Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate
|
|
- Ρεία Κουρμούλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina i Numerici, /60
2 Cuprins Introducere 1 Introducere Formularea problemei Ideea metodei CMMP 2 3 Ideea QR 4 Ideea SVD Concluzii 2/60
3 Interpolare vs. aproximare Formularea problemei Ideea metodei CMMP Date 0.1 Interpolare 0.1 Date Aproximare Interpolare Aproximare Se dă un set de date (x k, y k ), k = 0,...,m, unde y k = f(x k ). Se caută o aproximare notată g(x), unde g(x k ) y k. 3/60
4 Ideea metodei Introducere Formularea problemei Ideea metodei CMMP Funcţia de aproximare se caută a.î: g(x) f(x) minimă Deoarece f este cunoscută într-un număr discret de puncte norma discretă (de exemplu norma Euclidiană discretă). Metoda celor mai mici pătrate (CMMP) caută g a.î: E = m (f(x k ) g(x k )) 2 minimă (1) k=0 4/60
5 Regresia liniară Introducere Formularea problemei Ideea metodei CMMP g(x) = c 0 + c 1 x c 0 =?, c 1 =?. 5 Exemplu: m = 3: (1,3), (2,1), (4,4). 4.5 Regresie liniara prin cmmp E(c 0, c 1 ) = (y 0 c 0 c 1 x 0 ) (y 1 c 0 c 1 x 1 ) (y 2 c 0 c 1 x 2 ) 2 = = (3 c 0 c 1 ) (1 c 0 2c 1 ) (4 c 0 4c 1 ) 2. y x 5/60
6 Regresia liniară Introducere Formularea problemei Ideea metodei CMMP E(c 0, c 1 ) = (y 0 c 0 c 1 x 0 ) 2 + (y 1 c 0 c 1 x 1 ) 2 + (y 2 c 0 c 1 x 2 ) 2 = E c 0 = 0, E c 1 = 0. = (3 c 0 c 1 ) 2 + (1 c 0 2c 1 ) 2 + (4 c 0 4c 1 ) 2. (2) { 3c0 + 7c 1 = 8, 7c c 1 = 21 c 0 = 1.5, c 1 = 0.5. (3) 5 Regresie liniara prin cmmp y g(1) = 2, g(2) = 2.5, g(3) = 3.5; min E = (3 2) 2 +(1 2.5) 2 +(4 3.5) x 6/60
7 Regresia liniară Introducere Formularea problemei Ideea metodei CMMP E(c 0, c 1 ) = (y 0 c 0 c 1 x 0 ) 2 + (y 1 c 0 c 1 x 1 ) 2 + (y 2 c 0 c 1 x 2 ) 2 = E c 0 = 0, E c 1 = 0. = (3 c 0 c 1 ) 2 + (1 c 0 2c 1 ) 2 + (4 c 0 4c 1 ) 2. (2) { 3c0 + 7c 1 = 8, 7c c 1 = 21 c 0 = 1.5, c 1 = 0.5. (3) 5 Regresie liniara prin cmmp y g(1) = 2, g(2) = 2.5, g(3) = 3.5; min E = (3 2) 2 +(1 2.5) 2 +(4 3.5) x 6/60
8 Regresia liniară Introducere Formularea problemei Ideea metodei CMMP Set oarecare de date: m E(c 0, c 1 ) = (y k c 0 c 1 x k ) 2, (4) k=0 { E c 0 = 0, E c 1 = 0. { m k=0 2(y k c 0 c 1 x k ) = 0, m k=0 2x k(y k c 0 c 1 x k ) = 0. (5) { c0 (m+1)+c m 1 k=0 x k = m k=0 y k, c m 0 k=0 x k + c m 1 k=0 x k 2 = m k=0 x ky k. Sistem normal (6) 7/60
9 Regresia liniară Introducere Formularea problemei Ideea metodei CMMP Soluţia se poate calcula explicit: unde c 0 = d 0 d, c 1 = d 1 d, (7) ( m m ) 2 d = (m+1) xk 2 x k, (8) d 0 = d 1 ( m xk 2 k=0 = (m+1) k=0 k=0 )( m ( m )( m ) y k ) x k x k y k, (9) k=0 k=0 k=0 ( m m )( m ) x k y k x k y k. (10) k=0 k=0 k=0 8/60
10 Formularea problemei Ideea metodei CMMP Regresia liniară - alt raţionament Condiţiile de interpolare pentru datele din tabel şi g(x) = c 0 + c 1 x: c 0 + c 1 x k = y k, k = 1,...,m, (11) sistem supradeterminat de ecuaţii. Dacă notăm 1 x 0 y 0 1 x 1 A =.., y = y 1.., (12) 1 x m y m atunci (11) se scriu compact unde c = [c 0 c 1 ] T, iar sistemul normal este Ac = y, (13) A T Ac = A T y. (14) 9/60
11 Formularea problemei Ideea metodei CMMP Regresia liniară - alt raţionament Reluăm exemplul simplu: m = 3: (1,3), (2,1), (4,4) A = 1 2, y = A T A = [ ], A T y = [ 8 21, (15) ]. (16) { 3c0 + 7c 1 = 8, 7c c 1 = 21 c 0 = 1.5, c 1 = 0.5. (17) 10/60
