sut ψ ij i j = date de (55) şi satisfac codiţiile la limită (6) Căutăm soluţia aproximativă de forma u ( x = cijψ ij ( x (6) i= j= costatele c ij i j = urmâd a fi determiate d i următorul sistem obţiut di (5) ψ ψ kl ij ψ ψ kl ij ckl [ + ] dx dy + ψ ij dx dy = = = x x y y (63) k l i j = sau îcă aij klckl + ψ ij dxdy = i j = k= l= ude ϕ k ϕi ϕ ϕ l j aijkl = [ ϕl ( ϕ j ( + ( ϕ k ( ϕi ( ] dx dy x x y y fucţiile ϕ i i = fiid date de (43) Mai îtâi să calculăm ψ x y i+ i+ ij dxdy = ϕi ϕ j ( dxdy = ϕi dx ϕ j dx = xi y i ψ ij ( x Ţ iâd seama de suportul fucţiilor ( h sistemul (63) se mai scrie sub forma i+ j+ aij klckl + h = k= l= j i j = Calcule elemetare arată că: π π π π h h ϕi ( t) ϕi ( t) dt = ϕi ( t) dt = ϕ i ( t) i ( t) dt i ( t) dt π 6 π 3 ϕ = = h ϕ π π h Î coseciţă a ij kl = k = i i + 3 l = j - j + cu excepţia 8 elemetului a ijij = deci sistemul (64) devie 3

30 74 Bazele Aalizei Numerice i+ j+ 3cij ckl + h = i j = (65) 3 k= i l= j Soluţia exactă a problemei cosiderate este 8 ( ) ch( k ) y u( x = + x + k+ π cos( k ) x π 3 k= ( k ) ch( ( k ) π / ) Valorile soluţiei aproximative î odurile di figura : π π π 9 7 () sut date î următorul tabel : Nodul = 3 = 7 N = 5 Soluţia exactă Î cotiuare reluăm problema Dirichlet-Neuma di Exemplul 7 pe care o vom cocretiza Cosiderăm pătratul = ( ) () R frotiera C C ude C = OC CB BA şi C =OA Problema (36)-(38) se scrie - u=f î (66) u = pe OC CB şi BA (67) 3 4 di figură cu

31 Itroducere î metoda elemetului fiit 75 = = g pe OA (68) x y Vom cosidera o reţea de tip y d ifereţe fiite cu pasul h = k = C pe C OC respectiv OA Decupăm apoi fiecare pătrat astfel obţiut î două triughiuri şi obţiem o triagularizare de tip elemete fiite Fie u ( x y ) soluţia C aproximativă defiită pe şi u umai î pucte izolate cum se îtâmplă î cazul difereţelor fiite Vom utiliza x petru triagularizarea de mai sus spaţiul O C A P al fucţiilor cotiue pe şi afie pe porţiui costruite î secţiuea 6 Aceste fucţii u aparţi îsă spaţiului V = C ( ) C ( ) di exemplul 7 Î coseciţă V u este spaţiul bu alegerea buă fiid spaţiul H ( ) = { u L ( ) ; u L ( )} x y (derivatele sut cosiderate î sesul distribuţiilor) p etru care P este subspaţiu Căutăm soluţia u de forma u ( x = ci i ( x i= (69) s fiid um ărul vârfurilor fucţiile ψ i i = s sut fucţiile de bază corespuzătoare triagularizării iar coeficieţii c i i = s urmează a fi determiaţi Petru simplitatea expuerii vom presupue că vârfurile de pe C ocupă ultimele poziţii + + s Aşadar vom avea c i = i = + s ecuoscutele propriu-zise fiid ci i = Î defiitiv u ( x = ciψ i ( x (7) i= ecuoscutele c i trebuid determiate di codiţia ca u să satisfacă sistemul (4) adică a( ψ j ψ i ) c j = fψ i dxdy + gψ i dx i = (7) j= C ude a ψ j ψ i = gradψ i gradψ j dxdy B C

32 şi ca şi 76 Bazele Aalizei Numerice B B Notâd aij = a( ψ i ψ j ) i j = bi = fψ i dxdy + gψ i dx i = (7) C sistemul (7) se scrie aijc j = bi j= i = (73) Aşadar se pue problema rezolvării uui sistem de ecuaţii liiare umite odale Dacă x este vectorul coloaă al ecuoscutelor cbj b vectorul coloaă terme liber di (73) atuci sistemul (73) se scrie sub forma Ax = b (74) ude matricea A = ( aij ) i j= se umeşte matrice de rigiditate şi este evidet simetrică Mai mult matricea A este şi pozitiv defiită Îtr-adevăr T ( ) ( x Ax = a ψ j ψ i cic j = a = ) c jψ j ciψ i grad u dx dy i= j= j= i= T Totodată xp PAx= implică grad u = î mulţimea coexă deci u este costată pe Dar u se aulează pe CBB deci u = î şi î coseciţă x= adică A este pozitiv defiită Pri urmare matricea A este esigulară deci sistemul (73) admite soluţie uică Matricea A u este umai simetrică ci şi rară (are multe zerouri) Îtradevăr supp ψ i este costituit di mulţimea triughiurilor care îl au pe ABiB vârf Deci elemetul abijb are şase să fie eul dacă şi umai dacă ABjB ABi sut vârfuri ale cel puţi uui acelaşi triughi Elemetul a ij este itegrala pe supp ψ i suppψ j adică pe o reuiue de triughiuri Itegrala fiid fucţie aditivă de mulţime se va calcula pe fiecare triughi şi aduâd rezultatele obţiute Spre exemplu î figura alăturată a ij este itegrala di gradψ i gradψ j pe cele două triughiuri marcate itegradul (costat) avâd o expresie diferită pe fiecare di cele două triughiuri î chestiue Î practică se procedează astfel: se iiţializează coeficieţii a ij cu zero Se trece î revistă fiecare triughi aduâd valorile care reprezită cotribuţia ABj acestui triughi la coeficieţii a ij corespuzători (pâă î acest momet ABi aceştia reprezită cotribuţiile aduse de triughiurile precedete) Vectorul coloaă b se poate calcula î acelaşi timp cu matricea A