12 Cazul general Introducere Metoda celor mai mici pătrate nu este limitată la polinoame de gradul întâi. Exemplu: g(x) = c 0 ln(x)+c 1 sin(x)+c 2 x. 1 Se minimizează funcţia definită de E = m k=0 (f(x k) g(x k )) 2 ; 2 Se impun condiţiile de minimizare; 3 Se rezolvă un sistem algebric liniar de dimensiune 3. 11/60
13 Cazul general Introducere În general, se caută o aproximare de forma unui polinom generalizat n g(x) = c j ϕ j (x), (18) j=0 unde ϕ i (x) se numesc funcţii de bază. OBS: n+1 < m+1 E(c 0, c 1,...,c n ) = m (g(x k ) f(x k )) 2 = k=0 m n c j ϕ j (x k ) y k k=0 j=0 (19) 2. 12/60
14 Cazul general Introducere E(c 0, c 1,...,c n ) = m (g(x k ) f(x k )) 2 = k=0 m n c j ϕ j (x k ) y k k=0 j=0 Punctul de minim al acestei funcţii este un punct critic: (20) E c i = 0, i = 0,...,n. (21) Înlocuind expresia (20) în (21) rezultă ( n m ) m ϕ i (x k )ϕ j (x k ) c j = y k ϕ i (x k ), i = 0,...,n. (22) j=0 k=0 k=0 Sistem normal dificil de rezolvat dacă ϕ k nu sunt alese potrivit /60
15 Cazul general - alt raţionament Condiţiile de interpolare pentru datele din tabel şi g(x) g(x k ) = y k, k = 1,...,m, (23) sistem supradeterminat de ecuaţii. Notăm ϕ 0 (x 0 ) ϕ 1 (x 0 ) ϕ n (x 0 ) ϕ 0 (x 1 ) ϕ 1 (x 1 ) ϕ n (x 1 ) A =..., y = ϕ 0 (x m ) ϕ 1 (x m ) ϕ n (x m ) atunci (23) se scriu compact y 0 y 1. y m, (24) Ac = y, (25) unde c = [c 0, c 1... c n+1 ] T. Sistemul normal: A T Ac = A T y. (26) 14/60
16 clasice Sistemul normal de rezolvat are, în cazul regresiei liniare forma N = [ m+1 m k=0 x k m k=0 x k m k=0 x 2 k Nc = t (27) ] [ m, t = k=0 y ] k m k=0 x. (28) ky k 15/60
17 clasice Sistemul normal de rezolvat Nc = t (29) are, în cazul regresiei parabolice g(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, forma: m+1 m k=0 x m k k=0 x 2 m k N = m k=0 x m k k=0 x k 2 m k=0 x k 3 k=0 y k, t = m m k=0 x k 2 m k=0 x k 3 m k=0 x k 4 k=0 x m ky k k=0 x k 2y k. (30) OBS: Generalizarea este uşoara pentru n > 2, dar sistemul este slab condiţionat. :( 16/60
18 clasice Sistemul normal de rezolvat Nc = t (29) are, în cazul regresiei parabolice g(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, forma: m+1 m k=0 x m k k=0 x 2 m k N = m k=0 x m k k=0 x k 2 m k=0 x k 3 k=0 y k, t = m m k=0 x k 2 m k=0 x k 3 m k=0 x k 4 k=0 x m ky k k=0 x k 2y k. (30) OBS: Generalizarea este uşoara pentru n > 2, dar sistemul este slab condiţionat. :( Remedii? 16/60
19 clasice Remedii: 1 Folosirea unor alte funcţii de bază; 2 O altă strategie pentru CMMP, care nu rezolvă sistemul normal. 17/60
20 - polinoame Chebyshev În cazul în care se caută polinoamelor algebrice, atunci folosirea polinoamelor Chebyshev, definite recursiv ca: T 0 (x) = 1, (31) T 1 (x) = x, (32) T j (x) = 2xT j 1 (x) T j 2 (x), (33) generează un sistem de ecuaţii mult mai bine condiţionat. OBS: Există un algoritm mai eficient de evaluare a aproximării g(x) cu polinoame Chebyshev, decât rezolvarea sistemului normal [Cheney07]. 18/60
21 ortonormale Ideal (din p.d.v. al condiţionării) - varianta în care matricea coeficienţilor este matricea unitate, adică dacă m ϕ i (x k )ϕ j (x k ) = δ ij, unde δ ij = k=0 { 1 dacă i = j 0 dacă i j, (34) ceea ce înseamnă că funcţiile de bază sunt ortonormale. m c j = y k ϕ j (x k ), j = 0,...,n. (35) k=0 19/60
22 ortonormale Dacă notăm cu G spaţiul vectorial al funcţiilor generat de funcţii de bază ϕ j (x) G = g : c 0, c 1,...c n, astfel încât g(x) = n c j ϕ j (x), (36) j=0 atunci o bază ortonormală se poate construi de exemplu printr-o procedură Gram-Schmidt. 20/60
23 - paşi principali Date: tabelul de valori; valorile în care se doreşte evaluarea polinomului de aproximare. Se aleg: funcţiile de bază (în consecinţă şi gradul polinomului de aproximare). Se calculează: valorile polinomului de aproximare în punctele dorite. 21/60
24 - paşi principali CMMP_SistemNormal 1. Asamblează A şi y 2. Calculează N = A T A şi t = A T y 3. Rezolvă sistemul pătrat Nc = t c 4. Evaluează polinomul de aproximare g(x) în punctul dorit 22/60
25 - paşi principali Obs: În cazuri particulare, se poate evita calculul explicit al coeficienţilor c. Se poate ca tabelul de valori să includă numere complexe. În acest caz: N = A H A, t = A H y unde A H (notată uneori şi cu A ) este transpusa hermitiană adica (a H ) ij = a ji. Sistemul normal A H Ac = A H y este nesingular dcaă şi numai dacă A este de rang complet [Trefethen97]. 23/60
26 1. Netezirea datelor Q: În cazul unor date experimentale, ce grad să aibă polinomul de aproximare? A: Am putea creşte gradul polinomului până când avem o aproximare suficient de netedă a datelor. Q: Cum să stabilim cantitativ gradul de netezire? A: Folosind criterii din statistică. 24/60
27 1. Netezirea datelor Q: În cazul unor date experimentale, ce grad să aibă polinomul de aproximare? A: Am putea creşte gradul polinomului până când avem o aproximare suficient de netedă a datelor. Q: Cum să stabilim cantitativ gradul de netezire? A: Folosind criterii din statistică. 24/60
28 1. Netezirea datelor Q: În cazul unor date experimentale, ce grad să aibă polinomul de aproximare? A: Am putea creşte gradul polinomului până când avem o aproximare suficient de netedă a datelor. Q: Cum să stabilim cantitativ gradul de netezire? A: Folosind criterii din statistică. 24/60
29 1. Netezirea datelor Q: În cazul unor date experimentale, ce grad să aibă polinomul de aproximare? A: Am putea creşte gradul polinomului până când avem o aproximare suficient de netedă a datelor. Q: Cum să stabilim cantitativ gradul de netezire? A: Folosind criterii din statistică. 24/60
30 1. Netezirea datelor Forsythe [1957]: Se construiesc funcţii de bază ortogonale adaptate setului de date; Se pp. că valorile din tabel sunt afectate de erori y i = p N (x i )+ε i, i = 0,...,m unde ε i sunt presupune variabile aleatoare independente distribuite normal. Pentru fiecare aproximare de grad n determinată se calculează varianţa. σ 2 n = 1 m n m [y i p n (x i )] 2 i=0 25/60
31 1. Netezirea datelor Teoria statistică: Dacă tendinţa datelor din tabel e într-adevăr polinom de gradul N atunci are loc σ 2 0 > σ2 1 > σ2 N = σ2 N+1 = σ2 m. ul va calcula aproximări de ordin crescător până când varianţa nu se mai modifică. Pentru detalii ale acestui algoritm, consultaţi [Cheney07, subcapitolul 12.2]. 26/60
32 2. Cazul unei funcţii date prin cod Dacă f : [a, b] IR e dată prin cod, atunci mărimea de minimizat foloseşte o normă continuă E(c 0, c 1,...,c n ) = b a [g(x) f(x)] 2 dx. (37) În anumite aplicaţii e de dorit că aproximarea să se potrivească mai bine pe anumite intervale, caz în care se folosesc funcţii pondere w(x): E(c 0, c 1,...,c n ) = b a [g(x) f(x)] 2 w(x) dx. (38) 27/60
33 2. Cazul unei funcţii date prin cod Sistemul normal de ecuaţii devine n [ ϕi (x)ϕ j (x)w(x) dx ] c j = j=0 b a f(x)ϕ i (x)w(x) dx, i = 0,...,n. Au fost propuse mai multe seturi de astfel de funcţii ortogonale şi ponderi potrivite. (39) 28/60