33 date are Itroducere î metoda elemetului fiit 77 De remarcat că a ii > ( ) i = Matricea A u este totdeaua diagoal domiată A fiid simetrică şi pozitiv defiită petru rezolvarea sistemului (74) se poate aplica o factorizare de tip Cholesky Bieîţeles că se pot aplica şi metode iterative Petru calculul termeului liber î (73) vom utiliza o formulă de cuadratură umerică şi aume: h( Ap ) + h( Aq ) + h( Ar ) h( x dx dy S( T) (75) T 3 dacă T este triughiul ABpB ABqB ABrB respectiv b v( a) + v( b) v( dx ( b a) (76) a Formula (76) u este altceva decât formula trapezului; are o precizie de ordiul : dacă f este regulată (local de clasă CP P) şi b-a = h atuci 3 itegrala pe (ab) care este de ordi h este aproximată de ordiul O(hP P) Î ceea ce priveşte (75) este formula echivaletă formulei (76) î dimesiue ; are o precizie de ordiul Avâd î vedere simplitatea şi repetitivitatea reţelei este 3 suficiet să scriem (7) îtr-u od iterior lui şi îtr-u od pe OA (extremităţile se exclud dacă u 4 = î O şi A) Să aalizăm mai îtâi cazul uui od iterior lui ca î figura alăturată Vom utiliza o umerotare locală odul fiid otat cu idicele iar celelalte cu Fucţia ψbb reprezetată pe axa Oz este o piramidă de îălţime pe verticala di odul şi a cărei bază se îtide pâă la odurile imediat vecie prelugită î plaul orizotal Aşadar supp ψ este hexagoul 3456 Di (73) se obţie 6 a i ci = b i= (77) cu abib şi bbb de (7) Pri traslaţie şi simetrie se costată că abb = ab4 B abb = ab5 B ab3b = ab6 B Pe fiecare triughi di suppψbb gradψbb este u vector costat deoarece î fiecare triughi ψbb forma r r ψbb(x = Ax + By + C deci gradψ = Ai + Bj De exemplu dacă odul are coordoatele (ih jh) h fiid pasul reţelei atuci pe triughiul impuâd codiţiile ψbb(ih jh) = ψbb((i+)h jh) = ψbb(ih (j+)h) = 5 6

34 şi u şi 78 Bazele Aalizei Numerice B B B se obţie A = B = deci gradψ = h h h h De remarcat că gradψb depide de i şi j Î mod asemăător se poate calcula gradψb pe celelalte triughiuri care compu suppψb de asemeea gradψb B i = 6 Î coseciţă itegrala pe fiecare triughi este egală cu produsul ditre aria triughiului h cu u produs scalar obişuit Să calculăm acum a i i = 6 SuppψBB este hexagoul 3456 Avem: pe gradψ = ; pe 45 gradψ = ; h h h h pe 3 gradψ = ; pe 56 gradψ = ; h h pe 34 gradψ = ; pe 6 gradψ = ; h h suppψ suppψ = 6: pe gradψ = ; pe 6 gradψ = h h h suppψ suppψ = 3; pe gradψ = ; pe 3 gradψ = h h h suppψ suppψ 3 = 3 34 : pe 3 gradψ 3 = ; pe 34 gradψ 3 = ; h h Î coseciţă: a = ( gradψ ) dxdy S = deci S h a = = h h h h h h a = a4 = gradψ gradψdxdy S = 6 deci S a = a4 =

35 sut este 4cBB se valoarea = Itroducere î metoda elemetului fiit 79 a = a5 = gradψ gradψ dxdy S = 3 deci S a = a5 = a3 = a6 = gradψ gradψ 3 dxdy S = 3 34 deci S a3 = a6 = Deoarece ϕbb= pe CBB coform (7) b = fψ dxdy S S = deci h b f + f + f + f + f + f = h f coform formulei (75) şi ţiâd seama că ψbb aulează î odurile şi ia valoarea î odul S-a otat cu fbb fucţiei f î odul Aşadar ecuaţia odală (77) se scrie cbb cb4 B cb B cb5b hp PfBB sau c c + c4 c c + c5 = f (78) h h Se regăseşte discretizarea ecuaţiei u = f cu difereţe fiite după biecuoscuta schemă î cruce Să aalizăm acum cazul uui od pe OA umerotarea locală fiid 3 cea di figură Aceste oduri sut similare cazului odului iterior fiid evidet de două ori mai puţie Î coseciţă abb = abb = ab3b = (ultimele două valori fiid ca 4 acolo) iar abb = ab4b = (deoarece se h ia î calcul u sigur triughi) Di aceleaşi motive fψ dxdy f (3 triughiuri î loc de 6) şi gψ dx = + h g + g ude gb C 4 B fbb valorile lui g respectiv f î odul S-au utilizat iarăşi (75) şi (76) şi faptul că ψbb î odul şi se aulează î celelalte h Aşadar î acest caz b = f + hg Ecuaţia odală corespuzătoare este