34 3. Probleme de CMMP neliniare Până acum polinoamele de interpolare = combinaţii liniare de coeficienţi necunoscuţi. Dar dacă: Pentru setul de date (x k, y k ), k = 0, m se caută g(x) = e cx? Metoda CMMP minimizează funcţia E(c) = m (e cx k y k ) 2 (40) k=0 Minimul are loc pentru E (c) = 0, deci 2 m (e cx k y k ) e cx k x k = 0, (41) k=0 29/60
35 3. Probleme de CMMP neliniare Pentru setul de date (x k, y k ), k = 0, m se caută g(x) = e cx. CMMP duce la m (e cx k y k ) e cx k x k = 0, (42) k=0 ecuaţie neliniară în c rezolvare de ecuaţii neliniare; metode de minimizare. 30/60
36 3. Probleme de CMMP neliniare Pentru setul de date (x k, y k ), k = 0, m se caută g(x) = e cx. Acestea sunt probleme de CMMP neliniare. OBS: Reformulare ca o problemă de CMMP liniară: Pentru setul de date (x k, ln(y k )), k = 0, m se caută h(x) = cx. Valoarea c din problema reformulată nu este soluţia ecuaţiei neliniare (42), dar aproximarea e h(x) s-ar putea să fie satisfăcătoare. 31/60
37 Recapitularea ideilor de până acum Se caută aproximarea unor date dintr-un tabel de valori; CMMP găseşte o funcţie a.î. distanţa dintre ea şi tabelul de date să fie minimă (în normă Euclidiană); Aceasta problemă este echivalentă cu rezolvarea unui sistem de ecuaţii supradimensionat Ac = y; Acesta se poate aduce la un sistem de ecuaţii normal, cu matricea coeficienţilor pătrată; Condiţionarea sistemului normal depinde de alegerea funcţiilor de bază; 32/60
38 Recapitularea ideilor de până acum Polinoamele algebrice clasice se pot folosi pentru regresii liniare sau parabolice; Pentru ordine mai mari e mai bine să se folosească polinoame Chebyshev; O procedură eficientă poate folosi polinoame ortogonale adaptate setului de date; Găsirea ordinului optim se poate facând o analiză statistică. 33/60
39 Recapitularea ideilor de până acum CMMP poate fi privită ca o metodă de rezolvare a unui sistem supradeterminat, care a fost notat Ac = y. Minimizarea normei Euclidiene discrete este echivalentă cu minimizarea normei reziduului r = Ac y. În cele ce urmează, vom prezenta alţi algoritmi CMMP, care nu asamblează sistemul normal. 34/60
40 Recapitularea ideilor de până acum Problema formulată va fi aceea a rezolvării unui sistem supradeterminat de ecuaţii, pe care îl vom formula cu notaţia standard: Ax = b, A - matrice dreptunghiulară de dimensiuni (m+1) (n+1) b - vector coloană de dimensiune (n+1) x - soluţia care se caută în sensul CMMP. 35/60
41 Recapitularea ideilor de până acum Ax = b x reprezintă punctul pentru care se atinge minimul expresiei m n ( ) 2 E(x 0, x 1,...,x n ) = akj x j b k k=0 j=0 Dacă notăm reziduul (care depinde de x) r = b Ax atunci r 2 2 = E(x 0, x 1,...,x n ) 36/60
42 Un altă interpretare algebrică Ax = b r = b Ax Rezolvarea unui sistem supradeterminat în sensul CMMP este echivalentă cu minimizarea normei Euclidiene a reziduului. Rezolvarea unui sistem supradeterminat în sensul CMMP este echivalentă cu găsirea unei soluţii pentru care reziduul este ortogonal pe imaginea transformării liniare Ax r range(a) 37/60
43 Un altă interpretare algebrică Cazul m = 1, n = 0 (2 ec., 1 nec., pp. numere reale): a 1 x = b 1 { a 2 x = b 2 } (43) range(a) = y IR 2 : x IR, y 1 = a 1 x, y 2 = a 2 x 38/60
44 Factorizarea QR Ideea QR Factorizare QR redusă A = ˆQˆR A - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1) ˆQ - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1), cu coloane ortonormale ˆR - matrice pătrată (n+1) (n+1), superior triunghiulară ˆQ HˆQ = I n+1 r ii > 0, r ij = 0 pentru j < i. 39/60
45 Factorizarea QR Ideea QR Factorizare QR completă A = QR A - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1) ˆQ - matrice pătrată (m+1) (m+1), unitară ˆR - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1), superior triunghiulară ˆQ HˆQ = I m+1 r ii > 0, r ij = 0 pentru j < i. 40/60
46 Factorizarea QR Ideea QR 41/60
47 Ideea QR Introducere Ideea QR A = ˆQˆR Ax = b ˆQˆRx = b ˆQ HˆQˆRx = ˆQH b Deoarce rezulta ˆQ HˆQ = I ˆRx = ˆQ H b 42/60
48 - paşi principali Ideea QR Ax = b Date: matrice dreptunghiulară, cu coeficienţi complecşi A; vectorul termenilor liberi b Se calculează: soluţia sistemului supradeterminat x în sensul CMMP. 43/60
49 - paşi principali Ideea QR CMMP_QR 1. Calculează factorizarea QR redusă a matricei A: A = ˆQˆR 2. Calculează vectorul t = ˆQ H b 3. Rezolvă sistemul pătrat, superior triunghiular ˆRx = t x 44/60
50 - calculul factorizării Ideea QR Procedură de ortogonalizare Gram-Schmidt aplicată coloanelor matricei A A = R 1 R 2 R n+1 = ˆQ apoi Sau, mai eficient ˆR = R 1 n+1 R 1 n R /60
51 - calculul factorizării Ideea QR Procedură Householder apoi Obs Q n+1 Q n Q 1 A = R Q = Q H 1 QH 2 QH n+1 Q k - matrice elementare unitare, urmăresc eliminarea elementelor ca la Gauss; Se obţine factorizarea QR completă; 46/60
52 - calculul factorizării Ideea QR Trecerea la factorizarea QR redusă se obţine prin ultimelor coloane din Q şi a ultimelor linii din R. 47/60
53 Factorizarea SVD Ideea SVD Concluzii SVD = singular value decomposition (desc. în valori singulare) Factorizare SVD redusă A = ÛŜVH A - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1) (presupusă de rang complet) Û - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1), cu coloane ortonormale Ŝ - matrice pătrată (n+1) (n+1), diagonală V - matrice pătrată (n+1) (n+1), unitară ˆV HˆV = In+1 s ii > 0, s ij = 0 pentru i j. 48/60
54 Factorizarea SVD Ideea SVD Concluzii SVD = singular value decomposition (desc. în valori singulare) Factorizare SVD completă A = USV H A - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1) (presupusă de rang complet) U - matrice pătrată (m+1) (m+1), unitară S - matrice dreptunghiulară (m+1) (n+1), diagonală V - matrice pătrată (n+1) (n+1), unitară ˆV HˆV = In+1 ; ÛH Û = I m+1 s ii > 0, s ij = 0 pentru i j. 49/60
55 Factorizarea SVD Ideea SVD Concluzii 50/60
56 Ideea SVD Introducere Ideea SVD Concluzii A = ÛŜVH Ax = b ÛŜVH x = b ÛŜVH x = ÛÛH b ŜV H x = ÛH b Ŝ(V H x) = ÛH b Ŝw = ÛH b unde am notat V H x = w V H x = V H Vw x = Vw 51/60
57 - paşi principali Ideea SVD Concluzii Ax = b Date: matrice dreptunghiulară, cu coeficienţi complecşi A; vectorul termenilor liberi b Se calculează: soluţia sistemului supradeterminat x în sensul CMMP. 52/60
58 - paşi principali Ideea SVD Concluzii CMMP_SVD 1. Calculează descompunerea redusă în valori singulare a matricei A: A = ÛŜVH 2. Calculează vectorul t = U H b 3. Rezolvă sistemul diagonal Ŝw = t w 4. Calculează x = Vw. Pentru detalii, consultaţi [Trefethen97],[Dumitrescu98]. 53/60
59 Ideea SVD Concluzii Pseudoinversa unei matrice dreptunghiulare Ax = b x = A + b Pseudoinversa unei matrice diagonale este tot o matrice diagonală având pe diagonală inversele: D = [ d d 2 0 ] D + = 1/d /d (44) 54/60
60 Ideea SVD Concluzii Pseudoinversa unei matrice dreptunghiulare Ax = b x = A + b ÛŜVH x = b ŜV H x = ÛH b V H x = Ŝ+ Û H b x = VŜ+ Û H b Rezultă că A + = VŜ+ Û H 55/60
61 Ideea SVD Concluzii Pseudoinversa unei matrice dreptunghiulare Important: Pseudoinversa este unică dacă descompunerea în valori singulare se face astfel încat acestea să fie ordonate în S: σ 1 σ 2... [Cheney] În rezolvarea în sens CMMP a problemei Ax = b prin descompunere SVD, este util să se analizeze valorile singulare ale matricei. Este bine ca valorile singulare mai mici decât o anumită toleranţă să fie anulate. O astfel de abordare face ca metoda să fie cea mai stabilă din toate variantele. 56/60
62 Ideea SVD Concluzii Pseudoinversa unei matrice dreptunghiulare Proprietăţi ale pseudoinversei (proprietăţi Penrose): 1 A = AA + A 2 A + = A + AA + 3 AA + = (AA + ) T 4 A + A = (A + A) T 57/60
63 Comparaţii între algoritmi Ideea SVD Concluzii 1 Din punct de vedere al timpului de calcul: : O(mn 2 + n 3 /3); CMMP prin QR: O(2mn 2 + 2n 3 /3); CMMP prin SVD: O(2mn n 3 ); 2 Din punct de vedere al stabilităţii: - de folosit doar pentru regresii liniare sau parabolice; CMMP prin QR - stabil dacă rang(a) = n+1; CMMP prin SVD - trebuie folosit dacă A are deficienţa de rang. Matlab: qr, svd, pinv. 58/60
64 Referinţe Introducere Ideea SVD Concluzii Minimal: [AN], i numerici pentru calcule ştiintifice în ingineria electrică Editura MatrixROM, 2013, pag [Ioan98] D. Ioan et al., Metode numerice in ingineria electrica, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, (Capitolul 13) Alte recomandări: [Cheney] Ward Cheney and David Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole publishing Company,2000. [Trefethen97] Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM [Dumitrescu98] Bogdan Dumitrescu, Corneliu Popeea, Boris Jora, Metode de calcul numeric matriceal. i fundamentali, Editura All, /60
65 Ideea SVD Concluzii Tema 8 (din categoria "examen") 1 Pregătiţi date sintetice asfel: alegeţi un polinom de grad 10 şi perturbaţi-l cu valori aleatoare distribuite normal. Generaţi un tabel de date cu 50 de puncte; 2 Implementaţi şi testaţi procedura de aproximare cu determinarea optimă a gradului polinomului de aproximare. Notă: puteţi folosi orice fel de funcţii matlab doriţi. Scrieţi un scurt raport care să reflecte rezolvarea temei. Este obligatoriu ca raportul să aibă: o pagină de titlu, un cuprins generat automat, o lista de referinţe. Daţi o structură coerentă raportului. 60/60
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραInterpolarea funcţiilor.
Interpolarea funcţiilor.. Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/52 Cuprins Introducere 1 Introducere
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραIntegrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 017-018 1/35 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραIntegrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 016-017 1/40 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative)
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative) Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul
Διαβάστε περισσότεραProblema celor mai mici pătrate
Seminar 3 Problema celor mai mici pătrate Acest seminar este dedicat metodelor numerice pentru rezolvarea unei probleme numerice foarte importante întâlnită în multe aplicaţii, aşa numita problemă a celor
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 26, 2008 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραCap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότερα